ˆ ˇ ˘ ˝˛ ˙˝ ˝ ˙ - ˛˚ ˙ « ˆ-8» †‡ ˙˚ ˘˝ ˘ ˆ˙˚‰ ˙ ˙˚‰ ‡ 8 ...interactive.ranok.com.ua/upload/file/Учебники 2016... · Теорема Фалеса

ÂÈÄÀÂÍÈÖÒÂÎ

ÐÀÍÎÊ

8Геометрія

• загальноосвітня програма• допрофільна підготовка

Видання є складовою навчально-методичного комплекту «Геометрія-8»

ОСОБЛИВОСТІ ПІДРУЧНИКА

• ПІДРУЧНИК «ГЕОМЕТРІЯ. 8 КЛАС»

• Збірник самостійних і контрольних робіт

• Розробки уроків

• багаторівнева побудова навчального матеріалу• тематичне узагальнення і систематизація• авторська система усних, графічних та письмових вправ• доступність викладення, зручність користування

А. П. Єршова, В. В. Голобородько, О. Ф. Крижановський, С. В. Єршов

Матеріали до підручника

ІНТЕРНЕТПІДТРИМКА

interactive.ranok.com.ua

Інтернет-підтримка

А. П

. Єрш

ова,

В. В

. Гол

обор

одьк

о,

О. Ф

. Кри

жан

овсь

кий

Геометрія

8

Прямі і кутиСуміжні кути

a ba + b = 180 °

Вертикальні кути

1 2

∠1 = ∠2Паралельні прямі

12

∠1 = ∠2

12

∠1 + ∠2 = 180 °

1

∠1 = ∠2

2

ТрикутникиСума кутів трикутника

a g

b

a + b + g = 180 °

a b

ca + b > c a + c > b b + c > a

Нерівність трикутника

Визначні лінії в трикутнику

Медіана Бісектриса Висота

Перша

За двома сторонами й кутом

між ними

Друга

За стороною і прилеглими до неї кутами

Третя

За трьома сторонами

Ознаки подібності трикутників

Ознаки рівності трикутників


між ними

За двома кутами


x

y

kx

ky

x

y

z

kx

ky

kz

Прямі і кутиСуміжні кути

a ba + b = 180 °

Вертикальні кути

1 2

∠1 = ∠2Паралельні прямі

12

∠1 = ∠2

12

∠1 + ∠2 = 180 °

1

∠1 = ∠2

2

ТрикутникиСума кутів трикутника

a g

b

a + b + g = 180 °

a b

ca + b > c a + c > b b + c > a

Нерівність трикутника

Визначні лінії в трикутнику

Медіана Бісектриса Висота

Перша


між ними

Друга

За стороною і прилеглими до неї кутами

Третя


Ознаки подібності трикутників

Ознаки рівності трикутників


між ними

За двома кутами


x

y

kx

ky

x

y

z

kx

ky

kz

Підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів

Харків Видавництво «Ранок»

2016

Любі друзі!У світі геометрії ви вже не почуваєте себе чужинцями: у сьомому кла-

сі ви познайомилися з багатьма важливими етапами її розвитку, почали оволодівати її мовою та опановувати її закони. Але геометрію недарма вва-жають дивовижною наукою: щоразу нова й непередбачувана, вона відкриває свої найкоштовніші скарби лише тому, хто пройнявся її духом і прагне не зупинятися на досягнутому.

У шкільному курсі геометрії можна умовно виділити декілька напря-мів. На початковому етапі переважає «геометрія доведень» — ви вперше зустрілися з поняттям доведення, оволоділи його методами й логікою, на-вчилися отримувати з одних тверджень інші, обґрунтовувати свої висновки. Протягом цього навчального року чільне місце буде відведене «геометрії обчислень». Чимало теорем, які ви будете вивчати, містять формули, що до-зволяють отримати нові числові характеристики геометричних фігур. Най-важливішою з цих теорем є знаменита теорема Піфагора, зустріч із якою чекає на вас саме у восьмому класі.

Однак вивчення геометрії не вичерпується лише обчисленнями. Зав-дяки цьому підручнику ви дослідите нові геометричні фігури, поглибите свої знання з логіки, набудете досвіду розв’язування задач оригінальними методами, дізнаєтеся про життя й здобутки визначних учених минулого. Майже в кожному параграфі вам запропоновано довести математичне твер-дження або навести приклад, провести аналогію, тобто самостійно рушити до нових знань. Сподіваємося, що кожний крок на шляху пізнання додасть вам упевненості у власних силах і наблизить до нових обріїв науки.

33

4

Як користуватися підручникомПідручник має чотири розділи, кожний із яких складається з парагра-

фів, а параграфи — з пунктів. У тексті міститься як теоретичний матеріал, так і приклади розв’язування задач. Найважливіші поняття й факти виді-лено напівжирним шрифтом.

Вправи і задачі, подані в підручнику, поділяються на декілька груп. Усні вправи допоможуть вам зрозуміти, наскільки успішно ви засвоїли тео-ретичний матеріал. Ці вправи не обов’язково виконувати подумки — для їх розв’язування ви можете виконати рисунки та провести необхідні міркування у чернетці. Після усних можна переходити до графічних вправ, які викону-ються в зошиті або на комп’ютері. Далі йдуть письмові вправи. Спочатку перевірте свої знання, виконуючи задачі рівня А. Складнішими є задачі рів-ня Б. І нарешті, якщо ви добре опанували матеріал і бажаєте виявити свої творчі здіб ності, на вас чекають задачі рівня В. Значки і біля номерів вправ означають, що ці вправи на розсуд вчителя можуть бути використані відповідно для роботи в парах і групах.

Після кожного параграфа в рубриці «Повторення» зазначено, які саме поняття й факти слід пригадати для успішного вивчення наступного матері-алу (поряд, зокрема, зазначено відповідні параграфи в підручнику: Єршова А. П. Геометрія. Підруч. для 7 класу загальноосвіт. навч. закл. / А. П. Єршо-ва, В. В. Голобородько, О. Ф. Крижановський. — Х.: Вид-во «Ранок».— 2015.— 224 с.: іл.), і наведено відповідні задачі, що підготують вас до сприйняття на-ступної теми. Для самостійної роботи вдома призначені задачі, номери яких позначено значком . Наприкінці кожного розділу подано контрольні запи-тання й типові задачі для контрольних робіт, завдяки яким ви зможете краще підготуватися до тематичного оцінювання. Пройшовши онлайн-тесту-вання на сайті interactive.ranok.com.ua, ви зможете самостійно перевірити рі-вень ваших знань. Додаткові задачі до розділів допоможуть вам узагальнити вивчене, а задачі підвищеної складності відкриють нові грані геометрії та красу нестандартного мислення. Розширити свої знання з кожного розділу ви можете, переглянувши відеоматеріали на тому самому сайті. Про можливість скористатися матеріалами сайта вам нагадуватиме значок .

Підсумкові огляди наприкінці кожного розділу послугують своєрідним геометричним компасом і допоможуть орієнтуватись у вивченому матеріалі. Додатки, наведені в кінці підручника, поглиблять ваші знання з окремих вивчених тем, а історичні довідки до розділів та матеріали рубрики «Ви-датні математики України» познайомлять із деякими цікавими фактами щодо розвитку геометрії та з діяльністю відомих учених.

Розділ І

Чотирикутники

§ 1. Чотирикутник і його елементи

§ 2. Паралелограм і його властивості

§ 3. Ознаки паралелограма

§ 4. Види паралелограмів

§ 5. Трапеція

§ 6. Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції

§ 7. Вписані кути

§ 8. Вписані й описані чотирикутники

§ 9. Визначні точки трикутника

6

Розділ І. Чотирикутники

Вивчаючи геометрію в сьомому класі, ви познайоми-лися з основними властивостями трикутників. Курс гео-метрії восьмого класу починається з розгляду більш склад-них фігур — чотирикутників. Але це не озна чає, що вже вивчену і, мабуть, призабуту за літо тему «Трикутники» не слід згадувати. Навпаки, цей матеріал варто повторити ще навіть до того, як ви прийдете на перший урок геоме-трії у восьмому класі. Адже саме властивості трикутни-ків є тим ключем, який відмикає двері у світ геометрії.

Окремі види чотирикутників уже відомі вам із курсу математики 5–6 класів. Найбільш уважні й спостережливі могли помітити, що особливе місце серед чотирикутників посідають ті, які мають паралельні сторони. Саме тому вже найближчим часом вам стануть у пригоді властивості й ознаки паралельних прямих, доведені в сьо мому класі,— цей матеріал також варто пригадати.

Серед теорем, які розглядатимуться в цьому розділі, особливу роль відіграє теорема Фалеса — одна з найдав-ніших теорем геометрії. З її допомогою ми згодом продов-жимо рух шляхом пізнання нових таємниць геометричних фігур.

У величезному саду геометрії кожен може дібрати собі букет до смаку.

Давид Гільберт

7

Чотирикутник і його елементи§ 1

1.1. Означення чотирикутникаІз чотирикутником ви вже знайомилися на уро-

ках математики. Дамо строге означення цієї фігури.

Означення

Чотирикутником називається фігура, яка складаєтьсяз чотирьох точок і чотирьох відрізків, що їх послідовносполучають.Даніточкиназиваютьсявершинами чоти-рикутника, а відрізки — сторонами чотирикутника.Прицьомужоднітривершининележатьнаоднійпрямій,ажоднідві сторони не перетинаються.

На рис. 1 зображений чотирикутник із вершина-ми A , B, C і D та сторонами AB, BC , CD та AD.

Кажуть, що дві вершини чотирикутника є сусідніми вершинами, якщо вони сполучені одні-єю стороною; вершини, які не є сусідніми, називають протилежними вершинами. Аналогічно сторони чо-тирикутника, які мають спільну вершину, є сусідні-ми сторонами, а сторони, які не мають спільних то-чок,— протилежними сторонами. На рис. 1 сторони AB і CD — сусідні для сторони BC , а сторона AD —

протилежна BC ; вершини B і D — сусідні з вер-шиною A , а вершина C — протилежна вершині A .

Чотирикутник позначають, послідовно вказую-чи всі його вершини, причому букви, що стоять поряд, мають позначати сусідні вершини. Наприклад, чоти-рикутник на рис. 1 можна позначити ABCD, BCDA або CBAD, але не мож на позначати ABDC або BDCA .

Означення

Діагоналлю чотирикутника називається відрізок, щосполучаєдвіпротилежнівершини.

C

AD

B

Рис. 1. Чотирикут- ник ABCD

8


У чотирикутнику PRST (рис. 2) діагоналями є відрізки PS і RT .

Зазначимо, що будь-який чотирикутник має діагональ, яка ділить його на два трикутники.

Означення

Периметром чотирикутника називаєтьсясумадовжинусіхйогосторін.

Периметр чотирикутника (як і три кутника) позначають буквою P : P AB BC CD ADABCD = + + + .

1.2. Опуклі чотирикутники. Сума кутів чотирикутникаБудь-який чотирикутник обмежує скінчен-

ну частину площини, яку називають внутрішньою областю цього чотирикутника (на рис. 3, а, б її за-фарбовано).

