Расчет ЭДС, наведенных в параллельных и сходящихся линиях, с

учетом проводимости земли

Мисриханов М.Ш., Рубцова Н.Б., Токарский А.Ю. (МЭС Центра) (ГУ НИИ МТ РАМН) (МЭС Центра)

Параллельные линии

Расчет при наличии обратного проводаи без учета проводимости земли

Однопроводные линии 1 и 2 параллельны. Участок линии 2 длиной l заземлен по концам, образуя контур 2. Между прямым проводом линии 1 и контуром 2 существует взаимная индуктивность М12. Током прямого

провода линии 1 в контуре 2 наводится ЭДС Е2.

E1 E2

1

2

ZН

М12

Обратный провод

a12

B

SФ

B

h1

h2

hпр

dSZ

X

Y

l

dx

I1

hпр

I1

I2

I2

1 . .r12r

Взаимная индуктивность между прямым проводом 1 и контуром 2

2212 1 1 . .0 0

12 221212 1 2

aln ln (1)

4 2a

ï ð Î ï ðh h rl lMrh h

Сопротивление взаимоиндукции между прямым проводом 1 и контуром 2

2212 10

12 12 2212 1 2

aln (2)

4 a

ï ðh hlZ j M jh h

ЭДС Е2, наведенная прямым током I1 в контуре 2

2212 10 1

2 12 1 2212 1 2

aln (3)

4 a

ï ðh hI lE Z I j

h h

Расчет при отсутствии обратного проводас учетом проводимости земли через З

З - глубина проникновения электромагнитной волны в землю, т.е. глубина, проникнув на которую, электромагнитная волна затухает в е = 2,72 раза.

0

2 ÇÇ

При отсутствии обратного провода контур 2 не ограничен снизу и hпр , а значит и Е2 . Для решения задачи используется интеграл Карсона J(r,P + jQ, где r и - параметры интеграла:

/12 1 . .О прr r

/ 012 ,

Ç

r r

12

1 2

,aarctgh h

2/ 212 12 1 2 ,r a h h

2212 12 1 2 .r a h h 2.ï ðh hпри

З

З

[ ] [ ]

[ ]1 0 [ ]

З = 1 / = 2 . м а гн и т н в я п о стоя н н а я Гн /м .-7

уд е л ь н о е со п р от и в л ен и е зе м л и О м .м ;уд е л ь н а я п р ов од и м о с ть зем л и С и м /м ;

у гл ов а я ч а стот а , ч а стот а Г ц ;f = 4

f

/0 1 12

2 1212

ln ,2

I l rE j Fr

ЭДС, наведенная током линии 1 в заземленном по концам участке линии 2 длиной l :

где по Костенко В.М.:

12 2 , ,F jJ r 12 12

20 0

12 cos .k ih h

Ç

F e a dj

В результате разложения в ряд интеграла F12 получены расчетные выра-жения для значений параметра r :

0,25r ï ðè

1 2(5) 0 1

2 2212 1 2

2 2ln 1 0,0772 , (5)2 4 3

Ç

Ç

h hj I lE j ja h h

5r ï ðè

/(6) 2 3 50 1 122 2 4

12

2 cos2 cos3 3cos5ln cos . (6)2

j j j jj I l rE e e e er r r r r

Если считать, что a12 >> h1+h2, то получим выражение для a12 в зависимости от r и З:

120

.Ça r

ЗОмм

1 5 10 50 100 500 1000

а12max(5) м 13 28 40 89 126 281 398

а12min(6) м 252 536 796 1800 2516 5627 7958

Максимальные значения a12max для выражения (5) и минимальные значения a12min для выражения (6)

При a12max(5) < a12 < a12min(6) “мертвая зона” для выражений (5) и (6), где они дают очень большую погрешность!

Расчет при отсутствии обратного провода с учетом проводимости земли через hЭКВ

1. Учет тока прямого провода линии 1

Для параметра Карсона r ≤ 0,2 применяют выражение для Z12:

0 012 /

12 0

1 2ln2 8

Çj eZr

-по Костенко В.М., где из постоянной Эйлера .

