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6 静定桁架和组合结构. 6.1 桁架的特点和组成分类. 一、概述. 1 . 桁架分类. 按几何组成分为：. (1 ） 简单 桁架 —— 从基础或者从一个基本的铰接三角形开始，依次用两根不在同一直线上的链杆固定一个结点的方法组成的桁架称为简单桁架。. A. 1. 2. 1. 3. (2 ） 联合 桁架 —— 两个简单桁架用一个铰及与之不共线的一根链杆连接，或者用三根不全平行也不全交于一点的链杆连接而成的桁架称为联合桁架。. (3) 复杂 桁架 —— 既非简单桁架又非联合桁架则统称为复杂桁架。. 2 . 基本假定. - PowerPoint PPT Presentation
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6 静定桁架和组合结构
6.1 桁架的特点和组成分类一、概述
1. 桁架分类按几何组成分为：(1 ）简单桁架——从基础或者从一个基本的铰接三角形开始，依次用两根不在同一直线上的链杆固定一个结点的方法组成的桁架称为简单桁架。
(2 ）联合桁架——两个简单桁架用一个铰及与之不共线的一根链杆连接，或者用三根不全平行也不全交于一点的链杆连接而成的桁架称为联合桁架。
A
1
1
2
3
(3) 复杂桁架——既非简单桁架又非联合桁架则统称为复杂桁架。
2. 基本假定
(1) 各杆均为直杆，且位于同一平面内，杆轴线通过铰结点中心。
(2) 荷载及支座反力作用在结点上，且位于桁架平面内。
(3) 铰结点为理想铰，即铰绝对光滑，无摩擦。
所以，桁架的杆件只产生轴力，各杆均为二力杆。
3. 轴力正负号 轴力以拉力为正，压力为负。 在结点和截面隔离体中，已知的荷载及轴力按实际方向表示，数值为正；未知轴力一律设为拉力。
A
10kN
N1 N2
B
15kN
N15kN
6.2 结点法 结点法可以求出简单桁架全部杆件的轴力。 为求各杆轴力，需取结点隔离体。若隔离体只包含一个结点，则称为结点法。
作用在结点上的力系为平面汇交力系，有两个平衡方程，可以求出两个未知力。当结点上的未知力有三个或三个以上时结点法失效，但有时能求得其中的一个未知力。
由于平面汇交力系向平面上任意一点的力矩代数和等于零，故除了投影方程外，亦可以用力矩方程求解。
不要用联立方程求桁架各杆的轴力。一个方程求出一个未知轴力。 对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁架几何组成顺序相反。
平衡方程为：
或0 0X Y 0 0A BM M
几何组成顺序A 、 B 、 C 、 D 、 E取结点隔离体顺序 E 、 D 、 C 、 B 、 A
A
B D
C
E
应熟练运用如下比拟关系：
yx
x y
x yx y
xx y
y
yy x
x
FFN
l l l
l lN F F
l l
lF F
l
lF F
l
N
N
N
Fx
Fy
lx
ly
l
例 6-1 用结点法求各杆轴力。
解：
（ 1 ）支座反力
（ 2 ）判断零杆
FyA=FyB=30kN(↑)FxA=0
见图中标注。（ 3 ）求各杆轴力取结点隔离体顺序为： A 、 E 、 D 、 C 。结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。
A
20kN
B
C
D
E
G
F H
30kN 2m 2m 2m 2m
1m
1m-67.08-44.72
-22.36
60 60
20
20kN20kN
30kN
00
0
结点 A
30
( ) 30(2 1)
60
( ) 30( 5 1)
67.08
yAD
xAD yAD x y
AD yAD y
F kN
F F l l
kN
N F l l
kN
0Y
（压）
结点 E
E60kN NEF0
A
30kN
NAE
FxAD
FyAD NAD
12
5
