第五章 孤立波一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直向前推进。

第五章 孤立波第一节 历史回顾第二节 KdV 方程第三节 正弦—高登方程第四节 非线性薛定谔方程与 光学孤立子

1. 一个奇特的水波2. 孤立波与孤立子

第一节 历史回顾

1. 一个奇特的水波一个奇特的水波 约 170 年前，苏格兰海军工程师罗素 (J.Scott Russell) 在一次偶然中观察到一种奇特的水波。 1844 年，他的报告：“我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。当船突然停止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度向前推进。 一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直向前推进在行进过程中其形状与速度没有明显变化。 我骑马跟踪注视，发现它保持着起始时约 30 英尺长， 1-1.5 英尺高的浪头，约以每小时 8-9 英里的速度前进后来，在运河的拐弯处消失了”。 罗素称之为 孤立波 - Solitary wave 。

罗素的发现

1. 一个奇特的水波

水槽中的实验罗素在一长水槽的一端，用一重锤垂落入水中，反复的观察重锤激起的水浪的运动。

实验结论水波移动速度 v 、水的深度 d 及水波幅度 A 的关系为：

B 为比例常数 实验结果说明水波的运动速度与波幅高度有关，波幅高的速度较快，且波幅的宽度对高度之比也相对较窄。

罗素的发现

)(2 AdBv

1. 一个奇特的水波 KdV 方程 半个世纪后， 1895 年，两位荷兰科学家科特维格 (Kortweg) 与德弗雷斯 (de Vries) 认为：罗素观察到的孤立波是波动过程中 非线性效应与色散现象互相平衡 的结果。他们建立了 KdV 方程： 解

sech(x) 为双曲正割函数 , 具有钟形形状。FPU 问题 又过半个多世纪， 1955 年 ，美国阿尔莫斯国家实验室，著名物理学家费米 (E.Fermi) 、帕斯塔 (J.Pasta) 和乌莱姆 (Ulam) 设计了一个数值计算实验：“非线性弹簧联结的 64 个质点组成弦的振动”，发现初始对少数质点激发，长时间后能量几乎全部回到了初始集中在少数质点上的状态。

漫长的发展史

03

3

xu

xuu

tu

)(sech3)t,( 2 vtxvvvxu

1. 一个奇特的水波

1965 年 两位美国数学家，采布斯基 (Zabusky) 与克鲁思卡尔 (Kruskal) ，用计算机计算发现， FPU 问题与 KdV 方程的解直接有关。此后，人们发现，在许多物理体系中都存在 KdV 方程，说明孤立波是一种普遍存在的物理现象。 KdV 方程成为数学物理的一个基本方程孤立波方程 在理论上和实验上已对孤立波巳作了大量的研究。此后发现，除 KdV 方程外还有其它微分方程具有孤立波解。 在数学上通常认为下列非线性方程的解的性质具有孤立波特性。 (1)KdV 方程 (2) 正弦—高登 (Sine-Gordon) 方程 (3)户田 (M.Toda) 非线性晶格方程 (4) 非线性薛定谔方程 (NLSE)

漫长的发展史

在形态上孤立波是存在于自然界里的相干结构 (coherent structure ，或称拟序结构 ) 。从美丽的木星上的巨型红斑到固体中的电荷密度波都属于这样的有序结构。 从运动形式上相干结构与混沌运动既是相互对立的。混沌运动是非线性中奇妙的无序状态，相干结构反映了非线性系统中的惊人有序性。

孤立波

在尺度上：大到天文范围 (木星上巨型红斑 达 4×108

米，约地球与月亮之间的距离；泰国安达曼海面出现的孤立波约 150公里宽；水面上孤立水波的尺寸在 1 米量级 ) ，小到纳米 (二硫化钽晶体中的电菏密度孤立波 ) 。

2. 孤立波与孤立子

2. 孤立波与孤立子孤立子

计算发现，两个在空间传播的孤立波具有碰撞特性，说明： (1) 孤立波非常的稳定； (2) 象一个物质粒子。人们将具有碰撞特性孤立波称为“孤立子 - soliton” ，简称“孤子”。孤立子是由非线性场所激发的、能量不弥散的、形态上稳定的准粒子。

