Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Гипотеза Хота (UGC)

Embed Size (px)

Text of Приближенное решение задач комбинаторной...

  • :

    10: (Unique Games Conjecture)

    .

    . ..

    -, Computer Science Club, 2016

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 1 / 31

  • NP-

    MAX-LCk(1, ) MAX-3LIN, MAX-3SAT

    MAX-ULCk MAX-CUT, MAX-2SAT, MIN-VC

    MAX-ULCk

    ( , ),

    :

    ,

    .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 2 / 31

  • NP-

    MAX-LCk(1, ) MAX-3LIN, MAX-3SAT

    MAX-ULCk MAX-CUT, MAX-2SAT, MIN-VC

    MAX-ULCk

    ( , ),

    :

    ,

    .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 2 / 31

  • NP-

    MAX-LCk(1, ) MAX-3LIN, MAX-3SAT

    MAX-ULCk MAX-CUT, MAX-2SAT, MIN-VC

    MAX-ULCk

    ( , ),

    :

    ,

    .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 2 / 31

  • NP-

    MAX-LCk(1, ) MAX-3LIN, MAX-3SAT

    MAX-ULCk MAX-CUT, MAX-2SAT, MIN-VC

    MAX-ULCk

    ( , ),

    :

    ,

    .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 2 / 31

  • MAX-ULCk: ; V1

    ; ,

    e = (v1v2) e : , , e((v1)) = (v2). k .

    : ,

    .

    , UGC

    > 0 k , MAX-ULCk(1 , ) NP-.

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 3 / 31

  • MAX-ULCk: ; V1

    ; ,

    e = (v1v2) e : , , e((v1)) = (v2). k .

    : ,

    .

    , UGC

    > 0 k , MAX-ULCk(1 , ) NP-.

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 3 / 31

  • 1 MAX-LC7(1, 1 ) NP-.2 k MAX-ULCk(1, 1 ) P.

    :

    ,

    ,

    .

    - .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 4 / 31

  • 1 MAX-LC7(1, 1 ) NP-.2 k MAX-ULCk(1, 1 ) P.

    :

    ,

    ,

    .

    - .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 4 / 31

  • 1 MAX-LC7(1, 1 ) NP-.2 k MAX-ULCk(1, 1 ) P.

    :

    ,

    ,

    .

    - .

    (u) = 1 (v) =? (u) = 1 uv (1) = 2, (v) = 2.

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 4 / 31

  • UGC-

    UGC , , /2 < < > 0 MAX-CUT((1 cos)/2 , / + ) NP-.

    GW = min0

  • UGC-

    UGC , , /2 < < > 0 MAX-CUT((1 cos)/2 , / + ) NP-.

    GW = min0

  • : PCP

    MAX-ULCm(1 , ). :

    fw .(, .)

    2

    . (,

    .)

    MAX-CUT.

    :

    .

    ,

    .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 6 / 31

  • : PCP

    MAX-ULCm(1 , ). :

    fw .(, .)

    2

    . (,

    .)

    MAX-CUT.

    :

    .

    ,

    .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 6 / 31

  • : PCP

    MAX-ULCm(1 , ). :

    fw .(, .)

    2

    . (,

    .)

    MAX-CUT.

    :

    .

    ,

    .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 6 / 31

  • : PCP

    MAX-ULCm(1 , ). :

    fw .(, .)

    2

    . (,

    .)

    MAX-CUT.

    :

    .

    ,

    .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 6 / 31

  • ,

    .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 7 / 31

  • ,

    .

    v

    w

    w

    V W

    fw ( x) = fv (x) = fw ( x).

    (fw (x) )

    , , - (v ,w), (v ,w ) :

    ((w)) = (v); ((w )) = (v),

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 7 / 31

  • ,

    .

    v

    w

    w

    V W

    fw ( x) = fv (x) = fw ( x).

    (fw (x) )

    .

    ( x).

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 7 / 31

  • PCP

    , = cos, 1 < < 0.1 x {0, 1}m, x

    N(x) ( (1 )/2).

    2 v V .

    3 w , w v( ).

    4 fw ( x) fw ( x ) ,

    fw ( x) 6= fw ( x ).

    , - (v ,w), (v ,w ).

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 8 / 31

  • PCP

    , = cos, 1 < < 0.1 x {0, 1}m, x

    N(x) ( (1 )/2).

    2 v V .

    3 w , w v( ).

    4 fw ( x) fw ( x ) ,

    fw ( x) 6= fw ( x ).

    , - (v ,w), (v ,w ).

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 8 / 31

  • PCP

    , = cos, 1 < < 0.1 x {0, 1}m, x

    N(x) ( (1 )/2).

    2 v V .

    3 w , w v( ).

    4 fw ( x) fw ( x ) ,

    fw ( x) 6= fw ( x ).

    , - (v ,w), (v ,w ).

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 8 / 31

  • PCP

    , = cos, 1 < < 0.1 x {0, 1}m, x

    N(x) ( (1 )/2).

    2 v V .

    3 w , w v( ).

    4 fw ( x) fw ( x ) ,

    fw ( x) 6= fw ( x ).

    , - (v ,w), (v ,w ).

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 8 / 31

  • PCP

    , = cos, 1 < < 0.1 x {0, 1}m, x

    N(x) ( (1 )/2).

