Лекция 8 - Системы шифрования с открытым ключом

Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì

Ëåêöèÿ 8

Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì

Ìèõàèë Ëåîíèäîâè÷ Áóðÿêîâ

2012 ãîä


Îñíîâíûå ñòðóêòóðû

ke � êëþ÷ øèôðîâàíèÿ (â Ek)

kd � êëþ÷ ðàñøèôðîâàíèÿ (â Dk)

Åñòåñòâåííî, ÷òî Dk(Ek(M)) = M


Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì


Àññèìåòðè÷íûå ñòðóêòóðû

Ïåðâîå ïóáëè÷íîå óïîìèíàíèå â ñòàòüå Ó. Äèôôè, Ì.

Õýëëìàíà ¾Íîâûå íàïðàâëåíèÿ â êðèïòîãðàôè¿, 1976

Ïðè èñïîëüçîâàíèè â øèôðîâàíèè � áëî÷íûé ïîäõîä èç-çà

ìàëîé ñêîðîñòè → îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ëèøü øèôðîâàíèå

âðåìåííîãî ñåêðåòíîãî êëþ÷à äëÿ ñèñòåì øèôðîâàíèÿ ñ

ñåêðåòíûì êëþ÷îì.


Àññèìåòðè÷íûå ñòðóêòóðû

Ïåðâîå ïóáëè÷íîå óïîìèíàíèå â ñòàòüå Ó. Äèôôè, Ì.

Õýëëìàíà ¾Íîâûå íàïðàâëåíèÿ â êðèïòîãðàôè¿, 1976

Ïðè èñïîëüçîâàíèè â øèôðîâàíèè � áëî÷íûé ïîäõîä èç-çà

ìàëîé ñêîðîñòè → îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ëèøü øèôðîâàíèå

âðåìåííîãî ñåêðåòíîãî êëþ÷à äëÿ ñèñòåì øèôðîâàíèÿ ñ

ñåêðåòíûì êëþ÷îì.


RSA

n = p · qp, q � ïðîñòûå

e · d = 1 (mod ϕ(n))ϕ(n) � ôóíêöèÿ Ýéëåðà

ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1)

ke = (n, e)kd = (p, q, d)

M � ñîîáùåíèå (÷èñëî â ïîëóèíòåðâàëå 0 ≤ M < n)Øèôðîâàíèå:

C = Ek(M) = Md mod n

Ðàñøèôðîâàíèå:

M = Dk(M) = Cd mod n


RSA



ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1)

ke = (n, e)kd = (p, q, d)






RSA



ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1)

ke = (n, e)kd = (p, q, d)






RSA



ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1)

ke = (n, e)kd = (p, q, d)






RSA


Âîïðîñû

1. ãåíåðàöèÿ p è q;

2. ìîäóëÿðíàÿ àðèôìåòèêà (ÊÒÎ);

3. ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè.


Âîïðîñû





Âîïðîñû





Âîïðîñû





Ôàêòû

I Ïðè âîçìîæíîñòè áûñòðîãî ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè

ñèñòåìà íåñòîéêàÿ (íåèçâåñòíî, âåðíî ëè îáðàòíîå).

I Ðåêîðä ðàçëîæåíèÿ: 2010 ãîä � 786-áèò (â ðàìêàõêîíêóðñà RSA factoring challenge)

I Èñïîëüçóåìûé ðàçìåð êëþ÷åé � 1024− 4096 áèò.


Ïîñòêâàíòîâàÿ êðèïòîãðàôèÿ

1994 ãîä � áûñòðûé àëãîðèòì ôàêòîðèçàöèè Øîðà äëÿ ìîäåëè

êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé.


Ñõåìà Ýëü-Ãàìàëÿ

G � ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà áîëüøîãî ïîðÿäêà

q g � ïîðîæäàþùèé ýëåìåíò G

G ,g � ïàðàìåòðû ñèñòåìû (îáùåèçâåñòíû)

Ãåíåðàöèÿ êëþ÷åé:

1. x � ñëó÷àéíîå ÷èñëî îò 0 äî q − 1

2. h = gx

h � îòêðûòûé êëþ÷

x � ñåêðåòíûé êëþ÷



Çàøèôðîâàíèå:

1. y � ñëó÷àéíîå ÷èñëî îò 0 äî q − 1 → C1 = g y

2. s = hy

3. C2 = s ·MM � ñîîáùåíèå (ýëåìåíò ãðóïïû G )

Øèôðîâàííîå ñîîáùåíèå: (C1,C2) = (g y ,M(g x)y )




1. s = C x1

2. C2s−1 = Mhy (g yx)−1 = Mg xyg−xy = M



Îñîáåííîñòè:

1. âåðîÿòíîñòíîå øèôðîâàíèå (y âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíî);

2. ðàçìåð øèôðîâàííîãî ñîîáùåíèÿ â 2 ðàçà áîëüøå ðàçìåðà

îòêðûòîãî òåêñòà.


