第 6 章

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第 6 章第 6 章

機率機率

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指派機率的三個方法指派機率的三個方法指派機率的方法有三種：

•古典方法 (classical approach) ：是數學家用來決定與機會遊戲相關的機率問題。 •相對次數方法 (relative frequency approach) ：是以一個事件在長時期下發生的相對次數定義機率。

•主觀方法 (subjective approach) ：使用他或她的判斷力指派機率給感興趣的實驗結果。

第 6 章機率第 182-183 頁

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古典方法古典方法

如果一項實驗有 n 種可能的結果，這種方法將指派1/n 的機率給每一種結果。因此，判定可能結果的次數是必要的。

實驗：投擲骰子樣本空間 {1, 2, 3, 4, 5, 6}

機率：每一種結果被指派的機率為 1/6 。

第 6 章機率第 183 頁


相對次數方法相對次數方法

Bits & Bytes 電腦商店追蹤一個月 (30天 ) 期間桌上型電腦系統售出的數量 :

例如 ,30天當中的 10天售出 2 部桌上型電腦

由此我們可以建立一事件( 即，在任一給定日子 , 電腦系統售出數量 ) 的機率…

售出的電腦天數

0 1

1 2

2 10

3 12

4 5

第 6 章機率


相對次數方法相對次數方法

“在任何一給定的日期 , 有 40% 的機會 Bits & Bytes 將會賣出 3 部桌上型電腦”。

售出的電腦天數售出的電腦

0 1 1/30 = .03

1 2 2/30 = .07

2 10 10/30 = .33

3 12 12/30 = .40

4 5 5/30 = .17

∑ = 1.00

第 6 章機率第頁


主觀方法主觀方法

「在主觀方法上，我們以對一個事件發生的信賴程度來定義機率。」

例，降雨機率“ P.O.P.”的天氣預測不同的預測者以不同的方法定義“降雨的機率” , 但是基本上它是一種根據過去觀察並且綜合目前天氣狀況的主觀機率。

POP 60%–根據目前狀況 , 有 60% 的機會會下雨。



機率的解析機率的解析

無論使用哪一種指派機率的方法，我們使用無限多次實驗的相對次數方法解析機率。

例如，一種政府的樂透遊戲，其中 6 個號碼 ( 共49 個號碼 ) 會被抽出。古典方法將會預測任何一個號碼被抽出的機率是 1/49=2.04% 。

我們詮釋此機率為：以長時間而言，每一個號碼被抽出的機會是 2.04% 。



聯合、邊際和條件機率聯合、邊際和條件機率

我們研究決定事件機率的各種方法，這些事件是以各種方式與其他事件組合而得。

有幾種事件組合的方式與事件之間的關係：餘集事件交集事件聯集事件互斥事件相依與獨立事件



餘集事件餘集事件

事件 A 的餘集 (complement) 被定義為由“不在 A 中”的所有樣本點組合而成的事件。

A 的餘集是以 Ac 表示之

下列的范氏圖說明餘集的概念。

P(A) + P(Ac ) = 1A Ac



事件的定義事件的定義

例如 , 長方形中存放投擲 2 個骰子所有可能的結果 {(1,1), 1,2),… (6,6)} 令 A = 投擲的總和為 7 {(1,6),

(2, 5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

P( 總和 = 7) + P( 總和不等於 7) = 1

A Ac



兩個事件的交集兩個事件的交集

事件 A 和事件 B 的交集 (intersection) 是 A 和 B 同時發生的事件。

它被表達成 A 且 B 。

A 和 B 的聯合機率是A 和 B 交集的機率，即， P(A 且 B) A B



兩個事件的交集兩個事件的交集

例如 , 令 A = 投擲的第一個骰子為 1 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)}

且 B = 投擲的第二個骰子為 5 {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)}

交集是 {(1,5)}

A 和 B 的聯合機率是A 和 B 交集的機率即 ,P(A 且 B) = 1/36

A B



兩個事件的聯集兩個事件的聯集

事件 A 和 B 的聯集 (union) 是指 A 發生，或 B 發生，或兩者皆發生的事件。

