Никонова Г.М.Учитель математикиМБОУ СОШ №3 г. ДесногорскаСмоленской области

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

И ЕЕ ГРАФИК

1.Определение. Линейной функцией называется функция, которую

можно задать формулой вида y=kx+b, где x – независимая

переменная, k и b – некоторые числа.

Примеры линейной функции:

2

x

3

2y

3x2y x5y

4x8,0y

6y

;;

;

;

.

2. Область определения функции – любое число.

Множество значений функции – любое число.

График линейной функции

Построим график линейной функции y=0,5x-2. Составим таблицу

соответственных значений x и y: X -6 -4 -2 0 2 4 6 8

y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

Вывод: графиком линейной функции является прямая.

Замечание: если область определения линейной функции состоит не из всех чисел, то ее график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть луч или отрезок.

Геометрический смысл параметров k и b

1.Коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой, т.к. он характеризует угол, который образует прямая с положительным

направлением оси Ox.

Если k>0, то график линейной функции «идет вверх» (угол острый),

если k<0, то график линейной функции «идет вниз» (угол тупой),

если k=0, то прямая совпадает с осью Ox.

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

k<0b

α

2.b – значение ординаты точки, в которой прямая пересекает ось

Oy.

α

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

x

y

b

k>0

Взаимное расположение графиков линейной функции

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

x

y

y=k₂x+b₂

y=k₁x+b₁

1 2

Если угловые коэффициенты прямых различны, то эти прямые пересекаются.

Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, то прямые параллельны.

-4 -2 2 4 6 8

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

k₁≠k₂k₁=k₂

b₁≠b₂

Практическая работа

1. На рисунке изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов

k и b.

-4 -2 2 4

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

0.5

1.5

x

y

-4 -2 2 4

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

а) k>0, b>0 б) k<0, b>0 в) k<0, b<0

1) 2) 3)

Ответ: 1 2 3

в) а) б)

2. Какая из следующих прямых отсутствует на рисунке?

А. y=2x+3Б. y=2x-3В. y=-2x+3Г. y=-2x-3

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

0

2

4

6

-5

-3

11

-1

-3

-1

3

5

x

y

Ответ: В.

3. Изобразить схематически график линейной функции y=kx+b

в зависимости от параметров k и b.

а) k=-3, b=2; б) k=2,7, b=-3; в) k=0, b=-3.

4. Найти значение b, если известно, что график линейной

функции y=-5x+b проходит через точку P(0,5;-3).

5. Найти значение k, если известно, что график линейной функции

y=kx+4 проходит через точку E(-6;-4).

6. График функции y=(a+1)x+a-1 пересекает ось абсцисс в

точке (-2;0). Найти значение a.

Ответ: b= -0,5

Ответ: k=4/3

Ответ: a=-3

7. Не выполняя построения, установите взаимное расположение графиков линейной функций:а) y=2x+3 и y=2x-4;б) y=x+3 и y=2x-1;в) y=4x+6 и y=6+4x;г) y=-4+12x и y=-x+11.

8. Подберите значение параметра k, чтобы графики линейных функций были параллельны:а) y=8x+12 и y=kx-3;б) y=kx-4 и y=5x+6;в) y=5+kx и y=12x+7;г) y=-2-x и y=3+kx.

9. Подберите значение параметра k, чтобы графики линейных функций пересекались:а) y=6x+1 и y=kx-3;

б) y=kx+5 и y=9x-1;

в) y=8+7x и y=kx-4;

г) y=-x+2 и y=4-kx.

10. Даны две линейные функции y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂. Подберите такие значения указанных параметров, чтобы: а) их графики были параллельны; б) их графики совпадали; в) их графики пересекались.

Ответ: параллельны.Ответ: пересекаются.Ответ: совпадают.Ответ: пересекаются.

Ответ: k=8.Ответ: k=5.Ответ: k=12.Ответ: k= -1.

Ответ: k= -3.Ответ: k=0,8.Ответ: k= -6.Ответ: k=3.

11. При каких значениях k и b график функции y=kx+b параллелен графику функции y=-1,5x-1 и проходит через точку (1;-1)?

Решение:

Т.к. график функции y=kx+b параллелен графику функции y=1,5x-1, то k=1,5; т.к. график функции y=kx+b проходит через точку (1;-1), то найдем b:1,5·1+b=-1,b=-1-1,5,b=-2,5.Имеем y=1,5x-2,5 – искомая функция.Ответ: y=1,5x-2,5.

Желаю удачи!

1. Не выполняя построений, найти координаты точки пересечения графиков:

I вариант II вариант

а) y=-8x-5 и y=3;б) y=10x-14 и y=-3x+12.

а) y=-5x+1 и y=-4;б) y=6-9x и y=5x-8.

2. Среди перечисленных функций: y=2x-3, y=-2x, y=2+x, y=1+2x, y=-x+3 укажите те, которые параллельны графику функции:

y=x-3 y=2x+3

3. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и параллелен прямой y=9x-3 y=-7x-2

4. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой y=2x+11 y=-x+8

и пересекается с графикомy=x-3 y=5x+1

в точке, лежащей на оси ординат.