2. 孤立波与孤立子孤立子定义①向单方向传播的行波；②分布在空间的一个小区域中；③波动形状不随时间演变而发生变化；④孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。孤立子 具有一切粒子所具有的特性，如能量、动量、质量、电荷、自旋等等，也遵循一般的自然规律，如能量、动量、质量守恒定律。它又有波动性，存在于一切可以出现波动的介质里。孤立波子哪里？孤立波除存在于浅水层外，还可在水层深处。固体介质、电磁场、等离子体、生物体、以及微观粒子的波动性中都可能有孤立波存在。它是一种行波，既可以速度 v 在空间传播，又可以处于静止状态。

2. 孤立波与孤立子孤立波类型

( i ) 波包型(ii)凹陷型(iii)扭结型(iv) 反扭结型 ( i ) 、 (ii) 两种是在 时，

(iii) 、 (iv) 两种是在 时 , u(x)趋近于不同的数值

x0)( xu

x

1. 波动中的非线性会聚效应2. 波动中的色散3. KdV 方程4. KdV 方程的孤立波解

第二节 KdV 方程

1. 波动的会聚效应浪花的形成

微风吹拂，水面只掀起层层碎浪；劲风吹来，浪尖则卷起浪花。 同样的情况可以出现在海滩边。远处传来的海浪越近海岸，浪头越高，终于在离海岸不远处卷起了浪花。这是因为海滩对水浪运动产生某种阻滞力，浪的较低部分受到阻滞力大，较高部分阻滞力小。因此当水浪高处前进速度大，低处前进速度小，水浪会在前进中越来越前倾，在某一时刻波前出现坍塌，卷起了浪花。当水浪的不同部分有不同行进速度时，会出现会聚效应，形成浪花。

1. 波动的会聚效应浪花的形成

数学表述设介质中 x 处的粒子密度 n(x,t) ， 由粒子守恒 dx/dt = v

如果速度 v = v0 是常数，方程具有行波解： n = (x - v0 t)

介质的移动速度 v0 即波速。在初始时刻介质中出现的扰动 n(x,0)= F(x) ，波动将在传播中保持不变。波动将以速度 v0无畸变地沿 x 方向前进。 如果波动的速度 v 与介质的密度 n 有关，设： n(x,t)=F [x - v(n) t]当 出现波包前沿变陡，形成波包会聚。

0dtdn

0t

ddx

xn

tn

0

xnv

tn

0dndv

2. 波动中的色散平面波的相速一个频率 为沿 x 方向传播的平面波为：

)](exp[),( tkxiAtxu

kdtdxv

0d

等相位面运动速度代表一列平面波的传播速度—相速 等相位面 =x- t= const

0=t=tx

= dkdxdtdxd

2. 波动中的色散色散波 一个波动可以看成许多平面波（谐波） 1 、 2 、 3… 的合成：

如果所有谐波都以同一的速度行进， =...=常数，是非色散波；如果每个谐波都有不同的行进速度， ≠常数，是色散波。 色散波将在传播中因弥散而消失。

kv

v

g

2. 波动中的色散色散关系

设一波动方程： 得关系将解代入： 得色散关系 由色散关系可求得波的群速

022

2202

2

umxuv

tu

0222

02 mkv

2220=)( mkvk

2220

20

gmkv

kvk

v

)](exp[),( tkxiAtxu

线性波动方程与色散关系间存在着对应关系。

于是便可以在波动方程与色散关系之间建立直接的对应。根据对应关系，可以由色散关系直接构造出波动方程来。

ikx

it

,

3. KdV 方程KdV 方程的推导

对于不可压缩介质，粒子数密度 n 应用粒子速度 v 来替代，即有

在重力作用下水波的色散关系： (g- 重力加速度， h 水深 ) (k) = g k tank (k h) 级数展开近似式 利用

考虑导致波形坍塌的非线性效应得 KdV 方程

0xvv

tv

3) (k k k

ghghh ,61 2

3

3

xv

xv

tv

0)( 3

3

xv

xvv

tv

0xnv

tn

ikx

it

,

KdV 方程的孤立波解 设方程的解为方程变为整理后

其解是罗素观察到的水面上奇特水波

3. KdV 方程)()( 0 utvxuu

0)( 3

3

xu

xuv

tu

02

2

0

uuvuuu

0)( 3

3

uuu

0v

)(

4sech3)( 0

2 u

3. KdV 方程KdV 方程与同宿线

将 KdV 方程二次积分：

雅可比矩阵 本征方程0)V('

