量子渦および量子乱流の世界

量子渦および量子乱流の世界

東京大学大学院総合文化研究科小林未知数

共同研究者：坪田誠（大阪市立大理）　川口由紀（東大理）新田宗土（慶応大物理）　上田正仁（東大理）

2010 年 6 月 23 日　駒場原子核理論研究室セミナー


発表内容

1. 超流動とボース・アインシュタイン凝縮体

2. 量子乱流とその歴史的背景

3. 古典乱流と量子乱流

4. 量子乱流のエネルギースペクトルと統計

5. その他の話題：スピノル BEC と非可換量子渦

6. まとめ


なぜ（今さら）量子乱流か？

超流動液体 4He で実現される超流動乱流（量子乱流）は低温物理学において非常に重要なトピックスの１つであった。

近年、超流動乱流において古典乱流との類似性が発見され、超流動乱流（量子乱流）を用いて古典乱流を要素還元的に理解するという視点において、低温物理学の範囲を超えて重要視され始めた。

超流動乱流（量子乱流）という分野は、新しい時代を迎えようとしている！


超流動と BEC

液体ヘリウムは低温で超流動状態となり、粘性を持っていないかのように振る舞う

超流動薄膜


超流動と BEC (Microscopic)

超流動はボース・アインシュタイン凝縮 (BEC) によって引き起こされる

ボース系では低温において巨視的な数の原子が、 1 粒子の基底状態を占有し、巨視的な波動関数を形成する。

原子集団は巨視的波動関数としてコヒーレントに運動し、超流動を引き起こす。


BEC と U(1) ゲージ対称性の破れ

BEC の本質は巨視的波動関数の存在である

Y(x)=|Y(x)| exp[i (x)] ：位相 (x) が決まる→ U(1) ゲージ対称性の破れ

絶対零度における平均場ハミルトニアン


超流動のダイナミクス (Macroscopic)

•全流体は粘性のある成分（常流体）とない成分（超流体）とに分けられる。•粘性のない振る舞いは超流体の振る舞いを見ている•1 K 以下では常流体はほとんどない•二流体モデルを用いて超流動現象の多くを説明することができる


２流体モデルを最も特徴づける現象：熱対向流

超流動中に温度勾配をつけると‥

常流体：低温側へ

超流体：高温側へ

•流体全体としては流れていないように見えるが、それぞれの成分が反対方向に流れている。•非常に大きな熱伝導度（通常の液体の約 106倍）


熱対向流における層流－乱流転移

二流体の相対速度がある値を超えると、今まで散逸を伴わなかった熱対向流に散逸が生じる

Feynman

この散逸こそ超流体中の循環が量子化された量子渦のタングル状態：超流動乱流状態である！ (1955)


量子渦と量子乱流の発見

Vinen

•超流動 4He における量子化された循環 k = h/m を観測：量子渦の発見•タングル状態の量子渦と常流体との摩擦である相互摩擦力 (mutual friction) を観測：超流動乱流の発見 (1957)


量子渦の特徴 (Macroscopic)

•すべての量子渦はいたるところで同じ循環 k = ∳ vs ・ ds = n h / m を持つ（実際には n ≥ 2 の渦は不安定で n = 1 の渦へと分裂する）。•渦の粘性拡散がなく、安定に存在する。•渦芯のサイズは数 Å （液体 4He ）：非常に微視的な渦→古典流体の渦では最も粗雑な近似である渦糸近似が、量子渦では Realistic となる。

k


量子渦の特徴 (Microscopic)