Ñèñòåìà McEliece

Îñîáåííîñòè:

1. Îñíîâàíà íà êîäîâûõ êîíñòðóêöèÿõ, íåòðèâèàëüíîå

îïèñàíèå;

2. Êëþ÷ ∼ 219 áèò, äëèíà çàøèôðîâàííîãî ñîîáùåíèÿ ∼ 1.6ðàçà áîëüøå èñõîäíîãî;

3. ¾Óñòîé÷èâ¿ â êâàíòîâîé ìîäåëè.


Ñèñòåìà, îñíîâàííàÿ íà çàäà÷å ¾óïàêîâêè ðþêçàêà¿

Ãåíåðàöèÿ êëþ÷åé: w = (w1,w2, . . . ,wn) � ñóïåðâîçðàñòàþùàÿ

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

q >∑n

i=1 wi

r : gcd(q, r) = 1(w , q, r) � ñåêðåòíûé êëþ÷

bi = r · wi mod wi

b = (b1, b2, . . . , bn) � îòêðûòûé êëþ÷



Çàøèôðîâàíèå:

1. a = (a1, a2, . . . , an) � ñîîáùåíèå

2. c =∑n

i=1 aibi � øèôðîâàííîå ñîîáùåíèå




1. c ′ = cr−1 =∑n

i=1 aibi r−1 =

=∑n

i=1 ai rwi r−1 =

∑ni=1 aiwi (mod q)

2. c ′ =∑n

i=1 aiwi

3. Äàëåå ïî ñâîéñòâàì ñóïåðâîçðàñòàþùåé

ïîñëåäîâàòåëüíîñòè


Öèôðîâàÿ ïîäïèñü

I Àóòåíòèôèêàöèÿ èñòî÷íèêà;

I Öåëîñòíîñòü ñîîáùåíèÿ;

I Íåâîçìîæíîñòü îòêàçà îò ôàêòà ïîäïèñàíèÿ.



¾Ôèçè÷åñêàÿ ïîäïèñü¿

I Íå çàâèñèò îò òåêñòà.

I Íåîòäåëèìà îò íîñèòåëÿ.


I Çàâèñèò îò òåêñòà.

I Îòäåëèìà îò íîñèòåëÿ (âåðíà äëÿ ëþáîé êîïèè).

I Òðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõ ìåõàíèçìîâ èñïîëüçîâàíèÿ (PKI).



¾Ôèçè÷åñêàÿ ïîäïèñü¿

I Íå çàâèñèò îò òåêñòà.

I Íåîòäåëèìà îò íîñèòåëÿ.


I Çàâèñèò îò òåêñòà.

I Îòäåëèìà îò íîñèòåëÿ (âåðíà äëÿ ëþáîé êîïèè).

I Òðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõ ìåõàíèçìîâ èñïîëüçîâàíèÿ (PKI).



Óãðîçû

I ïîääåëêà ïîäïèñè (êîíêðåòíîãî ñîîáùåíèÿ)

I ñîçäàíèå ïîäïèñàííîãî ñîîáùåíèÿ (õîòÿ áû êàêîãî-íèáóäü)

I ïîäìåíà ñîîáùåíèÿ (äâà ñîîáùåíèÿ ñ îäèíàêîâîé

ïîäïèñüþ)



Óãðîçû




ïîäïèñüþ)



Óãðîçû




ïîäïèñüþ)



Óãðîçû




ïîäïèñüþ)


ÝÖÏ íà îñíîâå øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì

Ek , Dk

Dk(M) � îáùåäîñòóïíî

Òîãäà ëþáîé ñìîæåò ¾ðàñøèôðîâàòü¿ Dk(M) è ïîëó÷èòü

M(ñèñòåìà ñ âîññòàíîâëåíèåì òåêñòà).

