ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л.П. Вовк, Е.С. Кисель

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ ОБЛА-

СТЕЙ С НЕГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ

МОНОГРАФИЯ

Издание приурочено к 95-летию

Донецкого национального технического университета

Донецк

ООО «Технопарк ДонГТУ «УНИТЕХ»

2015

2

УДК 539.3

ББК 38.112

В 61 Рекомендовано ученым советом Автомобильно-дорожного института

ГВУЗ «Донецкий национальный технический университет» (г. Донецк,)

протокол № 2 от 3.12.2014 г

Рецензенты:

Багмутов В. П. – доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Сопро-

тивление материалов» Волгоградского государственного техниче-

ского университета, академик Академии инженерных наук РФ,

заслуженный работник высшей школы РФ

Захаров И. Н. – доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Сопро-

тивление материалов» Волгоградского государственного техниче-

ского университета

Ватульян А. О. – доктор физико-математических наук, профессор,заведующий ка-

федрой «Теории упругости» Южного федерального университета

РФ

Мищенко Н. И. –

доктор технических наук, профессор,заведующий кафедрой «Авто-

мобильный транспорт» Автомобильно-дорожного института

ГВУЗ «Донецкий национальный технический университет»

Динамические задачи термоупругости для неоднородных

В 61 областей с негладкой границей: монография / Л. П. Вовк,

Е. С. Кисель. – Донецк: ООО «Технопарк ДонГТУ «УНИТЕХ», 2015.

– 135 с.

Монография посвящена обобщению теории и совершенствованию методов решения

связанных задач динамической термоупругости для тел кусочно-неоднородной внутренней

структуры. Рассмотрены актуальные вопросы, связанные с разработкой численно-аналити-

ческих методов решения краевых задач, определяющих термомеханические характеристики

волнового поля тел составного сечения. На основе полученных решений проанализированы

особенности проявления тонких динамических эффектов, связанных с локальной концентра-

цией динамических напряжений на границе раздела изотропных сред с различными термо-

упругими свойствами.

Для широкого круга специалистов в области термомеханики деформируемого твердо-

го тела.

УДК 539.3

ISBN 978-966-8248-64-1

© Вовк Л. П., Кисель Е. С., 2015

© ГВУЗ «Донецкий национальный технический унвиверситет», 2015

3

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................................. 5 ГЛАВА 1 ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА ПРОЧНОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ

ОБЛАСТЕЙ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ............................................................ 9 1.1 Становление и развитие методологии решения граничных задач

теории упругости для тел конечных размеров .............................................. 9 1.2 Метод суперпозиции в решении осесимметричных задач теории

упругости ....................................................................................................... 10 1.3 Учет тонких динамических эффектов при гармонических

колебаниях тел с неоднородной границей ................................................... 12 1.4 Состояние проблемы учета температурных воздействий на

характеристики волнового поля ................................................................... 18 1.5 Новые задачи исследований термоупругих эффектов в кусочно-

неоднородных телах с нерегулярной границей ........................................... 26 ГЛАВА 2 МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД СУПЕРПОЗИЦИИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ

ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ..................................... 28 2.1 Обобщение метода суперпозиции при решении задач

установившихся колебаний термоупругих прямоугольных областей.

Постановка краевой задачи для изотропной термоупругой

прямоугольной области ................................................................................ 28 2.2 Обобщение метода суперпозиции на случай однородных

симметричных прямоугольных термоупругих областей ............................ 31 2.3 Вывод определяющей системы интегральных уравнений для

определения волновых характеристик однородных термоупругих

областей ......................................................................................................... 36 2.4 Асимптотический анализ поведения характеристик

термомеханического волнового поля в окрестности угловых точек

области ........................................................................................................... 44 2.5 Определение параметров особенностей волновых характеристик в

сингулярных точках однородной области ................................................... 54 2.6 Выводы к главе 2 ..................................................................................... 56

ГЛАВА 3 РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ НА СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОСТИ,

ХАРАКТЕРИЗУЮЩЕЙСЯ СОПРЯЖЕНИЕМ ДВУХ СРЕД ........................ 57 3.1 Формулировка и решение краевой задачи для изотропной

термоупругой неоднородной прямоугольной области,

характеризующейся сопряжением двух сред ................................................ 57 3.2 Обобщение метода суперпозиции на случай кусочно-неоднородных

прямоугольных термоупругих областей ...................................................... 61 3.3 Формулировка и решение вспомогательных краевых задач для

4

случая гармонических колебаний составного сечения с сопряжением

двух сред ........................................................................................................ 65 3.4 Асимптотический анализ поведения вспомогательных функций в

окрестности сингулярных точек границы составного сечения .................. 74 3.5 Характеристическое уравнение для показателей локальных

особенностей волнового поля в сингулярных точках области................... 79 3.6 Численная реализация метода Бубнова – Галеркина и сравнение с

результатами МКЭ ......................................................................................... 80 3.7 Выводы к главе 3 ..................................................................................... 84

ГЛАВА 4 ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК ВОЛНОВОГО

ПОЛЯ КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНЫХ ТЕРМОУПРУГИХ ОБЛАСТЕЙ .... 86 4.1 Численный анализ зависимости ПЛО от термоупругих параметров

среды .............................................................................................................. 86 4.2 Зависимость спектра резонансных частот от некоторых параметров сечения кусочно-неоднородной термоупругой области ............................. 90 4.3 Влияние коэффициента температурного расширения на

собственные частоты исследуемой кусочно-неоднородной

термоупругой области................................................................................... 98 4.4 Влияние упругих параметров области с учетом температурного

фактора на собственные частоты исследуемой области ........................... 102 4.5 Распределение энергии деформации по площади термоупругого неоднородного сечения на резонансных частотах .................................... 107 4.6 Концентрация напряжений в характерных областях термоупругого

неоднородного сечения на резонансных частотах .................................... 112 4.7 Выводы к главе 4 ................................................................................... 115

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................... 117

5

ПРЕДИСЛОВИЕ

Обеспечение безопасности и надежности сложных технических си-

стем является одной из важнейших задач создания и эксплуатации раз-

личных объектов и конструкций. За последние десятилетия в результате

активного развития различных отраслей машиностроения, тепловой и

атомной энергетики, химической и аэрокосмической промышленности как у нас в стране, так и за рубежом, значительно увеличилось производство и

применение разъемных и неразъемных соединений, выполненных из раз-

личных материалов, в отдельных элементах конструкций.

Одновременное использование в таких конструкциях элементов, со-

четающих в себе различные физические/температурные свойства матери-

алов, широкое применение различных видов сварки, технологические пла-

стические деформации при соответствующих рабочих нагрузках, возни-

кающая локальная концентрация напряжений (ЛКН) часто создает воз-можность возникновения как технологических, так и эксплуатационных

повреждений в опасных зонах.

Можно утверждать, что независимо от критерия прочности, выбран-

ный метод исследования обязательно должен учитывать максимальные

напряжения, а также возможные краевые и граничные эффекты для обес-

печения необходимых эксплуатационных качеств составных конструкций

при воздействии температурных и динамических нагрузок, возникающих в зонах ЛКН.

Поскольку наличие ЛКН может быть причиной выхода детали из

строя, то качественное и количественное определение степени ее концен-

трации, а также оценка роли температурных полей и термоупругих волн в

процессе возникновения ЛКН, остается всегда важным и актуальным во-

просом.

Расчет распределения напряжений в твердом термоупругом неодно-

родном теле с учетом ЛКН связан со значительными математическими трудностями, которые обусловлены необходимостью учета связанности

полей деформации и температуры, сложностью формы исследуемых обла-

стей, их физической неоднородностью и условиями нагрузки. Перечис-

ленные факторы являются причиной появления новых волновых эффек-

тов, связанных прежде всего с концентрацией термпературных и динами-

ческих напряжений в окрестности внутренних и внешних границ области.

Поэтому в динамических задачах теории термоупругости особо актуаль-

ной представляется оценка роли граничных эффектов в формировании спектра и форм колебаний исследуемой неоднородной области.

При исследовании краевых и граничных эффектов в задачах термо-

упругости необходимо принимать во внимание связанность полей дефор-

6

мации и температуры, поскольку влияние на природу динамических эф-

фектов будут оказывать не только размеры области, ее геометрические и

упругие параметры, но и температурный фактор. Таким образом, учет су-

щественного усложнения волнового поля дает возможность выявить но-

вые качественные особенности протекания процессов деформирования

неоднородных сечений. Однако появление такого большого количества параметров влечет за собой существенное усложнение краевой задачи о

вынужденных колебаниях неоднородной термоупругой области и числен-

но-аналитического алгоритма ее решения.

Следует также отметить, что соединяемые термоупругие элементы

имеют существенно различные коэффициенты температурного расшире-

ния (КТР). Это рассогласование КТР при температурном нагружении мо-

жет приводить к появлению напряжения, достаточного для образования

трещин вблизи границы раздела соединяемых элементов при резких коле-баниях температуры в процессе работы узла соединения. Образование та-

ких трещин может оказывать вредное воздействие на ожидаемые характе-

ристики узла соединения, такие как прочность и срок службы. Можно

считать, что коэффициент температурного расширения при изменении

температуры оказывает определенное влияние на напряженное состояние

структуры и, как следствие, на ее прочностные характеристики.

Все это в совокупности ведет к усложнению связанной краевой зада-чи. Поэтому в приближенных расчетах чаще всего применяют упрощен-

ные модели с экспериментальной оценкой их эффективности. Это под-

тверждается тем, что в настоящее время активно развиваются численные

методы решения задач термоупругости. Тем не менее, такие слабые эф-

фекты, как, например, связанность термомеханических полей, могут быть

изучены достоверно лишь на основе аналитических решений, получение

которых в большинстве случаев представляет значительные математиче-

ские трудности. Погрешности расчетов еще более возрастают, если необ-ходимо рассматривать динамическое деформирование деталей, поскольку

интенсивность ЛКН в динамических задачах существенно возрастает.

Кроме того, появляется необходимость учета возможности проявления ре-

зонансных эффектов.

Важная особенность геометрии кусочно-неоднородных тел, под-

вергнутых ЛКН, обусловлена также существованием на границе раздела

материалов сингулярных угловых точек, напряженно-деформированное

состояние (НДС) в окрестности которых и определяет прочность всей де-тали в целом. Поскольку в зоне резкого изменения геометрии обычно

имеет место локальное возрастание напряжений, здесь также имеет место

появление новых волновых эффектов, связанных с концентрацией дина-

мических напряжений.

В связи с отсутствием точных аналитических решений для опреде-

7

ления прочностных характеристик составных соединений термоупругих

элементов ограниченных (конечных) размеров с учетом физико-механи-

ческой неоднородности, негладкости границ и возникающей локальной

концентрации напряжений, преобладающими методами данного исследо-

вания являются асимптотические решения и в меньшей степени числен-

ные решения, применяемые, в основном, для подтверждения достоверно-сти полученных результатов.

Таким образом, сравнение и обобщение большого числа разработан-

ных методов решения связанных задач термоупругости позволяет гово-

рить о серьезных математических трудностях, вызванных учетом взаимо-

связи тепловых и механических полей, что побуждает к поиску новых и

совершенствованию существующих методов решения граничных задач

связанной термоупругости для неоднородных тел.

Предлагаемая вниманию читателей книга посвящена вопросам тео-ретического обоснования, разработке и практической реализации анали-

тико-численного метода исследования термоупругих эффектов в кусочно-

неоднородных телах с нерегулярной границей на основе существенной

модификации, разработанных ранее математических аналогий в механике

деформируемого твердого тела. Для достижения указанной цели постав-

лены и решены следующие основные задачи:

1. Дано математическое обоснование возможности распростране-ния алгоритма метода суперпозиции для расчета в рамках теории плоской

деформации конечных термоупругих кусочно-неоднородных областей с

определением характера динамического НДС в окрестности их сингуляр-

ных граничных/угловых точек.

2. Получены аналитико-численные решения граничных задач тер-

моупругости для плоских однородных и кусочно-неоднородных структур.

3. Проведено: исследование зависимости краевых и граничных ди-

намических эффектов от температурных, а также геометрических и упру-гих параметров, определяющих неоднородность области; определение

особенностей распределения термоупругих напряжений в зонах динами-

ческих эффектов на примере однородной/неоднородной термоупругой

прямоугольной области.

4. Разработаны и практически апробированы схемы для численно-

аналитического расчета параметров локальной особенности (ПЛО) по

термоупругим напряжениям в нерегулярных точках сечения и сравни-

тельный анализ влияния температурных эффектов на ПЛО в телах с пере-менными характеристиками, такими как свойства материала и особенно-

сти геометрической формы.

5. Определение термомеханических характеристик волнового поля

в конечной прямоугольной области, с учетом особенностей компонентов

тензора напряжения и температуры в окрестности угловых точек и под-

8

тверждение работоспособности полученных численных схем исследова-

ния путем сравнения аналитических и численных результатов (отмечается

достаточное совпадение результатов) и установление критериев возмож-

ности их применения.

Обоснованность, достоверность научных положений, выводов и ре-

комендаций основывается на строгости применяемого математического аппарата, обеспечивается адекватной физической и математической по-

становками задач, корректным использованием математических методов,

проверкой их сходимости, применением сертифицированных программ

конечно-элементного анализа для проведения численного исследования,

сравнением результатов аналитических и численных решений, непротиво-

речивости полученных результатов известным решениям, найденным дру-

гими авторами для однородных/неоднородных термоупругих тел.

Данная работа соответствует тематике научных исследований ка-федры «Высшая математика» Автомобильно-дорожного института ГВУЗ

«Донецкий национальный технический университет», выполнена в рамках

научно-исследовательских тем № Н70-04 «Розвиток теорії дослідження

локальної концентрації напружень у кусочно-однорідних пружних тілах»

(1.01.04–31.12.08) и № Д2-08 «Розробка математичної теорії розрахунку

міцнісних характеристик складених деталей машинобудування з

урахуванням локальної концентрації напружень» (1.01.08–31.12.10), в ко-торых автором дана оценка влияния термоупругих свойств на характери-

стики волнового поля кусочно-неоднородной термоупругой области. Так-

же предложены методы нахождения численно-аналитических решений

соответствующих краевых задач для кусочно-неоднородных термоупру-

гих структур.

9

ГЛАВА 1

ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА ПРОЧНОСТИ

НЕОДНОРОДНЫХ ОБЛАСТЕЙ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ

1.1 Становление и развитие методологии решения граничных

задач теории упругости для тел конечных размеров

Конструирование современных машин и механизмов неразрывно связано с проведением многовариантных прочностных расчетов. Высокие

требования, предъявляемые к надежности конструкции, в настоящее вре-

мя могут быть удовлетворены лишь при условии обеспечения процесса

проектирования оперативной и достоверной информацией о ее напряжен-

но-деформированном состоянии. Расчетные схемы исследуемых кон-

струкций при этом должны быть максимально приближены к реальным

объектам, учитывать сложность их конструктивных форм, структуры, ха-

рактер нагружения и взаимодействия с окружающей средой, поведение материалов конструкции в экстремальных условиях и т. д.

Необходимость в наиболее точном описании процессов деформации

и разрушения, происходящих в реальных телах, обусловлена в первую

очередь увеличивающимся применением инженерных конструкций и тех-

ники.

Следует отметить, что эспериментальное изучение поведения под

нагрузкой приграничных областей структурно-неоднородных сред пока-зало, что в окрестности внутренних границ раздела возникают локальные

напряжения и деформации, амплитуда которых существенно превышает

их средние значения в объеме материала. Они определяются внутренней

структурой неоднородной среды и зависят от упругих параметров контак-

тирующих сред. Так как наличие локальной концентрации напряжений

(далее ЛКН) может быть причиной разрушения материала, то качествен-

ное и количественное определение меры концентрации является весьма

важным и всегда актуальным вопросом. Таким образом, изучение поведе-ния тел сложной структуры, находящихся под воздействием внешних

нагрузок, представляет собой актуальную тему для научных исследова-

ний.

В настоящее время разработано два подхода к решению граничных

задач теории упругости для тел конечных размеров.

Один из них, метод однородных решений [66, 101, 137, 98], нашел

применение в плоской задаче теории упругости, в теории тонких и тол-

стых плит, при исследовании деформации конечного цилиндра и в ряде других случаев.

Истоки данного метода восходят к исследованиям А. И. Лурье, ко-

10

торый предложил искать решения для плит в виде рядов по однородным

решениям, то есть решениям, удовлетворяющим уравнениям теории упру-

гости и однородным граничным условиям на торцевых поверхностях пли-

ты. В частности, символическим методом А. И. Лурье получены однород-

ные решения системы уравнений равновесия в перемещениях однородной

пластины со свободными от усилий плоскими гранями. Аналогичные ре-зультаты получены полуобратным методом И. И. Воровича и установлено

существование трех типов однородных решений: вихревого, потенциаль-

ного и бигармонического. Применению однородных решений для опреде-

ления напряженного состояния многосвязных пластин посвящены работы

А. С. Космодамианского [101, 99, 205]. Обобщение теории однородных

решений отражается в работах Ю. А. Устинова и его учеников,

С. А. Калоерова, В. И. Сторожева, И. И. Воровича, И. П. Гетмана,

И. Г. Кадомцева и содержит: построение полуобратным методом И. И. Воровича однородных решений; исследование общих свойств соб-

ственных функций и значений спектральных задач; доказательство пол-

ноты системы однородных (элементарных) решений; математическое

описание критических мод; методы алгебраизации задач – сведение крае-

вых задач к бесконечным системам алгебраических уравнений относи-

тельно коэффициентов разложения по однородным решениям; анализ об-

ласти применимости прикладных теорий [151, 152, 150]. Обобщение данного метода привело к исследованию закономерно-

стей формирования волновых полей в слоистых средах [100, 110, 123, 135,

140] и превратилось в одно из серьезных научных направлений теории

упругости и математической физики. Отметим, что реализация метода од-

нородных решений требует детального анализа краевых задач для слоя.

Эти задачи были исчерпывающе проанализированы в работах

И. И. Воровича, В. А. Бабешко [48, 13, 49], А. С. Космодамианского [205,

99, 101], С. А. Калоерова [85, 83, 84, 86, 87], В. И. Сторожева и Ю. В. Мысовского [145, 122], Е. В. Алтухова и В. П. Шевченко [9],

Ю. А. Устинова [149, 152,150], И. П. Гетмана [54, 57, 51].

Решение задачи находится с помощью однородных решений, кото-

рые являются интегралами основных уравнений теории упругости и удо-

влетворяют нулевым граничным условиям на части поверхности тела, сов-

падающей с одной из координатных поверхностей.

1.2 Метод суперпозиции в решении осесимметричных задач

теории упругости

Основоположником второго подхода стал Габриэль Ламе. В 1851 г. в

своих лекциях по математической теории упругости твердых тел [225] он,

рассматривая задачу о равновесии прямоугольной призмы (тело конечных

11

размеров), высказал идею о структуре общего решения указанной задачи:

если имеется три решения, каждое из которых позволяет удовлетворить

граничным условиям на соответствующих противоположных гранях приз-

мы, то их сумма будет являться общим решением задачи нагруженной

прямоугольной призмы. В настоящее время этот подход известен как ме-

тод суперпозиции Ламе, и он, естественно, применим и к плоским задачам теории упругости. Только в случае построения общего решения прямо-

угольной области достаточно иметь два решения, а не три, как в простран-

ственном случае.

Таким образом, во втором подходе, развитом в [66, 20, 68, 228, 41,

47], решение задачи представляется в виде суперпозиции нескольких по-

следовательных частных решений. При этом предполагается, что повер-

хность упругого тела образована частями координатных поверхностей

разных семейств в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

Метод суперпозиции рассматривается в работах таких ученых, как

А. В. Белоконь, М. Г. Селезнев, А. А. Ляпин, Б. Л. Абрамян, И. Г. Бубнов,

О. М. Гомилко, В. Т. Гринченко, Б. М. Коялович, В. В. Мелешко,

C. П. Тимошенко, А. Ф. Улитко, G. Baker, H. Hencky, M. N. Pavlovi,

K. S. Sivakumaran, K. Wang, А. С. Овсянников, В. А. Стариков,

В. В. Матросов и другие. Метод суперпозиции подробно изложен в монографии [24]. На его

основе А. В. Белоконем [19, 20] и его учениками был развит метод неклас-

сических граничных интегральных уравнений для задач равновесия и уста-

новившихся колебаний упругих и электроупругих тел конечных размеров,

ограниченных соответствующими координатными поверхностями. При ис-

следовании колебаний тел с полостями этот метод был использован

М. Г. Селезневым [82]. Также в некоторых работах М. Г. Селезнева и

А. А. Ляпина [144] принцип суперпозиции используется для решения задач возбуждения и распространения установившихся колебаний в однородном

или многослойном полупространстве. В данных работах решение задач так-

же сводится к системам интегральных уравнений, которые решаются асим-

птотическими методами. В работе А. С. Овсянникова и В. А. Старикова

[127], с помощью представления вектора перемещения точек упругой среды

в виде суперпозиции сингулярных решений уравнений движения, изложен

численный метод решения осесимметричных задач теории упругости. На

примерах решения краевых задач для пространства, полупространства и слоя с неоднородностями типа полостей и включений подробно освещены

особенности численной реализации метода. Матросовым В. В. проведен ра-

счет сложных линейно-упругих конструкций методом суперпозиции [115,

114].

Появление в начале 30-x годов стройной теории бесконечных систем

12

[102], а также электронных машин, создали предпосылки для возрождения

идеи Г. Ламе, например, в работах Б. Л. Aбрамянa [1, 2]. В этих работах бы-

ла впервые доказана регулярность бесконечных систем, полученных при

удовлетворении граничных условий, что дало возможность их приближен-

ного решения.

1.3 Учет тонких динамических эффектов при гармонических

колебаниях тел с неоднородной границей

В задачах о распространении упругих волн фундаментальные реше-

ния волновых уравнений обычно удобно искать в виде плоских волн. Раз-

личают объемные (однородные) и плоские (неоднородные) волны. Объ-

емные волны имеют постоянную амплитуду и фазу в плоскости перпен-

дикулярной волновому вектору. Эти волны прежде всего фигурируют в

задачах, где можно не учитывать наличие границ среды. Неоднородные

волны характеризуются тем, что их амплитуда и фаза меняются в плоско-сти перпендикулярной направлению распространения. Такие волны появ-

ляются в задачах для ограниченных сред. В частности, из неоднородных

плоских мод строятся поверхностные акустические волны в полубесконеч-

ных средах, приграничные волны на границе двух упругих полупространств

(скажем, волны Стоунли). Однородные и неоднородные волны одновремен-

но входят в решения задач отражения [191, 188, 189].

Значительное возбуждение неоднородных волн вблизи вертикальных границ в упругих волноводах со свободными боковыми поверхностями при-

водит к ряду специфических волновых эффектов, проявляющихся в сильной

локализации движения вблизи вертикальной границы, и особенно в зоне ее

сингулярности. Одним из наиболее известных и хорошо изученных приме-

ров такой локализации является краевой резонанс, который выражается в

резком увеличении амплитуд смещений в окрестности торца волновода со

значительным их убыванием при удалении от торца.

Возникновение краевого резонанса было впервые отмечено E. A. Shaw [221] при изучении колебаний пьезокерамических дисков. При этом наблю-

далась локализация зоны больших смещений на краю диска и независимость

резонансной частоты от его радиуса. Аналогичный тип колебаний обнару-

жил J. Oliver в опытах на длинных стальных цилиндрах [216]. При экспе-

риментальном исследовании краевой формы возникают определенные труд-

ности, которые в значительной мере связаны с тем, что эффективный коэф-

фициент электромеханической связи на указанной моде в пьезоактивных

пластинах, дисках и цилиндрах близок к нулю. Несмотря на это, в настоящее время накоплен обширный фактический материал, характеризующий явле-

ние краевого резонанса. С точки зрения теоретического объяснения

наблюдаемого эффекта важную роль сыграли работы таких авторов, как

13

D. C. Gazis и R. D. Mindlin [200]. Здесь феномен краевого резонанса впервые

был связан со спецификой возбуждения неоднородных волн. Тем самым под-

черкнута особо важная роль волн с комплексными постоянными распро-

странения для более полного описания волнового поля. В дальнейшем по-

явилось значительное количество публикаций, посвященных изучению крае-

вого резонанса в цилиндрах [218, 230], круглых дисках [200, 203] и прямо-угольных пластинках конечной длины [119].

Более глубоко понять специфику возбуждения неоднородных волн

позволил анализ краевого резонанса в полубесконечных телах. Многочи-

сленные работы по краевому резонансу в полуограниченных телах [66, 200,

173, 70, 204, 220, 60, 69, 214] показали, что в полуполосе и полуцилиндре

частота краевого резонанса, на которой происходит локализация движения

вблизи торца, совпадает с резонансной частотой в конечных цилиндрах и

пластинах. Для изучения волнового поля в таких телах использовались различные

подходы – метод однородных решений [230, 226], метод суперпозиции [66,

59, 117], метод конечных элементов [214, 187], метод конечных разностей

[204] и другие. В рамках метода однородных решений при описании явления

краевого резонанса широкое распространение получила теория «второго по-

рядка» [200, 119], а также вариационные методы [173, 226].

Краевой резонанс на основе метода суперпозиции исследовался в рабо-тах [66, 60]. К настоящему времени накоплен огромный объем информации,

полученной на основе экспериментальных, численных и численно-аналити-

ческих подходов, описывающий различные стороны проявления краевого

резонанса. Значительная часть ранних публикаций по этой тематике обсуж-

далась в книге В. Т. Гринченко и В. В. Мелешко [66]. Заметим лишь, что

обсуждаемое явление справедливо связывают с резонансом на неоднород-

ных волнах Лэмба в полосе.

Исследованию особенностей спектра собственных колебаний тран-стропной дисковидной пластины в окрестности краевого резонанса посвя-

щена работа В. И. Сторожева, Ю. В. Мысовского, О. Д. Соколовой [145].

Изучение данного явления нашло отражение в работах таких уче-

ных, как А. В. Белоконь, М. Е. Богуш, И. И. Ворович, И. П. Гетман,

Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, В. Л. Карлаш, В. В. Мелешко,

А. Ф. Улитко, Ю. А. Устинов, С. А. Калоеров, В. И. Сторожев,

Ю. В. Мысовский, И. Г. Кадомцев, Ле Хань Чай, Г. Г. Черных,

А. П. Федорков, E. P. Eer Nisse, J. D. Gazis, R. Holland, Y. Kagawa, P. Lloyd, H. D. McNiven, R. D. Mindlin, M. Onoe, Y. H. Pao, D. C. Perry,

M. Redwood, P. J. Torvic, T. Yamabushi, Б. Л. Абрамян, И. Г. Бубнов,

О. М. Гомилко, Б. М. Коялович, C. П. Тимошенко, G. Baker, H. Hencky,

M. N. Pavlovi, K. S. Sivakumaran, K. Wang и др.

Несмотря на большое количество работ, посвященных краевому резо-

14

нансу, здесь все еще остается ряд невыясненных аспектов. Прежде всего,

это относится к оценке интенсивности возбуждения неоднородных волн на

резонансной частоте при различных способах возбуждения колебаний и

разных параметрах среды (например, коэффициента Пуассона).

Изучение связей между отдельными элементами исследуемой стру-

ктуры, размером и формой неоднородностей, которые могут рассматри-ваться как колебательные системы, имеет важное как теоретическое, так и

практическое значение, что обусловлено возрастающими требованиями к

разработкам технических объектов, когда необходимо более точное, чем в

традиционных инженерных подходах, описание динамических свойств

материалов конструкций в процессе их эксплуатации. Это, в свою оче-

редь, диктует необходимость постоянной разработки новых математиче-

ских моделей динамики неоднородных сред со сложной геометрией гра-

ниц. Важной особенностью неоднородных материалов является наличие

дополнительных источников концентрации напряжений. В однородных

телах концентрация напряжений возникает в местах резких изменений

геометрии тела и нагрузки. В неоднородных материалах возникает допол-

нительная концентрация напряжений в местах резкого изменения физико-

механических характеристик материала (модуля упругости, коэффициента

Пуассона и др.), в частности по поверхностям сопряжения однородных элементов.

Решением динамических задач для неоднородных упругих тел ко-

нечных и бесконечных размеров занимались такие отечественные и зару-

бежные ученые, как В. М. Александров, А. Я. Александров,

В. А. Бабешко, А. С. Космодамианский, В. М. Бабич, М. К. Балакирев,

А. В. Белоконь, В. В. Болотин, Л. М. Бреховских, А. О. Ватульян,

И. И. Ворович, И. П. Гетман, И. А. Гилинский, Е. В. Глушков,

C. П. Тимошенко, Н. В. Глушкова, В. Т. Гринченко, С. А. Калоеров, В. И. Сторожев, А. С. Зильбергейт, Л. П. Зинчук, Л. М. Куршин,

Г. Б. Колчин, Б. И. Копилевич, В. В. Калинчук, В. А. Ломакин,

И. А. Молотков, А. С. Никишин, Г. И. Петрашень, Б. Л. Абрамян,

И. Г. Бубнов, О. М. Гомилко, Б. М. Коялович, О. Д. Пряхина, В. Г. Савин,

М. Г. Селезнев, А. Ф. Улитко, И. Н. Успенский, Ю. А. Устинов,

Г. С. Шатро, Н. А. Шульга, В. Л. Карлаш, B. A. Auld, E. Kausel,

B. J. Kennel, N. J. Kerry, R. Kind, P. Malishevsky, E. D. Tsao и др.

Построение аналитических решений задач теории упругости для об-ластей соответствующей конфигурации с угловыми точками, учитывая

широкое использование тел в строительстве, технике и в других отраслях,

является актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела.

Особое внимание уделяется вопросам изучения поведения решений в

окрестности особых точек границы.

15

Одно из наиболее характерных свойств эллиптических уравнений, к

которым принадлежат и уравнения Ламе, состоит в гладкости решения,

если граница области, краевые условия и исходные данные, определяемые

коэффициентами уравнений, гладкие. При нарушении этих условий в ре-

шениях могут появляться особенности. Точки нарушения указанных усло-

вий являются особыми. В задачах теории упругости особенность решения проявляется в появлении бесконечных напряжений в точках границы, где

имеет место нарушение гладкости поверхности, смена типа краевых усло-

вий или контакт различных материалов. Особые точки могут иметь место

не только на границе, но и внутри области, где нарушается гладкость по-

верхности контакта различных материалов.

Анализ расчетных схем различных прикладных задач теории упру-

гости позволяет сделать вывод о том, что особые точки различного типа

встречаются достаточно часто. Необходимо отметить, что сингулярные решения являются следствием идеализации реального объекта при по-

строении расчетных схем. Практическая значимость этих решений состо-

ит в том, что окрестность особых точек является, как правило, зоной ярко

выраженной концентрации напряжений.

Наличие особых точек значительно усложняет построение решения,

адекватного реальной картине распределения напряжений и деформаций.

