数学思维与 数学思维能力的培养

浦东教育发展研究院课程教学研究部 浦东教育发展研究院课程教学研究部

2011 年 11 月

一、数学思维能力的培养的意义：一、数学思维能力的培养的意义：

数学教学是数学思维活动的教学。数学是思维的体操。教师不仅仅是知识和技能的传授者，而且是学生聪明才智的培养者，即在教学中学生在学习知识的同时，获得思维能力的训练，发展学生的智力、启迪学生的智慧其关键是要培养学生的数学思维能力。而数学思维能力的提高是需要培养的。

二、数学思维的概述二、数学思维的概述（一）   什么是数学思维？（一）   什么是数学思维？        数学思维数学思维是人脑和数学对象（空间形式、是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一定的数量关系、结构关系）交互作用并按照一定的思维规律认识数学内容的内在理性活动。思维规律认识数学内容的内在理性活动。

（二）   小学生数学思维发展的阶段（二）   小学生数学思维发展的阶段  思维的发生和发展都要经历  思维的发生和发展都要经历直观行动思维 直观行动思维 

                       具体形象思维     抽象逻缉思维具体形象思维     抽象逻缉思维

11 、直观行动思维、直观行动思维它是以实际的操作行动为依托的数学思维。它是以实际的操作行动为依托的数学思维。

如：“ 3”的组成。

2 、具体形象思维它是以事物的表象为依托的数学思维，它是一般形象思维初级形态。 

如：学校有 9 只小球，又买来一些，现有 20 个，买来多少个？

20

？

3 、抽象逻缉思维它是脱离了直观形象，依靠概念、判断和推理所进行的数学思维。

如： 13×5 13×6-13

三、数学思维的分类

    根据小学生数学思维的发展阶段可分为直观行动思维、具体形象思维、抽象逻缉思维；

     根据数学思维活动的总体规律又可分为逻辑思维、形象思维和直觉思维；

    根据解决数学问题的方向又可分为集中思维和发散思维；

    根据数学思维的品质又可分为再造性思维和创造性思维。

四、数学思维的一般方法四、数学思维的一般方法

       数学思维的一般方法有观察、实验、数学思维的一般方法有观察、实验、分析、综合、比较、分类、抽象、概括、分析、综合、比较、分类、抽象、概括、归纳、演绎、类比和想象等。 归纳、演绎、类比和想象等。 

四、数学思维的一般方法 四、数学思维的一般方法 观察：观察：数一数数一数 :: 下图有几条线段？ └─┴─┴下图有几条线段？ └─┴─┴

─┴─┘─┴─┘ 4+3+2+1=10(4+3+2+1=10( 个）个）                              

四、数学思维的一般方法 四、数学思维的一般方法

实验： 1、锥体体积计算公式 

      2 、三角形内角和

四、数学思维的一般方法 四、数学思维的一般方法

分析： 1、长方形的认识 

      2 、复合应用题

      3 、运算顺序7

四、数学思维的一般方法 四、数学思维的一般方法

综合： 1、复合应用题 

      2 、 8的分与合

    7

四、数学思维的一般方法 四、数学思维的一般方法

比较：

1、一堆煤用去三分之二和三分之二吨

2、直角与锐角、钝角、平角的比较

    

7

四、数学思维的一般方法 四、数学思维的一般方法

分类：

如：三角形的认识

    7

四、数学思维的一般方法 四、数学思维的一般方法

抽象：

如：三角形的认识

    7

四、数学思维的一般方法 四、数学思维的一般方法

概括：

如：圆的周长与直径

    7

四、数学思维的一般方法 四、数学思维的一般方法

归纳：

如：乘法分配律

     多边形内角和

    

7

四、数学思维的一般方法 四、数学思维的一般方法

演绎 ：

如：被 3整除的特征（大前提）

    3129 各个位上的数的和是 15， 15 能被 3整除（小前提）

3129 能被 3整除（结论）

    

