sin( / 2)

sin( / 2)

nA A

{范例 7.7} 光栅衍射的强度和条纹一光栅有 N条缝，透光的缝的宽度为 a，不透光的挡板的宽度为 b，入射光的波长为 λ 。 (1)在缝宽和光栅常数一定的情况下，光珊衍射条纹与缝数有什么关系？ (2)说明缝间干涉受到单缝衍射的调制和缺级现象。 (3)光栅衍射条纹的分布与缝宽和光栅常数有什么关系？[解析 ](1)缝间距为 d = a + b，d称为光栅常数。如图所示，在 θ方向相邻两条缝之间的光程差为 δ = dsinθ，

相位差为

假设每一个单缝引起的光波振幅为ΔA'，2π sin

2πd

sin( / 2)

sin( / 2)

NA A

sin

sin

NvA

v

B

AG

C

D

d

dsinθ

θ

θ

d根据多个等幅同频振动的合振幅公式 (5.11.10)式

其中 v = πdsinθ/λ，

汇聚点的光强为2

0

sin( )

sin

NvI I

v其中 I'0 = ΔA'2。

所有缝在 θ方向产生的振幅为

{范例 7.7} 光栅衍射的强度和条纹一光栅有 N条缝，透光的缝的宽度为 a，不透光的挡板的宽度为 b，入射光的波长为 λ 。 (1)在缝宽和光栅常数一定的情况下，光珊衍射条纹与缝数有什么关系？

根据单缝衍射的公式

B

AG

C

D

d

dsinθ

θ

θ

d可得光栅衍射的光强公式

u仍然为 πasinθ/λ。

汇聚点的光强为 20

sin( )

sin

NvI I

v ， I'0 = ΔA'2。

当 N = 1时，可知： I'0是单缝引起的光强。2

0 0

sin( )

uI I

u

2 20

sin sin( ) ( )

sin

u NvI I

u v

{范例 7.7} 光栅衍射的强度和条纹一光栅有 N条缝，透光的缝的宽度为 a，不透光的挡板的宽度为 b，入射光的波长为 λ 。 (1)在缝宽和光栅常数一定的情况下，光珊衍射条纹与缝数有什么关系？

②当 N = 2时，根据光栅光强公式可得

[讨论 ]

如果缝宽很小，则sinu/u→1，可得

①当 N = 1时，光强公式变为单缝衍射的公式，因此， sinu/u 或(sinu/u)2称为单缝衍射因子。 2 2

0

sin sin( ) ( )

sin

u NvI I

u v

2 20

sin( ) 4cos

uI I v

u

2 20 04 cos 4 cos (π sin )

dI I v I

这正好

是双缝干涉的公式。

在缝宽不是很小的情况下，双缝干涉的强度就会受到单缝衍射因子 (sinu/u)2的调制，形成双缝衍射。③当 N是其他整数时，就是光栅的多缝衍射， sin(Nv)/sinv 或 [sin(Nv)/sinv]2称为缝间干涉因子。

当 N = 1时，就是单缝衍射条纹，中央明条纹很宽很亮，次级明条纹很暗。

当 N = 2时，就是双缝衍射条纹，这是单缝衍射的明条纹发生分裂形成的。双缝衍射条纹与双缝干涉条纹十分相似，中间部分光强差不多，条纹宽度也相近。

但是由于受到单缝衍射调制，两边的明条纹较暗。

缝数越多，明条纹就越细，但是明条纹的数量并不改变。

{范例 7.7} 光栅衍射的强度和条纹一光栅有 N条缝，透光的缝的宽度为 a，不透光的挡板的宽度为 b，入射光的波长为 λ 。 (1)在缝宽和光栅常数一定的情况下，光珊衍射条纹与缝数有什么关系？ (2)说明缝间干涉受到单缝衍射的调制和缺级现象。[解析 ](2)由于 N很大，缝间干涉因子 sin(Nv)/sinv比单缝衍射因此 sinu/u的振荡要快得多，根据光栅衍射的光强公式可知：缝间干涉要受到单缝衍射的调制。缝间干涉的明条纹形成的条件是v = πdsinθ/λ = kπ (k = 0 ， ±1 ， ±2 ，… )

因此得dsinθ = kλ

单缝衍射的暗条纹形成的条件是asinθ = k'λ (k' = ±1 ， ±2 ，… )

如果缝间干涉的明条纹的衍射角与单缝衍射的暗条纹的衍射角相等，这个明条纹就会缺损，称为缺级。

所缺的级次为

这是光栅方程。

dk k

a

(k' = ±1 ， ±2 ，… )

其中 d/a是整数比。

如果不考虑单缝衍射，缝间干涉的曲线有高度不同的两种峰，同一种峰的高度都是相同的。

单缝衍射将缝间干涉的强度限定在单缝衍射的强度曲线之下，因此说：缝间干涉受单缝衍射的调制。

注意到：缝间干涉的第 3级经过调制后，强度为零，这种情况称为缺级。

另外，第 6级和第 9级等，也都缺级，这是因为 k/k' = d/a = 3。

缝间干涉的高峰被调制后成为光栅衍射的最高峰，这种峰称为主极大；低峰被调制后的峰称为次极大。

在单缝衍射的次级明条纹中，光栅衍射的主极大的强度与单缝衍射的中央明条纹中的次极大的强度差不多。在单缝衍射的中央明

条纹之内，光栅衍射的主极大的强度远大于次极大的强度，因此光栅衍射条纹中除了有亮度很高的明条纹之外，还有一些亮度较小的明条纹。

如果光强不是很强，光栅衍射主要出现单缝衍射中央明条纹中的主极大。

{范例 7.7} 光栅衍射的强度和条纹一光栅有 N条缝，透光的缝的宽度为 a，不透光的挡板的宽度为 b，入射光的波长为 λ 。 (1)在缝宽和光栅常数一定的情况下，光珊衍射条纹与缝数有什么关系？ (2)说明缝间干涉受到单缝衍射的调制和缺级现象。 (3)光栅衍射条纹的分布与缝宽和光栅常数有什么关系？

[解析 ](3)光栅衍射的强度公式有三个参数：缝宽 a、缝间距 d和光栅缝数 N。

B

AG

C

D

d

dsinθ

θ

θ

d

2 20

sin sin( ) ( )

sin

u NvI I

u v u = πasinθ/λ

v = πdsinθ/λ

当波长 λ一定时，减小缝宽 a会使单缝衍射的中央明纹宽度增加，从而使衍射更明显。

当缝宽 a一定时，增加缝间距 d会在中央明纹内增加主极大的条数。

当 d/a不为整数时，中央明纹内主极大的条数为 n = 2[d/a] + 1。

当 d/a为整数时，就存在缺级，中央明纹内主极大的条数为 n = 2d/a – 1。

增加缝数 N，会使干涉条纹变窄；在两个主极大之间有 N - 2个次极大。

由于 Imax = N2I0，所以增加缝数会增加主极大的亮度。

增加缝数，次极大的相对光强会减小。

当缝数很多时，次极大很小，主极大的条纹又细又亮。