波動関数の位相が 2pずれている部分があると、その中心では波動関数を定義できず (r = 0)欠陥 (defect) となる。


量子渦

欠陥は線状に走り、量子渦となる

原理的には 2pだけでなく、 2p の整数倍 nだけの位相のずれが可能である。

n ：トポロジカル不変量


量子渦の観測

G. P. Bewley et al. Nature 441, 588 (2006)

超流動 4He 中の渦タングルPackard 1982

超流動 4He 中の渦格子


渦糸近似による超流動乱流のシミュレーション

量子渦：渦糸近似が有効

渦糸要素の時間発展

x0 ：渦糸要素の位置ベクトル

vind ：渦糸が作る超流動速度場（ビオ・サバール則で与えられる）

vsa ：外部から駆動する超流動速度場

vm ：量子渦と常流体の相互摩擦力


渦糸近似による超流動乱流のシミュレーション

vs

vn

超流動乱流中の渦糸タングル

渦糸近似を用いて量子渦のダイナミクスを計算し、熱対向流中における超流動乱流との定量的な一致を得た (Schwarz 1988) 。

「超流動乱流＝量子渦糸タングル」という描像が裏付けられた。


熱対向流中の超流動乱流における膨大な研究が行われた

しかし、

熱対向流は超流動固有の現象であり、よって熱対向流によって作り出された超流動乱流は古典乱流との対応を全く持っていない！

超流動乱流の古典乱流との関係は全く謎のままであった！


超流動乱流研究の新しい幕開け

近年、状況は一変する

J. Maurer and P. Tabeling, Europhys. Lett. 43 (1), 29 (1998)

回転円盤中に形成される超流動乱流

実験条件 T > 1.4 K

古典流体にて乱流を作る方法と同じ方法である。→

古典乱流との対応を議論することが可能になった


超流動乱流と古典乱流の類似性

超流動転移温度以下においてもKolmogorov の -5/3乗則が観測された

超流動乱流と古典乱流の類似性が観測された！

J. Maurer and P. Tabeling, Europhys. Lett. 43 (1), 29 (1998)


Kolmogorov則：一様等方古典乱流における統計則

エネルギー保有領域においてスケール l0 のエネルギーが注入され

る



慣性領域ではエネルギーが散逸されずに高波数へと流れてゆきエネルギースペク

トル E(k) がKolmogorov則で与えら

れる .

C : Kolmogorov定数



エネルギー散逸領域ではエネルギーが

Komogorov長のスケール lK で散逸される


　 Kolmogorov則：一様等方古典乱流における統計則

e : エネルギー注入率

e : エネルギー輸送率

P(k) : k 空間におけるエネルギー流束

e : エネルギー散逸率


量子乱流と古典乱流の類似性

常流体 + 超流体中の量子渦

両者が相互摩擦力 (mutual friction) を介して結合し、１つの古典乱流のように振る舞うという描像で理解されてきた

常流体の存在しない絶対零度近傍の超流動乱流（量子乱流）でも古典流体との類似性はあるのか ?


