١

ئى البییزى ااالحص االستدالل استخدام مجالفى

اختبارات الحیاه تالیف

الدكتورة ثروت محمد عبد المنعم محمد استاذ مشارك

كلیة العلوم بالدمام –جامعة الدمام )سابقا(قسم الریاضیات

م٢٠١٢

٢

٣

:اھدى كتابى ھذا إلى احبابى فى هللا وھم ال. د در الم تاذ بن ل االس ا الفاض ال وزوجھ ى الم د ذات نھ ة الفای لة نعم دتھا الفاض ووال

.االخالق العالیة مع تقوى هللا والكرم واالم المثالیة :هللا وھم اھدى كتابى ھذا إلى احبابى فى كما

وھلى .د ال الع یض -من ان المب اجرى س.د -ایم وفى –میة الھ ب الص ى . د –زین نھر ال. د -الجب ا الخ ى -رن م البالل ى . د –ری ورة الكعب لیمان .د –ن ة الس . د –نبیل

نوال الفایز.د -فاطمة الرواجح ى ة ف دنیا والجن ى ال ة ف حة والعافی م الص ال هللا لھ ى فاس بھم ل ة وح م العالی ى اخالقھ عل

االخرة

ثروت محمد عبد المنعم. د

٤

بسم هللا الرحمن الرحیم

تمھید

ى الم عل الة والس المین والص د رب الع ھ الحم ى آل د وعل لین محم رف المرس أش

م أما بعد، . وصحبھ أجمعین ذي أنع دانا هللا ال فالحمد الذي ھدانا وما كنا لنھتدي لوال أن ھ .علي بكتابة ھذا الكتاب تلبیة لنداء التعریب الذي یتبناه الكثیر من العلماء والمثقفین

:یعتبر ھذا الكتاب ثمرة مجھوداتى فى المجاالت التالیة

االطالع على احدث المراجع العربیة واالجنبیة) ١(دى ) ٢( دى ماجستیر او تمھی الوریوس او تمھی ة البك ى مرحل دریس سواء ف ى الت رة ف الخب

دكتوراه وكذلك االشراف على رسالتى ماجستیر ومناقشة رسالة ماجستیر واخرى دكتوراه االستشارات االحصائیة فى مستوى الماجستیر والدكتوراه) ٣( بعد الدكتوراه فى موضوع الكتابدراساتى فى مرحلة الماجستیر والدكتوراه وابحاثى ) ٤( خبرتى فى التالیف) ٥(ع ) ٦( درة المراج را لن وراه ونظ دى دكت ة تمھی زى لمرحل ل البیی رر التحلی ى لمق تدریس

ى رر عل ذ المق ى تحضیر ھ دت ف االجنبیة فى ھذا المجال وانعدام المراجع العربیة فقد اعتمك كثیر من االبحاث فى ھذا المجال وقد قمت بمساعدة طا ى ف لبتى الدكتورة منال العوھلى ف

ائج ة النت المعادالت فى ھذه االبحاث النھ من المعروف ان مؤلفى تلك االبحاث یكتفون بكتاب .وال یدخلون فى التفاصیل

دى ماجستیر او ة تمھی ى مرحل ھذا الكتاب یصلح كمقرر لطالب الدراسات العلیا فا ذا الكت ر ھ وراه ویعتب دى دكت ذا تمھی ى ھ ى ف الم العرب توى الع ى مس ع االول عل ب المرج

راء ھ للق م علی رك الحك یستطیع . المجال كما اعتبره االفضل على مستوى العالم وسوف اتا یمكن ان یستفید من الطرق الموجودة قارئ ھذا الكتاب ان یتعلم كیفیة قراءة االبحاث كم

ى ایضا یمك.فى الكتاب فى بحثة حیث تعطیھ افكار جدیدة اب ف ن ان یستفید الباحث من الكتفعلى سبیل المثال ما تم تطبیقة فى ھذا الكتاب تحت فرض توزیع معین ، اختیار نقطة بحثة

م . یمكن تطبیقة على توزیع اخر لم یتطرق لھ باحث اخر اب ل ى اخر الكت ایضا المراجع فد و ى تخدم استخدمھا كلھا فى ھذا الكتاب ولكن استخدمتھا فى ابحاث اخرى وق ضعتھا حت

فى الحصول على نقاط جدیدة فى ھذا المجال الباحثاھیم االساسیة دم الفصل األول بعض المف یحتوي ھذا الكتاب على خمسة فصول، یق

ى دة ف ات المفی بعض التوزیع تم ب اني فیھ ا الفصل الث اب ، أم التى لھا عالقة بموضوع الكتتم الفص ا یھ اه ، بینم ارات الحی ال اختب ل مج ة الصالحیة ، ویتطرق الفص ث بنظری ل الثالزى ائى البیی تدالل االحص ى االس ع إل تدالل ، الراب ق االس تم بتطبی امس فیھ ل الخ ا الفص ام

. االحصائى البییزى على بعض التوزیعات فى مجال اختبارات الحیاه

٥

مي وأسأل هللا أن أكون قد وفقت في ھذا المجھود المتواضع خدمة لقضایا البحث العل .في وطننا العربي

.وإنني أرحب بكل نقد بناء یھدف إلى األفضل، وما الكمال إال وحده

وهللا ولي التوفیق ثروت محمد عبد المنعم. د

٦

الفصل االول بعض المفاھیم االساسیة العینة واالحداث) فراغ(فضاء )١ - ١( الاالحتم )٢ - ١(

)المفھوم الكالسیكى (المفھوم القدیم ) ١-٢-١( مفھوم التكرار النسبى) ٢- ٢- ١( المفھوم الشخصى)٣- ٢- ١(

الخواص الممیزة لقیم االحتمال) ٤-٢-١( االحتمال قوانینبعض )٣ - ١(

االحتمال الشرطى )٤ - ١( قاعدة بییزاالحتمال الكلى و )٥- ١( المتغیر العشوائى )٦- ١( )المتقطعة(حتمالیة المنفصلة التوزیعات اال )٧- ١(

دالة التوزیع ) ١- ٧- ١( القیم المتوقعة) ٢- ٧- ١( العزوم) ٣- ٧- ١( المنوال والوسیط) ٤- ٧- ١(

)المستمرة(التوزیعات الحتمالیة المتصلة )٨- ١( دالة التوزیع) ١- ٨- ١( القیم المتوقعة) ٢- ٨- ١( المئینات) ٣- ٨- ١(

لمولدة للعزومالدوال )٩- ١( المتغیرات العشوائیة المتعددة )١٠- ١(

التوزیعات المتقطعة المشتركة) ١- ١٠- ١( التوزیعات المتصلة المشتركة) ٢- ١٠- ١( المتغیرات العشوائیة المستقلة) ٣- ١٠- ١( الشرطیةالتوزیعات ) ٤- ١٠- ١( خواص القیم المتوقعة) ٥- ١٠- ١(

الدوال المولدة للعزوم المشتركة )١١- ١( دوال فى متغیرات عشوائیة )١٢- ١(

طرق إیجاد توزیع دوال فى متغیر عشوائى واحد) ١- ١٢- ١( ین او اكثر طرق إیجاد توزیع دوال فى متغیر) ٢- ١٢- ١( للعزومطریقة الدالة المولدة ) ٣- ١٢- ١(

المجتمعات والعینات )١٣- ١( االستدالل االحصائى )١٤- ١(

التقدیر) ١- ١٤- ١( الفروض االحصائیة) ٢- ١٤- ١(

االحصاء الغیر متحیز )١٥- ١(

٧

االحصاء الكافى )١٦- ١( العائلة االسیة واالحصاءات الكافیة )١٧- ١( دالة االمكان )١٨- ١( الكفاءة )١٩- ١( متوسط مربع الخطا )٢٠- ١( االحصاءات الترتیبیة )٢١- ١( اختبار الحیاه )٢٢- ١( العینة المراقبة )٢٣- ١(

العینة المراقبة المفردة ذات المرحلة الواحدة ) ١- ٢٣-١( العینة المراقبة المزدوجة ذات المرحلة الواحدة ) ٢- ٢٣- ١( العینة المراقبة المتتابعة ) ٣- ٢٣- ١( العینة المبتورة) ٢٤- ١( االحتمالیة الفصـل الثانى بعض التوزیعات

التوزیع االسى )١- ٢( دالة كثافة االحتمال) ١- ١- ٢( دالة التوزیع ) ٢- ١- ٢(

العزوم ) ٣- ١- ٢( المئینات) ٤- ١- ٢( بعض االحصاءات الترتیبیة)٥- ١- ٢( حساب االحتماالت)٦- ١- ٢( المبتوراالسى التوزیع ) ٧- ١- ٢(

التوزیع االسى بمعلمتین ) ٨- ١- ٢( التوزیع االسى القیاسى) ٩- ١- ٢(

توزیع وایبل )٢ - ٢( دالة كثافة االحتمال) ١- ٢- ٢(

دالة التوزیع ) ٢- ٢- ٢( العزوم ) ٣- ٢- ٢( ومعامل االلتواء معامل التفلطح) ٤- ٢- ٢( المنوال و الوسیط) ٥- ٢- ٢( المئینات) ٦- ٢- ٢(

)معالم ٣ب (توزیع وایبل العام )٣ - ٢( دالة كثافة االحتمال) ١- ٣- ٢( دالة التوزیع ) ٢- ٣- ٢( المنوال و الوسیط) ٣- ٣- ٢( العزوم حول الصفر) ٤- ٣- ٢( بعض االحصاءات الترتیبیة) ٥- ٣- ٢( المحاكاة ) ٦- ٣- ٢(

Extreme Valueتوزیع )٤ - ٢( دالة كثافة االحتمال) ١- ٤- ٢(

٨

دالة التوزیع ) ٢- ٤- ٢( العزوم حول الصفر) ٣- ٤- ٢( المئینات) ٤- ٤- ٢(

توزیع جاما )٥ - ٢( دالة كثافة االحتمال و دالة التوزیع ) ١- ٥- ٢( العزوم حول الصفر ) ٢- ٥- ٢( الدالة المولدة للعزوم) ٣- ٥- ٢( العزوم حول الوسط الحسابى) ٤- ٥- ٢( توزیع باریتو )٦ - ٢( دالة كثافة االحتمال و دالة التوزیع ) ١- ٦- ٢( الوسط الحسابى والتباین) ٢- ٦- ٢( المئینات) ٣- ٦- ٢( شكل اخر لتوزیع باریتو) ٤- ٦- ٢( توزیع كوشى )٧ - ٢(

التوزیع الطبیعى )٨ - ٢( توزیع معكوس جاما )٩ - ٢( التوزیع اللوغاریتمى الطبیعى )١٠ - ٢( توزیع بییر الثانى عشر )١١ - ٢( معالم المقیاس والموقع )١٢ - ٢( الفصل الثالث نظریة الصالحیة الصالحیة )١ - ٣( مقاییس الصالحیة) ١- ١- ٣(

قانون التعطل الطبیعى) ٢- ١- ٣( قانون التعطل االسى ) ٣- ١- ٣( قانون التعطل لوایبل) ٤- ١- ٣( صالحیة التوالى والتوازى )٢ - ٣( االستدالل االحصائى البییزى: الفصـل الرابع مقدمة )١ - ٤( التوزیعات البعدیة )٢ - ٤( فقةاالتوزیعات القبلیة المر )٣ - ٤( التوزیعات القبلیة الغیر معلمة )٤ - ٤( التوزیع المنتظم) ١ -٤ - ٤( معلومات فیشر ) ٢ -٤ - ٤( المعالم المزعجة او المقلقة )٥ -٤( النقطة لبییز مقدر )٦ -٤( بییز بفترة مقدر )٧ -٤( مبادئ فى نظریة القرار البیییزى )٨ -٤( دالة الخسارة ) ١ -٨ - ٤( دالة المخاطرة ) ٢ -٨ - ٤(

٩

مخاطرة بییز )٣ -٨ - ٤( البییزى القرارمقدر النقطة لبییز المعتمد على نظریة )٩ - ٤(

دوال الخسارة بعض )١ -٩ - ٤( دالة المخاطرة ) ٢ -٩ - ٤( مقدر بییز تحت فرض دالة خسارة مربع الخطا ودالة خسارة الخطا المطلق ) ٣ -٩ - ٤( مقدر بییز تحت فرض دالة الخسارة االسیة) ٤ -٩ - ٤( مقدر بییز تحت فرض دالة الخسارةاالنترروبیا المعممة ) ٥ -٩ - ٤( Log-odds squared-error loss functionمقدر بییز تحت فرض ) ٦ -٩ - ٤(

طرق تقریبیة للتكامالت البییزیة )١٠ -٤( تقریب لندلى ) ١ - ١٠ - ٤( تقریب تیرنى وكادین)٢ - ١٠ - ٤(

التنبؤ االحصائى البییزى )١١ - ٤( تنبؤ العینة الواحدة ) ٢ - ١١ - ٤( تنبؤ العینتین ) ٢ - ١١ - ٤( القیم المنعزلة)٣ - ١١ - ٤(

لبعض التوزیغات تحت اختبارات الحیاه االستدالل البییزى: الفصـل الخامس التوزیع االسى بمعلمة واحدة )١ - ٥(

دالة الصالحیة باالعتماد على دالة االمكان فى حالة العینة الكاملةتقدیر فترة ثقة لمتوسط الحیاة و) ١ -١ - ٥( تقدیر االمكان االكبر لمتوسط الحیاة باالعتماد على دالة االمكان فى حالة المعاینة من النوع االول ) ٢ -١ - ٥( تقدیر االمكان االكبر لمتوسط الحیاة فى حالة المعاینة من النوع الثانى) ٣ -١ - ٥( تنبؤ العینة الواحدة) ٤ -١ - ٥( تقدیرات بییزیة تحت فرض توزیع جاما العكسى كتوزیع قبلى فى حالة المعاینة من النوع الثانى )٥ -١ - ٥( )تقدیرات بییزیة تحت فرض التوزیع المنتظم فى الفترة )٦ -١ - ٥( , ) كتوزیع قبلى فى حالة

المعاینة من النوع الثانى

كتوزیع قبلى فى حالة المعاینة من النوع مقارنة بییزیة تحت فرض التوزیع االسى بمعلمة ) ٧ -١ - ٥( الثانى

كتوزیع قبلى فى حالة المعاینة من النوع prior quasi- densityتقدیرات بییزیة تحت فرض ) ٨ -١ - ٥(

الثانى فى حالة المعاینة من النوع الثانى فرض التوزیع القبلى المرافقتقدیرات بییزیة تحت ) ٩ -١ - ٥( فى حالة المعاینة من النوع الثانى فى حالة نقص المعلومات عن بییزیة تقدیرات) ١٠ -١ - ٥( للتوزیع االسى ذو البتر المزدوج فى حالة العینة التقدیر البییزى لمتوسط الحیاة ودالة الصالحیة) ١١ -١ - ٥(

الكاملة التقدیر البییزى لمتوسط الحیاة ودالة الصالحیة للتوزیع االسى فى حالة العینة المراقبة من النوع ) ١٢ -١ - ٥(

الثانى من جھتین , لمتینللمعاالمكان االكبر اتتقدیر) ١٣ -١ - ٥( فى حالة العینة الكاملة للتوزیع االسى بمعلمتین التوزیع االسى تحت فرض بعض النظریات التى تخص التقدیرات البییزیة للمعلمة) ١٤ -١ - ٥(

الكاملةفى حالة العینة معلومة و بمعلمتین

فى حالة المعاینة من النوع ودالة الصالحیة التوزیع االسى بمعلمتین لمعالم تقدیرات بییزیة ) ١٥ -١ - ٥( الثانى

مقارنة بین زمن التجربة فى حالة العینة الكاملة والعینة المراقبة من النوع الثانى ) ١٦ -١ - ٥( بمعلمتینتوزیع وایبل )٢ - ٥(

حالة العینة الكاملةفى یةبییز تقدیرات ) ١ -٢ - ٥( لمعالم توزیع وایبل ذو البتر المزدوج فى حالة العینة الكاملة یةبییز تقدیرات ) ٢ -٢ - ٥(

١٠

توزیع كوشى )٣ - ٥( االمكان االكبر لمعالم توزیع كوشىتقدیرات ) ١ -٣ - ٥( االمكان االكبر لدالة الصالحیة تقدیر) ٢ -٣ - ٥( بییز لدالة الصالحیة تقدیر) ٣ -٣ - ٥(

التوزیع اللوغارتمى الطبیعى )٤ - ٥( فى حالة العینات المتتابعة من النوع الثانى االكبر رات االمكانیقدت) ١ -٥ - ٥( تحت فرض توزیع قبلى لمعلمة المقیاس فى حالة العینات الكاملة بییز تقدیر) ٢ -٥ - ٥(

توزیع بییر االثنى عشر )٥ - ٥( االمكان االكبرفى حالة العینات المراقبة من النوع الثانىتقدیرات ) ١ -٥ - ٥( حالة المعاینة من النوع الثانى فى یةبییز تقدیرات ) ٢ -٥ - ٥(

تنبؤ العینتین لبییز تحت فرض توزیع باریتو )٦ - ٥( معلمة الشكل غیر معلومة وحجم العینة ثابت) ١ -٦ - ٥( معلمة الشكل غیر معلومة وحجم العینة متغیر عشوائى) ٢ -٦ - ٥( وجود قیمة منعزلة) ٣ -٦ - ٥( المراجع المالحق

١١

الفصل االول

بعض المفاھیم األساسیة

١٢

Sample Space and Eventsالعینة واألحداث )فراغ( فضاء )١ـ١(

ى تجرى ین عل األبحاث في مجاالت كثیرة، ففي مجال الطب قد یھتم باحث بدراسة تأثیر دواء معرات ي فت ة ف الث سلع مختلف تم باحث بدراسة أسعار ث د یھ ي مجال االقتصاد ق ا، وف الشفاء من مرض مول ة المحص ى كمی ائي عل ماد كیم أثیر س ة ت ث بدراس تم باح د یھ ة ق ال الزراع ي مج ة، وف ة مختلف .زمنی

ة ال راء تجرب و إج ة ھ ع الدراس اھرة موض ن الظ ات ع ى معلوم ول عل ث للحص د للباح ق الوحی طریexperiment ان ى بی ذا ) مشاھدة(وھى أي إجراء نحصل بھ عل ي المعمل وھ ة أو ف ي الطبیع سواء ف

. البیان قد یكون رقمي أو وصفى عوامل خارجة عن إرادة ( نجد في معظم الحاالت أن نتیجة التجربة تعتمد على عوامل الصدفة

ة وال) الباحث أي في علم هللا ائج الممكن ل النت ة ك یمكن التنبؤ بھا بشيء من التأكید، ولكن یمكن وصف فئ . لھا قبل إجرائھا

.الفئة التي عناصرھا تمثل جمیع النواتج الممكنة لتجربة تسمى فراغ العینة :تعریف

)١-١(مثال

ة ذ عین تج وأخ ندوق من ل ص ار ك المون باختب ماك الس اج أس نع إلنت ي مص ودة ف ة الج ئول بمراقب ام مس قالف م أن . واالستمرار في االختبار حتى ظھور صندوق ت ع العل ار م ة االختب ة لعملی y اذكر فضاء العین

.ترمز للصندوق التالف nتمثل الصندوق السلیم و

:الحـلS {n ,yn ,yyn ,yyyn , . . . }

. sample pointیسمى أي عنصر في فراغ العینة نقطة عینة :تعریف .أي فئة جزئیة من فراغ العینة ھي eventالحادثة :تعریفة بسیطة :تعریف ط تسمى حادث ا simple event٠إذا كانت الفئة الجزئیة تحتوى على عنصر واحد فق أم

.التي تنتج من اتحاد أحداث بسیطة فھي compound eventالحادثة المركبة

)٢-١(مثال :ألقى زوج من زھرتي النرد مرة واحدة، اذكر الحادثة

. 5أو 4مجموع الوجھین الظاھرین إما ) ب( . 9مجموع الوجھین الظاھرین یساوي )أ(

: الحــل A = {(4,5),(5,4),(3,6),(6,3) }) أ( B = {(2,2),(4,1),(1,4),(2,3),(3,2) ,(1,3), (3,1) }) ب(

: تعریف, Aیقال أن B ان ان( حادثتان مانعت وع exclusive events) متنافیت ع وق داھما یمن وع إح ان وق إذا ك

Aاآلخر وفي ھذه الحالة فإن B .

١٣

)٣-١(مثال

ردي؟ وھل عند إلقاء زھرة نرد مرة واحدة، م ف ة ظھور رق ا حادث ما ھي حادثة ظھور رقم زوجي وم الحادثتین متنافیتین؟

:الحــلA ھي حادثة ظھور رقم زوجي {2,4,6} ھي فردى رقم ظھور وحادثة B {1,3,5}

A و B وعلى ذلك فإنA .حادثتان مانعتان Bو (Probability)االحتمال ) ٢-١(

تتراوح من الصفر إلى الواحد weightsتمدنا نظریة االحتماالت بفئة من األرقام تسمى األوزان

لكل . وقوع األحداث التي تنتج من تجارب إحصائیة) فرصة(الصحیح والتي تمكننا من تقدیر إلمكانیة إذا كان لدینا ٠نقطة في فضاء العینة نعین وزن بحیث یكون مجموع األوزان یساوى الواحد الصحیح

من الواحد سبب لكي نعتقد أن ھناك إمكانیة كبیرة لوقوع نقطة في قریبا فضاء العینة فإننا نعین لھا رقما ٠ومن ناحیة أخرى یعین وزن قریب من الصفر لنقاط العینة التي إمكانیة وقوعھا ضئیل. الصحیح

للنقاط خارج نطاق العینة، أي النقاط التي یستحیل حدوثھا فإننا نعین لھا الرقم صفر وتسمى األحداث المفھوم : البند سوف نناقش ثالثة مفاھیم مختلفة لقیاس االحتماالت وھى في ھذا .المستحیلة الحدوث

.والمفھوم الشخصي ،و مفھوم التكرار النسبي) المفھوم الكالسیكي(القدیم (Classical Concept))المفھوم الكالسیكي ( المفھوم القدیم ) ١-٢-١(

beforeقبل الحقیقة ( a priori تقدیرھا قبليتبعا لھذا المفھوم تحدد أرقام االحتماالت أو یمكن

fact (وعلى ذلك، االحتمال بالضبط ٠exact probability أن حادثة ما تقع تحدد قبل وقوع الحادثة. من النقاط، أي أن عدد Mالمفھوم القدیم لالحتمال مبنى على أساس أنھ إذا كانت تجربة تحتوى على

وكانت ھذه النواتج متساویة في إمكانیة الحدوث وإذا احتوت الحادثة Mھو النواتج الممكنة لتجربة ماA على عددm من النقاط فإن احتمال الحادثة ھو:

mP(A)M

)٤-١(مثال

:ثالث أجزاء من كتاب موضوعة على رف ما احتمال الجزء الثاني في المكان األول؟) ب( األجزاء في وضعھا الصحیح؟) أ(

:الحــل : فضاء العینة ھو

S 1 2 3 , 1 3 2 , 2 1 3 , 2 3 1 , 3 1 2 , 3 2 1

(أ)1 A 1 2 3 P(A)6

١٤

)ب( 2 1B 2 1 3 ,(2 3 1 P(B)= .6 3

Relative Frequency Concept)مفھوم التكرار النسبي ) ٢-٢-١ (

ھذا المفھوم إجراء التجربة عدد كبیر من المرات ومعرفة نتائجھا وبعد ذلك قیاس یشترط التي أجریت بھا تجربة ما تحت نفس ) trailsالمحاوالت ( تمثل عدد المرات Nفإذا كانت .االحتمال

من المرات التي كررت فیھا Nخالل Aظھور الحادثة ) التكرار(تمثل عدد مرات nالظروف و -:ھو Aالتجربة فإن احتمال وقوع الحادثة

N

nP(A) lim N

حیث nN

Nفي ھذه التجارب التي عددھا Aھو التكرار النسبي للحادثة عادة تكون قیم .

الخبرة ، فقد أوضحت Nولكن عندما تزید قیمة Nالتكرار النسبي غریبة األطوار للقیم الصغیرة من

أن النسبةnN

ولذلك عرف P(A) ھيتكتسب بعض االنتظام اإلحصائي وتستقر حول قیمة ثابتة

االحتمال بأنھ نھایة النسبةnN

االحتمال .عندما یزداد عدد المحاوالت أو التجارب ویؤول إلى ما النھایة

after fact).بعد الحقیقة( a posterioriالمبنى على ھذا المفھوم یقدر بعدى

)٥-١( مثال

الف 300إطار منتج یكون من بینھا 100000في مصنع إلطارات السیارات تبین أن كل ا .إطار ت فم احتمال اختیار إطار تالف؟

:لــالحnعدد اإلطارات التالفة N=100000عدد اإلطارات 300وعلى ذلك احتمال اختیار إطار ٠

-:تالف ھو 300P(A) 0.003.

100000

Subject Probabilityالمفھوم الشخصي) ٣-٢-١(

في وقوع حادثة ما والمقررة من شخص ما بناء على تبعا لھذا المفھوم، االحتمال ھو درجة الثقة

على سبیل المثال قد یحدد .ھذا الدلیل قد یكون أي معلومات كمیة أو غیر كمیة ٠دلیل متوفر لدیھللحادثة أن شحنة ما تحتوى على األكثر 0.25الشخص القائم على المشتریات في شركة ما االحتمال

٠ف من شخص إلى آخر وذلك لعوامل كثیرة منھا الخبرةھذا المفھوم یختل ٠وحدات تالفة 2% ال) ٤-٢-١( یم االحتم زة لق واص الممی Characteristics of Probabilityالخ

Numbers

١٥

1فراغ العینة المرافق لتجربة وإذا كانت Sإذا كان 2A ,A تمثل كل األحداث الممكنة فإن قیم ...,

- :االحتمال المقدرة لألحداث السابقة البد أن تتوافر فیھا الشروط اآلتیة P(A)ویحقق Aیسمى احتمال P(A)عدد معین Aیرافق كل حادثة ) أ( 0 . P(S)احتمال وقوع حادثة مؤكدة یساوى الواحد الصحیح، أي أن ) ب( 1 1إذا كانت) ج( 2 3A ,A ,A أي من الحوادث المانعة بالتبادل عدد إلنھائي ...

i jA A , i j فإن:

1 2 3 1 2 3P(A A A ...) P(A ) P(A ) P(A ) .... 1ویمكن إثبات أنھ إذا كانت 2 nA ,A ,...,A تمثلn حادثة مانعة بالتبادل فإن: -

1 2 n 1 2 nP(A A ... A ) P(A ) P(A ) ... P(A ). 1أیضا إذا كانت 2 nA ,A ,...A تمثل تجزئة لفراغ العینةS فإن:

1 2 n 1 2 nP(A A ... A ) P(A ) P(A ) ... P(A ) 1.

)٦-١(مثال

صنعت زھرة نرد بحیث یكون احتمال ظھور الرقم واحد ثالثة أضعاف أي رقم آخر، بینما كل الوجوه دة؟ . األخرى لھا نفس الفرصة في الظھور رد مرة واح اء الن د إلق ین عن رقم اثن ور ال ال ظھ ما ھو احتم

وما ھو احتمال ظھور الرقم واحد؟

:الحــل P(1)نفرض أن احتمال ظھور الرقم واحد ھو -Aبحیث P(A)نفرض أن احتمال ظھور أي رقم آخر ھو - 1 P(S)احتمال فراغ العینة - 1.

P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 : وبما أن P(1) 5 P(A) 1

P(1) :وعلى ذلك 3P(A),

13P(A) 5P(A) 1 8P(A) 1 P(A)8

:ھو (2)إذن احتمال ظھور الرقم 1P(2)8

:ھو) ١(واحتمال ظھور رقم 3P(1)8

Some Probability Laws بعض قوانین االحتمال) ٣-١(

١٦

عادة یكون من السھل حساب احتمال حادثة ما من االحتماالت المعروفة لألحداث األخرى وھذا یكون صحیح إذا أمكن تمثیل الحادثة كاتحاد لحادثتین أخرتین أو مكملة لحادثة

, Aألي حادثتین :نظریة B فإن: P(A B) P(A) P(B) P(A B).

)٧-١(مثال

و ون ھ تري تلفزی رة تش ال أن أس ة احتم ي مدین و 0.8ف س ھ الة مالب تري غس ال أن تش 0.5واحتمو ھ ى 0.45واحتمال أن تشتري االثنین معا ین عل ن االثن ال أن تشتري األسرة واحد م ا ھو احتم ، م

األقل؟ :الحــل

P(A)احتمال أن األسرة تشتري تلفزیون ھو 0.8 P(B)واحتمال أن تشتري غسالة ھو 0.5

P(Aواحتمال أن تشتري تلفزیون وغسالة ھو B) 0.45 P(Aوالمطلوب احتمال أن تشتري األسرة تلفزیون أو غسالة B)

P(A B) P(A) P(B) P(A B) 0.8 0.5 0.45 0.85 :الحادثة المكملة لھا فإن cAحادثة و Aإذا كان :نظریة

cP(A) 1 P(A ). )٨-١(مثال

. مرات اوجد احتمال ظھور صورة مرة على االقل 7إذا القیت عملة

:الحــل

بفرض ان . 72ھو Sعدد النقط فى فضاء العینة ." ظھور صورة مرة على االقل " الحادثة Aبفرض :تمثل عدم ظھور اى صورة وحیث ان االحداث متساویة فى امكانیة الجدوث فإن cAالحادثة

c7

1P(A ) .0078125.2

:اى ان cP(A) 1 P(A ) 1 0078125 .9921875.

robabilityPonditional Cاالحتمال الشرطي ) ٤-١(

بالمعلومات عن حدوث أو عدم ) Aلتكن (في بعض التجارب یتأثراالحتمال الذي یخصص لحادثة ما

بشرط A احتمال وقوع حادثة : في ھذه الحالة سوف نستخدم العبارة . Bحدوث حادثة أخرى ولتكن Aاحتمال وقوع " ویقرأ P(A|B)والذي یسمى االحتمال الشرطي ویرمز لھ بالرمز B وقوع حادثة ". Bالشرط وقوع

:إذا كان عدد النواتج لتجربة عشوائیة متساویة فى امكانیة الحدوث فإن

١٧

n(A B)P(A | B) .n(B)

n(Aحیث B) عدد نواتج الحادثةA B وn(B) عدد نواتج الحادثةB . :نفس الشئ

n(A B)P(B | A) .n(A)

P(Aیمثل بالصیغة Bشرط Aاالحتمال الشرطي للحادثة : تعریف | B) ویعرف بالمعادلة: P(A B)P(A | B) , P(B) 0.

P(B)

. یعتبر ھذا التعریف عام وال یعتمد على فراغ عینة یحتوى على أحداث متساویة في إمكانیة الحدوث : وبنفس الشكل یمكن القول أن

P(A B)P(B | A) , P(A) 0.P(A)

)٩-١(مثال

:الحــل احتمال أن المبیعات عالیة ھو) أ(

10026

. Aاحتمال أن المبیعات متوسطھ إذا علم أن اإلدارة ) ب(

4P(متوســـــــــــــــــــــــــــــــــط A) 4100

25P(A) 25100

|A)= متوسطP(

، متوسط ،عالي(مستودع تم تصنیفھم حسب اإلدارة وحسب المبیعات 100بفرض أن (A,B,C)في ) منخفض -:المزدوج التالىللجدول تبعا

A B C المجموع 26 2 4 20 عالي

64 14 46 4 متوسط

10 7 2 1 منخفض

100 23 52 25 المجموع :جدول في حسابالاستخدم البیانات الموجودة في

.احتمال أن المبیعات عالیة ) أ( . Aاحتمال أن المبیعات متوسطة إذا علم أن اإلدارة) ب( . B احتمال ان المبیعات متوسطة إذا علم أن اإلدارة) جـ(

اإلدارة المبیعات

١٨

n(متوســـــــــــــــــــــــــــــــــط B) 4 .n(A) 25

.وذلك الن جمیع نواتج التجربة متساویة فى امكانیة الحدوث . Bاحتمال أن المبیعات متوسطة إذا علم أن اإلدارة ) ج(

.5246

10052

10046

)B(P)Bمتوسط(P

B) = | متوسطP(

:فإن Bفي تجربة ما، یتبعھا حادثة A إذا وقعت حادثة ما :نظریة

P(A B) P(A)P(B | A). Bأوال مضروبا في احتمال وقوع Aفي ترتیب ھو احتمال أن تقع A ,Bوعلى ذلك احتمال وقوع

A، شرط أن - :كما یمكن أن یكون ٠وقعت P(A B) P(B)P(A | B).

.وھذا یتوقف على أي الحادثتین قد تقع أوال

)١٠-١(مثال

نھم 10وعاء یحتوي على دون 3وحدات م و األخرى ب دة تل ن الوعاء الواح دتین م الفین سحبت وح ت المطلوب . إرجاع

.احتمال وجود وحدة واحدة تالفة) ب( احتمال أن الوحدتین غیر تالفتین) أ(

: الحــل

.7 ، وعدد الوحدات غیر التالفة3، عدد الوحدات التالفة 10عدد الوحدات

7P(A) تالفةاحتمال أن الوحدة األولى غیر ) أ(10

6P(B) واحتمال أن الوحدة الثانیة غیر تالفة 9

:احتمال الحصول على وحدتین غیر تالفتین ھو7 6 42P(A B) P(A) P(B | A)

10 9 90

:نظریة :، وھكذا، فإن 3Aیتبعھا الحادثة ،2A ، یتبعھا الحادثة1A في أي تجربة إذا وقعت الحادثة

1 2 3 1 2 1 3 1 2P(A A A ...) P(A )P(A | A )P(A | A A )...

١٩

ال یتأثر وال یعتمد على وقوع أو عدم وقوع حادثة Aي بعض األحیان ، احتمال وقوع حادثة ما فP(Aوعلى ذلك Bمستقلة عن Aبعبارة أخرى وفي ھذه الحالة یقال أن ٠ Bأخرى | B) P(A)

: وفي ھذه الحالة فإن

P(A B) P(A)P(B). : ، إذا وفقط إذا independentمستقلتین A ،Bیقال أن الحادثتین : تعریف

P(A B) P(A)P(B).

)١١-١(مثال

ا 8 من 4یكسب Bو 5 من 3 یكسب Aصوب شخصان ناحیة ھدف ما، فإذا كان في المتوسط م ھو احتمال أن الھدف ال یستھدف إذا صوب االثنین ناحیة الھدف؟

:الحــل :ھو Aاحتمال أن یستھدف

3P(A) .5

:ھو Aاحتمال أن ال یستھدف c 3 2P(A ) 1 P(A) 1

5 5

:ھو Bاحتمال أن یستھدف 4P(B)8

:ھو Bاحتمال أن ال یستھدف C 4 4P(B ) 1 P(B) 1

8 8

,Bاحتمال أن الھدف ال یستھدف إذا صوب A )ھو )الحادثتان مستقلتان: c c c c 2 4 8P(A B ) P(A ) P(B ) .

5 8 40

1إذا كان لدینا 2 nA ,A ,...A من االحداث فإننا نقول انھم مسقلین إذا وفقط إذا: 1 2 n 1 2 nP A A ... A P A P A ...P A .

Total Probability and Bayes` Ruleاالحتمال الكلى وقاعدة بییز) ٥-١(

1أن األحداث بفرض 2 nA ,A ,...,A و بعض واتحادھم ھ Sتمثل تجزیئا لفراغ العینة ومانعة لبعضھا ال )mutually exclusive and exhaustive أحداث مانعة وشاملة (n حیث التالى شكلالكما في 6 بفرض أن٠ E فإن أي حادثة أخرى:-

٢٠

1 2 n

1 2 n

E S E (A A ... A ) E =(A E) (A E) ... (A E).

: total probability)االحتمال الكلىنظریة ( : ظریةن1بفرض أن 2 nA ,A ,...,A تمثلn حادثة مانعة وشاملة، وعلى ذلك ألي حادثةE فإن:-

n

i ii 1

P(E) P(A )P(E | A ).

)Bayes` Theoremنظریة بییز ( : ظریةن1إذا كانت 2 nA ,A ,...,A تمثلn ور ھ ظھ تج عن داھما ین ور إح ان ظھ ة وشاملة وك حادثة مانع

-:فإن ) تقع إذا وقعت واحدة من الحوادث المانعة Eأي أن( Eحادثة أخرى k k

nk

i ii 1

P(A )P(E | A )P(A | E) ,k 1,2,...,n.P(A )P(E | A )

)١٢-١(مثال

ا ي میعادھ وم ف ال أن تق ان احتم إذا ك دینتي ف د 0.8طائرة تطیر یومیا بین م ال أن یكون الجو جی احتمو دھا ھ ي موع ر ف دما تطی دھا ف 0.9عن ي موع ر ف دما ال تطی ون إوعن ال أن یك ا ن احتم و ردیئ الج

ھو احتمال أن الطیران یكون في میعاده ؟ جید ما إذا ركب شخص الطائرة وكان الجو . 0.7ھو

:الحــل .م الطائرة في میعادھاوالحدث أن تق 1Aنفرض أن

2A م الطائرة في غیر میعادھاوالحدث أن تق. 1E جید الجو ، C

1E الجو غیر جید. : المطلوب 1 1P A | E

1A

2A

8.0)A(P 1

2.0)A(P 2

9.0)A|E(P 11

1.0)A|E(P 1C

1

3.0)A|E(P 21

7.0)A|E(P 2C

1

1E

C1E

1E

C1E

٢١

1 1P A E 0.8 0.9 0.72 ,

1P E 0.8 0.9 0.2 0.3 0.78.

1 1

1 11

P A E 0.72P A | E 0.923 ,P E 0.78

Random Variableالمتغیر العشوائي ) ٦-١(

ابقا(تستخدم كلمة تجربة ا ال ) كما ذكرنا س ھ وإن كن ة ل واتج الممكن ع الن بقا جمی م مس ألي إجراء نعل

واتج ربما ال ٠نستطیع أن نتنبأ بأي من ھذه النواتج سیتحقق فعال ة كل الن ن الضروري دراسة فئ یكون مواتج ) فراغ العینة(الممكنة ذه الن ة مرتبطة بھ یم رقمی ى ق لتجربة إحصائیة ولكن یكون اھتمامنا منصبا عل ٠إن القیم الممكنة ھذه ھي ما نعبر عنھ بقیم المتغیر العشوائى ٠الممكنةي : تعریف ة تسمى الدالة المعرفة على فراغ العینة لتجربة ما والت ا لكل نقطة عین ددا حقیقی تخصص ع

٠المتغیر العشوائى ٠لواحدة من قیمھ x، لیمثل المتغیر العشوائي Xسوف نستخدم الرمز

)٣١-١(مثال

ذور اختیرت بذرتان من نبات مزھر عشوائیا من كیس یحتوى على خمس بذور زھورھا حمراء الث ب وث :فراغ العینة یكون ٠زھورھا صفراء وذلك الستخدامھا في تجربة معینة

S {yy, ry, yr, rr} ٠ترمز إلى البذرة التي زھورھا صفراء yترمز إلى البذرة التي زھورھا حمراء، rحیث

ة X أننا عرفنا الدالة بفرض ي العین ا حمراء ف ي زھورھ ذور الت دد الب ة سوف ٠التي تمثل ع ذه الدال ھالي ٠المرافق لتجربتنا اإلحصائیة S تخصص عدداحقیقیا لكل نقطة عینة في فراغ العینة ي الجدول الت ف X٠ي واحد عن طریق الدالة نجد أن كل نقطة في فراغ العینة ارتبطت بعددحقیق

2 1 1 0 x rr yr ry yy نقطة العینة

, 0متغیر عشوائي یأخذ القیم Xوعلى ذلك 1 , 2.

راغ د یكون ف ابق، أو ق ال الس ي المث ا ف نقط كم ن ال دود م ى عدد مح ة عل راغ العین وى ف د یحت قة دود ال العین ائي مع دد sample space countable infiniteنھ ى ع وى عل ذي یحت راغ ال و الف ال وھ

ذه وی نھائي من العناصر لكنھ قابل للعد ، مثل عدد البكتریا في لتر من الماء النقي ي ھ سمى فراغ العینة فراغ discrete sample space٠) متقطع(الحالة فراغ عینة منفصل ى ف المتغیر العشوائي المعرف عل

ر عشوائي منفصل دد . )متقطع(عینة منفصل یسمى متغی ى ع وى عل ة یحت راغ العین ان ف ال أیضا إذا كنقط ل كل infinite sample space نھائي من ال دودة مث ر مع ة، األوزان، درجات الغی األطوال الممكن

ة متصل ...، الحرارة راغ العین ول أن ف ا نق خ فإنن ر continuous sample space٠) مستمر(ال المتغیل وائي المتص ر العش مى المتغی ل یس ة متص راغ عین ى ف رف عل وائي المع ات . العش م التطبیق ي معظ ف

د، ة للع ات قابل ل بیان ي المتغیرات العشوائیة المنفصلة تمث ي السنة، عدد األخطاء ف دد الحوادث ف ل ع مثخ٠٠٠، عدد الفئران في فدان من القمح صفحة من قاموس ل ٠ال رات العشوائیة المتصلة فتمث ا المتغی أم

٠بیانات مقاسة

٢٢

)المتقطعة(التوزیعات االحتمالیة المنفصلة ) ٧-١( sDiscrete Probability Distribution

ال ي مث ال فف ا احتم رض لھ ل یف وائي المنفص ر العش یم المتغی ن ق ة م ل قیم ب ) ١٣-١(ك تحسة Xاالحتماالت المختلفة لقیم المتغیر العشوائي إذا (الذي یمثل عدد البذور التي زھورھا حمراء في العین

-:كالتالي) كان االختیار بدون إرجاع

3 2 6P(X 0) P(yy) ( ) ( ) ,8 7 56

5 3 3 5 30P(X 1) P(ry) P(yr)=( ) ( ) ( ) ( ) , 8 7 8 7 56

5 4 20P(X 2) P(rr) ( ) ( ) .8 7 56

-:مع احتماالتھا معطاة في الجدول التالي X القیم المختلفة للمتغیر العشوائي

2 1 0 x 2056

3056

6

56

P(X=x)

٠مجموع االحتماالت في الجدول السابق تساوى الواحد الصحیحتعریف: كل جدول أو صیغة تعطى جمیع القیم التي یأخذھا متغیر عشوائي منفصل، مع احتمال كل

٠قیمة منھا یسمى توزیع احتمالي منفصل

)١٤-١(مثال

ان إن Xإذا ك دة ف رة واح ین م اء عملت د إلق ر عن ي تظھ ورة الت دد الص ل ع وائیا یمث را عش متغیx 0,1,2 . فما ھو التوزیع االحتمالي للمتغیرX؟

:الحــل :یمكن تمثیلھ بالجدول التالي X التوزیع االحتمالي للمتغیر العشوائي

2 1 0 x 0.25 0.5 0.25

f(x)

xو f (x) > 0بحیث أن f(x)لتكن الدالة R حیثR ، فـإذا أمكـن التعبیـر فضاء المتغیر العشـوائى

P(B) ،Bعن R كدالة في ،f(x) كما یلي: .

Rf (x) 1

٢٣

لـــه توزیـــع مـــن النـــوع Xیســـمي متغیـــرا عشـــوائیا مـــن النـــوع المتقطـــع ویقـــال أن المتغیـــر العشـــوائي Xفـــإن لمتغیـر عشـوائي متقطـع probability density (.p.d. f) دالـة كثافـة احتمـال f (x)تسـمى . المتقطـع

X . ســم دالــة الكتلــة اكثیــر مــن المــؤلفین یطلقــونmass function علــى دالــة كثافــة االحتمــال لمتغیــرعشــوائي متقطــع وذلــك ألنــه یمكــن اعتبــار بیــان دالــة كثافــة االحتمــال كمجموعــة مــن الكتــل وكــل كتلــة تقــع

علـى الخـط األفقـي وعلـى ذلـك فـإن الـوزن للكتلـة التـي تقـع علـى …, x1 , x2 , x3علـى نقطـة مـن النقـاط ix یقابل احتمال أنX تساوىix .

)١٥-١(مثال

:متغیرا عشوائیا من النوع المتقطع حیث Xإذا كان 44! 1f (x) , x 0, 1, 2, 3, 4;

x!(4 x)! 2 = 0 e.w.

: لیكن

B

P(B) f (x)

Bإذا كانت . ( 1 = !0)وكالعادة {x x 0,1} فإن:

4 44! 1 4! 1 5P(B) .0!4! 2 1!3! 2 16

The Distribution Function دالة التوزیع ) ١-٧-١(

فئــة Bحیــث P(B) هــو Bوكــان احتمــال الحادثــة متغیــرا عشــوائیا مــن النــوع المتقطــع Xبفــرض أن ذا كــان . فـي البعــد األول . xحیـث تشــتمل علــى النقطــة xإلــي فئـة مــن Bعـدد حقیقــي وكانــت xوا

:فإن Bلمثل هذه الفئات .P(B) P(X x)

یرمــز لدالــة النقطــة هــذه . x، أي أن هــذا االحتمــال دالــة فــي النقطــة xحیــث یعتمــد االحتمــال علــى النقطــة

xX(P)x(F(بالرمز . تسمى الدالةF(x) دالة التوزیـع التجمیعـي ( دالة التوزیعcumulative

٢٤

distribution function ( للمتغیـــر العشــوائيX . وبمــا أن)xX(P)x(F حیــث ،f(x) دالـــة : كثافة االحتمال ، فإن

w xF(x) f (w).

)١٦-١(مثال

:متغیرا عشوائیا له دالة كثافة االحتمال Xإذا كان

.ومثلها بیانیا F(x)أوجد

:الحــلF(1) P(X 1) P(X 1) f (1) .4,F(2) P(X 2) P(X 1 or 2) = f(1) + f(2) = .7,

F(3) P(X 3) P(X 1 or 2 or 3)f (1) f (2) f (3) .9,

F(4) P(X 4) f (1) f (2) f (3) f (4)1,

:وعلى ذلك F(x) 0 x 1

.4 1 x 2

.7 2 x 3

.9 3 x 41 4 x.

. التالى شكل الموضح في F(x)بیان

x 1 2 3 4

P(X=x) .4 .3 .2 .1

٢٥

:نذكر بعضها Xهناك بعض الخواص لدالة التوزیع لمتغیر عشوائي

x(F0(1) أ( . xxبمعنى أنه إذا كانت xغیر تناقصیة في F(x)الدالة ) ب( فإن:

F(x ) F(x ) F)(1) ج( 0و)(F . b(F)b(F)bX(P() د(

هو X = bوعلى ذلك االحتمال أن . x = bعند F(x)هي النهایة من الیسار للدالة F(b-)حیث . x = bعند F(x)طول القفزة التي تأخذها

F( a+) - F(a) = 0 :أن أي . xمتصلة من الیمین عند كل نقطة F(x)الدالة ) هـ(

متصلة من الیمین F(x)وعلى ذلك . x = aعند F(x)هي النهایة من الیمین للدالة F(a+)حیث .عند كل نقطة

Expected Values القیم المتوقعة ) ٢-٧-١(

: كالتالى Xیمكن تعریف القیمة المتوقعة للمتغیر العشوائى المتقطعX

x

E(X) x f (x) .

أي أن xEموجود فقط إذا كان E(X)حیث )x(fxxEx

، أي یتقارب المجموع

ذا لم یتحقق هذا الشرط فإنه ال یوجد للمتغیر قیمة متوقعة أو متوسط . تقاربا مطلقا عادة یستبدل . وا .حیث یحذف الدلیل وذلك عند التعامل مع متغیر عشوائي واحد بالرمز Xالرمز

٢٦

)المركزیة للنزعة مقیاس أو( االحتمال كثافة دالة لموقع مقیاس یعتبر اإلحصاء مجال في

)١٧-١(مثال

:متغیرا عشوائیا بداله كثافة احتمال معرفة كالتالي Xإذا كان x ,x 1,2,3

f (x) 60 , e.w.

. (X)أوجد

:الحــل23 3

x x 1 x 1

x x( ) xf (x) x( )6 6

1 4 9 2.333.6 6 6

نظریة

ذا كانـت f(x)متغیرا عشوائیا متقطعا بدالة كثافة احتمال Xإذا كان قیمـة حقیقیـة لدالـة مجالهـا كـل u(x)وا :فإن Xالقیم الممكنة من

x

E u(X) u(x) f (x)

تحــل u(x)فیمــا عــدا E (X)یمكــن حســابها بــنفس طریقــة حســاب E [u (x)]تبعــا للنظریــة الســابقة فــإن . xمحل

)١٨-١(مثال

للحاســب الواحـــد ثــم یبیـــع الحاســـب 500$آلیــة بســـعر حواســـبیرغــب مركـــز تجــاري فـــي شــراء ثالثـــة بســـعر وقـــد وافـــق المصـــنع علـــى أعـــادة شـــراء أي حاســـب ال یبـــاع بعـــد فتـــرة زمنیـــة 1000$الواحـــد بســـعر

$200 . ذا كان Xإذا كانت ترمز لعدد الحاسبات المباعة وا

f(3) = .4 , f(2) = .3 , f(1) = .2 , f(0) = .1 ذا كان :وحدة فإن Xتمثل الربح الناتج من بیع u(X)وا

u(X) = 1000X + 200 (3 – X) – 1500 = 800 X - 900 :القیمة المتوقعة للربح هي

E[ u(X) ] = u(0) . f(0) + u(1) .f(1) + u(2) f(2) + u(3) . f(3)

٢٧

= (-900) (.1) + (-100) (.2) + (700) (.3) + (1500) (.4) = 700 $ .

:هو Xالتباین لمتغیر عشوائي : تعریف2Var(X) E[(X )

ـــــل ـــــاین مث ـــــاك رمـــــوز أخـــــرى للتب 2أو 2هنX . ـــــاین یســـــمي االنحـــــراف المعیـــــاري الجـــــذر التربیعـــــي للتب

standard deviation للمتغیر العشوائيX . أي أن: X Var(X)

Xلدالـة كثافـة االحتمـال للمتغیـر spreadأو كمیـة االنتشـار variabilityیعطي التبـاین مقیـاس للتشـتیت لكـال 4حیـث (.p.d.f) دالتـین مختلفتـین مـن الشـكلین التـالیین واللـذان یمـثالن ویمكن توضـیح ذلـك .

.الشكل الثانى له تشتت أقل من التوزیع االولشكل الالدالتین بینما التوزیع في

٢٨

)١٩-١(مثال

: متغیرا عشوائیا متقطعا بداله كثافة احتمال Xإذا كان

. Xالتباین للمتغیر العشوائي أوجد

:الحــل :الحسابات الالزمة لحساب التباین یحتوي الجدول التالي على

)x(f)x( 2

2)x( )x( )x(fx )x(f x

12849

1649

47

81

81

1

12818

169

43

84

82

2

1283

161

41

89

83

3

12850

1625

45

88

82

4

1281202

822

المجموع

:أي أن

x2 2

2

x

22E(X) xf (x) ,8

Var(X) E[X ]120(x ) f (x) .128

:یمكن اختزالها باستخدام الصیغة البدیلة التالیة 2عدد العملیات الحسابیة الضروریة لحساب

2 2 2

2 2

x

Var(X) E(X) [E(X)]x f (x) .

x 1 2 3 4

f(x) 81

28

38

28

٢٩

كمــا ذكرنــا ســابقا فــإن التبــاین یمــدنا بمقیــاس لكمیــة االنتشــار فــي دالــة كثافــة االحتمــال أو التشــتت حــول E(X) = cفـي هـذه الحالـة P(X=c) =1یأخـذ قیمـة واحـدة فقـط ، أي أن Xإذا كـان . عناصـر المجتمـع

. Var(X) = 0و

)٢٠-١(مثال :متغیرا عشوائیا متقطعا بدالة كثافة احتمال Xإذا كان

f(x) = .5 x = 2 = .25 x = 4, 8

:التباین لهذه الدالة یحسب كالتالي E(X) = (2) (.5) + (4) (.25) + (8) (.25) = 4 ,

E(X2) = (22) (.5) + 42 (.25) + 82 (.25) = 22 .

