Великий квадрат не имеет границ

Великий квадрат не имеет границ

Автор проекта Кузина Анна ученица 9 класса Руководитель Зырянова Людмила Кузьминична учитель математики и информатики Адрес 646974 Омская область Кормиловский район с Георгиевка ул Ленина 9 МКОУ laquoГеоргиевская СОШraquo телефон 8-38170-35142 E-mail georgievschoolmailru

XII Районная научно ndash практическая конференция учащихся НОУ laquoПоискraquo XII Районная научно ndash практическая конференция учащихся НОУ laquoПоискraquo

математика математика

laquoКвадратraquo может означать одно из следующих понятий

bull В математике bull Квадрат (геометрия) mdash правильный четырёхугольникbull Квадрат (алгебра) mdash результат умножения числа на само себяbull Квадрат (число) mdash целое число квадратный корень которого тоже является

целымbull Магический квадрат mdash квадратная таблица заполненная числами так что

сумма чисел в каждой строке каждом столбце и на обеих диагоналях одинаковаbull В других областях bull Квадрат mdash конструкция шлицевого зажима для ручного слесарного

инструментаbull Квадрат (игра) mdash дворовая игра c мячомbull laquoЧёрный квадратraquo mdash картина Казимира Малевичаbull Квадрат (музыка) mdash единица музыкального метра равная 4 8 16 32 тактамbull Квадрат (астрология) mdash астрологический аспект 90degbull Конь Квадрат mdash знаменитый орловский рысакbull Интернет-журнал Квадрат mdash детский интернет-журнал laquoКвадратraquo

СодержаниеСодержание

Великий квадрат не имеет границ Дао Дэ Цзин

bull Здравствуйте меня зовут Кузина Анна bull Я ученица 9 класса из Омской области

bull Объектом исследований стал квадрат а bull предметом ndash свойства квадрата bull Цель моей работы ndash исследовать свойства квадрата bull найти способы решения классических головоломок связанных с конструированием геометрических фигур и познакомиться с применением квадрата в других областяхbull Для достижения цели я поставила перед собой следующие задачиbull - провести анализ определений квадрата и его свойствbull - рассмотреть задачи на разрезание квадратаbull - выполнить построение при помощи перегибания квадратного листа бумагиbull - показать разнообразие применения квадрата через решение практических задач

bull Практическое значение моей работы в том что ее можно будет использовать как дополнительный материал на уроках геометрии во внеклассной работе как мини-энциклопедию для любознательных людей и творческом использовании математических знаний в игровой деятельности

Историческая справка

В глубокой древности люди умели считать только до 3 и все остальные числа начиная с 4 они условно называли как laquoмногоraquo Именно поэтому первым начерченным многоугольником стал четырёхугольник Все

четырёхугольники можно подразделить на прямоугольники имеющие прямые углы и прямосторонники имеющие только прямые стороныbull Из исторических источников известно что древние египтяне и китайцы знали

такую геометрическую фигуру как квадрат Термин laquoквадратаraquo происходит от латинского quadratum (quadrare - сделать четырехугольным) перевод с греческого ldquoтетрагононrdquo - четырехугольник

bull ldquoПервый четырехугольник с которым познакомилась геометрия был квадратrdquo - пишет ДД Мордухай-Болтовский

bull bull Квадрат используется в классическом доказательстве теоремы Пифагора Интерес

к квадрату объясняется его свойствами широко используемые в практике измерение площадей земельных участков определение расстояния до объекта в технике архитектурных сооружений и тд Современные математики продолжая традиции древних не отрывают науку от практики глубоко разрабатывают ее прикладные стороны

bull


Определение свойства квадратаbull Квадрат - правильный четырёхугольник т е все углы равны и все стороны

равны Свойства - Все углы равны 90deg т е прямые

- Вписывается в окружность r= - Описывается около окружности R= - Средние линии квадрата

bull перпендикулярны и равны сторонамbull точкой пересечения делятся пополам

- Диагонали квадратаbull равны и перпендикулярныbull являются биссектрисамиbull точкой пересечения делятся пополам в точке пересечения

средних линий центре вписанной и описанной окружностей - Имеет четыре оси симметрии - Обладает поворотной симметрией не изменится при повороте на 90ordm - Середины сторон являются точками касания вписанной окружности

- Середины сторон при соединении образуют квадрат

2a22a


Квадрат может быть определён как ndash это прямоугольник у которого все стороны равны

ndash это ромб у которого все углы прямые ndash это параллелограмм у которого стороны равны а углы прямые


Признаки квадратаbull bull Теорема Если диагонали прямоугольника пересекаются под

прямым углом то этот прямоугольник квадрат

bull Доказательствоbull Прямоугольник является параллелограммом bull а параллелограмм у которого диагонали

bull пересекаются под прямым углом это ромб bull То у ромба все стороны равны bull Значит имеем прямоугольник у которого все bull стороны равны а по определению это и есть bull квадрат

bull bull Прямоугольник является квадратом если две его смежные стороны равны

bull bull Прямоугольник является квадратом если одна из диагоналей является биссектрисой его угла (признаки ромба)


