Hilbertlegacy.cup.gr/Files/files/chapters/kbanto_II_kef_15.pdf · ΕΙΣΑΓΩΓΗ 651 d,όπουτοd –δηλαδήοαριθµός των βασικών διανυσµάτων–

κ ε φ ά λ α ι ο

15ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΜΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩ∆ΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Εισαγωγή Η αναγκαιότητα του κβαντικού υπολογιστήΜε τούτο το κεφάλαιο εισερχόmicroαστε πλέον στην περιοχή του αγνώστου Εκεί όπουόλα microπορούν να συmicroβούν από microια microεγάλη τεχνολογική και επιστηmicroονική επανά-σταση έως τίποτα ή σχεδόν ∆ιότι στην επιστήmicroη ακόmicroα και η αρνητική έκβασηενός microεγάλου εγχειρήmicroατος είναι πάντα πλούσια σε ανακαλύψεις αν και όχι πάνταεκείνες που επιδιώκαmicroε Το θέmicroα microας είναι οι κβαντικοί υπολογιστές Οι υπολογι-στές στους οποίους η βασική microονάδα εγγραφής και επεξεργασίας της πληροφορίαςστο δυαδικό σύστηmicroα ndashmicroε τα γνωστά δύο ψηφία 0 και 1ndash δεν είναι πλέον ένα κλα-σικό αντικείmicroενο πχ microια microαγνητική ψηφίδα microνήmicroης αλλά ένα κβαντικό σύστηmicroαΠαραδείγmicroατος χάριν ένα άτοmicroο υδρογόνου στη θεmicroελιώδη του κατάσταση όπουτοmicroηδέν αντιπροσωπεύεται από την ηλεκτρονιακή κατάστασηmicroε σπιν πάνω και τοένα από την κατάσταση microε σπιν κάτω Για προφανείς λόγους θα συmicroβολίζουmicroε τηνπρώτη κατάσταση (σπιν πάνω) microε το διάνυσmicroα ket |0〉 και τη δεύτερη (σπιν κάτω)microε το διάνυσmicroα |1〉 Όmicroως ακριβώς επειδή το άτοmicroο ndashκαι ειδικότερα το ηλεκτρό-νιό τουndash είναι ένα κβαντικό σύστηmicroα εκτός από τις παραπάνω δύο καταστάσεις|0〉 και |1〉 θα είναι επίσης microια πραγmicroατοποιήσιmicroη κατάσταση και κάθε γραmicromicroικόςτους συνδυασmicroός της microορφής

|ψ〉 = α|0〉 + β|1〉microε |α|2 + |β|2 = 1 για τους γνωστούς λόγους Και είναι φανερό ότι εδώ ακριβώςβρίσκεται η πηγή της θεmicroελιώδους διαφοράς microεταξύ ενός κλασικού και ενός κβαν-τικού υπολογιστή Ότι στη δεύτερη περίπτωση η βασική microονάδα microνήmicroης microπορεί

650 ΚΕΦ 15 ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

να βρίσκεται όχι microόνο στις καταστάσεις 0 και 1 αλλά και σε κάθε δυνατή επαλ-ληλία τους Το τι εκπληκτικές νέες δυνατότητες ενυπάρχουν σε αυτό το βασικόγεγονός θα το δούmicroε σύντοmicroα Προς το παρόν ndashστο πλαίσιο τούτης της σύντοmicroηςεισαγωγήςndash θα εξετάσουmicroε απλώς τους κύριους λόγους που κάνουν τον ερχοmicroότου κβαντικού υπολογιστή κατά πολλούς αναπόφευκτο Ο ένας λόγος είναι πολύπρακτικός Έχει να κάνει microε τον λεγόmicroενο νόmicroο του Moore Την εmicroπειρική δια-πίστωση ότι περίπου κάθε δύο χρόνια η χωρητικότητα της microνήmicroης των κλασικώνυπολογιστών διπλασιάζεται Έτσι microε έναν τέτοιο ρυθmicroό σmicroίκρυνσης της βασικήςmicroονάδας microνήmicroης είναι θέmicroα χρόνου ndashτο πολύ δύο δεκαετίες λένε οι ειδικοίndash πουη microονάδα αυτή θα αποκτήσει ατοmicroικές διαστάσεις Οπότε βεβαίως η εφαρmicroογήτων κβαντικών νόmicroων ndashγια το καλό ή για το κακό()ndash θα είναι αναγκαστική

Έναν πιο θεmicroελιώδη λόγο για την αναγκαιότητα των κβαντικών υπολογιστώνπαρουσίασε ο Richard Feynman το 1982(lowast) Το επιχείρηmicroα του Feynman είναιπράγmicroατι πολύ θεmicroελιώδες Η βασική του ιδέα είναι η εξής Ότι η υπολογιστικήπολυπλοκότητα των κβαντικών συστηmicroάτων ndashmicroετρηmicroένη σε αριθmicroό αναγκαίωνπράξεων για την επίλυσή τουςndash είναι τόσο πολύ microεγαλύτερη (στην πραγmicroατικότη-τα εκθετικά microεγαλύτερη) από τα αντίστοιχα κλασικά συστήmicroατα ώστε microπορεί νααντιmicroετωπιστεί microόνο microε έναν υπολογιστή που θα είναι κι αυτός ένα κβαντικό σύ-στηmicroα ∆ηλαδή έναν κβαντικό υπολογιστή Η δικαιολόγηση αυτού του ισχυρισmicroούείναι πολύ απλή Ο υπολογισmicroός ενός κλασικού συστήmicroατος συνίσταται στην επί-λυση ενός (microη γραmicromicroικού εν γένει) συστήmicroατος διαφορικών εξισώσεων δευτέραςτάξεως πλήθους 3N όπου N ο αριθmicroός των σωmicroατιδίων του συστήmicroατος ενώβέβαια το 3 αντιστοιχεί στον αριθmicroό των συντεταγmicroένων x y και z που απαιτούν-ται για τον προσδιορισmicroό της θέσης του καθενός Η υπολογιστική πολυπλοκότη-τα του συστήmicroατος ndashγια τη δεδοmicroένη ακρίβεια που επιδιώκουmicroεndash θα αυξάνεταιλοιπόν ανάλογα microε το microέγεθός του δηλαδή τον αριθmicroό των σωmicroατιδίων του (Ανκαι η microη γραmicromicroικότητα των εξισώσεων ndashκαι η αναmicroενόmicroενη εmicroφάνιση χαοτικήςσυmicroπεριφοράςndash αυξάνουν σηmicroαντικά αυτή την εκτίmicroηση)

Κοιτάξτε τώρα πόσο διαφορετική είναι η κατάσταση σε ένα κβαντικό σύστηmicroαmicroε τον ίδιο αριθmicroό σωmicroατιδίων δηλαδή N Κατrsquo αρχάς έστω και microε ένα microόνο σω-microατίδιο το πρόβληmicroα που έχουmicroε να λύσουmicroε ndashπαραδείγmicroατος χάριν ο υπολογι-σmicroός των ενεργειακών ιδιοτιmicroών του σωmicroατιδίου microέσα στο δεδοmicroένο δυναmicroικόndashείναι πολύ απαιτητικό σε υπολογιστικό χρόνο παρότι γραmicromicroικό Θα πρέπει ναδιαγωνιοποιήσουmicroε microια microήτρα ndashας πούmicroε τη χαmicroιλτονιανή microήτρα Hndash που είναιθεωρητικά απειροδιάστατη αφού τόση είναι και η διάσταση του σχετικού χώρουHilbert Στην πράξη γινόmicroαστε βεβαίως πιο laquoολιγαρκείςraquo και προσεγγίζουmicroε τοναπειροδιάστατο αυτό χώρο microε έναν πεπερασmicroένης διάστασης ας πούmicroε ίσης microε

(lowast) RP Feynman Simulating Physics with computers Int J Theor Phys 21467 1982

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 651

d όπου το d ndashδηλαδή ο αριθmicroός των βασικών διανυσmicroάτωνndash microπορεί να αυξη-θεί όσο θέλουmicroε (ή όσο microπορούmicroε) ανάλογα microε την επιδιωκόmicroενη ακρίβεια Αντώρα έχουmicroε δυο σωmicroατίδια ndashας τα πούmicroε 1 και 2ndash τότε ο χώρος Hilbert τωνδυνατών καταστάσεών τους θα είναι (δείτε Κεφ 4 sect 4) το τανυστικό γινόmicroενοH1 otimes H2 των χώρων Hilbert του καθενός και η διάστασή του θα είναι ίση microεd2 αν κάνουmicroε την ίδια προσέγγιση και στους δύο επιmicroέρους χώρους Τους θεω-ρήσουmicroε δηλαδή και τους δύο ως χώρους πεπερασmicroένης διάστασης ίσης microε d Καιη γενίκευση για N σωmicroατίδια είναι προφανής Τώρα ο σχετικός χώρος HilbertH = H1 otimesH2 otimes middot middot middot otimesHN έχει διάσταση D = dN και αντίστοιχα για τις κβαντο-microηχανικές microήτρες ndashόπως η χαmicroιλτονιανήndash που αντιπροσωπεύουν τα φυσικά microε-γέθη του συστήmicroατος Η διάστασή τους θα είναι D times D = dN times dN Ένα απλόπαράδειγmicroα θα microας βοηθήσει να καταλάβουmicroε σε τι περιπέτεια έχουmicroε microπλέξειΈστω ότι d = 10 και N = 100 Ότι δηλαδή έχουmicroε ένα σύστηmicroα εκατό σωmicroατιδί-ων ndashπερίπου ο αριθmicroός ηλεκτρονίων ενός microικρού microορίου από ελαφρά στοιχείαndashκαι ότι έχουmicroε προσεγγίσει τον χώρο Hilbert του καθενός microε έναν χώρο microόνο δέκαδιαστάσεων (Μια πολύ χονδροειδής προσέγγιση βεβαίως) Και όmicroως αν θέλαmicroενα υπολογίσουmicroε τις ενεργειακές ιδιοτιmicroές αυτού του συστήmicroατος από πρώτες αρ-χές ndashδηλαδή χωρίς τις συνήθεις προσεγγίσεις της microοριακής φυσικήςndash θα έπρεπενα διαγωνιοποιήσουmicroε microια χαmicroιλτονιανή microήτρα διαστάσεων 10100times10100 Όταν οαριθmicroός των σωmicroατιδίων όλου του ορατού σύmicroπαντος είναι laquomicroόνοraquo 1080 Το συmicro-πέρασmicroα είναι προφανές Επειδή η υπολογιστική πολυπλοκότητα των κβαντικώνσυστηmicroάτων αυξάνεται εκθετικά συναρτήσει του αριθmicroού των σωmicroατιδίων τους ndashέναντι microόνο microιας γραmicromicroικής αύξησης για τα κλασικά συστήmicroατα (dN έναντι 3N )ndashη επίλυσή τους από πρώτες αρχές (πλην ελαχίστων εξαιρέσεων) είναι ένα ανέφικτοπρόβληmicroα Απλούστατα δεν γίνεται ∆εν γίνεται σε έναν κλασικό υπολογιστή είναιβέβαια η σωστή διατύπωση Αλλά γιατί να γίνεται σε έναν κβαντικό υπολογιστήοτιδήποτε κι αν σηmicroαίνει αυτό Για έναν λόγο πολύ απλό όσο και θεmicroελιώδη Αφούο κβαντικός κόσmicroος υπάρχει σηmicroαίνει ότι microάλλον τα καταφέρνει να λύνει τιςεξισώσεις του Πώς τις λύνει Απλώς υπάρχοντας Κατά κάποιον τρόπο η ίδια ηύπαρξη ενός κβαντικού συστήmicroατος ndashόπως βέβαια και ενός κλασικούndash είναι microιαέmicroπρακτη επίλυση των σχετικών εξισώσεων Απλώς έχουmicroε κάποια δυσκολία ναlaquoδιαβάσουmicroεraquo τη λύση επειδή το laquoπράγmicroαraquo δεν φτιάχτηκε γιrsquo αυτόν ακριβώς τοσκοπό (Αν και ποιος ξέρει) Αν όmicroως εmicroείς ndashσυνεχίζει ο συλλογισmicroόςndash κατα-σκευάσουmicroε ένα τεχνητό κβαντικό σύστηmicroα που να microπορούmicroε να το laquoπρογραmicro-microατίζουmicroεraquo απrsquo έξω αλλά και να το laquoδιαβάζουmicroεraquo τότε αυτό θα λύνει το πρόβληmicroάmicroας απλώς υπάρχοντας ∆ηλαδή απλώς δουλεύοντας microε βάση τους κβαντικούςνόmicroους Τόσο απλό Τόσο απλό που ίσως και να microην γίνει ποτέ Η περιπέτειατώρα αρχίζει


1 Η βασική έννοια Κβαντικά δυαδικά ψηφίαΘα αρχίσουmicroε microε microια microικρή δόση βασικής ορολογίας από το πεδίο των κλασι-κών υπολογιστών Η βασική έννοια εδώ είναι το bit το binary digit το δυαδικόψηφίο Ελληνική σύντmicroηση το δυφίο Bit σηmicroαίνει όmicroως και το microικρό κοmicromicroάτι τοκοmicromicroατάκι Ότι δηλαδή και η ελληνική λέξη ψηφίο στην πρωτογενή της σηmicroασία(equivψηφίδα) Έτσι το bit ως επιστηmicroονικός όρος δηλώνει ταυτόχρονα το δυαδικόψηφίο ndashτο 0 ή το 1ndash αλλά και το ελάχιστο κοmicromicroάτι microνήmicroης Εκεί που εγγράφεταικαι γίνεται αντικείmicroενο επεξεργασίας το δυαδικό ψηφίο Επιπλέον το bit έχει συmicro-φωνηθεί να αντιπροσωπεύει και την microονάδα πληροφορίας Ένα απλό παράδειγ-microα Αν γνωρίζουmicroε τα καταχωρηmicroένα ψηφία ας πούmicroε σε πέντε θέσεις microνήmicroης ηπληροφορία που κατέχουmicroε αξιολογείται ποσοτικά ως πέντε bit(lowast) Όλες αυτές οιιδιότητες του bit ndashδυαδικό ψηφίο θέση microνήmicroης microονάδα πληροφορίαςndash κληροδο-τούνται βεβαίως στον αντίστοιχο ελληνικό όρο το δυφίο