:التباین هو 2 2 2

2

E(X ) [E(X)]22 4 6.

:االنحراف المعیاري هو 6 2.45.

Momentsالعـزوم )٣-٧-١(

:حول نقطة األصل یعرف كالتالي rفإن العزم من الدرجة = rX u(X)بفرض أن ,...3,2,1r, )x(fx)X(E rr'

r :فإن r = 0عندما یكون ) أ(

' 0 00

x x

E(X ) x f (x) f (x) 1

1rعندما تكون ) ب( فإن: '1

x

E(X) x f (x) .

r)X()X(uبفرض أن فإن العزم من الدرجةr حول المتوسط یعرف كالتالي: r r

rx

E(X ) (x ) f (x), r 1,2,3,...

01فإن r = 1عندما ) ا( . 2فإن r = 2عندما ) ب(

2 .

٣٠

: كالتاليمكن التعبیر عن العزم حول المتوسط بداللة العزم حول الصفر یr

r j 'j

j 0

r( ) .

j

:فإن r = 2على سبیل المثال عندما

2

2 2 j '2 j

j 0

2( )

j

. 2

)(12

)(

'2

22

'2

'1

'0

2

:أي أن .2'

22

بفــرض أن rXu(X)

Xلمتغیــر عشــوائي ) المعیــاري ( rفــإن العــزم القیاســي مــن الدرجــة

:یعرف كالتالي

,....3,2,1r

)x(fxXEr

x

r

r

:فإن r = 1عندما 01 .

: فإن r = 2عندما 2 1 .

:فإن r = 3عندما 3

3 3 / 22

.

.والذي یسمي معامل االلتواء :فإن r = 4عندما

44 2

2

.

٣١

.والذي یسمي معامل التفلطح

)٢١-١(مثال

:متغیرا عشوائیا له داله كثافة احتمال X إذا كان

. و معامل االلتواء ومعامل التفلطح االولى االربعة أوجد العزوم القیاسیة

:الحــل

:الجدول التالي یعطي الحسابات الالزمة الیجاد العزوم القیاسیة : بفرض أن

XZ u X .

:الجدول سیكون على الصوره التالیه

1 2 3 40 , 1 , 0 , 1.998 2. : العالقة ایضا من هو مقیاس االلتواء و یعطى 3 من الواضح أن

33 2

32

.

: العالقة ایضا من هو مقیاس التفلطح و یعطى 4 و أن

zgz 4 zgz 3 zgz 2 zzg zg z xf x

1999.0 706.0 5.0455.0 3535.0 25.0 1.414 25.0 2

0 0 0 0 5.0 0 5.0 3

1999.0 706.0 5.0455.0 3535.0 25.0 414.1 25.0 4

2999.1 0 1 0 1 0 1 المجموع

x 2 3 4 3 f(x) 0.25 0.5 0.25

٣٢

44 2

2

.

Mode and Medianالمنوال والوسیط )٤-٧-١(ف المنـوال هــو القیمــة التــى عنـدها تكــون دالــة كثافـة االحتمــال للمتغیــر العشـوائي مــن النــوع المتقطــع : تعری

X أي قیمـــة أخـــرى ( لهـــا أكبـــر قیمـــة أي أن =X (P > ) المنـــوال =X (P ـــة كثافـــة وهـــذا یعنـــى أن دال .االحتمال قد یكون لها أكثر من منوال

)٢٢-١(مثال

:أوجد المنوال للدالة اآلتیة ,....3,2,1x)

21()x(f x

= 0 , e.w.

:الحــلX (P= أي قیمة أخرى ( وذلك ألن x = 1المنوال هو

21)1X(P .

) ٢٣-١(مثال

: أوجد المنوال للدالة التالیة f(x) = .05 x = 1

= .1 x = 2, 3 = .2 x = 4, 5 = .15 x = 6 = .1 x = 7, 8

:الحــل

٣٣

دالـة كثافـة االحتمـال للمتغیـر العشـوائي . unimodalأي أن التوزیـع ثنـائي المنـوال x = 4, 5المنـوال هـو X وال وموضح علیها المن التالىشكل الموضحة فى:

: بحیث أن xهو القیمة Xالوسیط لمتغیر عشوائي : تعریف1 1P(X x) and P(X x) .2 2

)٢٤-١(مثال

:متغیرا متقطعا بدالة كثافة احتمال X إذا كان

الوسیط ؟أوجد

:الحــل :التي تحقق أن xهو القیمة Xالوسیط لمتغیر عشوائي

1 1P(X x) and P(X x) .2 2

xXP xXP x 0 0 1

21 0 2

x 1 2 3 4

f(x) 0 ½ ½ 0

٣٤

. فى الفترة المغلقة وعلى ذلك الوسیط أى قیمة )المستمرة(صلة تالتوزیعات االحتمالیة الم) ٨-١(

sProbability Distribution Continious

ذا األول البعد في X العشوائي المتغیر فضاء یمثل R أن بفرض : كان واf (x) dx 1.

R

f(x) > 0 , Rx) أ( حیث كـل فـي االتصـال عدم من محدود عدد األكثر على لها f(x))ب( ذا R مــن جزئیــة فئــة تمثــل محــدودة فتــرة B االحتمالیــة الفئــة دالــة كانــت وا R , P(B) ، التعبیــر یمكــن : كاآلتي عنها

P(B) f (x) dxB

.

النــوع هــذا مــندالــة ولــه متصــال عشــوائیا متغیــرا X أن یقــال الحالــة هــذه فــي

f (x) كثافــة تســمى داة كمیـة ، بتـرول بئـر مـن المسـتخرجة البتـرول زیـت كمیـة المتصـلة العشوائیة المتغیرات أمثلة ومن. االحتمال

الـدم ضـغط ، بنـزین بجـالون سـیارة تقطعهـا التـي المسـافة ، طفـل ذكـاء ، التقطیـر عملیة في المقطرة الكحل . الوزن ، الطول ،

) ٢٥ -١( مثال

3x2

1 21 3

1 1 4

وبفرض أن كل خمسة . یستقل وسیلة النقل العام في الذهاب إلي عمله Iفرض أن الشخص االنتظار لهذا متغیرا عشوائیا متصال یمثل زمن Xإذا كان .دقائق تصل سیارة إلى المحطة

:بدالة كثافة احتمال [ 5 , 0 ]الشخص على المحطة في الفترة 1 0 x 5

f (x) 50 , e.w.

fمن الواضح أن التالى موضحة بیانیا في الشكل f (x)دالة كثافة االحتمال (x) 0 وأن

المساحة تحت المنحنى تساوي 15. 15 . احتمال أنI دقائق 3إلي 1ینتظر من سوف

:هو 3 3

1 1

31 x 2P(1 X 3) f (x) dx dx .15 55

: التالىهذا االحتمال موضح في الشكل 5

4

5

4 4 5

1 x 1P(X 4) f (x) dx dx 0 dx .5 5 5

٣٥

. المنتظم التوزیع یسمي السابق التوزیع Function The Distributionدالة التوزیع ) ١-٨-١(

ویمكــن x ) <P(X هــي ، X ، حقیقـى عــدد ألي ، F(x) متقطــع عشـوائي لمتغیــر التوزیــع دالـة

التوزیـع دالـة فـإن أیضـا . x <y أن الشـرط تحقـق التـي y قـیم جمیـع علـى f(y) بجمـع علیهـا الحصـولال كثافـة دالة بتكامل علیها الحصول یمكن ولكن x ) <P(X هي متصل عشوائى لمتغیر f(y) االحتم

. xحتى من

: كالتالي تعرف x حقیقى عدد ألي متصل عشوائي لمتغیر F(x) التوزیع دالة : تعریف

. dy)y(f)xX(P)x(Fx

x العــدد یسـار علـى االحتمـال كثافـة لدالـة المنحنــى تحـت المسـاحة x حقیقـي عـدد ألي F(x) الدالـة تمثـل زیــادة مـع مضـطردة زیــادة تزیـد F(x) أن F(x) بیـان مــن یالحـظ أیضـا. التــالى شـكلال فـي موضــح هـو كمـاx .

٣٦

: التالیة الشروط متصل عشوائي لمتغیر F(x) التوزیع دالة تحقق

0 ) أ( F(x) 1 نطـاق فـي قیمتـین a , b كانـت إذا أنـه أي ،x قـیم لجمیـع مضـطردا تزایـدا تتزایـد F(x) الدالـة ) ب(

b(F)a(Fba( فإن F(x) الدالة . . x قیم جمیع عند متصلة F(x) الدالة) ج(

F(x) صـیغة مـن وذلـك المختلفـة للفتـرات االحتمـاالت حساب یمكن أنه في F(x) التوزیع دالة أهمیة یرجعf احتمـال كثافـة بدالـة عشـوائیا متغیـرا X كـان فـإذا. F(x) التوزیـع بدالـة خاص جدول أو (x)توزیـع ودالـة

F(x) قیمتین ألي فإنه a , b حیث a < b یكون: )a(F)b(F)bXa(P .

:التالى شكلال في والموضح

٣٧

)٢٦-١(مثال

:االحتمال كثافة دالة وله متصال عشوائیا متغیرا X كان إذا 1f (x) , 0 x 660 , e.w.

علـى االحتمـال كثافـة لدالـة المنحنـى تحـت مسـاحة وجـود لعـدم وذلـك F(x) = 0 فـإن x < 0 لقـیم X مـن الیسـار إلـي تتجمـع المسـاحة كـل ألن وذلـك F(x) = 1 فـإن x < 6 لقـیم X القیمـة یسـار

0 لقیم النهایة في x 6 فإن : x

0

x x

0

1 1 xF(x) f (y) dy dy y .6 6 6

-:وعلى ذلك فإن دالة التوزیع هي F(x) 0 x 0

x 0 x 661 x 6.

٣٨

:التالى كلشال في موضح F(x) بیان

Expected Valuesالقیم المتوقعة ) ٢-٨-١(

x f(x) بجمـع علیـه الحصـول یمكـن E(X) فـإن ، الثـاني الفصـل من عرفنا كما ، متقطع عشوائي لمتغیر

المجمـــوع نســـتبدل ســـوف) متصـــل عشـــوائي لمتغیـــر بالنســـبة( هنـــا. X العشـــوائي المتغیـــر قـــیم لجمیـــع . بالتكاملf احتمالیة كثافة دالة له متصل عشوائي لمتغیر المتوسطة القیمة أو المتوقعة القیمة : تعریف (x)هو :

٣٩

.E(X) xf (x) dx

: كان فقط إذا و إذا موجودة E(X) أن ویقال

E x x f (x) dx

) ٢٧-١(مثال

: هي ما لسلعة األسبوعیة للمبیعات االحتمال كثافة دالة كانت إذا23f (x) (1 x ) 0 x 1

20 , e.w.

؟ أوجد التوقع

:الحــل

1

0

1 2

02 41 3

0

3E(X) xf (x) dx x (1 x )dx2

3 3 x x 3(x x )dx ( ) .2 2 2 4 8

جمیع التعاریف والنظریات التي تخص توقعات المتغیر العشوائي المتقطع تتحقق للمتغیرات العشوائیة .المتصلة مع استبدال المجموع بالتكامل

) ٢٨-١(مثال

: الشكل على احتمال كثافة بدالة متصال عشوائیا متغیرا X كان إذا1.4430f (x) 1 x 2

x0 , e.w.

.X للمتغیر المتوقعة القیمة أوجد )ا( . التباین أوجد )ب(

:الحــل

٤٠

1 2

1

1.4430E(X) xf (x)dx 0 x dx 0 1.4430x

2

1

22 2 2

1

2

1.433E(X ) x f (x) dx 0 x dx 0x

1.443 x 2.16452

)ب(

2 2 2 2E(X ) [E(X)] 2.1645 (1.4430) .08225.

Percentilesالمئینات ) ٣-٨-١(

.المئیناتیمكن وصف خصائص أخرى للتوزیعات االحتمالیة من خالل كمیات تسمى

أو لمتغیـر (المتصـل لتوزیـع مـن النـوع (100p)ن ذو الرتبـة ی، فـإن المئـ p < 1 > 0إذا كـان : تعریف : للمعادلة التالیة xpهو الحل ) Xعشوائي

xpp F(x ) f (y) dy .p

%100pهــو القیمــة علــى المحــور األفقــي للتوزیــع االحتمــالي بحیــث أن pxتبعــا للصــیغة الســابقة ، فــإن

ن fالمســـاحة تحـــت منحنـــى م (x) یقـــع علـــى یســـارpx 100و(1-p)% علـــى ســـبیل . تقـــع علـــى یمینهـــاfالخـامس والسـبعین والـذي المسـاحة تحـت منحنـي المئین ھو x.75المثال (x) علـى یسـار القیمـةx.75

:یوضح التعریف التالىشكل ال. p=0.75 هو

p = Fوالتـي تكـون المعادلـة pعموما ، قد یكون التوزیع غیر متصل وعلى ذلك سوف یوجـد بعـض القـیم

(xp) وبـالرغم مـن اهتمامنـا فــي هـذا الكتـاب بالحالـة المتصــلة فإنـه یمكـن وضـع تعریــف . لهـا أكثـر مـن حــل :بحیث أن xpهو القیمة Xلتوزیع متغیر عشوائي (p 100 )عام للمئین حیث المئین ذو الرتبة

٤١

.P [ X x ] p and P [ X x ] 1-p p p

)٢٩ -١( مثال

:متغیرا عشوائیا متصال له دالة كثافة االحتمال Xإذا كان 23f (x) (1 x ) 0 x 1

20 , e.w .

(100p)أوجد دالة التوزیع ومنها أوجد المئین ذو الرتبة

:الحــل :هي Xدالة التوزیع للمتغیر العشوائي

3x x3 3 y2F(x) (1 y )dy (y )02 2 30

33 x(x ) , 0 x 1 , F(x) 1 , x 1 , F(x) 0 , x 0.2 3

F(x) , f بیان (x) . على التوالى یین التالیین شكلالموضحان في

٤٢

:لهذا التوزیع یحقق العالقة (100p)المئین ذو الرتبة

3p

p p(x )3p F(x ) x

2 3

:أي أن

3x 3x 2p 0p p

01x33xوبحل المعادلة p = .5للمئین الخمسین و xهو الحلفإن x .347.5 .

٤٣

ف یحقــق m0، هــو المئــین الخمســین وعلــى ذلــك m0الوســیط لتوزیــع متصــل مــا ، یرمــز لــه بــالرمز : تعریو النصـف m0أي أن نصـنف المسـاحة تحـت دالـة كثافـة االحتمـال تقـع علـى یسـار . F(m0) = .5العالقة

فــي كثیــر مــن التطبیقــات یســتخدم الوســیط بــدال مــن المتوســط كمقیــاس للنزعــة . m0اآلخــر یقــع علــى یمــین .المركزیة

)٣٠ -١( مثال

:على الشكل Xبفرض أن دالة التوزیع لمتغیر عشوائي 2(x / 3)F(x) 1 e x 0

0 , e.w.

:الوسیط هو 120m 3[ ln(1 .5)] 3 ln2 2.498.

)٣١ -١( مثال

:متغیرا عشوائیا متصال له دالة كثافة االحتمال Xلیكن 3f (x) 4x 0 x 1

= 0 , e.w.

٠أوجد الوسیط

:الحــل

x

0

4x 3 4

0

F(x) 0 x 0

4y4y dy x4

:وعلى ذلك

5.)m(

5.)m(F4

0

0

:أي أن m0 = (.5)1/4 .

)٣٢-١( مثال

٤٤

:متغیر عشوائي له دالة التوزیع التالیة Xإذا كان 0 x 0

F(x) x 0 x 11 x 1

٠أوجد الوسیط والمدى

:الحــل :نحل المعادلةالیجاد الوسیط

1F(m) ,2

1m m 0.252

xالمدى هو x0.75 0.25 :

: وبما أن2x (0.75)0.75

2x (0.25)0.25

: إذن2 2x x (0.75) (0.25) 0.5.0.75 0.25

د وحیـدة عظمـى قیمـة لهـا Xعشـوائي إذا كانـت دالـة كثافـة االحتمـال لمتغیـر : تعریف x = m عن

fأي أن القیمة العظمى للدالة (x) تساوى f(m) وعلى ذلك فإن m یسمى منـوال المتغیـر العشـوائىX .

)٣٣ -١( مثال

:أوجد المنوال للدوال التالیة

) أ(2f (x) 12 x (1 x) , 0 x

= 0 , e.w.

٤٥

) ب(2 x1f (x) x e

2 = 0 , e.w.

:الحــلdf) أ( (x) 224x 36x ,

dx

df: المنوال هو الحل للمعادلة (x) 0dx

2mهو منواللوعلى ذلك ا 3

dfالمنوال هو الحل للمعادلة ) ب( (x) 0dx

:أي أن x 2 x2xe x e 0

mالمنوال هووعلى ذلك 2 .

. عمومــا ، یختلــف المتوســط عــن الوســیط عــن المنــوال ولكــن هنــاك حــاالت یكــون فیهــا الثالثــة متســاویین fإذا كــان بیــان symmetricیقــال للتوزیــع أنــه متماثــل (x) علــى یســار نقطــة مــا ، لــتكنc ،الصــورة ىهــ

وبمعنـى آخـر إذا أمكننـا أقامـة عمــود . نقطـة التماثـل cتسـمى النقطــة .ة علـى یمـین هـذه النقطـة آالمـر فـي النقطـة . على المحور األفقى بحیث یقسم العمود التوزیع إلى قسمین ینطبقـان علـى بعضـهما تمـام االنطبـاق

c إذا كانـــت . التـــي تمكننـــا مـــن إقامـــة العمـــود تســـمى نقطـــة التماثـــلf (x) ـــة حـــول النقطـــة وكـــان cمتماثلfوباإلضافة على ذلـك إذا كانـت للدالـة . cموجود فإن المتوسط (x) نقطـة عظمـي وحیـدة عنـدm )

0mmفإن m0ووسیط وحید ) المنوال التالى شكلالكما هو موضح في.

٤٦

شــكلال فــي موضــح هــو كمــا الیمــین ناحیــة ملتویــا یكــون وقــد ملتویــا یكــون فإنــه متماثــل غیــر التوزیــع كــان إذا ناحیــة ملتویــا التوزیــع یكــون. یــةالتالالصــفحة فــي موضــح هــو كمــا الیســار ناحیــة ملتویــا أو التــالى الیمـین جهـة أسـرع المنحنـى فـي التنـاقص معـدل كـان إذا positive skewed االلتـواء موجـب أو الیمـین

التوزیــع یكــون بینمــا األیســر الجانــب مــن أطــول المنحنــى مــن األیمــن الجانــب یكــون بحیــث الیســار جهــة منــه جهـة أسـرع المنحنـى فـي التنـاقص معـدل كـان إذا negative skewed االلتـواء وسـالب الیسـار إلـى ملتویـا یســتخدم . األیمــن الجانــب مــن أطــول المنحنــى مــن األیســر الجانــب یكــون بحیــث الیمــین جهــة منــه الیســار

علــى وحــدات القیــاس للمتغیــر العشــوائي معامــل االلتــواء فــي قیــاس االلتــواء ویعتبــر مقیــاس نســبي ال یعتمــد :حیث

33

3 3/ 22

XE .

٤٧

33یأخذ كل من , القیمـة . القیمة الموجبـة أو السـالبة أو الصـفر ودائمـا یكونـان متفقـان فـي اإلشـارة 3دائمــا توجــد عنــدما یكــون التوزیــع ملتویــا ناحیــة الیســار بینمــا القیمــة الموجبــة مــن 3الســالبة مــن

. توجد دائما عندما یكون التوزیع ملتویا ناحیة الیمین

یســتخدم العــزم الرابــع حــول المتوســط كــدلیل للــتفلطح أو التــدبب لتوزیــع احتمــالي ، وعلــى ذلــك فــإن :هو 4معامل التفلطح

44

4 22

XE .

لتقــــدیر تـــدبب القمــــة لتوزیـــع احتمــــالي . Xوالـــذي ال یعتمــــد علـــى وحــــدات القیـــاس للمتغیــــر العشـــوائي 4كمقیــاس ألن الثــانىیســتخدم توزیــع مشــهور وهــو التوزیــع الطبیعــي الــذي ســوف نتناولــه فــي الفصــل

4 ألي توزیع آخر نقول أن التوزیع أكثر تـدببا مـن التوزیـع الطبیعـي إذا كـان . 3لهذا التوزیع تساوي

4ن التوزیـع الطبیعـي إذا كـان أیضا نقول أن التوزیع أكثر تفلطحا مـ. 3 < األنـواع الثالثـة . 3 > . التالى شكلالمن التوزیعات موضحة في

٤٨

المنحنــى . ، ذو القمـة المدببــة Aالمنحنــى ، . ثــالث منحنیـات مختلفــة فـي كمیــة الـتفلطح السـابقشــكل الففـي ـــتفلطح Bالثـــاني ، ، المفلطـــح والـــذى یكـــون Cوأخیـــرا المنحنـــى ، . ، وهـــو المعتـــدل یكـــون متوســـط ال

والموقـــع وااللتـــواء وأخیـــرا المعلومـــات عـــن التشـــتت. منبســـطا وتـــنخفض قمتـــه عـــن قمـــة المنحنـــى المعتـــدل والتفلطح لتوزیع عادة ما تكون مفیدة في إعطاء صورة عن التوزیع

ة فـــإن العـــزم الثالـــث X(E(متماثـــل حـــول المتوســـط Xإذا كـــان توزیـــع المتغیـــر العشـــوائي : نظری03یساوي صفر أي أن ول المتوسط ح .

03تعني النظریة السـابقة أنـه إذا كـان حیح بمعنـي صـوالعكـس غیـر متماثـل فـإن التوزیـع ال یكـون03أنه إذا كان التوزیع غیر متماثل فمن الممكن أن یكون .

) ٣٤ -١( مثال

له دالة كثافة اإلحتمال امتغیر Xإذا كان 1 0 x 1

f (x)0 , e.w.

٠االربعة األولى حول الصفرالعزوم )أ:أوجد ٠العزوم االربعة األولى حول المتوسط) ب ٠معامل اإللتواء ومعامل التفلطح) ج

:الحــل )أ

٤٩

1r 11 xr rE(X ) x dx ,r r 10 01 r 1,2,3,

r 1

وعلى ذلك1 1 1 1 , , , .1 2 3 42 3 4 5

)ب1r rE(X 0.5) (x 0.5) dx,r0

1r 1(x 0.5) 1 r 1 r 10.5 ( 0.5) .r 1 r 1

0

:وعلى ذلك0 , 0.083 , 0 , 0.0125.1 2 3 4

:معامل اإللتواء هو)ج3 0.3 32

2

:معامل التفلطح هو0.01254 1.81.4 2 2(0.083)2

وبما . إیجاد العزوم حول المتوسطللحصول على معامل التفلطح ومعامل االلتواء نحتاج إلى

:أن إیجادھا صعب فیمكن إیجادھا بداللة العزوم حول الصفر من العالقة التالیةr r

r E(X ) (x ) f (x)dx.

.في حالة التوزیع المتصل، أما في حالة التوزیع المتقطع فإننا نستبدل التكامل بالمجموع

٥٠

rr j j

rj 0

rr j j

j 0 0

rr j

jj 0

thenr

( ) x f (x)dxj

r( ) x f (x)dx

j

r( ) .

j

rعلى سبیل المثال عندما 2 فإن: 2

2 2 j2 j

j 0

2( )

j

20 1 2

2 22

22 22

21

2

E(X ) E(X) .

:وبنفس الطریقة3

3 3 2

2 44 4 3 2

3 2 ,

4 6 3 .

Moments Generating Functionsالدوال المولدة للعزوم ) ٩-١(

ـــدوال تعتبـــر ـــدوال فباســـتخدام ، االحتمـــاالت نظریـــة فـــي قویـــة أداة للعـــزوم المولـــدة ال ـــدة ال یمكـــن المول

یوجـد. األخـرى الحسـاب طـرق مـن تعقیـدا واقـل مباشـرة بطریقـة لتوزیعـات عـزوم أو توزیعـات على الحصولـــدوال مـــن العدیـــد ـــدة ال مـــن مختلفـــة ألنـــواع وأیضـــا المشـــاكل مـــن مختلفـــة ألنـــواع مفیـــدة واحـــدة وكـــل ، المول

. العشوائیة المتغیرات الدالة المولدة للعزوم) ا(tXE(e التوقـع یكـون h < t < h- للفتـرة بحیـث h موجـب رقـم وجـود بفـرض ) عشـوائي لمتغیـر موجـود

X . فان لذلك تبعا : tX txE(e ) e f (x) dx

:أو المتصل النوع من عشوائیا متغیراX عندما

٥١

tx tX

xE(e ) e f (x),

العشـوائي للمتغیـر للعـزوم المولـدة الدالـة یسـمى التوقـع هـذا. المتقطـع النـوع مـن عشـوائیا متغیـراX عنـدماX)الرمز لها ویرمز) التوزیع أو XM (t)حیث :

tXXM (t) E(e )

0t عنـــدما فـــإن XM (0) 1 .ـــدة الدالـــة وجـــود إن التكامـــل أو المجمـــوع بكـــون مـــرتبط للعـــزوم المولذا مطلق نحو على متقارب . موجودة غیر الدالة أن یقال فعندئذ كذلك یكن لم وا

)٣٥ -١( مثال

:احتمال كثافة بدالة متقطعا عشوائیا متغیرا X كان إذا

1f (x) , x = 1, 2, 3,...,nn

= 0 , e.w.

. X العشوائي للمتغیر للعزوم المولدة الدالة أوجد

:الحــلtxn

1x

txn

1xX e

n1

n1e)t(M

:بوضع t)1n(t2t

n e...ee1 :فإن

t t 2t 3t ntne e e e ... e ,

:وعلى ذلك فإن t nt

n ne 1 e , :أي أن

ntn t

1 e ,1 e

:ومنها t nt

tn t

e .(1 e )e , 1 e

:تبعا لذلك فإن

٥٢

t ntt

X n t1 e .(1 e )M (t) .e .n n(1 e )

)٣٦ -١( مثال

:االحتمال كثافة دالة له عشوائیا متغیرا X كان إذا

2 26f (x) , x = 1, 2, 3,...x

أوجد الدالة المولدة للعزوم؟

:الحــل

f للدالة للعزوم المولدة الدالة (x)هي : tx

tX txX 2 2

x x 1

6eM (t) E(e ) e f (x) .x

t عندما تباعدیه ةالمتسلسل أن إثبات یمكن 0 عـدد یوجـد ال ذلك وعلى النسبة اختبار باستخدام وذلك XMحیــث h موجـب (t) و موجـودة تكــونh t h .لــذلك وتبعــا f (x) دالــة لهــا لــیس المثـال لهــذا .للعزوم مولدة

ان X2 , X1 كان إذا : نظریة ع X1متغیرین عشوائیین وإذا ك ة التوزی ھ دال دة F1(x)ل ة المول والدالدة للعزوم F2(x)لھ دالة التوزیع X2أیضا إذا كان . M1(t)للعزوم إن M2(t)والدالة المول F1(x)ف

= F2(x) لجمیع قیمx الحقیقیة إذا وكانت فقطM1(t) = M2(t) وذلك لجمیع قیمt فى الفترة– h < t < h .

ده Xوبما أن الدالة المولدة للعزوم لمتغیر عشوائي دت ( تكون وحی ى ) وإذا وج ا تستخدم ف فإنھ التعـرف عملیـة إن .یة، أي أنھا تمتلك خاصیة الوحدان Xالتعرف على شكل التوزیع للمتغیر العشوائي

. الحاالت كل فى سهلة لیست للعزوم المولدة الدالة خالل من االحتمالي التوزیع علىXM للعـــزوم مولـــدة دالـــة لـــه لتوزیـــع الممیـــزة الخصـــائص بعـــض (t)مـــن مباشـــرة علیهـــا الحصـــول یمكـــن

XM (t). وجود ، المثال سبیل على XM (t) الفتـرة فـي h t h الرتـب كـل مـن المشـتقات إن تعنـي tعند موجودة 0 حیث :

txXX

dM (t) M (t) xe f (x)dxdt

:أو المتصل، النوع من عشوائیا متغیرا X عندما

٥٣

txXX

x

dM (t) M (t) xe f (x)dt

: على الحالتین من كال في نحصل فإننا t = 0 بوضع . المتقطع النوع من عشوائیا متغیرا X عندماXM (0) E(X)

XMالمشتقة الثانیة للدالة (t) هي: 2 tx

XM (t) x e f (x)dx,

:أو2 tx

Xx

M (t) x e f (x)dx

: ذلك وعلى2

XM (0) E(X ) : لذلك وتبعا

. 22 2 2X XE(X ) M (0) M (0)

r فـإن المـرات مـن r للعـزوم المولـدة الدالـة تفاضـل أمكن إذا عامة وبصورة rXE(X ) M (0) .سـبیل علـى

tكان إذا المثال 1 , 1XM (t) (1 t) الدرجة من المشتقة فان r للدالة XM (t) هي :

( r ) r 1XM (t) r !(1 t)

rE(X العزوم حول الصفر : یمكن الحصول علیه كالتالي، r من الدرجة (r (r )

XE(X ) M (0) r! :هو المتوسط

E(X) 1! 1 2 :التباین 2 2 2E(X ) 2 (1) 1. حساب یمكننا بالطبع , 2 حیث االحتمال كثافة دالة من :

،xf (x)dx

.2 2 2x f (x)dx

فان ، موجودة X عشوائي لمتغیر للعزوم المولدة الدالة كانت إذا : نظریةr (r )

XE(X ) M (0), r 1, 2,... حیث كما یتضح من النظریة التالیة األخرى من أسهل طریقة هناك یكون األحیان بعض في

٥٤

XM وضع فىن ماكلوری مسلسلة استخدام یمكن (t)التالیة الصورة على : : نظریة

r r

Xr 1

E(X )tM (t) 1 .r!

t معامـل هـو الصـفر حول األول العزم أن أي ةمسلسـل صـیغة فـي وضـعها بعـد للعـزوم المولـدة الدالـة فـي !1

معامــل هــو الصــفر حــول الثــاني والعــزم مــاكلورین2t

2! معامــل هــو الصــفر حــول الثالــث والعــزم ، الدالــة فــي

3t3!

معامل هو الصفر حول r الدرجة من العزم اوأخیر الدالة في rt

r! الدالة في.

)٣٧ -١( مثال

: للعزوم المولدة الدالة له عشوائیا متغیرا X كان إذا2t2

XM (t) e , - < t < . .الصفر حولr الدرجة من العزم أوجد

:الحــل2 2 rt 2 2 22

X

2 4 2r

1 t 1 t 1 tM (t) e 1 ... ...1! 2 2! 2 r! 2

1 (3)(4) (2r 1)...(3)(1)1 t t ... t ...2! 4! (2r)!

r2

2r2r

r rr 0 r 0

t2

r!

t 2r !t2 r! 2 r! (2r!)

معامل إن وبما2rt

2r!XM مفكوك في (t)2 هوrE(X ) :نإف

2rr

2r !E(X ) , r = 1,2,3,...

2 r!

وE(X2r-1) = 0 , r = 1, 2, 3, …

٥٥

: فإن Y = a X + b كان إذا : نظریة)at(Me)t(M X

btY

ــــة لهــــذه الممكنــــة التطبیقــــات مــــن واحــــد ، المتوســــط حــــول r الدرجــــة مــــن العــــزم حســــاب هــــو النظریr)X(E ، ألن وذلــك )t(Me)t(M X

tX

)حــول أو المركزیــة للعــزوم المولــدة الدالــة

: ذلك وعلى) الوسط

0tXt

r

rr )]t(Me[

dtd)X(E

.

)٣٨ -١( مثال

: هــــــــــــــــــــي X للمتغیــــــــــــــــــــر للعــــــــــــــــــــزوم المولــــــــــــــــــــدة الدالــــــــــــــــــــة أن علمــــــــــــــــــــت إذا21 t

2XM (t) e اوجــــــــــــــــــــد

2Y , E(X 3) E(Y) ؟

:الحــلt(X 3)

Y (X 3)M (t) M (t) E e

tX 3t 3 t tXE(e ) e E(e ) 21 t3t 3t 2

Xe M (t) e e

213t t

2e .

213t t' 2

X 3M (t) e { 3 t}

2 2'' 3t t 2 3t tX 3M (t) e .(1) ( 3 t) .e

Y

22Y Y Y

E (X 3) E (Y ) M (0) 3,

M (0) M (0)10 9 1.

: المضروبالدالة المولة لعزوم ) ب(

٥٦

f(x) هــي دالتــه االحتمالیــة االحتمالیــة وكانـت ســالبة غیــر قیمــا یأخـذ متقطعــا عشــوائي متغیــر X كـان إذا الدالــة تســمى دالــة بتولیــدها تقــوم والتــي المضــروب عــزوم باســتخدام العــزوم اشــتقاق الســهل مــن یكــون فإنــه

: التالي الشكل تأخذ والتي المضروب لعزم المولدة X x

Xx

G t E t t f (x).

XE(t التوقــع كــان إذا وذلــك ) الدالــة بــین عالقــة یوجــد. t<1+h < 1-h الفتــرة فــي t قــیم لجمیــع موجــود XM t الدالة وبین XG tحیث :

X Xln tXG t E t E e

XM (ln t).

. فقط المتقطع للتوزیع إال تستخدم ال المضروب لعزم المولدة الدالة :تذكرXG دالة له عشوائیا متغیرا X كان إذا : نظریة (t) فإن :

X

X(r)X

G (1) E(X),G (1) E[X(X 1)],

G (1) E[X(X 1) (X r 1)].

rE(X،الصـفر حــول r الدرجـة مــن العـزوم حســاب الممكـن ومـن ســبیل فعلـى. المضــروب عـزوم مــن ،( : المثال

2E[X(X 1)] E[X X] 2E(X ) E(X).

:وعلى ذلك 2E(X ) E(X) E[X(X 1)].

XG الدالة تسمى (t) الدالـة بوضـع أنـه أي. لالحتمـال المولـدة بالدالة األحیان بعض في XG (t) علـى

r: التالیــــــة الصـــــورةXG (t) f(0) tf(1) ... t f(r) ... ،معامــــــل یكـــــونrt الدالــــــة مفكــــــوك فـــــي

XG (t) هو f (r) P(X r) أن أي :xX

x 1G (t) f (0) t f (x)

،أن یعني والذي :

( r)X

1 G (0) P(X r) , r = 1,2,...r!

صـحیحة قـیم علـى معـرف X عشوائي متغیر ألي االحتمال كثافة دالة تحدد لالحتمال المولدة الدالة أن أي

.سالبة وغیر

٥٧

)٣٩ -١( مثال

XGالدالة كانت إذا (t) الصورة على عشوائي لمتغیر:

0 حیث t 1, 0 و<p<1 ،XptG (t)

1 (1 p)t

. Xأوجد دالة كثافة االحتمال للمتغیر

:الحــل

: فإن

X

X 2

X 3

f (0) G (0) 0,pf (1) G (0) p,

[1 (1 p)0]1 1 2p(1 p)f (2) G (0) p(1 p).2 2 [1 (1 p)0]

x=1,2,… x , : أن إثبات یمكن عموما 1f (x) p(1 p)

: الدالة الممیزة) ج(

ـــة مـــن لكـــل الرئیســـي العیـــب فـــإن، ســـابقا الحظنـــا كمـــا X الدال (t) والدالـــة XG (t) غیـــر أنهمـــا fourier فـوریر تحویلـه أو( الممیـزة الدالـة فـإن ذلـك خـالف علـى. االحتمالیـة التوزیعـات لـبعض موجـودین

transform (عشوائي لمتغیر الممیزة الدالة. االحتمالیة التوزیعات لجمیع معرفة X كاآلتي تعرف: itx

XX

(t) e f(x).

:بینما المتقطع النوع من العشوائي المتغیر یكون عندماitx

X (t) e f (x) , - < t < .

i هنا. متصل عشوائي متغیر X یكون عندما 1 تكـون قـد الممیـزة ةالدالـ قـیم .التخیلـي العـدد أي المتغیـرات نظریـة فـي معلومـات إلى یحتاج المولدة الدوال من النوع هذا واستخدام فهم فإن ذلك وعلى مركبة

مــن كثیـر.االحتمــال نظریـة فــي المتقدمـة الكتــب علـى یقتصــر الممیـزة ةالدالــ دراسـة فــإن لـذلك وتبعــا. المركبـة دالــة اسـتخدام مـن أكثـر الممیـزة الدالـة باسـتخدام بســهولة اشـتقاقها یمكـن االحتمالیـة التوزیعـات بـین العالقـات

. التوزیع : الممیزة الدالة بداللة العزوم

٥٨

tووضع t إلى بالنسبة الممیزة الدالة بتفاضل 0 فإنx (0) i . 2ایضاx 2(0) i

:هو الصفر حول r الدرجة من العزمعموما (r)

r r

1 (0).i

: مهمة عالقات

X ممیزة بدالة عشوائیا متغیر X كان إذا (t) ذا :فأنY=aX+b كان وا.itb

Y (t) e (at)

اى أن. فى الدالة المولده للعزوم نحصل على الداله الممیزة tبدال من itبوضع X XM (it) (t).

)٤٠ -١( مثال

الدالــة لــه عشــوائیا متغیــرا Y كــان إذا2t2

Y ( t ) e

للمتغیــر الممیــزة الدالــة إیجــاد المطلــوب X

حیثXY

.

:الحــلX Y .

a بوضع وb فإن:

2

2 2

itX Y Y

1 ( t)it 2

1it ( )t2

(t) e ( t)

e e

e .

)٤١ -١( مثال

: احتمال كثافة دالة له متصل ا عشوائی ا متغیر X كان إذا

٥٩

a X a , 1f ( x ) ,

2a

الدالة الممیزة ؟) ب( ؟X للمتغیر للعزوم المولدة الدالة) أ: أوجد

:الحــل )أ

atx tx

Xa

a txtx a

aa

ta ta

M (t) E(e ) e f (x)dx

1 1 e e dx2a 2a t1 (e e ).

2at

)ب a

itx itxX

a

itxa

a

ita ita

1(t) E(e ) e dx2a

1 e 2a it1 (e e ).

2ait

:الداله للعزوم والداله الممیزة حیث أو بإستخدام العالقة بین

X X

ita ita

M (it) (t)1 = e e .

2a it

Joint Random Variablesالمتغیرات العشوائیة المتعددة ) ١٠-١(

لـذلك یكـون . X1,X2,…,X3فى كثیر من التطبیقات یكـون االهتمـام بـأكثر مـن متغیـر عشـوائى

ـــــــــــات لمتجـــــــــــه ـــــــــــك المتغیـــــــــــرات كمكون ـــــــــــى تل ، (kx1)أبعـــــــــــاده Xمـــــــــــن المناســـــــــــب ریاضـــــــــــیا النظـــــــــــر إلX=(X1,X2,…,Xk) والمســمى بالمتجــه العشــوائى وهـــذا یجعلنــا نفتــرض القــیم ،x=(x1,x2,…,xk) فـــي

مـن الصـفات مثـل قیـاس الطـول والـوزن kهـى نتیجـة قیـاس xفعلى سبیل المثال القیمة المشاهدة . kالبعد

٦٠

ت متكـــررة لمحــاوال kمـــن الصــفات لمشــاهدة مـــا أو قــد تكــون النتــائج التـــى عــددها kإلــى …وضــغط الــدم لتجربة عشوائیة تهتم بمتغیر واحد

Joint Descrete Distributionsالتوزیعات المتقطعة المشتركة ) ١-١٠-١(

یمكـن تعمـیم الصـیغة المسـتخدمة لدالـة كثافـة االحتمـال فـي حالـة متغیـر عشـوائي واحـد إلـى الصـیغة لدالـة . كثافة االحتمال لمتغیرین أو أكثر

ف ) المتقطـع كثافـة االحتمـال المشـتركة لمتجـه عشـوائي مـن النـوع دالـة : تعری , ,..., )1 2 kX = X X X تعـرف :كالتالي

1 2 k 1 1 2 2 k kf(x ,x ,...,x ) = P(X = x ,X = x ,...,X = x ) 1وذلك لكل القیم الممكنة من 2 k= ( , , .. . , )x x x x.

: نظریة1العشـوائي أنها دالة كثافة احتمـال مشـتركة للمتجـه f(x1,x2,…,xk)یقال للدالة 2 kx (x ,x ,...,x ) مـن

:النوع المتقطع إذا وفقط إذا حققت الشروط التالیة x1,x2,…,xk)(لجمیع القیم الممكنة f(x1,x2,…,xk) 0) أ(

) ب(1 k

1 2 kx x

... f (x ,x ,...,x ) 1.

:یمكن التعبیر عنها على الشكل B Rحیث P(B)وعلى ذلك دالة الفئة االحتمالیة

1 2 kB

P(B) . . . f(x ,x ,...,x ) .

لمتغیرین عشوائیین من النوع المتقطع یمكن وضع دالة كثافة االحتمال المشتركة فـى جـدول مـزدوج

مـــع االحتمــاالت المقابلـــة لهمــا وخصوصـــا إذا كانــت الصـــیغة لدالــة كثافـــة X1,X2یبــین قــیم كـــل المتغیــرین .غیر معروفة X1,X2االحتمال المشترك للمتغیرین

٦١

)٤٢ -١( مثال

:معطاة فى الجدول التالى X1,X2إذا كانت دالة كثافة االحتمال المشترك لمتغیرین

: یتضح من الجدول أن

1 2

3 3

1 2x =0 x =0

f (x , x ) 1 .

والتـــى یعــین لكـــل منهمــا االحتمـــال (1,3)أو (3,3)كمــا أن هنــاك بعـــض النتــائج المســـتحیلة الحــدوث مثــل :كما أن على سبیل المثال . صفر

f(0,0) = P(X1=0,X2=0) = .008, f(1,2) = P(X1=1, X2=2) =0.192. 1بیان 2f (x , x ).

ف 1 إذا كــان للمتجــه العشــوائي : تعری 2X=(X ,X 1دالــة كثافــة االحتمــال المشــتركة( 2f(x ,x الدالــة فــإن (1والتـي یرمـز لهـا بـالرمز 1Xالهامشـیة للمتغیـر 1f (x والتـي یرمـز لهـا بــالرمز 2Xوالدالـة الهامشـیة للمتغیـر (

2 2f (x :یمكن الحصول علیهما كالتالي (

x2 x1

0 1 2 3

0 1 2 3

.008

.048

.096

.064

.048

.192

.192

.000

.096

0.192

.000

.000

.064

.000

.000

.000

.216

.432

.288

.064 .216 .432 .288 .064 1

٦٢

2

1

1 1 2x

2 1 2x

f (x )= f(x ,x ),1

f (x )= f(x ,x ).2

:متغیرا عشوائیا من النوع المتقطع فإن Xوأكثر من ذلك إذا كان . )x,...,x,...,x(f...)x(f kj1

ji alljj

)٤٣ -١( مثال

:متغیرین عشوائیین لهما دالة كثافة االحتمال المعطاة فى الجدول التالى X2و X1إذا كان x1 x2

1 2 3

1

2

3

. X2و X1أوجد دالة كثافة االحتمال الهامشیة لكل من المتغیر

:الحــل

P(X1=1) = f1(1) =

2xf(1,x2) =

+

+

=

=

,

P(X1=2) = f1(2) =

2xf(2,x2) =

+

+

=

=

,

P(X1=3) = f1(3) =

2xf(3, x2) =

+

+

=

=

,

: هى X1أى أن دالة كثافة االحتمال الهامشیة للمتغیر )x(f 11

, x1 = 1,2,3

= 0 , e.w . :هي X2 وبنفس الشكل فإن دالة كثافة االحتمال الهامشیة للمتغیر

)x(f 22 , x2 = 1,2,3

= 0 , e.w. Joint Continuous Distributionsالتوزیعات المتصلة المشتركة ) ٢-١٠-١(

٦٣

ف 1یقـــال للمتجـــه العشـــوائي : تعری 2 kX = (X ,X ,...,X أنـــه مـــن النـــوع المتصـــل إذا كـــان لـــه (

1الدالــة 2 kf(x ,x ,...,x ) بحیــث أن دالــة التوزیــع Xكثافــة االحتمــال المشــتركة للمتجــه والمســماة دالــة :المشتركة لهم یمكن كتابتها على الشكل

1 2 k 1 2 k 1 k

x xk 1F(x ,x ,...,x ) f(t , t ,.., t )dt ...dt

.x = ( x1,x2,…,xk ( لكل قیم

ـــــة كثافـــــة االحتمـــــال المشـــــتركة ـــــر العشـــــوائى فـــــى البعـــــد الواحـــــد ، فـــــإن دال وكمـــــا فـــــي حالـــــة المتغیf(x1,x2,..,xk) یمكن الحصول علیها من دالة التوزیع المشتركة كالتالي:

k1 2 k

1 2 k1 2 k

F(x ,x ,...,x )f(x ,x ,...,x )=x x x

.حیث التفاضالت الجزئیة موجودة

ة ــــــــة : نظری ــــــــال للدال ــــــــة احتمــــــــال مشــــــــتركة للمتجــــــــه العشــــــــوائي f(x1,x2,…,xk)یق ــــــــة كثاف أنهــــــــا دال)X,...X,X(X k21 إذا وفقط إذا حققت الشروط التالیة: x1,x2,…,xkلجمیع قیم f(x1,x2,…,xk) 0) أ(

x,...,x,f(x(dxdx...1) ب( k1k21

)٤٤ -١( مثال

:متغیرین عشوائیین بدالة كثافة مشتركة على الشكل X2 ,X1 إذا كان 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1 f(x1,x2) = 4 x1 x2

= 0 , e.w . . F(x1,x2)أوجد دالة التوزیع

:الحــل2 1

2 1

1 2 1 2 1 2

1 2 1 20 0

2 21 2 1 2

x x

x x

F(x ,x ) f(t , t )dt dt

4 t t dt dt

x x 0 x 1, 0 x 1.

٦٤

ولكن یوجـد فـى الحقیقـة أربعـة منـاطق x2 < 1 > 0و x1 < 1 > 0فى الفترة F(x1,x2)هذا التعریف للدالة

. كما هو موضح فى الشكل السابق F(x1,x2)أخرى في المستوى للدالة

Independent Random Variablesالمتغیرات العشوائیة المستقلة ) ٣-١٠-١(

21إذا كانـت دالـة كثافـة االحتمـال المشـتركة لمتغیـرین عشـوائیین X,X 1هـي 2f(x ,x ذا كانـت ( وا

هـي 2X، و دالة كثافـة االحتمـال الهامشـیة للمتغیـر x(f1(هي1Xدالة كثافة االحتمال الهامشیة للمتغیر )x(f2 ذا كانت :،وا

1 21 2 X 1 X 2f(x ,x ) = f (x ) . f (x ).

21فإننا نقول أن X,Xویمكن تعمیم الصیغة ألكثر من متغیرین عشوائیین.متغیرین عشوائیین مستقلین. k21یقـال للمتغیـرات العشـوائیة : استقالل المتغیرات العشوائیة : تعریف X,...,X,X أنهـم مسـتقلین إذا ,

: فإن ai < biكان لكل

P(a1 X b1 ,..., ak Xk bk) =

i=1

k

P(ai Xk bi).

1یقال للمتغیرات العشوائیة : نظریة 2 kX ,X ,...,X أنهم مستقلین إذا كان: f(x1,x2,...,xk) = f1(x1),...,fk(xk).

٦٥

. غیر مستقلون X1,X2,…,Xkعندما ال یتحقق الشرط السابق فإنه یقال أن یفیــد االســتقالل لمتغیــرات عشــوائیة فــي وصــف التجربــة تحــت الدراســة حیــث یــدل علــى عــدم وجــود

یمكننــا X1,X2,…,Xk وعلــى ذلــك بمجــرد معرفــة الدالــة الهامشــیة لكــل مــن. تــأثیر أي متغیــر علــى اآلخــر :حیث f(x1,x2,...,xk)معرفة الدالة االحتمالیة المشتركة

f(x1,x2,...,xk) = f1(x1),...,fk(xk).

)٤٥ -١( مثال 1إذا كانت دالة كثافة االحتمال المشتركة للمتغیرین 2X ,X على الشكل:

x1 > 0, x2 > 0 ،1 2(x x )1 2f (x ,x ) e

= 0 , e.w . 1 هل 2X ,Xمستقلین ؟

:الحــل

1 1

1

1 1 1 2 2

x x1 2 22 2

x1 1

f (x ) f(x ,x )dx x 2-

-(x +x ) -x e dx = e e dx =e , 0 0

f (x) e x 0 = 0 , e.w.

:وبنفس الشكل

f2(x2) = 2xe x2 > 0. = 0 , e.w.

:مستقلین ألن X2,X1أي أن f(x1x2) = f1(x1) . f2(x2) .

Conditional Distributionsالتوزیعات الشرطیة ) ٤-١٠-١(

٦٦

ف متغیـــــران عشـــــوائیان لهمـــــا دالــــة كثافـــــة االحتمـــــال المشـــــتركة X1,X2إذا كــــان : تعریf(x1,x2) ـــة كثافـــة االحتمـــال الهامشـــي للمتغیـــر ذا كانـــت دال ـــة االحتمـــال ، f1(x1)هـــي X1 وا فـــإن دال

هي X1=x1إذا علم أن X1الشرطي للمتغیر

1 22 2 1

1 1

f(x ,x )g (x x )= .f (x )

ـــة . f1(x1) > 0حیـــث X1للمتغیـــر x1وذلـــك ألي قیمـــة 2الدال 1g(x x ـــة كثافـــة ( تحقـــق شـــرطي دال . االحتمال

. للمتغیرات العشوائیة من النوع المتقطع فإن دالة االحتمـال الشـرطیة هـي االحتمـال الشـرطي ، في الحقیقة 1متغیــران عشــوائیین مــن النــوع المتقطــع فــإن X1,X2فعلــى ســبیل المثــال إذا كــان 2g(x x هــو االحتمــال (

فـــي حــــال المتغیـــرات العشــــوائیة مـــن النــــوع . [X1=x2]ة إذا علـــم أن الحادثــــ [X2=x1]الشـــرطي للحادثــــة :تحسب كالتالي P[X1=x1]=0المتصل فإن الحالة تختلف ألن

2 1 1

b

2 2 1 2a

P(a X b X =x )

= g ( x x ) dx .

بدالـة كثافـة k ،)X=(X1,X2,X3فإذا كان لدینا متجه عشوائي مكوناته متغیرات عشوائیة عـددها فإنه یمكن تعمیم مفهـوم التوزیعـات الشـرطیة لمتجهـات مـن المتغیـرات f(x1,x2,…,xk)االحتمال المشتركة

متغیــــرات عشـــوائیة لهــــا كثافـــة االحتمــــال المشــــتركة X1,X2,X3علــــى ســـبیل المثــــال إذا كانـــت . العشـــوائیة f(x1,x2,x3) فإن دالة كثافة االحتمال الشرطیة للمتغیرX1 إذا علم أنX2=x2 ,X3=x3 هي:

1 2 31 1 2 3

13 2 3

f(x ,x ,x )g (x x ,x )=f (x ,x )

: هي X2 = x2إذا علم أن X1ال الشرطیة للمتغیر أیضا دالة االحتم1 2

1 1 22 2

f(x ,x )g (x x ) = .f (x )

:وبالمثل

1 2 312 1 2 3

3 3

f(x ,x ,x )g (x ,x x )= .f (x )

: نظریة

٦٧

ذا كانت دالة كثافة االحتمال f(x1,x2)متغیرین عشوائیین بدالة كثافة احتمال مشتركة X2,X1إذا كان وا :فإن f1(x),f2(x)هما على التوالي X2,X1الهامشي لكل من

1 2 1 1 2 2 1

2 2 2 1 2

f(x , x ) = f ( x ) g (x x )

= f (x ) g (x x ).

ذا كان : مستقلین فإن X2,X1وا2 2 1 2 2

1 1 2 1 1

g (x x ) = f (x ) ,

g (x x ) = f (x ) .

