ЛЕКЦИЯ 9

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ. ПОЛЕ НАПРЯ-

ЖЕНИЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ РАВ-

НОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. СВОЙСТВА ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ. ПРИМЕРЫ НАПРЯЖЕННЫХ

СОСТОЯНИЙ. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ. ТЕНЗОРЫ КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОБОБ-

ЩЁННЫЙ ЗАКОН ГУКА

6. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

Сплошная среда характеризуется наличием в любом еѐ элементарном объеме dV

массы dVdm ; плотность считается непрерывной функцией координат, определяю-

щих положение элементарного объѐма. Имеет место понятие натурального состояния сре-

ды, в котором она не напряжена.

Под влиянием внешних сил находящаяся в равновесии сплошная среда в объѐме V ,

ограниченном поверхностью S , приходит в новое равновесие, в котором еѐ объѐм равен

v ; s поверхность, ограничивающая этот новый объѐм.

Положение точек среды в начальном и конечном состояниях определяют соответст-

венно радиус-векторы jjXER и

jjxEr , а разность uRr перемещение точек

среды. Перемещения 321 ,, XXXu , рассматриваемые как функции координат точек среды

в еѐ начальном состоянии, непрерывны вместе с их производными по этим переменным

до требуемого в исследовании порядка. Предполагается также, что перемещения

321 ,, xxxu можно выразить как функции координат точек среды в еѐ конечном состоя-

нии. Уравнения 321321321 ,,,,,, xxxXXXxxx uRr однозначно разрешимы в замкну-

той области оV при условии 0detdet

k

ssk

k

s

X

u

X

xXJ .

По установившейся терминологии kX называют лагранжевыми, а sx эйлеровыми

координатами. Лучше называть kX материальными координатами, индивидуализирую-

щими точку и отличающими еѐ от других точек, а sx координатами еѐ места в объѐме v .

Квадрат линейного элемента, расстояние между двумя бесконечно близкими точками 2

3

2

2

2

1

2 dXdXdXdS либо 2

3

2

2

2

1

2 dxdxdxds определяет соответственно V мет-

рику, либо v метрику. Следует отметить, что строгое различие начального и конечного

состояний необходимо лишь при рассмотрении конечных деформаций сплошной среды. В

линейной теории упругости эта необходимость, как правило, отпадает.

В качестве координат могут быть использованы также и криволинейные координа-

ты: 321 ,, QQQR , 321 ,, qqqr , 321321 ,,,, qqqQQQ uu .

6.1. ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ.

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Силы, действующие на сплошную среду, подразделяются на внешние и внутренние.

К внешним массовым или поверхностным силам относят воздействие на точки среды тел,

не включенных в рассматриваемый объѐм.

Примерами массовых сил могут быть силы тяжести dVG и силы инерции

dVrωω . Эти силы имеют потенциал 2,2

rωrG SG ПП . Главный век-

тор и главный момент объѐмных сил равны VV

dVdV FrF , . Внешними поверхност-

ными силами являются силы, распределѐнные по поверхности рассматриваемого объѐма.

Примером поверхностной силы может служить гидростатическое давление dspn n(

нормаль к поверхности s , ограничивающий объѐм )v жидкости, в которое погружено те-

ло. Нормальная и касательная компоненты равны nFnFnnFFn , . Потенци-

альными являются поверхностные силы, сохраняющие неизменными величину и направ-

ление при деформировании тела из начального состояния в конечное. Главный вектор и

главный момент вычисляются аналогичным образом ss

dsds FrF , .

Рассмотрение равновесия сплошной среды основано на двух

положениях: 1) при равновесии среды любая еѐ часть также нахо-

дится в равновесии (способ сечений), 2) условия равновесия любой

части среды является необходимыми условиями равновесия соот-

ветствующего твѐрдого тела (принцип затвердевания). По принципу

равенства действия и противодействия на любой ориентированной

площадке dsn в среде имеют место сила и момент Рис. 18

dsds nn pp dsds nn mm , (6.1)

описывающие воздействия частей среды друг на друга. Эти усилия определяют поля

внутренних сил и моментов, то есть поле напряжений в сплошной среде:

dsfds pn np dsfds mn nm . (6.2)

Рассмотрим равновесие элементарного тетраэдра. Площади ориентированных пло-

щадок ,,OACOCB ABCOBA, , ограничивающих тетраэдр с вершиной О и ребрами

321 ,, eee ( масштабный множитель) равны соответственно

23

2

12

1een ds , 31

2

22

1een ds , 12

2

32

1een ds ,

1312

2

2

1eeeen ds .