/ 1,781 /ln 0,5772

Из второго сомножителя в скобках:

ÝÊÂ / /0 0

2 2 658,898 660 .2

Ç Ç Ç Çe ehf f f

hЭКВ - эквивалентная глубина расположения обратного провода линии 2, т.е. глубже в землю, чем на hЭКВ магнитное поле не распространяется.

Используя выражения (2) и (3) получим уравнения для определения сопро-тивления взаимной индукции и наведенной ЭДС с применением hЭКВ:

1

2 22 212 1 ÝÊÂ 12 1 ÝÊÂ0 0 1

12 22 22 212 1 2 12 1 2

a aln , ln . (7)

4 4a aI

h h h hl I lZ j E j

h h h h

1 2IE - ЭДС, наведенная током I1 прямого провода линии 1 в контуре линии 2.

2. Учет плотности тока, наведенного в земле током прямого провода линии 1

М агн и т н ое п ол е тока н авод и т н ап р я ж ен н ость эл ек т р и ч еск ого п ол я (х ,у ), со зд аю щ его в зем л е ток с п л отн ость ю

I

B

1 (x ,y )= /

Е 1 1

ì àãí è ò í î å ï î ë å ñ ñî ñòàâ ë ÿ þ ù åé è í äóê òè â í î ñòè п оток котор ой н ав оди т в кон ту р е уч астка л и н и и 2 ЭД С E

Е 1(х ,у ) Ç, ê î òî ð û é è í ä óö è ð óåò y ,

2210 1

1 221

, ln ,4

ÝÊÂy h hIE x y j

y h x

2210 1

1 221

, ln ,4

ÝÊÂ

Ç

y h hIx y jy h x

1 x ,y )

d x

d y

y Y

x

X

r

d B

d B y

Y

X

D (X ,Y )

d I

y - y +

2 h эк в

I 112h 1 h 1

2эк в

a 1 2

h эк в

210

2 20

,, ,

2

ýêâhy

yy

x y X xB X Y dxdy

X x Y y

//1

221

22 22 210 1

2 22 20

11

ln

. (8)8

ÝÊÂ ýêâ

ÝÊÂh hy

Ç h y

y h hX x

y h xI lE dxdydXX x a y

3. Учет обратного тока линии 1, протекающего в земле

Протекающий в земле обратный ток Iот1 линии 1 равен прямому току I1. 2 2

î ò î ò2 2l r l x y

E1

r

r

X

Y

Z

lкз

y- y+y

x

lот

dSЗ

1

Zв

1UЗ

dSЗ

от1

2 h1h1/

A B

D C

hэкв

2hэкв

z

a12

l

2

2

dIот1

Zн

I1dIот1

dIот12ЭКВ

2ЭКВ

Ç

î ò1 Ç2 2î ò

.2Ç

UdI dS

l x y

- напряжение между заземле- ниями в начале и конце линии 1:

ÇU

1Ç 2

2 20 î ò

.1

2

ÝÊÂhy

y Ç

IU

dxdyl x y

Элемент dIот1 обратного тока в канале сечением dSЗ:

Плотность обратного тока линии 1 в земле и составляющая индукции магнитного поля, создаваемая этим током:

î ò1( , )x y

î ò,yB X Y

î ò1 2 2î ò

( , ) ,2

Ç

Ç

Ux y

l x y

î ò

2î ò10

2 20

( , ), .

2

ýêâhy

yy

x y X xB X Y dxdy

X x Y y

ЭДС , наводимая потоком индукции в контуре линии 2:Î Ò 2E

î ò

,yB X Y

Î Ò

/ /1

20

2 222 20 î ò 11

. (9)2 ( 2 )

ÝÊÂ ýêâh hyÇ

h y Ç

U X xlE j dx dy dX

l x y X x a y

Результирующая ЭДС, наведенная в контуре линии 2:

1 Î Ò

(10)2 2 2 2 . (10)IE E E E

Сравнение методов расчетаДве параллельные однопроводные линии 1 и 2 расположены на высоте h1 =

h2 = 19 м над землей с удельным сопротивлением З = 50 Ом.м. В линии 1

протяженностью 10 км (lот = 10000 м) протекает ток I1 = 4000 А частотой 50 Гц. Линия 2 отключена и ее участок длиной l = 1000 м заземлен по концам. Найдем ЭДС, наведенную током линии 1 на заземленном участке линии 2 при изменении расстояния а12 между ними от 10 до 50000 м.Расчет проведем с учетом проводимости земли, выраженную через глубину проникновения З по выражениям (5) и (6), а также через эквивалентную глубину hЭКВ по выражениям (7) - (10).

