Ïðåäåëû âû÷èñëèìîñòè

èëè

ïî÷åìó ñóùåñòâóþò àëãîðèòìè÷åñêè

íåðàçðåøèìûå çàäà÷è

Ìàð÷åíêî Àíòîí Àëåêñàíäðîâè÷

Anton.Marchenko@kpfu.ru

Ïîâòîðåíèå èçâåñòíûõ ôàêòîâ

I Ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íîñòè ðàçíîãî ðàçìåðà. Íàïðèìåð,

|R| > |N|

I Áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî èìååò òàêîé æå ðàçìåð, ÷òî è |N|,åñëè ìîæíî óñòàíîâèòü ìåæäó ñîîòâåòñòâèå ìåæäó íèìè

(ïðîíóìåðîâàòü)

I Ïðîãðàìì áîëüøå, ÷åì àëãîðèòìîâ

2 / 24

Àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå çàäà÷è

I Ìû ïîêàæåì, ÷òî êîëè÷åñòâî âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷ �

áåñêîíå÷íîñòü áîëüøåãî ðàçìåðà, íåæåëè êîëè÷åñòâî âñåõ

ïðîãðàìì

I Èç ýòîãî áóäåò ñëåäîâàòü ñóùåñòâîâàíèå çàäà÷, êîòîðûì

íåëüçÿ ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íè îäíîãî àëãîðèòìà

I Ïðèâåäåì ïðèìåðû êîíêðåòíûõ íåðàçðåøèìûõ

âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷

3 / 24

Ñêîëüêî âñåãî ïðîãðàìì?

I Òåêñò � ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèìâîëîâ èç íåêîòîðîãî

àëôàâèòà

I Ïðîãðàììû � òåêñòû íà íåêîòîðîì ÿçûêå, ñîñòàâëåííûå èç

ñèìâîëîâ êîíå÷íîãî àëôàâèòà

I Êàæäûé òåêñò èìååò êîíå÷íóþ äëèíó, íî äëèíà íå

îãðàíè÷åíà ñâåðõó, ïîýòîìó òåêñòîâ áåñêîíå÷íî ìíîãî

I Òåêñòû ìîæíî ïðîíóìåðîâàòü îò êîðîòêèõ ê äëèííûì,

ïåðå÷èñëÿÿ èõ â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå

I Ðàçìåð àëôàâèòà íå âëèÿåò íà êîëè÷åñòâî òåêñòîâ

4 / 24

Ñêîëüêî âñåãî ïðîãðàìì?

I Äëÿ ëþáîé ïðîãðàììû ìîæíî óêàçàòü ïðîãðàììó,

ñîäåðæàùóþ íà îäíó êîìàíäó áîëüøå, ïîýòîìó ïðîãðàìì

áåñêîíå÷íî

I Íî ïðîãðàìì íå áîëüøå, ÷åì òåêñòîâ â òîì æå àëôàâèòå,

ïîýòîìó êîëè÷åñòâî ïðîãðàìì ñ÷¼òíî (ðàâíî N)

I Ìîæíî ïðîíóìåðîâàòü ïðîãðàììû âû÷åðêèâàÿ èç ñïèñêà

âñåõ òåêñòîâ òåêñòû, íå ÿâëÿþùèåñÿ ïðîãðàììàìè.

I Îïðåäåëåíèå òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè òåêñò êîððåêòíîé

ïðîãðàììîé ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ àëãîðèòìè÷åñêè. Ýòî

èìåííî òî, ÷åì çàíèìàþòñÿ êîìïèëÿòîðû.

I Êîëè÷åñòâî àëãîðèòìîâ áåñêîíå÷íî, íî íå áîëüøå

êîëè÷åñòâà ïðîãðàìì, ïîýòîìó ÷èñëî àëãîðèòìîâ ñ÷¼òíî

5 / 24

Êîíñòðóêòèâíûå è íåêîíñòðóêòèâíûå îáúåêòû

I Êîëè÷åñòâî àëãîðèòìîâ ñ÷¼òíî, íî êîëè÷åñòâî

äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåñ÷¼òíî

I Ïîýòîìó åñòü äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, äëÿ êîòîðûõ íåò

àëãîðèòìà, ïîñëåäîâàòåëüíî ïå÷àòàþùåãî ïåðâûå n èõ

öèôð

I Ìîæíî íàïå÷àòàòü ïåðâûå n öèôð òîëüêî òåõ

äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå èìåþò êîíå÷íîå

ïðåäñòàâëåíèå

I Íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, òåêñòû,

ïðîãðàììû è àëãîðèòìû èìåþò êîíå÷íîå ïðåäñòàâëåíèå.

