Κεφάλαιο 2: Ο Νεφτωνασ παίηει μπάλα

Το ποδόςφαιρο κατζχει αδιαμφιςβιτθτα τθ κζςθ του βαςιλιά όλων των ακλθμάτων. Είναι το μζςο εκείνο που ενϊνει εκατομμφρια ανκρϊπουσ ςε όλον τον κόςμο επθρεάηοντασ ακόμα και τθν κακθμερινι τουσ διάκεςθ και ςυναιςκθματικι κατάςταςθ. Είναι χαρακτθριςτικό ότι θ Διεκνισ Ομοςπονδία Ροδοςφαίρου (FIFA) ζχει 209 μζλθ, ενϊ τα Ηνωμζνα Ζκνθ 1931. Ρόςοι από εμάσ δεν ζχουμε ξυπνιςει με άςχθμθ διάκεςθ κάποιο πρωί, επειδι το προθγοφμενο βράδυ ο αγαπθμζνοσ μασ παίκτθσ αςτόχθςε ςε ζνα κρίςιμο πζναλτι ςε κάποιο ςθμαντικό ευρωπαϊκό παιχνίδι; Διαβάηοντασ αργότερα τισ ακλθτικζσ εφθμερίδεσ, κα μάκουμε ότι ο λόγοσ που θ μπάλα δεν κατζλθξε ςτθν επικυμθτι κζςθ εντόσ διχτφων ςχετίηεται με το ότι ο ςυγκεκριμζνοσ ποδοςφαιριςτισ διανφει περίοδο πεςμζνθσ αγωνιςτικισ απόδοςθσ ι, ακόμα πιο «επιςτθμονικά», ότι θ αςτοχία του οφείλεται ςτο γεγονόσ ότι είναι απλά «γκαντζμθσ» (κατά τθν ποδοςφαιρικι διάλεκτο) όταν εκτελεί πζναλτι κρίςιμα για τθν ομάδα του. Από τθν άλλθ, ο Νεφτωνασ ςίγουρα κατζχει τον τίτλο του βαςιλιά τθσ κλαςικισ φυςικισ. Είναι εκείνοσ που ζδειξε ότι οι ίδιοι νόμοι που διζπουν τθν πτϊςθ ενόσ μιλου, κακορίηουν και τθν κίνθςθ των πλανθτϊν εκατομμφρια χιλιόμετρα μακριά μασ. Ζνα πραγματικά εντυπωςιακό άλμα ςτθν ανκρϊπινθ γνϊςθ. Ρόςοι από εμάσ αλικεια, ακόμα και όςοι διακζτουμε κάποιεσ επιςτθμονικζσ γνϊςεισ, ζχουμε ςκεφτεί ότι ο πραγματικόσ λόγοσ που θ μπάλα, φςτερα από το πζναλτι του παίκτθ μασ, κατζλθξε ςτο δοκάρι μπορεί να ζχει να κάνει περιςςότερο με τουσ νόμουσ του Νεφτωνα παρά με τθν... ατυχία ενόσ ποδοςφαιριςτι; Ροιοσ από εμάσ ζχει ςκεφτεί ότι γνωρίηοντασ τθ δφναμθ με τθν οποία ο παίκτθσ χτφπθςε τθν μπάλα, κα ιταν δυνατόν να προςδιορίςουμε με μακθματικι ακρίβεια το ςθμείο ςτο οποίο κα καταλιξει εκείνθ ςτο τζλοσ τθσ τροχιάσ τθσ; Οι νόμοι του Νεφτωνα Οι τρεισ νόμοι του Νεφτωνα, με απλά λόγια, ορίηουν τα εξισ:

Ζνα ςϊμα που βρίςκεται ςε κατάςταςθ θρεμίασ ι που κινείται με ςτακερι ταχφτθτα διατθρείται ςτθν κατάςταςθ αυτι εφόςον δεν αςκείται καμία εξωτερικι δφναμθ ςε αυτό.

Για ςϊμα που θ μάηα του δεν μεταβάλλεται, θ ςυνολικι (ςυνιςταμζνθ) εξωτερικι δφναμθ F που αςκείται ςε αυτό ιςοφται με τθ μάηα (m) επί τθν επιτάχυνςθ (a) που εκείνο αποκτά, δθλαδι:

maF

1 Πνδνζθαηξηθέο νκνζπνλδίεο όπωο ηεο Σθωηίαο, ηεο Οπαιίαο, θ.ιπ. δελ αλήθνπλ (ηνπιάρηζηνλ γηα

ηελ ώξα) ζε αλεμάξηεηα θξάηε.

Εάν ζνα ςϊμα αςκεί μια δφναμθ (δράςθ) ςε ζνα άλλο, τότε το δεφτερο ςϊμα κα αςκεί μια δφναμθ (αντίδραςθ) ςτο πρϊτο, ίςου μζτρου (ζνταςθσ) και αντίκετθσ φοράσ.