0X 60 ( )AE xADN F kN 拉
0X 60 ( )EFN kN 拉
结点 D
将 NDF 延伸到 F 结点分解为 FxDF 及 FyDF
1
2
5
0CM 2 20 2 0 20xDF xDFF F kN
( / ) 20(1/ 2) 10
( / ) 20( 5 / 2) 10 5 22.36 ( )
yDF xDF y x
DF xDF x
F F l l kN
N F l l kN
压
0Y 30 20 0
30 20 10 20
( / ) 20( 5 /1) 44.72 ( )
yDC yDF
yDC
DC yDC y
F F
F kN
N F l l kN
压
( 10 )yDFF kN
1
2
5
FxDFA
20kN NDC
C
F
FyDFNDF
NDF30 5
D2m
4m
FyDC
结点 C
0Y 20 40 0
20 ( )CF
CF
N
N kN
拉NCF
C
20kN
20 5 20 5
例 6-2 用结点法求 AC 、 AB 杆轴力。
2m
3m
2m4m
P FPP
D
C
E
G
F
A
B
H
3m
4m
解： 取结点 A ，将 NAC 延伸到 C 分解，将 NAB 延伸到 B 分解。
4m
C
AP
B
NAB
NAC
FxAB
FyAB
FxAC
FyAC
2m
3m
3
2
13
12
5
0CM ( 6) / 4 1.5
(2 / 3)
( / ) 1.5 ( 13 / 3) 1.803 ( )
yAB
xAB yAB
AB yAB y
F P P
F F P
N F l l P P
压
4m
C
AP
B
NAB
NAC
FxAB
FyAB
FxAC
FyAC
2m
3m
3
2
13
12
5
0BM ( 2) / 4 0.5
(2 /1)
( / ) 0.5 ( 5 /1) 1.118 ( )
yAC
xAC yAC
AC yAC y
F P P
F F P
N F l l P P
拉
小结：
（ 2 ） 判断零杆及特殊受力杆；
（ 3 ） 结点隔离体中，未知轴力一律设为拉力，已知力按实际方向标注；
（ 1 ） 支座反力要校核；
（ 4 ） 运用比拟关系 。 yx
x y
FFN
l l l
结点受力的特殊情况
（ 1）
结点上无荷载，则 N1 ＝ N2 ＝ 0 。由∑ FS ＝ 0 ，可得 N2 ＝ 0 ，故 N1 ＝ 0 。
（ 2）
N1 N2
0N3
3
1 2
0 0
0
Y N
X N N
N1
N2
s0 090
。
（ 3） N1
N2
N3
N4
（ 4 ）N1 N2
N3
P
3 4
1 2
0
0
Y N N
X N N
3
1 2
0
0
Y N P
X N N
上图为对称结构、对称荷载的情况， 结点A 在对称轴上。 由∑ Y ＝ 0 ， N1 ＝ N2=0
∑X ＝ 0 ， N3 ＝ N4
y
N3
N1N2
N4Aαα
0 0
（5
ααA
P
P P
1 2
3 4
y
N3
N1N2
N4Aαααα
A
P P P
1 2
上图为对称结构、对称荷载的情况， 但结点 A 不在对称轴上。 由∑ Y ＝ 0 ， N1 ＝ -N2
（ 6 ）
6.3 截 面 法 对于联合桁架或复杂桁架，单纯应用结点法不能求出全部杆件的轴力，因为总会遇到有三个未知轴力的结点而无法求解，此时要用截面法求解。即使在简单桁架中，求指定杆的轴力用截面法也比较方便。
截面法选取的隔离体包含两个或两个以上的结点，隔离体上的力系是平面不汇交力系，可以建立三个平衡方程∑ X ＝ 0 、 ∑ Y ＝ 0 、 ∑ M ＝ 0 。所以作一个截面隔离体最多可以求出三个未知轴力。
对于联合桁架，应首先切断联系杆。
现在介绍截面单杆的概念。如果在某个截面所截的轴力均为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点 ( 或彼此平行，即交点在无穷远处 ) ，则该杆称为该截面的单杆。关于截面单杆有下列两种情况： （ 1 ）截面只截断彼此不交于同一点 ( 或不彼此平行 ) 的三根杆件，则其中每一根杆件均为单杆。
