Gamma Distributionتوزیع جاما

یعتبر توزیع جامـا واحـد مـن التوزیعـات المتصـلة الشـائعة االسـتخدام فـي التطبیـق، فكثیـر مـن المتغیــرات العشــوائیة تتبــع توزیــع جامــا مثــل زمــن الخدمــة فــي مركــز للبیــع أو الــزمن الــالزم إلعــادة

. gamma functionلقد أشتق اسم التوزیع من عالقته بدالة تسمى دالة جاما . تجدید السیارة

:تعطى كالتالى k > 0، ألي k((دالة جاما ویرمز لها بالرمز :تعریف

.dt e t)k( t1k

0

)1dt e )1فإن k = 1على سبیل المثال عندما t

0

.

)١(مثال

1أثبت أن2

٠

:الحــل

بوضع 1

1 x2x e dx2 0

1 2x y dx ydy.2

21 y

1 1 2 2 2( ) ( y ) e y dy2 20

1 2y1 2( ) 2 e dy2 0

1 12 2y y1 12 22 e dy e dy 22 2 20

1( ) 2 .2 2

:فإن nوباالعتماد على هذه العالقة فإن ألي عدد صحیح موجب 2n 1 1.3.5 (2n 1)( ) .n2 2

:فمثال 1n 0 ( )2

3 1n 1 ( )2 2

5 3r 2 ( ) .2 4

.وهكذا الحال بالنسبة ألي قیمة أخرى

)٢( مثال

nأثبت ان 1,2,3,... (n 1) n! ٠

:الحــل

:من تعریف الدالة نجد انn x(n 1) x e dx x 0.

0

: باستخدام التجزيء للتكامل نحصل علىn x(n 1) x e dx

0

n 1 xn x[ nx e dxx e ]0 0

n 1 xn x e dx n (n).0

nكذلك یمكن إیجاد التكامل 1 xx e dx0

على لبالتجزيء فنحص:

(n) (n 1) (n 1), :وبالتالي فإن تكرار تطبیق العالقة السابقة یؤدي إلى

(n) (n 1)(n 2) 3 2 1,

:أي أن (n 1) n(n 1)(n 2) 3 2 1 n!

k k 1 k 1 , k > 1

إذا كانــت k , 0 0أنــه یتبـع توزیـع جامــا بمعلمتـین Xیقـال للمتغیــر العشـوائي : نظریـة :دالة كثافته االحتمالیة على الشكل

k-1 x/k

1f (x; , k) x e , x 0 (k)

0 , e.w .

k) , (x; fتحقـــــق الدالـــــة 0شـــــرطي دالـــــة كثافـــــة االحتمـــــال حیـــــث k) , (x; f وبوضـــــع

x / t فـــــي التكامـــــلdx k) , (x; f0

ـــــى )k(/)k(1نحصـــــل عل . ســـــوف

k) ,( GAM ~Xنكتــب للداللــة علــى أنX متغیــرًا عشــوائیًا لــه دالــة كثافــة االحتمــال.

k) , (x; f k) , (x; fیوجد ثالث أشكال أساسیة للدالة تعتمد على ما إذاk < 1 أوk = 1 أوk

k) , (x; fأشــكال مختلفــة للدالــة . 1 < وذلــك لقــیم مختلفــة مــن التــالیینشــكل الموضــحة فــي ,k .

فـإن k = 1 عنـدما 1/ ) 1 , 0, ( f وعنـدما k > 1 0فـإنk) , (0; f . عنـدماوk<1

=yفإن المحور الراسي يحاذى ) k , (x; f .

k) ,( GAM ~Xدالة التوزیع للمتغیر هي:

.dte t)k(

1 k) , (x; Ft

1-kk

x

0

بوضع /tu فـي التكامـل فـإنk) , 1 ; F( k) , (x; F x

حیـثF (. , k ) تسـمى دالـة) معلمـة القیـاس ( فقـط والتـى تعتمـد علـى incomplete gamma functionجامـا الناقصـة

مـوذج حتـى ال فـي الن عـادة ، یكـون مـن الضـرورى وجـود . x / وذلـك مـن خـالل المتغیـر یمثـل الـزمن باألشـهر Xعلـى سـبیل المثـال إذا كـان . تعتمد النتائج على وحدة القیاس المسـتخدمة

k) ,( GAM ~Xحیث و :وعلى ذلك 12 = F (24/12 ; 1, k) = F ( 2; 1, k ) . ) = 24شهرX(P

حیـــث Y ~ GAM (48, k)متغیـــرًا عشـــوائیًا مقـــاس قیمـــة باألســـبوع فـــإن Yبفـــرض أن 4812.4 . على سبیل المثال:

96Y(Pأسبوع ( ) = 24شهرX(P = F (96 / 48 ; 1, k ) = F ( 2; 1, k )

.أي نفس النتیجة السابقة

k) ,( GAM ~Xحیــث Xعمومــًا دالــة التوزیــع للمتغیــر ال یمكــن وضــعها فــي شــكل .عدد صحیح موجب فإن التكامل یمكن التعبیر عنه كمجموع kصیغة ولكن إذا كانت

:نظریة

.e !i

)/x( -1 )k , x;( F x/i1-k

0i

)٣(مثال

تمثل متغیرًا عشوائیًا حیث) مقاس بالبوصة ( إذا كانت كمیة الترسیب في نهر X ~ GAM (.2, 6) .

P ( X > 2 )٠ :المطلوب

:الحــل6-1 (x/.2)

62

i5 10

i 0

1P( X 2 ) x e dx(.2) (6)

1- F ( 2; .2, 6 )10 e 0.067 .i!

.10عند والتي یمكن حسابها من جدول توزیع بواسون :حیث F (x; k)هناك جداول لحساب

17. (.5) 8.0 1(.2) x 10, 6(1) k 1, , 15. (.5) 8.0 .2(.2) x , 5 (1) 1 k

.وفى بعض االحیان یمكن حل التكامل بدون جداول

)٤( مثال

X ~ GAM (0.5, 10 )بفرض أن متغیر عشوائي حیث P(X أوجد 5),P(5 X 7) ٠

:الحــلP(Xعدد صحیح موجب فإن k=10بما أن 5) یمكن حسابها كالتالى :

P(X 5) F(5,0.5,10)5 5i( ) i9 9 (10) 100.5 0.51 e 1 e 1 0.458 0.542.i! i!i 0 i 0

حیث i9 (10) 10e

i!i 0

10یمكن حسابها من جداول بواسون حیث

P(5 X 7) F(7) F(5)i i9 9(14) (10)14 10(1 e ) (1 e ) 0.349.

i! i!i 0 i 0

)٥( مثال

:أوجد X ~ GAM (1, 2 )إذا كان زمن التفاعل یمثل متغیرًا عشوائیًا حیث P( 3 X 5) ) أ( ٠ P( X > 4 )٠) ب(

:الحــل

:كالتالي جاما الناقصةیمكن إیجادها باستخدام الجدول ) ب(و ) أ(االحتماالت في

) أ( . .15872

.80085 - .95957 ) 2 (3, F - ) 2 (5, F ) 5 X 3 P(

)X P( - 1 ) 4 X P 4 () ب( = 1 – F (4; 2) = 1 - .90842 = .09158 .

)٦(مثال

لــذكر الفــأر المعــالج بأشــعة جامــا یتبــع المتغیــر العشــوائى ) مقــاس باألســبوع ( إذا كــان زمــن البقــاء X حیثX ~ GAM (15, 8 ) .أسبوع 60 , 120أوجد االحتمال أن الفأر سوف یبقى على قید الحیاة بین ) أ( .أسبوعًا 30على األقل ) ب(

:الحــل

:كالتالي جداول جاما الناقصة یمكن إیجادها باستخدام ) ب(و ) أ(االحتماالت في X P( - ) 120 P(X ) 120 X P(60 60 () أ(

= F (120 / 15 ; 8 ) - F( 60/15 ; 8 ) = F (8; 8 ) - F (4; 8 ) = .54704 - .05113 = . 49591 .

) ب(

) 30 X P( - 1 ) 30 X P( - 1 ) 30 P(X

= 1 – F ( 30/15; 8 ) = 1 – F ( 2; 8 ) = 1 - .0011 = .9989 .

)٧( مثال

5ســویتش تتبــع عملیــة بواســون حیــث بفــرض أن عــدد المكالمــات المســتقبلة فــي مكالمــات فــي X متغیــر عشــوائي یمثــل الــزمن بالــدقائق حتــى اســتقبال مكــالمتین حیــث Xفــإذا كــان . الدقیقــة

1یتبع توزیع جاما بمعلمتین , k 25

أوجدP(X 1) ٠

:الحــلx11P(X 1) xe dx.2 0

1 5xP(X 1) 25 xe dx0

)٨( مثال

فـــي دراســـة طبیـــة عـــن تـــأثیر دواء معـــین علـــى زمـــن الحیـــاة والـــذي یقـــاس باألســـابیع ویتعبـــر متغیـــر k,10عشــوائي یتبــع توزیــع جامــا بمعلمتــین 5 مــا هــو احتمــال أن معــدل الحیــاة الیزیــد عــن