)٤٦-١( مثال

ذا كـان إذا X1=0إذا كـان الشـخص الـذي اختیـر عشـوائیا یـدخن و X1=1في دراسـة عـن عـادة التـدخین واإذا كــان الشــخص X2= 0الشــخص مصــاب بالســرطان X2=1أیضــا إذا كــان . كــان الشــخص ال یــدخن : یعطي الجدول التالي . غیر مصاب بالسرطان

. X2, X1دالة كثافة االحتمال المفترضة للمتغیرین

:أوجد 2 2 2 2

1 1 1 1

g (x 1) , g (x 0)

g (x 0) , g (x 1)

:الحــل

X1 x2 0 1 2

0 .001 .002 .003

2 1f (x ) .011 .989 1.000

٦٨

12

12

12

12

21

f(0,0) .001 1g (0 0)= = =f (0) .011 11f(1,0) .010 10g (1 0)= = =f (0) .011 11f(0,1) .002 2g (0 1)= = =f (1) .989 989f(1,1) .987 987g (11)= = =f (0) .989 989f(0,0) .001 1g (0 0)= = =f (0) .003 3

21

21

21

f(0,1) .002 2g (1 0)= = = ,f (0) .003 3

f(1,0) .01 10g (0 1)= = =f (1) .998 997

f(1,1) .987 987g (11)= = = .f (1) .997 997

:حیث یمن تلخیصهم في الجداول التالیة

)٤٧-١( مثال

:على الشكل X,Yإذا كانت دالة كثافة االحتمال المشتركة لمتغیرین

2 , x + y < 1 , x 0 , y > 0

f x ,y =0 , e.w.

. Xأوجد دالة كثافة اإلحتمال الهامشیة للمتغیر ) أ ( ) ب ( .f y | x

1 0 x1 1011

111

1 1g (x 0) 1 0 x1

987989

2989

1 1g (x 1)

1 0 x2 987997

10997

2 2g (x 1) 1 0 x2 23

13

2 2g (x 0)

٦٩

:الحــل

1 x

10

2

f (x) 2dy 2(1 x)

f x| y 2 1g y | x = = = , x + y < 1 , 0 < x <1, f x 2 1-x 1-x

:وعلى ذلك

2

1 , 0 < y < 1 xg y | x = 1-x

0 , e.w.

Properties of Expected Values:خـواص القیـم المتوقعـة ) ٥-١٠-١(

kX(عنـد دراسـة متجــه مـن المتغیـرات العشـوائیة X1 , X2…., = (X بدالــة كثافــة إحتمــال مشتركــة)x1 , x2….,xK (f یكـون مــن الضــروري معرفــة القیمــة المتوقعـة لـبعض الـدوال ، لتكــنY = u(X) یمكـن

. E [u ( X )]أو الرمز E (Y)إستخدام الرمز

: نظریةو إذا X1 , X2…., Xk (f(دالــة كثافــة اإلحتمــال المشتركــة X = ( X1 , … , XK )إذا كــان یكـون التـالي X1 , X2…., Xk (u [E ) =Y (E[(فـإن Xدالـة فــي E [ u ( X ) ] = Yكانت

:

1 k

1 2 k 1 2 k 1 2 kx x

E[u(x ,x ....,x )]= ... u(x ,x ....,x ).f(x ,x ....,x ).

:و یكون كالتالي قطعمن النوع المت Xإذا كان

1 2 k 1 2 k- -

E[u(x ,x ...,x )]= ... u(x ,x ...,x )

1 2 K 1 2 K×f (x , x ...., x ) dx dx ..dx :من النوع المتصل Xإذا كان

:تخضع لخاصیتین هامتین x1 , x2…., xk (u(القیم المتوقعة للدالة :فإن a , bو ألي ثابتیـن x1 , x2…., xk (u2(و u1) x1 , x2…., xk(دالتین ألي) أ (

)]x1 , x2…., xk (bu2 ) +x1 , x2…., xk (au1 [E

)]x1 , x2…., xk (u2 [bE )] +x1 , x2…., xk (u1 [aE =

٧٠

x1 , x2…., xK (u [E[( ≤ 0فإن u) x1 , x2…., xk( ≤ 0إذا كان ) ب( )٤٨-١( مثال

متغیرین عشوائیین لهما دالة كثافة اإلحتمال المشتركة X2 ،X1إذا كان

1 2 1 2 1 21f ( x , x ) = , x =1,2,3,4,5 ; x =1,2,3,4,5 x x20

= 0 , e.w.

:أوجد القیمة المتوقعة للدالة التالیة 1 2 1 2u( X , X ) = ( |X X | 1).

:الحــل

:للتسهیل توضع دالة كثافة اإلحتمال المشتركة في جدول مزدوج كالتالي

5 4 3 2 1 X1 X2

120

120

120

120 0 1

120

120

120 0

120 2

120

120 0

120

120 3

120 0

120

120

120 4

0 120

120

120

120 5

: و على ذلك

2 2

5 5

1 2 1 2 1 2x =1 x =1

1E[u(X ,X )] ( | x - x | -1) =1 , x x .20

.. معرفـة فـي متغیـر عشـوائي واحـد ، علـي سـبیل المثـال X1 , X2…., XK (u(إذا كانـت الدالـة یمكـــن الحصـــول علیـــه مباشـــرة مـــن دالـــة كثافـــة اإلحتمـــال X1 (u( فـــإن التوقـــع الریاضـــي للدالـــة X1لـــیكن

. X1الهامشیة للمتغیر

1 1 1 1-

E[u(X )]= u(x ) f(x )dx .

:المتقطعة یستبدل التكامل بالمجموع في الحالة

٧١

: نظریة :فإن f( x1 , x2 )متغیرین عشوائیین بدالة كثافة إحتمال مشتركة X1 , X2إذا كان

E ( X1 + X2 ) = E ( X1 ) + E ( X2 )

)٤٩-١( مثال : هي X1 , X2إذا كانت دالة كثافة اإلحتمال المشتركة للمتغیرین عشوائیین

1 21 2 1 2

3-x xf ( x ,x ) = , x = 0,1, x 0,18

E ( X1 + X2 ): أوجـد

:الحــل

2 1

1 11 2

1 2 1 2x 0 x 0

3-x -xE(X +X )= (x +x )8

3 2 2 1 0( ) 1( ) 1( ) 2( )8 8 8 8

3 = .4

1 2 1 13 3 6 3E(X +X )=E(X E(X ) .8 8 8 4

.التوقعات الریاضیة التالیة تأخذ أسماء خاصة iXإذا كانـت )أ ( = u1 ( X1, X2 , … , Xk ) فـإنE (Xi) = µi أوi ویسـمى متوسـطXi

:و یمكن حسابه كالتالي i=1,2,…,kحیث

1 k

i i 1 2 kx x2 x

µ ... x f(x ,x ,...x ).

:تمثل متغیرات عشوائیة من النوع المتقطع أو حسابه كالتالي ( X1, X2 , … , Xk )إذا كانت

i i 1 2 k 1 2 kµ x f(x ,x ,...x ) dx dx ...dx .

.تمثل متغیرات عشوائیة من النوع المتصل ( X1, X2 , … , Xk )إذا كانت

:، فإن 2 u2 ( X1, X2 , … , Xk )( Xi - µi) =إذا كانت )ب (2

2 1 2 k i i

2i i

E[u (X ,X ,...,X )]=E(X -μ )

= =Var(μ ).

i = 1,2,…,kحیث Xiو الذي تسمى تباین المتغیر العشوائي

٧٢

:تعریف

:یعرف كالتالي X,Yالتغایر لمتغیرین عشوائیین

12 XY x YCov(X,Y) E (X )(Y ) . :بعض خصائص التغایر تعطى في النظریات التالیة

: نظریة :ثابتان فإن a,bمتغیرین عشوائیین و إذا كان X , Yإذا كان

Cov ( aX , bY ) = ab Cov ( X,Y ) Cov ( X + a, Y+b ) = Cov ( X , Y ) Cov ( X ,aX + b ) = a Var ( X).

: نظریة :متغیرین عشوائیین فإن X , Yإذا كان

Cov ( X, Y ) = E (X Y) – E (X ) E (Y) .مستقلیـن X , Yإذا كـان Cov ( X, Y ) = 0 و

)٥٠-١( مثال

:لهما دالة كثافة اإلحتمال المشتركة و المعطاه في الجدول المزدوج التالي X , Yإذا كان

1f (x) 3 2 1 y x

.31 .01 .1 .2 1

.51 .06 .3 .15 2

.18 .1 .05 .03 3 1 .17 .45 .38 2f (y)

σ XY: أوجد

:الحــل

:فإن f1(x) , f2(y)من دالتي كثافة اإلحتمال الهامشیة

= 1.87 , Y :أیضـا Xو 1.79 = 3 3

x=1 y=1E (XY) = xy f ( x,y)

= (1)(1)(.2) + (1)(2)(.1) + ... + (3)(2)(.05) + (3)(3)(.1)

= 3.58.

٧٣

XYو منهـا X Y = E ( X Y ) - µ µ = 3.58 - 1.87 ( 1.79 ) = .2327.

:متغیرات عشوائیة فإن ( X1, X2 , … , Xk )إذا كان : نظریة

k k

i i i ji=1 i=1 i<j

Var X = Var [ X ] + 2 Cov [X , X ]

:متغیرات عشوائیة غیر مرتبطة فإن ( X1, X2 , … , Xk )إذا كانت :نتیجة

k k

i ii=1 i=1

Var X Var X .

)٥١-١( مثال

. Yأوجـد التبایـن للمتغیـر Y ~ BIN (n,p)إذا كـان

:الحــل

:هو Yالتباین للمتغیر n n

ij=1 i=1

Var(Y)=Var X pq=npq

فئتین من المتغیـرات العشـوائیة و إذا كانـت Y1, Y2 , … , Ymو X1, X2 , … , Xnإذا كان : نظریة

a1 … an وb1 … bm فئتین من الثوابت فإن :

n m n m

i i i i i i i ii=1 j=1 i=1 j=1

Cov a X , b Y a b cov X ,Y .

:ثوابت ، فإن a1 ,a2 ,..akمتغیرات عشوائیة و X1, X2 , … , Xkإذا كانت :نتیجة k k k

i i i j i ji=1 i=1 j=1

Var a X a a Cov X ,Y .

k k

2i i i j i j

i=1 i j

a Var X a a Cov X ,Y .

2متغیرین عشوائیین بتبایني X , Yإذا كان : تعریف 2Y X , على التوالي و تغایر

Cov (X , Y) = σXY فإن معامل اإلرتبـاط correlation coefficient للمتغیرینX , Y هو:

٧٤

XY

X Y

σ= .σ σ

, x1, x2( بدالة كثافة إحتمال مشتركة kمتغیرات عشوائیة عددها X1, X2 , … , Xkعموما إذا كانت

… , xk (f و إذا كان اإلنحراف المعیاريσj ،σj موجبان فإن: i j ij

iji j i j

Cov(X ,Y ) σ= .

σ σ σ σ

و غیــر ذلــك یقــال أنهمــا ρ = 0إذا كــان uncorrectedأنهمــا غیــر مــرتبطین X , Yیقــال للمتغیــرین .مرتبطین

)٥٢-١( مثال متغیـــرین عشــوائیین یتبعــان التوزیـــع الثالثــي الحـــدود بدالــة كثافــة إحتمـــال مشــتركة علـــى X1, X2إذا كــان :الشكل

1 2 1 2x x n- x x1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

n!f(x , x ) = p p (1- p - p ) x ! x !(n-x - x )!

X1, X2بـین المتغیـرین ρأوجـد معامـل اإلرتبـاط . قیم صحیحة موجبة x1 + x2 ≤ n ، x1 x2 ≥ 0حیث.

:الحــل

1 2

1

1 2

1 2 1 2 1 2x x

n-xn

1 2x 0 x 0 1 2 1 2

E(X , X ) = x x f(x , x )

n! = x x .x ! x !(n-x - x )!

٧٥

11 2 1 2

1 2

11 2 1 2

1 2

n-xn-1x x n-x x1 2 1 2

x 1 x 1 1 2 1 2

n-xn-1x x n-x x1 2 1 2

x 0 x 0 1 2 1 2

n-2 n-2-i

1 2i=0 j 0

n! = × p p (1- p - p ) (x -1)! (x -1)!(n-x - x )!

n! = × p p (1- p - p ) (x -1)! (x -1)!(n-x - x )!

= n(n-1)p p

i j n- 2-i-j1 2 1 2

1 2

(n-2)! × p p (1- p - p ) i!j!(n-2-i-j)!

= n(n-1)p p .

σ12 = E [X1X2]- µ 1µ2 = n ( n – 1 ) p1 p2 - n2 p1 p2 = - n p1 p2 .

: هو X1, X2و على ذلك معامل اإلرتباط بین المتغیرین

1 212

1 1 2 2

1 2

1 2

-np p=np (n-p )np (1-p )

p p =- .(1-p )(1-p )

)٥٣-١( مثال :على الشكل X, Yإذا كانت دالة كثافة اإلحتمال المشتركة للمتغیرین

f(x,y) = x + y , 0 < x < 1 , 0 < y < 1 . ؟ أوجد معامل اإلرتباط

:الحــل1 1

X0 0

7µ = E(X) = x(x+y) dx dy = 12

1 12 2 2 2x x

0 0

= E(x )-µ x (x+y) dx dy

27 11 - .12 144

: و بنفس الشكل

٧٦

2 2 2Y y Y

XY x y

21 1

0 0

7 11µ = E(Y) = , = E(Y )-µ ,12 144

= E(XY)-µ µ

7 11 = xy(x+y) dx dy- .12 144

: هو X , Yو على ذلك معامل اإلرتباط للمتغیرین 1- 1144 = .

1111 11144 144

:فإن X , Yهو معامل اإلرتباط بین ρإذا كان : نظریة ρ≤ 1 ≥ 1 - )أ ( a ≠ 0 , bلقیم 1بإحتمال Y = aX + bو إذا كان فقط ρ = ± 1 )ب(

: نظریة .مستقالن X , Yال تعني أن ρ = 0و لكن ρ = 0مستقالن فإن X , Yإذا كان

)٥٤-١( مثال :متغیرین عشوائیین متقطعین بدالة كثافة إحتمال مشتركة على الشكل X, Yإذا كان

1f(x;y) = , (x,y) = (-4,1) , (4,-1) , (2,2) , (-2,-2) 4

= 0 e.w.

.و هل المتغیرات مستقالن ρمعامل اإلرتباط : أوجد

:الحــل

X Y = = 0.1 1 1 1E(XY)=(-4) (-4) (4) (4) 0.4 4 4 4

:و على ذلك Cov ( X , Y ) = E ( XY) – E (X) E(Y) = 0 - 0 = 0 .

:غیر مستقلین و ذلك ألن X , Yبالرغم من أن ρ = 0و على ذلك

٧٧

X Y

X Y

1f(- 4.1) = ,41 1f ( - 4) = ,f (1)= ,4 4

F(- 4.1) f ( - 4) f (1).

)٥٥-١( مثال :متغیرین عشوائیین لهما دالة كثافة اإلحتمال المشتركة على الشكل X, Yإذا كان

1f(x,y) = (x,y) = (-1,1) , (1,1)31 = (x,y) = (-2,4) , (2,4)6

= 0 , e.w.

غیـر مسـتقلین و یمكـن إثبـات ذلـك X , Y، و علـى ذلـك لهـذا التوزیـع P ( Y = x2 ) = 1تـذكر أن :كالتالي

X Y1 1 1 2f (-1) = , f (1) = 3 3 3 31 1 1f ( 1,1) .3 3 3

Xأیضا من السهل إثبات أن 0 , E(XY) = 0 و على ذلك فإن:

X Y X Y

X Y

Cov (X,Y) E (XY) - E(X) E(Y)ρ = =

0 = = 0.

.ال یعني بالضرورة أنهما مستقالن X , Yیتضح من ذلك أن عدم اإلرتباط بین

)٥٦-١( مثال :متغیران عشوائیان بدالة كثافة إحتمال مشتركة معرفة كما یلي X, Yبفرض أن

2 23 (2 x y ) , 1 x 1 , 1 y 1f (x, y) 16

0 , e.w.

٧٨

.واثبت ان التغایر یساوى صفر وعلق على النتائج E [u (X,Y)]أوجد u(X,Y) = XYإذا كانت

:الحــل

- -

1 12 2

1 11 1

3 3

1 111 12 3 2 4

1 1

E u(XY) E(XY) xy f(x,y) dy dx

3 = xy ( ) (2-x -y )dy dx16

3 = (2xy-x y-xy ) dy dx16

3 2xy x y xy 3 = - - dx= 0 d16 2 2 4 16

x=0.

و علیه فإنه یمكن حساب التوقع أما بإستخدام الدالة المشتركة للمتغیـرین أو بإستخــدام دوال كثافـة اإلحتمـال :الهامشیة لكل منهما كمایأتى

1 1

1 11 1

2 2

1 11 1

3 2

1 1

11 33

1 -1

1

E (X ) x f(x ,y) d y d x

3 = x ( ) (2 -x -y )dy d x16

3 = (2 x-x -xy ) d y d x16

3 xy = 2 xy-x y - d x16 3

3 = 16

11 3

3 2 3

-1

2 x 3 x4 x-2x - d x= 2 x -2 x - =0 .3 1 6 3

من خالل هذا المثال وجدنا أن E[u ( X,Y )]= 0و علیه فإن E(Y) = 0و بالمثل فإن E (XY) = E( X) E(Y) = 0 . و لكـن هـل هـذا یعنـي أن المتغیـریین العشـوائیین مسـتقلین ؟

. E(X Y) = E(X) E(Y): اإلجابة ، ال ، و لكن إذا كان المتغیران العشوائیین مستقلین فإن

الدوال المولدة للعزوم المشتركة) ١١-١(

sting functionJoint Moment Genera

٧٩

. kوذلك للمتغیرات العشوائیة فى البعد للمتغیرات فى البعد االول یمكن تعمیم الدالة المولدة

X,...,X,X(X(الدالة المولدة للعـزوم لمتجـه مـن المتغیـرات العشـوائیة : تعریف k21 یعـرف كالتـالي:

k

X i ii 1

M (t) E exp t X .

. h > 0و h < ti < h , t = ( t1 , … , tk ) –حیث وحیـدة أي أن لهــا خاصـیة الوحدانیــة وعلـى ذلــك ) إذا وجــدت ( لكـل دالــة كثافـة احتمــال مشـتركة دالــة مولـدة

فعلــى ســبیل المثــال الدالــة .تســتخدم فــي تقــدیر دالــة كثافــة االحتمــال المشــتركة وأیضــا كــل الــدوال الهامشــیة : هي iXالمولدة للعزوم للمتغیر

M ( 0, 0 , 0, it , 0 , … , 0 ).

n,...,2,1i حیث .للمتغیرین للعزوم المولدة الدالة أیضا ji X,X ھي : M ( 0, 0 , … , it , 0 , 0 , … , jt ,0, 0, … ,0 ).

یكونان مستقالن إذا وفقط X , Yموجودة فإن المتغیرین العشوائیین MX,Y (t1 , t2)إذا كانت : نظریة .إذا

MX,Y (t1 , t2) = MX,Y (t1 , 0) MX,Y (0 , t2) .

k21من المتغیرات العشوائیة k یمكن تعمیم النظریة السابقة لحالة X,...,X,X حیث :

)0,...,0,t,0,...,0(M)t,...,t,t(M iXk

1ik21X

ذا فقط كان k21إذا وا X,...,X,X مستقلین. : متغیرین عشوائیین من النوع المتصل فإن X , Yإذا كان

. Y X E

,dy dx y)f(x, y x02t1t

t t

)t,t(M

,dy dx y)f(x, e y x t t

)t,t(M

mk

mk

-m2

k1

21Y,Xmk

ytxtmk

-m2

k1

21Y,Xmk

21

:وعلى ذلك

٨٠

, - t

)0,0(M)X(E

, t

)0,0(M)Y(E

, t

)0,0(M)X(E

212

12

Y,X2

21

221

2

Y,X2

1

Y,X1

. - t t

)0,0(M

, - t

)0,0(M)Y(E

2121

Y,X2

XY

222

2

Y,X2

22

222

)٥٧-١( مثال

:هى X , Yإذا كانت دالة كثافة االحتمال المشتركة لمتغیرین

2ثم ایجاد منها Y ,Xجاد الداله المولده للعزوم لـ المطلوب إی 1f (y),f (x) , Cov(X,Y)

:الحــل

1 21

2 1 2 2

t t2 tX,Y 1 2

2t t t t

1 1M (t , t ) e e6 3

1 1 1 + e e e6 6 6

y -1 0 1 2 x

-2 0

16 0 0

-1

13 0 0

16

0

16 0

16 0

٨١

:ایضا

1 1 2 2 1

1 2 1 2 2 2

1 2 2 1

x,y 1 2 2t (t ,t ) 2t t

1

x,y 1 2 (t ,t ) 2t t ) t t

2

x,y 1 2 (t ,t ) 2t t

1 2

M (t , t ) 1 1 1e e e ,t 3 3 6

M (t , t ) 1 1 1 1e e e e ,t 3 3 6 6

M (t , t ) 1 1e e ,t t 3 3

:وعلي ذلك

1 2

1 2

1 2

X,y 1 2

1 t t 0

X,y 1 2

2 t t 0

2X,y 1 2

1 2 t t 0

M (t , t ) 5E(X) ,t 6

M (t , t )E(Y) 0

t

M (t , t )E(XY) 0.

t , t

:وعلي ذلك Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 0.

:ایضا 1 1

2 1 2

t 2 tX 1 X,Y 1

t t 2tX 2 X,Y 2

1 1 1M (t ) M (t ,0) e e ,3 2 61 1 1 1M (t ) M (0, t ) e e e ,6 2 6 6

1fوعلي ذلك فإن (x) هى:

٨٢

0 -1 -2 x

13

12

16

1f (x)

2fو (y) هى: 0 -1 1 2 y

16

12

16

16

2f (y)

دوال فى متغیرات عشوائیة) ٢١-١(

فـي كثیــر مــن األبحـاث نجــد أن المتغیــرات العشــوائیة التـي نســتخدمها فــي خالصـة نتــائج التجربــة لــیس فمــثال قــد یكــون . علیهــا بحــد ذاتهــا ولكــن تكــون دوال مــن هــذه القیاســاتدائمــا هــي القیاســات التــي نحصــل

المقاســــه بــــالفهر نهیــــت إلــــى قــــراءات بالــــدرجات المئویــــة Xالمطلــــوب تحویــــل قــــراءات درجــــات الحــــرارة5 160Y X9 9

.ایضــا فــي أبحــاث أخــرى قــد یمثــل العمــر X باألســابیع لمكــون مــا بینمــا فــي تجربــة

Xأو دوال أخـرى فـي Z=lnX: بـنفس الشـكل . W=7Xعلـى ذلـك باألیـام و Wأخرى قد یمثل العمـردالـــة نفســـها متغیـــر عشـــوائي ویمكـــن تقـــدیر Xأي دالـــة فـــي متغیـــر عشـــوائي . قـــد تكـــون موضـــع االهتمـــام

المـذكور أعـاله Wعلـي سـبیل المثـال للمتغیـر. Xكثافتها االحتمالیة بداللة دالة كثافـة االحتمـال للمتغیـر فإن P 14 W 21 P 2 X 3 واضح أن االحتمـاالت التـي تخـص دوال فـي متغیـرات من ال

ـــة كثافـــة االحتمـــال، أو دالـــة عشـــوائیة تكـــون موضـــع االهتمـــام ویكـــون مـــن المفیـــد التعبیـــر عنهـــا بداللـــة دالل المتغیـرات یـأیضا في التجارب المركبـة قـد یكـون االهتمـام فـي تحو .التوزیع التجمیعي، للمتغیر األصلي

1قاســـــة العشـــــوائیة األصـــــلیة الم 2 KX ,X ,...,X الـــــى متغیـــــرات جدیـــــدة i i 1 2 kY u X ,X ,...,X 1فعلي على سـبیل المثـال، قـد نالحـظ األوزان . i =1,2,…,kحیث 2 kX ,X ,...,X لكـائن ماعنـد1:األزمنة 2 kt , t ,..., t 1ولكن قد یكون االهتمام فـي تعریـف 1Y X )وأیضـا الزیـادة فـي ) الـوزن المبـدئيiالــوزن i 1X X حیــثi=2,…,k نــاقش طــرق نوف ســ البنــدفــي هــذا . وذلــك فــي فتــرات زمنیــة مختلفــة

.او باستخدام الدالة المولدة للعزوم مختلفة الشتقاق دالة كثافة االحتمال لدالة في متغیر عشوائي أو أكثر

: واحد عشوائىطرق إیجاد توزیع دوال في متغیر )١-١٢-١(

٨٣

Discrete Caseالحالة المتقطعة ) ا( =u(x) yإذا أمكـن حـل المعادلـة . xدالة ذات قیمة حقیقیـة فـي المتغیـر الحقیقـي u(x)لتكن

one – to – one، فإننـا نقـول أن التحویلـة تبادلیـة وحیـدة أو تناظریـة x = w(y)بطریقـة وحیـدة لـتكن

transformation وغیر ذلك نقول أن التحویلة غیر تناظریة. ة احتمـال متغیـرا عشـوائیا مـن النـوع المتقطـع بدالـة كثافـة Xإذا كـان : نظری Xf x ذا Y=u كـان وا

(X) تناظریــة ، بمعنـــي آخـــر المعادلـــة تحولیـــةتعـــرفy = u(x) لـــتكن یمكـــن حلهــا بطریقـــة وحیـــدة ، x w y، وعلي ذلك دالة كثافة االحتمال للمتغیرY هي:

Y Xf (y) f (w(y)) , y , Y{y f (y) 0}.

)٥٨ -١( مثال

تكـون علـى X فـان دالـة كثافـة االحتمـال للمتغیـر X ~ GEO (P)متغیـرا عشـوائي حیـث Xذا كـانا :الشكل

x-1X f (x,p) = p q , x = 1,2,...

= 0 , e.w.

ذا كان .Yللتوزیع الهندسي أوجد داله كثافة اإلحتمال للمتغیر آخریتبع شكل Y= X– 1وا

:الحــل

یمكن Yوعلى ذلك دالة كثافة اإلحتمال للمتغیر x = w(y) = y + 1فإن y = u(x) = x-1 إذا كان :على النحو التالي إیجادها

yYf y 1 p q ,y 0,1,...

= 0 , e.w. .والتي تمثل دالة كثافة االحتمال لعدد حاالت الفشل قبل الحصول على أول نجاح

xRتناظریة علـي الفضـاء ةلیست دال u (x)بفرض أن الدالة A {x f (x) 0} وهـذا یعنـي عـدمةإلـي فئـات جزئیـه متنافیـ Aعـادة یكـون مـن الممكـن تجزئـه الفضـاء . y = u (x)وجـود حـل وحیـد للدالـة

1 2, ,...A A بحیث تكونu(x) تناظریة علي كلjA . وعلي ذلك لكـلy للدالـة فـي المـدى u (x) فـإن ، یكون لها حل وحید y = u(x)المعادلة j jx w y علي الفئةjA .

:فإن للدوال الغیر تناظریة : نظریةY X j

jf (y) f (w (y)).

٨٤

)٥٩ -١( مثال

:الحــل

:یمكن الحصول علیها كالتالي Yدالة كثافة اإلحتمال للمتغیر 2 1 0 Y

93

95

91

Yf y

Continuous Caseالحالة المتصلة ) ب(

في هذا الجزء سوف نناقش طریقتین الشتقاق توزیع دوال في متغیر عشوائي متصل وهي .طریقة دالة التوزیع التجمیعي وطریقة التحویل

طریقة دالة التوزیع التجمیعي Distribution Function Technique –Cumulative

XFمتغیــرا عشــوائیا لــه دالــة التوزیــع التجمیعــي Xبفــرض أن (x) ذا كــان . Xفــي دالــة Y = u(X)وا

Xبداللة توزیع المتغیر Yتعتمد هذه الطریقة علي التعبیر عن دالة التوزیع التجمیعي للمتغیر

:حیث

Yy = P [ u(X) < y ] F

:متغیر عشوائیا له دالة كثافة اإلحتمال التالیة Xإذا كان 2 1 0 -1 -2 X

91

92

91

93

92

Xf x

2Yإذا كان X أوجد دالة كثافة اإلحتمال للمتغیرY ؟

٨٥

:وعلى ذلك

Y

YdF yf y .

dy

)٦٠ -١( مثال

xfمتغیـــرا عشـــوائیا حیـــث Xإذا كــان (x) e ,x 0 وكــان XY e أوجـــد دالـــة كثافـــة االحتمـــال .Yللمتغیر

:الحــل

Y

ln y

0

X

ln yt

0

t ln y

F (y) P[Y y] P[e y]

P[X ln y] e dt

e [e 1].

:أي أن Y

F (y) 1 y 1 y . :ستكون كاآلتي Yر وعلیه فإن دالة كثافة االحتمال للمتغی

Y

1Y

df (y) F (y) y , 1 ydy

= 0 , e.w.

التحویلطریقة

ة افـــة احتمـــال ثمتغیـــرا عشـــوائیا مـــن النـــوع المتصـــل بدالـــة ك Xبفـــرض أن : نظری Xf x وبفــــرض أن Y u x xRتعـرف تحویلـة تناظریـة مـن {x f (x) 0} إلـيy{y f (y) 0} بتحویلـه

x = w (y) . إذا كانـت المشـتقة dw ydy

فـإن دالـة كثافـة االحتمـال علـي متصـلة وال تسـاوي الصـفر

:هي Yللمتغیر

Y Xdf (y) f (w(y)) w(y) ydy

معامـل التحویـل او الیعقوبیـة ، ویرمـز لـه بـالرمز (بجاكوبیـان التحویـل w(y)عـادة یشـار الـى المشـتقة للدالـة dw(y)J

dy .

)٦١ -١( مثال

٨٦

:الحــل

:إذا كان 5 160y u(x) x .9 9

:فإن 9 160x w(y) (y ).5 9

:وعلي ذلك dw(y) 9J .

dy 5

:ومنها

Y X

[9y 160 / 5]

9 160 9f f ( (y )) 5 9 5

9 160e , y5 9

0 , e.w.

:طرق إیجاد توزیع دوال في متغیرین أو أكثر ) ٢-١٢-١(

تناولنـا مشــكلة الحصـول علــي التوزیــع االحتمـالي لدالــة فـي متغیــر عشـوائي) ١-١٢-١(فـي البنــد لـدوال فـي متغیـرین تنـاول مشـكلة الحصـول علـي التوزیـع المشـتركاالن یكـون مـن الطبیعـي .البعـداالول فـي

1بفـــــــــــــــــــــــرض متجـــــــــــــــــــــــة عشـــــــــــــــــــــــوائي .عشـــــــــــــــــــــــوائین او اكثـــــــــــــــــــــــر 2 kX (X ,X ,...,X ) واذاكـــــــــــــــــــــــان 1 2 Kx , x ,..., xu u u دوال فــي X عــددهاk .وعلــى ذلــك j j XuY حیــثj=1,2,….,k

1یعرف متجة اخر 2 kY (Y ,Y ,...,Y ). للتسهیل سوف نعبر عنة بكتابة Y=U(X).

: متغیرا عشوائیا له دالة كثافة االحتمال Xإذا كان x

Xf x e , x > 0 = 0 , e.w.

5أوجد دالة كثافة االحتمال للمتغیر 160Y X9 9

؟

.

٨٧

: Discrete Case: الحالة المتقطعة ) ا(

ة مــن المتغیــرات العشــوائیة المعطــاة مــن النــوع المتقطــع بدالــة كثافــة احتمــال متجــه Xإذا كــان : نظریمشــتركة Xf x ذا كــان یعــرف تحویلــه تناظریـــة ، فــإن دالــة كثافـــة االحتمــال المشـــتركة Y = u(X)وا :هي Yللمتغیر

Y 1 2 k X 1 2 kf (y ,y ,...., y ) f (x ,x ,...,x ) حیـث

1 2 K, ,...,x x x یمثلـون الحلـول للدالـةy = u (x) 1والتـي تعتمـد علـي 2 n, ,...,y y y حیـثx هنـا

یعبرعن متجة 1 2 K

x ( , ,...., )x x x.

)٦٢-١( مثال

1إذا كــان 2X ,X متغیــرین مســتقلین حیــثi ix

1i i

i

eF(x ) ,x 0,1,...x !

)المطلــوب ) توزیــع بواســون

1إیجاد دالة كثافة االحتمال للمتغیر 1 2Y X X .

:الحــل

2لـیس موضـع االهتمـام فسـوف نختـار 2Yوألن 2Yفي هـذه الحالـة نحتـاج لتعریـف جدیـد لـیكن 2y x 22وعلــــي ذلـــــك . للتســــهیل

y x x y x1 1 , 2 یمثلـــــون تحویلــــه تناظریـــــة وعلــــي ذلـــــك ,

2 12 1 2x ,xy y y 1دالة كثافة االحتمال المشتركة للمتغیرین . 2Y ,Y :هي 1 2Y 1 2 X ,X 1 2 2f (y ,y ) f (y y ,y )

1 2 2 1 2y y y1 2

1 2 2

e ,(y y )!y !

1 2 1y 0,1,2,..., y 0,1,2,..., y = 0 , e.w.

: يه 1Yدالة كثافة االحتمال الهامشیة للمتغیر 1

1 1 2

2

y

Y Y ,Y 1 20

f (y) f (y , y )y

11 2 1 2 2

2

yy y y11 2

y 0 1 2 21

1 y !e! (y y )!y !y

1 ( 1 2)y

1 21

1

( ) e , y 0,1,2,...y !

0 , e.w.

٨٨

1أي أن 21Y X X 1تبع توزیع بواسون بمعلمتین یمتغیر عشوائي 2, .

ذا تـوفرت التجزئـة ، لـتكن y = uبحیـث أن المعادلـة ,…,A1, A2عنـدما تكـون التحویلـة غیـر تناظریـة وا

(x) لها حل وحیدjx x :أو j 1j 2 j kjx (x ,x ,...,x )

:هي Yوعلي ذلك دالة كثافة االحتمال للمتغیر . Ajعلي الفئة Y 1 k X 1j kj

jf (y ,..., y ) f (x ,....,x )

)٦٣ -١( مثال

1 2X ,X متغیرین عشوائیین بدالة كثافة احتمال مشتركة علي الشكل:

2 1 -2 1x 2x

91

91

19

-2

91

91

91

1

91

91

91

2

2وبفـــــــــرض أن 2 2 1 1 2Y X , Y X X أوجــــــــــد دالـــــــــه كثافــــــــــة االحتمـــــــــال الهامشــــــــــیة لكـــــــــل مــــــــــن

1 2 1 2Y (Y ,Y ) , X=(X ,X ).

:الحــل

Y X1f ( 4,4) f ( 2, 2) ,9

Y X1f ( 1,1) f ( 2,1) ,9

Y X X1 1 2f (0,4) f ( 2,2) f (2, 2) ,9 9 9

Y X1f ( 1,4) f (1, 2) ,9

Y X1f (2,1) f (1,1) ,9

Y X1f (3,4) f (1,2) ,9

٨٩

Y X1f (3,1) f (2,1) ,9

Y X1f (4,4) f (2,2) .9

1یمكن وضع دالة كثافة االحتمال المشتركة للمتغیرین 2Y ,Y التالىجدول الفي :

2Yf (y) 4 3 2 0 -1 -4 1y

2y

93

91

91

91

1

96

91

91

92

91

91

4

1 91

92

91

92

92

91

1Yf (y)

2فـــــإن دالـــــه كثافـــــة االحتمـــــال الهامشـــــیة لكـــــل مـــــن الســـــابقمـــــن الجـــــدول 1Y ,Y یمكـــــن الحصـــــول علیهـــــا :ن التالیینجدولیالمن

4 3 2 0 -1 -4 1y

91

92

91

92

92

91

1Yf (y)

4 1

2y

96

93

Y2

f (y)

: Continuous Case: الحالة المتصلة ) ب(

٩٠

الشتقاق توزیع دوال في فئة من المتغیرات العشوائیة وهما في هذا الجزء سوف نناقش طریقتین .ي وطریقة التحویل یعطریقة دالة التوزیع التجم

Cumulative Distributionعي طریقة دالة التوزیع التجمی

1إذا كان : نظریة 2 kX X ,X ,...X عشوائیة عددها متجه عشوائي من متغیراتk

X 1 2 kf (x ,x ,...x ) من النوع المتصل بدالة كثافة إحتمال مشتركة X Y دالة في U(X) وكانت

:فإن

y

Y

X 1 2 k 1 kA

F (y) P[u(X) y]... f (x ,x ,..., x )dx ....dx

)٦٤ -١( مثال

1إذا كان 2X ,X :متغیران عشوائیان بدالة كثافة احتمال مشتركة معرفة على النحو التالي

1 2

1 2X , X 1 2

2 , 0 x x 1f (x , x )

0 , e.w.

1بفرض أن 2Y X X أوجد دالة كثافة اإلحتمال للمتغیر Y .

:الحــل

:فإن y < 0 عندما P Y y 0 وعندماy > 2 فإن: P Y y 1 ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــدما عن0 y 2 فإن:

Y 1 2F (y) P(Y y) P(X X y). :وهناك حالتین

10إذا كانت –أ y 2 التالى شكل الو من:

٩١

:فان

1

1

yy x2

Y 2 10 x

F y P Y y 2dx dx

y

22

1 10

y2 y 2x dx .2

1اذا كانت –ب y 2 التالى ومن الشكل :

:فان

٩٢

YF y P Y y 1 P Y y

2

2

x1

1 2y y x2

1 2dx dx

1

2 2y2

1 2 2x y dx

2y 21 .2

:ستكون كما یلي Yوعلیه فإن دالة كثافة اإلحتمال للمتغیر

YY

y 0 y 1d F y

f y 2 y 1 y 2dy

0 , e.w.

طریقة التحویـل

التحویالت المشتركة لمتغیرات عشوائیة متصلة یمكن الحصول علیها بتعمیم صیغة جاكوبیان ,بفرض ، على سبیل المثال ، أن . التحویل

1 2 1 21 2, , ,u ux x x x ذا كان 21دالتین وا x, x

,الحلین الوحیدین للتحویلة 1 2 1 21 21 2, , ,y yu ux x x x وعلى ذلك فإن جاكوبیان

:التحویل یعرف بالمحدد التالي

.

yx

yx

yx

yx

J

2

2

1

22

1

1

1

)٦٥ -١( مثال

21 لتحویـل x, x إلـيx 1 21 x, x 2 فـإن 1 2y x x , , xy 11 أوجـد جاكوبیـان .التحویل

٩٣

:الحــل

yy

x,yx1

21 21

:جاكوبیان التحویل هو

.y/1y/1y/y01

J 11

212

وبفرض أن . kمتجه من المتغیرات العشوائیة المتصلة عددها Xلیكن )x(u),...,x(u),x(u k21 دوال عددهاk فىx . على ذلك)X(uY ii حیث ،k,...,1i

Y,...,Y,Y(Y(تعرف متجه آخر من المتغیرات العشوائیة k21 وللسهولة)X(uY . لتحویلبحل وحید kالتي عددها y = u(x) الدوال x,...,x,xx

K21 فإن جاكوبیان التحویل سوف

:، لمشتقات جزئیة k x k یكون هو المحدد لمصفوفة ، من الرتبة

k

k

1

k

1

2

k

1

2

1

1

1

yx...

yx

yx

yx...

yx

yx

J

: نظریةبفرض أن X,...,X,XX

K21 احتمال مشتركة بدالة كثافة متجه من المتغیرات العشوائیة المتصلة

0x,...,x,xf K21Xالفضاء على R ذا كان وا)Y,...,Y,Y(Y k21 یعرف بتحویلة تناظریة:

.k,...,2,1i)X,...,X,X(uY k21ii إذا كان جاكوبیان التحویل متصل وال یساوى صفر على مدي التحویل ، فإن دالة كثافة االحتمال

:هي Yالمشتركة للمتغیر

1 2 K1 2 K

X Xf , ,..., f , ,.., Jy y y x x x

حیث k21 x,...,x,xx هو الحل للمعادلةy = u(x) .

)٦٦ -١( مثال

٩٤

21 إذا كان X , X متغیرین عشوائیین حیث: )1,0(UNIF~X,2,1i i وبفـرض أن , XXY,XXY 22211 1 أوجـد

12 ,دالة كثافة االحتمال المشتركة للمتغیرین Y,Y؟.

:الحــل

1 2 1 2R {x ,x ) 0 x 1,0 x 1}. xxy,xxy :عندما 22211 1 فإن الحل هو:

1 1 2 2 1 21 1x (y y ),x (y y ).2 2

.

:عندما 1 2

1

1 21

1 22

1 22

y yx 0 02

y yx 1 12

y yx 0 02

y yx 1 1.2

)}2yy0,2yy0 )y,y{وعلى ذلك 212121 شكل الكما هو موضح من . التالى

٩٥

:وعلى ذلك جاكوبیان التحویل هو

21

21

21

21

21

J

21وبالتالي فإن دالة كثافة االحتمال المشتركة للمتغیرین العشوائیین y,y :هي J )]y,y(w),y,y(w[(f)y,y(f 212211X,X21Y,Y 2121

e.w. , 0

y,y21 J

2yy,

2yyf 21

2121X,X 21

)٦٧ -١( مثال

21إذا كــــان X , X متغیــــرین عشــــوائیین مســــتقلین حیــــثixi i f (x ) e i 1,2 أوجــــد دالــــة كثافــــة

:االحتمال للمتغیرین XXXY,X|XY 2112211 21وأثبت أن Y , Y مستقلین.

:الحــل21 للمتغیرین المشتركة االحتمال كثافة دالة X , X : هما

. w.e , 0

x0 , x0 ,e)x(f)x(f)x,x(f 21xx

212121

:عندما .

xxx)x,x(uy,xx)x,x(uy

21

12122212111

: فإن )y1(yx , yyx 212211

:وعلى ذلك

.0yyy1

yyJ 1

12

12

21 للمتغیرین المشتركة االحتمال كثافة داله فإن ذلك وعلى Y , Y : هي

٩٦

.w.e , 0

1y0,y0ey)y,y(g 21y

1211

21 للمتغیرین الهامشیة االحتمال كثافة دالة Y , Y هي التوالي على :

,y0eydyey)y(g 1y

12y

1

1

011

11

.1y0,1)2(dyey)y(g 21y

10

221

21 أن الواضح من Y , Y . مستقلین

)٦٨ -١( مثال

21 لــیكن. مهمــة نتیجــة علــى نحصــل ســوف المثــال هــذا فــى X , X النــوع مــن مســتقلین متغیــرین x(f)x(f( مشـــــتركة احتمـــــال كثافـــــة بدالـــــة المتصـــــل 2X1X 21

ـــــیكن الثـــــاني البعـــــد فضـــــاء فـــــي موجبـــــة ل 111 XuY فـــى دالــة X1 و فقــط 222 XuY فــى دالـــة X2 التحویـــل ذلـــك وعلــى. فقـــط 111 xuy و 222 xuy مـن تناظریـة تحویله یعرف R إلـي ذلـك وعلـى. الثـاني البعـد فـي ywx 222 ywx 111 : ومنها ,

.0ywyw yw 0

0 ywJ 2

`21

`1

2`2

1`1

حیث2

2222

1

1111 dy

)y(dw)y(w , dy

)y(dw)y(w .

21 العشوائیین للمتغیرین المشتركة االحتمال كثافة دالة فإن ذلك وعلى Y , Y : هي

y,y

y`w)y('w ywf))y(w(f)y,y(f

21

2112211Y21,Y 2211 Y2Y

21مـن لكـل االحتمـال كثافـة دالـة فـإن األول البعـد فـى عشـوائي متغیـر حالـة فـى أنـه المعروف من Y , Y : كالتالي علیها الحصول یمكن

,)y('w ))y(w(f)y(f 1111X1Y 11

,)y('w ))y(w(f)y(f 2222X2Y 22

:وعلى ذلك )y(f )y(f)y,y(f 2Y1Y21Y,Y 2121

21 كان إذا أنه إثبات یمكن ومنها X , X : فإن مستقلین عشوائیین متغیرین

٩٧

XuY 11 1 , XuY 22 2

لمتغیــــرین صــــحیحة النتیجــــة. مســــتقلین عشــــوائیین متغیــــرین أیضــــا . المتقطع النوع من عشوائیین

طریقة الدالة المولدة للعزوم ) ٣-١٢-١( unction Method F –enerating G –Moment

. تعتبر هذه الطریقة مفیدة في كثیر من الحاالت وذلك إلیجاد توزیع دوال في متغیرات عشوائیة k21 لیكن X,...,X,X متغیرات عشوائیة معطاة بدالة كثافة احتمال مشتركة:

)x,...,x,x(f k21X,...,X,X k21k21حیث X,...,X,X ذا كان متجه عشوائي وا

)X,...,X,X(uY k21ii وk,...,2,1i تمثل متغیرات عشوائیة لدوال من المتغیرات العشوائیةk21 X,...,X,X . اآلن الدالة المولدة للعزوم المشتركة للمتغیراتk21 Y,...,Y,Y ، إذا كانت موجودة ،

:هي kk2211

k21Yt...YtYt

k21Y,...,Y,Y eE)t,...,t,t(M )x,...,x(ut...)x,...,x(ut k1kkk111e...

1 k

kX ,...,X 1 k i

i 1f (x ,...,x ) dx .

ذا أجرینا التكامل أو ، أمكننا التعرف ) المجموع في حالة المتغیرات العشوائیة من النوع المتقطع ( واk21 ,علي الدالة في t,...,t,t الناتجة كدالة مشتركة مولده للعزوم لتوزیع مشترك معروف بأنه سیكون

k21للمتغیرات العشوائیة Y,...,Y,Y وذلك التوزیع استنادا إلي خاصیة الوحدانیة للدالة المولدة للعزوم .وذلك ألنه هناك عدد بسیط من الدوال المشتركة k > 1هذه الطریقة تكون محدودة االستخدام عندما

فإن الفرصة أمامنا أفضل للتعرف علي الدالة k =1ولكن إذا كانت . المولدة للعزوم والمعروفة لدینا .ولدة للعزوم الم

)٦٩ -١( مثال

متغیـرا عشـوائیا حیـث Xإذا كان 21 x

21f (x) e , x2

ذا ) التوزیـع الطبیعـى القیاسـى( وا

XYكان 2 أوجد التوزیع للمتغیرY ؟

:الحــل

dxe21e]e[E)t(M

22 x

21

txtYY

٩٨

dxe21 )t21(x

21 2

21

1 x (1 2t)22

12

121

2

1 (1 2t) e dx2

(1 2t)

112(1 2t) t ,1 2t

2

والتى تمثل الدالة المولدة للعزوم لمتغیر یتبع توزیع مربع كاى بدرجة حریة واحدة كما سنعرف عن هذا .التالى التوزیع فى الفصل

)٧٠ -١( مثال

21إذا كــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــان X,X حیــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــث مســــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــتقلین عشــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــوائیین متغیــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــرین2

2i

1 tx2 2i i X

1f (x) e , x ,M (t) e2

+ Y2 = X2 – X1 , Y1= X1لیكن .

X2 . 21أوجد التوزیع المشترك للمتغیرین Y,Y.

:الحــل

]e[E)t,t(M 221121

tYtY21Y,Y

]e[E 212121 t)XX(t)XX(

]e[E]e[E

]e[E)tt(X)tt(X(

)tt(X)tt(X(

212211

212211

)tt(M)tt(M 21X21X 21

).t(M)t(M

2t2exp

2t2expttexp

2)tt(exp

2)tt(exp

2Y1Y

22

212

221

221

221

21

٩٩

21حیـث Y,Y 2وتبــاین 0تغیـرین عشــوائیین مسـتقلین وكـل منهمــا یتبـع التوزیـع الطبیعــي بمتوسـط م

.

Population and Samples المجتمعات والعینات) ١٣-١(

اء . تسجل نتیجة كل تجربة إحصائیة، إما بقیمة رقمیة أو تمثیل وصفى د إلق ال عن ى سبیل المث فعلان دة وإذا ك ا نسجل زھرة نرد مره واح رد فإنن وي للن ى السطح العل ي تظھر عل اط الت دد النق ام بع االھتم

إن . قیمة رقمیة نھم، ف ة لكل م ة االجتماعی ا عن الحال ة م ي ھیئ املین ف ن الع د سؤال مجموعة م ا عن بینمدة ر فائ ن .التمثیل الوصفي یكون أكث ل الوصفي یمك إن التمثی ذلك ف ة ل القیم الرقمی تم اإلحصائي ب عادة یھ

ان أو مشاھدة . لھ إلى قیم عددیةتحوی ة إحصائیة تسمى بی ن نتیجة تجرب ي تسجل م اس(القیمة الت ) . مقیدد ھ ع عندما یقوم باحث بتصنیف العاملین في شركة ما حسب الحالة االجتماعیة، في ھذه الحالة یكون لدی

ي تظھر بینما عند إلقاء زھرة نرد عدد النھائي من المرات وتسجیل. محدود من المشاھدات عدد النقط التكل المشاھدات تحت الدراسة، سواء كانت محدودة أو . في كل مرة فإننا نحصل على فئة النھائیة من القیم

ى مشاھدات population٠غیر محدودة، تسمى مجتمع في السنوات الماضیة كانت كلمة مجتمع تشیر إلى مشاھدات أما اآلن فإن اإلحصائي یس. من دراسات إحصائیة تشمل أشخاص ة لتشیر إل ذه الكلم تخدم ھ

.الخ ….عن أي شيء موضع اھتمامھ سواء مجموعة من األشخاص، حیوانات، نباتات

.یتكون المجتمع من كل األشیاء التي نھتم بھا :تعریف

الرمز ع ب م المجتم ع وعادة یرمز لحج م المجتم ي Nعدد المشاھدات في المجتمع تسمى حج ، وفو ع محدودھذه الحالة نق د تصنیف . ل أن المجتم ال عن ى سبیل المث ا حسب 500فعل ي شركة م شخصا ف

ھ ع محدود وحجم ول أن المجتم ا نق ة، فإنن دخل السنوي N=500٠الحالة االجتماعی األطوال واألوزان والم محدود. لمجموعة من األشخاص أمثلة لمجتمعات محدودة ى للمشاھدات رق دد الكل ي . في كل حالة الع ف

ض ا ي دم بع رى ف ي تس اء الت دم البیض رات ال ع ك ل مجتم دود، مث ر مح ع غی م المجتم ون حج ان یك ألحیى المستقبل . إنسان ن الماضي إل وم م أیضا المشاھدات التي نحصل علیھا من قیاس الضغط الجوى كل ی

. تمثل مجتمع غیر محدودر العشوائي یم المتغی ن ق ة م ل قیم ع تمث ي المجتم بی. Xكل مشاھدة ف ى س اء عل د إلق ال عن ل المث

رد كل مرة، أي أن X زھرة نرد عدد النھائي من المرات وإذا كان ى الن ي تظھر عل نقط الت دد ال ل ع یمثx=1,2,3,4,5,6 فإن كل مشاھدة في المجتمع تمثل قیمة من قیم المتغــیر العشوائـي ،X .