На рис. 3 зображено два чотирикутники і про-ведено прямі, на яких лежать сторони цих чоти-рикутників. У чотирикутнику ABCD ці прямі не проходять через внутрішню область — такий чо-тирикутник є опуклим (рис. 3, а). У чотирикутни-ку EFKM прямі EM і KM проходять через вну-трішню область — цей чотирикутник є неопуклим (рис. 3, б).

Означення

Чотирикутник називається опуклим, якщо він лежить поодинбіквідбудь-якоїпрямої,щоміститьйогосторону.

Дійсно, чотирикутник ABCD на рис. 3, а ле-жить по один бік від будь-якої з прямих AB, BC , CD або AD. У шкільному курсі геометрії ми будемо розглядати лише опуклі чотирикутники (якщо інше не обумовлено окремо).

P

R

S

T

Рис. 2. Відрізки PS і RT — діагоналі чотирикут ника PRST

B

K

M

E

F

A

C

D

а

B

K

M

E

F

A

C

D

б

Рис. 3. Опуклий (а) і неопук лий (б) чотирикутники

9

§1. Чотирикутник і його елементи

1 Зазначимо, що ця теорема і її доведення справджуються та-кож і для неопуклих чотирикутників (див. задачу 29).

Спробуйте накреслити два чотирикутники, діа-гоналі одного з яких перетинаються, а другого — ні.Означення

Кутом (внутрішнім кутом) опуклого чотирикутникаABCD при вершині A називаєтьсякутBAD.

Кут, суміжний із внутрішнім кутом чотирикут-ника при даній вершині, називають зовнішнім кутом чотирикутника при даній вершині.

Кути, вершини яких є сусідніми, називають су-сідніми кутами, а кути, вершини яких протилеж-ні,— протилежними кутами чотирикутника.Теорема (про суму кутів чотирикутника)

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

Доведення1

У даному чотирикутнику ABCD проведемо ді-агональ, яка ділить його на два трикутники (рис. 4). Оскільки ∠ = ∠ + ∠BAD 1 2, ∠ = ∠ + ∠BCD 3 4, то су-ма ку тів чотирикутника ABCD дорівнює сумі всіх кутів трикутників ABC і ADC, тобто дорівнює 360°.

Теорему доведено.

ЗадачаКути чотирикутника ABCD, сусідні з кутом C, рівні,

а протилежний кут удвічі більший за кут C. Знайдіть кут C, якщо ∠ = °B 60 .

Розв’язанняКутами, сусідніми з C, є кути B і D, а кутом, про ти

лежним до C, — кут A. За умовою задачі ∠ = ∠ =B D 60�. Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, то ∠ + ∠ = − ⋅ =A C 360 2 60 240� � �. Якщо градусна міра кута C дорівнює x, то градусна міра кута A за умовою дорівнює 2x. Звідси маємо: x x+ =2 240 ; 3 240x = ; x = 80 . Отже, ∠ =C 80°. Відповідь: 80°.

C

A

DB

1 2

3 4

Рис. 4. Сума кутів чотирикутника дорів-нює сумі кутів двох три кутників

10


Запитання і задачі

Усні вправи

1. Скільки сусідніх вершин має вершина чотирикутника? Скільки про-тилежних? Назвіть сусідні й протилежні вершини для вершини B чоти-рикутника ABCD .2. Скільки сусідніх сторін має сторона чотирикутника? Скільки проти-лежних? Назвіть сусідні й протилежні сторони для сторони AD чотири-кутника ABCD .3. Відрізок, який сполучає дві вершини чотирикутника, не є його діа-гоналлю. Чи можуть ці вершини бути протилежними?4. Вершинами чотирикутника є точки K, L, M, N.

а) Відомо, що KM і ML — сторони чотирикутника. Назвіть його діагоналі. б) Відомо, що KL — діагональ чотирикутника. Назвіть вершини, сусідні з вершиною K . в) Даний чотирикутник можна назвати KMLN. Чи можна його на-звати MLKN ?

5. Чи існує чотирикутник ABCD , в якому AB = 9 см, BC = 12 см, AC = 21 см? Відповідь обґрунтуйте.

6. Чи можуть усі кути опуклого чотирикутника бути гострими; тупи-ми; прямими? 7. Чи може опуклий чотирикутник мати три гострі кути; три тупі кути; два прямі кути; три прямі кути і один непрямий? 8. Чи можуть кути трикутника дорівнювати трьом кутам із чотирьох кутів чотирикутника? Відповідь обґрунтуйте.

Графічні вправи

9. Накресліть опуклий чотирикутник з вершинами A , B, C і D . а) Дайте назву отриманому чотирикутнику; проведіть його діагоналі. б) Виміряйте три кути чотирикутника. Користуючись відповідною теоремою, знайдіть градусну міру четвертого кута. Перевірте отри-маний результат вимірюванням.

11


10. Проведіть дві паралельні прямі. Позначте на одній із них точки A і D , а на другій — точки B і C так, щоб у разі послідовного сполучення цих точок утворився чотирикутник ABCD .

а) Чи є побудований чотирикутник опуклим? Чому? б) Виміряйте зовнішні кути чотирикутника ABCD (по одному при кожній вершині) і обчисліть їх суму.

A a Письмові вправи

Рівень А11. Знайдіть периметр чотирикутника, якщо його найменша сторона до-рівнює 5 см, а кожна наступна сторона на 2 см більша за попе редню.

12. Периметр чотирикутника дорівнює 20 см. Знайдіть сторони чотири-кутника, якщо одна з них складає 40 % периметра, а три інші рівні.13. Два кути чотирикутника дорівнюють 80° і 100°, а два інші кути ма-ють рівні градусні міри. Знайдіть найбільший кут чотирикутника.

14. Знайдіть кути чотирикутника ABCD , якщо ∠ = ∠A B , ∠ = ∠C D , а сума кутів A і B дорівнює 160°.15. Якщо три кути чотирикутника є тупими, то четвертий кут — го-стрий. Доведіть.

16. Якщо сума трьох кутів чотирикутника дорівнює 270°, то дві сторони чотирикутника перпендикулярні. Доведіть.

Рівень Б17. Визначте, чи може чотирикутник ABCD бути опуклим, якщо:

а) точки A і D лежать по різні боки від прямої BC ; б) пряма AB перетинає пряму CD ; в) пряма AB перетинає відрізок CD . Виконайте рисунки.

18. Знайдіть сторони чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 3 дм, а одна сторона менша за кожну з трьох інших на 2 см, 3 см і 5 см відповідно.

19. Сторони чотирикутника відносяться як 3 : 4 : 5 : 6. Знайдіть пери-метр чотирикутника, якщо сума його найбільшої і найменшої сторін до-рівнює 18 см.

12


20. Знайдіть кути чотирикутника, якщо один із них удвічі менший за другий, на 20° менший за третій і на 40° менший за че твертий.

21. Знайдіть найменший кут чотирикутника, якщо суми його кутів, узя-тих по три, дорівнюють 240°, 260° і 280°.22. Якщо один із кутів опуклого чотирикутника є гострим, то в цьо му чотирикутнику обов’язково є тупий кут. Доведіть.

23. Один із кутів опуклого чотирикутника дорівнює сумі двох інших кутів. Доведіть, що даний кут є тупим.

Рівень В24. Периметри чотирикутників ABCD і ABCD1 рівні. Чи може один із цих чотирикутників бути опуклим, а інший — неопуклим? Відповідь підтвердьте рисунком.25. Периметр чотирикутника ABCD дорівнює 23 дм. Знайдіть довжину діагоналі AC , якщо периметр трикутника ABC дорівнює 15 дм, а пери-метр трикутника ADC дорівнює 22 дм.

26. У чотирикутнику три кути рівні, а четвертий кут менший за їхню суму на 240°. Знайдіть кути чотирикутника.27. Доведіть, що діагоналі опуклого чотирикутника перети наються.

28. Доведіть, що будь-який відрізок із кінцями на сторонах опуклого чотирикутника лежить у внутрішній області цього чоти рикутника.29. У неопуклому чотирикутнику ABCD градусною мірою кута при вершині B вважають градусну міру α кута ABC , якщо хоча б одна з внутрішніх точок відрізків СD або AD лежить у внутрішній області кута ABC (рис. 5, а), або ( )360° − α , якщо жодна внутрішня точка від-різків CD та AD не лежить у внутрішній області кута ABC (рис. 5, б). Доведіть, що сума кутів неопуклого чотирикутника дорівнює 360°.

AB

C

D

α

A

B

C

D

α

а б

Рис. 5

13


Повторення перед вивченням § 2

Теоретичний матеріал • трикутник і його елементи;

• ознаки рівності трикутників;

• властивості й ознаки паралельних прямих.

Задачі 130. Відомо, що � �KMN NPK= (рис. 6).

а) Доведіть, що MK NP� . б) Знайдіть кут P , якщо ∠ =M 65°.

31. На рис. 6 MK PN= , ∠ = ∠MKN PNK . а) Доведіть, що MN KP� . б) Знайдіть MN , якщо KP = 14 см.

7 клас, § 7, 8, 10

7 клас, § 13–15

M

N P

K

Рис. 6

1 Нагадаємо, що запис � �ABC A B C=1 1 1

означає рівність відповідних сторін і кутів, тобто

AB A B=1 1

, BC B C=1 1

, AC A C=1 1

, ∠ = ∠A A1, ∠ = ∠B B

1, ∠ = ∠C C

1.

14

Паралелограм і його властивості

§ 2

2.1. Означення паралелограмаРозглянемо на площині дві паралельні прямі,

які перетинаються двома іншими паралельними пря-мими (рис. 7).

У результаті такого перетину утворюєть-ся чотирикутник, який має спеціальну назву — паралелограм.

Означення

Паралелограмомназиваєтьсячотирикутник,протилеж-ністорониякогопопарнопаралельні.

На рис. 7 зображено паралело грам ABCD , у якому AB CD� , AD BC� .

ЗадачаНа рис. 8 � �KLM MNK= . Доведіть, що чотирикут

ник KLMN — паралелограм.

Розв’язанняЗ рівності трикутників KLM і MNK випливає рівність

кутів: ∠ = ∠1 2 і ∠ = ∠3 4 . Кути 1 і 2 є внутрішніми різносторонніми при прямих KL і MN та січній KM. Аналогічно кути 3 і 4 є внутрішніми різносторонніми при прямих LM і KN та січ ній KM. За ознакою паралельності прямих маємо: KL MN� і LM KN� . Отже, у чотирикутнику KLMN протилежні сторони попарно паралельні, тобто KLMN — паралелограм за означенням.

Паралелограм —

від грецьких слів

«паралелос» — той,

щойде поряд,

паралельний,

і «грамма»—лінія

A

B C

D

Рис. 7. Паралелограм ABCD

K

L M

N1

2

4

Рис. 8

15


Як і в трикутнику, в паралелограмі можна про-вести висоти (рис. 9).

Означення

Висотою паралелограма називається перпендикуляр,проведений з точки однієї сторони до прямої, що міститьпротилежнусторону.

Очевидно, що до однієї сторони паралело грама можна провести безліч висот (рис. 9, а),— усі вони будуть рівні як відстані між паралельними прямими. А з однієї вершини паралелограма можна провести дві висоти до різних сторін (рис. 9, б). Часто, кажучи «висота паралелограма», мають на увазі її довжину.