7

四、数学思维的一般方法 四、数学思维的一般方法

类比 ：

如： A具有性质 a、 b、 c、 d

    B 具有性质 a、 b、 c

    B 也可能具有性质 d

7

四、数学思维的一般方法 四、数学思维的一般方法

联想 ：

如：学习乘法交换率时就联想到加法  交换率，学习圆柱体体积时，就联想到圆的公式是用割补简拼的方法推导出来的，因此圆柱体体积的求法也可类似方法推导。

7

五、小学数学解题方法五、小学数学解题方法

常用的方法有常用的方法有 ::* * 化归法化归法** 假设法假设法** 逆推法逆推法** 图解法图解法** 类比法类比法** 分析推理法分析推理法** 列举法列举法** 代数法代数法

化归法化归法

用联系、运动、发展的观点看待问用联系、运动、发展的观点看待问题，把有待解决的问题转化为一类已经题，把有待解决的问题转化为一类已经解决的问题或较容易解决的问题。解决的问题或较容易解决的问题。

例例 : : 求自然数求自然数 1---1001---100 总不能被总不能被 33 整整除的所有数的和。除的所有数的和。  

总数和总数和 -- 能被能被 33 整除的数的和 整除的数的和 5050-5050- （（ 3+6+…+993+6+…+99 ）） =3367=3367

假设法假设法

先对题目中已知条件或问题做出某先对题目中已知条件或问题做出某种假设，然后按题中已知条件进行推种假设，然后按题中已知条件进行推算，根据数据上出现的矛盾，加以适算，根据数据上出现的矛盾，加以适当的调整，最后找到正确答案得以解当的调整，最后找到正确答案得以解决的解题方法。决的解题方法。

例：三位老师对四位同学的数学竞赛结例：三位老师对四位同学的数学竞赛结果预测如下：果预测如下：

甲说：小周第一，小吴第三；甲说：小周第一，小吴第三； 乙说：小张第一，小王第四；乙说：小张第一，小王第四； 丙说：小王第二，小周第三；丙说：小王第二，小周第三； 结果四位同学都进入了前四名，而三位结果四位同学都进入了前四名，而三位老师的预测对了一半。四位同学的名次老师的预测对了一半。四位同学的名次（ ）。（ ）。

逆推法逆推法

采用与事情发生过程相反的顺序思考的解题过程。

例：某数加上例：某数加上 1111 ，减去，减去 1212 ，乘以，乘以 1313 ，除 ，除 以 以 1414 ，结果是，结果是 2626 ，这个数是几？，这个数是几？  

26×14÷1326×14÷13 ＋＋ 1212 －－ 1111 ＝＝ 2929  

图解法图解法

设法将条件、问题以及它们的数量关设法将条件、问题以及它们的数量关系用线段图、矩形图、系用线段图、矩形图、韦恩图韦恩图反映出来，反映出来，使我们能借助图形进行分析推理，寻找解使我们能借助图形进行分析推理，寻找解题途径。 题途径。

线段图线段图

线段图是另一种形象地突出数量关系的手线段图是另一种形象地突出数量关系的手段。在线段图中，用线段表示数量，用线段。在线段图中，用线段表示数量，用线段间的和、差、倍、分关系表示数量关系，段间的和、差、倍、分关系表示数量关系，从而直观地显示条件和问题间的联系。 从而直观地显示条件和问题间的联系。 

例：在郊外上班的张工程师，每天都在同例：在郊外上班的张工程师，每天都在同一时刻乘火车到达一时刻乘火车到达 PP 站，然后乘准时到达站，然后乘准时到达 PP站接他的汽车到工厂上班。有一天，张工站接他的汽车到工厂上班。有一天，张工程师提前程师提前 5555 分到达分到达 PP 站，就向工厂走去。站，就向工厂走去。在路上遇到了接他的汽车，就乘车去工厂。在路上遇到了接他的汽车，就乘车去工厂。结果比平时提前结果比平时提前 1010 分到达。问汽车速度是分到达。问汽车速度是工程师步行速度的几倍？工程师步行速度的几倍？