Με τθ βοικεια του ποδοςφαίρου μποροφμε να παρουςιάςουμε και τουσ τρεισ αυτοφσ νόμουσ. Πταν μια μπάλα βρίςκεται ςτθμζνθ για μια εκτζλεςθ, π.χ. ενόσ πζναλτι, εκείνθ κα παραμείνει ακίνθτθ μζχρι να τθ χτυπιςει το πόδι κάποιου παίκτθ, αςκϊντασ ςε αυτιν μια δφναμθ (1οσ νόμοσ). Πταν το πόδι αςκιςει τθ δφναμθ ςτθν μπάλα, κι εκείνθ κα αςκιςει μια ίςθ και αντίκετθ δφναμθ ςτο πόδι (3οσ νόμοσ). Τζλοσ, ο 2οσ νόμοσ παρουςιάηεται ωσ εξισ: Πταν θ μπάλα φφγει από το πόδι, κατά τθν πτιςθ τθσ ςτον αζρα, αςκοφνται ςε αυτιν δυο δυνάμεισ, το βάροσ τθσ (κατακόρυφα προσ τα κάτω) και θ αντίςταςθ του αζρα (αντίκετα ςτθν κίνθςι τθσ). Εάν το χτφπθμα ζχει δοκεί με φάλτςο, τότε εμφανίηεται και μια τρίτθ δφναμθ (θ λεγόμενθ δφναμθ Magnus) με φορά που ορίηεται από το φάλτςο που ζχουμε δϊςει (π.χ. αριςτερόςτροφο ι δεξιόςτροφο) και διεφκυνςθ κάκετθ ςτον άξονα περιςτροφισ. Για τθν αντίςταςθ του αζρα και τθ δφναμθ Magnus κα μιλιςουμε αναλυτικά ςε άλλο κεφάλαιο. Σφμφωνα με τισ επιταγζσ του 3ου νόμου, θ ςυνολικι επίδραςθ των τριϊν δυνάμεων προςδίδει ςτθν μπάλα επιτάχυνςθ αλλάηοντασ τθν ταχφτθτα αλλά και τθν πορεία τθσ. Η δφναμθ του βάρουσ ςυχνά ςυγχζεται με τθν ζννοια τθσ μάηασ, οπότε αξίηει ςτο ςθμείο αυτό να κάνουμε τον κρίςιμο διαχωριςμό. Είναι διαφορετικό πράγμα θ μάηα ενόσ ςϊματοσ (που μετριζται ςε χιλιόγραμμα) και διαφορετικό πράγμα το βάροσ (που μετριζται ςε Newton, μονάδα μζτρθςθσ τθσ δφναμθσ). Η μάηα ενόσ ςϊματοσ είναι το μζτρο αντίςταςισ του ςε οποιαδιποτε μεταβολι τθσ κινθτικισ του κατάςταςθσ και, όπωσ είδαμε ςτο προθγοφμενο κεφάλαιο, είναι μζγεκοσ μονόμετρο. Είναι πιο δφςκολο να μετακινιςουμε ζνα ακίνθτο ςϊμα με μεγάλθ μάηα παρά ζνα με μικρι. Η μάηα είναι μζγεκοσ αμετάβλθτο2 και παραμζνει θ ίδια ςε οποιοδιποτε γεωγραφικι κζςθ κι αν βρίςκεται το ςϊμα. Το βάροσ από τθν άλλθ είναι θ δφναμθ με τθν οποία ζλκεται το ςϊμα από τθ Γθ κι ζτςι θ μονάδα μζτρθςισ του είναι το Newton. Είναι μζγεκοσ διανυςματικό με κατεφκυνςθ προσ το κζντρο τθσ Γθσ. Ο τφποσ που το δίνει είναι ο πολφ γνωςτόσ:

mgW όπου g είναι θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ. Η επιτάχυνςθ g που αναπτφςςει ζνα ςϊμα εξαιτίασ τθσ βαρυτικισ ζλξθσ είναι ανεξάρτθτθ τθσ μάηασ του ςϊματοσ, εξαρτάται όμωσ από τθ γεωγραφικι του κζςθ. Ζτςι, για παράδειγμα ςτον ιςθμερινό θ τιμι τθσ είναι περίπου 9,78m/s2, ενϊ ςτουσ πόλουσ περίπου 9,83m/s2. Αυτό ςθμαίνει ότι ζνα ςϊμα ςτουσ πόλουσ κα ηυγίηει

2 Τνπιάρηζηνλ γηα ηαρύηεηεο πνπ δελ πιεζηάδνπλ ηελ ηαρύηεηα ηνπ θωηόο.

περίπου 0,5% περιςςότερο από ότι ςτον ιςθμερινό. Μια τυπικι μπάλα ζχει μάηα 0,43kg. Στουσ πόλουσ το βάροσ τθσ κα είναι 0,43*9,83 = 4,227Ν, ενϊ ςτον ιςθμερινό 0,43*9,78 = 4,205Ν. Η μάηα τθσ παραμζνει φυςικά θ ίδια, αλλά το βάροσ ζχει μειωκεί. Εάν κζλετε να χάςετε βάροσ χωρίσ καμία δίαιτα, μετακομίςτε κάπου με πιο τροπικό κλίμα. Δυςτυχϊσ όμωσ θ μάηα ςασ δεν κα αλλάξει. Επιςτρζφοντασ ςτθν πορεία τθσ μπάλασ, εκείνο που ζχει ςθμαςία για τθν ανάλυςι μασ είναι ότι εφόςον αυτι κα βρίςκεται κάτω από τθν επιρροι δυνάμεων, τότε, ςφμφωνα με το 2ο νόμο, κα αποκτιςει μια επιτάχυνςθ. Εξαιτίασ τθσ επιτάχυνςθσ μεταβάλλεται θ ταχφτθτα του ςϊματοσ κακϊσ και θ κζςθ του κάκε ςτιγμι. Ζτςι, το ςχετικό μζγεκοσ και θ κατεφκυνςθ των τριϊν δυνάμεων (W = βάροσ, D = αντίςταςθ του αζρα, FM = δφναμθ Magnus) που αςκοφνται ςτθν μπάλα κακορίηει τθν πορεία τθσ (βλ. ςχιμα 2.1). Οι δυνάμεισ, ωσ διανυςματικά μεγζκθ, μποροφν να ςχεδιαςτοφν και αυτζσ ωσ βζλθ, με τον ίδιο τρόπο που δείξαμε για τθν ταχφτθτα ςτο προθγοφμενο κεφάλαιο.

