E Ξ Ι Σ Ω Σ Ε Ι Σ – Α Ν Ι Σ Ω Σ Ε Ι Σ

2.1 Η εξίσωση αx + β = 0

2.2 Εξισώσεις 2ου βαθμού

2.3 Προβλήματα εξισώσεων2ου βαθμού

2.4 Κλασματικές εξισώσεις

2.5 Ανισότητες – Ανισώσειςμε έναν άγνωστο

Γενικές ασκήσεις 2ου κεφαλαίου

Επανάληψη – Ανακεφαλαίωση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ2o

86

✔ Θυμάμαι πώς λύνονται οι εξισώσεις πρώτου βαθμού.

✔ Αναγνωρίζω αν μια εξίσωση έχει μοναδική λύση ή είναιαδύνατη ή είναι ταυτότητα.

ŒÓ·˜ Ù·¯˘‰ÚfiÌÔ˜ ÍÂÎÈÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ ¯ˆÚÈfi ∞ Î·È ·ÊÔ‡ ÂÈÛÎÂÊı› ‰È·‰Ô¯Èο Ù· ¯ˆÚÈ¿μ Î·È °, ÂÈÛÙÚ¤ÊÂÈ ÛÙÔ ¯ˆÚÈfi ∞. ∏ ‰È·‰ÚÔÌ‹ μ° Â›Ó·È 1 km ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ ∞μÎ·È Ë °∞ Â›Ó·È 1 km ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙË μ°.ªÔÚ›Ù ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛÔ ·¤¯Ô˘Ó Ù· ¯ˆÚÈ¿ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂÙ fiÙÈ Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ ·fiÛÙ·ÛË Ô˘‰È‹Ó˘ÛÂ Ô Ù·¯˘‰ÚfiÌÔ˜ ‹Ù·Ó:

·) 15 km;‚) ÙÔ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ Ù˘ ÚÒÙ˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜;Á) ÙÔ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜;

™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË Ì¿ı·Ì ӷ χÓÔ˘Ì ÂÍÈÛÒÛÂȘ, fiˆ˜ 3x = 12, –4y + 11 = 0,Î.Ù.Ï. ™ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ¿ÁÓˆÛÙÔ˜ Î·È Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÂÎı¤Ù˘ ÙÔ˘·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1. ™Â ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ϤÌ fiÙȤ¯Ô˘Ì Â͛ۈÛË 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ (ÚˆÙÔ‚¿ıÌÈ· Â͛ۈÛË).

∏ Â͛ۈÛË 3x = 12, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔ˜ ÙÔ˘ ÌˉÂ-Ófi˜ ·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· Ì›· ÌfiÓÔ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘, ÙËÓ x = 4. O ·ÚÈıÌfi˜ 4, Ԣ·ÏËı‡ÂÈ ÙËÓ Â͛ۈÛË 3x = 12, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ï‡ÛË ‹ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘.

À¿Ú¯Ô˘Ó fï˜ Î·È ÂÍÈÛÒÛÂȘ, fiˆ˜ ÔÈ 0x = –3 ‹ 0x = 0, ÛÙȘ Ôԛ˜ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó.

∏ Â͛ۈÛË 0x = –3 ‰ÂÓ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ηÌÈ¿ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ·ÊÔ‡ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ 0x ›ӷȿÓÙÔÙ ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó Î·È ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì –3. ªÈ· Ù¤ÙÔÈ· Â͛ۈÛË,Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·‰‡Ó·ÙË.

∏ Â͛ۈÛË fï˜, 0x = 0 ·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·ÈÙ·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË.

∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ:

∏ Â͛ۈÛË fï˜, 0x = 0 ·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·ÈÙ·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË.

∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ:

‚ñ ∞Ó · ≠ 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = – ⎯·ñ ∞Ó · = 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 0x = –‚ ηÈ

– ·Ó ‚ ≠ 0, ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË), ÂÓÒ– ·Ó ‚ = 0, οı ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ (Ù·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË).

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 02.1

∞B

°

N· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË – = x + 1

Λύση

– = x + 1

6 � – 6 � = 6 � x + 6 � 1

3(x – 1) – (2x + 1) = 6x + 63x – 3 – 2x – 1 = 6x + 6

3x – 2x – 6x = 6 + 3 + 1–5x = 10

=

x = – 2ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = – 2

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) 3(x + 2) – 3 = 3x + 5 ‚) 2(x – 1) – x = x – 2

Λύση·) 3(x + 2) – 3 = 3x + 5 ‚) 2(x – 1) – x = x – 2

3x + 6 – 3 = 3x + 5 2x – 2 – x = x – 23x – 3x = 5 – 6 + 3 2x – x – x = 2 – 2

0x = 2 0x = 0H Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· οıÂη̛· ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË. ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ÔfiÙÂ Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

¡· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂÙ Û οı Â͛ۈÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙÔ ÛˆÛÙfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË μ.

1. Œ¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË

2. ∂›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË

3. ∂›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·

·. 3x = 7

‚. 0x = 0

Á. 0x = 5

‰. 5x = 0

™Ù‹ÏË μ™Ù‹ÏË ∞

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

2

10–5

–5x–5

2x + 16

x – 12

2x + 16

x – 12

2x + 16

x – 12

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

87

2.1 ∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0

ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ.

ñ ∞·Ï›ÊÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜.

ñ ∫¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Î·È ‚Á¿˙Ô˘Ì ÙȘ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ.

ñ Èڛ˙Ô˘Ì ÁÓˆÛÙÔ‡˜ ·fi ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜.

ñ ∫¿ÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ.

ñ ¢È·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘Ì ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘.

‰Á‚·

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó ›ӷÈÏ·Óı·Ṳ̂Ó˜.

·) ∏ Â͛ۈÛË x= 2 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = 6.

‚) ∏ Â͛ۈÛË 4x = 0 Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.Á) ∏ Â͛ۈÛË 0x = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi.‰) ∏ Â͛ۈÛË 0x = 6 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = 6.Â) ∏ Â͛ۈÛË 5(x + 1) = 5x + 5 Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) –3(x + 2) – 2(x – 1) = 8 + x ‚) 4y – 2(y – 3) = 2y + 1Á) 5(–ˆ + 2) – 4 = 6 – 5ˆ ‰) (2x + 1)2 + 5 = 4(x2 – 10)

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:

·) – = x – ‚) – = 1 –

Á) – = ‰) 0,2(3x – 4) – 5(x – 0,4) = 0,4(1 – 10x)

To ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ ÂÏ·ÙÙÔ‡ÌÂÓÔ Î·Ù¿ 5 Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡·˘ÍË̤ÓÔ Î·Ù¿ 10. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜;

ƒÒÙËÛ·Ó Î¿ÔÈÔÓ fiÛ· ¢ÚÒ ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ÔÚÙÔÊfiÏÈ ÙÔ˘ ÎÈ ÂΛÓÔ˜ ·¿ÓÙËÛÂ:«∞Ó Â›¯· fiÛ· ¤¯ˆ Î·È Ù· ÌÈÛ¿ ·ÎfiÌ· Î·È ‰¤Î· ·Ú·¿Óˆ, ı· ›¯· ÂηÙfi».ªÔÚ›, ¿Ú·ÁÂ, Ì ٷ ¯Ú‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ¤Ó· ·ÓÙÂÏfiÓÈ Ô˘ ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 65 C;

√ ηıËÁËÙ‹˜ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Â›Â ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘:– ™ÎÂÊÙ›Ù ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Î·È ‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛÙ ÙÔÓ.– ™ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ÚÔÛı¤ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 10.– ΔÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ô˘ ‚ڋηÙ ӷ ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÛÂÙ Ì ÙÔ 2 Î·È ·fi ÙÔ ËÏ›ÎÔ Ó· ·Ê·ÈÚ¤-

ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÛÎÂÊًηÙ ·Ú¯Èο.– ∫¿ı ̷ıËÙ‹˜ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ‚ÚÂÈ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 5, ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÔÈÔÓ

·ÚÈıÌfi ÛΤÊÙËΠ·Ú¯Èο.ªÔÚ›Ù ӷ ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ηıËÁËÙ‹;

ŒÓ·˜ Ô‰ËÏ¿Ù˘ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙËÓ fiÏË∞ Î·È ÎÈÓÂ›Ù·È ÚÔ˜ ÙËÓ fiÏË μ Ì ̤ÛËÙ·¯‡ÙËÙ· 16 km/h. ªÈ· ÒÚ· ·ÚÁfiÙÂÚ·,ÌÈ· Ê›ÏË ÙÔ˘ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙËÓ fiÏË μ ηÈÌ ̤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· 12 km/h ÎÈÓÂ›Ù·È ÚÔ˜ ÙËÓ fiÏË ∞ ÁÈ· Ó· ÙÔÓ Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÂÈ. ∞Ó Ë·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‰‡Ô fiÏÂˆÓ Â›Ó·È 44 km, Û fiÛ˜ ÒÚ˜ ·fi ÙËÓ ÂÎΛÓËÛË ÙÔ˘Ô‰ËÏ¿ÙË ı· Û˘Ó·ÓÙËıÔ‡Ó;

6

5

4

3

ˆ – 56

ˆ + 12

2(ˆ – 1)3

3y10

y2

y + 55

13

x + 36

x – 12

2

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

13

2

88

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

∞ μ

89

✔ Λύνω εξισώσεις δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενοπαραγόντων.

✔ Βρίσκω το πλήθος των λύσεων μιας εξίσωσης δευτέρουβαθμού και υπολογίζω τις λύσεις της με τη βοήθεια τύπου.

✔ Μετατρέπω ένα τριώνυμο σε γινόμενο παραγόντων.

ŒÓ·˜ Ì˯·ÓÈÎfi˜ ۯ‰›·Û ÌÈ· ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹ Î·È ÛÙËÓ ÚfiÛÔ„‹ Ù˘ ÚÔ¤‚Ï„ ÙËÓ Î·Ù·-Û΢‹ ÌÈ·˜ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜ Î·È ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ 9 mÎ·È 1 m. ™ÙÔ Û¯¤‰ÈÔ Ô˘ ·ÚÔ˘Û›·Û ÛÙÔÓ È‰ÈÔÎÙ‹ÙË Ù˘ ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹˜ Ë ‚ÂÚ¿ÓÙ· Î·È ÙÔÌ·ÏÎfiÓÈ Â›¯·Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ.·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ· ̤ÙÚ· ‹Ù·Ó Ë ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜.

√ ȉÈÔÎÙ‹Ù˘ fï˜, ıÂÒÚËÛ ÛÙÂÓfi ÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ Î·È ˙‹ÙËÛ ·fi ÙÔ Ì˯·ÓÈÎfi Ó··˘Í‹ÛÂÈ ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Î·È Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜ ηٿ Ù· ›‰È·Ì¤ÙÚ·, ÒÛÙ ӷ ¤¯Ô˘Ó Î·È ¿ÏÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ.

‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ· ̤ÙÚ· ¤Ú ӷ ·˘ÍËı› ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Î·È Î¿ıÂÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜.ªÂ ÙÔ ·›ÙËÌ· fï˜ ÙÔ˘ ȉÈÔÎÙ‹ÙË, ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜ Î·È ÙÔ˘Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ ÍÂÂÚÓÔ‡Û ÙÔ fiÚÈÔ Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ÔÏÂÔ‰ÔÌÈÎfi ηÓÔÓÈÛÌfi.ΔÂÏÈο, ·ÔÊ·Û›ÛÙËΠӷ ÌÂÁ·ÏÒÛÂÈ Ë ‚ÂÚ¿ÓÙ· Î·È ÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ, fiˆ˜ ÙÔ ˙‹ÙËÛÂÔ È‰ÈÔÎÙ‹Ù˘, Ì ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛË fï˜ Ó· ÌËÓ ¤¯Ô˘Ó È· ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ, ·ÏÏ¿ Ó· ηχÙÔ˘Ó Û˘ÓÔÏÈο 34 m2.

Á) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ· ̤ÙÚ· ·˘Í‹ıËΠÙÂÏÈο ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Î·È Î¿ıÂÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

∂ÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡2.2

9 m

1m

À¿Ú¯Ô˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ Ë Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘˜ Ô‰ËÁ› Û Â͛ۈÛË Ì’¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ Î·È ÛÙËÓ ÔÔ›· Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÂÎı¤Ù˘ ÙÔ˘·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 2.

™Â ηıÂÌ›· ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘ÌÂÂ͛ۈÛË 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ (‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ· Â͛ۈÛË).

∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë ÁÂÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ 2Ô˘‚·ıÌÔ‡ Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ x ›ӷÈ

√È ·ÚÈıÌÔ› ·, ‚, Á ϤÁÔÓÙ·È Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘. √ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ Á ϤÁÂÙ·È Î·ÈÛÙ·ıÂÚfi˜ fiÚÔ˜. OÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ›ӷÈ:

x2 – 9 = 0 : · = 1 ‚ = 0 Á = –9x2 – 3x = 0 : · = 1 ‚ = –3 Á = 0

x2 + 15x – 16 = 0 : · = 1 ‚ = 15 Á = –16

∂›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ·Ó¿Ï˘ÛË Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ

£˘ÌfiÌ·ÛÙ fiÙÈ :

E›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x2 + ‚x = 0 Ì · � 0°È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 = 3x ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

E›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x2 + Á = 0 Ì · � 0

°È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 – 9 = 0, ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

∞Ó · � ‚ = 0 ÙfiÙÂ · = 0 ‹ ‚ = 0

∞

·x2 + ‚x + Á = 0 ÌÂ · � 0

90

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

x2 = 9,

χ2 – 3χ = 0,

χ2 + 15χ – 16 = 0

x2 = 3xx2 – 3x = 0

x(x – 3) = 0

x = 0 ‹ x – 3 = 0x = 0 ‹ x = 3ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô

χÛÂȘ, ÙȘ x = 0 Î·È x = 3

x2 – 9 = 0x2 – 32 = 0

(x – 3) (x + 3) = 0

x – 3 = 0 ‹ x + 3 = 0x = 3 ‹ x = –3

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡ÔχÛÂȘ, ÙȘ x = 3 Î·È x = –3

ñ ªÂٷʤÚÔ˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÛÙÔ ·� ̤ÏÔ˜.ñ ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ ·� ̤ÏÔ˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.ñ °È· Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ x(x – 3) ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó

Ú¤ÂÈ x = 0 ‹ x – 3 = 0.

1Ô˜ ÙÚfiÔ˜:ñ ΔÔ ·� ̤ÏÔ˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·-

ÁÒÓˆÓ Î·È ÙÔ ‚� ̤ÏÔ˜ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó.ñ ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ ·� ̤ÏÔ˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.ñ °È· Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ (x – 3)(x + 3) ›ÛÔ Ì ÙÔ

Ìˉ¤Ó Ú¤ÂÈ x – 3 = 0 ‹ x + 3 = 0

91

2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

°È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 16 = 0, ·Ó ÂÚÁ·ÛÙԇ̠fiˆ˜ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜,·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È x2 = –16. H Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË),ÁÈ·Ù› ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î¿ı ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‹ Ìˉ¤Ó Î·È ‰ÂÓÂ›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì –16.

∏ Â͛ۈÛË x2 = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = 0. H χÛË ·˘Ù‹ ϤÁÂÙ·È ‰ÈÏ‹, ÁÈ·Ù› Ë Â͛ۈÛË x2=0ÁÚ¿ÊÂÙ·È x � x = 0, ÔfiÙ x = 0 ‹ x = 0 (‰ËÏ·‰‹ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ÙËÓ ›‰È· χÛË).

E›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · � 0°È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 9x2 – 6x + 1 = 0 ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

°È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 15x – 16 = 0 Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÛÙÔ ·� ̤ÏÔ˜ ·Ó¿Ù˘ÁÌ·ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÂÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

∏ ̤ıÔ‰Ô˜ Ì ÙËÓ ÔÔ›· χ۷Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 15x – 16 = 0 Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜Ì¤ıÔ‰Ô˜ Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

∞Ó · Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË x2 = · ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË)

x2 – 9 = 0x2 = 9

x = ��9 ‹ x = –��9x = 3 ‹ x = –3

2Ô˜ ÙÚfiÔ˜:ñ ŸÙ·Ó · Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜, Ë Â͛ۈÛË x2 = · ¤¯ÂÈ

‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = ��· Î·È x = –��·

ñ ΔÔ ÚÒÙÔ Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Û‡Ìʈӷ ÌÂÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· ·2 – 2·‚ + ‚2 = (· – ‚)2

ñ °È· Ó· Â›Ó·È (3x – 1)2 = 0 Ú¤ÂÈ3x – 1 = 0

9x2 – 6x + 1 = 0(3x)2 – 2 � 3x � 1 + 12 = 0

(3x – 1)2 = 03x – 1 = 0 ‹ x =

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x = 13

13

ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘Â͛ۈÛ˘ Ì 4·, fiÔ˘ · Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x2.

ñ MÂٷʤÚÔ˘Ì ÛÙÔ ‚� ̤ÏÔ˜ ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi fiÚÔÎ·È ÛÙÔ ·� ̤ÏÔ˜ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠·Ú¿ÛÙ·ÛËÙ˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·2 + 2·‚ ‹ ·2 – 2·‚.

ñ °È· Ó· Û˘ÌÏËÚˆı› ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·-ÁÒÓÔ˘ ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË ÙÔ ‚2.

ñ ÃÚËÛÈÌÔÔÈԇ̛̠· ·fi ÙȘ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜·2 + 2·‚ + ‚2 = (· + ‚)2

·2 – 2·‚ + ‚2 = (· – ‚)2

x2 + 15x – 16 = 04x2 + 60x – 64 = 0

(2x)2 + 2 � 2x � 15 = 64(2x)2 + 2 � 2x �15+ 152 = 64 + 152

(2x + 15)2 = 289

2x + 15 =��289 ‹ 2x + 15 = –��2892x + 15 = 17 ‹ 2x + 15 = –17

2x = 2 ‹ 2x = –32x = 1 ‹ x = –16

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘx = 1 Î·È x = –16

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 2x2 = 7x ‚) 3x2 – 75 = 0 Á) 2x2 + 8 = 0

Λύση·) 2x2 = 7x ‚) 3x2 – 75 = 0 Á) 2x2 + 8 = 0

2x2 – 7x = 0 3x2 = 75 2x2 = –8x(2x – 7) = 0 x2 = 25 x2 = –4

x = 0 ‹ 2x – 7 = 0 x = ��25 ‹ x = –��25 ¢ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË

x = 0 ‹ x = x = 5 ‹ x = –5 (·‰‡Ó·ÙË Â͛ۈÛË)

N· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË x2(2x – 1) – 6x(2x – 1) + 9(2x – 1) = 0

Λύσηx2(2x – 1) – 6x(2x – 1) + 9(2x – 1) = 0

(2x – 1)(x2 – 6x + 9) = 0(2x – 1)(x – 3)2 = 0

2x – 1 = 0 ‹ x – 3 = 0

x = ‹ x = 3 (‰ÈÏ‹ χÛË)

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.·) √ ·ÚÈıÌfi˜ 0 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 4x + 3 = 0.‚) O ·ÚÈıÌfi˜ 3 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 4x + 3 = 0.Á) OÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (x – 2)(x + 1) = 0 Â›Ó·È x = 2 Î·È x = –1.‰) ∏ Â͛ۈÛË x2 = 16 ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x = 4.Â) H Â͛ۈÛË x2 = –9 ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË.

ÛÙ) ∏ Â͛ۈÛË (x – 2)2 = 0 ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ‹ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x = 2.

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.·) H Â͛ۈÛË 5x – 6 = x2 Â›Ó·È 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡.‚) ∏ Â͛ۈÛË x2 + 3x + 8 = x(x + 2) Â›Ó·È 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡.Á) ∏ Â͛ۈÛË (Ï – 2)x2 + 5x + 3 = 0 ›ӷÈ

i) 1o˘ ‚·ıÌÔ‡, fiÙ·Ó Ï = 2ii) 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡, fiÙ·Ó Ï � 2.

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ χÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 = 6x ·ÏÔÔ›ËÛ Ì ÙÔ x Î·È ‚ڋΠfiÙÈ ¤¯ÂÈÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙË x = 6. ¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ fï˜ ÙËÓ Â͛ۈÛË ‰È·›ÛÙˆÛ fiÙÈ Â·ÏË-ı‡ÂÙ·È Î·È ÁÈ· x = 0. ¶Ô‡ ¤ÁÈÓ ÙÔ Ï¿ıÔ˜ Î·È ¯¿ıËÎÂ Ë Ï‡ÛË x = 0;

3

2

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

12

2

72

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

92

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

ñ BÁ¿˙Ô˘Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 2x – 1.

ñ O ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘Â›Ó·È ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

93

2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) (x – 4)(x + 1) = 0 ‚) y(y + 5) = 0 Á) (3 – ˆ)(2ˆ + 1) = 0

‰) 7x(x – 7) = 0 Â) 3y( – 2) = 0 ÛÙ) ( – ˆ)(2ˆ – 1) = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) x2 = 7x ‚) –y2 = 9y Á) 2ˆ2 – 72 = 0

‰) –2t2 – 18 = 0 Â) –0,2Ê2 + 3,2 = 0 ÛÙ) – 0,5z = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) (2x – 1)2 – 1 = 0 ‚) 3(x + 2)2 = 12 Á) (x + 1)2 = 2x

‰) = 27 Â) (3x – 1)2 – 4x2 = 0 ÛÙ) (x + ��3)2 – 3 = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) (3x + 1)2 = 5(3x + 1) ‚) 0,5(1 – y)2 = 18 Á) (2ˆ2 + 1)(ˆ2 – 16) = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) x(x – 4) = –4 ‚) y2 + y – 12 = 0 Á) ˆ2 – 2ˆ – 15 = 0‰) 2t2 – 7t + 6 = 0 Â) 3Ê2 + 1 = 4Ê ÛÙ) 5z2 – 3z – 8 = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) 25x2 + 10x + 1 = 0 ‚) y2(y – 2) + 4y(y – 2) + 4y – 8 = 0Á) ˆ2 + 2006ˆ – 2007 = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) x2 – (· + ‚)x + ·‚ = 0 ‚) x2 – ( ��3 – 1)x – ��3 = 0

OÚÈ˙fiÓÙÈ·:1. MË ÌˉÂÓÈ΋ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 = 12x

– ƒ›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 + 225 = 30x2. °ÈÓfiÌÂÓÔ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x(x + 4) + 8(x + 4) = 03. ÕıÚÔÈÛÌ· ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 10x + 9 = 04. ∏ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘

Â͛ۈÛ˘ x2 = 25– H ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 = 32x

∫¿ıÂÙ·:1. ƒ›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 20x + 100 = 02. To ·Î¤Ú·ÈÔ ËÏ›ÎÔ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x(x – 15) = x – 153. To ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (x – 5)2 – (x – 5) = 04. MË ·ÚÓËÙÈ΋ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 144 = 05. ƒ›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2(x – 12) + 2007(x – 12) = 0

8

7

6

5

4

(x – 9)2

3

3

z2

6

2

12

y3

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1 2 3 4 51

2

3

4

∂›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù‡Ô˘™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ÂÊ·ÚÌfiÛ·Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô «Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘» ÁÈ· ӷχÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 15x – 16 = 0. ΔË Ì¤ıÔ‰Ô ·˘Ù‹ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙËÓÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘ÌÂ Î·È ÁÈ· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÛÙË ÁÂÓÈ΋ Ù˘ ÌÔÚÊ‹,·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · � 0. Œ¯Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο:

∞Ó Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‚2 – 4·Á Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· ¢, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È(2·x + ‚)2 = ¢ Î·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:

ñ ∞Ó ¢ > 0, ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: ñ ∞Ó ¢ = 0, ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:2·x + ‚ = ±��¢ (2·x + ‚)2 = 02·x = –‚ ± ��¢ 2·x + ‚ = 0

x = 2·x = –‚

x = –

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ, ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË,

ÙȘ x = Î·È x = ÙËÓ x = –

ñ ∞Ó ¢ < 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË).

∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‚2 – 4·Á, fiˆ˜ ›‰·ÌÂ, ·›˙ÂÈ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÚfiÏÔ ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË Ù˘ Â͛ۈ-Û˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · � 0, ÁÈ·Ù› Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓχÛÂÒÓ Ù˘. °È’ ·˘Ùfi ϤÁÂÙ·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· ¢, ‰ËÏ·‰‹

™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ:∏ Â͛ۈÛË ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · � 0.ñ ∞Ó ¢ > 0, ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ ÙȘ x =

ñ ∞Ó ¢ = 0, ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË ÙËÓ x = –

ñ ∞Ó ¢ < 0, ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË).

‚2·

–‚ ±��¢2·

¢ = ‚2 – 4·Á

‚2·

–‚ – ��¢2·

–‚ + ��¢2·

‚2·

–‚ ± ��¢2·

B

94

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

·x2 + ‚x + Á = 0

4· � ·x2 + 4· � ‚x + 4· � Á = 0

4·2x2 + 4·‚x = –4·Á

(2·x)2 + 2 � 2·x � ‚ = –4·Á

(2·x)2 + 2 � 2·x � ‚ + ‚2 = ‚2 – 4·Á

(2·x + ‚)2 = ‚2 – 4·Á

ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ì 4·.

ñ ªÂٷʤÚÔ˘Ì ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi fiÚÔ ÛÙÔ ‚� ̤ÏÔ˜.

ñ ™ÙÔ ·� ̤ÏÔ˜ ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ·Ó·Ù‡ÁÌ·ÙÔ˜ (2·x + ‚)2. °È· Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÔ˘Ì ÙÔÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ 2·x + ‚ ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ·‰‡Ô ̤ÏË ÙÔ ‚2.

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) 2x2 + 5x + 3 = 0 ‚) 6x2 – 5x + 2 = 0 Á) –16x2 + 8x – 1 = 0

Λύση·) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x2 + 5x + 3 = 0 Â›Ó·È · = 2, ‚ = 5, Á = 3, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û·

Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = 52 – 4 � 2 � 3 = 25 – 24 = 1 > 0.

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = = = ,

‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = = –1 ‹ x = = –

‚) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 6x2 – 5x + 2 = 0 Â›Ó·È · = 6, ‚ = –5, Á = 2, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û·Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (–5)2 – 4 � 6 � 2 = 25 – 48 = –23 < 0.ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË).

Á) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË –16x2 + 8x – 1 = 0 Â›Ó·È · = –16, ‚ = 8, Á = –1, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›-ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = 82 – 4 � (–16) � (–1) = 64 – 64 = 0.