分析：

画一副线段图， A点表示张工程师在途中与汽车相遇处，然后乘车去工厂。

汽车之所以提前汽车之所以提前 1010 分回到工厂，是因为它少分回到工厂，是因为它少行行 2·PA2·PA 的路程。由此推知：汽车行路程的路程。由此推知：汽车行路程 PAPA需要需要 10÷2 = 5 10÷2 = 5  （分）。（分）。

因为汽车和张工程师在因为汽车和张工程师在 AA 点相遇，是准时到达点相遇，是准时到达PP 站前站前 55 分，所以这时张工程师步行了分，所以这时张工程师步行了 5555 －－ 5 5 = 50= 50 （分）。即从（分）。即从 PP 站步行到站步行到 AA 用去了用去了 5050 分。分。

根据路程一定，速度和时间成反比例，所以汽根据路程一定，速度和时间成反比例，所以汽车的速度：步行速度 车的速度：步行速度  = 50= 50 ：： 5 = 105 = 10 ：： 11 。。即汽车的速度是张工程师步行速度的即汽车的速度是张工程师步行速度的 1010 倍。 倍。 

矩形图矩形图

如果一个问题涉及的是两种量以及它们如果一个问题涉及的是两种量以及它们的乘积，则可用矩形的边表示这两种量，的乘积，则可用矩形的边表示这两种量，而用矩形的面积表示它们的积，借助于而用矩形的面积表示它们的积，借助于几个矩形的边长和面积之间的关系推理几个矩形的边长和面积之间的关系推理或计算。 或计算。 

例：一个人骑自行车从甲地到乙地。如例：一个人骑自行车从甲地到乙地。如果每小时行果每小时行 1010 千米，则下午千米，则下午 11 时到达；时到达；如果每小时行如果每小时行 1515 千米，则上午千米，则上午 1111 时到时到达。现在要求中午达。现在要求中午 1212 时到达，他每小时时到达，他每小时要行多少千米？要行多少千米？

分析：分析： 为了回答题目提出的问题，先要设法求出出发的为了回答题目提出的问题，先要设法求出出发的时间，（或骑车的时间），从而求得这段路程的长时间，（或骑车的时间），从而求得这段路程的长度。度。

假设每小时行假设每小时行 1515 千米时，千米时， xx 小时到达。则小时到达。则 15x = 15x = 10×(x10×(x ＋＋ 2)2) ，， x x ＝＝ 10×2÷(1510×2÷(15 －－ 10)10)

即 即 x x ＝ ＝ 4 4 小时，由此可知，骑车人是上午小时，由此可知，骑车人是上午 1111－－ 4 4 ＝ ＝ 7 (7 ( 时时 )) 出发的，全程出发的，全程 15×4 = 60(15×4 = 60( 千千米米 )) 。。

这里的这里的 x x ＝＝ 10×2÷(1510×2÷(15 －－ 10)10) 也可以直接借助也可以直接借助矩形图得到。 矩形图得到。

我们用矩形的横边表示时间，用矩形的纵我们用矩形的横边表示时间，用矩形的纵边表示速度。则矩形的面积就表示所行的边表示速度。则矩形的面积就表示所行的路程。由于下图中两个部分重叠的矩形的路程。由于下图中两个部分重叠的矩形的面积都表示同一段路程，所以他们的面积面积都表示同一段路程，所以他们的面积相等。“等量减等量，差相等。”因此，相等。“等量减等量，差相等。”因此，图中有阴影线的两个较少矩形的面积相等。图中有阴影线的两个较少矩形的面积相等。它们的面积都等于它们的面积都等于 10×(13-11).10×(13-11).