Και προχωρούmicroε τώρα στην εισαγωγή της αντίστοιχης έννοιας για έναν κβαν-τικό υπολογιστή Όπου τώρα ndashσύmicroφωνα microε όσα είπαmicroε πρινndash η θέση microνήmicroης (τοδυφίο) αποκτά κβαντικό χαρακτήρα Γίνεται ένα κβαντικό σύστηmicroα microε δύο microόνοβασικές καταστάσεις τις |0〉 και |1〉 Οπότε βεβαίως θα είναι microια επιτρεπτή κατά-σταση του συστήmicroατος και κάθε γραmicromicroικός τους συνδυασmicroός της microορφής

|ψ〉 = α|0〉 + β|1〉 (151)

όπου το |α|2 δηλώνει την πιθανότητα να βρίσκεται η συγκεκριmicroένη θέση microνήmicroηςστην κατάσταση |0〉 ενώ το |β|2 είναι η πιθανότητα να βρίσκεται στην κατάσταση|1〉 Και θα είναι βεβαίως

|α|2 + |β|2 = 1

Στην περίπτωση του κβαντικού υπολογιστή λοιπόν το bit ndashως φυσικό αντικείmicroενοndashείναι ένα κβαντικό σύστηmicroα ένα quantum bit και κατά σύντmicroηση qubit Ελληνικήαπόδοση κβαντικό δυφίο ή απλούστερα κβαντοδυφίο

(lowast) Σηmicroειώστε σχετικά ότι η laquoπληροφοριακή αξίαraquo microιας πληροφορίας ορίζεται ποσοτικά ως εξής

I = log2 N minus log2 M = log2(NM) (1)

όπου N ο αριθmicroός των περιπτώσεων (που έπρεπε να ερευνηθούν) πριν δοθεί η συγκεκριmicroένηπληροφορία και M ο (microικρότερος πλέον) αριθmicroός τους microετά την παροχή της συγκεκριmicroένηςπληροφορίας Έτσι παραδείγmicroατος χάριν αν είχαmicroε πέντε θέσεις microνήmicroης και δεν γνωρίζαmicroετίποτε για τα ψηφία 0 ή 1 που έχουν εγγραφεί εκεί ο αριθmicroός των δυνατών περιπτώσεων εί-ναι προφανώς N = 25 Αν όmicroως πληροφορηθούmicroε ότι τα τρία πρώτα από αυτά είναι ndashκατάσειράνndash τα 0 1 0 και δεν γνωρίζουmicroε τίποτα για τα άλλα δύο τότε ο αριθmicroός των δυνατών πε-ριπτώσεων (που πρέπει να ψαχτούν) έχει περιοριστεί πλέον στο M = 22 Σύmicroφωνα microε τονορισmicroό (1) θα είναι λοιπόν I = 3 equiv 3 bit ακριβώς όπως το περιmicroένουmicroε Η πληροφορία είναιτόσα bit όσες οι θέσεις microνήmicroης που microάθαmicroε την τιmicroή τους

1 Η ΒΑΣΙΚΗ ΕΝΝΟΙΑ ΚΒΑΝΤΙΚΑ ∆ΥΑ∆ΙΚΑ ΨΗΦΙΑ 653

Η microνήmicroη του υπολογιστή ndashτου κβαντικού στην περίπτωσή microαςndash θα αποτελεί-ται βέβαια όχι microόνο από ένα qubit ndashένα κβαντοδυφίοndash αλλά από έναν επαρκήαριθmicroό από αυτά τοποθετηmicroένα σχετικά κοντά αλλά όχι πολύ κοντά ώστε να εί-ναι δυνατός ο ανεξάρτητος laquoέλεγχόςraquo τους microε κατάλληλα εξωτερικά πεδία Στηναπλή περίπτωση ενός κβαντικού υπολογιστή microε δύο κβαντοδυφία οι δυνατές κα-ταστάσεις του συστήmicroατος θα είναι προφανώς οι

|00〉 equiv |0〉|0〉|10〉 equiv |1〉|0〉

|01〉 equiv |0〉|1〉|11〉 equiv |1〉|1〉

και θα αποτελούν microια πλήρη βάση στον τετραδιάστατο πλέον χώρο των δύο κβαν-τοδυφίων Η γενική κατάσταση της microνήmicroης ndashή του καταχωρητή (register) όπωςεπίσης λέγεταιndash θα περιγράφεται από την επαλληλία

|ψ〉 = c00|00〉 + c01|01〉 + c10|10〉 + c11|11〉

όπου βέβαια η τετραγωνισmicroένη απόλυτη τιmicroή καθενός από τους παραπάνω συντε-λεστές θα δίνει την πιθανότητα να βρούmicroε τον καταχωρητή στην αντίστοιχη κβαν-τική κατάσταση Και θα είναι βεβαίωςsum

αβ

|cαβ |2 = 1 α β isin 0 1

όπου 0 1 το (διmicroελές) σύνολο των δύο ψηφίων 0 και 1Για έναν κβαντικό υπολογιστή microεN θέσεις microνήmicroης το τυχόν στοιχείο της υπολο-

γιστικής βάσης ndashέτσι αποκαλούνται τα βασικά διανύσmicroατα της microορφής |011 〉 equiv|0〉|1〉|1〉 κλπndash θα γράφεται ως

|x〉 = |x1 xN 〉 equiv |x1〉|x2〉 |xN 〉

όπου x1 x2 xN είναι οι δυαδικές microεταβλητές για την κάθε θέση microνήmicroης ndashτοκάθε κβαντοδυφίοndash και το x ένας πυκνός συmicroβολισmicroός για τη νιάδα x1 xN ∆ηλαδή x equiv x1 xN Η γενική κβαντική κατάσταση της microνήmicroης (ή του κατα-χωρητή) θα γράφεται λοιπόν ως

|ψ〉 =sum

x

cx|x〉 equivsum

x1xN

cx1xN|x1 xN 〉

microε συνθήκη κανονικοποίησης τηνsumx

|cx|2 = 1


Ως προς τη διάσταση αυτού του χώρου δηλαδή το πλήθος των βασικών του δια-νυσmicroάτων

|x1 xN 〉 equiv |x1〉|x2〉 |xN 〉αυτή θα ισούται προφανώς microε

D = 2N

αφού τόσοι είναι οι συνδυασmicroοί δύο βασικών διανυσmicroάτων από το πρώτο κβαν-τοδυφίο microε δύο από το δεύτερο δύο από το τρίτο κοκ Ακόmicroα και microε έναν πολύmicroικρό αριθmicroό κβαντοδυφίων (πχ N = 200) ndashασήmicroαντο microε τα microέτρα ενός κλασι-κού υπολογιστήndash η διάσταση αυτού του χώρου είναι εξωφρενική ∆εδοmicroένου ότι2n 10n23 θα είναι

D = 2200 1020023 1087

που είναι ένας αριθmicroός microεγαλύτερος από τον αριθmicroό των υλικών σωmicroατιδίων όλουτου ορατού σύmicroπαντος Πρόκειται βέβαια για τον ίδιο εκθετικό νόmicroο που επιση-microάναmicroε και στην εισαγωγή αλλά microε d = 2 αφού τώρα τα σωmicroατίδιά microας (equiv τακβαντοδυφία) θεωρούνται ως δικαταστασιακά συστήmicroατα και άρα ο χώρος Hilbertτου καθενός έχει διάσταση δύο

Βρισκόmicroαστε έτσι ξανά microπροστά στις εκπληκτικές ndashσχεδόν αδιανόητεςndash δυνα-τότητες του κβαντικού υπολογιστή Πάνω σε έναν υπολογιστή microε διακόσιες microόνοθέσεις microνήmicroης microπορεί να laquoφορτωθείraquo και να γίνει αντικείmicroενο επεξεργασίας πλη-ροφορία 2200 bitequiv 2200 δυφίων Σαφώς περισσότερη από ότι σε όλα τα υλικάσωmicroατίδια του σύmicroπαντος αν θεωρηθούν ως κλασικές θέσεις microνήmicroης ως κλασι-κά δυφία Και ο λόγος γιrsquo αυτό αξίζει να αναλυθεί και από microια διαφορετική γωνίαπου φωτίζει πολύ καλύτερα τη βασική αρχή λειτουργίας του κβαντικού υπολογι-στή Το βασικό γεγονός είναι η δυνατότητα των κβαντικών δυφίων να υπάρχουν σεκαταστάσεις επαλληλίας της microορφής (151) και εποmicroένως να είναι και laquoπάνωraquo καιlaquoκάτωraquo ταυτόχρονα ∆ηλαδή να microπορούν να καταχωρούν και να διαχειρίζονταικαι το 0 και το 1 ταυτόχρονα Αφού όmicroως η χωρητικότητα του κάθε κβαντοδυφίουείναι ίση microε δύο η χωρητικότητα των δύο κβαντοδυφίων θα είναι ίση microε 22 = 4ndashόσοι είναι οι συνδυασmicroοί ενός ψηφίου (0 ή 1) από το πρώτο κβαντοδυφίο καιενός από το δεύτεροndash και βέβαια ίση microε 2N για N κβαντοδυφία Η προέλευσητου εκθετικού νόmicroου είναι τώρα τελείως φανερή και πολύ αποκαλυπτική για τιςδυνατότητες του κβαντικού υπολογιστή

Όmicroως microια στιγmicroή θα ψελλίσει ο εντυπωσιασmicroένος αλλά όχι ευκολό-πιστος αναγνώστης Πώς microπορεί ένα κβαντοδυφίο στην κατάσταση επαλληλίαςα|0〉+β|1〉 να κρατάει και να διαχειρίζεται ταυτόχρονα και το |0〉 και το |1〉 αφούσε microια microέτρηση microόνο η microία από τις δύο καταστάσεις θα βρεθεί ότι υπάρχει Και η


απάντηση είναι βέβαια γνωστή Πράγmicroατι microε τη microέτρηση το κβαντοδυφίο θα κα-ταρρεύσει στη microία ή την άλλη από τις καταστάσεις |0〉 ή |1〉 Όmicroως ουδεmicroία τέτοιαmicroέτρηση πραγmicroατοποιείται στη διάρκεια ενός υπολογισmicroού Έτσι το κβαντοδυφίοndashόλα τα κβαντοδυφίαndash παραmicroένουν συνεχώς σε διάφορες καταστάσεις επαλληλί-ας οπότε το υπολογιστικό πρόγραmicromicroα εκτελείται ταυτόχρονα ndashή laquoπαράλληλαraquondashκαι για τις δύο τιmicroές της δυαδικής microεταβλητής του κάθε κβαντοδυφίου Το φαι-νόmicroενο αυτό ndashδηλαδή η παράλληλη εκτέλεση του προγράmicromicroατος για όλες τις εν-δεχόmicroενες καταστάσεις των κβαντοδυφίωνndash είναι γνωστό ως microαζικός κβαντικόςπαραλληλισmicroός και αποτελεί τον θεmicroελιώδη microηχανισmicroό λειτουργίας ενός κβαντι-κού υπολογιστή Και σε αυτόν τον καθαρά κβαντικό microηχανισmicroό οφείλεται βέβαιαη τερατώδης υπολογιστική ικανότητα αυτής της microοναδικής microηχανής

Υπάρχει όmicroως και microια άλλη απορία που πρέπει να απαντηθεί πριν ο αναγνώστηςαισθανθεί ότι αρχίζει να καταλαβαίνει κάπως το πώς microπορεί να δουλεύει ndashκαι ναδίνει απαντήσειςndash ένας κβαντικός υπολογιστής Η απορία είναι πολύ στοιχειώδηςΣτον κλασικό υπολογιστή η απάντηση είναι γραmicromicroένη στον καταχωρητή ως microιααλυσίδα 0 και 1 πάνω στα διαδοχικά δυφία του ∆ηλαδή ως ένα ψηφιακό microήνυmicroαπου microπορεί να είναι ένας αριθmicroός ένα ψηφιοποιηmicroένο κείmicroενο ή οτιδήποτε άλλοΤι γίνεται όmicroως microε τον κβαντικό υπολογιστή του οποίου οι θέσεις microνήmicroης microπορείνα βρίσκονται ndashκαι συνήθως βρίσκονταιndash σε καταστάσεις επαλληλίας microε κάποιαπιθανότητα να είναι microηδέν ή να είναι ένα Οπότε το πλήθος των δυνατών microηνυ-microάτων θα είναι επίσης 2N όπως πριν Τι κάνουmicroε τότε Θα microετρήσουmicroε microια φοράόλα τα κβαντοδυφία και ότι προκύψει Ή θα microετράmicroε συνέχεια έως το τέλοςτου κόσmicroου Και όταν τελειώσουmicroε ποια απrsquo όλες τις 2N αλυσίδες ψηφίων 0και 1 θα θεωρήσουmicroε ότι αποτελεί την απάντηση στο πρόβληmicroά microας

Αντιλαmicroβάνεστε βεβαίως ότι αν δεν δώσουmicroε microια ικανοποιητική απάντησηστο ερώτηmicroα αυτό τότε η όλη ιδέα του κβαντικού υπολογιστή δεν θα είναι απλώςmicroια χίmicroαιρα αλλά microια καθαρή ανοησία Ένα υπέροχο microηχάνηmicroα που θα microας κάνειεκθετικά γρήγορα τις πράξεις αλλά θα απαιτεί microετά εκθετικά microεγάλο χρόνο για ναδιαβαστεί το αποτέλεσmicroα αν διαβαστεί ποτέ