Применение квадрата при доказательстве теорем

S=a2

a

a a

a

a

bb

bb

bb

bb

bbS

S

S=b2

A D

BC

Дано ABCD-прямоугольник AB=b AD=a SABCD=SДоказать S=ab Доказательство1) Достроим прямоугольник до

квадрата со стороной (a+b)2 Sкв = (a+b)2

3) SКВ =S + S + a2 + b2

S = ab4) (a+b)2 = S + S + a2 + b2

а2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2

2S = 2ab

ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЕГО СМЕЖНЫХ СТОРОН




Свойство квадрата которое не изучается в школе

bull Периметр квадрата меньше периметра любого равновеликого ему прямоугольника

bull bull Доказательствоbull Сравним периметр квадрата bull ABCD данной площади с bull прямоугольником BEFG той же площади bull Пусть сторона квадрата равна а bull Очевидно что сторона b прямоугольника bull BEFG больше а (bgta) bull Отнимем от квадрата ABCD и

прямоугольника BEFG общую часть ABEK останутся равновеликие прямоугольники AKFG и KECD то есть AG FG = DC KD

bull Но так как FG lt DC то AG gt KD или b-a gt a-c bull Отсюда b + c gt 2a и 2b + 2c gt 4a bull Теорема доказана



bull Площадь квадрата больше площади любого прямоугольника с тем же периметром

bull Доказательство (метод от противного)bull Дан квадрат периметр которого равен p а площадь равна q

Допустим что существует прямоугольник периметр которого тоже равен p а площадь Qgtq Построим новый квадрат равновеликий этому прямоугольнику то - есть с площадью тоже равной Q и следовательно большей чем площадь данного квадрата Но по предыдущей теореме периметр нового квадрата p1ltp Значит площадь нового квадрата больше площади данного а периметр меньше Это невозможно Следовательно не существует прямоугольника с периметром как у квадрата и площадью большей чем площадь квадрата Не существует и прямоугольника с площадью равной площади квадрата так как при этом периметр квадрата меньше периметра прямоугольника что противоречит условию

bull Теорема доказана


Свойство площади имеет практическое применение

Расширить площадку так чтобы1) Сохранить прямоугольную форму площадки но обязательно изменить направление ограничивающих ее сторон2) деревья должны остаться на периферии площадки (если не по углам то где-нибудь на сторонах площадки)


РешениеРасчеты показали что площади описанных прямоугольников неодинаковы Какой же из них имеет наибольшую площадьОказалось что таким прямоугольником является квадрат



Квадрат используется при решении многих задач




Что больше

bull Какая часть площади квадрата больше

bull черная или заштрихованная

bull Они равны Нетрудно заметить что каждый из треугольников АВМ и ВСN занимают половину площади квадрата АВСD Значит та часть площади АВСD которую они покрывают дважды(заштрихованная часть) равна той части площади АВСD которую они все не покрывают (чёрная часть)


Квадрат в квадрате

bull Соедините последовательно середины сторон квадрата АВСD отрезками и вы получите новый квадрат ЕLKF площадь которого составляет половину площади данного квадрата АВСD

bull Отрежем четыре прямоугольных треугольника расположенных по углам квадрата АВСО Сумма их площадей также составляет половину площади квадрата АВСО Если принять площадь квадрата АВСD за единицу то сумма площадей отрезанных треугольников равна S В оставшийся квадрат ЕLKF снова таким же образом впишем квадрат и опять отрежем четыре треугольных уголка Сумма площадей отрезанных треугольников составляет frac12 площади квадрата ELKF и значит frac14 площади АВСD Повторяя этот прием мы получим четверку треугольников сумма площадей которых составит ndash 18 площади квадрата АВСD Применяя этот приём любое число раз будет получаться всё новые четвёрки прямоугольных треугольников которыми снова можно выложить первоначальный квадрат Суммы площадей четвёрок треугольников представляют бесконечный ряд чисел

bull frac12 frac14 18 116hellip


Магические квадраты Магический квадрат ndash это квадрат состоящий из п столбцов и п строк

в каждую клетку которого вписано число Числа в квадрате размещены так что в каждом горизонтальном вертикальном и диагональном ряду получается одна и та же сумма

bull Магические квадраты придуманы впервые китайцами так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской книге написанной за 4000mdash5000 лет до нашей эры

bull Старейший в мире волшебный квадрат китайцев представлен на рисунке

Темными кружками в этом квадрате изображены четные (laquoженственныеraquo) числа светлыми mdash нечетные (laquoмужественныеraquo) числа


Древнеиндийский магический квадрат

bull Этот квадрат появился в 1 веке нашей эрыbull Сумма чисел в каждом ряду 34bull Игра состоит в отыскании такого расположения

последовательных чисел (начиная с1) по клеткам разграфленного квадрата чтобы суммы чисел во всех строках столбцах и по обеим диагоналям квадрата были одинаковы


Магический квадрат 5 порядка

Доказано что магических квадратов 5 порядка более 13 млн



Этот квадрат 8 порядка составлен в 18 в великим Леонардом Эйлером Каждый ряд в этом квадрате даёт сумму 260 а половина ряда ndash 130