（ 2 ） 截面所截杆数大于 3 ，但除某一杆外，其余各杆都交于同一点 ( 或都彼此平行 ) ，则此杆也是单杆。
上列各图中，杆 1 ， 2 ， 3 均为截面单杆。 截面单杆的性质：截面单杆的轴力可根据截面隔离体的平衡条件直接求出。
1 1
1
1
2
3
1
2 3
1
2 3
例 6-3 用截面法求轴力 N1 、 N2 、 N3 、 N4 。
解： （ 1 ）对称结构对称荷载，支座反力如图示。 （ 2 ）零杆如图示。
a
a
a a a a a
a
P P P PP
A B
C
D
E
I
I
12
3
4
0 0
0 0
0 0
2.5P 2.5P
0
（ 3 ）求轴力N1 、 N2 、 N3 、 N4 。
结点 C
N1
N2
C
P
1
25
0yF 2 2 2
2
0 0.5
51.118 (
2
y y xF P F P F P
N P P
压）
取截面 I － I 以左为隔离体：
0Y
3 3
51.5
2
1.68 ( )
yy
lN F P
l
P
压
2( )yF P
3 2
3
3 3
2 2.5 0
1.5
/ 2 0.75
y y
y
x y
F F P P
F P
F F P
I
a
a
a
a
P P
A
C
D I
12
3
4
0 0
0
2.5P
0
1
25
0CM
4
1(2.5 2
20.75 2 )
5.52.75 ( )
2
N P a P aa
P a
PaP
a
拉
I
a
a
a
a
P P
A
C
D I
12
3
4
0 0
0
2.5P
0
1
25
取截面 I － I 以左为隔离体：
0X 2
3
4
0.5
0.75
2.75
x
x
F P
F P
N P
1 4 3 2
1
0
(2.75 0.75 0.5 )
1.5 ( )
x xN N F F
N P P P
P
压
a
a
a
a
P P
A
C
D
I
I
12
3
4
0 0
0
2.5P
01
25
例 6-4 求 N1 、 N2 。
解：（ 1 ） 求支座反力 0
80 ( )
0
1(80 6)
8
60 ( )
0
60 ( )
xA
B
yA
yB
X
F kN
M
F
kN
Y
F kN
2m60kN
A
D
80kNII
II
I
IC B
E
1
G
2m 2m
2m
2m
2m80kN
60kN
2
2m
F
6.4 结点法和截面法的联合应用
（ 2) 求N1 、 N2
结点 B
B
60kN
NBE
NBC
取截面 I － I 以左为隔离体
2
0
1( 60 2
2 260 2 80 2)
8028.28 ( )
2 2
DM
N
kN
压
0 60
60
0 0
60 ( )
yBE
xBE
BC xBE
BC xBE
Y F kN
F kN
X N F
N F kN
拉
2m60kN
A
DI
IC2m
2m80kN
60kN2m
N2
2 2m
取截面 II － II 以右为隔离体：
1
1
0
1(20 2 4 2)
440
40 2 56.57 ( )
F
y
M
F
kN
N kN
拉
80kNII
II
B
E
FG
2m 2m
2m
2m
2m
2m
N1
20 2kN
例 6-5 求 N1 、 N2 。
A B
P
a a a a
a
aP
C
1
2D
解： 复杂桁架，结构对称。将荷载分为对称和反对称两种情况求解。
（ 1 ）对称结构对称荷载
结点 C 位于对称轴上，所以两斜杆轴力等于零，见右图。
C
0 0
P/20
P
I
I
0
P
A B
a a a a
a
aP
C
1
2D
P/2
E F
0 0
取截面 I － I 以左为隔离体：
2
2
'2
0
0.5 0
0.5
2
2
y
y
Y
F P P
F P
N P
P/20
P
I
A
a
a
a
1D
I
'2N
0
结点 D
'10 2Y N P D
0P /2
'1N
（ 2 ）对称结构反对称荷载
整体平衡
0AM 1 1