Ευτυχώς τα πράγmicroατα δεν είναι ακριβώς έτσι Πρώτα απrsquo όλα η απάντηση δενχρειάζεται να είναι τόσο microακροσκελής όσο η microνήmicroη του υπολογιστή Σε πολλάπροβλήmicroατα η απάντηση που ζητάmicroε microπορεί να είναι microόνο ένα ΝΑΙ ή ένα ΟΧΙΌπως παραδείγmicroατος χάριν όταν θέλουmicroε απλώς να microάθουmicroε αν ένας δεδοmicroένοςmicroεγάλος αριθmicroός είναι πρώτος ή όχι Το πρόβληmicroα αυτό είναι αφάνταστα δύσκο-λο ndashστην πραγmicroατικότητα άλυτο microε τους κλασικούς υπολογιστέςndash και σίγουραθα απαιτεί όλες τις δυνατότητες της microνήmicroης ενός κβαντικού υπολογιστή Όmicroωςτο αποτέλεσmicroα είναι ένα ΝΑΙ ή ένα ΟΧΙ που microπορεί να καταχωρηθεί microόνο στοπρώτο κβαντοδυφίο της microνήmicroης Αν η απάντηση είναι ΝΑΙ το κβαντοδυφίο να


βγαίνει ndashως microέρος της αλγοριθmicroικής διαδικασίαςndash στην κατάσταση |0〉 και αν εί-ναι ΟΧΙ στην κατάσταση |1〉 Οπότε δεν έχουmicroε παρά να microετρήσουmicroε αυτό microόνοτο κβαντοδυφίο και να πάρουmicroε αmicroέσως την απάντηση που ζητάmicroε Και αν δενείmicroαστε βέβαιοι ndashλόγω συσσώρευσης σφαλmicroάτωνndash ότι το κβαντοδυφίο εξόδουήταν πράγmicroατι στην κατάσταση που microετρήσαmicroε δεν έχουmicroε παρά να laquoξανατρέ-ξουmicroεraquo το πρόγραmicromicroα όσες φορές χρειαστεί ndashκαι να επαναλάβουmicroε τη microέτρησηndashώστε να περιορίσουmicroε το ενδεχόmicroενο σφάλmicroατος κάτω από ένα ανεκτό επίπεδοΚαι συνειδητοποιούmicroε έτσι microε αυτή την ευκαιρία κάτι που ίσως θα έπρεπε να microαςείναι προφανές από την αρχή Ότι δηλαδή ο κβαντικός υπολογιστής δεν είναι microιαντετερmicroινιστική microηχανή Εmicroπεριέχει ένα στοιχείο τυχαιότητας που όmicroως microπορεί νατεθεί υπό έλεγχο ώστε το αποτέλεσmicroα να πλησιάζει την πρακτική βεβαιότητα

Θα κλείσουmicroε τούτη την παράγραφο microε microια σύντοmicroη αναφορά στις λεγόmicroενεςκαταστάσεις Bell που ορίζονται microέσω των σχέσεων

|B00〉 =1radic2

(|00〉 + |11〉)|B01〉 =

1radic2

(|01〉 + |10〉)|B10〉 =

1radic2

(|01〉 minus |10〉)|B11〉 =

1radic2

(|00〉 minus |11〉) (152)

από όπου είναι προφανές ότι α) Πρόκειται για καταστάσεις δύο κβαντοδυφίωνκαι επειδή ο χώρος αυτός είναι τετραδιάστατος microπορούν να θεωρηθούν και ως microιαδιαφορετική εκλογή βάσης σε αυτό τον χώρο έναντι της τετράδας |00〉 |01〉 |10〉|11〉 Επιπλέον ndashόπως είναι εύκολο να δείτεndash οι καταστάσεις (152) είναι αmicroοιβαίαορθογώνιες (και βεβαίως κανονικοποιηmicroένες) οπότε microπορούν να θεωρηθούν ωςmicroια άλλη ορθοκανονική βάση σε αυτό τον χώρο β) Από φυσικής πλευράς είναιεπίσης φανερό ότι οι καταστάσεις (152) είναι σύmicroπλεκτες καταστάσεις και σrsquo αυτόβέβαια οφείλεται η ονοmicroασία τους αφού ο Bell είναι εκείνος που ανέδειξε τηθεmicroελιώδη σηmicroασία των καταστάσεων αυτού του τύπου Σηmicroειώστε ειδικότεραότι για κβαντοδυφία που πραγmicroατώνονται microέσω των δύο καταστάσεων σπιν | uarr〉και | darr〉 ndashσπιν πάνω και σπιν κάτω αντίστοιχαndash θα είναι |0〉 equiv | uarr〉 |1〉 equiv | darr〉οπότε η κατάσταση Bell |B10〉 θα γράφεται ως

|B10〉 =1radic2

(| uarr darr〉 minus | darr uarr〉) equiv 1radic2

(| uarr〉| darr〉 minus | darr〉| uarr〉|)και σε αυτή τη microορφή αναγνωρίζεται αmicroέσως ως η περίφηmicroη κατάσταση EPR

Όπως θα δούmicroε στη συνέχεια του κεφαλαίου η κβαντική σύmicroπλεξη θα αποτελέ-σει συστατικό στοιχείο της λειτουργίας ενός κβαντικού υπολογιστή και ειδικότερατων τηλεπικοινωνιακών εφαρmicroογών του και της κβαντικής κρυπτογραφίας Και σεαυτό το πλαίσιο οι καταστάσεις Bell θα αναδειχτούν σε ένα θεmicroελιώδες εργαλείο

2 ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 657

2 Κβαντικές πύλες και κυκλώmicroαταΌπως θα έπρεπε να το περιmicroένουmicroε η λειτουργία ενός κβαντικού υπολογιστήndashδηλαδή η εκτέλεση ενός υπολογιστικού προγράmicromicroατος για έναν συγκεκριmicroένοσκοπόndash θα γίνεται microε κατάλληλους χειρισmicroούς πάνω στα κβαντοδυφία που συγ-κροτούν τη microνήmicroη του ή τον καταχωρητή του όπως έχει επίσης καθιερωθεί ναλέγεται Και επειδή τα κβαντοδυφία είναι βεβαίως κβαντικά αντικείmicroενα ο χειρι-σmicroός τους ndashδηλαδή η πρόκληση των επιθυmicroητών αλλαγών στην κατάστασή τουςndashθα γίνεται microε τις δύο microόνες διαδικασίες που προβλέπει η κβαντική θεωρία Τη microο-ναδιαία εξέλιξη microέσω της εξισώσεως Schroumldinger ndashπου προκαλείται κυρίως microε τηδράση κατάλληλωνηλεκτροmicroαγνητικών παλmicroώνndash καθώς και τη διαδικασία της microέ-τρησης που δεν είναι microοναδιαία όπως γνωρίζουmicroε αλλά διέπεται από την αρχή τηςκατάρρευσης του καταστασιακού διανύσmicroατος Επειδή όmicroως πλην ειδικών εξαι-ρέσεων η microέτρηση εκτελείται στο τέλος της υπολογιστικής διαδικασίας (και απο-σκοπεί κυρίως στην ανάγνωση του αποτελέσmicroατος) οι δυνατοί χειρισmicroοί επί τωνκβαντοδυφίων θα πρέπει να είναι υποχρεωτικά microοναδιαίοι και σε αυτούς πράγmicroατιθα περιορίσουmicroε τις επιλογές microας στη συνέχεια Ως προς την ορολογία ο καθιε-ρωmicroένος όρος γιrsquo αυτές τις microοναδιαίες laquoπράξειςraquo είναι κβαντικές πύλες ή απλώςπύλες όπως και στους κλασικούς υπολογιστές Και είναι σηmicroαντικό να υπογραmicro-microίσουmicroε από την αρχή ένα βασικό γεγονός πάνω στο οποίο βασίζεται όλο το κυ-κλωmicroατικό microοντέλο (circuit model) των υπολογιστών κλασικών και microη Ότι αρκείένας microικρός αριθmicroός στοιχειωδών πυλών ndashδηλαδή απλών microοναδιαίων τελεστώνndashγια να υλοποιηθεί microέσω αυτών (έστω προσεγγιστικά) κάθε δυνατός microοναδιαίοςmicroετασχηmicroατισmicroός επί του συνόλου των κβαντοδυφίων του καταχωρητή Ακόmicroαπιο συγκεκριmicroένα Αρκεί ένας microικρός αριθmicroός πυλών που δρουν microόνο πάνω σεένα κβαντοδυφίο σε συνδυασmicroό microε microία microόνο πύλη που δρα σε δύο κβαντοδυφίαΟπότε βεβαίως οι πρώτες πύλες θα αναπαρίστανται από microοναδιαίες microήτρες δια-στάσεως 2 times 2 και η δεύτερη (microε τις γενικεύσεις της) από microια αντίστοιχη microήτραδιαστάσεως 4 times 4 Θα αρχίσουmicroε τη microελέτη microας microε την πρώτη κατηγορία πυλών

21 Πύλες που δρουν microόνο πάνω σε ένα κβαντοδυφίο

Όπως είπαmicroε πριν οι πύλες αυτού του τύπου δρουν πάνω στις καταστάσεις ενός microό-νο κβαντοδυφίου δηλαδή στον διδιάστατο χώρο των διανυσmicroάτωνα|0〉+β|1〉 καιεποmicroένως θα αναπαρίστανται από microοναδιαίες microήτρες της ίδιας διάστασης ndashδηλαδή2 times 2ndash όπως στον κατάλογο που ακολουθεί Όπου παρατίθεται επίσης το όνοmicroακαι το κυκλωmicroατικό σύmicroβολο της κάθε πύλης


Οι βασικές microονοδυφιακές πύλες

Μονάδα I I =

(1 00 1

)

Hadamard H H =1radic2

(1 11 minus1

)

Pauli X X X =

(0 11 0

)

Pauli Y Y Y =

(0 minusi

i 0

)

Pauli Z Z Z =

(1 00 minus1

)

Φάση S S S =

(1 00 i

)Σηmicroειώστε κατrsquo αρχάς ndashως πρώτη παρατήρηση πάνω στον κατάλογο αυτόndash ότι

οι τρεις πύλες X Y και Z ndashκαι οι αντίστοιχες microήτρεςndash δεν είναι παρά οι γνωστέςmicroας microήτρες του Pauli σx σy και σz που είναι ταυτόχρονα ερmicroιτιανές και microονα-διαίες λόγω της γνωστής τους ιδιότητας να είναι σ2

x = σ2y = σ2

z = 1 Ερmicroιτιανήκαι microοναδιαία είναι επίσης και η πύλη Hadamard αφού ισχύει και γιrsquo αυτήν ότιH2 = 1 Μεταξύ άλλων αυτό συνεπάγεται ότι η διπλή δράση αυτών των πυλώνεπαναφέρει το κβαντοδυφίο στην αρχική του κατάσταση

Ως προς το αποτέλεσmicroα της laquomicroονήςraquo δράσης των παραπάνω πυλών είναι χρή-σιmicroο να σηmicroειώσουmicroε τα εξής

Για την πύλη Hadamard Με βάση τη δεδοmicroένη microήτρα θα έχουmicroε

H|0〉 =1radic2

(|0〉 + |1〉) equiv |+〉

H|1〉 =1radic2

(|0〉 minus |1〉) equiv |minus〉

από όπου είναι φανερός και ο ρόλος αυτής της πύλης ∆ηmicroιουργεί ισοβαρείς επαλ-ληλίες των βασικών καταστάσεων |0〉 και |1〉 οι οποίες είναι αναγκαίες για την


αποτελεσmicroατική αξιοποίηση των δυνατοτήτων ενός κβαντικού υπολογιστή όπωςθα δούmicroε σε λίγο

Για την πύλη X Εδώ θα έχουmicroε

X|0〉 = |1〉 X|1〉 = |0〉

που σηmicroαίνει ότι η πύλη αυτή αναστρέφει την κατάσταση του κβαντοδυφίου microε-τατρέποντας το 0 σε 1 και το 1 σε 0 Κάνει δηλαδή ότι και η κλασική πύλη NOTπου οφείλει το όνοmicroά της ακριβώς στο γεγονός ότι λέει laquoΟΧΙraquo στην εκάστοτε κα-τάσταση του δυφίου microετασχηmicroατίζοντάς την στην αντίθετή της Ένας συmicroπαγήςσυmicroβολισmicroός γιrsquo αυτή τη δράση είναι ο

X|x〉 = |x〉

όπου x = (0 1) η συνήθης δυαδική microεταβλητή και x = (1 0) το ανεστραmicromicroένοείδωλό της όπου η παύλα πάνω από το x παραπέmicroπει εύλογα στο καθιερωmicroένοσύmicroβολο για το αντισωmicroατίδιο

Ανάλογα απλή είναι και η δράση των άλλων πυλών πάνω στα κβαντοδυφία καιπεριοριζόmicroαστε στην απλή καταγραφή της

Πύλη YY |0〉 = i|1〉 Y |1〉 = minusi|0〉

Πύλη ZZ|0〉 = |0〉 Z|1〉 = minus|1〉

Πύλη SS|0〉 = |0〉 S|1〉 = i|1〉

ενώ βέβαια για την τυχούσα κατάσταση υπέρθεσης θα έχουmicroε

X(α|0〉 + β|1〉) = β|0〉 + α|1〉

Y(α|0〉 + β|1〉) = minusiβ|0〉 + iα|1〉

Z(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 minus β|1〉

S(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 + iβ|1〉

και για την πύλη Hadamard

H(α|0〉 + β|1〉) =

1radic2

((α + β)|0〉 + (α minus β)|1〉)


22 Πύλες που δρουν σε δύο κβαντοδυφία

Η βασική πύλη αυτού του είδους είναι γνωστή ως

Controlled-NOT equiv CNOT

και η δράση της πάνω σε microια τυχούσα κατάσταση |x y〉 equiv |x〉|y〉 περιγράφεταιαπό τις σχέσεις