21 2 uu

两个一阶方程

)( V

uvvu

0 )(V"- 1 0

uM )("V2 u

对于 V(u) 的极小点， V”(u) >0 ， 2 的实部为零的共轭复根是中心点，围绕中心点的相轨线是椭圆； 对于 V(u) 的极大点， V”(u) <0 ， 2 为符号不同的实根，因而是鞍点。方程有一个鞍点，沿着一条流形出发，绕了一圈之后又回到了鞍点，流形为同宿线

KdV 方程的孤立波解 -1

设方程的解为 方程变为 整理后

积分一次 二次积分

整理后有 其中

)()( 0 utvxuu

0)( 3

3

xu

xuv

tu

02

2

0

uuvuuu

0)( 3

3

uuu 0v

Cconst21 2

2

2

vuu

H constC21

61

21 232 uuuu

0)V(' 21 2 uu )6C63(

61)(V 23 H uuuu

KdV 方程的孤立波解 -2

讨论： 函数 是三次曲线，三个零点 b1, b2, b3 。根据三次代数方程的解与系数的关系，设 改写为写成积分 V(u) 在区间 [b1, b2 ]内为负； [b2, b3] 为正；其余区间为无界 对于 [b2, b3] ，引入代换 上面积分变为

)6C63(61)(V 23 H uuuu

))()(()(V6 321 bububuu

3321 bbb

0

u

b321

3 ))()((d

121

bububu

u

2323 sin)( bbbu

0 22

313

sin1

d12)( ubb 31

322

bbbb

椭圆函数模数

KdV 方程的孤立波解 -3

设

积分

这是 KdV 方程的椭圆余弦波解， u(x) 是一列周期为 L 的行波。 cn( x ) 波周期为

u(x) 的周期 L 为

它不具局域性质，不是孤立波 。

2322

2323 cos)(sin)( bbbbbbu

0 22

313

sin1

d12)( ubb

),(

12)(cn)()( 0

312322

bbbbbu

d 2/

0

22 sin14)(K4

31

12)(2K=bb

L

KdV 方程的孤立波解 -4

孤立波解1. 当模数 ，即 ，椭圆余弦函数

这是振幅十分小的余弦波解

2. 当模数 ，即 ，椭圆余弦函数 双曲正割函数

当 V(u) 中 ， 得：

这是罗素观察到的水面上奇特水波

02 23 bb xx coscn

)(

12)(cos)()( 0

312322

bbbbbu

)(

12)(cos21

21)( 0

31322

bbbbb

)(3

)(cos22 0

313232

bbbbbb

12 21 bb xx hseccn

)(

12)(sech)()( 0

312311

bbbbbu

0C H 021 bb 33 b

)(

4sech3)( 0

2 u

1. 一维原子链与正弦—高登 (sine-Gordon) 方程 2. 正弦－高登方程孤立波解

第三节 正弦—高登方程

1. 一维原子链与 sine-Gordon 方程一维原子链模型：一串周期地束缚在非线性弹簧上的原子。原子链的哈密顿为：

设势函数 ，第 k 个原子的运动方程为：

S -G 方程

k

kk

1-kkk1+kk

2k )V()]()([

21

21= yyyyyym

H

2)(

)( V)()(= k1-kkk1+kk

k yyyyyy

y H

(V(y) 为外场势能 )

1. 一维原子链与 sine-Gordon 方程

通过

将分离变量运动方程过渡到连续变量

一般情况 S -G 方程

S -G 方程

)( V)()(= k1-kkk1+kk

k yyyyyy

y H

xyyy

kxyy

kk

k

)(

),(

1-

)( V'2

2

2

2

yx

yty

0sin2

2

2

2

yx

yty

0sin22

2202

2

umxuv

tu

V=cosy 时

2. sine-Gordon 方程孤立波解 方程 的解取形式 则得常微分方程

利用特殊函数积分公式

两种特殊情况 (1) ， snx~sinx

(2) ， snx~thx

0sin22

2202

2

umxuv

tu

S -G 方程解)()t( uvxuu

0sin22

2

uu

20

2sn

2sin

vvmu

0

1

)sin(2

sin u

)th(2

sin u

020

2

22

vvm

22/ mC 为椭圆函数的模数

2. sine-Gordon 方程孤立波解由双曲函数公式

经推导得 最后得解

称 正、反 扭曲解

S -G 方程解

eeeeu

)th(2

sin

)44

tg(

4tg-1

4tg1

)2

sin1(

)2

sin1(

u

u

u

u

u

e )(tg4 1 eu

2. sine-Gordon 方程孤立波解 解的性质：(1) 扭折解 当 时， ; 当 时， (2) 反扭折解 当 时， ; 当 时，Sine—Gordon 方程解可以解释的物理现象： 晶格位错的传播、 磁体中畴壁的运动 电荷密度波、 基本粒于模型、 超导约瑟夫逊结的列阵构成的传输线 等。