В силу тождества

neeeeeeeeee 1213123123

Рис. 19 имеем dsdsdsds nnnn 332211 . (6.3)

В равновесии главный вектор приложенных к тетраэдру поверх-

ностных и массовых сил равен нулю 0332211 dVdsdsdsds nnnn Fpppp . В этом ра-

венстве последнее слагаемое, пропорциональное элементарному объѐму

321

3

6

1eee dV , при 0 есть величина боле высокого порядка малости нежели ос-

тальные слагаемые, и оно должно быть отброшено. Итак,

dsdsdsds nnnn pppp 332211 . (6.4)

e3

e1

e2nds

λe1

λe2λe3

О A

BC

q

q

q1

2

3

ndspnds

p-nds

Соотношения (6.1), (6.3) и (6.4) позволяют (6.2) представить в виде

33212113321211 dsfdsfdsfdsdsdsf nnnnnn , чем доказывается линейность

функциональной зависимости dsf n

nmnp MP nn , , kkn in (6.5)

В координатном представлении

.

,

,

33323213133

32322212122

31321211111

pnpnpnP

pnpnpnP

pnpnpnP

n

n

n

inp

inp

inp

(6.6)

Эти соотношения, полученные рассмотрением равновесия элементарного тетраэдра

(с ребрами, направленными параллельно координатным осям), впервые сформулировал

Коши в 1827 г.

Можно лишь условно набор величин 321 ,, kkk ppp в выбранной системе координат

называть проекциями «вектора» kp , так как эти величины при повороте системы коорди-

нат преобразуются как компоненты тензора. Квазивекторы kp образуют тензор, который

в диадном представлении имеет вид

.333323231313

323222221212

313121211111

iiiiii

iiiiii

iiiiiipi

ppp

ppp

pppP kk

(6.7)

На рисунке показаны напряжения 0skp на гранях с внешними нормалями si . Поскольку

ss pp , то на гранях с нормалью si положительные skp

ориентированы по направлениям ki . Отсюда следует, что

положительные нормальные напряжения – растягивающие, а

отрицательные – сжимающие; моменты положительных каса

Рис. 18 тельных напряжений skp на гранях si и si относительно оси

ri имеют знак символа Леви- Чивита rksskre iii .

В технической литературе по теории упругости, сопротивлению материалов обще-

приняты обозначения нормальных и касательных напряжений буквами и так, что

матрица, изоморфная тензору напряжений, представляется в виде

33231

23221

13121

zzyzx

yzyyx

xzxyx

P (6.8)

Выделим в среде целиком расположенный внутри неѐ произвольный объѐм v , огра-

ниченный поверхностью s . Имеются две группы необходимых условий равновесия -

уравнения равновесия в объѐме v и уравнения равновесия на его поверхности s

0vvvv

ss

n dsPddsd nFpF ,

.0vvvv

sss

n

s

n dsMdsPddsdsd nnrFrmprFr

x1 x2

x3

p11 p12

p13 p21p22

p23p31 p32

p33

Преобразуем поверхностные интегралы в объѐмные, используя теорему Гаусса-

Остроградского dVdivdVx

fdSfd

VS V k

kkk

S

fSf :

vv

v,v dMdivdsMdPdivdsPss

nn

,v2vvvvv

dPdivdx

PdPdivdsPdsPkk

ss

ωr

rirrnnr

где

ωiii

ri 2tkssktkksskk pep

xP сопутствующий тензору P вектор, опреде-

ляемый его кососимметричной частью. Итак, приходим к равенствам

,02,0 vv

dvMdivPdivdvPdiv ωFrF

из которых следует, что 02,0 ωF MdivPdiv . (6.9)