它可以被表達成 A 或 B

A B



兩個事件的聯集兩個事件的聯集

例如 , 令 A = 投擲的第一個骰子為 1 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)}

且 B = 投擲的第二個骰子為 5 {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)}

A 和 B 的聯集是 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

(2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)}

A B



互斥事件…互斥事件…

當兩個事件是互斥 ( 也就是兩個事件不能一起發生 ),它們的聯合機率是 0 ，因此：

A B

互斥 ; 沒有共同點…例如 ,A = 投擲的點數和為 7 且 B = 投擲的點數和為 11



各種機率的基本關係…各種機率的基本關係…

餘集事件

交集事件

聯集事件

互斥事件

A Ac A B

A BA B



範例 6.1範例 6.1

為何有些共同基金的經理人比其他的共同基金經理人成功？一個可能的因素是這類經理人取得他或她的 MBA 學位的地方。假設一個潛在的投資者檢查共同基金表現好壞與基金經理人獲得 MBA 學位處所之間的關係。分析之後，得到表 6.1 ，它是一個聯合機率的分配表。分析這些聯合機率並解析這些結果。

第 6 章機率第 187 頁表 6.1

表 6.1 告訴我們一個共同基金超越市場的表現和它的經理人畢業於前

20 名的 MBA 學程的聯合機率是 .11 。


範例 6.1範例 6.1

為了讓我們的工作簡單一點，我們將用符號來表示事件。令：

A1 = 基金經理人畢業於前 20 名的 MBA 學程A2 = 基金經理人不是畢業於前 20 名的 MBA 學程B1 = 共同基金超越市場的表現B2 = 共同基金沒有超越市場的表現

P(A2 且 B1) = .06= 共同基金超越市場的表現且基金經理人不是畢業於前 20 名的 MBA 學程

第 6 章機率第 187.188 頁表 6.1


邊際機率邊際機率

邊際機率 (marginal probability) 是由計算列總和與行總和所得 ; 也就是，它們被計算在表格的邊際上：

P(B1) = .11 + .06

P(A2) = .06 + .54

共同基金超越市場的表現

基金經理人不是畢業於前 20名的 MBA 學程

機會加總成 1



條件機率條件機率

條件機率是用來決定兩個事件是如何相關聯的；也就是，給定另一相關事件的發生 (條件 ) ，我們可以決定一事件的機率。

條件機率表達成 P(A | B) 並且讀為“ A 給定 B條件下之機率” 並且計算為：

第 6 章機率第 189,190 頁



再次地，在給定另一事件已經發生的條件下，一事件的機率被稱為條件機率…

注意“ A 給定 B” 與“ B 給定 A” 是如何相關的…




範例 6.2 畢業於前 20名 MBA 學程的經理人所管理的基金，它將超越市場表現的機率為何 ?

回顧 :

A1 = 基金經理人畢業於前 20 名的 MBA 學程A2 = 基金經理人不是畢業於前 20 名的 MBA 學程B1 = 共同基金超越市場的表現B2 = 共同基金沒有超越市場的表現

因此，我們想要求的條件機率表達成 P(B1 | A1) 。

第 6 章機率第 188.190 頁



我們想計算 P(B1 | A1)

因此，畢業於前 20 名 MBA 學程經理人所管理的基金，有27.5% 的機會將超越市場的表現。

B1 B2 P(Ai)

A1.11 .29 .40

A2.06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00



獨立獨立

一個計算條件機率的目的是判定兩個事件是否相關。

具體地說，我們希望知道是否它們是獨立事件，從另一個角度來看，兩個事件是獨立的，假如一個事件發生的機率不會被另外一個事件的發生所影響。

兩事件 A 和 B 被稱為是獨立，如果P(A|B) = P(A)

或P(B|A) = P(B)



獨立獨立例如，我們看見P(B1 | A1) = .275

B1 的邊際機率是： P(B1) = 0.17

因為 P(B1|A1) ≠ P(B1), B1 與 A1 為非獨立的事件

換言之，它們是相依的。也就是， (B1) 事件的機率會受另外一個事件 (A1) 發生的影響。



聯集聯集

我們先前敘述過兩事件的聯集被表達成 :

