บทท 8การหมน

ไจโรสโคปเปนอปกรณทนาพศวงงงงวยเปนอยางยง   เพราะการหมนของมนคอนขางแปลก   และคลายกบวา  มนทาทายกบแรงโนมถวงได  คณสมบตอนพเศษน สามารถนำาไปประยกตใชไดตงแตรถจกรยาน  จนถงยานขนสงอวกาศ   เครองบนโดยสารทกประเภทมไจโรสโคป  ไวสำาหรบทำาเปนเขมทศ   และระบบนำารองอตโนมต   สถานอวกาศ Mir  ของรสเซย  ใชไจโรสโคปจำานวน  11  อน เพอบงคบใหแผงโซลารเซลลหนไปในทศทางเดยวกบดวงอาทตยตลอดเวลา  การหมนแบบไจโร  จะเกดกบมวลทกชนดในโลกทมการหมน  ฟสกสราชมงคลจะไขปรศนานให   โดยจะโยงใหคณไดทราบเหตและผลทเกดจากการหมนแบบน   ซงจะทำาใหคณยงมหศจรรยเพมขนไปอก  เพราะการประยกตของไจโรมมากมายนบไมถวน  ทงๆ ทความรพนฐานนน งายแสนจะงาย กดทนเพอดรายละเอยดทงหมด

ฟสกสราชมงคล

177

การเคลอนทของวตถตามสภาพจรงคอนขางซบซอน เนองเ พ ร า ะ ข ณ ะ เ ค ล อ น ท ว ต ถ อ า จเปลยนแปลงรปรางได ตวอยางเชน ยบ แตก และราว ฯลฯ หรออาจจะหมนและเคลอนยายต ำาแหน งไปพรอมกน บททผานมาเราพยายามลดขนาดของวตถใหเปนเพยงจด เพอหลกเลยงผลเหลาน

สำาหรบบทนเราจะเร มตนอธ บ า ยกา รหม น แ ละ กา ร เล อนตำาแหนง อยางไรกตามยงจำากดไม

วดโอเพอการศกษา

ด ว ด โ อ ก า ร ค ว ง ข อ ง ล อจกรยาน   เป นเวลา   30  วนาท  คลก ทน ครบ

8-1 ค ว า ม เ ร วเชงมม______________________________________________

รป 8-1 a) เวลาเปดประตทกอนภาคบนประตจะมความเรว และความเรงเชงมม

เทากน แตความเรวและความเรงเชงเสนแตกตางกนขนอยกบระยะท

หางจากแกนหมน b) ภาพดานบนของบานประต จด P หางจากจดหมน

เทากบ R เคลอนท เปนสวนโคงของวงกลม S

พจารณาวตถแขงเกรงหมนรอบจดคงทหนง ดงรป 8-1 เวลาเปดบานประต OP คอแนวเสนบนขอบประตทเราจะศกษาการเคลอนท คอมมททำากบระดบมหนวยเปนเรเดยน เรเดยนคอ สวนโคงของวงกลมหารดวยรศม ดงนน 1 เรเดยน (rad) คอสวนโคงของวงกลม (S) ทมขนาดเทากบรศม

2 rad (1 รอบ) = 360o

1 rad = = 57.3o

ฟสกสราชมงคล

178

360o = 2 rad = 6.28 rad180o = rad = 3.14 rad 90o = rad = 1.57 rad

60o = rad = 1.05 rad

45o = rad = 0.79 rad

รป 8-2 R กบ S สามารถเขยนเปนความสมพนธไดดงน S = R

มชอเรยกเฉพาะวา ตำาแหนงเชงมม (Angular position) มเคร องหมายเปนบวกเมอวดทวนเขมนาฬกา และเปนลบเมอวดตามเขมนาฬกา

จากนยามของตำาแหนงเชงมม

= ; S = R

................... (8-1)

ถา = 2 rad กแสดงวา S คอเสนรอบวงของวงกลม

เรเดยนเปนอตราสวนระหวางความยาวตอความยาว ดงนน จงไมมหนวย ถา S = 1.5 m และ R = 1 m จะไดมม = 1.5 rad นยมเขยน = 1.5 ไมตองมหนวยกำากบกเขาใจ

รป 8-3 ระยะกระจดเชงมม ของวตถทกำาลงหมน

ฟสกสราชมงคล

179

การหมนสามารถอธบายไดดวยอตราการเปลยนระยะกระจดตอเวลา ดงรป 8-3 ใหเวลา t ตำาแหนงเชงมมของแนวเสน OP อยท 1 วดจากแกน OX เวลาผานไปเปน t2 ตำาแหนงเชงมมของแนวเสน OP อยท 2 ความเรวเชงมมเฉลย จะเปน

av =

ความเรวเชงมมชวขณะ เปน

= ................... (8-2)

หนวยของความเรวเชงมม คอ เรเดยนตอวนาท ( 1 rad s-1 หรอ 1 s-1) บางคร งน ยมใชรอบตอนาท (revmin-1) rev เป นตวยอของ revolution

1 revs-1 = 2 rads-1 และ 1 revmin-1 = 1 rpm = (2/60)

rads-1

8-2 ค ว า ม เ ร งเชงมม______________________________________________

ถาความเรวเชงมมไมคงท แสดงวาอนภาคมความเรงเชงมมให 1 และ 2 เปนความเรวเชงมมชวขณะทเวลา t1 และ t2

ความเรงเชงมมเฉลยจะเปน

av =

ความเรงเชงมมชวขณะจะเปน

ฟสกสราชมงคล

180

= ................... (8-3)

หนวยของความเรงเชงมม คอ เรเดยนตอวนาท2 (1 rads -2 หรอ 1 s-2)

เพราะ = ความเรงเชงมมจงสามารถ

เขยนอยในรปของอนพนธอนดบทสองไดเปน

= = ................... (8-4) เปรยบเทยบกบการเคลอนทเชงเสน คอตำาแหนงเชงมม x คอระยะกระจดเชง

เสน คอความเรวเชงมม เปรยบเทยบกบ v คอความเรว

เชงเสน คอความเรงเชงมม a คอความเรงเชงเสน

8-3 ก า ร ห ม น ด ว ย ค ว า ม เ ร ง เ ช ง ม มคงท_______________________________

เราสามารถหาความสมพนธระหวางระยะกระจดเชงมม อตราเรวเชงมม และความเรงเชงมมได ในกรณทความเรงเชงมมคงท โดยใชวธเดยวกนกบการหาความสมพนธระหวางระยะกระจดเชงเสนความเรวเชงเสน และความเรงเชงเสนในกรณทความเรงคงท ดงทไดวเคราะหมาแลวในบทท 2

= = คงท

อนทเกรตจะได d = dt , = t + C1

C1 เปนคาคงททไดจากอนทเกรต ใหเวลาเร มตน t = 0 อนภาคมความเรวเชงมม 0 แทนคาลงใน

สมการบน จะได C1 = 0

ฟสกสราชมงคล

181

ดงนน = 0 + t ................... (8-5)

แทน = และอนทเกรตอกครงจะได d =

0 dt + tdt, = 0t + t2 + C2

C2 เปนคาคงททไดจากการอนทเกรต ใหเวลาเร มตน t = 0 อนภาคมตำาแหนงเชงมม 0 แทนคาลงใน

สมการบน จะได C2 = 0

ดงนน = 0 + 0t + t2

................... (8-6)

จากสมการ (8-5) จะได t = แทนคาลงไปในสมการ (8-6) 2 = ...................

(8-7)

ตาราง 8-1 เปรยบเทยบสตรทได จากสมการ (8-5) (8-6) และ (8-7) ส ำา ห ร บ ก า ร ห ม น ด ว ย ค ว า ม เ ร ง เ ช ง ม มคงท กบสตรทไดจากการเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงท

ตาราง 8-1

การเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงท

การหมนทมความเรงเชงมมคงท

a = คงท v = v0 + at x = x0 + v0 t + at2

v2 =

= คงท = 0 + t = 0 + 0t + t2

2 =

ฟสกสราชมงคล

182

ตวอยาง 8-1 ลอจกรยานหมนดวยความเรงเชงมมคงท 2 rads-2 ใหเวลาเร มตน t = 0 ซลอ OP อยในแนวระดบ มความเรวเชงมม = 4 rad.s-1

ก) ณ เวลา t = 3.0 s ซลอจะทำามมกบแนวระดบเทาไรข) ความเรวเชงมม

หลกการคำานวณก) จากสมการ (8-6) = 0 + 0t + t2

t = 3.0 s, = 0 + (4.0 rad.s-1) (3.0 s) + (2.0 rads-2)(3.0 s)2

= 21 rad = รอบ = 3.34 รอบ

ซ ล อจะหม น ไป 3 รอบ บวกก บอ ก 0.34 รอบ หรอ (0.34 รอบ )(2 radrev-1) = 2.15 rad = 123o

ข) จากสมการ (8-5) = 0 + t

t = 3.0 s , = 4.0 rads-1 + (2.0 rads-2)(3.0 s) = 10 rads-1

หรอใชสมการ (8-7) 2 =

= (4 rads-1)2 + 2(2 rads-2)(21 rad)

