PAT 1 (ม.ค. 53) 1

PAT 1 (ม.ค. 53)

รหสวชา 71 วชา ความถนดทางคณตศาสตร (PAT 1) วนเสารท 6 มนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.

ตอนท 1 ขอ 1 - 25 ขอละ 6 คะแนน

1. ก าหนดให และ เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1. ( ) 2. ( )

3. ( ) 4. ( ) ( )

2. ขอใดตอไปนถกตอง 1. ถาเอกภพสมพทธ คอ { 1, 0, 1} คาความจรงของ เปนเทจ

2. ถาเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนจรง คาความจรงของ เปนจรง 3. ถาเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนจรง นเสธของขอความ ( ) ( ) คอ

( ) ( )

4. ถาเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนเตม นเสธของขอความ คอ ( ) ( )

3. ให = { { }} และ ( ) เปนเพาเวอรเซตของเซต ขอใดตอไปนผด 1. จ านวนสมาชกของ ( ) เทากบ 3 2. จ านวนสมาชกของ ( ( )) เทากบ 16

3. {{ }} ( ) 4. { } ( )

21 Jul 2014

2 PAT 1 (ม.ค. 53)

4. ก าหนดให = { | √ } เมอ แทนเซตของจ านวนจรง ขอใดตอไปนถกตอง 1. = { | | | } 2. ( )

3. = { | } 4. { | | | }

5. ก าหนดให ( )

เมอ เปนจ านวนจรงทไมเทากบ 1

( ) , ( ) … ( ) ส าหรบ …

เทากบขอใดตอไปน

1.

2.

3.

4.

6. ให และ เปนฟงกชนจากเซตของจ านวนจรงไปยงเซตของจ านวนจรง โดยท ( )

และ

( ) √ ( ) √ จงพจารณาขอความตอไปน ก. = (2, )

ข. คาของ ทท าให ( ) มเพยง 1 คาเทานน ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก แต ข. ผด

3. ก. ผด แต ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

PAT 1 (ม.ค. 53) 3

7. ก าหนดให เปนจ านวนจรง ถา และ แลวคาของ เทากบขอใดตอไปน 1.

( ) 2.

( ) 3. 4.

8. ก าหนดใหวงรรปหนงมสมการเปน แลวไฮเพอรโบลาทมจดยอดอยทจดโฟกสทงสองของวงรและผานจด ( √ ) มสมการตรงกบขอใดตอไปน 1. √ 2. √

3. 4.

9. จด ( 3, 1) (1, 5) (8, 3) และ (2, 3) เปนจดยอดของรปสเหลยม ขอใดตอไปนผด 1. ดาน ขนานกบ ดาน

2. ผลบวกความยาวของดาน กบ เทากบ √ หนวย

3. ระยะตงฉากจากจด ไปยงเสนตรงทผานจด และจด มคาเทากบ √

หนวย

4. ระยะตงฉากจากจด ไปยงเสนตรงทผานจด และจด มคาเทากบ หนวย

4 PAT 1 (ม.ค. 53)

10. ก าหนดให และ เปนจ านวนจรงบวกและ ถา และ แลว มคาเทากบขอใดตอไปน 1.

( ) 2. ( ) 3.

( ) 4. ( )

11. เซตค าตอบของอสมการ เปนสบเซตของชวงใดตอไปน 1. ( , ) 2. ( , )

3. ( , ) 4. ( , )

12. ถาสมการ (

)

(

)

มค าตอบเปนจ านวนจรงบวก แลวคาของ ทเปนไปไดอยในชวงใดตอไปน

1. ( , 3) 2. ( 3, 0) 3. (0, 1) 4. (1, 3)

PAT 1 (ม.ค. 53) 5

13. ก าหนดให (

)

เมอ และ ถา

แลว ( ) เทากบขอใดตอไปน

1. 2. 3. 4.

14. ให และ เปนเวกเตอร ก าหนดโดย

และ เมอ เปนจ านวนจรง

ถา ตงฉากกบ และ ขนาดของ เทากบ 3 แลว คาของ อยในชวงขอใดตอไปน 1. ( 3,

) 2. (

, 0) 3. (0,

) 4. (

, 3)

15. ก าหนดให เปนรปสามเหลยมทม (0, 0) และ (2, 2) เปนจดยอด และ ( ) เปนจดยอดในจตภาค (quadrant) ท 2 ทท าใหดาน ยาวเทากบดาน ถาพนทของสามเหลยม มคาเทากบ 4 ตารางหนวย แลวจด อยบนเสนตรงในขอใดตอไปน 1. 2.