Обычно поле M полагают равным нулю, тогда 0ω и тензор напряжений P сим-

метричен: 1221 nnnn PP . В дифференциальной форме имеем

.,,

,0

,0

,0

211213313223

3

3

33

2

23

1

13

2

3

32

2

22

1

12

1

3

31

2

21

1

11

pppppp

Fx

p

x

p

x

p

Fx

p

x

p

x

p

Fx

p

x

p

x

p

(6.10)

Эти уравнения легко получить из условия равенства нулю главного вектора и глав-

ного момента действующих на выделенный из среды элементарный параллелепипед по-

верхностных и объѐмных сил.

Поверхностные силы на гранях, перпендикулярных оси 1i , равны

,2

1,,

2

1321

1

113232111 dxdxdx

xdxdxxxdxx

ppp

,2

1,,

2

1321

1

113232111 dxdxdx

xdxdxxxdxx

ppp

где 32113211 ,,,, xxxxxx pp значение силы в центре параллелепипеда. Начало систе-

мы координат возьмем в центре параллелепипеда, радиус-векторы точек приложения этих

сил можно считать равными 112

1dxi . Подобным же образом составляются выражения сил

и радиус-векторов их точек приложения для граней перпендикулярных 2i :

,2

1132

2

22 dxdxdx

x

pp 22132

2

22

2

1,

2

1dxdxdxdx

xi

pp

,

и для граней перпендикулярных 3i :

,2

1213

3

33 dxdxdx

x

pp 33213

3

33

2

1,

2

1dxdxdxdx

xi

pp

.

Объѐмная сила 321 dxdxdxF считается приложенной в центре параллелепипеда. Приравни-

вая нулю главный вектор всех сил и главный момент относительно центра параллелепи-

педа, после сокращения на 321 dxdxdx получаем

,03

3

2

2

1

1

F

ppp

xxx 0332211 pipipi . (6.11)

Это другая форма уравнений (6.10).

Уравнения равновесия на поверхности s , ограничивающей

объѐм v , представляют запись основного соотношения (6.5) , в ко-

тором np заменено распределѐнной по поверхности силой F :

Fn P . (6.12)

На площадке с нормалью n по (6.6) имеем

ksksn pnPP innp , kjksjsn nppnp 2

,

ksksn npnP nn , и kmkmrsrjksjsnnn npnnpppnp 222

Рис. 19 .

Для определения шести компонент тензора напряжений имеем три уравнения. По-

лучение достаточных условий равновесия требует рассмотрения физической модели сре-

ды (упругое тело, вязкая жидкость). Задача о равновесии сплошной среды статически не-

определима.

6.2. СВОЙСТВА ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ

Закон преобразования компонент тензора напряжений при повороте декартовой

системы осей следует из формул Коши (6.6). Совместим нормаль n с ортом ki ; тогда

kmmkmmn iiin . Напряжения на площадке с нормалью ki по (6.6) будут

332211 iiip mmmmmmk pnpnpn 332211 iii mkmmkmmkm ppp .

Спроектируем далее «квазивектор» kp на оси 321 xxx

rsmrkmsmkmmkmmkmskks ppppp iiiiip 332211 .

Эти формулы можно также получить из тождества EE PP , представив единичные

тензоры в виде kkss iiiiE : srsmrkmkssrmrmkkskks pppP iiiiiiiiii .

Главные значения тензора напряжений, называемые главными напряжениями, рав-

ны корням 321 ,, PPP его характеристического уравнения

0detdet

333231

232221

131211

Pppp

pPpp

ppPp

Pp sksk .

Главные направления – главные оси напряжений – образуют ортогональный триэдр

единичных векторов 321 ,, uuu ; косинусы их углов с осями координат kssku iu опреде-

ляются системой уравнений

u3

u1u2

nσn

τn

pn

.1,0

,0,0

2

3

2

2

2

1333232131

323222121313212111

SSSSSSS

SSSSSSSS

uuuuPpupup

upuPpupupupuPp

В главных осях на площадках с нормалями Su касательные напряжения отсутствуют, а

тензор напряжений записывается в виде

333222111333222111 uuuuuuuuuuuu PPPP .