( 3 ) ( )4 2 2 4yB
P PF a a P
a
1( )
4yAF P 0Y
P/20 A B
a a a a
a
a
C
1
2
D
P/2
II
II
yBFyAF F
E F
结点 F
取截面 II － II 以左为隔离体：
F0 0
0
结点 EE
00
0 "1 0N
2
"2
0 0.25
2
4
yY F P
N P
' "1 1 1
' "2 2 2
0.5 0 0.5 ( )
2 21.06 ( )
2 4
N N N P P
N N N P P P
拉
压
叠加两种情况的结果得：
II0
P/4
A
a
a"2N
II
0
6.5 组合结构 下面讨论组合结构的内力计算。
所谓组合结构是指结构中既有梁式杆，又有只受轴力作用的二力杆。梁式杆的任一截面有弯矩、剪力和轴力作用。在用截面法取隔离体时，不能随意切断梁式杆，可以切断二力杆，也可以拆开铰结点，如下图示。
PE
CBFxB
FyBNED
PA
D
E CB
例 6-6 作图示组合结构内力图。
解：结构对称荷载对称。（ 1 ）求支座反力如图示。（ 2 ）求 NDE ，取截面 I－ I以左为隔离体。
C
1kN/m
BA
D E
F G0
6kN 6kNI
I
3m 3m 3m 3m
0.5m
0.7m
结点 D
0.715 15 3.5
33.0806
15 15.4 ( )3
xDA yDA
DA
F kN F kN
N kN
拉
0X
0CM
0Y
NDFNDA
D 15kN
0.73
3.0806
(6 6 1 6 3) /1.2 15 ( )EN kN 拉
0
3.5 ( )
DF yDA
DF yDA
N F
N F kN
压
（ 3 ） 求梁式杆的内力M 、 Q 、 N 。取 FC段作隔离体：
求 MF
0FM 1 3 1.5 15 0.25
4.5 3.75 0.75 . ( )FM
kN m
上拉
15
3.01
30.25
F
1kN/m
3m
QCF
C
QQC MF
NFC
NCF
150.25m
求 FC 杆的剪力和轴力
0
1(0.75 1 3 1.5) 1.744
3.01
C
FC
M
Q kN
315cos 15 14.95 ( )
3.010.25
1 3 sin 14.95 33.01
15.20 ( )
CF
FC CF
N kN
N N
kN
压
压
0.2515sin 15
3.011.246
CFQ
kN
3.01
30.25
15
F
1kN/m
3m
QCF
C
QFC 0.75kN.m
NFC
NCF
150.25m
取 AF段作隔离体：
3 0.252.5cos 15sin 2.5 15 1.246
3.01 3.01AFQ kN
1( 0.75 1 3 1.5) 1.744
3.01FAQ kN
0AM
15
2.5
3.01
30.25
A
1kN/m
3m
QFA
F
NAF
NFA
15
2.50.75kN.
mQAF
0.25m
0.25 32.5sin 15cos 2.5 15
3.01 3.0115.16 (
AFN
kN
压)
0.251 3 sin 15.16 3
3.0115.16 0.249 14.91 (
FA AFN N
kN
压)
15
2.5
3.01
30.25
A
1kN/m
3m
QFA
F
NAF
NFA
15
2.5 0.75kN.mQAF
0.25m
M 图 (kN∙m)0.75
0.75
0.75
CA F
Q 图 (kN)
1.246
1.2461.744
1.744
C
A F
N 图 (kN)15.16
15.214.95
C
AF
14.91
(4) 结构内力如下图示。
15kN-3.5kN
15.4kN
C BA
D E
F G0
6kN 6kN
本章小结 本章讨论了静定平面桁架、组合结构及静定空间桁架的内力计算。
静定桁架内力计算主要采用结点法与截面法。 计算组合结构的内力时，应按与几何组成相反的顺序进行计算，先求出轴力杆的内力，再计算梁式杆的内力。