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x = – = – =

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) 9x2 – (5x – 1)2 = 2x ‚) – =

Λύση·) 9x2 – (5x – 1)2 = 2x ‚) – =

9x2 – (25x2 – 10x + 1) = 2x9x2 – 25x2 + 10x – 1 – 2x = 0 6 � – 6 � = 6 � –16x2 + 8x – 1 = 0

x = (‰ÈÏ‹ χÛË)2x(x + 3) – (x – 6) = 3

(¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1Á)2x2 + 6x – x + 6 – 3 = 02x2 + 5x + 3 = 0

x = –1 ‹ x = – (¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1·)

·) ¡· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË 2x2 – 8x + 6 = 0.‚) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËı› ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 – 8x + 6.

Λύση·) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x2 – 8x + 6 = 0 Â›Ó·È · = 2, ‚ = –8, Á = 6, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û·

Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (–8)2 – 4 � 2 � 6 = 64 – 48 = 16 > 0.

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = ‹ x = = ,

‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = 3 ‹ x = 1.

‚) 2x2 – 8x + 6 = 2(x2 – 4x + 3) = 2(x2 – 3x – x + 3) = 2 �x(x – 3) – (x – 3)� == 2(x – 3)(x – 1)

8 ± 44

–(–8) ±��162 � 2

–‚ ±��¢2·

3

32

14

12

x – 66

x(x + 3)3

12

x – 66

x(x + 3)3

12

x – 66

x(x + 3)3

2

14

82 � (–16)

‚2·

32

–5 – 14

–5 + 14

–5 ± 14

–5 ± ��12 � 2

–‚ ± ��¢2·

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

95

2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

96

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÚȈӇÌÔ˘™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ:ñ √È Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 2x2 – 8x + 6 = 0 Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 3 Î·È 1.ñ ΔÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 – 8x + 6 ·Ó·Ï‡ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

2x2 – 8x + 6 = 2(x – 3)(x – 1)

∞Ó Ú1, Ú2 Â›Ó·È ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · � 0, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ·x2 + ‚x + Á ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Ù‡Ô

·x2 + ‚x + Á = ·(x – Ú1)(x – Ú2)

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë Â͛ۈÛË 2x2 + 5x + 3 = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛÂȘ ÙȘ –1 Î·È – (·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1·).

ÕÚ· ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 + 5x + 3 ÁÚ¿ÊÂÙ·È

2x2 + 5x + 3 = 2�x – (–1)� �x – (– )� = 2(x + 1)(x + )OÌÔ›ˆ˜ Ë Â͛ۈÛË –16x2 + 8x – 1 = 0 ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x = (·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1Á).

ÕÚ· ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ –16x2 + 8x – 1 ÁÚ¿ÊÂÙ·È

–16x2 + 8x – 1 = –16(x – )(x – ) = –16(x – )2

AÓ ¢ Â›Ó·È Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · � 0, ÙfiÙ ӷ ·ÓÙÈ-ÛÙÔȯ›ÛÂÙ Û οı ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ (∞) ÙÔ ÛˆÛÙfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË (μ).

N· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.·) ∞Ó Ì›· Â͛ۈÛË 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯ÂÈ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ıÂÙÈ΋, ÙfiÙ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË.‚) ∞Ó Ì›· Â͛ۈÛË 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯ÂÈ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ıÂÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó, ÙfiÙ ¤¯ÂÈ

Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ï‡ÛË.

Á) ∏ Â͛ۈÛË 2x2 + 4x – 6 = 0 ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1 Î·È –3,ÔfiÙ ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 + 4x – 6 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 2x2 + 4x – 6 = (x – 1)(x + 3).

2

1. ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ï‡ÛË.

2. ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ.

3. ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË.

4. ∏ Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË.

·. ¢ > 0

‚. ¢ = 0

Á. ¢ � 0

‰. ¢ < 0

™Ù‹ÏË μ™Ù‹ÏË ∞

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

14

14

14

14

32

32

32

Γενικά

‰Á‚·

N· ‚Ú›Ù ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Â›Ó·È ÚÔÙÈÌfiÙÂÚÔ Ó· Ï˘ıÔ‡Ó Ì ÙË‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ Ù‡Ô˘·) 2x2 = 7x ‚) 3x2 – 2x + 8 = 0 Á) –2x2 + 50 = 0 ‰) 5x2 + x – 4 = 0

¡· ʤÚÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ÚÒÙ˘ ÛÙ‹Ï˘ ÛÙË ÌÔÚÊ‹ ·x2 + ‚x + Á = 0 Î·È Ó·Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ˘fiÏÔȘ ÛًϘ ÙÔ˘ ›Ó·Î·.

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) x2 – x – 2 = 0 ‚) 4y2 + 3y – 1 = 0 Á) –2ˆ2 + ˆ + 6 = 0‰) 2z2 – 3z + 1 = 0 Â) –25t2 + 10t – 1 = 0 ÛÙ) 4x2 – 12x + 9 = 0˙) 3x2 + 18x + 27 = 0 Ë) x2 – 4x = 5 ı) x2 – 3x + 7 = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 – 7x = 0 ‚) x2 – 16 = 0i) Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ii) Ì ·Ó¿Ï˘ÛË Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:·) 3x2 – 2(x – 1) = 2x + 1 ‚) (y + 2)2 + (y – 1)2 = 5(2y + 3)Á) (2ˆ – 3)2 – (ˆ – 2)2 = 2ˆ2 – 11 ‰) Ê(8 – Ê) – (3Ê + 1)(Ê + 2) = 1

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:

·) – = x – 2 ‚) – = – 2

Á) 0,5t2 – 0,4(t + 2) = 0,7(t – 2) ‰) (��3ˆ – 7) = –��3

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ٷ ÙÚÈÒÓ˘Ì·:·) x2 + 4x – 12 ‚) 3y2 – 8y + 5 Á) –2ˆ2 + 5ˆ – 3‰) x2 – 16x + 64 Â) 9y2 + 12y + 4 ÛÙ) –ˆ2 + 10ˆ – 25

∞Ó ·, ‚ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì · � 0, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ï‡ÛË·) ·x2 – x + 1 – · = 0 ‚) ·x2 + (· + ‚)x + ‚ = 0

¢›ÓÂÙ·È Ë Â͛ۈÛË (· + Á)x2 – 2‚x + (· – Á) = 0, fiÔ˘ ·, ‚, Á Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓÏ¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°. ∞Ó Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.

8

7

6

ˆ2

y – 26

6y + 14

y2

3x + 3

5x2 – 1

3

5

4

3

2

(x – 1)2 = 2(x2 – x)

3x2 + 4 = 2(x + 2)

x (x – 1) = –2

Á‚··x 2 + ‚x + Á = 0E͛ۈÛË

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

3

97

2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

™Â ÌÈ· ‚·‚˘ÏˆÓÈ΋ Ͽη (ÂÚ›Ô˘ 1650 .Ã.) ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¯·Ú·Á̤ÓÔ Î·È Ï˘Ì¤ÓÔ ÙÔ ·Ú·Î¿ÙˆÚfi‚ÏËÌ·(*):« ∞Ó ·fi ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ·Ê·ÈÚ¤Ûˆ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, ı· ‚Úˆ 870. ¡· ‚ÚÂı› ËÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘».ΔÔ˘˜ Ï·Ô‡˜ Ù˘ ªÂÛÔÔÙ·Ì›·˜ ‰ÂÓ ÙÔ˘˜ ··Û¯ÔÏÔ‡ÛÂ Ë ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÔÛfiÙËÙ·˜,·ÏÏ¿ Ë ›‰È· ÔÛfiÙËÙ·, fiˆ˜ ·˘Ù‹ ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Ì ÙÔ˘˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (°È’ ·˘ÙfiÚfiÛıÂÙ·Ó Ì‹ÎÔ˜ Ì ÂÈÊ¿ÓÂÈ·).∞Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÛËÌÂÚÈÓfi Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi Î·È ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘Â›Ó·È x, ÙfiÙÂ Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Ô‰ËÁ› ÛÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – x = 870.O B·‚˘ÏÒÓÈÔ˜ Áڷʤ·˜ Ù˘ Ͽη˜ Ì·˜ ÚÔÙ›ÓÂÈ Ó· χÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi·ÎÔÏÔ˘ıÒÓÙ·˜ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ‚‹Ì·Ù·:

➤ ¶¿Ú ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ 1 Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ .

➤ ¶ÔÏÏ·Ï·Û›·Û ÙÔ Ì ÙÔ , ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· .

➤ ¶ÚfiÛıÂÛ ÙÔ ÛÙÔ 870 Î·È ı· ‚ÚÂȘ 870 .

➤ ΔÔ 870 , Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ 29 .

➤ ¶ÚfiÛıÂÛ ÛÙÔ 29 ÙÔ (Ô˘ ‚ڋΘ ·Ú¯Èο)

Î·È ı· ‚ÚÂȘ 30.

➤ ∞˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

ñ N· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ô˘ Ì¿ı·Ù ÛÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ·˘Ù‹ Î·È Ó· ÙË Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙÂ

Ì ÙËÓ Ú·ÎÙÈ΋ ̤ıÔ‰Ô Ì ÙËÓ ÔÔ›· ¤Ï˘Ó·Ó ÔÈ μ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡.

ΔÈ ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ;

ñ ∞ÎÔÏÔ˘ıÒÓÙ·˜ Ù· ‚‹Ì·Ù· ÙˆÓ μ·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ Ó· χÛÂÙÂ Î·È ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Úfi‚ÏËÌ· Ô˘

Â›Ó·È ¯·Ú·Á̤ÓÔ ÛÙËÓ ›‰È· Ͽη. «∞Ó ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÚÔÛı¤Ûˆ ÙËÓ

ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, ı· ‚Úˆ . ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘;»

(*)(∞fi ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ £. ∂Í·Ú¯¿ÎÔ˘: πÛÙÔÚ›· ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, Δ· ª·ıËÌ·ÙÈο ÙˆÓμ·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ∞Ú¯·›ˆÓ ∞ÈÁ˘Ù›ˆÓ, ÙfiÌÔ˜ ∞�, ∞ı‹Ó· 1997.

34

12

12

12

14

14

14

14

12

12

12

∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ Δ∏¡ π™Δ√ƒπ∞ Δø¡ ª∞£∏ª∞Δπ∫ø¡

ñ To 1 Â›Ó·È Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x.(√È μ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ‰Â ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡-Û·Ó ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜).

ñ √È μ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ÁÈ· Ó· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÙËÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· ·ÚÈıÌÒÓ Â›¯·ÓηٷÛ΢¿ÛÂÈ ›Ó·Î˜ Ì ٷ ÙÂÙÚ¿-ÁˆÓ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ.

ñ ŒÎ·Ó·Ó ÚfiÛıÂÛË, fiÙ·Ó ÛÙËÓ Â͛ۈ-ÛË ˘‹Ú¯Â ·Ê·›ÚÂÛË (.¯. x2 – x)Î·È ·Ê·›ÚÂÛË, fiÙ·Ó ÛÙËÓ Â͛ۈÛˢ‹Ú¯ÂÈ ÚfiÛıÂÛË (.¯. x2 + x)

98

99

ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ÌÔÚԇ̠ӷ χÛÔ˘Ì ÔÏÏ¿ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·Ù˘ ηıËÌÂÚÈÓ‹˜ Ì·˜ ˙ˆ‹˜, Ù˘ √ÈÎÔÓÔÌ›·˜, Ù˘ º˘ÛÈ΋˜ Î.Ù.Ï.

ΔÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÌÈ· ÎÔÏ˘Ì‚ËÙÈ΋˜ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È 400 m2.N· ‚Ú›Ù ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘, ·Ó ·˘Ù¤˜ ¤¯Ô˘Ó¿ıÚÔÈÛÌ· 41 m.

∞Ó Ë Ì›· ‰È¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È x, ÙfiÙÂ Ë ¿ÏÏË ı· Â›Ó·È 41 – x, ·ÊÔ‡ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ÙÔ˘˜ Â›Ó·È 41 m. ∂Âȉ‹ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È 400 m2, ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛËx(41 – x) = 400 ‹ 41x – x2 = 400 ‹ x2 – 41x + 400 = 0.™ÙËÓ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È · = 1, ‚ = –41, Á = 400, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ›ӷȢ = ‚2 – 4·Á = (–41)2 – 4 � 1 � 400 = 1681 – 1600 = 81 > 0.

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = = = ,

‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = 25 ‹ x = 16.AÓ x = 25, ÙfiÙ 41 – x = 41 – 25 = 16, ÂÓÒ ·Ó x = 16, ÙfiÙ 41 – x = 41 – 16 = 25.EÔ̤ӈ˜, Î·È ÛÙȘ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È 25 m Î·È 16 m.

ŒÓ·˜ ÔÈÎÔÓÔÌÔÏfiÁÔ˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ fiÙÈ ÌÈ· ‚ÈÔÙ¯ӛ· ÚÔ‡¯ˆÓ ÁÈ· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÈ x

Ô˘Î¿ÌÈÛ· Íԉ‡ÂÈ x2 + 20x + 500 ¢ÚÒ. ∞Ó Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· Ô˘Ï¿ÂÈ Î¿ıÂ Ô˘Î¿ÌÈ-

ÛÔ 60 C, fiÛ· Ô˘Î¿ÌÈÛ· Ú¤ÂÈ Ó· Ô˘Ï‹ÛÂÈ, ÒÛÙ ӷ ÎÂÚ‰›ÛÂÈ 3500 C;

∞Ó Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· Ô˘Ï‹ÛÂÈ x Ô˘Î¿ÌÈÛ·, ı· ÂÈÛÚ¿ÍÂÈ 60x C, ÔfiÙ ı· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ

60x – ( x2 + 20x + 500) C.