2 = 100 rad2s-2

= 10 rads-1

ฟสกสราชมงคล

183

คำาตอบเทากน

8-4 ความสมพนธระหวางปรมาณเวกเตอรของการเคลอนทเชงเสนและการเคลอนทเชงมมของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลม____________________

ฟสกสราชมงคล

184

บทความออนไลน

เมอแมวตกลงจากทสง  มนมความสามารถทจะลงบนพนโดยใชเทาได  ทงๆทตอนเรมตนตกมนหงายทองเกงลงมา  การถายภาพความเรวสงเปนชอตๆ ในปจจบนชวยใหเราเหนขนตอนตางๆ ขณะท

รป 8-4 S = r

รป 8-5 ถาวตถหมนดวยความเรวไมสมำาเสมอรอบจด O จะเกดความเรงขน 2 แนวคอ

ความเรงแนวสมผสทจด P = r ; และแนวตงฉาก = 2r

จด P หางจากจดหมนเปนระยะ r เคลอนทเปนวงกลม โดยมตำาแหนงกระจดเชงมมเรมตนเทากบ เพมขนเปน ในชวงเวลา t อนภาคทจด P จะเคลอนทเปนสวนโคงของวงกลม s = r อตราเรวเฉลยของอนภาคหาไดจาก

vav = = .................. (8-8)

ให t เขาใกลศนย จะได

v = = r.................. (8-9)

ความเรว v สมผสกบเสนทางการเคลอนทความสมพนธระหวางความเรวของอนภาคทเปลยนไป v กบ

ความเรวเชงมมทเปลยนไป เขยนไดดงน

v = r

ฟสกสราชมงคล

185

O xr

a= 2r

a= r

Pa

หาร t ทง 2 ขาง =ให t เขาใกลศนยจะได

a = = r................... (8-10)

a คอ ความเรงในแนวเสนสมผสกบเสนทางการเคลอนท

ความเรงในแนวตงฉาก หรอรศม แทนดวย a = จากสมการ

(8-9) เขยนใหมไดเปน

a = = 2r ................... (8-11)

ถาวตถหมนดวยความเรวทไมสมำาเสมอรอบจด O จะเกดความเรงขน 2 แนว คอ a กบ a ความเรงลพธหาไดจาก

a =

ตวอยาง 8-2 นกขวางจานโอลมปคเหวยงจานขาวออกไปดวยความเรงเชงมม = 50 rads-2 จงหาความเรงแนวสมผ สและตงฉากขณะทความเรวเชงมม = 10 rads-1 กำาหนดให แขนของนกขวางยาว 0.80 mหลกการคำานวณ จากสมการ (8-10) และ (8-11)

a = 2r = (10s-1)2(0.80 m) = 80 ms-2

a = r = (0.80 m)(50s-2) = 40 ms-2

ขนาดของความเรงa =

= 89 ms-2

8-5 พ ล ง ง า น จ ล น ข อ ง ก า รหมน_____________________________________

ฟสกสราชมงคล

186

ขณะทวตถหมน อนภาคตาง ๆ ทประกอบขนเปนวตถกหมนพรอมไปกบวตถดวย

สมมตใหอนภาคตวหนงมวล mi อยหางจากจดหมนเปนระยะทาง ri

ความ เร ว เช ง เส นของอน ภาคจะ เป น vi = ri และม พลงงานจลนเปน

Ki =

เนองจากพลงงานจลนเปนปรมาณสเกลาร พลงงานจลนรวมของว ต ถ จ ะ เ ท า ก บ ผ ล ร ว มพลงงานจลนของแตละอนภาค

K =

อนภาคภายในวตถกอนเดยวกน จะม เทากน จงแยก ออกมาเปนตวรวมได

K =

=

mi คอผลบวกมวลของอนภาคคณดวยระยะทางกำาลงสองจากมวลไปยงจดหมน ถาแทนดวยปรมาณ จะได

= mi .................... (8-12)

เรยกคา วาเปนความเฉอยของการหมน หรอโมเมนตความเฉอยของวตถ สมพทธกบแกนหมน คา ของวตถจะขนกบแกนหมน รปรางของว ต ถ แ ล ะ ล ก ษ ณ ะ ก า ร เ ร ย ง ต ว ข อ ง ว ต ถ ร อ บ แ ก น ห ม น มหนวยเปน กโลกรม-เมตร2 (kgm2)

คาพลงงานจลนสามารถเขยนใหมไดวา

K = 2 ................... (8-13)

ฟสกสราชมงคล

187

เปรยบเทยบกบการเคลอนทเชงเสน K = Mv2

สมการ (8-12) และ (8-13) แสดงใหเหนวาพลงงานการหมนของวตถ สำาหรบความเรวเชงมมคาหนง ๆ นน ไมเพยงแตขนอยกบขนาดของมวลเทานน แตยงขนอยกบการกระจายของมวลนน ๆ รอบแกนหมน ดงรป 8-6 เสนลวดอลมเนยมซงมขนาดเทากนและเหมอนกนทงสามเสน แตละเสนมวตถมวล M ทำาดวยตะกวผกตดอย รป (a) มวลอยใกลกบแกนหมนมากทสด ดงนน คา ri ในสมการ (8-12) จงมคานอย สวนรป (b) อนภาคอยหางจากแกนหมนแตยงนอยกวารป (c)

รป 8-6 จากการทดลองพบวา a < b < c วตถตะกวทงสามม

มวลเทากน แตการกระจายของมวลรอบแกนหมนตางกน

ใหมวลทงสามหมนดวยความเรวเชงมม เทากน พบวารป a ใชงานนอยทสด และรป c ใชงานมากทสด เนองจากงานทใหวตถแตละอนมคาเทากบ

พ ล ง ง า น จ ล น 2 ข อ ง ว ต ถ น น ๆ ท ำา ใ ห ค า

Ka < Kb < Kc และเนองจากแตละอนมคา เทากน ดงนน คา a < b < c

จากนยามของสมการ (8-13) จงอาจเรยก M วาเปนคาความเฉอยเนองจากการเคลอนทแบบเลอนตำาแหนง (translational inertia) ซงเปนการวดความตานทานของวตถทมตอการเปลยนแปลงการเคลอนทในแนวเสนตรง และเรยก วาเปนความเฉอยเนองจากการหมน (rotational inertia) ซงเปนการวดความตานทานของวตถทมตอการหมน

ฟสกสราชมงคล

188

ตวอยาง 8-3 โมเมนตความเฉอยของสวนประกอบชนหนงของเครองจกร ดงรป 8-7 จะเปนเทาไร

รป 8-7 สวนประกอบชนหนงของเครองจกร(ก) รอบแกนหมน A ตงไดฉากกบระนาบ ABC(ข) ให BC เปนแกนหมน(ค) จากขอ (ก) ถามความเรวเชงมม = 40 rads-1

พลงงานจลนการหมนจะเปนเทาไรหลกการคำานวณ

(ก) มวลทจด A อยทแกนหมนพอด ระยะจากจดหมนเปนศนย โ ม เ ม น ต ค ว า ม เ ฉ อ ย ข อ ง ม ว ลทจดนจงเปนศนย จากสมการ (8-12)

A = miri2 = (0.10 kg)(0.50

m)2 + (0.20 kg)(0.40 m)2

= 0.057 kgm2

(ข) มวลทจด B และ C อยทแกนหมนพอด ระยะจากจดหมนเปนศ น ย โ ม เ ม น ต ค ว า ม เ ฉ อ ยบนแกนนจงเปนศนย จากสมการ (8-12)

BC = miri2 = (0.30 kg)(0.40

m)2

= 0.048 kgm2

สรปไดวา โมเมนตความเฉอยขนอยก บแกนหมน แกนหมนเปลยนคากเปลยน

(ค) จากสมการ (8-13)

ฟสกสราชมงคล

189

K = 2 = (0.057 kgm2)(40 rads-1)2

= 45.6 J การคำานวณหาคาโมเมนตความเฉอยของตวอยางทผานมา มวลมลกษณะเปนจด แตถาวตถมรปทรงขนาดใหญ มวลกระจายอยางตอเนองเชนทรงกระบอกหรอจาน การหาโมเมนตความเฉอย จะตองใชวธการอนทเกรต ตวอยางการคำานวณจะอธบายในหวขอถดไป รป 8-8 คอตารางโมเมนตความเฉอยของมวลรปทรงตาง ๆ

รป 8-8 โมเมนตความเฉอยของมวลรปทรงตาง ๆ รอบแกนหมนทผานจดศนยกลางมวล

ขอสงเกต การหาโมเมนตความเฉอยโดยใชมวลคณกบระยะจดศนยกลางมวลหางจากจดหมน ยกกำาลงสอง เพราะคดวาจดศนยกลางมวลเปนตวแทนของมวลทงกอน แตจรง ๆ แลวผด ตวอยางเชนแทงกลมขนาดเลกยาว L มมวล M ใหจดหมนอยทปลายของแทงโลหะ โมเมนตความเฉอยของแทงโลหะทจดห ม น น

