Министерство образования и науки Российской Федерации Псковский государственный университет

А. А. Хватцев, И. А. Строчков

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Учебное пособие

Псков Псковский государственный университет

2016

Министерство образования и науки Российской Федерации Псковский государственный университет

А. А. Хватцев, И. А. Строчков

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Учебное пособие

Рекомендовано к изданию кафедрой высшей математики Псковского государственного университета

Псков Псковский государственный университет

2016

УДК 517.95 ББК 22.161.6

Х30

Рекомендовано к изданию кафедрой высшей математики Псковского государственного университета

Рецензенты: – П. В. Герасименко, заслуженный деятель науки РФ, академик МАНВШ, д-р. тех. наук, профессор Санкт-Петербургского государственно-го университета путей сообщения – М. В. Воронов, академик МАН ВШ, д-р. тех. наук, профессор Мос-ковского государственного университета

Хватцев, А. А., Строчков, И. А. Х30 Дифференциальные уравнения в частных производных : Учеб-

ное пособие. — Псков : Псковский государственный университет, 2016. — 80 с.

ISBN 978-5-91116-484-3

В учебном пособии рассматриваются некоторые вопросы, от-носящиеся к курсу дифференциальных уравнений в частных произ-водных. Излагаются основные аналитические методы решения линей-ных и квазилинейных уравнений в частных производных первого по-рядка и основных уравнений второго порядка, а также вопросы при-ведения к каноническому виду линейных уравнений второго порядка. В пособии приведен вывод основных уравнений математической фи-зики, и излагаются методы решения некоторых задач математической физики как краевых, так и задач Коши, содержащих только начальные условия. Изложение теоретического материала сопровождается мно-гочисленными практическими примерами. Пособие рекомендуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и компью-терные науки», и магистрам направления «Информационные системы и технологии», а также начинающим преподавателям.

УДК 517.95 ББК 22.161.6

ISBN 978-5-91116-484-3 © Хватцев А. А., Строчков И. А., 2016

© Псковский государственный университет, 2016

3

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 4 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ................................................................................................ 4

1.1. Основные определения. Теорема Ковалевской ............................................. 4 1.2. Простейшие уравнения в частных производных .......................................... 6

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ................................................................... 8 2.1. Линейные уравнения первого порядка .......................................................... 8 2.2. Линейные однородные уравнения первого порядка .................................... 9 2.3. Линейные неоднородные уравнения первого порядка.

Квазилинейные уравнения ....................................................................................... 15 2.4. Задача Коши для квазилинейного уравнения с тремя

переменными. Геометрическая интерпретация ..................................................... 22 3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ................................................................. 27

3.1. Классификация уравнений второго порядка ............................................... 27 3.2. Приведение линейных уравнений второго порядка

к канонической форме .............................................................................................. 30 3.3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными

коэффициентами ........................................................................................................ 32 3.4. Решение уравнений второго порядка с помощью приведения

к канонической форме .............................................................................................. 37 4. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ...... 43

4.1. Уравнения колебаний .................................................................................... 43 4.2. Уравнения электрических колебаний в проводах ...................................... 47 4.3. Уравнение теплопроводности ....................................................................... 48 4.4. Уравнения движения жидкости .................................................................... 51 4.5. Наиболее часто используемые уравнения математической физики ......... 53

5. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ........... 54 5.1. Колебания бесконечной струны. Метод Даламбера ................................... 54 5.2. Колебания струны с закреплёнными концами. Метод разделения

переменных ................................................................................................................ 56 5.3. Колебания стержня, жёстко заделанного одним концом в стенку.

Метод разделения переменных ................................................................................ 61 5.4. Краевые задачи для уравнения теплопроводности.

Распространение тепла в неограниченной плите ................................................... 64 5.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности ......................................... 72

6. КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ФУНКЦИИ ТРЁХ ПЕРЕМЕННЫХ ....... 75 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................................................................................... 78 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ......................................................................................... 79

4

ВВЕДЕНИЕ

В данном учебном пособии излагаются некоторые вопросы, относящиеся к курсу дифференциальных уравнений в частных производных. Рассматриваются основные понятия и определения, аналитические методы решения линейных и квазилинейных уравнений первого порядка и основных уравнений второго по-рядка (уравнений математической физики), а также вопросы приведения к ка-ноническому виду линейных уравнений второго порядка. Изучаемый материал излагается на уровне математической строгости, достаточном для решения прикладных задач. Вопросы существования решений рассматриваются лишь на уровне формулировки соответствующих теорем. Считается, что неизвестные функции имеют все необходимые производные в той области, где рассматри-ваются уравнения, содержащие эти функции.

1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Основные определения. Теорема Ковалевской

Пусть имеется некоторая функция m21 x,,x,xuu m переменных

m21 x,,x,x . Соотношение, связывающее переменные m21 x,,x,x , функцию m21 x,,x,xuu и её производные до некоторого порядка, называется диф-

ференциальным уравнением в частных производных. Обозначим через

jxu частную производную функции m21 x,,x,xuu по переменной

m,,2,1j,x j , а через kjxxu — смешанную производную по переменным jx и

kx . Тогда сформулированное выше определение символически можно записать следующим образом:

0,u,u,u,u,,u,u,u,x,,x,xF312111m21 xxxxxxxxxm21 . (1.1)

Отметим, что в уравнении (1.1) F — некоторая заданная функция своих аргументов. В реальном уравнении некоторые из аргументов функции F могут отсутствовать, однако, хотя бы одна из производных функции

m21 x,,x,xuu обязательно содержится.Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1.1), называется

порядком этого уравнения. Если после подставления в уравнение (1.1) функции m21 x,,x,xuu

это уравнение превращается в тождество при всех допустимых значениях аргу-ментов, то функция m21 x,,x,xuu называется решением уравнения (1.1).Множество всех решений уравнения (1.1) образует общее решение этого урав-нения. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит ровно столько произвольных функций, каков порядок этого уравне-ния. Число аргументов этих функций на единицу меньше числа аргументов ре-шения m21 x,,x,xuu . Общее решение, записанное в неявном виде, приня-

5

то называть общим интегралом. Конкретный выбор произвольных функций да-ёт частное решение.

Предположим, что порядок уравнения (1.1) равен p . Это означает, что в (1.1) содержится хотя бы одна частная производная порядка p функции

m21 x,,x,xuu . Пусть для определённости этой производной является

p1xp

1

pu

x

u

. Предположим, что уравнение (1.1) может быть разрешено относи-

тельно этой старшей производной, т. е. его можно записать в виде

p

m2121p1

211 xxxxxxxm21p

1

pu,,u,u,u,,u,u,u,x,,x,xf

x

u . (1.2)

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений критерием того, что полученное решение является общим решением данного уравнения, была возможность получить из него все частные решения 1 . При этом частное ре-шение определялось как решение, удовлетворяющее некоторым начальным условиям (задача Коши). Такие дополнительные условия для уравнений в частных производных могут быть различного типа. Некоторые конкретные из них будут рассмотрены позже при изучении уравнений математической физи-ки. Сейчас же мы ограничимся лишь начальными условиями Коши. Для уравне-ния (1.2) начальные условия имеют вид:

при 011 xx

m321px

m321x

m320

x,,x,xu

x,,x,xu

x,,x,xu

1p1

1

(1.3)

Нахождение решение уравнения (1.2), удовлетворяющего начальным усло-виям (1.3), называется задачей Коши.

Справедлива теорема С. В. Ковалевской 1 . Существует единственное

аналитическое в окрестности точки 0m

02

010 x,,x,xM решение уравнения (1.2),

удовлетворяющее начальным условиям (1.3), если функции 1p10 ,,, яв-

ляются аналитическими в этой окрестности, а функция f является аналитиче-ской в окрестности начальных значений своих аргументов:

pm

00p

0x01pMx

01Mx0m

02

0100

0m

02

01

x

M

Mu,,Mu

,,Mu,x,,x,xu,x,,x,x

pm01p

1

01

6

Замечание. Функция m21 t,,t,t называется аналитической в окрест-

ности некоторой точки 0m

02

010 t,,t,tT , если в каждой точке этой окрестности

она представима в виде суммы степенного ряда по целым неотрицательным степеням своих аргументов. Ясно, что такая функция в указанной окрестности имеет производные любого порядка.

1.2. Простейшие уравнения в частных производных

Решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных можно получить непосредственным интегрированием или, используя методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 2 . Рассмотрим не-сколько таких примеров, считая, что y,xzz — неизвестная функция двух аргументов.

Пример 1.1. Найти общее решение уравнения 2xyx

z

x

z

и решить зада-

чу Коши: ylnz при 1x .

◄Будем рассматривать z как функцию аргумента x , а y будем считать параметром. Тогда исследуемое уравнение можно считать линейным неодно-родным уравнение первого порядка. Воспользуемся методом Бернулли и будем

искать решение этого уравнения в виде xvy,xuz . Тогда vuvux

zx

.

Подставим эти соотношения в исходное уравнение.

2x

2x

2x

xyvu

0x

vv

xyx

vvuvuxy

x

uvvuvu (1.4)

Решив первое уравнение системы (1.4), получим xv . Второе уравнение

системы (1.4) после подстановки в него x вместо v принимает вид 2x yu .

Откуда yxyydxyy,xu 22 . Здесь y — произвольная функ-

ция. Следовательно, xyxyy,xz 2 — общее решение уравнения. Теперьопределим y так, чтобы выполнялось начальное условие. Подставляем в общее решение 1x и yln вместо z :

22 yylnyyyyln

Значит, xyylnxyy,xz 22 — решение задачи Коши. ►

7

Пример 1.2. Найти общее решение уравнения xyx

z2

.

◄1. Перепишем уравнение в виде xy

z

x

. Интегрируя по x , получим

y2

x

y

z 2

, где y — произвольная функция аргумента y . Теперь проин-

тегрируем по y :

xyh2

yxxdyy

2

yxz

22

Здесь yh и x — произвольные функции своих аргументов.

2. Перепишем уравнение в виде xx

z

y

. Проинтегрируем по y .

Получим xgxyx

z

. Теперь интегрируем по x и приходим к тому же реше-

нию:

yhx2

yxyhdxxg

2

yxz

22 ►

Пример 1.3. Решить уравнение y

z

x

z

.

◄Введём новые независимые переменные и с помощью соотношений

yx,yx . Тогда y,x,y,xz2

,2

zz

.

В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции не-скольких аргументов:

zzzzz,zzzzz yyyxxx .

Следовательно,

0z2zzzzy

z

x

z

Интегрируя по последнее уравнение, получаем: yxz ,

где — произвольная функция. ►

Пример 1.4. Решить уравнение 2

2

2

2

y

z

x

z

.

◄Как и в предыдущем примере введём новые переменные и с помо-щью соотношений: yx,yx zzz,zzz yx .

8

Тогда,

zz2zzzzz

x

z

x

z

x

z

xx

z2

2

Здесь учтено, что в соответствии с теоремой Шварца 3 zz . Аналогично:

zz2z

y

z2

2.

Поэтому исходное уравнение сводится к уравнению:

0z2

.

Ясно, что решение этого уравнения получается из решения уравнения, рас-смотренного ранее в примере 1.2. Надо только правую часть сделать равной ну-лю, затем переменные x и y заменить соответственно на и .

Следовательно, yxhyxhz ►

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В самом общем виде уравнение первого порядка может быть записано в виде:

0u,,u,u,u,x,,x,xFm21 xxxm21 , (2.1)

где m21 x,,x,xuu — неизвестная функция.