Σχιμα 2.1: Διάγραμμα δυνάμεων Για να μπορζςουμε να υπολογίςουμε τθν επιτάχυνςθ, τθν ταχφτθτα και τθ κζςθ τθσ μπάλασ κάκε ςτιγμι, κα πρζπει να λφςουμε μια ςειρά από πολφπλοκεσ εξιςϊςεισ, βαςιςμζνεσ ςτουσ τρεισ νόμουσ του Νεφτωνα. Εδϊ ακριβϊσ ειςζρχεται ο παράγοντασ εκείνοσ που ζχει να κάνει με τθν εκτελεςτικι ικανότθτα κάκε παίκτθ. Τουσ υπολογιςμοφσ που απαιτοφνται για τθν επίλυςθ πολφπλοκων εξιςϊςεων κάκε ποδοςφαιριςτισ τουσ αντικακιςτά με τθν ποδοςφαιρικι του εμπειρία και το ταλζντο του.

v

W

D

FM V

Ππωσ φαίνεται και ςτο παρακάτω διάγραμμα, θ φορά π.χ. τθσ δφναμθσ Magnus ζχει επίπτωςθ ςτθν τροχιά τθσ μπάλασ και ςχετίηεται με το χτφπθμα που κα δϊςει ο παίκτθσ. Δίνοντασ ςτον άξονα περιςτροφισ τθν κατάλλθλθ κλίςθ, θ μπάλα δφναται να πάρει τροχιά προσ τα δεξιά, προσ τα επάνω ι και ςυνδυαςμό των δφο. Για να «παίξει μπάλα» λοιπόν ο Νεφτωνασ με τουσ νόμουσ του, απαιτείται θ βζλτιςτθ ςυνεργαςία με το ςκόρερ τθσ ομάδασ.

Σχιμα 2.2: Επίδραςθ δφναμθσ Magnus ςτθν τροχιά τθσ μπάλασ Ζνα απλό παράδειγμα Για να ζχουμε μια αίςκθςθ τθσ τροχιάσ που μπορεί να πάρει θ μπάλα μετά από ζνα χτφπθμα, κα μελετιςουμε ζνα απλό αρικμθτικό παράδειγμα3, κάνοντασ κάποιεσ ςθμαντικζσ παραδοχζσ για να απλουςτεφςουμε τουσ υπολογιςμοφσ. Με τθ βοικεια του Νεφτωνα κα υπολογίςουμε τθν απόκλιςθ που προκαλεί το φάλτςο ςε ζνα χτφπθμα φάουλ από τα 25m, με αρχικι ταχφτθτα 30m/s, με ςυχνότθτα περιςτροφισ 7Hz, όπωσ φαίνεται ςτο παρακάτω διάγραμμα. Για τισ περιςτροφικζσ κινιςεισ κα μιλιςουμε αναλυτικά ςτο επόμενο κεφάλαιο, ασ κρατιςουμε απλά ότι περιςτροφι με 7Hz ςθμαίνει ότι θ μπάλα εκτελεί επτά ςτροφζσ γφρω από τον εαυτό τθσ ςε κάκε δευτερόλεπτο.

3 Γηα αλαιπηηθόηεξε πεξηγξαθή βιέπε ην άξζξν κνπ, B. Σπαζόπνπινο, «Η Φπζηθή ηεο Μπάιαο»

(2010), Πεξηνδηθό ηεο Έλωζεο Ειιήλωλ Φπζηθώλ «Ο Φπζηθόο Κόζκνο», ζει. 40-44.

Σχιμα 2.3: Παράδειγμα εκτζλεςθσ φάουλ

Οι παραδοχζσ που κάνουμε είναι ότι θ κίνθςθ περιορίηεται ςτισ δφο διαςτάςεισ (ασ τισ ονομάςουμε x και y) αγνοϊντασ το φψοσ που παίρνει θ μπάλα και ότι θ αντίςταςθ του αζρα είναι μθδενικι. Η αντίςταςθ του αζρα ςίγουρα δεν είναι αμελθτζα, για τουσ ςκοποφσ του παραδείγματόσ μασ όμωσ το ςφάλμα που επιφζρει θ παραδοχι αυτι δεν επθρεάηει ςε πολφ μεγάλο βακμό το αποτζλεςμα. Ρροτοφ ξεκινιςουμε, κα πρζπει να δϊςουμε ζναν τφπο για τον υπολογιςμό τθσ δφναμθσ Magnus. Για μια μπάλα ποδοςφαίρου αυτόσ κατά προςζγγιςθ είναι:

VfRFM

32 Ππου: ρ είναι θ πυκνότθτα του αζρα, R είναι θ ακτίνα τθσ μπάλασ, V θ ταχφτθτα τθσ μπάλασ, f είναι θ ςυχνότθτα περιςτροφισ τθσ μπάλασ4. Ο αρικμόσ π ίςωσ να γνωρίηετε ότι είναι από τουσ πιο ςθμαντικοφσ ςτα μακθματικά και κατά προςζγγιςθ δίνεται ωσ 3,14. Η πυκνότθτα του αζρα ρ, δθλαδι θ μάηα που ζχει ανά μονάδα όγκου ςε χαμθλό υψόμετρο, είναι περίπου 1,2kg/m3.