3. 4.

6 PAT 1 (ม.ค. 53)

16. ให , , … เปนล าดบของจ านวนเชงซอน โดยท = 0

ส าหรบ … เมอ √

คาสมบรณของ เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. √ 3. √ 4. √

17. ผลบวกของอนกรม

เทากบขอใดตอไปน 1.

2.

3.

4.

18. ก าหนดให แทนเซตของจ านวนจรง ถา และ เปนฟงกชน โดยท ( )

,

( ) และ ( )

คาของ ( ) ( ) เทากบขอใดตอไปน

1.

2.

3. 1 4.

PAT 1 (ม.ค. 53) 7

19. กลองใบหนงบรรจเสอยด 13 สๆ ละ 4 ตว โดยท เสอยดในแตละสมขนาด S, M, L และ XL ตามล าดบ สมหยบเสอจากกลองมา 3 ตวพรอมๆกน ความนาจะเปนทจะไดเสอยดมสเหมอนกน 2 ตว เทากบขอใดตอไปน 1.

2.

3.

4.

20. ก าหนดให เปนแซมเปลสเปซ และ เปนเหตการณใดๆใน จงพจารณาขอความตอไปน ก. ( ) ( ) ( )

ข. ถา ( ) = 0.5 , ( ) = 0.6 และ ( ) = 0.7 แลว ( ) = 0.4 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก แต ข. ผด

3. ก. ผด แต ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

21. นกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลยเลขคณต เทากบ 40 คะแนน ถานกเรยนชายสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 35 คะแนนและนกเรยนหญงสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 50 คะแนน อตราสวนของนกเรยนชายตอนกเรยนหญงตรงกบขอใดตอไปน 1. 3 : 2 2. 2 : 3 3. 2 : 1 4. 1 : 2

8 PAT 1 (ม.ค. 53)

22. ก าหนดให ( ) , , และ ( ) ขอใดตอไปนถกตอง 1. 2.

3. 4.

23. จ านวนตอไปน เรยกวา “จ านวน PAT” 16325 , 34721 , 12347 , 52163 , 90341 , 50381

จ านวนตอไปน ไมเปนจ านวน PAT

2564 , 12345 , 854 , 12635 , 34325 , 45026

ขอใดตอไปน เปน “จ านวน PAT” 1. 75401 2. 13562 3. 72341 4. 83051

24. ให แทนเซตของจ านวนนบ ก าหนดให ส าหรบ พจารณาขอความตอไปน ส าหรบ

ก. ข. ( ) ( )

ค. ( ) ( ) ( ) ง. ( ) ( ) ( )

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ถก 2 ขอคอ ข. และ ค. 2. ถก 2 ขอคอ ค. และ ง. 3. ถก 1 ขอคอ ค. 4. ก. ข. ค. และ ง. ผดทกขอ

PAT 1 (ม.ค. 53) 9

25. นายชดแจงไดทราบขอมลของคน 5 คน คอ A, B, C, D และ E ดงน A บอกวา “C และ D พดโกหก” B บอกวา “A และ C เปนคนพดจรง” C บอกวา “D พดโกหก” D บอกวา “E พดโกหก” E บอกวา “B พดโกหก”

จากขอมลดงกลาวทานจะชวยนายชดแจงคนหาวาใครบางเปนคนพดจรงและใครบางเปนคนพดเทจ

1. A, B, D พดเทจ C และ E พดจรง 2. B และ D พดเทจ A และ C พดจรง 3. A, B และ C พดเทจ D และ E พดจรง 4. B และ E พดเทจ A และ C พดจรง

ตอนท 2 ขอ 26 - 50 ขอละ 6 คะแนน

26. ก าหนดให , และ เปนเซตใดๆ ถา ( ) = 91 , ( ) = 11 ,

(( ) ( )) = 15 , ( ) = 20 , (( ) ( ) ( )) = 47 และ ( ) = 59 แลว ( ) เทากบเทาใด

27. ถา = { | √ √ √ } เมอ แทนเซตของจ านวนจรง แลว ผลบวกของสมาชกใน เทากบเทาใด

10 PAT 1 (ม.ค. 53)

28. ให เปนเซตของจ านวนเฉพาะบวกทมคานอยกวาหรอเทากบ 10

เปนเซตของจ านวนเตมบวกทมคานอยกวาหรอเทากบ 10

และ เปนเซตของฟงกชน ทงหมดทเปนฟงกชนหนงตอหนง และ ห.ร.ม. ของ และ ( ) ไมเทากบ 1 ส าหรบทกคา จ านวนสมาชกในเซต เทากบเทาใด