(จากตาราง) คอ ถาใชมวลคณกบระยะจากจดศนยกลางมวลถงจดหมน

ซงเทากบ สามารถคำานวณหา I ไดเทากบ คาทไดไมตรงกน

การหาดวยวธนจงทำาไมได

ตวอยาง 8-4 ลกรอกมวล 50 kg เสนผาศนยกลาง 0.12 m หมนอยรอบแกนไดโดยไมมความฝด พนเชอกรอบลกรอก ดงปลายเชอกดวยแรงคงท 9 N เปนระยะ 2 m ถาลกรอกเรมตนจากหยดนง จงหาความเรวเชงมมและเชงเสนของเชอกทระยะนหลกการคำานวณ พลงงานจลนของลกรอกทเพมขน = งานทกระทำากบลกรอก

ฟสกสราชมงคล

190

mR2

2 = Fd = (9.0 N)(2.0 m)= 18 J

จากรป 8-8 โมเมนตความเฉอยของลกรอก

= MR2

= (50 kg)(0.060 m)2

= 0.090 kgm2

แทนลงไปในสมการบน จะได

(0.090 kgm2) 2 = 18 J

= 20 rads-1

ความเรวเชงเสนของเชอกจะเทากบความเรวสมผสของลกรอก จากสมการ (8-9)

v = r = (0.060 m)(20 rads-1)

= 1.2 ms-1

ตวอยาง 8-5 ลกรอกมวล M หมนรอบแกนโดยไมมความฝด พนเชอกรอบลกรอก ใหปลายเชอกขางหนงผกตดกบมวล m ในแนวดง ปลอยมวล m จ า ก ค ว า ม ส ง h จ ง หา ค ว า ม เ ร ว เ ช งม ม แ ล ะ เ ช ง เ ส น ข อง ล ก รอ ก ขณะทมวล m ถงพน

รป 8-9 หลกการคำานวณ

ฟสกสราชมงคล

191

เร มตนปลอยมวล m พลงงานจลนยงเปนศนย (K1 = 0) ม แตพลงงานศกย U1 = mgh ขณะทมวล m ถงพน พลงงานจลนของการเคลอนทเชงเสนเปน K2 พลงงานศกยเปนศนย (U2 = 0) แตเนองจากลกรอกหมนจงมพลงงานจลนของการหมนบวกเพมเขามา

K2 = mv2 + 2

................... (8-14)จากรป 8-8 โมเมนตความเฉอยของลกรอก

= MR2

จาก = R ความเรวเชงเสนของมวล m จะเทากบความเรวสมผสของลกรอกจากกฎการคงตวของพลงงาน จะได

K1 + U1 = K2 + U2

mgh + 0= mv2 + 2 + 0

mgh = mv2 + ( MR2)

= (m + M)v2

v =

วเคราะหโจทยถามวลของลกรอก M มากกวา m มาก ๆ v จะมคานอย ในทาง

กลบกน M นอยกวา m มาก ๆ v ของมวล m จะเกอบเทากบความเรวของการตกอยางอสระทระยะความสง h ดงนนโจทยทมรอกประกอบจากบททผานมา จงตองกำาหนดใหมวลของรอกนอยมาก เพอหลกเลยงผลของการหมนนนเอง

8-6 ว ธ ค ำา น ว ณ ห า โ ม เ ม น ต ความเฉอย________________________________

ฟสกสราชมงคล

192

= mi เปนสมการทหาโมเมนตความเฉอยในกรณทมวลเปนจด ดงตวอยาง 8-3 แตถามวลมรปทรงขนาดใหญ และเนอวตถกระจายอยางสมำาเสมอ จะตองใชวธการอนทกรลแทน โดยแบงมวลของวตถออกเปนชนเลก ๆ มคา dm อยหางจากแกนหมนเปนระยะ r โมเมนตความเฉอยของอนภาคเลกๆ นจะเปน

d = r2dmโมเมนตความเฉอยของวตถทงกอน

= ................... (8-15)ถา เปนความหนาแนนของวตถ และ dV เปนปรมาตรเลก

dm = dV แทนในสมการบน จะได =

การกระจายของมวลเปนเนอเดยวสมำาเสมอ ความหนาแนนจะคงท สามารถนำาอ อ ก น อ ก เ ค ร อ ง ห ม า ยอนทกรลได

= ................... (8-16)

dV คอปรมาตรเลก ๆ ของมวล dm จงมลกษณะเหมอนจด

ตวอยาง 8-6

รป 8-10 วธคำานวณหาโมเมนตความเฉอยของแทงกลมขนาดเลก สวนท

แรเงาคอ มวล dm เลก ๆ ทแบงในชวง dx

แทงกลมขนาดเลก มวล M ยาว เนอวตถกระจายสมำาเสมอ แกนหมนตงฉากกบจด O หางจากปลายแทงขางหนงเปนระยะ h แบงแทงกลมเปนชวงเลก ๆ dx หางจากจด O เปนระยะ x อตราสวนของมวลกอนเลก ๆ

ฟสกสราชมงคล

193

dm ตอมวลทงกอน M จะเทากบ อตราสวนของ dx กบความยาวทงหมด ดงน

=

dm =แทนคา dm ลงในสมการ (8-15) และอนทเกรตบนแกน x จาก -h ถง -h ดงน

0 ==

=

= M(2-3h+3h2)สมการบนทได สามารถหาโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนไดทก ๆ แกน ตวอยางเชน ถาแกนหมนอยทปลายแทงดานซาย, h = 0 จะได

= M2 ................... (8-17)แกนหมนอยทปลายแทงดานขวา , h = จะได

= M2

เทากนเพราะมวลมลกษณะสมมาตร ทงซายขวาถาแกนหมนผานจดศนยกลางมวล h = /2

I = M2 ................... (8-18)ตรงกบรป 8-8

ตวอยาง 8-7 ทรงกระบอกกลวง ยาว มเสนผาศนยกลางในและนอกเปน R1 และ R2 ตามลำาดบ ใหแกนหมนผานจดศนยกลางมวลของทรงกระบอก แบงปรมาตรของทรงกระบอกกลวงเปนเปลอกเลก ๆ dV หางจากแกนหมนเปนรศม r หนา dr ยาว (บรเวณแรเงาในรปภาพ) ปรมาตรของเปลอกเลก

ฟสกสราชมงคล

194

ๆ dV =2rdr มวลของเปลอกเลก ๆ dm = dV = 2rdr

หลกการคำานวณ

รป 8-11 วธคำานวณหาโมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกกลวง สวนทแรเงาคอปรมาตร

ของเปลอกเลก ๆ dV = 2 rdrแทนคา dm ในสมการ (8-15) และอนทเกรตในแนวรศมจาก R1 ถง R2

ดงน =

= 2

=

= ................... (8-19)ปรมาตรทงหมดของทรงกระบอก V = ( )มวลทงหมดของทรงกระบอก M = ( )แทน ( ) ดวย M ลงในสมการ (8-19) จะได

= ................... (8-20)

ฟสกสราชมงคล

195

r

dr

ถาเปนทรงกระบอกตน R1 = 0 ให R2 = R ดงนนตรงกบรป 8-8

โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกตน รศม R = .................... (8-21)

ตรงกบรป 8-8หรอถาเปนทรงกระบอกกลวงบาง R1 และ R2 เกอบจะเทากน ใหแทน R1 = R2 = R

= MR2 ตรงกบรป 8-8ขอสงเกต โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกไมวาจะกลวงหรอตน ไมขนอยกบความยาว ตวอยางเชน ทรงกระบอกททำาจากไมหรอทองเหลองมมวลเทากน ถามรศมนอก และในเทากน จะม เทากนดวย ถงแมวาจะมความยาวไมเทากนกตาม สรปไดวาโมเมนตความเฉอยขนอยกบการกระจายของมวลแนวรศมรอบแกนหมน ไมใชแนวเดยวกบแกนหมน

ตวอยาง 8-8

รป 8-12 วธคำานวณหาโมเมนตความเฉอยของทรงกลม ; สวนทแรเงาคอ ปรมาตรของจานหนา dx

ทรงกลมรศม R ใหแกนหมนผานจดศนยกลางมวลแบงปรมาตรของทรงกลมใหเปนรปจานหนา dx รศม r ดงรป 8-

12r =

ปรมาตรของจาน คอdV = r2dx = (R2 - x2)dx ;

มวลของจาน คอdm = dV

ฟสกสราชมงคล

196

จากรป 8-8 โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกตน รศม R =

นำามาใชกบจานได จากขอสงเกตในตวอยาง 8-7 ดงนน โมเมนตความเฉอยของจาน คอ

d =

อนทเกรต จาก O ถง R ไดดงน

=

หลงจากอนทเกรตจะได

=มวลทงหมดของทรงกลม

M = v = แทนลงในสมการบนจะได

= ตรงกบรป 8-8

ฟสกสราชมงคล

197

การทดลอง

การทดลองนเปนการหาโมเมนตความเฉอยโดยการหมนมวล  คณสามารถวางมวลบนกลางโตะ  หรอมมของโตะกยอมได     และทำาการทดลองหาความเรงของระบบ   เมอไดความเรงแลว  นำาไปหาโมเมนตความเฉอยไดจากสตร

m  =   มวลทใชแขวนในระบบ R = คอรศมของโตะหมน    ในหองทดลองเสมอนจรงน  R  =  0.25  เมตร เมอคำานวณหาโมเมนตความเฉอยไดแลว  ใหนำาคา 0.03 kg.m2 ซงกคอ