.معالمالقیم العددیة التي توصف المجتمع تسمى :تعریفن المستحیل أو ن عادة یكون م ع، ولك یھتم الباحث بالوصول إلى استنتاجات تخص معالم المجتم

یم .غیر عملي مالحظة كل قیم الفئة الممثلة للمجتمع ن ق ة م ة جزئی ى فئ اد عل ن االعتم د م ك الب ى ذل وعلى نظ ذنا إل ذا یأخ الم، وھ ى استدالالت عن المع ةالمجتمع لتساعدنا في الوصول إل ة المعاین theory ofری

sampling . . ھي فئة جزئیة من المجتمع sampleالعینة :تعریف

ة سوف .حتى یكون االستدالل صحیح البد من فھم العالقة بین المجتمع والعینة د أن العین ن المؤك م . random sampleأي عینة عشوائیة unbiasedتمثل المجتمع لذلك البد أن تكون غیر متحیزة

ن مشاھدات nھي عینة تختار بحیث أن كل فئة جزئیة حجمھا nالعینة العشوائیة من الحجم :تعریف م .المجتمع لھا نفس االحتمال في االختیار

١٠٠

Statisticsal Inference االستدالل االحصائى) ١٤-١(

ر تدالل یعتب ائي االس رع statistical inference اإلحص ي ف م ف اء عل تم اإلحص رق یھ بطات من علیھا الحصول یتم معلومات على باالعتماد وذلك المجتمع بشان التعمیم أو االستدالل ارة عین مخت

ن ع م ك . المجتم تداللب وذل ن االس الم ع ات مع ة مجتمع ل مجھول ط مث بة ، المتوس راف ، النس االنح . المعیاري

م رع ینقس تدالل ف ائي االس ى اإلحص رعین إل ین ف دیر: أساس ارات estimation التق واختبة. tests of hypotheses الفروض ة األمثل رق توضح التالی ین الف رعین ب وم. الف اج مصنع یق بإنت

ة قضبانا إذا ، حدیدی رت ف ة اختی وائیة عین ھ عش ن مكون یب 200 م ن قض اج م ذا إنت نع ھ ت المص وقیسي القضیب طول متوسط حساب وتم أطوالھا ة ف ذا. العین ن المتوسط ھ دیر یستخدم أن یمك ة لتق المعلمة ع الحقیقی ذه. μ للمجتم كلة ھ ي المش ى تنتم رع إل دیر ف ان إذا اآلن. التق ا ك م أن معروف ان جس اإلنس

ات 800 إلى المتوسط في یومیا یحتاج البالغ ن مللیجرام وم لكي الكالسیوم م ھ یق ر بوظائف ام خی د. قی یعتقاء ة علم راد أن التغذی دخل ذوى األف نخفض ال تطیعون ال الم ق یس ذا تحقی ط ھ ار. المتوس ك الختب ذل

رت ة اختی وائیة عین ن عش ا 50 م ا شخص ن بالغ ین م دخل ذوى ب نخفض ال م الم اب وت ط حس ا متوس م الوصول نحاول ذلك من بدال ولكن معلمة تقدیر نحاول لم المثال ھذا في. یومیا الكالسیوم من یتناولونھ

. التغذیة علماء وضعھ الذي الفرض عن صحیح قرار إلى

یكن Xبفرض ان ھناك ظاھرة الى ول ع احتم ھ توزی ون ل فإن مفرداتھا تكون مجتمعا یك f x; ض االستدالل .او على عدة معالم تعتمد على المعلمة ى عمل بع ة ونرغب ف الم تكون مجھول ذه المع ھتكن من اجل ذلك نختار .االحصائى حولھا عینة عشوائیة بسیطة ول 1 2 nX ,X ,...,X ات ن بیان م

:وعادة یتم تنظیم وتصنیف بیانات العینة وحساب بعض المقاییس منھا ، المجتمع

:الوسط الحسابىn

ii 1

XX .

n

:وتباین العینة n

i2 i 1

(X X)S .

n 1

عبارة Tاى ان االحصاء Statisticsالمقاییس التى تحسب من بیانات العینة تسمى احصاءات : عن دالة فى بیانات العینة اى ان

1 2 nT X X ,X ,...,X .

١٠١

وھو فى حد ذاتھ ال یعتمد على معالم التوزیع وھو متغیر عشوائى النھ یتغیر مع تغیر العینة العشوائیة ولذا ع االحصاء ة وتوزی ع Tفإنھ لھ توزیع احتمالى یسمى توزیع المعاین الم التوزی ى مع د عل یعتم f x; .

دنا على سوف نعتمد ذى نستخدمھ لیم ة لالحصاء ال ع المعاین ا توزی ة لدرجة سبمقی ي الثق رار ف ذي الق الذه ائى نتخ تدالل الحص ص االس كلة تخ ى اى مش ارات .ف دیر واختب ى التق ائى ال تدالل االحص م االس ینقس

.الفروض

التقدیر) ١-١٤-١(

ع معلمة تقدیر یتم ا المجتم دیر إم دیر أو point estimate بنقطة كتق رة كتق interval بفتestimate .ة النقطة تقدیر ع لمعلم ا مجتم ة ھي م دة قیم ردة( وحی ى. T لإلحصاء θ) مف عل

ة المثال سبیل ن والمحسوبة ، X لإلحصاء x القیم ة م ن عشوائیة عین دیر ھي ، n الحجم م بنقطة تق

xp ، الشكل بنفس. المجتمع لمعلمةn

الحقیقیة للمعلمة بنقطة تقدیر ھي p ي ل والت صفة نسبة تمث

ا ي م ع ف اء . مجتم تخدم اإلحص اد المس دیر إلیج ة تق مى النقط در یس ة أو estimator المق رار دال القdecision function .القرار دالة المثال سبیل فعلى X ، ي ة تكون والت ي دال ة ف ، العشوائیة العین

. مختلفة تقدیرات إلى تؤدى مختلفة عینات. x للمعلمة مقدر ھي

دیر أي رة تق ة بفت و لمعلم رة ھ ى فت a الشكل عل b دان a , b حیث ى تعتم دیر عل التقة ة بنقط وائیة لعین ة عش ارة خاص ن مخت ع م ع المجتم ة موض ا الدراس ى وأیض ع عل ي التوزی العین

ال سبیل على. T لإلحصاء رت إذا المث ة اختی ل عشوائیة عین ي التحصیل درجات تمث ول امتحان ف القبرة على الحصول وتم ما كلیة في لاللتحاق المتقدمین من طالبا لخمسین ي 550 , 500 الفت ع والت أن نتوقي المتوسط درجات الحقیق ا التحصیل ل ان. داخلھ ان القیمت دان سوف 550 و 500 النھائیت ى تعتم علؤدى مختلفة عینات. X العیني التوزیع على وأیضا x المحسوبة العینة متوسط ى ت یم إل ة ق ـ مختلف ل

الي ى وبالت دیرات إل رة تق ة بفت ع لمعلم ض. المجتم ذه بع رات ھ وف الفت وى س ى تحت بعض عل والوى ال اآلخر ى یحت ع. عل ي التوزی ي یساعدنا سوف T لإلحصاء العین ات لكل a , b إیجاد ف العین

ة ث الممكن بة أي أن بحی ة نس ن خاص ذه م رات ھ وف الفت وى س ى تحت ى. عل بیل فعل ال س تم ، المث یة تكرار مع ، الممكنة الفترات كل من 95 .0 تكون بحیث a , b حساب وي سوف ، المعاین ى تحت θ عل

دینا یكون ذلك وعلى. ال ل ار 0.95 احتم ن واحدة الختی ذه م ات ھ ي العین ؤدى والت ى ت رة إل وي فت تحترة ھذه. على ن المحسوبة الفت ة م رة %95 تسمي ، عشوائیة عین ة فت . confidence interval ثق

ع عموما. θ المعلمة على تحتوى المحسوبة فترتنا أن ثقة %95 لدینا یكون آخر بمعنى سوف T توزیي یساعدنا ث a , b حساب ف ن ، α1,1<α<0 خاصة نسبھ ألي یكون بحی رات م المحسوبة الفت

رة )α1(100% تسمى المحسوبة الفترة. المعلمة على تحتوى سوف الممكنة العینات كل من ة فت ثقة ر. θ للمعلم رة تعتب ة فت ول الثق ي ، األط ر ھ ة األكث ي ثق ول ف ى الحص رة عل وي فت ى تحت ة عل المعلم

من معین لنوع العمر متوسط أن ثقة فترة %95 على الحصول األفضل من یكون بالطبع. المجھولة

ینالبطاریات ینحصر ى الحصول عن أسابیع 5 و 8 ب رة %99 عل ة فت العمر متوسط أن ثق . الثقة من عالیة بدرجة قصیرة فترة على الحصول یفضل دائما. أسبوعا 2 و 11 بین ینحصر

١٠٢

الفروض االحصائیة) ٢-١٤-١(

ي ت اذا نعن ة م ا نعرف بدق رارات، أوال، دعن عتبر اختبارات الفروض اإلحصائیة أھم فرع في نظریة الق .بالفرض اإلحصائي

واحد أو أكثر من المجتمعات، من الممكن أن تكون فرض اإلحصائي ھو جملة ما تخص ال : تعریف .صحیحة أو غیر صحیحة

للتأكد من صحة أو عدم صحة الفرض اإلحصائي ال بد من دراسة كل مفردات المجتمع تحت الدراسة بدال من ذلك فإننا نختار عینة عشوائیة من المجتمع ونستخدم . وھذا بالطبع غیر عملي في معظم الحاالت

القرار الذي نتخذه سوف یكون . موجودة في العینة لنتخذ قرار بقبول أو رفض اإلحصائيالمعلومات البینما یكون القرار غیر سلیم إذا كان الفرض . سلیم إذا كان الفرض صحیح وتم قبولھ أو خطأ وتم رفضھ

. صحیح وتم رفضھ أو غیر صحیح وتم قبولھ

ویرمز لفرض . null hypothesesفروض العدم الفروض التي نضعھا على أمل أن نرفضھا تسمى

ویرمز hypothesis alternativeرفض فرض العدم یؤدي إلى قبول فرض بدیل . 0العدم بالرمز أن متوسط الطول في مجتمع ما 0فعلى سبیل المثال إذا كان فرض العدم . 1للفرض البدیل بالرمز

160 )1فإن الفرض البدیل ) مقاسھ بالسنتیمتر 160قد یكون 160أو 160أو .

االحصاء الغیر متحیز) ١٥-١(

ة بنقطة تقدیر ھي القیمة حیث مقدر T أن بفرض ع لمعلم ة مجتم ن. مجھول د م ا المؤك أنندیرھا في نرغب التي المعلمة یساوى متوسطة والذي T لإلحصاء العیني التوزیع إیجاد في نرغب . تق

.unbiased estimator متحیز غیر مقدر یسمي الخاصیة ھذه یحقق مقدر أي

كان إذا للمعلمة متحیز غیر مقدر أنھ T لإلحصاء یقال : تعریف E T .

االحصاء الكافى) ١٦-١(

١٠٣

إذا كانت ): 1 2 nX ,X ,...,X عینة عشوائیة مسحوبة من مجتمع یتبع توزیع احتمالي f x; فإنھ یقال أن اإلحصاء T X إذا و فقط إذا كان التوزیع المشروط إحصاء كافیاللعینة 1 2 nX ,X ,...,X بشرط أو بمعلومیةT t ال یعتمد على و ذلك ألي قیمةt من

:، أي إذا كانTقیم

1 2 nf x t f x ,x ,....,x T t

g x, t;.

h t;

:حیث أن ال یعتمد على- h t; توزیع اإلحصاءT. - 1 2 nf x t f x ,x ,...., x T t التوزیع المشروط للعینةX بشرطt. - g x, t; التوزیع المشترك للعینةX و اإلحصاءT

:التحلیل نظریة إذا كانت): 1 2 nX ,X ,...,X عینة عشوائیة مسحوبة من مجتمع یتبع توزیع احتمالي

f x; وكان مدى تغیرX ال یعتمد علىفإنھ یقال أن اإلحصاء T X إحصاء كافیا :إذا و فقط إذا كان من الممكن تحلیل دالة التوزیع المشتركة للعینة على الصورة

f x; k(t; )N(x). ;k(tو لیست سالبة وال تحتوى على دالة N(x)بحیث ان ) لیست سالبة وتعتمد دالة

tمن خالل الدالة xوعلى العینة على (x) فقط. فتكون Tدالة وحیدة التناظر فى u(T)وكان احصاءا كافیا للمعلمة Tإذا كان :نظریةu(T)ھى االخرى احصاءا كافیا للمعلمة وللدالةu( ).

Exponential Family andالعائلـــة االســـیة واالحصـــاءات الكافیـــة) ١٧-١(

Sufficient Statistics ponential family and Sufficient Statistics:

: كثیر من التوزیعات االحتمالیة ذات المعلمة الواحدة یمكن كتابتھا على الصورة f x; exp a b x c d x .

one parameter exponential familyو التي تسمى العائلة األسیة بمعلمة واحدة

:حیث a دالة في فقط. b x دالة فيx فقط c دالة في فقط.

١٠٤

d x دالة فيx فقط فإذا أمكن كتابة الدالة االحتمالیة أو دالة الكثافة االحتمالیة ألي توزیع احتمالي على الصورة

.السابقة فیقال أن ھذا التوزیع فرد أو عضو في العائلة األسیة ذات المعلمة الواحدةو إذا كانت 1 2 nX ,X ,...,X عینة عشوائیة مختارة من مجتمع توزیعھ االحتمالي عضو

:في العائلة األسیة فإن التوزیع المشترك لھذه العینة ھو

n

ii 1

i i

i i

f x; f x ;

exp na b x c d x

exp na c d x exp b x .

و من نظریة التحلیل نجد أن iT d x إحصاء كافي للمعلمة . Likelihood Functionدالة االمكان ) ١٨-١(

Likelihood function دالة اإلمكن من المعلوم أنھ إذا كانت 1 2 nX ,X ,...,X متغیرات عشوائیة فإن توزیعھا االحتمالي

المشترك یرمز لھ بالرمز 1 2 nf x ,x ,...,x ;. فإنھ یسمى دالة اإلمكان و یرمز لھ بالرمز التوزیع كدالة فيو إذا اعتبر ھذا L L x; .

:أي أن 1 2 nL L x; f x; f x ,x ,...,x ;

و إذا كانت ھذه المتغیرات مستقلة و یتبع كل منھا التوزیع نفسھ، أي إذا كانت 1 2 nX X ,X ,...,X ة مختارة من مجتمع یتبع التوزیع االحتماليعینة عشوائی f x; فإن

: التوزیع المشترك للعینة یكون

n

1 2 n ii 1

f x; f x ,x ,..., x ; f x ;

:تسمى دالة اإلمكان، أي أن و ھي كدالة في

n

ii 1

L L x; f x , .

اى انھ لقیمة معینة 1 2 nx ,x ,...,x 1للمتغیرات 2 nX ,X ,...,X فإن L x; تصبح دالة في .فقط

١٠٥

Efficiencyالكفاءة ) ١٩-١(

توزیــع االحتمــالى Xإذا كــان لــدینا متغیــرا عشــوائیا f x; یعتمــد علــى معلمــة واحــدة ویحقــق بعــض :الشروط التى تسمى شروط االنتظام فإن

2

x 2

d ln f (x; )I ( ) I ( ) E .d

كمــا انــه اذا كــان لــدینا . حــول xتســمى معلومــات فیشــر وتمثــل كمیــة المعلومــات التــى تعطیهــا القــراءة 1عینــــة عشــــوائیة 2 nX X ,X ,...,X تـــــوزیعهم المشــــترك هــــو f x; یعتمـــــد علــــى معلمــــة واحـــــدة

:ویحقق بعض الشروط التى تسمى شروط االنتظام فإن

2

x n 2

d ln LI ( ) I ( ) E .d

1تسمى تمثل كمیة المعلومات التى تعطیها المشاهدات 2 nx x ,x ,..., x حول . كما ان: x n xI ( ) I ( ) nI ( ) nI ( ).

ف ان إذا : تعری 1 ك 2T , T دران ر مق زان غی ة متحی ع لمعلم ا مجتم ار فإنن در نخت ذي المق ھ ال توزیع كان إذا ذلك وعلى. تباین أقل لھ االحتمالي

T T1 2

2 2 ، 1 أن نقول فإنناT 2 من كفاءة أكثر مقدراT .

األكثر بالمقدر تباین أقل لھ الذي المقدر یسمي. لمعلمة متحیزة الغیر المقدرات كل اعتبر : تعریف . للمعلمة more efficient كفاءة

:تحسب كالتالى 2Tبالنسبة للمقدر1Tالكفاءة النسبیة للمقدر 1

2

Var(T )ef .Var(T )

1إذا كانــت 2 nX X ,X ,...,X عینــة عشــوائیة مختــارة مــن توزیــع احتمــالى f x; وكــان*T (x)

:احصاء یتوفر فیه الصفات التالیة

١٠٦

)uمقدر غیر متحیز للمعلمة ) ا( ). )uله اقل تباین من بین المقدرات الغیر متحیزة للمعلمة ) ب( ).

) Minimum Variance Unbiase Estimator )MVUEمقـــدرا غیـــر متحیـــز باقـــل تبـــاین T*فیقـــال ان :وعندئذن فإن

2x

2

1 1Var(T) = .d ln L) nI ( )E

d

یعتمد علي عدة معالم ، أي إذا كانت Xللمتغیر بصورة عامة إذا كان التوزیع اإلحتمالي متجه من المعالم بمعنى أن 1 2 k, ,..., وللحصول على معلومات فیشر یتم

)xIحساب المصفوفة ) I ( ) حیث العنصر فى الصفi والعمودj هو:

2

iji j

ln f x;I( ) E ,i, j 1,2,...k.

1وكمیة المعلومات التى تعطیها المشاهدات 2 nx x ,x ,..., x حول هى:

x n xI ( ) I ( ) nI ( ) nI ( ) ة 1كانــت ) Rao-Blackwellراووبالكویــل ( :نظری 2 nX X ,X ,...,X عینـة عشــوائیة مختــارة مــن توزیــع

احتمالى f x; وكانS (x) احصـاء كـافى وكـانT (x) مقـدر غیـر متحیـز للمعلمـةu( )

ذا كان :وا*T E(T | S) فإن:

.Sیكون احصاء ودالة فى االحصاء الكافى T*) ا()uمقدر غیر متحیز للمعلمة T*) ب( ). Var(T*) ج( ) Var(T) لكــل قــیم كمــا ان ،*Var(T ) Var(T) لــبعض قــیم اال إذا كــان*T

.باحتمال واحد Tیساوى Error -Square –Meanمتوسط مربع الخطا) ٢٠-١(

یعتبر متوسط مربع الخطأ مقیاس لجودة المقدر 1 2 nT x ,x ,...,x لدالة في المعلمة أي u .

١٠٧

لیكنتر : تعریف 1 2 nT X ,X ,...,X مقدر لدالة في معلمة u فإن 2E T u

غیر متحیز للدالة Tإذا كان المقدر. Tھو متوسط مربع لخطأ للمقدر u .Tتباین یصبح Tفإن متوسط مربع الخطأ للمقدر االحصاءات الترتیبیة) ٢١-١(

اإلحصاءات الترتیبیة ھي عناصر عینھ عشوائیة مرتبھ من األصغر إلى األكبر، ولقد زادت أھمیتھا في

وقد اكتسبت شھرتھا نتیجة الستخدامھا في . السنوات األخیرة نتیجة لزیادة استخدام االستدالل الالمعلمي .أخرى الحصول على أفضل إحصاء بسیط مثل وسیط العینة ومدى العینة إلى جانب أمور

: تعریف

1إذا كانت 2 nX ,X , ,X عناصر عینة عشوائیة من الحجمn مختارة من توزیع احتمالي متصل ولھfدالة كثافة احتمالیة (x) فإن المتغیرات العشوائیة:

1 2 nY Y ... Y , : تسمى اإلحصاءات الترتیبیة لتلك العینة حیث

1 1 2 n

2 1 2 n

n 1 2 n

Y Smallest of X ,X ,...,X ,Y Second of X ,X ,...,X ,

Y Largest of X ,X ,...,X ,

r(rعموما 1,2, ,n) Y یسمى اإلحصاء الترتیبي من الرتبةr 1للعینة العشوائیة 2 nX ,X , ,X

1إذا كانت :نظریة 2 nX X ,X ,...,X عینة عشوائیة مختارة من توزیع احتمالى f x; دالة فإن1كثافة االحتمال المشتركة لإلحصاءات الترتیبیة 2 nY Y ... Y تعطى كالتالي:

1 2 n 1 2 n1 2 n

n!f (y )f (y )...f (y ) , a y y ... y b,g(y ,y ,..., y )

0 , (elsewhere) e.w.

b حیث ,a .

ة ت إذا :نظری 1كان 2 nX ,X , ,X ر ة عناص وائیة عین ن عش م م حوبة nالحج ن مس ع م توزیfاحتمالیة كثافة دالة ولھ متصل احتمالي (x)

وائیة رات العش ت المتغی 1 وكان 2 nY Y ... Y ة ك العین ة لتل اءات الترتیبی ل اإلحص . تمث

:اإلحصاء األكبر ولھ دالة كثافة االحتمال الھامشیة nYعندھا فإن

١٠٨

n 1n n n

n nn f (y ) F(y ) , a y b,g (y )0 , e.w.

ت :نظریة 1إذا كان 2 nX ,X , ,X م ة عشوائیة من الحج ع nعناصر عین حوبة من توزی مسfاحتمالي متصل ولھ دالة كثافة احتمالیة (x) وكانت المتغیرات العشوائیة

1 2 nY Y ... Y إن. اإلحصاءات الترتیبیة لتلك العینة دھا ف ھ 1Yعن اإلحصاء األصغر ول :دالة كثافة االحتمال الھامشیة

n 11 1 1

1 1n f (y ) 1 F(y ) , a y b,g (y )0 , e.w.

ت :نظریة 1إذا كان 2 nX ,X , ,X م ة عشوائیة من الحج ع nعناصر عین حوبة من توزی مسة ة احتمالی ة كثاف ھ دال ل ول الى متص fاحتم (x) وائیة رات العش ت المتغی وكان

1 2 nY Y ... Y ة ك العین ة لتل اءات الترتیبی اء. اإلحص إن أي إحص دھا ف عنr(r 1,2, ,n) Y لھ دالة كثافة االحتمال الھامشیة:

r 1 n rr r r r

r r

n! f (y ) F(y ) 1 F(y ) , a y b,(r 1)!(n r)!g (y )0 , e.w.

LifeTestingاختبارالحیاه) ٢٢- ١(

ھ ا عرف اة كم دد Zelen (1959)إن اختبار الحی ة للمجتمع ھو وضع ع من القطع الممثلموضع الدراسة أو أجزاء منھا تحت فئة معطاة من ظروف التشغیل مع مالحظة عدد ساعات

ل قطعة ات المالحظة عاده . األداء المرضي لك إن البیان ة ف ة القطع اإللكترونی ي حال ثال ف مأدائھا غیر سوف تمثل زمن الفشل ، حیث یتم تعریف الفشل ھنا بأن حالة القطعة عندما یكون

دوران ( أیضا في حالة اختبار اإلجھاد مثل اختبارات الكرات الحاملة . مرضي اط ال ) في نقا فإن البیانات المسجلة في ھذه الحالة ھي عدد الدورات حتى الوصول إلى الفشل، والفشل ھن

.ھو العطل في األداء لھذه الكرات ول ع م الحص اة ت ار الحی ر الختب ف آخ اك تعری ن ھن ھ م ھ AL-Braheem (1990) لی بأن

ات ت كائن االختبار الذي تعرض فیھ مجموعة من المفردات الممثلة لمجتمع معین ، سواء كانھ ات تجارب ( حی ى أو حیوان اد ) مجموعة من المرض زة ( أو جم اء أو أجھ مصابیح كھرب

١٠٩

ي ال) إلكترونیة ا ف ة المعرضة لھ اة ، مع لضغوط وظروف بیئیة مماثلة للظروف الطبیعی حی .مالحظة أزمنة الفشل للمفردات تحت الدراسة

اة زمن الحی ا یسمى ب ل اإلحصائي لم اء life timeإن التحلی ات البق survivalأو بیانdata أو بیانات زمن الفشلfailure time ر من المجاالت ي كثی رى ف ة كب ل أھمی قد احت

ام یكون خصوصا في مجاالت العلوم الطبیة والھندسة ، ففي إن االھتم ي ف مجال العالج الطبفي المقارنة بین معالجتین أو أكثر من ناحیة أفضلیتھم على إبقاء المریض في حالة جیدة بینما ر ة العم اج أي إطال ودة اإلنت ین ج ي تحس ون ف ام یك إن االھتم یة ف االت الھندس ي المج ف

. االفتراضي للوحدات د وھو زمن ر واح ات بتعبی ن البیان في اختبار الحیاة عادة ما یشار إلى األنواع المختلفة م

ع تحت الدراسة life timeالحیاة ة لمجتم ردة تابع ا لمف دث م دما . وھو زمن تحقق ح عنر و العم اة یكون ھ إن زمن الحی ردات ف اة المف یكون الحدث الذي في موضع الدراسة ھو وفت خیص أو من وق ت التش اس من وق ذي یق اء وال ن البق الحقیقي للمفردة ، أو ربما یكون زم

أما من الناحیة الریاضیة فإن زمن الحیاة ) . الصفر ولیس من نقطة ( تلقي العالج حتى الوفاة . Lawless 1982)(ھو متغیر عشوائي غیر سالب

Censoring Sampleالعینة المراقبة ) ٢٣-١(

ذه الصورة إن بیانات العمر غالبا ما تأتي بصوره تخلق مشاكل خاصة في تحلیل البیانات وھ

دث ات وتح ھ بالضبط لجزء من تعرف بأنھا انقطاع البیان اة معروف ھ الحی دما تكون أزمن عن، أما باقي أزمنھ الحیاة فكل المعروف عنھا أنھا خارج قیمھ معینھ. المفردات تحت الدراسة

ة ة المراقب اد العین ة اعتم ذه الحال ي ھ ل ف ذى یفض ة . ل ة بالعین ذه الحال ي ھ ة ف مى العین و تسع ل فشل جمی الیف المراقبة ، إن توقف االختبار قب ض تك ا خف رة منھ د كثی ھ فوائ ردات ل المف

د ت والجھ وفیر الوق ار وت ل . االختب الم مث دیر المع و تق اة ھ ارات الحی ي الختب دف األساس الھد . متوسط الحیاة للتوزیع تحت الدراسة فإن اختبار أي نوع من أنواع المراقبة یعتم و عموما

:على الوقت المستغرق للحصول على العینة ،-١یمكن الت -٢ م ف كالیف الالزمة للحصول على العینة المطلوبة ، فإذا كان توفیر الوقت ھو االھ

وع األول ن الن ة م ة مراقب ایقاف التجربة بعد زمن محدد ثابت و تكون العینة الناتجة ھي عینType I Censoring ة اف التجرب یمكن إیق ة ف ر أھمی ، أما إذا كان توفیر التكالیف ھو األكث

د الحصول ن بع ة م ة مراقب ة الناتجة ھي عین اھدات و تكون العین ین من المش دد مع ى ع عل . Type II Censoringالنوع الثاني

العینة المراقبة المفردة ذات المرحلة الواحدة ) ١-٢٣- ١(

١١٠

:یقسم ھذا النوع من المراقبة إلى نوعین

:Type I Censoringعینة مراقبة من النوع األول ) ا(ردة Tفي ھذا النوع یجري اختبار الحیاة في فترة زمنیة محددة حیث أن زمن الحیاة لمف

من ( rفي ھذه الحالة عدد المشاھدات. Tما قد یكون معروف بالضبط فقط إذا كان اقل من تعتبر متغیرا عشوائیا ومجموعة المشاھدات Tالتي تم تسجیلھا حتى الزمن ) nعینة حجمھا

ة التي تم ھ دال ع ل حوبة من توزی وع األول المس ن الن ة م ة المراقب ل العین ا تمث الحصول علیھ :ودالة اإلمكان تأخذ الصیغة اآلتیة ، F(x)ودالة التوزیع f(x)كثافة االحتمال

r

n ri

i=1

n!L( ;x ) 1 F(T) f(x ; ) ,n r !

1 2 n nx x , x ,..., x , y T,r 1,2,...,n. وبنفس الشكل یمكن تعریف المراقبة من ، ویسمى ھذا النوع من المراقبة بالمراقبة من الیمین

ة Tالیسار عند ردات معروف دد من المف ة الفشل لع یم بالضبط ألزمن دما تكون الق ك عن وذل . nوذلك من عینة من الحجم ، Tولكنھا أكبر من أو تساوي

:لى الصورة التالیة وفي ھذه الحالة فإن دالة اإلمكان تكون ع

r

n ri

i=1

n!L( ;x ) F(T) f(x ; ) .n r !

ادرة رى ن ة الیس ین أن المراقب ي ح اة ف ات الحی ي بیان تخدام ف ائعة االس ى ش ة الیمن والمراقب

.االستخدام :Sample Type II Censoringعینة مراقبة من النوع الثاني ) ب(

م دات ذات الحج ي نفس nبفرض أن عینة عشوائیة من الوح ار ف وضعت تحت االختبفي ھذه الحالة عدد المشاھدات . من المشاھدات rالوقت وتم إنھاء التجربة بعد الحصول على

( r < n ) ر عشوائي ة ذات الحجم ، تعتبر ثابت ولكن زمن إنھاء التجربة یكون متغی nالعینذه . علیھا تعرف بالعینة المراقبة من النوع الثانيالتي تم الحصول ي ھ ر ف ان األكب ة اإلمك دال

:الحالة تأخذ الصیغة اآلتیة

r

n rr i 1 2 r

i=1

n!L( ; y ) 1 F(y ) f(y , ) , y y y ... yn r !

ل د فش اھدات بع ب المش ار نراق ن الیس ة م ت المراقب اھدات (n-r)إذا كان ن المش ة ، م ودال : التالیة اإلمكان األكبر تأخذ الصیغة

r

n rr i

i=1

n!L( ; y ) F(y ) f(y ; ) .n r !

١١١

العینة المراقبة المزدوجة ذات المرحلة الواحدة ) ٢- ٢٣- ١(

ة اھدات القلیل ة والمش ى القلیل اھدات األول ن المش ل ولك ع كام ن مجتم ة م ذ عین دما نأخ عن

. double censoredاألخیرة غیر معلومة فان أزمنة الحیاة الغیر كاملة من الجانبین تسمى .وھناك نوعین للعینات المراقبة ذات الجانبین

العینة المراقبة من النوع األول) ا(1في ھذا النوع فان المراقبة تحدث عند أزمنة ثابتة 2T , T 1حیث 2T < T 1حیثm من

ل م ا اق اھدات عمرھ ن 2mو 1Tن المش ر م ا اكب 1و 2mو 2T ،1mعمرھ 2n - m - m :دالة اإلمكان تأخذ الصیغة التالیة . متغیرات عشوائیة

21 2

1

n mm m

m 1 2i m 1

L( ,x ) [ f(x )] (P(X T )) (P(X T )) .

العینة المراقبة من النوع الثاني) ب( دة 1mفي ھذا النوع من المراقبة تراقب المشاھدات بعد فشل من المشاھدات حتى فشل الوح

2nرقم m . دالة اإلمكان تكون على الصورة التالیة: 2

1 2

1 2

1

n mm m

i m (n m )i m 1

L(x, ) [ f(x )] [P(X x )] [1-P(X x )] .

nعندما رده ، النوعین من المراقبة یتكافئان ة المف ات المراقب أیضا النتائج في العین1mیمكن الحصول علیھا كحالة خاصة من العینات المراقبة المزدوجة وذلك بوضع 0 أو

2m 0 . Progressively Censoredالعینة المراقبة المتتابعة) ٣- ٢٣- ١(

ة د مراحل مختلف لھا عن ل فش نحصل على العینة المتتابعة عند سحب بعض وحدات العینة قب

اني . من التجربة وع الث ة . تقسم العینةالمتتابعة إلى عینة من النوع األول أو عینة من الن العینا وع األول طبقھ ن الن ة م وف Cohen(1963)المراقب ي ، س ع األس رض التوزی ت ف تح

Progressively Type IIا عن العینة المراقبة المتتابعة من النوع الثاني یقتصر الحدیث ھنCensored sample ل ي الفص تخدامھا ف وف نس ي س ة و الت واع المراقب م أن ا أھ لكونھ

:تعتمد فكرة العینة المراقبة المتتابعة من النوع الثاني كالتالي . الخامس .ار أنیا من الوحدات في تجربة تحت االختب nتوضع -دات 1Rفإن 1xعند تسجیل زمن الفشل األول - من الوح من الوحدات یتم سحبھا عشوائیا

nالمتبقیة ذات الحجم 1 .

١١٢

دات 2Rفإن 2xعند تسجیل زمن الفشل الثاني - من الوح من الوحدات یتم سحبھا عشوائیاالمتبقیة ذات الحجم 1n 2 R .

وعندھا فإن mxوھي m تستمر التجربة على ھذا المنوال حتى یتم تسجیل زمن الفشل رقم -دات المتب ددھا یصبح الوح ي ع ة و الت ي التجرب ة ف قی 1 2 m 1n m R R ... R تم ی

.سحبھا من التجربة الرمز - ا ب ز لمفردتھ 1العینة الناتجة سوف یرم 2 mx x ,x ,..., x ة ة ذات المراقب و ھي العین

م اني ذات الحج وع الث ن الن ة م ة mالمتتابع ام المراقب ة بنظ و المرتبط 1 2 mR ,R ,...,R و . nالمختارة من عینة عشوائیة من الحجم

:ومن الواضح أن نظام المراقبة المتتابعة من النوع الثاني یمكن أن یؤول إلى :نظام مراقبة من النوع الثاني في حالة -١

1 2 m 1 mR R ... R 0,R n m, :في حالة complete sample) العینة الكاملة ( النظام الخالي من المراقبة -٢

1 2 m 1 mR R ... R R 0 .

العینة المبتورة ) ٤٢- ١(

ع ي المجتم ة ف . بفرض أننا غیر قادرین للحصول على مشاھدات فوق أو تحت نقاط معینرط أن ق الش ث تحق ع بحی ة للبی دات معروض ت وح ال إذا كان بیل المث ى س دث عل ذا یح وھ

.عمرھا اكبر من زمن ما وفى ھذه الحالة تسمى العینات المبتورة

١١٣

الفصل الثانى

االحتمالیةبعض التوزیعات

١١٤

DDiissttrriibbuuttiioonnTThhee EExxppoonneennttiiaallالتوزيع األسي التوزيع األسي ) ) ١١--٢٢((

عائلة التوزيعات اآلسية مناذج احتماليه مفيـدة يف جمـال اهلندسـة والعلـوم حيـث يصـف كثـري مـن الظـواهر تعطي مثــل أعمــار بعــض الســلع الكهربائيــة، الوقــت الــالزم حــىت تتعطــل بعــض األنظمــة الكهربائيــة، وقــت االنتظــار لوقــوع

. حادثة ما

دالة كثافة االحتمال) ١-١-٢(

: أنه يتبع التوزيع األسى إذا كانت دالة كثافته االحتمالية على الشكل Xيقال للمتغري العشوائي

x1f (x; ) e ,x 0

0 e.w.(elsewhere)

1حيث x eبينما يستخدم بعض املؤلفني الصورة .سوف نكتبX Exp( ) للداللـة علـى .متغريا عشوائيا يتبع التوزيع األسى مبعلمة Xأن

دالة التوزيع ) ٢-١-٢(

1مبعلمة التوزيع التجميعي للتوزيع األسى دالة هي: x

t

0xt x

x

0

F(x) e dt.

e (e 1) 1 e .1

:أي أن

x1 e x 0

F(x )0 e.w .

Momentsالعزوم ) ٣-١-٢(

tX tx xX

0

tx(1 )

0

M (t) E(e ) e e dx

e dx

١١٥

tx(1 )

0

e

t(1 )

0 1 1 .t t(1 ) (1 )

1X

t M (t) (1 ) .

:ومنها ميكننا حساب املتوسط والتباين كما يلي2

X X

2

d 1 tM (t) M (t) (1 ) ( 1)dt

1 t(1 ) .

2X

then :1 0E(X) M (0) (1 )

1 ,

23

X X2 2

2X 2

d 2 tM (t) M (t) (1 ) ,dt

2E(X ) M (0) ,

22X 2 2 2 2

2 1 2 1 1 .

:حول الصفر هو rالعزم وباملثل جند أن

(r)r r

r!M (0) .

:التالية من الصيغة وميكن حسابه أيضا r r x

r0

E(X ) x e dx,

:إلكمال التكامل يستخدم التعويض التايلylet x y dx dy x .

١١٦

r r y

0

y dyE(X ) ( ) e

r yr

0

r 1 1 yr

0

r r

1 y e dy

1 y e dy

(r 1) r! .

:، وعلى ذلكالدالة املولدة للعزوم اليت حصلنا عليها باستخدامنفس النتيجة وهي

1 2 3 42 3 4

1 2 6 24, , , .

3

3 3 2

3 2 3

3

3 26 3 2 2

2 ,

2 44 4 3

4 3 2 2 4

4

4 6 324 4 6 6 2 3

9 .

:من القانون كالتايل 4ومعامل التفلطح 3وعلى ذلك ميكن إجياد معامل االلتواء

2

3 43 43 2 2

2

, .

2

3 23

3 3 23 2

24

4 4 222

2 1 2,

9 1 9.

Percentilesالمئينات ) ٤-١-٢(

: ميكن حسابه من املعادلة 100pمن الرتبة امليئن

١١٧

p

p

p

p

p p

x

x

x

x

p

p

P(X x ) p F(x )

1 e

1 e p

e p 1

e 1 px ln(1 p)

1x ln(1 p).

بعض االحصاءات الترتيبية ) ٥-١-٢(

)١-٢(مثال

n21إذا كانت X,...,X ,X متغیرات عشوائیة تتبع التوزیع األسيii

1, ,i 1,2,...n

X , ... ,Xmin[Y[أثبت أن n1l یتبع التوزیع األسي وأوجد 1YE . هل X,....,X,XmaxY n21n

یتبع التوزیع األسي ؟

:الحــل

:أذن iیتبع التوزیع االسي بمعلمة iX بماأنi

iy

X if (y) e , y 0,

i i

i

y yx x

X i 00

F (y) e dx e

iy1 e . :بما أن

1 i

1

n

Y Xi 1

F (y) 1 1 F (y)

i

ny

i 1

1 1 (1 e )

١١٨

n

ii i 1

yn y

i 11 e 1 e .

:یتبع التوزیع االسي حیث 1Yأي أن

n

ii 1

1

yn

Y ii 1

f y e ,

1 1n n

i ii 1 i 1

1 1Y ~ Exp ,E(Y ) .

i

n i

n ny

Y Xi 1 i 1

F (y) F y (1 e )

i

n

ny

Yi 1

df y 1 edy

jinn yy

jj 1 i j

1 e e .

.الیتبع التوزیع األسي nYأى أن

Xi ~ Exp یث تكون متغیرات متطابقة حوعندما 1

:فان

ji

n

nyy

Y jj 1 i j

f y 1 e e

y1nyn

1jee1

n 1- y yn e 1 e .

حساب االحتماالت ) ٦-١-٢(

)٢-٢(مثال بــني وصــول الســيارات إىل موقــف خــالل الــذروة ) الــدقائقمقــاس ب(ميثــل الــزمن ا عشــوائيا متغــري Xإذا كــان

حيث X Exp ، أوجد P 1 X 2 1 و ، 6 .

١١٩

:الحــل

2

6x

126x 6 12

1

P 1 X 2 6e dx

e e e 0.0025.

بــني وقــوع حالــة فشـل يف جــزء مــن حاســب آيل ) مقــاس بالسـاعات(إذا كــان الــزمن )٣-٢(مثـال يتبع التوزيع األسي حيث X Exp 36 أوجد P X 48.

:الحــل

48 x

36

0

48x36

0

1P X 48 1 e dx36

36e

136

118036

43

1 e e

e 0.262.

)٤-٢(مثال 0.5 تتبـع توزيـع بواسـون حيـث ساعة 24املكاملات املستقبلة على لوحة السويتش خاللبفرض أن

0.5لكــل يــوم وعلــى ذلــك الــزمن باأليــام بــني حــدوث مكاملــات يتبــع التوزيــع األســي مبعلمــه وعلــى ذلــكأوجد P X 2.

:الحــل

0.5 2

P X 2 1 P X 2

e 0.368.

١٢٠

المبتورالتوزيع األسي ) ٧-١-٢( و قد مت عليها برت مزدوج تكون دالة كثافة االحتمال هلا على الشكل هلا التوزيع اآلسي باملعلمة Xإذا كانت

:التايل

2 2

1 1

2 1 2

1

1 2

1 21 2

x

t t x

t t

x x

t t tx

t

x t t

f (x)f (x | t x t )P(t x t )

1 ef(x; ) =1f(x) dx e dx

1 1e e =

e ee

1 = e (e e

1

1 2 1 2

)

, > 0 , 0 <t t ; t x t .

:عليها كالتاىل يتم احلصول ايضا الدالة املميزة

١٢١

2

1

21 2

1

2

1 21

1 2 2 1

titX itx

xt

tt t x (1 it )1

t

tx (1 it )

t tt1

t t t t (1 it ) (1 it1

(t) E(e ) e f (x; ) dx

1 = (e e ) e dx

e1 = (e e ) (1 it )

1 = (e e ) (e e(1 it )

1 2

1 2

)

t t (1 it ) (1 it )

t t

)

e e = . (1 it )(e e )

.Xللمتغري mالعزوم الالمركزية من الرتبة سوف يتم االستفادة من دالة جاما الناقصة التالية ىف احلصول علىm y

ajm

a

j 0

(m 1,a) y e dy

a = (m 1)e , m = 0,1,2, ...

j!

:عليها كالتاىل يتم احلصول Xللمتغري mالعزوم الالمركزية من الرتبة

١٢٢

2

1

2

1 2

1

21 2

1

t` m mm

t

x

tm

t tt

tt t x1 m

t

E(X ) x f (x; ) dx.

1 e = x dx

(e e )

1 = (e e ) x e dx.

x w x w dx dw.

2

1 2

1

2

1 21

1 2

1 21 2

tt t

` 1 m m wm

t

tm

m wt t

t

m1 1

t t

t tif x = t w = , if x = t w .

1= (e e ) w e dw

= w e dw(e e )

t t = [ (m 1, ) (m 1, )](e e )

1 2

1 2

1 2

1 2

j j1 2t tm m m

t tj 0 j 0

t tm mj j1 2

t tj 0

t t( ) ( ) = [ (m 1)e (m 1)e ]

j! j!(e e )t t(m 1) 1 = [e ( ) e ( ) ].

j!(e e )

من العزوم الالمركزية Xميكن حساب الوسط احلساىب والتباين للمتغري

١٢٣

بمعلمتينالتوزيع األسي ) ٨-١-٢( يفرتض ان زمن الفشـل يبـدا عنـد الصـفر ، ولكـن ىف بعـض احلـاالت يفـرتض ىف التوزيع االسى مبعلمة واحدة

الـذى دالـة كثافتـه ىف هـذه احلالـة يسـتخدم التوزيـع االسـى مبعلمتـني و ان زمن الفشل يبدا عند زمن معـني ولـيكن :االحتمالية تاخذ الشكل التاىل

1 xf (x; , ) exp , x ,

0 , e.w.

:Standard Exponential Distributionالتوزيع األسي القياسي ) ٩-١-٢(

: للتوزيع األسي بالتحويلة ميكن احلصول على الصورة القياسيةy dylet x y x , dx .

x 0 , 0 y 0.

y( )

y

then :

1g(y) e

e , y 00 e.w.

:المحاكاه

قتین لتولید بیانات تتبع التوزیع االسى القیاسى ویمكن استخدامھا الى توزیع كما سنشاھد یسوف نشرح طر :بعد ذلك

:الطريقة االوىل :تعتمد هذه الطریقة على النظریة التالیة

:نظریة

١٢٤

:أي أن (1 ,0) متغیرا عشوائیا یتبع التوزیع المنتظم في الفترة Y لیكن Y ~ UNIF(0, 1 ) لـتكن ،F(x) لهـا الخصـائص لدالـة التوزیـع التجمیعـي مـن النـوع المتصـل , bحیـث a < x < bمتزایـدة بإضـطراد مـن الفتـرة F (x)، وبفـرض أن F(b) = 1 , F(a) = 0حیـث

a مـن الممكـن أن یكونـان, وعلـي ذلـك المتغیـر العشـوائي . علـي التـواليX 1 حیـثX F (Y) . F (x)هو متغیر عشوائي من النوع المتصل بدالة توزیع تجمیعي

)٥ -٢( مثال یتبــع التوزیــع األســي Xأوجــد التحویلــة التــي تجعــل (0,1)یتبــع التوزیــع المنــتظم فــي الفتــرة Yإذا كــان ؟ بمعلمیة

:الحــل

:هي Xدالة التوزیع التجمیعي للمتغیر

xX

0 , x 0F x

1 e , x 0.

:وعلى ذلك بوضع

X

Y 1 e .

: فإن

X ln 1 Y . .یتبع التوزیع األسي بمعلمة Xحیث

1بفـــرض أن ونریـــد تولیــــد عینـــة عشــــوائیة مـــن الحجــــمn 10 مـــن التوزیــــع االســـي بمعلمــــه

1 . 1ولد عینة عشوائیة نأوال 2 10y ,y ,...,y تتبع التوزیع المنتظم :

١٢٥

1 1

2 2

3 3

4 4

y 0.55463 x ln(0.55463) 0.589y 0.15389 x ln(0.15389) 1.872y 0.85941 x ln(0.85941) 0.151y 0.61149 x ln(0.05219) 0

5 5

6 6

7 7

8 8

.492y 0.05219 x ln(0.05219) 2.053y 0.41417 x in(0.41417) 0.881y 0.28357 x ln(0.28357) 1.260y 0.17783 x ln(0.17783) 1

9 9

10 10

.727y 0.40950 x ln(0.40950) 0.893y 0.82995 x ln(0.82995) 0.186

:وبالتعویض فى المعادلة

i ix ln(1 y ). 1نحصــل علـــى 2 10X ,X ,...,X 1تتبـــع التوزیــع االســـى بمعلمـــة . ویمكــن اخـــذ التحویلـــهX ln Y

Xبدال من ln(1 Y) 1)وذلك الن Y) ایضا تتبع التوزیع المنتظم. : الثانیةالطریقة

1لتكن 2 nY Y ... Y اة ن حی و nاإلحصاءات الترتیبیة لعینة عشوائیة تمثل زم دات وھ ن الوح م

ة ة احتمالی ة كثاف ھ دال ل ل ع متص ع توزی fیتب (x) ع ة التوزی ذ . F(x)ودال ة وأخ راء التجرب م إج إذا تkالمشاھدات بشكل ترتیبي حتى n ك ة وذل اة التجرب ام محاك ر لالھتم ن المثی من المشاھدات لذا یكون م

ى األ غر إل ن األص ة م ع ومرتب ع التوزی ات تتب د بیان ربتولی ـ. كب رطي ل ال الش اد االحتم نحاول إیج iس 1Y iبشرط iY y

i,i 1 i i 1i 1 i

i

i 1 n i 1i,i 1 i i 1 i i 1 i i 1

i i 1

i 1 n ii i i i i

g (y , y )h y | y ,

g(y )n!g y , y f y f y F y 1 F y

(i 1)!(n i 1)!, a y y b,

n!g y f y F y 1 F y .(i 1)!(n i)!

١٢٦

:وبالتالي فإن

i,i 1 i i 1i 1 i

in i 1

i 1i 1 i i 1n i

i

g (y ,y )h y | y

g(y )

1 F(y )(n i)f (y ) , y y b.

1 F(y )

iومنھا یمكننا إیجاد دالة التوزیع لإلحصاء 1Y بشرطi iY y كالتالي:

i 1

i

i 1

i

yn i 1

i 1 i n iyi

yn i

n ii y

n i n ii i 1n i

i

n i

i 1i i 1

i

(n i)H y | y f (w) 1 F(w) dw1 F(y )

1 F(w)n in i1 F(y )

1 1 F(y ) 1 F(y )1 F(y )

1 F(y )1 , a y y b.1 F(y )

:ولتولید البیانات نبدأ بتولید المشاھدة األولى باستخدام نظریة التكامل االحتمالي حیث n

1:n 1 1F (y ) 1 1 F(y ) . :وباعتبار

1:n 1v F (y ) , ومن السھل الحصول على مشاھدات تتبع (0,1)یتبع التوزیع المنتظم في الفترة Vنجد إن

ا 1yیمكننا إیجاد vوإذا حصلنا على مشاھدة) من الجداول أو بالحاسوب(التوزیع المنتظم كم :یلي

n n1 1

1n

1

v 1 1 F(y ) 1 v 1 F(y )

1 v 1 F(y )

1n

1

11 n

1

F(y ) 1 1 v

y F 1 1 v .

iومن ثم نقوم بتولید المشاھدة 1y باالعتماد على المشاھدة السابقة لھا كالتالي:

١٢٧

n i

i 1i 1 i

i

n i

i 1

i

1i 1 n i

i

1 F(y )v H(y | y ) v 11 F(y )

1 F(y ) 1 v1 F(y )

1 F(y ) 1 v1 F(y )

1n i

i 1 i

1n i

i 1 i

11 n i

i 1 i

1 F(y ) 1 F(y ) 1 v

F(y ) 1 1 F(y ) 1 v

y F 1 1 F(y ) 1 v .

k)املشاهدات الثالث األوىللتوليد 3) لعينة عشوائية حجمهاn 5 تتبع التوزيع األسي بدالة كثافة احتمال :نتبع التاىل

xe , 0 x, f (x)

0 , e.w.

:ودالة التوزيعx1 e , 0 x,

F(x) 0 , e.w.

1وباالعتماد على األرقام العشوائية 2 3v 0.1514,v 0.6697, v 0.0527 تبع اآليتي: 1x F (w)ln (1 w).

1

1 n1 1

11 5

1

y F 1 1 v

F 1 (1 0.1514)

F (0.0323)

1

ln(1 0.0323)y 0.0328,

:وهذه هى املشاهدة األوىل وميكن منها إجياد املشاهدة الثانية كالتايل

١٢٨

11 5 1

2 1 2

11 4

1

1

y F 1 1 F y (1 v )

F 1 exp( 0.0328) (1 0.6697)

F 1 (0.9677)(0.7581)

F (0.2664)ln (1 0.2664)

2y 0.3098. :وميكن احلصول على املشاهدة الثالثة كالتايل

11 3

3

1

1

3

y F 1 exp( 0.3098) (1 0.0527)

F 1 (0.7336)(0.9821)

F (0.2795)ln(1 0.2795)

y 0.3278.

.وطبعا من املعلومات السابقة ميكن احلصول على مشاهدات تتبع التوزيع االسى مبعلمة واحدة او معلمتني WWeeiibbuullll DDiissttrriibbuuttiioonnتوزيع وايبل توزيع وايبل ) ) ٢٢--٢٢((

دالة كثافة االحتمال) ١-٢-٢( 1f (x) x exp x . x 0 , 0, 0. التوزيعدالة ) ٢- ٢-٢(

:هي وايبل التوزيع لتوزيع دالة

١٢٩

1

1

1

1 1

x1

0

1

11

x 1 11

0

x

0

x

0

F(x) t exp t dt

let : t u t u ,

t u ,1dt u du.

1F(x) u exp u u du

exp u du

exp u1

exp x 1

1

F(x) 1 exp x x 0,

0 e.w.

العزوم ) ٣-٢-٢(

1r rr

0

E(X ) x x exp x dx.

١٣٠

1

1

1

1 1 1

1

11

r 11 1 1r

0

rr

0

rr

let : t u, x u ,

x u ,1dx u du.

1u (u ) exp u u du

u exp( u) du

r 1r 1 , r 1,2,...

1

2 2

3 3

4 4

22 2

22

2

2

22

1 1 1 ,

1 2 1 ,

1 3 1 ,

1 4 1 .

E(X ) E(X)

2 11 1

1 2 11 1 .

33 3 2

44 4 3 2

3 2 ,

4 6 3 .

١٣١

معامل التفلطح ومعامل االلتواء) ٤-٢-٢(

3

3 3 22

44 2

2

,

.

4املطلوب إجياد 3, .

33 3 3 3

33

1 3 3 1 2 2 11 1 1 1

1 3 1 2 11 3 1 1 2 1 .

4

4 4 3 2

44 4 4 4

44

4 6 3

1 4 4 1 3 6 1 2 3 11 1 1 1 1 1

1 4 1 3 1 2 11 4 1 1 6 1 1 3 1 .

3 3

3 3 23 2

3

3 22

3 1 2 11 3 1 1 2 1.

2 11 1

١٣٢

4

4 22

4

22

4 1 3 1 2 11 4 1 1 6 1 1 3 1.

