- 1 -

- 2 -

- 3 -

УДК 521.93:528.I I

И. В. Джунь, А. А. Славинская

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОСТАТОЧНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ И ШИРОТЫ НА АСТРОЛЯБИИ

ДАНЖОНА

Обработка двухчасовой группы наблюдений звезд на призменной

астролябии Данжона сводится к решению следующей системы линейных

уравнений, составляемых для звезд, проходящих через альмукантарат:

ijijijiji vzktk 21 , (1)

где , ,t z -поправки соответственно к принятым значениям широт,

времени и зенитного расстояния альмукантарата: ij - свободный член:

,cos1 jj Ak 0

2cos15

sin

j

j

Ak , где А – азимут звезды.

Порядок введения поправок в уравнения системы (1) при редукции

наблюдений описан в работах [1,9]. Решение системы (1) осуществляется по

способу наименьших квадратов при условии min2v . Из решения

определяется 3 неизвестных по 28 уравнениям.

Предполагается, что каждое уравнение системы (1) имеет одинаковый

вес как в течение ночи, так и от ночи к ночи. Однако, наблюдения звезд в

течение ночи и от ночи к ночи могут выполнятся в различной

метрологической ситуации, т.е. иметь различную точность, а следовательно и

разные веса. На это обстоятельство было указано в работах [3, 4, 8] на

примере наблюдений на зенит-телескопах различных конструкций.

Считать однородными, т.е. нормально распределенным, все значения ijv

(1) очень удобно, но любой вывод относительно закона распределения

должен быть надежно подтвержден экспериментально. Особенно это важно

при анализе таких ценных в научном отношении рядов, какими являются

наблюдения на астролябии Данжона. Любая приблизительность выводов,

неоправданный рационализм здесь недопустимы. Обработку данных мы

- 4 -

должны вести не на основании удобного гипотетического, а с учетом

фактического закона распределения вероятностей остаточных уклонений ijv .

Вряд ли оправданным можно считать положение, когда оценка точности

решения системы (1) в каждые сутки происходит как бы заново,

изолированно, без учета огромной метрологической информации, которую

несут значения ijv , найденные за предыдущие годы.

Целью настоящего исследования является определение фактической

формы закона распределения значений ijv путем применения современных

статистических методов без какого-либо предвзятого допущения о

действительной форме их закона распределения.

Для анализа мы воспользовались результатами наблюдений на

призменной астролябии Данжона (Полтава, 1961 – 1964 гг.), обработанных

по методу, предложенному Б. Гино [1,9]. На основании 8823 значений

погрешностей ijv нами была построена гистограмма с шагом 1,0 . В таблице

приведены частоты эмпирического распределения значений ijv . Чтобы

определить к какому семейству распределений принадлежит данное

эмпирическое распределение значений ijv , мы воспользовались методами

статистической школы Неймана-Пирсона, т.е. получили моментные

соотношения

2

2

2

3

1M

M ,

2

2

42

M

M (2)

Несмещенные оценки центральных моментов в (2) найдены по

формулам [5]:

,])([)3)(2)(1(

)32(3)(

)3)(2)(1(

)32(

,)()2)(1(

,)(1

1

2242

4

3

3

2

2

vvnnnn

nvv

nnn

nnM

vvnn

nM

vvn

M

ii

i

i

(3)

где n – число наблюдений.

С учетом поправок Шеппарда [5] мы получили следующие значения 1 и

2 для данного ряда:

1 =0,015; 2 =4,397; 1

= 0,006; 2 =0,052,

- 5 -

где 1

и 2 получены по формулам [3,6]

2

1

1

)3)(1)(2(

4)1(6

1

nnn

nn ,

2

1

2

2

2)5)(2)(9(

)1(24

nnn

nn . (4)

Если на графике (рис. 1) вдоль осей прямоугольной системы координат

откладывать точки с координатами 1 и 2 , то в плоскости 1 0 2 различным

типам распределений будут соответствовать области, кривые, прямые и

точки.

По вычисленным значениям 1 и 2 из графика находим, что

распределение погрешностей ijv смещено вправо, от точки N ,

соответствующей нормальному закону, и принадлежит линии с индексом

VII, т.е. распределение остаточных погрешностей ijv не является

нормальным, а относится к семейству кривых Пирсона VII типа, плотность

вероятности которых описывается соотношениями

23

22

)2

1(2

)(1

)2

1()1(2

)1()(

x

n

vf , (5)

где , 2 - соответственно вероятнейшие значения центра распределения и

его дисперсия; - мера уклонения от закона Гаусса, для которого ;

),1( )2

1( - значения гамма-функций.