В работе А. И. Каландии [81] установлено, что даже при гладких краевых условиях в нерегулярных точках границы возможно появление неограни-

ченных (сингулярных) напряжений. Круг упругих задач с нерегулярной

границей, для которых может быть найдено точное решение, довольно

узок. При применении же приближенных методов, аналитических или

численных, возникает ряд проблем. Если необходимые условия наличия

особенности выполнены, то эта особенность обязательно будет прояв-

ляться во всех решениях, полученных приближенными методами, либо

большими значениями напряжений, либо большими градиентами напря-жений в особых точках, что определяется свойствами выбранного аппрок-

симирующего базиса. Таким образом, наличие больших напряжений либо

градиентов напряжений в особых точках говорит о возможности сингу-

лярности, и решение в их окрестности нуждается в дополнительном ис-

следовании.

В работе В. Т. Гринченко [67] был сделан вывод, что для получения

достоверных значений напряжений в нерегулярных точках границы по-

мимо краевых условий необходима некоторая дополнительная информа-ция, отражающая физическую сущность рассматриваемой задачи. В рабо-

те И. И. Воровича [49] для выделения класса физически осмысленных ре-

шений, обладающих свойством единственности, используется принцип

возможных перемещений и условие конечности энергии. На основе стро-

гого анализа задачи установлено, что этого условия достаточно для вскры-

16

тия характера решений в особых точках границы.

Большой вклад в исследование поведения решений общих краевых

задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегу-

лярных точек границы внесли В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский [113]. Они

показали, что решение в окрестности этих точек представляется в виде

асимптотического ряда бесконечно дифференцируемой функции. Слагае-мые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых за-

дач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая

точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от ло-

кальных характеристик (величины телесного и плоского угла и типа крае-

вых условий).

В работе [2] показано, что для уравнений линейной теории упруго-

сти в окрестности угловых точек имеет место асимптотическое представ-

ление. В некоторых случаях, асимптотическое решение может быть точно построено, в частности, если мы рассматриваем специальную геометрию и

свойства материалов [207, 206, 231, 176]. В работах В. З. Партона,

П. И. Перлина [132, 133] изучены особые решения уравнений теории

упругости, установлен их математический и физический смысл, проведен

анализ результатов многочисленных работ, посвященных проблеме осо-

бых решений.

Задача определения напряженно-деформированного состояния в окрестности угловой точки распадается на две: задачу построения сингу-

лярных решений и задачу определения коэффициентов при сингулярных

решениях (коэффициентов асимптотики).

Неизвестные коэффициенты асимптотики, называемые коэффициен-

тами интенсивности напряжений (КИН), играют существенную роль в ме-

ханике разрушения. Задача их определения в общей математической по-

становке рассмотрена в работе В. Г. Мазьи и Б. А. Пламеневского [113].

Анализ публикаций и существующего инженерного опыта по дан-ному вопросу позволяет говорить о том, что окрестности особых точек,

как правило, являются зонами сильной концентрации напряжений, а фор-

ма их поверхности и механические характеристики материала существен-

но влияют на напряженное состояние. Поэтому представляется совершен-

но естественной постановка задачи оптимизации формы поверхности в

окрестности особых точек и поиска значений упругих постоянных, при

которых напряженное состояние удовлетворяет заданному прочностному

критерию, либо возникающие напряжения являются минимальными из всех возможных конструктивных решений.

Одной из самых распространенных, среди такого рода областей, яв-

ляется прямоугольная область. В настоящее время известен широкий круг

числовых и аналитических методов построения решений плоских задач

теории упругости для прямоугольных областей. Большинство методов по-

17

строения аналитических решений такого класса задач связанные с исполь-

зованием вспомогательных гармоничных или бигармоничных функций

вроде функций напряжений или перемещений. Так в известных учебниках

по теории упругости П. Ф. Папковича, С. П. Тимошенко и Дж. Гудьера

использован предложенный А. Mesnager подход, который заключается в

построении бигармоничной функции напряжений для решения этих задач в виде полиномов произвольной степени от координат. С этой же целью в

работах С. П. Тимошенко, П. Ф. Папковича, N. Tahan, C. H. Ribinre,

L. N. G. Filon использованы обычные ряды Фурье. Для решения плоских

задач в прямоугольнике широко используют метод однородных решений,

который для прямоугольной области исследовали В. В. Васильев,

В. В. Власов, Г. А. Гринберг, С. Г. Гуревич, А. Ф. Захаревич,

К. А. Китовер, А. И. Лурье, С. А. Лурье, П. Ф. Папкович, В. К. Прокопов,

J. Fadle, L. N. G. Filon, J. Dougall, W. Koepcke, R. Mathys, L. S. D. Morley, W. Schleech, U. Wegner.

Достаточно эффективным для построения аналитических решений

задач теории упругости для ограниченных областей с угловыми точками,

и для прямоугольника в частности, оказался метод суперпозиции. Для

прямоугольника одним из первых его развил E. Mathieu. Этот метод отно-

сительно прямоугольной области развивали также Б. Л. Абрамян,

И. Г. Бубнов, О. М. Гомилко, В. Т. Гринченко, Б. М. Коялович, В. В. Мелешко, C. П. Тимошенко, А. Ф. Улитко, G. Baker, H. Hencky,

M. N. Pavlovi, K. S. Sivakumaran, K. Wang и другие.

Папков С. О. и В. Н. Чехов в работе [129] рассмотрели задачу о ло-

кализации собственных частот прямоугольной призмы, решая ее посред-

ством исключения неизвестных в квазирегулярной бесконечной системе.

В работах П. Г. Голоскокова, Г. Б. Колчина, Ш. Н. Плять,

Н. Я. Шейнкера, К. А. Радживина для решения силовых задач в прямо-

угольной области использован метод специальных полиномов, который предложил G. Horvay.

Для решения плоских задач теории упругости для прямоугольной

области разработан ряд численных и приближенных методов. В частности

используются метод Ритца, аппарат R-функций, принцип минимальных

работ и другие вариационные методы, методы конечных элементов и ко-

нечных разностей. Для решения плоских задач механики в прямоугольни-

ке применяют также методы комплексных потенциалов и другие. Пере-

численные методы для указанных задач развивали, в частности, С. М. Белоносов, С. Г. Михлин, Н. И. Мусхелишвили, В. Л. Рвачев,

F. A. Gaydon, J. N. Goodier, A. W. Leissa, A. F. Martin, J. T. Mottram,

W. Ritz и другие.

В работе В. В. Мелешко и С. О. Папкова [117] на основе метода су-

перпозиции решена классическая задача о колебаниях прямоугольной

18

пластины со свободными краями. Ее решение сведено к однородной ква-

зирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.

С помощью достаточного условия существования ограниченного решения

для квазирегулярной системы найдены собственные частоты колебаний

пластины. Для них на основе анализа асимптотического поведения неиз-

вестных построены нетривиальные решения системы, позволяющие полу-чить аналитические представления собственных форм колебаний.

Рассмотрению плоской краевой задачи (теории упругости об устано-

вившихся колебаниях, прямоугольного клина при наличии гармонических

источников на его гранях) посвящены работы H. L. Wong, J. K. Luco [229],

D. B. Bogy и K. C. Wang [175].

В рамках исследования локального напряженного состояния в вер-

шине составного клина эти вопросы рассматривались в работах [25, 46,

154, 147, 183, 181, 184, 178, 182, 180, 179, 177, 18, 17, 24, 23, 58, 196, 199, 198, 202, 75, 171, 30, 28, 26, 27, 31]. В частности, было показано, что в

окрестности общей вершины двух сцепленных клиньев могут возникать

интегрируемые особенности, причем их тип зависит от характеристик ма-

териалов и локальной геометрии соединения.

Для составного клина основные граничные задачи теории упругости

рассматривались в работах А. Г. Акопяна [5, 4], М. С. Быркэ [37],

В. Д. Ламзюка, А. И. Феденко [107], Б. М. Прокофьева [138] (метод функ-ций податливости), Н. Б. Сафаряна [141], Chen Dai-Heng [186, 185] (метод

разделения переменных), G. S. Mishuris [209], В. Н. Берковича,

М. М. Шварцмана [31].

Исследованию статических и динамических процессов в анизотроп-

ных средах посвящены работы С. А. Амбарцумяна, Е. К. Ашкенази,

В. М. Бабича, М. К. Балакирева, В. Л. Бердичевского, В. С. Будаева,

А. О. Ватульяна, И. А. Гилинского, И. И. Гольденблата, Э. И. Григолюка,

А. Н. Гузя, В. И. Королева, А. С. Космодамианского, Б. А. Кудрявцева, С. Г. Лехницкого, В. А. Ломакина, Ю. Н. Немиша, Г. И. Петрашеня,

И. Н. Преображенского, А. Л. Рабиновича, В. С. Саркисяна,

И. Т. Селезова, В. И. Сторожева, Ю. М. Тарнопольского, К. Ф. Черных,

Т. Д. Шермергора, М. А. Шленева, Н. А. Шульги, W. Bert Charles,

C. J. Bors, N. J. De Capuna, S. N. Gangulu, R. Holland, E. P. Eer Nisse,

P. A. A. Laura, R. D. Mindlin, Y. H. Pao, P. W. Randes, B. Rogovski,

N. Sugimoto, D. B. Taylor, H. F. Tiersten, H. Watanable и др.

1.4 Состояние проблемы учета температурных воздействий на

характеристики волнового поля

В последнее время наблюдается рост исследований нестационарных

процессов в твердых деформируемых упругих телах с учетом сопряжения

19

различных механических и немеханических полей.

При исследовании динамических задач термоупругости учет связан-

ности полей деформации и температуры дает возможность выявить новые

качественные особенности протекания процессов деформирования. Про-

ектирование современной техники и технологических процессов предъявля-

ет повышенные требования к прочностным свойствам машин, конструкций и сооружений, работающих в критических термомеханических условиях.

Возникает актуальная проблема оценки роли температурных полей и тер-

моупругих волн, а так же влияние связанности задачи в механизме тепло-

вого динамического разрушения твердых тел. Моделирование процессов

теплообмена и деформирования является одной из важных задач приклад-

ной математики и механики.

Также существенное значение приобретают вопросы определения

температурных полей и обусловленных ими напряжений в элементах кон-струкций. Знание величины и характера действия тепловых напряжений

необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции.

Тепловые напряжения сами по себе и в сочетании с механическими

напряжениями от внешних сил могут вызвать появление трещин и разру-

шение конструкции из материала с повышенной хрупкостью. Некоторые

материалы при быстром возникновении напряжений, обусловленном дей-

ствием резко нестационарного температурного поля, становятся хрупкими и не выдерживают тепловых и механических ударных воздействий. По-

вторное действие тепловых напряжений приводит к термоусталостному

разрушению элементов конструкции. Действие тепловых напряжений мо-

жет вызвать значительную пластическую деформацию, ведущую к полно-

му или прогрессирующему разрушению конструкции. Разработка соответ-

ствующих математических моделей, являющаяся альтернативой проведе-

нию реальных дорогостоящих экспериментов, имеет большое значение на

сегодняшний день. Что подтверждает актуальность разработки, модерни-зации и дальнейшего внедрения новых аналитико-численных методов ис-

следования связанных термоупругих полей в элементах пространственных

однородных/неоднородных конструкций, широко распространенных в со-

временном строительстве и машиностроении.

В общем случае изменение температуры тела происходит не только

вследствие подвода тепла от внешних источников, но и в результате само-

го процесса деформирования. При деформировании тела от механических

или тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связанности, обусловленный взаимодействием

полей деформации и температуры. Он проявляется в образовании и дви-

жении тепловых потоков внутри тела, возникновении связанных упругих

и тепловых волн, термоупругом рассеянии энергии и т. п.

В настоящее время активно развиваются численные методы решения

20

задач термоупругости. Тем не менее, слабые эффекты, например связан-

ность термомеханических полей, могут быть изучены достоверно лишь на

основе аналитических решений, получение которых в большинстве случа-

ев представляет значительные математические трудности. Для их преодо-

ления приходится вводить различные упрощающие предположения,

например, рассматривать задачу для бесконечного или полубесконечного тела. При исследовании решений таких задач было установлено, что свя-

занность полей деформации и температуры практически не отражается на

их распределении в рассматриваемом теле. В этих случаях учет связанно-

сти представляет лишь теоретический интерес, поскольку объясняет дис-

сипацию механической энергии и затухание упругих волн. Так,

В. Новацким отмечено [124, 125], что решения, полученные в рамках тер-

моупругости, незначительно отличаются от решений теории температур-

ных напряжений. Значимость связанной термоупругости заключается в качественном эффекте затухания упругих волн, в «познавательной основе

и общности этой теории».

Анализ сравнительно простого решения одномерной задачи о рас-

пространении плоских гармонических термоупругих волн в неограничен-

ном теле позволяет правильно понять основные черты термоупругих яв-

лений при разных частотах волн и параметрах связанности материала.

В решении проблем термоупругости ведущую роль играют работы Б. Г. Галеркина, Н. Н. Лебедева, В. Новацкого, А. Д. Коваленко,

Я. С. Подстригача и Ю. М. Коляно, В. А. Ломакина, а также работы

А. И. Уздалева, В. М. Рассудова, Ю. В. Чеботаревского,

Г. Н. Белосточного, В. П. Красюкова, Н. Д. Панкратова, A. N. Norris,

D. M. Pholiadis, A. Bahtui, M. R. Eslami, L. Stainier, M. Ortiz и др.

Результаты исследований термоупругого состояния, а также изучение

и исследование термомеханических процессов в телах, с учетом взаимодей-

ствия полей различной физической природы, отражено в многочисленных работах: В. В. Абрамова, Б. Л. Абрамяна, Л. Е. Авраменко,

Г. Н. Белосточного, Б. Боли и Дж. Уэйнера, Я. И. Бурака, А. Т. Василенко,

В. М. Вигака, А. Р. Гачкевича, И. П. Гетмана, А. С. Гольцева, О. М. Гомилко,

М. Д. Гремалюка, Е. И. Григолюка, Я. М. Григоренко, Д. В. Грилицького,

В. Т. Гринченко, Е. Н. Довбни, В. Г. Житней, С. В. Закоры, И. Г. Кадомцева,

С. А. Калоерова, В. Г. Карнаухова, Г. С. Кита, Л. О. Коздобы, В. И. Козлова,

А. М. Кулика, Р. М. Кушнира, Ю. Н. Кононов, А. С. Космодамианского,

Б. М. Кояловича, В. П. Красюкова, Н. Н. Лебедева, В. А. Ломакина, А. А. Ляпина, В. И. Лавренюка, В. В. Матросова, Ю. Н. Мацевитого,

М. С. Можаровского, И. А. Мотовиловця, И. А. Моисеенко,

Ю. В. Мысовского, Р. Н. Нескородева, Ю. В. Немировского,

М. И. Никитенко, В. А. Осадчука, А. С. Овсянникова, Н. Д. Панкратова,

Г. Паркуса, Г. С. Писаренко, В. С. Поповича, Ю. С. Постольника,

21

С. А. Прийменко, О. Д. Пряхиной, Б. В. Процюка, И. А. Прусова,

В. М. Рассудова, М. Г. Селезнева, В. А. Старикова, В. И. Сторожева,

Я. Г. Савула, В. Г. Савченко, Л. И. Седова, Г. Т. Сулимы, С. П. Тимошенко,

А. Ф. Улитко, Ю. В. Чеботаревского, В. П. Шевченко, Л. Н. Шкодиной,

Р. М. Швеца, Ю. Н. Шевченко, П. Р. Шевчука, Г. А. Шинкаренко и других

авторов. Исследованием теплофизических свойств материалов занимались

Г. Н. Дульнев, Е. Я. Литовский и Н. А. Пучкелевич, В. С. Чиркин.

В качестве основных граничных связанных задач динамической тер-

моупругости следует отметить двумерные задачи о распространении пло-

ских термоупругих волн вдоль поверхности полупространства и продоль-

ных термоупругих волн в длинном цилиндре [155, 167, 164].

Почти во всех случаях исходные краевые задачи термоупругости

сводятся к соответствующим интегральным или интегрально-дифферен-циальным уравнениям, из которых определяются неизвестные напряжения

или перемещения на границе области. Так, в работах [65, 74, 72, 73, 88]

приводится численное решение задачи об изменении температурного поля

и напряженно-деформированного состояния для полупространства и слоя

с учетом тепловыделения. Белоцерковский С. М. и И. Н. Лифанов [22]

сводят контактную задачу с учетом тепловыделения к сингулярным инте-

гральным уравнениям. В целом построение решений таких задач для тел конечных размеров вызывает значительные математические трудности.

Также сложность таких задач объясняется тем, что методы расчета должны

учитывать не только неравномерность распределения температуры, но и за-

висимость упругих постоянных и коэффициентов линейного температурно-

го расширения от температуры, что вносит значительные затруднения в ре-

шения краевых задач.

Среди большого количества трудов, посвященных решению связан-

ных задач термоупругости, отметим работы В. Новацкого [124, 125], В. Г. Карнаухова [90], О. П. Червинко, И. К. Сенченкова, Е. В. Доли [76,

169, 78, 77], Л. А. Фильштинского, Ю. В. Сиренко [158, 165, 157, 155, 162,

167, 159, 156, 168, 161, 164, 166, 163], В. С. Зарубина, И. В. Станкевича

[79], В. А. Крысько, С. П. Павлова [128], Л. Е. Авраменко, В. П. Шевченко

[3], С. А. Калоерова, Д. А. Добряк [86], A. N. Norris и D. M. Pholiadis [213],

A. Bahtui и M. R. Eslami [174], L. Stainier, M. Ortiz [223] и др.

Термоупругое состояние, как следствие уже распределенных темпе-

ратурных полей, представлено в виде общего решения в работах П. Ф. Папковича [130, 131]. При этом решение однородного уравнения

для вектора перемещения содержит вектор и скаляр, являющиеся произ-

вольными, а частное решение соответствующего неоднородного уравне-

ния, отвечающее уже определенному температурному полю, определяется

через скалярную функцию, получившую название термоупругого потен-

22

циала перемещений. Первое систематическое изложение теории несвязан-

ной термоупругости для изотропного тела было дано Н. Н. Лебедевым

[108], для анизотропного тела И. А. Прусовым [139], А. И. Узделевым

[148].

В рамках предположения о малости деформаций построены модели

теории теплопроводности и термоупругости, учитывающие зависимость тепловых и упругих свойств материала от температуры.

Исследования термонапряжений и устойчивости для тел простой

геометрии (пластин и оболочек) отстают, в связи со сложностью пробле-

мы, от исследований напряженно-деформированного состояния (НДС) и

устойчивости таких конструкций, подвергающихся механическим нагруз-

кам. Исследованию вопросов термоупругости посвящены работы таких

ученых, как В. В. Болотин, А. А. Ильюшин, А. Д. Коваленко, В. Новацкий,

Б. Г. Коренев, А. Синицин, В. И. Феодосьев, В. А. Крысько, С. П. Павлова, Э. Фридман, М. Био, Б. Гейтвуд, Э. Мелан, Г. Паркус, Т. Уилер, Н. Хофф,

Д. Уэйнер, Б. Боли и другие.

Решено большое количество задач о температурных напряжениях в

стержневых системах, пластинках, оболочках и различного рода массив-

ных конструкциях. Обширный библиографический материал по расчету

пластин и оболочек, работающих в условиях температурного поля можно

найти в работах [64, 136]. Анализ распределения термоупругих напряжений в прямоугольных

пластинах конечных размеров и в пологих оболочках прямоугольного

плана, приведен в работах В. В. Болотина [34], М. С. Ганеевой [50],

А. Ю. Биркгана [32], В. А. Крысько и его учеников [104, 105]. Из работ

иностранных авторов здесь можно отметить следующие работы [194, 195,

193, 197, 224]. Во всех выше перечисленных работах решения получены

либо с помощью вариационных методов, либо методом конечных разно-

стей, при этом рассматривались, как правило, задачи двойной симметрии, что позволяло вести расчет для четвертой части плана конструкции. Рас-

четы выполнялись либо в невысоких приближениях вариационных мето-

дов, либо методом конечных разностей при небольшом числе узлов сетки

разбиения оболочки.

В работе В. В. Мелешко рассмотрен метод суперпозиции в задачах о

тепловых напряжениях в прямоугольных пластинах [118].

Несмотря на большое количество разработаных методов решения свя-

занных задач термоупругости, серьезные математические трудности, вы-званные учетом взаимосвязи тепловых и механических полей, постоянно за-

ставляют исследователей искать новые и совершенствовать существующие

методы решения граничных задач связанной термоупругости.

Особенно широкое развитие получили теории теплопроводности и

термоупругости в случае изотропных пластинок и оболочек, ослабленных

23

отверстиями и трещинами. Для решения таких задач использовались ме-

тоды комплексных потенциалов, сингулярных интегральных уравнений,

функций Грина, малого параметра, дисторсии, интегральных преобразо-

ваний, особенно асимптотические методы и метод конечных элементов

(МКЭ).

Вопросам разработки теории и применения метода конечных элемен-тов посвящена обширная библиография. Исследованию и развитию метода

конечных элементов посвящены работы А. В. Александрова,

Б. Я. Лащенкова, Н. Н. Шапошникова, Н. А. Алфутова, П. А. Зиновьева,

Б. Г. Попова, В. Н. Бакулина, А. А. Рассохи, К. Бате и Е. Вилсона,

К. П. Горбачева, А. С. Городецкого, В. Н. Зоворицкого,

А. И. Лантух-Лященко, A. О. Рассказова, Я. М. Григоренко, А. П. Мукоеда,

С. Ю. Еременко, О. К. Зенкевича, В. Г. Корнеева, Э. Митчела, Р. Уэйта,

Е. М. Морозова, Г. П. Никишова, Н. Н. Шаброва, С. А. Капустина, А. И. Голованова, М. С. Корнишина, И. Ф. Образцова, Л. М. Савельева,

Х. С. Хазанова, В. А. Постнова, И. Я. Хархурима, Д. А. Розина,

Р. Б. Рикардса, А. С. Сахарова и И. Альтенбаха, B. И. Мяченкова и др.

Среди зарубежных публикаций, которые внесли большой вклад в

развитие МКЭ, особо следует отметить монографии O. C. Zienkiewicz,

R. L. Taylor, W. H. Billing, Дж. Аргириса, Ж. К. Сабоннадьера,

Ж. Л. Кулона, Г. Стренга, Дж. Фикса, Ф. Сьярле, Р. Галлагера, Л. Сегерлинда, Дж. Одена, К. Бате, Е. Вилсона, Д. Норри, де Ж. Фриза

и др.

Связь метода конечных элементов с другими численными методами,

его преимущества, недостатки и современное состояние отражены в рабо-

тах Д. В. Вайнберга, А. С. Городецкого, В. В. Киричевского,

А. С. Сахарова [142], О. Зенкевича [232].

С позиций метода конечных элементов задачи теплопроводности

рассматривались в работах О. Зенкевича, Г. И. Кувыркина, С. М. Чорного, А. И. Гапеева, В. И. Кудашова, В. П. Устинова, Г. Г. Завялова,

А. С. Сахарова, и др.

Исходя из различных вариационных постановок задач, можно полу-

чить разные схемы МКЭ, в которых в качестве неизвестных могут фигу-

рировать узловые значения смещений, или напряжений, или те и другие

одновременно. Наиболее распространенными являются алгоритмы, осно-

ванные на принципе Лагранжа (метод перемещений) и принципе

Кастильяно (метод сил). Заметим, что применение этих принципов позво-ляет получать двусторонние оценки погрешности приближенного реше-

ния. Меньшее распространение получил смешанный метод, который вво-

дит в качестве независимых переменных смещения и напряжения. Пер-

спективным считается построение и разработка схем МКЭ для решения

задач в напряжениях. Основная трудность построения таких схем состоит

24

в необходимости строить аппроксимации, удовлетворяющие уравнениям

равновесия.

Также следует отметить, что средства термоупругого анализа про-

граммы ANSYS позволяют использовать результаты решения задачи теп-

лообмена для проведения прочностного анализа. Такая возможность удоб-

на при определении влияния температурного поля на прочность конст-рукции. Пользователь может задать тепловую нагрузку отдельно или в со-

вокупности с механическими нагрузками. В данном программном ком-

плексе доступны два способа связывания теплового и прочностного ана-

лизов.

Первый состоит в том, что эти два анализа проводятся друг за дру-

гом. Сначала получают температурное поле в модели для заданных гра-

ничных условий теплообмена. Значения температур затем используются в

виде нагрузок на стадиях препроцессорной подготовки и получения реше-ния при последующем структурном анализе.

Второй способ предусматривает проведение совместного термо-

упругого решения. В программе ANSYS это достигается использованием

комбинированных конечных элементов, которые имеют как тепловые, так

и деформационные степени свободы. Из этих элементов создается расчет-

ная модель и задаются тепловые и механические граничные условия. На

каждой итерации выполняется решение тепловой и упругой задач с ис-пользованием значений температур и перемещений, полученных на пре-

дыдущей итерации. Имеется возможность вводить в расчетную модель

контактные элементы общего типа. Эти элементы допускают теплопере-

дачу через поверхность контакта. Как только контактные поверхности

смыкаются, становится возможным процесс теплообмена.

С помощью процедуры совместного решения возможно объединить

такие сложные задачи теплообмена и расчета на прочность, как нестацио-

нарный тепловой и нелинейный динамический анализы. Например, такой подход можно использовать для анализа биметаллической полосы, кото-

рая при нагревании испытывает деформации как тепловой, так и механи-

ческой природы. В этом случае из-за различия температурных коэффици-

ентов расширения двух металлов возможно появление больших геометри-

ческих деформаций, что может сказаться на величине коэффициентов ма-

трицы теплопроводности.

Конечноэлементная постановка задачи стационарной термоупругости

описана в монографиях Дж. Одена [215], Л. Сегерлинда [143], О. Зенкевича [232] и др. Постановка задач динамической термоупругости для МКЭ рас-

смотрена В. Ф. Грибановым и Н. Г. Паничкиным [63], И. А. Мотовиловцем и

В. И. Козловым [120], а также такими иностранными авторами, как

D. W. Nicholson, E. Stein, G. Dhondt.

Основной трудностью при реализации МКЭ динамической задачи

25

термоупругости является решение задачи численного интегрирования по

времени системы дифференциальных уравнений. Так, известные методы

Хабболта и Ньюморка для динамических задач теории упругости, деталь-

но описанные в монографии К. Бате, Е. Вилсона, требуют обобщения на

задачи термоупругости. В работе В. Ф. Грибанова и Н. Г. Паничкина [63]

предлагались численные схемы интегрирования уравнений термоупруго-сти, полученные применением метода Бубнова – Галеркина по временной

переменной. В полученные схемы входили числовые параметры. Опти-

мальные их значения из условий устойчивости и точности получались из

численного эксперимента.

Способы решения двумерных линейных задач термоупругости для

однородных пластин с трещинами при произвольных силовых и темпера-

турных нагрузках изложены в работах М. Г. Кривцуна и Г. С. Кита [93]. С

помощью гармонических потенциалов рассматриваемые граничные зада-чи сведены к интегрально-дифференциальным уравнениям, для решения

которых в общем случае используются численные и асимптотические ме-

тоды. Изучены вопросы об интенсивности напряжений в окрестности

трещины. В частности, решается задача термоупругости для свободной от

внешних усилий полосы с продольной трещиной, когда на ее берегах, не

контактирующих в процессе деформации, заданы температура и тепловые

потоки, а на гранях полосы поддерживается некоторая температура. Тре-щина иммитируется непрерывно распределенными источниками тепла,

плотность которых определяется из сингулярного интегрального уравне-

ния. Для случая, когда ширина полосы больше длины трещины, получено

фундаментальное решение задачи термоупругости.

В публикациях [88, 76, 94, 210] исследуется отражение термоупру-

гих волн от свободной поверхности твердого полупространства, а так же

на границе раздела двух полубесконечных сред. Работа [166] освещает во-

просы связаных термоупругих полей в шаре при сосредоточенных возбу-ждениях на основании кососимметричного решения. В статьях [155, 192,

208] рассматривается влияние связанности механических и температур-

ных полей на амплитудно-частотные характеристики конечных и беско-

нечных цилиндров. Задача распространения термоупругих волн в беско-

нечной вытянутой тонкой пластине приводится в [190].

Современные исследования в области связанных задач термоупругости

отражены в работах Л. А. Фильштинского, В. В. Мелешко, Ю. В. Сиренко,

П. Ф. Папковича, В. П. Шевченко, А. С. Гольцева, С. А. Калоерова, А. Б. Бабкина, В. В. Селиванова, Ю. С. Тлеукенова, Н. А. Испулова,

А. К. Сейтханова, В. А. Фирсова, К. Р. Досумбекова, Л. В. Саталкиной,

Ю. А. Кузнецовой, Л. Ю. Фриштер, Д. А. Игнатькова, В. Ю. Кирюхина,

И. И. Цагарелии, A. N. Norris и D. M. Pholiadis [213], A. Bahtui и M. R. Eslami

[174], L. Stainier, M. Ortiz [223] и др.

26

В большинстве своем исследования проблем термоупругости каса-

лись решения линейных задач теплопроводности и термоупругости одно-

родных тел. Однако можно рассмотреть отдельные работы, посвященные

решению связанных задач неоднородной термоупругости.

Так, деформирование и устойчивость упругих неоднородных оболочек

при термосиловых нагрузках рассмотрено в исследованиях В. А. Баженова [14]. Авторами М. Е. Бабешко и Ю. Н. Шевченко [13] было проведено ис-

следование термоупругопластического деформирования составных оболо-

чек в процессах осесимметричного нагружения. Белосточный Г. Н. рас-

сматривает в своих работах геометрически нерегулярные оболочки и пла-

стинки под действием температурных факторов [21]. В работе ученых

Л. И. Кренева, С. М. Айзиковича, Б. И. Митрина [103] исследуются изме-

нения формы поверхности непрерывно-неоднородного термоупругого по-

лупространства при локальном нагреве. В работе А. А. Трещева, В. Г. Теличко, Д. С. Чигинского [146] для выбранного класса задач термо-

упругости проведен анализ определяющих соотношений для нелинейных

изотропных разносопротивляющихся материалов.

Исследованию проблем неоднородной термоупругости для анизо-

тропных тел на современном этапе посвящено также немало работ. Среди

них работы Л. А. Фильштинского, Н. Д. Панкратовой, К. А. Галстяна,

В. А. Ломазова, В. Ф. Кириченко, Е. В. Галактионова, И. А. Прусова, А. В. Талонова, М. Ю. Соколовой и др.

В работах Л. А. Фильштинского [158, 165, 157, 155, 160, 162, 167,

159, 156, 168, 161, 164 и др.] получены фундаментальные научные резуль-

таты во многих направлениях механики деформируемого твердого тела.

Была разработана теория кусочно-однородных упругих структур регуляр-

ного строения, композитных материалов с изотропными, анизотропными,

пьезокерамическими компонентами. Впервые была применена техника

сингулярных интегральных уравнений к решению статических и динами-ческих задач механики разрушения анизотропных, пьезокерамических

пластин. В области трехмерных статических и динамических задач термо-

упругости Л. А. Фильштинским предложены новые оригинальные проце-

дуры исследования связанных физических полей вблизи различных типов

неоднородностей. Были разработаны новые методы интегрирования урав-

нений теории пологих оболочек, которые позволили получать решения в

виде вполне непрерывных операторов от аналитических функций.