4000 2000 0 2000 40000

0.005

0.01

0.015

0.02

0,018

50005000 y, м

1 А/м2

х=0м

х=300мх=600м

х=660м

х=900мх=1200м

х=1320м

10 4

от1

y, м

А/м2x

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

6000 2000 0 2000 6000 1000010000

х=0мх=300мх=900м х=600м

х=1200м

Распределение в земле плотностей токов 1 и от1.

lот = 10000 м, у+= -у- = 100000 м.

5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 00

2 0 0

4 0 0

55 0

1 0 01 6 0

1 5 0

1 4 0

1 3 0

1 2 0

11 0

1 0 0

- ,1 0 8 0

- ,81 5 45 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 01 0 0

Е , В

ЕО Т2

Е 2

Е I 2 1

a 1 2 , м

5 1 6 ,3

4 6 ,2

4 8 4 ,1

1 5 9 ,8

6 ,7

Е 2 (1 0 )

a r g ( ) , эл .гр .Е 2 (10 )

a 1 2 , м

Изменение модулей ЭДС , , , и arg( ) при увеличении

а12 от 100 м до 2000 м

1 2

IE η2E

Î Òη 2E (10)

2E(10)

2E

И зм ен ен и е м од ул ей и а р гум ен тов ЭД С , , , п р и у в е л и ч ен и и от 1 0 0 м д о 2 0 0 0 ма 1 2

(5 )2

E (6 )2

E1 2

IE (1 0)

2E

0

2 0 0

4 0 0

5 5 0

2 0 0

1 0 0

0

1 0 0

2 0 0

- 5 ,717

5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 01 0 0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 0 2 00 01 0 0

- ,154 6

46 2,17 ,1

E 2( )6

Е I 2 1

E 2(5 )

a r g ( )E 2

( )5

a 1 2 , м

ЕВ

E 2(6 )

a r g ( )

a r g ( )Е I12

a r g ( ) эл .гр .Е

Е 2 ( )10

a r g ( )Е 2 ( )10

a 1 2 , м

Изменение модулей ЭДС , , , и , а также аргументов

и при увеличении а12 от 10 м до 100 м

1 2

IE η2E

Î Òη 2E (5)

2E (10)

2E

2 0 40 6 0 8 0 1 000

5 00

1 00 0

1 5 0 0

6 ,7

1 0

6 ,7

1 0 7 9 1 0 8 1

4 8 4 ,1

5 2 2 ,4

1 6 4 1 6 0

ЕВ

1 0 6 0

5 16 ,3

E 2( )5

Е I 2 1

ЕО Т 2 Е 2

Е 2 ( )10

a 1 2 , м11 5

11 0

1 0 5

1 0 0

9 5

- ,9 8 7

- 111

- 9 ,89

2 0 4 0 6 0 8 01 0 1 0 0

- 0 81

Еa rg ( ) эл .гр .

E 2(5 )

a r g ( )

a r g ( )Е 2 ( )1 0

a 1 2 , м

(5)2

E (10)2

E

Изменение модулей ЭДС , , , и , а также аргументов и при увеличении а12 от 1500 м до 5000 м

1 2

IE η2E

Î Òη 2E (6)

2E (10)

2E

(6)2

E (10)2

E

2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 00

2 0

4 0

6 0

8 0

6 5 3,

1 5 0 01 8 0

1 7 0

1 6 0

1 5 0

1 4 0- ,1 4 5 5

- ,11 7 6

3 0 ,2

5 8 ,2

2 3 ,4

2 ,3

9 ,94 ,5 2 ,7

12 ,4

2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 01 5 0 0

- 6 7 ,01

- 5 ,21 7

- 5 3 ,01

- 5 8 ,11

a r g ( ) эл .г р .E 11

E 2( )6

a r g ( )

a r g ( ) Е 2

a r g ( )- Е 2 ЕО Т 2

ЕВ

Е 2 ( )10

Е 2

ЕО Т2

Е I 2 1

E 2( )6

(10)