Танграмbull Одна из самых известных

древних геометрических головоломок ndash игра laquoтанграмraquo в которую в течение многих веков играют и дети и взрослые возникла игра в Китае где она называется laquoчи чао туraquo то есть умственная головоломка из семи частей Название laquoтанграмraquo - европейское Вероятнее всего от слова laquoтаньraquo (что означает laquoкитаецraquo) и корня laquoграмаraquo (в переводе с греческого laquoлинияraquo) Танграм в переводе - хитроумный узор из 7 частей


Танграм

bull Возьмем квадрат и разрежем его на 7 частей как показано на рисунке

bull У нас должно получиться 7 плоских геометрических фигур ndash танов

bull Перемещая их так чтобы ни одна из низ не накладывалась на другую и при этом не было промежутков между ними мы можем получить удивительные фигурки-танграмы


Кто играл в laquoтанграмraquo

bull Это настолько увлекательная игра что сам великий древнегреческий ученый Архимед написал о ней сочинение

bull

bull Всем известно что французский император Наполеон после военного поражения был сослан пожизненно на остров Святой Елены Достоверен тот факт что Наполеон часами занимался складыванием фигур танграма


Танграм ndash сложи по образцу


Фигурки из танов


Миниатюры из нескольких танов


Задачи на разрезание квадрата

bull Составить сплошной квадрат из трех равных квадратов


Познакомимся с тем решением которое дал Абул Вефа арабский математик живший в X веке Он разрезал квадраты I и II по диагоналям и каждую из половинок приложил к квадрату III как показано на рисунке Затем он соединил отрезками прямых вершины Е F G и Н Полученный четырехугольник ЕFGН оказался искомым квадратом Доказательство сразу следует из равенства образовавшихся маленьких треугольников HLK и EKD и остальных таких же (HL=ED углы HLK и ЕDКmdash по 45deg и HLK = = ЕDК )



bull Разрежьте крест на части и сложите из них квадрат Причем высота и ширина квадрата должны быть такими же как и высота и ширина креста

bull Решениеbull Нетрудно по рисунку

разобраться как это сделать


Задачи на разрезание квадратов


Игра Никитина Сложи квадрат

bull Необходимо из нескольких кусочков сложить квадрат Происходит тренировка в развитии цветоощущения и сообразительности при решении проблемы частей целого их возможных взаимоотношений и взаиморасположений

bull


Головоломка

bull Разрежьте прямоугольник с отверстием в центре на 2 части так чтобы их их можно было сложить в сплошной квадрат (без прорези) размером 8х8

bull Решение



bull Разрежьте квадрат на 4 одинаковые части так чтобы в каждой секции была гусеница со своим листком У одной гусеницы не будет листка она садится на диету Решение


Найдите ошибкуНайдите ошибку

- В области ломаной образуется щель Её площадь 1 квадратная единица - На втором рисунке вместо диагонали ломаная


Головоломка-парадокс


Пентамино

bull Игра laquoПентаминоraquo была придумана в 50-х годах ХХ в американским математиком СГоломбом и очень быстро увлекла не только школьников и студентов но и профессоров математики

bull Она заключается в складывании различных фигур из заданного набора пентамино Набор пентамино содержит 12 фигурок каждая из которых составлена из пяти (ldquoпентаrdquo по гречески означает laquoпятьraquo) одинаковых квадратов причем квадраты соседствуют только сторонами

bull В пентамино можно играть и вдвоем двое игроков по очереди выбирают любую из 12 фигурок пентамино и располагают ее на свободных клетках поля 8 х 8

bull bull Проигрывает тот кто первым не сможет

разместить на доске ни одного пентамино Если же все фигурки удалось разместить на доске то выигрывает ходивший последним


Тетрамино

Тетрамино mdash набор односвязных фигурок состоящих из четырех квадратов (от греч τετρα- mdash четыре) С тетрамино связано множество задач на составление из них разных фигур

bull Однако у тетрамино есть другое интересное свойство Из некоторых элементов пентамино (а именно всех за исключением I T X V) в сочетании с полным набором тетрамино можно составить квадрат 5x5 Вот два таких построения


ПОСТРОЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ПЕРЕГИБАНИЯ

КВАДРАТНОГО ЛИСТА БУМАГИ bull Среди множества возможных действий с бумагой особое место занимает

операция ее перегибания С помощью перегибания бумаги можно не только делать забавные или интересные игрушки но и получать наглядное представление о многих фигурах на плоскости а также об их свойствах Практические свойства бумаги порождают своеобразную геометрию Роль линий в этой геометрии будут играть края листа и складки образующиеся при его перегибах а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения складок друг с другом или с краями листа Исследуем некоторые свойства квадрата Линия сгиба проходящая через два противоположных угла квадрата есть диагональ этого квадрата Другая диагональ получается перегибом квадрата через другую пару противоположных углов как это показано на рис (линии внутри квадрата являются линиями сгиба) Каждая диагональ делит квадрат на два совпадающих при наложении треугольника вершина которых находятся в противоположных углах квадрата Эти треугольники равнобедренные и прямоугольные так как каждый из них имеет по прямому углу


ПОСТРОЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ПЕРЕГИБАНИЯ КВАДРАТНОГО ЛИСТА БУМАГИ

bull Если перегнуть квадрат еще раз так чтобы совпадали две другие стороны то полученный сгиб и сделанный раньше разделят квадрат на 4 совпадающих при наложении квадрата

bull Пользуясь этими свойствами можно выполнять различные построения и превращения Например получить правильный шестиугольник На рисунке представлен образец орнамента из равносторонних треугольников и шестиугольников полученных перегибанием квадратного листа бумаги делая перегибы через точки делящие его стороны на три равные части Эти многие другие построения подробно описываются и в книге laquoПримени математикуraquo ИН Сергеева



bull Также при помощи перегибания квадратного листа бумаги можно построить биссектрису угла Следует отогнуть бумагу по прямым ВС и АВ (не на лицевую сторону) а затем перегибанием совместить отогнутый край ВС с отогнутым краем АВ Получившийся сгиб ВD и будет биссектрисой угла АВС Кстати на основе перегибания квадратного листка бумаги возникло искусство оригами - складывание фигурок из бумаги



bull Если перегнуть бумажный квадрат пополам чтобы одна сторона совпадала с противоположною ей Получится сгиб проходящий через центр квадрата Линия этого сгиба обладает следующими свойствами

bull 1) она перпендикулярна двум другим сторонам квадратаbull 2) делит эти стороны пополамbull 3) параллельно двум первым сторонам квадратаbull 4) сама делится в центре квадрата пополамbull 5) делит квадрат на два совпадающих при наложении

прямоугольника bull 6) каждый из этих прямоугольников равновелик (т е равен по

площади) одному из треугольников на которые квадрат делиться диагональю


Немного истории об оригами

bull Оригами- древнейшее искусство складывание из бумаги различных объемных фигурок

bull Возникло 2000 лет тому назад в Китае

bull В 7 веке оригами было известно в Японии

bull Основы оригами-квадрат


Основы оригами-квадрат


Правило квадрата в шахматах

bull Как определить пройдет ли белая пешка в ферзи или по дороге будет уничтожена черным королем

bull Решение Надо мысленно построить квадрат одной стороной которого является предстоящий путь пешки до последней линии доски

bull Тогда если король противника войдет в этот квадрат (с любой его стороны) раньше чем пешка покинет вершину угла квадрата то король догонит пешку если нет то пешка проходит в ферзи при ходе черных король попадет в очерченный квадрат и следовательно задержит пешку белых при ходе белых король черных не успевает вступить в очерченный квадрат и белые выигрывают

bull Это есть laquoправило квадратаraquo

bull Если пешка находится в начальном положении как на рисунке то первым ходом она как известно может быть передвинута на две клетки В этом положении вершиной определяющего квадрата должна быть не та клетка на которой стоит пешка а следующая mdash по ходу движения пешки


Многообразие квадратов

bull Полный граф mdash простой граф в котором каждая пара различных вершин смежна

bull Графы K4 полный граф часто изображается как квадрат с 6 рёбрами Полный граф с n вершинами имеет n(n minus 1) 2 рёбер и обозначается Kn


Золотые пропорции человека - (Леонардо да Винчи)Золотые пропорции человека - (Леонардо да Винчи)

Длина вытянутых рук будет равна росту - КВАДРАТДлина вытянутых рук будет равна росту - КВАДРАТ


Русская система мер

Это интересно

bull Чёрный квадрат mdash самая известная работа bull Казимира Малевича созданная в 1915 году bull Представляет собой полотно размером bull 795 на 795 сантиметров на котором изображёнbull чёрный квадрат на белом фоне bull У чёрного квадрата также есть 2 брата bull Красный квадрат и белый квадрат bull Малевич писал квадрат тонкой кисточкой есть версия что там что-то уже было нарисованоbull bull Форма ndash это пространство от которого отсечено лишнееhellip в этом

смысле конечно именно квадрат является абсолютной формой где равенство сторон углов не дает повода для сравнения и преобладания соперничества Квадрат чист и абсолютен Многие видят в ЧК космос вселенную черную комнату с черной же кошкой внутри окно в бесконечность и тп


Квадрат среди нас


laquoСвященный квадратraquohellip

bull Олицетворяет Землю как противопоставление кругу Небес статичную безупречность и совершенство неизменность Отражает единство божественного три стороны квадрата - божественная троица а четвертая сторона - божественное единство Он означает также честность прямодушие искренность моральность Квадрат символизирует совершенный тип замкнутого пространства садов монастырей дворов и т п в аспекте постоянства и стабильности

bull В священной архитектуре он символизирует трансцендентное знание Этот архетип присутствует во всех постройках

bull В буддизме квадрат или куб в основании чортена олицетворяет земной план существования

bull У китайцев квадрат - неподвижная Земля в соединении с вращающимся кругом Небес

bull В греко-римской традиции квадрат является символом Афродиты (Венеры) как женской плодородной силы

bull У индийцев квадрат - основной символ являющийся архетипом порядка во вселенной стандартом пропорции и идеалом для оценки человека

bull Квадрат - основание храма или любого иного священного центра и представляет собой сбалансированное совершенство формы

bull И круг и квадрат являются символами дхармы порядка вещей в космосе и в мире людей Квадрат в основании ступы представляет собой символическую форму Земли