CNOT |0〉|y〉 = |0〉|y〉 CNOT |1〉|y〉 = |1〉|y〉

που γράφονται επίσης ως

|0〉|y〉 minusrarrCNOT |0〉|y〉 |1〉|y〉 minusrarrCNOT |1〉|y〉

και microας λένε το εξής απλό Ότι αν το πρώτο κβαντοδυφίο είναι στην κατάσταση |0〉η πύλη CNOT δεν κάνει τίποτε στο δεύτερο ενώ αν το πρώτο είναι στην κατάστα-ση |1〉 η πύλη CNOT αναστρέφει το δεύτερο Το πρώτο κβαντοδυφίο είναι εποmicroέ-νως το κβαντοδυφίο ελέγχου (control qubit) ενώ το δεύτερο είναι το κβαντοδυφίο-στόχος (target qubit) και σε αυτόν τον τρόπο δράσης οφείλεται βεβαίως η ονο-microασία αυτής της πολύ σηmicroαντικής πύλης Ως προς την αναπαράστασή της υπόmicroορφήν microήτρας δείξτε microόνοι σας ότι θα είναι

WCNOT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

όπου στην πάνω αριστερή γωνία υπάρχει η 2 times 2 ταυτοτική microήτρα ndashπου αντι-προσωπεύει βεβαίως τη δράση της CNOT στο πρώτο κβαντοδυφίοndash ενώ στηνκάτω δεξιά γωνία είναι η microήτρα X equivNOT που αντιπροσωπεύει επίσης τον τρόποδράσης της CNOT πάνω στο δεύτερο κβαντοδυφίο

Σηmicroειώστε ακόmicroα ότι η δράση της πύλης CNOTπάνω στην τυχούσα κατάσταση|x y〉 microπορεί να γραφεί στη συmicroπαγή microορφή

CNOT |x y〉 = |x y oplus x〉

όπου το σύmicroβολοoplus δηλώνει την πρόσθεσηmodulo 2 που δεν είναι παρά η συνήθηςπρόσθεση ακεραίων αλλά microε laquoαφαίρεσηraquo από το άθροισmicroα των πολλαπλασίωντου δύο Έτσι το αποτέλεσmicroα είναι πάντα 0 ή 1 και άρα πρόκειται για το είδος της


πρόσθεσης που ταιριάζει σε ένα δυαδικό σύστηmicroα όπου microόνο τα ψηφία 0 και 1είναι δεκτά Τρία απλά παραδείγmicroατα είναι τα εξής

1 oplus 1 = 0 3 oplus 2 = 1 2 oplus 2 = 0

Ως προς τον κυκλωmicroατικό συmicroβολισmicroό της η πύλη CNOT θα διαφέρει βεβαίωςαπό τις πύλες που εξετάσαmicroε προηγουmicroένως ndashπου δηλώνοντανmicroε ένα ευθύγραmicromicroοτmicroήmicroα και το σύmicroβολο της πύλης στο microέσον τουndash εφόσον τώρα τα εmicroπλεκόmicroενακβαντοδυφία είναι δύο και άρα θα απαιτούνται δύο ευθείες γραmicromicroές Πράγmicroατι τοκαθιερωmicroένο κυκλωmicroατικό σύmicroβολο για την CNOT είναι το

CNOT

bull

oplus

όπου η βαρειά τελεία δηλώνει το κβαντοδυφίο ελέγχου και το laquoσταυρωmicroένοraquo κυ-κλάκι το κβαντοδυφίο-στόχο

Μια θεmicroελιώδης νέα δυνατότητα που microας παρέχει η πύλη CNOT είναι η σύ-microπλεξη καταστάσεων που ήταν ασύmicroπλεκτες πριν τη δράση της Ένα απλό σχετικόπαράδειγmicroα παρέχεται από την (εmicroφανώς ασύmicroπλεκτη) αρχική κατάσταση

|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)

στην οποία το πρώτο κβαντοδυφίο είναι στην κατάσταση επαλληλίας α|0〉+ β|1〉ενώ το δεύτερο στην κατάσταση βάσης |1〉 ∆ρώντας τώρα microε την CNOT πάνωστην (153) παίρνουmicroε

CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)

που είναι τώρα microια σύmicroπλεκτη κατάσταση αφού δεν microπορεί πλέον να γραφεί ωςγινόmicroενο καταστάσεων των δύο κβαντοδυφίων αλλά microόνο ως γραmicromicroικός συνδυα-σmicroός τέτοιων γινοmicroένων Ειδικότερα για α = β = 1

radic2 η (154) γράφεται ως

1radic2

(|0〉|1〉 + |1〉|0〉)και δεν είναι παρά η κατάσταση Bell |B01〉 στην οποία είχαmicroε αναφερθεί λίγο νω-ρίτερα Σηmicroειώστε ακόmicroα ότι όχι microόνο η |B01〉 αλλά και οι άλλες καταστάσεις Bell|Bxy〉 microπορούν να δηmicroιουργηθούν microε τον ίδιο τρόπο και η σχετική laquoκατασκευήraquoφαίνεται στο κύκλωmicroα που ακολουθεί


|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉

Σχηmicroα 151 Κύκλωmicroα για τη δηmicroιουργία των καταστάσεων Bell

Έτσι παραδείγmicroατος χάριν microε κατάσταση εισόδου |0〉|0〉 equiv |00〉 προκύπτει ωςέξοδος η κατάσταση Bell

|B00〉 =1radic2

(|00〉 + |11〉)και παρόmicroοια για τις άλλες καταστάσεις

Όπως θα το περίmicroενε κανείς η Controlled-NOTequivCNOT είναι το αρχέτυπο microιαςκατηγορίας πυλών του τύπου Controlled-U equiv C-U equiv CU όπου τη θέση τουNOTequiv X την παίρνει microια οποιαδήποτε άλλη πύλη U που δρα πάνω στο κβαντο-δυφίο-στόχο Και βέβαια το κυκλωmicroατικό σύmicroβολο θα είναι

Controlled-U

bull

U

Μια απλή άσκηση για την εξοικείωση microε την κυκλωmicroατική γλώσσα του κβαντικούυπολογιστή είναι η εξής

Ασκηση Γράψτε την κβαντική κατάσταση |ψi〉 i = 0 1 2 3 που αντιστοιχείστα διαδοχικά στάδια λειτουργίας του ακόλουθου κβαντικού κυκλώmicroατος

|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉


Λύση Θα έχουmicroε διαδοχικά

|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)

και βέβαια ndashόπως θα έπρεπεndash το τελικό αποτέλεσmicroα (155) είναι microια κανονικο-ποιηmicroένη κατάσταση αφού (1

radic2)2 + (12)2 + (12)2 = 1 Οι κυκλωmicroατικοί

κανόνες έγιναν πιστεύουmicroε τελείως σαφείς από το παραπάνω παράδειγmicroα Κάθεοριζόντια γραmicromicroή αντιπροσωπεύει το αντίστοιχο κβαντοδυφίο ndashτο πρώτο η πά-νω γραmicromicroή και το δεύτερο η κάτωndash ενώ οι πύλες που δρουν microόνο πάνω σε ένακβαντοδυφίο δείχνονται microε το σύmicroβολό τους πάνω στην αντίστοιχη γραmicromicroή Τέ-λος η από αριστερά προς τα δεξιά κίνηση πάνω στις γραmicromicroές του κυκλώmicroατοςαντιστοιχεί στη χρονική αλληλουχία των διαδοχικών δράσεων των πυλών του

Και microια ερώτηση για σας Αν στο τέλος της παραπάνω υπολογιστικής διαδικασί-ας microετρήσετε το κβαντοδυφίο 1 ndashτοποθετήσετε δηλαδή microια microετρητική συσκευήM(lowast) στο τέλος της πρώτης γραmicromicroήςndash ποιες είναι οι πιθανότητες να το βρείτε στηνκατάσταση |0〉 ή την κατάσταση |1〉 Και ποια θα είναι η κατάσταση του καταχω-ρητή microετά τη microέτρηση που έδωσε το ένα ή το άλλο αποτέλεσmicroα

Ως ένα ακόmicroη παράδειγmicroα κβαντικής πύλης του τύπου Controlled-U ndashπου δια-φέρει όmicroως ελαφρώς από τις άλλεςndash αναφέρουmicroε την πύλη Uf που συmicroβολίζεταιως

(lowast) Σηmicroειώστε επrsquo ευκαιρία ότι το σχετικό κυκλωmicroατικό σύmicroβολο είναι το

M


Uf ή

bull

Uf

και δρα πάνω σε microια κατάσταση |x〉|y〉 equiv |x y〉 ως ακολούθως

Uf |x〉|y〉 equiv |x〉|y oplus f(x)〉

δηλαδή όπως η CNOT αλλά microε f(x) όχι κατrsquo ανάγκην τη συνάρτηση f(x) = x αλ-λά την πιο γενική συνάρτηση τύπου Boole πάνω στη δυαδική microεταβλητή x ∆ηλαδήτην πιο γενική συνάρτηση microε πεδίο ορισmicroού και πεδίο τιmicroών το σύνολο 0 1 Καιείναι εύκολο να δείτε αmicroέσως ότι υπάρχουν τέσσερις τέτοιες συναρτήσεις που χω-ρίζονται φυσιολογικά σε δύο οmicroάδες ως ακολούθως

f(x) = σταθερά

lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)

εκ των οποίων η δεύτερη οmicroάδα ndashf(x) = σταθndash φέρει το όνοmicroα ισοζυγισmicroένη ήαπλώς ζυγισmicroένη για τον προφανή λόγο ότι στο πεδίο τιmicroών της αντιπροσωπεύ-ονται εξίσου και το microηδέν και το ένα (Αντίθετα microε την περίπτωση f(x) = σταθόπου το πεδίο τιmicroών περιλαmicroβάνει microόνο το microηδέν ή microόνο το ένα κάθε φορά) Ηmicroπουλεανή συνάρτηση f(x) αντιπροσωπεύει λοιπόν τέσσερις συναρτήσεις fi (i =1 2 3 4) ndashόπως παραπάνωndash και για κάθε microία από αυτές βεβαιωθείτε microόνοι σαςότι η αντίστοιχη πύλη Uf θα παίρνει τη microορφή(lowast)


lang Uf1 = I otimes I

Uf2 = I otimes X equiv I otimesNOT

(lowast) Εδώ ndashόπως και σε άλλες παρόmicroοιες περιπτώσεις λίγο αργότεραndash είναι αναγκαίο να επαναφέ-ρουmicroε τον συmicroβολισmicroό AotimesB του τανυστικού γινοmicroένου (βλ σελ 210) σύmicroφωνα microε τον οποίοο πρώτος τελεστής δρα πάνω στο πρώτο σωmicroατίδιο ndashδηλαδή εδώ το πρώτο κβαντοδυφίοndash καιο δεύτερος πάνω στο δεύτερο


f(x) = ισοζυγισmicroένη

lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT

όπου το σύmicroβολο CNOT εισήχθη εδώ για να δηλώσει την περίπτωση microιας πύληςπου λειτουργεί ακριβώς όπως η CNOT αλλά microε εναλλαγή των ρόλων των |0〉 και|1〉 στο κβαντοδυφίο ελέγχου (Το δεύτερο κβαντοδυφίο αναστρέφεται όταν τοπρώτο είναι 0 και παραmicroένει ως έχει αν το πρώτο είναι 1) Το οποίο ισοδυναmicroείβεβαίως microε το να δράσει πρώτα η πύλη X πάνω στο πρώτο κβαντοδυφίο ndashοπότεθα εναλλαγούν οι καταστάσεις |0〉 και |1〉ndash να ακολουθήσει η CNOT και microετά πάλιη X για να επαναφέρει το κβαντοδυφίο ελέγχου στην αρχική του κατάσταση

Μπορούmicroε εποmicroένως να συνοψίσουmicroε τις τέσσερις παραπάνω περιπτώσεις στηνκυκλωmicroατική απεικόνιση του Σχήmicroατος 152

Βεβαιωθήκαmicroε λοιπόν παρεmicroπιπτόντως ότι τουλάχιστον για την πύλη Uf αλη-θεύει ο βασικός ισχυρισmicroός microας ότι κάθε άλλη πύλη microπορεί να πραγmicroατωθεί microεσυνδυασmicroό των απλών πυλών που έχουmicroε ήδη εισαγάγει

Σηmicroειώστε τέλος ότι η πύληUf είναι σηmicroαντική για τους ίδιους λόγους που είναισηmicroαντικές οι συναρτήσεις τύπου Boole για κάθε είδος υπολογιστή βασισmicroένου σελογικές πύλες και κυκλώmicroατα

Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X

Uf4 equiv CNOTX bull X

oplusΙ f(x) = σταθερά ΙΙ f(x) = ισοζυγισmicroένη

Σχηmicroα 152Κυκλωmicroατική αναπαράσταση της πύληςUf για τις δύο οmicroάδες συναρτήσεωνBoole Ι f(x) = σταθερά ΙΙ f(x) = ισοζυγισmicroένη


23 Και microια πύλη που δεν υπάρχει Ο κβαντικός αντιγραφέας

Θα κλείσουmicroε τούτη την παράγραφο microε microια ακόmicroα πύλη που θα επιθυmicroούσαmicroε ναεκτελεί microια εργασία ανάλογη microε την αντιγραφή αρχείων σε έναν κλασικό υπολογι-στή Θέλουmicroε δηλαδή έναν κβαντικό αντιγραφέα Και το ερώτηmicroα είναι Υπάρχειτέτοιου είδους πύλη ∆υστυχώς όπως θα αποδείξουmicroε αmicroέσως η απάντηση είναιαρνητική και ακούει στο όνοmicroα laquoθεώρηmicroα της microη αντιγραφήςraquo ή επί το βιολογι-κότερον laquoθεώρηmicroα της microη κλωνοποίησηςraquo (no cloning theorem)

Υποθέστε όmicroως προς στιγmicroήν ότι microια τέτοια πύλη υπάρχει και αντιπροσωπεύε-ται από τον microοναδιαίο τελεστή U Τι αναmicroένεται να κάνει αυτός ο τελεστής Προ-φανώς το εξής Να δρα πάνω σε microια κατάσταση γινοmicroένου |ψ〉|φ〉 ndashστην οποίαη |ψ〉 ανήκει σε ένα κβαντικό σύστηmicroα και η |φ〉 σε ένα άλλοndash και να την microε-τατρέπει στην |ψ〉|ψ〉 οπότε πράγmicroατι η κατάσταση |ψ〉 ndashτο πρωτότυποndash θα έχειlaquoεκτυπωθείraquo και στο δεύτερο κβαντικό σύστηmicroα και έτσι θα διαθέτουmicroε πλέον δύοπανοmicroοιότυπα αντίγραφά της Θέλουmicroε δηλαδή να είναι