2.1. Линейные уравнения первого порядка

Уравнение (2.1) называется линейным, если неизвестная функция и её частные производные входят в это уравнение в первой степени (линейно). Та-кое уравнение может быть приведено к виду:

m21m211m

m

1j jm21j x,,x,xfux,,x,xX

x

ux,,x,xX

(2.2)

Будем предполагать, что в уравнении (2.2) функции 1m,,2,1jx,,x,xX,x,,x,xf m21jm21 непрерывны в некоторой об-

ласти. Кроме того, функции m,,2,1jx,,x,xX m21j в этой области

имеют ограниченные частные производные и ни в одной точке этой области не обращаются в нуль одновременно.

Если 0x,,x,xf m21 , то уравнение (2.2) принимает вид:

0ux,,x,xXx

ux,,x,xX m211m

m

1j jm21j

(2.3)

и называется однородным. Соответственно уравнение (2.2) называется — неоднородным.

9

2.2. Линейные однородные уравнения первого порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение первого порядка, в котором неизвестная функция является функцией двух переменных x и y , т. е. y,xzx,xu 21 , и которое не содержит явно неизвестную функцию. В соот-

ветствии с (2.3) такое уравнение может быть записано в виде:

0y

zy,xB

x

zy,xA

(2.4)

Наряду с уравнением (2.4) рассмотрим систему обыкновенных дифферен-циальных уравнений, которую принято называть характеристической систе-мой для уравнения (2.4)

y,xBdt

dy

y,xAdt

dx

(2.5)

Функция y,x , не сводящаяся тождественно к постоянной, называется первым интегралом системы (2.5), если при подстановке в неё любого решения ty,tx этой системы получается постоянная величина, зависящая только от

выбора решения. Первый интеграл принято записывать в виде Cy,x . Для нахождения первого интеграла системы (2.5) поступают следующим образом. Исключают параметр t из системы (2.5). В результате получается эквивалент-ное системе (2.5) уравнение:

y,xB

dy

y,xA

dx (2.6)

Если C,xyy — общее решение уравнения (2.6), то выразив постоянную величину C через y,x , получают первый интеграл Cy,x системы (2.5). Если решение уравнения (2.6) получается в виде общего интеграла 0C,y,xF , то поступают аналогичным образом.

Теорема 1. Пусть Cy,x , где C — произвольная постоянная, является первым интегралом системы (2.5). Тогда функция y,xz является решением уравнения (2.4).

Доказательство. Пусть ty,tx — какое-нибудь решение системы (2.5). Тогда по опреде-

лению первого интеграла Cty,tx . Продифференцируем это равенство. В соответствии с правилом дифферен-

цирования сложной функции нескольких переменных:

0dt

dy

ydt

dx

xty,tx

dt

d

(2.7)

10

С учётом (2.5) соотношение (2.7) принимает вид:

0y

y,xBx

y,xA

(2.8)

Как видим, выражения (2.8) и (2.4) с точностью до обозначений полностью совпадают. Кроме того, равенство (2.8) справедливо для любого решения си-стемы (2.5), т. е. оно справедливо для y,x из области определения уравнения (2.4). Следовательно, y,xz — решение (2.4).☻

Справедлива и обратная теорема. Теорема 2. Пусть y,xz — решение уравнения (2.4). Тогда Cy,x

является первым интегралом системы (2.5). Доказательство. Подставим в функцию y,x какое-нибудь решение системы (2.5) и возь-

мём полную производную от полученного выражения:

y,xBy

y,xAxdt

dy

ydt

dx

xty,tx

dt

d

Так как y,x — решение уравнения (2.4), то правая часть в последнем выражении тождественно равна нулю, т. е.

0ty,txdt

d (2.9)

Но соотношение (2.9) является необходимым и достаточным условием то-го, чтобы Cy,x 2 . Таким образом, Cy,x — первый интеграл систе-мы (2.5). ☻

Известно, что если Cy,x — первый интеграл системы (2.5), то C , где — произвольная функция, также является первым интегралом

системы (2.5). Из доказанных теорем 1 и 2 следует тогда, что z — общее решение уравнения (2.4).

Аналогично. Общее решение линейного однородного уравнения вида:

0x

ux,,x,xX

m

1j jm21j

(2.10)

строится следующим образом. 1. Составляем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

m21m

m

m212

2

m211

1x,,x,xX

dx

x,,x,xX

dx

x,,x,xX

dx

(2.11)

2. Решив систему (2.11), находим 1m независимых первых интеграловэтой системы:

1mm211m

2m212

1m211

Cx,,x,x

Cx,,x,x

Cx,,x,x

(2.12)

11

Интегралы (2.12) называются независимыми (функционально независимы-ми), если между функциями 1m,,2,1j,j не существует связи типа

0,,, 1m21 . Из теории неявных функций следует, что достаточнымусловием независимости функций 1m,,2,1j,j является отличие от нуля

определителя Якоби из этих функций по каким-либо 1m переменным, т. е.

0

xx

xx

x,,x,xD

,,,D

1m1

1m1

1m21

j

1m

j

1m

j

1

j

1

jjj

1m21

3. Общее решение уравнения (2.10) записываем в виде:

m211mm212m211 x,,x,x,,x,,x,x,x,,x,xu (2.13)

Замечание. Для нахождения нужного числа независимых первых интегра-лов системы (2.11) существует два основных метода: метод исключения и ме-тод интегрируемых комбинаций.

Метод исключения заключается в сведении системы (2.11) к одному урав-нению 1m -го порядка или к одному уравнению порядка 1mkk и неко-торой системе независимых уравнений. Такое сведение достигается дифферен-цированием одного из уравнений системы (2.11) и использованием всех урав-нений этой системы. Обычно приходится дифференцировать 2m раза, но бывают случаи, когда достаточно продифференцировать только 2mrr раз. В результате получается некоторое число r тождеств, из которых, исклю-чая 1r переменную, получаем одно уравнение относительно одной из неиз-вестных функций. Если это уравнение может быть проинтегрировано, все остальные неизвестные находятся с помощью дифференцирования и алгебраи-ческих преобразований.

Проиллюстрируем описанную выше процедуру на примере системы:

21z

dz

1zy

dy

y

dx

. (2.14)

Представим эту систему в виде:

y

yz

1zy

y

1z

dx

dz

1zdx

dy

22

Первое из этих уравнений продифференцируем по x : zy . Теперь вос-пользуемся вторым уравнением и получим:

y

yy

2 . (2.15)

12

Порядок этого уравнения можно понизить на единицу введением новой функции ppy,xypy . Тогда (2.15) примет вид:

pyp

0p

y

ppp

2

Уравнение 0p означает, что 1z0y , т. е. получается тривиальное и малоинтересное решение.

Общее решение уравнения (2.15) определяется уравнением с разделяющи-мися переменными pyp . Проинтегрировав это уравнение, получаем

21 CxC2111 eyCxCylnyCypClnylnpln . Так как

1zy , то два независимых первых интегралов системы (2.14) определяются

соотношениями: y

1zC1

и

y

x1zylnC2

.

Второй метод нахождения нужного числа независимых первых интегралов системы (2.11) заключается в выделении так называемых интегрируемых ком-бинаций, т. е. в получении уравнений, которые являются следствиями уравне-ний этой системы, но могут быть уже проинтегрируемы непосредственно.

При использовании симметричной записи (2.11) нормальной системы дифференциальных уравнений для получения интегрируемых комбинаций ча-сто используют свойство равных отношений. Суть этого свойства заключается в следующем. Пусть выполняется соотношение:

k

k

2

2

1

1b

a

b

a

b

a . (2.16)

Тогда,

kk2211

kk2211bbb

aaa

. (2.17)

В самом деле. Из соотношения (2.16) находим k,,2,1j,ba jj . Теперь

подставим найденные значения для ja в выражение (2.17). В результате полу-

чим:

kk2211

kk2211bbb

bbb

Коэффициентами k21 ,,, линейных комбинаций в (2.17) являются числа или выражения. Они подбираются таким образом, чтобы выражение в числителе полученной дроби являлось дифференциалом выражения, стоящего в знаменателе, или чтобы знаменатель дроби обратился в нуль. Каждая интегри-руемая комбинация даёт один первый интеграл.

Для иллюстрации рассмотрим систему:

z2

dz

zy

dy

zx

dx

.

13

Складывая числители и знаменатели первой и третьей дробей и числители и знаменатели первой и второй дробей, получаем две интегрируемые комбина-ции:

z2

dz

zx

dzdx

и z2

dz

zy

dzdy

.

Интегрируя первую комбинацию, находим первый интеграл:

z

zxCClnzlnzxln2

z

dz

2

1

xz

xzd

z2

dz

zx

dzdx 2

11

.

Аналогично, из второй комбинации получаем ещё один первый интеграл:

z

zyC

2

2

.

Следует также помнить, что при решении многих задач приходится комби-нировать эти два метода: часть интегралов находят, например, методом исклю-чения, а другую часть отыскивают методом интегрируемых комбинаций или при составлении интегрируемых комбинаций используют найденные уже пер-вые интегралы. Проиллюстрируем конкретным примером и эти идеи, для чего рассмотрим систему:

xyz

dz

y

dy

x

dx

.

Первый независимый интеграл получаем интегрированием уравнения

1 1ln ln lndx dy x

x у C Cx y y . Из последнего соотношения нахо-

дим: 21yCxy . Это выражение подставляем в третью дробь системы и получа-

ем вторую интегрируемую комбинацию:

yCy

z

dy

dz

yCz

dz

y

dy12

1

.

Таким образом, получили линейное неоднородное уравнение первого по-рядка. Решать это уравнение будем методом Бернулли: uvvuz,yvyuyz . Подставим эти соотношения в последнее уравне-

ние и получим систему:

yyCCuvzyCCu

yv

Cu

yv

yCvu

y

vv

12121

1

.

Теперь находим второй независимый интеграл:

y

xyz

y

yCzC

21

2

.

14

Пример 2.1. Найти общее решение уравнения 0y

zy2

x

zyx2

.

◄Составляем уравнение для определения характеристик:

yx2

y2

dx

dy

y2

dy

yx2

dx

.

Получили обыкновенное однородное дифференциальное уравнение перво-го порядка. Решение этого уравнения ищем в виде xxuy . Тогда uxuy .

Последнее уравнение в результате такой замены принимает вид u2

ux

dx

du 2

.

Разделяем переменные: Cuxlnu

2

x

dxdu

u

u22

. Возвращаемся к преж-

ним переменным: ylny

x2C . Следовательно,

yln

y

x2z — общее ре-

шение, где — произвольная функция.►

Пример 2.2. Найти общее решение уравнения 0y

zy

x

zy2x

.

◄Составляем уравнение для определения характеристик:

0dyy2xydxy

dy

y2x

dx

.

Полученное уравнение является уравнением в полных дифференциалах,

т. к. yy

y2xx

. Решение этого уравнения имеет вид Cy,xu , причём

yx

u

, а y2xy

u

. Из первого соотношения находим yxyu . Имеем,

2yyy2xy2xy

u

.

Следовательно, 2yxyy,xu , а 2yxyz ,где — произвольная функция, общее решение рассматриваемого уравнения в неявном виде, ►

Пример 2.3. Найти общее решение уравнения 0z

uz

y

uy

x

ux

.

◄Запишем систему (2.11) для данного уравнения:

z

dz

y

dy

x

dx . (2.18)

Интегрируя первую пару из этой системы, получим независимый первый интеграл:

x

yCClnxlnyln

y

dy

x

dx11 .