Выражения компонент тензора в системе осей 321 iii ,, через главные напряжения записы-

ваются в виде kskskskssk PPPp 333222111 iPi , где mssm ui .

Изотропный тензор ssPI ii

13

1 называется шаровой частью тензора P . Выделяя из

тензора P его шаровую часть, получаем тензор ssPIPPDev ii13

1 , называемый де-

виатором тензора P . Главные направления девиатора совпадают с главными направле-

ниями тензора, а главные значения равны :3

1321 ssd

.23

1,2

3

1,2

3

1213313223211 ddd

Девиатор характеризует отклонение напряжѐнного состояния от ”гидростатического”.

В главных осях упрощается запись соотношений Коши (6.6)

,,, 333322221111PnPPnPPnP nnn unpunpunp

где kn un k .

На площадке с нормалью n имеем

2

33

2

22

2

11 nPnPnPPn nn , 333222111 nPnPnPPPn uuunnp ,

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

222nPnPnPPPp nnn nn ,

.2

3

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

22

33

2

22

2

11

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

222

kkkkkk

nnn

nPPPnnPPPnnPPPn

nPnPnPnPnPnPp

(6.13)

Эти соотношения совместно с условием 12

3

2

2

2

1 nnn позволят решить задачу об оты-

скании площадок, на которых нормальное и касательное напряжения имеют заданные

значения. Будем полагать, что 321 PPP . Искомое решение имеет вид

,

,,

,,

,

2313

32

3

1232

22

2

3121

12

1PPPP

fn

PPPP

fn

PPPP

fn nnnnnn

где

022

,

2

32

2

322

1

PPPPf nnnn ,

022

,

2

13

2

132

2

PPPPf nnnn ,

022

,

2

21

2

212

2

PPPPf nnnn .

Эти три функции на плоскости nn , выделяют область допустимых значений касатель-

ных и нормальных напряжений. Границей области являются окружности 3,2,1,0 kfk ,

круги Мора (1882).

Максимальному касательному напряжению

2

312max

PPn

(точка 2S ) соответствует нормальное

напряжение 2

31

2

PP , которые реализуется на пло-

щадке с нормалью 21,0,212

23

2

22

2

21 nnn .

Точкам 1S и 3S соответствуют напряжения

Рис. 20 2

,2

321

321

PPPP

и

2,

2

213

213

PPPP

.

Ориентация соответствующих площадок определяется нормалями

21,21,02

13

2

12

2

11 nnn ; 0,21,212

33

2

32

2

31 nnn .

Эти выделенные касательные напряжения действуют в главных плоскостях тензора на-

пряжения и направлены под углом 45 к его главным направлениям. Итак,

21,21,0,2

,2

2

13

2

12

2

1132

132

1

nnnPPPP

;

;21,0,21,2

,2

2

23

2

22

2

21

31

2

31

2

nnnPPPP

(6.14)

.0,21,21,2

,2

2

33

2

32

2

3121

321

3

nnnPPPP

Касательное напряжение (6.13) можно выразить через характерные напряжения

321 ,,

2

223

2

113

2

2

2

3

2

1

2

3

2

3

2

112

2

332

2

1

2

2

2

3

2

2

2

2

2

331

2

221

2

3

2

1

2

2

2

1

2

1

2

3

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

nPPnPPnPnPn

nPPnPPnPnPn

nPPnPPnPnPn

nPPPnnPPPnnPPPn kkkkkkn

.42

2

2

1

2

3

2

1

2

3

2

2

2

3

2

2

2

1

2

2

2

1

2

21

2

1

2

3

2

31

2

3

2

2

2

32

nnnnnn

nnPPnnPPnnPP

На площадке, одинаково наклонѐнной к главным осям, когда 333

321 uuun ,

имеем PIPPPPn 13213

1

3

1 nn ,

2

1

2

3

2

2

2

1

222

3

1

3

1PIPPPPPp nnn nn ,

PDevIPIPIp nnn 2

2

1

2

1

222

3

2

3

1

3

1

.