Помня, что функция правдоподобия L для плотности (5) имеет вид

),,;,...,,( 21 k

k

vvvfL , (6)

где k - количество разрядов гистограммы. Логарифмируем (6) и находим ,

, из решения системы нелинейных дифференциальных уравнений

- 6 -

,0

2

)(1)

2

1(2

))(1(

2

)(1

)]2

1([

2

12

1)]1([

;02/)(1

)(

;02/)(1

2

2

24

2

2

2

22

2

3

222

M

x

xnj

M

xnjLn

LndLn

NLnL

Mx

xnj

M

NLnL

Mx

xnj

M

LnL

i

jk

ik

j

jk

j

jk

(7)

где N=8823; 2

3)2

1(

M .

Совместное решение уравнений (7) осуществляется по методу

приближений. В первом приближении в качестве оценок и 2 берем

соответственно среднее арифметическое и дисперсию, а 4 (согласно

рекомендации Г. Джеффриса). Используя при решении системы (7) частоты

эмпирического распределения, приведенные в таблице, находим

,0059,0 ,1465,0 ,92,3 (8)

;0043,0 ;0038,0 .24,0

Таблица

Значения эмпирических частот распределения остаточных погрешностей ijv

и теоретических частот, вычисленных в предположении нормального закона,

и распределения Пирсона VII типа (наблюдения на призменной астролябии

Данжона, Полтава, 1961 – 1964,4 гг.).

Номер

разряда

Центр

разряда

Эмпириче

ская

частота

Теоретические частоты

Основные параметры

распределения Нормальн

ый

закон

Распределе

ние

Пирсона

VII типа

1 2 3 4 5 6

1 -2,25 1 0,001 0,58

2 -2,15 1 0,003 0,79 Количество значений

3 -2,05 0 0,010 1,07 iv : N=8823

4 -1,95 2 0,030 1,5 006,0015,01

5 -1,85 1 0,083 2,1 052,0397,42

Продолжение таблицы

1 2 3 4 5 6

6 -1,75 1,5 0,21 2,9

- 7 -

7 -1,65 5,5 0,54 4,1

8 -1,55 6,5 1,3 5,9

9 -1,45 6 2,9 8,6 Параметры нормального

10 -1,35 14,5 6,1 12,6 распределения

11 -1,25 14,5 12,3 18,6

12 -1,15 31,5 23,4 27,9 0046,00004,0 Nm

13 -1,05 38 42,3 41,9 0032,04314,0 N

14 -0,95 66 72,3 63,3 1,31152 x

15 -0,85 70,5 117,3 95,5 Число степеней свободы:

16 -0,75 121 180,3 143,3 n = k – 3 = 43

17 -0,65 220 262,6 212,2 NP = 0,0000%

18 -0,55 325 362,4 307,4

19 -0,45 440 474,0 430,6

20 -0,35 551 587,6 576,3

21 -0,25 758,5 690,2 727,1

22 -0,15 905,5 768,4 854,4 Параметры распределения

23 -0,05 932 810,6 926,2 Пирсона VII типа:

24 0,05 902 810,5 921,5 0043,00059,0

25 0,15 808 767,9 841,7 0038,04165,0 VII

26 0,25 744,5 689,5 709,9 24,092,3

27 0,35 509 586,7 558,4 06,542 x

28 0,45 401,5 473,1 414,7 Число степеней свободы:

29 0,55 269 361,6 294,7 n = k – 4 = 42

30 0,65 206 261,8 202,8 VIIP = 10,06%

31 0,75 150,5 179,7 136,1

32 0,85 99 116,9 91,0

33 0,95 67 72,0 60,3

34 1,05 43 42,1 40,0

35 1,15 33,5 23,3 26,6

36 1,25 23 12,2 17,8

37 1,35 18 6,1 12,0

38 1,45 13,5 2,9 8,2

39 1,55 8 1,3 5,7

40 1,65 6 0,54 3,9

41 1,75 5,5 0,22 2,8

42 1,85 1,5 0,082 2,0

43 1,95 0 0,030 1,4

44 2,05 1 0,010 1,03

45 2,15 0 0,003 0,76

46 2,25 1 0,001 0,56

Погрешности , , в (8) мы получили численным методом,

воспользовавшись вторыми частными производными уравнений

максимального правдоподобия (7)

- 8 -

,1

22

2

LnL ,

122

2

LnL .

