제 8 장 무한 임펄스 응답 필터 설계

제 제 88 장 장 무한 임펄스 응답 필터 설계무한 임펄스 응답 필터 설계

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무한 임펄스 응답 디지털 필터의 설계– 아날로그 필터 설계를 바탕으로 원하는 특징을 가지는

디지털필터로의 변환• 임펄스 응답불변 (impulse invariant) 변환• 양선형 (bilinear) z 변환

1. 1. 서론서론

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IIR 디지털 필터

– IIR 필터의 전달함수

2. IIR 2. IIR 필터의 기본특성필터의 기본특성

(8-1)

0

0 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

k

N M

k kk k

y n h k x n k

a x n k b y n k

1 20 1 2

1 21 2

0

1

( )1

1

NN

MM

Nk

kk

Mk

kk

a a z a z a zH z

b z b z b z

a z

b z

여기서 는 필터의 임펄스응답이며 , 와 는 필터의 계수들이다 . ( )h k kakb

(8-2)

4/53

– 인수분해 형식의 IIR 필터 전달함수

– IIR 필터의 특성• 필터의 현재의 출력인 은 과거의 출력들인 과 현재 및 과거의 입력들인 의 합으로 표현

– FIR 에 비해 적은 계수들을 가지고도 급격한 차단특성을 지님

• 시스템의 불안정성을 초래– 설계 과정에서 안정도 판별 필요

( )y n ( )y n k( )x n k

1 2

1 2

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )N

M

K z z z z z zH z

z p z p z p

여기서 은 영점들을 , 은 극점들은 나타내고 , 는 상수이다 .

1 2, , , Nz z z K1 2, , , Np p p

(8-3)

5/53

IIR 디지털 필터의 설계– 임펄스 응답불변 변환

• 디지털 필터의 임펄스 응답이 표본점에서 아날로그 필터의 응답과 같은 값을 가짐

3. 3. 아날로그 필터를 이용한 아날로그 필터를 이용한 IIR IIR 필터 설계필터 설계

그림 8-1. 임펄스 응답 불변변환 방법

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– 양선형 z 변환• s 평면에 있는 아날로그 영점과 극점들을 z 평면의 디지털 영점과 극점들로 일대일 사상 (mapping) 하여 변환

• 주파수 휨 (frequency warping)– s 평면의 jw 축 전체가 z 평면의 단위원으로 유일하게

사상되기 때문에 주파수 축의 압축효과 가 나타남

7/53


8/53


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임펄스 응답불변 변환– 간단한 저역통과 아날로그 필터

– 임펄스 응답• 역 라플라스 변환

– 임펄스 응답열• 임펄스 응답의 샘플링 ( 주기 =T)

( )a

H ss a

(8-4)

( ) , 0ath t ae t

( ) anTnh h nT ae

(8-5)

(8-6)

10/53

– 디지털 필터의 임펄스 응답• z 변환

0

0

1

0

1

( )

( )

1

nn

n

anT n

n

aT n

n

aT

H z h z

ae z

a e z

a

e z

(8-7)

11/53

– 임펄스 응답불변 변환의 일반화• 단극점 (single pole) 로 구성되는 전달함수를 갖는 아날로그 필터

• 임펄스 응답– 역 라플라스 변환

• 임펄스 응답열– 임펄스 응답의 샘플링 ( 주기 =T)

1

( )N

i

i i

CH s

s p

1

( ) i

Np t

ii

h t C e

1

( ) i

Np nT

ii

h nT C e

여기서 및 는 에 대한 실수 또는 복소수 값을 갖는 상수들이다 . ipiC 1,2, ,i N

(8-8)

(8-9)

(8-10)

12/53

• z 변환

• 교환법칙 적용

• 무한급수 정리 적용

(8-11)

0

0 1

( ) ( )

i

n

n

Np nT n

in i

H z h nT z

C e z

1 0

1

1 0

( )

( )

i

i

Np nT n

ii n

Np t n

ii n

H z C e z

C e z

(8-12)

11

0

1( )

1i

i

p T np T

n

e ze z

(8-

13)

13/53

• 임펄스 응답불변 변환 방법에 의해 설계된 디지털 필터

– 중근 (repeated poles) 을 가진 아날로그 필터• l 차의 중근을 가지는 전달함수

• z 변환

11

( )1 i

Ni

p Ti

CH z

e z

(8-

14)

1 1

1 1

( 1)( )