U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)

για κάθε δυνατή κατάσταση |ψ〉 αλλά και για οποιαδήποτε αρχική κατάσταση |φ〉του δεύτερου συστήmicroατος Έστω ότι η (156) ισχύει πράγmicroατι για δύο γραmicromicroικάανεξάρτητες καταστάσεις |ψ1〉 και |ψ2〉 Είναι δηλαδή

U |ψ1〉|φ〉 = |ψ1〉|ψ1〉 U |ψ2〉|φ〉 = |ψ2〉|ψ2〉Για να είναι όmicroως ο U ένας γενικός αντιγραφέας τότε θα πρέπει να ισχύει η (156)και για κάθε γραmicromicroικό συνδυασmicroό των |ψ1〉 και |ψ2〉 αφού και αυτός είναι microιαδυνατή κατάσταση του αντιγραφόmicroενου συστήmicroατος Το οποίο όmicroως δεν αληθεύειόπως φαίνεται αmicroέσως από τις πράξεις που ακολουθούν

U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)Όmicroως το θεώρηmicroα της laquomicroη αντιγραφήςraquo χρειάζεται κάποιες διευκρινίσεις Αυ-τό που αποκλείει είναι η δηmicroιουργία πανοmicroοιότυπων αντιγράφων microιας άγνωστηςκβαντικής κατάστασης ∆ιότι αν η κατάσταση είναι γνωστή τότε microπορούmicroε πάντανα την θεωρήσουmicroε ως ιδιοκατάσταση κάποιου ερmicroιτιανού τελεστή και να laquoστή-σουmicroεraquo microια microετρητική διαδικασία που θα laquomicroετράειraquo αυτό το φυσικό microέγεθος(lowast)

(lowast) Στο πλαίσιο του αφηρηmicroένου κβαντικού φορmicroαλισmicroού κάθε ερmicroιτιανός τελεστής microπορεί ναθεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει κάποιο φυσικό microέγεθος και άρα microπορεί πάντα να επινοηθεί ndashέστω θεωρητικάndash microια κατάλληλη συσκευή που να το microετράει

3 ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 667

και άρα θα microας δίνει ndashως αποτέλεσmicroα microιας microέτρησης που laquoέβγαλεraquo τη σωστήιδιοτιmicroήndash την κατάσταση που επιθυmicroούmicroε Αντιλαmicroβάνεστε όmicroως ότι η διαδικα-σία αυτή δεν συνιστά αντιγραφή ndashαφού οι καταστάσεις που εισέρχονται στη microε-τρητική συσκευή microπορούν να είναι οποιεσδήποτεndash αλλά κατασκευή (microέσω microέτρη-σης) προαποφασισmicroένων κβαντικών καταστάσεων Το θεώρηmicroα της microη αντιγρα-φής αναφέρεται λοιπόν σε γνήσια αντιγραφή microιας άγνωστης κβαντικής κατάστα-σης και όχι στην πολλαπλή δηmicroιουργία microιας γνωστής

Και microε αυτή την ουσιώδη διευκρίνιση το θεώρηmicroα είναι microάλλον προφανές απόφυσικής πλευράς ∆ιότι αν πράγmicroατι microπορούσαmicroε να βγάλουmicroε όσα αντίγραφαθέλουmicroε microιας άγνωστης κβαντικής κατάστασης τότε θα είχαmicroε τη δυνατότητα ndashεκτελώντας microετρήσεις πάνω στα αντίγραφα αυτάndash να microάθουmicroε ότι θέλουmicroε γιατην κατάσταση αυτή διατηρώντας άθικτο το laquoπρωτότυποraquo Το οποίο microάλλον κα-ταστρατηγεί τη βασική αρχή της κβαντικής microέτρησης που αποκλείει την απόκτησηπληροφορίας για ένα κβαντικό σύστηmicroα χωρίς καταστροφή της κατάστασής τουΔεν υπάρχει δωρεάν πληροφορία στο κβαντικό πλαίσιο

3 Κβαντικοί αλγόριθmicroοι

31 Ένα απλό παράδειγmicroα Ο αλγόριθmicroος του Deutsch

Μετά τις κβαντικές πύλες και τα σχετικά κυκλώmicroατα το αναγκαίο επόmicroενο βήmicroαείναι η ανάπτυξη κατάλληλων προγραmicromicroάτων ndashδηλαδή κατάλληλων αλγορίθmicroωνndashσχεδιασmicroένων να εκτελούν συγκεκριmicroένα καθήκοντα Και το στοίχηmicroα εδώ είναιπολύ σαφές Να αποδειχτεί όχι microόνο ότι τέτοιοι αλγόριθmicroοι υπάρχουν αλλά καιότι microπορεί να είναι πολύ αποτελεσmicroατικότεροι στη λύση ορισmicroένων τουλάχιστονπροβληmicroάτων από ότι οι αντίστοιχοι κλασικοί αλγόριθmicroοι Έτσι από αυτή τηνάποψη ήταν microια σηmicroαντική εξέλιξη στο θέmicroα όταν το 1994 ο Peter Shor επινόη-σε έναν κβαντικό αλγόριθmicroο ndashβασισmicroένο στον περίφηmicroο κβαντικό microετασχηmicroατι-σmicroό Fourierndash χάρις στον οποίο έγινε για πρώτη φορά εφικτή η επίλυση ενός απότα δυσκολότερα προβλήmicroατα στην ιστορία των microαθηmicroατικών και της επιστήmicroηςτων υπολογιστών Η παραγοντοποίηση (factoring) ενός πολύ microεγάλου ακέραιουαριθmicroού

Όmicroως στο πλαίσιο τούτης της σύντοmicroης εισαγωγής θα περιοριστούmicroε στην πα-ρουσίαση ενός πολύ στοιχειωδέστερου παραδείγmicroατος που έχει και αυτό τη δικήτου ξεχωριστή θέση στη microικρή ιστορία του κλάδου Πρόκειται για τον περίφηmicroοαλγόριθmicroο του Deutsch (Deutsch 1984) ο οποίος ndashστην πιο laquoπαιδικήraquo του microορφήndashπροορίζεται για έναν υπολογιστή microε δύο microόνο κβαντοδυφία και αποσκοπεί στηνεπίλυση ενός εξίσου laquoπαιδικούraquo προβλήmicroατος Να αποφανθούmicroε κατά πόσον microιασυνάρτηση τύπου Boole ndashδηλαδή microια απεικόνιση από το 0 1 στο 0 1ndash είναι


σταθερή ή ισοζυγισmicroένη (balanced) σύmicroφωνα microε την ορολογία που είχαmicroε εισαγά-γει νωρίτερα (sect 22) Αν δηλαδή είναι f(0) = f(1) ή f(0) = f(1) Όπως είχαmicroεδει και νωρίτερα υπάρχουν τέσσερις τέτοιες συναρτήσεις που οmicroαδοποιούνται ωςακολούθως

Ι f(x) = σταθερή

lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1

ΙΙ f(x) = ισοζυγισmicroένη

lang f(0) = 0 f(1) = 1

f(0) = 1 f(1) = 0Ένας κλασικός υπολογιστής microπορεί να απαντήσει το ερώτηmicroά microας ndashαν η δοθείσασυνάρτηση f είναι σταθερή ή όχιndash εκτελώντας δύο πράξεις Υπολογίζοντας τις δύοτιmicroές f(0) και f(1) Και αν βγουν ίσες (microηδέν ή ένα αδιάφορο) τότε η δοθείσα fείναι σταθερή αν όχι τότε δεν είναι

Θα δείξουmicroε τώρα ότι microε τον αλγόριθmicroο του Deutsch το παραπάνω πρόβληmicroαmicroπορεί να λυθεί microε microία microόνο πράξη Το σχετικό κβαντικό κύκλωmicroα δείχνεται στοΣχήmicroα 153

Πριν προχωρήσουmicroε στην βήmicroα προς βήmicroα εκτέλεση του αλγορίθmicroου είναι χρή-σιmicroο να δείξουmicroε πρώτα ndashως άσκησηndash ότι ισχύει η

Uf |x〉 |0〉 minus |1〉radic2

= (minus1)f(x)|x〉 |0〉 minus |1〉radic2

(157)

η οποία προφανώς θα microας χρειαστεί διότι η δράση της πύλης H πάνω στο δεύτεροκβαντοδυφίο θα δώσει (|0〉 minus |1〉)radic2 οπότε ndashσε συνδυασmicroό microε την κατάσταση(|0〉 + |1〉)radic2 που θα εmicroφανιστεί στο πρώτο κβαντοδυφίοndash θα έχουmicroε να υπο-λογίσουmicroε εκφράσεις του τύπου Uf |x〉(|0〉 minus |1〉)radic2 microε x = 0 ή 1 που βεβαίωςυπολογίζονται πολύ ευκολότερα βάσει της (157)

Απόδειξη της (157) Θα είναι κατrsquo αρχάς

Uf |x〉|0〉 = |x〉|0 oplus f(x)〉 Uf |x〉|1〉 = |x〉|1 oplus f(x)〉∆εδοmicroένου όmicroως ότι f(x) = 0 ή 1 θα έχουmicroε

Uf |x〉|0〉 =

langf(x)=0 |x〉|0〉

f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉

Σχηmicroα 153 Κυκλωmicroατική υλοποίηση του αλγορίθmicroου του Deutsch Στα δύο κβαντοδυ-φία του υπολογιστή ndashπου ξεκινάνε από την αρχική κατάσταση |0〉 το πρώτο και |1〉 τοδεύτεροndash εφαρmicroόζεται η πύλη Hadamard H αmicroέσως microετά η πύλη Uf Uf |x〉|y〉 =|x〉|y oplus f(x)〉 και τέλος πάλι η πύλη H πάνω στο πρώτο κβαντοδυφίο ακολουθούmicroενηαπό τη microέτρηση M Και αν το αποτέλεσmicroα αυτής της microέτρησης είναι 0 τότε η συνάρ-τηση f είναι σταθερή (f(0) = f(1)) ενώ αν είναι 1 η συνάρτηση f είναι ισοζυγισmicroένη(f(0) = f(1)) Έτσι ο αλγόριθmicroος του Deutsch απαντά το ερώτηmicroά microας ndashαν η f είναισταθερή ή όχιndash microε microία microόνο πράξη (έναν laquoγύροraquo) έναντι δύο του κλασικού υπολογι-στή Και είναι αυτονόητο βεβαίως ότι η microετρούmicroενη συνάρτηση f είναι τοποθετηmicroένησε ένα είδος laquomicroαύρου κουτιούraquo που λειτουργεί ως βασικό στοιχείο της πύλης Uf χωρίςόmicroως να είναι προσβάσιmicroο από εmicroάς Και στην ουσία εmicroείς καλούmicroαστε να αποφανθού-microε ndashmicroετρώντας την έξοδο του υπολογιστή microαςndash αν η συνάρτηση που βρίσκεται microέσαστο κουτί είναι σταθερή ή όχι

και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉

rArr Uf |x〉(|0〉 minus |1〉) =

langf(x)=0 |x〉(|0〉 minus |1〉)f(x)=1 minus|x〉(|0〉 minus |1〉)

= (minus1)f(x)|x〉(|0〉minus|1〉)που είναι βεβαίως το αποτέλεσmicroα (157) χωρίς τον παράγοντα κανονικοποίησης1radic

2 που δεν έχει προφανώς σηmicroασία για την ισχύ αυτής της σχέσηςΕπιστρέφοντας στον αλγόριθmicroο του Deutsch θα έχουmicroε διαδοχικά

|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2

|0〉 minus |1〉radic2

(Αποτέλεσmicroα 1)

|ψ2〉 = Uf |ψ1〉 =1radic2Uf

((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf

(|0〉 |0〉 minus |1〉radic

2

)+

1radic2Uf


2

)

=1radic2(minus1)f(0)|0〉 |0〉 minus |1〉radic

2+

1radic2(minus1)f(1)|1〉 |0〉 minus |1〉radic

2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic

2|0〉 minus |1〉radic

2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2

) |0〉 minus |1〉radic2

f(0) = f(1)

H

( |0〉 minus |1〉radic2


f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =

|0〉 |0〉 minus |1〉radic

2 f(0) = f(1)

|1〉 |0〉 minus |1〉radic2

f(0) = f(1)


οπότε βέβαια αρκεί να microετρήσουmicroε το πρώτο κβαντοδυφίο πάνω στην |ψ3〉 γιανα αποφανθούmicroε αν η f είναι σταθερή ή όχι Αν το κβαντοδυφίο αυτό laquoβγειraquo |0〉τότε η f θα είναι σταθερή ενώ αν βγει |1〉 θα είναι ισοζυγισmicroένη

32 Η φυσική πίσω από τον αλγόριθmicroο Ο κβαντικόςπαραλληλισmicroός και πώς επιτυγχάνεται

Όπως είδαmicroε η εφαρmicroογή του αλγορίθmicroου έδωσε πράγmicroατι αυτό που υποσχεθή-καmicroε Απάντησε το ερώτηmicroά microας microε ένα microόνο laquoτρέξιmicroοraquo της microηχανής έναντι δύοπου θα απαιτούσε ένας κλασικός υπολογιστής Και ο λόγος γιrsquo αυτή την laquoοικονο-microία πράξεωνraquo είναι γνωστός Οφείλεται σε ένα θεmicroελιώδες χαρακτηριστικό του