σn

τn

P1P2P3

f2=0

f3=0f1=0

S2

S1S3

Величина 2

3

2

2

2

1

2

23

2

2

3 nPDevI называется интенсивностью

касательных напряжений.

6.3. ПРИМЕРЫ НАПРЯЖУННЫХ С ОСТОЯНИЙ

1. Напряжѐнное состояние, определяется шаровым тензором sspP ii . На любой

поверхности выполняется условие nn pP .

2. Тензор напряжений задаѐтся равенством

121221 pP iiii и его характеристическое уравнение

.0

00

0

0

det2

12

2

21

12

ppp

p

pp

pp

определяет главные напряжения

1232121 ,0, pPPpP . Система уравнений

,0,0,0 13121212111212121112 upupupupup

12

13

2

12

2

11 uuu имеет решение Рис. 21

0,2

1131211 uuu . Аналогично для двух других главных напряжений

1,0 232221 uuu и 0,2

1333231 uuu .

В главных осях 122211 pP uuuu : 12

2

3

2

2

2

112212

313

2,,

2pp

p .

3. Напряженное состояние описывается тензором

232332131331 ppP iiiiiiii . Характеристическое

уравнение

00

0

det2

23

2

13

3

2313

23

13

pppp

ppp

pp

pp

даѐт главные напряжения

,0, 2

2

23

2

131 PppP 2

23

2

133 ppP Рис. 22

и ,,2

1 2

23

2

132

2

23

2

131 pppp 2

23

2

13

2

23

2

133 ,2

1pppp .

Главные направления определяются системой уравнений

,1,0

,0,0

2

3

2

2

2

13223113

32323131

iiiiiii

iiiiii

uuuuPupup

upuPupuP

из которой получаем

u3

u1

x

y

p12

p21

p12

p21

u3u1

z

u2

m

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

x

yα

u2

32112

1

2

sin

2

cosiiiu

, 212 cossin iiu ,

32132

1

2

sin

2

cosiiiu

, где

1

23

1

31 sin,cosP

p

P

p .

В осях 32 ,, ium тензор напряжений принимает вид 2

23

2

1333 ppP mimi .

4. Тензор одинаковых касательных напряжений задаѐтся равенствами

0, iioij pjipp . Его инварианты равны 3

3

2

21 2,3,0 oo pPIpPIPI и

главные направления, определяемые корнями кубического уравнения

023323 oo pppp , оказываются равными oo pPPpP 321 ,2 .

Касательные напряжения равны op3,0 321 . Первое главное направление, опре-

деляемое уравнениями ,02,02 131211131211 upupupupupup oooooo

,1,022

13

2

12

2

11131211 uuuupupup ooo есть 32113

1iiiu .

Два других главных направления в плоскости перпендикулярной 1u произвольны. В глав-

ных осях opP 3322112 uuuuuu .

5. Электростатическая система напряжений задаѐтся тензором

EEiiEE kk

qP

2

1

4

, gradVE , где диэлектрическая проницаемость, q

плотность зарядов, E вектор напряжѐнности электрического поля. Поле объѐмных сил,

действующих на диэлектрик, определяется тензором напряжений

EEEEiiEEF divq

divq

kk

42

1

4

.

По определению главных осей uuEEiiEE pq

kk

2

1

4

и EE

81

qP ,

E

Eu 1 , EE

832

qPP , 032 EuEu .

В направлении поля действует растягивающее напряжение, а в поперечных направлениях

равные им по величине сжимающие напряжения.

6.4. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ

Механика сплошной среды нуждается в математическом

аппарате, позволяющем по вектору перемещения u точек среды,

определять изменение расстояний между точками среды и изме-

нение углов между выбранными направлениями в рассматривае-

мой точке. Задача состоит в сопоставлении вектору Rd и ориен-

тированной площадке dSd NS начального состояния среды

вектора rd и ориентированной площадки dsd ns еѐ конечного Рис. 23

состояния.