15

Теперь интегрируем вторую пару из системы (2.18) и получим второй не-зависимый первый интеграл системы (2.18).

x

zC

z

dz

x

dx2

Общее решение исходного уравнения в соответствии с (2.13):

x

z,

x

yu , где — произвольная функция. ►

Пример 2.4. Найти общее решение уравнения:

0z

uz2

y

uzy

x

uzx

◄Запишем систему (2.11) для данного уравнения:

z2

dz

zy

dy

zx

dx

Два первых независимых интеграла этой системы получены выше при ил-

люстрации метода интегрируемых комбинаций:

z

zxC

2

1

,

z

zyC

2

2

.

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

z

zy,

z

zxu

22►

2.3. Линейные неоднородные уравнения первого порядка. Квазилинейные уравнения

Теперь рассмотрим линейное неоднородное уравнение в частных произ-водных первого порядка, в котором неизвестная функция y,xz является функцией двух переменных.

y,xf)y,x(zDy

zy,xB

x

zy,xA

(2.19)

Решение уравнения (2.19) получим, рассмотрев вначале более общее урав-нение:

)z,y,x(Cy

zz,y,xB

x

zz,y,xA

(2.20)

Это уравнение называется квазилинейным неоднородным уравнением в частных производных первого порядка. Это уравнение линейно относительно частных производных, но может быть нелинейным относительно неизвестной функции y,xz . Если y,xAz,y,xA и y,xBz,y,xB , т. е. z,y,xA и z,y,xB не зависят от переменной z , а y,xzDy,xfz,y,xC , уравнение

(2.20) переходит в (2.19).

16

Решение уравнения (2.20) будем искать в виде неявной функции: Cz,y,x , (2.21)

где C — произвольная постоянная. В соответствии с правилом дифференциро-вания неявных функций:

z

y

z

xy

z,

x

z

(2.22)

Подставив эти выражения в уравнение (2.20), получим:

0z

)z,y,x(Cy

z,y,xBx

z,y,xA

(2.23)

Сравнивая уравнение (2.23) с (2.10), замечаем, что уравнение является ли-нейным однородным уравнением относительно функции трёх переменных z,y,x . Записав для уравнения (2.23) характеристическую систему в симмет-

ричном виде z,y,xC

dz

z,y,xB

dy

z,y,xA

dx и найдя два независимых первых

интеграла 11 Cz,y,x и 22 Cz,y,x этой системы, получим общее ре-шение уравнения (2.20)

0z,y,x,z,y,x 21 , (2.24)

где — произвольная функция. Если окажется, что переменная z входит только в один из первых интегра-

лов, например в 2 , то общее решение уравнения (2.20) можно записать в виде 12 fz,y,x , где f — произвольная функция. Пример 2.5. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения:

2xy

zxy

x

zx2

.

◄ Записываем характеристическую систему в симметричном виде:

2x

dz

xy

dy

x2

dx

Один первый интеграл получим, проинтегрировав уравнение:

211

22

xz4CCxz4xdx

dz2

x

dz

x2

dx

Складывая числители и знаменатели первой и второй дробей, получаем ин-тегрируемую комбинацию:

x

yxCClnxlnyxln2

x2

dx

yx

yxd 2

22

.

Следовательно, можем написать общее решение уравнения в виде:

0

x

yx,xz4

22

. (2.25)

17

Так как z входит только в один первый интеграл, то соотношение (2.25) можно переписать следующим образом:

x

yxfxz4

22 ►

Пример 2.6. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения 2222 yx

y

zy

x

zx

.

◄ Записываем характеристическую систему в симметричном виде:

2222 yx

dz

y

dy

x

dx

.

Две интегрируемые комбинации имеют вид:

22 y

dy

x

dx и

2222 yx

dz

yx

dydx

.

Интегрируя первую комбинацию, находим x

1

y

1C1 .

Из второй комбинации, соответственно получим zyxC2 . Так как zвходит только в один первый интеграл, то общее решение можно записать в виде:

x

1

y

1zyx , где — произвольная функция. ►

Пример 2.7. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения:

zy

zctgy

x

ztgx

.

◄ Записываем характеристическую систему в симметричном виде:

z

dz

ctgy

dy

tgx

dx

Первая интегрируемая комбинация получается естественным образом:

ycos

xsinCClnycoslnxsinln

ycos

ydysin

xsin

xdxcos

ctgy

dy

tgx

dx11 .

Вторая интегрируемая комбинация также достаточно очевидна:

sin coscos sin

sin cos sin cos

d x yxdx ydy dz dz

x y z x y z

.

Следовательно, z

ycosxsinCClnzlnycosxsinln 22

.

Так как z входит только в один первый интеграл, то общее решение можно записать в виде:

ycos

xsin

z

ycosxsin, где — произвольная функция. ►

18

Пример 2.8. Найти общее решение квазилинейного уравнения:

yxy

zzy

x

zzx 22

◄ Записываем характеристическую систему в симметричном виде:

yx

dz

zy

dy

zx

dx22

Возьмём из этой системы первую пару zy

dy

zx

dx22

. После сокращения на z ,

получим y

1

x

1CC

x

1

y

1

y

dy

x

dx1122

. Один первый интеграл

найден. Для получения ещё одного первого интеграла составляем интегрируе-мую комбинацию, вычитая числители и знаменатели первой и второй дробей:

zdz

yx

yxd

yx

dz

yxz

yxd

yx

dz

zyzx

dydx2222

.

После интегрирования имеем:

2

zyxlnCC

2

zyxln

2

22

2 .

Следовательно, общее решение, записное неявно, имеет вид:

y

1

x

1f

2

zyxln0

2

zyxln,

y

1

x

1 22►

Пример 2.9. Найти общее решение квазилинейного уравнения

yzy

zz2x

x

zxy

.

◄ Записываем характеристическую систему равнения:

yz

dz

z2x

dy

xy

dx

(2.26)

Один независимый первый интеграл получим, решив уравнение:

x

zCClnxlnzln

z

dz

x

dx

yz

dz

xy

dx11 .

Чтобы найти второй независимый первый интеграл системы (2.26) пере-пишем эту систему в виде:

yzz

z2xy

xyx

(2.27)

Продифференцируем второе уравнение системы (2.27), после чего заменим производные x и z с помощью двух других уравнений этой же системы.

yyz2xyyz2xyz2xy .

19

В итоге получили уравнение yyy . Порядок этого уравнения с помощью замены ppy,ypy можно понизить на единицу: yppp Откуда следует: либо 0p , либо yp . Первое уравнение даёт не интересующее нас тривиаль-ное решение consty0y . Из второго уравнения находим

22222

2yz4x2yp2C2CC

2

ypydydp . Два независимых

первых интеграла системы (2.26) получены. Следовательно, общее решение уравнения в неявной форме имеет вид:

0yz4x2,x

z 2

►

Аналогично. Чтобы решить квазилинейное уравнение в частных производных первого

порядка:

m

1jm21

jm21j u,x,,x,xF

x

uu,x,,x,xX , (2.28)

в котором неизвестная функция m21 x,,x,xuu является функцией m пе-ременных, надо:

1) написать характеристическую систему обыкновенных дифференциаль-ных уравнений:

u,x,,x,xF

du

x,,x,xX

dx

x,,x,xX

dx

m21m21m

m

m211

1

(2.29)

2) найти m независимых первых интегралов этой системы:

mm21m

2m212

1m211

Cu,x,,x,x

Cu,x,,x,x

Cu,x,,x,x

(2.30)

3) общее решение уравнения (2.28) в неявном виде записывается так:

0,,, m21 , (2.30)

где — произвольная функция. 4) Если окажется, что переменная u входит только в один из первых инте-

гралов, например в 1 , то общее решение уравнения (2.28) можно записать в виде:

m32m211 ,,,u,x,,x,x , (2.31)

где — произвольная функция.

20

Пример 2.10. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения

uz

uyx

y

uzx

x

uzy

.

◄ Характеристическая система имеет вид:

u

du

yx

dz

xz

dy

zy

dx

.

Используя первую, вторую и четвертую дроби, составляем первую инте-грируемую комбинацию:

yxuCyxlnClnuln

u

du

yx

yxd

u

du

xzzy

dydx11

.

Используя вторую, третью и четвертую дроби, составляем вторую инте-грируемую комбинацию:

yzuC

yz

yzd

u

du2

.

Наконец, используя первую, вторую, третью и четвертую дроби, составля-ем третью интегрируемую комбинацию:

u

du

zyx2

zyxd

Интегрируя это уравнение, находим третий независимый первый интеграл

характеристической системы: 23

u

zyxC

. Следовательно,

0u

zyx,yzu,yxu

2

.►

Пример 2.11. Найти общее решение квазилинейного уравнения

yxz

uz

y

uyu

x

uxu

◄ Характеристическая система имеет вид:

yx

du

z

dz

yu

dy

xu

dx

.

Первую интегрируемую комбинацию получаем, используя первую, вторую и третью дроби:

1Clnzlnyxlnz

dz

yx

yxd

z

dz

yuxu

dydx

.

Следовательно, один первый интеграл имеет вид z

yxC1

.

Вторая интегрируемая комбинация получается использованием всех дро-бей характеристической системы:

2Clnzlnu2yxln

z

dz

yx2yuxu

u2yxd

.

21

Следовательно, второй независимый первый интеграл имеет вид: u2yxzC2 . (2.32)

Для получения третьего независимого первого интеграла поступим следу-

ющим образом. Из соотношения (2.32) находим: z

uz2Cyx 2 . Теперь под-

ставим это выражение в четвёртую дробь характеристической системы и рас-

смотрим уравнение 22

2 z

C

z

u2

dz

du

Cuz2

zdu

z

dz

. Полученное уравнение яв-

ляется линейным неоднородным уравнением, если в нём рассматривать u , как функцию аргумента z . Будем решать это уравнение методом Бернулли. Поло-жим twwtuzwztzu . В этом случае последнее уравнение примет вид:

332

42

2

222

2

Cz3

Ct

z

Ct

zw

z

Cwt

0z

w2w

z

C

z

tw2twwt

Следовательно,

232

322

3z3

yxu

z3

Cuz3C

z3

CzCtwu

.

В качестве третьего независимого первого интеграла возьмём:

233z

yxuC3C

.

Значит, общее решение уравнение имеет вид:

0z

yxu,u2yxz,

z

yx2

.►

Пример 2.12. Найти общее решение квазилинейного уравнения:

xyz

uuz

y

uy

x

ux

.

◄ Составляем характеристическую систему уравнения:

xy

du

uz

dz

y

dy

x

dx

Возьмём первую пару из этой системы и получим первый интеграл:

y

xCClnylnxln

y

dy

x

dx11 .

Перепишем характеристическую систему в виде:

2Cu2u0u2uu2xy2yxyxu

xyu

uzz

yy

xx

.

22

Подставим теперь в последнее уравнение xy вместо u . Получим второй независимый первый интеграл: u2xyC2 . Для нахождения ещё одного пер-вого интеграла в последнюю дробь характеристической системы подставим

u2Cxy 2 и рассмотрим интегрируемую комбинацию:

32

2

2

2ClnxlnCuzln

x

dx

Cuz

Cuzd

x

dx

u2Cuz

dudz

x

xyuzC

x

CuzC 3

23

.

Следовательно, уравнение 0x

xyuz,u2xy,

y

x

определяет общее

решение в неявной форме. ►

2.4. Задача Коши для квазилинейного уравнения с тремя переменными. Геометрическая интерпретация

Рассмотрим неоднородное квазилинейное уравнение (2.20), которое для удобства перепишем в виде:

0y

z,

x

z,z,y,xF

. (2.33)

Предположим, что это уравнение разрешено относительно одной из част-

ных производных, например, x

z

, т. е.

)y

z,z,y,x(f

x

z

. (2.34)

Задача Коши для уравнения (2.34) формулируется следующим образом: найти решение y,xz уравнения (2.34), которое при заданном начальном значении 0xx обращается в заданную функцию y , т. е. yz при

0xx . Аналогично, если уравнение (2.33) разрешено относительно частной про-

изводной y

z

, т. е.