Ãîâîðÿò ÷òî îíè � êîíñòðóêòèâíûå îáúåêòû

I Îáúåêòû, íå èìåþùèå êîíå÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ �

íåêîíñòðóêòèâíûå

6 / 24

Çàäà÷è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ

I Âîçìîæíî ñàìûå ïðîñòûå çàäà÷è â èíôîðìàòèêå � çàäà÷è

ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ

I Çàäà÷à ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ íà âîïðîñ ¾îáëàäàåò ëè îáúåêò

ñâîéñòâîì¿ íåäâóñìûñëåííî îòâå÷àåò ¾Äà¿ èëè ¾Íåò¿

I Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ (N,M),ïðîâåðÿþùàÿ ïðèíàäëåæèò ëè íåêîòîðîå ÷èñëî n ∈ Nìíîæåñòâó M ⊆ N

I Äëÿ êàæäîãî M ⊂ N àëãîðèòì A ðàñïîçíà¼ò M , åñëè îí

ðåøàåò çàäà÷ó ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ (N,M)

I Åñëè ïðè ðåøåíèè (N,M) íà âõîäå n àëãîðèòì îòâå÷àåò

¾Äà¿, òî àëãîðèòì ïðèíèìàåò n.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, Aîòâåðãàåò n

7 / 24

Àëãîðèòìè÷åñêàÿ ðàçðåøèìîñòü

I Åñëè ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ðåøàþùèé çàäà÷ó ïðèíÿòèÿ

ðåøåíèÿ (N,M), òî çàäà÷à (N,M) àëãîðèòìè÷åñêèðàçðåøèìà

I Íàïðèìåð, çàäà÷è (N,N÷¼òíûå) è (N,Nïðîñòûå)àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìû.

I Ìû ïîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå àëãîðèòìè÷åñêè

íåðàçðåøèìûõ çàäà÷

I Ìû çíàåì, ÷òî ìîæíî àëãîðèòìè÷åñêè ïåðå÷èñëèòü âñå

ïðîãðàììû. Íî íåïðîñòî àëãîðèòìè÷åñêè ïåðå÷èñëèòü âñå

àëãîðèòìû

I Ïîýòîìó áóäåì äîêàçûâàòü ñóùåñòâîâàíèÿ çàäà÷ ïðèíÿòèÿ

ðåøåíèÿ, íå èìåþùèõ ïðîãðàìì, ðåøàþùèõ èõ

8 / 24

Ïðîãðàììû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿI Ïóñòü M ⊆ N. Ïðîãðàììà P ïðèíèìàåò ìíîæåñòâî M ,åñëè1. Îòâå÷àåò ¾Äà¿ åñëè n ∈M2. Îòâå÷àåò ¾Íåò¿ èëè çàöèêëèâàåòñÿ åñëè n /∈M

I M(P ) � ìíîæåñòâî M ïðèíèìàåìîå ïðîãðàììîé P .P � êîíå÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ïîòåíöèàëüíî áåñêîíå÷íîãî

ìíîæåñòâà M(P )

I Íà M ðåøåíèå àëãîðèòìîì è ïðîãðàììîé èäåíòè÷íî. Íà

îñòàëüíûõ âõîäíûõ äàííûõ ïðîãðàììà ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ

áåñêîíå÷íî, òàê è íå âûäàâ îòâåòà.

I Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ àëãîðèòìû � ïðîãðàììû, íå

äîïóñêàþùèå áåñêîíå÷íûõ âû÷èñëåíèé.

I Ìû ïîêàæåì ÷òî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî M , íå

ïðèíèìàåìîå íè îäíîé ïðîãðàììîé, îòêóäà áóäåò

ñëåäîâàòü àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàçðåøèìîñòü çàäà÷è

(N,M)9 / 24

Åùå îäíî ïðèìåíåíèå äèàãîíàëèçàöèè

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêîãî M ∈ N ïðèìåíèì ìåòîä

äèàãîíàëèçàöèè Êàíòîðà

1 2 3 4 5 · · · i · · ·M(P1) 0 1 1 1 0 · · · 0 · · ·M(P2) 0 1 0 1 0 · · · 1 · · ·M(P3) 0 1 1 0 1 · · · 0 · · ·M(P4) 0 0 1 0 0 · · · 1 · · ·M(P5) 1 0 1 0 1 · · · 1 · · ·

......

......

.... . .

M(Pi) 1 1 0 1 0 · · · 0 · · ·...

......

......

......

. . .

10 / 24

Íåðàçðåøèìàÿ çàäà÷à

1 2 3 4 5 · · · i · · ·Äèàã a11 a22 a33 a44 a55 · · · aii · · ·

M(DIAG) � ìíîæåñòâî, ïîëó÷åííîå èíâåðñèåé áèòîâ íà

äèàãîíàëè òàáëèöû.