因此，每小时行因此，每小时行 1515 千米时走完全程所用的千米时走完全程所用的时间是时间是 10×(13-11)÷(1510×(13-11)÷(15 －－ 10)10) 。。

10

1

图解法图解法

甲、乙两人再一条长甲、乙两人再一条长 9090 米的直路上来回跑米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒步，甲的速度是每秒 33 米，乙的速度为每米，乙的速度为每秒秒 22 米。如果他们同时分别从直路的两端米。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了出发，当他们跑了 1212 分钟，共相遇多少次？分钟，共相遇多少次？（两人同时到达某一点，也看作是相遇）。（两人同时到达某一点，也看作是相遇）。  

解：解： 90÷2=4590÷2=45 （分）；（分）； 90÷3=3090÷3=30 （分）（分） 180180 分分 =3=3 小时，经过小时，经过 33 小时他们各自又小时他们各自又回到甲、乙两地，这时他们共相遇回到甲、乙两地，这时他们共相遇 55 次，次，因此在因此在 1212 分钟里两人共相遇的次数为： 分钟里两人共相遇的次数为： 5×5× （（ 12÷312÷3 ）） =20=20 （次）。（次）。

0

0

60甲

乙

时间

时间

90 米

45

3090

135

180

120

150

180

韦恩图韦恩图

这种用来表示集合的图是英国数学家韦这种用来表示集合的图是英国数学家韦恩（恩（ 1834-19231834-1923 ）最先提出的。）最先提出的。

例：某班有学生例：某班有学生 4545 人，参加无线电小组、人，参加无线电小组、航模小组和生物小组的各有航模小组和生物小组的各有 2020 、、 2020 和和 1515人。其中，同时参加无线电小组和航模小人。其中，同时参加无线电小组和航模小组的有组的有 55 人，同时参加航模小组和生物小人，同时参加航模小组和生物小组的有组的有 55 人，同时参加生物小组和无线电人，同时参加生物小组和无线电小组的有小组的有 33 人。并且全班每人都参加了以人。并且全班每人都参加了以上三个小组中的某一个。问三个小组都参上三个小组中的某一个。问三个小组都参加的有多少人？加的有多少人？

分析：上图是三个集的韦恩图。其中矩形分析：上图是三个集的韦恩图。其中矩形平面部分表示全班的学生。三个圆面分别平面部分表示全班的学生。三个圆面分别表示参加三个小组的学生。在这里，由于表示参加三个小组的学生。在这里，由于用平面部分表示集合，用平面部分的面积用平面部分表示集合，用平面部分的面积表示集合元素的个数，因此，我们可以用表示集合元素的个数，因此，我们可以用面积之间的关系来理解这些集合元素个数面积之间的关系来理解这些集合元素个数之间的关系。假设三个小组都参加的有之间的关系。假设三个小组都参加的有 xx人，得方程 人，得方程  20+20+15-5-5-3+ x 20+20+15-5-5-3+ x  ＝ ＝  45-0,45-0,解之，可得 解之，可得  x x  ＝ ＝  33

类比是根据两类事物有某种属性相同，类比是根据两类事物有某种属性相同，推测它们的另一些属性也相同的推理。推测它们的另一些属性也相同的推理。

在解题中，根据题中所求问题与已知条在解题中，根据题中所求问题与已知条件相类似的关系，利用类比推理，找到件相类似的关系，利用类比推理，找到模型，从而找到解题途径的方法。模型，从而找到解题途径的方法。

类比法

分析推理法

是运用已知的若干判断去获得一个新的判断的思维方法。

例：例： AA 、、 BB 、、 CC 三个人各说了一句话，三个人各说了一句话，每句话不是对的，就是错的。每句话不是对的，就是错的。

AA 说：“说：“ BB 、、 CC 都说假话”都说假话” BB 说：“我从来不说假话”说：“我从来不说假话” CC 说：“说：“ BB 说的是假话”说的是假话”请你想一想， 请你想一想， AA 、、 BB 、、 CC 三个人中谁说三个人中谁说的话肯定是错的？的话肯定是错的？