1.5 Новые задачи исследований термоупругих эффектов в

кусочно-неоднородных телах с нерегулярной границей

Как видно из приведенного выше обзора, к настоящему времени раз-

работан значительный математический аппарат, предназначенный для ре-

27

шения связанных задач термоупругости. Однако не существует одного

универсального метода, который обладал бы преимуществами во всех си-

туациях. Каждый метод имеет свою область применения, в которой он яв-

ляется более эффективным. Поэтому разработка новых методов и усовер-

шенствование существующих всегда были и остаются актуальными зада-

чами. В целом, рассматривая более детально данный анализ научных пуб-

ликаций, можно отметить относительно небольшой (по сравнению с дву-

мерными задачами упругости) объем полученных результатов исследова-

ний, посвященных анализу сингулярности напряжений в неоднородных

термоупругих телах. Это стимулирует как развитие новых методов и алго-

ритмов решения рассматриваемой проблемы, так и решение новых задач.

В частности, проведенный анализ публикаций позволяет утверждать,

что при исследовании ЛКН в прямоугольных термоупругих областях, во-первых, не введены параметры интенсивности ЛКН, аналогичные широко

известным коэффициентам концентрации напряжений и, во-вторых, нет

анализа особенностей НДС с учетом сингулярности границы области и

влияния температурных напряжений на ЛКН.

Таким образом, цель данной работы: анализ вопросов распростране-

ния алгоритма метода суперпозиции для расчета термоупругих однород-

ных/неоднородных прямоугольных областей с целью определения харак-тера динамического НДС в окрестности сингулярных угловых/внутренних

точек прямоугольных областей.

Также возможно применение разработанной схемы для численно-

аналитического расчета параметров локальной особенности (ПЛО) по на-

пряжениям и анализ влияния температурных эффектов на ПЛО. При этом,

если учитывать локальный характер концентрации напряжений и ПЛО,

возможно распространение полученных ниже результатов на отличные от

рассматриваемых в данной работе конфигураций границ областей, что, бе-зусловно, повышает уровень практического применения предложенной

методики расчета. Перспективным следует считать и анализ распределе-

ния внутренней энергии по области сечения с учетом ЛКН в окрестности

нерегулярных точек.

28

ГЛАВА 2

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД СУПЕРПОЗИЦИИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ

ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ

2.1 Обобщение метода суперпозиции при решении задач уста-

новившихся колебаний термоупругих прямоугольных областей.

Постановка краевой задачи для изотропной термоупругой прямо-

угольной области

Ранее в работах [20, 44] была построена модификация метода супер-

позиции для исследования краевых задач гармонических колебаний упру-

гих изотропных областей с негладкой границей. На данное время инфор-

мация о распространении и обобщении этого метода на термоупругие об-

ласти отсутсвует. Также при исследовании ЛКН в этих работах отсутству-

ет анализ особенностей НДС в сингулярных точках сечения деталей с уче-том влияния температурных напряжений на ЛКН.

Данная глава посвящена математическому моделированию процесса

постоянных симметричных колебаний конечных изотропных однородных

термоупругих областей с нерегулярной границей и аналитическому реше-

нию сформулированных краевых задач для тел прямоугольного сечения пу-

тем модификации метода суперпозиции и асимптотического анализа пове-

дения неизвестных функций в сингулярных точках границы. Необходимо отметить, что наличие сингулярных точек границы является важной особен-

ностью геометрии рассматриваемых областей. Поэтому большой практиче-

ский интерес представляет исследование термомеханических характеристик

волнового поля в конечной прямоугольной области, учитывающее особен-

ности компонент тензора напряжения и температуры в окрестности нерегу-

лярных точек границы, в роли которых выступают угловые точки прямо-

угольника.

Решение исходной задачи строится с помощью модификации метода суперпозиции, состоящего в замене исходных граничных условий более

простыми, позволяющими аналитически построить общее решение полу-

ченной вспомогательной задачи. Эти граничные условия, так называемые

«перекрестные» [66], в отличие от начальной краевой задачи, задают зна-

чения нормальных перемещений, касательных напряжений и нормальных

производных от температуры на границах прямоугольника. Возврат к ис-

ходной задаче, т. е. удовлетворение неиспользованных во вспомогатель-

ной задаче граничных условий, приводит к системе интегральных уравне-ний (СИУ) относительно введенных дополнительных функций.

Проведение асимптотического анализа позволит говорить о возмож-

29

ной значимости температурной составляющей в угловых точках области.

Следует также отметить, что нахождение показателей локальной особен-

ности позволит исследовать напряженно-деформированное состояние во

всей области, включая ее угловые точки. Это, в свою очередь, позволит

дать эффективную оценку концентрации динамических напряжений в ок-

рестности этих точек, что обусловливает прочностные характеристики всей области.

Рассматриваются постоянные симметричные колебания однородной

термоупругой детали, сечение которой представляет собой прямоуголь-

ную область D , которая занимает в системе координат 1 2x Ox область

1 2 1 2, : ;D x x x a x b , где 1 2,x x – декартовы координаты.

Внешняя граница области имеет свободный теплообмен с внешней

средой и находится под нагрузкой, которая действует в плоскости D . В

работе предлагается метод определения термомеханических характери-

стик волнового поля в конечной прямоугольной области, которая учиты-

вает особенности компонент тензора напряжения и температуры в окрест-

ности нерегулярных точек границы – угловых точек прямоугольника. Спе-

цифика НДС в окрестности угловых точек области практически не зависит от значения угла [33, 133], поэтому анализ ПЛО можно проводить по ме-

тодике работы [6], не решая в общем виде начальную краевую задачу тер-

моупругости. Таким образом, полученные ниже результаты расчетов ПЛО

будут справедливы для произвольных сечений деталей, которые содержат

угловые точки.

На границах ax 1 ; bx 2 рассматриваемой области задано нор-

мальное нагружение интенсивности 11 xQ , 22 xQ соответственно, кото-

рое гармонично изменяется во времени с частотой . Предполагается, что данная область имеет свободный теплообмен с окружающей средой.

Безразмерные амплитудные характеристики перемещений

2,1,, iyxUi и прироста температуры yx, определяются системой

уравнений связанной термоупругости в безразмерных координатах:

1

2202

2

21

2

21

2

21

2

1 Ua

x

T

yx

U

x

U

y

U

x

U

,

2

2201

2

22

2

22

2

22

2

1 Ua

y

T

yx

U

y

U

y

U

x

U

,

021

0

22

2

2

2

2

y

U

x

U

T

iaia

yx.

(2.1)

30

Здесь были использованы следующие обозначения: axx 1~ ,

axy 2~ , aUU 11

~ , aUU 22

~ , 0

~T , ijij

~ , 0~

TT ,

где 2,1,~

iUi – компоненты вектора перемещений;

~

– прирост температуры;

T – абсолютная температура точек тела;

0T – температура тела в недеформированном и ненапряженном

состоянии;

– плотность;

, – параметры Ламе;

t 23 ; 00 T ; c0 ,

где t – коэффициент линейного термического расширения;

0 – коэффициент теплопроводности;

c – удельная теплоемкость при постоянной деформации.

Граничные условия запишем в безразмерном виде.

При 1x :

yqay

U

x

U

x

U111

211 1

21

1

2

1

21

32

;

01

1221

x

U

y

U;

01

a

x.

При y :

xqay

U

x

U

y

U222

212 1

21

1

2

1

21

32

;

01

1221

x

U

y

U;

01

a

y,

где 1 – приведенный коэффициент теплопроводности;

– коэффициент теплоотдачи.

(2.2)

(2.3)

31

2.2 Обобщение метода суперпозиции на случай однородных

симметричных прямоугольных термоупругих областей

В соответствии с алгоритмом модифицированного метода суперпози-

ции [40], ищем решение системы уравнений (2.1) в виде

qyxDypxAyxU ch1sincossh,1 ;

qyxEypxByxU sh1cossinch,2 ;

qyxFypxCyx ch1coscosch, ,

где ,,,qp – параметры.

Подставляем выражения (2.4) в систему уравнений движения и теп-

лопроводности (2.1). Получим две системы однородных уравнений отно-

сительно произвольных постоянных А, В, С и D, E, F, соответственно:

0

01

01

222

11

12

122

1

1122

12

pCBpA

CEpBEpA

pCpEBEpA

2 2 21 1 1

2 2 21 1 1

2 21 1 2

1 0

1 0

0,

D E q E qE F

D q E E q E F q

D E q F q

где 11E ;

222 a ;

01 T ;

02

1 Tia ;

ia22 ;

12 i .

Обозначим через p и q – корни характеристических уравнений

( 3,2,1 ), полученные при условии существования нетривиального ре-

шения двух выписанных однородных систем уравнений:

1222 112

11222

2121

EREEp ;

2222

p ;

(2.4)

(2.5)

и

32

1222 112

11222

2123

EREEp ;

1222 112

11222

2121

EREEq 2 2 22 ;q

1222 112

11222

2123

EREEq ,

где 21

2111212

242 222 ER

22

221

22

211121121 222 EEE .

Учитывая симметрию задачи, k и j должны быть выбраны сле-

дующим образом: kk , jj , ...2,1, jk .

Из анализа систем однородных уравнений следует, что постоянные

A, B, C, а также D, E, F связаны соотношениями:

kkk MBA ; kkk NBC ; jjj LED ; jjj PEF ,

где 112112

12 EEEppM

kkk

2221

21

241 21 EEpE

k

22

22

224211

kp ;

112112

12222

1 EEEppN

kkk ;

224

212

142

12

224222 EqEqEqqqqL jjjjjjj

2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 2 1 1 ;j k j jq q q E E q E

112112

12222

1 EEqEqqP jjjj .

Учитывая то, что решение для данной области должно содержать

полные и ортогональные системы функций на отрезках, 1x , y и

применяя метод Неймана – Шварца [61, 62], общее решение краевой зада-

чи конструируем таким образом:

1

3

11 cossh

kkkkk yxpMBU

xkAxyqLEj

jjjj 101

3

1

sin1sinch

;

(2.6)

33

1

3

12 sinch

kkkk yxpBU

ykBxyqEj

jjj 101

3

1

sin1cossh

;

1

3

1

coschk

kkkk yxpNB

ykDxkCxyqPEj

jjjj 10101

3

1

coscos1cosch

,

где 0000 ,,,,, DCBAEB jk – произвольные постоянные, такие,

которые подлежат определению из граничных условий (2.2) и (2.3).

Для получения определяющей системы интегральных уравнений

(СИУ), рассмотрим вспомогательную краевую задачу, которая характери-зуется следующими граничными условиями в окрестности границ прямо-

угольного сечения детали:

yfyU 11 ,1 ; xfxU 22 , ;

0,112 y ; 0,12 x ;

yfx

3

, если 1x ; xf

y4

, если y .

Учитываем, что ,1 yf xf2 , ,3 yf xf4 – неизвестные функции,

причем yfyf 11 , xfxf 22 , yfyf 33 , xfxf 44 ,

что следует из характера граничных условий (2.7). Вспомогательная крае-

вая задача (2.1), (2.7) не отвечает начальной граничной задаче, но допус-

кает аналитическое решение и позволяет, во-первых, удовлетворить часть

начальных граничных условий и, во-вторых, выразить все характеристики

начальной задачи через коэффициенты Фурье неизвестных функций

xfyf 21 , , xfyf 43 , .

После определения констант kB и jE через коэффициенты Фурье

kkkk ffff 4321 ,,, введенных функций xfyf 21 , , xfyf 43 , , получаем

компоненты вектора перемещений 21,UU и теплового потока в следу-

ющем виде:

121

231

22111

222

23

221

2111211

2

2111

k kk

kkkkkkk

ppEE

pppEpEEfU

(2.7)

34

21

231

22111

112112

123

2

22

1

1

sh

sh2

sh

sh

kk

kk

k

kk

k

k

ppEE

EEEp

p

xp

p

xp

k

kkkkk p

xpppp

3

3222

21

22 sh

sh+

21

231

22111

112112

1231

2111211

2

13

1

kk

kkkkk

ppEE

EEEpEpEEf

y

p

xp

p

xpk

k

k

k

k cossh

sh

sh

sh

3

3

1

1

121

231

221111

222

22

231121

2111

2

22j jjj

jjjjjjjj

qqEEq

qqqEqEEf

21

231

22111

11212311

2

2

22

1

1

sh

ch2

sh

ch

jj

jj

j

jj

j

j

qqEE

EqEE

q

yqq

q

yq

j

jjjjj

q

yqqqq

3

3222

22

23

sh

ch

21

231

22111

11212311

21121

2111

2

14

jj

jjjjjj

qqEE

EqEEEqEEf

111033

3

11

1/sin1sin

sh

ch

sh

chkxkfx

qq

yq

qq

yqj

jj

j

jj

j

.

121

231

221111

222

22

231

2111211

2

212k kkk

kkkkkkkk

ppEEp

pppEpEEfU

21

231

221113

112112

123

2

22

1

1

sh

ch2

sh

ch

kkk

kk

k

kk

k

k

ppEEp

EEEp

p

xpp

p

xp

k

kkkkk p

xpppp

3

3222

22

21 sh

ch

21

231

22111

112112

1231

2111211

2

13

kk

kkkkkk

ppEE

EEEpEpEEf

(2.8)

35

y

pp

xp

pp

xpk

kk

k

kk

k sinsh

ch

sh

ch

11

1

33

3

2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 1 1 2 3 2

2 2 2 2 21 1 1 1 2 1 3 1

β ββ j j j j j jjj

j j j

E E q E q q qf

E E q q

21

231

22111

11212311

2

2

22

1

1

sh

sh2

sh

sh

jj

jj

j

jj

j

j

qqEE

EqEE

q

yq

q

yq

j

jjjjj

q

yqqqq

3

3222

22

21

sh

sh

21

231

22111

11212311

21121

2111

2

14

jj

jjjjjj

qqEE

EqEEEqEEf

1120

1

1

3

3/sin1cos

sh

sh

sh

shkykfx

q

yq

q

yqj

j

j

j

j.

123

211

22111

22

23

22

21

221

211

k kk

kkkkkkk

ppEE

pppppf

211

211

23

21313

33

3

11

1

sh

ch

sh

chEEppppf

pp

xp

pp

xpkkkkk

kk

k

kk

k

11211

21

23

22

213

1

1

sh

chEEEpppp

p

xpkkkkk

k

k

yEEEpppp

p

xpkkkkkk

k

k cossh

ch11211

21

21

23

221

3

3

121

231

22111

22

22

23

21

221

221

j jj

jjjjjjj

qqEE

qqqqqf

211

211

23

21314

33

3

11

1

sh

ch

sh

chEEqqqqf

qq

yq

qq

yqjjjjj

jj

j

jj

j

11211

21

23

22

213

1

1

sh

chEEEqqqq

q

yqjjjjj

j

j

(2.9)

36

1cos

sh

ch11211

21

21

23

221

3

3xEEEqqqq

q

yqjjjjjj

j

j

.cos

cos

cos

cos

4

440

3

330

k

ykf

k

xkf

2.3 Вывод определяющей системы интегральных уравнений для

определения волновых характеристик однородных термоупругих

областей

Используем полученное решение вспомогательной задачи и соотно-

шения обобщенного закона Гука для изотропного тела,

zyxxE

1

; zxyyE

1

;

yxzzE

1

,

где – коэффициент Пуассона;

zyx ,, – напряжения, а zyx ,, – деформации вдоль соответ-

ствуюших осей; E – модуль продольной упругости или модуль Юнга.

Запишем выражения для напряжений через коэффициенты Фурье

введенных дополнительных функций:

123

211

221111

21

2211

21

1

12

111

sh

ch

k kkk

kkkk

k

kk

ppEEp

EpEp

p

xpf

k

kkkkkkkkk p

xpppppEEEp

2

222

222

22

2311211

21

21 sh

ch4

23

211

221113

112112

123

21

2231

23

3

3

sh

ch

kkk

kkkkkk

k

k

ppEEp

EEEpEpEp

p

xp

23

211

22111

112112

121

1

3222

21

22

kk

kkkkkkk

ppEE

EEEpfppp

k

kkkk

k

kkk p

EpEp

p

xpEEEp

1

21

2211

21

1

111211

21

23 sh

ch

(2.10)

37

y

p

EpEp

p

xpk

k

kkkk

k

k cossh

ch

3

21

2231

23

3

3

123

211

221111

21

2211

21

1

1

2

2

sh

ch

j jjj

jjjj

j

jj

qqEEq

EqEq

q

yqf

j

jjjjjjjjj

q

yqqqqqEEEq

2

222

222

23

2211211

21

21

sh

ch4

23

211

221113

112112

123

21

2231

23

3

3

sh

ch

kkj

jjjjjj

j

j

qqEEq

EEEqEqEq

q

yq

21

231

22111

112112

121

1

4222

21

22

jj

jjjjjjj

qqEE

EEEqfqqq

j

jjjj

j

jjj

q

EqEq

q

yqEEEq

1

21

2211

21

1

111211

21

23

sh

ch

1

11110

3

21

2231

23

3

3

sin

cos11cos

sh

ch

k

xkEkfx

q

EqEq

q

yqj

j

jjjj

j

j

Vk

ykEkf

2

21220

cos

sin1 ;

121

231

221111

21

2211

21

1

12

122

sh

ch

k kkk

kkkk

k

kk

ppEEp

EpEp

p

xpf

k

kkkkkkkkk p

xpppppEEEp

2

222

222

22

2311211

21

21 sh

ch4

21

231

221113

112112

123

21

2231

23

3

3

sh

ch

kkk

kkkkkk

k

k

ppEEp

EEEpEpEp

p

xp

21

231

22111

112112

121

1

3222

22

21

kk

kkkkkkk

ppEE

EEEpfppp

k

kkkk

k

kkk p

EpEp

p

xpEEEp

1

21

2211

21

1

111211

21

23 sh

ch

(2.11)

38

y

p

EpEp

p

xpk

k

kkkk

k

k cossh

ch

3

21

2231

23

3

3

121

231

221111

21

2211

21

1

1

2

2

sh

ch

j jjj

jjjj

j

jj

qqEEq

EqEq

q

yqf

j

jjjjjjjjj

q

yqqqqqEEEq

2

222

222

23

2211211

21

21

sh

ch4

21

231

221113

112112

123

21

2231

23

3

3

sh

ch

kkj

jjjjjj

j

j

qqEEq

EEEqEqEq

q

yq

21

231

22111

112112

121

1

4222

21

22

jj

jjjjjjj

qqEE

EEEqfqqq

j

jjjj

j

jjj

q

EqEq

q

yqEEEq

1

21

2211

21

1

111211

21

23

sh

ch

1

11110

3

21

2231

23

3

3

sin

cos11cos

sh

ch

k

xkEkfx

q

EqEq

q

yqj

j

jjjj

j

j

Vk

ykEkf

2

21220

cos

sin1 ;

121

231

22111

112112

121

1

12

22

21

12sh

sh2

k kk

kk

k

kkkkk

ppEE

EEEp

p

xppf

21

231

22111

112112

123

3

3

2

222

23 sh

sh

sh

sh

kk

kk

k

k

k

kkk

ppEE

EEEp

p

xp

p

xppp

12

211121

23

112112

121

232

221

2

EEpp

EEEpfpp

kk

kkkkkk

y

p

xp

p

xpEEEp k

k

k

k

kkk

sinsh

sh

sh

sh

3

3

1

111211

21

23

121

231

22111

112112

121

1

1

2

22

22

sh

sh2

j jj

jj

j

jjjjj

qqEE

EEEq

q

yqqf

(2.12)

39

21

231

22111

112112

123

3

3

2

223

22

sh

sh

sh

sh

jj

jj

j

j

j

jjj

qqEE

EEEq

q

yq

q

yqqq

12

211121

23

112112

121

2

422

21

2

EEqq

EEEqfqq

jj

jjjjjj

.1sinsh

sh

sh

sh

3

3

1

111211

21

23

x

q

yq

q

yqEEEq j

j

j

j

jjj

С учетом выражений (2.11)–(2.13) и обозначений

jjj qyqyq 111 shchh~

c , jjj qyqyq 222 shchh~

c ,

jjj qyqyq 333 shchh~

c , kkk pxpxp 111 shchh~

c ,

kkk pxpxp 222 shchh~

c , kkk pxpxp 333 shchh~

c ,

запишем граничные значения для нормальных напряжений:

123

211

221111

21

2211

21

121

11 cth,1k kkk

kkkkk

k

ppEEp

EpEpp

fy

kkkkkkkkkpppppEEEp 2

22

222

22

2311211

21

21

cth4

23

211

221113

112112

123

21

2231

23

3cth

kkk

kkkkkkk

ppEEp

EEEpEpEpp

23

211

22111

112112

121

1

3222

21

22

kk

kkkkkkk

ppEE

EEEpfppp

kkkkkkkkpEpEppEEEp 1

21

2211

21111211

21

23

cth

ypEpEpp kkkkkkk coscth 32

122

31233

123

211

221111

21

2211

21

12

2h~

cj jjj

jjjjj

j

qqEEq

EqEqyq

f

yqqqqqEEEq jjjjjjjjj 22

222

223

2211211

21

21 h

~c4

23

211

221113

112112

123

21

2231

23

3h~

c

kkj

jjjjjjj

qqEEq

EEEqEqEqyq

(2.13)

40

21

231

22111

112112

121

1

4222

21

22

jj

jjjjjjj

qqEE

EEEqfqqq

jjjjjjjj qEqEqyqEEEq 12

122

1121111211

21

23 h

~c

1111032

122

31233 ctg1h

~c kEkfqEqEqyq jjjjjj

Vk

ykEkf

2

21220

cos

sin1 ;

121

231

221111

21

2211

21

121

22 h~

c,k kkk

kkkkk

k

ppEEp

EpEpxp

fx

xpppppEEEp kkkkkkkkk 22

222

222

2311211

21

21

h~

c4

21

231

221113

112112

123

21

2231

23

3h~

c

kkk

kkkkkkk

ppEEp

EEEpEpEpxp

21

231

22111

112112

121

1

3222

22

21

kk

kkkkkkk

ppEE

EEEpfppp

kkkkkkkkpEpEpxpEEEp 1

21

2211

21111211

21

23

h~

c

kkkkkk pEpEpxp 32

122

31233h

~c

121

231

221111

21

2211

21

12

2cth

j jjj

jjjjj

j

qqEEq

EqEqq

f

jjjjjjjjj qqqqqEEEq 22

222

223

2211211

21

21 cth4

21

231

221113

112112

123

21

2231

23

3cth

kkj

jjjjjjj

qqEEq

EEEqEqEqq

21

231

22111

112112

121

1

4222

21

22

jj

jjjjjjj

qqEE

EEEqfqqq

jjjjjjjj qEqEqqEEEq 12

122

1121111211

21

23 cth

11coscth 111032

122

31233 EkfxqEqEqq jjjjjjj

VkEkfk

xk 21220

1

1 tg1sin

cos;

41

123

211

22111

22

23

22

21

221

211

,1k kk

kkkkkkk

ppEE

pppppfy

211

211

23

21313

3

3

1

1 cthcthEEppppf

p

p

p

pkkkkk

k

k

k

k

112112

123

22

2131cth EEEppppxp

kkkkkk

yEEEppppxp kkkkkkk coscth 112112

121

23

2213

121

231

22111

22

22

23

21

221

221

j jj

jjjjjjj

qqEE

qqqqqf

211

211

23

21314

3

3

1

1 h~

ch~

cEEqqqqf

q

yq

q

yqjjjjj

j

j

j

j

112112

123

22

2131h

~c EEEqqqqyq jjjjjj

42 2 2 2

3 1 2 3 1 1 1 1 2 1 1 30 404

cosch

cos;j j j j j j

k yq y q q q q E E E f f

k

123

211

22111

22

23

22

21

221

211

,k kk

kkkkkkk

ppEE

pppppfx

211

211

23

21313

3

3

1

1 h~

ch~

cEEppppf

p

xp

p

xpkkkkk

k

k

k

k

112112

123

22

2131h

~c EEEppppxp

kkkkkk

112112

121

23

2213h

~c EEEppppxp

kkkkkk

121

231

22111

22

22

23

21

221

221

j jj

jjjjjjj

qqEE

qqqqqf

211

211

23

21314

3

3

1

1 cthcthEEqqqqf

q

q

q

qjjjjj

j

j

j

j

112112

123

22

2131cth EEEqqqqq jjjjjj

1coscth 112112

121

23

2213 xEEEqqqqq jjjjjjj

.cos

cos40

3

330 f

k

xkf

42

Используя неучтенные граничные условия для 11 , 22 и теплового

потока, сведем исследуемую задачу к решению следующей СИУ уравне-

ний относительно функций xfyf 21 , , xfyf 43 , .

Первые два уравнения системы:

4

1

QfL , 2,1 .

Третье и четвертое уравнения:

013 Tyf , 024 Tyf .

Соответствующие операторы получаем из формул для волновых ха-

рактеристик (2.8)–(2.13).

11111112111 ctg1cos

1cos

2

kkkkk

k kkEdfyfL

df k12

1;

1

1

1

1

12

2

2212122212

2

1

sin

cos11cos

2

jjjjj

jdf

k

ykkEdffL ;

dfyfL kkk

kk cos1

cos 31

13313 ;

1

14

114414 1cos dffL jj

jj ;

1 1

1111212121

sin

cos1cos

12

kkkk

k

k

xkkEdffL

df k12

1;

1

1

12212222222 ctg11cos1cos

2

jjjjj

jkkEdfxfL

1

12

2

1df j ;

(2.14)

43

dffL kkk

k cos1

31

23323 ;

1

14

124424 1cos1cos dfxfL jj

jjj ,

где

112112

121

21

2211

21111 cth EEEpEpEpp

kkkkkkkk

12

112123

211

222

22

23

2 EEppppppkkkkkkkk

21

2231

23322 cthcth2

kkkkkkkk EpEpppp

kkkkkkkkppppEEEp 3

222

21

2211211

21

23

2

12

112123

21

EEppkk

;

112112

121

21

2211

21112 h

~c EEEqEqEqyq jjjjjjjj

12

112123

211

222

23

22 2 EEqqqqqq jjjjjjjj

21

2231

23322 h

~ch

~c2 jjjjjjjj EqEqyqyqq

jjjjjjjj qqqqEEEq 322

221

2211211

21

23 2

12

112123

21 EEqq jj ;

112112

12311211

21

2113 EEEpEEEp

kkkkk

21

2211

2111

21121

23

211 cth

kkkkkkkEpEppEEpp

kkkkkkk pEpEppp 32

122

312331 cth ;

112112

12311211

21

2114 EEEqEEEq jjjjj

21

2211

2111

21121

21

231 h

~c jjjjjjj EqEqyqEEqq

jjjjjjj qEqEqyqq 32

122

312331 h

~c ;

112112

121

21

2211

21121 h

~c EEEpEpEpxp

kkkkkkkk

12

112121

231

222

22

23

2 EEppppppkkkkkkkk

21

2231

23322 h

~ch

~c2

kkkkkkkk EpEpxpxpp

kkkkkkkkppppEEEp 3

222

22

2111211

21

23

2

44

12

112121

23

EEppkk

;

112112

121

21

2211

21122 cth EEEqEqEqq jjjjjjjj

12

112121

231

222

23

22 2 EEqqqqqq jjjjjjjj

21

2231

23322 cthcth2 jjjjjjjj EqEqqqq

jjjjjjjj qpqqEEEq 322

221

2211211

21

23 2

12

112121

23 EEqq jj ;

112112

12311211

21

2123 EEEpEEEp

kkkkk

21

2211

2111

21121

21

231 h

~c

kkkkkkkEpEpxpEEpp

kkkkkkk pEpEpxpp 32

122

312331 h

~c ;

112112

12311211

21

2124 EEEqEEEq jjjjj

21

2211

2111

21121

21

231 cth jjjjjjj EqEqqEEqq

jjjjjjj qEqEqqq 32

122

312331 cth .

2.4 Асимптотический анализ поведения характеристик

термомеханического волнового поля в окрестности угловых точек

области

Разложение гиперболических и тригонометрических функций, кото-

рые входят в структуру операторов L по тригонометрическими функци-

ям ykcos , yksin , 1cos xj , 1sin xj , сведет СИУ к

бесконечной системе алгебраических уравнений для определения коэффи-

циентов Фурье jk ff 21 , , jk ff 43 , .

Для эффективного решения этой системы исследуем поведение

функций xfyf 21 , , xfyf 43 , в угловых точках области D . Их ко-

эффициенты Фурье после интегрирования по частям представим в виде:

dfdff kk

kk sin1

cos1

111 ;

dff kk cos1

33 ;

(2.15)

45

dfdff jj

jj 1sin1

1cos1

12

1

122 ;

1

144 1cos dff jj .

Предположим, что функции 1f , 2f непрерывны в данной обла-

сти, а их производные имеют особенность в угловых точках, то есть:

11

Af ; 1

12 1

Bf ;

функции 3f , 4f имеют особенность в угловых точках, то есть:

13

Cf ; 1

14 1

Df .

Здесь , – ПЛО по напряжениям и температуре соответственно,

что характеризуют особенности функций 1f , 2f , 3f , 4f , а

DCBA ,,, – произвольные постоянные.

Проводим асимптотический анализ левых частей СИУ (2.14) при приближении к угловой точке. Производя интегрирование в формулах

(2.16–2.17), определяем, переобозначив константы при особенности,

асимптотику коэффициентов Фурье вспомогательных функций при боль-

ших значениях индексов в окрестности угловых точек области.

Рассмотрим процедуру проведения асимптотического анализа более

детально.

Введем обозначения:

1122

211 ER ;

21121122

2 2 EER ;

2211

211112

21

21

23 44 EEEER jj ;

112

1211112214 2 EEEER ;

1122

21122

5 44 EER jj ;

12

11216 EER ;

211

22217 4 ER .

С учетом асимптотики корней, формул (2.6) и разложения гипербо-

лических функций:

(2.16)

(2.17)

(2.18)

46

1

2121

122

11

E

RRp

k

kk ;

2

2

22

1

k

kkp ;

1

2123

122

11

E

RRp

k

kk ;

1

2121

122

11

E

RRq

j

jj ;

2

2

22

1

j

jjq ;

1

2123

122

11

E

RRq

j

jj ;

1

111

14

11,h

~c

E

RRxexp

k

xk

k ;

k

xk

xexp k

2

11,h

~c

21

2 ;

1

113

14

11,h

~c

E

RRxexp

k

xk

k ;

1

11

141,h

~c

E

RRyeyq

j

yj

j ;

j

yj

yeyq j

21,h

~c

2

2 ;

1

13

141,h

~c

E

RRyeyq

j

yj

j ,

найдем jkjkjkjk 2423222114131211 ,,,,,,, .

Нахождение некоторых асимптотик рассмотрим более детально.