)x

z,z,y,x(g

y

z

, (2.35)

то задача Коши формулируется так: найти решение y,xz уравнения (2.35), которое при заданном начальном значении 0yy обращается в задан-ную функцию x .

Функция y,xz в координатном пространстве xyz0 представляет не-которую поверхность. Так как в нашем случае функция y,xz является решением дифференциального уравнения (2.34), то будем называть эту по-

23

верхность интегральной поверхностью. Как известно 3 , уравнение плоскости,касающейся в точке z,y,x поверхности, задаваемой уравнением y,xz ,

имеет вид: yYy

xXx

zZ

, где Z,Y,X — координаты текущей

точки на касательной плоскости, а частные производные x

и y

пропорци-

ональны косинусам углов, которые образует вектор нормали к касательной плоскости в точке z,y,x (угловые коэффициенты этой плоскости). Следова-тельно, уравнение (2.34) связывает координаты ,y,x и z точки искомой инте-гральной поверхности и угловые коэффициенты касательной плоскости к этой поверхности в данной точке.

Пара соотношений yz и 0xx определяет плоскую кривую yz ,которая лежит в плоскости 0xx , параллельной плоскости yz0 .

Таким образом, с геометрической точки зрения задача Коши для уравнения (2.34) состоит в отыскании поверхности, удовлетворяющей уравнению (2.34) и проходящей через кривую: yz , 0xx .

Аналогично, задача Коши для уравнения (2.35) заключается в нахождении интегральной поверхности, проходящей через кривую: 0yy,xz .

В рассмотренных задачах Коши переменные x и y являются не совсем равноправными.

Это связано с тем, уравнение (2.33) предварительно разрешается или отно-

сительно x

z

или относительно y

z

.

Можно сформулировать так называемую обобщённую задачу Коши, в ко-торой это неравенство переменных устраняется.

Для уравнения (2.33) найти интегральную поверхность, проходящую через кривую, заданную системой параметрических уравнений:

tz,ty,tx . (2.36) Чтобы решить обобщённую задачу Коши надо найти два независимых пер-

вых интеграла уравнения (2.33). В эти первые интегралы: 2211 Cz,y,x,Cz,y,x , (2.37)

вместо ,y,x и z подставить их выражения (2.36) через параметр t . В результате получатся два уравнения вида:

2211 Ct,Ct . (2.38) Исключив из системы (2.38) параметр t , получим соотношение:

0C,C 21 (2.39) Наконец подставив в (2.39) вместо 1C и 2C их выражения из (2.37), полу-

чим уравнение искомой поверхности. В том случае, когда в оба уравнения (2.38) параметр t не входит, то это

означает, что кривая (2.36) является интегральной кривой характеристической системы уравнения (2.33), и задача Коши имеет бесконечно много решений.

24

Пример 2.13. Найти частное решение уравнения 0y

zx2

x

z

при усло-

вии, что 2yz , если 1x .

◄Имеем: 22 xyCCxyxdx2dyx2

dy

1

dx

. Следова-

тельно, 2xyz — общее решение. Теперь потребуем, чтобы выполнялось

начальное условие: 1yy2 . Чтобы определить функцию , обозначим

1yt . Тогда 21tt . Окончательно, получаем:

222 1xyxyz .►

Пример 2.14. Найти частное решение уравнения xy

zxy

x

zy2

при

условии, что 2yz , если 0x . ◄Сначала найдём общее решение уравнения. Характеристическая система

имеет вид: x

dz

xy

dy

y

dx2

. Проинтегрируем первую пару из этой системы и по-

лучим один независимый интеграл: 122

2Cyxydyxdx

xy

dy

y

dx .

Теперь возьмём вторую пару и получим второй независимый интеграл:

ylnzCzCylnx

dz

xy

dy22 .

Следовательно, общее решение может быть представлено в форме:

2222 yxylnz0ylnz,yx , где — произвольная

функция.

Воспользуемся начальными условиями: 22 yylny . Обозначим че-

рез 2yt . Тогда последнее выражение принимает вид tlntt .

Следовательно,

22222222 xylnxyylnzyxlnyxylnz .►

Пример 2.15. Найти частное решение уравнения xyy

zxz

x

zyz

при

условии, что 222 ayz , если ax . ◄Найдём общее решение уравнения. Характеристическая система имеет

вид: xy

dz

xz

dy

yz

dx .

25

Проинтегрируем первую пару из этой системы и получим один независи-

мый интеграл 122 Cyxydyxdx

xz

dy

yz

dx . Аналогично из второй пары

получаем второй интеграл 222 Czy . Учитывая, что переменная z входит

лишь во второй независимый интеграл, общее решение можем представить в

форме 2222 yxzy .Решение задачи Коши можно найти двумя способами. Первый способ. Как и в примере 2.12 для определения функции используем начальные

условия:

222222222 yaay2yayay .

Обозначим 22 yat . Тогда, 222222 y2x2ayxt2at .

Окончательно получаем 2222 azyx2 . Второй способ. Исключим переменные z,y,x из соотношений:

2 2 2 2 22 2

2 12 2 2 21 1

2 22

22

x a

у z a C y aC C a

C x y C a y

C у z

.

Теперь в последнем соотношении заменим постоянные 1C и 2C их значе-

ниями. В результате получим 2222 azyx2 .► Пример 2.16. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению

yxy

zxz

x

zzy

и проходящую через линию xyz .

◄Из уравнений характеристической системы yx

dz

xz

dy

zy

dx

состав-

ляем две интегрируемые комбинации:

yx

dz

yxxzzy

dzdxydx

и yx

dz

yxzxzyzyx

zdzydyxdx

.

Из первой комбинации следует:

1Czyxyx

dz

0

zyxd

.

Из второй комбинации: 2222 Czyx

yx

dz

0

zdzydyxdx

.

26

Два независимых первых интеграла характеристической системы получе-ны. Теперь исключаем переменные y,x и z из системы:

2122

2

12

2221

C3Cx3C

xC

xyz

Czyx

Czyx

.

Подставляя в последнее соотношение вместо 1C и 2C их выражения через переменные y,x и z , получаем уравнение искомой поверхности:

2222 zyxzyx3 .► Пример 2.17. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению

3223 zyy

zzx

x

zxy

и проходящую через линию 23 zy,zx .

◄Из уравнений характеристической системы 3223 zy

dz

xz

dy

xy

dx составля-

ем интегрируемую комбинацию 33 zy

dz

xy

dx . Сократив на 3y и проинтегрировав

после этого, получаем первый интеграл z

xC1 . Из последнего соотношения

выражаем zCx 1 . После подстановки этого соотношения в характеристиче-скую систему, получаем ещё одну интегрируемую комбинацию:

2242342

1

zxyCzy

dz

zC

dy .

Теперь исключаем переменные y,x и z из системы:

0zxy0C

zy,zx

zxyC

z

xC

2242

23

2242

1

.

Имеем 0xzyxzy0zxy 22224 . Из начального условия3zx можно сделать вывод, что 0zxz 4 . Следовательно, 0xzy2 ,

причём равенство возможно лишь, когда 0y и хотя бы одна из переменных x или z также равна нулю. Но в этом случае исходное уравнение превращается в

тождество 00 . Таким образом, окончательно получаем 0xzy2 .► Пример 2.18. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению

xy2y

zy

x

zx

и проходящую через линию 2xz,xy 4 .

27

◄Характеристическая система уравнения имеет вид: xy2

dz

y

dy

x

dx . Со-

ставляем интегрируемую комбинацию y

dy

x

dx , из которой получаем первый

интеграл: yCxy

xC 11 . Подставим найденное выражение для x в третью

дробь характеристической системы и рассмотрим уравнение

zxyCzyCCyC2

dz

y

dy2

2122

1

. Два независимых первых интеграла

найдены. Следовательно, общее решение уравнения может представлено в форме:

0zxy,y

x

(2.40)

Переменная z входит только во второй интеграл, поэтому соотношение (2.40) можно переписать в виде

y

xxyz

y

xzxy , (2.41)

где — произвольная функция. В качестве параметра t возьмём x . Тогда система параметрических урав-

нений, определяющих заданную линию примет вид: 2tz,tyx . Подставив в первые интегралы эти выражения вместо ,y,x и z , получим: 0C,1C 21 . Оба полученных соотношения не содержат параметр t . Следовательно, данная задача Коши имеет бесконечно много решений. Подставим в (2.41) начальные

условия: 2xz,xy . Тогда получим: 011xx 22 . Этому требова-

нию удовлетворяют, например, функции 1y

x

y

x

или 1

y

xcos

y

x

.

Таким образом, окончательно получаем: все решения данной задачи Коши

можно записать в виде:

y

xxyz , где — произвольная функция, но та-

кая, что 01 .

3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

3.1. Классификация уравнений второго порядка

Пусть y,xu — неизвестная функция и пусть f,c,b,a,a,a,a 221211 — задан-ные функции двух независимых переменных x и y .

28

Дифференциальное уравнение: y,xfucubuauaua2ua yxyy22xy12xx11 . (3.1)

называется линейным уравнением в частных производных второго порядка. Если функции f,c,b,a,a,a,a 221211 зависят не только от переменных x и y ,

но и от неизвестной функции y,xu , то уравнение (3.1) называется квазилиней-ным.

Введём новые переменные и с помощью соотношений:

y,x

y,x (3.2)

и будем предполагать, что функциональный определитель (определитель Яко-би):

yy

xx

yy

xxJ

(3.3)

отличен от нуля. В этом случае у преобразования (3.2) существует обратное преобразование,

т. е. из системы (3.2) можно получить:

,y

,x (3.4)

В соответствии с правилом дифференцирования сложных функций не-скольких переменных 3 имеем:

yyyxxx uuu,uuu

xx2xxxxxxxxx uuuuuuu

xx2xxxxxxxxx uuuuuu

xxxx

2xxx

2xxxxx

xxxx2xxx

2x

uuuu2uu

uuu2u

Аналогично,

xyxyyxxyyxyxxy uuuuuu

yyyy2yyy

2yyy uuuu2uu .

Подставим в уравнение (3.1) полученные выражения для производных. В результате это уравнение примет вид:

0u,u,u,,Fuaua2ua 221211 , (3.5)

где,

29

2y22yx12

2x1122

yy22xyyx12xx1112

2y22yx12

2x1111

aa2aa

aaaa

aa2aa

(3.6)

fcubaaa2au

baaa2auu,u,u,,F

yxyy22xy12xx11

yxyy22xy12xx11

.

Выберем одну из переменных или таким образом, чтобы один из ко-эффициентов 11a или 22a в уравнении (3.5) обратился в нуль, т.е. чтобы урав-нение (3.5) кроме смешанной производной u содержало ещё только одну

частную производную второго порядка: или u , или u . Например, потре-

буем, чтобы 0a11 . Тогда переменная y,x должна быть решением урав-нения:

0aa2a 2y22yx12

2x11 . (3.7)

Умножим уравнение (3.7) на 11a и после этого представим получившееся выражение как разность квадратов. Тогда уравнение (3.7) можно переписать в виде:

0aaaaaaaaaa y221121212x11y2211

21212x11

Как видим, решение уравнения (3.7) сводится к решению совокупности двух линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка

0aaaaa

0aaaaa

y221121212x11

y221121212x11

. (3.8)

Общий интеграл каждого из уравнений (3.8) находится интегрированием соответствующих уравнений для характеристик (см. п. 2.1.1):

11

22112

1212

11

22112

1212

22112

121211

22112

121211

a

aaaa

dx

dy

a

aaaa

dx

dy

aaaa

dy

a

dx

aaaa

dy

a

dx

(3.9)

Решение уравнений (3.9) существенно зависит от знака подкоренного вы-

ражения 2211212 aaa . Именно по знаку этого выражения определяется тип

уравнения (3.1). Принята следующая классификация уравнений в частных производ-

ных второго порядка. Уравнение (3.1) в точке M называется уравнением:

1) гиперболического типа, если 0aaa 2211212 ;

30

2) эллиптического типа, если 0aaa 2211212 ;

3) параболического типа, если 0aaa 2211212 .

