第一节 向量组的线性关系、极大无关组教师 : 王卫群

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一、向量线性性的性质定理　向量组 （当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示．

m ,,, 21 2mm ,,, 21

1m

证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示 .

maaa ,,, 21 ma

112211 mmma

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故 01112211 mmm a

因 这 个数不全为 0 ， 1,,,, 121 m m

故 线性相关 .m ,,, 21

必要性 设 线性相关，m ,,, 21

则有不全为 0 的数　　　　　　使 ,,,, 21 mkkk

.02211 mmkkk

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因 中至少有一个不为 0 ，mkkk ,,, 21

不妨设　　　则有,01 k

.1

31

32

1

21 m

m

kk

kk

kk

即 能由其余向量线性表示 .1

证毕 .

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m21 a,,a,a :Aba,,a,a m21 ,: B b

定理 线性无关，而向量组线性相关，那么向 量一定能由向量组线性表示，而且表示式是唯一的．

设向量组

121 ,,,, mm kkkk

0baaa 12211 mmm kkkk

0aaa mmkkk 2211

maa ,,1 maa ,,1

证: 线性相关，存在一组

，使得 如果 ，那么向量等式变成

不全为零，就得到 线性相关 ,与

不全为零的数由于向量组 B

01 mkmkkk ,,, 21 且

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01 mk

mm

m

mm kk

kk

kk

aaab

12

1

21

1

1

b A

b A

mmlll aaab 2211 mmhhh aaab 2211

0aaa mmm hlhlhl )()()( 222111

maa ,,1 0 ii hl

),2,1( mihl ii b

A

线性无关矛盾． 从而

即 能由向量组 线性表示． 有两个关于向量组 的线性组合表示式：

及两式相减并整理可得

但 是线性无关的，故得从而 ．所以向量 关于向量组的线性组合表示式是唯一的．

设向量

所以

证毕

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. ,,. ,,,:

,,,, (1)

11

21

也线性无关向量组则线性无关量组若向反言之也线性相关向量组则线性相关：向量组若

ABB

A

mm

m

定理

1mk

证：因为 线性相关A则有不全为 0 的数　　　　　　使 ,,,, 21 mkkk

.02211 mmkkk

取 1 0mk

则有不全为 0 的数　　　　　　 使 ,,,, 21 mkkk

1 1 2 2 1 1 0.m m m mk k k k 成立，证毕

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(2) :.

..

上述结论可推广为 一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关特别地，含有零向量的向量组必线性相关反之，若一个向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关

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定理：设

),,,2,1(,,

,1

2

1

2

1

mj

aa

aa

b

a

aa

jr

rj

j

j

j

rj

j

j

j

.,.

,,,,,

,,.

21

21

性相关也线则向量组线性相关反言之，若向量组关

也线性无：则向量组线性无关

：若向量组添上一个分量后得向量即

ABbbbB

Ab

mm

jj

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证：因为 线性相关B则有不全为 0 的数　　　　　　使 ,,,, 21 mkkk

1 1 2 2 0.m mk b k b k b

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 2 21

11 1 12 2 1

0

0

0

0

m m

m m

r rm mr

r r r m m

a k a k a ka k a k a k

a k a k a ka k a k a k

即

A

前 r 个方程说明 的所有分量为 01 1 2 2 m mk k k

.02211 mmkkk 即所以 线性相关，矛盾，所以 线性无关B

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.

.,,,:,,,:

2121

这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称

线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若

及设有两个向量组

BA

ABBA sm

向量组 能由向量组 线性表示向量组等价．

B A

定义

定理 若向量组 可以由 线性表示，且 则向量组线性相关。1 2, , , s 1 2, , , t s t 1 2, , , s

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上述定理的意思：含有向量个数较多的向量组若能由含有向量个数较少的向量组线性表示，则含有向量个数较多的向量组一定线性相关。引申的意义是：如果方程组含有方程的个数多于未知量的个数，则至少有一个方程可以由其余方程导出，即方程组必含多于方程。推 1 ：若向量组 线性无关，且可以由 线性表示，则 。

1 2, , , s 1 2, , , t s t

推 2 ：两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。推 3 ：任意 个 维向量线性相关。1n n

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二、极大线性无关组，满足

个向量中能选出，如果在设有向量组

r

rAA ,,,

21

定义１线性无关；）向量组（ rA ,,,:1 210

;

0

）是那末称向量组A关，个向量的话）都线性相

中有个向量（如果中任意）向量组（1

12

r

ArA

（简称最大的一个向量组A 最大线性无关向量组无关组即：向量组中的其他任一个向量都可以由这 r 个向量线性表示。

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;1）最大无关组不唯一（

说明

.2 关组是等价的）向量组与它的最大无（

只含零向量的向量组没有最大无关组.（ 3 ）（ 4 ）如果向量组本身线性无关，则它是自身的极大线性无关组。

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1 ，举例说明（ 1 ），给定向量组1 (3, 1,0) 2 (1,0, 2) 3 (2, 1, 2)

可以验证 是它的极大无关组 也是极大无关组1 2, 1 3,

2 ，证明（ 2 ）设 B: 是 A: 的极大无关组。 显然 B 中任何一个向量都可由组 A 线性表示（把该向量系数取为 1 ，其余系数取为 0 ） A 中任何一个向量也可由向量组 B 线性表示（由极大无关组的定义明显可知）

1 2, , ,j j jr 1 2, , , s

记为： A B

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定理：一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。1 2, , ,j j jr 证明：设 与 都是 的极大无关组。 所以1 2, , , s

1 2, , ,i i it

1 2, , , s 1 2, , ,j j jr 1 2, , ,i i it 1 2, , ,j j jr 1 2, , ,i i it

由上节推论可知它们含有相同个数的向量。虽然一个向量组可能有多个极大无关组，但它们所含向量的个数是一个常数。

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定义： 向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩 , 记作1 2( , , , )sr

. rsBA 和的秩依次为与向量组设向量组证

. 等价的向量组的秩相等定理

示，表两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即

即，两个向量组的极大无关组等价，又因为两个极大无关组，都是线性无关的向量组，所以它们所含向量的个数相同，所以两个向量组的秩相同。

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2 ．最大线性无关向量组的概念：　　最大性、线性无关性．1 ．向量线性性的一些性质。

３ . 关于向量组秩的一些结论。　　

小结

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