( 1)! 1i

l li

l aT

a p

CH z

l a e z

( )( )

il

i

CH s

s p

(8-15)

(8-16)

14/53

– 복소근을 가진 아날로그 필터 (1)• 전달함수

• z 변환

( )( )( )

s aH s

s a jb s a jb

1

1 2 2

1 ( cos )( )

1 (2 cos )

aT

aT aT

e bT zH z

e bT z e z

(8-17)

(8-18)

15/53

– 복소근을 가진 아날로그 필터 (2)• 전달함수

• z 변환

( )( )( )

bH s

s a jb s a jb

1

1 2 2

( sin )( )

1 (2 cos )

aT

aT aT

e bT zH z

e bT z e z

(8-19)

(8-20)

16/53

– 예제 8-1• 2 차 아날로그 버터워스 필터의 전달함수

• 부분분수 전개

• 임펄스 응답 불변의 디지털 필터– T =1 인 경우

2

1( )

1 2H s

s s

2 2( )

( 1 ) 2 ( 1 ) 2

j jH s

s j s j

( 1 ) 2 1 ( 1 ) 2 1

1 2 1

1 2 1 2 2 2

2 2( )

1 1

2 sin(1 2)

1 2 cos(1 2)

j j

j jH z

e z e z

e z

e z e z

17/53

그림 8-3. 예제 8-1의 진폭응답 특성

18/53

– 임펄스 응답불변 변환방법에 의한 디지털 필터의 설계• 샘플링 정리

– 임펄스 응답불변 변환방법음 전달함수가 대역제한함수인 경우로 국한됨

• 필터의 이득– 디지털 필터의 이득과 아날로그 필터의 이득이 같아지도록 에 T 를 곱함

1( ) ( )sT sz e

n

H z H s jmT

( )H z

(8-21)

19/53

양선형 z 변환– s 평면의 허수축을 z 평면의 단위원으로 대응시키며 ,

원안의 값들은 좌반평면의 로 취해진 값들과 대응

( )H z( )H s

2 1

1

zs

T z

12

12

Ts

zT

s

(8-22)

(8-23)

20/53

– 을 대입

– 주파수 축적• 대입

(1 )2 2

(1 )2 2

T Tj

zT T

j

s j

2 2

2 2

2 1

1

2

2tan

2

d

d

d d

d d

j T

j T

j T j T

j T j T

d

ej

T e

e e

T e eT

jT

,s j dj Tz e

(8-24)

(8-25)

여기서 은 아날로그 주파수 , 디지털 주파수를 나타낸다 . d

21/53

그림 8-4. 양선형 주파수 변환

22/53

– 아날로그와 디지털 주파수 사이 관계• 주파수 휨 효과

– 아날로그 주파수가 0 에서 까지의 주파수 범위를 가질 때 디지털 주파수는 0 에서 내에서 변화

2tan

2dT

T

tan2 2

dTT

(8-26)

(8-27)

/ T

23/53

– 예제 8-2• 1 차 버터워스 아날로그 저역통과 필터를 사용하여 디지털 필터 설계

– 전달함수

• 양선형 z 변환

• 디지털 필터– 일 경우

1( )

11 ( )

1

H zk z

z

1( )

1 ( )c

H ss

11 1( )

2 2H z z

k

24/53

• 아날로그와 디지털 필터의 특성– 아날로그 필터의 임펄스 응답은 이다– 아날로그 필터의 진폭 및 위상의 주파수응답 특성은 다음과

같다

– 디지털 필터의 임펄스 응답은 이다

– 디지털 필터의 주파수응답 특성은 각각 다음과 같다

1/22

1

1 ( )c -1-tan ( )c

cos2dT

1 sin-tan

1 cosd

d

T

T

cTce

1 1, , 0, 0,

2 2

진폭응답 =

위상응답 =

진폭응답 =

위상응답 =

25/53

• 와 는 다음의 관계를 갖는다 d

tan2d

c

T

26/53

– 예제 8-3• 다음사양을 만족하는 저역통과 디지털 필터를 설계하라

– 필터의 응답은 1000[Hz] 에서 -3[dB] 의 전력이득을 가짐 – 필터의 응답은 3000[Hz] 에서 -10[dB] 의 전력이득을 가짐– 표본화 주파수는 10kHz

– 필터 응답은 1000~3000[Hz] 사이의 천이대역 (transition region)에서 단조 감소

• 디지털 매개변수 계산– 표본화 주기 :