Пригадайте, скільки висот можна провести до однієї сторони трикутника; з однієї вершини три-кутника.

2.2.Властивості паралелограмаБезпосередньо з означення паралелограма ви-

пливає, що будь-які два його сусідні кути є внутріш-німи односторонніми при паралельних прямих, які містять протилежні сторони. Це озна чає, що сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°.

Доведемо ще кілька важливих властивостей сторін, кутів і діагоналей паралелограма.

Теорема (властивості паралелограма)

У паралелограмі: 1) протилежні сторони рівні; 2) протилежні кути рівні; 3) діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Властивості 1 і 2 ілюструє рис. 10, а, а вла-стивість 3 — рис. 10, б.

Доведення

Проведемо в паралелограмі ABCD діаго-наль AC (рис. 11) і розглянемо трикутники ABC

а

б

Рис. 9. Висоти парале-лограма

а

б

Рис. 10. Властивості паралелограма

16


і CDA . У них сторона AC — спільна, ∠ = ∠1 3 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AC , ∠ = ∠2 4 як внутрішні

різносторонні при паралельних прямих AB і CD та січній AC . Отже, � �ABC CDA= за другою ознакою рівності трикутників. Звідси, зокрема, ви пливає, що AB CD= , AD BC= і ∠ = ∠B D . А оскільки ∠ + ∠ = ∠ + ∠1 2 3 4 , то ∠ = ∠BAD BCD . Отже, властивості 1 і 2 доведено.

Для доведення властивості 3 проведемо в парале-лограмі ABCD діагоналі AC і BD , які перетинають-ся в точці O (рис. 12).

Розглянемо трикутники AOD і COB . У них AD BC= за доведеним, ∠ = ∠1 3 як внутрішні різно-

сторонні при паралельних прямих AD і BC та січ-ній AC , ∠ = ∠2 4 як внутрішні різносторонні при па-ралельних прямих AD і BC та січ ній BD . Отже, � �AOD COB= за другою ознакою. Звідси випли-ває, що AO CO= і BO DO= , тобто точка O є середи-ною кожної з діагоналей AC і BD . Теорему доведено пов ністю.

ЗадачаСума двох кутів паралелограма дорівнює 200°. Зна

йдіть кути паралелограма.

Розв’язанняНехай дано паралелограм ABCD.Оскільки сума двох сусідніх кутів паралелограма

дорівнює 180°, то дані кути можуть бути лише протилежними. Нехай ∠ + ∠ = °B D 200 . Тоді за властиві стю ку тів паралелограма ∠ = ∠ = ° = °B D 200 2 100: .

Отже, ∠ = ∠ = ° − ° = °A C 180 100 80 .

Відповідь: 80° і 100°.

A

B C

D1

2

4

Рис. 11. Діагональ ді-лить паралелограм на два рівні трикутники

A

B C

D

O

1 2

4

Рис. 12. При пере тині діагоналей парале-логра ма утворюються рівні трикутники

17


Задача У паралелограмі ABCD бісектриса кута A ділить

сторону BC навпіл. Знайдіть периметр паралело грама, якщо AB = 6 см.

Розв’язанняНехай у паралелограмі ABCD бісектриса кута A пе

ретинає сторону BC в точці E, BE EC= (рис. 13). Зазначимо, що ∠ = ∠1 2, оскільки AE — бісектриса кута BAD, а ∠ = ∠1 3 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AE. Звідси ∠ = ∠2 3 , тобто за ознакою рівнобедреного трикутника трикутник ABE — рівнобедрений з основою AE, отже, BE AB= = 6 см. За умовою BE EC= , тобто BC = 12 см. Отже, оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то PABCD = ⋅ + =2 6 12 36( ) (см).

Відповідь: 36 см.

E

A

B C

D1

2

Рис. 13


Усні вправи32. Чотирикутник ABCD — паралелограм. Назвіть:

а) сторону, паралельну стороні BC ; б) сторону, яка дорівнює стороні CD ; в) кут, який дорівнює куту A .

33. Чи правильно, що будь-який паралелограм має: а) два кути, сума яких дорівнює 180°; б) два гострі і два тупі кути?

34. У паралелограмі ABCD ∠ < ∠B C . Порівняйте кути A і D .35. У паралелограмі ABCD AB CD AD BC+ > + . Порівняйте сторони BC і CD .

18


36. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O (див. рис. 12). Назвіть:

а) відрізок, який є медіаною трикутника ACD ; б) трикутник, медіаною якого є відрізок AO .

Графічні вправи37. Проведіть дві паралельні прямі. Позначте на одній із них точки A і D та проведіть через ці точки дві інші паралельні прямі, які перетина-ють другу пряму в точках B і C відповідно.

а) Поясніть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом. б) Виміряйте кут A паралелограма ABCD . Користуючись власти-востями паралелограма, знайдіть градусні міри інших його кутів. Перевірте отримані результати вимірюванням. в) Проведіть діагональ AC і позначте її середину — точку O . За до помогою лінійки перевірте, чи належить ця точка відрізку BD .

38. Накресліть трикутник ABD. Проведіть через вершини B і D прямі, паралельні сторонам AD і AB відповідно. Позначте точку C — точку перетину цих прямих.

а) Поясніть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом. б) Проведіть дві висоти паралелограма з вершини B. Чи рівні вони? в) Виміряйте сторони AD та AB і знайдіть периметр паралелограма. Якою властивістю паралелограма ви скористалися?


Рівень А39. Накресліть у зошиті трикутник і проведіть через кожну його вер-шину пряму, паралельну протилежній стороні. Скільки паралелограмів утворилося на рисунку? Скільки спільних вершин мають будь-які два утворені паралелограми?

40. Три паралельні прямі перетинаються з двома іншими паралельними прямими. Скільки паралелограмів утворилося?41. Знайдіть периметр паралелограма ABCD , якщо сторона AD дорів-

нює 12 см і складає 2

3 сторони AB.

19


42. Периметр паралелограма дорівнює 24 см. Знайдіть сторони парале-лограма, якщо:

а) одна з них на 2 см більша за іншу; б) одна з них утричі менша за іншу; в) сума трьох його сторін дорівнює 17 см.

43. Знайдіть кути паралелограма, якщо: а) один із них дорівнює 110°; б) один із них на 70° менший від іншого; в) сума двох його кутів дорівнює 90°; г) діагональ утворює з його сторонами кути 30° і 45°.

44. Знайдіть кути паралелограма, якщо: а) один із них є прямим; б) градусні міри двох його кутів відносяться як 2 : 7; в) різниця двох його кутів дорівнює 40°; г) сума трьох його кутів дорівнює 330°.

45. Точка перетину діагоналей паралелограма віддалена від двох його вершин на 5 см і 8 см. Знайдіть довжини діагоналей паралелограма.

46. У чотирикутнику ABCD AB CD� , ∠ = ∠ADB CBD. Доведіть за озна-ченням, що ABCD — паралелограм.

47. У чотирикутнику VXYZ VX YZ� , ∠ + ∠ =V X 180°. Доведіть за озна-ченням, що VXYZ — паралелограм.

Рівень Б48. На площині дано три точки, які не лежать на одній прямій. По-будуйте паралелограм, трьома вершинами якого є дані точки. Скільки розв’язків має задача?

49. Скільки різних паралелограмів можна утворити з двох рівних різно-сторонніх трикутників, прикладаючи їх один до одного?

50. Периметр паралелограма ABCD дорівнює 14 дм, а периметр трикут-ника ABC — 10 дм. Знайдіть довжину діагоналі AC .

51. Сума трьох сторін паралелограма дорівнює 15 м, а сума трьох інших його сторін — 18 м. Знайдіть периметр паралелограма.

52. Знайдіть кути паралелограма, якщо: а) бісектриса одного з його кутів перетинає сторону під кутом 35°; б) висота паралелограма утворює з однією з його сторін кут 42°.

20


53. Знайдіть кути паралелограма, якщо: а) усі його сторони рівні, а діагональ утворює з однією зі сторін кут 25°; б) висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, ділить даний кут у відношенні 1 : 3.

54. Бісектриса кута D паралелограма ABCD ділить сторону BC у відношенні 1 : 4, починаючи від точки B. Знайдіть периметр пара-лелограма, якщо BC = 15 см. Скільки розв’язків має задача? Відповідь обґрунтуйте.

55. Бісектриса кута паралелограма ділить його сторону на відрізки завдовжки 5 см і 6 см. Знайдіть периметр паралелограма. Скільки розв’яз ків має задача?

56 (опорна). Будь-який відрізок з кінцями на протилежних сторонах паралелограма, який проходить через точку перетину його діагона-лей, ділиться цією точкою навпіл. Доведіть.57. З вершин тупих кутів B і D парале-лограма ABCD проведено перпендикуля-ри BA1 і DC1 до сторін AD і BC відповід-но. Доведіть, що чотирикутник A BC D1 1 — паралелограм.

58. За даними рис. 14 доведіть, що чоти-рикутник ABCD — паралелограм.

Рівень В59. Через точку, яка належить стороні рівностороннього трикутника, проведено прямі, паралельні двом іншим його сторонам. Визначте пе-риметр утвореного паралелограма, якщо периметр трикутника дорів-нює 18 см.

60. У паралелограмі ABCD бісектриси кутів A і D ділять сторону BC на відрізки завдовжки 5 см, 3 см і 5 см. Знайдіть периметр паралелогра-ма. Скільки розв’язків має задача?61. Знайдіть кути паралелограма, якщо його діагональ перпендикулярна до однієї зі сторін і дорівнює половині іншої сторони.

62. Знайдіть кути паралелограма, який ділиться діагоналлю на два рів-нобедрені прямокутні трикутники (розгляньте два випадки).63 (опорна). Бісектриси двох сусідніх кутів паралелограма перпен-дикулярні, а бісектриси двох протилежних кутів паралельні або ле-жать на одній прямій. Доведіть.

B N C

K

DPA

M

Рис. 14

21


64 (опорна). Кут між висотами паралелограма, проведеними з однієї вершини, дорівнює куту паралелограма при сусідній вершині. Доведіть.

65. Якщо діагональ ділить чотирикутник на два рівні трикутники, то такий чотирикутник є паралелограмом. Чи є правильним це твердження? Відповідь обґрунтуйте.

66. Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, то всі його сторони рівні. Доведіть. Сформулюйте й доведіть обернене твердження.


Теоретичний матеріал • ознаки рівності трикутників;

• властивості й ознаки паралельності прямих;

• поняття про властивості й ознаки.

Задачі67. Доведіть, що пряма, яка проходить через середини бічних сторін рів-нобедреного трикутника, паралельна його основі.

68. У чотирикутнику ABCD AB CD= . Які співвідношення необхідно до-дати до умови, щоб за даними задачі довести, що чотирикутник ABCD — паралелограм? Висловіть припущення.