4 Όπνπ R3 = R.R.R.

y

2,66m

FΜ x

Ζτςι ζχουμε:

NVfRFM 3,373011,02,114,3 3232

Σφμφωνα με το 2ο νόμο του Νεφτωνα, θ πλάγια αυτι δφναμθ κα επιφζρει και μια πλάγια επιτάχυνςθ με τιμι:

267,7

43,0

3,3

s

may

Ο χρόνοσ που κα κάνει θ μπάλα για να φτάςει ςτο τζρμα βρίςκεται διαιρϊντασ απλά τθν απόςταςθ x από το τζρμα με τθν ταχφτθτα V τθσ μπάλασ5. Αφοφ θ επιτάχυνςθ είναι ςτακερι, ςφμφωνα με τον τφπο που δϊςαμε ςτο προθγοφμενο κεφάλαιο, θ ςυνολικι πλάγια μετατόπιςθ κα είναι: Αν και κα πρζπει να κυμόμαςτε ότι ζχουν γίνει ςθμαντικζσ απλουςτεφςεισ ςτουσ υπολογιςμοφσ μασ, ςυμπεραίνουμε ότι θ μπάλα κα αποκλίνει κατά 2,66m από τθν ευκεία και κα καταλιξει ςτθ δεξιά γωνία του τζρματοσ. Με τθ ςυνεργαςία επικετικοφ παίκτθ και Νεφτωνα, το χτφπθμα κα ςτεφκεί με απόλυτθ επιτυχία. Μια πιο λεπτομερισ ανάλυςθ Εάν κζλουμε να κάνουμε μια πιο λεπτομερι και ακριβι ανάλυςθ, κα πρζπει να πραγματοποιιςουμε πλιρθ επίλυςθ των περίπλοκων εξιςϊςεων που προκφπτουν από τθ μακθματικι εφαρμογι των νόμων του Νεφτωνα. Χρθςιμοποιϊντασ το κατάλλθλο λογιςμικό, μποροφμε να προςομοιϊςουμε τθν κίνθςθ τθσ μπάλασ για ςθμαντικζσ φάςεισ του αγϊνα, όπωσ το φάουλ ζξω από τθν περιοχι και το κόρνερ. Η τεχνικι που χρθςιμοποιείται είναι ουςιαςτικά θ ίδια που εφαρμόηεται και ςτουσ προςομοιωτζσ αεροςκαφϊν και με απλά λόγια περιγράφεται ωσ εξισ: Σε κάκε χρονικό ςθμείο υπολογίηουμε τισ δυνάμεισ που αςκοφνται. Από τισ δυνάμεισ και με τθ χριςθ του 2ου νόμου του Νεφτωνα υπολογίηουμε τισ επιταχφνςεισ. Γνωρίηοντασ τθν επιτάχυνςθ ςτο χρονικό ςθμείο t, μποροφμε να υπολογίςουμε ποια κα είναι θ ταχφτθτα και θ κζςθ τθσ μπάλασ μετά από χρόνο δt, αρκεί το δt να είναι αρκετά μικρό (ςίγουρα μικρότερο του ενόσ δευτερολζπτου). Ουςιαςτικά λοιπόν, γνωρίηοντασ τθ κζςθ και τθν ταχφτθτα του κινθτοφ ςε μια δεδομζνθ ςτιγμι,

5 Από ηνλ ηύπν ηεο ηαρύηεηαο t

xV

mV

xatay yy 66,2

30

2567,7

2

1

2

1

2

122

2

μποροφμε να υπολογίςουμε τθ νζα του ταχφτθτα και κζςθ ςε μια χρονικι ςτιγμι λίγο μεταγενζςτερθ. Ρροχωρϊντασ με αυτόν τον τρόπο, μποροφμε να υπολογίςουμε όλθ τθν πορεία τθσ μπάλασ. Ξεκινάμε τθν προςομοίωςι μασ6 με το χτφπθμα ενόσ φάουλ λίγο ζξω από τθ μεγάλθ περιοχι και ςυγκεκριμζνα ςτα 18,28m (20 υάρδεσ) από το τζρμα. Εάν θ αρχικι ταχφτθτα είναι 25m/s, θ ςυχνότθτα περιςτροφισ 7Hz και θ αρχικι κλίςθ τθσ πορείασ τθσ μπάλασ με το ζδαφοσ 17 μοίρεσ, βλζπουμε ςτο ςχιμα 2.4 ότι θ μπάλα καταλιγει ςτο αριςτερό «παρακυράκι» (κατά τθν αργκό του ποδοςφαίρου) του τζρματοσ.