∂Âȉ‹ ı¤ÏÔ˘Ì ÙÔ Î¤Ú‰Ô˜ Ó· Â›Ó·È 3500 C ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË

60x – ( x2 + 20x + 500) = 3500 ‹

60x – x2 – 20x – 500 = 3500

600x – x2 – 200x – 5000 = 35000x2 – 400x + 40000 = 0

110

110

110

Λύση

110

Πρόβληìα 2ο

41 ± 92

41 ± ��812 � 1

–‚ ± ��¢2·

Λύση

Πρόβληìα 1ο

¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡2. 3

H ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ›ӷȢ = ‚2 – 4·Á = (–400)2 – 4 � 1 � 40000 = 160000 – 160000 = 0.

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x = = = 200.

∂Ô̤ӈ˜, ÁÈ· Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· 3500 C, Ú¤ÂÈ Ó· Ô˘Ï‹ÛÂÈ 200 Ô˘Î¿ÌÈÛ·.

∞fi ¤Ó· ·Î›ÓËÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ‡„Ô˜ h ·Ê‹ÓÂÙ·È Ó· ¤ÛÂÈ ¤Ó·˜ Û¿ÎԘ̠¿ÌÌÔ ÁÈ· Ó· ÂÏ·ÊÚ‡ÓÂÈ. Δ·˘Ùfi¯ÚÔÓ·, ÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ÎÈÓÂ›Ù·È Î·Ù·ÎfiÚ˘Ê·ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË 0,5 m/sec2. ΔË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ Ô Û¿ÎÔ˜ ÊÙ¿ÓÂÈ ÛÙÔ¤‰·ÊÔ˜, ÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ‡„Ô˜ 84 m. ¡· ‚ÚÂı› fiÛÔ ‰È‹ÚÎËÛÂ Ë ÙÒÛËÙÔ˘ Û¿ÎÔ˘.

™ËÌ›ˆÛË:∞fi ÙË º˘ÛÈ΋ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ:ñ ∞Ó ¤Ó· ÛÒÌ· ·Ê‹ÓÂÙ·È Ó· ¤ÛÂÈ ·fi ‡„Ô˜ h m, ÙfiÙ ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ ÛÂ

¯ÚfiÓÔ t sec, fiÔ˘ h = gt2 Î·È g = 10 m/sec2 ÂÚ›Ô˘.

ñ ∞Ó ¤Ó· ÛÒÌ· ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ÎÈÓÂ›Ù·È Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ·, ÙfiÙ Û ¯ÚfiÓÔ t ı·

‰È·Ó‡ÛÂÈ ‰È¿ÛÙËÌ· s = ·t2.

∞Ó Ë ÙÒÛË ÙÔ˘ Û¿ÎÔ˘ ‰È‹ÚÎËÛ t sec, ÙfiÙ ÛÙÔ ¯ÚfiÓÔ·˘Ùfi Ô Û¿ÎÔ˜ ‰È‹Ó˘Û ·fiÛÙ·ÛË

h = gt2 = 10t2 = 5t2, ·ÊÔ‡ g = 10 m/sec2.

™ÙÔÓ ›‰ÈÔ ¯ÚfiÓÔ ÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ ·Ó¤‚ËΠηٿ ‡„Ô˜

h� = ·t2 = � 0,5 � t2 = t2 , ·ÊÔ‡ · = 0,5 m/sec2.

EÂȉ‹ h + h� = 84, ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË

5t2 + t2 = 84 ‹ 20t2 + t2 = 336 ‹ 21t2 = 336

‹ t2 = 16, ÔfiÙÂ t = 4 ‹ t = –4.

∂Âȉ‹ ÙÔ t ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ¯ÚfiÓÔ, Ú¤ÂÈ t > 0, ÔfiÙÂ

Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ ÙÒÛ˘ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜

‹Ù·Ó t = 4 sec.

14

14

12

12

12

12

Λύση

12

12

Πρόβληìα 3ο

4002 � 1

–‚2·

100

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

h

84 m

h�

h

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ.

¡· ‚Ú›Ù ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙÂ:·) ΔÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÙÔ˘ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈfi ÙÔ˘.‚) ΔÔ ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘ Ì’ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi, Ô˘ Â›Ó·È Î·Ù¿ 2 ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜, Ó· Â›Ó·È 24.Á) ΔÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÙÔ˘, Ó· Â›Ó·È Î·Ù¿ 3 ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÂÓÙ·-

Ï¿ÛÈfi ÙÔ˘.

∏ ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÂÓfi˜ ‰Ô¯Â›Ô˘ Ï·‰ÈÔ‡ Â›Ó·È 10 Ï›ÙÚ·. ∞Ó ÙÔ ‰Ô¯Â›Ô ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì·ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ Ì ‡„Ô˜ 2,5 dm Î·È ‚¿ÛË ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔÌ‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘. (1 Ï›ÙÚÔ = 1dm3)

ŒÓ· ÔÈÎfiÂ‰Ô ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì ÂÌ‚·‰fiÓ 150 m2. ∞Ó ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ›ӷÈ5 m ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘, Ó· ‚Ú›Ù fiÛ· ̤ÙÚ· Û˘ÚÌ·ÙfiÏÂÁÌ·¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÊÚ·Í‹ ÙÔ˘.

¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ‡˜ ÂÚÈÙÙÔ‡˜ ·ÎÂÚ·›Ô˘˜, Ô˘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒ-ÓˆÓ ÙÔ˘˜ Ó· Â›Ó·È 74.

√ ηıËÁËÙ‹˜ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÚfiÙÂÈÓ ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ Ó· χÛÔ˘Ó ÔÚÈṲ̂Ó˜·Û΋ÛÂȘ ÁÈ· Ó· ẨÒÛÔ˘Ó ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· Ô˘ ‰È‰¿¯ÙËηÓ. ŸÙ·Ó ·˘ÙÔ› ÙÔÓ ÚÒÙË-Û·Ó Û ÔÈ· ÛÂÏ›‰· Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤Ó˜ ÔÈ ·Û΋ÛÂȘ, ·˘Ùfi˜ ·¿ÓÙËÛÂ: «∞Ó ·ÓÔ›ÍÂÙ ÙÔ‚È‚Ï›Ô Û·˜, ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÓÙÈÎÚ˘ÛÙÒÓ ÛÂÏ›‰ˆÓ ̤۷ ÛÙȘÔԛ˜ Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤Ó˜ ÔÈ ·Û΋ÛÂȘ, Â›Ó·È 506». ªÔÚ›Ù ӷ ‚Ú›Ù Û ÔȘÛÂÏ›‰Â˜ Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤Ó˜ ÔÈ ·Û΋ÛÂȘ;

™ÙÔ ÚˆÙ¿ıÏËÌ· Ô‰ÔÛÊ·›ÚÔ˘ ÌÈ·˜ ¯ÒÚ·˜ οı ÔÌ¿‰· ¤‰ˆÛ Ì fiϘ ÙȘ ˘fi-ÏÔȘ ÔÌ¿‰Â˜ ‰‡Ô ·ÁÒÓ˜ (ÂÓÙfi˜ Î·È ÂÎÙfi˜ ¤‰Ú·˜). ∞Ó ¤ÁÈÓ·Ó Û˘ÓÔÏÈο 240·ÁÒÓ˜, fiÛ˜ ‹Ù·Ó ÔÈ ÔÌ¿‰Â˜ Ô˘ Û˘ÌÌÂÙ›¯·Ó ÛÙÔ ÚˆÙ¿ıÏËÌ·;

ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜ 4 cm, 6 cm Î·È 8 cm. ∞Ó Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó ÌÂÁ·Ï‡-ÙÂÚË Î·Ù¿ x cm, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ı· ‹Ù·Ó ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x.

8

7

6

5

4

3

2

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

101

2.3 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡

·) ‚) Á)x

E = 314 m2

‰ = 7��2m

x

x xE = 20 m2

‰ = 10 m

x + 1 x + 2

‰)

√È Ì·ıËÙ¤˜ ÌÈ·˜ Ù¿Í˘ ÚÒÙËÛ·Ó ÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹ ÙÔ˘˜ fiÛÔ ÂÙÒÓ Â›Ó·È Î·È ÔÈ· ›ӷÈË ËÏÈΛ· ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ÙÔ˘. ∂ΛÓÔ˜ ‰ÂÓ ¤¯·Û ÙËÓ Â˘Î·ÈÚ›· Î·È ÙÔ˘˜ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙÈÛÂÁÈ· ÌÈ· ·ÎfiÌË ÊÔÚ¿, ·ÊÔ‡ ÙÔ˘˜ ›Â:«∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÙ ÙËÓ ËÏÈΛ· Ô˘ ›¯· ÚÈÓ 5 ¯ÚfiÓÈ·, Ì ÙËÓ ËÏÈΛ· Ô˘ ı· ¤¯ˆÌÂÙ¿ ·fi 5 ¯ÚfiÓÈ· ı· ‚Ú›Ù 1200. ŸÛÔÓ ·ÊÔÚ¿ Ù· ‰‡Ô ·È‰È¿ ÌÔ˘, ·˘Ù¿ Â›Ó·È ‰›‰˘Ì·Î·È ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÙ ‹ ÚÔÛı¤ÛÂÙ ÙȘ ËÏÈ˘ ÙÔ˘˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi».ªÔÚ›Ù ӷ ‚Ú›Ù ÙËÓ ËÏÈΛ· ÙÔ˘ ηıËÁËÙ‹ Î·È ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ÙÔ˘;

TÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ʇÏÏÔ˘ ÂÓfi˜ ‚È‚Ï›Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ·fi ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ ηٿ 6 cm. AÓ ‰ÈÏÒÛÔ˘Ì ¤Ó·Ê‡ÏÏÔ ∞μ°¢, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ °¢ Ó· ¤ÛÂÈ ¿ÓˆÛÙËÓ ∞¢, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ʇÏÏÔ˘ ÌÂÈÒÓÂÙ·È Î·Ù¿Ù· ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ‰È·ÛÙ¿-

ÛÂȘ οı ʇÏÏÔ˘ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘.

£¤ÏÔ˘Ì ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ¤Ó·Î˘ÎÏÈÎfi Û˘ÓÙÚÈ‚¿ÓÈ Î·È Á‡Úˆ ·fi ·˘ÙfiÓ· ÛÙÚÒÛÔ˘Ì Ì ‚fiÙÛ·Ï· ¤Ó· ΢ÎÏÈÎfi‰·ÎÙ‡ÏÈÔ Ï¿ÙÔ˘˜ 3 m. ∞Ó Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ ·fiÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ô˘ ηχÙÂÈ ÙÔ Û˘ÓÙÚÈ-‚¿ÓÈ, Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ Û˘ÓÙÚÈ-‚·ÓÈÔ‡.

°È· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÌÈ·˜ ÎÏÂÈÛÙ‹˜ ΢ÏÈÓ‰ÚÈ΋˜ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜ η˘Û›ÌˆÓ ‡„Ô˘˜ 6 m,¯ÚÂÈ¿ÛÙËÎ·Ó 251,2 m2 Ï·Ì·Ú›Ó·˜. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ù˘ ‚¿Û˘ Ù˘‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜.

¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÙÒÛË ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜, Ô˘ ·Ê¤ıËÎÂÓ· ¤ÛÂÈ ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∫ ÂÓfi˜ Ô˘Ú·ÓÔ͇ÛÙË,‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÛÙ· ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›· ‰Â˘ÙÂÚfiÏÂÙ·Ù˘ ΛÓËÛ‹˜ ÙÔ˘ ‰È‹Ó˘Û ÌÈ· ·fiÛÙ·ÛË ¶∂ ›ÛË Ì ٷ

ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘ Ô˘Ú·ÓÔ͇ÛÙË. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔ ¯ÚfiÓԉȋÚÎËÛÂ Ë ÙÒÛË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Î·È ÔÈÔ ‹Ù·Ó ÙÔ ‡„Ô˜ÙÔ˘ Ô˘Ú·ÓÔ͇ÛÙË (g = 10 m/sec2).

59

13

12

11

38

10

9

102

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

∞

°

°� ¢

μ ∂

K

¶

∂

h

103

✔ Μαθαίνω να λύνω κλασματικές εξισώσεις, που μετασχη-ματίζονται σε εξισώσεις πρώτου ή δευτέρου βαθμού.

1. ¡· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË + =

2. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ x + 2, x, x2 + 2x Î·È Ó· χÛÂÙÂ Î·È ÙËÓ Â͛ۈÛË

+ = .

E·ÏËı‡ÂÙ·È Ë Â͛ۈÛË ·fi fiϘ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x Ô˘ ‚ڋηÙÂ;

À¿Ú¯Ô˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ Ë Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘˜ Ô‰ËÁ› Û ÂÍ›-ÛˆÛË, Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ¿ÁÓˆÛÙÔÛÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ Î·È Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋Â͛ۈÛË.

°È· Ó· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ fiÚÔÈ ÌÈ·˜ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ Ú¤ÂÈ fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Ó·Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔÈ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜.ΔȘ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙȘ ÂÈÏ‡Ô˘Ì fiˆ˜ Î·È ÙȘ ˘fiÏÔȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÁÓˆÛÙfi ·ÚÈıÌfi.