8-7 ท ฤ ษ ฎ แ ก นขนาน_____________________________________________

รป 8-8 เปนโมเมนตความเฉอยของวตถรปทรงตาง ๆ รอบแกนทผ า น จ ด ศ น ย ก ล า ง ม ว ลแทนดวย cm แตถาเราตองการหาโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนใหมทขนานกบแกนหมนเดมเปนระยะ d กสามารถคำานวณหาได โดยใชทฤษฎของสไตเนอร (steiner’s theorem) หรอทฤษฎแกนขนาน (parallel axis theorem) ซงเขยนเปนรปของสมการไดวา

= cm + Md2 ................... (8-22)

cm คอโมเมนตความเฉอยของวตถมวล M รอบแกนหมนทผานจดศนยกลางมวล

คอ โมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนซงขนานกบแกนทผานจดศนยกลางมวล

และหางเปนระยะ d

ฟสกสราชมงคล

198

P(Xcm + a, Ycm + b)(Xcm ,Ycm)

mi

b yidC

xi

a

Y

Ycm

Xo Xcm

รป 8-13 การพสจนทฤษฎแกนขนาน ถาทราบคาโมเมนตของความเฉอยทผานจด C กจะสามารถหาคาโมเมนตของความเฉอยทผานจด P ได

การพสจนหาความสมพนธของสมการ (8-22) เราจะกำาหนดใหจด C เปนจดศนยกลางมวลของวตถรปใด ๆ มพนทภาคตดขวางดงรป 8-13 มพกดท (xcm , ycm , zcm = 0) ใหแกนหมนทผานจด C มทศตงฉากกบระนาบของกระดาษและแกนหมนทจ ด P ซ งมแกนขนานกบแกนทผ านจดศนยกลางมวล P จะมจดพกดอยท (xcm+a ; ycm+b , zcm = 0) และระยะระหวางแกนทงสองมคา d ซงเทากบ อนภาคมวล mi อยหางจากจ ด C = และจ ด P = ค า โมเมนต ของความเฉอยรอบแกนทผานจด P มคาเทากน

= mi {(xi -a)2 + (yi - b)2}= mi - 2amixi - 2bmiyi + (a2

+ b2)mi

เนองจาก คา xcm และ ycm เปน 0 เพราะเปนจดศนยกลางมวล ดงนน mixi = xcmmi = 0 miyi = ycmmi = 0

= mi = cm + Md2

พสจนสมการ (8-22) ตามตองการ

ตวอยาง 8-9 จงหาโมเมนตความเฉอยของแทงกลม ใหแกนหมนอยทปลายแทง

หลกการคำานวณ จากรป 8-10 แกนหมนอยทปลายแทง = M2 ซงได

ม า จ า ก ก า ร อ น ท เ ก ร ต อ ย า ง ไ รกตามเราสามารถใชสมการ (8-22) ไดโดยไมตองผานการอนทเกรตกได

ฟสกสราชมงคล

199

จากรป 8-8 cm = และ d = แทนลงในสมการ (8-22) จะได

= + M =

ตวอยาง 8-10 จงหาโมเมนตความเฉอยของจานบางสมำาเสมอ แกนหมนอยในแนวตงฉากกบขอบจาน

หลกการคำานวณ cm = และ d = R ดงนน

= + MR2

=8-8 ทอรค______________________________________________________

ทอรค คอแรงทกระทำาใหวตถหมน ขนอยกบขนาดของแรงและตำาแหนงทแรงกระทำาตวอยางเชน มนงายกวากนมากทจะออกแรงผลกประตทลกบดมากกวาทบานพบ

รป 8-14 แรง F1 และ F2 กระทำาบนระนาบของวตถ ทำาใหวตถหมนไดรอบจด O

ในรป 8-14 แรง F1 ทำาใหวตถหมนรอบแกน O อตราการหมนจะขนอยกบขนาดของแรง F1 และระยะทตงฉากกบแรง 1 แตถา 1 = 0 วตถจะไมมการหมน ระยะ 1 เปรยบเทยบไดกบดามจบของประแจเราสามารถขนนอตดวยประแจทมดามยาวไดงายกวาดามทมขนาดสน ระยะ 1 จงมชอเรยกว า

ฟสกสราชมงคล

200

F1

แขนโมเมนตของ F1 ทศทางของแรง F1

แขนโมเมนตของ F2

ทศทางของแรง F2

A

OB

F2

12

แขนโมเมนตของแรง F1 และ F1 1 เรยกวา ทอรคหรอโมเมนตของแรงรอบจด O แทนดวยอกษรกรก (แกมมา)

= F ................... (8-23)

แขนของโมเมนต F1 คอ ระยะทลากจากจดหมนตงฉากกบแรง F1

แทนดวย 1 แขนของโมเมนต F2 คอ ระยะทลากจากจดหมนตงฉากกบแรง F2

แทนดวย 2

แรง F1 ทำาใหวตถหมนทวนเขมนาฬการอบจด O ขณะทแรง F2

ทำาใหวตถหมนตามเขมนาฬการอบจด O ถากำาหนดใหทอรคหมนทวนเขมเปนบวก และตามเขมเปนลบ ดงนน

1 = +F1 1 และ 2 = -F2 2

ถาแรงทกระทำาผานแกนหมน แขนของโมเมนตจะเปนศนย ทอรคกจะเปนศนยดวย หนวยของทอรคคอ นวตน-เมตร (Nm)

รป 8-15 = r F รปนทศทางของ ชลงไปในกระดาษ

แรง F สามารถแตกออกเปน 2 แนว คอ F1 ในแนวขนานกบ r และ F2 ในแนวตงฉากกบ r ; F1 = Fcos ไมเกดทอรค เพราะแขนโมเมนตผานจดหมน สวน F2 = F sin ทำาใหเกดทอรค ขนาดของ = rF2 = rFsin สามารถเขยนอยในรปของสมการทางเวกเตอรไดดงน

= r F ................... (8-24)

ฟสกสราชมงคล

201

FF1

r F2

O

r sin = ดงนน ขนาดของ เทากบ F จากรป 8-15 ทอรค ม ท ศ ช ล ง ไ ป ใ น ก ร ะ ด า ษ ซงเราสามารถหาไดจากกฎของมอขวา

8-9 ท อ ร ค แ ล ะ ค ว า ม เ ร งเชงมม______________________________________

ใหอนภาคมวล m อยหางจากแกนหมนเปนระยะ r แรงสทธทกระทำาตออนภาคเทากบ F แยกออกเปน 2 แรงคอ F ในแนวตงฉาก หรอรศม และ F สมผสกบเสนทางการเคลอนท

จากกฎขอทสองของนวตน จะได

F = ma ................... (8-25)

จากสมการ (8-10) a = r แทนลงในสมการ (8-25) คณสมการทง 2 ขางดวย r จะได

Fr = mr2 ................... (8-26)

Fr คอทอรค และ mr2 คอโมเมนตความเฉอยของอนภาค เขยนใหมไดเปน

= อนภาค

สมการบนเปนทอรคของอนภาคเพยงตวเดยว ถาตองการหา ของอ น ภ า ค ท ก ต ว บ น ว ต ถ กตองบวกทอรคของแตละอนภาค ซ งแตละอนภาคทอยในวตถแขงเกรงเ ด ย ว ก น จ ะ ม ค ว า ม เ ร ง เ ช ง ม ม เทากนหมด ดงนนทอรครวมจะไดวา

= วตถ ................... (8-27)

คอ ทอรครวมทเกดจากแรงกระทำาจากภายนอก สวนทอรคทเ ก ด จ า ก แ ร ง ภ า ย ใ น จ ะหกลางกนหมด เพราะเปนแรงคกรยาและปฏกรยา สมการ (8-27) ใชสำาหรบ

ฟสกสราชมงคล

202

ก ร ณ ข อ ง ก า ร ห ม น ซ ง ท จ ร งกมาจากกฎขอทสองของนวตน F = ma รปลกษณะของสมการจงคลาย ๆ กน

ตวอยาง 8-11 ลกกลงมวล 50 kg รศม 0.1 m หมนรอบแกนไดโดยไ ม ม ค ว า ม ฝ ด พ น เ ช อ ก ร อ บลกกลงทรงกระบอกตน จงหาความเรงเชงมม เมอดงปลายเชอกดวยแรงคงท 20 Nหลกการคำานวณ = (20 N)(0.1 m)

= 2.0 Nmความเรงเชงมม =

= = 8 rads-2

ตวอยาง 8-12 จงหาความเรงของมวล m และความเรงเชงมมของลกกลง

รป 8-16 แผนภาพแทนแรงของตวอยาง 8-12

ฟสกสราชมงคล

203

การทดลอง

การทดลองเรองทอรค  กดทรปภาพหรอทนเพอเขาสการทดลอง

หลกการคำานวณ เขยนแผนภาพแทนแรงของวตถทงสองอสระ

จากกน ดงรป 8-16จากกฎขอทสอง

mg – T = ma จากสมการ (8-27) จะได

RT = ลกกลง =

ความเรวลงของมวลจะเทากบความเรวแนวเสนสมผสของลกกล ง เชนเดยวกน ความเรงของมวล m กจะเทากบ ความเรงแนวเสนสมผสของลกกลง จากสมการ (8-10) จะได a = R แทนลงไปในสมการทสอง จะได