bull У пифагорейцев квадрат символизирует душу


КВАДРАТ

bull Пришёл из школы старший братbull Из спичек выложил квадрат

bull Дала мне мама шоколадbull Я дольку отломил - квадрат

bull И стол - квадрат и стул - квадратbull И на стене плакат - квадратbull Доска где шахматы стоятbull И клетка каждая - квадрат

bull Стоят там кони и слоныbull Фигуры боевые

bull КВАДРАТ - четыре стороныbull Все стороны его равны

bull И все углы прямые

bull Жили были два брата bull Треугольник с Квадратом bull Старший ndash квадратный bull Добродушный приятный bull Младший ndash треугольный bull Вечно недовольный bull Стал расспрашивать Квадрат bull Почему ты злишься брат bull Тот кричит ему Смотри bull Ты полней меня и шире bull У меня углов лишь три bull У тебя же их четыре bull Но Квадрат ответил Брат bull Я же старше я ndash квадрат bull И сказал еще нежней bull Неизвестно кто нужней bull Но настала ночь и к брату bull Натыкаясь на столы bull Младший лезет воровато bull Срезать старшему углы bull Уходя сказал Приятных bull Я тебе желаю снов bull Спать ложился ndash был квадратным bull А проснешься ndash без углов bull Но наутро младший брат bull Страшной мести был не рад bull Поглядел он ndash нет квадрата bull Онемел Стоял без слов bull Вот так месть Теперь у брата bull Восемь новеньких углов


СКАЗКА О КВАДРАТЕ bull Жил-был в стране Геометрии Лист Его края были неровными с множеством загибов потому что его вырвал из

тетради мальчик по имени Вовка и уже долгое время Лист находился в пути А нашему герою очень хотелось чтобы все его стороны стали вновь ровными

bull Собравшись с силами Лист отправился на поиск Линейки Карандаша и Ножниц Только они могли ему помочь Лист целых пять дней провел в пути потому что двигаться он мог только с помощью ветра а ветреная погода была не каждый день На шестой день своего пути Лист встретил Карандаша Карандаш в это время чертил углы на песке Его углы были разной величины и он упорно повторял вслух Острый тупой прямой развернутый Лист тихонько подлетел к Карандашу и рассказал свою историю Карандаш его пожалел и согласился помочь но к сожалению без Линейки и Ножниц он ничего сделать не смог

bull Теперь они отправились в путешествие уже вдвоем Но Линейку им не пришлось долго искать потому что она вместо мостика лежала на двух противоположных берегах ручья Карандаш и Лист аккуратно перетащили Линейку на свой берег и попросили ее помощи

bull ndash Да Да Да ndash воскликнула Линейка (так соскучилась она по своей работе) ndash Конечно помогуbull Началась работа Карандаш чертил ровно Линейка замеряла стороны так чтобы все они были одинаковой длины

Когда работа была сделана Линейка объявила Листуbull ndash Ну теперь ты будешь квадратом bull ndash Квадратом ndash удивился Листbull ndash Да Да Квадратом ndash убедительно ответила Линейкаbull ndash А что это такое ndash спросил Листbull ndash Это прямоугольник у которого все стороны не только ровные но и равные ndash сказала Линейкаbull Лист обрадовался Он поблагодарил Карандаша и Линейку и отправился на поиски Ножницbull Идя по дорожке Лист увидел красивый домик с очень необычной акацией вместо забора Он поднялся по ступенькам и

постучался Дверь тихонько заскрипела и к нему навстречу вышли Ножницы Радость Листа невозможно было описать Он прыгал от счастья А Ножницы в это время смотрели на него и не понимали в чем дело Наконец Лист успокоился и рассказал Ножницам свою историю

bull Ножницы повели себя необычно они вдруг стали резать воздух Это оказалось они так выражали свое удовольствие Ножницы действительно очень любили работать то есть резать Через пять минут наш Лист превратился в настоящий Квадрат Ножницы принесли ему зеркало Он долго смотрелся в него а потом закричал

bull ndash Квадрат Квадрат bull А Ножницы опять стояли в недоумении и смотрели на Лист Они не понимали что это за слово повторял наш герой Но

мы-то с вами знаем что это за фигура


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ТЕСТ

Перед Вами геометрические фигуры Перед Вами геометрические фигуры

Посмотрите на них очень внимательно Попробуйте их ощутить как самое себя Какая из фигур Вам ближе роднее Про какую из фигур можете сказать Вот это точно яВыбранная фигура и олицетворяет Вас А теперь прочитайте о чем говорит Ваш выбор


прямоугольникпрямоугольниккругкруг

квадратквадрат

треугольниктреугольник зигзагзигзаг


КВАДРАТЫbull Если вашей основной фигурой оказался Квадрат то вы - неутомимый труженик