122

2

LnL

Интересно сравнить значения (8) с оценками центра распределения Nm и

стандартной погрешности N , найденным в предположении нормального

закона:

,0004,0Nm ,4314,0N (9)

;0046,0 ;0032,0

Как видим, расхождение параметров в (8) и (9) для ряда данной

мощности являются весьма существенными.

Рис.1. График для определения типа закона распределения, точка N с

координатами 1 =0, 2 =3 соответствует нормальному закону. Стрелкой

указана точка (соответствующая распределению остаточных погрешностей

определения времени и широт на астролябии Данжона), которая существенно

уклоняется от точки 1N и принадлежит к сильным семействам линий

Пирсона VII типа.

На рис.2 приведены эмпирические частоты значений ijv и кривые Гаусса

и Пирсона VII типа, полученные соответственно для параметров (9) и (8).

Как видим из рис. 2, кривая Пирсона VII типа существенно лучше

представляет эмпирические распределения ijv , чем нормальный закон, в

особенности в центре и на краях гистограммы. Расхождение эмпирических и

нормальных частот распределения может для данного ряда нередко

достигать 100 и более наблюдений (см. таблицу).

- 9 -

Рис.2. Эмпирические частоты остаточных погрешностей ijv и кривые: Гаусса

,0004,0( Nm )4314,0N и Пирсона VII типа ,0059,0( ,4165,0 )92,3

для наблюдений на астролябии Данжона в Полтаве (1961 – 1964,4 гг.).

Воспользовавшись критерием 2x [7], получаем вероятности того, что

данная совокупность ijv является выборкой из нормальной совокупности

%00001,0NP и из совокупности с распределением Пирсона VII типа VIIP =

10,06%.

Таким образом, на основании проведенного исследования можно сделать

следующие выводы:

1. Закон распределения остаточных погрешностей при определении вре-

мени и широты на астролябии Данжона не является Гауссовым.

2. Остаточные погрешности подчинены распределению Пирсона VII

типа с индексом 24,092,3 . Это свидетельствует о том, что наблюдение на

призменной астролябии Данжона (сравнительно с другими методами

широтных наблюдений) в наименьшей степени отягощены

систематическими погрешностями.

3. Метод обработки наблюдений, предложенный Б. Гино, требует

усовершенствования за счет введения системы весов в уравнения (1).

Систему весов каждому уравнению следует назначать после

- 10 -

предварительного решения системы (1) с равными весами. Веса уравнениям

следует назначать с учетом закона плотности (7) по методике, подробное

рассмотрение которой мы откладываем до следующего случая.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Панченко Н. И., Гожий А. В., Дычко О. Г. Результаты широтных

наблюдений на астролябии Данжона в Полтавской обсерватории 1964.5-

1966.1. – В кн.: Изменяемость широт. Киев: Наук. думка, 1967, вып.2, с. 7-

18.

2. Гожий А.В., Славинская А.А. О смещении фокальной плоскости

астролябии Данжона при изменении температуры. – Колебания широт и

движения полюсов Земли. М.: Наука, 1964, вып.3, с. 73-76.

3. Джунь И.В. Анализ параллельных широтных наблюдений, выполненных

по общей программе: Авторе. дис. … канд. Физ.-мат. наук. – Киев, 1974. -

127 с.

4. Джунь И.В., Максимова И.И. О вариациях дисперсии случайных ошибок

широтных наблюдений. – Вращение и прилив. деформации Земли, 1975,

вып.7, с. 78-81.

5. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. – 648 с.

6. Коуден Д. Статистические методы контроля качества. –М.: Физматгиз,

1961, с. 73-75.

7. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.:

ВЦ АН СССР 1968. – 573 с.

8. Jeffereys H. Theory of probability. Sec. Ed., Oxford, at the Clarendon Press,

1940, p. 411.

9. Guinot B. Astrolabe impersonnel. Reductions. Resultats. – Bull. astron; 1955,

18, N 4, p.282.

Ров. ин – т инженеров вод. хоз – ва

Полтавская гравиметрическая обсерватория Получено

Ин – та геофизики им. С.И. Субботина АН УССР 10.03.83

- 11 -

- 12 -