29. ให และ เปนมมแหลมของรปสามเหลยมมมฉาก โดยท

ถา ( (

√ )) ( (

√ )) แลว มคาเทากบเทาใด

30. คาของ

เทากบเทาใด

PAT 1 (ม.ค. 53) 11

31. ให และ เปนเมทรกซทมขนาด 2 2 โดยท [

] และ [

] คาของ ( ) เทากบเทาใด

32. ให และ สอดคลองกบสมการ [

] [

] [

] [

]

คาของ เทากบเทาใด

33. ให และ เปนเวกเตอร ก าหนดโดย , ,

เมอ และ เปนจ านวนจรง ถา = 2 , ( ) = 3 , เมอ เปนจ านวนจรง และ ขนานกบ

แลวคาของ เทากบเทาใด

12 PAT 1 (ม.ค. 53)

34. ให และ เปนจ านวนเชงซอนใดๆ และ แทนสงยค (conjugate) ของ ถา = 5 และ เมอ แลว คาของ |

| เทากบเทาใด

35. ถา { } เปนล าดบของจ านวนจรงท

ส าหรบทกจ านวนเตมบวก แลว

nlim มคาเทากบเทาใด

36. ก าหนดให

n

k 1

(

√ ( ) √ ) ส าหรบ … คาของ

nlim เทากบเทาใด

PAT 1 (ม.ค. 53) 13

37. ก าหนดให และ เปนจ านวนจรง และ เปนฟงกชน ซงก าหนดโดย ( ) {

ถา เปนฟงกชนตอเนองบนเซตของจ านวนจรงแลว คาของ เทากบเทาใด

38. ก าหนดให แทนเซตของจ านวนจรง ถา เปนฟงกชนโดยท ( ) √ ส าหรบทกจ านวนจรง

และ ( ) แลวคาของ 4

limx

( )

( ) เทากบเทาใด

39. ก าหนดให แทนเซตของจ านวนจรง ถา เปนฟงกชน โดยท ( ) ส าหรบทกจ านวนจรง และความชนของเสนสมผสโคง ( ) ทจด (2, 19) เทากบ 19 แลว คาของ ( ) เทากบเทาใด

14 PAT 1 (ม.ค. 53)

40. ก าหนดให = {0, 1, 2, 3, 4} จ านวนเตมบวกทมคานอยกวา 300 โดยสรางมาจากตวเลขในเซต และตวเลขแตละหลกไมซ ากน เทากบเทาใด

41. คณะกรรมการชดหนงม 7 คน ประกอบดวยประธาน รองประธาน เลขานการและกรรมการอก 4 คน จ านวนวธทจดกลมคน 7 คนนนงประชมรอบโตะกลม โดยใหประธานและรองประธานนงตดกนเสมอ แตเลขานการไมนงตดกบรองประธาน เทากบเทาใด

42. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงเทากบ 72 คะแนน ความแปรปรวน (ประชากร) เทากบ 600 ถามนกเรยนมาเพมอก 1 คน ซงสอบได 60 คะแนน ท าใหคาเฉลยเปลยนไปเปน 70 คะแนน ความแปรปรวนของขอมลชดใหมเทากบเทาใด

PAT 1 (ม.ค. 53) 15

43. จากการส ารวจน าหนกของนกเรยนกลมหนงจ านวน 4 คน ม 2 คน น าหนกเทากนและหนกนอยกวาอก 2 คนทเหลอ ถาฐานนยม มธยฐานและพสยของน าหนกของนกเรยน 4 คนนคอ 45, 46 และ 6 กโลกรม ตามล าดบ แลวความแปรปรวนของน าหนกของนกเรยน 4 คนนเทากบเทาใด

44. ในการสอบคดเลอกเขาศกษาตอของโรงเรยนแหงหนง ถาสอบได 700 คะแนน แปลงคะแนนเปนคามาตรฐานได 4 แตถาสอบได 400 คะแนน แปลงเปนคามาตรฐานได แลวสมประสทธการแปรผนเทากบรอยละเทาใด