Трудолюбие усердие потребность доводить начатое дело до конца упорство позволяющее добиваться завершения работы - вот основные качества истинных Квадратов Выносливость терпение и методичность обычно делают Квадрата высококлассным специалистом в своей области Этому способствует и неутолимая потребность в информации

bull Все сведения которыми они располагают систематизированы и разложены по полочкам Квадрат способен выдать необходимую информацию моментально Поэтому Квадраты заслуженно слывут эрудитами по крайней мере в своей области Если вы выбрали для себя Квадрат - фигуру линейную то вероятнее всего вы относитесь к левополушарным мыслителям т е к тем кто перерабатывает данные в последовательном формате а-б-в-г

bull Квадраты скорее вычисляют результат чем догадываются о нем Квадраты чрезвычайно внимательны к деталям подробностям Квадраты любят раз и навсегда заведенный порядок Их идеал - распланированная предсказуемая жизнь и ему не по душе изменение привычного хода событий Он постоянно упорядочивает организует людей и вещи вокруг себя Все эти качества способствуют тому что Квадраты могут стать хорошими специалистами - техниками отличными администраторами но - редко - бывают хорошими менеджерами

bull Чрезмерное пристрастие к деталям потребность в уточняющей информации для принятия решений лишают Квадрата оперативности Аккуратность соблюдение правил и т п могут развиться до парализующей крайности

bull Кроме того рациональность эмоциональная сухость консерватизм в оценках мешают Квадратам быстро устанавливать контакты с разными лицами Квадраты неэффективно действуют в аморфной ситуации

ТРЕУГОЛЬНИКИbull Эта форма символизирует лидерство и многие Треугольники ощущают в этом свое

предназначение Самая характерная особенность истинного Треугольника - способность концентрироваться на главной цели Они - энергичные сильные личности В тесте Люшера они часто предпочитают зеленый цвет и рисуют елку когда их просят нарисовать дерево

bull Треугольники как и их родственники - Квадраты относятся к линейным формам и в тенденции также являются левополушарными мыслителями способными глубоко и быстро анализировать ситуации Однако в противоположность Квадратам ориентированным на детали Треугольники сосредоточиваются на главном на сути проблемы

bull Их сильная прагматическая ориентация направляет мыслительный анализ и ограничивает его поиском эффективного в данных условиях решения проблемы

bull Треугольник - это очень уверенный человек который хочет быть правым во всем Потребность быть правым и потребность управлять положением дел решать не только за себя но и по возможности за других - делает Треугольника личностью постоянно соперничающей конкурирующей с другими Треугольники с большим трудом признают свои ошибки Можно сказать что они видят то что хотят видеть не любят менять свои решения часто бывают категоричны не признают возражений

bull К счастью (для них и окружающих) Треугольники быстро и успешно учатся (впитывают полезную информацию как губка) Правда только тому что соответствует их прагматической ориентации способствует (с их точки зрения) достижению главной цели Треугольники честолюбивы

bull Если делом чести для Квадрата является достижение высшего качества выполняемой работы то Треугольник стремится достичь высокого положения приобрести высокий статус иначе говоря - сделать карьеру

bull Из Треугольников получаются отличные менеджеры Главное отрицательное качество треугольной личности сильный эгоцентризм направленность на себя На пути к вершинам власти они не проявляют особой щепетильности в отношении моральных норм Треугольники заставляют все и всех вращаться вокруг себя

ПРЯМОУГОЛЬНИКИbull Эта фигура символизирует состояние перехода и изменения Это временная форма личности

которую могут носить остальные четыре сравнительно устойчивые фигуры в определенные периоды жизни Это - люди не удовлетворенные тем образом жизни который они ведут сейчас и поэтому занятые поисками лучшего положения

bull Причины прямоугольного состояния могут быть самыми различными но объединяет их одно - значимость изменений для определенного человека Основным психическим состоянием Прямоугольника является более или менее осознаваемое состояние замешательства запутанность в проблемах и неопределенности в отношении себя на данный момент времени

bull Наиболее характерные черты Прямоугольников - непоследовательность и непредсказуемость поступков в течение переходного периода Они имеют как правило низкую самооценку Стремятся стать лучше в чем-то ищут новые методы работы стили жизни

bull Быстрые крутые и непредсказуемые изменения в поведении Прямоугольника обычно смущают и настораживают других людей и они сознательно могут уклоняться от контактов с человеком без стержня Прямоугольникам же общение с другими людьми просто необходимо и в этом заключается еще одна сложность переходного периода

bull Однако у Прямоугольника обнаруживаются и позитивные качества привлекающие к нему окружающих любознательность пытливость живой интерес ко всему происходящему и смелость В данный период они открыты для новых идей ценностей способов мышления и жизни легко усваивают все новое Правда оборотной стороной этого является чрезмерная доверчивость внушаемость Поэтому Прямоугольниками легко манипулировать

bull Прямоугольность - всего лишь стадия Она пройдет

КРУГИbull Круг - это мифологический символ гармонии Тот кто уверенно выбирает его искренне заинтересован

прежде всего в хороших межличностных отношениях Высшая ценность для Круга - люди bull Круг - самая доброжелательная из пяти форм Он чаще всего служит тем клеем который скрепляет и