Замечание. 1) Можно легко проверить, что справедливо равенство:

22211

2122211

212 Jaaaaaa . (3.10)

Соотношение (3.10) означает, что тип уравнения (3.1) не изменяется при преобразовании переменных.

2) Тип уравнения (3.1) может зависеть от точки M , другими словами, вразных точках одно и то же уравнение может быть разного типа.

Пример 3.1. Рассмотрим уравнение 0u2xu yyxx . (3.11)

◄Здесь 2a,0a,xa 221211 , x2aaa 2211212 . Следовательно, при

0x уравнение (3.11) является уравнением гиперболического типа, при 0x — параболического типа, а при 0x — эллиптического типа. ►

3.2. Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме

Характеристическим уравнением уравнения (3.1) называют обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

0dxadxdya2dya 22212

211 . (3.12)

Так как x и y являются независимыми переменными, то всегда можно считать, что 0dx . Поэтому, уравнение (3.12) можно рассматривать как квад-

ратное уравнение относительно dx

dyy . Разрешив это уравнение относительно

y , получим пару уравнений (3.9). Пусть 1Cy,x и 2Cy,x общие инте-гралы этой пары. Их принято называть характеристиками уравнения (3.1).

1. Для уравнений гиперболического типа 0aaa 2211212 и, следовательно,

правые части уравнений (3.9) действительные и различные. Семейства характе-ристик уравнения (3.1) определяются общими интегралами

1Cy,x и 2Cy,x уравнений (3.9). Положим

y,x

y,x, тогда коэф-

фициенты 11a и 22a обратятся в ноль и уравнение (3.5) приводится к виду

u,u,u,,a2

Fu

12. (3.12)

Уравнение (3.12) называется канонической формой уравнений гиперболиче-ского типа.

Можно получить другую каноническую форму уравнения гиперболическо-го типа, которая также достаточно часто используется на практике.

31

Введём новые переменные и с помощью соотношений

2

1,

2

1. Тогда

2

1 , а

2

1 .

uu2

1uuu,uu

2

1uuu x .

uu

2

1uu

2

1

2

1uu

2

1uu

uu4

1u .

После подстановки полученных соотношений уравнение (3.12) примет вид: u,u,u,,4uu 1 . (3.13)

2. Для уравнения параболического типа 0aaa 2211212 , и оба уравнения

(3.9) принимают вид 11

12a

a

dx

dy . Пусть это уравнение имеет общий интеграл

Cy,x . Положим

y,x

y,x, где y,x — любая функция, но такая

что, определитель Якоби 0J . В этом случае, как отмечено выше, у преобра-зования (3.2) существует обратное преобразование (3.4). Если y,x явля-ется линейной функцией своих аргументов, то в качестве y,x также удобно выбрать линейную функцию.

Так как 2211212 aaa , то соотношения (3.6) можно переписать в виде:

0a

a

a

aaa

0a

aaa

y11

12xy

11

12x1112

2

y11

12x1111

Уравнение (3.5) приводится к виду:

u,u,u,,a

Fu

22. (3.14)

Уравнение (3.14) называется канонической формой уравнений параболиче-ского типа.

3. Для уравнения эллиптического типа 0aaa 2211212 и, следовательно,

правые части уравнений (3.9) комплексно сопряжённые. Если уравнение (3.1) имеет действительные коэффициенты, то комплексно сопряжёнными будут и общие интегралы 1Cy,x и 2Cy,x уравнений (3.9), т. е.

R,;1,y,xy,xy,x,y,xy,xy,x 2 iii .

32

Положим ii y,x,y,x . Как известно, если ли-нейное дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексное решение, то в отдельности его действительная и мнимая ча-сти также являются решениями этого уравнения 2 . Поэтому в качестве новыхпеременных выберем и . Кроме того, имеем:

2yy22yyxx12

2xx11

2y22yx12

2x1111

iaiia2ia

aa2a0a

2y22yx12

2x11

2y22yx12

2x11 aa2aaa2a

122211yy22xyyx12xx11 ai2aaaaai2

Отсюда следует, что 2211 aa , а 0a12 . Следовательно, уравнение (3.5) приводится к виду:

u,u,u,,uu 2 . (3.15)

Уравнение (3.15) называется канонической формой уравнений эллиптиче-ского типа.

3.3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейным уравнением в частных производных второго порядка с постоян-ными коэффициентами называется уравнение

y,xfucubuauaua2ua yxyy22xy12xx11 , (3.16)

в котором y,xu — неизвестная функция, y,xf — заданная функция двух не-зависимых переменных x и y , а c,b,a,a,a,a 221211 — заданные действитель-ные числа.

Правые части уравнений (3.9) в этом случае будут некоторые числа, необя-зательно действительные. Следовательно, общими интегралами этих уравнений являются: 11 Cxyy,x и 22 Cxyy,x . Значит, dxdy 1 или

dxdy 2 . Подставив полученные выражения для дифференциала dy в харак-

теристическое уравнение (3.12) , получаем после сокращения на 2dx квадрат-ное уравнение:

0aa2a 22122

11 . (3.17)

Числа 1 и 2 являются корнями уравнения (3.17). Возможны следующие ситуации.

1. Если 0aaa 2211212 , то корни уравнения (3.17) 1 и 2 — действи-

тельные и различные. Уравнение (3.16) гиперболического типа. С помощью но-вых переменных:

33

xy,xy 21 или x2

,x2

y 1221

. (3.18)

уравнение (3.16) приводится к виду 0u или 0uu .

2. Если 0aaa 2211212 , то 21 . Уравнение (3.16) параболического

типа. С помощью новых переменных x,xy . (3.19)

уравнение (3.16) приводится к виду 0u .

3. Если 0aaa 2211212 , то корни уравнения (3.17) 1 и 2 — комплексно

сопряжённые. i 2,1 0 .

Уравнение (3.16) эллиптического типа. С помощью новых переменных: x,xy . (3.20)

уравнение (3.16) приводится к виду 0uu .

Замечание. В канонических формах выражение в самом общем случае имеет вид: fcuudud 21 .

Пример 3.2. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:

0uuu3u2u yxyyxyxx . (3.21)

◄ Характеристическое уравнение для (3.21) имеет вид 0322 . Корни характеристического уравнения — вещественные и различные:

1,3 21 . Следовательно, уравнение (3.21) гиперболического типа.1. Введём переменные xy,x3y . Имеем:

uuuuu,u3uuuu

,1,3

yyyxxx

yxyx

uu6u9u

u3uu3u3u3uu3uu

xx

xxxx

Аналогично,

uuuu

,uu2u3u

yy

xy

Напомним, что в соответствии с теоремой Шварца 3 смешанные произ-водные u и u равны везде, где они непрерывны. Этот факт учтён при по-

лучении выражений для производных второго порядка. После подстановки полученных соотношений уравнение (3.21) принимает

вид:

uu8

1u

uuu3uu16

34

2. Введём переменные x2,xy . Имеем: 0,2,1,1 yxyx

uu,u2uu,u4u4uu

,uu,u2uu

yyxyxx

yx

Уравнение (3.21) приводится к виду:

u2

1uu ►

Пример 3.3. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:

0uuu4u4u yxyyxyxx . (3.22)

◄ Характеристическое уравнение 0442 имеет два одинаковых корня 221 . Следовательно, уравнение (3.22) параболического типа.

1. Введём переменные x,x2y . Имеем: 0,1,1,2 yxyx

uu,uu2u,uu4u4u

,uu,uu2u

yyxyxx

yx

Уравнение (3.22) приводится к виду:

uuu .

2. Так как уравнение параболического типа, то выражение для второй пе-ременной y,x выбирается достаточно произвольно. Возьмём теперь

x2y,x2y . В этом случае будем иметь: 1,2,1,2 yxyx

,u2u2u,u4u8u4u

,uuu,u2u2u

xyxx

yx

uu2uuyy

Подставим эти выражения для производных в исходное уравнение. Полу-чим:

0uuu2u2

uu2u4u2u24u4u8u4

Отсюда получаем ещё одну каноническую форму равнение (3.22)

0uu3u16 .►

Пример 3.4. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:

0uuu5u4u yxyyxyxx . (3.23)

35

◄ Характеристическое уравнение имеет вид 0542 . Вычислим

дискриминант: 4544D 2 . Следовательно, характеристическое уравне-ние имеет два комплексно сопряжённых корня i22,1 .

Уравнение (3.23) эллиптического типа. Характеристики Cxy для исследуемого уравнения имеют вид Cxi2y . Введём переменные ,x2yxi2yRe а

xxi2yIm . Как видим, новые переменные точно такие же, что и в примере 3.3. Поэтому выражения для производных будут также такими же, что и в предыдущем примере. Подставив их в уравнение (3.23), получим:

uuuu . ►

Пример 3.5. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:

0u2uu10u2u yxyyxyxx . (3.24)

◄ Характеристическое уравнение имеет вид 01022 . Вычислим дискриминант: 36404D . Следовательно, характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряжённых корня i312,1 . Уравнение (3.24) эл-

липтического типа. Введём переменные ,xyxi31yRe а x3xi31yIm . Тогда,

u3uu,u9u6uu

,uuuu,u3uu

xyxx

yy,yx

Уравнение (3.24) принимает вид: 0u3uu9u9 .

Если в качестве новых переменных взять x3,xy , то уравнение (3.24) приняло бы вид:

0u3uu9u9 .

Замечание. В случае линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами канонические формы допускают дальнейшее упрощение. Для этого вместо неизвестной функции u вводят новую неизвестную функцию v с помощью соотношения

e,v,u , (3.24) где и — некоторые постоянные числа.

Подстановка (3.24) надлежащим выбором чисел и позволяет в канони-ческих формах уравнений гиперболического и эллиптического типов избавить-ся от производных первого порядка. В канонической форме уравнения парабо-лического типа таким же образом удаётся обратить в нуль коэффициенты при одной из производных первого порядка и при самой неизвестной функции.

36

Из соотношения (3.24) находим:

vveveevu

vv2veu

,vv2veu,vveu

2

2

vvvveu

Подставим теперь эти соотношения, например, в каноническую форму для эллиптического уравнения 0fcuududuu 21 . После сокра-

щения на e получим:

0fcddvd2vd2vvv 12122

21

Возьмём 1d5,0 , 2d5,0 . Тогда,

0fcddvvv 12122

Совершенно аналогично производится упрощение остальных канониче-ских форм.

Пример 3.6. Выполнить упрощение канонической формы, полученной при решении примера 3.2.:

uu8

1u

◄ Произведём замену (3.24). Тогда получим:

08

1v

8

1v

8

1vv

.

Возьмём 8

1 , а

8

1 и окончательно получим:

0v64

1v ►

Пример 3.7. Выполнить упрощение канонической формы, полученной при решении примера 3.3.

uuu

◄ Сделаем замену (3.24). После сокращения на e получим:

0vv12vv

vvvvvv2v

2

2

Возьмём 5,0 , а 25,0 , тогда коэффициенты при v и v обратятся

в нуль, и последнее уравнение примет вид:

0vv ►

37

3.4. Решение уравнений второго порядка с помощью приведения к канонической форме

Интегрирование уравнений второго порядка является, вообще говоря, весьма не простой задачей. Однако в некоторых случаях приведение уравнения второго порядка к каноническому виду позволяет добиться этого достаточно простыми методами. Проиллюстрируем это утверждение примерами.