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÈχÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË + = ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

+ =

¶Ú¤ÂÈ x � 0 Î·È x + 2 � 0‰ËÏ·‰‹ x � 0 Î·È x � –2

ΔÔ ∂∫¶ ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È x(x + 2 ) � 0Î·È Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È:

x(x+2) + x(x+2) = x(x + 2 ) x + 8x (x + 2)

4x

xx+2

x + 8x (x + 2)

4x

xx+2

x + 8x2 + 2x

4x

xx + 2

x + 8x2 + 2x

4x

xx + 2

x + 812

43

x4

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

∫Ï·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ2. 4

+ = ,

+ = χ + 8

x2 + 2x4χ

χx + 2

χ + 86

4χ

χ4

∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ ÛÂÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.

¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ·ÁÓÒ-ÛÙÔ˘ ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÔÓÔ-Ì·ÛÙ¤˜ Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔÈ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜.

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏËÙ˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ.

x2 + 4(x + 2) = x + 8x2 + 4x + 8 = x + 8 ‹ x2 + 3x = 0 ‹x(x + 3) = 0, ¿Ú· x = 0 ‹ x = –3.

∏ χÛË x = 0 ·ÔÚÚ›ÙÂÙ·È, ·ÊÔ‡ Ú¤ÂÈx � 0 Î·È x � –2, ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = –3.

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) – = 1 ‚) – =

Λύση·) °È· Ó· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ú¤ÂÈ x � 0 Î·È x � –1. To E.K.¶. ÙˆÓ

·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È x(x + 1) � 0 Î·È Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È

x(x + 1) � – x(x + 1) � = x(x + 1) � 1

x2 – 8(x + 1) = x(x + 1) ‹ x2 – 8x – 8 = x2 + x ‹ –9x = 8 ‹ x = –

(ÈηÓÔÔÈ› ÙÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜). ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = –

‚) ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Î·È Ë Â͛ۈ-

ÛË Á›ÓÂÙ·È – = (1).

°È· Ó· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ú¤ÂÈ x � 0 Î·È x � 2.

ΔÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È x(x – 2) � 0 Î·È Ë Â͛ۈÛË (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È

x(x – 2) – x(x – 2) = x(x – 2)

x – (x – 2) = 2 ‹ x – x = 2 – 2 ‹ 0x = 0.

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛË ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 0 Î·È 2.

ŒÓ·˜ Ì·Ú·ıˆÓÔ‰ÚfiÌÔ˜ ‰È‹Ó˘Û ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ 42 km Î·È ‰ÂÓ ÌfiÚÂÛ ӷÎÂÚ‰›ÛÂÈ Î¿ÔÈÔ ÌÂÙ¿ÏÏÈÔ. ŸÙ·Ó Ì ÙÔÓ ÚÔÔÓËÙ‹ ÙÔ˘ ·Ó¤Ï˘Û·Ó ÙËÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ¿ÙÔ˘, ‰È·›ÛÙˆÛ·Ó fiÙÈ, ·Ó Ë Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó 1 km/h ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË, ı· ÙÂÚÌ¿-

ÙÈ˙ Û Ù˘ ÒÚ·˜ ÓˆÚ›ÙÂÚ· Î·È ı· ¤·ÈÚÓ ÙÔ ¯Ú˘Ûfi ÌÂÙ¿ÏÏÈÔ. ¶ÔÈ· ‹Ù·Ó Ë Ì¤ÛË

Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ¤ÙÚÂÍÂ;

Λύση∞Ó Ë Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ¤ÙÚÂÍ ‹Ù·Ó x km/h, ÙfiÙ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ 42 km

110

2

2x(x – 2)

1x

1x – 2

2x(x – 2)

1x

1x – 2

89

89

8x

xx + 1

2x2 – 2x

1x

1x – 2

8x

xx + 1

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

104

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

∫¿ÓÔ˘Ì ··ÏÔÈÊ‹ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓÎ·È ÂÈÏ‡Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË Ô˘ÚÔ·ÙÂÈ.

∞fi ÙȘ χÛÂȘ Ô˘ ‚ڋηÌÂ, ·ÔÚ-Ú›ÙÔ˘Ì ÂΛӘ Ô˘ ‰ÂÓ ÈηÓÔ-ÔÈÔ‡Ó ÙÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜.

ÙË ‰È‹Ó˘Û Û ¯ÚfiÓÔ ÒÚ˜. ∞Ó Ë Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó 1 km/h ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË, ‰ËÏ·‰‹

(x + 1) km/h, ÙfiÙ ı· ¤Î·Ó ÒÚ˜. √ ¯ÚfiÓÔ˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ

ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Î·Ù¿ Ù˘ ÒÚ·˜, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË = + (1).

OÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È, ·ÊÔ‡ x > 0.¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓÔ˘ Â›Ó·È 10x(x + 1) � 0 Î·È Ë Â͛ۈÛË (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È

10x(x + 1) � = 10x(x + 1) � + 10x(x + 1) �

420(x + 1) = 420x + x(x + 1) ‹ 420x + 420 = 420x + x2 + x ‹ x2 + x – 420 = 0

H ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = 12 – 4 � 1 � (–420) = 1681 > 0.

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = + = ,

‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = 20 ‹ x = –22.

EÂȉ‹ x > 0, Ë Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ Ì·Ú·ıˆÓÔ‰ÚfiÌÔ˘ ‹Ù·Ó 20 km/h.

™Â ¤Ó· ËÏÂÎÙÚÈÎfi ·Îψ̷ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛٿ٘ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËÏ· ¤¯Ô˘Ó·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· 4ø Î·È 9ø ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˜ ·fi ÙËÓ ÔÏÈ΋ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË. ¡·‚ÚÂı› Ë ÔÏÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜.

™ËÌ›ˆÛË: ∞fi ÙË º˘ÛÈ΋ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ, ·Ó ‰‡Ô ·ÓÙÈÛٿ٘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙÈÛÙ¿-ÛÂȘ R1, R2 Û˘Ó‰ÂıÔ‡Ó ·Ú¿ÏÏËÏ·, ÙfiÙÂ Ë ÔÏÈ΋ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË RÔÏ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ

Ù‡Ô = + .

Λύση∞Ó Ë ÔÏÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Â›Ó·È x ø, ÙfiÙ ÔÈ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ ı· ›ӷÈ(x + 4) ø Î·È (x + 9) ø.

ÕÚ· ÈÛ¯‡ÂÈ + = (1)

OÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È, ·ÊÔ‡ x > 0. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓÔ˘ Â›Ó·È x(x + 4)(x + 9) � 0 Î·È Ë Â͛ۈÛË (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È

x(x + 4)(x + 9) � + x(x + 4)(x + 9) � = x(x + 4)(x + 9) �

x(x + 9) + x(x + 4) = (x + 4)(x + 9) ‹ x2 + 9x + x2 + 4x = x2 + 4x + 9x + 36 ‹x2 = 36 ‹ x = ±��36. ÕÚ· x = 6 ‹ x = –6.Afi ÙȘ ‰‡Ô χÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ÌfiÓÔ Ë x = 6 Â›Ó·È Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ÕÚ·Ë ÔÏÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È 6 ø.

1x

1x + 9

1x + 4

1x

1x + 9

1x + 4

1R2

1R1

1RÔÏ

3

–1 ± 412

–1 ± ��16812 � 1

–‚ ± ��¢2·

110

42x + 1

42x

110

42x + 1

42x

110

42x + 1

42x

105

2.4 KÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ

(x + 9) ø

(x + 4) ø

∂

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜, ‹ Ì (§) ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.·) √È fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ + = 8 ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·Ó x � 0 Î·È x � 1.

‚) √ ·ÚÈıÌfi˜ 0 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ + = 2.

Á) ∞Ó ··Ï›„Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ + = 2,

ÙfiÙÂ ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È 5x + 3 = 2.

‰) √È fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ = x ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi

·ÚÈıÌfi x Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 0 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘.

AÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi x Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ Â›Ó·È Î·Ù¿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂ-

ÚÔ˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì . ¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ

ÚfiÙ·ÛË;·) = ‚) = Á) = ‰) =

H Â͛ۈÛË + = 6 ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi

·) x = 1 ‚) x = –1 Á) x = 0 ‰) x = 2

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÁÈ· Ó· χÛÂÈ ÙËÓ Â͛ۈÛË = , ¤Î·Ó ··ÏÔÈÊ‹ ·ÚÔ-

ÓÔÌ·ÛÙÒÓ Î·È Ï‡ÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x – 1 = 1 Ô˘ ÚԤ΢„Â, ‚ڋΠˆ˜ χÛË ÙÔÓ·ÚÈıÌfi x = 1. H ·¿ÓÙËÛ‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹;

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:

·) = ‚) = – Á) =

‰) + = Â) = 2 – ÛÙ) 1 – = 6 – y2 – y

5y – 2

73 – x

2x + 1x – 3

2·

310

75·

9ˆ – 2

4ˆ + 1ˆ – 2

13

72y – 3

12

2x – 1

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1x – 1

2x – 1x – 1

4

x + 4x + 1

x + 2x – 1

3

34

xx – 2

34

xx + 2

34

x + 2x

34

x2 – x

34

2

x3

x2 + 1

3x2

5x

xx

1x + 1

4x

6x – 1

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

106

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:

·) – = 1 ‚) + = 2 Á) – =

‰) – = 1 Â) = + ÛÙ) – =

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:

·) = ‚) – = 0

Á) – = ‰) + =

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:

·) 1 – – = 0 ‚) = 3 –

Á) = ‰) 1 + =

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:

·) = ‚) – =

¡· χÛÂÙ ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜:·) p = ˆ˜ ÚÔ˜ V ‚) ∂ = ˆ˜ ÚÔ˜ R

Á) R = Ú ˆ˜ ÚÔ˜ S ‰) = ˆ˜ ÚÔ˜ T1

Â) = + ˆ˜ ÚÔ˜ R ÛÙ) = + ˆ˜ ÚÔ˜ ·

˙) = + ˆ˜ ÚÔ˜ ˘2· Ë) S = ˆ˜ ÚÔ˜ Ï

·) ¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· .

‚) ¶ÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi Ú¤ÂÈ Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ ÁÈ· Ó·‚Úԇ̠ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi .

Á) ¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ‡˜ ¿ÚÙÈÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ .34

45

35

174

7

·1 – Ï

1Á2

1‚2

1˘2

·

1Á

1·

2‚

1R2

1R1

1R

P2V2

T2

P1V1

T1

lS

·‚Á4R

mV

6

x – 6x2 – 9

2x – 3

131 + �x

43

x4x – �x

5

· + 4·2 – 3· + 2

3·· – 2

2x – 1x2 – 4

1x2 – 4x + 4

4ˆ + 2

2ˆ2

ˆ2 + 2ˆ1

y2 – y1y

4

·· – 2

· – 1·

1·2 – 2·

1ˆ

ˆ + 5ˆ – 1

ˆ2 + 5ˆ2 – ˆ

1y – 2

y + 1y2 – y – 2

3x + 5

x + 5x2 – 25

3

y + 3y(y + 1)

2y + 1

y – 1y

x + 1x + 3

x + 2x

6x(x + 3)

3· – 2

4(· – 2)2

6ˆ2

3ˆ + 2

7ˆ

4y – 1

5y

3x2

4x

2

107

2.4 KÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ

Δ· ¤ÍÔ‰· ÂÓfi˜ Á‡̷ÙÔ˜ ‹Ù·Ó 84 C. ªÂٷ͇ ÙˆÓ·ÙfiÌˆÓ Ô˘ ÁÂ˘Ì¿ÙÈÛ·Ó ‹Ù·Ó Î·È 3 ·È‰È¿,ÔfiÙ ÔÈ ˘fiÏÔÈÔÈ ÂÓ‹ÏÈΘ Û˘ÌÊÒÓËÛ·Ó,ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ηχ„Ô˘Ó Ù· ¤ÍÔ‰· وӷȉÈÒÓ, Ó· ÏËÚÒÛÂÈ Î·ı¤Ó·˜ 9 C ·Ú·¿Óˆ·fi ·˘Ù¿ Ô˘ ¤Ú ӷ ÏËÚÒÛÂÈ. ¶fiÛ· ‹Ù·ÓÙ· ¿ÙÔÌ· Ô˘ ÁÂ˘Ì¿ÙÈÛ·Ó;

√ ‰È·¯ÂÈÚÈÛÙ‹˜ ÌÈ·˜ ÔÏ˘Î·ÙÔÈΛ·˜ ·ÁfiÚ·Û ˘ÚÔ-Û‚ÂÛÙ‹Ú˜ ÁÈ· ÙËÓ ˘Ú·ÛÊ¿ÏÂÈ· ÙÔ˘ ÎÙÈÚ›Ô˘ ηȤ‰ˆÛ 240 C. ¶ÚÈÓ ·fi Ï›Á· ¯ÚfiÓÈ·, Ô˘ Ë ÙÈ̋οı ˘ÚÔÛ‚ÂÛÙ‹Ú· ‹Ù·Ó 4 C ÌÈÎÚfiÙÂÚË, Ì ٷ ›‰È·¯Ú‹Ì·Ù· ı· ·ÁfiÚ·˙ 2 ˘ÚÔÛ‚ÂÛÙ‹Ú˜ ÂÚÈÛÛfiÙÂ-ÚÔ˘˜. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔ˘˜ ˘ÚÔÛ‚ÂÛÙ‹Ú˜ ·ÁfiÚ·ÛÂ.