рабочий коллектив и семью т е стабилизирует группу Круги - лучшие коммуникаторы прежде всего потому что они лучшие слушатели Они обладают высокой чувствительностью развитой эмпатией - способностью сопереживать

bull Круги великолепно читают людей и в одну минуту способны распознать притворщика обманщика Круги болеют за свой коллектив и популярны среди коллег по работе Однако они как правило слабые менеджеры и руководители в сфере бизнеса Во-первых Круги направлены скорее на людей чем на дело Пытаясь сохранить мир они иногда избегают занимать твердую позицию и принимать непопулярные решения

bull Для Круга нет ничего более тяжкого чем вступать в межличностный конфликт Они любой ценой стремятся его избежать Иногда - в ущерб делу Во-вторых Круги вообще не отличаются решительностью часто не могут подать себя должным образом Треугольники как правило легко берут над ними верх Однако Круги не слишком беспокоятся в чьих руках находится власть

bull В одном Круги проявляют завидную твердость - если дело касается вопросов морали или нарушения справедливости

bull Круг - нелинейная форма и те кто уверенно идентифицирует себя с Кругом скорее относятся к правополушарным мыслителям Правополушарное мышление - более образное интуитивное эмоционально окрашенное скорее интегративное чем анализирующее Поэтому переработка информации у Кругов осуществляется не в последовательном формате а скорее мозаично прорывами с пропусками отдельных звеньев Это не означает что Круги не в ладах с логикой Просто формализм у них не получают приоритета в решении жизненных проблем

bull Главные черты в их мышлении - ориентация на субъективные факторы проблемы (ценности оценки чувства и т д) и стремление найти общее даже в противоположных точках зрения Можно сказать что Круг - прирожденный психолог Однако часто он слабый организатор - ему не хватает левополушарных навыков своих линейных братьев - Треугольника и Квадрата

ЗИГЗАГИ

bull Эта фигура символизирует креативность творчество хотя бы потому что она самая уникальная из пяти фигур и единственная разомкнутая фигура Если вы твердо выбрали Зигзаг в качестве основной формы то вы скорее всего истинный правополушарный мыслитель инакомыслящий

bull Вам как и вашему ближайшему родственнику - Кругу только еще в большей степени свойственна образность интуитивность интегративность мозаичность

bull Строгая последовательная дедукция - это не ваш стиль Мысль Зигзага делает отчаянные прыжки от а к я поэтому многим левополушарным трудно понять Зигзагов

bull Правополушарное мышление не фиксируется на деталях поэтому оно упрощая в чем-то картину мира позволяет строить целостные гармоничные концепции и образы видеть красоту Зигзаги обычно имеют развитое эстетическое чувство

bull Доминирующим стилем мышления Зигзага чаще всего является синтетический стиль В отличие от Кругов Зигзаги вовсе не заинтересованы в консенсусе и добиваются синтеза не путем уступок а наоборот - заострением конфликта идей и построением новой концепции в которой этот конфликт получает свое разрешение снимается Причем используя свое природное остроумие они могут быть весьма язвительными открывая глаза другим

bull Зигзаги просто не могут трудиться в хорошо структурированных ситуациях Их раздражают четкие вертикальные и горизонтальные связи строго фиксированные обязанности и постоянные способы работы В работе им требуется независимость от других и высокий уровень стимуляции на рабочем месте Тогда Зигзаг оживает и начинает выполнять свое основное назначение - генерировать новые идеи и методы работы

bull Зигзаги - идеалисты отсюда берут начало такие их черты как непрактичность наивность bull Зигзаг - самый возбудимый из пяти фигур Они несдержанны очень экспрессивны что наряду

с их эксцентричностью часто мешает им проводить свои идеи в жизнь К тому же они несильны в проработке конкретных деталей и не слишком настойчивы в доведении дела до конца (так как с утратой новизны теряется и интерес к идее)

Выводы

bull Квадрат ndash настолько неисчерпаемая фигура применяемая во многих сферах что по каждому разделу моей работы можно получить полезную и интересную информацию которую можно исследовать бесконечно

bull Квадрат - это неисчерпаемая фигура имеющая свойства интересные для каждого кто стремится расширить рамки своих геометрических представлений

bull Было установлено что упражнения в разрезании квадрата и конструировании фигур из полученных частей являются полезной геометрической забавой имеют практический смысл они могут помочь будущим и настоящим новаторам производства в рациональном раскрое материалов в использовании обрезков кожи ткани дерева и т п для превращения их в полезные вещи

bull При помощи перегибания квадратного листа бумаги можно выполнять различные построения не имея под рукой никаких инструментов ndash ни линейки ни циркуля ни даже карандаша

bull Существуют занимательные игры в которых используется квадрат

bull Великий квадрат не имеет границ Дао Дэ Цзин


Список использованной литературы

bull bull bull 1) БА Кордемский НВ Русалев laquoУдивительный квадратraquo Москва-

Ленинград 1952 гbull 2) ВФ Каган laquoО преобразовании многогранниковraquo Гостехиздат 1933 гbull 3) Г Штейнгауз laquoМатематический калейдоскопraquo Гостехиздат 1949 гbull 4) ЕИ Игнатьев laquo В царстве смекалкиraquo Москва laquoНаукаraquo 1981 гbull 5) ЗА Михайлова laquoИгровые занимательные задачи для дошкольниковraquo