7 клас, § 8, 10, 13

7 клас, § 14, 15

22

Ознаки паралелограма§ 33.1. Теорема про ознаки

паралелограмаДля того щоб скористатися властивостями па-

ралелограма, у багатьох випадках потрібно спочатку переконатися, що даний чотирикутник дійсно є па-ралелограмом. Це можна довести або за означенням (див. задачу в п. 2.1), або за озна ками — умовами, які гарантують, що даний чотирикутник — парале-лограм. Доведемо ознаки паралелограма, які найчас-тіше застосовуються на практиці.

Теорема (ознаки паралелограма)

1) Якщо дві протилежні сторони чотирикутника па-ралельні і рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. 2) Якщо протилежні сторони чотирикутника по-парно рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. 3) Якщо діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм.

Доведення

  1) Нехай у чотирикутнику ABCD AD BC� і AD BC= (рис. 15). Проведемо діагональ AC і роз-глянемо трикутники ABC і CDA . Вони мають спіль-ну сторону AC, AD BC= за умовою, ∠ = ∠1 2 як вну-трішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AC. Отже, � �ABC CDA= за першою ознакою рівності трикутників. Із рівності цих три-кутників ви пливає рівність кутів 3 і 4. Але ці ку-ти є вну трішніми різносторонніми при прямих AB і CD та січній AC . Тоді за озна кою паралельності прямих AB CD� . Таким чином, у чотирикутни-ку ABCD протилежні сторони попарно пара лельні, звідки випли ває, що ABCD — паралелограм за озна ченням.

A

B C

D1

2

4

Рис. 15. Якщо в чотири-кутнику ABCD AD BC� і AD BC= , то ABCD — паралелограм

23


2) Нехай у чотирикутнику ABCD AB CD= і AD BC= (рис. 16). Знову проведемо діагональ AC і розглянемо трикутники ABC і CDA . У цьому ви-падку вони рівні за тре тьою ознакою: сторона AC — спільна, AB CD= і AD BC= за умовою. З рівно-сті трикутників випливає рівність кутів 1 і 2, які є внутрішніми різносторонніми при прямих AD і BC та січній AC . За ознакою паралельності прямих AD BC� . Отже, в чотирикутнику ABCD сторони AD і BC паралельні й рівні, і за щойно доведеною

ознакою 1 ABCD — паралелограм.3) Нехай у чотирикутнику ABCD діагона-

лі перетинаються в точці O , AO CO= і BO DO= (рис. 17). Розглянемо трикутники AOB і COD . Ці трикутники рівні за першою ознакою: ∠ = ∠1 2 як вертикальні, а AO CO= і BO DO= за умовою. Отже, рівні і відповідні сторони і кути цих трикутників: AB CD= і ∠ = ∠3 4. Тоді AB CD� , і ABCD — па-

ралелограм за ознакою 1.Теорему доведено повністю.

ЗадачаУ паралелограмі ABCD точки M і N — середини

сторін AB і CD відповідно (рис. 18). Доведіть, що чотирикутник MBND — паралелограм.

Розв’язанняРозглянемо чотирикутник MBND. Сторони MB

і ND паралельні, оскільки лежать на прямих, що містять протилежні сторони паралелограма ABCD. Крім того, MB ND= як половини рівних сторін AB і CD паралелограма ABCD. Таким чином, у чотирикутнику MBND дві сторони паралельні й рівні. Отже, чотирикутник MBND — паралелограм.

A

B C

D

1

2

Рис. 16. Якщо в чоти-рикутнику ABCD AB CD= і AD BC= , то ABCD — паралело-грам

A

B C

D

1 2O

4

Рис. 17. Якщо в чоти-рикутнику ABCD AO CO= і BO DO= , то ABCD — паралело-грам

M N

A

B C

D

Рис. 18

24


Спробуйте самостійно знайти способи розв’я-зання цієї задачі, які ґрунтуються на засто суванні інших ознак або означення парале лограма.

3.2*. Необхідні й достатні умови 1

Кожна з ознак паралелограма вказує на пев-ну особливість, наявності якої в чотирикутни-ку достатньо для того, щоб стверджувати, що він є паралелограмом. Узагалі в математиці озна-ки інакше називають достатніми умовами. Напри-клад, перпендикулярність двох прямих третій — до-статня умова паралельності даних двох прямих.

На відміну від ознак, властивості паралело-грама вказують на ту особливість, яку обов’язково має будь-який паралелограм. Властивості інакше на-зивають необхідними умовами. Пояснимо таку на-зву прикладом: рівність двох кутів необхідна для того, щоб кути були вертикальними, адже якщо цієї рівності немає, вертикальними такі кути бути не можуть.

У випадку правильності теореми «Якщо А, то В» твердження А є достатньою умовою для твер-дження В, а твердження В — необхідною умовою для твердження А. Схематично це можна подати так:

Якщо А, то В

А — достатня умова для В

В — необхідна умова для А

Отже, необхідні умови (властивості) парале-лограма випливають з того, що даний чотирикут-ник — паралелограм; з достатніх умов (ознак) ви-пливає те, що даний чотирикутник — парале лограм.

Порівнюючи властивості й ознаки парале-лограма, неважко помітити, що одна й та сама 1 Тут і далі зірочкою позначено матеріал, вивчення якого

не є обов’язковим.

25


умова ( наприклад, попарна рівність протилежних сторін) є і властивістю, і ознакою паралелограма. У такому випадку кажуть, що умова є необхідною і достатньою. Необхідну і достатню умову інакше називають критерієм. Наприклад, рівність двох кутів трикутника — критерій рівнобедреного три-кутника.

Чимало прикладів необхідних і достатніх умов можна знайти в інших науках і в повсяк денному жит-ті. Усі ми знаємо, що повітря — необ хідна умова для життя людини, але не достатня (людині для життя потрібно ще багато чого, зокре ма їжа). Виграш у лоте-рею — достатня умова для матеріального збагачення людини, але не необхідна, адже покращити своє фі-нансове становище можна і в інший спосіб. Спробуй-те самостійно знайти декілька прикладів необхідних і достатніх умов.


Усні вправи

69. Діагоналі чотирикутника DEFK перетинаються в точці O , причому DO OF= , EO OK= . Назвіть паралельні сторони чотирикутника і пояс-ніть, чому вони паралельні.

70. У чотирикутнику KLMN KL MN� і KL MN= . Назвіть рівні кути чотирикутника і поясніть, чому вони рівні.

71. У чотирикутнику PRSQ PR SQ= , PQ RS= . Знайдіть суму ку тів R і S. 72. У чотирикутнику ABCD AB CD� . Яке співвідношення між сторо-нами чотирикутника необхідно додати до умови задачі, щоб довести, що ABCD — паралелограм? Наведіть усі можливі варіанти відповіді.

26


73. У чотирикутнику ABCD ∠ =A 30°, ∠ =C 50°. Чи може цей чотири-кутник бути паралелограмом? Яка особливість паралело грама (власти-вість або ознака) використовується для розв’язування цієї задачі? 74. Поставте замість крапок слова «необ хідно», «достатньо» або «необ-хідно і достатньо», щоб отримане твердження було пра вильним:

а) для того щоб чотирикутник був пара-лелограмом, …, щоб його діагоналі точкою перетину ділилися навпіл; б) для того щоб два кути були суміжни-ми, …, щоб їхня сума дорівнювала 180°; в) для того щоб прямі AB і CD були па-ралельними, …, щоб чотирикутник ABCD був паралелограмом.

Графічні вправи75. Проведіть дві паралельні прямі. Відкладіть на одній із них від-різок AD, а на другій прямій — відрізок BC , що дорівнює AD, так, щоб відрізки AB і CD не перетиналися. Побудуйте відрізки AB і CD .

а) Поясніть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом. б) Позначте точку M таку, щоб чотирикутник ABMC був парале-лограмом. Чи лежать точки M , C і D на одній прямій?

76. Накресліть трикутник ABC і проведіть його медіану BO. На про-мені BO побудуйте відрізок OD , що дорівнює BO. Сполучіть точку D з точками A і C.

а) Поясніть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом. б) Позначте точку M так, щоб чотирикутник ABDM був пара-лелограмом. Чи лежать точки M , C і D на одній прямій?


Рівень А77. Діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці O . Чи є цей чотирикутник паралелограмом, якщо AO = 4 см, OC = 40 мм, BD = 1 2, дм, OD = 6 см? Відповідь обґрунтуйте.

необ-хідно

достат-ньо

необхідноі достатньо

27


78. За даними рис. 19 доведіть, що чотирикутник ABCD — паралело-грам.

B C

A D

B C

A D

B C

A D

B C

A D

а б

Рис. 19

79. За даними рис. 20 доведіть, що чотирикутник ABCD — парале-лограм.

A

B C

D

O

A

B C

D

O

� �AOB COD=

а б

Рис. 20

80. У чотирикутнику ABCD сторони AB і CD паралельні. Знайдіть периметр чотирикутника, якщо AB CD= =9 см, AD = 4 см.

81. У чотирикутнику ABCD AB CD= , AD BC= . Знайдіть кути чотири-кутника, якщо кут A втричі більший за кут B.

82. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O. Точки B1 і D1 — середини відрізків BO і DO відповідно. Доведіть, що чотирикут-ник AB CD1 1 — паралелограм.

83. Доведіть, що відрізок, який сполучає середини протилежних сторін паралелограма, ділить даний паралелограм на два чотирикутники, які також є паралелограмами.

28


Рівень Б84. У технічному кресленні використовують механічну рейсшину (рис. 21). Поясніть, як за допомогою цього приладу побудувати чотири вершини паралелограма.

85. Поясніть, чому вісь CD , на якій кріпиться лампа (рис. 22), зав жди лишається верти кальною.

C

B

D

A

Рис. 21 Рис. 22


A

B C

D

O

E

F

A

B C

D

AECF — паралелограм

а б

Рис. 23

29



A

B C

D

E

FA

B C

D

AECF — паралелограм

а б

Рис. 24

88. У паралелограмі ABCD бісектриси кутів B і D перетинають діа-гональ AC в точках E і F відповідно. Доведіть, що чотирикутник BEDF — паралелограм.

89. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O . Доведіть, що середини відрізків AO , BO, CO і DO є вершинами іншого парале-лограма.

Рівень В

90. На рис. 25 чотирикутник KLMN є паралелограмом. Доведіть, що чотирикутник ABCD теж є парале лограмом.

K

L

A

BC

M

N

D

K

L

A

BC

M

N

D

а б

Рис. 25

30


91. За даними рис. 26 доведіть, що чотирикутник ABCD — пара-лелограм.

E

FA

BC

D

K

L

A

B CM

N

D

AECF — паралелограм KLMN — паралелограм

а бРис. 26

92 (опорна). Якщо в чотирикутнику протилежні кути попарно рів-ні, то цей чотирикутник — паралелограм. Доведіть.

93. Усередині даного кута A позначено точку O . Побудуйте відрізок з кінцями на сторонах кута, серединою якого є точка O .

94. Точка M міститься всередині кута A , вершина якого недосяжна (рис. 27). Побудуйте промінь з початком у точці M, спрямований на точ-ку A .

M

Рис. 27


Теоретичний матеріал • рівнобедрений трикутник;

• прямокутний трикутник.