45. ถาในปหนง เดอนสงหาคมมวนจนทรเพยง 4 วน และวนศกรเพยง 4 วนเทานน แลววนท 20 สงหาคมในปนจะตรงกบวนอะไร

(วนจนทรใหระบายตวเลข 1 วนองคารใหระบายตวเลข 2

วนพธใหระบายตวเลข 3 วนพฤหสบดใหระบายตวเลข 4

วนศกรใหระบายตวเลข 5 วนเสารใหระบายตวเลข 6

วนอาทตยใหระบายตวเลข 7)

16 PAT 1 (ม.ค. 53)

46. มกองลกหนสด าจ านวน 221 ลก และกองลกหนสขาวจ านวน 260 ลก ตองการแบงลกหนทงสองกองนออกเปนกองเลกๆ โดยท

(1) แตละกองมสเดยวกน

(2) ลกหนแตละกองมจ านวนเทากน ถาตองการใหจ านวนลกหนในกองเลกๆเหลานมจ านวนมากทสด แลวจะแบงไดกกอง

47. ก าหนดให เปนเซตของจ านวนจรง

ถา ( ) และ ( ) ส าหรบทกจ านวนจรง แลว ( )( ) เทากบเทาใด

48. ถา เปนเลขโดดทแตกตางกนทท าใหจ านวนเตม 4 หลก เทากบ 9 เทาของ แลว เทากบเทาใด

บทนยาม ให และ เปนฟงกชนใดๆ

ก าหนดการด าเนนการ ของ และ ดงน ( )( ) ( ( )) ( ( ))

ส าหรบทกจ านวนจรง

PAT 1 (ม.ค. 53) 17

49. พจารณารปตอไปน

ใหเตมจ านวนเตมบวก … ลงในชองรปสเหลยมชองละ 1 จ านวน โดยใหผลบวกของจ านวนในแนวตงเทากบ 43 และผลบวกของจ านวนในแนวนอน เทากบ 28 จ านวน ในชองรปสเหลยมมม เทากบเทาใด

50. พจารณาการจดเรยงล าดบของจ านวน … ในตารางดงตอไปน

จ านวน 2400 อยในแถวทเทาใด

แนวตง

ง

แนวนอน

แถวท

1 9 17 … 2 2 8 10 16 … 3 3 7 11 15 … 4 4 6 12 14 … 5 5 13 …

18 PAT 1 (ม.ค. 53)

เฉลย

1. 4 11. 2 21. 3 31. 32 41. 192 2. 3 12. 2 22. 3 32. 6 42. 520 3. 4 13. 1 23. 3 33. 3 43. 6 4. 1 14. 2 24. 4 34. 5 44. 10 5. 2 15. 1 25. 1 35. 1 45. 7 6. 4 16. 2 26. 18 36. 1 46. 37 7. 3 17. 4 27. 5 37. 53 47. 7 8. 3 18. 2 28. 25 38. 6 48. 0 9. 4 19. 1 29. 0.5 39. 7 49. 5 10. 1 20. 2 30. 0.5 40. 44 50. 2

แนวคด

45. 7

เดอนสงหาคม ม 31 วน = 4 สปดาห กบเศษเหลอคอวนท 29, 30, 31 อก 3 วน

ถามวนจนทรและวนศกรเพยง 4 วน แสดงวาเศษเหลอ 3 วนนน ตองไมมวนจนทรหรอศกร ซงเปนไปไดแบบเดยว คอ 3 วนนน ตองเปนวน องคาร พธ พฤหส จะไดวนท 29, 30, 31 คอวนองคาร พธ พฤหส

ดงนน วนท 20 จะไดจากการยอนวนองคารไป 9 วน ไดเปนวนอาทตย

48. 0

จะได = ดหลกพน จะได 1 ไมงนคณ 9 จะมมากกวา 4 หลก

แต เปนศนยไมได ไมงนในหลกหนวยจะได = 0 ซ า ดงนน จะได = 1

ดงนนในหลกพน ได อยางนอย 1 × 9 = 9 แต เกน 9 ไมได ดงนน = 9 และหลกรอยหามมทด ดงนน หลกรอย จะได หามทด ได แต เปน 1 ไปแลว จงได = 0