Пример 3.8. Определить тип уравнения, привести его к каноническому ви-ду и найти общее решение этого уравнения:

0a,xuua yyxx2 .

◄Здесь характеристическое уравнение приводится к виду 01a 22 и

имеет два различных действительных корня ba 12,1 . Следовательно,

исследуемое уравнение гиперболического типа. Введём переменные bxy,bxy . Тогда 1,b,b yyxx . uubux ,

uuu y ,

uu2ubu 2xx , uu2uu yy .

Подставим полученные соотношения в исходное уравнение:

b2uu2uuu2uba 22

b8u

. (3.25)

Проинтегрируем уравнение (3.25) сначала по , а затем по (или наобо-рот, см. пример 1.2). В результате получим:

b16

u

, где , — произвольные функции.

Возвращаясь к переменным x и y , окончательно получаем:

2

222

a8

yaxx

a

xy

a

xyy,xu

►

Пример 3.9. Определить тип уравнения, привести его к каноническому ви-ду и найти общее решение этого уравнения:

0uuuu2u yxyyxyxx .

◄ Здесь 011aaa 2211212 . Уравнение параболического типа. Соста-

вим характеристическое уравнение 0122 , которое имеет два одинако-вых корня 121 . Следовательно, Cxy является общим интегралом уравнения характеристик. Возьмём y,yx .

Тогда, 0,1 xyyx .

38

Далее,

uu2uu

uuu,uu,uuu,uu

yy

xyxxyx

Подставим выражения для производных в решаемое уравнение: 0uuuuu2uuu2u

0uu . (3.26)

Порядок уравнения (3.26) можно понизить на единицу заменой u,vv . Тогда vu , а (3.26) принимает вид:

21

111

CeC,u

eCueCvClnvlnv

vvv

21 C,C — произвольные функции.Вернёмся к старым переменным и получим:

yxCeyxCy,xu 2y

1 ► Пример 3.10. Решить в полуплоскости 0y задачу Коши для уравнения

0uy

2uuy yyyxy

2 при условии, что 6u,x1u 1yy1y .

◄ Здесь характеристическое уравнение имеет вид 0dxdxdyy 22 , ко-

торое распадается на совокупность

0dx

0dxdyy2. Интегрируя эту совокуп-

ность, находим два общих интеграла 1Cx и 2

3Cx

3

y . Для удобства вто-

рой интеграл перепишем в виде 23 Cx3y . Новые переменные вводим с по-

мощью соотношений x3y,x 3 . Тогда

uy3u,u3uu,y3,3,0,1 2yx

2yxyx

,y3u3uu 2xy

22yy

2y

2yy y3uy3uyy6uy3uy3u

В соответствии с правилом дифференцирования обратной функции 1y y .

Следовательно,

uy9yu6u 4yy .

После подстановки выражений для производных решаемое уравнение при-

водится к виду 0uy3 4 . Так как по условию 0y , то, следовательно,

0u . (3.27)

39

Воспользуемся решением примера 3.8 и определим общее решение урав-нения (3.27)

x3yxy,xuu 3 .Вид функций и определим с помощью начальных условий:

2x31

x1x31x

6y3x31

x1x31x

1y2 . (3.28)

Интегрируя последнее уравнение из (3.28), находим Ct2t . Следова-

тельно, C2x6x31,Cx6y2x3y 33 . Теперь из первогоуравнения системы (3.28) определяем, что C1x5x . Наконец,

1xy2y,xu 3 ► Пример 3.11. Найти решение задачи Коши:

0uu2y1

y2uuy12uy4 yx2yyxy

2xx

2

, (3.29)

1u,xu 0yy0y

◄ Характеристическое уравнение 0dxdxdyy12dyy4 2222 можнорассматривать как квадратное уравнение относительно производной y .

Дискриминант этого уравнения равен 4y14y16y14D22222 .

Следовательно, уравнение (3.29) гиперболического типа. Квадратное

уравнение имеет два действительных решения: 2y2

1y,

2

1y .

Найдём их общие интегралы: 23

1 Cxy3

2,Cx

2

1y . Для удобства

перепишем эти интегралы в виде: 321 y

3

2xC,y2xC .

Новые переменные введём с помощью соотношений:

y2x,y3

2x 3 . Тогда,

,u2uy2u,uuu,2,y2,1 2yxy

2yxx

uy12u2uy2uuuuu 22yyxy

u4uy8uy4yu4

u4uy8uy4y2y2u

u2uy2u2uy2u

24

24y

2y

2

y2

y2

yy

uu2uuxx

40

После подстановки выражений для производных неизвестной функции че-рез новые переменные решаемое уравнение (3.29) принимает вид:

0u0uy14 2 .

Следовательно, общее решение уравнения (3.29) равно:

y2xy3

2xy,xuu 3

. (3.30)

Вид функций и определим с помощью начальных условий:

C

2

tt

12

xxx

12y2u

xxxu

0y2

0yy

0y

Следовательно,

C2

xxxC

2

xx

Cy

2

xCy

3

1

2

xy2xy

3

2xy,xu 33

yy3

1xy,xu 3 ►

Пример 3.12. Найти решение задачи Коши:

0uuxux2xu xyy3

xy2

xx , (3.31)

2y xu,0u

2

2xy

2

2xy

◄ Характеристическое уравнение имеет вид:

0dxxdxdyx2xdy 2322

и является квадратным уравнением относительно dx

dy с дискриминантом, рав-

ным нулю. Следовательно, уравнение (3.31) относится к уравнениям параболи-

ческого типа. Выражение 2

xyC

2 — общий интеграл характеристического

уравнения. Возьмём y,2

xy

2 . Тогда,

uu2uu,xuuu

,uxuu,uuu,xuu,1,0,x

yyxy

2xxyxyyxx

Уравнение (3.31) приводится к виду:

0u0ux3 .

41

Дважды интегрируя по последнее уравнение, получаем:

2

xy

2

xyyy,xuu

22. (3.32)

Произвольные функции , определяются из системы:

2222

2

222

xxx2

xx

0xx2

x

(3.33)

Система (3.33) получается после подстановки выражения (3.32) в началь-ные условия.

Введём обозначение 2xt , после чего продифференцируем первое урав-нение системы (3.33). В результате получим:

2tt2

tt

t2t

ttt2

tt

0tt2

tt

2

1

Подставим найденные выражения для функций и в (3.32) и по-лучим:

4

xyy,xu

22 ►

Пример 3.13. Найти в области 0y,x решение задачи Коши:

0uy3xyu2ux yy2

xyxx2 . (3.34)

yu,0u 1xx1x

◄ Составим уравнение характеристик 0dxy3xydxdy2dyx 2222 . Дискри-

минант этого уравнения равен 22222 yx16y3x4xy2D в области 0y,x принимает только положительные значения. Уравнение относится к уравнени-ям гиперболического типа. Два общих интеграла характеристического уравне-

ния можно представить в виде x

yC,yxC 2

31 .

Введём новые переменные x

y,yx3 . Тогда,

x

1,

x

y,x,yx3 y2x

3y

2x

,ux

1uxu,u

x

yyux3u 3

y22

x

42

ux

yuy6uyx9u

x

y2xyu6

ux

yyux3u

x

yyux3u

4

2224

3

x22

x22

xx

ux

yxyu2yux3u

x

1ux3u

35

22

xy

ux

1ux2uxu

226

yy

Уравнение (3.34) преобразуется к виду:

0uu40ux

y4uyx16 22 . (3.35)

Проинтегрируем (3.35) по переменной . Получим:

uu4 . (3.36)

где — произвольная функция. Уравнение (3.36) является линейным относительно ,u . Будем решать

его методом Бернулли. Положим ,h,g,u . Тогда,

hg4

0hh4ghghhg4,ghhgu . (3.37)

Интегрируя первое уравнение системы (3.37), находим 4

1

h . Второе уравнение системы(3.37) после этого принимает вид:

d4

1,gg4 4

5

4

5

. (3.38)

Таким образом,

x

yyxyxy,xughu 34

134

1

. (3.39)

Произвольные функции , определяются из системы (3.40), кото-рая получается после подстановки (3.39) в начальные условия:

yyyy3yyyyy4

3u

0yyyu

4

1

4

3

1xx

4

1

1x (3.40)

43

Из первого уравнения системы (3.40) следует, что yy . Тогда из второго уравнения системы (3.40) находим, что:

Cy3

1yyy4 4

3

4

1

Следовательно,

41

34

3

4

33 yxC

x

y

3

1Cyx

3

1y,xu

yyx3

1y,xu 3 . ►

4. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙФИЗИКИ

4.1. Уравнения колебаний

Под струной принято понимать тонкую натянутую нить, закреплённую на концах. Если вывести её из состояния равновесия, она может свободно коле-баться, то есть изменять свою форму. Пусть 0T величина силы натяжения струны. Предположим, что эта величина столь велика, что действием сил тя-жести можно пренебречь.

Пусть длина струны равна и в положении равновесия струна прямо-линейна и располагается вдоль оси OX между точками 0x и x .

Будем рассматривать малые по-перечные упругие колебания струны. Это означает, что все точки струны могут двигаться только в направлении оси OY (рис. 1).

Рис. 1

Если обозначить через t,xu отклонение от положения равновесия точки струны с абсциссой x в момент времени t , то предполагается, что смещения

t,xu и производнаяx

uux

являются малыми величинами, то есть будем

пренебрегать их квадратами и произведениями. Для получения уравнения движения струны рассмотрим произвольный

элемент струны, концы которого в положении равновесия имеют координаты

1x и 2x , так что длина этого элемента равна 12 xx . В момент времени t этот участок занимает положение 21 (рис. 1).

2x

x1x 2x

y

0

1x

2xT

1xT

2

1

44

Длина элемента 21 в силу наших предположений равна:

12

x

x

2x xxdxu1dl

2

1

, (4.1)

т. е. в процессе малых колебаний удлинение участка струны не происходит. Это означает, что величина натяжения струны, возникающая при её движении, пре-небрежимо мала по сравнению с тем натяжением, которому струна была под-вергнута в положении равновесия.

В соответствии с законом упругости Гука величина растяжения участка струны пропорциональна величине его натяжения xT и направлена по каса-тельной к струне, поэтому 2211 xcosxTxcosxT , где x угол между

касательной к кривой t,xu в точке x и осью OX . Для малых отклонений t,xu :

1u1

1

xtg1

1xcos

2x

2

. (4.2)

Следовательно, 021 TxTxT . (4.3)

Согласно принципу Даламбера все силы, действующие на элемент 21 , уравновешены. Проекция сил натяжения на ось OY на участке 21 равна:

1020 xsinTxsinT , (4.4) где,

x

u

u1

u

xtg1

xtgxsin

2x

x2

.

Следовательно,

dxx

uTt,xut,xuT

2

1

x

x2

2

01x2x0

. (4.5)

Пусть t,xp — внешняя сила, действующая на единичном отрезке стру-ны в направлении оси OY , тогда величина проекции на ось OY этой силы на элементе 21 равна:

dxt,xpF2

1

x

x . (4.6)

Пусть x — плотность участка единичной длины в точке x , тогдаинерционная сила на элементе 21 струны будет равна:

dxt

ux

2

2x

x

2

1

. (4.7)

45

По принципу Даламбера:

0dxt,xpt

ux

x

uT

2

1

x

x2

2

2

2

0

. (4.8)

В силу произвольности точек 21, xx из (4.8) следует, что подынтегральное выражение равно нулю:

t,xpx

uT

t

ux

2

2

02

2

. (4.9)

Таким образом, (4.9) является уравнением колебания струны. Считая струну однородной, т. е. constx , запишем:

t,xfx

ua

t

u2

22

2

2

, (4.10)

где,

t,xp

t,xf,T

a 02 .

