Лекция №2

Тема: Заряд и егосвойства, закон Кулона(продолжение)

Сегодня: Thursday, April 20, 2023

8. Интегральная формулировка закона сохранения заряда.d

dVdt

jdЅsv

Изменение заряда в некотором объёме может произойти только в результате втекания и

вытекания заряда через замкнутую поверхность S ограничивающую объём

(алгебраическая сумма электрически изолированного объема есть величина

постоянная.

Скорость изменения заряда в объёме.

Сила тока через поверхность, ограничивающую объём.

Знак минус учитывает, что если + заряд внутри V уменьшается, то плотность тока направлена из объёма.

S

V

9. Дифференциальная формулировка закона сохранения заряда.

Итак интеграл по поверхности равен интегралу по объему в виде

ddV

dt jdЅ

Запишем данное выражение в виде (это связь интеграла по поверхности с интегралом по объему, который заключен данной поверхностью).

(1)

Здесь дивергенция равна

VS V

dVt

dVjdivSdj

dz

dj

dy

dj

dx

djjdiv zyx

Сравнивая подинтегральные выражения в формуле (1), видим, что

Это и есть закон сохранения заряда в дифференциальной форме

tjdiv

10. Сохранение заряда в 4-х мерном пространстве

Перепишем выражение для дивергенции и плотности тока в виде :

3

3

2

2

1

1

dx

dj

dx

dj

dx

djjdiv

ict

ic

t

4jic 4xict

Легко видеть, что изменение плотности заряда во времени можно представить как 4-ую компоненту плотности тока:

Окончательно:

4

4

dx

dj

dict

dic

t

tjdiv

04

4

3

3

2

2

1

1 njdivdx

dj

dx

dj

dx

dj

dx

dj

0

t

jdiv

0njdiv

Это и есть закон сохранения заряда в дифференциальной форме для 4-х мерного пространства

Преобразование из К системы в систему К’ для одномерного тока jx и плотности заряда ρ в СТО имеет вид:

xjcV

cV

22

2

/1

/

22 /1 cV

Vjx

k

kk

k

k

k

k rr

qqF

rF

204

1

Закон Кулона.

1 22

0

1

4 r

q q

r

r

F

q1,q2 – точечные заряды; r – расстояние между зарядами; ε – диэлектрическая проницаемость

среды ( в вакууме и воздухе = 1 ); ε0 – диэлектрическая постоянная = 8,85*10-12Ф/м.Принцип суперпозиции:

(1)

(2)

3

м

Ф

мН

Клε

Кл

мН

πεk или1085,8;109

4

12

212

02

29

0

З.К. справедлив 107-10-17м (эксперимент)

+ + + -1 2 1 2

F12 F21F12 F21

-

-

- - -

-+

+

+ +

+

+

+

●

●●

2.

l l

l

3. 4.

●

rа

х

9

На каждый заряд, действуют по 3 силы

Q F

Сущность модели электростатического поля

Важна не неподвижность зарядов, а постоянство во времени электрического поля!

Границы применимости – требование малости вклада от отдельных зарядов в наблюдаемое

поле.

Основная задача электростатики: найти поля, создаваемые «неподвижными» зарядами

2

Детектор поля – точечный заряд. Источником Е- поля является заряд.

q

FE

20

1=

4

q

r rr

Е Для точечного зарядав вакууме (ε =1)

(3)

(4)

4

Локальная хар-ка

+qEr

F

Вектор Е напряженности электрического поля

Формула (4) получена делением силы Кулона на заряд q

k

kk

k

k k

k

rr

q

qE

rFE

204

Согласно принципу суперпозиции электрическое поле системы зарядов

равно векторной сумме напряженностей полей, создаваемых

отдельными зарядами

Е1

○

○○12

3

Е2

Е3

Силовые линии. Примеры

5

Е

ЕЕ

ЕЕ

Е

5

● dy

σ

●

z

А

y

x

+

++

++

+ +

+

+

+ +

Равномерно заряженная плоскость σ

L

Каждая полоска несёт элементарный заряд dq

= σ Ldy11

Найти напряженность Е электрического поля в точке А на расстоянии z от плоскости. Применить принцип суперпозиции

Справедлив принципы суперпозиции:

Вектор электрического смещения (вектор индукции электростатического поля) - D

D = εε0E

Формула для однородной среды. Вектор направлен также как и Е.