2 11 1

المنوال والوسيط) ٥-٢-٢( :ميكن إجياد الوسيط حبل املعادلة التالية

1

1

F(m) 0.5 1 exp m 0.5

exp m 1 0.5

exp m 0.5

m ln 0.5

m ln 2

m ln 21m ln 2 .

:أما املنوال فيمكن إجياده حبساب القيمة العظمى لدالة كثافة االحتمال

١٣٣

10 0 0

2 1 10 0 0 0 0 0

2 2 220 0 0

220 0 0

220 0 0 0

f t t exp t ,

f t 1 t exp t t t exp t

exp t 1 t t

exp t t 1 t ,

f t 0 exp t t 1 t 0

0 0

0

0

1

0

1

0

t 0 1 t 0

t 11t

1t

1 1t .

Percentilesالمئينات ) ٦-٢-٢(

:حنل املعادلة التالية 100pإلجياد املئني ذو الرتبة

p p

p

p

p

1

p

1

p

F(x ) p 1 exp x p

exp x 1 p

x ln 1 p

x ln 1 p

x ln 1 p

1x ln 1 p .

))معالممعالم ٣٣بـبـ((توزيع وايبل العام توزيع وايبل العام ) ) ٣٣--٢٢((

١٣٤

دالة كثافة االحتمال) ١-٣-٢(

,متغري عشوائي له توزيع وايبل باملعامل Xإذا كان 0 , 0 فإن : XY .

:له التوزيع األسي القياسي بدالة كثافة احتمال yg(y) e , y 0.

:الذي يتبع توزيع وايبل هي Xوعندها فإن دالة كثافة االحتمال للمتغري1 xxf (x) e , x .

:البرھان1

1 1 1

x xlet : y y

1x y , dx y dy

1 1( 1) 1y

y

g(y) y e y

e , y 0.0 , e.w.

دالة التوزيع) ٢-٣-٢( x

1 tx

t

y

0

ty

0

F(x) f (t)dt

t e dt

e dy

e .

١٣٥

x

F(x) 1 e , x0 , x .

المنوال والوسيط) ٣-٣-٢( xعنـدما فإن دالـة كثافـة االحتمـال لتوزيـع وايبـل تقـرتب مـن 1عندما ويكـون هلـا منـوال وحيـد ، :هو

1

1x .

:البرھانfاليت تعطي للدالة xنوجد قيمة (x) قيمة عظمى كالتايل:

2 x

1 1 x

2 x

2

d ( 1) xf (x) edx

x x e

x x( 1) e .

dنضع f (x) 0dx

فنحصل على:

xx or ( 1) 0.

xوحيث إن يعطيناf (x) 0 وهي ليست قيمة عظمى فإن:

1

1

x x ( 1)( 1) 0

x 1

1x , 1.

0أمـا عنـدما. عنـدما وهذه القيمـة تـؤول إىل 1 فـإن املنـوال هـوx حيـث تكـونfالدالة (x) دالة تناقصية لكلx .

١٣٦

:ومن دالة التوزيع ميكننا إجياد الوسيط بوضع

m

m

1

1

1 1F(m) 1 e2 2

1e2

m ln 2

m ln 2

m ln 2 .

1وميكن احلصـول علـى الشـكل القياسـي للتوزيـع بوضـع , 0 ولـه دالـة كثافـة االحتمـال ودالـة التوزيـع :التالية

1 x

x

f (x) x e , x 0 , 00 e.w.

and :

F(x) 1 e x 00 x 0.

:العزوم حول الصفر) ٤-٣-٢(

1k k

kA

x xE(X ) x exp dx.

1 1 1xy x y , dx y dy.

11 1 1 1k y

k0

1 1 11 1k y

0

1k y

0

( y ) y e y dy

( y ) y e y dy

( y ) e dy

١٣٧

jkj k j y

j 0 0

kjj k j

kj 0

1

2 2 21 22

22

2 21 2

22 21 1

2 2 1

ky e dy.

j

k 1 , k 1,2,3,

j

k 1 , 1 ,

k 2 , E(X ) 2 1 1 ,

Var(X) E(X ) E(X)

2 1 1

2 1 1

1 1

2.

اإلحصاءات الترتيبية بعض )٥-٣-٢(

ـــــتكن 1ل 2 nX ,X , ,X ـــــع توزيـــــع وايبـــــل ــــــ(متغـــــريات عشـــــوائية مســـــتقلة ومتطابقـــــة وتتب ولـــــتكن ) معـــــامل ٣ب1 2 nY Y Y 1عندها فإن دالة كثافة االحتمال ألصغرها. اإلحصاءات الرتتيبية هلاY هي:

1

n 1Y

n 11y y

1 yn

g (y) n 1 F(y) f (y)

yn e e

n y e , x

ــه مــن ــة rYالصــعب إجيــاد توزيــع وحيــث إن ــة تتبــع توزيــع وايبــل rYســنوجد أوال توزيــع اإلحصــاءات الرتتيبي لعين1القياسي مبعامل , 0 الذي له دالة الكثافة االحتمالية والتوزيع التجميعي التالية:

1 x

x

f (x) x e , x 0 , 00 e.w.

F(x) 1 e x 00 x 0.

١٣٨

rومن مث سنستخدم التحويلة اخلطية rY Y إلجياد توزيعrY .حيث دالة الكثافة االحتماليـة للمتغـريr(1 r n) Y تعطى كما يلي:

r

r 1 n rY

r 1 n r1 x x x

r 11 (n r 1)x x

n!g (y) f (y) F(y) 1 F(y)(r 1)!(n r)!

n! x e 1 e e(r 1)!(n r)!

n! x e 1 e(r 1)!(n r)!

:فهى rYأما العزوم حول الصفر للمتغري

r

1 1

k kr Y

r 1k 1 (n r 1)y y

0

r 1y k 1 (n r 1)y

0

r 1j k 1 ( j n r 1)y

j 0 0

11

E (Y ) y g (y)dy

n!y y e 1 e dy(r 1)!(n r)!

n! 1 e y e dy(r 1)!(n r)!

n! ( 1) y e dy(r 1)!(n r)!

u y y u , dy u du

n!(

k

kr 1j ( j n r 1)u

j 0 0

jr 1k

1j 0

( 1) u e dur 1)!(n r)!

n! ( 1)1 , k 1,2,3,(r 1)!(n r)! ( j n r 1)

(1967)و Lieblein(1955)وباستخدام الصيغة السابقة متكن Weibull من وضـع جـداول ملتوسـطاتـــــات اإلحصــــــــــــــــــــــــاءات الرتتيبيــــــــــــــــــــــــة لـــــــــــــــــــــــــ nوتباينـــــــــــــــــــ 5(5)20 1و .1(.1)1.0 . كمــــــــــــــــــــــــا قــــــــــــــــــــــــام

(1968)Joshi , Govindarajuluبعـــد ذلـــك بوضـــع جـــداول لــــn 10 10(1)1,2,2.5,3و . كمـــاـــــداول أخــــــــرى ملتوســــــــطات اإلحصــــــــاءات الرتتيبيــــــــة لعينــــــــات حـــــــــىت Harter(1970)وضــــــــع nجـــ 40 و

.5(.5)4(1)8 (1993)بعــدها متكــنChan , Balakrishnan مــن وضــع جــدول ملتوســطات وتباينــات

1و 20حىت nكل اإلحصاءات الرتتيبية لـ 1 1 1, , , ,1.5(.5)3,4(2)105 4 3 2

.

١٣٩

المحاكاه)٦-٣-٢(

)٦ -٢( مثال :متغیرا عشوائیا یتبع توزیع وایبل على الشكل Xإذا كان

1x exp (x / ) , 0 < x < f (x)

0 , e.w.

.اشرح كیفیة تولید مشاهدات تتبع توزیع وایبل

:الحــل

: یتبع توزیع وایبل تأخذ الشكل التالى Xدالة التوزیع التجمیعى لمتغیر عشوائي

:بوضع

XF(X) 1 exp , 0 < X < .

:أذن

1

1

XY 1 exp

X1 y exp

Xln(1 Y)

Xln(1 Y)

X( ln(1 Y))

( ln(1 Y)) X

)یتبع التوزیع المنتظم Y( من المشاهدات تتبع توزیع وایبل nویمكن استخدام العالقة التالیة فى تولید

1

( ln y) x.

١٤٠

EExxttrreemmee VVaalluueeتوزيع توزيع ) ) ٤٤--٢٢(( كثافة االحتمالدالة )١-٤-٢(

:تعريف

:له توزيع وايبل بـدالة كثافة احتمال Tاملتغري العشوائي إذا كان 1 tf (t) t e , t 0 , 0 , 0

Xفإن املتغري العشوائي ln T يتبع توزيعExtreme Value حيث:

1u ln b .

:البرھان 1 t

u

x x

f (x) t e1 , eb

x ln t t e , dt e dx

1u x b

1x u b

x ub

1 1 e eu u x xb

1 1 ex u x u b

x ueb

1f (x) e e e e eb

1 e e eb1 e eb

x ubx u e

b1f (x) e , x .b

دالة التوزيع )٢-٤-٢(

١٤١

t ubt u ex b

t ub

1F(x) eb

t u 1z e ln z , dz zdtb b

x ub

x ub

x ub

eln z z

0

ez

0

ez

0

1 bF(x) e dzb z

e dz

e

x u

beF(x) 1 e , x , b 0.

uوميكــن احلصــول علــى التوزيــع القياســي بوضــع. معلمــة املوقــع uمعلمــة املقيــاس و bحيــث 0 , b 1

وعندها تكون دالة كثافة االحتمال xx ef (x) e , x

حول الصفر العزوم )٣-٤-٢(

: للعزوم كما يليتعطى الدالة املولدة xt x (x e )

XM (t) e e dx

x dyy e x ln y , dx .y

t (ln y y)X

0

t 1 y

0

t y

0

1M (t) y e dyy

y ye dy

y e dy

(t 1).

١٤٢

22

M (t) (t 1) M (0) (1)E(T) (1) 0.5772M (t) (t 1)

M (0) (1) .6

2 22 2Var(T) .

6 6

Xولــيكن uTb

حيــثT متغــري عشــوائي يتبــع توزيــع القــيم احلرجــة القياســي، عنــدها فــإنX يتبــع توزيــع .u,bالقيم احلرجة باملعامل

22 2

E(X) b( ) u

Var(X) b Var(T) b .6

Percentilesالمئينات )٤-٤-٢(

:من املعادلة التالية 100pويعطى املئني ذو الرتبة x up

b

x upb

p

p

ep

e

x ub

x ub

p

p

F(x ) p 1 e p

1 p e

ln(1 p) e

ln(1 p) ex u

ln( ln(1 p))b

x bln( ln(1 p)) u.

توزيع جاما توزيع جاما ) ) ٥٥--٢٢((

١٤٣

توزيع جامـا ة تتبعيعترب توزيع جاما من التوزيعات الشائعة االستخدام يف التطبيق فكثري من املتغريات العشوائي .مثل زمن اخلدمة يف مركز للبيع أو الزمن الالزم إلعادة جتديد سيارة

التوزيعدالة و االحتمال كثافة ةدال) ١-٥-٢( kأنه يتبع توزيع جاما مبعلمتني Xيقال للمتغري العشوائي 0 0و إذا كان دالة كثافته االحتمالية علـى

:الشكلt

k 1k

1f (x) x e x 0(k)

:التجميعي له على الصورة ودالة التوزيع x t

k 1k

c

1F(x) t e dt.(k)

tuبوضعو

: فإن xF(x) F( ,1,k).

ــة جامــا الناقصــة والــيت تعتمــد علــى xوذلــك مــن خــالل املتغــري فقــط تســمى دال

وهنــاك جــداول حلســاب

F(x) لقــيم خمتلفــة مــنx(k, )

ال ميكــن وضــعها يف شــكل صــيغة ولكــن إذا Xعمومــا دالــة التوزيــع للمتغــريو . :التاليةالتكامل ميكن التعبري عنه كمجموع من خالل النظرية عدد صحيح فإن kكانت

:نظرية

jk 1

x

j 0

(x )F(x) 1 e .j!

:البرھان

١٤٤

xk 1 u

0

x xk 1 u k 2 u

00xk 1

x k 2 u

0

1F(x) u e du(k)

1 k 1u e u e du.(k) (k)

(x ) 1e u e du(k 1)! (k 1)

: وذلك بإجراء التكامل اجلزئي واستخدام حقيقة أن(k) (k 1) (k 1) (k 1)!

k)وباستخدام التكامل بالتجزيء 1) من املرات حنصل على xjk 1

x u

j 1 0

(x ) 1F(x; ,k) e e duj! (1)

jk 1

x

j 0

(x )1 e .j!

P(Yوهذا مساوي لالحتمال k) حيث املتغريY يتبع توزيع بواسون مبتوسطx

.

)٧-٢(مثال Xيتبع توزيع جاما Xإذا كان املتغري العشوائي ~ GAM(0.2,6) أحسب P X 2.

:الحــل

0.2 , k 6 x

6 1 0.26

2

j510

j 0

j510

j 0

1P(X 2) x e dx0.2 (6)

101 1 ej!

10 e 0.067.j!

0.2وميكن إجياده من جداول توزيع بواسون مبتوسط 102

.

١٤٥

حول الصفر العزوم) ٢-٥-٢(

:الصفر كالتاىل حتسب العزوم حول x

r r k 1k

0

xk r 1

k0

k k r

r

1E(X ) x x e dx(k)

1 x e dx(k)

1 (k r)(k) (1 )

(k r) , r 1,2,....(k)

rوبوضع 1 الوسط احلساىب كالتاىل حنصل على : (k 1) k (k)E(X) k ,

(k) (k)

2 2 2 2(k 2) (k 1)k (k)E(X ) (k 1)k ,(k) (k)

2 2 2

2 2 2 2 2

2

Var(X) (k 1)k kk k kk .

الدالة المولدة للعزوم) ٣-٥-٢(

xtX tx k 1

X k0

1( t )xk 1k

0

kk

kk

1M (t) E e e x e dx(k)

1 x e dx(k)

1 (k)(k) 1 t

1 1 t .1 t

١٤٦

الوسط الحسابىالعزوم حول ) ٤-٥-٢(

:عرفنا فيما سبق العالقة بني العزوم حول املتوسط والعزوم حول الصفر كالتاىل r

r r jr j

j 0

rE(X ) ( )

j

:ومنها r

r r j jr

j 0

rr j j

j 0

r rr j

j 0

rE(X k ) ( k ) E(X )

j

r (k j)( k )j (k)

r( k) (k j).

j(k)

rوعندما 3: 3 3

3 j3

j 0

33 2

3 3 3 2

3

3( k) (k j)

j(k)

k (k) 3k (k 1) 3k (k 2) (k 3)(k)

k 3k k (k 1) k(k 1)(k 2)

2k .

rوعندما 4: 4 4

4 j4

j 0

44 3 2

4 4 4 3 2

4

4( k) (k j)

j(k)

k (k) 4k (k 1) 6k (k 2) 4k (k 3) (k 4)(k)

k 4k 6k (k 1) 4k (k 1)(k 2) k (k 1)(k 2)(k 3)

3k(k 2)

:ومنها ميكن حساب معامل االلتواء ومعامل التفلطح كالتاىل

١٤٧

33

3 33 22

44

4 22 22

2k 2kk

3k(k 2) 3 (k 2).kk

توزيع باريتو توزيع باريتو ) ) ٦٦--٢٢(( واالقتصادية وتوزيعـات الكثافـات السـكانية وبعـض لتوزيع باريتو تطبيقات واسعة االنتشار ىف الدراسات التجارية

حيث يصف زمن احلياة بعد عمليـة زراعـةيستخدم توزيع باريتو يف الطب و . الظواهر البيولوجية والفيزائية وغريها .القلب

لتوزيعا دالةو االحتمال كثافة ةدال) ١-٦-٢(ـــاريتو مبعلمتـــني Xيقـــال للمتغـــري ـــع ب ـــه يتبـــع توزي 0أن , 0 ـــى ـــة عل ـــة كثافتـــه االحتمالي إذا كـــان دال

:الشكل( 1)xf (x; , ) 1 , x 0

0 , e.w.

) ، معلمة املقياس معلمة الشكل( :الة التوزيع تعطى كاآليتدو

x( 1)

0

F(x) ( t) dt.

:وبأخذ التعويض y t dy dt.

١٤٨

x( 1)

x

F(x) y dy

y

( x)

( x)

x1

x1 1 , x 0.

والتباين الوسط الحسابى) ٢-٦-٢( :يحسب الوسط الحسابى كالتالى

( 1)

0

E(X) x ( x) dx.

:وبأخذ التعويض

y x x y , dy dx

( 1)

( 1)

E(X) (y ) y dx

y y dx

١٤٩

1

1 1

y y1

1

1 ,( 1)

E(X) , 1.1

2 2 ( 1)

0

E(X ) x ( x) dx,

:وبأخذ التعويض

y x x y , dy dx. 2 2 ( 1)

2 2 ( 1)

1 2 1

2 1 2

2 2 2

2

2

E(X ) (y ) y dx

(y 2 y ) y dx

(y 2 y y )dx

y 2 y y2 1

22 1

1 2 12 1

2( 2)( 1)

.

١٥٠

22

2 2 2

2 2

Var(X) E(X ) E(X)

2 , 2.( 2)( 1) ( 1) ( 2)( 1)

Percentilesالمئينات ) ٣-٦-٢(

:حنل املعادلة 100pإلجياد املئني ذو الرتبة

pp

p

1p

1p

1

p

xF(x ) p 1 1 p

x1 1 p

x1 1 p

x1 p 1

x 1 p 1 .

شكل أخر لتوزيع باريتو) ٤-٦-٢( k (k 1)f (x) k x 0 , k 0 , x

x( 1)

x1 1

k

F(x) t dt

t

x

1 , 0 , 0 ,x .x

.معلمة الشكل معلمة املقياس و حيثlnXلنأخذ التحويلة Y , e

١٥١

y yx e dx e dy :هي Yومنه دالة كثافة االحتمال للمتغري

y( 1) y1

y

(y )

f (y) k e ee e

k e , y , 0.

وهذه العالقة الوثيقة بني توزيع باريتو و .للتوزيع األسي على دالة كثافة االحتمال ناحصلالحظ إنا خصائص ونتائج كثرية لتوزيع باريتو اعتمادا على خصائص ونتـائج على للحصول استخدمها ميكن التوزيع األسي

.مستخلصة من التوزيع األسي :ذا الشكل هوالعزم املركزي حول الصفر هل

1r r rE(X ) 1 , r

2

2Var(X) , 2.( 2)( 1)

:يعطيا من 4و التفلطح 3أيضا اإللتواء

31 22 , 33

2

43( 2)(3 2) , 4

( 3)( 4)

1اعتمادا على عينة كاملة 2 nX ,X , ,X من توزيـع بـاريتو ميكـن احلصـول علـى تقـديرات اإلمكـان األكـربˆˆملعامل توزيع باريتو , ة اآلتيةمن العالق:

iˆ min(X ). ،1n

i

i 1

Xˆ n lnˆ

: : توزيع كوشيتوزيع كوشي) ) ٧٧--٢٢((

:تأخذ الشكل التايل يتبع توزيع كوشي مبعلمة Xدالة كثافة االحتمال ملتغري عشوائي

2

1 1f (x; ) x .1 (x )

١٥٢

وعلـى . هنا توزيع كوشـي متماثـل حـول. دالة كوشي دالة التوزيع الطبيعي يف أنه متماثل حول نقطةيشبه بيان يوضـح دالـة كوشـي مـع دالـة كثافـة االحتمـال ملتغـري يتبـع التـايلشـكل وال. ملوقع هلـذا التوزيـعا علمةم عتربذلك ت

.التوزيع الطبيعي

.له توزيع كوشي فإن متوسطه غري موجود Xإذا كان

2

1 xE(X) x f (x, )dx dx.1 (x )

:وبالتعويض x y y x , dy dx.

2

1 (y )E(X) dy1 y

2 2

1 y 1dy dy1 y 1 y

h2

h h

1 lim ln(1 y )

1 .

.قيمة غري معرفة

:يتبع توزيع كوشي مبعلمتني يأخذ الشكل Xدالة كثافة االحتمال ملتغري عشوائي

2 2

1f (x; , ) , x .(x )

ــة fالدالــة املولــدة للعــزوم للدال (x; , ) الوســيط ميكــن احلصــول عليــه حبــل و .غــري معرفــة وكــذلك كــل العــزوم :املعادلة التالية

0m

0 2 2

1F(m ) dx 0.5(x )

4 2 2 4

.05.1

.15.2.25.3

0 , 1/ .67449

0

١٥٣

0m11 xtan 0.5

1 01 mtan 0.

0m أو . :ميكن احلصول على املنوال حبل املعادلةو

2 21d

(m )0,

dx

mومنها حيث : 2

2

d f (x; , ) 0dx

mعندما .

)٨ -٢( مثال

:الحــل

:هي 0یتبع توزیع كوشى عندما Xأن دالة التوزیع التجمیعي لمتغیر عشوائي

1F(x) (Arc tan x ) , x .

2

ذا كان :فإن ( 1 ,0 )متغیرا عشوائیا یتبع التوزیع المنتظم في الفترة Yوا1y (Arc tan x ) .

2

: تكافئ أن

x tan y .2

یعطي الجدول التالى قیم عشرة أرقام عشوائیة في العمود األخیر في جدول األرقام العشوائیة في اى .المقابلة لها xمع قیم 410كتاب وذلك بعد قسمة كل رقم علي

تتبع توزیع كوشي ؟ n = 10عینة عشوائیة من الحجم ) محاكاه(المطلوب تولید

١٥٤

y x -1.9415 0.5901 -5.9847 -0.0790 -0.7757 -1.0962 9.3820 -74.021 -3.0678 3.8595

0.1514 0.6697 0.0527 0.4749 0.2900 0.2354 0.9662 0.0043 0.1003 0.9192

التوزيع الطبيعىالتوزيع الطبيعى) ) ٨٨--٢٢((

ین أنھ یتبع التوزیع الطبیعي Xیقال للمتغیر العشوائي 2بمعلمت , ، ب 2Xولالختصار یكت N( , )

:إذا كانت دالة كثافتھ االحتمالیة على الشكل ،

2

21 (x )

2 221f (x; , ) e , - < x < ( - < < ,0 < ) .2

تكون على شكل جرس :لھ ھىدالة التوزیع وو عند تمثیلھا بیانیا2x u

21F(x) e du .2

من الوسط الحسابي و الوسیط و المنوال یأخذ القیمة این كال واء . 2، و التب ة یمعامل االلت ذ القیم أخ

ط و ول المتوس ل ح ع متماث ي توزی ع الطبیع ك ألن التوزی فر ذل ل ص تفلطح معام ة ال ذ القیم ة . 3یاخ الدال

: تاخذ الصیغة التالیة المولدة للعزوم

2 2 t( t )2

XM (t) e .

توزيع معكوس جاماتوزيع معكوس جاما) ) ٩٩--٢٢((

١٥٥

: أنھ یتبع توزیع معكوس جاما إذا كانت دالة كثافتھ االحتمالیة على الشكل Xیقال للمتغیر العشوائي

11 xf (x; , ) [ ( )] e , x 0 ( , 0) .

x

:دالة التوزیع التجمیعي تعطى بالشكل

( , )x .

( )

:المتوسط

, for > 1 .1

:المنوال

.1

:التباین

2

2 , for > 2 . ( 1) ( 2)

:معامل االلتواء

4 2 , for > 3 .3

:معامل التفلطح

30 66 , for > 4 . ( 3)( 4)

١٥٦

التوزيع اللوغاريتمى الطبيعىالتوزيع اللوغاريتمى الطبيعى) ) ١٠١٠--٢٢((

من التوزیعات اإلحصائیة الھامة ، ولھ lognormal distributionالتوزیع اللوغاریتمي الطبیعي

تطبیقات كثیرة فھو یستخدم كتوزیع لزمن الفشل في اختبارات الحیاة و یعتبر منافس لتوزیع و ایبل ، و في

توزیع الجزیئات (ء و في الفیزیا و في مجال الرادار ، multiplicative processالعملیات المركبة

، و علم البیئة ، و ) نمو األحیاء الدقیقة (، وفي األحیاء ) الدخول (و االقتصاد و األعمال ،) الصغیرة

وقد وصف ،atmospheric sciencesالجیولوجیا ، و علم البیئة ، و الجیولوجیا ، و علم الغالف الجوي

لفیزیاء و االجتماع و العملیات الصناعیة و مراقبة كثیرین تطبیق التوزیع اللوغاریتمي الطبیعي في ا

.Aitchison & Brown (1957)الجودة

التوزیع اللوغاریتمي الطبیعي بثالث معالم نموذج شائع االستعمال في الصناعة عندما یراد قیاس كمیة

في الزراعة و و كذلك في توزیع األعمار ، و لھ تطبیقات مثل البالستیك ،) السماكة(ذات صلة بالدرجة

وفي كثیر من األحیان ما یستخدم لوصف متغیر عشوائي متصل موجب ویتم علم الحشرات و الجغرافیا ،

، و لمزید من اختیاره لتمثیل العدید من الكمیات الفیزیائیة في تطبیق العلوم و التكنولوجیا النوویة

فرد الباب الرابع عشر من كتابة الذي أ Johnson et al. (1994)التطبیقات یمكن الرجوع إلى كتاب

& Crowلدراسة التوزیع اللوغاریتمي الطبیعي و أھم خواصھ و تطبیقاتھ و المراجع ، و كتاب

Shimizu (1988) الذي أفرد كتابھ لدراسة التوزیع اللوغاریتمي الطبیعي و تطبیقاتھ.

١٥٧

متغیر عشوائي Zالتوزیع اللوغاریتمي الطبیعي ھو أحد أھم التحویالت للتوزیع الطبیعي ، فإذا كان

Zیتبع التوزیع الطبیعي و ln X فإن ،X متغیر عشوائي یتبع التوزیع اللوغاریتمي الطبیعي.

:ثافة االحتمال لھذا التوزیع تعرف بالصورة دالة ك

2

2 2

1 1 (ln(x ) )exp[ ] , xf (x; , ) 22 x

0 , x <

ال تؤثر إال في مكان التوزیع ، أي أنھا ال تؤثر على و یمكن المالحظة أن التغیر في القیمة المحدودة

للتسھیل من العملیات الجبریة ، مع العلم أن التباین أو الشكل ، و بذلك من المریح وضع قیمة معینة لـ

في كثیر من . العدید من النتائج التي تم الحصول علیھا یمكن تحویلھا لتصبح أكثر عمومیة للتوزیع

ھذه الحالة ) . تصبح متغیر عشوائي موجب Xبحیث (معلومة و تأخذ القیمة صفر التطبیقات تكون

لى الصیغة السابقة عالخاصة المھمة یطلق علیھا اسم التوزیع اللوغاریتمي الطبیعي بمعلمتین وتصبح

:الصورة

2

2 2

1 1 (ln x )exp[ ], x 0f (x; , ) 22 x

0 , x < 0

.ال تساوي الصفر ویسمى حین إذ بالتوزیع اللوغاریتمي الطبیعي بثالث معالم أما الحالة العامة فھي أن

:ھي Xالقیمة المتوقعة لـ فإن تینمعالمبتوزیع اللوغاریتمي الطبیعي لل

1

' 21 e .

:حیث

2

e .

١٥٨

:و التباین ھو

' ' 2 22 2 1Var(X) e ( 1).

:العزوم المركزیة حول المتوسط تعطى بالعالقة

r 1r (r j)(r j 1)j r2 2

rj 0

r( 1) e .

j

:معامل االلتواء

12

3 ( 1) ( 2).

:معامل التفلطح

4 3 24 2 3 3

3و أن ء و التفلطح ال یعتمدان على نالحظ أن معاملي االلتوا 4 > 0 , > 3

معامل االختالف یساوي 12( 1) وھو ال یعتمد على .

وھذا التوزیع أحادي المنوال و یأخذ القیمة

1Mode(X) e

و الوسیط یأخذ القیمة

0.5Median(X) x e

:أن وقد وجد

E(X) > Median(X) > Mode(X)

١٥٩

.نجد أن التوزیع غیر متماثل ثم و

المحاكاه للتوزيع اللوغاريتمى الطبيعىالمحاكاه للتوزيع اللوغاريتمى الطبيعىو الــــيت تتبـــــع التوزيــــع اللوغـــــاريتمي الطبيعـــــي simulation) احملاكـــــاة ( يــــتم توليـــــد العينــــات الكاملـــــة

و ذلك من خالل حزم جاهزة لتوليد عينـات كاملـة لكثـري مـن 5اإلصدار Mathematicaباستخدام برنامج التوزيعات الشائعة االستخدام ، للعينات املراقبة املتتابعة من النوع الثاين وذلك لنظام املراقبة 1 2 mR ,R ,...,R

ائص الرياضية لعينة مراقبـة فيتم توليدها باالعتماد على اخلص (.)Fو املأخوذ من أي توزيع احتمايل له دالة التوزيع :وذلك بإتباع اخلطوات التالية (0,1)متتابعة من النوع الثاين مأخوذة من توزيع منتظم يف الفرتة

ــــــــد -١ ــــــــتم تولي ــــــــتظم يف الفــــــــرتة mي ــــــــع املن ــــــــتكن (0,1)مــــــــن املشــــــــاهدات املســــــــتقلة مــــــــن التوزي و ل1 2 mw , w ,...,w .

:نضع -٢

i 1,2,...,m . i

1 m1

i i i jj m i 1

v w , i R ,

:نضع -٣i 1,2,...,m . i m m 1 m i 1u 1 v v ...v ,

(0,1)مـأخوذة مـن التوزيـع املنـتظم يف الفـرتة m و اليت متثل عينـة مراقبـة متتابعـة مـن النـوع الثـاين مـن احلجـم على أساس نظام املراقبة املتتابعة 1 2 mR ,R ,...,R Arnold(1993).

1 باستخدام العالقة -٤i ix F (u ) 1تبعـا لنظريـة التحويـل التكـاملي حيـثF (.) هـي دالـة التوزيـع

1العكسية للتوزيع املستخدم و على ذلك فـإن القـيم 2 mx ,x ,..., x متثـل العينـة ذات املراقبـة املتتابعـة nو املختـارة عشـوائيا مـن العينـة ذات احلجـم (.)Fمـن التوزيـع mمـن النـوع الثـاين ذات احلجـم

على أساس نظام املراقبة املتتابعة 1 2 mR ,R ,...,R . مـن التوزيـع اللوغـاريتمي الطبيعـي mويف حالة توليد بيانـات لعينـة مراقبـة متتابعـة مـن النـوع الثـاين ذات احلجـم

:تتبع اخلطوات اآلتية ــــــــد -١ ــــــــتم تولي ــــــــتظم يف الفــــــــرتة mي ــــــــع املن ــــــــتكن (0,1)مــــــــن املشــــــــاهدات املســــــــتقلة مــــــــن التوزي و ل

1 2 mw , w ,...,w . :نضع -٢

i 1,2,...,m . i

1 m1

i i i jj m i 1

v w , i R ,

:نضع -٣

١٦٠

i 1,2,...,m . i m m 1 m i 1u 1 v v ...v , (0,1)مـأخوذة مـن التوزيـع املنـتظم يف الفـرتة m و اليت متثل عينـة مراقبـة متتابعـة مـن النـوع الثـاين مـن احلجـم

على أساس نظام املراقبة املتتابعة 1 2 mR ,R ,...,R . 1 باستخدام العالقة -٤

i ix F (u ) 1تبعـا لنظريـة التحويـل التكـاملي حيـثF (.) هـي دالـة التوزيـعا باستخدام احلاسـ ب اآليل و علـى ذلـك العكسية للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي و اليت نستطيع حسا

1فــإن القــيم 2 mx ,x ,..., x متثــل العينــة ذات املراقبــة املتتابعــة مــن النــوع الثــاين ذات احلجــمm مــنعلـى أسـاس نظـام املراقبـة nالتوزيع اللوغـاريتمي الطبيعـي و املختـارة عشـوائيا مـن العينـة ذات احلجـم

املتتابعة 1 2 mR ,R ,...,R . القياسـى دالـة التوزيـع العكسـية للتوزيـع الطبيعـيا ميكـن اسـتخدام كمـا باستخدام احلاسب االىل بوضع نوالىت ميك :حسا

izii i i i i i

ln xz ln x z z ln x x e .

توزيع بيير الثانى عشرتوزيع بيير الثانى عشر) ) ١١١١--٢٢(( الحیاة ةیستخدم ھذا التوزیع كنموزج الزمن. یعتبر توزیع بییر الثانى عشر واحد من عائلة بییر

:توزیع بییر الثانى عشر لھ دالتي الكثافة و التوزیع اآلتیتین .وخصوصا فى اختبارات الحیاة المعجلة

c 1 c (k 1)

c k

f (x;c, k) ckx (1 x ) , x 0,c 0, k 0;F(x;c, k) 1 (1 x ) , x 0.

معالم المقياس والموقع معالم المقياس والموقع ) ) ١٢١٢--٢٢((0يف كــل التعريفــات التاليـــة 0f (z) , F (z) متثــل توصــيف كامـــل لدالــة التوزيــع ودالـــة كثافــة االحتمــال علـــى

:التوايل

)معلمة الموقع( :تعريف

locationتسمى معلمة املوقع القيمة parameter لتوزيعX إذا كانت دالة التوزيع على الشكل: .0F(x; ) F (x )

:وبطريقة أخرى 0f (x; ) f (x ).

١٦١

)٩-٢(مثال

:متغريا عشوائيا له دالة كثافة االحتمال Xإذا كان(x )f (x; ) e , x

0 , e.w. fبيــان (x; ) تســتخدم معلمــة و لتوزيــع بكثــرة يف اختبــارات احليــاةيســتخدم هــذا ا. التــايلموضــح يف شــكل

.مثل املتوسط و الوسيط Xاملوقع كقياس للنزعة املركزية للمتغري

)١٠-٢(مثال

:على الصورة Zلتكن دالة كثافة االحتمال ملتغري عشوائي |z|

01f (z) e z .2

:دالة كثافة االحتمال Xإذا كان

|x |0

1f (x; ) e x .2

fبيان (x; ) وعلـى ذلـكموضح يف شـكل التـايل متوسـط التوزيـع وألنو ) معلمـة املوقـع(هـيf (x; )

.هو الوسيط و املنوال هلذا التوزيع وعلى ذلك وهلا قيمة عظمى وحيدة متماثلة حول

f (x; )

X

f (x; )

X

١٦٢

:تعريف

:إذا كانت دالة التوزيع هلا الشكل التايل Xمعلمة املقياس لتوزيع متغري عشوائي تسمى القيمة املوجبة

0xF(x; ) F .

:على الشكل Xمن ناحية أخرى ميكن كتابة دالة كثافة االحتمال للمتغري العشوائي

01 xf (x; ) f .

)١١-٢(مثال Xمتغريا عشوائيا حيث Xإذا كان ~ EXP( ) فإن متثل معلمة املقياس.

:الحــلx1f (x) e x 0 , 0.

z z0

x

0

x

0

1f (z) e e

xf e

1 x 1f e f (x; ).

ولكن هذا ال حيدث دائمـا فعلـى سـبيل املثـال إذا . هو واالحنراف املعياري. متثل معلمة املقياس فإن Xمتغريا عشوائيا حيث Xكان ~ WEI( ,2) فإن متثـل معلمـة املقيـاس ولكـن ليسـت االحنـراف املعيـاري

.Xللمتغري

)١٢-٢(مثال

x dxlet z z x , dz .

١٦٣

Xمتغريا عشوائيا حيث Xإذا كان ~ WEI( , ) فإن متثل معلمة املقياس.

:الحــلx

1f (x; , ) x e x 0.

xlet z z x , dx dz.

1 z

0

1 z

1 x

0

x1

f (z) ( z) e

z e .

1 x x 1f e

x e f (x; , ).

معلمة املقياس. 2عندما حالة خاصة

2x2 1

22f (x; ,2) x e .

:تعريف

0و القيمتــني ميــثالن معلمــة املوقــع و القيــاس علــى التــوايل ملتغــري عشــوائيX إذا كانــت دالــة التوزيــع :ميكن كتابتها على الشكل

0xF(x; , ) F .

:تأخذ الشكل التايل Xومن ناحية أخرى فإن دالة كثافة االحتمال للمتغري العشوائي

01 xf (x; , ) f .

)١٣-٢(مثال

١٦٤

,يتبع توزيع كوشي مبعلمتنيمتغريا عشوائيا Xإذا كان فإن و متثل معلمة املقياس معلمة موقع.

:الحــل

2 2

2

1f (x)(x )

1 1 .x1

xlet z z x , dx dz.

0 2

2

1 1f (z) z .1 z

1 x 1 1 1f f (x).x1

، معلمة املوقع معلمة املقياس.

)١٤-٢(مثال :متغريا عشوائيا له دالة كثافة االحتمال Xإذا كان

x1f (x; , ) e , x

0 , e.w.

.معلمة املقياس ومعلمة املوقع برهن إن

:الحــلxlet z x z , dx dz.

١٦٥

z0

z

1f (z) e .

e z 0.

then : x

01 x 1f e

f (x). املوقع ، معلمة معلمة املقياس.

)١٥-٢(مثال ,يتبع توزيع وابيل بـثالث معـاملمتغريا عشوائيا Xإذا كان , فـإن و متثـل معلمـة املقيـاس معلمـة .موقع

:الحــل1 xxf (x) e .

xlet z x z , dx dz

1 z 1 z

0f (z) z e z e .

1 x

01 x 1 xf e f (x).

معلمة املوقع معلمة املقياس معلمة الشكل. )١٦-٢(مثال ,يتبع توزيع جاما بـثالث معـاملمتغريا عشوائيا Xإذا كان ,k فـإن و متثـل معلمـة املقيـاس معلمـة .موقع

:الحــلk 1 x1 xf (x) e .

(k)

١٦٦

xlet z x z , dx dz.

k 1 z0

1f (z) z e .(k)

k 1 x

01 x 1 xf e f (x).

(k)

معلمة املوقع معلمة املقياسk معلمة الشكل.

١٧-٢(مثال 2Xيتبــع التوزيــع الطبيعــيمتغــريا عشــوائيا Xإذا كــان ~ N( , ) بــرهن إن ة املوقــع ومعلمــ معلمــة

.املقياس

:الحــل21 x

21f (x) e x .2

xlet z x z , dx dz.

21z

20

1f (z) e .2

21 x2

then :

1 x 1f e f (x).2

معلمة املوقع معلمة املقياس.

)١٨-٢(مثال

املطلوب إثبات أن1 معلمة املقياس لتوزيع وايبل على الشكل :

1 xf (x) x exp .

:الحــل

١٦٧

1

let , 1

1x xf (x) exp .

xyبوضع

:

y x dy dx.

110f (z) z exp (z)

1z exp (z) .

x 01 xf (x) f ( )

1

1

0

1

1 x 1 x xf exp

x xexp

f (x).

١٦٨

الفصل الثالث

نظریة الصالحیة

١٦٩

RReelliiaabbiilliittyyالصالحية الصالحية ) ) ١١--٣٣((

ا احتمال أن يؤدي اجلهاز أو اآللة أو اجلزء أو العنصـر أو الوحـدة العمـل املطلـوب تعرف الصالحية على أ .أي احتمال بقاء اجلهاز يعمل لفرتة زمنية حمددة. منه بكفاية خالل الوقت احملدد ويف ظروف معينة

فــإن هـذا يعــين أنــه مــن بــني كــل 0.85ســاعة هــي 120ومعـىن ذلــك عنــدما نقــول أن صــالحية اجلهـاز ملــدة جهازا منهم يكونون صـاحلني للعمـل بعـد 85ساعة فإننا نتوقع 120جهاز جيرى اختبار صالحيتهم ملدة 100

.هذه الفرتة من الزمنوعلـى . نعلم أن اجلهاز أو اآللة تتكون من عـدة أجـزاء أو عناصـر أو وحـدات ولكـل عنصـر صـالحية معينـة

ويف البداية سنركز دراستنا على صالحية العنصر . ذلك فإن صالحية اجلهاز تعتمد أساسا على صالحية عناصره . بعد ذلك نتكلم عن صالحية اجلهاز أو اآللة املكونة من عدة أجزاءمث

فمــثال هنـــاك . نعلــم أن تعطــل األجهــزة عــن العمـــل أو فشــلها يف أداء مهمتهــا خيتلــف مـــن جهــاز إىل آخــر وهنــاك أجهــزة تعمــل بكفايــة وفجــأة تتعطــل وبــالطبع عمــر اجلــزء أو . أجهــزة تتعطــل عــن العمــل نتيجــة لتآكلهــا

فمــثال عمــر املصــباح . أي هنــاك منــاذج رياضــية تصــف قــوانني تعطــل العنصــر. ر يتبــع توزيعــا احتماليــا معينــا العنصــ .الكهربائي يتبع توزيعا احتماليا معينا يسمى قانون تعطل املصباح

مقاييس الصالحية) ١-١-٣( ا صالحية العنصر أو اجلزء أو الوحدة نذكر منها .هناك عدة مقاييس تقاس

).أو احتمال البقاء(دالة الصالحية ) أ R(t) 1 F(t).

).معدل الفشل(معدل التعطل )ب

f (t) f (t) dr(t) ln 1 F(t) .R(t) 1 F(t) dt

ــة كثافــة االحتمــال p.d.f)نالحــظ أن دال حيــدد متامــا معــدل التعطــل ) عمــر العنصــر( Tللمتغــري العشــوائي (أي أن دالـة الكثافـة االحتماليـة . حيدد متاما دالة الكثافة االحتماليـة r(t)والعكس صحيح أي أن معدل التعطل

.تتحدد مبعرفة معدل التعطل :وذلك ألن

t

0

r(u)du

R(t) e .

:ومبا أن

١٧٠

f (t)r(t) .R(t)

: فإن

t

0

r (u)du

f (t) r(t)R(t)

r(t)e .

: ظریةن

:حمدودة فإن E(T)إذا كانت

0

E(T) R(t)dt.

:الحــل

0 0

R(t)dt 1 F(t) dt.

:وجيرى هذا التكامل بالتجزيء مع اعتبارu 1 F(t) , dv dtdu f (t)dt , v t.

0

0 0

0

R(t)dt t 1 F(t) t f (t)dt

t f (t)dt

E(T).

:قانون التعطل الطبيعي ) ٢-١-٣(

هـي عمـر العنصـر فــإن Tفـإذا كانـت. هنـاك العديـد مـن العناصـر الـذي يتبـع قـانون تعطلهـا التوزيـع الطبيعـي :دالة كثافته االحتمالية هي

21 t21f (t) e .

2

١٧١

Tأي أنالبد أن يكـون غـري سـالب Tنالحظ أن عمر املصباح حىت الفشل أو التعطل 0 ولـذلك حـىتP(Tعلى أن يكون يكون النموذج السابق صاحل للتطبيق فيجب أن حنرص 0) 0 . أن كما نعلم:

2Var(T) , E(T) . ــة فــإن قــانون التعطــل الطبيعــي يبــني أن معظــم العناصــر تتعطــل أو و ــة الكثافــة االحتمالي مــن واقــع منحــىن دال

|كما أن عدد العناصر اليت تتعطل تقل كلما زاد. تفشل حول املتوسط T |

: دالة الصالحية لقانون التعطل الطبيعي ميكن احلصول عليها من جدول التوزيع الطبيعيR(t) P(T t) 1 P(T t)

21 xt211 e dx

2

t1 .

.و الشكل اآليت يبني منحىن هذه الدالة

نالحظ أنه من أجل احلصول على صالحية عالية فإن فرتة التشغيل أي مـدة صـالحية العنصـر للعمـل جيـب .ن متوسط العمرأن تكون أقل بكثري م

)١-٣(مثال فـإذا كانـت صـالحية العنصـر هـي. سـاعات 10إذا كان عمـر العنصـر يتبـع توزيعـا طبيعيـا بـاحنراف معيـاري

.فما متوسط عمر العنصر. ساعة 100لفرتة تشغيل 0.99

2 2

0.9544

0.5

1

R(t)

t

١٧٢

:الحــلtR(t) 1 .

t 100 , 10 , R(t) 0.99. 100 1001 0.99 0.01.

10 10

1) ٢(ىف ملحق من جدول التوزيع الطبيعي 1P(0 Z z ) .49 z 2.33

1100z 2.33,

10

123.3. يعتـرب قـانون التعطــل الطبيعـي مناســب للعناصـر الــيت يكـون فشـلها أو تعطلهــا نتيجـة تــأثري التآكـل وعلــى أي

. حال فهو ليس من قوانني التعطل املهمة

قانون التعطل األسي) ٣-١-٣(

معــدل التعطــل مقــدار ثابــت. يعتــرب التوزيــع األســي مــن أهــم النمــاذج الــيت تصــف فشــل العناصــر أو تعطلهــا r(t) وميكن إجياد دالة كثافة االحتمال لعمر العنصرT كاآليت:

t

0

r (x)dx

f (x) r(t)e

t

0

du

e

te t 0.

fوبالعكس إذا كانت (x) معطاة فإن: x

x

f (x) er(t) .R(t) e

)٢-٣(مثال

, R(t)إذا حددنا كال من فإننا نستطيع إجياد قيمةt . فإذا كانت: 0.01 , R(t) 0.9.

:فإن 0.01te 0.9 t 10.54.

.منها سوف ال تتعطل خالل هذه املدة 90فإن 10.54عنصر ملدة 100وهذا يعين أنه لو شغلنا

١٧٣

دالة الصالحية فى حالة التوزيع االسى المبتور

دالة الصالحیة تكون على : حنصل عليها كالتاىل مبعلمة ىف حالة التوزيع االسى املبتور دالة الصالحية :الصورة

2t

t

R(t) f (x; ) dx

2 1 2

21 2

t x t t1

ttt t x

1

t

1 = e (e e ) dx

1 =(e e ) e dx

2

1 2

1 2 2

2

1 2

tt t x1

t

t t t t1

t t

1 2t t

=(e e ) e

=(e e ) (e e )

(e e ) = ;t < t t . (e e )

لوايبلقانون التعطل ) ٤-١-٣(

)٣-٣(مثال

:وايبل الذى على الشكل االتى يع ز لتو 1 ttf (x) e x , 0, 0.

:فإن دالة الصالحية تاخذ الشكل التالى

R(t) P(X t)1 F(t).

١٧٤

t

R(t) e , t .

:ميكن احلصول على دالة معدل الفشل كالتاىل

t1

t

1

f (t)r(t)R(t)

t e

et , t .

1جند إن دالة معدل الفشل تناقصية عندما ،1وثابتة عندما ،1بينما تكون تزايدية عندما.

::صالحية التوالي والتوازيصالحية التوالي والتوازي) ) ٢٢--٣٣((

:وحدة متصلة على التوايل فإن دالة الصالحية للنظام هي nإذا كان لدينا نظام مكون منn

ii 1

R(t) R (t).

iRحيث (t) صالحية الوحدةi. :وحدة متصلة على التوازي فإن دالة الصالحية للنظام هي nمكون منوإذا كان لدينا نظام

n

ii 1

R(t) 1 1 R (t) .

)٤-٣(مثال 0.05توايل يتبـع كـل منهـا قـانون التعطـل األسـي مبعلمـةلأربعون عنصرا مستقلة ومتصلة على ا أوجـد

.دالة الصالحية للنظام وأوجد دالة الكثافة االحتمالية لعمر النظام

:الحــل0.05t

iR (t) e . n 400.05t 2t

ii 1

R(t) R (t) e e .

١٧٥

:دالة الكثافة االحتمالية لعمر النظام هي2tf (t) R (t) 2e , t 0.

2وتتبع قانون التعطل األسي مبعلمة .

)٥-٣(مثال i و iاحسب صالحية النظام إذا كان العنصران متصالن على التوازي مبعلمة 1,2

:الحــل

1 2R(t) 1 (1 R (t))(1 R (t)) 1 2 1 2R (t) R (t) R (t)R (t)

1 2 1 2t t ( ) te e e . :دالة كثافة االحتمال هلذا النظام هي

f (t) R (t) 1 2 1 2t t ( ) t

1 2 1 2e e ( )e . :وهي ال تتبع التوزيع األسي و القيمة املتوقعة هلذا النظام

0

E(T) R(t)dt

1 2 1 2

1 1 1 .

)٦-٣(مثال

0.01تعمـل ثالثــة عناصــر علـى التــوازي معــدل تعطـل كــل منهــا ثابـت ويســاوي دالــة وعلــى ذلـك فــإن :الصالحية لكل عنصر هي

0.01tiR (t) e ,i 1,2,3.

:ساعات هي 10صالحية العنصر للعمل0.01(10) 0.1

iR (10) e e 0.905. .واآلن حنسب مقدار التحسن الذي يطرأ على النظام إذا وصلت الثالثة عناصر على التوازي

3R(10) 1 1 0.905 0.999.

١٧٦

)٧-٣(مثال

:إذا كان لديك النظام التايل

:ميكن حساب صالحية النظام كالتايل :ميكن توزيع النظام إىل ثالث جمموعات يكون كل منها نظاما جزئيا كما يلي

1 2 3 4 5 6A C , B C ,C , C C ,C ,C B 2 3R (t) 1 1 R (t) 1 R (t) C 4 5 6R (t) 1 1 R (t) 1 R (t) 1 R (t) .

: متصلة على التوايل A,B,Cوبذلك تكون صالحية النظام ككل هي صالحية

A B CR(t) R (t).R (t).R (t). iRإذا كانو (t) 0.8 فإن:

i1 R (t) 0.2.

2BR (t) 1 (0.2) 0.96,

1C

2C

3C

4C

5C

6C

AR (t) 0.8,

10

R(t)

iR (t)

R(t)

١٧٧

3CR (t) 1 (0.2) 0.992,

:صالحية النظام ككل هيR(t) (0.8)(0.96)(0.992) 0.76.

)٨-٣(مثال :وصالحية هذه األجزاء هي 1,2,3آلة مكونة من ثالثة أجزاء

1 2 3R (t) 0.92 , R (t) 0.95 , R (t) 0.96. :سب صالحية اآللة إذا كان التوصيلاح

.على التوايل .أ .على التوازي .ب

:الحــل

التوصيل على التوايل .أ R(t) (0.92)(0.95)(0.96) 0.84.

نالحظ أنه كلما زاد عـدد األجـزاء علـى التـوايل كلمـا قلـت صـالحية اجلهـاز ويكـون أقـل مـن صـالحية أضـعف جزء ولذلك فإنه للحصول على صالحية مرتفعـة علـى التـوايل فإنـه يلـزم إمـا إنقـاص عـدد األجـزاء إىل أقـل مـا ميكـن

.وإما حتسني صالحية كل جزء من األجزاء التوصيل على التوازي .ب

R(t) 1 (0.08)(0.05)(0.04) 0.99984. ونالحظ أن هذه القيمة أكرب من القيمة اليت حصلنا عليها لنفس اآللة بنفس األجزاء ونفس صالحية األجزاء

.يف حالة توصيلها على التوايل )٩-٣(مثال

:للمثال السابق إذا كانت األجزاء متصلة كما هو مبني يف الشكل التايل

2

1

3

١٧٨

)اآللة(احسب صالحية النظام

:الحــل

A 2 ,B 1,3 , AR (t) 0.95, BR (t) 1 (0.08)(0.04) 0.9968,

A BR(t) R (t).R (t), (0.95)(0.9968) 0.947.

)١٠-٣(مثال :أربع أجزاء متصلة كما هو مبني يف الشكل اآليت لتكون جهاز

0.03فإذا كانت األجزاء تتبع توزيع أسي مبعلمة . اآللـة وأوجـد دالـة الكثافـة االحتماليـة احسب صـالحية

.لعمرها

:الحــل

A 1,2 , B 3,4 , 0.03t

iR (t) e ,i 1,2,3,4. 0.06t

A BR (t) e R (t). :متصلة على التوازي وعل ذلك صالحية اجلهاز هي A,Bاألجزاء

20.06tR(t) 1 1 e

0.06t 0.12t2e e . : Tدالة كثافة االحتمال لعمر اجلهاز

1 2

4 3

١٧٩

f (t) R (t) 0.06t 0.12t0.12e 0.12e 0.06t 0.06t0.12e 1 e .