τρόπου λειτουργίας ενός κβαντικού υπολογιστή Τον κβαντικό παραλληλισmicroό Ότιδηλαδή ο υπολογιστής εκmicroεταλλεύεται τη δυνατότητα των κβαντοδυφίων να υπάρ-χουν σε κάθε δυνατή επαλληλία των καταστάσεων |0〉 και |1〉 και εκτελεί έτσι τοεκάστοτε πρόγραmicromicroα και για τη microια και για την άλλη τιmicroή της δυαδικής microετα-βλητής x(= 0 ή 1) Σrsquo αυτό το πνεύmicroα η πρώτη laquoκίνησηraquo του αλγορίθmicroου ναφέρουmicroε τα δύο κβαντοδυφία σε κατάσταση επαλληλίας ndashώστε η βασική πράξηUf να εφαρmicroοστεί παράλληλα για x = 0 και x = 1ndash ήταν απολύτως αναmicroενό-microενη Εύλογο ήταν επίσης αυτές οι επαλληλίες να είναι ισοβαρείς ndash50 για κάθεκατάστασηndash ώστε ο αλγόριθmicroος να είναι laquoαmicroερόληπτοςraquo απέναντι στις δύο τιmicroέςτου x Έτσι η χρήση της πύλης Hadamard στο πρώτο στάδιο του αλγορίθmicroου ήτανπερίπου αυτονόητη αφού αυτή ακριβώς είναι η δουλειά της Να δηmicroιουργεί ισο-βαρείς επαλληλίες των δύο βασικών καταστάσεων |0〉 και |1〉

Πέρα όmicroως από τον ρόλο των υπερθέσεων στη λειτουργία του αλγορίθmicroου Deu-tsch εξίσου σηmicroαντική είναι και η σηmicroασία της συmicroβολής των παράλληλων δια-δικασιών που συντελούνται ώστε το τελικό αποτέλεσmicroα ndashη έξοδοςndash να έχει τηmicroορφή ιδιοκαταστάσεων της υπολογιστικής βάσης |0〉 και |1〉 και να είναι εύκολααναγνώσιmicroο Στην πραγmicroατικότητα αν το καλοσκεφτείτε η λειτουργία του αλγο-ρίθmicroου Deutsch είναι απολύτως όmicroοια microε εκείνη των γνωστών πειραmicroάτων συmicro-βολής στα οποία η αρχική δέσmicroη ndashηλεκτρονίων ή φωτονίωνndash διαχωρίζεται σε έναπρώτο στάδιο και οι δύο επιmicroέρους δέσmicroες ανασυντίθενται microετά ώστε να αναδη-microιουργήσουν microια νέα σύmicroφωνη δέσmicroη microε χαρακτηριστικά που εξαρτώνται καίριααπό τη διαφορά φάσεως microεταξύ των δεσmicroών λόγω των διαφορετικών διαδροmicroώνπου ακολουθήθηκαν Στην ουσία ndashαν τα δούmicroε διαφορετικάndash τέτοιου είδους πει-ράmicroατα διαχωρισmicroού και ανασύνθεσης microιας δέσmicroης συνιστούν ένα είδος κβαν-τικού υπολογισmicroού αφού ο διαχωρισmicroός επιτρέπει να laquoσαρωθούνraquo ταυτόχροναδύο ενδεχόmicroενα ndashνα microάθουmicroε δηλαδή laquoτι συmicroβαίνειraquo σε δυο κλασικά αλληλοα-ποκλειόmicroενες διαδροmicroέςndash και να αποτυπώσουmicroε αυτές τις laquoπαράλληλες εmicroπειρί-εςraquo στην τελική ενιαία δέσmicroη microέσω των διαφορών φάσεως που προκλήθηκαν καθrsquoοδόν Και είναι φανερό από αυτή την laquoεικόναraquo ότι κάτι ανάλογο συmicroβαίνει καιστον αλγόριθmicroο του Deutsch όπου οι αρχικές πύλες Hadamard δρουν ως laquoδιαχω-ριστές δέσmicroηςraquo (beam splitters) ενώ η ίδια πύλη στην πάνω έξοδο ανασυνθέτει ταδύο microέρη αυτής της δέσmicroης ώστε να την επαναφέρει στη microια ή την άλλη από τιςβασικές καταστάσεις |0〉 ή |1〉

Σηmicroειώστε ακόmicroα τον υπόγειο ρόλο της σύmicroπλεξης των δύο κβαντοδυφίωνndashmicroέσω της πύλης Uf που δρα ως ένα είδος γενικευmicroένης CNOTndash χάρις στην οποίααυτό που laquoυπολογίζουmicroεraquo είναι ένα ολικό (global) χαρακτηριστικό της συνάρτησηςf ndashαν είναι σταθερή ή ισοζυγισmicroένηndash και όχι επιmicroέρους τιmicroές της Το οποίο βέβαιαείναι και το θεmicroελιώδες φυσικό χαρακτηριστικό των σύmicroπλεκτων καταστάσεων


Ότι έχουν έναν ισχυρά ολιστικό χαρακτήρα microε απώλεια της αυτονοmicroίας των microερώντους Αλλά σrsquo αυτό το θέmicroα θα χρειαστεί να επανέλθουmicroε

33 Ανάγνωση του αποτελέσmicroατος και ο ρόλος των σφαλmicroάτων

Όmicroως τούτη είναι microια καλή ευκαιρία να συζητήσουmicroε και το θέmicroα της ανάγνω-σης των αποτελεσmicroάτων ενός κβαντικού υπολογιστή Όπως θυmicroάστε για το θέmicroααυτό microιλήσαmicroε ήδη από την πρώτη παράγραφο τούτου του κεφαλαίου ξεχωρίζον-τας microάλιστα microια ειδική περίπτωση που είναι ακριβώς αυτή που έχουmicroε microπροστάmicroας τώρα Το ερώτηmicroα που θέτουmicroε στον υπολογιστή microας να είναι τέτοιο ώστενα microπορεί να απαντηθεί microε ένα ναι ή ένα όχι οπότε η απάντηση θα microπορούσε ναδοθεί microέσω της τελικής κατάστασης του πρώτου microόνο κβαντοδυφίου του κατα-χωρητή |0〉 αν η απάντηση είναι ναι |1〉 αν η απάντηση είναι όχι Αυτή λοιπόνείναι η τωρινή περίπτωση και πάνω σrsquo αυτήν είναι χρήσιmicroο να συζητήσουmicroε ξανάτο βασικό ερώτηmicroα της ανάγνωσης του αποτελέσmicroατος κάθε κβαντικού υπολογι-σmicroού Το ζήτηmicroα είναι γνωστό Αν πχ η microέτρηση laquoέβγαλεraquo την απάντηση |1〉αυτό δεν σηmicroαίνει ότι αυτή όντως ήταν η κατάσταση του κβαντοδυφίου πριν τηmicroέτρηση Μπορούσε κάλλιστα η κατάσταση αυτή να είχε τη microορφή της επαλλη-λίας α|0〉 + β|1〉 microε |α|2 = 0999 και |β|2 = 0001 και στη δική microας microέτρησηνα προέκυψε το πιο απίθανο ndashπλην όmicroως υπαρκτόndash ενδεχόmicroενο της κατάστασης|1〉 Οπότε βέβαια ndashαν είχαmicroε βασιστεί σε αυτό και microόνο το αποτέλεσmicroαndash θα είχα-microε οδηγηθεί στο λανθασmicroένο συmicroπέρασmicroα ότι η απάντηση του υπολογιστή ήταναρνητική στο ερώτηmicroά microας ενώ ίσχυε ακριβώς το αντίθετο Πώς όmicroως προέκυψεστο πρώτο κβαντοδυφίο microια κατάσταση επαλληλίας του παραπάνω τύπου αφού οαλγόριθmicroος του Deutsch προβλέπει microόνο |0〉 ή microόνο |1〉 ανάλογα microε το είδος τηςσυνάρτησης f που βρίσκεται στο microαύρο κουτί Η απάντηση είναι απλή όσο καισηmicroαντική Ο κβαντικός όπως και ο κλασικός υπολογιστής δεν είναι laquoτέλειες microη-χανέςraquo αλλά πραγmicroατικά φυσικά συστήmicroατα που λειτουργούν microε ένα ενδεχόmicroενοσφάλmicroατος τόσο microεγαλύτερο όσο περισσότερες είναι οι laquoπράξειςraquo που καλούν-ται να εκτελέσουν microέσω των κατάλληλων πυλών Έτσι λοιπόν ακόmicroα και όταν οιδεατός αλγόριθmicroος του προβλήmicroατος προβλέπει την έκβαση |0〉 σε microια συγκεκρι-microένη περίπτωση η πραγmicroατική λειτουργία του υπολογιστή δεν θα δώσει ακριβώς|0〉 αλλά microια κατάσταση υπέρθεσης του τύπου που αναφέραmicroε πριν όπου η σω-στή απάντηση |0〉 έχει laquomicroολυνθείraquo microε την παρουσία microιας ελαφράς laquoπρόσmicroειξηςraquoαπό την λάθος απάντηση |1〉 Τι κάνουmicroε τότε Απλούστατα επαναλαmicroβάνουmicroετον υπολογισmicroό ndashδηλαδή laquoξανατρέχουmicroεraquo το πρόγραmicromicroαndash όσες φορές χρειαστείώστε να βεβαιωθούmicroε (πάντα microε ένα ανεκτό περιθώριο λάθους) ότι η απάντηση εί-ναι όντως |0〉 (δηλαδή ΝΑΙ) και όχι |1〉 (δηλαδή ΟΧΙ) όπως είχαmicroε παραπλανηθείνα συmicroπεράνουmicroε από τη microία microόνο αρχική microέτρηση


Ωραίος υπολογιστής ndash θα σχολίαζε ειρωνικά ο δύσπιστος Θωmicroάς του πεδίουΦτιάξαmicroε έναν (πανάκριβο) κβαντικό υπολογιστή για να απαντά το ερώτηmicroά microαςσε έναν microόνο γύρο αντί δύο ndashσιγά την οικονοmicroίαndash αλλά χρειάζεται να τον τρέ-ξουmicroε καmicroιά εκατοστή φορές για να βεβαιωθούmicroε ότι διαβάσαmicroε σωστά τον χρησmicroό του Αν είπε ΝΑΙ ή αν είπε ΟΧΙ Και ακόmicroα και τότε να microην είmicroαστε από-λυτα σίγουροι ότι δεν έχουmicroε κάνει λάθος Ότι το ιερό τέρας δεν microας ξεγέλασε

Η κριτική του Θωmicroά είναι ταυτόχρονα υπερβολική και βάσιmicroη Υπερβολι-κή διότι σε ένα ρεαλιστικό πρόβληmicroα ndashκαι όχι σε ένα πρόβληmicroα-παιγνίδι όπως τοπαρόνndash η οικονοmicroία πράξεων που αναmicroένεται από την εφαρmicroογή ενός κβαντικούαλγορίθmicroου είναι τόσο γιγάντια ώστε το κόστος της επανάληψης του υπολογισmicroούγια εκατό ή χίλιες φορές να είναι κυριολεκτικά αστείο Η κριτική όmicroως είναι ταυ-τόχρονα και βάσιmicroη διότι φέρνει στο προσκήνιο το θεmicroελιώδες ζήτηmicroα της συσ-σώρευσης των σφαλmicroάτων σε έναν κβαντικό υπολογιστή και κατά πόσο έχουmicroετη δυνατότητα laquoδιόρθωσήςraquo τους microε κατάλληλους κβαντικούς κώδικες όπως καιστους κλασικούς υπολογιστές Το πρόβληmicroα όχι microόνο δεν είναι τετριmicromicroένο αλλάκαι για κάποιο διάστηmicroα έmicroοιαζε περίπου άλυτο Σε σηmicroείο που να έχει οδηγήσειπολλούς Θωmicroάδες στο στάδιο της πλήρους απιστίας Ότι ο κβαντικός υπο-λογιστής είναι microια χίmicroαιρα microε microηδενική πιθανότητα πραγmicroατοποίησης Και χρειά-στηκε να επέmicroβει εκ νέου ο Schor(lowast) ndashαλλά όχι microόνοndash για να αποδειχθεί ότι ηεπιδιόρθωση ή το σβήσιmicroο των κβαντικών σφαλmicroάτων είναι δυνατόν να γίνει microεαποτελεσmicroατικό τρόπο που δεν ακυρώνει την αναmicroενόmicroενη οικονοmicroία πράξεωντου ιδεατού αλγορίθmicroου

Σηmicroειώστε τέλος ότι η αναγνωσιmicroότητα του αποτελέσmicroατος δεν περιορίζεταιστην ειδική περίπτωση που αναλύσαmicroε πριν αλλά εκτείνεται σε κάθε περίπτωσηπου η έξοδος του υπολογιστή είναι microια ιδιοκατάσταση της υπολογιστικής βάσηςndashδηλαδή ένα laquoδιάνυσmicroαraquo της microορφής |001110 〉ndash οπότε κάθε κβαντοδυφίο δια-βάζεται χωριστά και βέβαια για να microειώσουmicroε το ενδεχόmicroενο σφάλmicroατος laquoξανα-τρέχουmicroεraquo το πρόγραmicromicroα όσες φορές χρειαστεί

34 Και microια εναλλακτική παρουσίαση του αλγορίθmicroου του Deutsch

Θα κλείσουmicroε τούτη τη (βασική) παράγραφο microε microια διαφορετική παρουσίαση τουαλγορίθmicroου του Deutsch που βασίζεται στην αναγωγή της πύλης Uf σε ισοδύνα-microες πύλες Ufi

(i = 1 4) ανάλογα microε την εκάστοτε microορφή της microπουλεανήςσυνάρτησης f

Σrsquo αυτό το πνεύmicroα είναι αmicroέσως φανερό από το Σχήmicroα 152 ότι στην περίπτωσηΙ ndashf = σταθndash η πύλη Uf στο κύκλωmicroα του Deutsch (Σχ 153) θα αντικατασταθεί

(lowast) PW Schor Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory Phys Rev A52R2493 (1995)


microε δύο microη laquoαλληλεπιδρώνταraquo στοιχεία εκ των οποίων το πάνω είναι πάντα η ταυ-τοτική πύλη οπότε οι δύο πύλες Hadamard της ίδιας γραmicromicroής του κυκλώmicroατος θαπολλαπλασιαστούν microεταξύ τους microε αποτέλεσmicroα H2 = 1 Έτσι το πρώτο κβαντο-δυφίο του υπολογιστή θα laquoδιαδοθείraquo ως έχει κατά microήκος αυτής της γραmicromicroής καιάρα θα φτάσει ως |0〉 στην πάνω έξοδο ακριβώς όπως δείξαmicroε προηγουmicroένως Ηπερίπτωση ΙΙ ndashf(x) = σταθndash είναι πιο σύνθετη διότι τώρα υπάρχει αλληλεπίδρα-ση microεταξύ πάνω και κάτω κβαντοδυφίου αφού είναι