21211212 jjy

jje

;

651141322

2112 142 RRRERRERRRERRR jj

RERRRERRR jj 141322

222 22

47

65114 RRRER ;

RERRRERRRE

RRyj

jj 1413

222

1

1212 2

14

1

1222

65114

22

14E

RRyyRRRER

jj

j

651141322

2 142 RRRERRERRRERRR j .

С учетом (2.18), после некоторых преобразований получим:

2

1112

S

Sj ;

,

8 4

31212

S

SyEj

где 1S , 2S , 3S , 4S определяются следующими выражениями:

2 4 4 2 2 2 2 21 1 1 2 1 1 1 1 1 21 1 1 116β jS E E E E E E

1112

2112

162

16

111422

218 EEEEEj

112142

221

421

621

2221

42 4 EEEE

1124

142

2221

6 EE ;

2121

2111

211

21

31

2111

42 2216 EEEEEES j

21

221

21

211

21

421

21

22

21

22

212

31

2282 EEEEEEE j

21122

21

211211

411

21

2112 3 EEEE

221121

22

21

222212

31

222

3111 4 EEEEE

2112

2132

12 EE ;

31

22

411

222

31

21

42

263 1283212844819264 EEEEES j

32416384321286432 21

431

4441

41

221

222 EEEERER

19264192192128 11231

21112111211

21

222 EEEE

122

1121

2111

211

21

21

22

21 646432025632 EEE

22

21

21

21

212

41

21

21

2121

21 5763212864320 EEEEE

21

2221

21

222

41

222

21

222

31

24 3232128256288 EREEEj

31

312

22

42

21

42

31

411

4 3216482083296 REE

48

221

632

621

432

41

32

21

3241616321921696 EEEE

132112

31

2111

42111

42 64288256128 EEEER

21112

23111

432

31

221

2631

215326480304 EEEEE

212

21

21

2111

22

311

221

2111

221 1608064176192 EEEE

16

241

21111

22

21

31

221

2121

21 2083219216 EEEEE

22

41

411

22

31

22112

241

6 323264163264 REERE

163216803216 131

31

222

51

21

21211

21

2221 EERERE

42111

21112

221

221

212

21

2 4432288160 jEREEER

188568812888 31

82

631

31

22

6312

21

621

21 EEE

31

42

41

42

511

4112

422

31

422

21

4 462256156 EEEEREE

728648162 22

51

41

42

21

42

32

41

232

31

241

41

42 EEEEE

232

422

41

4422

21

81

821

21

21

4 82561212070 REEEE

92824810212 31

21

21

421

212

22

22842

42 ERR

16242448 1122

21122

21

21

4221

42221

4 EERERE

22111

42

3111

4111

322

4111

4 31212816 EEEE

421

21

21

221

21

21

2211

221

211

31

6 13212122448 EEEE

1121

611

32

41111

22112

21

21

21

21 48888 EEERERE

22

22

21

21

21

21

31

31

2112

221

21

22

31

4248812 REERE

222

311

222

21

21

22

21

21

231

422

21

22 4412488 REERRERER

116

1132

222

21

31

3121

41

411

32

2 40848216 REEE

21121

421

211

211

22

31

22

41

6 825642448 EEREE

121

212

42

21

31

31111

611

31

3211

2 4085616 EEEER

42

51

242

41

242

31

241

41

22

31

821

212

4 32168 EEEE

61

32

4222

231

31

41

42

21

42

21

42 682423 EREEER

41

261

22

622

41

621

262

21

822

21 86108824 EREEEREE

782410410 2183

221

422

31

611

821

21

632

41 EEEE

22

31

422

6422642

21021

101

10 28228 ERREE

49

1263

111221

611

22

21

4222

31

222 164602 EEERE

31

311

4111

4221

21

21

62

21

21

21

41 1212832 EEREE

222

21

21

222

21

41

41

2111

81

21

21

6 22414 REEREEE

21

811

422112

2211

4231

312

2 164444 ERR

1262

121

22

31

211

32

31

211

32

41

211 12684 EEE

3248836 1123

211123

2221

4211

221

41 EERE

221

31

31

21

21

21

222211

21

222111

6 464 EEERE

222

21

21

21

22212

42221

21

21

221

21

2 66822 EERRER

21

21 ;

11312

21

51

22

412

5111

54 646416641616 EEEEES j

96961616649664 112111

41121112

31

41

2 EEEEEE

2142

251

21

21

31

321

21

231

2 248886416 EEEEEE j

31

441

422

31

22

411

22

41

211

31

2 248483288 EEEEEEE

21112111211

31

222

51112

41 724016816 EEEEE

1122

1112

1121

21

22

21112

31

881683256 EEE

228242424 22

21

222

21

21

21

212

41

21

21

21 EEEEE j

42

31

422

31

31

31

2111

421

2222

41

2 452 EREEERE

21

2111

421

621

432

41

32

21

31

312

21 3244 EEEEEEE

132112

31

232

51

21

212

3111

22

4111

2 233 EEEEER

11221

21112

23111

432

31

221

2631

6426 EEEEEE

31

221

2121

21

212

21

21

2111

22

311

221

21 78103 EEEEE

122

31

22112

21

62

41

21111

22

21 2212 EREEE

222

51

21

21211

21

2221

22

41

41 22 ERERERE

1112

11122

221

21

31

31

2622 EREERE ;

1112

221

211

221

41

421

2121lim

EEEEEESS

j

23121

21

2111

211

21

31

2111 22 EEEEEEE

50

12 112

221 EEE ;

384384128384128 31

441

42

31

21

443lim EEEESS j

j

211

21

2111

21111

31

221

4 128384384128 EEEE

412

5111

22

212

41

221

2 641616384128128 EEEEE

111231

41

211

312

21

51

22 649664646416 EEEEEE

21

21

231

211

2111

4112 641696961616 EEEEEE

18 12 Ej .

Тогда 1112

112 EEj , 112

1212 EEy jj ,

11 11

212

EyEe j

yj

j .

Проводим аналогичные преобразования для xpk ,21 .

Получаем 111, 1121

21

ExEexp kx

kk .

Учитываем, что 1,cth 1 jq , 1,cth 2 jq , 1,cth 3 jq при

j .

142 65214722

22 RRRRRRRERRRq jj

652147 4 RRRRRRRERRR ;

6522 SSj .

Выражения для 5S и 6S аналогичны выражениям для 1S , 2S , 3S , 4S

и представляют собой многочлены, слагаемые которых сгруппированны

по степеням j . Опуская результаты промежуточных вычислений ввиду

их громоздкости, составим необходимый предел отношения коэффициен-

тов при старших степенях j :

2242

12

221

421

22

2165 248124lim EEEESS j

j

2221

22

211121121

21

211121 22222 EEEE

22

31

21

21

21

22

41112

21112

3111

221 8448824 EEEEEE

3216163216816 23111111

2111

22

31

31

4 EEEEE

112

2212111

21

21

221 132161616 EEEEEEE j .

51

Тогда 112

22 1 EEjj .

Для pk11 имеем:

112

11 1 EEp kk , 21411414 jj

yj

je

.

RRRRERRRERERRER jj 5136111414114 12

RRRRERj 513 ;

RRRRERRRRRERRERj 513161414214

RRRRERRR 5131 .

С учетом выражений (2.18) и аналогичных преобразований получим:

111221111111211

22

21114 2 EEREEEEEj

31

22111111111

221 122 jEEREREEE

112211121

42111

21 8881616321688 EEEEERERE j

221

21

22

221

22

211121

22

21 22288 EEEj

224

2122

11211 222 ER ;

1111221111214 2241121 EEERyERE jjj

2111

22111

21

2111211

22 2282 EERREE j

22

21

22

212

2221

4221

221

22 8288 jjj EEEEE

4111

2112

21

22

31

22421

41

4 28161632 EEEEE jjjj

211121

221

222312

22111

221

2 888 EERREEE jjj

22

2112

1122

2112

12 44 EEREEE jj

R 11 ;

221111111211

22

21114 2lim EREEEEE jj

j

12

21111111112

21111 122 EEREREEEE

116321688 1112111

21 EEEERERE j ;

121111214 3216241121lim EERyERE jjj

j

2112121

2111

221

22

2421 2222216 EEE

52

2111

2211112

21

22

221

22

2111 22 EEEEEE

211

22111

211 44163216 EEEEE

11 1 Ey ;

111114 11 EyEEe j

yj

j

.

Для k23 : 2231231

23 kkx

kke

.

1111123lim

EE kk

k

; 11 11223lim

Exk

k

;

111 11111

23

ExEEe kx

kk .

Учитываем, что 11,cth 1 kp , 11,cth 2 kp , 11,cth 3 kp , при

k .

571116141424 121 RRREERRRERRER jj

RRRRR 57 ;

8724 SSj .

Опуская результаты промежуточных вычислений для 7S и 8S ввиду

их громоздкости, составим необходимый предел отношения коэффициен-

тов при старших степенях j :

231

22

31112

21

22

41

23187 2481684lim EEEERESS

j

41

211

21

211

31

431

21

21

31

22

4111 8168448 EEEEEE

3216441616 21122

51

22

31

21

21

21

21

211112 EEEEE j

163216161616 2211

211

21

2112

311

31

212

211 EEEEE

132 11122

112

11 EEEE j .

Для k13 имеем 1

1

1

1113

E

Ek .

Тогда для первых двух уравнений системы получим:

BE

EyA

E

EfLfLfLfL

k k

k

1

2cos

1

2

1

1

11

1414313212111

53

1 11

j j j

y

j

y jj ey

e;

1

1

1

1424323222121 1

1

2

j k

x

xe

AE

EfLfLfLfL

k

11

1

11

1 1cos

1

2

j j

j

k k

x xB

E

Ee k

.

Граничные условия задачи таковы, что обеспечивают ограничен-

ность правых частей системы интегральных уравнений во всей области. Требуя поэтому ограниченности левых частей системы и используя полу-

ченные асимптотики, проводим аналогичные преобразования для третьего

и четвертого уравнений и приходим к следующей однородной системе

уравнений:

ye

BE

EyA

E

E

j j

y

k k

kj

11

1

11

1

1

2cos

1

2

11

1

1

11

1

11

11 1

cos

1 j j

y

k k

k

j j

y jj eED

E

yC

E

Ee

01

1

j j

yjey ;

BE

Eex

eA

E

E

k k

x

k k

x kk

1

21

1

2

1

1

11

1

1

1

1

1

1 11

1 1 11 1 11

cos 11

1

k kx xj

j k kj k k

x e eC E x

E

0

1cos

1 11

1

11

j j

j xD

E

E;

BE

TT

yC

yA

E

T

k k k

k

k k

k

11

cos1cos

1 1

1

1 11

11

1

1

54

0

1111

j j

y

j j

y

j j

y jjj eTD

ey

e;

1

1

1 1

1

1

1

1

1 11

1 k k

x

k k k

x

k

x kkk eCT

ex

eA

E

T

01

1cos1cos

1 1 111

1

1

j j j

j

j

jT

xD

xB

E

T.

После суммирования рядов, входящих в (2.19), с учетом выражений

21 2

11

1

xe

k k

xk

,

21 2

11

ye

j j

yj

,

112 ,

получим следующую систему для определения ПЛО:

0

0

02

sin

02

sin

2

1

CT

DT

BA

BA

sin 02

sin 0.2

A B

A B

2.5 Определение параметров особенностей волновых характе-

ристик в сингулярных точках однородной области

Из условия существования нетривиального решения первых двух

уравнений данной системы получим характеристическое уравнение для

определения параметра :

02sin 22 .

Характеристическое уравнение (2.21) имеет один действительный

корень 10 и бесконечное множество комплексных корней

kkk i [70, 42]. Естественно, необходимо учитывать лишь те ком-

(2.19)

(2.20)

(2.21)

55

плексные корни, для которых 1Re k . Как видим, характер особенности

механического поля в угловой точке не зависит от упругих параметров области сечения. Учитывая механическое содержание функций

21 , ff и, требуя ограниченности энергии всей системы, приходим к

выводу, что при построении асимптотики решения надо учитывать только

один действительный корень 10 и счетное количество комплексных

корней kkk i с положительной действительной частью. Два по-

следних уравнения системы дают основание говорить, что температура не

имеет особенности в угловых точках области, поскольку 0CD .

После определения дополнительных функций xfyf 21 , ,

xfyf 43 , из системы интегральных уравнений (2.14) имеем возмож-

ность найти все неизвестные краевой задачи (2.1)–(2.3) и все характери-

стики волнового поля. Надо отметить, что нахождение показателей ло-кальной особенности дает возможность исследовать напряженно-

деформированное состояние во всей области D , включая ее угловые точ-

ки. Это, в свою очередь, приводит к эффективной оценке концентрации

динамических напряжений в окрестности этих точек, что обусловливает

прочностные характеристики всей области.

Численные расчеты первых пяти собственных частот были проведе-

ны для однородных стального (St) и свинцового (Pb) прямоугольного се-

чений с параметром 21 .

Таблица 2.1 – Резонансные частоты для однородного термоупругого

прямоугольника

Материал Собственные частоты

1 2

3 4

5

St (упругий расчет) 3981,6 5087,3 5723,6 8711,2 9014

St (термоупругий расчет) 4132,1 5138,2 5809,3 8839,5 9042,1

Pb (упругий расчет) 3892,4 5002,7 5613,1 8611,8 8912

Pb (термоупругий расчет) 4058,4 5088,9 5701,8 8339,4 8865,9

Таким образом, выполненный расчет подтверждает, что температура

не имеет особенности в угловых точках исследуемой области, поскольку

собственные частоты упругого и термоупругого случая имеют незначи-

тельное отличие (1–3 %).

Определение ПЛО в угловых точках области дает возможность прог-

нозировать интенсивность ЛКН в этих проблемных зонах и применить

критерии прочности, учитывая максимальные напряжения именно в этих

56

областях с учетом ПЛО.

Важным направлением дальнейшего исследования будет исследова-

ние ПЛО для неоднородных областей, что безусловно повысит уровень

практического применения предложенной методики расчетов. Перспе-

ктивным должен быть и анализ распределения внутренней энергии по об-

ласти сечения с учетом ЛКН в окрестности сингулярных точек.

2.6 Выводы к главе 2

1. Для решения задач расчета НДС при вибрационном нагружении

термоупругих призматических деталей с однородным сечением разрабо-

тан метод качественного анализа соответствующих краевых задач. Как

показали результаты исследования, связанность полей деформации и тем-

пературы вносят дополнительные математические трудности в расчет

распределения напряжений в твердом термоупругом однородном теле с

учетом ЛКН в окрестности внешних границ области. Однако предложен-ный метод позволяет свести решение исходной граничной задачи к реше-

нию СИУ относительно дополнительных функций, фигурирующих в фор-

мулировке специально подобранной вспомогательной краевой задачи, до-

пускающей аналитическое решение. В набор вспомогательных функций

входят и температурные характеристики теплового потока на внешней

границе области.

2. Асимптотический анализ поведения решения СИУ в сингуляр-ных точках сечения детали позволяет свести задачу к бесконечной систе-

ме алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье допол-

нительных функций с известной асимптотикой их поведения на бесконеч-

ности. Это позволяет провести редукцию бесконечной системы с учетом

найденной асимптотики неизвестных. При этом координатные функции

для механических и температурных характеристик волнового поля раз-

личны.

3. Разработанный математический метод анализа волновых полей в однородных термоупругих средах на этапе определения асимптотического

поведения НДС в нерегулярных точках сечения, предполагает введение

важных параметров – ПЛО по напряжениям. В задаче гармонических коле-

баний термоупругих тел с сингулярной границей таких параметров два: для

механических и температурных волновых характеристик, соответственно.

57

ГЛАВА 3

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ НА СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОСТИ,

ХАРАКТЕРИЗУЮЩЕЙСЯ СОПРЯЖЕНИЕМ ДВУХ СРЕД

3.1 Формулировка и решение краевой задачи для изотропной

термоупругой неоднородной прямоугольной области, характеризу-

ющейся сопряжением двух сред

Моделирование НДС кусочно-неоднородных областей осложняется

наличием локальной концентрации напряжений в местах сопряжения об-

ластей, состоящих из материалов с постоянными, но различными упруги-

ми и температурными свойствами, а также в сингулярных точках границы

области.

Для исследования локального НДС конструкций в зонах геометриче-

ской концентрации напряжений необходим комплексный анализ: анали-

тический, численный. Поэтому приведенный далее расчетно-аналити-ческий подход к исследованию НДС конструкций определяет, по суще-

ству, эффективное средство для достижения одной из поставленных в ра-

боте целей: разработке метода исследования НДС составных конструкций

в зонах геометрической концентрации напряжений для дальнейшего учета

характера границы и внутренней структуры области с целью минимизации

возможных локальных напряжений.

Вопросам исследования решения задач теории упругости в окрестно-сти угловых точек, принадлежащих линиям раздела двух разнородных

сред, посвящено достаточно много научных публикаций, среди которых

отметим работы [33, 56, 43, 47]. Характер локальной особенности по на-

пряжениям в сингулярных точках сочетания трех и четырех сред рассмат-

ривались в [46, 39]. Полученные в этих работах результаты позволяют, во-

первых, распространить известный метод суперпозиции [70] на кусочно-

неоднородные термоупругие области и, во-вторых, исследовать влияние

температурных параметров на локальную концентрацию напряжений в сингулярных зонах области.

Целью данной главы служит распространение алгоритма метода су-

перпозиции для расчета термоупругих кусочно-неоднородных тел и опре-

деления характера динамического НДС в окрестности сингулярных угло-

вых точек области, а также применения разработанной ранее (гл. 2) схемы

для численно-аналитического расчета ПЛО по напряжениям и анализа

влияния температурных эффектов на ПЛО.

При этом определение характера поведения напряженно-деформи-рованного состояния в окрестности нерегулярных точек внешних и вну-

тренних границ кусочно-неоднородных тел позволит при дальнейшем чи-

58

сленном анализе наилучшим образом аппроксимировать решение и пост-

роить интегральный алгоритм его нахождения.

Также, если учитывать локальный характер концентрации напряжений

и ПЛО, возможно будет распространить полученные ниже результаты на

отличные от рассматриваемых в данной работе геометрические конфигура-

ции областей.

Рисунок 3.1 – Геометрия сечения тела

Пусть сечение детали – некоторая прямоугольная область, которая

занимает в системе координат 21 O область 21 GGD ,

bcG 21211 ;:, ,

baccaG 21212 ;,,:, ,

где 21, – декартовы координаты (рисунок 3.1).

Области mG 2,1m состыкованы друг с другом. Они являются

изотропными и, в общем случае, имеют разные упругие константы.

На границах области a1 , b2 задано нормальное нагруже-

ние интенсивности 11 q и 22 q соответственно, которое гармонично

изменяется во времени с частотой . Предполагается, что данная область

имеет свободный теплообмен с окружающей средой. Безразмерные ам-

плитудные характеристики перемещений 2,1,, iyxUi и прироста тем-

пературы yx, определяются системой уравнений связанной термо-

упругости в безразмерных координатах для областей 1G и 2G , соотве-

тственно [124]:

x

T

yx

U

x

U

y

U

x

U m

m

mmm

m

mmm02

2

21

2

21

2

21

2

1

59

m

m

m

Ua

1

22

;

y

T

yx

U

y

U

y

U

x

U m

m

mmm

m

mmm01

2

22

2

22

2

22

2

1

m

m

m

Ua

2

22

;

2 2 2 21 2

2 20

0

m mm m mm

m

U Ua i a i

T x yx y

.

Здесь были использованы следующие обозначения:

ax

1 ;

ay 2 ;

a

UU

mm 1

1

~

;

a

UU

mm 2

2

~

;

0

~

T

mm

;

m

mijm

ij

~

; 0

~TT mm ,

где 2,1,~

miU mi – компоненты вектора перемещений;

m~

– прирост температуры; mT – абсолютная температура точек тела;

0T – температура тела в недеформированном и ненапряженном

состоянии; m – плотность;

mm , – параметры Ламе;

mt

mmm 23 ; mmm T 00 ; mmm c 0 ,

где m

t – коэффициент линейного термического расширения; m

0 – коэффициент теплопроводности;

mc – удельная теплоемкость при постоянной деформации.

В данных обозначениях верхний индекс определяет принадлежность

механической характеристики или упругого параметра области mG ,

2,1m .

При формулировке граничных условий, учитывая симметрию обла-

сти, рассмотрим напряженное состояние части области, расположенной в первой координатной четверти. Вводим локальную безразмерную коорди-

(3.1)

60

нату 1ˆ αx c a , 2ˆ 0,δx ; 12 , ac и безразмерные ампли-

тудные компоненты тензора напряжений m

, связанные с перемещени-

ями закона Гука:

mmmmmUCUC

2,2121,11111 ,

mmmmmUCUC

2,2111,11222 ,

mmmUU

1,22,112 ,

где

1

11

11 2

C ;

2

1112

mmCC .

Таким образом, граничные условия задачи запишутся следующим

образом в безразмерном виде:

в области yxyxG ;:,1

yry ,0,2

1211

1 ;

yUyU ,0,21

; xqx

12

122

, ;

0,1

12 x ;

1 2

ˆx x

; 21 ,

01

11

11

a

y;

в области 2

2ˆ ˆ, : 0 δ ; ηG x y x y

yqy2

122

11, ;

0,22

12 y ;

2 222 2

ˆ ˆ,ηx q x ;

0,ˆ2

12 x ;

02

21

22

a

y;

0

ˆ

2

21

22

a

x,

где mm

qq ;

ab ;

1221 r ;

2,1 ;

m1

– приведенный коэффициент теплопроводности;

m – коэффициент теплоотдачи.

(3.2)

61

3.2 Обобщение метода суперпозиции на случай кусочно-

неоднородных прямоугольных термоупругих областей

Следуя алгоритму метода суперпозиции, общее решение miU и

m конструируем в виде суммы двух частных решений системы. При выборе формы этих частных решений необходимо учитывать возмож-

ность удовлетворения при их помощи не только граничным условиям на

внешней границе области, но и условиям сопряжения механических и тем-

пературных характеристик на границе раздела сред.

Имеем следующие выражения для общего решения краевой задачи

(3.1)–(3.2) в областях 2,1mG m :

xyrRyxtHU 11111111

sinchcossh ;

xyrRyxtHU 11111112

cosshsinch ;

xyrLyxtK 1111111 coschcosch ;

yxtQxtHU 1222221

cosˆchˆsh

xyrR ˆsinch 222 ;

yxtQxtHU 1222222

sinˆshˆch

xyrR ˆcossh 222 ;

yxtMxtK 122222 cosˆshˆch

xyrL ˆcosch 222 .

В качестве значений параметров 1 , m выбираем последовательно-

сти чисел:

kk ,

jj1

,

2

2

jj , ,...;2,1k ,....2,1j

Подставляем выражения (3.3) в системы уравнений движения и те-

плопроводности (3.1) и (3.2). Получим две системы однородных уравне-

ний относительно произвольных постоянных mH ,

mH , mR ,

mR , mQ , mQ ,

mK , mL ,

mM .

Для области 1G :

(3.3)

62

;0

;01

;01

12

21211

111

11

121111

212111

1

11

111

12121111

2

tKHtH

KCtHCtH

KtCtHCtH

,0

;01

;01

12

21211

11

1

11

21111

221111

1

11

1111

1212111

21

rLRrR

LrCrRCrR

LCrRrCR

где

1

01

11

T;

0

211

1 T

ia ;

1

212

ia;

12 i .

Для области 2G аналогично. Данный набор констант обеспечивает необходимую степень произ-

вола для удовлетворения граничных условий и условий сопряжения в рас-

сматриваемой составной области.

Обозначим через m

kt

и mjr корни характеристических уравнений

3,2,1 , полученные при условии существования нетривиального ре-

шения двух однородных систем уравнений:

122111

21112

212

211

2

1mmmmmmmm

CCt

mm CS11

2 ;

2212

2mm

t ;

63

122111

21112

212

211

2

3mmmmmmmm

CCt

mm CS11

2 ;

122111

21112

212

211

2

1mmmmmmmm

CCr

mm CS11

2 ;

222

2mmm

r ;

122111

21112

212

211

2

3mmmmmmmm

CCr

112

mmS C ,

где

2

1112112

2422122

mmmmmmmmm CS

2

2

2

1111211211

2

11212

mmmmmmmmmmCC

22

2

21112

mmmC ;

10

111

T ;

0211

1Tia ;

1212

ia ; 12 i

Из анализа систем однородных уравнений следует, что постоянные mH ,

mH , mR ,

mR , mQ , mQ , mK ,

mL , mM связаны соотно-

шениями:

mk

mk

mk

PHH

1

; m

km

km

kPHK

2

; m

km

km

kPQQ

1

;

mk

mk

mk

PQM

2

; m

jmj

mj BRR

1

; m

jmj

mj BRL

2

,

где .3,2,1

mmmm

kkmk

CCCttP21111

2111

211

111

mm

kmmm

kmm

CtCCt211

22

11

2111

411

111

;22

2

212

2214111

212

mmmmmmm

(3.4)

64

mmm

km

kmm

kCCttP

21111212212

1211

mm11

;

211

42

112

22422

1112 j

mj

mmj

mjj

mj

mj

rCrCrrrrB

22222

2

24

2111 m

jmmmmmmmm

rC

111

111122

112

112mm

jmmm

jjmmm

CCrCrr

mmm112

;

1111

211

222212

mj

mmj

mmj

mmj

CrCrrB

mmmmC

112111 .

Общее решение краевой задачи строим отдельно для каждой области mG . Для области 1G :

3 31 1 1 1 1 1 1 11 1 1

1 1

, sh cos chk k k k j j j

k j

U x y P H t x y B R r y

xlHxj

11

10

1sinsin ;

yrRyxtHyxU

jj

jkkk

k1

3

1

1113

1

112

shsinch,

ylRxj

11

10

1sincos ;

yrRByxtHPyx

jj

jjkkk

kk1

3

1

112

113

1

112

1chcosch,

ylCxlBxj

11

10

11

10

1coscoscos .

Для области 2G :

yxtQxtHPyxU

kkkkkk

k12222

3

1

21

21

cosˆchˆsh,ˆ

(3.5)

65

xlQxlHxyrRB jj

jjj

ˆcosˆsinˆsinch2

22

02

22

022

3

1

221

;

k j

jkkkkkRyxtQxtHyxU

3

1

3

1

21222222

sinˆshˆch,ˆ

ylRxyr jj

22

202

22sinˆcossh

;

yxtQxtHPyx

kkkkkk

k12222

3

1

22

2cosˆshˆch,

xlCxlBxyrRB jj

jjj

ˆcosˆsincosch2

22

02

22

0222

3

1

222

,

где mk

H

, mk

R

, m

H0,

mR0

, m

B0,

mC0

, m

Q0 – произвольные

постоянные, подлежащие определению из граничных условий (3.2).

3.3 Формулировка и решение вспомогательных краевых задач

для случая гармонических колебаний составного сечения с

сопряжением двух сред

Аналогично алгоритму для однородной термоупругой области рас-

смотрим вспомогательную краевую задачу. При данных граничных усло-

виях вид этой вспомогательной задачи значительно усложняется, по-

скольку при ее формулировке необходимо не только добиться аналитиче-

ского решения, но и ввести граничные условия и условия сопряжения, т. е. как можно больше условий из (3.2). Это позволит максимально упростить

вид последующей определяющей системы интегральных уравнений. Итак,

рассмотрим вспомогательную краевую задачу, которая характеризуется

следующими условиями в окрестности границ прямоугольного сечения

детали:

– для области 1G :

yfyU 11

1 , , yy 11

12 , ,

yfx

x

5

1

;

xfxU 21

2 , , 0,1

12 x ,

xfy

y

8

1

;

– для области 2G :

(3.6)

66

yfyU 12

1 ,0 , yry 1122

12 ,0 ,

yfx

x

5

0ˆ

2

ˆ

;

xfxU ˆ,ˆ 42

2 , 0,ˆ2

12 x ,

xfy

y

ˆ7

2

;

yfyU 322

1 , , 0,22

12 y ,

yfx

x

6

ˆ

2

2

ˆ

,

где yf1 , xf2 , yf3 , 4 ˆf x , yf5 , yf6 , 7 ˆf x , )(8 xf ,

y1 − неизвестные вспомогательные функции.

После определения констант mk

H

и mk

R

, через коэффициенты

Фурье kf1 , jf2 , kf3 , jf4 , kf5 , kf6 , jf7 , jf8 , k1 введенных функций

yf1 , xf2 , yf3 , 4 ˆf x , yf5 , yf6 , 7 ˆf x , )(8 xf , y1 , получаем

компоненты вектора перемещений 21,UU и температуру . Например, в

области 1G они имеют вид:

k

kk

ft

xt

t

xt

t

xtfyxU

51

13

131

312

121

211

111

111

1sh

sh

sh

sh2

sh

sh,

13

13

11

111

4sh

sh

sh

sh

t

xt

t

xt

y

t

xt

t

xt

t

xtkk

cossh

sh

sh

sh

sh

sh

13

131

712

121

211

111

61

1 1 1

1 2 31 1 12 88 9 101 1 11

1 2 3

ch ch ch

2

sh sh shj j

j

r y r y r y

f f

r r r

11

11

101

13

131

1211

111

11sin

sinsin

sh

ch

sh

ch

k

xkfx

r

yr

r

yrj ;

(3.7)

67

11

3

131

1512

121

1411

111

1311

2sh

ch

sh

ch

sh

ch,

kk

t

xt

t

xt

t

xtfyxU

13

131

1711

111

165sh

ch

sh

ch

t

xt

t

xtf

k

y

t

xt

t

xt

t

xtkk

sinsh

ch

sh

ch

sh

ch

13

131

2012

121

1911

111

181

11

3

131

2312

121

2211

111

212sh

sh

sh

sh

sh

sh

jj

r

yr

r

yr

r

yrf

11

11

201

13

13

11

111

248sin

sincos

sh

sh

sh

sh

k

ykfx

r

yr

r

yrf jj

;

11

3

131

2611

111

2511

sh

ch

sh

ch,

kk

t

xt

t

xtfyx

13

131

3411

111

33113

131

2811

111

275sh

ch

sh

ch

sh

ch

sh

ch

t

xt

t

xt

t

xt

t

xtf

kk

ykcos

1

3

131

3211

111

3181

13

131

3011

111

292sh

ch

sh

ch

sh

ch

sh

ch

r

yr

r

yrf

r

yr

r

yrf

jj

j

1

11

1

11

4011

11

11

301

sin

cos

sin

coscos

kk

ykf

kk

xkfxj .