Задачі95. Висоти трикутника ABC, проведені з вершин A і B, перетинаються в точці O , причому AO BO= . Доведіть, що трикутник ABC рівнобедре-ний.96. Прямокутні трикутники ABC і DCB мають спільний катет BC , а гіпотенузи AC і BD паралельні. Доведіть, що � �ABC DCB= .

7 клас, § 11, 17

31

Види паралелограмів§ 4

4.1. ПрямокутникОзначення

Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі.

На рис. 28 зображено прямокутник ABCD . Оскільки прямокутник є окремим випадком парале-лограма, він має всі властивості паралелограма: про-тилежні сторони прямокутника паралельні й рівні, протилежні кути рівні, діагоналі точкою перетину діляться навпіл і т. д. Однак прямокутник має деякі особливі властивості. Доведемо одну з них.

Теорема (властивість прямокутника)

Діагоналі прямокутника рівні.

Доведення

Нехай дано прямокутник ABCD з діа-гоналями AC і BD (рис. 29). Трикутники BAD і CDA прямокутні й рівні за двома катетами ( AD спільний, AB CD= як протилежні сторони прямокутника). Звідси випливає рівність гіпотенуз цих трикутників, тобто AC BD= , що й треба було довести.

Справджується також обернене твердження (ознака прямокутника):

якщо діагоналі паралелограма рівні, то цей пара-лелограм є прямокутником.

Доведіть це твердження самостійно.Таким чином, можна стверджувати, що рівність

діагоналей паралелограма — необхідна й достатня умови прямокутника.

A

B C

D

Рис. 28.Прямокутник ABCD

A

B C

D

Рис. 29. Якщо ABCD — прямокутник, то AC BD=

32


Опорна задачаЯкщо всі кути чотирикутника прямі, то цей чо-

тирикутник — прямокутник. Доведіть.Розв’язання

Нехай у чотирикутнику ABCD ∠ = ∠ = ∠ = ∠ =A B C D 90 ∠ = ∠ = ∠ = ∠ =A B C D 90 ° (див. рис. 28). Кути A і B є внутрішніми

односторонніми при прямих AD і BC та січній AB. Оскільки сума цих кутів становить 180°, то за ознакою паралельності прямих AD BC� . Аналогічно доводимо паралельність сторін AB і CD. Отже, за означенням паралелограма ABCD — паралелограм. А оскільки всі кути цього паралелограма прямі, то ABCD — прямокутник за означенням.

4.2. Ромб

Означення

Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторонирівні.

На рис. 30 зображено ромб ABCD . Він має всі властивості паралелограма, а також деякі додаткові властивості, які ми зараз доведемо.

Теорема (властивості ромба)

Діагоналі ромба перпендикулярні й ділять його ку-ти навпіл.

Ці властивості ромба відображено на рис. 31.

Доведення

Нехай діагоналі ромба ABCD перетинають-ся в точці O (рис. 32). Оскільки сторони ромба рівні, то трикутник ABC рівнобедрений з основою AC ,

A

B

C

D

Рис. 30. Ромб ABCD

A

B

C

D

O

Рис. 31. Властивості

33


а за властивістю діагоналей паралелограма точ-ка O — середина AC. Отже, відрізок BO — медіана рівнобедреного трикутника, яка водночас є його ви-сотою і бісектрисою. Це означає, що BD AC⊥ , тобто діагоналі ромба перпендикулярні, і ∠ = ∠ABD CBD, тобто BD — бісектриса кута ABC .

Аналогічно доводимо, що діагоналі ромба є бі-сектрисами й інших його кутів. Теорему доведено.

Опорна задача (ознака ромба)Якщо всі сторони чотирикутника рівні, то цей чо-

тирикутник — ромб. Доведіть.

Розв’язанняОчевидно, що в чотирикутнику, всі сторони якого

рівні, попарно рівними є і протилежні сторони. Отже, за ознакою паралелограма такий чотирикутник — паралелограм, а за означенням ромба, паралелограм, у якого всі сторони рівні, є ромбом.

Розв’язуючи задачі після параграфа, ви доведе-те інші ознаки прямокутника і ромба.

4.3. КвадратНа рис. 33 зображено ще один вид паралелогра-

ма — квадрат.

Означення

Квадратомназиваєтьсяпрямокутник,уякоговсісторонирівні.

Інакше можна сказати, що квадрат — це пря-мокутник, який є ромбом. Дійсно, оскільки квадрат

A

B

C

D

O

Рис. 32. До доведення властивостей ромба

Рис. 33. Квадрат

Ромб—від грецького«ромбос»—бубон (у стародавнічасицейударниймузичний ін-

струментмавформуромба)

34


є прямокутником і ромбом і, звісно ж, паралелогра-мом, то він має такі властивості:

1) усі сторони квадрата рівні, а протилежні сто-рони паралельні;2) усі кути квадрата прямі;3) діагоналі квадрата рівні, перпендикулярні, ді-лять кути квадрата навпіл і діляться точкою перетину навпіл.

4.4*.Зв’язок між окремими видами паралелограмів. Рівносильні твердженняЗа означеннями довільного паралелограма і йо-

го окремих видів ми можемо схематично зобра зити зв’язок між ними (рис. 34).

Паралелограми

Прямокутники

РомбиКвадрати

Рис. 34. Діаграма «Види паралелограмів»

На схемі подано множини паралелограмів, пря-мокутників і ромбів. Такий спосіб наочного подання множин називають діаграмами Ейлера — Венна. Діа грама Ейлера — Венна для паралелограмів де-монструє, що множини прямокутників і ромбів є ча-стинами (підмножинами) множини паралелограмів, а множина квадратів — спільною частиною (пере-різом) множин прямокутників і ромбів. Діаграми Ейлера — Венна часто застосовують для підтверджен-ня або перевірки правильності логічних міркувань.

Квадрат —

від латинського

«квадро»— чотири

35


Підсумовуючи матеріал цього параграфа, звернемо також увагу на те, що можна було б да ти й інше означення квадрата: квадратом називається ромб із прямими кутами. Справді, обидва наведених означення описують одну й ту саму фігуру. Такі означення називають рівносильними. Узагалі два твер-дження називаються рівносильними, якщо вони або обидва справджуються, або обидва не справджуються. Наприклад, рівносильними є твер дження «У трикутнику дві сторони рів ні» і «У трикутнику два кути рівні», адже обидва вони правильні, якщо розглядається рівнобедрений трикутник, і обидва хибні, якщо йдеться про різносторонній трикутник.

Рівносильність двох тверджень також означає, що будь-яке з них є необхідною і достатньою умовою для ін-шого. Справді, розглянемо рівносильні твердження «Діаго-налі паралелограма рівні» і «Паралелограм має прямі кути». З того, що діагоналі паралело грама рівні, випливає, що він є прямокутником, тобто має прямі кути, і навпа ки: парале-лограм із прямими кутами є прямокутником, тобто має рівні діагоналі. На цьому прикладі легко відстежити логічні кроки переходу від ознак фігури до її означення і згодом — до вла-стивостей. Такий перехід досить часто доводиться робити в про-цесі розв’язування задач.

Самостійно наведіть приклади рівно сильних тверджень.

36



Усні вправи 97. Назвіть види паралелограмів, у яких:

а) усі кути рівні; б) усі сторони рівні; в) діагоналі рівні; г) діагоналі перпендикулярні.

98. Діагоналі ромба ABCD перетинаються в точці O (див. рис. 31). На-звіть:

а) бісектрису трикутника ABD; б) висоту трикутника ABC ; в) медіану трикутника BCD.

99. У прямокутнику ABCD AB = 8 см, BC = 5 см. Знайдіть: а) відстань від точки C до сторони AD; б) відстань між прямими AB і CD .

100. Діагоналі квадрата ABCD перетинаються в точці O . Назвіть усі рівні трикутники, які утворюються при перетині діагоналей. Визначте їх вид.101. Чи може діагональ прямокутника дорівнювати його стороні? Чи може діагональ ромба дорівнювати його стороні?102. Чи може прямокутник бути ромбом? У якому випадку? 103. Наведіть контрприклади, які спростовують наведені хибні твер-дження:

а) чотирикутник, який має два прямі кути,— прямокутник; б) чотирикутник із перпендикулярними діагоналями — ромб; в) чотирикутник із рівними діагоналями — прямокутник; г) чотирикутник, діагоналі якого перпендикулярні й рівні,— квадрат.

Графічні вправи104. Накресліть дві перпендикулярні прямі, які перетинаються в точ-ці O . На одній із прямих відкладіть по різні боки від точки O рівні від-різки OA і OC, а на другій прямій — рівні відрізки OB і OD . Сполучіть точки A , B, C і D .

37


а) Виміряйте сторони чотирикутника ABCD і визначте його вид. б) Виміряйте кут A чотирикутника ABCD . Користуючись вла-стивостями цього чотирикутника, знайдіть градусні міри інших його кутів. Перевірте отримані результати вимірюванням. в) Виміряйте кути ADB і CDB . Виділіть кольором усі пари рівних кутів між діагоналями і сторонами чотирикутника.

105. Накресліть прямокутний трикутник ABD з гіпотенузою BD . Про-ведіть через вершини B і D прямі, паралельні сторонам AD і AB від-повідно. Позначте точку C — точку перетину цих прямих.

а) Виміряйте сторони чотирикутника ABCD і визначте його вид. б) Проведіть діагональ AC . Виміряйте і порівняйте довжини діа-гоналей чотирикутника. в) Позначте на прямих BC і AD точки C1 і D1 так, щоб чотири-кутник ABC D1 1 був квадратом.


Рівень А106. Знайдіть периметр прямокутника ABCD , якщо AC = 15 см, а пе-риметр трикутника ABC дорівнює 36 см.

107. Знайдіть сторони прямокутника, периметр якого дорівнює 36 см, а одна сторона вдвічі більша за іншу.108. У прямокутнику ABCD ∠ =BAC 65°. Знайдіть кут між діагоналя-ми прямокутника.

109. Діагоналі прямокутника перетинаються під кутом 80°. Знайдіть кути, на які діагональ ділить кут прямокутника.110. Діагоналі прямокутника ABCD перетинаються в точці O, причому ∠ =COD 60°, CD = 8 см. Знайдіть довжину діагоналі.111. Знайдіть кути ромба, якщо:

а) один із них на 120° більший за інший; б) одна з його діагоналей дорівнює стороні.

112. Знайдіть кути ромба, якщо: а) сума двох із них дорівнює 220°; б) діагональ утворює з однією з його сторін кут 25°.

113. Периметр квадрата дорівнює 40 м. Знайдіть відстань від точки пере-тину діагоналей квадрата до його сторони.

38


114. Відстань між протилежними сторонами квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть периметр квадрата.115 (опорна). Якщо один із кутів паралелограма прямий, то цей паралелограм є прямокутником. Доведіть.

116 (опорна). Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то цей паралелограм є ромбом. Доведіть.

Рівень Б117. Точка перетину діагоналей прямокутника віддалена від двох його сторін на 3 см і 4 см. Знайдіть периметр прямокутника.

118. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону завдо вжки 12 см навпіл. Знайдіть периметр прямокутника.119. З точки кола проведено дві перпендикулярні хорди, віддалені від центра кола на 3 см і 5 см. Знайдіть довжини цих хорд.120. Знайдіть кути ромба, якщо:

а) кути, утворені його стороною з діагоналями, відносяться як 1 : 4; б) висота ромба вдвічі менша за сторону.