Uf3 = CNOT Uf4 = CNOT

Και δεδοmicroένου ότι η κατάσταση |ψ1〉 στο κύκλωmicroα του Deutsch ndashβλ Σχ 153ndashείναι

|ψ1〉 = |+〉|minus〉 |plusmn〉 =1radic2

(|0〉 plusmn |1〉)και δεδοmicroένου επίσης ότι (δείξτε το)

CNOT |+〉|minus〉 = |minus〉|minus〉 CNOT |+〉|minus〉 = minus|minus〉|minus〉

η κατάσταση |ψ2〉 ndashmicroετά την πύλη Uf equiv CNOT ή CNOTndash θα είναι η

|ψ2〉 = |minus〉|minus〉 ή |ψ2〉 = minus|minus〉|minus〉

οπότε η δράση της πύλης H στο πρώτο κβαντοδυφίο θα δώσει ndashθυmicroηθείτε ότιH|minus〉 = |1〉ndash

|ψ3〉 = plusmn|1〉|minus〉που είναι ξανά το προηγούmicroενό microας αποτέλεσmicroα Η απάντηση είναι γραmicromicroένηστο πρώτο κβαντοδυφίο που είναι |1〉 στην παρούσα περίπτωση έναντι |0〉 τηςπροηγούmicroενης

Βλέπετε έτσι καθώς εξοικειωνόmicroαστε βαθmicroιαία microε το κυκλωmicroατικό microοντέλοτου κβαντικού υπολογιστή ότι τα πράγmicroατα ndashπαρά τις θεmicroελιώδεις διαφορές τουςndashαρχίζουν να θυmicroίζουν σιγά-σιγά τα κλασικά ηλεκτρικά κυκλώmicroατα στην laquoπρο-ολοκληρωmicroένηraquo εποχή τους Λίγα βασικά στοιχεία ndashπηνία πυκνωτές αντιστά-σεις δίοδοι τρανζίστορ microπαταρίες κλπndash που πρέπει να microάθουmicroε πρώτα τι κάνειτο καθένα και microετά πώς να τα συνδυάζουmicroε ώστε να επιτύχουmicroε την εκτέλεση ενόςσύνθετου καθήκοντος

Οι εποχές αλλάζουν αλλά κάποιοι βασικοί τρόποι σκέψης ndashόπως η ανάλυσηενός σύνθετου καθήκοντος σε λίγες βασικές laquoπράξειςraquondash φαίνεται να διατηρούναναλλοίωτη την αξία τους


να βρίσκεται όχι microόνο στις καταστάσεις 0 και 1 αλλά και σε κάθε δυνατή επαλ-ληλία τους Το τι εκπληκτικές νέες δυνατότητες ενυπάρχουν σε αυτό το βασικόγεγονός θα το δούmicroε σύντοmicroα Προς το παρόν ndashστο πλαίσιο τούτης της σύντοmicroηςεισαγωγήςndash θα εξετάσουmicroε απλώς τους κύριους λόγους που κάνουν τον ερχοmicroότου κβαντικού υπολογιστή κατά πολλούς αναπόφευκτο Ο ένας λόγος είναι πολύπρακτικός Έχει να κάνει microε τον λεγόmicroενο νόmicroο του Moore Την εmicroπειρική δια-πίστωση ότι περίπου κάθε δύο χρόνια η χωρητικότητα της microνήmicroης των κλασικώνυπολογιστών διπλασιάζεται Έτσι microε έναν τέτοιο ρυθmicroό σmicroίκρυνσης της βασικήςmicroονάδας microνήmicroης είναι θέmicroα χρόνου ndashτο πολύ δύο δεκαετίες λένε οι ειδικοίndash πουη microονάδα αυτή θα αποκτήσει ατοmicroικές διαστάσεις Οπότε βεβαίως η εφαρmicroογήτων κβαντικών νόmicroων ndashγια το καλό ή για το κακό()ndash θα είναι αναγκαστική

Έναν πιο θεmicroελιώδη λόγο για την αναγκαιότητα των κβαντικών υπολογιστώνπαρουσίασε ο Richard Feynman το 1982(lowast) Το επιχείρηmicroα του Feynman είναιπράγmicroατι πολύ θεmicroελιώδες Η βασική του ιδέα είναι η εξής Ότι η υπολογιστικήπολυπλοκότητα των κβαντικών συστηmicroάτων ndashmicroετρηmicroένη σε αριθmicroό αναγκαίωνπράξεων για την επίλυσή τουςndash είναι τόσο πολύ microεγαλύτερη (στην πραγmicroατικότη-τα εκθετικά microεγαλύτερη) από τα αντίστοιχα κλασικά συστήmicroατα ώστε microπορεί νααντιmicroετωπιστεί microόνο microε έναν υπολογιστή που θα είναι κι αυτός ένα κβαντικό σύ-στηmicroα ∆ηλαδή έναν κβαντικό υπολογιστή Η δικαιολόγηση αυτού του ισχυρισmicroούείναι πολύ απλή Ο υπολογισmicroός ενός κλασικού συστήmicroατος συνίσταται στην επί-λυση ενός (microη γραmicromicroικού εν γένει) συστήmicroατος διαφορικών εξισώσεων δευτέραςτάξεως πλήθους 3N όπου N ο αριθmicroός των σωmicroατιδίων του συστήmicroατος ενώβέβαια το 3 αντιστοιχεί στον αριθmicroό των συντεταγmicroένων x y και z που απαιτούν-ται για τον προσδιορισmicroό της θέσης του καθενός Η υπολογιστική πολυπλοκότη-τα του συστήmicroατος ndashγια τη δεδοmicroένη ακρίβεια που επιδιώκουmicroεndash θα αυξάνεταιλοιπόν ανάλογα microε το microέγεθός του δηλαδή τον αριθmicroό των σωmicroατιδίων του (Ανκαι η microη γραmicromicroικότητα των εξισώσεων ndashκαι η αναmicroενόmicroενη εmicroφάνιση χαοτικήςσυmicroπεριφοράςndash αυξάνουν σηmicroαντικά αυτή την εκτίmicroηση)

Κοιτάξτε τώρα πόσο διαφορετική είναι η κατάσταση σε ένα κβαντικό σύστηmicroαmicroε τον ίδιο αριθmicroό σωmicroατιδίων δηλαδή N Κατrsquo αρχάς έστω και microε ένα microόνο σω-microατίδιο το πρόβληmicroα που έχουmicroε να λύσουmicroε ndashπαραδείγmicroατος χάριν ο υπολογι-σmicroός των ενεργειακών ιδιοτιmicroών του σωmicroατιδίου microέσα στο δεδοmicroένο δυναmicroικόndashείναι πολύ απαιτητικό σε υπολογιστικό χρόνο παρότι γραmicromicroικό Θα πρέπει ναδιαγωνιοποιήσουmicroε microια microήτρα ndashας πούmicroε τη χαmicroιλτονιανή microήτρα Hndash που είναιθεωρητικά απειροδιάστατη αφού τόση είναι και η διάσταση του σχετικού χώρουHilbert Στην πράξη γινόmicroαστε βεβαίως πιο laquoολιγαρκείςraquo και προσεγγίζουmicroε τοναπειροδιάστατο αυτό χώρο microε έναν πεπερασmicroένης διάστασης ας πούmicroε ίσης microε

(lowast) RP Feynman Simulating Physics with computers Int J Theor Phys 21467 1982






|ψ〉 = α|0〉 + β|1〉 (151)


|α|2 + |β|2 = 1







|00〉 equiv |0〉|0〉|10〉 equiv |1〉|0〉

|01〉 equiv |0〉|1〉|11〉 equiv |1〉|1〉


|ψ〉 = c00|00〉 + c01|01〉 + c10|10〉 + c11|11〉


αβ

|cαβ |2 = 1 α β isin 0 1



|x〉 = |x1 xN 〉 equiv |x1〉|x2〉 |xN 〉


|ψ〉 =sum

x

cx|x〉 equivsum

x1xN

cx1xN|x1 xN 〉


|cx|2 = 1




D = 2N


D = 2200 1020023 1087












|B00〉 =1radic2

(|00〉 + |11〉)|B01〉 =

1radic2

(|01〉 + |10〉)|B10〉 =

1radic2

(|01〉 minus |10〉)|B11〉 =

1radic2

(|00〉 minus |11〉) (152)


|B10〉 =1radic2










Μονάδα I I =

(1 00 1

)


(1 11 minus1

)

Pauli X X X =

(0 11 0

)

Pauli Y Y Y =

(0 minusi

i 0

)

Pauli Z Z Z =

(1 00 minus1

)

Φάση S S S =

(1 00 i



x = σ2y = σ2




H|0〉 =1radic2

(|0〉 + |1〉) equiv |+〉

H|1〉 =1radic2






X|0〉 = |1〉 X|1〉 = |0〉


X|x〉 = |x〉



Πύλη YY |0〉 = i|1〉 Y |1〉 = minusi|0〉

Πύλη ZZ|0〉 = |0〉 Z|1〉 = minus|1〉

Πύλη SS|0〉 = |0〉 S|1〉 = i|1〉


X(α|0〉 + β|1〉) = β|0〉 + α|1〉

Y(α|0〉 + β|1〉) = minusiβ|0〉 + iα|1〉

Z(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 minus β|1〉

S(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 + iβ|1〉


H(α|0〉 + β|1〉) =

1radic2

((α + β)|0〉 + (α minus β)|1〉)






CNOT |0〉|y〉 = |0〉|y〉 CNOT |1〉|y〉 = |1〉|y〉




WCNOT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









CNOT

bull

oplus



|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)


CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)



1radic2



|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)








































|ψ〉 = α|0〉 + β|1〉 (151)


|α|2 + |β|2 = 1







|00〉 equiv |0〉|0〉|10〉 equiv |1〉|0〉

|01〉 equiv |0〉|1〉|11〉 equiv |1〉|1〉


|ψ〉 = c00|00〉 + c01|01〉 + c10|10〉 + c11|11〉


αβ

|cαβ |2 = 1 α β isin 0 1



|x〉 = |x1 xN 〉 equiv |x1〉|x2〉 |xN 〉


|ψ〉 =sum

x

cx|x〉 equivsum

x1xN

cx1xN|x1 xN 〉


|cx|2 = 1




D = 2N


D = 2200 1020023 1087












|B00〉 =1radic2

(|00〉 + |11〉)|B01〉 =

1radic2

(|01〉 + |10〉)|B10〉 =

1radic2

(|01〉 minus |10〉)|B11〉 =

1radic2

(|00〉 minus |11〉) (152)


|B10〉 =1radic2










Μονάδα I I =

(1 00 1

)


(1 11 minus1

)

Pauli X X X =

(0 11 0

)

Pauli Y Y Y =

(0 minusi

i 0

)

Pauli Z Z Z =

(1 00 minus1

)

Φάση S S S =

(1 00 i



x = σ2y = σ2




H|0〉 =1radic2

(|0〉 + |1〉) equiv |+〉

H|1〉 =1radic2






X|0〉 = |1〉 X|1〉 = |0〉


X|x〉 = |x〉



Πύλη YY |0〉 = i|1〉 Y |1〉 = minusi|0〉

Πύλη ZZ|0〉 = |0〉 Z|1〉 = minus|1〉

Πύλη SS|0〉 = |0〉 S|1〉 = i|1〉


X(α|0〉 + β|1〉) = β|0〉 + α|1〉

Y(α|0〉 + β|1〉) = minusiβ|0〉 + iα|1〉

Z(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 minus β|1〉

S(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 + iβ|1〉


H(α|0〉 + β|1〉) =

1radic2

((α + β)|0〉 + (α minus β)|1〉)






CNOT |0〉|y〉 = |0〉|y〉 CNOT |1〉|y〉 = |1〉|y〉




WCNOT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









CNOT

bull

oplus



|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)


CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)



1radic2



|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)






































|ψ〉 = α|0〉 + β|1〉 (151)


|α|2 + |β|2 = 1







|00〉 equiv |0〉|0〉|10〉 equiv |1〉|0〉

|01〉 equiv |0〉|1〉|11〉 equiv |1〉|1〉


|ψ〉 = c00|00〉 + c01|01〉 + c10|10〉 + c11|11〉


αβ

|cαβ |2 = 1 α β isin 0 1



|x〉 = |x1 xN 〉 equiv |x1〉|x2〉 |xN 〉


|ψ〉 =sum

x

cx|x〉 equivsum

x1xN

cx1xN|x1 xN 〉


|cx|2 = 1




D = 2N


D = 2200 1020023 1087












|B00〉 =1radic2

(|00〉 + |11〉)|B01〉 =

1radic2

(|01〉 + |10〉)|B10〉 =

1radic2

(|01〉 minus |10〉)|B11〉 =

1radic2

(|00〉 minus |11〉) (152)


|B10〉 =1radic2










Μονάδα I I =

(1 00 1

)


(1 11 minus1

)

Pauli X X X =

(0 11 0

)

Pauli Y Y Y =

(0 minusi

i 0

)

Pauli Z Z Z =

(1 00 minus1

)

Φάση S S S =

(1 00 i



x = σ2y = σ2




H|0〉 =1radic2

(|0〉 + |1〉) equiv |+〉

H|1〉 =1radic2






X|0〉 = |1〉 X|1〉 = |0〉


X|x〉 = |x〉



Πύλη YY |0〉 = i|1〉 Y |1〉 = minusi|0〉

Πύλη ZZ|0〉 = |0〉 Z|1〉 = minus|1〉

Πύλη SS|0〉 = |0〉 S|1〉 = i|1〉


X(α|0〉 + β|1〉) = β|0〉 + α|1〉

Y(α|0〉 + β|1〉) = minusiβ|0〉 + iα|1〉

Z(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 minus β|1〉

S(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 + iβ|1〉


H(α|0〉 + β|1〉) =

1radic2

((α + β)|0〉 + (α minus β)|1〉)