RT = MRa , T = Ma แทนลงไปในสมการแรกจะได

mg - Ma = ma

a =

=

ขอสงเกต แรงตง T จะไมเทากบนำาหนก mg และความเรง a กนอยกวา g แตถา M = 0 , T = 0 และ a = g มวล m จะตกลงมาแบบอสระ

มวล m เรมตกจากทระดบความสง h ความเรว v หาไดจากสมการ = 2ah

กรณน ความเรวตน v0 = 0 จะได

v =

ฟสกสราชมงคล

204

=

เทากบตวอยางท 8-5

ตวอยาง 8-13 มวล m1 คลองผานรอกผกตดเขากบมวล m2 ทำาใหมวล m1 ไถลไปบนพนทไมมแรงเสยดทาน กำาหนดใหรอกทำาจากทรงกระบอกกลวงบางมมวล M รศม R ขณะหมนเชอกไมไถล จงหาความเรงของมวลแตละกอน ความเรงเชงมมของรอก และความตงของเสนเชอก

หลกกา

หลกการคำานวณรป 8-17 (b) ใสแรงทกแรง ตงแกนพกดและกำาหนดทศทางบน

มวลแตละกอนใหครบ สงเกตวา T1 และ T2 ไมเทากน แมจะเปนเสนเชอกเสนเดยวกน เหตผลเนองจากรอกมมวล

จากกฎขอทสอง สมการการเคลอนทบนมวล m1 และ m2

T1 = m1a1 .................. (8-28)

และ m2g - T2 = m2a2

.................. (8-29)

แรงปฏกรยา N2 กระทำาผานจดศนยกลางมวลของรอก ดงนน จงไมม ท อ ร ค เ ก ด ข น ส ม ก า รการเคลอนทแบบหมนบนรอกกคอ

T2R - T1 R = = (MR2).................. (8-30)

เพราะเชอกไมลนไถล ดงนน

ฟสกสราชมงคล

205

รป 8-17 (a) ระบบในตวอยาง 8-13

a1 = a2 = R................... (8-31)

แทนลงในสมการ (8-30) จะได T2R - T1R = MRa1

จ า ก ส ม ก า ร (8-29) แ ล ะ (8-30)

จากสมการทง 3 มตวแปร 3 ตว จ ำานวนสมการเทากบจ ำานวนตวแปรจงสามารถแกสมการหา T1 , T2 และ a1 ไดดงน

a1 =

แทนคากลบลงไปในสมการ (8-28) และ (8-29) จะได

T1 =

T2 =

วเคราะหโจทยถามวล m1 หรอ M มวลใดมวลหนงมากกวา m2 มาก ๆ ความเรง

จะมค านอย และ T2 กจะมขนาดเกอบเทา m2g ในทางกลบกนถา m2

มากกวา m1 หรอ M มวลใดมวลหนงมาก ๆ ความเรงของ m2 เกอบจะเทากบ g หรอเหมอนกบการตกแบบอสระ

8-10 ง า น แ ล ะ ก ำา ล ง ข อ ง ก า รหมน___________________________________

ฟสกสราชมงคล

206

รป 8-18 งานของลกกลงทเกดจากการกระทำาของแรง F

แรง F ทำาใหลกกลงรศม R เคลอนทไดระยะกระจดเชงมม ถามมนมขนาดเลกมาก ๆ แรงจะคงทในชวงเวลาสน ๆ งานททำาโดยแรง F คอ

dW = Fdsแต ds = Rd ดงนน

dW = FRdFR คอทอรค ( ) แทนลงไปเราจะได

dW = d ................... (8-32)

ใหทอรคคงทระหวางทลกกลงหมนจาก 1 ไป 2 จะไดW = (2 - 1) =

................... (8-33)

สรปไดวา งานททำาโดยทอรคคงทจะเทากบผลคณของทอรคกบระยะกระจดเชงมม

ทอรค มหนวยเปน Nm

แรงในรป 8-18 ถาเปนแรงในแนวสมผส จะทำาใหเกดงานได แตถาเปนแรงในแนวรศมจะไมมงานและทอรค เพราะไมมระยะกระจดและแขนของโมเมนตในแนวรศม

จากสมการ (8-32) หารสมการทง 2 ขางดวย dt จะได

=

คออตราการทำางาน หรอกำาลง (P)

คอความเรวเชงมม () ดงนนP = ...................

(8-34)

ฟสกสราชมงคล

207

เปนสตรสำาหรบการเคลอนทแบบวงกลม เปรยบไดกบ P = Fv ซงเ ป น ก ร ณ ก า ร เ ค ล อ น ท แบบเชงเสนตวอยาง 8-14 เพลาของเคร องยนตหมนดวยความเรว 3,600 rpm ขณะสงกำาลง 80 hp ไปยงลอหลง จงคำานวณหาทอรคหลกการคำานวณ

=

= 120. rads-1

80hp = (80hp)(746 Whp-1) = 59,700 W

แทนลงในสมการ(8-34) = P/= 59700 W/120 rads-1

= 158 Nm

ตวอยาง 8-15 มอเตอรไฟฟาขบหนเจยรโดยใหทอรค 10 N.m โมเมนตความเฉอยของใบเจยร = 2 kg.m2 ถาเร มหมนจากหยดนง จงหางาน พลงงานจลน และกำาลงเฉลยของมอเตอรหลงจากหมนไปได 8 วนาทหลกการคำานวณ

จาก = คำานวณหาความเรงเชงมมไดเทากบ 5 s-2

ความเรวเชงมมหลงจาก 8 s หาจาก = t = (5s-2)(8s)

= 40 s-1

พลงงานจลนของการหมน K= 2

= (2 kgm2)(40 s-1)2 = 1,600 Jระยะกระจดเชงมมเมอหมนไปได 8 s คอ

= t2 = (5s-2)(8s)2 = 160 rad งานของมอเตอรคอ W =

ฟสกสราชมงคล

208

= (10 Nm) (160 rad)= 1,600 J

กำาลงเฉลย Pav == 200 Js-1

= 200 Wขอสงเกต ใชสมการ P = ไมไดเนองเพราะ ไมคงท

อยางไรกตาม สามารถคำานวณหางานทงหมดได โดยวธการอนทเกรต กำาลง P จาก 0 ถง 8 s ดงน

W =

=

=

=

= 1,600 Jกำาลงชวขณะ ณ เวลา 8s คอ = (10 Nm)(40 s-1) =

400 Wเนองเพราะความเรวเชงมมเพมขนเปนเชงเสน ดงนน กำาลงเฉลย

เ ป น ค ร ง ห น ง ข อ ง ค า ส ง ส ด

= = 200 W

ฟสกสราชมงคล

209

วดโอเพอการศกษา

ไจโรสโคป  มคณสมบตชไปในทศทางเดยวตลอดเวลา  โดยไมตองคำานงถงตำาแหนงของฐานวาจะเอยงไปอยางไร   ในวดโอมการทดลองใหเหนอยางชดเจน  บนกระสวยอวกาศ

8-11 แ ก น ห ม นค ง ท ______________________________________________

ถาแกนหมนไมไดหยดนงอยกบท เพราะมการเลอนตำาแหนงและหมนไปพรอม ๆ กนตวอยางเชน ลกบอลไหลลงมาตามพนเอยงโดยไมไถล เปนตน

การเคลอนทในลกษณะน พลงงานจลนทงหมดของวตถจะเทากบพลงงานจลนเลอนตำาแหนงบวกกบพลงงานจลนของการหมน กำาหนดใหมวล M กลงไปดวยความเรว v และหมนดวยความเรวเชงมม พลงงานจลนทงหมด

K = Mv2 + c2

c คอ โมเมนตของความเฉอยของทรงกระบอกรอบแกนหมนผานจดศนยกลางมวล

ตวอยาง 8-16 พนเชอกรอบทรงกระบอกหลายรอบ ยดปลายเชอกไว ปลอยใหทรงกระบอกตกลงมา จงหาความเรงและความตงในเสนเชอกของทรงกระบอก

รป 8-19 ปลอยใหทรงกระบอกตกลงมา โดยจบปลายเชอกไวดานหนง

หลกการคำานวณจากกฎขอท 2 (เคลอนยายตำาแหนง) F = ma

Mg - T = Ma................... (8-35)

ฟสกสราชมงคล

210

สมการการหมน =

TR = = (MR2)................... (8-36)ถาเชอกไมลนไถลขณะคลายตวออก ความเรงเชงเสน

a = R ................... (8-37)

แทน = ลงไปในสมการ (8-36) แกสมการหา a และ T ได

ดงน

a =

T =

ตวอยาง 8-17 โบวลงลกหนงกำาลงกลงลงมาโดยไมมการลนไถลบนพนเอยงทำามม กบระดบ จงหาความเรงของลกโบวลงตามแนวพนเอยง