∞Ó·ÌÂÈÁÓ‡Ô˘Ì 12 gr ÂÓfi˜ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ∞ Ì 15 gr ÂÓfi˜ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ μ Î·È Û¯ËÌ·-Ù›˙Ô˘Ì 25 cm3 ÂÓfi˜ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ °. ¡· ‚ÚÂı› Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ∞, ·ÓË ˘ÎÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ μ Â›Ó·È 0,2 gr/cm3 ÌÈÎÚfiÙÂÚË.

OÈ ˘¿ÏÏËÏÔÈ ÌÈ·˜ ‚ÈÔÙ¯ӛ·˜ ¤Ú ӷ Û˘Û΢¿ÛÔ˘Ó 120 ÚÔ˚fiÓÙ· ÌÈ·˜ ·Ú·Á-ÁÂÏ›·˜. ∞Ô˘Û›·Û·Ó fï˜ 2 ˘¿ÏÏËÏÔÈ, ÔfiÙ ηı¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜˘·ÏÏ‹ÏÔ˘˜ ˘Ô¯ÚÂÒıËΠӷ Û˘Û΢¿ÛÂÈ 3 ÚÔ˚fiÓÙ· ·Ú·¿Óˆ ÁÈ· Ó· Î·Ï˘ÊıÂ›Ë ·Ú·ÁÁÂÏ›·. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔÈ Â›Ó·È ÔÈ ˘¿ÏÏËÏÔÈ Ù˘ ‚ÈÔÙ¯ӛ·˜.

OÈ Ê›Ï·ıÏÔÈ ÌÈ·˜ ÔÌ¿‰·˜ Ù·Íȉ‡ÔÓÙ·˜ Ì ¤Ó·Ô‡ÏÌ·Ó ¤Ú ӷ ‰È·Ó‡ÛÔ˘Ó ÌÈ· ·fiÛÙ·ÛË210 km ÁÈ· Ó· ‰Ô˘Ó ÙËÓ ·Á·Ë̤ÓË ÙÔ˘˜ÔÌ¿‰·. ÀÔÏfiÁÈ˙·Ó Ó· ÊÙ¿ÛÔ˘Ó ÛÙÔÓÚÔÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘˜ ÌÈÛ‹ ÒÚ· ÚÈÓ ·fi ÙËÓ¤Ó·ÚÍË ÙÔ˘ ·ÁÒÓ·. √ Ô‰ËÁfi˜ fï˜, ÏfiÁˆÔÏÈÛıËÚfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘, Ì›ˆÛ ÙË Ì¤ÛËÙ·¯‡ÙËÙ· ηٿ 10 km/h Î·È ¤ÙÛÈ ¤ÊÙ·Û·Ó ÛÙÔÁ‹Â‰Ô ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙËÓ ÒÚ· Ô˘ ¿Ú¯È˙ ԷÁÒÓ·˜. ¡· ‚Ú›Ù ÙË Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙËÓÔÔ›· ‰È‹Ó˘Û·Ó ÙÂÏÈο ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË.

12

11

10

9

8

108

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

H ¯Ú˘Û‹ ÙÔÌ‹

¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ¯ˆÚ›ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Û ‰‡Ô ¿ÓÈÛ· ̤ÚË, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ÙÔ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ô˘ ı· ÚÔ·„ÂÈ ·fi ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ¯ˆÚÈÛÌfi Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÌÈ· ·›ÛıËÛË ·ÚÌÔÓ›·˜;

∏ ηٷÛ΢‹ ÙˆÓ ‰‡Ô ‰È·˙ˆÌ¿ÙˆÓ ÛÙÔ ı¤·ÙÚÔ Ù˘ ∂ȉ·‡ÚÔ˘ (Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ 4Ô˘ ·ÈÒÓ· .Ã.)‰Â›¯ÓÂÈ Ò˜ ¤Ï˘Û·Ó ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi ÔÈ ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓ˜. Δ· ÛηÏÈ¿ ÙÔ˘ ı¿ÙÚÔ˘ ¤¯Ô˘Ó¯ˆÚÈÛÙ› Û ‰‡Ô ¿ÓÈÛ· ̤ÚË Ì ٤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ, Ô˘ ÙÔ ·ÈÛıËÙÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Â›Ó·È Â˘¯¿ÚÈÛÙÔ ÛÙÔÌ¿ÙÈ. °È· Ó· ηٷϿ‚ÂÙ Ì ÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÙÔ ¤Ù˘¯·Ó:

·) ÀÔÏÔÁ›ÛÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ ÙˆÓ ÛηÏÈÒÓ Î·È .

TÈ ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ;

√ ¯ˆÚÈÛÌfi˜ ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ ÌÂ Ù˘¯·›Ô ÙÚfiÔ;ΔÔ ÚÔ‚ÏËÌ· ·˘Ùfi ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜:«¡· ¯ˆÚÈÛÙ› ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB = Ï Û ‰‡Ô ¿ÓÈÛ· ̤ÚË ∞Δ Î·È Δμ, ÒÛÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ÔÏfiÎÏËÚÔ˘ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘ ÚÔ˜ ÙÔ˘fiÏÔÈÔ ÙÌ‹Ì·».

‚) ¡· ‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË Ù˘ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋˜

Â͛ۈÛ˘ = (1).

Á) ¡· χÛÂÙ ÙËÓ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË (1) Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ Ï.

‰) ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ Ê = Â›Ó·È ›ÛÔ˜ ÌÂ Ê = ≈ 1,618...

√ ·ÚÈıÌfi˜ 1,618... ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ‰ÈÂıÓÒ˜ Ì ÙÔÁÚ¿ÌÌ· Ê ÚÔ˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÁχÙË ºÂȉ›·. √È ·Ú¯·›ÔÈŒÏÏËÓ˜ ›¯·Ó ‰È·ÈÛÙÒÛÂÈ fiÙÈ, fiÔ˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÔÏfiÁÔ˜ Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ÌÈ· ·›ÛıËÛË·ÚÌÔÓ›·˜.ΔÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ Ê,ϤÁÂÙ·È «¯Ú˘Ûfi ÔÚıÔÁÒÓÈÔ» Î·È ÙÔ Û˘Ó·ÓÙ¿ÌÂ Û˘¯Ó¿ÛÙËÓ ·Ú¯ÈÙÂÎÙÔÓÈ΋ Î·È ÙË ˙ˆÁÚ·ÊÈ΋.

÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·ÔÙÂÏ› Ô ¶·ÚıÂÓÒÓ·˜,ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ = Ê·

‚

��5 + 12

ϯ

¯Ï – ¯

ϯ

3421

34 + 2134

∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ Δ∏¡ π™Δ√ƒπ∞ Δø¡ ª∞£∏ª∞Δπ∫ø¡

109

2.4 KÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ

34 ÛηÏÈ¿

21 ÛηÏÈ¿

= 1,6234 + 2134

110

✔ Θυμάμαι πώς ορίζεται η διάταξη μεταξύ πραγματικών αριθμών.✔ Μαθαίνω να αποδεικνύω και να χρησιμοποιώ τις ιδιότητες

της διάταξης.✔ Θυμάμαι πώς λύνονται οι ανισώσεις πρώτου βαθμού με έναν

άγνωστο.

¢È¿Ù·ÍË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Î¿ı ڷÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ ¿ÍÔÓ·.∞Ó ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÙfiÙ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜Â›Ó·È ÂΛÓÔ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ‰ÂÍÈfiÙÂÚ· .¯. –2 > –4, –3 < 2, > ��2.

¢‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ú·ÛÙ·ı› Ì ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ¿ÍÔÓ·Â›Ó·È ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔÈ, ÔfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ˘˜ Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ.∂Ô̤ӈ˜:ñ ∫¿ı ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó.ñ ∫¿ı ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó.ñ ∫¿ı ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi οı ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi.

¶Ò˜ fï˜ ı· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó·Ú·ÛÙ·ı› Ì ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ·ÍfiÓ·;∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜. .¯. ÙÔ˘˜ 5 Î·È 3, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ 5 > 3, ·Ú·ÙË-Úԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚ¿ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ·ÊÔ‡ 5 – 3 = 2 > 0.

√ÌÔ›ˆ˜, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –2 Î·È –4, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ –2 > –4, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó‰È·ÊÔÚ¿ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ·ÊÔ‡ (–2) – (–4) = –2 + 4 = 2 > 0.

∞ÓÙ›ıÂÙ·, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 3 Î·È 5 ‹ –4 Î·È –2, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ 3 < 5 Î·È –4 < –2,·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚ¿ ¤Ó·Ó ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ·ÊÔ‡ 3 – 5 = – 2 < 0 ηÈ(–4) – (–2) = –4 + 2 = –2 < 0. °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ:

ÂÓÒ

°È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ ‰‡Ô Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈı-ÌÔ‡˜ · Î·È ‚, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ·Ú·ÛÙ·ı› Ì ÛËÌ›·ÂÓfi˜ ¿ÍÔÓ·, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ · – ‚ ηÈÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ‹ ·ÚÓËÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó.

∞Ó · < ‚ ÙfiÙÂ · – ‚ < 0∞Ó · > ‚ ÙfiÙÂ · – ‚ > 0

∞

∞ÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ2. 5

0 1 2 3 4 5–1–2

��2

–3–4

ñ ∞Ó · – ‚ > 0 ÙfiÙÂ · > ‚

ñ ∞Ó · – ‚ < 0 ÙfiÙÂ · < ‚

ñ ∞Ó · – ‚ = 0 ÙfiÙÂ · = ‚

x� x

I‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘

∞ÊÔ‡ ‰È·Ù¿ÍÂÙ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 0, 8, –2, 4, –5, ÙfiÙÂ:1. ¡· ‰È·Ù¿ÍÂÙÂ Î·È ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó, ·Ó Û ηı¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ·Ú·-

¿Óˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÚÔÛı¤ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 32. ¡· ‰È·Ù¿ÍÂÙÂ Î·È ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó, ·Ó

i) ·Ê·ÈÚ¤ÛÂÙÂ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 3ii) ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÙÂ ÌÂ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 2iii) ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÙÂ ÌÂ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi –2

™Â ÔÈ· ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ë ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ·ÓÈÛÔÙ‹ÙˆÓ ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È Î·È ÛÂÔÈ· ·ÏÏ¿˙ÂÈ;

O ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ÌÂٷ͇ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Î·È ÁÈ· ÙËÓ·fi‰ÂÈÍË ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘. √È È‰ÈfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ ›ӷÈ:

·) ∞Ó Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË ÌÈ·˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‹ ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi,ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿.¶.¯. Â›Ó·È 8 > 4, ÔfiÙ 8 + 3 > 4 + 3 Î·È 8 – 3 > 4 – 3. °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ:

Απόδειξηñ °È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ · + Á Î·È ‚ + Á, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ ηÈ

ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ‹ ·ÚÓËÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂ:(· + Á) – (‚ + Á) = · + Á – ‚ – Á = · – ‚. ∂›Ó·È fï˜ · > ‚, ÔfiÙ · – ‚ > 0.¢ËÏ·‰‹ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ (· + Á) – (‚ + Á) Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÔfiÙ · + Á > ‚ + Á.

ñ ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ Î·È · – Á > ‚ – Á.

‚) ∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‹ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË ÌÈ·˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿.

¶.¯. Â›Ó·È 8 > 4, ÔfiÙ 8 � 2 > 4 � 2 Î·È > . °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ:

Απόδειξηñ °È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·Á Î·È ‚Á, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ Î·È ÂÍÂÙ¿-

˙Ô˘Ì ·Ó Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ‹ ·ÚÓËÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘Ì ·Á – ‚Á = Á(· – ‚) (1).∂›Ó·È fï˜ Á > 0 Î·È · – ‚ > 0, ·ÊÔ‡ · > ‚. ÕÚ· ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Á Î·È · – ‚ Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ›,ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ ıÂÙÈÎfi, ‰ËÏ·‰‹ Á(· – ‚) > 0. ∞fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (1) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ Ë‰È·ÊÔÚ¿ ·Á – ‚Á Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÔfiÙ ·Á > ‚Á.

ñ ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ Î·È > ‚Á

·Á

· ‚∞Ó · > ‚ Î·È Á > 0 ÙfiÙ ·Á > ‚Á Î·È ⎯ > ⎯

Á Á

42

82

∞Ó · > ‚ ÙfiÙ · + Á > ‚ + Á Î·È · – Á > ‚ – Á

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑB

111

2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

Á) ∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‹ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË ÌÈ·˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ·ÓÙ›ıÂÙË ÊÔÚ¿.

¶.¯. Â›Ó·È 8 > 4, ÔfiÙ 8 � (–2) < 4 � (–2) Î·È < . °ÂÓÈο ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ:

‰) ∞Ó ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿,ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿.¶.¯. Â›Ó·È 3 > 2 Î·È 7 > 4, ÔfiÙ 3 + 7 > 2 + 4. °ÂÓÈο ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ:

∞fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÚÔ·ÙÂÈ Î·È Ë ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·:

¶.¯. Â›Ó·È 3 > 1 Î·È 1 > –2,5 ÔfiÙ 3 > –2,5.