121. Знайдіть кути ромба, якщо: а) висота, проведена з вершини тупого кута, відтинає від ромба рів-нобедрений трикутник; б) висота, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону ромба навпіл.

122. З вершини кута ромба, що дорівнює 120°, проведено діагональ завдовжки 6 см. Знайдіть периметр ромба.

123. Діагональ квадрата дорівнює 18 м, а його сто-рона є діагоналлю іншого квадрата. Знайдіть пери-метр меншого квадрата.124. У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано квадрат так, що дві його вершини лежать на гіпотенузі, а дві інші — на катетах (рис. 35). Знайдіть гіпотенузу трикутника, якщо сторона квадрата дорівнює 2 см.

125. У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано квадрат так, що прямий кут є спільним для обох фігур (рис. 36). Знайдіть периметр ква-драта, якщо катет трикутника дорівнює 4 см.

Рис. 35

Рис. 36

39


126 (опорна). Паралелограм із перпендикулярними діагоналями є ромбом. Доведіть.

127 (опорна). Якщо діагональ паралелограма лежить на бісектрисі його кута, то цей паралелограм — ромб. Доведіть.

128. Відрізки AC і BD — діаметри кола. Доведіть, що чотирикут-ник ABCD — прямокутник.

Рівень В129. Серединний перпендикуляр до діагоналі прямокутника ділить його сторону у відношенні 2 : 1. Знайдіть кути, на які діагональ ділить кут прямокутника.

130. Серединний перпендикуляр до діагоналі прямокутника перетинає його сторону під кутом, що дорівнює куту між діагоналями. Знайдіть цей кут.

131. Доведіть, що всі висоти ромба рівні. Сформулюйте і доведіть обер-нене твердження.

132. З точки перетину діагоналей ромба проведено перпендикуляри до його сторін. Доведіть, що основи цих перпендикулярів є вершинами пря-мокутника.

133. Якщо діагоналі чотирикутника лежать на бісектрисах його ку тів, то цей чотирикутник — ромб. Доведіть.

134. Доведіть, що бісектриси кутів паралелограма, який не є ромбом, перетинаючись, утворюють прямокутник.

135. Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, який не є квадратом, перетинаючись, утворюють квадрат.


Теоретичний матеріал • рівнобедрений трикутник;

• прямокутний трикутник;

• задачі на побудову.

7 клас, § 11, 17, 20

40


Задачі136. Пряма, паралельна основі AC рівнобедреного трикутника ABC , перетинає бічні сторони AB і BC в точках D і E відповідно.

а) Доведіть, що AE CD= . б) Знайдіть кути чотирикутника ADEC , якщо ∠ = °B 80 .

137. У чотирикутнику ABCD сторони AD і BC паралельні, а сторо-ни AB і CD рівні. Чи обов’язково цей чотирикутник є паралело грамом? Наведіть контрприклад.

Онлайн-тренування для підготовки до контрольної роботи № 1

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 11. Висота паралелограма ділить тупий кут на два кути, різниця яких дорівнює 20°. Знайдіть кути паралелограма.2. Сума довжин двох сторін паралелограма дорівнює 48 см, а пери-метр — 88 см. Знайдіть сторони парале лограма.3. За даними рис. 37 доведіть, що чоти-рикутник ABCD — паралелограм.4. Бісектриса кута паралелограма в ре-зультаті перетину з його стороною утво-рює кути, градусні міри яких відносяться як 1 : 3. Визначте вид паралелограма.5. Доведіть, що ромб є квадратом, як-що його діагоналі утворюють з однією стороною рівні кути.6. Серединний перпендикуляр до діагоналі прямокутника ділить його сторону на частини, одна з яких дорівнює меншій стороні прямокутника. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника.

B C

MA D N

Рис. 37

41

Трапеція§ 5

5.1. Означення трапеціїЯк відомо, будь-який паралелограм має дві па-

ри паралельних сторін. Розглянемо тепер чотирикут-ник, який має лише одну пару паралельних сторін.

Означення

Трапецієюназиваєтьсячотирикутник,уякогодвісторонипаралельні,адві іншінепаралельні.

Паралельні сторони трапеції називають її осно-вами, а непаралельні сторони — бічними сторонами. На рис. 38 у трапеції ABCD сторони AD і BC є основами, а AB і CD — бічними сторонами.

Кути, прилеглі до однієї бічної сторони, є вну-трішніми односторонніми при паралельних прямих, на яких лежать основи трапеції, та січній, на якій лежить бічна сторона. Звідси за теоремою про вла-стивість кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною, випливає, що сума кутів трапе-ції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°. На рис. 38 ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = °A B C D 180 .

Означення

Висотою трапеції називається перпендикуляр, прове-дений з точки однієї основи до прямої, яка містить іншуоснову.

Очевидно, що в трапеції можна провести без-ліч висот (рис. 39),— усі вони рівні як відстані між паралельними прямими.

Найчастіше під час розв’язування задач висоти проводять із вершин кутів при меншій основі тра-пеції.

Трапеція—від грець-кого«трапезос»— маленький стіл. Спільнокореневим є слово«трапеза»

Рис. 39. Висоти трапеції

A

B C

D

Рис. 38. Трапеція ABCD

42


5.2. Окремі види трапеційЯк серед трикутників та паралелограмів, так

і серед трапецій виділяються окремі види, які мають додаткові властивості.

Означення

Прямокутною трапецією називається трапеція, у якійодназбічнихсторінперпендикулярнадо основ.

На рис. 40 зображена прямокутна трапе-ція ABCD. Вона має два прямі кути при меншій бічній стороні AB. Ця сторона водночас є й висотою трапеції.

Означення

Рівнобічною трапецієюназиваєтьсятрапеція,уякійбіч-ністоронирівні.

На рис. 41 зображена рівнобічна трапеція ABCD з бічними сторонами AB і CD . Іноді рівно-

бічну трапецію також називають рівнобедреною.Рівнобічна трапеція, як і рівнобедрений три-

кутник, має рівні кути при основі. Доведемо це в на-ступній теоремі.

Теорема (властивість рівнобічної трапеції)

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні.

Доведення

Нехай ABCD — дана трапеція, AD BC� , AB CD= .

Перед початком доведення зазначимо, що цією теоремою стверджується рівність кутів при кож ній із двох основ трапеції, тобто необхідно довести, що ∠ = ∠A D і ∠ = ∠B C.

Проведемо висоти BB1 і CC1 з вершин тупих ку-тів і розглянемо прямокутні трикутники ABB1 і DCC1 (рис. 42). У них AB CD= як бічні сторони рівнобіч-

A

B C

D

Рис. 40. Прямокутна трапеція ABCD

A

B C

D

Рис. 41. Рівнобічна трапеція ABCD

AB

1

D

B C

C1

Рис. 42. Висоти, прове-дені з вершин тупих кутів, відтинають від рівнобічної трапеції рівні трикутники

43


сторони рівно бічної трапеції, BB1=CC1 як відста-ні між паралельними прямими AD і BC . Отже, � �ABB DCC1 1= за гіпотенузою і катетом. Звідси випливає, що ∠ = ∠A D . Кути трапеції B і C також рівні, оскільки вони доповнюють рівні кути A і D до 180°.


Справджується також обернене твердження (ознакарівнобічноїтрапеції)

Якщо в трапеції кути при основі рівні, то така тра-пеція є рівнобічною.

Доведіть цей факт самостійно.

ЗадачаМенша основа рівнобічної трапеції дорівнює бічній

стороні, а діагональ перпендикулярна до бічної сторо-ни. Знайдіть кути трапеції.

Розв‛язанняНехай дано рівнобічну трапецію ABCD , у якій

AD BC� , AB BC CD= = , BD AB⊥ (рис. 43).За умовою задачі трикутник BCD рів но бед рений

з основою BD, тобто ∠ = ∠1 2; з іншого боку, ∠ = ∠1 3 як внутріш ні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній BD.

Нехай градусна міра кута 1 дорівнює x, тоді в даній трапеції ∠ = ∠ =A D x2 , ∠ = ∠ = +B C x 90 . Оскільки су-ма кутів, прилеглих до бічної сторони, становить 180°, маємо: 2 90 180x x+ + = ; 3 90x = ; x = 30 .

Отже, ∠ = ∠ =A D 60°, ∠ = ∠ =B C 120°.Відповідь: 60° і 120°.

A D

B C1

2

Рис.43

44


5.3*. Побудова паралелограміві трапецій

Задачі на побудову паралелограмів і тра-пецій часто розв’язують методом допоміжного трикутника. Нагадаємо, що для цього необхідно виділити в шуканій фігурі трикутник, який мож-на побудувати за наявними даними. Побудував-ши його, отримуємо дві або три верши ни шука-ного чотирикутника, а решту вершин знаходимо за даними задачі.

ЗадачаПобудуйте паралелограм за двома діагоналями

і кутом між ними.

Розв‛язанняНехай d 1 і d 2 — дані діагоналі паралелограма,

α — кут між ними.АналізНехай паралелограм ABCD побудовано (рис. 44).

Трикутник AOB можна побудувати за двома сторонами

і кутом між ними AOd

=

1

2, BO d

= 2

2, ∠ =

AOB α .

Таким чином, ми отримаємо вершини A і B шука-ного паралелограма. Вершини C і D можна одержати, «подвоївши» відрізки AO і BO.

Побудова1. Розділимо відрізки d 1 і d 2 навпіл.2. Побудуємо трикутник AOB за двома сторонами і ку-

том між ними.3. На променях AO і BO відкладемо відрізки OC AO=

і OD BO= .4. Послідовно сполучимо точки B, C, D і A.

A D

O

B C

Рис.44

45


Доведення Чотирикутник ABCD — паралелограм, оскільки за по-

будовою його діагоналі AC і BD точкою перетину діляться навпіл. У цьому паралелограмі ∠ =AOB α (за побудовою),

AC dd

= ⋅ =1

22 1 , BD d

d= ⋅ =2

22 2 .

Дослідження Задача має єдиний розв‛язок за будь-яких значень

d 1 , d 2 і α .

У деяких випадках для побудови допоміжного трикутника на рисунку-ескізі необхідно провести до-даткові лінії.

Задача Побудуйте трапецію за чотирма сторонами.

Розв‛язанняНехай a і b a b<( ) — основи шуканої трапеції, c

і d — ї ї бічні сторони.Аналіз Нехай шукану трапецію ABCD побудовано (рис. 45).

Проведемо через вершину C пряму CE, паралельну AB. Тоді ABCE — паралелограм за означенням, отже, CE AB c= = . Крім того, AE BC a= = , отже, ED b a= − .

Допоміжний трикутник ECD можна побудувати за трьома сторонами. Після цього для отримання вер-шин A і B треба відкласти на промені DE і на промені з початком C, паралельному DE, відрізки зав довжки a.

Побудова1. Побудуємо відрізок b a− .2. Побудуємо трикутник ECD за трьома сторонами

EC c=( , CD d= , ED b a= − ) .3. Побудуємо промінь, який проходить через точку C

і паралельний DE. При цьому побудований про-мінь і промінь DE мають лежати по один бік від прямої CD.