)١١-٣(مثال :أوجد املطلوب يف املثال السابق إذا كانت األجزاء متصلة كما يلي

:الحــل

A BR 1,2 , R 3,4 , 20.03t

AR (t) 1 1 e 0.03t 0.06t

B2e e R (t). 20.03t 0.06tR(t) 2e e

0.06t 0.12t 0.09t4e e 4e 0.06t 0.12t 0.09tf (t) R (t) 0.24e 0.12e 0.36e .

)١٢-٣(مثال :آلة مكونة من أربع أجزاء متصلة كما يف الشكل التايل

3

4

1

2

2

3

4

1

١٨٠

,1تتبع توزيع ويبل مبعامل) بالسنني(إذا كانت أعمار هذه األجزاء 2 .أوجد: .متوسط عمر اجلزء) أ

.معدل تعطل اجلزء) ب .صالحية اجلزء لفرتة تشغيل قدرها ستة شهور) ج .صالحية اآللة لفرتة تشغيل قدرها ستة شهور) د

:الحــل :دالة كثافة االحتمال لعمر اجلزء هي. عمر اآللة Tوأن عمر iعمر اجلزء iTإذا كان

it1i if (t ) t e

2it

i i2t e , t 0. :هو iمتوسط عمر اجلزء) أ

i1 3E(T ) 1 .

2 2

:هو iمعدل تعطل اجلزء) ب2

2

t

i t

2t er (t) 2t , i 1,2,3,4.e

:هي iصالحية اجلزء) ج2t

iR (t) e , i 1,2,3,4. :ملدة ستة أشهر هي iصالحية اجلزء

14

i1R e 0.78 ,i 1,2,3,4.2

صالحية الفرع A 1,2 هي: 22t

A 1 2R (t) R (t).R (t) e . صالحية الفرع B 3,4 هي:

B 3 4R (t) 1 1 R (t) 1 R (t) 2 2 22

t t 2t1 1 e 2e e . :هو صالحية اجلهاز) د

١٨١

A BR(t) R (t).R (t) 2 2 2

2 2

2t t 2t

3t 4t

e (2e e )

2e e .

1tوبالتعويض عن2

1على قيمة حنصلR2

:فإن

3/ 4 11R 2e e .58.2

١٨٢

الفصل الرابع

االستدالل االحصائى البییزى

١٨٣

مقدمه) ١-٤(یفترض فى الطرق الكالسیكیه أن المجتمع أو الظاهره تحت الدراسة تمثل متغیر

fیتبع توزیع احتمالى X عشوائي (x; ) معلوم ویعتمد على معلمه او عدة معالم (ثابتةولكنها مجهوله ویراد إیجاد تقدیر بنقطه لها أو فترة ثقه أو اختبار فرض معین حولها )

1وذلك من بیانات عینة عشوائیة 2 nX (X,X ,...,X ) فى أحیان . مسحوبه من هذا المجتمعتاخذ وقد نالحظ انها كثیرة یكون لدینا معلومات اضافیة من خبرتنا السابقة حول المعلمه

تتغیر وأن هذا التغیر أو المعلومات اإلضافیة قیما مختلفة وان هناك شواهد على ان)یمكن تمثیلها بتوزیع احتمالى ) وقد ظهرت هذه الطریقة منذ أن . یسمى التوزیع القبلى

والذى قدم فیه أساسیات (1763) بحثه المشهور عام Tomas Bayesنشر توماس بییز bayesian statisticalبییز المعروفه باسم االستدالل االحصائي البییزي نظریة

inference وبعد ذلك توالت االبحاث فى هذا المجال ولكن بشكل بطئ لما یتطلبه هذا ،وفى العقود . المنهج من عالقات ریاضیة معقده یصعب الحصول على نتائجها بشكل تحلیلى

الكبیر في تقنیات الحاسب اآللي وجد أن نهج بییز القى أقباال الثالثة األخیرة ونظرا للتقدم كبیرا من الباحثین فى معالجه وتحلیل الظواهر لما لهذا المنهج من ممیزات اهمها أنه یمد الباحث بمعلومات أكثر عما تحتویه العینه المستخدمه فى االستدالل الكالسیكي عالوه على

على االستدالالت اإلحصائیة المختلفة یتطلب عینات أن استخدام منهج بییز فى الحصول . صغیرة نسبیا للحصول على نفس النتائج المتوقع الحصول علیها باستخدام النهج الكالسیكى

عن أهمیة وافضلیة استخدام نهج بییز من التحلیالت اإلحصائیة بصفه عامه یمكن الرجوع , Lee (1989) ,) ب ٢٠٠٠) (أ٢٠٠٠(عبد الحفیظ و ١٩٩٣الصیاد : للمراجع اآلتیة

Wasserman (2004), Waller (1982), Martz and , Box and Tiao (1973)

متغیر وبذلك یكون الفرق بین الطرق الكالسیكیه وطریقة بییز هو اعتبار المعلمه عشوائي له توزیع احتمالى یعبر عن معلوماتنا السابقه حول المعلمه

ویصف درجه اعتقادنا فى القیم الممكنه لهذه المعلمه ویصف خبرتنا السابقة حول المعلمه priorالحصول على العینه ، وعلى ذلك فهذا التوزیع یسمى التوزیع القبلى priorقبل

١٨٤

distribution ویرمز له بالرمز( ) وهو یصف المعلومات المتوفره لدینا حول المعلمه .ولذلك یعتبر اساس اى تحلیل بییزى

:تعریف )التوزیع القبلى ) للمعلمه هو توزیع احتمالى یصف كل المعلومات والخبرات المتوفرهقبل الحصول على العینه كما یصف درجه اعتقادنا في القیم الممكنه لهذه حول المعلمه

.المعلمهوأن ولتوضیح ذلك بفرض أننا نرغب في تقدیر متوسط أوزان الطالب فى الجامعه ولیكن

2وتباینه یتبع توزیع احتمالى طبیعى وسطه Xالوزن معلوم وأنX N( , ) .

نعلم أن مقدر االمكان االكبر ومقدر . طالب nبفرض أننا اخذنا عینه عشوائیة مكونه من iX وأن Xهو العزوم للمعلمه X / n وأنX N ,

n

ولكن بفرض أنه قبل

وهى أننا الحصول على العینه كانت لدینا بعض المعلومات االضافیه حول المعلمه الحظنا على مرور الزمن ان متوسط الوزن یتغیر من فترة الى أخرى وأن هذا التغیر یمكن

:تمثیله بالتوزیع االحتمالى القبلى التالى0 0( ) N( , ).

0حیث 0, كمثال آخر بفرض أننا نرغب في تقدیر نسبه المعیب في .مقادیر ثابته ومعلومهبفرض أننا نرغب في اختیار عینه عشوائیة . انتاج مصنع ما الجهزة التلفزیون

1 2 nX (X,X ,...,X ) اجهزة حیث 10منix 0 إذا كان التلیفزیون معیب ix 1 إذا كان1التلیفزیون غیر معیب ، أي یمكن اعتبار 2 nX (X,X ,...,X ) عینه عشوائیة من مجتمع له

:مالداله كثافه االحتx x 1f (x; ) (1 ) , x 0,1 ; 0 < 1.

وذلك قبل سحب العینه بفرض اآلن توفر بعض المعلومات االضافیة حول المعلمه في انتاج العشوائیة وهى اننا الحظنا خالل ایام مختلفة ان نسبة المعیب

داله كثافته المصنع المذكور متغیر وان هذا التغیر یمكن تمثیله بمتغیر عشوائي :حتمالیه هياال

( ) 6 (1 ) , 0 < < 1.

١٨٥

كیف یمكن استخدام المعلومات االضافیه هذه حول المعلمه : السؤال المهم اآلن هونود أن نعدل الرموز التى استخدمناها حتى . بعد الحصول على العینه لحساب قیمه لـ

متغیر عشوائي فإننا سوف نرمز للتوزیع االحتمالى للمتغیر اآلن فعندما نرید أن نؤكد أن X بالرمزf (x ) بدال منf (x; ) و f (x ) توزیع مشروط للمتغیر X بشرط أن

fتاخذ قیمة معینة كما أن (x, ) سوف ترمز للتوزیع المشترك للمتغیر, X . اآلن نفترض1أن 2 nX (X,X ,...,X ) االحتمالى هتمثل عینه عشوائیة مختاره من مجتمع توزیعf (x ) أي

وذلك أنه بعد الحصول على العینه تغیرت درجة اعتقادنا أو ثقتنا فى القیم المختلفه لـ أو داله فى هدفنا هو إیجاد تقدیر لـ . بتحویل التوزیع القبلى الى التوزیع البعدى

[u( )] ع البعدى للمعلمة وذلك باالعتماد علي التوزی والذي یرمز له بالرمز(x ) . Posterior Distributionsالتوزيعات البعدية) ٢-٤(

;L(xكما هو معلوم فإن داله االمكان ) والتى سوف نرمز لها اآلن بالرمزL(x ) :هي

n

ii 1

L(x ) f (x ) f (x ).

االن فإننا . سوف تحتوى على المعلومات المعطاه فى العینه كما تحتوى على صیغة التوزیعنحتاج الى داله جدیدة تحتوى على كل المعلومات التى تحتویها داله االمكان باإلضافة إلى

الحصول على العینه ، "posterior"بعد المعلومات األخرى التى نعرفها حول المعلمة بعد الحصول على العینه posterior distributionأي أننا نبحث عن توزیع بعدى

1 2 nx (x ,x ,...,x ) ویرمز له بالرمز( x) . :تعریف

)التوزیع البعدي x) بشرط الحصول هو توزیع احتمالى مشروط للمعلمه للمعلمهبعد الحصول على ادنا في القیم المختلفه للمعلمه وهو یصف درجة اعتق xعلى العینه

.العینه :ویتم الحصول على التوزیع البعدى من نظریة بییز كاآلتى

n

ii 1

L(x ) f (x ) f (x ).

fالتوزیع المشترك (x, ) :یمكن كتابته على الصوره التالیة X,للمتغیرین

١٨٦

:وعلي ذلك فإن

( )f (x )( x) .

f (x)

fحیث (x) هو التوزیع الهامشى لـX ویعطى من العالقة التالیة:

f (x) f (x; )d ( )f (x ) d . :متصل ، أو بالعالقه إذا كان المتغیر العشوائي

f (x) f (x, ) ( )f (x ).

fعلى أي حال لیس هناك حاجه لحساب . متقطع إذا كان المتغیر العشوائي (x) الن

:التوزیع البعدى یمكن كتابته على الصوره( x) ( )f (x ).

:أو على الصوره( x) ( )L(x ).

fوذلك الن الداله (x) یمكن ان تدخل في ثابت التناسب. )١-٤(مثال

بفرض أننا . بفرض أننا نرغب في تقدیر نسبه المعیب في انتاج مصنع ما الجهزة التلفزیون1x حیث xمشاهده واحده فقط اختیارنا x 0 2 إذا كان التلیفزیون معیبx x 1 إذا كان

، وعالوة على ذلك فإننا نعتقد قبل إجراء التجربة بإن n = 1اى أن التلیفزیون غیر معیب ، :هو التوزیع القبلى لـ

2 .4 1 .3

.6 .4 ( )

. اوجد التوزیع البعدى لـ

:الحــل :هى Xداله كثافة االحتمال للمتغیر

x 1-xf (x ) (1- ) , x = 0, 1. :یمكن حسابها كالتالى Xوعلى ذلك داله كثافه االحتمال للمتغیر

f (x, ) ( )f (x | ) f (x) ( x).

١٨٧

0 1 01

1 1 12

0 1 01

1 1 12

f (x 0 .3) (.3) (.7) .7,

f (x 1 .3) (.3) (.7) .3,

f (x 0 .4) (.4) (.6) .6,

f (x 1 .4) (.4) (.6) .4,

:فى الجدول التالى Xویمكن وضع داله كثافة االحتمال للمتغیر 2 1

.6 .7 1f (x 0 )

.4 .3 2f (x 1 )

:وعلى ذلك

1 1 1

1 11

( )f (x )x 0

f (x )

(.4)(.7) 28 7 = ,(.4)(.7)+(.6)(.6) 64 16

2 1 2

2 11

( )f (x )x 0

f (x )

(.6)(.6) 36 9 = ,.64 64 16

1 2 1

1 22

( )f (x )x 1

f (x )

(.4)(.3) 12 1 = ,(.4)(.3)+(.6)(.4) 36 3

2 2 2

2 22

( )f (x )x 1

f (x )

(.6)(.4) 24 2 = ,(.4)(.3)+(.6)(.4) 36 3

:هو وعلى ذلك التوزیع البعدي لـ 2x 1 1x 0 1/3 7/16 1 x

2/3 9/16 2 x

١٨٨

)٢-٤(مثال

والذى نعتقد قبل إجراء بفرض أننا سنسحب عینة عشوائیة من توزیع بواسون بمتوسط 2كما أن 4أو 2التجربة انه یساوى 4لها اربعة اضعاف احتمال . االحتمال :القبلى یعطى كالتالى

P( 2) 0.8 , P( 4) 0.2 . xبفرض أنه تم إجراء التجربة ووجدنا أن 6 2فى هذه الحالة فإن تبدو أقل احتماال

xمن قبل، فالمشاهدة 6 4ترجح أن 2على كون ، أي بتعبیر أوضح: P(X 6 2) P(X 6) P(X 5) .995 .983 .012.

2عند) ١(ث یتم حساب هذا االحتمال من جدول توزیع بواسون فى ملحق حی وبالمثل :

P(X 6 4) P(X 6) P(X 5) .889 .785 .104.

:وعلى ذلك

2 P(X 6 2)P( 2 X 6)

(2)P(X 6 2) (4)P(X 6 4)

.8 .012 .316,

.8 .012 (.2)(.104)

4 P(X 6 4)P( 4 X 6)

(2)P(X 6 2) (4)P(X 6 4)

.2 .104 .684.

.8 .012 (.2)(.104)

2وهكذا یتضح أن احتمال االحتمال ( 316.الى ) االحتمال القبلى( 8.نقص منxبعد سحب العینه والحصول على ) البعدى 6 4وأن االحتمال ویمكن 684.اصبح

:على الصورة التالیة كتابة التوزیع البعدى لـ

.684 46

.316 2.

١٨٩

)٣-٤(مثال

ذا كات المعلومات الماضیه تشیر 8صندوق به وحدات مشحونه من مصدر ما ، وامن الصنادیق المشحونه من هذا المصدر التحتوى على وحدات معیبه و %70على أن

تحتوى على وحدتین معیبتین أى أننا نفترض أن %10تحتوى على وحده معیبه و 20%ثم . وحده معیبه 0 , 1 , 2وحدات سوف یكون بها اما 8كل الصنادیق التى تحتوى على

أوجد . وحدات ووجد أن وحده واحده معیبه 8وحدات عشوائیه من صندوق به 3اختیار وى على وحدتین وحدات استقبل من المصدر فى الحقیقى یحت 8احتمال ان صندوق من

.معیبتین

:الحــلمن الوحدات المختارة nتمثل عدد الوحدات المعیبه فى عینه من الحجم Xبفرض أن

:حیثمن الصندوق

x n xnf x (1 ) .

x

n = 3وعلى ذلك فإن داله االمكان عند . احتمال الحصول على وحده معیبه حیث :ووجود وحده معیبه هى

1 2 23f 1 (1 ) 3 (1 ) .

1

وحدات 8وحدات معیبه من الصندوق الذى به 2أو 1أو 0هناك ثالثه امكانیات اما :تمثل احتمال وحده معیبه فإن وبما أن

0 , 1/8 , 2/8. :هو وعلى ذلك فإن التوزیع القبلى للمعلمه

.25 0.125 0 .1 .2 .7 ( )

:فإن داله االمكان سوف تكون قیم من لل.25 0.125 0

١٩٠

.42 .287 0 f (1 )

وحدات إذا 8وباالعتماد على نظریة بییز فإن احتمال وجود وحدتین معیبتین في صندوق به :علم أن العینه تحتوى على وحده واحده معیبه هو

f 1.25 .25( .25 | x 1

f 1.25 .25 f (1 .125) .125 f 1 0 0

.42 .1 .42 .

.42 .1 .287 .2 (0)(.7)

فإن 1.في هذا المثال بینما االحتمال القبلى لوجود وحدتین معیبتین فى الشحنه هو فقط ) . (42.االحتمال البعدي هو تقریبا أربع أضعاف

)٤-٤(مثال

وحده مستقبله من مصدر ما حیث تحتوى 1000بفرض أن شحنه تحتوى على ایضا انه بفرض أن من الخبره السابقة . من الوحدات المعیبه) غیر معلومه( الشحنه علي

بفرض اننا وضعنا الفرض أن كل وحده منتجه لها . من الوحدات معیبه %5وجد أن وعلى ذلك فإن داله كثافة . الن تكون معیبه ، وأن حدوث المعیب مستقل 0.05االحتمال

p = .05به فى الشحنة یتبع توزیع ذى الحدین بمعلمتین االحتمال القبلیه لعدد الوحدات المعی , n = 1000 .وعلى ذلك داله كثافة االحتمال القبلیة هى:

10001000.05 0.95

, 0 , 1, 2, ....,1000.

ذا كان ). بدون ارجاع(وحدات من الشحنه 10بفرض اننا أخترنا عینه عشوائیه من Xوا :هى Xتمثل عدد الوحدات المعیبه فى العینه ، فإن داله كثافة االحتمال للمتغیر

1000x 10 xf x ,x 0,1,2,...,10,

100010

:هى X ,وعلى ذلك داله كثافة االحتمال المشتركه للمتغیرین

١٩١

1000

10001000x 10 xf (x, ) .05 (.95)

100010

, x 0, 1, 2, ... , 10, x, x+1 , ... 990 + x.

تمثل عدد الوحدات السلیمه x – 10تمثل عدد الوحدات المعیبه فى العینه و xحیث واكبر x هى أقل قیمه ممكنه لـ . n=10فى العینه العشوائیة من الحجم ) الغیر معیبة(

. وبالتالى نحصل على مدى (x -10)-1000قیمه ممكنه هى Xوعلى ذلك بعد اجراء بعض االختصارات نجد أن داله كثافة االحتمال الهامشیه للمتغیر

:هي

وعلى ذلك داله كثافة االحتمال n = 10 , p = .05یتبع توزیع ذي بمعلمتین Xاي ان :هى البعدیه لـ

x 990 ( x)990f , xx .05 .95 , x,x 1,...,990 x.

xf (x)

)٥-٤(مثال

2وتباین متغیر عشوائي بمتوسط Xإذا كانت معلوم حیثX ~ N( , ) أوجدهو تحت فرض أن التوزیع القبلي لـ التوزیع البعدي لـ 0 0N , 0 حیث 0, ثوابت

. n = 1تحت فرض أننا حصلنا على عینه عشوائیة من الحجم معلومه و

990 x 1000

x

990 xx 10 x x 990 ( x)

x

x 10 x

10 990f x .05 .95

x x

10 990 .05 .95 .05 .95

x x

10 .05 .95 ,x 0,1,2,...,10.

x

١٩٢

:الحــل

1 22

1f x 2 exp x / ,2

1 220 0 0

12 exp / .2

:وبما أن

1 220 0 0

1 22

2 1 10 0 0

x f x .

1 x 2 exp /2

1 . 2 exp x /2

1 exp 2 ( / ) (x / ) .2

حیث ینظر الى x كداله فى ولذلك یكون من المناسب كتابه:

1 1 10

1 1 0 0

1 ,

/ ) (x / .

:وعلي ذلك

1 1 10 1

0 0 1 1

,( / ) (x / ) /

:وعلى ذلك

1 221 1 1

1x 2 exp /2

:أي أن 1 1x ~ N ,

)٦-٤(مثال

:یمكن تعمیم المثال السابق كالتالى

١٩٣

إذا كان 0 0~ N , ولكن بدال من اخذ عینة عشوائیة من الحجمn=1 سوف نأخذ1عینه عشوائیة 2 nX (X,X ,...,X ) حیث X ~ N , وعلى ذلك:

1 220 0 0

1 22 1

1 22 2

1 22 n

20 0

x f x

1 2 exp /2

1 . 2 exp x /21 . 2 exp x /21 ... 2 exp x /2

1 exp - (1/ ) (n / ) 2 ( /2

0 i) ( x / ) .

:وعلى ذلك فإن 1 1x ~ N , .

:حیث

11 0

1 1 0 0 i

(1/ ) (n / ) ,

/ ( x / ) .

:أو

11 11 0

1 1 0 0

( / n) ,

{ / x /( / n) .

h(tوتوزیعه االحتمالى اذا كان هناك إحصاء كافى للمعلمه ) فإنه یمكن كتابه التوزیع :البعدى على الصوره

( x) ( ) h(t ) N(x). :على فى ثابت التناسب فنحصل N(x)یمكن أن تدخل

( t) ( ) h(t ).

١٩٤

هو نفسه التوزیع البعدي لـ xإذا علم للمعلمه ألي توزیع قبلى فإن التوزیع البعدى لـ إذا علمt. فإذا وجد اإلحصاء الكافى فیكون من األفضل استخدام الصیغه األخیرة وذلك

)الهمیة اإلحصاء الكافى ، ویتم حساب ثابت التناسب بإعتبار أن t) توزیع احتمالى. )٧-٤(مثال

1إذا كان 2 nX (X,X ,...,X ) عینه عشوائیه من توزیع بواسون وعلي ذلك: tf (x ) exp(-n ) .

nحیث

ii=1

t= x ومن المعروف أنn

ii=1

T= X إحصاء كافئ للمعلمه إذا علمx حیث: t(n ) exp[ n )h(t ) .

t!

)٨-٤(مثال

1بفرض أن 2 nX (X,X ,...,X ) عینه عشوائیه مختاره من مجتمع یتبع التوزیع الطبیعى2معلوم وتباین بمتوسط غیر معلوم فإن:

n- 2 1f (x ) exp - z/ .

2

:حیث2

iz= (x - ) .

2بما انiZ= (X - ) احصاء كافي لـ إذا علمx .من المعروف أن:

i(X - )/ ~ N(0,1), N(0 , 1)من المتغیرات المستقله وكل متغیر یتبع nیمثل مجموع مربعات Z/وحیث أن 2وعلى ذلك

nZ/ ~ بوضعY=Z/ فإن: n 12 1g(y) y exp y , y > 0.

2

:من السهل أثبات أنn2

n- 1 2 1h(z | ) z exp z / , z > 0.2

١٩٥

)٩-٤(مثال

بفرض ان كل وحده على خط اإلنتاج اما أن تكون معیبه أو غیر معیبه ، وعلي ذلك P )معیبھ= (بفرض أن المحاوالت مستقله حیث . یمكن تسمیه كل وحده محاوله برنولى

ixلكل وحدة ، وعلي ذلك 1 معیبه و إذا كانت الوحدهix 0 إذا كانت الوحده غیر معیبه .1وعلى ذلك 2 nX (X,X ,...,X ) ذا كانت . تمثل عینه عشوائیه nوا

ii 1

x t

حیث داله كثافه :هي Xاالحتمال للمتغیر

x x 1f (x ) (1 ) , x=0,1. ذا كان التوزیع القبلى للمعلمه أوجد التوزیع البعدى a , b یتبع توزیع بیتا بمعالم وا

. للمعلمه

:الحــل

nمن المعلوم أن

ii 1

T X

كافى للمعلمه احصاء ویتبع توزیع ذى الحدین بمعالم(n, ) .أى أن:

t n-tnh(t ) (1- ) , t = 0, 1, 2...,n.

t

:هو وبفرض أن التوزیع القبلى للمعلمه

a 1 b 1

a-1 b 1 t n-t

a-1 b 1 t n-t

1( ) (1 ) ,0 1,(a,b)

t h t

(1 ) (1- )

t c (1 ) (1- ) .

:أى أن a+t-1 b n t 1| t c (1 ) 0 1,

:نتبع اآلتي cالیجاد قیمه الثابت

١٩٦

1

01

a t 1 b n t 1

0

( x)d 1

c (1 ) d 1

c (a+t, b+n-t)=1

1c = .

(a+t , b+n-t)

a t 1 b n t 1(1 )( t) , 0 1.(a t , b+n-t)

= 0 e.w.

:هو فإن التوزیع القبلى للمعلمه b = 2 , a = 2بفرض أن

6 (1- ) , 0 1, :هو والتوزیع البعدى للمعلمه

t 2 1 n-t+2-1 (1- ) t , 0 1,(t 2 , n-t+2)

)١٠-٤(مثال

إذا " فشل"أو " نجاح"بفرض محاوالت مستقله لتجربه لها نتیجتین فى كل محاوله اما ذا كانت nتمثل عدد حاالت النجاح فى tكانت تمثل احتمال النجاح من المحاوالت وا

:هى T كثافة االحتمال للمتغیر فى محاوله معرفه وعلى ذلك داله t n-tn

h t (1- ) , t= 0 , 1, ... , n.t

تأخذ قیمتین حیث بفرض وجود معلومات مسبقه قبل سحب العینه وهى أن .6 , =0.3 وأنP( .3) 0.1 , P( 0.6)=.9 وعلي ذلك التوزیع القبلى

:هو للمعلمه

0.1 = .3=

.9 = .6 .

: هو للمعلمه التوزیع البعدى

١٩٧

t n t

t n t t n t

t h t .

(1 ) t .

(.3) (.7) (.3) (.6) (.4) (.6)

tوبفرض أن 2 , n = 5 فإن: 2 5 2

2 5 2 2 5 2

(.3) (.7) (.3)(.3 t = 2) = .(.3) (.7) (.3) (.6) (.4) (.6)

.1296 .13

:وبنفس الشكل (.6 t 2) = .8704 .87.

:هو وعلى ذلك التوزیع البعدي للمعلمه .13 = .3

( t 2).87 = .6.

)١١-٤(مثال

1إذا كان 2 nX (X,X ,...,X ) عینه عشوائیه مختاره من مجتمع له داله كثافة االحتمال التالیة :

1f (x ) ; 0 < x < .

:هو للمعلمه وكان التوزیع القبلى

( ) 1 , 0 < < 1. . أوجد التوزیع البعدي للمعلمه

:الحــل :وأن إحصاء كافي للمعلمة U= max (X) من المعلوم أن

n 1

n

nuh(u ) , u < .

:وعلى ذلك فإن

١٩٨

n

1( u) ; u < ; 0 < < 1.

n

c( u) ; u < ; 0 < < 1.

:نتبع اآلتي cإلیجاد قیمه 1

u

( u) d = 1.

11 1-n

nu u

c c d = 1 1,1 n

1 n1 uc = 1.1 n 1 n

n 1

n 1

n 1

1 1c = 1n 1 (n 1)u

1 uc = 1(n 1)u

n 1

n 1

n 1

n 1 n

(n 1)uc 1 u

n 1 u 1u . ; u < < 1.1 u

)١٢-٤(مثال

1إذا كان 2 nX (X,X ,...,X ) عینه عشوائیه مختاره من مجتمع له داله كثافه احتمال :بواسون على الشكل

x ef (x ) , x = 0 , 1, 2, ...x!

ذا كان التوزیع القبلى المقترح :هو للمعلمه واa

a-1 bb( ) e , > 0.(a)

.للمعلمه المطلوب إیجاد التوزیع البعدى ( a , b)أى جاما بمعلمتین

١٩٩

:الحــل :كاآلتي للمعلمه یمكن إیجاد التوزیع البعدي

n xn

i ni 1

ii 1

eL(x ) f (x ) f (x | ) ,x !

:وعلى ذلك

a a t 1 (b n)

n

ii 1

b ef (x ) .(a) x !

حیث n

1i 1

t x

.اآلن:

aa t 1 (n b)

n0

ii=1

f (x) ( ) f(x )d

b = e d .(a) x !

:بإجراء التكامل كاآلتى

a t 1au

1 0

aa t 1 u

na+t 0

ii=1

a

na+t

ii=1

let u = (n+b) ,u du = d .

n+b n bb u duf (x) e

(a) x ! n b (n b)

b = u e du(a)(b+n) x !

b (a t) = .(a)(b+n) x !

f x |

x .f x

:وبإجراء القسمة كالتالى

٢٠٠

a a t 1 (b n )

n

ii 1

a

na t

ii 1

b e

(a) x !x .

b (a t)

(a)(b n) x !

:كالتالى للمعلمه نحصل على التوزیع البعدى

a ta t 1 (b n )(b n)x e ; > 0.

(a t)

. ( a + t , b +n)والذى یتبع توزیع جامعا بمعالم ایضا یمكن الحصول على | x

:بطریقة اخرى كالتالى

nبما ان

ii=1

T= X ومن المعروف أنT إحصاء كافئ للمعلمه إذا علمx حیث:

t(n ) exp[ n )h(t ) .t!

:وحیث ان | x h(t| ),

a t 1 (b n )x e ; > 0,

a t

a t 1 (b n)(b n)x e ; > 0.(a t)

b = 3 , a = 2بفرض أن :هو للمعلمه فإن التوزیع القبلى

39 e , > 0.

:هو للمعلمه والتوزیع البعدي

t 2t 1 (n 3)(n 3)x e , > 0.

(t 2)

وهناك . ویجب أن نعلم أن التوزیعات القبلیه السابقة اختیاریة وتعتمد على نوع الفروض مئات الفروض التى یمكن وضعها ، وعلى ذلك فإنه بمكن للباحثین استخدام نفس العینه

.لقبلى المفترضوسوف یصلون الى توزیعات بعدیه مختلفه وذلك اعتمادا على التوزیع ا

٢٠١

سوف یغیر التوزیعات البعدیه للمعلمه اآلن سوف نوضح كیف أن التوزیع القبلى . من المثال التالى

)١٣-٤(مثال

إذا تم x = 0إذا تم الحصول على وجه و x = 1بفرض أننا القینا عمله وبفرض أن :هى Xوعلى ذلك داله كثافة االحتمال للمتغیر . الحصول على كتابه

f x 1 x 0

x 1.

:بفرض أن التوزیع القبلى هو 1 , 0 1.

:سوف یكون X,اذن التوزیع المشترك لكل من f x, 1 x 0

x 1.

:هى Xوعلى ذلك التوزیع الهامشى للمتغیر

1

01

0

1f (0) 1 d , x 02

1f (1) d , x 1. 2

:هو التوزیع البعدي للمعلمة x 2 1 , x 0 , 0 1

2 , x 1 , 0 1.

1تزید عن أى اننا قبل القاء العمله كنا نشعر ان احتمال أن 2

1هو 2

وبعد القاء العمله

1عن فإن احتمال أن تزید ) وجه( x = 1والحصول على 2

:هو 1

12

32 d = , 4

1عن احتمال ان تزید فإن (x = 0)او عندما نحصل على كتابه 2

:هو

٢٠٢

1

12

12 1 d = , 4

< 1وعلى ذلك فإن االحتمال البعدي أن 2

3هو اما 4

1أو 4

وذلك اعتمادا على .نتیجه العمله هل هى وجه أو كتابه

:ومن ناحیة اخرى اذا اخترنا التوزیع القبلى على الشكل التالي 5 , .4 .6 .

:هو Xوعلى ذلك التوزیع الهامشى للمتغیر وذلك كتوزیع قبلى لـ

.6

.4.6

.4

f (x) 5 1 d .5 , x 0

5 d .5 , x 1 .

.هو نفسه الذى حصلنا علیه من قبل ذلك f(x)ویجب ان نعلم ان التوزیع :هو اآلن التوزیع البعدى للمعلمة

x 10 1- , x 0

.4 .6 10 , x 1 , .4 < < .6 .

:وبنفس الشكل إذا استخدمنا التوزیع القبلى التالى 1 , .4 ; .6

41 , .5 . 2

:هو وعلي ذلك التوزیع البعدي للمعلمة

1 1 .44.4 x 0 1 1 11 .4 1 .6 .5

4 4 26

340 .3,6 4 10 1040 40 40

٢٠٣

1 1 .64.6 x 0 1 1 11 .6 1 .4 .5

4 4 24

240 .2,4 6 10 1040 40 40

1 .52.5 x 0 1 1 11 .4 1 .6 .5

4 4 210

1040 0.5 .6 4 10 2040 40 40

:هو وعلى ذلك التوزیع البعدى للمعلمه x 0 . 3 .4

.5 .5 .2 .6 .

كل یمكن الحصول على وبنفس الش | x 1 حیث: x 1 .2 .4

.5 .5 .3 .6 .

عادة فى التحلیل البییزى ما نواجه مشكلة اختیار التوزیع القبلى الذى یمثل معلوماتنا أو

توجد عدة . قبل الحصول على العینه خبرتنا او افكارنا أو اراؤنا السابقة حول المعلمة طرق الختیار التوزیعات القبلیه نذكر منها اثنین فقط النهما كثیرا االستخدام فى التحلیل

:البییزى وهما التوزیعات القبلیه المرافقة. لمة التوزیعات القبلیه الغیر مع

٢٠٤

Conjugate Prior Distributionsالتوزيعات القبلية المرافقة) ٣-٤( :تعریف

یقال أن مجموعة من التوزیعات االحتمالیة القبلیة تكون عائلة مترافقة مع التوزیع االحتمالى المسحوب منه العینة إذا كان التوزیع البعدى ینتمى الى نفس العائلة التى ینتمى علیها

تحت التوزیع القبلى مهما كانت المشاهدات وتسمى هذه الخاصیة أحیانا بخاصیة االنغالق . closed under samplingالمعاینة

.اآلن سوف نوضح كیفیة الحصول على التوزیع القبلى المرافق

تمثل متجه حیث متغیر عشوائي ومن الممكن أن تحت فرض أن 1 2 k, ,..., ذا كانت وا 1 2 nX X ,X ,...,X عینة عشوائیة حجمهاn مسحوبة

من مجتمع توزیعه االحتمالى f x ذا كانت وا 1 2 nx x ,x ,...,x ترمز لقراءات عینهذا كانت . وا f x عضو فى العائلة األسیة فإن:

a b(x) c d(x)f x e . فإن داله االمكان تكون على وبالنظر الى التوزیع المشترك للعینة على أنه داله فى

:الصوره التالیة

n

ii 1

na c d xL e

:ایضا یمكن كتابتها على الصورة

n

ii 1

n na c d x

ii 1

L ,n; d x e

:علىوباختیار التوزیع القبلى لیتناسب مع داله اإلمكان نحصل 1 1a c

1 1; , e , :ویدمج داله االمكان مع التوزیع القبلى فإن التوزیع البعدى یأخذ الصورة التالیة

2 2a c2 2; , e ,

:حیث

n

2 1 i 2 1i 1

d x , n.

٢٠٥

:والتوزیعات القبلیه المرافقة لها Xالجدول االتى یعطى بعض التوزیعات االحتمالیة للمتغیر التوزیع القبلى المرافق المعلمة Xتوزیع

بیتا احتمال النجاح ذى الحدین

جاما المتوسط بواسون

جاما مقلوب المتوسط األسي

الطبیعى )التباین معلوم(المتوسط الطبیعى

معكوس جاما )المتوسط معلوم(التباین الطبیعى

من مزایا التوزیع القبلى المرافق انه من السهل الحصول على التوقعات المختلفة بالنسبة له كما أن افراد العائلة المرافقة كثیرون بحیث یستطیع الشخص ان یمثل معلوماته السابقة بفرد

.من أفراد العائلة ، لذلك یقال ان العائلة المرافقة غنیة مرنه

)١٤-٢(مثال

یتبع توزیع برنولى بمعلمه Xحیث 1أو 0تأخذ القیمه Xوبفرض أن ) ٩-٤(للمثال حیث )=وحده معیبه (P .

.والمطلوب إیجاد التوزیع القبلى المرافق

:الحــل

i i

i i

x n x

x ln n x ln(1 )

L x (1 )

e

in ln 1- x ln ln 1 e :وعلى ذلك التوزیع القبلى المرافق سوف یكون

a ln 1 b ln ln 1

a ln 1 b ln1

a bb

a b b

e

e

1- 1

1- .

٢٠٦

:أى أن التوزیع القبلي المرافق هو

a-bb c 1- , 0 1.

:نتبع التالى cإلیجاد قیمة الثابت

1

01

a bb

01

a bb

0

b a b

d 1

c 1 d 1

c 1 d 1

c (b 1,a b 1) 11c

b 1,a b 1

(1 ) 0 1.b 1,a b 1

).b+1),(a-b+1(اى ان التوزیع القبلى یتبع توزیع بیتا بمعالم : اى أن

~ (A,B) aحیث b 1 B , b 1 A

:هى وعلى ذلك داله كثافة االحتمال البعدیه للمعلمه b+n-t-1a+t-1x 1- 0< <1.

itحیث x . a)یتبع توزیع بیتا بمعالم اى ان التوزیع البعدى للمعلمة t),(b n t) .

یالحظ ان التوزیع البعدى ینتمى الى نفس العائلة التى ینتمى الیها التوزیع القبلى أى أن التوزیع البعدي عضو أو فرد فى نفس العائلة التى ینتمى الیها التوزیع القبلى فى مثل هذه

.الحاله نقول ان التوزیع القبلى مرافق للتوزیع االحتمالى المسحوب منه العینه

٢٠٧

)١٥-٤(مثال

إذا كانت 1 2 nX X ,X ,...,X عینه عشوائیة من مجتمع له داله كثافة االحتمال:

- xef x , x 1,2,....x!

.اوجدي التوزیع القبلى المرافق والتوزیع البعدى لــ

:الحــل :دالة اإلمكان هى

i

xn

i 1 i

-n +( x ) ln

eL(x )x !

L(x ) e

:التوزیع القبلي یاخذ الصیغة التالیة

a b ln

a b ln

e

c e

a b c e 0 < < .

:نتبع االتى cلحساب قیمة

0

a b

0

b a

0

d 1

ce d 1

c e d 1.

:بوضع

٢٠٨

dud a ua

bu

0

b ub 1

0

b 1

b 1

b 1 b a

u duc e 1a a

c u e du 1a

c b 1 1a

acb 1

a e 0 .b 1

b)إذن التوزیع القبلى یتبع توزیع جاما بمعالم 1),(a) حیثb > -1 وa > 0 وعلى ذلك

:سوف یكون فإن التوزیع البعدى لـ

b t 1 n ab tn a ex .

(b t 1)

.أي أن التوزیع البعدى والتوزیع القبلى عضوان فى عائلة توزیع جاما

)١٦-٤(مثال

إذا كانت 1 2 nX X ,X ,...,X عینه عشوائیة مختارة من مجتمع له داله كثافة :االحتمال

xf (x ) e , x > 0. .اوجد التوزیع القبلي المرافق

:الحــل :دالة اإلمكان هى

٢٠٩

i

nx

i 1xn

a b

L(x ) e

L(x ) e

c e 0.

:نتبع اآلتى cالیجاد قیمة الثابت

0

a b

0

a b

0

d 1

c e d 1

c e d 1 .

:بوضع

1 ud du b u.b b

٢١٠

au

0

au

a 10

a ua 1

0a 1

a 1

a 1 a b

b ducb e ( ) 1u b

uc e 1b

c u e du 1b

c ba 1 1 cb a 1

b e 0.a 1

a) اذن التوزیع القبلى یتبع توزیع جاما بمعالم 1),(b).

إذا كانت 1 2 nX X ,X ,...,X عینه عشوائیة مختارة من مجتمع له داله كثافة :االحتمال

1f (x ) , 0 < x < . .أوجد توزیع قبلى مرافق ومن ثم أوجد التوزیع البعدى

:الحــل :من المعلوم أن دالة اإلمكان هي

in

1L(x ) , 0 < x < ; i = 1, 2, ...,n.

:ویمكن كتابتها على الصورة التالیة

)١٧-٤(مثال

٢١١

n

1L(x ) , > u

u = max (xi)حیث :وعلى ذلك التوزیع القبلى یاخذ الشكل التالى

ثوابت التوزیع a , b > 0حیث .

a 1

k( ) , > b.

:نتبع اآلتي kإلیجاد قیمة الثابت

b

a 1b

a

a 1b b

a

a

d 1

k d 1

dk 1 k 1a

k 10 1a bk 1

ab

a

a

a 1

k abab ; > b.

:وبالتالى فان التوزیع البعدى یكون

a n 1

1x ; > t

:وعلى ذلك t = max (b,u) حیث

a 1

1( ) , > b

٢١٢

a n 1

cx ; > t.

:نتبع التالى cوإلیجاد قیمة

t

(a n 1) 1

a n 1 a n 1t t t t

a n a nt

a n

a n

a n

a+n+1

x d 1

c 1d c d c(a n 1) 1

c 1 c 1 0a n a n t

c 1a n t

c a n t

a n tx ; > t max

(b, u) .

Information Prior -Nonمعلمةالتوزيعات القبلية الغير ) ٤-٤(Distributions

عن المعلمة قلیلة أو نادرة ) قبل سحب عینة عشوائیة(عندما تكون المعلومات القبلیة فإننا نكون فى حالة جهل بالنسبة لهذه المعلمة ، أي أن معرفتنا قلیلة ونرغب فى تمثیل هذه

لم المعرفة المحدودة جدا بتوزیع احتمالى یعبر عنها ، والذى یدعى بالتوزیع القبلى الغیر مع، حیث تكون المعلومات المتوفرة حول ignorance priorأو التوزیع القبلى الجاهل

المعلمة قبل المعاینة غیر جوهریة بالنسبة غلي المعلومات المتوقع الحصول علیها من العینة

٢١٣

حالة الجهل او المعرفة المحدودة حول المعلمة تفرض علینا اال نعطى اهتماما خاصا ألي . .القیم الممكنة لهذه المعلمة قیمة من

وهناك عدة طرق للتعبیر على ذلك نذكر منها التوزیع المنتظم والطریقة المعتمدة على .معلومات فیشر

Uniform Distributionالتوزيع المنتظم) ١- ٤-٤(فیختار لها توزیع قبلى منتظم على ) فترة(قیم فى مدى محدود عندما یكون للمعلمة

a هذه الفترة أي أذا كانت b فإن التوزیع القبلى لها هو: 1( ) , a b.

b a

قیم فى المدي اما اذا كانت للمعلمة , فإن التوزیع القبلى یكون على الشكل

: )١-٤ ( c , < < . ثابت cحیث

تأخذ قیما فى المدي وأخیرا اذا كانت المعلمه 0, فان التوزیع القبلى یكون على :الشكل

)٢-٤ (

1( ) , 0 < < .

تسمى توزیعات غیر كاملة ، غیر تامة ) ٢-٤(، ) ١-٤(التوزیعات القبلیه الغیر معلمة فى improper ألن تكامل هذه التوزیعات على مدي المعلمة ، وهذه )∞(یعطى ما النهایة

لیست مشكلة كبیرة عملیا ألنه یمكن استخدام التوزیع كدالة وزن تخصص أوزانا متساویة .على مسافة النهائیة

)١٨-٤(مثال

بفرض أن لدینا عمله وكان اهتمامنا في تقدیر المعلمة والتى تمثل احتمال الحصول إذا لم یكن لدینا معلومات كافیة . 1 > > 0على وجه فى الرمیه الواحده ، نعلم أن

٢١٤

( 1 , 0 )فى الفترة فى هذه الفترة فإننا یمكن أن نفترض توزیع قبلى منتظم للمعلمة :ویمكن كتابته على الشكل التالى

1 , 0 < < 1 0 e.w.

ومن ناحیه . لها نفس امكانیة الحدوث ( 1 , 0 )حیث نشعر أن كل القیم الممكنه فى الفترة

اى نفترض ان 6. > > 4. یمكن ان تكون فى الفترة أخرى قد نشعر أن :العملة متزنه ولذلك فإن التوزیع القبلى یكون على الشكل التالى

5 , .4 < < .6. , 4. , 6.ولكن فقط القیم 6.الى 4. یمكن أن تكون فى الفترة وقد نشعر أن قیم

:وعلى ذلك 6.او 4.ضعف ظهور 5.حیث امكانیة ظهور 5.

1 , .4 , .641 , .52

0 e.w.

)١٩-٤(مثال

:على الشكل داله كثافة االحتمال لمتغیر عشوائي بفرض أن

1f x , 0 < x < .

ذا كان التوزیع القبلى على الشكل :وا

٢١٥

1 , 0 < < 1 .

.ایجاد التوزیع البعدي للمعلمه : المطلوب

:الحــل

iT max X

حیث 1 2 nX X ,X ,...,X عینه عشوائیة مختاره من التوزیع f x .

:وعلي ذلك

٢١٦

n 1

n 1t

0

n 1 n 1

n

n 1 n 1

n n n

1

n n

11 n

ttn n 1

1 n n 1

n 1

n

h t nf t F(t)

1 1h t n du

n t nt .

t h t

nt nt 1 1. , t 1.

1/ 1/t 11 d n 1

(1 n) t .t 1 t

n 1 t .1 t

n 1 , t .

)٢٠-٤(مثال

بفرض أن 1 2 nX X ,X ,...,X عینه عشوائیة مختاره من توزیع طبیعى حیث iX ~ N , وبفرض أن التوزیع القبلى لـ الغیر معلم هو:

c , < < . :الداله السابقة لیست داله كثافة احتمال وذلك ألن

d .

معلومات فيشر) ٢- ٤-٤(او فى حالة وجود اكثر من معلمة وتستخدم هذه الطریقة سواء فى حالة معلمة واحدة

.

٢١٧

حالة معلمة واحدة ) ا(لیتناسب مع الجذر التربیعى فى هذه الطریقة یتم اختیار التوزیع القبلى للمعلمة

:لمعلومات فیشر أى أن

12I .

)Iحیث ) هي معلومات فیشر المعرفة كالتالى: 2

2I( ) E ln f (x ) .

)ویسمى التوزیع القبلى ) في هذه الحاله توزیعJeffrey's

)٢١-٤(مثال

:متغیرا عشوائیا من مجتمع له داله كثافة االحتمال Xإذا كان x 1-xf x (1- ) , x 0,1; 0 < < 1

.باالعتماد على معلومات فیشر أوجد توزیع قبلى غیر معلم للمتغیر

:الحــل :باستخدام معلومات فیشر حیث یمكن الحصول على توزیع قبلى غیر معلوم لـ

2

2 2 2

2

2

In f x xln (1 x)ln(1 )

ln f x x 1 x1

ln f x x 1 x1

ln f x 1I E .1

E(X)وذلك الن .وعلي ذلك فإن:

1( )1

٢١٨

)٢٢-٤(مثال

إذا كان 1 2 nX X ,X ,...,X عینه عشوائیة من مجتمع یتبع توزیع بواسون بدالة :كثافة احتمال

xef x , x 0, 1, 2, ....

x!

.باالعتماد على معلومات فیشر اوجد التوزیع القبلى لـ

:الحــل 2

2 2

ln f x xln cons tan t

ln f x x .

:ومنها فإن

21I( ) .

:وعلى ذلك التوزیع القبلي المقترح هو

1( ) . )٢٣-٤(مثال

:متغیرا عشوائیا من مجتمع له داله كثافة االحتمال X إذا كان

x n-xnf x (1- ) , x 0,1,2, ....,n ; 0 < < 1 .

x

.باالعتماد على معلومات فیشر لـ أوجد توزیع قبلى غیر معلم

:الحــل

. یعتبر التوزیع التالى توزیع قبلى غیر معلم لـ 1 , 0 < < 1 .

:بإستخدام معلومات فیشر كالتالى ویمكن الحصول على توزیع قبلى لـ

٢١٩

22 2

2

2 2 2

nln f x ln x ln (n x)ln(1 )

xx n xln f x

1

x n xln f x1

x n xE lnf (x )1

n n n .1 1

:وعلي ذلك

n( ) .

1

)٢٤-٤(مثال

:متغیرا عشوائیا من مجتمع له داله كثافة االحتمال Xإذا كان - xf x e , x 0 ; > 0 .

.باالعتماد على معلومات فیشر لـ أوجد توزیع قبلى غیر معلم للمتغیر

:الحــل

:بإستخدام معلومات فیشر فإن

2

2 2

2

2 2

ln f x ln x

ln f x 1 x,

ln f x 1

lnf x 1I E .

٢٢٠

:وعلي ذلك1( ) .

)٢٥-٤(مثال

متغیرا عشوائیا یتبع التوزیع الطبیعي حیث Xإذا كان , X ~ N , معلومة .أوجد التوزیع البعدي المعتمد على معلومات فیشر لـ

:الحــل

21ln f (x ) (x- ) / constant .2

:وعلى ذلك

2

2ln f (x ) 1 .

:وعلى ذلك. Xوالذي ال یعتمد على

I( ) 1/ . :والذي یعنى أن التوزیع القبلى هو

( ) 1/ .

ذا كانت :غیر معلومه فإن معلومه و وا

21 1ln f x ln (x- ) / constan t .2 2

:وعلى ذلك

٢٢١

2

22 32

ln f x 1 x / .2

:وعلى ذلك2 2

2

1I( )2

1 .2

:وعلي ذلك فإن التوزیع القبلى هو 1/ .

)٢٦-٤(مثال

متغیرا عشوائیا حیث Xإذا كان 2X ~ N 0, , أوجد التوزیع القبلى لـ باالعتماد على معلومات فیشر.

:الحــل

21 -xf x exp .

22 , < x < 0 < < .

٢٢٢

2

2

2

2

2 2 3

2

2

22 3

2 2 2

1 1 1ln f x ln 2 ln x2 2 2

ln f x 1 x2 2

ln f x 1 x2

ln f xI( ) E

1 1 E X21 1 1

2 21I( ) .

حالة اكثر من معلمة ) ب( یعتمد علي عدة معالم ، أي إذا كانت Xللمتغیر بصورة عامة إذا كان التوزیع اإلحتمالي متجه من المعالم بمعنى أن 1 2 n, ,..., فى هذه الحاله یمكن أن ننظر إلي

:النتائج السابقة كمایلى( ) التوزیع القبلي المشترك للمعالم 1 2 n, ,..., حیث f x التوزیع اإلحتمالي

بمعلومیة Xالمشروط للمتغیر x , بشرط التوزیع البعدي المشترك للمعالمالحصول على العینة 1 2 nx x ,x ,...,x وعندما تكون المعلومات قلیلة أو نادرة عن

)Iوللحصول على معلومة فیشر یتم حساب المصفوفة ) حیث العنصر فى الصفi :هو jوالعمود

2

iji j

ln f x |I( ) E

ذا كان لدینا مشاهدات وا 1 2 nx x ,x ,...,x وفي هذه الحاله یكون التوزیع عینة عشوائیة :هو القبلى المشترك لـ

( ) det I x

٢٢٣

حیث det I هو المحدد للمصفوفةI( ).

)٢٧-٤(مثال

إذا كان 1 2 nX X ,X ,...,X عینة عشوائیة من مجتمع یتبع التوزیع الطبیعي بمعلمتین

, غیر معلومتان اوجد التوزیع القبلى لكل من, . :الحــل

21 1lnf(x| , ) ln (x ) constant 2 2

:وعلى ذلك

2

2

22 21 2 2 3

2

ln f (x | , ) ln f (x | , )x / , 1/ ,

ln f (x | , ) 1 1 ln f (x | , ) 1x / , x / ,2 2 2

:وألن 2E(X) , E X ,

:على ذلك 1

2

0I( ; x) 10

2

31وبما ان المحدد للمصفوفة السابقة یساوى 2

وهذا یعنى أن التوزیع المشترك لـ, هو:

31I , x .2

:ناخذ التوزیع التالىویمكن ان

3( , ) .

Nuisance Parametersالمعالم المزعجة او المقلقة) ٥-٤(

٢٢٤

ذا كان اهتمامنا منصبا Xإذا كان التوزیع االحتمالى للمتغیر یعتمد على عدة معالم واعلى معلمة بعینها فإن باقي المعالم تعتبر معالم مقلقة أو مزعجة وال نحتاجها ویمكن

فمثال ، بفرض أن . التخلص منها بإیجاد التوزیع البعدي الهامشي للمتغیر الذى یعنینا 1 2, 1فالتوزیع البعدي المشترك لـ 2, عندX x یرمز له بـ 1 2, x .

