Составила: учитель математики МОУ «Лицей №4 г.Чебоксары»

Смелова Елена Николаевна 

 

 

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья – основанием равнобедренного треугольника.Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Задача. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.

Дано: , АВ=ВС,

АС в 2 раза меньше АВ, Р∆АВС=50 см

Найти: АВ,ВС,АС

Решение: Р∆АВС=АВ+ВС+АС, АВ=ВС(по

условию), Р∆АВС=2АВ+АС. АС в 2 раза меньше АВ, т.е. АС=½АВ

РАВС=2АВ+ АВ=2 АВ=50 (см)

АВ=50:2 =20 (см)АВ=ВС=20 (см)АС= АВ= ·20=10 (см)Ответ: 20 см, 20 см, 10 см.

2 способ:

Решение: Р∆АВС=АВ+ВС+АС

АВ=ВС=х, АС в 2 раза меньше АВ,

т.е. АС= АВ= х

Составим и решим уравнение:х+х+ х=502 х=50х=50:2 х=20 (см) – АВ и ВСАС= х= ·20=10 см

Задача. Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника ВСD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.

Дано: ∆АВС, АВ=АС, Р∆АВС=40 см,

∆ВСD, ВС=СD=ВD, Р∆ВСD =45 см.

Найти: АВ, ВС.Решение: Р∆ВСD =45 см

Р∆ВСD =ВС+СD+ВD=3ВС

3ВС=45ВС=45:3=15 (см)

Решение:Р∆АВС =АВ+ВС+АС= 2АВ+ВС=40 (см)

2АВ+15=402АВ=40-152АВ=25АВ=25:2=12,5 (см)Ответ: АВ=12,5 см, ВС=15 см.

Задача. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.

Дано: ∆АВС, АВ=АС,

АМ - медиана, Р∆АВС = 32 см, Р∆АВМ =24 см

Найти: АМ

Решение: Р∆АВС = АВ+АС+ВС=2АВ+ВС=32 см

Р∆АВМ =АВ+ВМ+АМ= АВ+ ВС+АМ=24см

2АВ+ВС=32 |:2АВ+ ВС=16АВ+ ВС+АМ=24АМ=24-16=8 смОтвет: АМ=8 см

Задача. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.

Дано: ∆АВС, АМ - медиана и высотаДоказать: ∆АВС – равнобедренныйДоказательство: рассмотрим ∆АВМ и ∆АСМ.

В них: 1)АМ - общая;2)ВМ=МС, т.к. АМ- медиана;3) АМВ= АМС=90°, т.к. АМ -высота.

Значит, ∆АМВ= ∆АСМ (по двум сторонам и углу между ними - I признак равенства треугольников).

Из того, что ∆АВМ= ∆АСМ, следует: АВ=АС как соответственные стороны равных треугольников, т.е. ∆АВС-

равнобедренный

Задача. На рисунке 1 CD=BD, 1= 2.Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Дано: CD=BD, 1= 2 Доказать: АВС- равнобедренный

Доказательство: Рассмотрим ABD и ACD. В них: 1)AD-общая ; 2) 1= 2( по условию); 3)BD=CD( условию).

Значит, ∆АВD=∆АСD( по двум сторонам и углу между ними – I признак равенства треугольников).

Из того, что ∆АВD=∆АСD, следует : АВ= АС как

соответственные стороны равных треугольников,

т.е. ∆АВС- равнобедренный.

Задача . На рисунке 2 AB=BC, 1=130°.Найти 2.

Дано: AB=BC, 1 =130°Найти: 2

Решение: АСВ и 1 –смежные, АСВ+ 1=180 °; АСВ=180°- 1= 180°-130°=50°; - равнобедренный, т.к АВ=ВС.

ВАС= АСВ=50°- углы при основании АС равнобедренного ;

2= ВАС=50°- вертикальные углы. Ответ: 2= 50°.

Задача .Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ , проведенные к прямой b, равны. Точка О- середина отрезка NQ .Докажите:

а) что OMP= OPM; б)найдите NOM, если MOP=105 °.

Дано: MN b , PQ b, MN=PQ ,О – середина NQ .

Доказать: OMP= OPMНайти: NOM, если MOP= 105 °.

Доказательство: Рассмотрим MNO и PQO . В них: 1) MN=PQ( по условию); 2)NO= OQ, т.к. О- середина NQ; 3) MNO= PQO=90 ° , т.к. MN b, PQ b.

Значит, MNO= PQO( по двум сторонам и углу между ними- I признак равенства треугольников)

Из того , что MNO= PQO, следует : МО=РО как соответственные стороны равных треугольников, т.е. MOP- равнобедренный.

ОМР= ОРМ – углы при основании МР в МОР.