Тогда для области 2G :

1 22

2

22

222

22

1

22

1211

21

sh

ˆsh2

sh

ˆsh,ˆ

kk

t

xt

t

xtfyxU

22

3

22

3

22

1

22

1245

22

3

22

323

sh

ˆsh

sh

ˆsh

sh

ˆsh

t

xt

t

xtf

t

xt

k

(3.8)

68

22

3

232

32

22

222

22

21

212

13sh

ˆsh

sh

ˆsh2

sh

ˆsh

t

xt

t

xt

t

xtf

k

22

3

23

22

1

212

46sh

ˆsh

sh

ˆsh

t

xt

t

xtf

k

22

3

22

327

22

2

22

222

22

1

22

1261

sh

ˆsh

sh

ˆsh

sh

ˆsh

t

xt

t

xt

t

xt

k

ykcos

12

3

232

1022

222

921

212

84sh

ch

sh

ch2

sh

ch

jj

r

yr

r

yr

r

yrf

23

232

1221

212

117sh

ch

sh

ch

r

yr

r

yrf j

2 22 22 2

30 102 22 22 2

ˆ ˆsin sin δˆsinχ δ

sin δ sin δj

k x k xx f f

k k

;

1 22

2

22

2214

22

1

22

1213

21

22

sh

ˆch

sh

ˆch,ˆ

kk

t

xt

t

xtfyxU

22

3

22

3217

22

1

22

12165

22

3

22

3215

sh

ˆch

sh

ˆch

sh

ˆch

t

xt

t

xtf

t

xt

k

22

3

232

152

22

222

142

21

212

133sh

ˆch

sh

ˆch

sh

ˆch

t

xt

t

xt

t

xtf

k

22

3

232

172

21

212

166sh

ˆch

sh

ˆch

t

xt

t

xtf

k

22

3

22

3220

22

2

22

2219

22

1

22

12181

sh

ˆch

sh

ˆch

sh

ˆch

t

xt

t

xt

t

xt

k

ykcos

69

2

3

232

2322

222

2221

212

211

4sh

sh

sh

sh

sh

sh

r

yr

r

yr

r

yrf

jj

22

22

4022

23

23

21

212

247sin

sinˆcos

sh

sh

sh

sh

k

ykfx

r

yr

r

yrf jj

;

1 22

3

22

3226

22

1

22

1225

21

2

sh

ˆch

sh

ˆch,ˆ

kk

t

xt

t

xtfyx

22

3

22

3228

22

1

22

12275

sh

ˆch

sh

ˆch

t

xt

t

xtf

k

22

3

232

282

21

212

276

22

3

232

262

21

212

253sh

ˆch

sh

ˆch

sh

ˆch

sh

ˆch

t

xt

t

xtf

t

xt

t

xtf kk

y

t

xt

t

xtkk

cossh

ˆch

sh

ˆch

22

3

22

3234

22

1

22

12331

2

3

232

3221

212

3171

23

232

3021

212

294sh

ch

sh

ch

sh

ch

sh

ch

r

yr

r

yrf

r

yr

r

yrf j

jj

2 22 2 2

2 50 602 2 2 222 2 2 2

ˆcos cosˆcosχ δ

sin δ sin ηj

k x k yx f f

k k k k

,

где, например:

2)2(111

211

223

2222

13112

km

km

kkm

km

km

tCCt

2

11

223

2)2(1

)2(1

2

1121111 mm

kkkmmmmm

CtttC

mmmmC

112111 ;

2214

2 mkk

mt ;

2)2(311

211

221

2222

15112

km

km

kkm

km

km

tCCt

(3.9)

70

2

11

223

2)2(1

)2(3

2

1121111 mm

kkkmmmmm

CtttC

mmmmC

112111 ;

mmmmk

mk

mk

mCtCC

11211

2)2(111

21116

111

)2(1111211

2)2(311

211

111k

mmmmmk

mk

mtCtCC

mmmmmmkk

CCtt11211

2

11

223

2)2(1

11 ;

mmmmk

mk

mk

mCtCC

11211

2)2(111

21117

111

)2(3111211

2)2(311

211

111k

mmmmmk

mk

mtCtCC

mmmmmmkk

CCtt11211

2

11

223

2)2(1

11 ;

111

11)2(

1112

11

223

22218

mk

mk

mkk

mk

mCtCCt

11

11

2

11

223

2)2(1

)2(1

2

112mmm

kkkmmmm

CCttt

mmm112

;

2219

mk

mt ;

2 22

2 22 2 220 11 11 111 3

1 1 1m m m mm

k k kk kt C C t C

11

11

2

11

223

2)2(1

)2(3

2

112mmm

kkkmmmm

CCttt

mmm112

;

2

11

2)2(3

222)2(2

2

211

mj

mj

mmjj

mj

mCrr

71

2)2(1

222

2

11211

2)2(111

11jj

mj

mmmmj

mrrCrC

mmmmmmj

CCr11211

2

11

2)2(3

11 ;

22

222 mm

jm

;

2

11

2)2(1

222)2(2

2

231

mj

mj

mmjj

mj

mCrr

2)2(1

222

2

11211

2)2(311

11jj

mj

mmmmj

mrrCrC

mmmmmmj

CCr11211

2

11

2)2(3

11 ;

mmmmj

mmj

mmCrCC

11211

2)2(111

2

1124111

mmmmmj

mmj

mCrCC 111211

2)2(311

2

11 111

mmmmmmjj

CCrr11211

2

11

2)2(3

2)2(1

11 ;

dff 1102

1;

dff kk cos1

11 ;

dkk sin1

11 ;

dff 2202

1;

dff jj cos1

22 ;

dff 3302

1;

dff kk cos1

33 ;

2

04

240

1dff ;

2

024

24 cos

2dff jj ;

72

dff 5502

1;

dff jj cos1

55 ;

dff 6602

1;

dff kk cos1

66 ;

2

027

27 cos

2dff jj ;

dff jj cos1

88 .

Для определения введенных вспомогательных функций, примем во

внимание неучтенные граничные условия и условия сопряжения, а имен-но:

yUyU ,0,2

21

2 ,

0ˆ

21

xx,

yy ,0,2

111

11 ,

qy ,22

11,

qx ,122

, qx ,ˆ2

22,

0222

T

y,

011

1

T

x,

22 2

0ˆ

Tx

.

Сведем исследуемую задачу к решению следующей системы интег-

ральных уравнений относительно функций yf1 , xf2 , yf3 , 4 ˆf x ,

yf5 , yf6 , 7 ˆf x , )(8 xf , y1 :

8

111

rkrkrk QfLM ,

где 7,...,2,1k ; 8,...,2,1r .

011

6 Tf ;

0227 Tf ,

011

8 Tf ,

где mmm aT1 ;

1, 2m .

Выражения (3.12)–(3.13) образуют СИУ. В данной системе в уравне-

ниях (3.13) номер уравнения совпадает с номером граничного условия в формулах (3.10), а уравнения (3.13) соответствуют граничным условиям

(3.11), а соответствущие операторы получаются из формул для волновых

характеристик.

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

73

Например, для первых двух уравнений имеем:

2

22

214

12

1142

21

213

1

11

1131111 cthcthcthcth(

kkkk

kk ttttffL

1 1 2 2 1215 153 3

cth cth sink k k

t t y

;

1 1 11

1 2 31 1 1 112 2 2 2021 22 23 11 1 11

11 2 3

sh sh shsin

sinsh

;

sh sh

j j j

jj

j j j

r y r y r yk y

L f f f

kr r r

12

2

23

232

2322

222

2221

212

214414 cossh

sh

sh

sh

sh

sh

jj

j

j

j

j

j

jj

r

yr

r

yr

r

yrffL

2

1

21

40sin

sin

k

ykf ;

1

23

217

13

117

21

216

11

1165515 cthcthcthcth

kkkkkk ttttffL

yk1

sin ;

12

2

23

232

2421

212

247717 cossh

sh

sh

sh

jj

j

j

j

jj

r

yr

r

yrffL ;

11

3

131

2411

111

247818sh

sh

sh

sh

j j

j

j

jj

r

yr

r

yrffL ;

12

1192

21

218

1

11

1181111 cthcthcth(

kkk

kk tttM

yttt kkkksincthcthcth 2

23

220

13

1202

22

219

;

1

23

226

13

126

21

225

11

1251121 cthcthcthcth

kkkkkk ttttffL

yk1

cos ;

74

12

3

231

3021

212

292222sh

ch

sh

ch

j j

j

j

jj

r

yr

r

yrffL ;

12

2

23

232

3021

212

294424 cossh

ch

sh

ch

jj

j

j

j

jj

r

yr

r

yrffL ;

1

13

128

21

227

11

1275121 cthcthcth

kkkkk tttffL

1

110012

3228

chcoscth kfytkk

;

2

11

21

201

22

23

232

3221

212

317727sin

coscos

sh

ch

sh

ch

kk

ykf

r

yr

r

yrffL

jj

j

j

j

jj ;

1

11

11

1101

23

231

3221

211

318828sin

cos

sh

ch

sh

ch

kk

ykf

r

yr

r

yrffL

j j

j

j

jj ;

1

13

1342

21

233

11

1331121 cthcthcth

kkkkk tttM

ytkk1

22

3234

coscth .

3.4 Асимптотический анализ поведения вспомогательных

функций в окрестности сингулярных точек границы составного

сечения

Проведем исследование решения СИУ в угловых точках областей mG . В рассматриваемой задаче такими точками являются угловые точки

стыка областей (А) и внешняя угловая точка сечения (В). Это позволит

определить асимптотику коэффициентов Фурье неизвестных функций в

случае, когда k и j .

Соответственно алгоритму, приведенному в гл. 2 для однородной

области, предположим, что функции yk1 , yf k5 , 7 ˆjf x , )(8 xf j

имеют особенность в угловой точке стыка областей ,A , т. е.

111

A , ; 155

AFf , ;

(3.14)

75

177

AFf , ξ 0 ; 188

AFf , .

Аналогичными будут функции yf k6 , 7 ˆjf x в окрестности угло-

вой точки ,2B области 2G :

166

BFf , ; 1277

BFf , 2 .

Функции, непрерывные в своих областях определения, производные

которых имеют разрыв в угловых точках, в окрестности точки стыка обла-

стей ,A будут yf k1 , xf j2 , 4 ˆkf x , т. е.

111

AFf , если ; 122

AFf , если ;

144

AFf , если 0 .

В окрестности точки ,2B области 2G , такими будут yf k3 ,

4 ˆkf x , т. е.

133

BFf ; , 1244

BFf ; 2 ,

где ,,, − параметры локальной особенности (ПЛО) по напря-

жениям и температуре соответственно, характеризующие особенности

функций yf1 , xf2 , yf3 , 4 ˆf x , yf5 , yf6 , 7 ˆf x , )(8 xf , y1 , а

ABAA FFFF 8721 ,,...,, − произвольные постоянные.

Определяем асимптотику коэффициентов Фурье функций в окре-

стности точек A и B . Можно показать, что когда jk , :

1111 kk ;

11111

kk Ff ; 111

22

jj Ff ;

11133

kk Ff ;

2

121

4 4 2j jf F

;

1212

14

04 1

j

jj Ff ;

1155 kk Ff ;

2166 kk Ff ;

21277

2jj Ff ;

212

17

07 1 j

jj Ff ;

1188 jj Ff ,

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)

(3.19)

76

где 111 2 A ;

111 2 AFF ;

122 2 AFF ;

133 2 BFF ;

144 2 AFF ;

144 2 BFF ;

155 2 AFF ;

166 2 BFF ;

177 2 AFF ;

177 2 BFF ;

188 2 AFF ,

где x − гамма-функция;

2sin1 .

Если подставить формулы (3.15)–(3.18) в выражения для линейных

операторов (3.14) системы интегральных уравнений, получим возмож-

ность исследовать асимптотическое поведение левых частей системы. Та-

ким образом, для определения характера особенности вспомогательных

функций в окрестности точки A получим следующие уравнения:

yUyU ,0,2

21

2 ,

1 2

ˆδ 0x x ,

yy ,0,2

111

11 если

y ;

qx ,122

011

8 Tf , если x ;

qx ,ˆ2

22,

0227 Tf , если ˆ 0x .

В окрестности точки B имеем следующие уравнения:

qy ,22

11,

022

6 Tf , если y ;

qx ,ˆ2

22,

022

7 Tf , если 2ˆ δx .

Дальнейший асимптотический анализ рассмотрим детальнее на при-мере первого граничного условия. Найдем следующие асимптотики:

(3.20)

(3.21)

77

2

22

142

12

131

3115

12

114

11

113

cthcthcthcthcthkkkkk

ttttt

211

111

23

215

11cth CCtk

;

y

j

j

j

j

j

j jer

yr

r

yr

r

yr 1

13

131

2312

121

2211

111

21sh

sh

sh

sh

sh

sh

111

1111 Cy j .

Учитывая, что

mmmmy

j

jCye

r

yrj

2

212

21111

11

214

11

sh

sh 2

mj

mmmCS

112

11 ;

22

12

12

21sh

sh 2

jmy

j

jye

r

yrj ;

212

21113

13

214

11

sh

sh 2mmmy

j

jCye

r

yrj

mj

mmmmCS

112

112 ;

y

j

j

j

j

j

j jer

yr

r

yr

r

yr 2

23

232

2322

222

2221

212

21sh

sh

sh

sh

sh

sh

211

2111 Cy j ;

2

32

171

3117

21

216

11

116

cthcthcthcthkkkk

tttt

211

21

111

112

221

CC

k

;

211

21

223

232

2421

212

242

1

sh

sh

sh

sh 2

Cye

r

yr

r

yr

j

y

j

j

j

j j ;

78

111

11

113

131

2411

111

242

1

sh

sh

sh

sh 1

Cye

r

yr

r

yr

j

y

j

j

j

j j ;

22

22

191

21192

21

218

11

118

cthcthcthcthkkkk

tttt

211

211

12211

211

22

3220

13

120

2

1

2

11cthcth

C

Cr

C

Ctt

kkk

.

Подставляем асимптотические выражения для коэффициентов Фурье вспомогательных функций (3.19) в уравнения (3.20) и (3.21). После

суммирования рядов, учитывая асимптотическую значимость неизвестных

функций, для соответствующих точек получим следующую однородную

систему алгебраических уравнений для определения ПЛО по напряжени-

ям и температуре:

022

2sin2

2sin 421

22

11

221

1112

FrnFnFnrnm ;

22

11121

21112

111

12122

sin22

sin nFnFmnrn

04 F ;

02

sin22 211

11

FFn ;

02

sin22 41112

12

FFrn ;

0222

cos4 785

FFF ; 02

sin7

F ; 02

sin8

F ;

02

sin 43

FF ; 02

sin 43

FF ;

02

sin6

F ; 02

sin7

F .

Здесь были использованы обозначения:

1211

111112 CCm ,

m

mm

C

Cn

11

111

,

m

mm

C

Cn

11

1111

1 .

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

79

3.5 Характеристическое уравнение для показателей локальных

особенностей волнового поля в сингулярных точках области

Особенность системы (3.22)–(3.25) состоит в том, что она распадае-

тся на четыре части. Первые четыре уравнения, объединенных формулами

(3.22), содержат неизвестные 1 , 1F , 2F , 4F . Они определяют значение

− ПЛО по напряжениям в точке A . Пятое, шестое и седьмое уравнения

(3.23) содержат неизвестные 5F , 7F , 8F и определяют значение − ПЛО

по температуре в точке A . Уравнения (3.24) и (3.25) содержат неизве-

стные 3F , 4F и 6F , 7F и определяют, соответственно, особенность во

внешней угловой точке B − ПЛО по напряжениям и температуре и .

При условии существования нетривиального решения уравнений

(3.22) и (3.23) данной системы получим характеристическое уравнение

для определения параметра :

02sin 22 .

Характеристическое уравнение (3.26) совпадает с соответствующим

уравнением для однородной области, полученным в гл. 2, имеет один дей-

ствительный корень 10 и множество комплексных корней

kkk i [43, 47]. Необходимо учесть лишь те комплексные корни,

для которых Re 1k .

Уравнения (3.23) и (3.25) системы дают основание говорить, что

температура не имеет особенности в угловых и внутренних точках обла-

сти, поскольку из этих уравнений следует, что неизвестные 5F , 7F , 8F и

6F , 7F равны нулю.

ПЛО по напряжениям, характеризующий характер разрывов вол-

новых характеристик во внутренней угловой точке A не зависит от часто-

ты и геометрических параметров сечения ( 2, ) и определяется только

значениями упругих констант. Данный параметр может быть определен из

условия существования нетривиального решения системы (3.22). Эта си-

стема является симметричной относительно упругих параметров областей mG :

0,,,,, 212211 r .

При определенных соотношениях термоупругих свойств материалов стыкуемых областей, уравнение (3.27) имеет вещественный корень

10 , что характеризует возникновение локальных особенностей в

значениях напряжений в точке A .

Применим для решения СИУ (3.12, 3.13) метод Бубнова – Галеркина,

учитывая при выборе координатных функций характер особенностей ре-

(3.26)

(3.27)

80

шения (3.14). В результате приходим к бесконечной системе алгебраиче-

ских уравнений с известной асимптотикой неизвестных, которая опреде-

ляется корнями уравнений (3.26, 3.27). Приравнивая определитель этой

системы к нулю, получим частотное уравнение для определения значений

РЧ, что дает возможность численно исследовать и собственные формы ко-

лебаний. Следует отметить, что если стоит задача исследования только хара-

ктера особенности напряженного состояния в окрестности точек A и B , а

не во всей области сечения в целом, то нет необходимости строить реше-

ния для конечных прямоугольных областей и решать краевую задачу (3.1,

3.2). Используя методы выделения особенностей [67], можно понизить

размерность исходной задачи и определить параметры, характеризующие

особенность из соответствующих граничных условий.

Предлагаемый численно-аналитический метод решения достаточно эффективен и позволяет после выделения особенностей решения в особых

точках границы построить простой алгоритм численного исследования

собственных частот и форм колебаний областей рассматриваемой геоме-

трии и неоднородности. В его рамках возможно рассмотрение волновых

полей в неоднородных многосвязных областях и задач о кинематическом

возбуждении колебаний.

3.6 Численная реализация метода Бубнова – Галеркина и

сравнение с результатами МКЭ

Применяем для решения СИУ (3.12, 3.13) метод Бубнова – Галеркина.

Для этого переразлагаем гиперболические и тригонометрические фун-

кции, входящие в выражения для операторов krk LM 1 из этой системы, по

функциям yk1

cos , yk1

sin , xj1

cos , 22

ˆcos xj .

Из граничных условий (3.10, 3.11) получим бесконечную систему алге-

браических уравнений для определения коэффициентов Фурье kf1 , jf2 ,

3kf , jf4 , kf5 , kf6 , 7 jf , jf8 , 10f ,…, k1 .

Проведенный асимптотический анализ позволяет свести эту систему

к конечной, поскольку при больших j и k можно заменить коэффициен-

ты Фурье их асимптотикой, определяемой значениями ПЛО волнового

поля в точках A и B в соответствии с формулами (3.14).

После нахождения неизвестных вспомогательных функций 1f ,

2f ,…, 1 в СИУ и ортогонализации невязки относительно систем

функций yk1

cos , yk1

sin , xj1

cos , 22

ˆcos xj , по-

лучаем систему линейных алгебраических уравнений для определения не-

81

известных коэффициентов, которая после вычисления бесконечных сумм

становится конечной. Определение неизвестных коэффициентов для

вспомогательных функций позволяет по формулам (3.6, 3.7) вычислить

для конкретных значений частотного параметра все характеристики вол-

нового поля.

Таким образом, предлагаемый численно-аналитический метод реше-ния позволяет построить простой алгоритм численного исследования ре-

зонансных частот (РЧ) и форм колебаний областей рассматриваемой гео-

метрии и неоднородности. В его рамках возможно рассмотрение волновых

полей как неоднородных многосвязных областей, так и задач о кинемати-

ческом возбуждении колебаний.

Определение ПЛО в угловых точках сечения областей дает возмож-

ность прогнозировать интенсивность ЛКН в этих проблемных зонах и

применить критерии прочности, принимая максимальные напряжения именно в этих областях с учетом ПЛО.

Численное исследование полученных математических моделей реа-

лизовано для призматической детали, сечение которой содержит 3 прямо-

угольных, жестко соединенных между собой области. Геометрию сечения

характеризуют параметры 21 , 17,02 . Каждая из областей )(mG

( 2,1m ) занята однородным и изотропным упругим/термоупругим мате-

риалом, обладающим своим набором физических характеристик, т. е. ма-

териал пристыкованной области отличен от материала соседней области сечения. В таблице 3.1 приведены некоторые результаты численного ис-

следования резонансных частот для составного упругого и термоупругого

сечения численным методом Бубнова – Галеркина. Представлены семь

собственных частот двухслойной прямоугольной области с различными

комбинациями материалов. Интерес для исследования представляют ча-

стоты с номерами 4–10.

Таблица 3.1 – Резонансные частоты для неоднородного прямоугольника

(метод Бубнова – Галеркина)

Сочетание

материалов и вид

расчета

Собственные частоты, Гц

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8

Pb-St-Pb (упругий

расчет) 866 1341 1381 1400 1481 1690 1819

Pb-St-Pb

(термоупругий

расчет)

837,39 1340 1358 1417 1488 1793 1838

изменение, % 3,32 0,03 1,67 –1,22 –0,49 –6 –1,05

82

Продолжение таблицы 3.1

1 2 3 4 5 6 7 8

Pb-Тi-Pb (упругий

расчет) 793 1218,5 1244,2 12895 1421,6 1633,8 1762,3

Pb-Тi-Pb

(термоупругий

расчет)

780,7 1216 1260,7 1306 1434,8 1754,1 1775,3

изменение, % 1,59 0,15 –1,31 –1,29 –0,92 –7,36 –0,73

Тi-Pb-Тi

(упругий расчет) 240,9 356,7 379,3 560,7 562,7 601,8 713,4

Тi-Pb-Тi

(термоупругий

расчет)

233,8 373,9 399,6 564,4 630,4 694,2 726,2

изменение, % 3,02 –4,60 –5,10 –0,67 –10,73 –13,33 –1,76

Дополнительно задача была решена методом конечных элементов

(таблица 3.2) с помощью универсального расчетного комплекса ANSYS.

Для сравнительного анализа точности полученных результатов были так-

же найдены значения 7-и собственных размерных частот ( , Гц) упругого

и термоупругого сечений.

Таблица 3.2 – Резонансные частоты для неоднородного прямоугольника

(МКЭ)

Сочетание

материалов и

вид расчета

Собственные частоты, Гц

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8

Pb-St-Pb

(упругий

расчет)

845 1308 1348 1366 1445 1649 1775

Pb-St-Pb

(термоупругий

расчет)

813 1302 1319 1376 1450 1741 1785

изменение, % 3,79 0,46 2,15 –0,73 –0,35 –5,58 –0,56

Pb-Тi-Pb

(упругий

расчет)

774 1187 1230 1258 1387 1594 1711

Pb-Тi-Pb

(термоупругий

расчет)

758 1183 1208 1268 1393 1703 1732

изменение, % 2,07 0,34 1,79 –0,79 –0,43 –6,84 –1,21

83

Продолжение таблицы 3.2

1 2 3 4 5 6 7 8

Тi-Pb-Тi

(упругий

расчет)

235 348 370 547 549 587 696

Тi-Pb-Тi

(термоупругий

расчет)

227 363 388 548 612 674 705

изменение, % 3,52 –4,13 –4,64 –0,18 –10,29 –12,91 –1,28

Используя конечно-элементное решение (таблица 3.2) с достаточно

мелкой сеткой в качестве реферативного, и сравнивая его с результатами

численного метода (таблица 3.1), отметим достаточно высокую точность

численного решения, полученного прямым методом Бубнова – Галеркина (погрешность составляет в среднем 2–4%). Довольно высокая точность

обеспечивается тем, что рассмотренный метод основан на использовании

одинаковых систем базисных функций как для выбора приближенного

решения, так и для выбора весовой функции. Кроме того, согласно прин-

ципу построения аппроксимирующей функции, данный метод обеспечи-

вает выполнение всех граничных условий.

Из данных таблиц (3.1)–(3.2) следует, что значения первых частот

для упругой области преобладают над соответствующими значениями термоупругой в средем на 0,5–3,5 %.

На более высоких частотах 7–10, в том числе частотах краевого ре-

зонанса, значения термоупругих частот больше соответствующих упругих

на 0,5–13 %. Причем максимальное различие наблюдается именно на ча-

стотах краевого резонанса 8–9 на 6–13 %. Данный факт объясняется тем,

что в рассматриваемой задаче температурные волны появляются исклю-

чительно за счет эффекта связанности, который заметен тем сильнее, чем выше номер частоты .

С ростом частоты усиливается затухание упругих волн, при этом

максимальное значение амплитуд тепловых волн увеличивается, а рассто-

яние, на которое они проникают в среду, уменьшается. Этим же объясня-

ется тот факт, что для областей, где присутствует более выраженное ра-

зличие термоупругих свойств материалов, образующих составную область

(Pb-Тi-Pb, Тi-Pb-Тi), преобладание значений термоупругих частот более

выражено. Кроме того, чем большую площадь занимает материал с более высокими значениями упругих констант (в данном рассматриваемом случае

это Тi), тем ярче выражено различие значений частот рассчитанных с учетом

температурного поля и соответствующих значений частот для упругой обла-

сти. Так, на частотах краевого резонанса это различие достигает 10–13 %.

84

В целом, как показывают результаты, температурный фактор не ока-

зывает значимого влияния на резонансные частоты, однако при опреде-

ленном сочетании материалов составной области и ее геометрических па-

раметров, наличие температурного фактора способствует возрастанию

значений частот краевого резонанса на 10–13 %, что может оказаться по-

лезным при прогнозировании интенсивности ЛКН в проблемных зонах сечения.

3.7 Выводы к главе 3

Дальнейшим направлением развития данной проблемы может быть

исследование ПЛО для анизотропных составных деталей, что, безусловно,

повысит уровень практического применения предложенной методики ра-

счета. Перспективным должен быть и анализ распределения внутренней

энергии по области сечения с учетом ЛКН в окрестности нерегулярных

точек. Для решения задач расчета НДС при вибрационном нагружении

термоупругих призматических деталей с однородным и кусочно-однород-

ным составным сечением разработан метод качественного анализа и чис-

ленно-аналитического решения соответствующих краевых задач. Как по-

казали результаты исследования, сложность формы исследуемых областей

(геометрическая неоднородность), связанность полей деформации и тем-

пературы вносят дополнительные математические трудности в расчет распределения напряжений в твердом термоупругом неоднородном теле с

учетом ЛКН в окрестности внутренних и внешних границ области. Одна-

ко, предложенный метод позволяет свести решение исходной граничной

задачи к решению СИУ относительно дополнительных функций, фигури-

рующих в формулировке специально подобранной вспомогательной крае-

вой задачи, допускающей аналитическое решение. В набор вспомогатель-

ных функций входят и температурные характеристики теплового потока

на внешней границе области. Асимптотический анализ поведения решения СИУ в сингулярных

точках сечения детали позволяет оптимальным образом подобрать коор-

динатные функции при решении СИУ методом Бубнова – Галеркина и

свести задачу к бесконечной системе алгебраических уравнений относи-

тельно коэффициентов Фурье дополнительных функций с известной аси-

мптотикой их поведения на бесконечности. Это позволяет провести ре-

дукцию бесконечной системы не механически, а с учетом найденной аси-

мптотики неизвестных. При этом координатные функции для механиче-ских и температурных характеристик волнового поля различны.

Разработанный математический метод анализа волновых полей в ку-

сочно-однородных термоупругих средах на этапе определения асимптоти-

85

ческого поведения НДС в нерегулярных точках составного сечения, как и

ранее, предполагает введение важных параметров – ПЛО по напряжениям.

В задаче гармонических колебаний термоупругих тел с сингулярной гра-

ницей таких параметров два: для механических и температурных волно-

вых характеристик.

Проведеный анализ влияния температурного поля на спектр резо-нансных частот для однородной и кусочно-неоднородной прямоугольной

области свидетельствует, о том что это влияние незначительно для всех

рассматриваемых сочетаний геометрических, упругих и температурных

параметров.

Таким образом, метод суперпозиции в данной интерпретации можно

рассматривать как общий методологический подход, расширяющий во-

зможности исследований НДС составных конструкций, что подтвержда-

ется теоретико-экспериментальным анализом и приведенным решением рассматриваемой связанной задачи термоупругости для кусочно-неодно-

родных тел в окрестности нерегулярных точек или линий границы обла-

сти.

86

ГЛАВА 4

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК ВОЛНОВОГО ПОЛЯ

КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНЫХ ТЕРМОУПРУГИХ ОБЛАСТЕЙ

4.1 Численный анализ зависимости ПЛО от термоупругих

параметров среды

Проведение численного исследования является неотъемлемой ча-стью общего аналитического исследования динамической прочности не-

однородных термоупругих областей с определением характера динамиче-

ского НДС в окрестности сингулярных угловых точек сечения. Именно

численное исследование позволяет в достаточной мере подтвердить и

обобщить уже полученные ранее результаты.

В рассматриваемых задачах установившихся колебаний кусочно-

неоднородных областей на величину РЧ и волновые характеристики ока-

зывает влияние большое количество параметров. Важное значение играет соотношение термоупругих параметров стыкуемых сред.

Поскольку исследовать влияние указанных параметров на все хара-

ктеристики волнового поля не представляется возможным, основной це-

лью численного анализа поставлена оценка влияния этих параметров на

величину краевых эффектов, возникающих в опасных зонах сечения при-

змы, какими можно считать окрестности внешних угловых точек и границ

раздела областей. Это обусловлено практической значимостью учета кра-евых эффектов в прочностных расчетах.

Определение ПЛО по напряжениям играет первоочередную роль в

прочностном расчете, поскольку именно он определяет в конечном счете

интенсивность ЛКН в сингулярной точке стыка областей ),( A .

Вопросам изучения ПЛО при сопряжении нескольких разнородных

термоупругих сред в статических задачах посвящено достаточно много

работ. В большинстве работ рассматривается практически важный вопрос

зависимости ПЛО от термоупругих постоянных стыкуемых областей.

Рассмотрим анализ зависимости ПЛО от соотношения жесткостей

стыкуемых сред. На рисунке 4.1 представлены графики этой зависимости

для случая, когда в качестве материала внутренней области принимались

сталь, свинец и вольфрам. В качестве основных параметров выберем от-ношения:

)()2(2

))2(2 / ,/ St

SSt

Sr ,

где )() , StSt – модуль сдвига и коэффициент Пуассона стали.

Пунктирной линией изображены кривые, соответствующие значению

(4.1)

87

2 1,3S , штрих-пунктирной – значению 2 0,769S , сплошной – значе-

нию 12 S . Для второго и третьего случаев (материал области )1(G –

свинец или вольфрам) коэффициент Пуассона материала внешней области

принят фиксированным и равным (2) 0,29 . Сформулированные ниже

выводы будут справедливыми в случае, когда варьируются термоупругие

постоянные внутренней области.

Рисунок 4.1 – Зависимость ПЛО α=α(r2s) от жесткости наплавки

при различных материалах внутренней области (r2s=μ(2)/μ(st), ν(2)=0.29)

Таким образом, анализируя результаты численного решения уравне-

ния (3.20) и данные рисунка 4.1 можно отметить следующее:

1. Параметр существенно зависит от упругих параметров вну-

тренней области.