รป 8-20 แผนภาพแทนแรงของลกโบวลงขณะทกำาลงกลงลงมาบนพนเอยง

หลกการคำานวณจากกฎขอท 2 mg sin -f = maจากสมการการหมน

fR = =

ถาลกโบวลงไมลนไถล จาก a = R แทน = a/R ลงในสมการบน แกสมการหา a และ f ไดดงน

a = g sin

ฟสกสราชมงคล

211

f = mg sin

วเคราะหโจทย ความเรงทคำานวณไดเทยบไดกบ เทาของมวลทไถลลงบนพน

เอยง ทำามม กบระดบโดยทไมมแรงเสยดทาน ถงกระนนทบอลกลงไดโดยไมลนไถลกเพราะพนมแรงเสยดทาน และสมประสทธความเสยดทาน (s) จะตอง

มคาเทากบ เปนอยางนอย ดงนนถาพนเอยงมาก

s กจะตองมากตามเพอปองกนการลนไถล

8-12 โมเมนตมและการดลเชงมม___________________________________

รป 8-21 โมเมนตมเชงมม

พจารณามวล m เคลอนทบนระนาบดวยความเรว v รอบแกนหมน O มโมเมนตมเชงเสน = mv เราจะนยามโมเมนตมเชงมม L ของอนภาค รอบแกนหมน O มทศทางตงฉากกบระนาบ เปนผลจากการคณของโมเมนตมเชงเสนกบระยะจากแกนหมนตงฉากกบเสนทางการเคลอนทของอนภาค

โมเมนตมเชงมม = L = mvr ................... (8-38) ในทำานองเดยวกบทอรค อาจเรยกโมเมนตมเชงมมวา เปน

โมเมนตของโมเมนตมเชงเสน

ฟสกสราชมงคล

212

ใหอนภาคมวล m ภายในกอนวตถกำาลงหมนรอบจด O ดงรป 8-21b ดวยความเรวเชงเสน v ซงความเรวเชงเสนมความสมพนธกบความเรวเชงมม ดงน v = r แทนคาลงไปในสมการ (8-38) จะได

L = mr2 เปนโมเมนตมเชงมมของอนภาคเดยว

จะหาโมเมนตมเชงมมของอนภาคทงหมดไดจากผลรวมของอนภาคทงหมดในวตถ แตอนภาคภายในวตถกอนเดยวกน จะม เทากน จงแยก ออกเปนตวรวมได

mr2 = mr2

mr2 คอโมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนหมน ( ) จะไดL = เ ป น โ ม เ ม น ต ม เ ช ง ม ม ข อ ง ว ต ถ

................... (8-39)

เมอเทยบกบโมเมนตมเชงเสน P = mv มสวนคลายกน มคาเปนบวกเสมอ ดงนน L จะมทศทางเดยวกบ ทอรคคงทกระทำาบนวตถทมโมเมนตความเฉอย ในชวงเวลา t1 ถง

t2 ทำาใหความเรวเชงมมเปลยนจาก 1 ไปเปน 2 จะได

= =จดรปสมการใหม

(t2 - t1) = 2 - 1 = L2 - L1 = L................... (8-40)

ทอรคคณกบเวลาเรยกวา การดลเชงมม แทนดวยสญลกษณ Jการดลเชงมม = J = (t2 - t1) ...................

(8-41)การดลเชงมม คอการเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงมมในกรณททอรคไมคงท

J = ...................

(8-42)

ฟสกสราชมงคล

213

จากสมการ (8-40) สรปความสมพนธไดดงน

J = 2 - 1 = L2 - L1................... (8-43)

จากสมการ (8-39) สามารถเขยนอยในรปของสมการอนพนธ

= = เทยบกบสมการ (8-27)

= ................... (8-44)

รป 8-22 อธบายโมเมนตมเชงมมในรปของเวกเตอร

L = r p = r mv................... (8-45)

r เปนเวกเตอรบอกตำาแหนงของอนภาคเทยบกบจด OL เปนเวกเตอรตงฉากกบระนาบของรป มขนาดเทากบ mvr

8-13 ก า ร ค ง ต ว ข อ ง โ ม เ ม น ต มเชงมม________________________________

ฟสกสราชมงคล

214

L = r x

รป 8-23 การดลเชงมมของจานหมนแตละใบ คอการเปลยนแปลงของ

โมเมนตม

จานหมน 2 ใบดงรป 8-23 มโมเมนตความเฉอย และ และมความเรวเชงมมเรมตน 0 และ 0 ตามลำาดบ ประกบจานทงสองเขาหากนดวยแรงในแนวระดบ แรงนจะไมทำาใหเกดทอรค เพราะวาอยแกนเดยวกนกบแกนหมน รอสกครจานทงสองจะมความเรวเชงมมเทากบ

ขณะทจานประกบกน จานใบใหญใหทอรค กบจานใบเลก สวนจานใ บ เ ล ก ก จ ะ ใ ห ก บจานใบใหญ หลงจากทจานมความเรวเชงมมรวมกน ทอรครวมเปนศนย ซงกเปนไปตามกฎขอทสามของนวตน เหตผลกเพราะวา เปนแรงกรยาและคกรยา กระทำาทจดเดยวกน มขนาดเทากนแตทศทางตรงกนขามกน ดงนน ทอรคของจานใบใหญจะเทากบทอรคของจานใบเลก แตทศทางแตกตางกน = - หรอเขยนอยในรปของการดลเชงมม J = - J

จากสมการ (8-43) J = - 0J = - 0

เพราะ J = - J ดงนน - 0 = -( - 0)จดรปใหม 0 + 0 = (+) ................... (8-46)ขางซายของสมการ (8-46) เปนโมเมนตมเชงมมรวมกอนประกบ

จาน สวนสมการดานขวาเปนโมเมนตมเชงมมรวมหลงประกบจาน ไมมทอรค

ฟสกสราชมงคล

215

ภายนอกมากระทำากบระบบ สามารถสรปไดวา ถาไมมทอรคภายนอกกระทำากบระบบหรอทอรคสทธของระบบเปนศนย โมเมนตมเชงมมของระบบจะคงท เราเรยกวา กฎการคงตวของโมเมนตมเชงมม

รป 8-24 พสจนกฎการคงตวของโมเมนตมเชงมม

รป 8-24 นกกายกรรมปลอยมอจากเชอก ตลงกากลางอากาศ ขาและแขนของเขาเหยยดตรง ถาขณะนนเขาหดตวลงโดยยอเขาและมอ ทำาใหโมเมนตความเฉอยรอบจดหมนของตวเขาลดลง เมอระบบไมมทอรคกระทำาจากภายนอก โมเมนตมเชงมมของระบบจะคงท และความเรวเชงมมจะเพมขน นนคอนกกายกรรมจะหมนตวกลางอากาศไดเรวขน

ตวอยาง 8-18 จากรป 8-23 กำาหนดใหจานใบแรกมมวล 2 kg มรศม 0.2 m ค ว า ม เ ร ว เ ช ง ม ม

ฟสกสราชมงคล

216

วดโอเพอการศกษา

การทดลองกฎการคงตวของโมเมนตมเชงมมบนเกาอหมน   คลกครบ

เร มตน 50 rads-1 จานใบทสองมมวล 4 kg มรศม 0.1 m ความเรวเชงมมเรมตน 200 rads-1 จงหาความเรวเชงมมสดทายหลงจากจานประกบกน อยากจะทราบวาพลงงานจลนของระบบอนรกษหรอไมหลกการคำานวณ

โมเมนตความเฉอยของจานใบแรก = (2 kg)(0.2 m)2 = 0.04 kgm2

โมเมนตความเฉอยของจานใบทสอง = (4 kg)(0.1 m)2 = 0.02 kgm2

จากกฎการคงตวของโมเมนตมเชงมม จะได(0.04 kgm2)(50 rads-1) + (0.02 kgm2)(200

rads-1)= (0.04 kgm2 + 0.02

kgm2) = 100 rads-1

พลงงานจลนเรมตนกอนประกบ

K0 = (0.04 kgm2)(50 rads-1)2 + (0.02 kgm2)(200 rads-1)2

= 450 Jพลงงานจลนสดทายหลงประกบ

K = (0.04 kgm2 + 0.02 kgm2)(100 rads-1)2

= 300 Jขอสงเกต พลงงานจลนสญเสยไป 150 J ระหวางการประกบ สรปไดวาพลงงานจลนอาจจะไมคงท ถงแมวาไมมแรงและทอรคจากภายนอกมากระทำากบระบบ

ตวอยาง 8-19 นกกลามหนงามคนหนงนงอยบนจดศนยกลางของเกาอหมน กางแขนออกไปในแนวระดบมอแตละขางถอมวล 5 kg เกาอหมน 1 รอบในเวลา 2 วนาท จงหาความเรวเชงมมเมอเขาหบแขนเขาหาตว กำาหนดใหนกกลามผนมโมเมนตความเฉอยเทากบ 6 kg.m2 ระยะวดจากนำาหนกถงแกนหมนขณะเหยยดแขนคอ 1 m และหบแขนคอ 0.2 mหลกการคำานวณ