أسبوع؟ 60

:الحــل

: فإن اإلحتمال المطلوب هو) الزمن حتى الوفاة (متغیر عشوائي یمثل زمن الحیاة X إذا كان

xx 1 k 1P(X x) x e dx,k (k)0

x601 1 5 1 10P(X 60) x e dx.5 (5)10 0

هذا التكامل یمكن حله بإستخدام دالة جاما الناقصة والتي تكتب على الصورة x

5 1x y yF( ;5) e dy,(5)0

:وعلى ذلك 46 y yP(X 60) e dy.

(5)0

:وعلى ذلك F(6 ; 5)ویمكن الحصول على هذا التكامل من جداول جاما الناقصة عند P(X 60) F(6 ; 5) 0.71494.

)٩( مثال

یصـــل عمیـــل لكـــل ســـاعة یصـــلون إلـــى ســـوبر ماركـــت فـــي عملیـــة 30بفـــرض أنـــه فـــي المتوســـط

1إذا كانــت الوحــدة هــي الدقیقــة فــإن .بواســون2

مــا هــو احتمــال أن البــائع ســوف ینتظــر الكثــر

یمثـل زمـن وصــول العمیـل الثـاني فــإن Xدقـائق قبـل وصــول العمیلـین األولیـین ؟ إذا كــان 5مـن

X 1یتبع توزیع جاما بمعلمتین 2 k 2

٠

:الحــل

x2 1 2x eP(X 5) dx,22 25

x x x2xe 1 2 2 2xe 4e ,

4 455

57 2 e 0.287.2

2بما أن عدد صحیح موجب فإنP(X 5) یمكن حسابه بإستخدام النظریة السابقة : كالتالى

xx i( ) ek 1

P(X x) ,i!i 0

k , 2وعلى ذلك عندما 2 x 5 فإن:

55 5 5i 2( ) e2 1 5 72 2 2P(X 5) e (1 ) e .

i! 2 2i 0

)١٠( مثال

3إذا كـان وصـول المكالمــات التلیفونیـة إلــى سـویتش یتبـع عملیــة بواسـون بمتوســط فـي الدقیقــة . k=2ما هو احتمال مرور على األقل دقیقتین قبل وصول المكالمة الثانیة إذا كان

:الحــل

X وعلــى ذلـــك ،متغیــر عشـــوائي یمثــل زمـــن اإلنتظــار حتـــى وصـــول المكالمــة الثانیـــةX یتبـــع

1kتوزیع جاما بمعلمتین 2 , 3

i (2 3)1 (2 3) eP(X 2) 1 F(2) ,i!i 0

6 حیث )١(فى ملحق وباستخدام جداول بواسون فإن .017.0)2X(P

:المتوسـط والتبایــن k , ( GAM ~ X(حیث Xمتوسط المتغیر یمكن إیجاده كالتالي:

dx e x)k(

1 x (X) E x/1-kk0

dx e x )k1(

1 )k(

)k1(

dx e x)k(

1

x/1)k1(k10k

k1

x/1)k1(

0k

.kkk / k )k(

)k1(k

k1

k 1 (k )(X E(بنفس الشكل 22 وعلى ذلك التباین هو: 222 k )k ( - )k 1 ( k (X)Var

0.24 بوصـة وتبـاین 2 .1،فإن كمیة الترسیب الیومیة تتبـع توزیـع جامـا بمتوسـط ) ٣(في المثال .

)١١( مثال

Xإذا كـــان ~ GAM ( , k) أثبـــت أن المنـــوال لهـــذا التوزیـــع هـــوm (k 1)o وأن هنالـــكxنقطتا إنقالب في منحنى داله هذا التوزیع وهما (k 1) k 1 ٠

:الحــلx

1 k 1x e , x 0f (x) k (k)0 , e.w.

1 xln f (x) ln( ) (k 1)ln x ,k (k)

xوبإیجاد المشتقة األولى بالنسبه الى :نحصل على

f (x) k 1 1 ,f (x) x

k 1 1f (x) f (x)( ).x

fوبوضع (x) 0 فإن: k 1 1f (x)( ) 0,x

k 1 1 0 ,f(x)>0 x

:وهذا یعني أنx (k 1).