2. Для рассмотренных сочетаний упругих постоянных стыкуемых

областей не получено комплексных корней уравнения (3.20) с положи-тельной действительной частью меньшей единицы.

3. Значение 1 является корнем уравнения (3.20) при любых со-

четаниях материалов стыкуемых областей. Однако для большинства соче-

таний этот корень получается вторым по величине положительным кор-

нем этого уравнения.

4. При сопряжении областей, изготовленных из одинаковых мате-

риалов, локальная особенность по напряжениям отсутствует и значение ПЛО всегда равно единице.

5. При некоторых значениях параметра Sr2 особенность исчезает

и при сопряжении разных материалов, но наименьших положительных

корней, больших единицы, не возникает ни для каких сочетаний материа-лов.

88

6. Размеры диапазона изменения параметра Sr2 , соответствующие

значению 1 , существенно зависят от упругих постоянных внутренней области. Для стали это значение достигается при значениях

20,60 1,75Sr , для свинца – при 20,074 0,081Sr , для вольфрама –

при 21,82 1,93Sr . Следовательно, интенсивность ЛКН в особой точке

на стыке двух сред зависит не только от близости значений упругих по-

стоянных стыкуемых областей, но и от типа конкретных зафиксированных

материалов одной из областей. Таким образом, выбор упругих параметров

наплавок должным образом позволит минимизировать ЛКН в исследуе-

мой точке.

7. Варьирование значения коэффициента Пуассона материала

внешней области (параметра S2 ) оказывает незначительное влияние на

величину ПЛО практически при любых соотношениях модулей сдвига

стыкуемых областей. Анализ рисунка 1.4 позволяет утверждать, что до

области изменения параметра Sr2 , соответствующей значению 1 , уве-

личение значения коэффициента Пуассона материала внешней области

несколько уменьшает значение ПЛО и наоборот. Это изменение ПЛО

наиболее существенно при малых значениях параметра Sr2 . Так, при

001,02 Sr значение ПЛО 719,0 при 12 S . При том же значении

параметра Sr2 , но при 2 1,3S , ПЛО 665,0 . Уменьшение значения

параметра S2 увеличивает значение ПЛО: при 001,0 ,769,0 22S Sr

имеем 765,0 . При увеличении значения параметра Sr2 изменения в

величине ПЛО, вносимые варьированием значения )2( , уменьшаются. В

той области изменения параметра Sr2 , которой соответствует максималь-

ное значение 1 , изменение значения )2( не является существенным.

При дальнейшем увеличении параметра Sr2 увеличение параметра S2

уже увеличивает значение ПЛО, однако этим фактом можно пренебречь,

поскольку это увеличение имеет порядок 310 и на рисунке 4.1 в этой об-

ласти изменения параметра Sr2 все кривые сливаются.

8. При достаточно больших и малых значениях модуля сдвига

наплавок значение ПЛО стаблизируется, стремясь к определенному значению.

Исследуем асимптотику решения разрешающего уравнения (3.20) по

параметру 121 r . Переобозначая 0 , перепишем его в виде

2 2 2 (1) 2 (1) 20 0 0 0(sin ( / 2) )( (3 4 )sin ( / 2) 4(1 ) ) 0.

Для исследования представляют интерес корни второго сомножите-

ля в уравнении (2.58). Они будут определяться только значением коэффи-

(4.2)

89

циента Пуассона внутренней области. Для всех материалов корни этого

сомножителя удовлетворяют неравенству 10 0 . В таблице 4.2 приве-

дены значения 0 для различных материалов внутренней области сече-

ния.

Таким образом, при очень больших значениях модуля сдвига напла-

вок мы имеем возможность изменения термоупругих свойств, а точнее ко-эффициента Пуассона материала внутренней области, достичь максима-

льно возможного значения ПЛО.

Таблица 4.2 – Асимптотические значения ПЛО, соответствующие

бесконечно большому значению модуля сдвига внешней области сечения

Al,Mg W,St Au Cu Mo Ni Sn,Br Pt Pb Ag Ti Zn

0,680 0,718 0,638 0,692 0,781 0,705 0,692 0,656 0,633 0,662 0,711 0,857

Рисунок 4.2 – Зависимость асимптотического значения ПЛО

от коэффициента Пуассона внутренней области (μ(2)→)

На рисунке 4.2 приведен график зависимости )( )1(00 , кото-

рый можно использовать при выборе значения )1( . Полученная зависи-

мость имеет практически линейный характер. Уменьшение значения ко-

эффициента Пуассона материала внутренней области вызывает рост асим-

птотического значения ПЛО 0 . При стремлении значения параметра Sr2

к нулю, асимптотическое значение ПЛО будет определяться уже коэффи-

циентом Пуассона внешней области. Так, например, для сочетания мате-

риалов Pb-G(2)

при стремлении значения параметра Sr2 к нулю и 12 S

имеем 0,718 , что соответствует значению 0 , когда материал вне-

шней области – сталь.

Рассмотрим также анализ зависимости ПЛО от соотношения ко-эффициентов Пуассона стыкуемых областей при фиксированных модулях

сдвига.

90

Рисунок 4.3 – Зависимость ПЛО

от соотношения коэффициентов Пуассона стыкуемых областей

На рисунке 4.3 представлена указанная зависимость для некоторых значений упругих характеристик стыкуемых областей. В качестве значе-

ния модуля сдвига внешней области принято значение модуля сдвига сви-

нца. Кривой (1) соответствует случай, когда материал области 1G –

сталь, а кривой (2) – вольфрам. Изменение значения отношения коэффи-

циентов Пуассона определяется, как и ранее, параметром S2 .

Таким образом, происходит уменьшение параметра особенности при

увеличении коэффициента Пуассона материала наплавок, а также при уве-

личении жесткостного параметра Sr2 .

4.2 Зависимость спектра резонансных частот от некоторых

параметров сечения кусочно-неоднородной термоупругой области

Исследование волновых эффектов в широком диапазоне термомеха-

нических параметров позволяет описывать динамические явления термо-

упругости в неоднородных областях.

При исследовании свойств колебательных систем в виде прямо-угольника следует произвести некоторую классификацию представляю-

щих интерес зависимостей влияния тех или иных геометрических пара-

метров и физических свойств области на процесс возникновения связан-

ных термомеханических полей и, как следствие, термоупругого деформи-

рования тела.

На рисунках 4.4–4.11 представлены спектры собственных частот для

продольных колебаний неоднородных прямоугольных областей. Рассмо-

трена зависимость значений частот краевого резонанса от параметра

baL , 25,3;1L , определяющего изменение длины прямоугольника,

при сохранении постоянной общей площади исследуемой неоднородной

термоупругой области (рисунок 3.1).

91

Параметр 2 ( 1, 2ac ) определяет «ширину наплавки» и,

как следствие, соотношение площадей занимаемых областями 1G и 2G . Проведем сравнительный анализ зависимости спектра собственных частот

от внешних размеров области в указанных границах при различных значе-

ниях данного параметра: 9,02 («широкая» наплавка), 5,02 («сре-

дняя» наплавка), 17,02 («узкая» наплавка).

Области 1G и 2G на рисунках 4.4–4.11 представлены материала-ми с ярко выраженным различием физико-химических и, как следствие,

термоупругих свойств.

На каждой из представленных на рисунок 4.4-4.11 графических за-

висимостей в окрестности определенной частоты наблюдаются почти го-

ризонтальные участки, так называемые «плато». Это свидетельствует о

том, что при существенном изменении длины прямоугольника одна из

собственных частот не меняется. Появление плато на спектре резонан-сных частот и наличие концентрации волновых движений на внешней

границе области свидетельствует о возникновении явления краевого резо-

нанса [66]. Частоты, в окрестности которых расположено плато, можно

считать частотами краевого резонанса.

Следует отметить, что для 9,02 (Pb, )2(G )-(Ti, )1(G )-(Pb, )2(G )

(рисунок 4.4) и 17,02 (Ti, )2(G )-(Pb, )1(G )-(Ti, )2(G ) (рисунок 4.5) такие

участки наблюдаются в окрестности частотного значения 067,0 при

любом L из представленного диапазона. В этом случае в рассматривае-

мых областях преобладающим материалом является свинец (Pb), что с

учетом указанных вариантов ширины наплавки и сочетания материалов

приближает область к однородной по ее физическим характеристикам в

целом.

Так, в подтверждение сказанного, на рисунке 4.6 изображен спектр

собственных частот для однородной термоупругой области (Pb).

Частотой краевого резонанса можно считать 08,0 . Очевидно, что

данные значения частот достаточно близки.

92

Рисунок 4.4 – Зависимость спектра собственных частот от параметра L

для области (Pb-Ti-Pb), 9,02

Рисунок 4.5 – Зависимость спектра собственных частот от параметра L

для области (Ti-Pb-Ti), 17,02

Рисунок 4.6 – Зависимость спектра собственных частот от параметра L

для однородной области, (Pb)

93

Аналогично, для областей с параметрами 9,02 (Ti, )2(G )-

(Pb, )1(G )-(Ti, )2(G ) и 17,02 (Pb, )2(G )-(Ti, )1(G )-(Pb, )2(G ) такие участ-

ки наблюдаются в окрестности частоты 25,0 . Преобладающим в дан-

ном случае материалом является (Ti).

Для однородной (Ti) области, согласно рисунка 4.9, таким значением

частоты будет 25,0 , которое приближается к полученным значениям

для областей, «стремящихся» к однородным на рисунках 4.7–4.8.

Рисунок 4.7 – Зависимость спектра собственных частот от параметра L

для области (Ti-Pb-Ti), 9,02

Рисунок 4.8 – Зависимость спектра собственных частот от параметра L

для области (Pb-Ti-Pb), 17,02

94

Рисунок 4.9 – Зависимость спектра собственных частот

от параметра L для однородной области, (Ti)

Для 5,02 , т. е. области с наиболее ярко выраженной неодноро-

дностью из рассматриваемых, а также для представленных сочетаний ма-

териалов, частотным значением, в окрестности которого расположено

плато, будет 95,0 . Для данного значения параметра 2 участок плато

начинает формироваться на графике (рисунки 4.10–4.11) только при

75,1L .

Рисунок 4.10 – Зависимость спектра собственных частот

от параметра L для области (Ti-Pb-Ti), 5,02

95

Рисунок 4.11 – Зависимость спектра собственных частот

от параметра L для области (Pb-Ti-Pb), 5,02

Независимо от геометрических размеров прямоугольника, значения

частот, лежащие в центральных участках плато 375,1 L , заключены в

меньшем интервале (меньше разнос по вертикали спектральных кривых

краевого резонанса), чем при 75,11 L , где плато еще не полностью

сформировались, а потому частоты изменяются в большем диапазоне. Это

справедливо для любого сочетания материалов областей и значений пара-

метра 17,02 и 9,02 . Так, например, для 9,02 (Pb, )2(G )-

(Ti, )1(G )-(Pb, )2(G ) (рисунок 4.4) и 17,02 (Ti, (2)G )-(Pb, )1(G )-(Ti, )2(G )

(рисунок 4.5) таким интервалом частот будет 7,06,0 в центральном

участке плато и 9,05,0 для 75,11 L , соответственно.

Также прослеживается определенная зависимость номера частоты

краевого резонанса от параметра 2 . Так, например, для сочетания мате-

риалов (Pb, )2(G )-(Ti, )1(G )-(Pb, )2(G ) и 5,25,1 L имеем следующие ча-

стоты краевого резонанса: 17,02 ~ 6–7 частоты, 5,02 ~ 7–8 часто-

ты, 9,02 ~ 9–10 частоты. Для сочетания материалов с более «жестким»

материалом по краям (Ti, )2(G )-(Pb, )1(G )-(Ti, )2(G ) и 5,25,1 L имеем

следующие краевые частоты: 17,02 ~ 11–12 частоты, 5,02 ~ 9–10

частоты, 9,02 ~ 10–11 частоты.

Таким образом:

1. Значение частоты краевого резонанса зависит от соизмеримости

площадей, занимаемых рассматриваемыми материалами: для областей,

обладающих незначительным отличием от соответствующей геометриче-ски однородной, значения частот краевого резонанса либо совпадают, ли-

бо различаются незначительно.

96

2. Значение частоты краевого резонанса выше для области, обла-

дающей в целом более высокими значениями упругих констант (большей

общей жесткостью).

3. При увеличении L , по мере формирования плато, начиная с не-

которого значения L , частоты изменяются в меньшем диапазоне.

4. Явление краевого резонанса и сгущение собственных частот в спектре наблюдаются в области более высоких частот (8–12).

5. С увеличением параметра 2 для любых сочетаний материалов

отмечается рост номера и частоты краевого резонанса. В случае, когда об-

ласть )2(G представлена материалом с более высокими значениями упру-гих констант (Ti), соответствующие номера частот КР выше, чем в случае

)2(G – (Pb).

6. Неоднородность области способствует понижению значений ча-

стот, причем тем сильнее, чем большую площадь занимает материал с

меньшими значениями упругих констант. Рассмотрим более детально зависимости значений безразмерных ча-

стот от параметра 2 при фиксированном значении 3L , определяющего

ширину наплавки (области 2G ). Соответствующие графические зависи-мости для термоупругой области при 3L и сочетаний материалов (Pb-

St-Pb) и (St-Pb-St) представлены на рисунках 4.12–4.13.

Рисунок 4.12 – Графическая зависимость значений безразмерных частот

от параметра 2 , 3L , (Pb-St-Pb)

97

Рисунок 4.13 – Графическая зависимость значений безразмерных частот

от параметра 2 , 3L , (St-Pb-St)

При изменении параметра 2 в интервале 83,003,0 2 изменяе-

тся площадь, занимаемая областью )2(G . При 03,02 и 83,02 дан-

ная площадь будет наименьшей и наибольшей соответственно в рассмат-

риваемом интервале. Таким образом, исследуемая область будет прибли-

жаться к однородной по средним значениям физических характаристик

материалов: на рисунке 4.12 это (Pb), а на рисунке 4.13 – (St).

Согласно данным рисунков 4.12–4.13 можно сделать следующие

выводы:

1. С увеличением значения параметра 2 , значений собственных

частот изменяются прямо пропорционально изменению общей «жестко-

сти» рассматриваемой области G , так, например, с увеличением параме-

тра 2 для сочетания материалов (St-Pb-St) значения собственных частот

увеличиваются ( 16,0005,0 ), а для (Pb-St-Pb) – уменьшаются в том

же диапазоне.

2. Динамика изменения значений частот краевого резонанса для

сочетания материалов (Pb-St-Pb) наиболее выражена в достаточно не-

большом интервале 33,003,0 2 , далее с увеличением значения пара-

метра 2 собственные частоты практически не изменяются. В области (St-

Pb-St) при 33,02 (т. е. практически на всем исследуемом интервале

изменения 2 ) отмечается значительный и стабильный рост значений ча-

стот краевого резонанса и приближающихся к ним.

Ключевой вывод заключается в том, что интенсивность краевого ре-

зонанса в первую очередь зависит от величины площади, занимаемой «же-

стким» материалом, в составном сечении. Чем больше данная площадь,

98

тем выше значения частот КР, «ярче» выражены плато на частотном спек-

тре и сильнее локализация волновых движений в сингулярных точках се-

чения.

4.3 Влияние коэффициента температурного расширения на

собственные частоты исследуемой кусочно-неоднородной термоупру-

гой области

С теоретической точки зрения температурное расширение является

относительно неисследованной областью физической науки. Однако объ-

ем эмпирических данных в этой области быстро растет. Практическое

влияние изменения коэффициента расширения для однородных тел за счет

изменения температуры невелико, и для решения многих практических

задач им можно пренебречь, поскольку точные измерения показывают не-

большое изменение коэффициента расширения за счет температуры [167].

Вместе с тем, большинству материалов и инженерных конструкций в определенной мере присуща природная, конструкционная и деформацион-

ная неоднородность физико-механических свойств. Учет этих факторов при

исследовании динамических процессов деформирования обусловливает бо-

лее адекватные представления о качественном характере НДС термоупругих

тел и позволяет получить более достоверные количественные оценки. Для

неоднородных областей анализ механизмов теплового расширения и влия-

ние на них состава и структуры тела может оказать решающую роль уже на этапе проектирования изделия.

Как показывает практика, чаще всего соединяемые термоупругие

элементы имеют существенно различные коэффициенты температурного

расширения (КТР). Это рассогласование коэффициентов температурного

расширения при температурном нагружении может приводить к появле-

нию напряжения, достаточного для образования трещин вблизи границы

раздела соединяемых элементов при резких колебаниях температуры в

процессе работы узла соединения. Образование таких трещин может ока-зывать вредное воздействие на ожидаемые характеристики узла соедине-

ния, такие как прочность и срок службы. Можно считать, что коэффици-

ент температурного расширения при изменении температуры оказывает

определенное влияние на напряженное состояние структуры и, как след-

ствие, на ее прочностные характеристики [73].

Подобные задачи возникают на практике, в частности, при получении

сварных соединений разнородных материалов с различными коэффициен-

тами температурного расширения, работоспособных в условиях, для кото-рых они предназначены. В таких случаях, для обеспечения достаточного

уровня прочности, следует по возможности исключить образование в зоне

сплавления структурной и механической неоднородности либо ограничить

99

ее до такой степени, чтобы размеры (ширина) получаемых в процессе сплав-

ления прослоек были меньше критических для данных условий. В этом слу-

чае прослойка полностью вовлекается в упругую деформацию, что обеспе-

чивает более высокую прочность и надежность изделия. Поэтому целесооб-

разно проведение исследования влияния коэффициента температурного

расширения на динамику изменения собственных частот исследуемой обла-сти с учетом степени неоднородности области, т. е. геометрических разме-

ров области )2(G .

Исследуемая ниже область обладает следующими геометрическими

характеристиками: 3L , параметр 2 изменяется в интервале

9,0038,0 2 . Физические характеристики области G : (St, )1(G ) – «цен-

тральная» область и (Ti, )2(G ) – «пристыкованная» область. Коэффициент

температурного расширения ( 610 /º С) области )2(G изменяется в ин-

тервале 535,4 , при сохранении неизменными остальных свойств

материала.

Общие результаты изменения безразмерных значений собственных

частот ),( 2 , ( )st ,

где 6108,1 st /ºС – коэффициент температурного расширения

стали) отображены на рисунке 4.14.

Представляют интерес частоты 3–11, каждому номеру частоты соо-

тветствует соответствующая поверхность.

Рисунок 4.14 – Графическая зависимость изменения значений

частот от параметров 2 и )( 2G , 3L , (Ti-St-Ti)

100

Из анализа данных рисунка 4.14 можно сформулировать следующие

выводы:

1. Для значений параметра 2 приближающихся к крайним значе-

ниям рассматриваемого интервала 9,0038,0 2 , справедливы выводы

гл. 2, в которой, в частности, численно и аналитически доказано малое

влияние термоупругих свойств области на спектр РЧ, что также подтвер-ждает выводы п. 4.2 текущей главы, в котором исследовалась зависимость

спектра собственных частот от параметра 2 .

2. Аналогичная картина наблюдается и в том случае, если изменяе-

тся )(1

G (рисунок 4.15). В рассматриваемом случае 3L , параметр

34,02 , (St, )1(G ) – «центральная» область и (Pb, )2(G ) – «пристыкован-

ная» область, 0,25 2,75 . При значительном увеличении значения

частот незначительно уменьшаются. Следовательно, коэффициент линей-

ного температурного расширения не оказывает значительного влияния на собственные частоты исследуемой области.

Рисунок 4.15 – Зависимость собственных частот

термоупругой области от безразмерной величины St ,

3L , (Pb-St-Pb)

1. Однако для данного сочетания материалов исследуемой области

и значений параметра 2 , близких к середине исследуемого интервала (с

ярко выраженной неоднородностью), отмечается некоторое усиление вли-

яния )(2

G на значения собственных частот. Присутствует изменение ча-

стотных значений от и 2 , что особенно характерно для частот, приб-

лижающихся к частотам краевого резонанса. Это подтверждается данны-

ми на рисунке 4.16–4.17, где для областей с ярко выраженной неоднород-

101

ностью ( 29,02 и 34,02 ), значения частот краевого резонанса

( 98 , ) значительно превосходят соответствующие значения на краях

интервала 038,02 и 9,02 .

Рисунок 4.16 – Зависимость изменения значений

частоты 8 от параметра 2 и )( 2G , 3L , (Ti-St-Ti)

Рисунок 4.17 – Зависимость изменения значений

частоты 9 от параметра 2 и )( 2G , 3L , (Ti-St-Ti)

2. Такое незначительное влияние коэффициента температурного

расширения области 2G на спектр собственных частот области G объ-

ясняется некоторой идеализацией термоупругих свойств исследуемой об-

ласти (у области 2G изменяется только значение коэффициента ).

Данное ограничение было применено с целью определения влияния на

процесс термоупругого деформирования тела свойств материала, завися-

щих непосредственно от наличия температурного фактора. Однако в ситу-

102

ациях, приближенных к реальным, тела с более высоким коэффициентом

температурного расширения имеют, как правило, более низкий модуль

упругости. Как следствие, разница коэффициентов линейного темпера-

турного расширения материалов неоднородной области может приводить

к возникновению значительных напряжений при нагревании.

4.4 Влияние упругих параметров области с учетом температур-

ного фактора на собственные частоты исследуемой области

Для более детального исследования зависимости резонансных частот

от геометрических и термоупругих параметров области рассмотрим трех-

мерные зависимости, представленные на рисунках 4.18–4.22, которые да-

ют возможность выделить точки LE , , L, , 2,E , 2, , в которых

наблюдаются зоны нерегулярности на соответствующих поверхностях

LE , , L, , 2, E , 2, . Здесь stEEE , st ,

stE – модуль нормальной упругости стали, st – коэффициент Пуассона

стали.

Как известно, собственные частоты поперечных и продольных коле-

баний области, формирующих плато в спектре собственных частот, зави-

сят от ее размеров, плотности и модуля нормальной упругости ( E ). В

частности, существуют упрощенные инженерные зависимости между зна-

чениями собственных частот и упругими характеристиками колеблющей-ся области [109], из которых следует прямо пропорциональная зависи-

мость упругой характеристики квадрату частотного значения. Целесооб-

разно углубленное исследование зависимости значений резонансных частот

от термоупругого параметра E , отвечающего, согласно закону Гука за тер-

моупругую деформацию, и геометрического параметра L . Результаты дан-

ного исследования для области, представленной сочетанием материалов

(Ti-Pb-Ti) и фиксированных значений 1,02 и 9,02 отражены на

рисунках 4.18–4.19.

103

Рисунок 4.18 – Трехмерная зависимость ( ,E L ), (Ti-Pb-Ti), 1,02

Рисунок 4.19 – Трехмерная зависимость ( ,E L ), (Ti-Pb-Ti), 9,02

Обобщая полученные результаты, можно отметить:

1. Общим для представленных зависимостей есть наличие участ-ков разрыва градиента для каждой частоты, что хорошо согласуется со

L

E

104

спе-ктральными кривыми (линиями уровня), представленными ранее на

рисунках 4.5 и 4.7.

2. В обоих случаях для 1,02 и 9,02 присутствует увеличе-

ние частотных значений при увеличении параметра E , однако для

1,02 это увеличение является столь незначительным, что не визуали-

зируется графически. О нем можно судить лишь по полученным значени-ям частот.

3. Для 9,02 значения частот увеличиваются в 3–4 раза, что

обусловлено большей общей жесткостью области. Это видно уже на объ-

емном рисунке 4.19. Также для данной области характерна малая зависи-

мость низких частот (№ 3–5) от изменения E . 4. При увеличении параметра L отмечается уменьшение частот-

ных значений для 1,02 и 9,02 . Данные результаты и выводы под-

тверждаются [66].

Рассмотрим подобную трехмерную зависимоть L, для области,

представленной сочетанием материалов (Ti-Pb-Ti) и фиксированного зна-

чения 1,02 (рисунок 4.20).

Можно сформулировать следующие выводы:

Рисунок 4.20 – Трехмерная зависимость ,L , (Ti-Pb-Ti), 1,02

1. Для однородной области [66] частота КР существенно зависит

от коэффициента Пуассона, повышаясь с его увеличением. Однако для

рассмотренной неоднородной области частотные значения остаются прак-

105

тически неизменными (присутствует даже незначительное их уменьше-

ние), что объясняется следующим: при увеличении значения параметра

области )2(G жесткость области )2(G уменьшается, а следовательно

уменьшается и общая жесткость области G , что влечет уменьшение зна-

чений частотного спектра. Данный факт обоснован в § 4.2. 2. При увеличении параметра L отмечается общее уменьшение

частотных значений.

3. Также на участках 67,2;67,1L хорошо видны зоны скачкооб-

разного изменения частот, кардинально влияющие на распределение энер-

гии по сечению области.

4. Явление КР и сгущение собственных частот в спектре наблю-

даются в области более высоких частот.

Далее на рисунке 4.21 представлена трехмерная зависимость

2, E , для области (Ti-Pb-Ti) с фиксированным значением 3L .

Рисунок 4.21 – Трехмерная зависимость 2, E , (Ti-Pb-Ti), 3L

Можно отметить увеличение значений резонансных частот с ростом

общей жесткости области при любых значениях параметра 2 , причем с

увеличением 2 этот рост наиболее заметен, особенно для высоких ча-

стот. Это подтверждает предыдущие выводы.

Что же касается линий уровня 2, E , то здесь имеем участки за-

106

метного убывания (при малых 4,02 ) и практического постоянства при

дальнейшем увеличении 2 (рисунок 4.21).

Рисунок 4.22 – Трехмерная зависимость 2, , (Ti-Pb-Ti), 3L

Зависимость 2, для области (Ti-Pb-Ti) с фиксированным зна-

чением 3L (рисунок 4.22) показывает, что практически для всех частот

имеем поверхности близкие к плоскости. Некоторую слабую нерегуляр-ность можно отметить только для средних частот, близких или совпадаю-

щих с частотами краевого резонанса.

Исследуем зависимость значений собственных частот от модуля

сдвига центральной области 1G . Область G обладает следующими гео-

метрическими характеристиками: 3L , 038,02 . Физические характе-

ристики области G : (St, )1(G ) – «центральная» область и (Pb, )2(G ) – «при-

стыкованная» область. Модуль сдвига, ( ,н/м2) области )2(G изменяем в

интервале 116,1107,2 ee , при сохранении неизменными осталь-

ных свойств материала.

Результаты вычислений значений значимых РЧ отображены на

рисунках 4.23. Очевидно, что значения собственных частот уменьшаются

при увеличении модуля сдвига области 1G , причем на частотах краевого

резонанса и приближающихся к ним, это изменение происходит более

резко.

107

Рисунок 4.23 – Зависимость собственных частот термоупругой

области от модуля сдвига, области )1(G , (Pb-St-Pb), 3L , 038,02

Анализ влияния сочетаний материалов и размеров наплавок (область 2G ) на интенсивность тонких динамических эффектов в условиях дина-

мических и температурных нагрузок на элементы конструкций позволяет

оптимизировать их геометрические параметры сечения с целью улучше-

ния прочностных характеристик неоднородных деталей.

4.5 Распределение энергии деформации по площади термоупру-

гого неоднородного сечения на резонансных частотах

Как показывают результаты экспериментальных исследований [255],

наиболее уязвимыми в плане прочности участками составных областей

являются границы соединений составных частей области, обладающих

различными термомеханическими свойствами. Аналитические расчеты и

численное моделирование показывают, что напряжения (энергия), возни-

кающие в этих участках, напрямую зависят также и от геометрических ха-рактеристик составных частей области, а также термической нагрузки.

В качестве величины, определяющей меру повреждения (прочно-

сти), можно использовать энергию упругой (термоупругой) деформации в

материале. Считается, что минимальная энергия, обусловленная напряже-

ниями, соответствует максимальной прочности составной области. Следо-

вательно, целесообразно проведение сравнительного анализа энергетиче-

ской характеристики ( E ) средней за период, накопленной во внутренней области сечения детали, для интегрального описания влияния особен-

ностей волнового поля на вибродинамическое поведение составных дета-лей. Данная безразмерная величина вычисляется по формуле (4.3)

108

.)(2

1

)(2)(2

2)(1

)(

m G

mmm

m

dGUUE

Результаты анализа распределения средней за период энергии по

площади прямоугольника, в частности в особых областях прямоугольного

сечения деталей для разных форм колебаний, отражены в сравнительной

таблице 4.3.

Таблица 4.3 – Проявление резонанса для различных значений

параметра 2

17,02 5,02 9,02

Ti-Pb-Ti Pb-Ti-Pb Ti-Pb-Ti Pb-Ti-Pb Ti-Pb-Ti Pb-Ti-Pb

№

ГР КР ГР КР ГР КР ГР КР ГР КР ГР КР

т у т у т у т у т у т у т у т у т у т у т у т у

1 + – + – + – + – + – + – + –

2 + – + – + – + – + – + + –

3 + – + – + + – + – + – +

4 + – + – + + + + +

5 + + – + – + + + – + + +

6 + + + + + + + + –

7 + + – + – + + – + – + + + + – + –

8 + + – + – + + – + – + + –

9 + + + + + – + + – +

10 + + – + – + + + + + + +

11 + + – + + + – +

12 + – + – + + – + – + + + – + + + – + – + –

13 + – + – + + – + + – + – + – + –

14 + – + + – + – + + – + + + – + –

15 + + + – + + – + + – + –

Рассмотрены сечения с наплавками различной ширины: узкая на-

плавка при 17,02 ; средняя ширина наплавки – 5,02 ; широкая на-

плавка – 9,02 . Каждое из рассмотренных сечений представлено для

сочетания материалов Ti-Pb-Ti и Pb-Ti-Pb (сечения с «жесткими» и «мяг-кими» наплавками) при наличии и отсутствии термоупругой составляю-

(4.3)

109

щей.

На найденных 15-ти собственных частотах исследуем проявление

эффектов граничного («ГР») и краевого резонанса («КР»). Ярко выражен-

ную ЛКН отметим знаком «+» в соответствующей ячейке таблицы, слабо

выраженную ЛКН, соответственно, «+ –», при отсутствии ЛКН ячейка

таблицы остается пустой. Внешние размеры исследуемого составного се-

чения определяет параметр 25,3L .

Для проверки результатов аналитических расчетов напряженно-

деформированных состояний в неоднородных деталях (средах) наиболее приемлемыми являются численные методы, в первую очередь, метод ко-

нечных элементов, широко используемый в современных программных

пакетах анализа элементов конструкций, таких как ANSYS,

COSMOS/Design, STAR LS Dyna и т. п.

В подтверждение полученных результатов были проведены расчеты

с использованием программного комплекса ANSYS. Задачей программно-

го анализа стала проверка полученной зависимости явления граничного и

краевого резонанса от параметра 2 для различных сочетаний материалов

в упругом и термоупругом случаях. Полученные результаты представлены

на рисунках 4.24–4.38.

Основываясь на результатах проведенных аналитических и числен-ных исследований, можно сформулировать следующие выводы относи-

тельно особенностей ЛКН в сингулярных зонах составного сечения дета-

ли.