X x1 1( )

R

u

r

dr

dR

u+ ud

X x2 2( )

X x3 3( )

Поскольку uRr имеем uRr ddd . С другой стороны, рассматривая вектор

r , как функцию координат недеформированной среды, можем образовать диаду

riir gradX

r

s

kks

, и записать rRr dd , где

s

kskks

X

uiiuRr . Тензор

Ruu ddTпроизводная вектора u по направлению R представляют суммой его сим-

метричной и кососимметричной частей: ωεuRuuRuRu dddddd2

1

2

1.

Компоненты симметричной части этого тензора

uuuε

Tdef2

1, называе-

мого линейным тензором деформации, определяются соотношениями

i

j

j

iij

i

iii

X

u

X

u

X

u

2

1, .

Диагональные элементы в линейной теории упругости называют относительными удли-

нениями, а удвоенные недиагональные – сдвигами. Компоненты кососимметричной части

определяют сопутствующий тензору Ruu ddT вектор поворота

2

1

1

23

1

3

3

12

3

2

2

31

2222

1

X

u

X

u

X

u

X

u

X

u

X

uro

iiituω .

Итак, ,, ωεuωεRu dd RωRεRωRεu ddddd .

Прямым вычислением можно убедиться также в том, что Rω ddrot и следовательно

Rεω drotd . Рассмотренное построение линейного тензора деформации по вектору пе-

ремещения u применимо к любому вектору: skksdef iiRRRR

2

1, εEr def .

Определение трѐх компонент вектора u относительного перемещения двух близ-

ких точек среды состоит в интегрировании системы шести уравнений

ij

i

j

j

iii

i

i

X

u

X

u

X

u

2

1, , что конечно возможно только при соблюдении определѐн-

ных условий. Задача имеет решение только при некоторых условиях, на важность которых

указал Сен-Венан. В механике сплошной среды принят термин «зависимости Сен-

Венана», которые можно получить исключением компонент перемещения из самих урав-

нений. Левые части уравнений 12

2

1

1

222

2

211

1

1 2,,

X

u

X

u

X

u

X

u удов-

летворяют тождествам

2

1

1

2

21

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

X

u

X

u

XXX

u

XX

u

X

321

3

3

1

2

2

1

2

3

2

3

1

1

3

23

2

2

3

3

2

13

2

2XXX

u

X

u

X

u

XX

u

X

u

XXX

u

X

u

XX

и следовательно 21

12

2

2

1

22

2

2

2

11

2

2XXXX

,

21

33

2

3

12

2

31

1

23

3 XXXXXX

.

Остальные условия получаем из этих двух круговой перестановкой индексов. Все по-

строения допускают использование криволинейной системы координат.

6.5 ТЕНЗОРЫ КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Исследование конечных деформаций в криволинейной системе координат требует

введение базисов в недеформированном и деформированном объѐмах по отдельности

jik

jik

kk

jis

jis

ssqq rrr

rrr

rr

RRR

RRR

RR

,, .

Далее строятся компоненты метрических тензоров G и g :

,,p

i

k

ipkkpk

i

s

ikssr

q

x

q

xg

q

X

q

XG

rrRR

i

p

i

kpkkp

i

k

i

skssr

x

q

x

qg

X

q

X

qG

rrRR , .

Набла операторы определяются символическими векторами s

sr

s

sR

qq

rR , ,

что приводит в операциях ковариантного и контравариантного дифференцирования к раз-

личным символам Кристоффеля. Тензоры-градиенты имеют диадные представления

,,,

.,,

s

kk

k

k

kr

s

s

Tr

k

k

k

kr

s

ks

s

s

sR

k

k

TR

s

s

s

sR

gqq

Gqq

rrr

rrrRRRrR

rR

RRR

RRRrrrRr

Rr

(6.15)

Из этих определений следуют формулы

,, RrrRRrRRrrr

TrR

TR

ddddd

(6.16)

,2 sk

ks

k

ks

ss

ks

k

TRR

dqdqgdqAdqdgdddddds

RRRRRRRrrRrr

где

s

ks

ks

sk

k

TRR

gA RRRrrRrr тензор, называемый первой мерой дефор-

мации или мерой деформации Коши. Контравариантные компоненты первой меры дефор-

мации определяются по общему правилу ks

jsikij AGGA и не равны контравариантным

компонентам ksskg rr .