S -G 方程解

)(tg4 1 eu

u

u

)(tg4 1 eu

uu

S-G 方方方方方方方方方 方方方方方方方方方

方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方

方方方方方方方方方

方方方方方

方方方方方方方方方方方方方方 方方方方方方方方方方方方方方

S -G 方程与异宿线

uv

vu

sin2

0 )sin(2

sin u

1 )th(2

sin u

1. 光纤中的光脉冲压缩效应 2. 非线性薛定谔方程（ NLS

E ） 及孤立波解3. 光学孤立子的传播特性4. 孤立子激光器5. 全光型孤立子通信

第四节 非线性薛定谔方程与光学孤立子

1. 光纤中的光脉冲压缩效应 与 KdV 方程孤立子类似，由非线性薛定谔方程 (NLSE)描述的光学孤立子是光纤的色散效应与非线性压缩效应平衡的结果。 光纤是二氧化硅为主要成分的细丝，直经在数微米至数十微米，外面为包层和涂敷层。设线芯、包层和涂敷层的折射率分别为 n1 、 n2 、 n0 。 n1＞ n2 ，所以包层界面有临界全反射角。如果满足全反射条件，光线将在光纤和包层的界面上，产生全反射而向前传播。

光纤导光原理

1. 光纤中的光脉冲压缩效应 入射进光纤光束为强激光，常看成准单色光。在强光作用下，光纤出现非线性极化。极化矢量 P 与场强 E 的关系： (1) ， (2) ， (3) ，分别为线性的与二次、三次极化率，通常 由电感应矢量 D 与极化矢量 P 。忽略高次非线性效应： ，介质折射率为 由于 n1 光在光纤中产生相移 相移量与光强有关，因而导致不同部位的光脉冲有不同相移，称自相位调制(SPM) ， SPM 相移引起频率移动

光纤的非线性效应

+ + + =) 3( ) 2( ) 1(EEE EE E P

0)2(

ED )+(= 10

210

2

0

)3(

010 EE211 nnn

)(2)( 1 tLInt

tILn

t

10

2

n1 为非线性折射率

L 为光纤长度

1. 光纤中的光脉冲压缩效应 设光脉冲是准单色光： 0 为中心频率 对脉冲前沿， ， ； 对脉冲后沿， ， 。因此脉冲前、后沿频率变化是不同的，称为“啁啾”。假设介质有负色散特性， ，即群速随频率升高而增加。脉冲前沿 ，前沿速度比脉冲中部( )慢脉冲后沿 ，后沿速度比脉冲中部快。前沿变慢后沿加快的结果造成脉宽变窄称自相位调制压缩

光脉冲的啁啾效应)exp(),(*),(* 00 txiktxEtxE

dtxkkiAtxE ])()(exp[)(),(* 00

0/ tI 0 0/ tI 0

0/ gv

0

00

2. 非线性薛定谔方程 (NLSE)

将准单色光传播常数 k 按中心频率 0 处展开

略去高次项

考虑与场强相关的非线性项：

波动方程与色散关系有对应关系：得方程：

NLSE 方程导出 2

02

2

00 )(21)(+)(

kkkk

2000 )("

21)(')( kkkk

22000 )("

21)(+)( Ekk'kk

)(),( 00 kkix

it

0+)( 22

2

g EEEE

xxv

tiNLSE 方程

ikx

it

,

cn /1

dkdvg

21

g

1'0

vkk

2

2

"

kk

变换到以群速 vg 的运动坐标系，并用 表示光场： NLSE 方程变为： 设解为：

NLSE 的解是受孤立波脉冲 u(ξ)调制的，即包络为孤立波的光脉冲波。

NLSE 的孤立波解

022

2

xti

t)xi(kt)xi(k0 )()t( euevxu

02 3202

2

uukuvkiu

2. 非线性薛定谔方程 (NLSE)

hsec2

)( u

光学孤立子3. 光学孤立子的传播特性

设在 =0 (x=0) 处对光纤输入一个双曲正割型脉冲波系数 A 可为任意值，当为整数 N 时为稳定孤立子， N＝ 1 为基本孤立子。 当输入光脉冲幅度超过基本孤立子幅度时，在传输中非线性压缩超过色散，光脉冲会进一步压缩，形成 N≥2 时为的高阶孤立子。高阶孤立子在传播中波形发生周期变化。 对于 N＝ 2 的二阶孤立子解