Îíî îòëè÷àåòñÿ îò âñåõ M(Pi) (ïðèíèìàåìûõ ñîîòâåòñòâóþùåéïðîãðàììîé Pi)

M(Äèàã) � ìíîæåñòâî, íå ïðèíèìàåìîå íè îäíîé ïðîãðàììîé,

ïîëó÷åííîå äèàãîíàëèçàöèåé

(N,M(DIAG)) � àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìàÿ çàäà÷à

M(DIAG) � ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n, íåïðèíàäëåæàùèõ M(Pn)

11 / 24

Íåðàçðåøèìàÿ çàäà÷à

Õîòÿ (N,M(DIAG)) àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà, ðåçóëüòàò

íàñ íå ñîâñåì óñòðàèâàåò

Îïèñàííàÿ êîíñòðóêöèÿ íå ïðåäëàãàåò àëãîðèòì äëÿ

ïîñòðîåíèÿ DIAG, ïîñêîëüêó òàáëèöó âñåõ ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ Níåâîçìîæíî ïîñòðîèòü àëãîðèòìè÷åñêè.

Êîëè÷åñòâî ñòðîê â òàêîé òàáëèöå íåñ÷¼òíî

Òàêæå çàäà÷à (N,M(DIAG)) íå ñîîòâåòñòâóåò íè îäíîé

ïðàêòè÷åñêîé çàäà÷å, âîçíèêàþùåé åñòåñòâåííûì îáðàçîì

12 / 24

Àëãîðèòìè÷åñêàÿ ñâîäèìîñòü

Ðàññìîòðèì ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ðàñïðîñòðàíèòü

äîêàçàòåëüñòâà àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòè íà äðóãèå

çàäà÷è

Îñíîâíàÿ èäåÿ � ïðåäñòàâèòü äëÿ çàäà÷ îòíîøåíèå ¾íå

ñëîæíåå¿. Ïèøóò U1 ≤àëã U2

13 / 24

Ïðèìåíåíèå àëãîðèòìè÷åñêîé ñâîäèìîñòè äëÿ

äîêàçàòåëüñòâà íåðàçðåøèìîñòè

Åñëè èìååò ìåñòî öåïî÷êà U1 ≤àëã U2 ≤àëã . . . ≤àëã Uk, òîãäà

1. Åñëè Uk àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìà, òî U1, . . . , Uk−1 òîæå

àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìû

2. Åñëè U1 àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà, òî U2, . . . , Uk òîæå

àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìû

Çàäà÷è U1 è U2 èìåþò îäèíàêîâóþ ñëîæíîñòü, åñëè U1 ≤àëã U2

è U2 ≤àëã U1

14 / 24

Ñõåìà àëãîðèòìè÷åñêîé ñâîäèìîñòè

15 / 24

Äâå çàäà÷è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ

Óíèâåðñàëüíàÿ çàäà÷à

Âõîä: ïðîãðàììà P è âõîäíûå äàííûå i ∈ N äëÿ P

Âûõîä: ÄÀ, åñëè P ïðèíèìàåò i (i ∈M(P ))ÍÅÒ, åñëè P íå ïðèíèìàåò i (îòâåðãàåò èëè çàöèêëèâàåòñÿ)

Çàäà÷à îñòàíîâà

Âõîä: ïðîãðàììà P è i ∈ NÂûõîä: ÄÀ, åñëè P îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäíûõ äàííûõ i

ÍÅÒ, åñëè P çàöèêëèâàåòñÿ íà âõîäíûõ äàííûõ i

16 / 24

Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî çàäà÷è îäèíàêîâî ñëîæíû

Ñïåðâà ïîêàæåì ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ çàäà÷à íå ñëîæíåå çàäà÷è

îá îñòàíîâêå.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ðåøàþùèé çàäà÷ó îá

îñòàíîâêå.

Ñâåä¼ì óíèâåðñàëüíóþ çàäà÷ó ê çàäà÷å îá îñòàíîâêå.

17 / 24

Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî çàäà÷è îäèíàêîâî ñëîæíû

Ñïåðâà ïîêàæåì ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ çàäà÷à íå ñëîæíåå çàäà÷è

îá îñòàíîâêå.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ðåøàþùèé çàäà÷ó îá

îñòàíîâêå.

Ñâåä¼ì óíèâåðñàëüíóþ çàäà÷ó ê çàäà÷å îá îñòàíîâêå.