列举法

有些题的数量关系较为隐蔽，可以用列表的方法，就是把题目中的条件所涉及的数量或结论的各种可能一一列举处处出来。

例：有例：有 11 张张 55 元、元、 44 张张 22 元、元、 88 张张 11 元，元，要拿出要拿出 88 元钱，可以有几种拿法？元钱，可以有几种拿法？

55 元币元币 22 元币元币 11 元币元币

张数张数 11 00 33

11 11 11

00 11 66

00 22 44

00 33 22

00 44 00

00 00 88

关键是列表时要有序思考，这样才能做到既不重复又不遗漏。

代数法

即列方程解答的方法。

例：一次数学考试中有例：一次数学考试中有 1010 道填空题，按 道填空题，按 照评分规定，答对照评分规定，答对 11 题得题得 33 分，答错分，答错 11 题题扣扣 22 分。小明虽然回答了全部分。小明虽然回答了全部 1010 个问题，个问题，但只得了但只得了 1515 分。问他答对了多少个问题？分。问他答对了多少个问题？

解：设小明答对了 X个问题则 3X – 2 （ 10 – X) = 15

六、六、如何如何培养数学思维能力培养数学思维能力。。

1 、要结合教材内容，深入挖掘，加以培养。

22 、、培养思维能力培养思维能力可课内外同步进行。

3 、要注重知识之间的联系及系统性。要注重知识之间的联系及系统性。

六、六、如何如何培养数学思维能力培养数学思维能力。。

（一）关于计算教学计算教学。

（（ 11 ）算法思维的培养。）算法思维的培养。          29+15= 29+15=         16×1216×12＝＝     

（ 2）学好必备的知识 .根据 42×37 ＝ 1554 填空

420×37 ＝（ ）

420×370 ＝（ ）

420×3700 ＝（ ） ×370 ＝ 42× （ ）。

动脑筋

4200×37 ＋ 420×630

又如根据又如根据 42×3742×37 ＝＝ 15541554 填空填空 ..4.2×3.74.2×3.7 ＝（ ）＝（ ）００ .42×3.7.42×3.7 ＝（ ）＝（ ）００ .42×3.7.42×3.7 ＝＝ 42×42× （ ）＝（ ）（ ）＝（ ） ×× ００ .37.37 。。

动脑筋动脑筋００ .42×3.7.42×3.7 ＋＋ 4.2×4.2× ００ .63.63

在比较中理解掌握：在比较中理解掌握：99×99          99…9×99…9+199…999×99          99…9×99…9+199…999×99+99       2099×99+99       20 个个 9  209  20 个个 9  209  20 个个 9999×99+89       99…9×99…9+599…9  99×99+89       99…9×99…9+599…9  99×99+100      2099×99+100      20 个个 9  209  20 个个 9  209  20 个个 9 9 99×99+19999×99+199999×999+1999999×999+1999

33×99=

33×66=

33×34=动脑筋：

计算 : 33…3×33…34 = 50 个 3 49 个 3

用一般思路：用一般思路：

33…3×33…3433…3×33…34 = 11…1×100…02= 11…1×100…02

5050 个个 3 493 49 个个 3 503 50 个个 1 491 49 个个 00

= 11…1×= 11…1× （（ 100…00 + 2100…00 + 2 ））

5050 个个 1 501 50 个个 0 0

= 11…100…0 + 22…2= 11…100…0 + 22…2

5050 个个 1 501 50 个个 0 500 50 个个 22

==111…1222…2111…1222…2

5050 个个 1 501 50 个个 22

在实验中找规律： 33…3×33…34 50 个 3 49 个 3 因为 3×4 =12 33×34= 1112 333×334 =111222 … …所以 33…3×33…34 = 11…1×22…2 50 个 3 49 个 3 50 个 1 50 个 2