Замена в выражении первой меры деформации радиус-вектора r его значением че-

рез вектор перемещения uRr даѐт

12E

s

k

TRR

TRR

s

k

TR

s

k

Rs

k

TRR

GG

GGA

uuuu

uuuRuR

(6.17)

В этом выражении

TRR

TRR

uuuu2

11E симметричный тензор второго ран-

га, называемый первым тензором конечной деформации (Коши-Грина).

Первая мера деформации позволяет определять значения геометрических объектов в

деформированном объѐме по их значениям в недеформированном объѐме. Обратную за-

дачу – определение значений этих объектов в исходном недеформированном объѐме по их

значениям в деформированном объѐме решает вторая мера и второй тензор конечной де-

формации.

Исходным соотношением теперь является RrrRRr

Tr

ddd

,2 ks

sk

k

ks

sk

sk

s

Trr

dqdqGdqadqdGddddddS

rrrrrrrRRrRR

где

k

sk

sk

ks

s

Trr

Ga rrrRRrRR тензор, называемый второй мерой деформа-

ции. Контравариантные компоненты второй меры деформации определяются по общему

правилу ks

jsikij agga и не равны контравариантным компонентам ksskG RR .

Второй тензор конечной деформации возникает при рассмотрении операции

uurRr

s

k

rr

g :

.2 2E

s

k

Trr

Trr

s

k

Tr

s

k

rs

k

Trr

gg

gga

uuuu

uuRR

(6.18)

Здесь введѐн тензор деформации Альманзи-Гамеля

Trr

Trr

uuuu2

12E .

6.6. ОБОБЩЁННЫЙ ЗАКОН ГУКА

Возможность замены тензоров конечной деформации линейным тензором деформа-

ции обусловлена малостью компонент тензора-градиента вектора перемещения u и век-

тора поворота ω . При этих условиях отпадает необходимость различать производные по

координатам недеформированного и деформированного состояний

x

f

X

u

x

f

x

f

X

u

X

X

x

f

X

x

x

f

X

f

.

Здесь 321 ,, XXX декартовы координаты в ненапряжѐнном, натуральном состоянии, а

321 ,, xxx координаты в напряжѐнном состоянии.

В линейной теории равновесия сплошной среды отпадает также необходимость в

различии тензоров конечной деформации 212

1EE

T

uu .

Фактически реализуемые состояния равновесия сплошной среды определяются еѐ

свойствами. Для многих сред эти свойства формализуются заданием связи между тензо-

рами напряжения и мерой деформации. В линейной теории упругости это – линейное со-

отношение между тензором напряжения и тензором деформации, обобщѐнный закон Гука.

В выражение закона состояния входит также температура среды. Задание закона состоя-

ния приводит к замкнутой системе дифференциальных уравнений, по которой определя-

ется реализуемое напряжѐнное состояние и далее векторы перемещения точек среды. Та-

ким образом, в линейной постановке задача перемещения точек среды отодвигается на

второй план, то есть напряжѐнное состояние определяется для недеформированного тела.

Этот приѐм представляет собой первый шаг последовательных приближений нелинейной

теории упругости, в которой напряжѐнное состояние приходится разыскивать в деформи-

рованном теле с неизвестной границей.

Изотропную однородную среду, подчиняющуюся закону состояния bEaP , на-

зывают средой Генки. Среда Генки линейна геометрически, но физически нелинейная, по-

скольку параметры ba, зависят от инвариантов тензора деформаций, и эти соотношения

нелинейны. В записи закона Гука может быть использована любая пара из модулей

mEGk

1,,,, . Часто за такую пару принимают , , тогда

EPEP

12

1,

212 ,

где PIdivI 11 , u .