(1 0)

a 1 2 , м a 1 2 , м

Векторные диаграммы ЭДС для а12 100 м, 1500 м и 5000 м(10)2

E

R eIm

E от 2E 2

E I12

-1 08 о

E 2(10 )

R eIm

-1 5 3 о

E I1 2

E от 2

E 2(1 0 )

E 2

R eIm

-14 5 о

E I12

Eот 2

E 2(1 0 )

E 2

а 12 = 1 00 м , М 1 а 1 2 = 1 50 0 м , М 5 а 12 = 2 00 0 м , М 2 0

Расчет ЭДС, наведенной в параллельных ВЛ, по выражениям с использованием hmax более точен.

Сходящиеся линии

Расчет при отсутствии обратного проводас учетом проводимости земли через З

Наличие “мертвой зоны” по расстоянию а12 для уравнений (5) и (6) ограничивает их использование в расчетах ЭДС, наведенных в сходящихся

линиях. Однако в некоторых работах для таких ВЛ применяются выражения, полученные из уравнения (5). Рассмотрим однопроводную

линию 1 с током I1, расположенную на высоте h1 над землей и сходящуюся с

ней под углом линию l с высотой hl , участок l12 которой заземлен в точках

l1 и l2 .

Y

Z

ll2

l1

z 1 z 2

y 1

y 2

I1

y

d l

( )r 1 l

X

D

1 1z

lE D

сход я щ а я ся л и н и я l

л и н и я 1

п а р а л л . л и н и я l

l1 2

Используя выражение (5) запишем уравнение для удельного (на единицу длины) сопротивления взаимной индукции между параллельными линия-ми 1 и , расположенными друг от друга на расстоянии , гдеl 2 2

1 ( )lr h y D

1 :lh h hD

2

101 2

1

2 4ln 1 0,1544 .4 2 3

lÇl

l Ç

h hjZ j jr

Напряженность электрического поля, создаваемого током в точке , расположенной на расстоянии от провода линии 1, найдем по выраже-нию:

E ID 1 Dr1l

2

10 0 0 11 1 2

1

2 4ln 1 0,1544 .4 2 3

lÇD l

l Ç

h hj IE z Z I z j jr

ЭД С , н а в од и м у ю то к ом п р ов од а 1 в за зе м л е н н ом у ч а ст ке п р ов од а сход я -щ е й ся л и н и и , н а й д е м п р о и н т е гр и р ов а в п о с л ед н ее в ы р а ж е н и е п о от д о

:

2l1

l d l ll

1

22 2 2

1 1 1

01 1 1 1 1 cos

l l l

l l l ll l l

E E dl z Z I dl Z I dl

Учитывая, что последнее выражение примет вид:sin

dydl

2

1

2 2

1 1

210 1

21

210 1

21

2 4ln 1 0,15444 2 3

2 4ln 1 0,1544 .4 2 3

ylÇ

ll Çy

y ylÇ

l Çy y

h hj IE j j dytg r

h hj Idy j j dy

tg r

После интегрирования получим:

2 2(11) 0 1 0 1

1 2 2 1 2 12 22 22 1

12 12 1

2 2ln ln 24 4

42 1 0,1544 . (11)3 2

Ç Çl

l

Ç

j I j IE J J y y y ytg tg h y h y

h hy yh arctg arctg j j y yh h

D D D D D

Расчет при отсутствии обратного провода с учетом проводимости земли через hЭКВ

1. Учет тока прямого провода линии 1Индукция магнитного поля и ее составляющие, создаваемые током ли-нии 1 определяются выражениями:

I1

X

YZ

h 1

x

r

y B y

I1

B x B

10 1 ,

2IBr

,XyB Br

1 .Y

h xB B

r

22 21r h x y П о ск ол ь к у , то :

10 1

2 21

.2Y

h xIBh x y

С о ст а в л я ю щ а я и н д у к ц и и п ер п ен д и к у-л я р н а я за зем л ен н ом у у ч а ст к у п р ов од а :l