Решение: MNO= PQO NOM = QOP как

соответственные углы равных треугольников; NOM + MOP+ QOP=180 °(смежные углы); NOM+ QOP=180° - MOP= 180 °- 105

°=75°; NOM= QOP=75 ° :2= 37,5°=37 °30' ; Ответ: NOM=37 °30 '

Задача. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны.

Дано: ABC= A1B1C1, BC= B1C1, AM,A1M1- медианы

Доказать: AM=A1M1

Доказательство: Из того, что АВС= А1В1С1 следует:

В= В1, АВ=А1В1 ( как соответственные углы и стороны равных треугольников)

Рассмотрим АВМ и А1В1М1;

В них: 1)АВ=А1В1;

2) В= В1; 3)ВМ= ВС, т.к. АМ-медиана,В1М1= В1С1,

т.к. А1М1-медиана, ВС= В1С1( по условию ).

Значит, ВМ=В1М1.

Получим, что АВМ = А1В1М1( по двум сторонам и углу между ними – I признак равенства треугольников).

Из того , что АВМ= А1В1М1, следует, что АМ=А1М1 как соответственные стороны равных треугольников.

Задача. Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ . Докажите , что один из углов треугольника АВС равен сумме двух других углов.

Дано: АВС, АМ- медиана, АМ=ВМДоказать: А= В+ С

Доказательство: А= ВАМ+ САМ; АВМ- равнобедренный, т.к. АМ=ВМ; ВАМ= АВМ= В- углы при основании АВ

в АВМ; АМС- равнобедренный, т.к. АМ=МС САМ= МСА= С- углы при основании АС в

АМС А= ВАМ= САМ= АВМ+ МСА= В+ С.

Задача. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Дано: АВС, АВ=ВС=АС;Доказать: А= В= С;

Доказательство: в АВС АВ=ВС А= С- углы при

основании АС. В АВС АС=АВ С= В- углы при основании СВ.

Имеем: А= С; С= В. Значит , А= В= С.

Задача. На рисунке АВ=ВС,СD=DE. Докажите, что ВАС= СЕD.Дано: АВ=ВС,СD=DEДоказать: ВАС= СЕD

Доказательство: в АВС АВ=ВС ВАС= ВСА–углы при

основании АС. В СDE CD=DC DCE= DEC- углы при

основании СD. ВСА= DCE- вертикальные углы; Имеем: ВАС= ВСА DCE= DEC BCA= DEC, значит, ВАС=

CED= DEC

Задача. На основании ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки M и N так, что ВМ=CN. Доказать что:

а) ВАМ= CAN; б) треугольник AMN равнобедренный;Дано: АВС, АВ=АС, M,N BC, BM=CN;Доказать: а) ВАМ= CAN; б) AMN-равнобедренный.

Доказательство : а) рассмотрим ВАМ и CAN;В них: 1)АВ=АС( по условию); 2) B= C–углы при основании ВС

равнобедренного АВС; 3)ВМ=CN( по условию). Значит , ВАМ = CAN (по двум сторонам

и углу между ними – I признак равенства треугольников).

б)Из того, что ВАМ = САМ , следует: АМ=AN как

соответственные стороны равных треугольников .

АМ=AN, т.е. AMN- равнобедренный.

Задача. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK отрезок EF- биссектриса, DK=16 см, DEF=43 °. Найдите KF, DEK, EFD.

Дано: DEK, DE=EK, EF- биссектриса,DK=16 см, DEK=43°.

Найти: KF, DEK, EFD.

Решение: DEK= 2 DEF=2*43°=86°, т.к. биссектриса EF делит DEK пополам.

Рассмотрим DEF и KEF. В них: 1)DE=EK( по условию); 2) DEK= KEF, т.к. EF-биссектриса; 3)EF-общая.

Значит, DEF= KEF( по двум сторонам и углу между

ними –I признак равенства треугольников). Из того , что DEF= KEF, следует: DF=FK

и DFE= KFE-как соответственные стороны и углы равных треугольников.

DF=FK EF-медиана DEK. KF= DK= *16=8(см).

DFE= KFE и DFE и KFE- смежные углы

DFE= KFE=90°, т.е. EF- высота DEK. Ответ:KF=8 см, DEK=86 °, EFD=90 °.

Задача. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки E и F ,так что АЕ=CF.

Доказать , что: а) BDE= BDF; б) FDE= CDF.Дано: АВС,АВ=ВС, ВD-медиана, E AB, F

CB,AE=CF.Доказать: а) BDE= BDF; б) ADE= CDF.

Доказательство:

а) Рассмотрим BDE и BDF.

В них:

1)BD- общая;

2) EBD= FBD, т.к. медиана, BD, проведенная к основанию АС, является биссектрисой и делит угол пополам;

3)EB=BF, т.к. ЕВ=АВ-АЕ, BF= BC-CF; АВ=ВС, АЕ=CF ( по условию);

Значит, BDE= BDF( по двум сторонам и углу между ними –I признак равенства треугольников);

б)Рассмотрим AEF и CFD. В них: 1)АЕ=CF( по условию); 2) А= С-углы при основании АС в АВС; 3)АD=DC, т.к BD- медиана. Значит, AKD= CFD( по двум сторонам и

углу между ними – I признак равенства треугольников).