A 或 B 。我們可以使用此觀念回答如下的問題：

決定一個隨機選取的共同基金超越市場的表現或它的經理人畢業於前 20 名 MBA 學程的機率。



聯集聯集決定一個基金超越市場表現 (B1)

或它的經理人畢業於前 20 名 MBA 學程的機率 (A1) 。

B1 B2 P(Ai)

A1.11 .29 .40

A2.06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

A1 或 B1 發生，每當 :

A1 且 B1 發生 , A1 且 B2 , 或 A2 且 B1 發生…

P(A1 or B1) = .11 + .06 + .29 = .46

第 6 章機率第 192, 193 頁


B1 B2 P(Ai)

A1.11 .29 .40

A2.06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

決定一個基金超越市場表現 (B1)

或它的經理人畢業於前 20 名 MBA 學程的機率 (A1) 。

B1

聯集聯集

P(A1 or B1) = .11 + .06 + .29 = .46


A1


取 100% 並且減去“當不是 ( 非 ) A1 或 B1 發生時” ?

即，在 A2 且 B2

B1 B2 P(Ai)

A1.11 .29 .40

A2.06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

另一種選擇…另一種選擇…

P(A1 或 B1) = 1 – P(A2 且 B2) = 1 – .54 = .46


A1

B1


機率法則和樹狀圖機率法則和樹狀圖

我們將介紹三個法則，幫助我們從比較簡單的事件去計算更複雜事件的機率。

餘集法則 (Complement Rule)

乘法法則 (The Multiplication Rule)

加法法則 (Addition Rule)

第 6 章機率第 196.197.199 頁


餘集法則餘集法則

事件 A 的餘集 (complement) 是 A 事件不發生的事件。對任何事件 A

P(AC) = 1 – P(A)

例如，投擲一顆骰子，投擲出 “ 1” 的機率是 1/6 。投擲出除了 1 之外其他數字的機率是 1 – 1/6 = 5/6 。



乘法法則乘法法則乘法法則 (multiplication rule) 是用以計算兩個事件的聯合機率。它是基於前一章所介紹的條件機率公式。也就是，從下列的公式：

我們簡單地將兩邊同乘以 P(B) 即可導出乘法法則。

P(A 且 B) = P(B) P(A | B)

或者是另一種表達方式

P(A 且 B) = P(A) P(B | A)

任何兩獨立事件 A 和 B 的聯合機率是 P(A 且 B) = P(A) P(B)第 6 章機率第 197 頁


範例 6.5範例 6.5

一門研究所的統計課程有 7 位男學生和 3 位女學生。授課教授希望隨機抽選 2 位學生以幫助她進行一項研究方案。抽到的 2 位學生皆是女性的機率為何？

令 A 表示第一位抽出學生為女性的事件

P(A) = 3/10 = .30

下一位學生又是如何呢？

第 6 章機率第 197-198 頁


範例 6.5範例 6.5


B 表示第二位抽出學生也為女性的事件

P(B | A) = 2/9 = .22

在抽出一位學生之後，班上只剩下 9 位學生。給定第一位抽出學生是女性的條件下，僅剩下 2 位女學生。故 2 (女性 ) / 9 (剩下的學生 ) = 2/9



範例 6.5範例 6.5


因此 , 我們要回答此一問題 : P(A and B) 為何 ?

“ 這位教授從她的 10 人研究所班級中抽到 2位女性學生的機率是 6.7% ”



範例 6.6範例 6.6

參考範例 6.5 。假如教該課程的教授遭受到流行性感冒而且將無法來上接下來的兩堂課。來代課的教授將替她教課兩次。他的風格是上課隨時會隨機抽出一位學生並要他或她回答問題。抽到 2 位學生皆是女性的機率為何？

令 A 表示第一位抽出學生為女性的事件

P(A) = 3/10 = .30

下一位學生又是如何呢？第 6 章機率第 198 頁


範例 6.6範例 6.6

B 表示第二位抽出學生也為女性的事件

P(B | A) = 3/10 = .30

也就是，給定第一位被選出學生是女性的條件下，第二位被抽出學生也是女性的機率是不變的，因為在第一堂課中被抽出的學生，在第二堂課中也可以被抽出。

P(A 且 B) = P(A)P(B) = (3/10)(3/10) = 9/100 = .090



加法法則加法法則

事件 A ，或事件 B ，或兩事件都發生的機率是

P(A 或 B) = P(A) + P(B) – P(A 且 B)