Σχιμα 2.4: Χτφπθμα φάουλ με 17 μοίρεσ κλίςθ

Για το επόμενο χτφπθμα αλλάηουμε απλά τθν κλίςθ, που αυξάνεται κατά μία μοίρα, ςτισ 18 μοίρεσ. Στθν περίπτωςθ αυτι θ μπάλα χτυπάει ςτο οριηόντιο δοκάρι και δεν πετυχαίνεται γκολ.

6 Η ζπγθεθξηκέλε πξνζνκνίωζε έρεη γίλεη κε ην ινγηζκηθό Matlab® θαη ε πιήξεο αλάιπζε

παξαηίζεηαη ζηε δεκνζίεπζή κνπ: Spathopoulos, V. M., «Simulating Key Aspects of the Game of

Soccer by Use of a Mathematical Model» (2009), e-journal of Science & Technology (e-JST), 4, 4, p.

57-65.

Σχιμα 2.5: Χτφπθμα φάουλ με 18 μοίρεσ κλίςθ

Τζλοσ, εάν μειϊςουμε τθν αρχικι κλίςθ ςτισ 16 μοίρεσ, θ μπάλα ςταματάει ςτο αμυντικό τοίχοσ (τοποκετθμζνο ςτα 9,15m, όπωσ ορίηουν οι κανονιςμοί).

Σχιμα 2.6: Χτφπθμα φάουλ με 16 μοίρεσ κλίςθ

Είναι εντυπωςιακό ότι μια ελάχιςτθ διαφοροποίθςθ ςτθν αρχικι πορεία που κα δϊςει ο παίχτθσ ςτθν μπάλα μεταβάλει τόςο πολφ το τελικό αποτζλεςμα. Οι εκτελεςτζσ των φάουλ πρζπει να τα χτυποφν με ακρίβεια μίασ μοίρασ! Μάλιςτα, με κατάλλθλουσ μακθματικοφσ υπολογιςμοφσ, μποροφμε να δείξουμε ότι για το

ςυγκεκριμζνο χτφπθμα φάουλ, ζνα ςφάλμα μίασ μοίρασ κα προςδϊςει ςφάλμα 32 εκατοςτϊν ςτο τελικό φψοσ το οποίο κα ζχει θ μπάλα όταν φτάςει ςτο τζρμα. Ζνα από τα πιο όμορφα (και ςπάνια) γκολ που πετυχαίνονται ςε ζναν αγϊνα είναι από απευκείασ χτφπθμα κόρνερ. Στθ μακθματικι μασ προςομοίωςθ μποροφμε, αντί να δϊςουμε κάποιεσ αρχικζσ ςυνκικεσ (π.χ. αρχικι ταχφτθτα, κλίςθ κ.λπ.), να ορίςουμε το ςθμείο που κζλουμε να καταλιξει θ μπάλα, για να μασ βρει ο υπολογιςτισ τισ κατάλλθλεσ αρχικζσ παραμζτρουσ. Βάηοντασ λοιπόν ωσ ςτόχο το απζναντι παρακυράκι του τζρματοσ, το μοντζλο μασ βρίςκει τθν ταχφτθτα, τθν κλίςθ και το φάλτςο που πρζπει να δοκοφν. Φυςικά υπάρχουνε πολλοί ςυνδυαςμοί αρχικϊν παραμζτρων που κα επιφζρουν επιτυχι ζκβαςθ. Το αποτζλεςμα πάντωσ είναι (ακόμα και ςε επίπεδο μακθματικισ προςομοίωςθσ) αλικεια εντυπωςιακό!

Σχιμα 2.7: Επίτευξθ γκολ από απευκείασ χτφπθμα κόρνερ

Ορμι Η ορμθ είναι το φυςικό εκείνο μζγεκοσ που προκφπτει εάν πολλαπλαςιάςουμε τθ μάηα ενόσ κινοφμενου ςϊματοσ με τθν ταχφτθτά του. Ζτςι, ενϊ θ μζγιςτθ ταχφτθτα μιασ ςφαίρασ ςτθ ςφαιροβολία είναι περίπου θ μιςι από εκείνθ μιασ μπάλασ ποδοςφαίρου, θ μάηα τθσ είναι πάνω από δεκαζξι φορζσ μεγαλφτερθ. Ζτςι, θ ορμι μιασ ςφαίρασ είναι περίπου οκταπλάςια από εκείνθ τθσ μπάλασ. Η ορμι είναι διανυςματικό μζγεκοσ και ζχει τθ διεφκυνςθ και τθ φορά τθσ ταχφτθτασ του ςϊματοσ. Πταν αςκείται δφναμθ ςε ζνα ςϊμα, τότε θ ορμι του μεταβάλλεται. Ο 2οσ νόμοσ του Νεφτωνα, ςτθν πιο γενικι του μορφι, μπορεί να διατυπωκεί ςε ςχζςθ με τθ μεταβολι τθσ ορμισ ωσ εξισ: Η δφναμθ που αςκείται ςε ζνα ςϊμα ιςοφται με το ρυκμό μεταβολισ τθσ ορμισ του ςϊματοσ. Ο μακθματικόσ τφποσ είναι:

t

J

F

Ππου δJ είναι θ μεταβολι τθσ ορμισ και δt το χρονικό διάςτθμα άςκθςθσ τθσ δφναμθσ. Για ςϊματα με ςτακερι μάηα, θ ςχζςθ αυτι είναι ιςοδφναμθ με τθ γνωςτι μασ ςχζςθ maF , αφοφ ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ορμισ ιςοφται απλά με τθ μάηα επί το ρυκμό μεταβολισ τθσ ταχφτθτασ, δθλαδι μάηα επί επιτάχυνςθ. Η γενικι μορφι του 2ου νόμου ςε αρκετζσ περιπτϊςεισ μασ είναι πιο χριςιμθ από εκείνθ με τθν επιτάχυνςθ. Αν αφιςουμε, για παράδειγμα, μια μπάλα τθσ καλακοςφαίριςθσ (μπάςκετ) να πζςει ςτο ζδαφοσ, μποροφμε να υπολογίςουμε τθ μζςθ δφναμθ που αςκείται ςε αυτιν κατά τθν πρόςκρουςι τθσ. Ο ερευνθτισ Fontanella7 πραγματοποίθςε κάποια τζτοια πειράματα και μζτρθςε τθν ταχφτθτα τθσ μπάλασ πριν τθ ςφγκρουςθ με το ζδαφοσ ςτα 4,5m/s, ενϊ κατά τθν αναπιδθςθ ςτα 3,5m/s. Μια μπάλα του μπάςκετ (ανδρϊν) ζχει μάηα 0,61kg, οπότε θ ορμι τθσ μπάλασ πριν τθν κροφςθ είναι 4,5*0,61 = 2,745Ns, ενϊ θ ορμι μετά τθν κροφςθ 3,5*0,61 = 2,135Ns. Επειδι οι ταχφτθτεσ ζχουν αντίκετθ φορά πριν και μετά, για να βροφμε τθ ςυνολικι μεταβολι τθσ ορμισ, πρζπει να προςκζςουμε τισ δυο τιμζσ8. Ζτςι, βρίςκουμε ότι θ μεταβολι τθσ ορμισ είναι 4,88Ns. Ο Fontanella μζτρθςε το χρόνο επαφισ μεταξφ μπάλασ και δαπζδου ςτα 0,016s. Ζτςι, θ μζςθ δφναμθ που αςκικθκε ςτθν μπάλα, ςφμφωνα με τθ γενικι μορφι του 2ου νόμου, είναι 4,88/0,016 = 305Ν. Αγνοϊντασ το βάροσ τθσ μπάλασ (το οποίο είναι πολφ μικρότερο), βλζπουμε ότι αςκείται από το δάπεδο μια δφναμθ τθσ τάξεωσ των 300Ν. Η δφναμθ αυτι είναι θ μζςθ δφναμθ, ο ίδιοσ ερευνθτισ υπολόγιςε τθ μζγιςτθ δφναμθ κατά τθ διάρκεια τθσ κροφςθσ ςτα 650Ν. Η μπάλα του μπάςκετ λοιπόν αςκεί ςτο δάπεδο (λόγω του 3ου νόμου) μια μζγιςτθ δφναμθ περίπου 100 φορζσ το βάροσ τθσ ι αλλιϊσ περίπου ίςθ με το βάροσ ενόσ ακλθτι. Ίςωσ αυτόσ να είναι και ο λόγοσ που όταν ζκανα αυτό το άκλθμα, τα δάχτυλα των χεριϊν μου ιταν ςυνεχϊσ ςτραμπουλιγμζνα. Ο 2οσ νόμοσ του Νεφτωνα μασ δείχνει ότι θ αςκοφμενθ δφναμθ είναι μικρότερθ όταν θ χρονικι περίοδοσ τθσ επαφισ είναι μεγαλφτερθ (θ διαίρεςθ με μεγαλφτερο αρικμό δίνει μικρότερο αποτζλεςμα). Αυτό το αξιοποιεί ζνασ ακλθτισ μετά από κάποιο άλμα, π.χ. ζνασ μπαςκετμπολίςτασ μετά από ζνα κάρφωμα. Λυγίηοντασ τα πόδια του, αυξάνει το χρόνο επαφισ μεταξφ ποδιϊν και δαπζδου με αποτζλεςμα να ελαττϊνεται θ δφναμθ που αςκείται ςε αυτά. Εάν κρατοφςε τα πόδια τεντωμζνα, το ιατρικό τιμ τθσ ομάδασ ςίγουρα κα είχε πολφ δουλειά.

7 Βιέπε, Fontanella J.J., «The Physics of Basketball» (2006), John Hopkins University Press 8 Απηό ην θάλνπκε όηαλ ζέινπκε λα αθαηξέζνπκε νπνηαδήπνηε δηαλπζκαηηθά κεγέζε κε αληίζεηε

θνξά.