1. B ïåðåäàåò ñâîé âõîä

àëãîðèòìó AHALT

2. AHALT ðåøàåò

îñòàíîâèòñÿ P íà i èëè íåò

3. Åñëè íå îñòàíîâèòñÿ -

îòâåò ÍÅÒ

4. Åñëè îñòàíîâèòñÿ -

çàïóñòèì P íà i èñîîáùèì ðåçóëüòàò

18 / 24

Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî çàäà÷è îäèíàêîâî ñëîæíûÒåïåðü ïîêàæåì ÷òî çàäà÷à îá îñòàíîâêå íå ñëîæíåå

óíèâåðñàëüíîé çàäà÷è

1. Ïîäïðîãðàììà

ìîäèôèöèðóåò òåêñò

ïðîãðàììû P , çàìåíÿÿâñå NO íà Y ES

2. Òàêèì îáðàçîì, âñÿêèé

ðàç, êîãäà P çàâåðøèò

ðàáîòó, áóäåò ïîëó÷åí

îòâåò Y ES

3. Ïåðåäà¼ì

ìîäèôèöèðîâàííûé êîä

àëãîðèòìó AUNIV

4. Îòâåòîì áóäåò

ðåçóëüòàò ðàáîòû

AUNIV19 / 24

Äîêàçàòåëüñòâî íåðàçðåøèìîñòè çàäà÷Ìû ïîêàçàëè ÷òî îáå çàäà÷è îäèíàêîâîé ñëîæíîñòè

Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü èõ àëãîðèòìè÷åñêóþ

íåðàçðåøèìîñòü, íóæíî ñâåñòè ê îäíîé èç íèõ èçâåñòíóþ

íåðàçðåøèìóþ çàäà÷ó

Ñâåäåì (N,M(DIAG)) ê UNIV

1. Ïîäïðîãðàììà

ãåíåðèðóåò i-óþïðîãðàììó Pi

2. ADIAG ïåðåäàåò i è Pi

àëãîðèòìó AUNIV ,

êîòîðûé ðåøàåò

ïðèíàäëåæèò i M(Pi)èëè íåò

3. ADIAG èíâåðòèðóåò

ðåçóëüòàò AUNIV è

âûäà¼ò åãî â êà÷åñòâå

îòâåòà 20 / 24

Ðåçóëüòàò äëÿ èíôîðìàòèêè

Óíèâåðñàëüíàÿ çàäà÷à è çàäà÷à îá îñòàíîâêå � âàæíûå çàäà÷è,

ñâÿçàííûå ñ òåñòèðîâàíèåì ïðîãðàìì.

Ðåàëèè òàêîâû, ÷òî âñå âàæíûå çàäà÷è ïî òåñòèðîâàíèþ

ïðîãðàìì àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìû.

Òî, íàñêîëüêî âñ¼ ïëîõî, ìîæíî ïðåäñòàâèâ ðàññìîòðåâ

íåðàçðåøèìîñòü ñëåäóþùåé çàäà÷è

Êîíñòàíòíûìè ôóíêöèÿìè íàçûâàþòñÿ ôóíêöèè, ðåçóëüòàò

êîòîðûõ íå çàâèñèò îò âõîäíûõ äàííûõ

Ïðîâåðêà âû÷èñëÿåò ëè ïðîãðàììà êîíñòàíòíóþ ôóíêöèþ èëè

íåò � àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà

21 / 24

Èòîãè

I Ñóùåñòâóþò àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå çàäà÷è

I Çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ ïðåäñòàâëåíèåì íåêîíñòðóêòèâíûõ

îáúåêòîâ - íåðàçðåøèìû

I Ìû ïîëó÷èëè "ïëîõîå"ìíîæåñòâî DIAG, êîòîðîå íåëüçÿðàñïîçíàòü íè îäíîé ïðîãðàììîé

I Ìíîãèå âàæíûå è èíòåðåñíûå çàäà÷è íåðàçðåøèìû.Íàïðèìåð:

Êîððåêòíî ëè âûïîëíÿåòñÿ ïðîãðàììà, äîñòèãàåò ëèïîñòàâëåííîé ïåðåä íåé öåëè?Èçáåãàåò ëè ïðîãðàììà áåñêîíå÷íûõ âû÷èñëåíèé(çàöèêëèâàíèé)?

22 / 24

Èòîãè

I Àëãîðèòìè÷åñêè íåâîçìîæíî ïðîâåðèòü âû÷èñëÿåò ëè

ïðîãðàììà êîíñòàíòíóþ ôóíêöèþ

I Òåñòèðîâàíèå ïðîãðàìì íåëüçÿ ïîëíîñòüþ

àâòîìàòèçèðîâàòü.

Ìîæíî ëèøü ïðîâåðèòü ïðîãðàììó íà íàëè÷èå òèïîâûõ

îøèáîê, áåç ãàðàíòèè íàõîæäåíèÿ âñåõ îøèáîê

I Ñèíòàêñè÷åñêèå çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ ïðåäñòàâëåíèåì

ïðîãðàìì - ðàçðåøèìû

I Ñåìàíòè÷åñêèå çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñî ñìûñëîì,

çàëîæåííûì â ïðîãðàììû - íåðàçðåøèìû

23 / 24

Ñïàñèáî çà âíèìàíèå!

24 / 24