（二）关于几何教学教学。

（（ 11 ）培养探究与思维的能力。）培养探究与思维的能力。如：面积、体积计算公式等的推导

（ 2）如：平行四边形、三角形面积计算公式的推导

等积转化

又如长方体的体积计算。

猜想、探究、归纳、验证。猜想、探究、归纳、验证。

例：例：

长方体与正方体的体积计算长方体与正方体的体积计算

哪个物体体积大？

（（ dmdm33 ）） （（ dmdm ））

（（ dmdm ））

（（ dmdm ））

长方体长方体 11

长方体长方体 22

长方体长方体 33

长方体长方体 44

= × ×12

12

12

12

12 1 1

6 1 2

4 1 3

3 2 2

= × ×

= × ×

= × ×

体积 长 宽 高

思考：长方体体积与长、宽、高有什么关系？

= × ×12

12

12

12

12 1 1

6 1 2

4 1 3

3 2 2

= × ×

= × ×

= × ×

长方体 = × ×体积 长 宽 高

求长方体的体积？

1cm3

求长方体的体积？

6× 5 × 3 = 90

1cm3

(cm3)

化归法：一种图形化归为另一种或几种图形化归法：一种图形化归为另一种或几种图形

                       这种化归常常应用于组合图形面这种化归常常应用于组合图形面积或体积的计算。组合图形的结构有二种积或体积的计算。组合图形的结构有二种情况：一种是由几个基本图形组合而成，情况：一种是由几个基本图形组合而成，一种是由一个基本图形割出一个或几个图一种是由一个基本图形割出一个或几个图形而成。所以求组合图形的面积或体积时，形而成。所以求组合图形的面积或体积时，通过化归，把它分割、填补或再组合成一通过化归，把它分割、填补或再组合成一个或几个简单图形，再求其面积或体积，个或几个简单图形，再求其面积或体积，然后利用它们的和或差来求得原题的解。然后利用它们的和或差来求得原题的解。

             根据数量关系：姐姐养兔数的根据数量关系：姐姐养兔数的 1/31/3 等于等于妹妹养兔数的妹妹养兔数的 1/101/10 。设妹妹养的只数为单位。设妹妹养的只数为单位11 ，则姐姐养的只数为（，则姐姐养的只数为（ 1/10÷1/31/10÷1/3 ）。这）。这时姐妹共养的兔（时姐妹共养的兔（ 1+1/10÷1/31+1/10÷1/3 ）是）是 5252 只，只，不难得出妹妹养兔只数的算式为 （不难得出妹妹养兔只数的算式为 （ 100100 －－ 116×36×3 ）） ÷÷ （（ 1+1/10÷1/31+1/10÷1/3 ）。）。

等底等高

已知三角形 BEC的面积 24㎡ ,EC=2AE 梯形 ABCD的面积是（ ）。

A

C

B

D

转化

E 2424

化归

添辅助线

已知 AC长 13㎝， AB长 5㎝ ,BC长 12㎝； FG长 2㎝。求正方形 BEFD的面积？

A

B

F

CE

D

8

8５

５

先得出解法一：先得出解法一：

+ - - -+ - - -

用两个正方形的面积分别去减去用两个正方形的面积分别去减去 33 个空白三角个空白三角形的面积：形的面积：

8×8-5×5-8×8-5×5- （（ 8+58+5 ）） ×8÷2-×8÷2- （（ 8-58-5 ）） ×8÷2-5×8÷2-5×5÷2×5÷2

先得出解法二：先得出解法二：

用一个梯形面积与一个三角形面积的和去减去一个空白三角形的面积：

（ 8+5 ）×8÷2+5×5÷2-（ 8+5 ）×8÷2

先得出解法三先得出解法三

学生发现式子中，计算时前后可以抵学生发现式子中，计算时前后可以抵消，就变成消，就变成 5×5÷25×5÷2 ，学生通过运用转，学生通过运用转化的思想，知识的迁移、想到添辅助线化的思想，知识的迁移、想到添辅助线来实现这种转化，得到论证。得出解法来实现这种转化，得到论证。得出解法三：三： 5×5÷25×5÷2

结语

关键是学会方法 目的是提高能力

谢谢倾听！