Â) ∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È·ÊÔÚ¿ Î·È ıÂÙÈο ̤ÏË, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿.¶.¯. Â›Ó·È 3 > 2 > 0 Î·È 7 > 4 > 0, ÔfiÙ 3 � 7 > 2 � 4. °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ:

ΑπόδειξηE›Ó·È · > ‚ Î·È Á > 0, ÔfiÙ ۇÌʈӷ Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· (‚) ¤¯Ô˘Ì ·Á > ‚Á (1)E›Ó·È Á > ‰ Î·È ‚ > 0, ÔfiÙ ÁÈ· ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÏfiÁÔ ¤¯Ô˘Ì ‚Á > ‚‰ (2)∞fi ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ (1), (2) Î·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙË ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ¤¯Ô˘Ì ·Á > ‚‰.

¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ:1) ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î¿ı ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ · Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi˜

·ÚÈıÌfi˜, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ

∂Ô̤ӈ˜:∞Ó ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚ ÈÛ¯‡ÂÈ ·2 + ‚2 = 0, ÙfiÙ · = 0 Î·È ‚ = 0.

2) ¢ÂÓ ÂÈÙÚ¤ÂÙ·È Ó· ·Ê·ÈÚԇ̠‹ Ó· ‰È·ÈÚԇ̠·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ηٿ ̤ÏË, ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ· Ô‰ËÁËıԇ̠۠ϷÓı·Ṳ̂ÓÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·.

¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‹ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ 6 > 4, ÙfiÙÂ� 3 > 1ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ 3 > 3 ‹ 2 > 4, Ô˘ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó.

·2 ≥ 0

∞Ó ·, ‚, Á, ‰ ıÂÙÈÎÔ› Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì · > ‚ Î·È Á > ‰ ÙfiÙ ·Á > ‚‰

∞Ó · > ‚ Î·È ‚ > Á ÙfiÙ · > Á

∞Ó · > ‚ Î·È Á > ‰ ÙfiÙ · + Á > ‚ + ‰

· ‚∞Ó · > ‚ Î·È Á < 0 ÙfiÙ ·Á < ‚Á Î·È ⎯ < ⎯

Á Á

4–2

8–2

112

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

∞ÓÈÛÒÛÂȘ ÚÒÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì’ ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ √È È‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î·È ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ·ÓÈÛÒÛˆÓ.

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÂÈχÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ó›ÛˆÛË x – > , Ô˘ ›ӷÈ

ÚÒÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ, ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

x – >

4 � x – 4 � > 4 �

4x – 2(3x + 1) > 3

4x – 6x – 2 > 3

4x – 6x > 3 + 2

– 2x > 5

<

x < –

¶ÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· · > 4 ÁÈ·Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜;·) –3· + 2 < –10 ‚) – 1 > 4 Á) –2(· + 2) < –12

Λύση·) · > 4 (ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ì –3)

–3· < –12 (ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÔ 2)–3· + 2 < –12 + 2–3· + 2 < –10

5·4

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

52

5–2

–2x–2

34

3x + 12

34

3x + 12

34

3x + 12

°

113

2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘·Ó›ÛˆÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ.(™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ¤¯Ô˘Ì ∂.∫.¶. = 4 > 0,ÔfiÙÂ Ë ÊÔÚ¿ Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ ‰ÂÓ ·ÏÏ¿˙ÂÈ,ȉÈfiÙËÙ· ‚),

A·Ï›ÊÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜.

∫¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Î·È ‚Á¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ

Èڛ˙Ô˘Ì ÁÓˆÛÙÔ‡˜ ·fi ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ (ÚÔÛı¤ÙÔ-ÓÙ·˜ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi, ȉÈfiÙËÙ· ·).

¢È·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ ÌÂÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘. (™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁ-Ì· Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ Â›Ó·È –2 < 0 Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi·ÏÏ¿˙ÂÈ Ë ÊÔÚ¿ Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘, ȉÈfiÙËÙ· Á).

∫¿ÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ.

‚) · > 4 (ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ì )

� · > � 4

> 5 (·Ê·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È ·fi Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ ÙÔ 1)

– 1 > 5 – 1, ÔfiÙÂ – 1 > 4

Á) · > 4 (ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ ÙÔ 2)· + 2 > 4 + 2· + 2 > 6 (ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ Ì ÙÔ –2)

–2(· + 2) < –2 � 6–2(· + 2) < –12

°È· ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ·, ‚ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó4 � · � 6 Î·È 2,5 � ‚ � 4,5.¶ÔȘ ÙÈ̤˜ ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ·) Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘; ‚) ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘;

Λύση·) ∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ¶ = 2· + 2‚. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ٷ ̤ÏË

ÙˆÓ ·ÓÈÛÔÙ‹ÙˆÓ � 4 � · � 6Ì ÙÔ 2, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì � 8 � 2· � 12

2,5 � ‚ � 4,5 5 � 2‚ � 9¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Â˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ8 + 5 � 2· + 2‚ � 12 + 9 ‹ 13 � 2· + 2‚ � 21 ‹ 13 � ¶ � 21.ÕÚ· ÔÈ ÙÈ̤˜ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ·fi 13¤ˆ˜ Î·È 21.

‚) ΔÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ∂ = ·‚. √È ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ � 4 � · � 6 2,5 � ‚ � 4,5

¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿ Î·È ıÂÙÈο ̤ÏË, ÔfiÙ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ ηٿ ̤Ïˤ¯Ô˘Ì 4 � 2,5 � ·‚ � 6 � 4,5 ‹ 10 � ·‚ � 27 ‹ 10 � ∂ � 27.ÕÚ· ÔÈ ÙÈ̤˜ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ·fi 10 ¤ˆ˜Î·È 27.

°È· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x, y, Ó· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈx2 + y2 � 2xy. ¶fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ·;

Λύση°È· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ x2 + y2 � 2xy, ·ÚΛ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‹ ›ÛË ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜, ‰ËÏ·‰‹ x2 + y2 – 2xy � 0 ‹ (x – y)2 � 0.H ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË Â›Ó·È ·ÏËı‹˜, ·ÊÔ‡ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î¿ı ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ÌË·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.∏ ÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙ·Ó (x – y)2 = 0, ÔfiÙ x – y = 0 ‰ËÏ·‰‹ x = y.

3

2

5·4

5·4

5·4

54

54

54

114

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

‚

·

OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÈ·˜ Ù¿Í˘ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ¿Ó ÌÈ· ÂΉÚÔÌ‹ ˙‹ÙËÛ·Ó ÚÔÛÊÔÚ¿ ·fi‰‡Ô Ú·ÎÙÔÚ›·.– ΔÔ ÚÒÙÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô ˙‹ÙËÛ 15 ¢ÚÒ ÁÈ· οı ̷ıËÙ‹ Î·È ÂÊfiÛÔÓ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜

‹Ù·Ó ¿Óˆ ·fi 25 ı· ¤Î·ÓÂ Î·È ¤ÎÙˆÛË 10%.– ΔÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô ˙‹ÙËÛ 12 ¢ÚÒ ÁÈ· οı ̷ıËÙ‹ Î·È 45 ¢ÚÒ ÁÈ· Ù·

‰È¿ÊÔÚ· ¤ÍÔ‰· (‰Èfi‰È·, Ó·‡Ï· ÊÂÚÈÌfiÙ Î.Ù.Ï.).∞Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ô˘ Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó ÛÙËÓ ÂΉÚÔÌ‹ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ·fi 25, ÔÈÔÚ·ÎÙÔÚÂ›Ô ¤Î·Ó ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË ÚÔÛÊÔÚ¿;

ΛύσηÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ô˘ ÙÂÏÈο Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó ÛÙËÓ ÂΉÚÔÌ‹ Â›Ó·È x, fiÔ˘x > 25.™ÙÔ ÚÒÙÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô Ú¤ÂÈ Ó· ÏËÚÒÛÔ˘Ó 15x – 15x = 15x – x ¢ÚÒ,

ÂÓÒ ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô Ú¤ÂÈ Ó· ÏËÚÒÛÔ˘Ó 12x + 45 ¢ÚÒ.°È· Ó· Â›Ó·È Î·Ï‡ÙÂÚË Ë ÚÔÛÊÔÚ¿ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ Ú·ÎÙÔÚ›Ԣ, Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ

15x – x < 12x + 45 ‹ 30x – 3x – 24x < 90 ‹ 3x < 90 ‹ x < 30.

EÔ̤ӈ˜ ·Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ·fi 25 Î·È ÏÈÁfiÙÂÚÔÈ ·fi 30, ÙfiÙ ÙËÓηχÙÂÚË ÚÔÛÊÔÚ¿ ¤Î·Ó ÙÔ ÚÒÙÔ Ú·ÎÙÔÚ›Ô, ÂÓÒ ·Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Â›Ó·È ÂÚÈÛ-ÛfiÙÂÚÔÈ ·fi 30, ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË ÚÔÛÊÔÚ¿ ¤Î·Ó ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ú·ÎÙÔÚ›Ô.∞Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Â›Ó·È 30, ÙfiÙ ÔÈ ÚÔÛÊÔÚ¤˜ ÙˆÓ ‰‡Ô Ú·ÎÙÔÚ›ˆÓ Â›Ó·È ›‰È˜.

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.·) ∞Ó · < 6, ÙfiÙ · – 6 < 0.‚) ∞Ó · > ‚, ÙfiÙ –· < –‚.Á) ∞Ó · < 0, ÙfiÙ –· > 0.‰) ∞Ó –3x > –12, ÙfiÙ x > 4.

Â) ∞Ó > , ÙfiÙÂ x > y.

ÛÙ) ∞Ó x > 0, ÙfiÙ x + 5 > 0.˙) ∞Ó · > 6 Î·È ‚ > –4, ÙfiÙ · + ‚ > 2.Ë) ∞Ó x > 2 Î·È y > 3, ÙfiÙ xy > 6.

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ Ì’ ¤Ó· ·fi Ù· ۇ̂ÔÏ· >, <, � , �, ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó·ÏËı›˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ.·) ∞Ó · > 3, ÙfiÙ · – 3 ... 0 ‚) ∞Ó · < ‚ Î·È ‚ < Á, ÙfiÙ · ... Á

2

y–4

x–4

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

32

32

10100

4

115

2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

Á) ∞Ó · > 0 Î·È ‚ < 0, ÙfiÙ ... 0 ‰) ∞Ó Á < 0 Î·È ·Á � ‚Á, ÙfiÙ · ... ‚

Â) ∞Ó · � 0, ÙfiÙ ·2 ... 0 ÛÙ) ∞Ó · � 0 Î·È ‚ � 0, ÙfiÙ · + ‚ ... 0

¶ÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ, ÒÛÙ ·fi ÙËÓ ·Ó›ÛˆÛË 3x – 4 < 7

Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ì 3x < 7 + 4 Î·È ·fi ÙËÓ ·Ó›ÛˆÛË 3x < 11 Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ì x < ;

ªÂ ÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ·fi ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· x > 3 ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ·ÓÈÛfiÙËÙ˜;·) x + 4 > 7 ‚) x – 2 > 1 Á) 5x > 15 ‰) –6x < –18

AÓ · > 12 Î·È ‚ > 3, ÙfiÙ ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙȘȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘;·) · + ‚ > 15 ‚) · – ‚ > 9 Á) ·‚ > 36 ‰) > 4

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÁÓˆÚ›˙ÂÈ fiÙÈ ÁÈ· Ó· Â›Ó·È = , ·ÚΛ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ ·‰ = ‚Á. μ·ÛÈ˙fi-

ÌÂÓÔ˜ Û’ ·˘Ùfi ÛΤÊÙËΠfiÙÈ ÁÈ· Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ > , ·ÚΛ Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÈ fiÙÈ ·‰ > ‚Á.

∏ ÛΤ„Ë Ô˘ ¤Î·ÓÂ Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹;

AÓ ÈÛ¯‡ÂÈ 3(· – ‚) > 2(· + ‚), ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ · > 5‚.

¶ÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· x > –6 ÁÈ·Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜;

·) –5x – 30 < 0 ‚) 3x + 18 > 0 Á) 2(x + 4) > –4

AÓ 2 < · < 6, Ó· ‚Ú›Ù ÌÂٷ͇ ÔÈÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ›

·) · – 2 ‚) 2· – 5 Á) 1 – 3·

AÓ · < ‚, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ

·) 5· – 3 < 5‚ – 3 ‚) –2· + 4 > –2‚ + 4 Á) · < ‰) < ‚

AÓ 1 < x < 3 Î·È 2 < y < 5, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) 3 < x + y < 8 ‚) 4 < 2x + y < 11 Á) –4 < x – y < 1

AÓ x > 2 Î·È y > 3, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:

·) xy > 6 ‚) (x – 2)(y – 3) > 0 Á) (x + 2)y > 12

AÓ ·, ‚ ıÂÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì · > ‚, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ·2 > ‚2.7

6

5

· + ‚2

· + ‚2

4

3

2

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Á‰

·‚

Á‰

·‚6

·‚

5

4

113

3

·‚

116

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ∞Ó · > 1, ÙfiÙ ·2 > · ‚) ∞Ó x > 2, ÙfiÙ x3 > 2x2

AÓ · > ‚ Î·È ·, ‚ ÔÌfiÛËÌÔÈ, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ < .

AÓ x > 3 Î·È y < 2, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) (x – 3)(y – 2) < 0 ‚) xy + 6 < 2x + 3y

°È· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ڷÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x, y, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) x2 + 1 � 2x ‚) (x + y)2 � 4xy Á) x2 + y2 + 1 � 2y™Â οı ÂÚ›ÙˆÛË Ó· ‚Ú›Ù fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ·.

¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ∞Ó x > 0, ÙfiÙ x + � 2 ‚) ∞Ó x < 0, ÙfiÙ x + � –2

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ô˘ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 114 Î·È 135 Î·È Ô ÔÔ›Ô˜, fiÙ·Ó ‰È·ÈÚÂı› Ì ÙÔ 15, ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ 6.

∏ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ·ÓÙÂÏÔÓÈÔ‡ Î˘Ì·›ÓÂÙ·È ·fi 30 ¤ˆ˜ 35 C Î·È ÌÈ·˜ ÌÏÔ‡˙·˜ ·fi 22 ¤ˆ˜25 C. ∞Ó Î¿ÔÈÔ˜ ı¤ÏÂÈ Ó’ ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ 2 ·ÓÙÂÏfiÓÈ· Î·È 3 ÌÏÔ‡˙˜, ÙfiÙ ÌÂٷ͇ ÔȈÓÔÛÒÓ ı· Î˘Ì·›ÓÔÓÙ·È Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÏËÚÒÛÂÈ;

ª’ ¤Ó· Ô‡ÏÌ·Ó Ù·ÍÈ‰Â‡Ô˘Ó 51 ¿ÙÔÌ· (Ô Ô‰ËÁfi˜ ηÈ50 ÂÈ‚¿Ù˜). ∞Ó ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ οı ·ÙfiÌÔ˘ Î˘Ì·›ÓÂÙ·ÈÌÂٷ͇ 60 kg Î·È 100 kg, ÔÈ ·ÔÛ΢¤˜ οı ÂÈ‚¿-ÙË ˙˘Á›˙Ô˘Ó ·fi 4 kg ¤ˆ˜ Î·È 15 kg Î·È ÙÔ Ô‡ÏÌ·Ó¤¯ÂÈ ·fi‚·ÚÔ 13,25 t, ÙfiÙ ӷ ÂÎÙÈÌ‹ÛÂÙ ÙÔ Û˘ÓÔÏÈ-Îfi ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘ Ô‡ÏÌ·Ó. ∂›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÙÔ Ô‡ÏÌ·ÓÓ· ‰È·Û¯›ÛÂÈ ÌÈ· Á¤Ê˘Ú· ·گȷÎÔ‡ ‰ÚfiÌÔ˘ Ô˘ ÙÔ·ÓÒÙ·ÙÔ ÂÈÙÚÂfiÌÂÓÔ ‚¿ÚÔ˜ ‰È¤Ï¢Û˘ Â›Ó·È 20 t;

¡· χÛÂÙ ÙȘ ·ÓÈÛÒÛÂȘ:·) 11 – 3x < 7x + 1 ‚) 2x – 9 > 5x + 6 Á) 4(3x – 5) > 3(4x + 5)

‰) – > Â) – x < ÛÙ) 1 – (x + )<

¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ÎÔÈÓ¤˜ χÛÂȘ ÙˆÓ ·ÓÈÛÒÛˆÓ:

·)7x – 1 < 8 + 6x

‚)4x + 3 < 9 + 5x

Á)2x + 5 < + 2

3x – 2 > x – 10 1 – x < 2x + 7 + 1 > x +

¡· ‚Ú›Ù ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi x, ÒÛÙ < Î·È > 3140

x + 1x + 2

3140

xx + 1

18

13

x – 12

x2

17

x + 46

23

12

3 – 2x3

2x + 16

6 – x2

3x10

3 – 4x5

16

15

14

13

1x

1x

12

11

10

1‚

1·9

8

117

2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

� � �

AÓ · � ‚, Ó· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ:

·) (x + ·)2 – (x + ‚)2 = ‚2 – ·2 ‚) – = – 1.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ°

Î·È μ°¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·. ¡· ‚Ú›ÙÂ

ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ x, y.

To ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ıÂÙÈÎÒÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ·Ó ‰È·ÈÚÂı› Ì ÙÔ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜, ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 7 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 23. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ, ÁÈ· ÙȘ ‰È¿ÊÔÚ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ · � 0.

·) + = ‚) + =

∞Ó ÌÈ· χÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 + (Ï – 5)x + Ï = 0 Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1, Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ¿ÏÏË Ï‡ÛË.

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) = x3 + 3x2 – 13x – 15. N· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË P(x) = 0,·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ ÙÔ x – 3 Â›Ó·È ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ƒ(x).

N· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, Ù¤ÙÔÈÔ˘˜ ÒÛÙ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ·ÓÙÈÛÙÚfiÊˆÓ ÙÔ˘˜ ·˘ÍË̤ÓÔ Î·Ù¿ ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÙÔ˘˜ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 1.

N· ‚Ú›Ù ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfifiÙÈ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó Î·Ù¿ 2 m Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ Â›Ó·È 399 m2.

¢›ÓÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° (∧

A = 90Æ)Î·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ∞¢. ∞Ó Â›Ó·È ∞¢ = x,μ¢ = 2x + 9 Î·È °¢ = 3, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x.

N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (1 + ·)(1 + ‚) Î·È 1 + · + ‚.

·) ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ (· – ‚)2 + (‚ – Á)2 + (Á – ·)2 = 2(·2 + ‚2 + Á2 – ·‚ – ‚Á – Á·).‚) ∞Ó ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚, Á ÈÛ¯‡ÂÈ ·2 + ‚2 + Á2 = ·‚ + ‚Á + Á·,

Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ · = ‚ = Á.

11

10

9

8

7

6

5

6xx2 – ·2

1x2 + ·x

3·x2 – ·x

2·2

x2 – ·2

2xx + ·

xx – ·

4

3

2

·‚

x + ‚·

x + ·‚

1

°∂¡π∫∂™ ∞™∫∏™∂π™ 2Ô˘ ∫∂º∞§∞π√À

118

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

∞ μ

x + 2x + 1

3y – 2

2y + 2

x

°

¢

°

∞

¢

x

3

2x + 9

μ

¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ – > ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ Ó.

∞Ó ·, ‚, Á Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ·2 + ‚2 > Á2 – 2·‚ ‚) ·2 + ‚2 < Á2 + 2·‚Á) ·2 + ‚2 + Á2 < 2·‚ + 2‚Á + 2·Á

¡· ‰È·Ù¿ÍÂÙ ÙÔ˘˜ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚, Á ·fi ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ,·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ 2007· = 2008‚ = 2009Á.

∞Ó · > 4, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË (· + 1)x2 – (3· – 2)x + · + 1 = 0 ¤¯ÂÈ ‰‡ÔχÛÂȘ ¿ÓÈÛ˜.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚, Á Ô˘ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙË Û¯¤ÛË·2 + ‚2 + Á2 – 2· – 4‚ – 6Á + 14 = 0. (¢È·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ∂.ª.∂. 1995).

¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙËÓ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ∞ = ·2 – 10·‚ + 27‚2 – 8‚ + 8.°È· ÔȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·, ‚ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ∞ Á›ÓÂÙ·È ÂÏ¿¯ÈÛÙË; (¢È·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ∂.ª.∂. 2001).

– √ ηıËÁËÙ‹˜:¡· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË + + + = 4.

– O Ì·ıËÙ‹˜:∫‡ÚÈÂ, ·˘Ù‹ Ë Â͛ۈÛË Ô‡Ù ̤¯ÚÈ ÙÔ 2020 ‰Â χÓÂÙ·È.∂Û›˜ ÌÔÚ›Ù ӷ ÙË Ï‡ÛÂÙÂ;

Àfi‰ÂÈÍË: ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙ fiÙÈ = = + 1, Î.Ù.Ï.

N· χÛÂÙ ÙÔ ÛÙ·˘ÚfiÏÂÍÔ√ƒπ∑√¡Δπ∞1. ∂›Ó·È Ë Â͛ۈÛË ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · � 0..2. √Ú›˙ÂÙ·È ÌÂٷ͇ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.3. ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· οı ÙÈÌ‹

ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘.4. √ ·ÚÈıÌfi˜ 2 Â›Ó·È ................. Ù˘ Â͛ۈÛ˘

x2 – 5x + 6 = 0.5. ∂›Ó·È Ë Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (x – 1)2 = 0.6. H Â›Ï˘ÛË ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Á›ÓÂ-

Ù·È Î·È Ì .......................... ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.7. ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ÂÚȤ¯ÂÈ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ

ÛÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹.

∫∞£∂Δ∞1. ΔÔ ÚfiÛËÌfi Ù˘ ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡.2. ∏ Â͛ۈÛË ·x2 + ‚x + Á = 0, · � 0 Ì ‚2 – 4·Á > 0 ¤¯ÂÈ .................... χÛÂȘ.3. π‰ÈfiÙËÙ· Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÛÙË ‰È¿Ù·ÍË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.4. ∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 Ì · � 0 ¤¯ÂÈ .................... χÛË.5. §¤ÁÂÙ·È Î·È Ú›˙· ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘.6. ∂›Ó·È Ë Â͛ۈÛË 0x = 7.

19

x – 20202001

x – 2020 + 20012001

x – 192001

x – 132007

x – 152005

x – 172003

x – 192001

18

17

16

15

14

13

2Ó(Ó + 1)

1(Ó + 1)(Ó + 2)

4Ó(Ó + 2)12

119

2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

➐

➏

➊

➌➊

➎

➋

➍ ➏

➋

➍ ➎

➌

ñ ∏ ÁÂÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ ÚÒÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ Â›Ó·È ·x + ‚ = 0 Ì · � 0, .¯. 3x + 18 = 0ñ §‡ÛË ‹ Ú›˙· ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Ô˘ ÙËÓ Â·ÏËı‡ÂÈ. ¶.¯. Ô ·ÚÈıÌfi˜ x= –6 Â›Ó·È Ï‡ÛË

Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 3x + 18 = 0, ·ÊÔ‡ 3 � (–6) + 18 = 0.ñ ∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0

ñ ∏ ÁÂÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ Â›Ó·È ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · � 0,.¯. 2x2 – 5χ + 3 = 0 με α = 2, β = –5 και γ = 3

ñ ∏ Â͛ۈÛË x2 = ·

ñ ∏ Â͛ۈÛË ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · � 0

ñ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÚȈӇÌÔ˘:∞Ó Ú1, Ú2 Â›Ó·È ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · � 0, ÙfiÙ ·x2 + ‚x + Á = ·(x – Ú1)(x – Ú2)

ñ ∫Ï·ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë Â͛ۈÛË Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ ÛÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹.ñ ŒÓ·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÌˉÂÓ›˙ÂÈ Î¿ÔÈÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÌÈ·˜ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Ï‡ÛË (‹ Ú›˙·) Ù˘.

√ÚÈÛÌfi˜ ‰È¿Ù·Í˘: ∞Ó · – ‚ > 0, ÙfiÙ · > ‚∞Ó · – ‚ < 0, ÙfiÙ · < ‚∞Ó · – ‚ = 0, ÙfiÙ · = ‚

π‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘

¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ: ñ °È· οı ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi · ÈÛ¯‡ÂÈ ·2 � 0.ñ ∞Ó ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚ ÈÛ¯‡ÂÈ ·2 + ‚2 = 0, ÙfiÙ · = ‚ = 0.ñ ¢ÂÓ ÂÈÙÚ¤ÂÙ·È Ó· ·Ê·ÈÚԇ̠‹ Ó· ‰È·ÈÚԇ̠·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ηٿ ̤ÏË.

ñ AÓ · > ‚ > 0 Î·È Á > ‰ > 0, ÙfiÙ ·Á > ‚‰

ñ AÓ · > ‚ Î·È ‚ > Á, ÙfiÙ · > Á (ªÂÙ·‚·ÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)

ñ AÓ · > ‚ Î·È Á > ‰, ÙfiÙ · + Á > ‚ + ‰

· ‚ñ AÓ · > ‚ Î·È Á < 0, ÙfiÙ ·Á < ‚Á Î·È ⎯ < ⎯Á Á

· ‚ñ AÓ · > ‚ Î·È Á > 0, ÙfiÙ ·Á > ‚Á Î·È ⎯ > ⎯Á Á

ñ AÓ · > ‚, ÙfiÙ · + Á > ‚ + Á Î·È · – Á > ‚ – Á

4. ΑNIΣΟΤΗΤΕΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ

3. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

¢ < 0 ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË)

‚¢ = 0 ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x = – ⎯2·

–‚+��¢ –‚–��¢¢ > 0 ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ, ÙȘ x = ⎯ Î·È x = ⎯2· 2·

™˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ·fi ÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · � 0

x2 = 0 άρα x = 0 (διπλή λύση)· = 0 ¤¯ÂÈ Ì›· χÛË ÙË x = 0 (‰ÈÏ‹)

x2 = –4 (αδύνατη)· < 0 ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË)

x2 = 2 άρα x = ��2 ή x = –��2· > 0 ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ ÙȘ x = ��· Î·È x = –��·¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·™˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ·fi ÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 = ·

2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

0x = 2 (αδύνατη)0χ = 0 (ταυτότητα)· = 0

‚ � 0 ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË)‚ = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË Î¿ı ·ÚÈıÌfi (Ù·˘ÙfiÙËÙ·)

34χ + 3 = 0 ή 4χ = –3 ή χ = – ⎯4

‚· � 0 ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = – ⎯·

¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·™˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ·fi ÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x + ‚ = 0

1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

E¶∞¡∞§∏æ∏ – ∞¡∞∫∂º∞§∞πø™∏ 2o˘ K∂º∞§∞π√À

120

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô¢

È·ÎÚ

›ÓÔ˘

Û·¢

= ‚

2–

4·Á