古典乱流と量子乱流

地球上の乱流スモークワイヤ法によるトンボ周りの流れの可視化（工学院大中村瑞木氏）

自然界のほとんどの流れは乱流であるとともに流体力学最大の難問である


Leonardo da Vinci による乱流研究の幕開け

配水管から流れる水によって作られる乱流の渦構造のス

ケッチ

Leonardo da Vinci•乱流は渦によって形成される•乱流は渦の階層構造を持つ•同じ階層の渦間に相互作用が働く


Leonardo da Vinci による乱流研究の幕開け

Navier-Stokes方程式の数値解析（京大工木田重雄氏）

一様等方乱流中の低圧力旋回渦の中心軸と芯領域の可視化

乱流において渦は重要な役割を果たす


Kolmogorov則と Richardsonカスケード

エネルギー保有領域：大きな渦の生成

慣性領域

エネルギー散逸領域：粘性により渦が消滅する

大きな渦が小さな渦へと分裂する： Richardson cascade


Richardsonカスケード

Navier-Stokes 方程式のシミュレーション

高渦度の等値面図

エネルギー注入なしの減衰乱流

↓大きな渦度領域をランダムに幾つか配置し、

時間発展

↓確かに渦は小さい渦へと分裂していっている

定常乱流ではこのプロセスが定常的に起こっている？


Richardsonカスケードと自己相似性

名古屋大学大学院工学研究科・金田研究室による乱流の大規模シミュレーション

乱流中においてRichardsonカスケードによる渦の自己相似的な構造が現れている

→Kolmogorov則と密接な関係がある？


古典乱流の渦

•渦度 w = rot v が連続的•循環 k が任意の経路で任意の値をとる•渦は粘性によって生成消滅を繰り返す

•渦の定義が困難（どの物理量のどの値を基準とするべきか）•Richardsonカスケードは概念的なものに過ぎない（誰も見た人がいない）


量子乱流中の量子渦

• 循環 k = ∳ v ・ ds = h / m が量子渦回りに量子化される

• 量子渦は安定な位相欠陥である• 渦芯は非常に細い（回復長のオーダー）

量子渦は古典流体の渦と異なって安定かつ循環がそろっており、明確に定義できる

→ぼやけてはっきりしない古典流体の渦にまとわりついているよけいな自由度を取り除いた、渦の本質のみの形

量子渦を構成要素とする量子乱流は構成要素がはっきりしない古典乱流の理想系となりうる（乱流の量子化）。

量子乱流こそが Kolmogorov則と Richardsonカスケードの関係を明らかにするかもしれない。

→ 量子乱流も Kolmogorov則を示す可能性がある


研究目的

• 量子流体のダイナミクスを記述する方程式である Gross-Pitaevskii方程式を用いて量子乱流の数値シミュレーションを行う。

• エネルギースペクトルやエネルギー流束などの物理量を計算し、古典乱流との類似性を調べる。


量子乱流のエネルギースペクトルと統計： GP方程式を用いた解析

ボース場のハミルトニアン（ 4He ：ボース粒子）（デルタ関数型の短距離反発芯相互作用）


Gross-Pitaevskii方程式

ボース凝縮している系において揺らぎを無視する



量子渦

ハミルトン方程式から GP方程式（非線形Schrödinger方程式）を得る


散逸項の導入

渦の再結合GP方程式は圧縮性流体の方程式であり、渦の再結合時や渦芯の大きさまで小さくなった渦輪の消滅時に回復長より短いスケールの短波長圧縮性素励起を放出する（系の温度が上がる）

⇒渦と相互作用し乱流のダイナミクスに影響を与える


散逸項の導入

短波長圧縮性素励起を取り除くため、 GP方程式に散逸項を導入する

GP方程式のフーリエ変換


シミュレーションパラメーター

（長さは回復長で規格化： x = 1 ）

空間：周期境界条件における擬スペクトル法

時間： Runge-Kutta法


減衰乱流

初期状態：ランダム位相

初期速度場：ランダム

↓

乱流が形成される


減衰乱流

0 < t < 6

g0=0

減衰無し

g0=1

減衰あり

渦位相密度


乱流のエネルギーとエネルギースペクトル

運動エネルギーを渦の部分と圧縮性素励起の部分に分ける


乱流のエネルギー

散逸がないと圧縮性素励起のエネルギーが支配的となる。

散逸を導入することで圧縮性素励起のエネルギーが散逸し、渦のエネルギーが支配的となる。


減衰乱流

量子乱流中の量子渦が古典乱流との類似性を示した！


定常乱流

X0 : ランダムポテンシャルの特徴的スケール

®サイズ X0 の渦が生成される


定常乱流への成長

エネルギー散逸とエネルギー注入のバランスにより定常乱流が実現される

渦密度ポテンシャル

非圧縮性運動エネルギー Ekini が常に支配

的


定常乱流への成長

エネルギー散逸とエネルギー注入のバランスにより定常乱流が実現される

非圧縮性運動エネルギー Ekini が常に支配

的


乱流におけるエネルギーの流れ


エネルギー散逸率


エネルギー流束

累積運動エネルギー

累積エネルギー散逸

累積エネルギー注入


エネルギー輸送方程式からエネルギー流束を計算する



1. P(k) は慣性領域においてほぼ一定値

2. 慣性領域における P(k) は e とほぼ等しい値となる


エネルギースペクトル

慣性領域でエネルギースペクトルが Kolmogorov則と一致した！

：量子乱流と古典乱流の類似性は確かに存在する


量子乱流まとめ

• Gross-Pitaevskii方程式の数値シミュレーションを用いて量子乱流のダイナミクスと統計を調べ、量子乱流と古典乱流に類似性が存在することを明らかにした