ฟสกสราชมงคล

217

รป 8-25ถาเกาอหมนไมมแรงเสยดทาน ทอรคจากภายนอกระบบไมมจะเปน

ศนยโมเมนตมเชงมมคงตวหรออนรกษ นนคอ โมเมนตมเชงมมเรมตน = โมเมนตมเชงมมสดทาย

ii = ffi และ i คอโมเมนตความเฉอย และความเรวเชงมมเรมตนf และ f คอโมเมนตความเฉอยและความเรวเชงมมสดทายโมเมนตความเฉอยรวม

= คน + นำาหนก

i = 6 kgm2 + 2(5 kg)(1.0 m)2

= 16 kgm2

f = 6 kgm2 + 2(5 kg)(0.2 m)2

= 6.4 kgm2

i = 2 ( rads-1)

f =

= rads-1 = 2.5 rads-1 = 7.85 rads-1

ความเรวเชงมมสดทายมากกวาเรมตน

พลงงานจลนเรมตน K0 = (16 kgm2)( rads-1)2

= 79 Jพลงงานจลนสดทาย K = (6.4 kg.m2)

(2.5 rads-1)2

ฟสกสราชมงคล

218

= 197 J

คำาถาม พลงงานจลนสดทายมากกวาเรมตนถกตองหรอไมตวอยาง 8-20 ประตกวาง 1 m มวล 1.5 kg หมนไปมารอบบานพบโดยไมมแรงเสยดทาน ยงลกปนมวล 10 กรม ดวยความเรว 400 ms-1 ตงฉากกบบานประต ฝงเขาไปบรเวณจดกงกลางของประต จงหาความเรวของประตหลงจากถกยง อยากทราบวาพลงงานจลนของระบบอนรกษหรอไมหลกการคำานวณ

โมเมนตมเชงมมเรมตนL = mvr

= (0.01 kg)(400 ms-1)(0.5 m)= 2.0 kgm2s-1

โมเมนตมเชงมมสดทาย รวม โดยท รวม = ประต + ลกปน

ประต =

== 5.0 kgm2

ลกปน = mr2

= (0.01 kg)(0.5 m)2

= 0.0025 kgm2

ไมมทอรคกระทำาจากภายนอก ดงนน โมเมนตมเชงมมของระบบคงท

mvr = รวม 2.0 kgm2s-1 = (5.0 kgm2 + 0.0025

kgm2) = 0.4 rads-1

ลกปนฝงลงไปในบานประต ลกษณะแบบนพลงงานจะไมอนรกษ

พลงงานจลนเรมตน Ki = mv2

= (0.01 kg)(400 ms-1)2

= 800 Jพลงงานจลนสดทาย Kf = 2

ฟสกสราชมงคล

219

= (5.0025 kgm2)(0.4 rads-

1)2 = 0.4 J

8-14 เ ว ก เ ต อ ร เชงมม_____________________________________________

รป 8-26 เวกเตอรทศทางของความเรวเชงมม

รป 8-27 เวกเตอร L คอการเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงมมในชวงเวลา t เนองจาก

ฟสกสราชมงคล

220

ทศทางการ

มทอรคซงเกดจากนำาหนกมากระทำากบระบบ ; เวกเตอร L มทศเดยวกบ

ความเรวเชงมม โมเมนตมเชงมม และทอรค ปรมาณเหลานสามารถแ ส ด ง ด ว ย ส ญ ล ก ษ ณ เวกเตอร สวนทศทางหาไดจากกฎของมอขวา ตวอยางเชน ถาตองการทราบทศทางของความเรวเชงมมกใหใชมอขวาหรอสกร กำารอบแกนหมน หมนมอตามทศทางการหมน นวโปงและสกรจะชไปในทศทางของ

ไจโรสโคป ดงรป 8-27 สามารถหมนรอบแกนหมน O ไดอยางอสระ แรงทกระทำาบนไจโรสโคป มอยเพยงแรงเดยว คอ นำาหนกของลกขาง w มทศลงทจดศนยกลางมวลของไจโรสโคป ทอรค จากนำาหนก w มทศทางตามรป ขณะทลกขางหมน(วธจะทำาใหลกขางหมน ใหพนเชอกบนแกนของลกขางหลาย ๆ รอบ ดงลง ลกขางกจะหมนดวยความเรวเชงมม ) ไจโรสโคบจะมโมเมนตมเชงมมเร มต น L = ทอรคสทธจะท ำา ใหโมเมนตมเชงมม

เปลยนแปลงไป (L) และทำาใหไจโรหมนไปเปนมม ดงสมการ = การเคลอนทของลกขางรอบแกน O เรยกวา การควง (precession)

เรยกวา ความเรวเชงมมของการควง ใชสญลกษณ (โอเม

กา) แทน

= = = = ................... (8-47)

ความเรวเชงมมของการควง เปนสดสวนกลบกบความเรวเชงมมของลกขาง ถาลกขางหมนเรว การควงจะชา แตถาลกขางหมนชาการควงจะเรว อยางไรกตามถาลกขางไมหมน กไมมโมเมนตมเชงมม L ตงแตเรมตนแลว ไจโรสโคปกจะไมมการควง

ตวอยาง 8-21 จากรป 8-27 ลกขางหมนรอบตวเองในทศทางทวนเขมนาฬกา ดวยอตราเรว 30 รอบตอวนาท มวลของลกขาง 0.5 kg ม โมเมนตความเฉอย = 5 10-4 kgm2 จดศนยกลางมวลของลกขางหางจากจดหมน 4 cm จงคำานวณหาความเรวเชงมมของการควงหลกการคำานวณ จากสมการ (8-47)

ฟสกสราชมงคล

221

= =

=

= 2.1 rads-1

ตามกฎมอขวา จะมทศทวนเขมนาฬกา เมอมองจากดานบน

ฟสกสราชมงคล

222

บรรยายลงในกระดานฟสกส

เมอไมมแรงบดหรอทอรคกระทำาจา กภายนอก โมเมนตมเชงมมทงขนาด และทศทางจ ะคงท ดงเชน เขมทศไจโร สโคปทหมนอยในเรอ   ถ าไมมทอรค ภายนอกไปกระท ำามนจะ ไม เปล ยนทศทาง แมวาเรอลำานนจะเคลอนทรอบ โลกไปทใดกตามด งรป เขมทศไจโรจง นำาไปใชในระบบนำา รอง ปจจบนมระบบ คอมพวเตอรในการคำานวณ ดงนนเมอเรอเปลยนตำาแหนงไป คอมพวเตอรจะคำานวณเทยบกบตำาแหนงของเขมทศไจโ ร พ ร อ ม ไ ป ก บ ข อ ม ล จ า ก ต ว ว ด

แบบฝกหดเรองการหมน

1. ก) จงหามมในหนวยเรเดยนทสวนโคงยาว 1.50 m บนเสนรอบวงของวงกลมรศม 2.50 m รองรบทจดศนยกลาง มมนมคาเทาใดในหนวยองศา [ ตอบ 0.600 rad = 34.4 องศา ]ข) สวนโคงยาว 14.0 cm บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนงรองรบมม 128 องศา ทจดศนยกลาง วงกลมนมรศมเทาใด [ ตอบ 6.27 cm ]ค) มมระหวางเสนรศมสองเสนของวงกลมรศม 1.50 m มคาเทากบ 0.700 rad จงหาความยาวของสวนโคงบนเสนรอบวงของวงกลมระหวางตำาแหนงทเสนรศมสองเสนนตดกบเสนรอบวง [ ตอบ 1.05 m ]

2. มม ทลอรถจกรยานลอหนงหมนไปมคา โดยท , และ เปนคาคงตวบวกททำาให มหนวยเปนเรเดยนเมอเวลา มหนวยเปนวนาท

ก) จงคำานวณความเรงเชงมมลอในรปของฟงกชนของเวลา [ ตอบ ]

ข) ทเวลาใดความเรวเชงมมของลอมคาไมเปลยนแปลงชวขณะ [ ตอบ ]

3. ลอจกรยานลอหนงกำาลงถกทดสอบทรานซอม ความเรวเชงมมของลอมคา 4.00 rad/s ทเวลา

ฟสกสราชมงคล

223

ทดสอบกอนและหลง

วธทำา ให ใสชอ  สกล  เลอกวชาทสอบ และจำานวนขอ แตตองไมเกนจากทกำาหนดไว เชน กำาหนดไว 10  ขอ เวลาเลอกจำานวนขอ  ให

เลอก  5  และ  10 ขอไมเกนจากน เปนตน เมอทำาเสรจสามารถดคะแนนจากรายละเอยดผทำาขอสอบไดทนท

เรอง การหมน

แบบฝกหดทายบทพรอม

แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลย คลกครบ

t = 0 และ ความเรงเชงมมของลอมคาคงตว -1.20 rad/s2 ซลอ OP ซ หนงของลอทบซอนกบแกน +x ท t = 0 ดงรป

ก) ความเรวเชงมมของลอท t = 3.00 s มคาเทาใด [ ตอบ 0.40 rad/s ]ข) ซลอ OP ทำามมเทาใดกบแกน +x ทเวลาน