EA D

B C

c

a

a b – a

dc

Рис.45

46


4. На промені DE від точки E відкладемо від різок EA a= , на промені з початком C — відрізок CB a= .

5. Сполучимо точки A і B.Доведення За побудовою BC AD� , BC AE a= = , отже, ABCE —

паралелограм за ознакою. Звідси AB CE c= = . Крім того, AD a b a b= + − = , CD d= . Отже, ABCD — шукана трапеція.

Дослідження Задача має єдиний розв’язок, якщо числа b a− ,

c і d задовольняють теорему про нерівність трикутника.


Усні вправи138. Чи можуть основи трапеції дорівнювати одна одній? Чому?139. Чи можуть бути рівними:

а) сусідні кути трапеції; б) протилежні кути трапеції?

140. Чи обов’язково кути трапеції, прилеглі до більшої основи, є гостри-ми? Наведіть приклади.141. Чи може рівнобічна трапеція бути прямокутною?142. Чи може висота трапеції бути більшою за бічну сторону; дорівнюва-ти бічній стороні? 143. Діагоналі трапеції ABCD AD BC�( ) перетинаються в точці O .

а) Чи може трикутник AOD дорівнювати трикутнику BOC ? б) Чи може трикутник AOB дорівнювати трикутнику DOC?

144. Чи може точка перетину діагоналей трапеції бути серединою кож-ної з них; однієї з них?

Графічні вправи145. Накресліть паралелограм ABCD і проведіть у ньому ви соту CH так, щоб утворилася трапеція ABCH .

а) Визначте вид трапеції ABCH. б) Чи є висотою трапеції будь-яка висота паралелограма? Наведіть контрприклад.

47


146. Накресліть рівнобедрений трикутник AMD з основою AD. Познач-те на стороні AM точку B і проведіть через неї пряму, паралельну AD . Позначте точку C — точку перетину цієї прямої зі стороною MD.

а) Визначте вид трапеції ABCD . б) Проведіть діагоналі трапеції. Виміряйте і порівняйте їх дов-жини.


Рівень А147. Знайдіть невідомі кути:

а) трапеції ABCD з основами AD і BC , якщо ∠ = °A 40 , ∠ = °D 50 ; б) рівнобічної трапеції, один із кутів якої дорівнює 58°; в) прямокутної трапеції, найбільший кут якої утричі більший за найменший кут.

148. Знайдіть невідомі кути: а) рівнобічної трапеції, в якій висота, проведена з вершини тупого кута, утворює з бічною стороною кут 22°; б) прямокутної трапеції, яку діагональ, проведена з вершини тупого кута, ділить на два рівнобедрені прямокутні три кутники.

149. У рівнобічній трапеції висота, проведена з вершини тупого кута, ді-лить більшу основу на відрізки завдовжки 6 см і 30 см. Знайдіть меншу основу трапеції.

150. Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює 10 см. Знайдіть більшу основу трапеції, якщо висота, проведена з вершини тупого кута, ділить її на відрізки, один із яких дорівнює 3 см.151. Доведіть, що сума протилежних кутів рівнобічної трапеції дорів-нює 180°.

Рівень Б

152. Знайдіть кути: а) рівнобічної трапеції, якщо різниця двох її протилежних кутів дорівнює 80°; б) прямокутної трапеції, в якій діагональ є бісектрисою тупого ку-та й утворює з меншою бічною стороною кут 35°.

48


153. Знайдіть кути: а) прямокутної трапеції, якщо відношення найбільшого і наймен-шого з них дорівнює 3 : 2; б) рівнобічної трапеції, менша основа якої дорівнює бічній стороні і вдвічі менша за більшу основу.

154. У трапеції ABCD через вершину B проведе-но пряму BK , паралельну стороні CD (рис. 46).

а) Доведіть, що KBCD — парале лограм. б) Знайдіть периметр трапеції, якщо BC = 4 см, P ABK� = 11 см.

155. У рівнобічній трапеції середина більшої осно-ви сполучена з вершинами меншої основи. При цьому утворилися три рівносторонні трикутники. Знайдіть:

а) кути трапеції; б) периметр трапеції, якщо периметр одного трикутника дорів-нює 12 м.

156. Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її гострий кут, який дорівнює 60°. Знайдіть периметр трапеції, якщо її менша основа дорів-нює 15 см.

157. Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її тупий кут. Знай діть периметр трапеції, якщо її основи дорівнюють 5 см і 10 см.158. Доведіть, що бісектриси кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, перпендикулярні.159. Побудуйте:

а) паралелограм за двома сторонами й діагоналлю; б) ромб за стороною і діагоналлю; в) рівнобічну трапецію за більшою основою, бічною стороною і го-стрим кутом.

160. Побудуйте: а) ромб за кутом і діагоналлю, протилежною цьому куту; б) прямокутник за діагоналлю і кутом між діагоналями; в) прямокутну трапецію за меншою основою, більшою бічною сто-роною і більшою діагоналлю.

Рівень В161. Діагональ ділить рівнобічну трапецію на два рівнобедрені трикут-ники. Знайдіть кути трапеції.

KA D

B C

Рис. 46

49


162. Довжини бічних сторін трапеції дорівнюють 2a, а довжини основ — 7a і 9a. Знайдіть кути трапеції.

163 (опорна). Діагоналі рівнобічної трапеції рівні, і навпаки: якщо діагоналі трапеції рівні, то вона рівнобічна. Доведіть.

164 (опорна). Діагоналі рівнобічної трапеції утворюють з її основою рівні кути, і навпаки: якщо діагоналі трапеції утворюють з її осно-вою рівні кути, то трапеція рівнобічна. Доведіть.

165. Побудуйте: а) паралелограм за стороною, діагоналлю і кутом, протилежним цій діагоналі; б) ромб за висотою і діагоналлю; в) трапецію за основами і діагоналями.

166. Побудуйте: а) прямокутник за діагоналлю й периметром; б) ромб за висотою і гострим ку-том; в) рівнобічну трапецію за різни-цею основ, бічною стороною і діа-гоналлю.


Теоретичний матеріал • ознаки паралельних прямих;

• властивості паралельних прямих.

Задачі167. Точки D , E і F — середини сторін AB, BC і AC рівносторонньо-го трикутника ABC відповідно. Доведіть, що чотирикутник ADEF — ромб. Назвіть інші ромби, трьома вершинами яких є точки D , E і F .

168. Відрізки AD і CE — рівні висоти трикутника ABC . Доведіть, що трикутник DBE рівнобедрений.

7 клас, § 14, 15

50

Видатні математики України

Погорєлов Олексій Васильович (1919–2002)

У 80-х роках минулого століття Американське математичне товариство випустило серію книжок під загальною назвою «Видатні математики ХХ сто-ліття». Під номером 4 вийшов том з монографією харківського вченого Олексія Васильовича Погорє-лова. На обкладинці видання під його фотографією в стислій анотації вчений був названий «найбіль-шим геометром ХХ століття».

Справді, головною справою життя Олексія Васильовича була геометрія. Його праці охоплюють найширший діапазон: від підручників для школярів і студентів до робіт з надскладних питань теоретичної та прикладної матема-тики, розрахованих на вузьке коло фахівців.

Шкільний підручник з геометрії Погорєлова можна сміливо назвати революційним, адже в ньому була започаткована стисла і прозора система аксіом. З того часу аксіоматичний підхід у вивченні геометрії — невід’ємна складова розвитку наукового мислення школярів. Підручник Олексія Васи-льовича зі шкільної геометрії витримав більш ніж 20 видань!

Олексій Васильович Погорєлов, пройшовши шлях від переможця мі-ської математичної олімпіади для школярів до академіка Академії наук України, ще за життя був визнаний генієм. Але він був надзвичайно скром-ною людиною. Як згадують його сучасники, він ніколи ні за яких обставин не демонстрував свою перевагу над іншими. Майже все своє життя вчений працював у Харкові, керував кафедрою геометрії в Харківському держав-ному університеті та відділом геометрії у фізико-технічному інституті низь-ких температур. У пам’ять про академіка О. В. Погорєлова на будівлях цих все світньовідомих наукових центрів встановлено меморіальні дошки. Одній з аудиторій математичного факультету Харківського національного універ-ситету імені В. Н. Каразіна присвоєно ім’я Олексія Васильовича Погорєлова.

51

Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції

§ 6

6.1. Теорема ФалесаДля подальшого вивчення властивостей трапе-

ції доведемо важливу теорему.

Теорема (Фале’са)

Паралельні прямі, які перетинають сторони кута і відтинають на одній із них рівні відрізки, відти-нають рівні відрізки і на іншій стороні.

Доведення

  Нехай A1, A2 , A3 — точки перетину паралельних прямих з однією зі сторін даного ку-та, а B1, B2 , B3 — відповідні точки перетину цих прямих з іншою стороною кута. Доведемо, що коли A A A A1 2 2 3= , то B B B B1 2 2 3= (рис. 47).

Проведемо через точку B2 пряму CD , пара-лельну A A1 3 (рис. 48). Чотирикутники A A CB2 1 2 і A A B D3 2 2 — паралелограми за означенням. Тоді A A CB1 2 2= , A A B D2 3 2= , а оскільки A A A A1 2 2 3= , то CB B D2 2= .

Розглянемо трикутники B B C1 2 і B B D3 2 . У них CB B D2 2= за доведеним, ∠ = ∠1 2 як вер-тикальні, а ∠ = ∠3 4 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих A B1 1 і A B3 3 та січ ній CD . Отже, � �B B C B B D1 2 3 2= за другою озна кою, звідки B B B B1 2 2 3= .


Зазначимо, що в умові даної теореми замість сторін кута можна розглядати дві довільні прямі, тому теорема Фалеса може формулюватись і так:

A1

B1

A2

B2

A3

B3

Рис. 47. Теорема Фалеса

1

24

D

A2

B2

A1

B1

C

Рис. 48. До доведення теореми Фалеса

52


паралельні прямі, які перетинають дві дані прямі і відтинають на одній із них рівні відрізки, відти-нають рівні відрізки і на іншій прямій.

ЗадачаПоділіть даний відрізок на n рівних частин.

Розв’язанняРозв’яжемо задачу для n = 3, тобто поділимо даний

відрізок AB на три рівні частини (рис. 49).Для цього проведемо з точки A довільний про

мінь, не доповняльний до променя AB , і відкладемо на ньому рівні відрізки AC1 , C C1 2 і C C2 3 . Проведемо пряму C B3 і паралельні їй прямі через точки C1 і C2 . За теоремою Фалеса ці прямі ділять відрізок AB на три рівні частини.

Аналогічно можна поділити довільний відрізок на будьяку кількість рівних частин.

Подумайте, як може застосувати теорему Фале-са у своїй практичній діяльності архітектор.

6.2.Середня лінія трикутникаТеорема Фалеса допомагає дослідити ще одну

визначну лінію в трикутнику.

Означення

Середньою лінією трикутника називається відрізок,щосполучаєсерединидвохйогосторін.

На рис. 50, а відрізок DE — середня лінія три-кутника ABC . У будь-якому трикутнику можна про-вести три середні лінії (рис. 50, б).