• 量子乱流におけるエネルギーの流れの描像を明らかにした

•Phys. Rev. Lett. 94, 065302 (2005)　（減衰乱流）•J. Phys. Soc. Jpn. 74, 3248 (2005) 　（減衰、定常乱流）


その他の話題（非可換量子渦）

スカラー BEC の渦におけるトポロジカル不変量は整数で特徴づけられた

n ：トポロジカル不変量

内部自由度を持つ BEC において、渦のトポロジカル不変量が非可換代数（例えば正四面体回転群）となる場合がある　　→非可換量子渦


その他の話題（非可換量子渦）

原子のスピン自由度が生きているような BEC を考える

低エネルギー接触相互作用を仮定 (l = 0)


平均場ハミルトニアン（スピン 2 の場合）

全ての原子が同じ 1 粒子状態にいるとする

密度スピン密度シングレットペア振幅


U(1)GSO(3)S 対称性の破れ

ゲージ変換： U(1)Gスピン回転： SO(3)S

ハミルトニアンから決まる

状態は位相 (U(1)G) とスピンの回転角度 a(SO(3)S) を決めると決まる（ハミルトニアンは不変）： U(1)GSO(3)S 対称性の破れ


基底状態

Biaxial Nematic : D4

Cyclic : T

Ferromagnetic : SO(2)

Uniaxial Nematic : D

- ¼

¼


非可換量子渦

量子渦のトポロジカル不変量1 成分 BEC

整数（位相の巻き数）

スピン 2 スピノル BEC の Cyclic相

正四面体回転群の要素




量子渦の衝突シミュレーション

同じ

可換

非可換

非可換

再結合

すり抜け

ラング渦

ラング渦

非可換量子渦が衝突すると衝突する 2 本をつなぐ新たな渦が出現する（ラング渦）


量子渦の衝突シミュレーション

同じ可換非可換

合体すり抜けラング渦ラング渦が形成されるため、非可換量子渦の絡み目

はほどくことができない


非可換量子渦の応用：非可換量子乱流

可換量子渦による量子乱流↓

量子渦のカスケード

非可換量子渦による非可換量子乱流

↓ラング渦による大規模な量子渦のネットワーク構造が

期待できる新しい量子乱流研究


非可換量子渦まとめ

1.スピノル BEC では U(1)GSO(3)S 対称性の破れに対応して様々な量子渦が出現する

2.スピン 2 のスピノル BEC の Cyclic 相において非可換量子渦が可能となる

3.非可換量子渦の非可換性は衝突ダイナミクスにおいて顕著となり、特に衝突する 2 本をつなぐ新たなラング渦ができることが分かった


原子気体 BEC

87Rb, 23Na, 7Li, 1H, 85Rb, 41K, 4He, 133Cs, 174Yb,

52Cr, 40Ca, 84Sr

1997 年に希薄なアルカリ原子気体のBEC が成功した

原子のトラップ

レーザーによる原子の冷却

熱い原子を捨てる（蒸発冷却）


原子気体 BEC

87Rb の BEC

4£10-7 K

2£10-7 K

1£10-7 K

粒子数～ 100 万個温度　～ 100nKサイズ～ 10 ～100mm


量子渦の観測原子気体ボース・アインシュタイン凝縮での渦格子

K. W. Madison et al. PRL 86, 4443 (2001)

87Rb BEC での渦格子

渦格子形成のシミュレーション -p p


スピノル BEC


超微細相互作用により核と電子のスピンが結合する (F = I + S + L)

