第四章 静定平面刚架

　　本章主要介绍了静定平面刚架的构造特点、内力的分析、计算方法及内力图绘制方法。通过本章的学习，主要应掌握：　　（ 1）静定平面刚架支座反力的计算方法；　　（ 2）静定平面刚架内力的计算方法；　　（ 3）静定平面刚架内力图的绘制方法。

本章提要

本 章 内 容

4.1 静定平面刚架的构造特点及分类；4.2 静定刚架的支座反力的计算；4.3 静定刚架的杆端内力计算；4.4 静定刚架内力图的绘制。

4.1 静定平面刚架的构造特点及分类4.1.1 刚架及其构造特点

一、刚架

刚架是由梁、柱等直杆组成的具有全部或部分刚结点的结构。如图1。

二、刚架的特点 1 、刚架整体刚度大，在荷载作用下，变形较小；　　 2、刚架在受力后，刚结点所连的各杆件间的角度保持不变，即结点对各杆端的转动有约束作用，因此刚结点可以承受和传递弯矩，这样刚架中各杆内力分布较均匀，且比一般铰结点的梁柱体系小，故可以节省材料；

　　 3、由于刚架中杆件数量较少，内部空间较大，所以刚架结构便于利用。

4.1.2 静定刚架的类型 静定平面刚架通常可分为简支刚架 (a) 、悬臂刚架(b) 、三铰刚架 (c) 和组合刚架（多层多跨刚架） (d、 e) 等型式，如图1所示。

图 1

4.2 静定刚架的支座反力的计算

静定刚架支座反力的计算是内力计算的前提。一般悬臂刚架无需计算反力，简支刚架取整体为研究对象，列平衡方程计算；三铰刚架取其中一半和整体或分别取两半部分为对象计算；而多层多跨刚架则需首先分析几何组成，然后先计算附属部分，再计算基本部分。

例 1 计算图 2 所示刚架的支座反力。

图 2

解：以整个刚架为隔离体，则

　∑ X=0:HA+4+4×4=0　　　　　 HA=-20kN(←)　∑ MA=0:VD×4-2×4×2-4×4 - 4×4×2=0　　　　　 VD=16kN(↑)　∑ Y=0:VA+VD=2×4　　　　　 VA=(8-16)kN=-8kN

(↓)

例 2 计算图 3 所示刚架的支座反力。

图 3

解：对于组合刚架，计算时应先计算附属部分的反力，再计算基本部分的反力。 本题中 ABCD 部分为基本部分， EFG 部分为附属部分。

　　取 EFG 为隔离体：　　∑ X=0: NEF+2×3=0　　　　　 NEF=-6kN

　　∑ ME=0:VG×2-3×1.5=0　　　　 VG=4.5kN (↑)

　　　∑Y=0: QEF+VG=0　　　　　　 QEF=-4.5kN

　　 取 ABCD 为隔离体：

　　　∑X=0: HA+4+NEF=0　　　　　　 HA=2kN (→)

　　　∑MA=0: VD×4-QEF×4-NEF×3-4×4×2-4×2=0　　　　　 VD=1kN (↑)

　　　∑Y=0: VA+VD-QEF-4×4=0　　　　　　 VA=10.5 kN

4.3 静定刚架的杆端内力计算

4.3.1 刚架的内力及正负号确定

刚架的内力通常有轴力 N 、剪力 Q 和弯矩 M ，弯矩不规定正负，而画在杆件的受拉侧，轴力规定以拉为正，剪力规定绕截面顺时针旋转为正。

4.3.2 杆端内力的表示 如： NAB、 NBA、 QAB、 QBA、 MAB、 MBA

NBC、 NCB、 QBC、 QCB、 MBC、 MCB等。

注意：刚结点处不同方向有不同的杆端内力。

4.3.3 刚架杆端内力的计算

方法：截面法

即沿杆端截面截开，按正向假定内力 Q 、N ， M 可任意方向假定，取隔离体，建立平衡方程计算。例 3 计算图示刚架的杆端内力。解 ：（ 1）支座反力（例 1）

HA=-20kN(←)

VD=16kN(↑)

VA=-8kN(↓)