Çäåñü ëþáîé ìîæåò ñîçäàòü ïîäïèñàííîå ñîîáùåíèå:

Ek(S) = M ′ (M ′ � âîîáùå ãîâîðÿ, áåëèáåðäà)

Îáû÷íî ïîäïèñûâàþò íå ñîîáùåíèå, à õýø ñîîáùåíèÿ h(M)(ñèñòåìà ñ äîáàâëåíèåì).

Äîïîëíèòåëüíûé ïëþñ: ñêîðîñòü.



Ek , Dk










Ek , Dk










Ek , Dk









ÝÖÏ Ôèàòà�Øàìèðà

|h(M)| = m h � õýø-ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèåì äëèíû m.

p,q � ïðîñòûå, n = p · qn � ïàðàìåòð ñèñòåìû (îáùåèçâåñòåí)

ñëó÷àéíûå a1, . . . , am ∈ Z ∗n - ñåêðåòíûé êëþ÷

bi = (a−1i )2 mod n

b1, ...bm � îòêðûòûé êëþ÷

















Ïðîöåäóðà ïîäïèñè:

1. r � ñëó÷àéíîå ÷èñëî îò 1 äî n − 1

2. u = r2 (mod n)

3. h(M, u) = s = s1, . . . , sm

4. t = r∏m

i=1 asii (mod n)

(s, t) � ïîäïèñü



Ïðîâåðêà ïîäïèñè:

1. w = t2∏m

i=1 bsii mod m

2. s ′ = h(M,w)

Åñëè s ′ = s, òî ïîäïèñü âåðíà.

Îñíîâàíà íà ïðîáëåìå âçÿòèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ (àíàëîã

ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ Ðàáèíà)


ÝÖÏ Ýëü-Ãàìàëÿ

G � Zq- ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà áîëüøîãî

ïîðÿäêà qg � ïîðîæäàþùèé ýëåìåíò Zq


x � ñëó÷àéíîå ÷èñëî îò 0 äî q − 1, ñåêðåòíûé êëþ÷

h = g x � îòêðûòûé êëþ÷

M � ñîîáùåíèå (÷èñëî îò 0 äî q − 1)



G � Zq- ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà áîëüøîãî

ïîðÿäêà qg � ïîðîæäàþùèé ýëåìåíò Zq


x � ñëó÷àéíîå ÷èñëî îò 0 äî q − 1, ñåêðåòíûé êëþ÷

h = g x � îòêðûòûé êëþ÷

M � ñîîáùåíèå (÷èñëî îò 0 äî q − 1)




1. y � ñëó÷àéíîå ÷èñëî

2. c = g y

3. d = (M − xc)y−1(c , d) � ïîäïèñü


åñëè hccd = gM , òî ïîäïèñü âåðíà

hccd = (g x)gy(g y )(M−xc)y

−1= g xgy+yMy−1−yxcy−1 =

g xgy+yMy−1−xgy= gM

Èñïîëüçóåòñÿ â ñòàíäàðòàõ öèôðîâîé ïîäïèñè.





2. c = g y












2. c = g y









Îäíîðàçîâûå öèôðîâûå ïîäïèñè.

Ñõåìà Äèôôè�Ëýìïîðòà

M = m1m2, . . . ,mn(mi ∈ {0, 1})K = [(k10, k11), . . . , (kn0, kn1)], kij � êëþ÷è ñèñòåìû

øèôðîâàíèÿ ñ ñåêðåòíûì êëþ÷îì

S = [(s10, s11), . . . , (sn0, sn1)], sij � ñëó÷àéíûå

Rij = Ekij (Sij)(S ,R) � îòêðûòûé êëþ÷

Ïîäïèñü M: (k1,m1 , . . . , kn,mn)


Îäíîðàçîâûå öèôðîâûå ïîäïèñè.

Ñõåìà Äèôôè�Ëýìïîðòà

M = m1m2, . . . ,mn(mi ∈ {0, 1})K = [(k10, k11), . . . , (kn0, kn1)], kij � êëþ÷è ñèñòåìû

øèôðîâàíèÿ ñ ñåêðåòíûì êëþ÷îì

S = [(s10, s11), . . . , (sn0, sn1)], sij � ñëó÷àéíûå

Rij = Ekij (Sij)(S ,R) � îòêðûòûé êëþ÷

Ïîäïèñü M: (k1,m1 , . . . , kn,mn)

Documents

Лекция 8 - Системы шифрования с открытым ключом