Μια ςυνζπεια του 2ου νόμου είναι ότι εάν ςε ζνα ςϊμα ι ςε ζνα ςφςτθμα ςωμάτων δεν αςκθκεί κάποια εξωτερικι δφναμθ, θ ςυνολικι ορμι παραμζνει ςτακερι. Η αρχι αυτι είναι γνωςτι και ωσ Αρχθ Διατθρηςησ τησ Ορμθσ. Για να τθν κατανοιςουμε, ασ πάρουμε ωσ παράδειγμα το άκλθμα τθσ ςκοποβολισ. Ρροτοφ ο ακλθτισ ρίξει με το όπλο του, το γεγονόσ ότι αυτό είναι ακίνθτο ςθμαίνει ότι θ ορμι του είναι μθδενικι. Μόλισ ρίξει, το βλιμα που ταξιδεφει προσ τα εμπρόσ αποκτά μια ορμι με φορά προσ το ςτόχο. Για να διατθρθκεί θ ςυνολικι ορμι μθδζν, κα πρζπει να υπάρξει μια ορμι προσ τθν αντίκετθ φορά από εκεί που ζχει ρίξει ο ακλθτισ. Αυτόσ ακριβϊσ είναι και ο λόγοσ που παρατθροφμε το γνωςτό τίναγμα του πιςτολιοφ προσ τα πίςω. Τθν Αρχι Διατιρθςθσ τθσ Ορμισ μποροφμε να τθ χρθςιμοποιιςουμε για να υπολογίςουμε τισ ςυνζπειεσ μιασ ςφγκρουςθσ (ι κροφςθσ, όπωσ προτιμοφν οι φυςικοί). Ασ πάρουμε για παράδειγμα το χόκεϊ ςτον πάγο, ζνα ςπορ ιδιαίτερα γριγορο, αφοφ θ μζςθ ταχφτθτα που πιάνουν οι παίκτεσ μπορεί να φτάςει και τα 40χλμ/ϊρα. Ζςτω ότι ζνασ από αυτοφσ με μάηα 80kg κινείται προσ τα αριςτερά με ταχφτθτα 9m/s και ζνασ άλλοσ με μάηα 90kg κινείται προσ τα δεξιά με ταχφτθτα 8m/s. Ασ υποκζςουμε ότι με τισ ταχφτθτεσ αυτζσ ςυγκροφονται και ουςιαςτικά γίνονται μια ενιαία μάηα, κάτι όχι το ιδιαίτερα ευχάριςτο για αυτοφσ. Ροια κα είναι θ κοινι ταχφτθτά τουσ μετά τθ ςφγκρουςθ; Αυτόσ που κινείται αριςτερά ζχει ορμι πριν τθ ςφγκρουςθ 80*9 = 720Νs. Ο αντίπαλόσ του από τθν άλλθ κα ζχει 90*8 = 720Νs, δθλαδι οι τιμζσ τθσ ορμισ των δυο ακλθτϊν κα είναι ίςεσ. Ππωσ ιδθ αναφζραμε, επειδι θ ορμι είναι διανυςματικό μζγεκοσ και θ φορά των δυο παικτϊν είναι αντίκετθ, για να βροφμε τθ ςυνολικι ορμι πριν τθ ςφγκρουςθ, κα πρζπει να κάνουμε αφαίρεςθ. Ζτςι, προκφπτει ότι θ ςυνολικι ορμι είναι 720-720 = 0. Από τθ ςτιγμι που δεν αςκοφνται κάποιεσ εξωτερικζσ δυνάμεισ9, τότε και θ ορμι μετά τθ ςφγκρουςθ κα πρζπει να είναι μθδενικι. Ο μόνοσ τρόποσ να ςυμβεί αυτό είναι θ ενιαία μάηα των ακλθτϊν να παραμείνει ακίνθτθ. Συντελεςτισ αποκατάςταςθσ Μια μπάλα του μπάςκετ «ςκάει», όπωσ λζμε, καλφτερα από ζνα μπαλάκι του γκολφ. Ο λόγοσ είναι ότι κατά τθν κροφςθ με το ζδαφοσ, θ μπάλα του μπάςκετ ζχει λιγότερεσ ενεργειακζσ απϊλειεσ από ότι το μπαλάκι του γκολφ. Για τθν ζννοια τθσ ενζργειασ ςτθ φυςικι κα μιλιςουμε αναλυτικά ςε επόμενο κεφάλαιο. Στο ςθμείο αυτό κα κακορίςουμε το ποςοςτό τθσ αρχικισ ταχφτθτασ που διατθρεί μια μπάλα μετά από κροφςθ, βάςει του ςυντελεςτθ αποκατάςταςησ:

πριν

άe

V

V

Ππου Vμετά και Vπριν είναι οι ταχφτθτεσ μετά και πριν τθν κροφςθ.

9 Η ηξηβή, γηα ηελ νπνία ζα κηιήζνπκε παξαθάηω, ζεωξείηαη ακειεηέα.

Πςο πιο μεγάλοσ είναι ο ςυντελεςτισ αποκατάςταςθσ, τόςο πιο ελαςτικθ είναι θ κροφςθ, δθλαδι τόςο πιο μικρζσ είναι οι ενεργειακζσ απϊλειεσ. Επίςθσ, εάν αφιςουμε μια μπάλα να πζςει από ζνα φψοσ, το φψοσ ςτο οποίο κα επανζρκει μετά τθν κροφςθ είναι μεγαλφτερο για μπάλεσ με μεγαλφτερο ςυντελεςτι αποκατάςταςθσ. Ριο ςυγκεκριμζνα, μπορεί να αποδειχκεί ότι κατά προςζγγιςθ ο ςυντελεςτισ αποκατάςταςθσ δίνεται από:

πριν

άe

h

h

Ππου hμετά και hπριν είναι τα φψθ μετά και πριν τθν κροφςθ. Το ςφμβολο είναι αυτό τθσ τετραγωνικθσ ρίζασ, θ οποία προκφπτει ωσ ο αρικμόσ