Задача. Равнобедренные треугольники ADC и CBD имеют общее основание DС. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О.

Доказать, что:

а) ADB= ACB;

б) DO=OC;Дано: ADC и CBD-

равнобедренные,

DC- общее основание, АВ CD=O.Доказать: а) ADB= ACB;

б)DO=OC

Доказательство: а)рассмотрим ADB и АСВ. В них: 1)АD=AC, т.к ADC-равнобедренный; 2)BD=BC,т.к. CBD- равнобедренный; 3)АВ- общая. Значит, ADB= ACB ( по трем сторонам - III

признак равенства треугольников). Из того, что ADB= АСВ , следует: ADB=

АСВ как соответственные углы равных треугольников.

б) Из того, что ADB= АСВ следует, DAB= CAB и DBA= CBA( как соответственные углы равных треугольников);

DAB= CAB AB-биссектриса A в ADC;

DBA= CBA BA-биссектриса B в CBD, а биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и высотой.

АВ- медиана , т.е. DO=OC.

Задача. Отрезок МК –диаметр окружности с центром О, а МР и РК - равные хорды этой окружности. Найдите РОМ.

Дано: окружность, О- центр , МК-диаметр, МР=РК- хорды

Найти: РОМ

Решение: МРК- равнобедренный, т.к. МР=РК ,

РО- медиана МРК, т.к. МО= ОК= МК , а медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является высотой и биссектрисой

РО- высота, т.е РОМ=90°.

Ответ: РОМ=90°.

Задача . В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см.Найдите стороны треугольника.

Дано: АВС, АВ=ВС, АС больше АВ на 2 см, АС меньше 2АВ на 3 см

Найти : АВ, ВС, АС

Решение : обозначим АВ=x(см), тогда АС= АВ + 2=x+2(см) и АС=2АВ-

3=2x-3; Приравняем обе части : x+2=2x-3; 2+3=2x-x; 5=x; АВ= 5(см),

АВ=ВС=5(см),АС=5+2=7(см) Ответ:5 см, 5см, 7см.

Задача. На рисунке ADE равнобедренный, DE-основание . Докажите, что если BD=CE, то CAD= BAE и АВ=АС

Дано: ADE, AD=AE, DE- основание, BD=CE

Доказать: CAD= BAE,AB=AC

Доказательство: Рассмотрим ADB и ACE. В них: 1)AD=AE( по условию); 2)BD=CE( по условию); 3) ABD= AEC (углы при основании DЕ в

равнобедренном АЕС)

Значит, ADB= AEC( по двум сторонам и углу между

ними – I признак равенства треугольников). Из того, что ADB= AEC, следует: АВ=АС и

DAB= EAC как соответственные стороны и углы равных

треугольников.

CAD= DAB= BAC; BAC= EAC= BAC. Значит, CAD= BAC.

Упражнения Найти периметр равнобедренного

треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника

Ответы№ 1 8, 8, 4№ 2 12, 12, 2№ 3 0,6 и 0,6№ 4 2,8; 2,8 и 0,8№ 5 15, 10 ,10№ 6 0,8№ 7 4,9

№ 8 50№ 9 10№ 10 12, 12, 21№ 11 10, 10№12 6 и 6№ 13 9№ 14 15

Упражнения в таблицахНайдите СВА

Упражнения в таблицахНайдите СВА

Упражнения в таблицахНайдите СВА

Упражнения в таблицахНайдите СВА

Найдите СВА

Найдите СВА

Найдите СВА

Найдите СВА

Найдите СВА

Ответы№ 1 75о

№ 3 30о

№ 5 50о

№ 7 90о

№ 9 60о

№ 11 40о

№ 13 60о

№ 15 60о

№ 17 80о

№ 2 140о

№ 4 135о

№ 6 120о

№ 8 40о

№ 10 30о

№ 12 30о

№ 14 60о

№ 16 110о

№ 18 50о

Дополнительные задачи

1 вариант

Точка М лежит на медиане ВК равнобедренного треугольника АВС (АС - основание). Доказать, что треугольники АВМ и СВМ равны.

2 вариант

На основании АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки D и Е так, что углы АВD и СВЕ равны. Докажите, что треугольники АВD и СВЕ равны.

Дополнительные задачи1 вариант

В равнобедренном треугольнике АВС на основании АС отложены равные отрезки АК и СD. Докажите, что отрезки ВК и ВD равны.

2 вариант

В равнобедренном треугольнике АВС к основанию Ас проведена медиана ВD. На медиане отмечена точка М. Докажите, что треугольники АМD и СМD равны.