YB YB

cosY YB B

Элементарный магнитный поток индукции :1ldÔ YB

d x

d l

B Y

T

lI1

1 .l Y YdÔ B dS B dl dx

s ind yd l У ч и ты в а я , ч то , п ол н ы й м а гн и тн ы й п ото к н а й д е м к а к :

2

1

10 11 2 2

1

,2

ÝÊÂ

l

hy

ly h

h xIÔ dxdy

tg h x y

и п о ск ол ь к у1

11 ,l

I l ldÔ

E j Ôdt

то п о сл е и н т егр и р ов а н и я п ол у ч и м ЭД С , н а в ед ен н у ю то к ом л и н и и 1 в

за зем л ен н ом у ч а ст к е л и н и и , сход я щ ей с я с л и н и ей 1 :l l12

1

(1 2 )I lE 1I

1

2 22 22 1 1 10 1

2 1 12 22 22 1 1 1

2 1 2 11

1 1 1 1

ln ln 24

2 . (12)

ÝÊÂ ÝÊÂI l ÝÊÂ

l l

lÝÊÂ ÝÊÂ l l

y h h y h hIE j y y h htg y h h y h h

y y y yarctg arctg h h arctg arctgh h h h h h h h

У ч и т ы в а я , ч то , то п р и = 0 : =

и п о сл е п од ст а н ов к и :

y = y = , z - z =1 2 12 2 1a l ,a 1 l1 2

1 2

y yytgz z z

1

1

2212 10

2 1 1 12212 1

2212 10

22212 1

ln 2 0 2 04

ln4

ÝÊÂI l i ÝÊÂ l

l

ÝÊÂi I

l

a h h z zE j I z z h h h hy ya h h

a h hlj I Ea h h

уравнение (12) переходит в уравнение (7) для параллельных линий.

2. Учет плотности тока, наведенного в земле током прямого провода линии 1

1 x,y)

dx

dy

y Y

x

Xr

dBX,Y)

dB y X,Y)

Y

X

D(X,Y)

dI

y- y+

2hэкв

I11

hlh1

hэкв

Z

Y

Z

X

Y1 Y2

l 1экв

Y1

Y2

Z1

Z2

dB y X,Y)

l1

l2

l1 l2 l

l

l

dB y X,Y)

Z

YY1 Y2

l12

l12

Y

l

l

линия lлиния 1

линия 1

линия l

l 2экв

1 x,y)

dx

dy

y Y

x

Xr

dBX,Y)

dB y X,Y)

Y

X

D(X,Y)

dI

y- y+

2hэкв

I11

hlh1

hэкв

Z

Y

Z

X

Y1 Y2

l 1экв

Y1

Y2

Z1

Z2

dB y X,Y)

l1

l2

l1 l2 l

l

l

dB y X,Y)

Z

YY1 Y2

l12

l12

Y

l

l

линия lлиния 1

линия 1

линия l

l 2экв

П л от н о ст ь то к а н а в ед ен -н у ю то к ом

.о п р ед е-

л и м п о в ы р а ж ен и ю :в зем л е I1

1

2210 1

1 221

ln .4

ÝÊÂ

Ç

y h hIj

y h x

Составляющая по оси индук-ции МП, создаваемого током с плотностью , и ее составляю-щая, перпендикулярная плос-кости контура , находятся по выражениям:

Y

l l l l1 2 1 2ЭКВ ЭКВ

1

210

2 20

,, ,

2

ýêâhy

yy

x y X xB X Y dxdy

X x Y y

210

2 20

,cos, .2

ýêâhy

yy

x y X xB X Y dxdy

X x Y y

Элементарный поток ин-дукции через по-верхность dS = dl.dX :

,yB X l

dX

dl

By

T

ll12

dS , .l ydÔ B X l dl dX

Полный магнитный поток:

2

1

, .ÝÊÂ

l

l h

l yl h

Ô B X l dXdl

ЭДС, наведенная в контура l l l l1 2 1 2ЭКВ ЭКВ: ll l

dÔE j Ô

dt

Полное выражение для ЭДС :lE

2

1

2 20 1

2

22 21

2 2 220 1

cos8

ln .sin

ÝÊÂ ýêâ

l

lÇ

l h hyÝÊÂ

l h y

IE

y h h X xdxdydXdl

y h x X x l y

Переходя от интеграла по к интегралу по , с учетом того, что и , последнее выражение примет вид:

dl dY sinY l / sindl dY

2

1

2 20 1

2

22 21

2 2 220 1

8 tg

ln . (13)ÝÊÂ ýêâ

l

lÇ

Y h hyÝÊÂ

Y h y

IE

y h h X xdxdydXdY

y h x X x Y y

С хем а р а с п ол ож ен и я л и н и й 1 и в к о о р д и н ат а х Х l О Т Y ZО Т О Т