– 차단주파수 :

– 소거주파수 :

1/10000[sec]T 2 1000[rad/sec], 0.2dp drT 2 3000[rad/sec], 0.6dr drT

27/53

• 주파수 휨 고려

• 버터워스 필터의 차수 결정

• 원하는 아날로그 버터워스 필터

tan( ) 0.32492 2p dpT T

tan( ) 1.37642 2

drr TT

21.376410 log 1 ( ) 10

0.3249N

1N

1( )

1 ( / )p

H ss

28/53

• 양선형 z 변환– 대입

0.3949( )

10.3249

10.2452( 1)

0.5095

H zzz

z

z

2 1

1

zs

T z


29/53

아날로그 필터에서 디지털 필터로의 변환– 임펄스 응답불변 변환

• 아날로그의 임펄스 응답을 보존

– 양선형 z 변환• 주파수 응답의 휨 효과 유발

4. 4. 두 변환방법의 비교두 변환방법의 비교

(8-28)

(8-29)

sTz e

2 1

1

zs

T z

30/53

– 예제 8-4• 임펄스 응답불변 방법과 양선형 z 변환 방법에의한 디지털 필터 비교

• 아날로그 전달함수

• 주파수 특성

1.333( )

1.333

aH s

s a s

1( , 0.25 sec )

0.75a T

2 2

1.333( ) ( )

1.333aH j H j

1( ) tan1.333

j

31/53

• 임펄스 응답 불변변환에 의한 디지털 필터 (1)

– 주파수 특성» 대입

1 1

1.333( )

1 1 0.716aT

aH s

e z z

cos( ) sin( ) cos(0.25 ) sin(0.25 )j Tz e T j T j

2 2

1.333( ) ( )

1 0.716cos(0.25 ) 0.716sin(0.25 )

j TIIH e H j

1 0.716sin(0.25 )( ) tan

1 0.716cos(0.25 )j

32/53

• 양선형 변환에 의한 디지털 필터 (2)

– 주파수 특성

2 1

1

( ) ( )

( 2) ( 2)

0.333 0.333

2.333 1.667

zs

T z

H z H s

aTz aT

aT z aT

z

z

2 22

2 2

( ) ( )

0.777cos (0.25 ) 0.222cos(0.25 ) 0.555 0.777sin(0.25 ) 1.332sin(0.25 )

2.333cos(0.25 ) 1.667 2.333sin(0.25 )

j TBH e H j

12 2

1.332sin(0.25 )( ) tan

0.777cos (0.25 ) 0.222cos(0.25 ) 0.555 0.777sin (0.25 )j

33/53

그림 8-6. 예제 8-4의 진폭응답 및 위상응답 특성

34/53

– 예제 8-5• 아날로그 버터워스 필터의 전달함수

• 전달함수의 부분분수 전개

• 역 라플라스 변환

2

1( )

2 1H s

s s

/ 2 / 2( )

1 1

2 2

j jH s

j js s

1

/ 2

( ) ( )

2 sin2

t

h t H s

te

L

35/53

• 주파수 응답

• 에서 -3[dB] 점을 갖는 아날로그 필터

2

4

1( )

( ) 2( ) 1

1

1

H jj j

2

2 2

7

2 3 7

( ) ( )

2

3.948 10

8.886 10 3.948 10

c

c

c c

H s H s

s s

s s

2 1000[rad/sec]c

(8-30)

36/53

• 식 (8-30) 을 표준필터로 하여 임펄스 응답불변 방법을 이용한 필터설계

– 표본화 주기 ( )410 [sec]T

( 2 )

1 ( 2 ) 2( 2 )2

2 sin( 2)( )

2 cos( 2)

c

c c

Tc c

T Tc

e T zH z

z ze T e

0.20.4443

2 2cT

3

1 2

2.449 10( )

1.158 0.4112

zH z

z z

(8-31)

37/53

• 식 (8-30) 을 표준필터로 하여 양선형 z 변환방법을 이용한 필터설계

2 1

1

2

22

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

( ) ( )

2 1 2 12

1 1

( 1)

4( 1) 2 2 ( 1) ( 1)

0.064( 2 1)

1.168 0.424

zB sT z

c

c c

c

c c

H z H s

z zT z T z

T z

z T z T z

z z

z z

(8-32)