A B A B= + –

P(A 或 B) = P(A) + P(B) – P(A 且 B)如果 A 和 B 是互斥，那麼此項為零

第 6 章機率


範例 6.7範例 6.7

在一個大城市裡，有兩家發行報紙──《太陽報》(Sun) 和《郵報》 (Post) 。其發行部門指出該城市22% 的家庭訂閱《太陽報》和 35% 訂閱《郵報》。一份調查顯示有 6% 的家庭兩家報紙皆有訂閱。有多少比例的家庭訂閱其中一種報紙？

我們可以將這個問題表達成，隨機抽取城市的一個家庭，則該家庭訂閱《太陽報》，或《郵報》，或兩種報的機率為何？

P( 太陽報或郵報 ) ？第 6 章機率第 200 頁


範例 6.7範例 6.7

在一個大城市裡，有兩家發行報紙──《太陽報》(Sun) 和《郵報》 (Post) 。其發行部門指出該城市22% 的家庭訂閱《太陽報》和 35% 訂閱《郵報》。一份調查顯示有 6% 的家庭兩家報紙皆有訂閱。有多少比例的家庭訂閱其中一種報紙？

P(Sun or Post) = P(Sun) + P(Post) – P(Sun and Post)= .22 + .35 – .06 = .51

“一個隨機抽取的家庭至少訂閱其一種報紙的機率是 .51”



機率樹狀圖機率樹狀圖

一個有效且簡單應用機率法則的方法是機率樹狀圖，當中一個實驗的事件用線條來表示。結果的圖形呈現樹的形狀，也因此得到樹狀圖的名稱。我們將用數個範例來介紹樹狀圖的使用，包括前面兩個我們曾單獨用來解說機率法則的範例。

第 6 章機率第 200-201 頁


範例 6.5範例 6.5

第一次抽取第二次抽取

P(F) = 3/10

P( M) = 7/10P(F|M) = 3/9

P(F|F) = 2/9

P( M|M) = 6/9

P( M|F) = 7/9

這是 P(F), 第一次抽取出一位女性學生的機率

這是 P(F|F),第二次抽取出一位女性學生的機率是基於第一次已被選取出的女性



我們把相連結「樹枝上」的機率相乘以計算聯合機率。其他的聯合機率也是以類似的方式計算。


第 6 章機率第 201 頁圖 6.1


範例 6.6範例 6.6再次地，假設我們有 10 人的研究所班級，但是讓學生的抽樣獨立，也就是 “用放回的方式”–一位學生在第一次被抽選出，可以在第二次又被抽選出。我們的樹狀圖與聯合機率現在看起來如下所示：

第 6 章機率第 201 頁圖 6.2


3/9 + 6/9= 9/9 = 1

2/9 + 7/9= 9/9 = 1

3/10 + 7/10= 10/10 = 1


在樹枝「尾端」的所有聯合機率的總和必須是 1

第一次抽取第二次抽取

P(F) = 3/10

P( M) = 7/10P(F|M) = 3/9

P(F|F) = 2/9

P( M|M) = 6/9

P( M|F) = 7/9

方便的方法可以檢查這些計算




注意：樹枝的分裂並沒有要求是二元的，樹也不要求只有兩個階層的深度，每一個次節點的分裂數也不一定會相同…

第 6 章機率


範例 6.8範例 6.8

從法學院畢業的學生必須要通過一項律師資格考試才能成為正式的律師。假如在一個特別的管轄區，第一次參加考試的通過率是 72 ％。第一次考試失敗的律師候選人還可以在數個月之後再考第二次。對那些初次考試失敗的人，有 88 ％會通過他們的第二次考試。試求一位隨機選取的法學院畢業生能夠成為正式律師的機率。假設每位候選人只能參加兩次考試。