Для решения конкретной задачи колебания струны необходимо задать форму струны и распределение скоростей точек струны в начальный момент времени 0t :

xt

u,xu 1

0t00t

. (4.11)

Кроме того, необходимо задать граничные условия на концах струны. Например, если струна закреплена на концах, то:

0u,0u x0x . (4.12)

Условия (4.11) называют начальными, (4.12) — граничными (краевыми) условиями.

Таким образом, задача о колебании струны сводится к решению следую-щей математической задачи: найти то решение уравнения (4.10), которое удо-влетворяет начальным условиям (4.11) и в случае струны с закреплёнными концами, граничным условиям (4.12).

В общем случае вместо краевых условий (4.12) могут быть заданы усло-вия движения струны на концах в виде:

tt,u,tt,0u 21 . (4.13)

Иногда рассматривают колебания бесконечной струны ,x илиполубесконечной струны ,0x .

Если 0t,xf , то говорят о свободных колебаниях струны. Когда рассматриваются малые колебания тонкой упругой плёнки (мем-

браны), занимающей область D плоскости XOY , то уравнение поперечных ко-лебаний мембраны имеет вид:

46

t,y,xpy

u

x

uT

t

uy,x

2

2

2

2

2

2

. (4.14)

В случае однородной мембраны const и уравнение (4.14) приводится к виду:

t,y,xfy

u

x

ua

t

u2

2

2

22

2

2

,

t,y,xp

t,y,xf,T

a . (4.15)

Если внешняя сила, действующая на мембрану, отсутствует, получаем уравнение свободных колебаний мембраны:

2

2

2

22

2

2

y

u

x

ua

t

u. (4.16)

Как и в задаче колебания струны, в случае колебания мембраны задаётся начальная форма мембраны и начальное распределение скоростей точек мем-браны.

y,xu 00t ;

yxtu

t,1

0

. (4.17)

Если на границе L (контур) мембрана закреплена, то должно выполнять-ся граничное условие:

0u L . (4.18)

Помимо поперечных колебаний рассматривают и продольные колебания стержней, струн, пружин.

При продольных колебаниях рассматривается смещение точек вдоль стержня. Если обозначить через t,xu величину смещения точки x в моментвремени t вдоль стержня ,0x , то уравнение продольных колебаний стерж-ня примет вид:

t,xFt

ux

x

uxk

x 2

2

, (4.19)

где 0xk,xk — модуль Юнга в точке x x, — плотность материала стержня.

Если стержень однороден constx,constxk , то уравнение про-дольных колебаний имеет вид:

t,xfx

ua

t

u2

22

2

2

;

t,xFt,xf,

ka2 . (4.20)

47

Кроме того задаются: начальное смещение точек стержня: xu 00t .

и условия на его концах, например, 0t,0u — конец стержня 0x закреплён и tt,u — задан закон смещения второго конца в каждый момент

времени.

4.2. Уравнения электрических колебаний в проводах

Если протяжённость электрической цепи велика (например, линия пере-дачи электроэнергии, телеграфная линия), то такую цепь нельзя характеризо-вать сосредоточенными параметрами (сопротивлением, ёмкостью, самоиндук-цией), а следует говорить о линии с распределёнными параметрами. Принято считать, что такие линии обладают активным сопротивлением R , самоиндук-цией L , ёмкостью C и утечкой изоляции G , рассчитанными на единицу длины. Для определённости будем рассматривать двухпроводную линию 5 . Пустьнапряжение между проводами и электрический ток на расстоянии x от начала 0x линии в момент времени t равны t,xu и t,xi соответственно.

Для составления уравнений, которым долж-ны удовлетворять функции t,xu и t,xi , выделим участок линии от точки с абсцис-сой x до точки с абсциссой dxx . С точно-стью до бесконечно малых более высокого порядка, чем dx напряжение и ток в точке

dxx в момент времени t будут равныdxuu x

и dxii x соответственно (рис. 2). Рис. 2

В соответствии с законом Ома LdxiiRdxdxuuu tx . (4.21) CdxuuGdxdxiii tx . (4.22)

После раскрытия скобок и сокращения на dx получаем систему

0Gut

uC

x

i

; (4.23)

0Rit

iL

x

u

. (4.24)

так называемых телеграфных уравнений. Продифференцируем уравнение (4.23) по x , а уравнение (4.24) по t и ис-

ключим из этих уравнений напряжение u . В результате получим уравнение:

GRit

iGLCR

t

iCL

x

i2

2

2

2

. (4.25)

x dxx

u dxx

uu

i dxx

ii

48

Аналогично, исключив из уравнений (4.23) и (4.24) ток i , получим:

GRut

uGLCR

t

uCL

x

u2

2

2

2

. (4.26)

Уравнения (4.25) и (4.26) называют телеграфными уравнениями. В случае, когда 0G (потерями через изоляцию можно пренебречь) и сопро-тивление R очень мало ( 0R ), получаем уравнения колебаний:

0x

ia

t

i2

22

2

2

; 0

x

ua

t

u2

22

2

2

;

LC

1a2 . (4.27)

При расчёте конкретной линии передачи электроэнергии или телеграфной линии полученные уравнения должны быть дополнены начальными и гранич-ными условиями.

Начальные условия обычно задаются в виде: xi,xu 0t0t . (4.28)

С помощью уравнений (4.23) и (4.24) и соотношений (4.28) легко можно найти производные tu и ti при 0t .

Если в начале линии 0x включён источник питания tE , а на конце линии x имеется нагрузка с сопротивлением lR , то граничные условия при-нимают вид:

xlx0x iRu,tEu . (4.29)

В частности если конец 0x находится под напряжением tE , а конец x замкнут накоротко, то условия (4.29) трансформируются в

0u,tEu x0x . (4.30)

Ясно, что возможны и другие комбинации условий на концах линии.

4.3. Уравнение теплопроводности

Пусть температура некоторой среды (тела) в точке z,y,xM в момент времени t равна t,Mu . Будем считать эту среду изотропной и обозначим че-рез ,M Mc , и Mk , соответственно, плотность, удельную теплоёмкость и коэффициент теплопроводности. Обозначим через t,MF интенсивность ис-точников тепла в точке M среды в момент времени t . Если температура среды в разных точках различная, то в этой среде будет происходить процесс переда-чи тепла от более нагретых участков среды к менее нагретым. Процесс переда-чи тепла характеризуется вектором плотности потока тепла q

. Направление

этого вектора совпадает с направлением потока тепла в данный момент време-ни, а величина (модуль) вектора q

равна количеству тепла, протекающего в

единицу времени через площадку, единичной площади, перпендикулярную направлению потока тепла. Вектор q

удовлетворяет закону Фурье:

ugradMkuMkq

, (4.31)

49

где kz

jy

ix

— оператор Гамильтона.

Для составления дифференциального уравнения, которому должна удо-влетворять функция t,Mu , выделим в среде бесконечно малый объём dv dxdydz с центром в точке z,y,xM . Составим баланс тепла для этого объёма.

Количество тепла, выделяемого в этом объёме за время t , равно tdvt,MFdQ1 . Количество тепла, затраченного на нагрев этого объёма за

время t , равно

tt

udvMMct,Mutt,MudvMMcdQ2

.

Количество тепла, вытекающего из объёма dv за время t , равно tdvqdQ3

. В соответствии с законом сохранения энергии

321 dQdQdQ . Следовательно,

t,MFt

ucq

. (4.32)

Исключив из уравнений (4.31) и (4.32) q

, получим:

t,MFukt

uc

. (4.33)

Если среда однородна, т. е. constk,c, , то уравнение (4.33) приводится к виду:

c

t,MFt,Mf,

c

ka,t,Mfua

t

u 22 , (4.34)

где 2

2

2

2

2

2

zyx

— оператор Лапласа.

Уравнение (4.34) называется уравнением теплопроводности или уравне-нием Фурье.

Для полного описания процесса распространения тепла в среде необхо-димо задать начальное распределение температуры и условия на границе сре-ды.

Начальное распределение температуры обычно задаётся в форме: Mu 0t . (4.35)

Граничные условия характеризуют контакт исследуемой среды (тела) с окружающей средой или взаимный контакт двух нагретых тел. Наиболее упо-требительными являются следующие граничные условия.

1). Граничные условия первого рода. Это условие используется, если на границе S среды поддерживается заданное распределение температуры:

0S uu . (4.36)

50

2). Граничные условия второго рода. В этом случае на границе S среды задан поток q тепла:

qn

uk S

, (4.37)

где k — коэффициент теплопроводности, а n

u

— производная функции uпо

нормали к поверхности S. Задание теплового потока на границе равносильно заданию на этой границе нормальной производной:

t,Mn

uS

. (4.38)

3). Граничные условия третьего рода. Эти условия задаются в том слу-чае, если на границе S тела происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона:

0uuhn

uk S0

, (4.39)

где h — коэффициент теплообмена, 0u — температура окружающей среды. 4). Граничные условия четвёртого рода. В этом случае на границе сопри-

косновения двух тел или тела и окружающей среды задаётся равенство темпе-ратур и равенство тепловых потоков.

При любых заданных начальных и граничных условиях требуется найти функцию t,Mu , удовлетворяющую уравнению (4.33) или (4.34) в любой точке M в любой момент времени t .

Замечание. Если речь идёт о распространении тепла в очень тонкой однородной пла-

стине, т.е. изменение температуры происходит только в направлении осей OX

и OY , а 0z

u

, то )t,y,x(u)t,M(u , и уравнение (4.34) в случае отсутствия в

пластине источников тепла принимает вид:

2

2

2

22

y

u

x

ua

t

u. (4.40)

Если изучается распространение тепла в длинном стержне (в этом случае поперечными размерами сечения тела по сравнению с его длиной можно пре-небречь), то уравнение (4.40) преобразуется к виду:

2

22

x

ua

t

u

. (4.41)

51

4.4. Уравнения движения жидкости

Движение жидкости в каждой точке z,y,xM в произвольный момент времени t определяется заданием её вектора скорости:

t,Mv,t,Mv,t,Mvv zyx

.

Величинами, характеризующими распределение скорости, являются:плотность t,z,y,x , давление t,z,y,xp и наличие внешних сил t,z,y,xf

.

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим некоторый объ-ём V идеальной жидкости, ограниченный замкнутой поверхностью S.

Полная сила, действующая на этот объём при отсутствии внешних сил t,z,y,xf

, равна 6 :

S

spd

,

где вектор sd

по абсолютной величине равен площади ds элемента поверхно-сти S и направлен по нормали к ней. Принято направлять sd

по внешней нор-

мали. Если z,ncos,y,ncos,x,ncosn

— единичный вектор внешней нор-мали к поверхности S в данной точке M , то dsnsd

.

Так как kz,ncospjy,ncospix,ncospnp

, то по формуле Остро-градского:

dvgradpdsnpVS

. (4.39)

Для получения уравнения движения жидкости применим к выделенному объёму жидкости второй закон Ньютона ( Fam

):

dVfdVgradpdVdt

vd

VVV

. (4.40)

При вычислении ускорения dt

vd

какой либо точки z,y,xM при её движе-

нии вдоль линии тока (т. е. по траектории её движения tz,ty,txt,Mr

),воспользуемся формулой дифференцирования сложных функций нескольких переменных:

vvt

v

dt

dz

z

v

dt

dy

y

v

dt

dx

x

v

t

v

dt

vd

. (4.41)

Подставим соотношение (4.41) в уравнение (4.40) и учтём произволь-ность объёма V . В итоге получим уравнение движения идеальной жидкости в векторной форме:

fpgrad1

vvt

v

, (4.42)

Уравнение движения идеальной жидкости (4.42) принято называть урав-нением Эйлера.