38/53

주파수 변환 – 저역통과 필터로부터 주파수변환읕 통해 고역통과 , 대역

통과 또는 대역 소거 필터 설계

5. 5. 주파수 변환주파수 변환

그림 8-7. 디지털 필터의 설계방법

39/53

그림 8-8. 아날로그필터로부터 디지털필터를 얻는 여러 변환 방법들

40/53

– 저역통과 필터• 에서 -3[dB] 점을 가진 정규화 된 저역통과 필터

• 에서 -3[dB] 점을 가진 정규화 된 저역통과 필터

– 고역통과 필터• 주파수 변환을 이용 저역통과 필터에 를 대체

• 에서 -3[dB] 점을 가진 고역통과 필터

2

1( )

2 1H s

s s

2

1( )

( / ) 2( / ) 1c c

H ss s

1[rad/sec]

( )1

sH s

s

( )c

sH s

s

s1

s

c

[rad/sec]c

41/53

– 대역통과 필터• 에서 -3[dB] 를 갖는 대역통과 필터

– 대역소거 필터• 에서 -3[dB] 를 갖는 대역소거 필터

2 20s

ss

2 20

ss

s

1[rad/sec]

1[rad/sec]

여기서 이고 , 는 소거대역폭이고 , 는 소거대역의

상한차단주파수이고 , 는 소거대역의 하한차단주파수이다 .

20 h l h l h

l

42/53

표 8-1. 아날로그 주파수 변환

43/53

– 예제 8-6• 정규화된 2 차 전달함수를 양선형 z 변환방법을 이용하여 디지털 저역통과 필터를 설계

– 전달함수

– 표본화 주파수 :

– 10[Hz] 에서 -3[dB] 점을 가짐

• 주파수 우선 휨– 주파수 휘 고려

2

1( )

1.414 1H s

s s

'tan tan 0.325

2 10c

c

T

100[Hz]sf

44/53

• 아날로그 저역통과 필터의 전달함수


2

2

1( )

1.414 10.325 0.325

0.105

0.46 0.105

H ss s

s s

11

2

2

2

1 2

1 2

0.105( ) ( )

1 10.46 0.105

1 1

0.105 0.21 0.105

1.56 1.79 0.645

0.067 0.135 0.067

1 1.147 0.413

zzs

H z H sz z

z z

z z

z z

z z

z z

45/53

• 양선형 z 변환– 계산의 편의 고려

– 계산의 정확성 고려

'2tan

2c

c

T

T

2 1

1

zs

T z

'tan

2c

c

T

1

1

zs

z

'2tan

2

2tan 65[rad / sec]

0.01 10

cc

T

T

46/53


47/53

– 예제 8-7• 정규화된 저역통과 전달함수를 양선형 z 변환방법을 이용하여 디지털 고역통과 필터를 설계

– 전달함수


– 차단 주파수 :

• 차단 주파수의 우선 휨– 주파수 휘 고려

1( )

1LH ss

'tan tan 0.7265

2 5c

c

T

150[Hz]sf 30[Hz]cf

48/53

• 주파수 변환표를 이용한 아날로그 고역통과 필터 변환


( ) ( )

1

0.72651

cs

L s

c

H s H s

s

ss

11

1

1

( ) ( )

0.5792 0.5792

1 0.1584

zzs

H z H s

z

z

49/53


50/53

– 예제 8-8• 다음의 사양을 만족하는 필터의 전달함수를 버터워스필터를 이용한 양선형 z 변환을 이용하여 구하라

– 대역통과 :


– 필터차수 : 2

• 저역통과와 대역통과 주파수 변환

200 ~ 300[Hz]pf 2[kHz]sf

2 20

( )h l

ss

s

51/53

• 2 차 대역 통과 필터– 1 차 저역통과 필터 이용

1( )

1LH ss

20

'tan tan 0.3249

2 10

' 3tan tan 0.5095

2 20

0.1655

0.1846

hh

ll

h l

h l

T

T

여기서 는 주파수 휨을 고려한 디지털 필터의 상한 , 하한차단주파수이고 ,

는 통과대역 폭을 나타낸다 .

,h l

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• 아날로그 대역통과 필터


2 20

2

( ) ( )

0.1846

0.1846 0.0274

s

s

Ls

H s H s

s

s s

11

2

1 2

( ) ( )

0.1367 0.1367

1 1.2362 0.7265

zzs

H z H s

z

z z

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제 8 장 무한 임펄스 응답 필터 설계