二阶孤立子以 ξ＝ π/2 周期发生周期性波形变化。在半周期 ξ＝ π/4 处，在孤立子主峰的两侧，各出现有一个小峰。 N＝ 3 的三阶孤立子在传播中变化更复杂。它在 1/4 与 3/8 周期处，两侧各有一个小峰的高大尖峰，在半周期处那个高大尖峰又分裂为两个峰。

)(hsec),0( Au

4cos32ch44chch)43ch(4),(

2/2/

ii eeu

3. 光学孤立子的传播特性光学孤立子

4. 孤立子激光器第一个孤立子激光器目前光学孤立子产生有用两种方法： (1) 将锁模激光器产生的超短激光脉冲输入光纤，在光纤中产生受激拉曼散射形成光学孤立子。 (2) 光纤直接接入激光器反馈回路，是激光器一部分，称孤立子激光器。 实验上贝尔电话实验室的 Mollenaure 等人首先观察到光纤中的孤立子。所用的试验装置包括光脉冲放大与压缩两部分，使用两个光学谐振腔：色心激光器谐振腔与光纤脉冲压缩谐振腔。两个腔耦合成复合的激光谐振腔。

光学通信5. 全光型孤立子通信

线性通信 利用光纤进行通信，通信容量大大增加，费用大幅度下降，是通信事业大发展的技术基础之一。 目前光纤通信技术采用低强度光脉冲的线性通信。在光纤中传布不可避免地产生色散，造成光脉冲的加宽与变形，大大影响到光信息传送质量与距离。长距离高质量传送信息，需要设置许多中继站，每隔 100km 设置一个。光学孤立波通信 1973 年， Hasegawa 和 Tappert 两人，利用非线性薛锷方程首次导出在光纤的反常色散区能够形成光学孤立子，建立了光学孤立波通信理论基础。由于传播中保持稳定不变的能量与波形，孤立子通信具有诱人的美妙前景。 孤立子在传播中不可能没有一点能量损失。如在传输中得到能量充称全光型孤立子光纤通信。 1982 年， Y.Kodama等人提出拉曼泵浦技术来实现孤立子能量补充。

掺铒光纤孤立子通信5. 全光型孤立子通信

拉曼泵浦技术：两列不同频率的光波在光纤中共同传输，当能量足够大时，频率高的光波会将其部分的能量转移给低额的光波。 波长 980mm 的半导体激光为泵浦光，通过波分复合器与波长为 1550mm的信号光一起进入掺铒光纤。两路光脉冲在掺铒光纤中同方向传播。泵浦光为强光脉冲，在传播中对铒离子产生一路激发，信号光在受到激发的光纤中传播，强度逐步增强，完成对信号光能量的补充。 利用拉曼泵浦技术，现已成功进行了数万 km 长距离试验。

变换到以群速 vg 的运动坐标系，并用 表示光场： NLSE 方程变为： 设解为：

或 选择参数 k ，使 u’ 系数为零

乘以 u’ ，并积分 H-积分常数 ，表体系哈密顿量

NLSE 的孤立波解

022

2

xti

t)xi(kt)xi(k0 )()t( euevxu

02 3202

2

uukuvkiu

0)( )2(" 22 uuukruvkiu

0" 3 uuu

4/20

2 k

H 422

42

21 uuu

两边平方根 对方方

利用椭园积分

即有

NLSE 的解是受孤立波脉冲 u(ξ)调制的，即包络为孤立波的光脉冲波。

H 422

42

21 uuu

22422 )2(

22 uuuuu

H ＝ 0

)2(2

2uuu

duu

du

22 2

22

hsec21 1-

a

u

hsec2

)( u

NLSE 的孤立波解

NLSE 与同宿线对 NLSE

右边第一项体系动能，第二项体系势能

V(u) 是 u 的四次曲线，有三个奇点： 两个极小点，两个极小点间的极大点在 [u, u’] 相图上，极小点对应中心点，邻域是椭圆轨线，极大点相对应鞍点。 沿任一条离开鞍点的轨线出发，在绕了一圈之后回到了鞍点，鞍点是同宿点，相应的轨线为同宿线。

)V( 21

42

21 2422 uuuuu

=H0" 3 uuu

积分

42

21

21=)V( uuu