1. Наличие неоднородности в сечении резко уменьшает интенсив-

ность краевого резонанса. Это следует, как из данных таблицы 4.3, так и

из представленных на рисунках 4.24–4.38 эпюр распределения энергии по

сечению тела. Он представлен слабо только при узких «жестких» наплав-

ках и только на высоких частотах. Наличие же «мягких» наплавок резко

уменьшает интенсивность краевого резонанса при любых значениях 2 .

2. Основные признаки локализации волновых движений наблюда-

ются на меньших частотах в окрестности границы раздела сред (гранич-ный резонанс). Наиболее ярко он представлен при узких «мягких» и ши-

роких «жестких» наплавках. То есть, как было указано ранее, наличие

граничного резонанса и его интенсивность прямо пропорционально пло-

щади части сечения, занимаемого «жестким» материалом (Ti).

Сформулированные выводы подтверждаются результатами числен-

ных расчетов по МКЭ. Для сочетания материалов Ti-Pb-Ti ( 25,3L ,

17,02 ) результаты представлены на рисунках 4.24–4.26.

Исследуемые эффекты отмечены на соответствующих рисунках

«стрелкой».

110

Рисунок 4.24 – Эпюра

распределения энергии для 12-й частоты

Рисунок 4.25 – Эпюра

распределения энергии

для 13-й частоты

Рисунок 4.26 – Эпюра

распределения энергии

для 15-й частоты

В остальных случаях локализация волнового поля на границе разде-

ла сред существенна. Например, для сочетания материалов Pb-Ti-Pb

( 25,3L , 17,02 ) на рисунках 4.22–4.33 представлены эпюры распре-

деления энергии по площади составного сечения для различных частот.

Рисунок 4.27 – Эпюра распределения энергии

для 4-й частоты

Рисунок 4.28 – Эпюра

распределения энергии для 5-й частоты

Рисунок 4.29 – Эпюра

распределения энергии

для 6-й частоты

Рисунок 4.30 – Эпюра

распределения энергии

для 7-й частоты

111

Рисунок 4.31 – Эпюра

распределения энергии для 8-й частоты

Рисунок 4.32 – Эпюра распределения энергии

для 9-й частоты

Рисунок 4.33 – Эпюра

распределения энергии

для 10-й частоты

Рисунок 4.34 – Эпюра распределения энергии

для 11-й частоты

Рисунок 4.35 – Эпюра

распределения энергии

для 12-й частоты

Рисунок 4.36 – Эпюра

распределения энергии

для 13-й частоты

Рисунок 4.37 – Эпюра

распределения энергии

для 14-й частоты

Рисунок 4.38 – Эпюра распределения энергии

для 15-й частоты

3. Термоупругость «смазывает» краевой и граничный эффекты.

Отмечается гораздо меньше частот, на которых происходит локализация

исследуемых явлений. Так, например, для (Ti-Pb-Ti, 5,02 ) граничный

эффект отмечается на 14-ти частотах, а для термоупругой – на 7-ми. Ана-

логично, для упругой области (Pb-Ti-Pb, 17,02 ) краевой эффект при-

сутствует на 7-ми частотах, а для термоупругой – на 4-х.

4. Наблюдается гораздо меньшее влияние геометрии неоднородно-сти на интенсивность краевого резонанса в упругом и термоупругом ра-

счете. Локализация во внешних угловых точках и на внешней границе се-

112

чения происходит гораздо реже, чем на границе раздела сред.

5. При малых L ( L <1,5) и больших значениях L ( L >5) локализа-

ция напряжений в особых зонах сечения практически отсутствует.

4.6 Концентрация напряжений в характерных областях термо-

упругого неоднородного сечения на резонансных частотах

Аналитические расчеты и численное моделирование показывают, что распределение напряжений в неоднородном сечении подтверждает ре-

зультаты исследования распределения энергии деформации.

Рассмотрены сечения с наплавками при 17,02 для сочетания ма-

териалов Ti-Pb-Ti и Pb-Ti-Pb. Сечение представляет собой прямоугольную область G с «жесткими» («мягкими») наплавками (рисунок 3.1). На най-

денных 15-ти собственных частотах проанализируем распределение на-

пряжений и, соответственно, проявление эффектов граничного и краевого

резонанса.

На интенсивность, локализацию и, часто, на ПЛО напряжений суще-

ственное влияние оказывает сочетание материалов.

Для области с сочетанием материалов Ti-Pb-Ti (с «жесткими» на-

плавками) интенсивность напряжений гораздо выше на границах области при приближении к угловой точке В, что обосновывает выраженный крае-

вой резонанс.

Так, на рисунке 4.39 изображено рапределение напряжений x

вдоль верхней границы сечения );( x для восьмой собственной частоты

(часть области G , расположенная в 1-ой координатной четверти). Оче-

видно, что x принимает максимальное значение в угловой точке В. Кри-

выми (1) и (2) обозначены распределения напряжений x для первых соб-

ственных частот 34, . В данном случае значительного изменения по

длине сечения не наблюдается.

113

Рисунок 4.39 – Изменение значений x

для 8-й собственной частоты по длине сечения,

( 25,3L ), (Ti-Pb-Ti)

Рассматривая распределение напряжений в сечении Pb-Ti-Pb (с

«мягкими» внешними наплавками) по длине сечения, отметим, что интен-

сивность напряжений гораздо выше на границе раздела центральной

«мягкой» и внешней «жесткой» области-наплавки, особенно при прибли-

жении к точке А, что обосновывает ярко выраженный граничный резо-

нанс.

Подтверждением данного факта можно считать данные рисунков

4.40–4.41, на которых изображено распределение напряжений x вдоль

границы стыка двух различных материалов для девятой и десятой соб-

ственных частот. Очевидно, что x принимает максимальное значение в

точке А. Причем данное явление наблюдается практически на всех часто-

тах в большей или меньшей степени.

114

Рисунок 4.40 – Изменение значений x

для 9-й собственной частоты по длине сечения,

( 25,3L ), (Pb-Ti-Pb)

Рисунок 4.41 – Изменение значений x

для 10-й собственной частоты по длине сечения,

( 25,3L ), (Pb-Ti-Pb)

115

Уровень y поперечных напряжений изменяется аналогично уров-

ню продольных, однако уровень y значительно ниже уровня x на соо-

тветствующих частотах.

Можно сказать, что интенсивность локальной концентрации напря-

жений в особых точках сечения напрямую зависит от размера площади

сечения, занимаемой более «жестким» материалом. В случае, если узкие наплавки более «мягкие», то имеем признаки граничного резонанса, если

же «жесткие» – слабо выраженный краевой резонанс.

4.7 Выводы к главе 4

Таким образом, для проверки достоверности примененных в гл. 2–3

аналитических методов выполнено решение отдельных задач, имеющих

известные аналитические решения и экспериментальные результаты.

Адекватность разработанной методики и численные результаты, получен-

ные в работе с использованием построенных решений граничных задач, сопоставлены с численными результатами, полученными при помощи

МКЭ в вычислительном комплексе ANSYS.

Дополнительным контролем достоверности в каждой рассматривае-

мой задаче служила точность удовлетворения граничных условий и усло-

вий сопряжения. Можно утверждать, что влияние температурного поля на

спектр резонансных частот для кусочно-неоднородной прямоугольной об-

ласти незначительно, что и подтверждает проведеный КЭ анализ для раз-личных сочетаний геометрических, упругих и температурных параметров

двухслойной прямоугольной области: резонансные частоты, рассчитанные

с учетом и без учета температурного поля, различаются незначительно.

Предложенные методы могут найти свое применение при проведе-

нии прочностных расчетов динамического НДС элементов конструкций и

деталей машиностроения со сложными физико-механическими свой-

ствами. На основе проведенных исследований выработаны практические

рекомендации по снижению уровня термоупругих напряжений в элемен-тах машиностроительных конструкций.

В анализе прочностных характеристик учет ПЛО по напряжениям и

влиянию температурных эффектов может оказать положительное влияние

на рекомендации по подбору материалов, составляющих сечение детали, а

также оптимизировать геометрические параметры составного сечения.

Полученные решения задач динамического расчета термоупругих

неоднородных тел конечных размеров позволяют выявить основные зако-номерности динамического деформирования в различных компонентах

исследуемых конструкций, а также существенно сократить объем экспе-

риментальных исследований, необходимых для реализации отдельных

116

этапов инженерных расчетов, в частности для установления благоприят-

ных, с точки зрения снижения уровня термоупругих напряжений в эле-

ментах конструкций, численных значений различных параметров задачи и

функциональных связей между ними. Это, в свою очередь, способствует

уменьшению материальных и временных затрат на отработку изделий и

дает возможность экономически более выгодно осуществлять регулирова-ние и контроль технологических процессов проектирования на промыш-

ленных предприятиях различных отраслей. Кроме того, на основе пред-

ложенных методов исследования могут быть выявлены дополнительные

факторы, влияющие на рассматриваемые вопросы прочностных расчетов

динамического НДС элементов составных конструкций.

Дальнейшим перспективным направлением исследований может

быть обобщение полученных результатов на детали с другой формой се-

чения, а также содержащие более двух слоев неоднородности.

117

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамян Б.Л. Об одном случае плоской задачи теории упругости для

прямоугольника / Б.Л. Абрамян // Докл. АН Арм. ССР. – 1955. – Т. 21. –

№5. – С. 65–72.

2. Абрамян Б.Л. Решение плоской задачи теории упругости для

прямоугольника в перемещениях / Б.Л. Абрамян, М.М. Манукян // Докл. АН Арм.ССР. – 1959. – Т. 25 – № 4. – С. 177–184.

3. Авраменко Л. Е. Теплопроводность тонких ортотропных оболочек

под действием движущегося импульсного сосредоточенного источника

тепла / Л. Е. Авраменко, В. П. Шевченко // Пробл. обчисл. механіки і

міцності конструкцій. - 2010. - Вип. 14. - С. 3-12.

4. Акопян А.Г. О плоской деформации малонапряженного неоднородно-

составного клина / А.Г. Акопян // Изв. АН Армении. Механика. – 1994. –

Т. 47, № 5–6. – С. 42–48. 5. Акопян А.Г. О продольном сдвиге неоднородно-составного клина /

А.Г. Акопян // Изв. АН Армении. Механика. – 1994. – Т. 47, № 1–2. –

С. 21–26.

6. Аксентян О.К. Особенности напряженно-деформированного

состояния плиты в окрестности ребра / O.K. Аксентян // Прикл.

математика и механика. – 1967. – Т. 31. – Вып. 1. – С. 178–186.

7. Алтухов А.Е. Дисперсия симметричных нормальных волн в транстропной жесткозащемленной пластине / А.Е. Алтухов, Е.В. Алтухов,

Ю.В. Панченко // Математика в индустрии: труды международной конф.

(Таганрог, 29 июня – 3 июля 1998 г.). – Таганрог, 1998. – С. 18–21.

8. Алтухов Е.В. Метод однородных решений в трехмерных задачах

термоупругости для транстпортных пластин / Е.В. Алтухов //

Теоретическая и прикладная механика. – К. – 2003. – № 37. – С. 8–13, 202.

9. Алтухов Е.В. Однородные решения трехмерных задач о

распространении гармонических волн в транстропных термоупругих пластинах / Е.В. Алтухов, В.П. Шевченко // Доклады НАН Украины. –

2007. – № 4. – С. 49–53.

10. Алтухов Е.В. Статические трехмерные задачи для трансверсально-

изотропных пластин / Е. В. Алтухов // Механика композитов: в 12 т.

11. Артемьева Е.А. Анализ влияния температурных полей на характер

разрушения деталей / Е.А. Артемьева, Ю.В.Денисов // Фундаментальные

исследования. – 2013. – № 6 (Ч. 6). – С. 1329–1332.

12. Ахметов Н.К. Некоторые задачи теории упругости для сильно неоднородных слоистых пластин и оболочек / Н.К. Ахметов,

Ю.А. Устинов // Актуальнi аспекти фiзико-механiчних дослiжень.

Акустика і хвилi. – К.: Наукова думка, 2007. – Т. 2. – С. 48–61.

118

13. Бабешко М. Е. Термоупругопластическое деформирование составных

оболочек в процессах осесимметричного нагружения с учетом третьего

инварианта девиатора напряжений / М.Е. Бабешко, Ю. Н. Шевченко //

Прикладная механика: международный научный журнал. – 2010. – Т. 46,

№ 12. – С. 31–41.

14. Баженов В.А. Нелинейное деформирование и устойчивость упругих неоднородных оболочек при термосиловых загрузках / В.А. Баженов,

Н.А. Соловей // Прикладная механика. – 2009. – Т. 45.– № 9. – С. 3–40.

15. Базаренко Н.А. Взаимодействие полого цилиндра конечной длины и

плиты с цилиндрической полостью с жестким вкладышем /

Н.А. Базаренко // Прикладная математика и механика. – 2010. – Т. 74. –

Вып. 3. – С. 455–468.

16. Басов К.А. ANSYS в примерах и задачах / К.А. Басов.– М.:

Компьютер-Пресс, 2002.– 224 с. 17. Бахрамов Б.М. Об одной динамической задаче для клиновидного

упругого слоя / Б.М. Бахрамов // Известия АН Уз.СР. Сер. Физико-

математическая. – 1970.– № 2. – С. 88–89.

18. Бахрамов Б.М. Об одной задаче по определению поверхностных волн

для клиновидного слоя / Б.М. Бахрамов, И.Г. Филиппов // Труды семинара

по краевым задачам.– Казань: Казанский гос. ун-т. – 1970. – №7.

19. Белоконь A.B. Метод интегральных уравнений в задачах осе-симметричной деформации трансверсально-изотропного цилиндра /

A.B. Белоконь, Е.П. Маликов // Изв. АН Арм.ССР. Механика. – 1982. –

Т. 35, – № 2. – С. 17–26.

20. Белоконь А.В. Об одном методе решения задач теории упругости для

тел конечных размеров / А.В. Белоконь // Доклады АН СССР. – 1977. –

Т. 233. – №1. – С. 56–59.

21. Белосточный Г.Н. Геометрически нерегулярные оболочки и

пластинки под действием температурных факторов: дис… . доктора техн. наук / Г.Н. Белосточный. – М.: МАИ, 1992. – 594 с.

22. Белоцерковский С.М. Численные методы в сингулярных

интегральных уравнениях / С.М. Белоцерковский, И.К. Лифанов. – М.:

Наука. Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1985.– 321с.

23. Беркович В.Н. Некоторые математические вопросы смешанных задач

динамики неоднородной клиновидной среды / В.Н. Беркович // Изв. вузов.

Сев.-Кавказ. регион. Ест. науки.– 2005.– № 4. – С. 15–19.

24. Беркович В.Н. Нестационарная смешанная задача динамики неоднородно упругой клиновидной среды / В.Н. Беркович // Экол. вестник

научн. центров ЧЭС / КубГУ.– Краснодар, 2005.– № 3.– С. 14–20.

25. Беркович В.Н. О локализации волнового процесса в кусочно-

однородной клиновидной среде / В.Н. Беркович // Экол. вестник научн.

центров ЧЭС /Куб ГУ. – Краснодар, 2010. – № 2. – С. 26–32.

119

26. Беркович В.Н. Особенности волновых полей при колебаниях

составной клиновидной среды / В.Н. Беркович, М.М. Шварцман // Тр. XVI

Междун. конф. «Математика. Экономика. Образование.» разд.

«Математические модели в естественных науках и экологии».–

Ростов- на-Дону, 2008.– С. 81–88.

27. Беркович В.Н. Особенности концентрации напряжений в задачах теории упругости для неоднородных клиновидных сред / В.Н. Беркович

//Тр. XIII Междун. конф. «Современные проблемы механики сплошной

среды» / НИИ механики и прикл. матем. им. акад. И.И. Воровича Южного

федерального ун-та. – Ростов н/Д, 2009. –Т. 2. – С. 36–39.

28. Беркович В.Н. Особенности формирования волнового поля при

плоских установившихся колебаниях клиновидной среды / В.Н. Беркович

// Тр. XII Междун. конф.«Современые проблемы механики сплошной

среды» Т.2. / НИИ механики и прикл. матем. им. акад. И.И.Воровича Южного Федерального ун-та. – Ростов н/Д, 2008 . – С. 39–43.

29. Беркович В.Н. Плоская смешанная задача динамики упругой

клиновидной среды / В.Н. Беркович // Труды Х Междун. конф.

«Современные проблемы механики сплошной среды» Т.2 / НИИ механики

и прикл. матем. им. акад. И.И. Воровича Южного Федерального ун-та. –

Ростов н/Д, 2006. – С. 64–69.

30. Беркович В.Н. Смешанная задача динамики неоднородной клиновидной и косослоистой упругих сред / В.Н. Беркович // Тез. докл.

Всерос. конф. «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных

сред и конструкций» / Ин-т гидромеханики им. акад. М.А. Лаврентьева

СО РАН.– Новосибирск, 2006. – С. 22.

31. Беркович В.Н. Эффекты локализации волнового процесса при

колебаниях упругой клиновидной среды / В.Н. Беркович, М.М. Шварцман

// Сб. научн. тр. Морской гос. Академии им. адм. Ф.Ф. Ушакова. –2009. –

Вып. 13. – С. 307–309. 32. Биркган А.Ю. Исследование больших прогибов прямоугольной

пластинки при помощи цифровых электронных машин / А.Ю. Биркган,

A.C. Вольмир // Изв. АН СССР. –1959. – № 2.

33. Боджи Д. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух

соединенных вдоль одной из граней упругих клиньев, изготовленных из

различных материалов и имеющих произвольные углы раствора /

Д. Боджи // Труды Американского общества инженеров-механиков.

Прикладная механика. – 1971. – Т. 38. – № 2. – С. 87–96. 34. Болотин В.В. Температурное выпучивание пластин и пологих

оболочек в сверхзвуковом потоке газа / В.В. Болотин // Расчеты на

прочность. – М.: Машгиз, 1960. – Вып.6.

120

35. Бубнов В.А. Замечания к волновым уравнениям теории

теплопроводности / В.А. Бубнов // Проблема тепло- и массопереноса. –

Минск: Наука и техника, 1976. – С.168–175.

36. Буланов Г.С. Разложение особенностей напряженного состояния в ряд

по однородным решениям / Г.С. Буланов // Теоретическая и прикладная

механика. – К.-Донецк: Вища школа, 1983.– № 14.– С. 6–13. 37. Быркэ М.С. К решению плоской задачи теории упругости для

слоистого клина / М.С. Быркэ // Вопросы механики деформируемых

систем. – Кишинев, 1977. – Вып. 1. – С. 32–36.

38. Влияние температурной неоднородности на колебания охлаждаемых

монокристаллических лопаток газовых турбин / Ю.С. Воробьев,

К.Ю. Дьяконенко, С.Б. Кулишов, А.Н. Скрицкий // Вестник

двигателестроения.– 2009. – №3. – С. 140–143.

39. Вовк Л.П. Анализ локальных особенностей волнового поля в сингулярных точках составной области / Л.П. Вовк // Вісник Сумського

держ. університету. Сер. Фізика, математика, механіка. – 2003. – №10(56).

– С. 144–156.

40. Вовк Л.П. Асимптотическое исследование собственных колебаний

неоднородного прямоугольника с внутренним отверстием / Л.П. Вовк //

Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. – 2001. –

№1. – С. 29–33. 41. Вовк Л.П. Динамические задачи для тел сложной структуры /

Л.П. Вовк. – Ростов н/Д: Ростовский гос. строительный ун-т, 2003. – 169 с.

42. Вовк Л.П. Исследование динамических эффектов, возникающих при

вибронагружении стыковых паяных соединений / Л.П. Вовк // Известия

вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. – 2004. – №1. – С.

60–64.

43. Вовк Л.П. О концентрации волнового поля на границе раздела

упругих сред / Л.П. Вовк, Б.В. Соболь // Прикладная математика и механика. – 2005. – Т. 69. – Вып. 2. – С. 269–278.

44. Вовк Л.П. Обобщение метода суперпозиции в задачах о

гармонических колебаниях прямоугольных областей произвольной

кусочно-неоднородной структуры / Л.П. Вовк // Известия вузов.

Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. – 2003.– № 4.– С. 19–23.

45. Вовк Л.П. Особенности гармонических колебаний кусочно-

неоднородной прямоугольной области / Л.П. Вовк // Изв. вузов. Северо-

Кавазский регион. Естественные науки. – 2002. – №4.– С. 9–13. 46. Вовк Л.П. Особенности динамических напряжений в окрестности

точки стыка трех упругих сред/ Л.П. Вовк, Б.В. Соболь // Прикладная

математика и механика – 2005. – Т. 69. – Вып. 2.– С. 279–289.

121

47. Вовк Л.П. Особенности локальной концентрации волнового поля на

границе раздела упругих сред / Л.П. Вовк. – Донецк: Норд–Пресс, 2004. –

267с.

48. Ворович И.И. Динамические смешанные задачи теории упругости для

неклассических областей / И.И. Ворович, В.А. Бабешко. – М.: Наука, 1979.

– 319 с. 49. Ворович И.И. О поведении решений особых краевых задач теории

упругости в окрестности особых точек границы / И.И. Ворович // Тез.

докл. III Всесоюз. Съезда по теорет. и прикл. механике. – 1968.– С. 80.

50. Ганева М.С. Большие прогибы прямоугольной пластинки под

действием равномерного нормального давления при неравномерном

нагреве / М.С. Ганева // Труды Всесоюзной конференции по теории

пластин и оболочек. – Казань, 1961.

51. Гетман И. П. Математическая теория твердых нерегулярных волноводов / И. П Гетман, Ю. А. Устинов. – Ростов н/Д: Изд-во Рост. ун-та,

1993. – 140 с.

52. Гетман И.П. Аналитические и численные методы в задачах о

распространении волн в неоднородных плитах и цилиндрах из

пьезоактивных материалов / И.П. Гетман, О.Н. Лисицкий // Материалы

III Всесоюз. симпозиума «Теоретические вопросы магнитоупругости»,

Ереван, 17 – 21 сентября 1984 г. – Ереван, 1984. – C. 62–63. 53. Гетман И.П. Математическая теория нерегулярных твердых

волноводов / И.П. Гетман, Ю.А. Устинов. – Ростов н/Д: Изд–во РГУ, 1993.

– 143 с.

54. Гетман И.П. Методы расчета полей в неоднородных плитах и

цилиндрах из электроупругих материалов / И.П. Гетман, Ю.А. Устинов /

Ташкент, 24 – 30 сентября 1986 г. // Аннотированные доклады IV

Всесоюз. cъезда по теоретической и прикладной механике.– 1986. –

C. 193. 55. Гетман И.П. Об отражении изгибных волн Лэмба от границы раздела

двух состыкованных полуполос / И.П. Гетман, О.Н. Лисицкий //

Прикладная механика. – 1991. – Т. 27. – № 8. – С. 54 – 59.

56. Гетман И.П. Отражение и прохождение звуковых волн через границу

раздела двух состыкованных упругих полуполос / И.П. Гетман,

О.Н. Лисицкий // Прикладная математика и механика. – 1988. – Т. 52. –

Вып. 6. – С. 1044–1048.

57. Гетман И.П. Распространение волн в поперечно-неоднородных пьезоактивных волноводах/ И.П. Гетман, Ю.А. Устинов. // Акустический

журнал. – 1985. – Т. 31, №3. – С. 314–319.

58. Глушков Е.В. Сингулярность напряжений в многогранных угловых

точках упругих разномодульных соединений / Е.В. Глушков,

122

Н.В. Глушкова, Р. Хофф // Доклады АН СССР. – 2000. – Т. 370. – С. 181–

185.

59. Гомилко А.М. Продольные волны Лэмба в полубесконечном упругом

слое / А.М. Гомилко, Н.С. Городецкая, В.В. Мелешко // Прикладная

механика.– 1991.– 27, № 6.– С. 53–59.

60. Городецкая Н.С. Еще раз о краевом резонансе / Н.С. Городецкая // Акустичний вiсник.– 2000.– 3, № 4.– С. 35–44.

61. Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости

/ М.А. Греков.– С.-Пб.: Изд-во С.-Пб. ун-та, 2001. – 192 c.

62. Греков М.А. Сингулярные решения и интегральные уравнения

плоской задачи теории упругости // Исследования по механике

строительных конструкций и материалов / под ред. В.Д. Харлаба /

М.А. Греков. – С.-Пб.: С.-Пб. гос. архитектурно-строительный

университет, 1999. – С. 75–92. 63. Грибанов В.Ф. Связанные и динамические задачи термоупругости /

В.Ф. Грибанов, Н.Г. Паничкин. – М.: Машиностроение, 1984. – 182 с.

64. Григолюк Э.И. Оптимизация нагрева оболочек и пластин

/ Э.И. Григолюк, Я.С. Подстригач, Я.И. Бурак. – К.: Наукова думка, 1979.

– 364 с.

65. Гримадо П.Б. О температурных напряжениях в полубесконечном

теле, возникающих в результате мгновенно приложенного ступенчатого потока / П.Б. Гримадо// Прикладная механика. – 1970. – № 4.– С. 247–248.

66. Гринченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах /

В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко. – К.: Наукова думка, 1981. – 283 с.

67. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания тел

конечных размеров / В. Т. Гринченко. – К.: Наукова думка, 1978. – 264 с.

68. Гринченко В.Т. Равновесие упругих тел канонической формы

/ В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко.– К.: Наукова думка, 1985. – 280 с.

69. Гринченко В.Т., Анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах / В.Т. Гринченко, Н. С. Городецкая //

Акустичний вiсник.– 2004.– 7, № 1.– С. 30–43.

70. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О резонансе в полубесконечной

упругой полосе / В.Т. Гринченко, В.Т. Мелешко // Прикладная механика.–

1980.– 16, № 2.– С. 58–63.

71. Гузь А.Н. Цилиндрические оболочки, ослабленные отверстиями

/ А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко и др.; под общей редакцией А.Н. Гузь. – К.:

Наукова думка., 1974. –280 с. 72. Даниловская В.И. Об одной динамической задаче термоупругости

/ В.И. Даниловская // Прикладная математика и механика. – 1952. – Т.16,

№ 3. – С. 341–344.

73. Даниловская В.И. Температурное поле и температурные напряжения,

возникающие в упругом полупространстве вследствие потока лучистой

123

энергии, падающей на границу полупространства / В.И. Даниловская //

Известия АН СССР. Механика и машиностроение.– 1959.– № 3.– С. 129-132.

74. Даниловская В.И. Температурные напряжения в упругом

полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагрева его

границы / В.И. Даниловская // Прикладная математика и механика. –

1950.– Т.14, № 3.– С. 316–318. 75. Добрушкин В. А. Численно-аналитический метод решения начально-

краевых задач нестационарной теории упругости для клиновидных

областей: автореф. дис. на соиск. науч. степени доктора физ.-мат. наук :

01.02.04 / В. А. Добрушкин.– Минск, 1992.

76. Доля Е.В. Колебания и виброразогрев упруго-вязкоупругой

прямоугольной слоистой призмы под действием вибрирующего штампа/

Е.В. Доля, О.П. Червинко, И.К. Сенченков // Прикладная механика. –

2007. – Т. 43, № 8. – C. 71–79. 77. Доля Е.В. Расчет параметров тепловой неустойчивости слоистой

призмы / Е.В. Доля // Теоретическая и прикладная механика. – 2005. –

Вып. 40. – С. 63–67.

78. Доля О.В. Вібророзігрів шаруватої пружно-в’язкопружної

прямокутної призми при високочастотному силовому навантаженні /

О.В. Доля, О.П. Червінко, І.К. Сенченков // Вісник Київського ун-ту. Сер.:

фізико-математичні науки.– 2007. – № 2. – С. 54–58. 79. Зарубин В.С. Расчет теплонапряженных конструкций / В.С. Зарубин,

И.В. Станкевич – М.: Машиностроение, 2005. – 352 с.

80. Зенкевич О. C. Метод конечных элементов в технике / О. C. Зенкевич.

– М.: МИР, 1975. – 542 с.

81. Каландия А.И. Замечания об особенности упругих решений вблизи

углов / А.И.Каландия // Прикладная математика и механика. – 1969. –

Т. 33. – № 1. – С. 132–135.

82. Калинчук В.В. Некоторые особенности возбуждения и распространения упругих волн в неоднородных середах / В.В. Калинчук,

М.Г. Селезнев // Разработка и исследование источников сейсмических

сигналов. – М.: ВНИИОЭНГ, 1986.– С. 61–66.

83. Калоеров С.А. Двумерная задача электроупругости для

многосвязного пьезоэлектрического тела / С.А. Калоеров, А.И. Баева,

Ю.А. Глущенко // Прикладная механика. – 2003. – Т. 39, № 1. – С. 84–91.

84. Калоеров С.А. Двумерная и плоская задачи для пьезомагнитного тела

с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, О.И. Бороненко // Теоретическая и прикладная механика. – 2005. – Вып. 41. – С. 111–123.

85. Калоеров С.А. Термоупругое состояние анизотропной пластинки с

отверстиями и трещинами при действии линейного потока тепла и

температуры на контурах / С.А. Калоеров, Ю.С. Антонов // Теоретическая

и прикладная механика. – 2005. – Вып. 40. – С. 102–116.

124

86. Калоеров С.А. Термоупругое состояние кусочно-однородной

анизотропной пластинки / С.А. Калоеров, Д.А. Добряк // Вісник Донец.

ун-ту. Сер. А Природничі науки. – 2006. – Вып. 2. – С. 77–88.

87. Калоеров С.А. Термоэлектроупругое состояние многосвязной

анизотропной пластинки / С.А. Калоеров, К.Г. Хорошев // Прикладная

механика. – 2005. – Т. 41, №11– С. 116–126. 88. Као Т.Т. О термически возбуждаемых волнах напряжений в

полубесконечной среде с законом теплопроводности, отличным от закона

Лурье / Т.Т. Као // Ракетная техника и космонавтика.– 1976.– Т.14, № 6.–

С. 142–143.

89. Каплун А.Б. ANSYS в руках инженера. Практическое руководство /

А.Б. Каплун, Е.М. Морозов, М.А. Олферьева. – К.: Едиториал УРСС,

2003.– 272 с.

90. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости / В.Г. Карнаухов. – К.: Наукова думка, 1982. – 258 с.

91. Кильчинская Г.А. Автомодельные решения взаимосвязанной задачи

термоупругости для полупространства / Г.А. Кильчинская // Тепловые

напряжения в элементах конструкций. – К.: Наукова думка, 1971.– Вып.

II.– С. 23–26.

92. Кильчинская Г.А. Два способа построения канонических уравнений

динамических процессов в термоупругой среде/ Г.А. Кильчинская // Прикладная механика. – К.:Наукова думка, 1981.– Т. 17, № 7. – С. 37–41.

93. Кит Г.С. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами /

Г.С. Кит, М.Г.Кривцун. –К.: Наукова думка, 1983. – 277 с.

94. Ковалев В.А. Волновые задачи теории поля и термомеханика

/ В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев. – Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 2010.

– 328 с.