CNOT |0〉|y〉 = |0〉|y〉 CNOT |1〉|y〉 = |1〉|y〉




WCNOT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









CNOT

bull

oplus



|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)


CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)



1radic2



|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)





































|00〉 equiv |0〉|0〉|10〉 equiv |1〉|0〉

|01〉 equiv |0〉|1〉|11〉 equiv |1〉|1〉


|ψ〉 = c00|00〉 + c01|01〉 + c10|10〉 + c11|11〉


αβ

|cαβ |2 = 1 α β isin 0 1



|x〉 = |x1 xN 〉 equiv |x1〉|x2〉 |xN 〉


|ψ〉 =sum

x

cx|x〉 equivsum

x1xN

cx1xN|x1 xN 〉


|cx|2 = 1




D = 2N


D = 2200 1020023 1087












|B00〉 =1radic2

(|00〉 + |11〉)|B01〉 =

1radic2

(|01〉 + |10〉)|B10〉 =

1radic2

(|01〉 minus |10〉)|B11〉 =

1radic2

(|00〉 minus |11〉) (152)


|B10〉 =1radic2










Μονάδα I I =

(1 00 1

)


(1 11 minus1

)

Pauli X X X =

(0 11 0

)

Pauli Y Y Y =

(0 minusi

i 0

)

Pauli Z Z Z =

(1 00 minus1

)

Φάση S S S =

(1 00 i



x = σ2y = σ2




H|0〉 =1radic2

(|0〉 + |1〉) equiv |+〉

H|1〉 =1radic2






X|0〉 = |1〉 X|1〉 = |0〉


X|x〉 = |x〉



Πύλη YY |0〉 = i|1〉 Y |1〉 = minusi|0〉

Πύλη ZZ|0〉 = |0〉 Z|1〉 = minus|1〉

Πύλη SS|0〉 = |0〉 S|1〉 = i|1〉


X(α|0〉 + β|1〉) = β|0〉 + α|1〉

Y(α|0〉 + β|1〉) = minusiβ|0〉 + iα|1〉

Z(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 minus β|1〉

S(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 + iβ|1〉


H(α|0〉 + β|1〉) =

1radic2

((α + β)|0〉 + (α minus β)|1〉)






CNOT |0〉|y〉 = |0〉|y〉 CNOT |1〉|y〉 = |1〉|y〉




WCNOT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









CNOT

bull

oplus



|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)


CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)



1radic2



|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)






































D = 2N


D = 2200 1020023 1087












|B00〉 =1radic2

(|00〉 + |11〉)|B01〉 =

1radic2

(|01〉 + |10〉)|B10〉 =

1radic2

(|01〉 minus |10〉)|B11〉 =

1radic2

(|00〉 minus |11〉) (152)


|B10〉 =1radic2










Μονάδα I I =

(1 00 1

)


(1 11 minus1

)

Pauli X X X =

(0 11 0

)

Pauli Y Y Y =

(0 minusi

i 0

)

Pauli Z Z Z =

(1 00 minus1

)

Φάση S S S =

(1 00 i



x = σ2y = σ2




H|0〉 =1radic2

(|0〉 + |1〉) equiv |+〉

H|1〉 =1radic2






X|0〉 = |1〉 X|1〉 = |0〉


X|x〉 = |x〉



Πύλη YY |0〉 = i|1〉 Y |1〉 = minusi|0〉

Πύλη ZZ|0〉 = |0〉 Z|1〉 = minus|1〉

Πύλη SS|0〉 = |0〉 S|1〉 = i|1〉


X(α|0〉 + β|1〉) = β|0〉 + α|1〉

Y(α|0〉 + β|1〉) = minusiβ|0〉 + iα|1〉

Z(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 minus β|1〉

S(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 + iβ|1〉


H(α|0〉 + β|1〉) =

1radic2

((α + β)|0〉 + (α minus β)|1〉)






CNOT |0〉|y〉 = |0〉|y〉 CNOT |1〉|y〉 = |1〉|y〉




WCNOT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









CNOT

bull

oplus



|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)


CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)



1radic2



|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)











































|B00〉 =1radic2

(|00〉 + |11〉)|B01〉 =

1radic2

(|01〉 + |10〉)|B10〉 =

1radic2

(|01〉 minus |10〉)|B11〉 =

1radic2

(|00〉 minus |11〉) (152)


|B10〉 =1radic2










Μονάδα I I =

(1 00 1

)


(1 11 minus1

)

Pauli X X X =

(0 11 0

)

Pauli Y Y Y =

(0 minusi

i 0

)

Pauli Z Z Z =

(1 00 minus1

)

Φάση S S S =

(1 00 i



x = σ2y = σ2




H|0〉 =1radic2

(|0〉 + |1〉) equiv |+〉

H|1〉 =1radic2






X|0〉 = |1〉 X|1〉 = |0〉


X|x〉 = |x〉



Πύλη YY |0〉 = i|1〉 Y |1〉 = minusi|0〉

Πύλη ZZ|0〉 = |0〉 Z|1〉 = minus|1〉

Πύλη SS|0〉 = |0〉 S|1〉 = i|1〉


X(α|0〉 + β|1〉) = β|0〉 + α|1〉

Y(α|0〉 + β|1〉) = minusiβ|0〉 + iα|1〉

Z(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 minus β|1〉

S(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 + iβ|1〉


H(α|0〉 + β|1〉) =

1radic2

((α + β)|0〉 + (α minus β)|1〉)






CNOT |0〉|y〉 = |0〉|y〉 CNOT |1〉|y〉 = |1〉|y〉




WCNOT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









CNOT

bull

oplus



|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)


CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)



1radic2



|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)






































|B00〉 =1radic2

(|00〉 + |11〉)|B01〉 =

1radic2

(|01〉 + |10〉)|B10〉 =

1radic2

(|01〉 minus |10〉)|B11〉 =

1radic2

(|00〉 minus |11〉) (152)


|B10〉 =1radic2










Μονάδα I I =

(1 00 1

)


(1 11 minus1

)

Pauli X X X =

(0 11 0

)

Pauli Y Y Y =

(0 minusi

i 0

)

Pauli Z Z Z =

(1 00 minus1

)

Φάση S S S =

(1 00 i



x = σ2y = σ2




H|0〉 =1radic2

(|0〉 + |1〉) equiv |+〉

H|1〉 =1radic2






X|0〉 = |1〉 X|1〉 = |0〉


X|x〉 = |x〉



Πύλη YY |0〉 = i|1〉 Y |1〉 = minusi|0〉

Πύλη ZZ|0〉 = |0〉 Z|1〉 = minus|1〉

Πύλη SS|0〉 = |0〉 S|1〉 = i|1〉


X(α|0〉 + β|1〉) = β|0〉 + α|1〉

Y(α|0〉 + β|1〉) = minusiβ|0〉 + iα|1〉

Z(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 minus β|1〉

S(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 + iβ|1〉


H(α|0〉 + β|1〉) =

1radic2

((α + β)|0〉 + (α minus β)|1〉)






CNOT |0〉|y〉 = |0〉|y〉 CNOT |1〉|y〉 = |1〉|y〉




WCNOT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









CNOT

bull

oplus



|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)


CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)



1radic2



|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)









































Μονάδα I I =

(1 00 1

)


(1 11 minus1

)

Pauli X X X =

(0 11 0

)

Pauli Y Y Y =

(0 minusi

i 0

)

Pauli Z Z Z =

(1 00 minus1

)

Φάση S S S =

(1 00 i



x = σ2y = σ2




H|0〉 =1radic2

(|0〉 + |1〉) equiv |+〉

H|1〉 =1radic2






X|0〉 = |1〉 X|1〉 = |0〉


X|x〉 = |x〉



Πύλη YY |0〉 = i|1〉 Y |1〉 = minusi|0〉

Πύλη ZZ|0〉 = |0〉 Z|1〉 = minus|1〉

Πύλη SS|0〉 = |0〉 S|1〉 = i|1〉


X(α|0〉 + β|1〉) = β|0〉 + α|1〉

Y(α|0〉 + β|1〉) = minusiβ|0〉 + iα|1〉

Z(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 minus β|1〉

S(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 + iβ|1〉


H(α|0〉 + β|1〉) =

1radic2

((α + β)|0〉 + (α minus β)|1〉)






CNOT |0〉|y〉 = |0〉|y〉 CNOT |1〉|y〉 = |1〉|y〉




WCNOT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









CNOT

bull

oplus



|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)


CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)



1radic2



|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)





































Μονάδα I I =

(1 00 1

)


(1 11 minus1

)

Pauli X X X =

(0 11 0

)

Pauli Y Y Y =

(0 minusi

i 0

)

Pauli Z Z Z =

(1 00 minus1

)

Φάση S S S =

(1 00 i



x = σ2y = σ2




H|0〉 =1radic2

(|0〉 + |1〉) equiv |+〉

H|1〉 =1radic2






X|0〉 = |1〉 X|1〉 = |0〉


X|x〉 = |x〉



Πύλη YY |0〉 = i|1〉 Y |1〉 = minusi|0〉

Πύλη ZZ|0〉 = |0〉 Z|1〉 = minus|1〉

Πύλη SS|0〉 = |0〉 S|1〉 = i|1〉


X(α|0〉 + β|1〉) = β|0〉 + α|1〉

Y(α|0〉 + β|1〉) = minusiβ|0〉 + iα|1〉

Z(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 minus β|1〉

S(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 + iβ|1〉


H(α|0〉 + β|1〉) =

1radic2

((α + β)|0〉 + (α minus β)|1〉)






CNOT |0〉|y〉 = |0〉|y〉 CNOT |1〉|y〉 = |1〉|y〉




WCNOT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









CNOT

bull

oplus



|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)


CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)



1radic2



|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)






































X|0〉 = |1〉 X|1〉 = |0〉


X|x〉 = |x〉



Πύλη YY |0〉 = i|1〉 Y |1〉 = minusi|0〉

Πύλη ZZ|0〉 = |0〉 Z|1〉 = minus|1〉

Πύλη SS|0〉 = |0〉 S|1〉 = i|1〉


X(α|0〉 + β|1〉) = β|0〉 + α|1〉

Y(α|0〉 + β|1〉) = minusiβ|0〉 + iα|1〉

Z(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 minus β|1〉

S(α|0〉 + β|1〉) = α|0〉 + iβ|1〉


H(α|0〉 + β|1〉) =

1radic2

((α + β)|0〉 + (α minus β)|1〉)






CNOT |0〉|y〉 = |0〉|y〉 CNOT |1〉|y〉 = |1〉|y〉




WCNOT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









CNOT

bull

oplus



|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)


CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)



1radic2



|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)








































CNOT |0〉|y〉 = |0〉|y〉 CNOT |1〉|y〉 = |1〉|y〉




WCNOT =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









CNOT

bull

oplus



|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)


CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)



1radic2



|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)







































CNOT

bull

oplus



|ψ in〉 =(α|0〉 + β|1〉)|1〉 (153)


CNOT |ψ in〉 = α|0〉|1〉 + β|1〉|0〉 (154)



1radic2



|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)




































|x〉 H bull

|y〉 oplus

|Bxy〉



|B00〉 =1radic2



Controlled-U

bull

U



|0〉 H bull bull

|0〉 oplus H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉



|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)





































|ψ0〉 = |0〉|0〉

|ψ1〉 =(H|0〉)|0〉 =

1radic2

(|0〉 + |1〉)|0〉|ψ2〉 = CNOT |ψ1〉 =

1radic2

[CNOT

(|0〉|0〉) + CNOT(|1〉|0〉)]

=1radic2

(|0〉|0〉 + |1〉|1〉)|ψ3〉 = (C-H)|ψ2〉 =

1radic2|0〉|0〉 +

1radic2|1〉(H|1〉)

=1radic2|0〉|0〉 +

12|1〉|0〉 minus 1

2|1〉|1〉 (155)







M


Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)




































Uf ή

bull

Uf





lang f(0) = f(1) = 0 (1)

f(0) = f(1) = 1 (2)


lang f(0) = 0 f(1) = 1 (3)

f(0) = 1 f(1) = 0 (4)








lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)





































lang Uf3 = CNOT

Uf4 = CNOT





Uf1

I

I

Uf3 equiv CNOT

bull

oplus

Uf2

I

X








U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)







































U |ψ〉|φ〉 = |ψ〉|ψ〉 (156)



U(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)|φ〉 = c1

(U |ψ1〉|φ〉

)+ c2

(U |ψ2〉|φ〉

)= c1|ψ1〉|ψ1〉 + c2|ψ2〉|ψ2〉= (c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉

)(c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉













lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)













































lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)






































lang f(0) = 0 f(1) = 0

f(0) = 1 f(1) = 1


lang f(0) = 0 f(1) = 1






(157)




Uf |x〉|0〉 =


f(x)=1 |x〉|1〉


M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)




































M|0〉 H H

Uf

|1〉 H

uarr|ψ0〉

uarr|ψ1〉

uarr|ψ2〉

uarr|ψ3〉

uarr|ψ4〉


και

Uf |x〉|1〉 =


f(x)=1 |x〉|0〉





|ψ0〉 = |0〉|1〉 (Είσοδος)


|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)




































|ψ1〉 =(H|0〉)(H|1〉) =

|0〉 + |1〉radic2




((|0〉 + |1〉) |0〉 minus |1〉radic2

)

=1radic2Uf


2

)+

1radic2Uf


2

)


2+


2

rArr |ψ2〉 =

|0〉 + |1〉radic


2αν f(0) = f(1)



αν f(0) = f(1)


|ψ3〉 =

H

( |0〉 + |1〉radic2


f(0) = f(1)

H



f(0) = f(1)

rArr |ψ3〉 =


2 f(0) = f(1)


f(0) = f(1)






























































































































Documents

Hilbertlegacy.cup.gr/Files/files/chapters/kbanto_II_kef_15.pdf · ΕΙΣΑΓΩΓΗ 651 d,όπουτοd –δηλαδήοαριθµός των βασικών διανυσµάτων–