:أیضاk 1 k 1 1 2f (x) f (x)[ ( ) ],2 xx

:وأن 1f (x) f (x (k 1)) 0.x (k 1) 2(k 1)

xومن ذلك نستنتج أن المنوال لتوزیع جاما هو (k 1) ٠ fبوضع (x) 0 وذلك إلیجاد نقطتي االنقالب نحصل على:

k 1 k 1 1 2f (x)[ ( ) ] 0,2 xx

fولكن (x) 0 وعلى ذلك: k 1 k 1 1 2[ ( ) ] 0.2 xx

:نحصل على xوبحل الصیغة السابقة بالنسبة لـ x (k 1) k 1 ,k 1.

ــــدما ــــه عن ــــات ان xونتــــرك للقــــارئ أثب (k 1) k 1 فــــإنf (x) 0 وهــــذا یعنــــي انــــــالب علــــــى بعـــــــد متســــــاوي إلــــــى یمــــــین ویســــــار المنــــــوال همـــــــا لمنحتــــــى الدالــــــة جامــــــا نقطتــــــا إنق

x (k 1) k 1 .

)١٢( مثال

1Xإذا كان الدخل لألسرة الواحدة في بلد ما یتبع توزیع جاما حیث ~ GAM ( , 2 )2

. P ( X >2 )المتوسط و أوجد ). 10000 $مقاس (

:الحــل

1هو المعنى البلد في الدخل لألسرة الواحدة متوسط 212. ) k ( ) مقاس$

، ألسـرة مختـارة 1000 $ یمثـل الـدخل ، بوحـدات متغیـرًا عشـوائیًا X فإنوعلى ذلك ). 10000 :كالتالي P( X > 2 ) حساب یتم

1 2 1 2xP ( X 2 ) x e dx,1 2( ) (2) 22

2x 4 x e dx,2

x 2x 2x 4 ( - e ) 2 e dx,2 2 2

2x 2x (-2 . e - e ) ,2

2x - ( 2x 1 ) e ,2

4 5 e .0916 .

:العزوم حـول الصفـر :حول الصفر من الدالة المولدة للعزوم حیث rیمكن الحصول على العزم من الدرجة

k 1 x/tx

X k0

k 1 (t-1/ )xk

0

x eM (t) e dx (k)

1 x e dx(k)

x)1/ -(t - u بوضع فإن: -k

k 1 u X k

0

1 1M (t) t u e du. (k)

:أي أن

-kXM (t) 1 t t 1/ .

:، في هذه الحالة ، هي rالمشتقة من الدرجة r-k-r)r(

X t)-(1 k ) 1(k )... 1- r k ( )t(M

r -k-r(k r) ( 1- t) .(k)

M)0(:وعلى ذلك )r(X تعطى العزم من الدرجةr حول الصفر حیث:

. )k(

)rk()X(E rr

:یمكن وضع الدالة المولدة للعزم على صورة مسلسلة كالتالى r

r

1rX t

!r

(k)r)(k1)t(M

k /2 , 2عنــدما نحصــل علــى صــورة خاصــة لتوزیــع جامــا تســمى توزیــع مربــع كــايchi – square distribution بمعلمة عنـدما . تسـمى درجـات الحریـةk = 1 نحصـل علـى . exponential distributionحالة خاصة تسمى التوزیع األسى

:الدالة الممیزة : هىالدالة الممیزة لتوزیع جاما

k-X ) it - 1 ( )t(

:ومنها یمكن اثبات أن

r

r(k r) r 1, 2,...(k)

:حیث

. 3)(k 2)(k 1)k ( k

2)(k 1)k ( k

1)k ( k

k

44

33

22

1

)١٣( مثال

Xإذا كان ~ GAM (3, 2) أوجدrf (x) , M (t) , E(X ) , F(x)X ٠

:الحــلx

1 3f (x) xe , x 09

12M (t) (1 3t) , tx 3 k 6.x

2 2 k 18.r rE(X ) 3 (r 2) ,r 1,2,3...

xux1 x 33F(x) ue du 1 ( 1)e .9 30

F(0) 0.F(10) 0.8454132.

F(1) 0.04462.

)١٤( مثال

Xإذا كـان ~ GAM ( , k) بـرهن علـى أن الوسـط التـوافقي H 1حیـث 1[ E( )]H X مسـاو

rE(X للمنوال ثم اشتق صیغة )و r ٠عدد صحیح موجب

:الحــل

:حسب تعریف الوسط التوافقي فإنx

1 1 1 1 k 1E( ) x e dx,kH X x(k) 0x

1 (k 1) 1x e dx,k(k) 01 1k 1(k 1) .k (k 1)(k)

:وعلى ذلكH (k 1).

).١١(والذى یساوى المنوال الذى أوجدناه من مثال