ذا كان اهتمامنا یقتصر علي المعلمة تعتبر مقلقة أو مزعجة ، ویمكن 2فإن المعلمة 1وا :التخلص منها على النحو اآلتي

2

2

1 2 2

11 2

, x d ,g , x

, x .

)٢٨-٤(مثال

إذا كان 1 2 nX X ,X ,...,X عینة عشوائیة مختارة من توزیع N , وكان, التوزیع القبلى المشترك للمتغیرین هو توزیع غیر معلم علي الشكل التالى :

1( , ) ,

,حیث المطلوب إیجاد التوزیع البعدي لكل من . مستقالن , .

:الحــل :داله االمكان هي

2i

n x2 21L( , | x) e .

2

:أذن التوزیع البعدي المشترك هو 2

ix2

n 12

e( , x) .

:وبما أن 2 22

ix n 1 s n x ,

٢٢٥

n 2

i2 i 1

x xs ,

n 1

:هو تباین العینة فإن 22(n 1)s n x

2

n 12

e( , x) .

باجراء التكامل للداله السابقة بالنسبه لـ یتم الحصول على التوزیع الهامشى للمتغیر :فنحصل على

n2

22

n2 2

2

1( x)n 1 s n x

1 n x

1 .n 1 s

:وبوضع n x

ts

:فإن

n2 2

1(t x) .t1

n 1

حیث xn

s یتبع توزیعt بدرجات حریه(n – 1) .

:هو ایضا التوزیع الهامشى للمتغیر

٢٢٦

2

2

2 2

(n 1)s( x)2 n

2n 12

(n 1)s n( x)2 2

n 1 12 2

e( x) e d

2 e e d2

:حیث التكامل یساوي واحد وعلي ذلك فإن2(n 1)s

2

n 12

e( x) .

1وهذا یعنى أن

یتبع توزیع جاما بمعالم 2n 1 (n-1)s ,

2 2

:أي أن 2

2n 1

(n 1)s ~ .

)٢٩-٤(مثال

إذا كان 1 2 nX X ,X ,...,X مجتمع داله كثافته االحتمالیة عینة عشوائیة مختارة من :هي

xf (x ) e , x 0. :وكانت

1 2 nY Y ,Y ,...,Y عینه عشوائیة مختارة من مجتمع داله كثافته االحتمالیة هى: yf (y ) e , y 0.

اوجد التوزیع البعدي للمعلمه

,إذا كان التوزیع القبلى غیر معلم و مستقالن.

:الحــل, التوزیع القبلى للمعلمتین هو:

1( , ) .

٢٢٧

:داله االمكان هيm n t u e

mحیث n

i ii 1 i 1

t x , u y

وعلى ذلك التوزیع البعدي المشترك للمتغیرین ,

:هو

m mm 1 n 1 t u

m nm 1 t n 1 u

t u( , x,y) e(m) (n)

t u e em n

x y .

, وهذا یعنى أن التوزیعات البعدیه لكل من مستقله حیث تتبع توزیع جاما بمعلمتین(m, t) و تتبع توزیع جاما بمعلمتین(n,u) یتبع توزیع مربع كاى U 2كما ان 2mیتبع توزیع مربع كاى بمعلمة T 2أي أن :وهذا یعنى أن . 2nبمعلمة

2m,2n2 T /2m nT ~ F .2U / 2n mU

T /2m 2تعنى الجملة السابقة ان nT2U / 2n mU

2m,2nبدرجات حریة Fیتبع توزیع

:وبالتالى فإن

n T .m U

.(2m , 2n)بدجات حریة Fیتبع توزیع

.فى البندین التالیین سوف نقدم مقدریین بنقطة لبییز النقطة لبييز مقدر) ٦-٤(إن التوزیع البعدي في تحلیل بییز یحل محل دالة اإلمكان في أنه یشمل على كل

قبل الحصول على عینه عشوائیة من المجتمع تحت المعلومات المتوفرة حول المعلمة

٢٢٨

وعلى ذلك إذا كنا الدراسة باإلضافة الى المعلومات المحتواه فى العینه حول المعلمة فإنه یمكن استخدام نفس األسلوب الذى أتبعناه في دالة اإلمكان ، أي نرید تقدیر المعلمة

یمكننا استخدام تقدیر المعلمة بالقیمة التى تعظم التوزیع البعدي أي المنوال كما یمكن مثل الوسیط وذلك لتقدیر لـ استخدام احد مقاییس النزعه المركزیة األخرى للتوزیع البعدى

، كما یمكن للتوزیع البعدي لـ) القیمة المتوقعه(عادة یستخدم الوسط الحسابي . المعلمة)uإیجاد تقدیر ألي دالة ) بالقیمة المتوقعة للدالة بالنسبة للتوزیع البعدي ، فإذا رمزنا لـ

* *u ( ), كتقدیر بییز بنقطة لـu( ), على التوالى المرافقین للتوزیع البعدي ، فإن:

*

*

x dE( )

x ,

u( ) x du ( ) E u( )

u( ) x .

)٣٠-٤(مثال

إذا كان 1 2 nX X ,X ,...,X عینة عشوائیة مختارة من مجتمع له داله الكثافة :االحتمالیه التالیة

1 xxf x 1 . :هو وكان التوزیع القبلى للمعلمه

a 1 b 11( ) (1 ) .(a,b)

)gوتقدیر للدالة اوجد تقدیر بییز للمعلمة ) /(1 ) .

:الحــل

:نعلم ان

٢٢٩

a t 1 b n t 1

1* a t b n t 1

0

*

(1 )x .(a t,b n t)

1E( ) (1 ) d(a t,b n t)

(a t 1,b n t) (a t,b n t)

(a+t+1) (b+n t) a b n) .(a+b+n 1) (a t) (b+n t)

a t .a b n

ذا كانت )gوا ) /(1 ) فإن: a t b n t 2(1 ) dg *( ) E

(1 ) (a t,b n t)(a t 1,b n t 1) (a t) .

(a t,b n t) (b n t 1)

)فإن التوزیع القبلى یصبح a = b = 1إذا كان ) 1 0 )وهذا توزیع منتظم في الفترة,

1وفى هذه الحاله نجد أن (1 t*2 n

ˆtمقارنة بتقدیر االمكان االكبر n

. وعندماa

= b = 0 فإن التوزیع القبلى یصبح

1( )1

وفى هذه . وهو توزیع قبلى غیر معلم

ˆtالحالة نجد أن n

وفى هذه الحالة یكون مصدر . أي یساوى تقدیر االمكان االكبر .هو بیانات العینه معلوماتنا األساسیة حول المعلمة

)٣١-٤(مثال

إذا كان 1 2 nX X ,X ,...,X توزیع برنولي وكان التوزیع عینة عشوائیة مختارة من :هو القبلى لــ

( ) 1 , 0 1. : أوجد * E x .

٢٣٠

:الحــل

n tt

1n t* t 1

0

n

ii 1

1g( x) 1 .(t 1,n t 1)

1E x 1 dt(t 1,n t 1)

(t 2,n t 1) (t 2) (n t 1) (n 2) (t 1,n t 1) (t 1) (n t 1) (n 3)

t 1 , t x .n 2

:هوأى أن تقدیر بییز لـ n

ii 1

(1 x ) /(n 2).

)٣٢-٤(مثال

یتبع توزیع ذى الحدین وكان التوزیع Xمشاهدة واحدة على متغیر عشوائي Xإذا كان :القبلى هو

11( )( ) 1 , 0 1.

( ) ( )

.اوجد تقدیر بییز لـ

:الحــل

11

n xx

n( )f (x, ) 1x( ) ( )

. 1

٢٣١

n x 1x 1

1 1n x 1x 1

0 0

n ( ) 1 .x ( ) ( )

n ( )f (x) f x; 1 dx ( ) ( )

n ( ) ( x 1) (n x ) , x 0,1,...,n.x ( ) ( ) (n )

n x 1x 1

1n x 1* x

0

f (x; )( x)f (x)

(n ) 1( x) (n x )

(n ) E x 1 d( x) (n x )

(n ) ( x 1) (n x ) ( x) (n x ) (n 1)

x .n

)٣٣-٤(مثال

إذا كان 1 2 nX X ,X ,....,X عینة عشوائیة من بواسون حیث: x

f (x ) e x 0,1,2,...x!

:أي أن (2,3) یتبع توزیع جاما بمعالم وكان التوزیع القبلي 3( ) 9 e , 0.

.اوجد تقدیر بییز لـ

:الحــل :هو البعدي لـالتوزیع

x tn n

ntin

i 1i 1 ii

i 1

ex e , t x .x ! x !

٢٣٢

t 1 (n 3)n

ii 1

t+1 (n 3)

9x ex !

e , > 0.

)أي أن x) هو توزیع جاما بمعلمتین(t 2,n 3) . فإن التوزیع البعدى هو جاما 2,3وعلى ذلك عندما یكون التوزیع القبلى هو جاما بمعلمتین

:على الشكل التالىt 2

t 1 (n 3)(n 3)( x) e .t 2

:هو تقدیر بییز بنقطة للمعلمة

t 2

n 1* t 2

0t 2

it 3i 1

(n 3) e dt 2

(n 3) t 3 t 2 , t x .n 3(t 2) (n 3)

:حیثt 2 (n 1)

t 30

(t 3)e(n 3)

:وعلى ذلك*

ii 1

t 2 , t x .n 3

)٣٤-٤(مثال

إذا كان 1 2 nX X ,X ,...,X عینة عشوائیة من التوزیع االسى التالى: xf (x ) e .

ذا كان التوزیع القبلى لـ a)هو جاما بمعلمتین وا 1,b) أى ان: a 1

a -bb( ) e , 0.a 1

.اوجد تقدیر بییز لـ

:الحــل

٢٣٣

)بما ان x) یتبع جاما بمعلمتین a n 1 , b t :أي أن

a n 1a n -(b+t)

a n 1* a n - (b+t)

0a n t

a n 2

(b t)( x) e , 0.(a n 1)

(b t)E( x) e d(a n 1)

(b t) a n 2 a n 1 .b t(a n 1) (b t)

)٣٥-٤(مثال

إذا كان 1 2 nX X ,X ,...,X عینة عشوائیة مختارة من مجتمع له داله كثافة :االحتمال

1f x , 0 x .

ذا كان التوزیع القبلى للمعلمه :هو وا

1 , 0 1. :هو والتوزیع البعدى للمعلمه

n 1

n 1 n(n 1)t 1( t) , t 1.1 t

:فإن

n 1 1*

n 1 n 1t

n 2

n 1

(n 1)t dE( | t) d 1 t

n 1 1 t t .n 2 1 t

:یالحظ أن المقدار بین القوسین یساوى تقریبا الواحد الصحیح وعلى ذلك فإن

* n 1 t.n 2

٢٣٤

)٣٦-٤(مثال

إذا كان 1 2 nX X ,X ,...,X عینة عشوائیة مختارة من توزیعN( , ) حیث

یتبع معلومة وكان التوزیع القبلى للمعلمة 2N a,b مقادیر ثابته معلومه 2a,bحیث .اوجد تقدیر بییز للمعلمه

:الحــل

Xوأن إحصاء كافى للمعلمه Xبما أن N ,n

وعلى ذلك فإن:

2 2

2

(x ) ( a)n2 2b

2 2

2 2

22 2

2 2

2

2 2

x h x .

x e e

nb x a bx N ,nb nb

b x a bn n N ,

b bn n

n 1x a1b N , .n 1 n 1

b b

:بییز هووعلي ذلك تقدیر

2*

2

n axb .n 1

b

٢٣٥

ذا كانت 2bوا فإن هذا یعنى أن c حیثc اى انه ال یوجد اال .ثابتقبل الحصول على العینة وان معلوماتنا اساسا سیكون مصدرها معلومات قلیلة حول

*وفى هذه الحاله نجد أن .بیانات العینة x وهونفس تقدیر االمكان االكبر وتقدیر العزوم.

)٣٧-٤(مثال

فى وجدنا أن داله كثافة االحتمال البعدیه لعدد الوحدات المعیبه ) ٤-٤(فى مثال :هو 1000شحنه من

x 990 ( x)990x 0.05 0.95

x , x,x 1,...,990 x.

:حیثx 0,1,2,...,10.

xمن المعلوم أن تتبع توزیع ذى الحدین بمعلمتینp 0.05 , n 990 وعلى ذلك: E x x E( x) x (990)(0.05) 49.5

E( x) 49.5 x.

وبما أن داله كثافة . n = 10عدد الوحدات المعیبه فى عینه من الحجم تمثل xحیث pاالحتمال كانت تتبع ذى الحدین بمعلمه 0.05 , n 1000 وعلى ذلك فإننا نتوقع ان

. 10وحده معیبه قبل اخذ العینه التى حجمها 50 = (0.05) (1000)الشحنه تحتوى على فإن التقدیر البیزى سوف یكون n = 10فى عینه من الحجم x = 0بفرض أن

* 49.5 0 49.5 ئیة حیث عندما تكون في عینه عشواx 0 فإن التقدیر البیزى . x > 50 + 49.5سوف یزید اى ان

)٣٨-٤(مثال

ذا كان) ١٣-٤( للمثال إذا تم الحصول على كتابة و x = 0 والخاص بإلقاء عمله واx = 1 وبفرض أننا نرغب في حساب الوسط الحسابي للمتغیر إذا تم الحصول على وجه

:تحت فرض التوزیعات البعدیه الثالثة التالیة

٢٣٦

:للتوزیع البعدي | x) 2(1 , x 0 , 0 1

2 , x 1 , 0 1.

:نجد أن * 1 , x 0

32 , x 1 . 3

:للتوزیع البعدى | x) 10(1 , x 0 , .4 .6

10 , x 1 , .4 .6 .

:فإن* .4933 , x 0

.5067 , x 1 .

:للتوزیع البعدي المتقطع x 0 =.3 , .4

.5 , .5 .2 , .6

| x 1 =.2 , .4 .5 , .5 .3 , .6 .

:نجد أن * .49 , x 0,

.51 , x 1.

Bayes Interval Estimationيييز بفترة مقدر) ٧-٤(

وعادة تكون القیمة في تقدیر النقطه كنا نختار قیمة وحیده تكون مقدرا للمعلمه

المتوقعة E x أو المنوال ولكن لم نرفق مثل هذا التقدیر بأي مقیاس یعبر عن درجةلذلك في حاالت عده یكون من المفید استبدال التقدیر بنقطة للمعلمة . الثقة التى یتمتع بها

٢٣٧

بمجموعه من النقاط أي بفترة والتى نعتقد انها تحتوى على المعلمة ال باحتم1 1)100والذى یسمى معامل الثقة وتسمى هذه الفترة )% فترة ثقه واحتمال انها

ایضا تسمى فترة بییز فترة احتمالیه النها تعطى . تحتوى على المعلمه هو معامل الثقهفى طرق بییز فإن هذه الفترات یمكن تكوینها حتى .تقع فى الفترة المعطاه احتمال ان

لها توزیع قبلى متصل داله كثافته فإذا كانت . لعینهقبل الحصول على مشاهدات االقبلیه هى وكان:

b

a d 1 .

:كما هو مبین فى الشكل التالى

باحتمال قدره تحتوى على (a,b)فإننا نستطیع ان ندعى ان الفترة 1 اما بعدالحصول على المشاهدات وحساب التوزیع البعدي x فإننا نستطیع اختیار قیمتین

1 2t , t بحیث یكون:

)٣-٤(

2

1

t

1 2t

x d 1 P(t t ) 1

:كما هو مبین في الشكل التالى

1

a b

1t 2t

|x

٢٣٨

iویجب مالحظة أن it t (x),i 1,2 ،هما دوال في مشاهدات العینهx أي أن الزوج1 2t , t 1حیث 2t t لیس وحید بل توجد أزواج عده تحقق تلك ) ٣-٤(المتحقق بالعالقة

ویفضل دائما فتره الثقة . العالقه 1 2t , t 2المرافقه الصغر فرق 1t , t . تسمى الفترات التى credibleنكونها بإستخدام التوزیع البعدى بفترات بییز واحیانا تسمى فترات مقبولة اومعتمدة

interval .

:تعريفإذا كانت x هي التوزیع البعدي للمعلمه وكانت I x هي فترة للمعلمه

بحیث أن I

x d 1

فإن I تسمى 100 1 % فترة بییز للمعلمه . ایضا هناك فتره احتمال بییز المتماثله ذات الجانبین

Symmetric 100(1-)% Two Side Bayes Probability Interval لالختصار تكتب ( للمعلمه (100 1 %TBPI ویمكن الحصول علیها بحل :المعادلتین

1

2

t

t

x d ,2

x d .2

هو 1tقسمت بالتساوى بین طرفى التوزیع البعدى حیث والفترة السابقة تسمى متماثلة الن :هو الحد االعلى بحیث أن 2tالحد االدنى و

1 2P(t t ) 1 . ویمكن ایجاد 100 1 % فترة احتمالیة لبییز دنیا من جانب واحد

Lower One – Side Bayes Probability Interval لتقدیر المعلمة بحل :المعادلة

٢٣٩

1t

x d .

1عموما یفضل اختیار 2t , t وذلك ) المرغوبه او المعتمدة(بحیث نحصل على أقصر فترة ثقه :بإتباع الشروط التالیة

1) ا( 2P(t t ) 1 )ب( 1 2t x t x

فعندما یكون للتوزیع . عندما یكون للتوزیع البعدى منوال وحید فإنها تسمى اعلى فترة ثقهمنوال وحید فإننا نبحث عن أقصر فترة ثقة 1 1t , t h بحیث أن:

1 1t x t h x 1تحت شرط أن 1P(t t h) 1 وذلك للحصول على

Zellner (1971), Box and Tiao(1973) 2أقل قیمة لـ 1(t t h) h . وفى هذه :علي سبیل المثال بفرض أن . ثقة الحالة تسمى الفترة اعلى فترة

1 2b 1 b 1

1 2

1x (1 ) .(b ,b )

2حیث 1 b 0 , b 0 فإننا نختار ذیلیین متساویین أي أن: 1عندما 2b b فإن x سوف یكون لها منوال وحید وعلى ذلك نختار:

1 1t x t h x 1 2 1 2

1 2

b 1 b 1 b 1 b 11 1 1 1

b 1 b 11 1

1 1

t h (1 t h) t (1 t ) .

أو:

t h 1 t h 1.t 1 t

:وذلك مع تحقق العالقة hوذلك بعد وضع قیمه سابقة لـ 1tوالذى یعطى عالقه بداللة

1

1 2

1

t hb 1 b 1

1 1t 1 2

1F t h F t (1 ) d 1 .(b ,b )

1tبحل المعادلتین السابقتین أنیا نحصل على , h ویمكن استخدام الحاسب اآللي في ذلك . .عندما یكون للتوزیع أكثر من منوال فإن الحل یكون اكثر صعوبه والحل قد ال یكون وحید

٢٤٠

)٣٩-٤(مثال

إذا كانت 1 2 nX X ,X ,....,X عینة عشوائیة مختارة من توزیعN( ,1) وكانتN(0,1) أوجد فترة بییزللمعلمة 1باحتمال قدرة 05.حیث . یعتبر هذا

bحیث ) ٣٦-٤(المثال حالة خاصة من المثال 1,a 0 .

:الحــل

nx 1x N , ,n 1 n 1

nxn 1 ~ N(0,1),1

n 1

1 2t , t اللتان تعطیان أقصر فترة بشرط: 1 2P t t 1 .

1تكافئان البحث عن 2z ,z اللتان تعطیان أقصر فترة بشرط أن: 1 2nx z nx zP 1 .

n 1 n 1n 1 n 1

متساوى ولكن من خصائص التوزیع الطبیعى القیاسي أن اقصر فترة هى التى تقابل ذیلیین :االحتمال ، اي أن

1 22 2

11

12

z z , z z ,

nx zt ,n 1 n 1

nx zt ,n 1 n 1

/حیث أن 2 z تمثل قیمةz 2التى تكون المساحة على یمینها یساوى

وتستخرج من :بحیث أن ) ٢(جدول التوزیع الطبیعى القیاسى فى ملحق

2P 0 Z z .5 .2

/بفرض أن 2x 5 , n 30 , z 1.96 فإن:

٢٤١

1

2

30 5 1.96t .777,30 1 30 130 5 1.96t 1.481.30 1 30 1

)٤٠-٤(مثال

إذا كانت 1 2 nX X X ,....,X عینه مختاره من:

x 1f x (1 ) , x 1,2,3... ذا كان التوزیع القبلي هو وا 1 أوجد فترة بییز باحتمال 1 .

:الحــل n x nL x (1 )

tبوضع x فإن:

n t n

n t n

x (1 )

(1 )x .(n 1, t n 1)

واآلن ( n +1 , t – n +1)یتبع توزیع بیتا بمعالم أي أن التوزیع البعدى للمتغیر 1یمكن إیجاد عددین 2t , t بحیث أن:

1 2P t t 1 . 2بحیث تنحصر على یسارها مساحه قدرها 1tوعادة فى التوزیعات الملتویة فإننا نختار

:أي أن 2بحیث تنحصر على یمینها 2tونختار

1

2

t 1

0 tx d / 2 , x d .

2

فى الحصول على فترة بییز المطلوبة Fویمكن االستفادة من العالقة بین توزیع بیتا وتوزیع U أي ان a,bتتبع توزیع بیتا بمعلمتین U فإذا كانت ~ (a,b) فإن:

٢٤٢

2a,2b

2(n 1),2(t n 1)

b UV ~ Fa (1 U)

t n 1F ~ F .n 1 (1 )

:وعلى ذلك

1 2t n 1P F F 1 .

n 1 1

:ومنها نجد أن

1 2

1 2

F FP 1 .t n 1 t n 1F Fn 1 n 1

1وتحدد قیمة 2F ,F من جدولF 05.عند) ٣(من ملحق عند ) ٤(او من ملحق.01 1)وبعد معرفة ) 2وبأخذ / 2 1 2 1 1 / 2 1 2F f ( , ) , F f ( , ) حیث

2 / 2 1 2F f ( , ) التى على المحور االفقى تحت منحنى توزیع هى القیمةF بدرجات

1حریة 22(n 1), 2(t n 1) 2والتى تكون المساحة على یمینها تساوى

اما . 1 1 / 2 1 2 F f ( , ) فیمكن الحصول علیها من العالقة التالیة:

1 1 / 2 1 2/ 2 2 1

1 F f ( , ) .f ( , )

:الفترة المطلوبة هيوبذلك تكون

1 2

1 2

F F , .t n 1 t n 1F Fn 1 n 1

)٤١-٤(مثال

إذا كانت 1 2 nX X ,X ,...,X عینه مختاره من:

1f x x , 0 x 1.

٢٤٣

ذا كان التوزیع القبلي هو وا 1

أوجد فترة بییز باحتمال 1 .

:الحــلiUبما أن ln X إحصاء كافي فإن:

nn 1 u

n 1 u

h u u e , u 0n

u h u e .

:اى أن

n

n 1 uuu e(n)

أي أن

(n , u)تتبع توزیع جاما بمعالم

:وتوزیع مربع كاي الیجاد فترة بییز المطلوبه حیثواآلن نستخدم العالقة بین توزیع جاما 22n2 U ~

2واآلن یمكن إیجاد قیمتین 2 2 22 / 2 1 1- /2(2n) , = (2n) من جدول توزیع مربع كاى

2حیث ) ٥(فى ملحق 21 1- /2 = هى القیمة التى على المحور االفقى لتوزیع مربع كاى

1والتى المساحة على یمینها تساوى 2nبدرجات حریة 2

2و 22 / 2(2n) هى

المساحة على والتى 2nع مربع كاى بدرجات حریة القیمة التى على المحور االفقى لتوزی

یمینها تساوى2

:بحیث أن 2 2

1 2

2 21 2

P 2 u 1 .

P 1 .2u 2u

:وبذلك تكون فترة بییز المطلوبه هى2 21 / 2 /2 , .2u 2u

ذا كانت من جانب واحد باحتمال فتكون 1وا

2

20,2u

.

٢٤٤

:فمثال إذا كان

n 10 , u 8 , 1 .95 :فإن

2 21 22n 20 , 9.591 , 34.17

:وتكون الفترة من الجانبین هى 9.591 34.17, .6,2.1

16 16

:وتكون الفترة من جانب واحد هى 95.باحتمال

2.05 31.410, 0, 0,1.96 .

16 16

95.باحتمال

)٤٢-٤(مثال

إذا كانت 1 2 nX X ,X ,...,X عینه مختاره من: 1f x , 0 x .

أوجد فترة بییز باحتمال (1 ,0 )و كان توزیع القبلي منتظم في الفترة 1.

:الحــل

n 1

n 1 n(n 1)t 1x . , t 1.

1 t

tو ) ١١-٤(وذلك من المثال max(x) .هذا التوزیع عباره عن داله متناقصه فى . من العالقة 2tویتحدد حدها االعلى tونالحظ أن أقصر فترة هى التى یكون حدها األدنى

2t

t| t d 1 .

:ومنها نجد أن

٢٤٥

2 n 1n 1

tt .(1 )t

وبذلك تكون فترة بییز باحتمال 1 هي: n 1n 1(t , t (1 )t ).

)٤٣-٤(مثال

إذا كانت 1 2 nX X ,X ,...,X عینه عشوائیة مختاره من N , وكانت, أوجد فترة بییز باحتمال تینمجهول 1 للمعلمه إذا علمت أن:

1, .

:الحــل :أن ) ٢٨-٤(نعلم من مثال

n 1nX ~ t

S

و n

2i

i 1

1S (X X)n 1

وحیث أن توزیعt 1متماثل حول نقطه االصل فإن 2t , t

:اللتان تعطیان اقصر فترة هما1 / 2 2 / 2t t (n 1) , t t (n 1)

2حیث / 2 t t (n 1) تستخرج من جدولt على المحور وهى القیمة) ٦(من ملحقn)بدرجات حریة tاالفقى تحت منحنى توزیع 1) والتى تكون المساحة على یمینها

2تساوى

وعلى ذلك فإن فترة بییز باحتمال . 1 هى:

1 2s sP(t < X t ) 1 .n n

:وبالتالى فإن

1 2s sP(x t x + t ) 1 .n n

:وتكون الفترة من الجانبین هى

٢٤٦

1 2s s(x t ,x + t ).n n

باحتمال 1 .

)٤٤-٤(مثال

إذا كانت 1 2 nX X ,X ,...,X عینه عشوائیة من مجتمع یتبع توزیع برنولي علي :الشكل

f x 1 , x 0,1 والتوزیع البعدى ھو بیتا بمعلمتین a , bبمعلمتین . وإذا كان التوزیع القبلى المرافق ھو بیتا

(a+t) , (b+n-t) وعلي ذلك فترة ثقھ للمعلمھ حیثn

ii 1

t x

تحسب كالتالى:

2

1

2

1

1 2

ta t 1 b n t 1

t

t

t

P t t 1

a b n) (1 ) d(a t) b n t)

x d 1 .

:ومن العالقةu

r 1 n r

0

r 1k n k

k 0

(n 1) y (1 y) dy(r) (n r 1)

n1 u (1 u) .

k

:حیث أن

1 2

a t r , b n t n r 1y , t t or t .

:یمكن كتابه

٢٤٧

2 1 1

1

t t t

t 0 0

a t 1 a b n kk2 2

k 0

a t 1 a b n kk1 1

k 0

a t 1 n kk1 1

k 0

k

x d x d x d

a b n 1 t 1 t

k

a b n1 t 1 t

k

a b n t 1 t

k

a t 1 n kk

2 20

a b nt 1 t .

k

عددین صحیحین فإن الفترة a, bوطالما كان 1 2t , t یمكن الحصول علیھا بإستخدام1aواحد بالمعالم . قانون ذى الحدین b n , t 2واآلخر بالمعالمa b n ,c بحیث أن

kالفرق فى التوزیعین عند a t 1 1یساوى . ویمكن استخدام الحاسب االلى فى1یمكن إیجاد . حساب ذلك 2t , t لقیمa , b, n, t . ویمكن استخدام التقریب الطبیعى كما

.یتضح من المثال التالى )٤٥-٤(ال مث

اعداد صحیحھ فإننا یمكن استخدام التقریب الطبیعى ، a, bكبیرة وأن a+ b+nبفرض أن

:حیث

a t 1 a+b+n-kk1 1

k 0

11 1

1 1

a t 1 a+b+n-kk2 2

k 0

22 2

2 2

a b n t 1 t

k

a t 1 a b n tP(Z z ),z ,

(a b n)t (1 t )

a b n t 1 t

k

a t 1 a b n tP(Z<z ),z .

(a b n)t (1 t )

1أي أنه یمكن الحصول على 2t , t بحیث أن:

٢٤٨

1 2P(Z z ) P(Z z ) 1 .

1یمكن حل المعادلتین التالیین الیجاد 2t , t حیث:

1/ 2

1 1

2

22 2

a t 1 a b n tz

a b n) t (1 t )

a t 1 a b n tz .

a b n) t (1 t )

: حیث فترة الثقة تقریبا تصبح

:حیث* t 1 a .

a b n

)٤٦-٤(مثال

مقدر بساعه اضاءه یتبع Xمصنع النتاج المصابیح الكهربائیة بحیث ان عمر المصباح ساعه 100وانحراف معیاري یساوى تقریبا التوزیع الطبیعى بمتوسط غیر معلوم

بمتوسط قیمة لمتغیر عشوائي طبیعى تشیر الخبرة الماضیه الى أن . اضاءة 25اخذت عینه عشوائیة من . ساعه اضاءة 10ساعه إضاءة وانحراف معیاري 800

780مصباحا من انتاج المصنع فنیین أن متوسط عمر مصابیح هذه العینه یساوى .فتره ثقه بییز للمعلمه %95أوجد . ساعه اضاءة

:الحــل

* **

1 /2

* **

2 /2

(1 )t -z ,a b n

(1 )t +z .a b n

٢٤٩

225i

i25/ 2 25i 1

2

1 1 xf x exp , x ,2 100(2 ) 100

1 1 800exp , .2 1010 2

:وعلي ذلك f x, ) f x

2 225i

13 51i 1

225i

13 51i 1

2 2

1 x 800exp100 102 10

1 1 x 780exp2 1002 10

1 780 800.exp 25 .2 100 10

:ألن

25 252 2 2i i

i 1 i 1x x 780 25 780 .

:فإنوبإكمال المربع

2 2 2

2

780 800 1592 63368025100 10 80

796 1664.

80

:وبالتالى

21 796f x, c exp .

2 80

:وعلي ذلك. دالة فى قیم العینه c حیث

٢٥٠

21 7962

f x f x, d c 2 80

1. e d2 80

c 2 80.

:یكون وعلي ذلك التوزیع البعدى لـ

2f x, 1 1 796x exp .f x 22 80 80

*طبیعى بمتوسط وهذا یعنى أن التوزیع البعدى لـ 796 وانحراف معیارى* 80

: حیث) ٦-٤(ویعتبر هذا المثال حالة خاصة من مثال .

1 1x ~ N , ,

1 1 10 1

0 0 1 1

,( / ) (x / ) / .

0وبوضع 0800, 100, 10000 :وعلى ذلك

1

1 1800 780 1 2580 796, 80.10000100 100 10000

25

:اى ان x ~ N 796,80 ,

:بییز ستكون على الشكل التالى فترة ثقه %95وعلى ذلك 1 1 1 1 1.96 1.96 .

:اى ان 796 1.96 80 796 1.96 80.

أو778.5 813.5.

مبادئ فى نظرية القرار البييزى) ٨-٤(

٢٥١

او اجراء decisionكثیرا ما یواجه كل منا مواقف تفرض علیه ان یختار قرار action من بین مجموعة من االجراءات فى ظل عدم التاكد او فى ظل عدم وجود

state ofمعلومات كافیة عن اوضاع او ظروف او احوال تسمى حاالت الطبیعةnature . سوف نفترض ان القیم المختلفة لحالة الطبیعة او للظروف او االوضاع او

}ز الحاالت تكون فراغ یسمى فراغ الطبیعة ویرمز له بالرم } ومفردات هذا الفراغ .وهى القیم الممكنة لمعالم التوزیع االحتمالى للظاهرة التى نحن بصددها او نقطه

سوف نفترض ان مجموعة القرارات او االجراءات المتاحة او المتوفرة تمثل فراغ 1 2 pD {d ,d ,...,d } ومفردات هذا الفراغ هى االجراءات او القرارات المختلفة وتكون

.د من هذه القرارات مشكلتنا فى اختیار واح :فمثال عند مراقبة انتاج بطریقة المعاینة یتطلب االمر اتخاذ احد اجرائین

1d قبول شحنة االنتاج 2d رفض شحنة االنتاج

وكمثال ثانى فإن الطبیب بناء على تشخیص المریض یجب ان ینتهى إلى واحدة من .الممكنة من عدد منتهى من الحلول

مصنع ینتج سلعة معینة ، ونظرا الن نسبة التالف غیر معلومة وكمثال اخر فإذا كان :فإن امام مدیر المصنع احد االجراءات التالیة

1d ارسال االنتاج إلى البیع 2d اعادة تصنیع االنتاج ثم ارساله إلى السوق 3d رفض شحنة االنتاج

1اى ان 2 3D {d ,d ,d } :والتى قد تكون وحیث ان نسبة التالف

1 2 30.1, 0.1 .3, 0.3 :الطبیعة هو اى ان فراغ حالة

1 2 3{ , , }

٢٥٢

والماخوذة من xفى كثیر من الحاالت یتخذ الحل بناء على اساس تحلیل المالحظة fوالذى له دالة كثافة احتمال Xالمتغیر العشوائى المرافق (x; ) وبالتالى ذلك الحل

عبارة (X)اى ان . Dوتاخذ قیمها من Sمعرفة على فضاء العینة (X)یمثل بدالة dجراءات عن قاعدة تخصص اجراء من اال (x) الممكنة لكل مالحظةx S

وتاخذ قیمها من Sمعرفة على (X) بدالة القرار ،اى ان (X) تدعى الدالة .

D. ویجب ان یكون اختیار(X) مناسب للمسالة قید الدراسة وتبعا لمطلبات مثلىیمكن ان (X)تمثل نسبة العطب فى شحنة االنتاج فقاعدة القرار Xفمثال إذا كانت .

1dتكون (x) قبول الشحنة إذا كانت x 0.01 2وd (x) رفض الشحنة إذاxكانت 0.01 والسؤال الذى یتبادر إلى الذهن االن عن عدد دوال القرار فى مسالة ما

؟ الجواب بشكل عام هناك عدد من دوال القرار المختلفة فى مسالة اتخاذ القرار ، فمثال 1اجراء او حل مختلف اى ان p إذا كان لدینا 2 pD {d ,d ,...,d } وهناكr قیم ممكنة

1وهى Xللمتغیر 2 r{x ,x ,...x او rاو pوبازدیاد . دالة قرار مختلفة rpفیكون لدینا {ومهمة .كلیهما معا یزداد عدد دوال القرار الممكنة فى المشكلة موضع الدراسة

من مجموعة دوال ) تعطى االجراء االفضل(االحصائى هو اختیار دوال القرار المناسبة . القرار الخاصة بالمشكلة المفروضة

)٤٧-٤(ل مثا

:متغیرا عشوائیا یتبع توزیع برنولى حیث Xإذا كان x 1 x

1 2f x (1 ) , x 0,1 , 0 1 , { , } ذا كان احتمال النجاح هو 2وا 11/ 2 , 1/3 وبفرض أن فئه الحلول الممكنه

1 2D d ,d .المطلوب ایجاد دوال القرار المختلفه. p حیث یوجد عدد محدود من االجراءات 2 و عدد محدود من قیم المتغیر العشوائى

X 22وعلى ذلك عدد دوال القرار محدودة وتساوى. :دوال القرار هم

٢٥٣

11 1 2

2

23

1

4 2

d , x 0x d , x 0,1 , (x)

d , x 1,

d , x 0x

d , x 1,

x d , x 0,1.

1نالحظ ان 4 , 1عندما تختار تهمل القرارات حیث 1تختارd مهما كانت القرارات 2dتختار 4وكذلك . Xالمتغیر العشوائى بغض النظر على قیم

)٤٨-٤(مثال

:متغیرا عشوائیا یتبع التوزیع المعطى فى الجدول التالى X إذا كان

2 1 .1 .8 1x

.9 .2 2x

وبفرض أن فئه الحلول الممكنه 1 2 3D d ,d ,d .المطلوب ایجاد دوال القرار المختلفه.

:الحــل وعدد محدود من قیم المتغیر العشوائى p = 3حیث یوجد عدد محدود من االجراءات

X (r=2) 23فإن عدد دوال القرار محدود ویساوى 9 ودوال القرار التسعه مبنیه فى :الجدول التالى

9

8

7

6

5

4

3

2

1

x

3d

3d

3d

2d

2d

2d

1d

1d

1d

1x

3d

2d

1d

3d

2d

1d

3d

2d

1d

2x

٢٥٤

تنص على االتى إذا 2فمثال Xكل دالة من الدوال تخصص اجراء لكل قیمة من قیم 1Xكانت x 1ناخذd 2إذا كانتX x 2ناخذd6و تنص على االتى إذا كانت

1X x 2ناخذd 2إذا كانتX x 3ناخذd 1وهكذا بالنسبة لباقى الدوال ونالحظ ان5و

9و2dتختار 5مهما كانت القرارات وكذلك 1dتختار 1تهمل القراءات حیث 9و . Xبغض النظر عن قیم 3dتختار

دالة الخسارة) ١- ٨-٤(

المناسبة لذلك یتم تقییم نتائج اختیار القرارات ان مهمة االحصائى هى اختیار دالة القرار وحالة dباستخدام مقیاس كمى عبارة عن دالة تبین الخسارة لكل تولیفة من االجراءات

,L(dاى سنفترض ان الدالة . الطبیعة ) معطاه وتقیس الخسارة التى نتكبدها إذادالة هذه الدالة تسمى . عندما تكون الطبیعة فى الحالة dاخترنا االجراء

و إذا كان هناك فى الواقع مكسب لبعض التولیفات من . loss functionالخسارةفإذا نظرنا إلى الجدول االتى . االجراءات وحالة الطبیعة فإن هذه تعد خسارة سالبة

:والذى یبین دالة الخسارة عندما تكون 1 2{ , },

1 2D {d ,d }, 2 1

1 2L(d , ) 1 1L(d , ) 1d

2 2L(d , ) 2 1L(d , ) 2d

)٤٩-٤(مثال

ذا كان عمر المصباح فى الشحنة غیر مصنع ینتج مصابیح كهربائیة معینة واذا كان امام مدیر المصنع احد الخیارات التالیة :معلوم وا

1d قبول شحنة االنتاج 2d رفض شحنة االنتاج

٢٥٥

. غیر معلومة ولكن سوف نفترض قیمتین للمعلمة حیث القیمة الحقیقیة للمعلمةh 1000 1بفرض 1وهو المطلوب و 250 h وهو االقل زمن مطلوب

وباالعتماد على التحلیل االقتصادى للشركة لكل اجراء ولكل حالة طبیعیة فإن الخسارة . :معطاة كالتالى ) بالدوالر(

1 2d d 0 10 1 1000

15 5 2 250

:حیث 1 1 1 2 2 1 2 2L( ,d ) 0 ,L( ,d ) 10, L( ,d ) 15, L( ,d ) 5.

المخاطرةدالة ) ٢- ٨-٤(

ولما كانت دالة الخسارة L , (x) ال تعتمد على فقط بل على قیم المتغیر

المتغیرة لذا فإن الخسارة تكون متغیرة وبالتالى سنبنى تحلیلنا على القیمة Xالعشوائى وهى متوسط الخسارة الناتجة من Xالمتوقعة لدالة الخسارة بالنسبة للمتغیر العشوائى

fعندما یكون التوزیع الحقیقى للمتغیر العشوائى هو (X)استخدام دالة القرار (x | ) والتىقد تمثل متجه ماخوذة على xوبفرض ان المالحظة الماخوذة . تسمى دالة الخاطرة

:ولذلك تحسب دالة الخاطرة كالتالى ) أى الحالة العامة ( Xالمتغیر العشوائى

:او

حیث h t | . والذى یكون مقدر كافي Tهو التوزیع االحتمالى للمقدر :متقطعا فإن X اما إذا كان المتغیر

TR( , ) E L( ,T) L( , t)h(t | )dt.

X

x

R( , ) E L , , X

L , x f (x | )dx.

٢٥٦

n

X i ii 1

R( , ) E L , X L , (x ) f (x | ) .

:من تعریف داله المخاطره نجد أنداله المخاطره تعتمد على داله القرار - x والمعلمه. .لكل داله قرار داله مخاطره وحیده كداله فى -

تأخذ قیمة عددیه وعلى ذلك فإن وكل داله المخاطره عند كل دالة قرار -تمثل دوال المخاطره المرافقه لدوال القرار فى مسأله ما ، عند قیمة معینه

.اعداد وبالتالى یمكن ترتیب دوال القرار حسب تلك االعداد

)٥٠-٤(مثال

):٤٧-٤(للمثال

ذا كانت :داله الخساره له معطاه فى الجدول التالىوا2d 1d

2 0 1

1 3 2

.حساب دوال المخاطرة المطلوب

:الحــل

:یمكن حساب دوال المخاطره كالتالى

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

R , L , (0) 1 L , (1)

L ,d 1 L ,d ,

2 1 0 0 0,3 3

٢٥٧

2 1 2 1 2 2 1 2R , L ,d 1 L ,d

1 1 3 3 3,2 2

1 2 1 1 1 2 2 1

2 2 2 1 2 2 2 2

R , L ,d 1 L ,d

2 1 2 0 2 ,3 3 3

R , L ,d 1 L ,d

1 1 3 1 2,2 2

1 3 1 2 1 1 1 1

2 3 2 1 2 2 2 2

R , L ,d 1 L ,d

2 1 4 2 0 ,3 3 3

R , L ,d 1 L ,d

1 1 1 3 2,2 2

1 4 1 2 1 1 1 1

2 4 2 2 2 2 2 2

R , L ,d 1 L ,d

2 1 2 2 2,3 3

R , L ,d 1 L ,d

1 1 1 1 1,2 2

)٥١-٤(مثال

المطلوب حساب دالة المخاطرة لدوال القرار المختلفة حیث الجدول التالى ) ٤٨-٤(للمثال :الخسارةیبین دالة

1 2 4 4 1d

5 0 2d

2 5 3d

٢٥٨

:الحــل

)Lیمكن حساب دوال المخاطره , ) عند كل دالة قرار وعند كل قیمة من قیم 1فمثال عند 1وعند نجد ان:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1

1 1 1 1

R , L , (x ) f (x | ) L , (x ) f (x | )

L ,d 0.8 L ,d 0.2

4 0.8 4 0.2 4,

)Lوبالمثل یمكن حساب باقى قیم , ) كالتالى: 1 2L( , ) (4)(0.8) (5)(0.2) 4.2, 1 3L( , ) (4)(0.8) (2)(0.2) 3.6, 1 4L( , ) (5)(0.8) (4)(0.2) 4.8,

1 5L( , ) (5)(0.8) (5)(0.2) 5, 1 6L( , ) (5)(0.8) (2)(0.2) 4.4, 1 7L( , ) (2)(0.8) (4)(0.2) 2.4, 1 8L( , ) (2)(0.8) (5)(0.2) 2.6,

1 9L( , ) (2)(0.8) (2)(0.2) 2, 2 1L( , ) (4)(0.1) (0)(0.9) 0.4, 2 2L( , ) (4)(0.1) (0)(0.9) 0.4, 2 3L( , ) (4)(0.1) (5)(0.9) 4.9, 2 4L( , ) (0)(0.1) (4)(0.9) 3.6,

2 5L( , ) ()(0.1) (0)(0.9) 0, 2 6L( , ) (0)(0.1) (5)(0.9) 4.5, 2 7L( , ) (5)(0.1) (4)(0.9) 4.1, 1 8L( , ) (5)(0.1) (0)(0.9) 0.5,

1 9L( , ) (5)(0.1) (5)(0.9) 5,

٢٥٩

:ومن القیم السابقة یمكن الحصول على دالة الخسارة فى الجدول التالى 9

8

7

6

5

4

3

2

1

2

2.6

2.4

4.4

5

4.8

3.6

4.2

4 1

5

0.5

4.1

4.5

0

3.6

4.9

0.4

4 2

)٥٢-٤(مثال

ودالة الخسارة والمطلوب حساب دالة المخاطرة لدوال X فیما یلى التوزیع االحتمالى لمتغیر .القرار المختلفة

1 2

0.7 0.2 0

0.2 0.3 1

0.1 0.5 2

2 1 4 0 1d

0 3 2d

:الحــل وعدد محدود من قیم المتغیر العشوائى p = 2حیث یوجد عدد محدود من االجراءات

X (r=3) 32فإن عدد دوال القرار محدود ویساوى 8 ودوال القرار التسعه مبنیه فى :الجدول التالى

8

7

6

5

4

3

2

1

x

2d

2d

2d

2d

1d

1d

1d

1d

0

1d 1d

1d 2d

2d 1d

2d 2d

2d 2d

2d 1d

1d 2d

1d 1d

1 2

٢٦٠

)Lیمكن حساب دوال المخاطره , ) عند كل دالة قرار وعند كل قیمة من قیم

1فمثال عند 1وعند نجد ان:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1

R , L , (0) f (0 | ) L , (1) f (1| )

+L , (2) f (2 | )

L ,d 0.7 L ,d 0.2 L ,d 0.1

0 0.7 0 0.2 0 0.1 0,

)Lوبالمثل یمكن حساب باقى قیم , ) كالتالى: 1 2L( , ) (0)(0.7) (0)(0.2) (3)(0.1) 0.3, 1 3L( , ) (0)(0.7) (3)(0.2) (0)(0.1) 0.6, 1 4L( , ) (0)(0.7) (3)(0.2) (3)(0.1) 0.9,

1 5L( , ) (3)(0.7) (3)(0.2) (3)(0.1) 3, 1 6L( , ) (3)(0.7) (3)(0.2) (0)(0.1) 2.7, 1 7L( , ) (3)(0.7) (0)(0.2) (3)(0.1) 2.4, 1 8L( , ) (3)(0.7) (0)(0.2) (0)(0.1) 2.1, 2 1L( , ) (4)(0.2) (4)(0.3) (4)(0.5) 4, 2 2L( , ) (4)(0.2) (4)(0.3) (0)(0.5) 2,

2 3L( , ) (4)(0.2) (0)(0.3) (4)(0.5) 2.8, 2 4L( , ) (4)(0.2) (0)(0.3) (0)(0.5) 0.8,

2 5L( , ) (0)(0.2) (0)(0.3) (0)(0.5) 0, 2 6L( , ) (0)(0.2) (0)(0.3) (4)(0.5) 2,

2 7L( , ) (0)(0.2) (4)(0.3) (0)(0.5) 1.2, 2 8L( , ) (0)(0.2) (4)(0.3) (4)(0.5) 3.2,

:ومن القیم السابقة یمكن الحصول على دالة المخاطرة فى الجدول التالى

٢٦١

8

7

6

5

4

3

2

1

2.1

2.4

2.7

3

0.9

0.6

0.3

0 1

3.2

1.2

2

0

0.8

4.8

2

4 2

فإذا كان هناك مثال دالتین . المجهولة االن المشكلة هو اعتماد دالة المخاطرة على

1 2, فكلهما لیس أفضل من اآلخر ألن دوال المخاطرة لهما تتقاطع وتكون إحداهما أفضللذلك من اجل ترتیب دوال القرار .األخرى واآلخر أفضل لبعض قیم لبعض قیم

واختیار األفضل منها البد من معلومات األضافیة حیث یستخدم مبدا بییز والذى یعتمد على معلومات اضافیة حول المعلمة غیر المعلومة تبین انها متغیرة ، اى اعتبرها متغیر عشوائى

احتمال وهذا المتغیر العشوائى له توزیع احتمالى قبلى معطى بدالة كثافة . وفى هذهالحالة یمكن یمكن حساب متوسط الخسارة بالنسبة للتوزیع نتیجه الستخدام داله القرار

x والمسماه بمخاطرة بییز.

مخاطرة بييز) ٣- ٨-٤()rویرمز لها بالرمز bayes riskمخاطرة بییز ) وتحسب من الصیغة التالیة:

j jj

r( ) E R ,

R( , ) d

R , .

)٤-٤( وهكذا ، فى تلك الحاله كل داله . وال على التعتمد على bayes riskومخاطره بییز

وبالتالى كل دوال القرار یمكن ترتیبها حسب تلك ) مخاطره بییز(قرار موصوفه بعدد واحد هي عباره عن داله القرار المرافقه ألقل قیمه لمخاطره بییز *االعداد ، وأفضل قاعدة قرار

:أي أن، التى تعطى اقل قیمة لمخاطرة بییز * وبعبارة اخرى دالة قرار بییز هى الدالة .*r( ) r( ).

٢٦٢

یالحظ من تعریف دالة قرار بییز أنها مرتبطه بالتوزیع القبلى . ألي داله قرار أخرى .فإن دوال قرار بییز مختلفه بشكل عام فه للمعلمه ولذلك من اجل توزیعات قبلیه مختل

)٥٣-٤(مثال

:هو إذا علم أن التوزیع القبلى للمعلمه ) ٥٠-٤(للمثال 2 1/ 2 1 1/3

3/4 1/4

أوجد مخاطره بییز المرافقه لكل من الدوال k x ,k 1,2,3,4 واوجد دالة قرار بییز التى .لها اقل مخاطرة

:الحــل

داله المخاطره لدوال القرار ) ٥٠-٤(من المثال 1 2 3 4x , x , x , x معطاه :فى الجدول التالى

212

113

2 1R , 3 1 1R , 0 1

2 2R , 2 1 2R , 2/3 2

2 3R , 2 2 4R , 1

1 34R ,3

1 4R , 2

3 4

:وعلى ذلك مخاطره بییز لكل دالة قرار تحسب كالتالى

٢٦٣

1 1 2 2 1 2

2 1 2 1 2 2 2

3 1 3 1 2 3 2

r R , R ,

1 3 0 3 2.25,4 4

r R , R ,

2 1 3 2 1.67,3 4 4

r R , R ,

4 1 3 23 4 4

4 1 4 1 2 4 2

4

1.833.

r R , R ,

1 3r 2 1 1.25,4 4

4ومن ثم فإن 1.25توافق اصغر قیمه لمخاطره بییز وهي 4وعلى ذلك فإن داله القرار .تكون داله قرار بییز

)٥٤-٤(مثال

:هى Xوبفرض ان دالة كثافة االحتمال للمتغیر) ٤٩-٤(للمثال

1 1f x exp ,

:هو وبفرض أن التوزیع القبلي للمعلمه

1 21000 250 .9 0.1 ( )

1وبما ان داله الخسارة للقراراین 2d ,d كانت معطاه كما في الجدول التالى: 1 2d d

0 10 1 1000

15 5 2 250

٢٦٤

:أي

1 1 2 1

1 2 2 2

L ,d 0 , L ,d 15,

L ,d 10 , L ,d 5.

ذا كانت n = 6بفرض انه تم اختیار عینه عشوائیة من الحجم 6وا

ii 1

t x

تمثل الزمن

:بفرض اننا عرفنا دالة القرارالتالیة . الكلى لزمن الفشل فى االختبار 1

12

d if t 2613hx

d if t 2613h.

)h حیث ) تعنى ساعه xمالحظة على شكل متجه 1 2 nx x ,x ,...,x. :یمكن استخدام داله قرار أخرى على الشكل

1 1 2 62

2 1 2 6

d if min x ,x ,..., x 1000hx

d if min x ,x ,...,x 1000h.

,2 1االن یمكن حساب داله المخاطره لكل من كما یلى:

2613

1 1 12613 0

R , 0 h t dt 10 h t dt.

:وعلى ذلك 1 1 1R , 0P T 2613 10P T 2613 .

6هو Tحیث

ii 1

X والتى یتبع توزیع جاما بمعلمتین ,6 وعلى ذلك:

52613

1 10 1 1 1

1

1 t tR , 10 exp dt(6)

10 (6,2613/ ) / (6).