87Rb, 23Na, 7Li, 41K F=1, 285Rb F=2, 3133Cs F=3, 452Cr S=3, I=0


スピノール BEC


mF で特徴づけられる多成分の BEC が実現す

る

87Rb (I = 3/2)

スピン 1 ： 3 成分の非対角長距離秩序 Y = (Y1, Y0, Y-1) 磁場勾配

0 1-1

Stern-Gerlach 実験により成分ごとに観測できる


BEC のスピンダイナミクス

F = 1

J. Stenger et al. Nature 396, 345 (1998)

F = 2

H. Schmaljohann et al. PRL 92, 040402 (2004)

Stern-Gerlach 実験

異なる mF の凝縮体は入れ替わることができる（スピンの回転演算に対応）


渦糸近似による量子乱流のシミュレーション

渦糸近似によって量子乱流のダイナミクスを計算し、エネルギースペクトルを求める（初期状態： Taylor-Green-flow ）。

T. Araki, M. Tsubota and S. K. Nemirovskii, Phys. Rev. Lett. 89, 145301 (2002)

相互摩擦力を考慮しない


渦糸近似による量子乱流のシミュレーション

低波数側でエネルギースペクトルが Kolmogorov則と一致した！ (C ≒0.7 )


Kolmogorov定数

渦糸近似： C ~ 0.7 減衰乱流： C ~ 0.32 定常乱流： C ~ 0.55

古典乱流： 1.4 < C < 1.8 → 明らかに古典乱流より小さな値が得られている：量子乱流に特有の性質かも知れない（導出可能？）


代数的考察

経路 d は渦 B を ABA-1 とみなす ( 共役類 )


Y 字型構造

B

A

AB


量子渦の衝突

可換なときのみ

B

A

A

ABA-1

B

A B

B-1AB

B

A

ABA

ABA-1

B

A

A

ABA-1

BA-1


同じ渦の衝突A

A

A

A

A

A A

A

A

A

A2

A

AA

A

A

A

1

○

×

×再結合

エネルギー的に不利


可換な渦の衝突B

A

A

ABA-1

B

A B

B-1AB

B

A

ABA

ABA-1

B

A

A

ABA-1

BA-1

××○

すり抜け

エネルギー的に不利


非可換量子渦の衝突

トポロジカルに禁止

B

A

A

ABA-1

B

A B

B-1AB

B

A

ABA

ABA-1

B

A

A

ABA-1

BA-1

× ○

○

ラング渦


絡み目渦

B A

A ABA-1

ABA-1

B

ABA-1

A

AB -1ABA-1

AB -1A-1B非可換

B

B

A

A

可換非可換な絡み目はほどけない

AB -1ABA-1

絡み数に対応した新たなトポロジカル不変量の定義ができるかもしれない


Nematic 相 vs. Singlet-pair 状態

Nematic 状態

F = 0 の状態 (c1>0, c2<0)Singlet-pair 凝縮状態


Polar 相の存在可能性（ゼロ磁場下で SO(3)S対称性は破れるのか？）

Polar 状態F = 0 の状態 (c1>0)

Singlet-pair 凝縮状態

U(1)GSO(3)S 対称性が破れている

U(1)G 対称性のみ破れている（スピン量子化軸に対して対

称）完全ゼロ磁場下でのみ安定に存在し、ノイズによって容易に SO(3)S 対称性が破れる

1mG程度の磁場で壊れる

スピン 2 の Nematic 相もほぼ同様、 Cyclic 相は完全ゼロ磁場下で trio となる


Cyclic 相 vs. Singlet-trio 状態

Cyclic 状態

F = A00 = 0 の状態 (c1>0, c2>0)Singlet-trio 凝縮状態


量子乱流の時間相関

時間相関によるエネルギースペクトル


量子乱流の時間相関

時間相関における Kolmogorov則：時間相関と空間相関の対応が見えている

Documents

量子渦 および量子乱流の世界

量子渦および量子乱流の世界