    2 v V .

    3 w , w v( ).

    4 fw ( x) fw ( x ) ,

    fw ( x) 6= fw ( x ).

    , - (v ,w), (v ,w ).

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 8 / 31

  • > 2. , 1 , ,

    1 2 .

    C , , , =

    2

    8C 62:

    ,

    arccos

    + .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 9 / 31

  • > 2. , 1 , ,

    1 2 .

    C , , , =

    2

    8C 62:

    ,

    arccos

    + .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 9 / 31

  • UGC , , /2 < < > 0 MAX-CUT((1 cos)/2 , / + ) NP-.

    =2

    8C

    ( , C ) m , NP- MAX-ULCm(1 , ). ( , m .)

    MAX-ULCm(1 , ) 6p MAX-CUT((1 )/2 , arccos / + )

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 10 / 31

  • UGC , , /2 < < > 0 MAX-CUT((1 cos)/2 , / + ) NP-.

    =2

    8C

    ( , C ) m , NP- MAX-ULCm(1 , ). ( , m .)

    MAX-ULCm(1 , ) 6p MAX-CUT((1 )/2 , arccos / + )

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 10 / 31

  • UGC , , /2 < < > 0 MAX-CUT((1 cos)/2 , / + ) NP-.

    =2

    8C

    ( , C ) m , NP- MAX-ULCm(1 , ). ( , m .)

    MAX-ULCm(1 , ) 6p MAX-CUT((1 )/2 , arccos / + )

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 10 / 31

  • G (V ,W , ) 7 H MAX-CUT.

    H: (w , y), w W , y {0, 1}m. H: ((w , y), (w , y )), V G v w , w . (w , y), (w , y ) . , y = x , y = x , , (v ,w), (v ,w ) G .

    H w G fw , , (w , x). : fw H.

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 11 / 31

  • G (V ,W , ) 7 H MAX-CUT.

    H: (w , y), w W , y {0, 1}m. H: ((w , y), (w , y )), V G v w , w . (w , y), (w , y ) . , y = x , y = x , , (v ,w), (v ,w ) G .

    H w G fw , , (w , x). : fw H.

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 11 / 31

  • G (V ,W , ) 7 H MAX-CUT.

    H: (w , y), w W , y {0, 1}m. H: ((w , y), (w , y )), V G v w , w . (w , y), (w , y ) . , y = x , y = x , , (v ,w), (v ,w ) G .

    H w G fw , , (w , x). : fw H.

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 11 / 31

  • G , 1 , , (1 )/2 . , ,

    .

    G , ,

    ( H) ( ) arccos / + .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 12 / 31

  • G , 1 , , (1 )/2 . , ,

    .

    G , ,

    ( H) ( ) arccos / + .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 12 / 31

  • : (V W ) [m] (1 ) . : fw (w). ,

    .

    1 2 (v ,w), (v ,w ). , ((w)) = (v) = ((w )).

    : x((w)) = fw ( x) 6= fw ( x ) = (x )((w )): x(v) 6= (x )(v)

    : Prx N(x)

    [x(v) 6= (x )(v)] =1

    2(1 ).

    (1 2) 1 2

    =1 2 2 1

    2>

    1 2 , ( > 2).

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 13 / 31

  • : (V W ) [m] (1 ) . : fw (w). ,

    .

    1 2 (v ,w), (v ,w ). , ((w)) = (v) = ((w )).

    : x((w)) = fw ( x) 6= fw ( x ) = (x )((w )): x(v) 6= (x )(v)

    : Prx N(x)

    [x(v) 6= (x )(v)] =1

    2(1 ).

    (1 2) 1 2

    =1 2 2 1

    2>

    1 2 , ( > 2).

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 13 / 31

  • : (V W ) [m] (1 ) . : fw (w). ,

    .

    1 2 (v ,w), (v ,w ). , ((w)) = (v) = ((w )).

    : x((w)) = fw ( x) 6= fw ( x ) = (x )((w )): x(v) 6= (x )(v)

    : Prx N(x)

    [x(v) 6= (x )(v)] =1

    2(1 ).

    (1 2) 1 2

    =1 2 2 1

    2>

    1 2 , ( > 2).

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 13 / 31

  • : (V W ) [m] (1 ) . : fw (w). ,

    .

    1 2 (v ,w), (v ,w ). , ((w)) = (v) = ((w )).

    : x((w)) = fw ( x) 6= fw ( x ) = (x )((w )): x(v) 6= (x )(v)

    : Prx N(x)

    [x(v) 6= (x )(v)] =1

    2(1 ).

    (1 2) 1 2

    =1 2 2 1

    2>

    1 2 , ( > 2).

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 13 / 31

  • ( )

    . ,

    . ,

    .

    , .

    ,

    .

    ,

    fw , gv .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 14 / 31

  • ( )

    . ,

    . ,

    .

    , .

    ,

    .

    ,

    fw , gv .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 14 / 31

  • ( )

    . ,

    . ,

    .

    , .

    ,

    .

    ,

    fw , gv .

    . ( ) 10: , CSclub, 2016 14 / 31

  • : S(f ) = ExU

    yN(x)

    [f (x) f (y)], f : {+1,1}n R.

    f : {+1,1}n {+1,1}

    S(f ) = 1 2 PrxU

    yN(x)