A BB1

B2

C1

C1

C2

Рис. 49. Поділ відрізка на рівні частини

A

B

C

ED

а

б

Рис. 50. Середня лінія трикутника

53


Теорема (властивість середньої лінії трикутника)

Середня лінія трикутника паралельна одній ізйого сторін і дорівнює половині цієї сторони.

Доведення

Нехай DE— середня лінія трикутника ABC (рис. 51). Доведемо спочатку, що DE AC� . Проведемо через точку D пряму, паралельну AC .

За теоремою Фалеса вона перетне відрізок BC в його середині, тобто міститиме відрізок DE . Отже, DE AC� .

Проведемо тепер середню лінію EF . За щой-но доведеним вона буде паралельна стороні AB. Чотирикутник ADEF з попарно паралельними сто-ронами за означенням є паралелограмом, звідки DE AF= . А оскільки точка F — середина AC , то

DE AC= 1

2.


Опорна задача (теорема Варіньйона)Середини сторін чотирикутника є вершинами

паралелограма. Доведіть.

Розв’язанняНехай точки K, L, M, N — середини сторін чоти

рикутника ABCD (рис. 52). Проведемо діагональ BD. Відрізки KN і ML — середні лінії трикутників ABD і CBD відповідно. За власти ві стю серед ньої лінії трикутника вони паралельні стороні BD і дорівнюють ї ї половині, тобто паралельні й рівні між собою. Тоді за ознакою паралелограма чотирикутник KLMN — па ралелограм.

K

L

M

NA

B C

D

Рис. 52. Середини сторін чотирикутника ABCD — вершини

паралелограма

E

F

D

A

B

C

Рис. 51. До доведення властивості середньої лінії трикутника

54


6.3. Середня лінія трапеціїОзначення

Середньою лінією трапеції називається відрізок, щосполучаєсерединибічнихсторінтрапеції.

На рис. 53 відрізок EF — середня лінія трапе-ції ABCD .

Теорема (властивість середньої лінії трапеції)

Середня лінія трапеції паралельна основам і до-рівнює їх півсумі.

Доведення

Нехай EF — середня лінія трапеції ABCD з основами AD і BC (рис. 54). Проведемо пряму BF і позначимо точку G — точку перетину прямих BF і AD . Розглянемо трикутники BFC і GFD . У них FC FD= , оскільки F — середина CD , ∠ = ∠1 2 як вертикальні, а ∠ = ∠3 4 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній CD . От-же, � �BFC GFD= за другою ознакою, звідки BF FG= . Тоді за означенням EF — середня лінія трикутника ABG . За властивістю середньої лінії три-кутника EF AG� , тому EF AD� і EF BC� . Крім то-го, з доведеної рівності трикутників випливає, що BC DG= , звідки AG AD DG AD BC= + = + . За вла-

стивістю середньої лінії трикутника EF AG AD BC= = +( )1

2

1

2

EF AG AD BC= = +( )1

2

1

2. Теорему доведено.

ЗадачаЧерез точки, які ділять бічну сторону трапеції на три

рівні частини, проведено прямі, паралельні основам трапеції. Знайдіть довжини відрізків цих прямих, що містяться всередині трапеції, якщо ї ї основи дорівнюють 2 м і 5 м.

E F

DA

B C

Рис. 53. Середня лінія трапеції

FE

GDA

B C

1

24

Рис. 54. До доведення властивості середньої лінії трапеції

55


Розв‛язанняНехай у трапеції ABCD AD BC� , AA AA AB1 1 2 2= =

(рис. 55). За теоремою Фалеса паралельні прямі, що про-ходять через точки A1 і A2 , відтинають на бічній стороні CD рівні відрізки, тобто DD DD D C1 1 2 2= = . Тоді за озна-ченням AD1 1 — середня лінія трапеції AAD D2 2 , AD2 2 — се-редня лінія трапеції ABCD1 1. Нехай AD x1 1 = м, AD y2 2 = м. За властивістю середньої лінії трапеції маємо систему:

x

y

y

x

=

=

+

+

5

22

2

,

;

2 52 2x y

y x

− =− =

,; x

y

==

43,.

Відповідь: 3 м і 4 м.


Усні вправи169. Відрізок DE — середня лінія трикутника ABC (рис. 50, а).

а) Визначте вид чотирикутника ADEC . б) Назвіть медіану трикутника, що виходить із вер шини A .

170. Чи може середня лінія трикутника бути перпендикуляр ною до його сторони; до двох його сторін?171. Чи можуть середні лінії трикутника дорівнювати 3 см, 4 см і 10 см? Чому?172. У трикутнику ABC проведено середню лінію DE, паралельну стороні AC . У якому відношенні пряма DE ділить медіану BM ; ви-соту BH ?173. Середини основ трапеції сполучені відрізком. Чи є він середньою лінією трапеції? 174. Чи може середня лінія трапеції бути меншою за обидві її основи; дорівнювати одній з основ?175. Чи може середня лінія трапеції проходити через точку перетину діагоналей? Чому?

A2 D

2

DA

B C2

5

y

xA1 D

1

Рис.55

56


Графічні вправи176. Накресліть трикутник ABC . Позначте на стороні AB точ-ки A1, A2 і A3 так, щоб вони ділили відрізок AB на чотири рів-ні частини. Проведіть через ці точки прямі, паралельні стороні AC , і позначте точки їх перетину зі стороною BC C1, C2 і C3 відповідно.

а) Виміряйте і порівняйте довжини відрізків, на які точки C1, C2 і C3 ділять сторону BC . б) Виділіть червоним кольором середню лінію трикутника ABC . в) Виділіть синім кольором середню лінію трапеції AA C C2 2 .

177. Накресліть трикутник ABC . Позначте точки D , E і F — сере-дини сторін AB, BC і AC відповідно. Сполучіть позначені точки.

а) Визначте вид чотирикутника ADEF . б) Визначте вид чотирикутника ADEC . в) Назвіть усі трикутники, що дорівнюють трикутнику DEF . За-пишіть відповідні рівності.


Рівень А178. За даними рисунка 56 знайдіть x, якщо a b� .

a b4x

a bx 8

а б

Рис. 56

179. Через середину D сторони AB трикутника ABC проведено пряму, яка паралельна AC і перетинає сторону BC в точці E. Знайдіть BC , якщо BE = 8 см.180. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 16 см і 20 см. Знайдіть сторони трикутника, вершинами якого є середини сторін даного три-кутника.

57


181. Середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює 3,5 см. Знай-діть периметр трикутника.182. Доведіть, що середні лінії трикутника ділять його на чотири рівні трикутники.183. Середня лінія трикутника відтинає від нього трапецію з бічни-ми сторонами 3 м і 4 м і меншою основою 5 м. Знайдіть периметр три-кутника.

184. Діагоналі чотирикутника дорівнюють 18 см і 22 см. Знайдіть пери-метр паралелограма, вершинами якого є середини сторін даного чотири-кутника.185. Знайдіть:

а) середню лінію трапеції з основами 8 см і 12 см; б) основи трапеції, в якій діагональ ділить середню лінію на від-різки завдовжки 3 см і 4 см.

186. Знайдіть: а) середню лінію рівнобічної трапеції з бічною стороною 5 см і пе-риметром 26 см; б) основи трапеції, якщо одна з них більша за іншу на 6 см, а се-редня лінія трапеції дорівнює 5 см.

187. Доведіть, що середини сторін ромба є вершинами прямо кутника. 188. Доведіть, що середини сторін прямокутника є вершинами ромба.

Рівень Б189. Пряма, яка паралельна основі рівнобедреного трикутника і про-ходить через середину бічної сторони, відтинає від даного трикутника трапецію. Знайдіть її периметр, якщо периметр даного трикутника до-рівнює 26 см, а основа відноситься до бічної сторони як 5 : 4.

190. Середні лінії трикутника відносяться як 4 : 5 : 6. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 60 см.

191. Прямолінійна траса ділить навпіл від-стань між будинками A і B та відстань між будинками B і C. Доведіть, що ці три будинки рівновіддалені від цієї траси.

192. Доведіть, що середини сторін рівнобе-дреної трапеції є вершинами ромба.

A

B

C

58


193. Як побудувати трикутник, якщо задано се-редини його сторін?

194. Як розрізати трикутник на дві частини так, щоб із них можна було скласти паралелограм?

195. Прямокутна трапеція ділиться діагонал-лю на рівносторонній трикутник зі стороною a і прямокутний трикутник. Знайдіть середню лі-нію трапеції.

196. Кінці діаметра кола віддалені від дотичної до цього кола на 14 см і 20 см. Знайдіть діаметр кола.

197. Точки A і B лежать по один бік від пря-мої l і віддалені від неї на 7 см і 11 см відповід-но. Знайдіть відстань від середини відрізка AB до прямої l.

198. Бічну сторону рівнобедреного трикутника поділено на чотири рівні частини. Через точки поділу проведено прямі, паралельні основі трикут-ника. Знайдіть відрізки цих прямих, що містяться всередині трикутника, якщо його основа дорівнює 12 см.

Рівень В199. Точки M і N — середини сторін BC і AD паралелограма ABCD . Доведіть, що прямі AM і CN ділять діагональ BD на три рівні частини.

200. Поділіть даний відрізок у відношенні 3 : 2.

201. Доведіть, що відрізок, який сполучає середини діагоналей трапеції, паралельний основам трапеції і дорівнює їх піврізниці. Розв’яжіть зада-чу 197 за умови, що точки A і B лежать по різні боки від прямої l.

202. Середина бічної сторони рівнобічної трапеції з основами a і b a b<( ) сполучена з основою її висоти (рис. 57). Доведіть, що:

а) HDb a= −

2;

б) AH MNa b= = +

2.

HA

B C

D

M N

Рис. 57

59


203. У рівнобічній трапеції діагональ завдовж-ки 4 см утворює з основою кут 60°. Знай діть середню лінію трапеції.

204. а) У трикутнику ABC кожну з бічних сто-рін AB і BC розділено на m рівних частин (рис. 58). Доведіть, що відрізки, які сполучають відповідні точки поділу, паралельні між собою і паралельні стороні AC .

б) Сформулюйте і доведіть аналогічне твер-дження для трапеції.в) Сформулюйте твердження, обернене до теореми Фалеса, і спростуйте його за до-помогою контрприкладу.


Теоретичний матеріал • зовнішній кут трикутника;

• коло;

• коло, описане навколо трикутника;

• геометричне місце точок.

Задачі205. Через вершину рівностороннього трикутника, вписаного в коло, проведено пряму, паралельну його стороні. Доведіть, що ця пряма є до-тичною до кола.206. Зовнішній кут рівнобедреного трикутника дорівнює 80°. Знайдіть кути трикутника.

A

B

C

Рис. 58

7 клас, § 19, 22

7 клас, п. 16.3, 23.1

Documents

ˆ ˇ ˘ ˝˛ ˙˝ ˝ ˙ - ˛˚ ˙ « ˆ-8» †‡ ˙˚ ˘˝ ˘ ˆ˙˚‰ ˙ ˙˚‰ ‡ 8 ...interactive.ranok.com.ua/upload/file/Учебники 2016... · Теорема Фалеса