（ 2） 计算内力　　 CD杆： NCD=NDC=-VD=-16kN　　　　　 QCD=QDC=0,MCD=MDC=0　　 AB杆： NAB=NBA=-VA=8kN　　　　　 QAB=-HA=20kN,

QBA=QAB-4×4=4kN　　　　　 MAB=0　　　　　 MBA=-4×4×2+VAB×4=48kN·m内侧受拉　　 BC杆：取 B结点为隔离体，如图（ b)所示：　　 ∑ X=0:NBC+4-QBA=0

　　　　　 NBC=0

∑Y=0: QBC+NBA=0　　　　　　 QBC=-8kN　　∑ MB=0:MBC-MBA=0　　　　　　 MBC=MBA=48kN·m ( 内侧受拉）　　取 BC杆为隔离体，如图 (c) 所示：　　　∑ X=0: NCB=NBC=0　　　∑ Y=0: QCB+2×4-QBC=0　　　　　　 QCB=-16kN　　　∑ MC=0:MCB-MBC+2×4×2-QBC×4=0　　　　　　 MCB=0

例 4 计算图示刚架的杆端内力。

解 ：（ 1）支座反力（例2）

（ 2）求杆端内力

AH 杆：如图（ d)所示：

　　　∑ Y=0:NHA+VA=0　　　　　　NHA=-VA=-10.5kN

　　　∑ X=0:QHA+HA=0　　　　　　QHA=-HA=-2kN

　　　∑ MH=0:MHA-HA×2=0　　　　　　MHA=2×HA=4kN·m ( 外侧受拉）

HB 杆：取结点 H为隔离体，如图 (e)所示：　　　∑ Y=0:NHB-NHA=0　　　　　　 NHB=NHA=-10.5kN

　　　∑ X=0:QHB+4-QHA=0　　　　　　 QHB=QHA-4=-6kN

　　　∑ MH=0:MHB-MHA=0　　　　　　 MHB=MHA=4kN·m ( 外侧受拉）

　　 取 HB为隔离体，同理可求得　　　 NBH=NHB=-10.5 kN

　　　 QBH=QHB=-6 kN

　　　 MBH=MHB-QHB×2=［ 4-2×(-6) ］ =16kN·m ( 外侧受拉）

BC杆：

　　取结点B为隔离体，如图(f)所示：

　　　 ∑ X=0:NBC-QBH=0　　　　　　 NBC=QBH=-6 kN

　　　 ∑ Y=0:QBC-NBH=0　　　　　 　 QBC=NBH=-10.5 kN

　　　 ∑ MB=0:MBC-MBH=0　　　　　 　 MBC=MBH=16kN·m ( 上侧受拉）　　取BC杆为隔离体，如图(g)所示：

　　　 ∑ X=0:NCB-NBC=0　　　　　　 NCB=NBC=-6 kN

　　　∑ Y=0:QBC-QCB-4×4=0　　　　　　 QCB=QBC-4×4=(10.5-16)=-5.5kN　　　∑ MC=0:MCB-MBC-4×4×2+QBC×4=0　　　　　 MCB=MBC+4×4×2-QBC×4　　　　　　　 =(16+32-10.5×4) 　　　　　　　 =6kN·m ( 上侧受拉）

　　 用同样的方法可分别求出 CD、 EF、 FG杆的内 力。

4.4 静定刚架内力图的绘制

4.4.1 静定刚架内力图绘制

静定刚架内力图有弯矩图、剪力图、轴力图。刚架的内力图由各杆的内力图组合而成，而各杆的内力图，只需求出杆端截面的内力后，即可按照梁内力图的绘制方法画出。

步骤：

1 、求支座反力；

2 、求杆端控制截面内力；

3 、绘制内力图。

例 5 绘制图示刚架的内力图。解： 1、求支座反力（例 1）； 2 、求杆端控制截面内力 （例 3）； 3 、绘制内力图，如图示。

例 6 绘制图示刚架的内力图。解： 1、求支座反力（例 2）； 2 、求杆端控制截面内力 （例 4）； 3 、绘制内力图，如图示。

4.4.2 刚架内力图绘制要点

（ 1）内力图绘制规定：刚架内力图的纵坐标垂直于各杆轴线绘制。 弯矩图纵标画在杆件受拉一侧，不计正负号；剪力图、轴力图可画在杆件任一边，但应注明正负号及单位。

（ 2）刚架杆件均为直杆，每一直杆段均可以利用分段叠加法绘制弯矩图。

再 见