Москва laquoПросвещениеraquo 1990 гbull 6) И Леман laquoУвлекательная математикаraquo Москва laquoНаукаraquo 1978 гbull 7) ИН Сергеев laquoПримени математикуraquo Москва laquoНаукаraquo 1989 гbull 8) laquoКвантraquo 1989 5 ndash С 40bull 9) Р Хонсбергер laquoМатематические изюминкиraquo Москва laquoНаукаraquo 1992 гbull 10) ЯИ Перельман laquoЖивая математикаraquo Москва laquoНаукаraquo 1977 гbull 11) ЯИ Перельман laquoЗанимательная геометрияraquo Москва laquoАСТraquo 2003 г


Содержаниеbull Историческая справкаbull Определение свойства квадратаbull Признаки квадратаbull Применение квадрата при доказательстве теорем bull Свойство о периметре и площади квадрата bull Решение геометрических задач с использованием квадрата bull Магические квадратыbull Танграмbull Разрезание квадратаbull Пентаминоbull Тетраминоbull Построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги bull Оригамиbull Головоломка ndash парадоксbull Правило квадрата в шахматахbull Многообразие квадратов граф золотые пропорции человека bull laquoчерный квадратraquo квадрат среди нас bull Квадрат может означатьhellipbull laquoСвященный квадратraquobull Сказка стихотворение о квадратеbull Геометрический тестbull Выводыbull Литература

laquoКвадратraquo может означать одно из следующих понятий

bull В математике bull Квадрат (геометрия) mdash правильный четырёхугольникbull Квадрат (алгебра) mdash результат умножения числа на само себяbull Квадрат (число) mdash целое число квадратный корень которого тоже является

целымbull Магический квадрат mdash квадратная таблица заполненная числами так что

сумма чисел в каждой строке каждом столбце и на обеих диагоналях одинаковаbull В других областях bull Квадрат mdash конструкция шлицевого зажима для ручного слесарного

инструментаbull Квадрат (игра) mdash дворовая игра c мячомbull laquoЧёрный квадратraquo mdash картина Казимира Малевичаbull Квадрат (музыка) mdash единица музыкального метра равная 4 8 16 32 тактамbull Квадрат (астрология) mdash астрологический аспект 90degbull Конь Квадрат mdash знаменитый орловский рысакbull Интернет-журнал Квадрат mdash детский интернет-журнал laquoКвадратraquo













bull









2a22a













S=a2

a

a a

a

a

bb

bb

bb

bb

bbS

S

S=b2

A D

BC



3) SКВ =S + S + a2 + b2

S = ab4) (a+b)2 = S + S + a2 + b2

а2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2

2S = 2ab



























Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы

























bull









2a22a













S=a2

a

a a

a

a

bb

bb

bb

bb

bbS

S

S=b2

A D

BC



3) SКВ =S + S + a2 + b2

S = ab4) (a+b)2 = S + S + a2 + b2

а2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2

2S = 2ab



























Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы





















bull









2a22a













S=a2

a

a a

a

a

bb

bb

bb

bb

bbS

S

S=b2

A D

BC



3) SКВ =S + S + a2 + b2

S = ab4) (a+b)2 = S + S + a2 + b2

а2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2

2S = 2ab



























Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы





















2a22a













S=a2

a

a a

a

a

bb

bb

bb

bb

bbS

S

S=b2

A D

BC



3) SКВ =S + S + a2 + b2

S = ab4) (a+b)2 = S + S + a2 + b2

а2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2

2S = 2ab



























Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы

























S=a2

a

a a

a

a

bb

bb

bb

bb

bbS

S

S=b2

A D

BC



3) SКВ =S + S + a2 + b2

S = ab4) (a+b)2 = S + S + a2 + b2

а2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2

2S = 2ab



























Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы






















S=a2

a

a a

a

a

bb

bb

bb

bb

bbS

S

S=b2

A D

BC



3) SКВ =S + S + a2 + b2

S = ab4) (a+b)2 = S + S + a2 + b2

а2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2

2S = 2ab



























Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы















S=a2

a

a a

a

a

bb

bb

bb

bb

bbS

S

S=b2

A D

BC



3) SКВ =S + S + a2 + b2

S = ab4) (a+b)2 = S + S + a2 + b2

а2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2

2S = 2ab



























Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы






































Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы




































Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы






























Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы
























Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы


















Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы
















Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы














Что больше





























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы






































Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы

































Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы



























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы























Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы




















Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы

















Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы














Танграм







bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы
















bull























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы


































bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы
































bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы






























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы




























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы























bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы


















bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы
















bull




bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы
















bull Решение










Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы






















Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы



















Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы














Пентамино







Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы














Тетрамино





























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы







































































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы



































































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы































































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы




























































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы






















































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы
















































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы














































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы







































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы



































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы
































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы































КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы



























КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы

























КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы














КВАДРАТ

























































ЗИГЗАГИ









Выводы






























































ЗИГЗАГИ









Выводы



















































ЗИГЗАГИ









Выводы











































ЗИГЗАГИ









Выводы





































ЗИГЗАГИ









Выводы





























ЗИГЗАГИ









Выводы






















ЗИГЗАГИ









Выводы














ЗИГЗАГИ









Выводы














Выводы





















Documents

Великий квадрат не имеет границ