:هى داله جاما الناقصه وعلي ذلك (a,x)حیث 1R 1000, 10 (6,2.61) /5!

10(5.97) /120) 0.5.

:وبنفس الشكل

2613

2 1 2 22613 0

R , 15 g t dt 5 g t dt

10 (6,10.45)6 10(113.78) 15 15 5.52.120(6)

٢٦٥

اآلن بفرض أن 1 2 nW min X X ,...,X فإن التوزیع الشرطى للمتغیر W إذا علم هو :على الشكل توزیع أسي

6h(w | ) exp( 6w / ) , w 0.

:وعلى ذلك

1 2 1

1

1

R , 0P(W 1000 )

10P(W 1000 )

10 1 exp( 6000/ ) .

:وعلى ذلك 2R 1000, 10 1 exp( 6) 9.98,

:وبنفس الشكل 2 2 2 2R , 15P W 1000 5P(W 1000 )

5 10exp( 24) 5.

1وبمقارنة داله المخاطره 2, 1نجد أن 2هي أفضل من 1000عندماh 2ایضا h 250عندما 1تكون افضل من .

:هى 2و 1مخاطرة بییز المرتبطة بـ 1

2

r( ) .9(.5) .1(5.52) 1.0,r( ) .9(98) .1(5.00) 9.4.

.ألن لها أقل مخاطرة بییز 1أي أنه لهذا التوزیع القبلى فإن صانع القرار سوف یفضل

)٥٥-٤(مثال

.قرار اوجد مخاطرة بییز لكل دالة ) ٥٢-٤(للمثال

:الحــل

:مخاطرة بییز المرتبطة بدوال القرار لهذا المثال هم

٢٦٦

1

2

1 2 8r( ) (0) (4) ,3 3 31 2 4.3r( ) (0.3) (2) ,.3 3 3

3

4

1 2 6.2r( ) (0.6) (2.8) ,3 3 31 2 2.5r( ) (0.9) (0.8) .3 3 3

5

6

1 2 3r( ) (3) (0) ,3 3 31 2 6.6r( ) (2.6) (2) .3 3 3

7

8

1 2 4.8r( ) (2.4) (1.2) ,3 3 31 2 8.5r( ) (2.1) (3.2) .3 3 3

. هى دالة قرار بییز 4ومنها یتضح ان استخدام التوزيع البعدى فى إيجاد مخاطرة بييز

Xعند یمكن استخدام التوزیع البعدى للمعلمة x فى ایجاد دالة قرار بییز بدال من :التوزیع القبلى وبإسلوب اسهل وابسط وذلك كالتالى

:متغیرین متصلین یمكن كتابتها على الشكل X,وفى حالة إذا كان) ٤-٤(المعادلة

x

f x dr( ) L , x f x dx

f x

f x L , x x d dx.

ان ایجاد x التى تعطى القیمة الصغرى للمقدارr( ) تكافئ إیجاد x التى تعطى :القیمة الصغرى للمقدار بین القوسین أي المقدار

L , x x d . وهذا المقدار أحیانا وهو القیمة المتوقعة للخسارة بالنسبة ألى التوزیع البعدى للمعلمة

expected أو الخسارة البعدیة المتوقعة posterior riskیسمى المخاطرة البعدیة posterior loss.

٢٦٧

متغیرین متقطعین فیمكن ایجاد X,وفى حالة ما إذا كان x التى تعطى القیمة)rالصغرى للمقدار ) كالتالى:

j j

j

i j i jj i

r( ) E R , R ,

L[ (x ), ] f(x | ) .

:والذى یمكن كتابتة على الصورة التالیة

i i j j ii j

r( ) f (x )[ L[ (x ), ] | x ].

المشاهدة وعلى االجراء الذى خصص ixنالحظ ان المقدار بین قوسین یعتمد على القیمة وعلى ذلك إذا وضعنا . بواسطة دالة القرار المستخدمة ix لهذه القیمة

i ix |x i i j j i

jr (d) E L[ (x ), L[ (x ), ( | x ).

اوالخسارة البعدیة فنحصل على القیمة المتوقعة للخسارة بالنسبة للتوزیع البعدى للمعلمة :وعلى ذلك مخاطرة بییز یصبح .المتوقعة

i|x i i

ir( ) E L( ,x ) f (x ).

ifباوزان غیر سالبة (وهى عبارة عن المجموع المرجح (x للخسارة البعدیة المتوقعة ) (ان الخسارة البعدیة المتوقعة . ن اقل ما یمكن إذا كانت الخسارة البعدیة اقل ما یمكن وتكو

: یمكن كتابتها على الصورة التالیة

ix j j ij

r (d) L[d, ] ( | x ).

٢٦٨

نحدد االجراء الذى یعطى اقل خسارة بعدیة متوقعة ومنه نحدد ixوهذا یعنى انه لكل قیمة .دالة القرار التى تعطى القیمة الصغرى لمخاطره بییز كما یتضح من المثال التالى

)٥٦-٤(مثال

)٤٧-٤(للمثال یمكن ان متغیرا عشوائیا یتبع توزیع برنولى بحیث إن احتمال النجاح Xإذا كان 1یكون 1/3 1أو 1/ 2 بفرض أن التوزیع القبلى للمعلمه هو:

2 1/ 2 1 1/3 2/3 1/3

1dبفرض داله الخساره المعطاه لالجرائین , 2d فى الجدول التالى:

2d 1d d

2 0 1

1 3 2

ذا كانت داله التوزیع االحتمالى للمتغیر :هي Xوا

212

113

12

23

1x 0

12

13

2x 1

.اوجد اجراء بییز مستخدما التوزیع البعدى

:الحــل

٢٦٩

التوزیع البعدى x لجمیع قیم المتغیر العشوائيX هو:

j i jj i

i

2

i j i jj 1

1 1 1 1 2 1 2

2 1 2 1 2 2 2

f xx ,i 1,2; j 1,2.

f x

f x f x .

f (x 0) f x f x

2 1 51 2 .3 3 3 2 9f (x 1) f x f x

2 1 41 1 .3 3 3 2 9

:وعلي ذلك

1 1 11 1

1

2 1 22 1

1

1 2f x 23 3x 0 ,5f x 5

92 1f x 33 2x 0 ,

5f x 59

1 2 11 2

2

2 2 22 2

2

1 1f x 13 3x 1 ,4f x 4

92 1f x 33 2x 1 .4f x 49

:أي أن التوزیع البعدي یمكن التعبیر عنه بالجدول التالى

2 1/ 2 1 1/3 X 3/5 2/5 1x 0

3/4 1/4 2x 1

1xعندما x 0 نحصل على:

٢٧٠

1

2

x 1 j 2 j 1j 1

1 1 1 1 2 1 2 1

r d L ,d x

=L ,d | x L ,d | x

2 3 9 0 3 .5 5 5

1x 2 1 2 1 2 2 2 2 2r d =L ,d | d L ,d ,d

2 3 7 2 1 .5 5 5

. 2dوبالتالى فإن اجراء بییز سوف یكون

2xعندما x 1 نحصل على:

2

2

2

x 1 j 1 j 2j 1

1 1 1 2 2 1 2 2

x 2 1 2 1 2 2 2 2 2

r d L ,d x

=L ,d | x L ,d | x

1 3 9 0 3 .4 4 4

r d =L ,d | x L ,d | x

1 3 5 2 1 .4 4 4

:هكذا نجد .ایضا 2dوبالتالى فإن اجراء بییز سوف یكون . 2dفإن اجراء بییز x=0عندما . 2dفإن اجراء بییز x=1عندما

وهى نفس النتیجة 4اى ان دالة قرار بییز هى . 4وهذان االجراءان یوافقان دالة القرار ).٥٣-٤(التى حصلنا علیها من مثال

)٥٧-٤(مثال

:نعلم ان ) ٥٢-٤(للمثال

٢٧١

:دالة الخسارة هى

2 1 4 0 1d

0 3 2d

:هو Xوالتوزیع االحتمالى للمتغیر

1 2

0.7 0.2 0

0.2 0.3 1

0.1 0.5 2

:هو والتوزیع القبلى للمعلمه

2 1 2/3 1/3

.اوجد اجراء بییز مستخدما التوزیع البعدى

:الحــل

٢٧٢

التوزیع البعدى x لجمیع قیم المتغیر العشوائيX هو:

j i jj i

i

2

i j i jj 1

1 1 1 1 2 1 2

2 1 2 1 2 2 2

2 1 2 1 2 2 2

f xx ,i 1,2,3; j 1,2.

f x

f x f x

f (x 0) f x f x

2 111 0.7 0.2 .3 3 30f (x 1) f x f x

2 81 0.2 0.3 ,3 3 30f (x 1) f x f x

2 111 0.1 0.5 .3 3 30

:وعلي ذلك

1 1 11 1

1

2 1 22 1

1

1 0.7f x 73x 0 ,11f x 11

302 0.2f x 43x 0 ,

11f x 1130

1 2 11 2

2

2 2 22 2

2

1 0.2f x 13x 1 ,8f x 4

302 0.3f x 33x 1 ,8f x 4( )30

1 2 11 3

2

2 3 22 3

3

1 0.1f x 13x 2 ,11f x 11

302 0.5f x 103x 2 ,11f x 11( )30

٢٧٣

:بالجدول التالىأي أن التوزیع البعدي یمكن التعبیر عنه

1 2

711

411

1x 0

14

34

2x 1

111

1011

3x 2

1xعندما x 0 نحصل على:

1

2

x 1 1 j j 1j 1

1 1 1 1 1 2 2 1

r d L d , x

=L d , | x L d , | x

7 4 16 0 4 ,11 11 11

1x 2 2 1 1 2 2 2 2 2r d =L d , | d L d , | d

7 4 21 3 0 ,11 11 11

. 1dوبالتالى فإن اجراء بییز سوف یكون

2xعندما x 1 نحصل على:

٢٧٤

2

2

2

x 1 1 j j 2j 1

1 1 1 2 1 2 2 2

x 2 2 1 1 2 2 2 2 2

r d L d , x

=L d , | x L d , | x

1 3 0 4 3.4 4

r d =L d , | x L ,d | x

1 3 3 3 0 .4 4 4

. 2dوبالتالى فإن اجراء بییز سوف یكون 3xعندما x 2 نحصل على:

3

3

2

x 1 1 j j 3j 1

1 1 1 3 1 2 2 3

x 2 2 1 1 3 2 2 2 3

r d L d , , x

=L d , | x L d | x

1 10 40 0 4 ,11 11 11

r d =L d , | x L d , | x

1 10 3 3 0 .11 11 11

:هكذا نجد . 1dفإن اجراء بییز x=0عندما . 2dفإن اجراء بییز x=1عندما . 2dفإن اجراء بییز x=3عندما

وهى نفس النتیجة 4اى ان دالة قرار بییز هى . 4االجراءات السابقة توافق دالة القرار ).٥٥-٤(التى حصلنا علیها من مثال

مقدر النقطة لبييز المعتمد على نظرية اتخاذ القرار البييزى ) ٩-٤(

٢٧٥

من األهداف األساسیة لنظریة اتخاذ القرار البیزى هى وضع هیكل نظري لمعالجة مشكلة أي ینظر إلى موضوع اختیار مقدر على أنه . االستدالل البییزى على أنها مسائل اتخاذ قرار

اختیار قرار أو إجراء من بین مجموع اإلجراءات المتوقعة باإلضافة إلى ذلك فإنها تفترض .اإلجراءات المختلفة یمكن تقیمها أن نتائج هذه

اآلن سوف نشرح كیفیة الحصول على التقدیر البییزي وذلك باالعتماد على نظریة . bayesian decision theoryالتقدیر البییزى

عند مناقشة مشكلة التقدیر بنقطة لمعلمه ما والمعتمد على نظریة القرار البییزى وبفرض أن 1 2 nX X ,X ,....,X وائئیة من الحجم عینه عش تمثلn من توزیع له داله كثافة

االحتمال , ,f x; هو فراغ المعالم، وهنا التوزیع قد یكون متصل أو متقطع و)uاو أو دالة فى المطلوب تقدیر ) ھنا فإن مشكلة التقدیر تصبح مشكلة اتخاذ قرار

Dاى ان ھو نفسھ فراغ المعالم Dیكون فیھا فراغ االجراءات . فعندما تكونالقراءات 1 2 nx x ,x ,....,x هى نتائج العینه العشوائیة 1 2 nX X ,X ,....,X فإنT (X) تمثل داله قرارdecision function تعین أو تخصص احد القرارات او ،اإلجراءات * d x كتقدیر للمعلمه اوu( ). وعلى ذلك یمكن اعتبار داله القرارT (X) اعتبار القرار مقدر و d x تقدیر للمعلمة أو u( ) عندما تكون هي

القیمة الحقیقیة للمعلمة ویجب أن یكون اختیار x مناسب للمسألة قید الدراسة وذلك وفقاآلن القرار قد یكون صحیح أو غیر صحیح لذلك یكون من المفید قیاس . المتطلبات المثلى

والتقدیر بنقطة خطورة الفرق ، إذا وجد بین القیمة الحقیقیة d x . تبعا لذلك ، لكلزوج ,L x , یرتبط رقم غیر سالب L x , والذى یعكس تلك الخطورة .

الدالة سوف تسمى L x , دالة الخسارةloss function . عندما تأخذd كتقدیرفإن دالة الخسارة للمعلمه L x , تكون مقیاس للخطأ أو الخسارة الناتجة من

هي المعلمة الحقیقیة ، وهي دالة غیر عندما تكون كتقدیر للمعلمه dاختیار القرار :سالبة وتحقق الشروط التالیة

)i( L(d, ) 0 لجمیع القیم الممكنه منd,. )ii( L(d, ) 0 لكلd .

٢٧٦

واآلن فإن احد العناصر األساسیة في معالجة مشكلة التقدیر علي أنها مسألة اتخاذ قرار هو

.تحدید دالة خسارة لكل مسألة خاصة نكون بصدد دراستها . ونظرا ألنها مقیاس للخطأ فیجب ان تكون كبیرة للخطأ الكبیر وصغیرة للخطأ الصغیر

وبالطبع فإننا نرغب فى أن تكون الخسارة قلیلة جدا بمعنى أن یكون القرار قریب جدا من فى البند التالى سوف نقدم بعض دوال الخسارة المستخدمة فى . المعلمة التى نقدرها

.دیراإلحصاء عند التق

الخسارةبعض دوال ) ١- ٩-٤(

Squared Error Loss Function دالة خسارة مربع الخطأ - أ

:هذه الدالة تأخذ الصیغة التالیة 2L(d, ) c d ,

)٥-٤( ، وفي هذه الحالة تكون عبارة عن مربع ) یمكن مساواته بالواحد الصحیح(ثابت cحیث

وضع ويمكن. الخطأ ولذلك تسمى دالة خسارة مربع الخطأ u بدال من عموما )٥-٤(يففإن الكثیر من الباحثین یمیلون الستخدام مربع الخطأ كدالة خسارة نظرا لسهولة الحصول

حیث ان مقدر بییز فى هذه الحاله هو ببساطة عبارة عن ( على المقدرات المعتمدة علیها ولكن هذا االتجاه ).متوسط التوزیع البعدي للمعلمة المجهولة كما یتضح ذلك فیما بعد

عارضة كثیر من الباحثین حیث أن طبیعة دالة مربع الخطأ وهي دالة تربیعیة متماثلة تعطى Basu and اهمیة متساویة لحالتى التقدیر األعلى واألدني وهذا ما أكده الباحثین

Ebrahimi (1991).

٢٧٧

Linear-Exponential Loss Function (LINEX) دالة الخسارة الخطیة األسیة - ب

:هذه الداله تأخذ الصیغة التالیة cL( ) e c 1.

)٦-٤( cحیث 0 ثابت یمثل معلمة الشكل للدالة L حیث d . ويمكن وضع u

من أهم خواص هذه الدالة انها غیر متماثلة حول نقطة األصل ، . )٦-٤(في بدال من حیث أنها تقترب شكلها من شكل الدالة األسیة على احد جانبي نقطة األصل وتقترب من

تتحكم فى درجة واتجاه عدم التماثل cمعلمة الشكل . الشكل الخطى على الجانب اآلخرأما . رجة عدم التماثل لدالة الخسارة العددیة تتحكم فى د cللدالة ، حیث ان قیمة

فإن التقدیر األعلي یكون أكثر c > 0بمعنى أنه لقیم . فتحكم اتجاه عدم التماثل cإشارة یكون التقدیر c < 0خطورة من التقدیر األدني والعكس أیضا صحیح بمعنى أنه لقیم

جدا تؤول دالة الخسارة الصغیرة cولقیم . األدنى أكثر خطورة من التقدیر األعليوهي بالطبع متماثلة وهناك العدید من أشكال الخطیة االسیة إلى دالة خسارة مربع الخطأ

(LINEX)دالة الخسارة األسیة . الدالة الخطیة األسیة والتى تعتمد على طریقة اختیار ییز لمختلف بأشكالها المختلفة استخدمها الكثیر من الباحثین للحصول على استدالالت ب

. التوزیعات اإلحصائیةSoliman (2005)

وعلى االرغم من مرونة وشعبیة هذه الدالة فى تقدیر معلمة الموقع ولكنها غیر مناسبة .لمعلمة الشكل والكمیات االخرى

Absolute Loss Function دالة خسارة الخطأ المطلق - ج

:هذه الداله تاخذ الصیغة التالیة L(d, ) d | .

)٧-٤(

ويمكن وضع .وهي عبارة عن االنحراف المطلق للخطأ u بدال من ٧- ٤(في(.

٢٧٨

General Entropy Loss Function دالة خسارة االنتروبيا المعممة - د

:تأخذ هذه الداله الصیغة التالیة

qd dL ,d, qln 1.

)٨-٤(

)uويمكـن وضـع ) بـدال مـن وهـذه الدالـة معرفـة مـن قبـل )٨-٤(فـىCalabria and Pulaini و تعتبـر الدالـة تعمـيم لدالـة االنتروبيـا و التــي فيهـا (1996) q 1 و المسـتخدمه مـن قبـلDey and

Lee (1992) . تعتبــر أكثـر عموميــة لكونهــا تعطــي أكثــر مــن شــكل لدالــة ) ٨-٤(مــن الواضــح أن الصــيغةqحيـث أن قـيم. المختـارة qالخسارة و ذلك تبعـا لقـيم 0 تناسـب الحالـة التـي فيهـا المقـدر األعلـى ذو

qعنـدما القيمـة) ٨-٤(أيضـا مـن . خطورة أكبر عنه في حالة المقدر االدنى و العكـس صـحيح 1 فـإن .دالة خسارة االنتروبيا المعممة تؤول إلى دالة خسارة مربع الخطأ

Odds Ratio Squared Loss Function –Log - د

:تأخذ هذه الدالة الصيغة التالية )٩- ٤(

ويمكن وضع u بدال من على خط [0,1]وهذه الدالة عبارة عن تحويله متماثلة من ) ٩-٤(فيوهي تحسب عادة في تقدير [0,1]األعداد الحقيقي وتعطي هذه الدالة تقدير جيد على الفترة المغلقة

. [0,1]دالة الصالحية ألنها معرفة على الفترة

بعد تحدید دالة الخسارة المناسبة لمشكلة التقدیر التى نحن بصددها یكون هدفنا اختیار Tالمقدر (X) ونظرا ألن دالة الخسارة تعتمد على . الذى یجعل الخسارة أقل ما یمكن

d x وأنd هي قیمةT (X) فإن الخسارة تعتمد علي العینة أي أن دالة الخسارةیمكن اعتبارها متغیر عشوائي یعتمد على نتائج العینة وبالتالى سیكون من الصعب ان

2dL d, ln( ) ln( )

1 d 1

٢٧٩

نجعل الخسارة أقل ما یمكن لكل عینة ممكنة ولكن یمكن جعل الخسارة أقل ما یمكن فى لخسارة أقل ما یمكن إلى اختیار المتوسط فإذا غیرنا هدفنا من اختیار المقدر الذى یجعل ا

.المقدر الذى یجعل متوسط الخسارة اقل ما وذلك بإستخدام دالة المخاطرة

دالة المخاطرة) ٢-٩-٤(

Tللمقدر risk functionدالة المخاطرة d(X) تعرف كالتالى: T XR(d, ) E L(T, ) E L d X , .

)١٠-٤( هذا یمكن إیجاد دالة المخاطرة لدالة في . عند dوتسمى داله المخاطرة المرافقة للتقدیر

)uاي ). یمكن حسابه بطریقیتن ) ١٠-٤(متصال فإن التوقع في المعادلة Xعندما یكون المتغیر

: :الطریقة األولي

X

x

R( ,d) E L X ,

L x , f (x | )dx.

:متقطعا فإن Xاما إذا كان المتغیر

n

X i ii 1

R(d, ) E L X , L (x ), f (x | ) .

:الطریقة الثانیة TR(d, ) E L(T, ) L(t, )h(t | )dt.

حیث h t | والذى یكون مقدر كافي واآلن بشرط T هو التوزیع االحتمالى للمقدر هدفنا ان نختار المقدر الذى یكون له أقل مخاطرة ممكنة لجمیع قیم فراغ حیث

٢٨٠

ولكن لألسف الیوجد عادة مقدر بحیث تكون دالة مخاطرته أقل مایمكن لجمیع قیم . المعلمة والمشكلة هو اعتماد دالة المخاطرة على فإذا كان هناك مثال تقدیرین . المجهولة

1 2d ,d فكلهما لیس أفضل من اآلخر ألن دوال المخاطرة لهما تتقاطع وتكون إحداهما أفضل .األخرى واآلخر أفضل لبعض قیم لبعض قیم

)٥٨-٤(مثال

بفرض أن 1 2 25X X ,X ,...,X عینة عشوائیة من توزیع , N( ,1) .Tلیكن X هو المتوسط لعینة عشوائیة ولیكن 2L x , x

2 1t , (x) 0 , (x) t حیثt هو تقدیر للمقدرT.

:دوال المخاطرة المقابلة سوف تكون

21 T|

2 22

1R x , E T ,25

R x , E 0 ,

0من الواضح أنه عندما فإن 2 x سوف تكون قرار ممتاز حیث 2R x , 0 عن الصفر بمقدار كبیر فإن عندما تختلف 2 x سوف یكون قرار ردئ.

2علي سبیل المثال عندما فإن 1 21R x ,2 R x ,2 425

.

عموما ، فإن 2 1R x , R x , 1عندما 15 5

وغیر ذلك

2 1R x , R x , . ودالة القرار األخرى أي أن واحده من تلك الدوال تكون أفضل من األخرى لبعض قیم

.تكون أفضل لقیم أخرى من

15

22R d x ,

15

1

1R d x ,25

٢٨١

فیمكن إزالة اعتماد دالة متغیر عشوائي له توزیع احتمالى معرف علي اذا اعتبرنا ,R(dالمخاطرة ) على وذلك بأخذ القیمة المتوقعة لدالة المخاطرة بالنسبة للمتغیر

.Bayes Riskحصل على مخاطرة بییز نف : تعریف

T) المقدر(إن مخاطرة بییز لدالة القرار (X) تعرف كاآلتى:

R( ) E R(d, ) :متغیرات متصلة فإن X,فإذا كانت

R(d) R( (x), ) d

L( (x, )f x dx d

L( (x, )f x, dx d .

)١١-٤( حیث التوزیع القبلى للمعلمة و f x التوزیع للعینةX بشرط و f x,

ذا كانت والمتغیر Xالتوزیع المشترك للعینة :متغیرات متقطعة فإن X,وا

xr(d) L , x f x .

هي متوسط المخاطرة وهي دالة حقیقیة ولذلك نستطیع مقارنة dإن مخاطرة بییز للقرار أي التقدیر الذى له أقل (الذي له أقل مخاطرة بییز القرارات المتنافسة واختیار القرار

).مخاطرة : تعریف

أو دالة فى مقدر بییز للمعلمة u( ) والمعتمد على نظریة القرار الیبیزى هو :الذى یحقق العالقة d*التقدیر

*r(d ) r(d). *اي أن . أي تقدیر آخر dحیث *d یحقق الشرط التالى:

*

dr(d ) min r(d).

٢٨٢

بفرض دالة الخسارة L , x فإننا نبحث عن التقدیر * * *d x الذى یعطى :والذى نحصل علیه بإتباع الخطوات التالیة) ١١-٤(القیمة الصغري للمقدار فى

:یمكن كتابتها على الشكل ) ١١-٤(المعادلة

x

f x dr(d) L x , f x dx

f x

f x L x , x d dx.

ان ایجاد x التى تعطى القیمة الصغرى للمقدارr(d) تكافئ إیجاد x التى تعطى :مقدار بین القوسین أي المقدارالقیمة الصغرى لل

L x , x d . .أو الخسارة البعدیة المتوقعة posterior riskوهذا المقدار أحیانا یسمى المخاطرة البعدیة

مقدر بييز تحت فرض دالة مربع الخطا ودالة خسارة الخطا المطلق ) ٣-٩-٤(

اعتمادا على دالة خسارة مربع الخطأ هو عبارة عن متوسط مقدر بییز للمعلمة أي یساوى التوزیع البعدي للمعلمة |xE وسوف نستنتجه من النظریة التالیة:

: نظریةإذا كانت 2L x , d أى دالة خسارة مربع الخطا تحت فرض انc 1

:فإن مقدر بییز هو متوسط التوزیع البعدى أي أن) ٥-٤(المعرفة فى

*|xd E .

: البرهان

٢٨٣

متغیرات متصلة حیث التوزیع البعدى للمتغیر X , سوف نبرهن هذه النظریة عندما هو:

f x |x .

f x | d

:على الصورة r(d)فیمكن كتابه

2

x

2

x

f x f x d dxr( ) x

f x

x x d f x dx.

إن إیجاد x التى تعطى القیمة الصغرىx للمقدارr( ) تكافئ إیجاد x التى :راتعطى القیمة الصغرى للمقدار بین القوسین أى المقد

2d x d .

وإلیجاد x التى تعطى القیمه الصغرى لهذا المقدار نفاضل بالنسبة لـd ونساوى بالصفر :فنحصل على

2 d x d 0. :وهذه تعطى مقدر بییز اآلتى

*

|x

d x d

E .

:وفي هذه الحالة تكون مخاطرة بییز هي

* * 2

xr(d ) f (x) (d ) x d dx.

:ومن المهم أن نالحظ أن هذا المقدار هو

*

xr(d ) Var x f (x)dx,

٢٨٤

حیث Var x هو تباین التوزیع البعدى ل . وبالمثل إذا كانت 2L( (x), ) d g( ) فإن مقدر بییز هو:

* *|xd (x) u x d E u( ) .

اما إذا كانت دالة الخسارة عامه L( x , ) فإننا نبحث عن القرار * x الذى یعطى :القیمة الصغري للمقدار

x

r(d) f (x) L( (x), ) x d dx.

وهذا یكافئ إیجاد *d x التى تجعل المقدار: L( (x), ) x d .

أو posterior riskاصغر ما یمكن ، وهذا المقدار یسمى احیانا بالمخاطرة البعدیة .الخسارة البعدیة المتوقعة

d)2ویمكن الحصول على المقدر الذى له أقل مخاطرة تحت داله الخسارة ) وذلك بطریقة :كالتالى لـ سهلة وذلك من من التوقع لدالة الخسارة بالنبة للتوزیع البعدى

2 2 2|x |x |x |xE L(d, ) E (d ) d 2dE E .

:نحصل على مقدر بییز حیث dوبإجراء التفاضل للمخاطرة البعدیة بالنسبة لـ |x2d 2E 0.

:وبالمساواه بالصفر نحصل على *

|x2d 2E . :وعلى ذلك

*|xd E .

:هو) ٥-٤(مقدر بییز تحت فرض دالة خسارة مربع الخطأ المعرفة فى *

X X |xE E E E . أى ان متوسط مقدر بییز هو نفسه متوسط التوزیع القبلى ویسمى مقدر بییز في هذه الحالة

.مقدر بییزى غیر متحیز

٢٨٥

)٥٩-٤(مثال

إذا كانت 1 2 nX X ,X ,...,X عینة عشوائیة مختارة من توزیع برنولي بمعلمة وكانت 1 2وتحت فرض دالة خسارة مربع الخطأ التى على الشكل(d ) أوجد

.مقدر بییز وأحسب مخاطرة بییز :الحــل

x 1 xf x (1 ) , x 0 , 0 1,

1 , 0 1.

:داله االمكان سوف تكون i i

nx n x

ii 1

f x f x (1 ) .

itیمكن استخدام اإلحصاء الكافي xوبدال من التعامل مع العینة x وعلي ذلكt یتبع :أي أن , nتوزیع ذى الحدین بمعالم

t n tnh t (1 ) , t 0,1,...,n.

t

:وعلي ذلك

2

f (t) h(t ) d

1 , t 0,1,2,...,n;n 1n n(2n 1)E(t) , E(t ) .2 6

:كما أن

t n t

|t

2

t h t

1 (1 ) ,0< <1,(t 1,n t 1)

t 1E t ,n 2(t 1)(n t 1)Var t .(n 3)(n 2)

:وعلى ذلك مقدر بییز یكون

٢٨٦

* *|x

t 1d E ( ) .n 2

: ویمكن حساب مخاطرة بییز لمقدر بییز بطریقتین

:الطریقة األولي

* *

*

21 n

t 00

21

T|0

12

20

12

20

R(d ) R d , d

L(d , )f (x )dx d .

t 1 f t dn 2

t 1 E d n 2

1 Var(t ) (1 2 ) dn 2

1 n (1 ) (1 2 ) dn 2

1 .6(n 2)

:الطریقة الثانیة

٢٨٧

* *

X

n* 2

t 0 |x

n

t 0n

2t 0

n2

2t 0

r(d ) f (x) L d , x d dx

f (t) ( d ) x d

Var t f (t)

(t 1)(n t 1) f (t)n 3 (n 2)

1 {n 1 (nt t )}f (t).(n 3) n 2

22

2

1 (n 1) nE(t) E(t )(n 3)(n 2)

1 n2 n(2n 1) n 12 6(n 3)(n 2)

1 .6(n 2)

)٦٠-٤(مثال

إذا كانت 1 2 nX X ,X ,...,X عینة عشوائیة مختارة منN( ,1) وكانت~ N(a,1) 2وأنL(d, ) (d ) أوجد مقدر بییز وأحسب مخاطرته.

:الحــل :بما أن

X ~ N( ,1),~ N(a,1)

: حیث) ٦-٤(ویعتبر هذا المثال حالة خاصة من مثال

1 1x ~ N , ,

٢٨٨

11

0 1

0 0 1 1

n( ) ,

( / ) (x / ) /

0وبوضع 0a, 1, 1 :وعلى ذلك

1

1 1nx a1 a x 1 n 1, .1n 1 1 n 1 1 1 n 1

n

اى ان nx a 1x N , .n 1 n 1

:مقدر بییز هووحیث أن داله الخسارة هى مربع الخطأ فإن *

|xnx ad E .n 1

:ومن الواضح أن مخاطره هذا المقدر هي

*

xr d f (x)Var x dx.

وحیث أن 1Var | xn 1

:فإن xالیعتمد على

* 1r d .n 1

iXXویمكن التعامل مع اإلحصاء الكافى n بدال منX 1حیثX ~ N ,

n

:وهو الحالة العامة حیث ) ٥٢-٤(وهذا ما نفعله فى المثال

0 0

X | ~ N( , ),~ N( , )

dهو كذلك مقدر بییز بالنسبة لدالة الخسارة d*یالحظ أن مقدر بییز الن وسیط .التوزیع البعدي یساوى قیمته المتوقعه

)٦١-٤(مثال

٢٨٩

إذا كانت 1 2 nX X ,X ,...,X عینة عشوائیة مختارة من توزیع منتظم فى الفتره(0, ) وكانت وداله الخسارة هى (1 , 0)تتبع توزیع منتظم فى الفترة:

2 2L( ,d) (d ) / . .اوجد مقدر بییز

:الحــل

in

1f x , 0 0,

1 , 0 11f x , 0 max(x ) .

Uاإلحصاء الكافئ max(X) وعلى ذلك: n 1

nnuh(u ) 0 u .

:وعلى ذلك

n 1

n 1 n(n 1)u 1u . , u 1.

1 u

التى تعطى أقل قیمة للمقدار واآلن تبحث عن

2

2(d )r(d) u d .

:ونساوى بالصفر فنحصل على d نفاضل بالنسبة لـ

1

n 2* u

1

2 n 2u

n

n 1

d1 u dd 1 du d

n 1 1 u . u . .n 1 u

)٦٢-٤(مثال

إذا كانت 1 2 nX X ,X ,...,X عینة عشوائیة مختارة منN( , ) وكانت0 0~ N( , ) 2وأنL(d, ) (d ) أوجد مقدر بییز وأحسب مخاطرته.

٢٩٠

:الحــل

:بما أن ) ٥٠-٤(یعتبر هذا المثال تعمیم للمثال

0 0

X | ~ N( , ),~ N( , ).

iXXسوف نتعامل مع اإلحصاء الكافى n بدال منX حیثX ~ N , .

n

والیجاد

التوزیع البعدى x نتبع ما یلى:

2 20

0

220 0

0

220 0 0 0 0

0 0 0

0 0

0

n x1-2

1 n (x )2

n 2 (n x ) n x-2 (n ) n

n n x2

x f x

e

e

e

e

2

0

0n .

)gوهذا یعنى أن x) للمعلمة 1ماهو اال التوزیع الطبیعي 1N( , ) حیث :

0 0 01 1

0 0

n x , .n n

:وعلى ذلك مقدر بییز هو * 0 0

0

n xd .n

٢٩١

:مخاطرة بییز لهذا المقدار هى

* * 2|x

* 2

0

0

0 0

0 0

r( ) E ( ) [ (d ) f (x | )dx] ( )d

[ (d ) ( | x)d ]f (x)dx

Var( | x)f (x)dx

f (x)dxn

f (x)dx .n n

هو الوسیط وهذا ما سوف نبرهنه واخیرا مقدر بییز تحت فرض داله خسارة الخطأ المطلق :فیما یلى

d

d

E L(d, ) d ( x)d

d ( x)d

d ( x)d .

:هى dوبإجراء تفاضل المخاطرة البعدیة بالنسبة لـ d

d

E L(d, ) ( x)d

d

( x)d .

|xE L( ,d) F d 1 F d .

d

٢٩٢

:وبمساواة الناتج السابق بالصفر نحصل على

* F d 1 F d * 0.

:وعلى ذلك

*

*

2F d 1

1F d2

.أى أن مقدر بییز هو الوسیط

مقدر بييز تحت فرض دالة الخسارة االسية ) ٤-٩-٤( التى تجعل القیمة *dهو القیمة ) ٦-٤(مقدر بییز لدالة الخسارة األسیة المعرفة فى

التوقع یكون بالنسبة للتوزیع البعدى ویسمىالمخاطرة (المتوقعة لدالة الخسارة أقل مایمكن القیمة المتوقعة لدالة الخسارة : الخطوات التالیةویتم الحصول على مقدر بییز باتباع ) البعدیة

:هى c(d )

x x x E L(d, ) E e E c(d ) 1.

ونساویها dولجعل الخسارة المتوقعة أقل مایمكن ، نفاضل المعادلة السابقة بالنسبة ل :كمایلى *dبالصفر فنحصل على

٢٩٣

*

*

*

*

*

c dx

c dx

c dx

c dx

cd c|x

cd c|x

E (L(d, )E c e c

d

E c e c 0

cE e c

E e 1

E e e 1

e E e 1.

*cd c|x

* c|x

e E e

cd ln E e .

:باستخدام دالة الخسارة الخطیة األسیة یكون *dوعلیه فإن مقدر * c

|x1d ln E (e )c

مقدر بييز تحت فرض دالة الخسارة االنتروبيا المعممة ) ٥-٩-٤( االنتروبیا المعممة والذى یجعل القیمة المتوقعة لدالة الخسارة للمعلمة d*مقدر بییز

أقل ما یمكن نحصل علیه بأخذ التوقع بالنسبة للتوزیع البعدى ثم نفاضل الناتج )٨-٤( :كالتالى d*ونساویة بالصفر فنحصل على d بالنسبة ل

q

x x

q qx x

q* q 1

x *

* q 1 qx *

d dE E qln

1 1(d )E ( ) q ln d E

1 qq(d ) E 0d

1 1(d ) E ( ) .d

:بإستخدام دالة الخسارة اإلنتروبیا المعممة هو لـ d*وعلیه فإن مقدر بییز

٢٩٤

1* q q

xd E ( ) .

فإن داله خسارة االنتروبیا تؤول الى داله خسارة مربع q = -1وكحاله خاصة عندما یكون

.الخطأ

Error Loss-Squaredodds -Loggمقدر بييز تحت فرض ) ٦-٩-٤(

Log-odds Squared - Error Lossمقدر بییز تحت فرض دالة خسارة Function )ھو) ٩-٤:

*

|x

1d 1 ,1 e

E ln .1

طرق تقريبية للتكامالت البييزية ) ١٠-٤(

Approximate Evaluation of Bayesian Integrals

حساب القيمة المتوقعة البعدية لمعالم التوزيع او دالة بصفة عامة فى طرق بييز كثيرا ما يتعرض الباحث إلى :فى هذه المعالم والتى غالبا ما تكون نسبة بين تكاملين على الصورة التالية

u( )g( )f (x | )dE[u( ) | x] .

g( )f (x | )d

)١٢-٤(

:حيث

٢٩٥

n

jj 1

L(x| )= f (x | ) f (x | ) .

)kدالة االمكان و , ,..., ) معالم التوزيع االحتمالى للظاهرة موضع الدراسـة و g( ) التوزيـعيكـون مـن الصـعب الحصــول علـى شـكل محـدد لنتيجـة هــذه التوزيـع وفـى كثيـر مــن االحيـان القبلـى لمعـالم

لقبليــة التكـامالت خاصــة وإذا كــان التــوز يــع تحـت الدراســة يعتمــد علــى اكثــر مـن معلمــة وكانــت التوزيعــات ا :يمكن وضعها على الصورة التالية ) ١٢-٤(المعادلة .لهذه المعالم متصلة

L( ) Q( )

BL( ) Q( )

u( ) e du E[u( ) | x] .

e d

)١٣-٤(

)Lحیث ) ھو لوغاریتم دالة اإلمكانL(x | ) وQ( ) ln g( )

ة ال ةأي لوغاریتم الدال )uو قبلی ) ي ة ف ة اختیاری دما . دال ال عن بیل المث ى س ي عل ف

)uالبعد األول فإن ) المقدر البیزي لـ ( ھو متوسط التوزیع البعدي تحت فرض دالة

)kuخسارة مربع الخطأ وقد تكون ) و التي تمثل العزوم من الدرجةk دي ع البع للتوزی

1 ورة العامة تكونالص) . 2 m( , ,..., ) . ة ي المعادل نحصل ) ١٣-٤(بحساب المقام ف

-٤(في الجزء التالي سوف نقدم عدة طرق تقریبیة لحساب . على ثابت التناسب للدالة البعدیة

١٣.(

تقريب لندلى ) ١-١٠-٤( Lindley Approximation

٢٩٦

و یعتبر مفید عندما یكون عدد المعالم Lindley (1980)ھذا التقریب قدم من قبل

1، و الخطأ في ھذا التقریب من الرتبة 5أقل من n

.ھو حجم العینة العشوائیة nحیث

:نظریة د ) ١٣-٤(كبیرة بدرجة كافیة فإن الصیغة في nعندما ان الوحی در اإلمك ز حول مق ترتك

. یمكن التعبیر عنھا بصورة تقریبیة كاألتي ) ١٣-٤(و على ذلك الصیغة:

ML

ij i j ij ijk ij ki j i j k ˆ

1ˆE u x u u 2u Q L u2

)١٤-٤( :حيث

1 2 m( , ,..., ) , i,j,k, =1,2,...,m ، ii

Qln g Q , Q

)gو ) هو التوزيع القبلي للمعلمة وL( ) و . تمثل لوغاريتم دالة اإلمكانij تمثل العنصر ذو}ijفي معكوس المصفوفة التى عناصرها jو العمود iالصف L } حيث:

2 2 2 3

i ij ii ij ijki i j j i j i j k

u u u L Lu ,u ,u L ,L .

حيث iتحسب عند قيم مقدرات اإلمكان األكبر للمعالم ) ١٤- ٤(كل عناصر الطرف األيمن في

i 1,2,...,m . هي التوقع للدالة) ١٤- ٤(أي أن u على التوزيع البعدي لـ. 1غالبــا مــا يســتخدم هــذا التقريــب عنــدما 2( , ) وفــي هــذه الحالــة فــإن تقريــب لنــدلي يأخــذ الصــيغة

:التالية

٢٩٧

22 2 2 22

111 1 11 11 111 2 11 12 112 1 11 21 112 2 11 22 121 1 12 11 121 2 12 12

122 1 12 21 122 2 12 22 211 1 21 11 211 2 21 12

11 1 1 11 12 1 2 12 21 2 1 21 (u 2u Q ) ]

1[L u L u L u L u L u L u2

L u L u L u L u

1u [(u 2u Q ) (u 2u Q ) (u 2u Q )2

212 1 21 21 212 2 21 22

221 1 22 11 211 1 21 11 211 2 21 12 212 1 21 21 212 2 21 22 221 1 22 11

221 2 22 12 222 1 22 21 222 2 22 22

L u L uL u L u L u L u L u L u

L u L u L u ] .

1 1 11 2 21 2 1 12 2 22 11 11 21 12 22 22

2 2 2111 1 11 2 11 12 112 1 11 21 2 11 22 1 12 11 2 12 1 21 11 2 12

2122 1 12 2 12 22 1 21 21 2 21 22 1 22 11 2 22 1

1u [2Q (u u ) 2Q (u u ) u 2u u ]2

1[L (u u ) L (u u u u u u )2L (u u u u u u

22 222 1 22 21 2 22) L (u u )].

:الصورة التالية ویمكن اختصاره إلى

1 1 11 2 21 2 1 12 2 22 11 11 21 12 22 22

2 2111 1 11 2 11 12 112 2 11 22 12 1 21 11

2 2122 1 22 11 21 2 12 22 222 1 22 21 2 22

1u Q (u u ) Q (u u ) [u 2u u ]2

1[L (u u ) L (u ( 2 ) 3u ). 2L (u ( 2 ) 3u ) L (u u )].

12و عندما تكون 21E(L ) E(L ) 0 فإن الصيغة تأخذ الشكل التالي:

1 1 11 2 2 22 11 11 22 22

2 2111 1 11 112 2 11 22 122 1 22 11 222 2 22

1u Q u Q u [u u ]2

1[L u L u L u L u ]. 2

1حالة خاصة عندما وفي ھذه الحالة فإن تقریب لندلي یأخذ الصیغة التالیة:

211 11 111 1 111 1 11

1 1u L u2 2

u u Q .

تقريــب لنــدلي اســتخدمه كثيــر مــن البــاحثين لكونــه مــن التقريبــات العدديــة الجيــدة لمثــل هــذه النوعيــة مــن ـــــــــنهم ـــــــــذكر م ـــــــــب ن ـــــــــي اســـــــــتخدمت هـــــــــذا التقري ـــــــــر مـــــــــن األبحـــــــــاث الت ـــــــــاك كثي التكـــــــــامالت ، و هن

Sinha (1985), Howlader &Weiss (1988), Soliman(2001). تقريب تيرنى وكادين ) ٢-١٠-٤(

ApproximateKadane -The Tierney

٢٩٨

Al-Houssainiصرح وقد Tierney-Kadane (1986)هذا التقریب قدم من قبل

and Joheen (1994) 2أدق من تقریب لندلي والخطأ فى هذا التقریب من الرتبة انه1n

هو حجم العینة العشوائیة إال أن استخدامه یتطلب إثبات ان یكون التوزیع البعدي nحیث

.وحید المنوال وهذا الشرط یصعب تحقیقه في كثیر من المسائل

: نظریـةذا كان التوزیع البعدي للدالة nعندما تكون )uكبیرة بدرجة كافیة وا ) ) یعطى

)Lحیث ) أو السالب(تتركز علي نصف خط األعداد الموجب ) بیانات ) ھو لوغاریتم دالة)اإلمكان و ) ھو لوغاریتم التوزیع القبلىg( ) فإن L تتركز حول قیمة

:یمكن التعبیر عنه بالصورة اآلتیة) ١٣- ٤(عظمى وحیدة فإن التكامل المعرف في )١٥-٤(

:حیث *1 1L , ln u L

n n

:یمكن كتابتها على الصورة التالیة )١٥- ٤(المعادلة

* *

1* 2 n

BTdetu E u e .det

)١٦-٤( :حیث

n *

Bn

e du E[u( ) | x] .

e d

٢٩٩

* هي القیمة العظمى لـ* *, هي منوال التوزیع البعدي والقیمة العظمى لـ و*, هما معكوس سالب المصفوفات للتفاضل الثانى لكل من*, عند*, على

det*و .التوالى ,det مها احملددان للمصفوفتان*, . وعلى ذلكBTu ىف هذه احلالة هى تقريبیمكن )١٦-٤(فإن المعادلة فى حالة وجود معلمة واحدة نهتم بها . uتريىن وكادين للدالة

:كتابتها على الصورة التالیة

* ** nBTu e .

)١٧-٤(

:حیث * هي القیمة العظمى لـ * و منوال التوزیع البعدي والقیمة العظمى لـ هو :و

*

2 2 *2 * 2

2 2,

التنبا االحصائى البييزى ) ١١-٤( فى ، فعلى سبیل المثال ،التنبؤات االحصائیة لھا استخدامات كثیرة فى الحیاة العملیة

، الطب یمكن استخدام فكرة التنبؤ فى التكھن باالتجاه الذى یاخذه مرض معین مستقبال اجراء قبلوكذلك فى تجارب المضادات الحیویة المستحدثة وایضا فى التشخیص السلیم

العملیات الجراحیة وما شابھ ذلك وفى مجال الھندسة تمكنا فترات التنبؤ فى تحدید مدى الكفاءة المستقبلیة للمنتجات وقطع الغیار وكذلك فى حل كثیر من مشاكل التحكم فى جودة

ففى كثیر من .التنبؤ االحصائى من المواضیع االساسیة فى االستدالل االحصائى . االنتاج ل االحصائیة فى حیاتنا العملیة نرید االستفادة من النتائج المستخلصة من عینة او المسائ

العینتان او التجربتان یحكمھما ، تجربة سابقة للتنبؤ بنتائج تخص عینة او تجربة مستقبلیة –احدى ھذه الطرق التى تمكننا من ذلك ھى محاولة تكوین فترة ، قانون احتمالى معین

تحوى ھذه النتائج المستقبلیة وھى التى تسمى بفترات التنبؤ –عین بمستوى احتمالى مprediction interval . فترات التنبؤ ھذه تاخذ اشكاال عدیدة تتحدد تبعا لنوعیة المطلوب

٣٠٠

استنتاجھ بالنسبة للعینة المستقبلیة ومن اھم الطرق الحصول على فترات التنبؤ الطرق .الكالسكیة او غیر بییزیة

تنبؤ العينة الواحدة ) ١-١١-٤(

1بفرض ان 2 ry ,y , ,y ھى الr االولى من المشاھدات المرتبة من عینة عشوائیة حجمھاn تتبع التوزیع االحتمالىf (x | ) ) حیث حیث ان ) قد تكون متجھ من المعالمr n .

n)فى ھذه الحالة فإن التنبؤ سیكون الحد المشاھدات المرتبة المتبقیة من الحجم r) وھىr 1 r 2 ny ,y , ,y . للمشاھدات المتبقیة ذات الحجم(n r) إذا وضعناs r sz y للتعبیر

1حیث sعن المشاھدة ذات الترتیب s n r فإن دالة الكثافة للمشاھدةsz بشرط1وجود المشاھدات 2 ry ,y , ,y تعطى من:

n r s 1 n r s (n r)

r s s r s r ssh (z | ) s F(z | ) F(y | ) 1 F(z | ) 1 F(y | ) f (y | ).

.)Fحیث | :تكون على الصورة szدالة كثافة بییز التنبؤیة للمشاھدة. دالة التوزیع (.

1 s r sp (z | x) h (z | ) ( | x)d . )حیث | x) ھى الدالة الكثافة البعدیة للمعلمة بشرط معلومیةx . حدود تنبؤ بییز

100)بمستوى ثقة szللمشاھدة %) ھىL(X),U(X) بحیث: sP L(x) z U(x) .

المعادلة السابقة .ھما الحدین االدنى واالعلى لفترة التنبؤ على الترتیب L(x),U(x)حیث :تكافئ

s

s

1P z L(x) | x ,2

1P z U(x) | x .2

لقیم L(x),U(x)المعادلة السابقة یمكن حلھا عددیا للحصول على حدود تنبؤ بییز two sideالتنبؤ المحدودة من جھتین ةالفترة السابقة تسمى فتر.المختلفة

prediction interval . فى حالة كونL(x) فإن فترة التنبؤ الناتجة ذات الشكل ,U(x) تسمى فترة التنبؤ المحدودة من اعلى one –side upper prediction

interval. وبالمثل فى حالة كونL(x) فإن فترة التنبؤ الناتجة ذات الشكل L(x), تسمى فترة التنبؤ المحدودة من اسفل one –side lower

٣٠١

تنبؤ العينتني ) ٢-١١-٤(

1بفرض ان 2 ry ,y , ,y من المشاھدات المرتبة من عینة عشوائیة حجمھا عینة ھىn تتبع

fالتوزیع االحتمالى (x | ) .1 وبفرض ان 2 rz ,z , ,z هى عینة اخرى من المشاهداتفى هذه الحالة فإن التنبؤ سوف mالمستقبلیة تتبع نفس التوزیع االحتمالى وذات الحجم

1تقبلیة حیث من العینة المس szیكون الحد المشاهدات s m دالة الكثافة لللمشاهدة :بشرط وجود العینة االولى هى szالمستقبلیة

m m s s 1*

s s s ssh (z | ) s 1 F(z | ) F(z | ) f (z | ).

القيم املنعزلة ) ٣-١١-٤( من المعلوم انه فى كثیر من العینات المختارة عشوائیا من اى مجتمع احصائى نجد ان

هذه المفردات عادة تسمى القیم الشاذة او .هناك مفردة او اكثر بعیدة عن الوسط الحسابى Barnettعن هذه القیم الشاذة وطرق معالجتها یمكن الرجوع الى كتاب . outliersالمنعزلة

and Lewis (1994) . اهتمامنا سوف یكون تحت فرض توزیع باریتو حیث معلمة single outlier ofمعلمة الشكل وفى حالة القیمة المنعزلة المفردة من النوع القیاس و

type o . 1بفرض ان 2 ry y ,y , ,y من المشاھدات المرتبة من عینة عشوائیة حجمھا عینة ھىn

fتتبع التوزیع االحتمالى (x | ) .العینة تحتوى على قیمة واحدة منعزلة ولتكن وبفرض انiy 1حیث i m فى هذه الحالة نعتبر ان القیمة المنعزلة یحكمها توزیع احتمالى مختلف

*ولیكن of (x | , ) والذى یمكن اعتباره نفس التوزیع االحتمالى ولكن لقیم معالم مختلفة

m)اى ان . 1) من العینة العشوائیة یحكمها قانون باریتو ذو المعالم( , ) والقیمة)oالمتبقیة یحكمها قانون باریتو ذو المعالم , ) .

yمن العینة iyبصورة عامة دالة الكثافة االحتمالیة الى قراءة 1حیث i m فى حالة :احتواء العینة على احد القیم المنعزلة تعطى من

٣٠٢

m 1 m ss 2 *s ss 1

m ss 1 *s

m s 1s 1 *s

h(y | ) [(s 1)F 1 F F f (y | )

F 1 F f (y | )

(m s)F 1 F 1 F f (y | )].

sحیــــث sf (y | ),F(y | ) همــــا دالتــــى الكثافــــة والتوزیــــع لكــــل قــــیمy ــــة بینمــــا الغیــــر المنعزل

* *s sf (y | ),F (y | ) هما دالتى الكثافة والتوزیع لكل قیمy الترتیب المنعزلة على.