2

1=

4 r

q

rr

D

i=1

n

= iD D6

(5)

(6)

(7)

Для точечного заряда

+

ε >1

+ε >1

Е

Е D

D

Вектор D не преломляется на границе двух сред.

D = εε0E (5)

7

Поток вектора ( Е,D)

Е

nn n

α

dФ = ЕdS Ф = 0 dФ = ЕdS Cosα

Ф = числу силовых линий через единицу площади.

Ф = ∫s (ЕdS)

dS

dSdS

(10)

13

dS =dS n

dSn

Е Е

Е

Ф через искривлённую поверхность

Ф = ∫s (ЕdS)

Ф через замкнутую поверхность

Поверхность не должна быть морщинистой

(11)

14

Е

Е

Теорема Гаусса (закон Гаусса)Закон Гаусса связывает поток через

поверхность и заряд.

q

ndSЕ

Если между Е или D и n острый угол Ф- положителен, если тупой - Ф отрицателен.

15

dФ D S

20

1=

4

q

r rr

Е

2

1 1d

4 rФ

r

rS

dScos nd dSr

r

S =16

(4)

(11)

(12)

(13)

(14)

Ф = ∫s (ЕdS)dS

Е

n

dΩ

α

q

ε0

q

2ndS

dr

∫○dΩ=4π

Если зарядов в объёме V много, то q = ∑qi

dФ D S =∑qi=q Теорема Гаусса для D

17

(15)

0

dq

Ф E S Теорема Гаусса для Е

Для док-ва используется принцип суперпозиции!!!!

Если заряд находится вне объёма:

D

dФ D S = 0

Вектор D 2 раза входит в объём и 2 раза из него

выходит.

Если заряд распределен внутри объёма, например, с объёмной плотностью ρ:

∳q = ρdVv

dФ D S ∳q = ρdV=То:v 18

Физической основой ТОГ является закон Кулона, поэтому теорема Гаусса является интегральной

формулировкой закона Кулона.

19

Поток вектора напряженности сквозь произвольную замкнутую поверхность = сумме

зарядов, заключённых в этой поверхности, деленной на ε0 .

Аналогично для потока вектора смещения D

20

0

dq

Ф E S

Применение теоремы Гаусса.По тонкой сферической оболочке радиуса R

равномерно распределён заряд q. Определить Е: а) вне сферы, б) внутри сферы.

21Е

+

++ +

+

+

+

R r1

r2+

++

+

+σ

Е

Е

n

●

●●

А

ВС

+R

r1 En

+σ

S

А●

В●

Вектор Е направлен радиально в силу симметрии

Проведем произвольную замкнутую поверхность радиуса r1

0

dq

Ф E S

S

dSE, = ЕА ∫dS = ЕАS = ЕА4πr12 = q/ε0

22

+

+

+

+

R r1

++

+σ

Е

n

●А

По Т.О.Г.Е

С●В

Е=О

На пов-ти сферы

т.к. S задано q = σSс = σ4πR2

2

20 1

RЕ

r

q = ∫Sσ dS

(*)20 14

qЕ

r

Из (23) ЕА вне сферы =

23

Внутри сферы (точка В) Е равно

нулю

25

+

+

+

+ +

R

r1

r2+

+σ

Е

Е

n

●

●●

А

ВС

0

Е

R r

1/r2

20 14

qЕ

r

Поле вне сферы такое же как и от точечного

заряда!

Поле Е равномерно заряженной ∞ нити с линейной плотностью τ.

0

dq

Ф E S

∫(EdS) = ∫(EdSбок) +2 ∫(EdSторц) = ∫(EdSбок) = ES =

= Е2πаl = q/ε0

q = ∫l τdl = τl

Окончательно имеем:

02АЕа

= 0

26

τ●А

а

Е

nn

dSторц.

l

dS

Электрическое поле Е бесконечно большой заряженной плоскости

Поверхностная плотность зарядов σ

SqESdSEdSEФi

i

sS

Е 010

1122)(

Поверхность Гаусса выбираем в виде

прямоугольного ящика. В силу бесконечно-большой

симметрии плоскости вектор Е в любой точке

окружающего пространства направлен по нормали к

плоскости

Е

nn

ЕSS

02E