Баландин Александр

Кузьмин Александр

Использование теоремы Фалеса в современном мире

Цели и задачи проектаОсновная цель проекта:

Выяснить, чем знаменит Фалес и его теорема.Вопросы учебной темы:

Кто ты, Фалес? Почему теорема Фалеса так знаменита? Как теорема Фалеса находит свое применение?

Великий учёный Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук- геометрию. Известно, что Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, что он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции.

624-547г.г. до н.э.

Карьеру он начинал как купец и ещё в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привёз он.

Фалес Милетский

Фалеса также является основателем Ионийской школы. Поскольку Фалес жил в Ионии, школа его была названа Ионийской

• Сегодня нам трудно сказать, откуда первый древнегреческий философ, ученый и видный политический деятель Фалес Милетский узнал о пропорциональности сторон подобных треугольников: открылась ли эта истина ему самому или ее передали ему египетские жрецы во время его торговых и дипломатических миссий в страну древних пирамид.

• Главное, что он умел находить какую-либо неизвестную величину по трем известным на основе пропорции a/b = c/d. Так, измерив длину тени, отбрасываемой предметами, Фалес с помощью этой пропорции нашел высоту египетской пирамиды. Измерение расстояния до корабля, находящегося далеко в море, им производилось тоже на основе этой пропорции.

• Любопытно, что Фалес определял высоту египетских пирамид по их тени не только простейшим способом, «дождавшись часа, когда наша тень одной длины с нами» (тогда и длина тени пирамиды равна ее высоте), но и через установление пропорциональных отношений между тремя поддающимися измерению величинами и искомым параметром. В последнем случае высоту пирамиды можно измерить в любое время дня.

• Измерение расстояния до корабля, находящегося далеко в море, им производилось тоже на основе этой пропорции. Выбрав на берегу моря базис a и вымерив с крайних его точек углы до корабля, он затем вычерчивал подобный треугольник небольших размеров и измерял у него две стороны, скажем, c и d. После этого ничего не стоило найти неизвестное расстояние до корабля — сторону b. Задачи такого класса и более сложные умели прекрасно решать в Египте (это стало известно из найденных папирусов).

Теорема Фалеса : вертикальные углы равны; треугольники с равной одной

стороной и равными углами, прилегающими к ней, равны;

углы при основании равнобедренного треугольника равны;

диаметр делит круг пополам; угол, вписанный в

полуокружность, всегда будет прямым.

если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне его равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

1

2

43

Решение:

Через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 2). Так как AM = МВ по условию, а MB = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то АМ = DC. Треугольники АМN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (АМ=CD,<1= <2 и <3=<4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и МD), поэтому AN = NC.

Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.

Решение: • Пусть на прямой l1 отложены равные отрезки А1А2, А2А3, А3А4, …и через их концы

проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, В3, В4, … (рис.1). Требуется доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, … равны друг другу. Докажем, например, что В1В2 = В2В3.

• Рассмотрим сначала случай, когда прямые l1 и l2 параллельны (рис. 1, а). тогда А1А2 = В1В2 и А2А3 = В2В3 как противоположные стороны параллелограммов А1В1В2А2 и А2В2В3А3. так как А1А2 = А2А3, то и В1В2 = В2В3 если прямые l1 и l2 не параллельны, то через точку

• В1 проведем прямую l, параллельную прямой l1 (рис.1, б). Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С и D. Так как А1А2 = А2А3, то по доказанному В1С = СD. Отсюда получаем В1В2 = В2В3. Аналогично можно доказать, что В2В3 = В3В4 и т.д.

Докажем теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Решение: Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим

последовательно n равных отрезков АА1, А1А2, …, Аn-1Аn (рис.3), т.е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рис. 3 n=5). Проведем прямую АnВ (точка Аn – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А1 , А2 , …, Аn-1 и параллельные прямой АnВ. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В1 , В2 , …, Вn-1, которые по теореме Фалеса делят отрезок АВ на n равных частей.

Разделите данный отрезок АВ на n равных частей.

Решение: Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим

последовательно 8 равных отрезков АА1, А1А2, …, А7А8 (рис.3), т.е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (рис. 4). Проведем прямую А8В (точка А8 – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А1 , А2 , …, А7 и параллельные прямой А8В. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В1 , В2 , …, В7, которые по теореме Фалеса делят отрезок АВ на 8 равных частей.

Разделите данный отрезок АВ на 8 равных частей

Решение Проведём через точку N прямую

параллельную AB и обозначим точкой D. BMND – пар-м по определению. MN || BD, MB || ND по построению. <1=<2 как соответственные при MN || BD и секущей MB. <5=<6 как соотвественные при BC || MN и секущей AC.

<2+<3=180 (углы парал-ма) <3+<4=180 (смежные) => <2=<4 Рассмотрим тр.MNA и тр.DCN: <6=<5,

<1=<4, а <6+<4+<7=180, <5+<1+<A=180, ND=MB(стороны пар-ма), MB=AM(дано), значит ND=AM => тр.MNA = тр.DCN по 2 признаку. <7=<A, <4=<1, ND=AM.

Из равенства треугольников следует, AN-NC.

РешениеТр.ABC подобен тр.AMN

по 1 признаку: <A-общий, <1=<2- соотв углы при MN || BC секущей AB.

Значит: AB:AM=AC:AN=BC:MN

Так как AM=MB то AB=2AM.

2AM:AM=AC:AN=k AC:AN=2

AC=2AN => AN= NC