[ ตอบ 6.60 rad ]

4. ใบมดปนอาหารเครองหนงหมนดวยความเรงเชงมมคงตว 1.50 rad/s2 ก) ถาใบมดเรมหมนจากหยดนง นานเทาใดใบมดจงจะมความเรวเชงมม

36.0 rad/s [ ตอบ 24.0 s]ข) ใบมดหมนไปไดกรอบในชวงเวลาน [ ตอบ 68.8 รอบ ]

5. ท t = 0 ลอฝนมดลอหนงมความเรวเชงมม 24.0 rad/s ลอฝนมดมความเรงเชงมมคงตว 30.0 rad/s2 จนกระทงอปกรณตดไฟทำางานท t = 2.00 s จากนนลอหมนทอตราเรงเชงมมคงตวไปเปนมม 432 rad เมอหยด

ก) ลอหมนไปเปนมมทงหมดเทาใดในระหวาง t = 0 จนกระทงหยด [ ตอบ 540 rad ]

ข) ลอหยดหมนทเวลาเทาใด [ ตอบ 12.3 s ]ค) ความเรงในขณะทลอหมนชาลงมคาเทาใด [ ตอบ -8.17 rad/s2 ]

6. ลอๆ หนงหมนดวยความเรวเชงมมคงตวท 6.00 rad/s ก) จงหาความเรงในแนวรศมของจดๆ หนงซงอยหาง 0.500 m จาก

แกนโดยใชความสมพนธ [ ตอบ = 18.0 m/s2 ]ข) จงหาอตราเรวในแนวเสนสมผสของจดนและคำานวณหาความเรงใน

แนวรศมจากความสมพนธ [ ตอบ = 3.00 m/s, = 18.0 m/s2 ]

7. ลกกลมมวล 1 kg กลงไปบนพนราบดวยความเรว 20 m/s แลวเคลอนทขนไปบนพนเอยงซงทำามม 30 องศา กบแนวระดบ

ก) พลงงานจลนทงหมดของลกกลมเปนเทาใดขณะอยบนพนราบ [ ตอบ 280 J ]

ข) ลกกลมจะขนไปบนพนเอยงไดไกลเทาใด [ ตอบ 57.2 m ]

ฟสกสราชมงคล

224

8. ไมเมตรอนหนงมมวล m ยาว ตงตรงบนพนดวยปลายขางหนง ถาปลอยใหไมเมตรนลมลงมาโดยใหถอวาปลายไมทแตะพนคงอยทตำาแหนง

เดม ไมจะฟาดพนดวยอตราเรวเชงมมเทาใด [ ตอบ ]9. ไมคทาทอนหนงทำาจากทรงกระบอกโลหะเรยวมวล M และยาว L ทปลาย

แตละขางมปลอกยางมวล m สวมอย และแตละปลอกสามารถมองไดวาเปนอนภาคในปญหาขอน จงหาโมเมนตความเฉอยทงหมดของไมคทารอบแกนหมนโดยปกต (ตงฉากกบไมคทาผานจดกงกลางของไม) [ ตอบ ]

10. ทรงกลมเหลก 4 ลก แตละลกมองวาเปนจดมวล 0.200 kg ได วางทรงกลมทงสเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 0.400 m และตอกนดวยแทงเบา ดงรป จงหาโมเมนตความเฉอยของระบบรอบแกน

ก) ทผานจดศนยกลางของสเหลยมจตรสและตงฉากกบระนาบสเหลยม (แกนทผานจด O ในรป)

ข) ทแบงครงดานตรงขามสองดานของสเหลยมจตรส (แกนตามเสน AB ในรป)

ค) ทผานจดศนยกลางของทรงกลมทดานบนซายและดานลางขวาและผานจด O

11. สวนหนงของขอตอช นหนง ด งรป มมวล 3.6 kg เราวดโมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนทอยหาง 0.15 m จากจดศนยกลางมวลของวตถได IP = 0.132 kg.m2

โมเมนตความเฉอย Icm ของวตถรอบแกน ขนานทผานจดศนยกลางมวลของวตถมคาเทาใด [ ตอบ 0.051 kg.m2

]

ฟสกสราชมงคล

225

12. จากรป แทงไมบางสมำาเสมอมวล M ยาว L แทงนอาจเปนไมคทาทคนนำาขบวนแหถอ (ไมมปลอกยางทปลายสองขาง) จงคำานวณหาโมเมนตความเฉอยของแทงนรอบแกนผาน O ทระยะหาง h ใดๆ จากปลายดาน

หนง [ ตอบ M(L2 – 3Lh + 3h2) ]

13. ชางประปาคนหนงไมสามารถหมนเกลยวขอตอออกได กเลยเอาเศษทอเกา (“ตวโกง”) สวมไปบนมอจบประแจของเขา แลวเขากใชน ำาหนกตวทงหมดของเขา 900 N ทำาตอปลายของตวโกงโดยการยนบนตวโกง ระยะจากจดศนยกลางของขอตอไปยงจดทนำาหนกกระทำาคอ 0.80 m และมอจบประแจและตวโกงทำามม 19 องศา กบแนวระดบ ดงรป จงหาขนาดและทศของทอรคทเขากระทำาตอขอตอทอ [ ตอบ 680 N.m มทศพงเขาไปในระนาบของรป ]

14. เปลอกทรงกระบอกมวล M และรศม R กลงโดยไมไถลดวยอตราเรว vcm บนผวเรยบแบน พลงงานจลนของวตถมคาเทาใด [ ตอบ Mvcm

2 ]15. โฆษณาชนหนงอางวากำาลงจายออกของเคร องรถยนตคนหนงมคา

เทากบ 200 hp ท 6000 rpm ทอรค ขณะนนมคาเทาใด

ฟสกสราชมงคล

226

16. พดลมกงหนในเครองยนตไอพนเครองหนง ดงรป มโมเมนตความเฉอยขนาด 2.5 kg.m2 รอบแกนหมนของเคร อง ในขณะทกงหนเร มหมน ความเรวเชงมมของกงหนในรปฟงกชนของเวลาคอ

= (400 rad/s3)t2

ก) จงหาโมเมนตมเชงมมของใบพดในรปของฟงกชนของเวลา และใหหาคาของโมเมนตมเชงมมนทเวลา t = 3.0 s [ ตอบ 9000 kg.m2/s ]

ข) จงหาทอรคสทธทกระทำาตอใบพดในรปฟงกชนของเวลา และจงหาทอรคทเวลา t = 3.0 s [ ตอบ 6000 N.m ]

17. ประตกวาง 1.0 m มวล 15 kg ตดบานพบทดานหนงทำาใหสามารถหมนโดยไมมความเสยดทานรอบแกนดง ประตนไมไดใสกลอนไว ตำารวจนายหนงยงลกปนมวล 10 g และอตราเรว 400 m/s เขาไปทตรงกลางประตพอดในทศตงฉากกบระนาบของประต จงหาอตราเรวเชงมมของประตหลงจากทลกปนฝงเขาไปในประตพอด พลงงานจลนมคาคงตวหรอไม [ ตอบ 0.40 rad/s พลงงานจลนสดทายมคาเพยง 1/2000 ของคาเดม ]

18. ชายคนหนงยนอยกลางแปนหมน มอทงสองถอกอนนำาหนกมอละ 2 kg และเหยยดแขนตรงใหกอนนำาหนกหางแกนหมน 1 m และหมนแปนนนดวยอตรา 6 รอบ/นาท โมเมนตความเฉอยเมอเขายนมอเปลารอบแกนหมนเทากบ 10 kg/m2 ถาเขาหดแขนเขามากอนนำาหนกทงสองหางแกนหมน 0.2 m เขาจะหมนในอตรากรอบ/นาท [ ตอบ 8.3 รอบ/นาท ]

19. จงคำานวณหาโมเมนตมเชงมมของเขมวนาทบนนาฬการอบแกนทผานจดศนยกลางของหนาปดนาฬกา เขมนาฬกายาว 15.0 cm และมมวล

ฟสกสราชมงคล

227

6.00 g ใหพจารณาวาเขมนาฬกาเปนแทงวตถผอมบางซงกำาลงหมนดวยความ เร ว เช งม มคงต วรอบปลา ยข างหน ง [ ตอบ 4.71 x 10-6

kg.m2/s ]

20. เมอใชทอรคลพธขนาด 20 N.m กระทำาทลออนหนงทำาใหลอนนหมน จากหยดนงเปน 100 รอบ/นาท ในเวลา 10 วนาท

ก) ใหหาโมเมนตความเฉอยของลอนน [ ตอบ 19.2 kg.m2 ]ข) เมอใชทอรคครบ 10 วนาท นบจากถอนทอรคนนออก ลอนนกหมน

ชาลง จนหยดนงในเวลา 100 วนาท นบจากถอนทอรค ทอรคเนองจากความฝดในการหมนมคา

เทาใด [ ตอบ 2 N.m ]ค) หาจำานวนทงหมดทลอนนหมนไดจากเร มตนจนหยดนงสนท [ 92

รอบ ]

ฟสกสราชมงคล

228