第 6 章機率第 202 頁圖 6.3


範例 6.8範例 6.8

一位隨機選取的法學院畢業生能夠成為正式律師的機率？「有 96.64% 的申請人可以通過第一次或第二次考

試而成為正式的律師。」

第 6 章機率第 202-203 頁圖 6.3


貝氏定理貝氏定理

貝氏定理是以 Thomas Bayes命名，其為 18世紀的數學家。

它的最基本型式，假設我們知道 P(B | A) ，

我們可以應用貝氏定理以決定 P(A | B)

P(B|A) P(A|B)

第 6 章機率


範例 6.9 　範例 6.9 　

管理學院研究生入學測驗 (Graduate Management Admission Test,GMAT) 是所有 MBA 學程申請人必須要參加的考試。有各種各樣的準備課程被設計來幫助大家增進 GMAT 的分數。 GMAT 分數的範圍是在 200 到 800 之間。根據一項對MBA 學生的調查顯示， GMAT 成績在 650 分以上的人，有 52% 曾參加準備課程，然而 GMAT 成績低於 650 的人，僅有 23% 曾參加準備課程。假設一位特定 MBA 學程的申請人需要一個高於 650 分的 GMAT 成績來進入該學程，但是他覺得他會得到如此高成績的機率非常低── 10% 。他考慮參加一項準備課程，需花費 $500 。只有在他考 650 分以上的機率會加倍的情況之下，他才願意參加這樣的課程。他應該怎麼做呢？



範例 6.9 　範例 6.9 　

令 A ＝ GMAT 成績在 650 分或以上 AC = GMAT 成績低於 650

得到 650 分或以上的機率是：P(A) = .10

餘集法則告訴我們P(AC) = 1 – .10 = .90



範例 6.9 　範例 6.9 　令 B ＝有參加準備課程 BC＝沒有參加準備課程

由我們的調查資料，我們得知 GMAT 超過 650 分的人當中，有 52% 參加準備課程，也就是 :

P(B | A) = .52(找到一位學生有參加準備課程的機率，給定他們的分數超過 650 分的條件… )

但是我們的學生想知道 P(A | B) ，也就是，在有參加準備課程的條件下，得到超過 650 分的機率為何？

如果這個機率是 >20% ，他將願意花 $500參與準備課程。第 6 章機率第 205 頁


範例 6.9 　範例 6.9 　

GMAT 低於 650 分的人當中，只有 23% 參加準備課程，也就是 :

P(B |AC ) = .23

(找到一位學生有參加準備課程的機率，給定他或她的分數低於 650 分的條件… )



範例 6.9 　範例 6.9 　

條件機率是P(B | A) = .52

和P(B |AC ) = .23

再應用餘集法則，我們得到下列的條件機率P(BC | A) = 1 –.52 = .48

和P(BC | AC ) = 1 –.23 = .77

第 6 章機率第 205-206 頁


範例 6.9 　範例 6.9 　

根據條件機率的定義，我們得到

分子和分母都是未知的。

機率樹狀圖將提供我們計算所需的機率。



範例 6.9 　範例 6.9 　

為了由P(B | A) = 0.52 到 P(A | B) = ??

我們必須應用貝氏定理。機率樹狀圖：

第 6 章機率第 206 頁圖 6.4

現在我們僅需要 P(B) !


範例 6.9 　範例 6.9 　

為了由此開始P(B | A) = 0.52 到 P(A | B) = ??

我們必須應用貝氏定理。機率樹狀圖：

第 6 章機率第 206 頁圖 6.4

邊際機率P(B) = P(A 且 B) +P(AC 且 B) = .259


範例 6.9 　範例 6.9 　

因此

當有參加準備課程時，得到 650 分或以上 GMAT 成績的機率加倍了。

第 6 章機率第 206-207 頁


貝氏定理的專有名詞貝氏定理的專有名詞

機率 P(A) 和 P(AC) 被稱為事前機率 ( prior probabilities) ，因為它們是在決定是否參加準備課程事前被決定的。

條件機率 P(A | B) 被稱為事後機率 (posterior probability ) 或調整後機率 (revised probability) ，因為它們是在知道是否參加準備課程之後被更新的事前機率。


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