О Т 1

О Т 1l1

l2

l

l

l1 2

I 1

I1 I1

О Т 11

1

О Т 1

Н ач а л о В Л 1 К он ец В Л 1B О Т yB О Т y

lО Т 1

I О Т 1

Z О Т

X О Т

Y 2 О ТY О ТY 1 О Т

Y О Т

IО Т 1 U З

О б р атн ы й то к , п р от ек а ю щ и й в зем л е , р а в ен п р я м ом у то к у I .1I Î Ò1

3. Учет обратного тока линии 1, протекающего в земле

П л отн о с ть о б р ат н о го то к а в зем л е: 1 1 2 21

( , ) .2

ÇÎ Ò Î Ò

Ç Î Ò Î Ò Î Ò

Ux yl x y

С о ст а в л я ю щ а я и н д у к ц и и М П о б р ат н о го то к а л и н и и 1 , п ер п ен д и к ул я р н а я п л о ск о ст и к о н ту р а л и н и и :l1 2 2 1, , ,Ý Ê Â Ý Ê Âl l l l

20 1 1

220 1

cos ,, .

2 sin

Î Ò ýêâ

Î Ò

Î Ò

y hÎ Ò Î Ò Î Ò Î Ò Î Ò Î Ò

y Î Ò Î Ò Î Òy Î Ò Î Ò Î Ò Î Ò

x y X xB X l dx dy

X x l y

ЭД С , н ав ед ен н а я о б р ат н ы м то к ом л и н и и 1 в к о н тур е л и н и и : l1 2 2 1, , ,Ý Ê Â Ý Ê Âl l l l

2

1

2 2210 1

220 1

2cos,

2 sin

ÝÊÂ Î Ò ýêâ

Î Ò

l Î Ò

Ç Î Ò Î Ò

yl h hÇ Î Ò Î Ò Î ÒÎ Ò

l Î Ò Î Ò Î Òl h y Î Ò Î Ò Î Ò Î Ò

U X x

l x yE j dx dy dX dl

X x l y

гд е:

2

1 2 20 1

1/ .2

Î Ò ÝÊÂ

Î Ò

y h

Ç Î Ò Î Òy Ç Î Ò Î Ò Î Ò

U I dx dyl x y

С хем а р а с п ол ож е н и я л и н и й 1 и в к о о р д и н ат а х l Х О Т О Т О Т Y Z и X Y Z

Z О ТО Т 1l1

l2

l

l

l1 2Y 2 О ТY О ТY 1 О Т

1

1

Н ач а л о В Л 1 К он ец В Л 1

lО Т 1

Y 1 Y Y 2

Y О Т

Y

Z

X О Т X

y О Т

y О Т

Поскольку то, делая подстановку и беря два внутренних интеграла по и в системе координат ХОТYОТZОТ , а два наружных - по и в системе координат XYZ, по-лучим:

,Î ÒX X ,Î Òx x sin ,l Y sin ,dl dY Î Òdx dx Î Òdy

dX dY

2

1

0 1

2 221

220 1

cos2 sin

2. (14)

sinsin

Î Ò

ÝÊÂ Î Ò ÝÊÂ

l Î Ò

Î Òl

Ç Î Ò

yY h hÇ Î Ò Î Ò Î Ò

Î Ò Î ÒY h y Î Ò

Î Ò Î Ò

E j

U X x

l x ydx dy dXdY

X x Y y

Сравнение методов расчетаРассмотрим прямолинейную однопроводную линию 1 протяженностью 50 км с током 4 кА и сходящуюся с ней под углом = ОТ = 45 линию l, участок

которой l12 = 1 км заземлен. м, км, 10 км, Ом.м, В. Поскольку в нашем случае ,

, , и , то уравнения (11) - (14) примут вид:

1 19lh h 1 50Î Ò Î Ò Î Òl y y y y 138,1ÇU

1 lh h hD 50Ç 1 1y Y 2 2 1 12 siny Y Y l 2 1 12 siny y l

2 2(11) (11) 0 1

1 1 12 12 2 2 21 12 1

11 12 112 12

2 2( ) sin ln ln4 sin

sin 42 sin 2 sin 1 0,1544 ,3 2

Ç Çl l

l

Ç

IE E Y j Y l Ytg h Y l h Y

h hY l Yl h arctg arctg l j jh h

D D D D D

1 1

2 22 21 12 1 1 10 1

1 1 12 12 22 21 12 1 1 1

1 12 1 1 11 1

1 1

sin( ) sin ln ln

4 sin

sin2 2

ÝÊÂ ÝÊÂI l I l

l l

ÝÊÂ lÝÊÂ ÝÊÂ

Y l h h Y h hIE E Y j Y l Ytg Y l h h Y h h

Y l Y Y lh h arctg arctg h h arctgh h h h

2 1

1 1

sin ,l l

Yarctgh h h h

1 12

1

0 11

2 2sin 21

220 1

cos( )

2 sin

2.

sinsin

Î Ò Î Ò

ÝÊÂ Î Ò ÝÊÂ

l Î Ò

Î Òl l

Ç Î Ò

yY l h hÇ Î Ò Î Ò Î Ò

Î Ò Î ÒY h y Î Ò

Î Ò Î Ò

E E Y j

U X x

l x ydx dy dXdY

X x Y y

1 12

1

2 20 1

1 2

2sin 2 21

2 2 220 1

( )8 tg

ln ,ÝÊÂ ýêâ

l

l lÇ

Y l h hyÝÊÂ

Y h y

IE E Y

y h h X xdxdydXdY

X x Y yy h x

Результирующее значение ЭДС, определяемых с использованием hЭКВ, находится по выражению:

1

(15) . (15)Î Òl I l l lE E E E

Изменение модулей и аргументов ЭДС при увеличении Y1 от 10 м до 100 м

2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 00

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

2 0 7 ,2

3 ,2 5 3

1 0 Y 1 , м

E l(11 )E l

E l

E I l1E I l1 + E l

E О Т l

Е , В

3 ,2 4 7

1 8 3 ,2

1 2 9 ,6

9 5 ,7 9 0 ,1

1 6 3 ,4

2 0 6 ,7

1 5 7 ,9

2 0 9 ,6

1 6 0 ,5

a rg( ) E I1 l = a rg ( )E О Т l

8 0 1 0 0

a rg ( )E I1 l + E l

a rg ( )E l

a rg ( ) E l

2 0 0

1 0 0

0

1 0 0

2 0 0

2 0 4 0 6 01 0

a rg ( ) эл . гр .E

Y 1 , м

1 8 0

-9 0

arg ( )E l(11 )

-1 2 9 ,1-1 4 3 ,1

-11 7 ,6 -1 2 4 ,8-1 2 4 ,1-11 7 ,2

(15 )

(1 5 )

Изменение модулей и аргументов ЭДС при увеличении Y1 от 100 м до 2000 м

5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 000

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

2 5 3

1 0 0

3 ,2 4 7

Y 1 , м

1 2 9 ,6

9 0 ,1

1 6 3 ,41 5 7 ,9

Е В

E О Т lE l

1 6 0 ,5

7 ,2 5

5 0 0 1 0 0 0 1 5 00 2 0 0 02 0 0

1 0 0

0

1 0 0

2 0 0 18 0

1 0 0

arg ( )E larg( ) E l

( )11

arg( ) E l-9 0

arg ( ) эл . гр .E

Y 1 , м

-1 5 6 ,6-12 4 ,8-12 4 ,1

1 2 1 ,1

-1 6 3 ,2-14 3 ,1

E l(11 )

E I l1 + E l

E I l1

(1 5 )E l arg( )E I1 l + E l

arg( ) E I1 l = arg ( )E О Т l

(15 )

Расчет ЭДС, наведенной в сходящихся ВЛ, по выражениям с использованием hmax более точен.

СПАСИБО ЗА

ВНИМАНИЕ