95. Ковалев В.А. Волновые числа плоских GNIII-термоупругих волн и

неравенства, обеспечивающие их нормальность / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев // Известия Саратовского ун-та. Серия: Математика.

Механика. Информатика. – 2010. – Т. 10. – Вып. 3. – С. 46–53.

96. Ковалев В.А. Прохождение термоупругого гармонического сигнала

через волновод с теплопроницаемой стенкой / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев,

P.A. Ревинский // Вестник Самарского гос. технического ун-та. Серия:

Физико-математические науки. – 2011. – №1(18). – С. 221–227.

97. Ковалев В.А. Распространение связанных GNIII-термоупругих волн в

длинном цилиндрическом волноводе / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного

состояния. –2010. – № 2(8). – С. 207–255.

98. Коваленко М.Д. Однородные решения теории упругости.

Биортогональные разложения / М.Д. Коваленко, Н.В. Клейн // Механика

125

композиционных материалов и конструкций. – 2005. – Т 11. – № 3. –

С. 393–408.

99. Космодамианский А.С. Динамические задачи теории упругости для

анизотропных сред / А.С. Космодамианский, В.И. Сторожев. – К.: Наукова

думка, 1985. – 175 с.

100. Космодамианский А.С. Определение напряженного состояния многосвязных транстропных пластин / А.С. Космодамианский,

В.А. Шалдырван // Прикладная математика и механика. – 1975. – Т. 39,

№ 5. – С. 909–917.

101. Космодамианский А.С. Толстые многосвязные пластины

/ А.С. Космодамианский, В.А. Шалдырван. – К.: Наукова думка, 1978. – 240 с.

102. Коялович Б.М. Исследование о бесконечных системах линейных

уравнений / Б.М. Коялович // Известия физ.-мат. ин-та им. И.А. Стеклова.

– 1930. – Т. 3. – С. 41–67. 103. Кренев Л.И. Определение изменения формы поверхности

непрерывно-неоднородного термоупругого полупространства при

локальном нагреве /Л.И. Кренев, С.М. Айзикович, Б.И. Митрин // Вестник

Донского государственного технического университета. – 2013.– № 3-4.–

С. 3–15.

104. Крысько В.А. О влиянии эффекта температурной связанности

полей температуры и деформации на динамическую устойчивость пологих оболочек / В.А. Крысько, В.Ф. Кириченко, Н.А. Хаметова //

Прикладная механика. – 1988.– Т. XXIV, №11.– С. 46–50.

105. Крысько В.А. Устойчивость гибких пологих оболочек в

температурном поле / В.А. Крысько, Л.Ф. Вахлаева // Прикладная

механика. – 1983. – 19, №1.– С. 16–23.

106. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости

/ В.Д. Купрадзе. – М.: Физматгиз, 1963. – 472 с.

107. Ламзюк В.Д. Основные граничные задачи плоской теории упругости для составного клина / В.Д. Ламзюк, А.И. Феденко //

Устойчивость и прочность элементов конструкций. –Днепропетровск:

Днепропетр. ун-т, 1979. – Вып. 3. – С. 64–75.

108. Лебедев Н.Н. Температурные напряжения в теории упругости

/ Н.Н. Лебедев. – М.-Л.: Гостехтеоретиздат, 1937. – 110 с.

109. Леонтьев Н.В. Применение системы ANSYS к решению задач

модального и гармонического анализа / Н.В. Леонтьев. – Нижний

Новгород, 2006. 110. Лехницкий С.Р. Упругое равновесие трансверсально-изотропного

слоя и толстой плиты / С.Р. Лехницкий // Прикладная математика и

механика. – 1962. – Т. 26, № 4. –С. 687–696.

111. Лозинский В.Н. Термоупругие напряжения в круглой пластинке с

регулярно расположенными круговыми отверстиями, вызванные

126

действием точечного источника тепла / В.Н. Лозинский / АН Арм.ССР.–

Механика, 1971.– Т. 24.

112. Лукьянова А.Н. Моделирование контактной задачи с помощью

программы ANSYS: учеб.-метод. пособ. / А.Н. Лукьянова. – Самара:

Самарский государственный технический університет, 2010.

113. Мазья В.Г. О коэффициентах в аисмптотике решения эллиптических краевых задач вблизи ребра / В.Г. Мазья, Б.А. Пламеневский // Доклады АН

СССР. – 1976. – Т. 229. – №1. – С. 33–36.

114. Матросов А.В. Алгоритм расчета сложных конструкций методом

суперпозиции / А.В. Матросов // Сборник науч. трудов, посвященных

190-летию транспортного образования в России / под ред. проф.

Ю.М. Кулибанова. – СПб: СПГУВК, 1999.

115. Матросов А.В. Метод суперпозиции: общее решение для упругого

шестигранника / А.В. Матросов // Методы прикладной математики в транспортных системах/ под редакцией проф. Ю.М. Кулибанова. –

СПб.:СПГУВК, 1998.

116. Мезомеханика поведения тонких пленок Cu на подложке при

одноосном растяжении и термическом отжиге. Многоуровневый подход /

А.В. Панин, А.Р. Шугуров, К.В. Оскомов, А.И. Сидоренко // Физическая

мезомеханика. – 2005. – Т. 8. – № 4. – С. 27–35.

117. Мелешко В.В. Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших

дней / Мелешко В. В., Папков С. О. – Акустичний вісник. – 2009. – Т. 12,

№ 4.– С. 34–51.

118. Мелешко В.В. Метод суперпозиции в задачах о тепловых

напряжениях в прямоугольных пластинах / В.В. Мелешко // Прикладная

механика. – 2005. – Т.41, № 9. – С. 101 – 117.

119. Мелешко В.В. О возможностях теории «второго порядка» при

изучении высокочастотного спектра упругих дисков / В.В. Мелешко // Доклады АН УССР, Сер. А. – 1978.– № 7.– С. 621–625.

120. Мотовиловец И.А. Механика связанных полей в элементах

конструкций / И.А. Мотовиловец, В.И. Козлов. – К.: Наукова думка, 1987.

– Т.1. – 264 с.

121. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической

теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1966. – 707 с.

122. Мысовский Ю.В. Однородные решения пространственных задач о

вынужденных колебаниях транстропных пластин / Ю.В Мысовский, В.И. Сторожев, В.А. Шалдырван // Теоретическая и прикладная механика.

– 1977. –№ 8. – С. 66–73.

123. Мысовский Ю.В. Однородные решения пространственных задач о

вынужденных колебаниях транстропных пластин / Ю.В Мысовский,

127

В.И. Сторожев, В. А. Шалдырван // Теоретическая и прикладная

механика. – 1977. – № 8. – С. 66–73.

124. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости / В. Новацкий.

– М.: Мир, 1970. – 256 с.

125. Новацкий В. Теория упругости / В. Новацкий. – М.: Мир, 1975. –

872 с. 126. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри,

Ж. Фрид. – М.: Мир, 1981. – 304 с.

127. Овсянников А.С. Метод суперпозиции сингулярных решений в

осиметрических задачах теории упругости / А.С. Овсянников,

В.А. Стариков. – К.: Наукова думка, 1989. – 100 с.

128. Павлов С.П. Оптимизация формы термоупругих тел: монография /

С.П. Павлов, В.А. Крысько. – Саратов : СГТУ, 2000. – 160 с.

129. Папков С.О. О локализации собственных частот прямоугольной призмы посредством исключения неизвестных в квазирегулярной

бесконечной системе / С.О. Папков, В.Н. Чехов // Доповіді НАН України.

– 2004.– № 10.– С. 57–62.

130. Папкович П.Ф. Выражение общего интеграла основных уравнений

теории упругости через гармонические функции / П.Ф. Папкович //

Известия АН СССР. Отделение математических и естественных наук. –

1937. – Т.1, № 2. – С. 245–246. 131. Папкович П.Ф. Общий интеграл тепловых напряжений

/ П.Ф. Папкович // Прикладная математика и механика. – 1937. – Т.1,

№ 2. – С. 245 – 246.

132. Партон В.З. Интегральные уравнения теории упругости

/ В.З. Партон, П.И. Перлин. – М.: Наука, 1977. – 311 с.

133. Партон В.З. Методы математической теории упругости

/ В.З. Партон, П.И. Перлин. – М.: Наука, 1981. – 688 с.

134. Пельц С.П. О сходимости метода однородных решений в динамической смешанной задаче для полуполосы / С.П. Пельц,

В.М. Шихман // Доклады АН СССР. –1987. – Т. 295.– № 4.– С. 821–824.

135. Петоян А.Ш. К теории изгиба трансверсально-изотропной плиты /

А.Ш. Петоян // Механика строительных конструкций. – 1964. – Т. 22, № 1.

– С. 38–43.

136. Подстригач Я.С. Термоупругость тонких оболочек /

Я.С. Подстригач, Р.Н. Швец. – К.: Наукова думка, 1987. – 342 с.

137. Прокопов В.К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости и их приложеним / В.К. Прокопов // Труды Ленинградского

политехнического ин-та. – 1967. – № 279. – С. 31–46.

138. Прокофьев Б.М. Контактная задача для составного клина /

Б.М. Прокофьев // Взаимодействие в механике конструкций. – К.- Одесса,

1980. – С. 52–59.

128

139. Прусов И.А. Некоторые задачи термоупругости / И.А. Прусов. –

Минск: Изд-во Белорус. ун-та, 1972. – 200 с.

140. Раппотрт Р.М. Однородные решения теории деформации

многослойного полупространства и некоторые их приложения /

Р.М. Раппотрт // Известия АН Арм. ССР. – 1984.– Т. 37, № 1. –С. 23–34.

141. Сафарян Н.Б. О малонапряженности плосконапряженного составного клина / Н.Б. Сафарян // Изв. АН Армении. Механика.– 1994.–

Т. 47, № 5–6. – С. 49–54.

142. Сахаров А.С. Развитие метода конечных элементов при

исследовании пространственных конструкций в линейной и нелинейной

постановках: автореф. дис. на соискание науч. степени доктора техн. наук

/ А.С. Сахаров.– М., 1978.– 48 с.

143. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов

/ Л. Сегерлинд. – М.: Мир, 1979. – 392 с. 144. Селезнев М.Г. О методе граничных элементов для

полуограниченных областей с цилиндрической полостью / М.Г. Селезнев,

А.А. Ляпин // Известия ВУЗов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки.–

2000.– № 3. – С. 151–155.

145. Сторожев В.И. Особенности спектра собственных колебаний

транстропной дисковидной пластины в окрестности краевого резонанса /

В.И. Сторожев, Ю.В. Мысовский, О.Д. Соколова // Теоретическая и прикладная механика. – 2003. – Вып. 37. –С. 184–189.

146. Трещев А.А. Анализ определяющих соотношений для нелинейных

изотропных разносопротивляющихся материалов в задачах

термоупругости / А.А. Трещев, В.Г. Теличко, Д.С. Чигинский // Известия

ТулГУ. Технические науки. – 2011. – № 2. – С. 547–555.

147. Тужилин A.A. Новые представления дифракционных полей в

клиновидных областях с идеальными границами / A.A. Тужилин //

Акустический журнал. – 1963. –Т. 9. – Вып. 2. 148. Узделев А.И. Некоторые задачи термоупругости анизотропного

тела / А.И. Узделев . – Саратов: Изд-во СГУ, 1967. – 167 с.

149. Устинов Ю.А. Математическая теория поперечно-неоднородных

плит / Ю.А. Устинов. – Ростов н/Д.: ООО ЦВВР, 2006. – 257 с.

150. Устинов Ю.А. Некоторые свойства однородных решений

неоднородных плит / Ю. А. Устинов // Доклады АН СССР. – 1974. – Т.

216, № 4. – С. 755–758.

151. Устинов Ю.А. О критических частотах и модах неоднородной пьезоактивной пластины / Ю.А. Устинов // Известия ВУЗов. Северо-

Кавказский регион. Естественные науки. – 2000. – № 3. – С. 169–173.

152. Устинов Ю.А. О структуре погранслоя в слоистых плитах

/ Ю.А. Устинов // Доклады АН СССР. –1976. – Т. 229, № 2 .– С. 325–328.

129

153. Устинов Ю.А. Однородные решения и проблема предельного

перехода от трехмерных задач к двумерным для плит из электроупругих

материалов с переменными свойствами по толщине / Ю.А. Устинов //

Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин

(г. Кутаиси, 22–29 сентября). – Тбилиси: Мецниереба, 1975. – Т.1 –

С. 286–295. 154. Уфилщев П.Я. Поперечная диффузия при дифракции на клине

/ П.Я. Уфилщев // Радиотехника и электроника. – 1965. – Т.9.

155. Фильштинский Л.А. Влияние связанности механических и

температурных полей на амплитудно-частотные характеристики конечных

цилиндров / Л.А.Фильштинский, А.В. Бондарь // Прикладная механика. –

2006. – Т. 42, №10. – С. 86–95.

156. Фильштинский Л.А. Влияние связанности термоупругих полей на

динамическую напряженность пластинки /Л.А. Фильштинский, В.Н. Кобзарь // Избранные проблемы прочности современного

машиностроения: сборник научных статей, посвященных

восьмидесятилетию члена-корреспондента Российской академии наук

Эдуарда Ивановича Григолюка (1923-2005). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. –

С. 103–109.

157. Фильштинский Л.А. Граничная задача связанной термоупругости

для двумерных областей / Л.А. Фильштинский // Современные проблемы механики сплошной среды. – Ростов н/Д: Изд-во 000 «ЦВВР», 2005.–

С. 198–201.

158. Фильштинский Л.А. Двумерные фундаментальные решения в

связанной задаче термоупругости / Л.А. Фильштинский, Ю.В. Сиренко //

Теоретическая и прикладная механика. – Харьков: Основа, 2003. – Вып.

37. – С. 157–161.

159. Фильштинский Л.А. Исследование упругих волновых полей в

неограниченной изотропной среде с включением / Л.А. Фильштинский, Е.И. Москаленко // Теоретическая и прикладная механика. – 2007. –

Вып. 43.– С. 124–129.

160. Фильштинский Л.А. О структуре однородных и фундаментальных

решений для упругого слоя / Л.А. Фильштинский, А. Абидо // Вісник

Донецького національного університету. Серія А. Природничі науки. –

2006. – № 1. –С. 59–63.

161. Фильштинский Л.А. Плоская динамическая задача связанной

термоупругости / Л.А. Фильштинский, В.Н. Кобзар // Прикладная математика и механика. – 2008. – Т. 72, №5. – С. 842–851.

162. Фильштинский Л.А. Плоская задача связанной термоупругости

для пластин с отверстиями / Л.А. Фильштинский, В.Н. Кобзарь //

Математические методы и физико-механические поля. – 2006. – Т. 49, № 1. –

С. 174–181.

130

163. Фильштинский Л.А. Прочность толстостенных элементов

конструкций с учетом термоупругих напряжений / Л.А. Фильштинский,

А.В. Бондарь // Проблемы машиностроения. – 2008. – Т. 11, № 5–6. –С. 60–69.

164. Фильштинский Л.А. Расчет термоупругих полей в многосвязном

цилиндрическом теле / Л.А. Фильштинский, Ю.В. Сиренко // Проблемы

машиностроения. – 2009. – Т. 12, № 1.– С. 69–78. 165. Фильштинский Л.А. Фундаментальные решения связанной

термоупругости / Л.А. Фильштинский, Ю.В. Сиренко, Н.В. Литвиненко //

Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. – Львів, 2003. –

С. 140–142.

166. Фильштинський Л.А. Зв’язані термопружні поля в шарі при

зосереджених збудженнях (кососиметричний розв’язок) /

Л.А. Фильштинський, А.В. Бондар // Машинознавство. – 2004.– № 6 (84).

– С. 30–38. 167. Фильштинський Л.А. Дослідження зв'язаних хвильових

термопружних полів у багатозв'язних циліндричних тілах /

Л.А. Фильштинський, О.В. Бондар, Н.О. Молдаванова // Сучасні проблеми

механіки та математики: матеріали ІІ Міжнародної наукової конференції.

– Львів, 2007. – Т. 2.– С. 221–222.

168. Фильштинський Л.А. Дослідження зв'язних хвильових

термопружних полів в кусково-однорідних та багатозв'язних тілах / Л.А. Фильштинський, О.В. Бондар, В.М. Кобзар // Сучасні проблеми

механіки та математики: міжнародна наукова конференція. – Львів, 2008.

169. Червинко О.П. Расчет параметров тепловой неустойчивости

слоистой призмы / О.П. Червинко, И.К. Сенченков Е.В. Доля //

Теоретическая и прикладная механика. – 2005. – Вып. 40. –С. 63–67.

170. Чигарев А.В. ANSYS для инженеров. Справочное пособие

/ А.В. Чигарев, А.С. Кравчук, А.Ф. Смалюк. – М.: Машиностроение, 2004.

– 512 с. 171. Шанин A.B. Распространение и рассеяние упругих волн в

клиновидных областях: дис. … канд. физ.-мат. наук : 01.04.06 /

А. В. Шанин. – М., 1997.

172. Шашков А.Г. Волновые явления теплопроводности: системно-

структурный подход. –2-е изд. / А.Г. Шашков, В.А. Бубнов,

С.Ю. Яновский. – 2004. – 296 с.

173. Auld B. A. A variational analysis of edge resonance in semi-infinite

plate / B. A. Auld, E.J. Tsao // IEEE Trans. SU.– 1977.– 24, № 5.– P. 317–326. 174. Bahtui A. Coupled Thermoelasticity of of Functionally Graded

Cylindrical Shells / A. Bahtui, M.R. Eslami // Mechanics Research

Communications (Elsevier).– 2007. – V. 34. – P. 1–18.

175. Bogy D.B. Plane steady vibrations of an orthogonal elastic wedge

/ D.B. Bogy, K.C. Wang // J.Elasticity. –1974. –V. 4. – № l.

131

176. Bogy D.B. Stress singularities at interface corners in bonded dissimilar

isotropic elastic materials / D.B. Bogy, K.C. Wang // Int. J. Solids Struct. –

1971. – № 7. – P. 993–1005.

177. Bogy D.B. Two edge-bonded elastic wedges of different materials and

wedge angles under surface tractions / D.B. Bogy // J.Appl. Mech. – 1971.– V.

38. – P. 377–385. 178. Budaev B.K. Rayleigh wave scattering by two adhering wedge

/ B.K. Budaev, D.B. Bogy // Proc. R: Soc.Lond. – 1998. – A 454.– № 1979. –

P. 2949–2996.

179. Budaev B.V. Diffraction by a plane sector / B.K. Budaev, D.B. Bogy //

Proc. Roy. Soc. A. – 2006.– P. 3529–3546.

180. Budaev B.V. Random walk methods and wave diffraction. /

B.K. Budaev, D.B. Bogy // IntJ. Solids. Struct. – 2002. – V. 39. – Issue 21–22.

– P. 5547–5570. 181. Budaev B.V. Rayleigh wave scattering by a wedge. Part I. /

B. K. Budaev, D.B. Bogy // Wave Motion. – 1995. – V. 23. – № 5.– P. 239–

257.

182. Budaev B.V. Rayleigh wave scattering in a wedge with mixed

boundary conditions / B.K. Budaev, D.B. Bogy // Proc. R. Soc. Lond. A

1999:(Submitted on leave from Steklov Mathematical Institute, St. Petersberg,

Russia.) 183. Budaev B.V. Scattaring of Rayleigh and Stonely waves by two

adhering elastic wedges / B.K. Budaev, D.B. Bogy // Wave Motiom. – 2001. –

V. 33. – Issue 4. – P. 321–337.

184. Budaev B.V., Bogy D.B. Rayleigh wave scattering by a wedge. Part II /

B.K. Budaev, D.B. Bogy // Wave Motion. – 1996.–V. 24. –№ 3.– P. 307–314.

185. Chen Dai-Heng, Analysis of stress singularity at a vertex of bonded

wedges based on the separation of variables technique / Chen Dai-Heng //

Nihon kikai gakkai ronbunshu. A Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. – 1999. – Vol. 65.– №. 635. – Р. 1–8.

186. Chen Dai-Heng, Logarithmic singular stress field in bonded wedges /

Chen Dai-Heng, Nisitani Hironobu // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A Trans.

Jap. Soc. Mech. Eng. A. –1993. –Vol. 59. № 567. – Р. 2687–2693.

187. Cho Y.H. A boundary element solution for a mode conversion study on

the edge reflection of Lamb waves / Y.H. Cho, J.L. Rose // J. Acoust. Soc.

Amer.– 1996.– 99, № 4.– P. 2097–2109.

188. Darinskii A.N. Fast quasilongitudinal sagittally polarized surface waves in layer substrate structures / A.N. Darinskii, I.S. Didenko,

N.F. Naumenko // J. Acoust. Soc. Am. – 2000. – 107(5). – Р. 2351–2359.

189. Darinskii A.N. Weakly localized waves on the corrugated surface of a

medium of arbitrary anisotropy / A.N. Darinskii // J. Acoust. Soc. Am. –2000. –

107(5). – Р. 2447–2453.

132

190. Dhaliwal R.S. Thermoelastic waves in an infinite solid caused by a line

heat source / R.S. Dhaliwal, S.R. Majumdar, J. Wang // Int. J. Math. & Math.

Sci. – 1997. – Vol. 20. – № 2. – P. 323–334.

disks.- J. Acoust. Soc. Amer., 1956, 20, N 1, p. 38-50.

191. Elastic waves in infinite and semi-infinite anisotropic media /

V.I. Alshits, A.N. Darinskii, A.L. Shuvalov // Physica Scripta. – 1992. –Vol. 44. – Р. 85–93.

192. Erbay S. Longitudinal wave propagation in a generalized thermo-

elastic cylinder / S. Erbay, E. Suhubi // J. Thermal. Stresses. – 1986 . –Vol. 9. –

P. 279–295.

193. Forray M. Buckling of Heated Rectangular plates / M. Forray,

M. Newman // Machine Design. – 1962. – Vol. 34. – №13.

194. Forray M. J. Permanent Buckling of Simply Supported Rectangular

Plates Under Arbitrary Symmetrical Temperature Distributions / M. J. Forray // Republe Aviation Corp. Rep. NE-SAM-16, 1956 , June.

195. Forray M. On the postbuckling behaviour of rectangular plates/

M. Forray, M. Newman // J. of the Aerospase Scienses . –1962. –Vol. 29. – № 6.

196. Fuchs K. Investigation of wave propagation in wedge-shaped media

/ K. Fuchs // Z. Geophys. – 1965. – V. 31. – № 2.

197. Gajendar N. Deformanion and thermal stress in a rectangular plate

having a pair of opposite edges simpiy-supported and the renuining two edges are clamped and subjected to aerodynamic heating / N. Gajendar //Arch. mech.

Stosowanej. – 1965. –17. – № 2.

198. Gautesen A.K. On scattering of an SH–wave by a corner comprised of

two different elastic materials / A.K. Gautesen // Mechanics of Materials. –

2003. – V. 35. –Issues 3–6. – Р. 407–414.

199. Gautesen А.К. Diffraction of plane waves by a wedge with impedance

boundary conditions / A.K. Gautesen // Wave Motion. – 2005. – V.41. – Issue

3.– Р. 239–246. 200. Gazis D.C., Mindlin R.D. Extentional vibration and waves in a circular

disk and semi–infinite plate / D.C. Gazis, R.D. Mindlin // J. Acoust. Soc.

Amer.– 1960.– 27, № 3.– P. 541–547.

201. Getting Started with ABAQUS. – USA: Abaqus inc., 2003. – 497 p.

202. Hein V.L. Stress singularities in a two–material wedge / V.L. Hein,

F. Erdogan // Int J. Fract. Mech. –1971. – V.7.– № 3. –P. 317–330.

203. Ikegami S. Frequency spectra of resonant vibration in disk plates of

PbTi O3 piezoelectric ceramics / S. Ikegami, I. Ueda, S. Kobayashi // J. Acoust. Soc. Amer.– 1974.– 55, № 2.– P. 339–344.

204. Kaplunov J.D. Free localized vibration of semi–infinite celindrical shell

/ J.D. Kaplunov, L.Yu. Kossovich, M.V. Wilde // J. Acoust. Soc. Amer.–

2000.– 107, № 3.– P. 1383– 1393.

133

205. Kosmodamianskii A.S. Accumulation of Internal Energy in Multiply

Connected Bodies / A.S. Kosmodamianskii // International applied mechanics.

– 2002. – Vol. 38, № 4. – P. 399–422.

206. Kozlov V.A. On singularities of solutions of the displacement problem

of linear elasticity near the vertex of a cone / V.A. Kozlov, V.G. Maz'ya,

C. Schwab // Arch. Ration. Mech. Anal. –1992. – № 119. – P.197–227. 207. Kozlov V.A. Spectral Problems Associated with Corner Singularities of

Solutions to Elliptic Equations, American Mathematical Society / V.A. Kozlov,

V.G. Maz'ya, J. Rossmann // Providence. RI. – 2001.

208. Massalasa C.V. Propagation of thermoelastic waves in an infinite

circular cylinder with thermal relaxation / C.V. Massalasa, G. Tsolakidisa //

Journal of Sound and Vibration. – 1987. – Vol. 117(3). – P. 529–535.

209. Mishuris G.S. Boundary value problems for Poisson's equation in a

multi-wedge multi-layered region / G.S. Mishuris // Arch. Mech. 1996. – Vol. 48. – № 4. – Р. 711–745.

210. Misra J.C. Study of thermoelastic wave propagation in a half-space

using GN theory / J.C. Misra, N.C. Chattopadhyay, A. Chakravorty // Journal of

Thermal Stresses. – 2000. – № 23. – P. 327–351.

211. Nkemzi B. On solution of Lame equations in axisymmetric domains

with conical points / B. Nkemzi // Math. Methods Appl. Sciences. – 2005. –

V. 28. – Iss. l. – P. 29–41. 212. Noda N. Stress singularities in edge-bonded dissimilar wedges (three–

dimensional axisymmetrical elastic problems) / N. Noda, T. Tsuji // Trans

JSME (in Japanese). – 1992. –V. 58. – № 546. – P. 123–129.

213. Norris A.N., Pholiadis D.M. Thermoelastic Relaxation in Elastic

Structures With Application to Thin Plates / A.N. Norris, D.M. Pholiadis //

Quart. J. Mech. Appl. Math.– 2005. –58 (1). – P. 145–163.

214. Numerical predictions and experiments on the free-plate edge mode

/ E. Le Clezio, M. V. Predoi, M. Castings and others // Ultrasonics.– 2003.– 41.– P. 25–40.

215. Oden J.T. Variational methods in theoretical mechanics / J.T. Oden,

J.N. Reddy // Springer –Verlag: Heidelberg, 1976. – 502 p.

216. Oliver J. Elastic wave dispersion in a cylindrical rod by a wide-band,

short-duration pulse technique / J. Oliver // J. Acoust. Soc. Amer.– 1957.– 29,

№ 2.– P. 189–194.

217. Onoe M. Frequncy of edge mode of isotropic thin rectangular plate,

circular disk and rod / M. Onoe // J. Acoust. Soc. Amer.– 1961.– 33, № 11.– P. 1627.

218. Onoe M. Frequncy of edge mode of isotropic thin rectangular plate,

circular disk and rod / M. Onoe // J. Acoust. Soc. Amer.– 1961.– 33, № 11.–

P. 1627.

134

219. Ritz W. Über neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme

der mathematischen Physik / W. Ritz // Journal für die reine und angewandte

Mathematik. – 1909.– Bd. 135.

220. Roitberg J. Edge resonance in an elastic semi-strip / J. Roitberg,

D. Vassiliev, M. Wilde // Q. J. Mech. Appl. Math.– 1998.– 51.– P. 1–13.

221. Shaw E. A. G. On the resonant vibrations of thick barium titanate 222. Show E.A.G. On the resonant vibrations of thick Barium Titanate discs

/ E.A.G. Show // J. Acoust. Soc. Am. – 1956. – V. 28. – № 1. – P. 38–50.

223. Stainier L. Study and validation of a variational theory of

thermomechanical coupling in finite visco-plasticity / L. Stainier, M. Ortiz //

International Journal of Solids and Structures. – 2010.– № 47. – P. 705–715.

224. Sunakawa M. Deformation and thermal stress in a rectangular plate

sabjected to atrodynamic heating / M. Sunakawa, V. Uemura //Aeronautical

Rsch. Inst., Univ. of Toky. – 1960.– Rep. № 359 225. Todhunter I. A history of the theory of elasticity and of the strength of

materials from Galilei to the present time / I. Todhunter, K. Pearson. –

Cambridge: Cambridge University Press, 1886. – Т. 1. – С. 544 – 626. – 924 с.

226. Torvic P.J. Reflection of wave trains in semiinfinite plates / P. J. Torvic

// J. Acoust. Soc. Amer.– 1967.– 41, № 2.– P. 346–353.

227. Version Forschungskuratorium Maschinenbau (FKM), –

Frankfurt/Main, 2003. – 268р. 228. Vovk L.P. Dynamic concentration of stresses in elastic compound

solids / L.P. Vovk // Proceedings of Donetsk National Technical Unsversity. –

2010. – №1. – P. 39–54.

229. Wong H.L., Luco J.E Dynamic response of rectangular foundations to

obliquely incident seismic waves / H.L. Wong, J.E . Luco // Earthquake Eng.

and Struct. Dyn. – 1978. – V.6.– № I. – P. 3–16.

230. Zemanek J. An experimental and theoretical investi gation of elastic

wave propagation in a cylinder / J. Zemanek // J. Acoust. Soc. Amer.– 1972.– 51, Pt 2, № 1.– P. 265– 283.

231. Zhang N., Joseph P.F. A nonlinear finite element eigenanalysis of

singular plane stress fields in bimaterial wedges including complex eigenvalues

/ N. Zhang, P.F. Joseph // Int. J. Fract. – 1998. – V. 90. –№ 3. – P. 175–207.

232. Zienkiewicz O. Adaptivity and mesh generation / O. Zienkiewicz,

J.Z. Zhu // Int. J. Numer. Methods Eng. –1991. –V. 32. –P. 783–810.

233. Zienkiewicz O.C. The finite element method / O.C. Zienkiewicz,

R.L. Taylor // McGraw-Hill, 4th Edition, 1991.

135

Вовк Леонид Петрович

Кисель Екатерина Сергеевна

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ

ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ ОБЛАСТЕЙ

С НЕГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ

Монография

(на русском языке)

Ответственная за выпуск Н. Ф. Курган

Корректор: Н. А. Кудоярова

Технический редактор: М. В. Попенок

Дизайн обложки:Т. В. Чубучная

Подписано к печати 23.09.2015 г.

Формат 6084/16. Бумага офисная.

Гарнитура «Times New». Печать – лазерная.

Уч.-изд. л. 8,43. Усл. печ. л. 8,31.

Заказ № 329.Тираж 300 экз.

Отпечатано в Автомобильно-дорожном институте

ГВУЗ «Донецкий национальный технический университет»

84646, Донецкая обл., г. Горловка, ул. Кирова, 51. Тел.: +380(624) 55-82-08, e-mail: druknf@rambler.ru