εκείνοσ που εάν πολλαπλαςιαςτεί με τον εαυτό του κα δϊςει τον αρχικό αρικμό. Για παράδειγμα, θ τετραγωνικι ρίηα του 9 είναι το 3. Σε κάποια ακλιματα ορίηονται αυςτθρϊσ τα φψθ ςτα οποία κα πρζπει να επιςτρζψουν οι μπάλεσ, εάν αφεκοφν από ςυγκεκριμζνο φψοσ. Ζτςι, ςτθν καλακοςφαίριςθ, ςφμφωνα με τθ Διεκνι Ομοςπονδία Καλακοςφαίριςθσ (FIBA), εάν μια μπάλα αφεκεί από τα 1,8m, κα πρζπει να επιςτρζψει ςε ζνα φψοσ μεταξφ 1,2m και 1,4m. Από τον παραπάνω τφπο υπολογίηουμε ότι ο ςυντελεςτισ αποκατάςταςθσ κα πρζπει να είναι μεταξφ:

82,08,1

2,1e και 88,0

8,1

4,1e

Ραρομοίωσ ορίηεται ότι, εάν ζνα μπαλάκι του τζνισ αφεκεί από τισ 100 ίντςεσ (254cm) ςε ζνα τςιμεντζνιο δάπεδο, κα πρζπει να επιςτρζψει ςε φψοσ μεταξφ 53 ιντςϊν (134,62cm) και 58 ιντςϊν (147,32cm). Ζτςι, ζχουμε τα δυο όρια:

73,0100

53e και 76,0

100

58e

Η μπάλα του μπάςκετ ςίγουρα «ςκάει» καλφτερα από το μπαλάκι του τζνισ. Είναι ςθμαντικό να τονίςουμε ότι ο ςυντελεςτισ e δεν εξαρτάται μόνο από τισ ιδιότθτεσ τθσ μπάλασ αλλά και από εκείνεσ του δαπζδου. Αυτόσ είναι και ο λόγοσ που τα παραπάνω όρια για το μπαλάκι του τζνισ ορίηονται με βάςθ το τςιμεντζνιο

δάπεδο, αφοφ ςίγουρα εκείνο ςυμπεριφζρεται διαφορετικά ςτο χορτάρι και ςτο χϊμα. Άλλοσ ζνασ παράγοντασ που επθρεάηει τθν τιμι του ςυντελεςτι είναι και θ κερμοκραςία. Εάν παίηετε γκολφ, κα ςασ είναι χριςιμο να γνωρίηετε ότι ο ςυντελεςτισ αποκατάςταςθσ για ζνα μπαλάκι μειϊνεται από το 0,80 ςτο 0,67 όταν αυτό ψφχεται. Θα ιταν ςκόπιμο λοιπόν ςε μια πολφ κρφα μζρα να κρατάτε το μπαλάκι ςτθν τςζπθ ςασ προκειμζνου να διατθρείται ςε πιο υψθλι κερμοκραςία. Ίςωσ και αυτόσ είναι ζνασ λόγοσ που οι ακλθτζσ μικρϊν αποςτάςεων του ςτίβου λζγεται πωσ αποδίδουν καλφτερα ςε ηεςτζσ μζρεσ. Σε μεγαλφτερθ κερμοκραςία αυξάνεται ο ςυντελεςτισ αποκατάςταςθσ μεταξφ παπουτςιοφ και δαπζδου. Η εφρεςθ του ςυντελεςτι είναι ζνασ εφκολοσ τρόποσ για να πραγματοποιιςετε τα δικά ςασ πειράματα φυςικισ. Αφινοντασ διαφορετικϊν ειδϊν μπάλεσ από ςυγκεκριμζνο φψοσ, είςτε ςε κζςθ να πραγματοποιιςετε κι εςείσ παρόμοιουσ υπολογιςμοφσ. Μπορείτε επίςθσ να κάνετε και τθν εξισ εφκολθ μελζτθ. Στισ ρακζτεσ του τζνισ υπάρχει ζνα ςθμείο ςτο οποίο όταν χτυπιςει το μπαλάκι, εκείνο επιςτρζφει με τθ μζγιςτθ ταχφτθτα. Το ςθμείο αυτό ονομάηεται ςημείο ιςχφοσ ι πολλζσ φορζσ και «γλυκό ςθμείο»10, εξαιτίασ τθσ αίςκθςθσ ικανοποίθςθσ που αφινει ςτον ακλθτι. Τοποκετϊντασ τθ ρακζτα ςε ζνα τραπζηι, με το κεφάλι τθσ να εξζχει και κρατϊντασ οριηόντια το χεροφλι τθσ, αφινετε από κάποιο φψοσ (π.χ. μιςό μζτρο) ζνα μπαλάκι να πζςει, βλζποντασ πόςο ψθλά κα αναπθδιςει. Επαναλαμβάνετε τθ διαδικαςία αφινοντασ το μπαλάκι να χτυπιςει ςε διαφορετικά ςθμεία τθσ ρακζτασ. Το ςθμείο εκείνο ςτο οποίο ζχουμε τθ μεγαλφτερθ αναπιδθςθ είναι το ςθμείο ιςχφοσ.

10 Ο αθξηβήο νξηζκόο ηνπ «γιπθνύ ζεκείνπ» είλαη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα πην πεξίπινθνο.