52

Уравнение (4.42) (три уравнения для проекций на оси zyx ,, ) связывают четыре искомые величины: проекции вектора скорости zyx v,v,vv

и давление

t,z,y,xp . Еще одним уравнением, связывающим эти неизвестные, является уравнение неразрывности.

Уравнение неразрывности получается аналогично уравнению (4.42). Если отсутствуют источники или стоки жидкости внутри выделенного объёма V , то изменение количества жидкости внутри V в единицу времени равно потоку этой жидкости через поверхность S жидкой частицы. Следовательно,

dsnvdVt

SV

. (4.43)

Преобразуя поверхностный интеграл в соотношении (4.43) по формуле Остроградского, получим:

0dVvdivtV

. (4.44)

Из (4.44) в силу произвольности V следует уравнение неразрывности

0vdivt

. (4.45)

Кроме того необходимо записать термодинамическое уравнение состоя-ния, связывающее в общем случае давление, плотность, температуру, энтро-пию.

В случае изотермического течения (течения при постоянной температуре) уравнение состояния можно записать в виде:

p . (4.46) Таким образом, уравнения течения идеальной жидкости представляют

систему трёх векторных уравнений:

fpgrad1

vvt

v

0vdivt

p При решении конкретной задачи (например, задачи обтекания тела, име-

ющего поверхность S , потоком идеальной жидкости) необходимо ещё задать начальные и граничные условия.

В качестве начальных условий обычно понимают распределение скорости в момент времени 0t :

0tt,z,y,xUv

. (4.47)

Что касается граничных условий, то для идеальной жидкости необходи-мо задать нормальную составляющую скорости на обтекаемой поверхности:

t,Mqnv nSM

. (4.48)

53

В случае, когда исследуется движение жидкости, которая имеет малую плотность, но большую скорость, уравнения движения идеальной жидкости принято называть уравнениями газовой динамики. Такие условия возникают, например, при изучении аномальных явлений (вихри, смерчи); при решении за-дач авиации; при исследовании движения судна на воздушной подушке, на подводных крыльях и т. д.

Если в условиях рассматриваемой задачи можно считать (в некотором приближении), что const , то получаем уравнения гидродинамики несжима-емой жидкости. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости прини-мает вид:

0vdiv

. (4.49) Если условия задачи таковы, что допустимо введение функции тока

z,y,x

;

rotv , то уравнение (4.49) будет выполняться автоматически. Этотфакт зачастую существенно упрощает задачу.

4.5. Наиболее часто используемые уравнения математической физики

В разделах 4.1–4.4 достаточно подробно представлены выводы уравне-ний в частных производных, к которым приводят некоторые задачи физики и механики. Понятно, что этот ряд примеров можно было бы ещё долго продол-жать. Однако, анализ этих примеров показывает, что наиболее часто применя-ются следующие уравнения математической физики.

1. Уравнение Лапласа0u . (4.50)

Уравнение Лапласа встречается в гидро- и аэродинамике, теории упруго-сти, теории теплопроводности, электростатике, магнитостатике и в других науках.

2. Уравнение Пуассона z,y,xfu . (4.51)

Область применимости уравнения Пуассона — та же, что и для уравне-ния Лапласа. Различие заключается только в том, что уравнение Лапласа опи-сывает поля, не имеющие внутренних источников, а уравнение Пуассона ис-пользуется для характеристики полей с распределёнными внутренними источ-никами.

3. Волновое уравнение

t,z,y,xft

uua

2

22

. (4.52)

Это уравнение применяется для описания волновых процессов, которые могут иметь разную природу.

4. Уравнение теплопроводности

t,z,y,xft

uua2

. (4.53)

54

5. Уравнение Гельмгольца

constk,z,y,xfuku 2 . (4.54) Уравнение Гельмгольца описывает изменение амплитуд установившихся

периодических колебаний заданной частоты. 6. Уравнение Шредингера

0VEm22

. (4.55)

Уравнение Шредингера является одним из основных уравнений кванто-вой механики. Здесь x — волновая функция; m и E — масса и энергия ча-стицы, соответственно; xV — потенциал внешнего силового поля; — по-стоянная Планка.

Все перечисленные выше уравнения являются уравнениями второго по-рядка. Но в математической физике используются уравнения и более высокого порядка. Например, в теории упругости для описания процесса изгиба тонких пластин применяется уравнение четвёртого порядка:

4

4

22

4

4

444

y

u

yx

u2

x

uu,y,xquD

. (4.56)

где D — цилиндрическая жёсткость пластины.

5. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ5.1. Колебания бесконечной струны. Метод Даламбера

Рассмотрим задачу колебания бесконечной струны, если в начальный мо-мент времени известна форма струны и распределение скоростей точек струны. В соответствии с п. 4.1 речь идёт о нахождении решения задачи Коши:

0x

ua

t

u2

22

2

2

(5.1)

,x,

xo,xt

u

xo,xu . (5.2)

Характеристики уравнения (5.1) определяются из уравнения:

0dtadx 222 , (5.3) и имеют вид:

21 catx,catx . (5.4) С помощью новых переменных:

atx,atx , (5.5) приводим уравнение колебания струны к канонической форме:

0u2

или 0u

. (5.6)

55

Интегрируя (5.6) по переменной , получим:

1u

; (5.7)

1 — произвольная (интегрируемая) функция.Интегрируя (5. 7) по переменной , находим:

21 d,u (5.8)

2 — произвольная функция.Следовательно,

,u . (5.9) Замечание. В уравнении (5.9) — произвольная функция, т. к.

d1 — интеграл от произвольной функции.

Учитывая (5.5) и (5.9), получим общий интеграл уравнения (5.6), а, зна-чит, и уравнения (5.1):

atxfatxft,xu 21 . (5.10) Для определения функций 1f и 2f потребуем, чтобы соотношение (5.10)

удовлетворяло начальным условиям (5.2): xxfxft,xu 210t . (5.11)

xxfaxfat,xt

u210t

. (5.12)

Интегрируя (5.12), получим:

Cdqqa

1xfxf

x

x21

0

. (5.13)

Решив теперь систему уравнений (5.11) и (5.13), находим:

.Cdqqa2

1x

2

1xf

;Cdqqa2

1x

2

1xf

1

x

x2

1

x

x1

0

0 (5.14)

Подставив (5.14) в (5.10), получим:

dqqdqq

a2

1

2

atxatxt,xu

atx

x

atx

x 00

. (5.15)

Учитывая свойства определённых интегралов, выражение (5.15) можно переписать в виде:

dqqa2

1

2

atxatxt,xu

atx

atx

. (5.16)

56

Полученное решение представляет собой суперпозицию (наложение) двух волн, одна из которых:

dqqa2

1

2

atxt,xu

atx

x1

0

, (5.17)

движется со скоростью а вправо, а вторая:

dqqa2

1atx

2

1t,xu

atx

x2

0

, (5.18)

с такой же скоростью движется влево. Решение (5.16) задачи Коши (5.1), (5.2) принято называть решением в

форме Даламбера. Пример 5.1. Методом Даламбера найти уравнение t,xuu формы од-

нородной бесконечной струны, совершающей свободные колебания. В началь-ный момент времени 0t форма струны и распределение скоростей точек струны определяются заданными функциями:

,x,eo,xt

u,x2xo,xu x .

◄ Воспользуемся соотношением (5.16). Имеем:

22 atxx2atx2atxatx2atx2

12

atxatx

(5.19)

atsha

e

2

ee

a

e

ea2

1dqe

a2

1dqq

a2

1

xatatx

atx

atxq

atx

atx

qatx

atx

(5.20)

Подставив соотношения (5.19) и (5.20) в выражение (5.16), получаем:

atsha

eatxx2t,xu

x22

►

5.2. Колебания струны с закреплёнными концами. Метод разделения переменных

Рассмотрим следующую задачу. Однородная струна длиной закреплена на концах 0x и x . В начальный момент времени 0t точки струны выве-дены из положения равновесия, т. е. струна приняла известную форму

,0x,xy и, кроме того, точки струны приобрели заданные скорости

xt

u0t

.

57

Требуется найти положение каждой точки струны и её скорость в произ-вольный момент времени 0t .

Математическая постановка этой задачи формируется следующим обра-зом: требуется найти решение уравнения колебания струны (5.1), удовлетворя-ющее граничным условиям:

.0u

;0u

x

0x

(5.21)

при начальных условиях:

.xt

u

;xu

0t

0t

(5.22)

Решаем задачу методом разделения переменных (методом Фурье). Суть этого метода заключается в следующем. Положим:

tTxXt,xu . (5.23)

Подставим (5.23) в уравнение (5.1) и разделим переменные, т. е. предста-вим уравнение (5.1) в виде:

tTa

tT

xX

xX2

. (5.24)

Так как левая часть равенства (5.24) зависит только от переменной x , а правая — от переменной t , то это равенство возможно, тогда и только тогда, когда каждая из этих частей является постоянной величиной. Обозначим эту

постоянную через 2 . Такое обозначение не является случайным. Ниже будет показано, что решение уравнения (5.1), удовлетворяющее произвольным начальным условиям (5.22) и граничным условиям (5.21) возможно лишь при

условии, что 02 . Соотношение (5.24) теперь приобретает форму:

22 tTa

tT

xX

xX

.

Откуда получаем систему:

0XX

0TaT

2

22. (5.25)

Граничные условия (5.21) примут вид:

0X,00X . (5.26)

Уравнения в системе (5.25) являются линейными однородными диффе-ренциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение второго из этих уравнений имеет вид:

xsinCxcosCxX 21 . (5.27)

58

Постоянные 1C и 2C выберем так, чтобы выполнялись граничные усло-вия (5.26). Подставив (5.27) в (5.26), получим систему:

0sinCcosC

0C

21

1

. (5.28)

При 0C1 имеется две возможности выполнения соотношения (5.28): либо 0C2 , либо 0sin . Если 0C2 , то 0t,xu0xX . Следова-тельно, в этом случае выполнение начальных условий (5.22) при произвольных x и x невозможно. Значит, 0sin , т. е.

n

, (5.29)

где, вообще говоря, n любое целое число. Если 0n , то 0 и 0xX , и вновь получаем тривиальное решение 0t,xu . Если 0 , то решение второ-

го из уравнений системы (5.25) имеет вид: x2

x1 eCeCxX , и удовлетво-

рить обоим граничным условиям (5.26) можно, лишь если 0CC 21 . Следо-вательно, n может принимать только целые положительные значения:

Таким образом,

Nn,xn

sincxXxX nn

. (5.30)

Подставив (5.29) в первое уравнение (5.25), находим:

tan

sinbtan

cosatT nnn (5.31)

xn

sintan

sinbtan

cosat,xu nnn . (5.32)

Уравнение (5.1) — линейное. Поэтому его общее решение получается суммированием решений (5.32), т. е.

x

nsint

ansinbt

ancosat,xu

1nnn

. (5.33)

Доказано 7 , что ряд (5.33) является решением (5.1), удовлетворяющимграничным условиям (5.21), если он сходится равномерно. Тогда его можно дважды почленно дифференцировать как по x так и по t .

В этом случае,

1nnn x

nsint

ancosbt

ansina

an

t

u

(5.34)

Удовлетворяя начальным условиям (5.22), получаем, что коэффициенты

na и nb находятся из разложения функций x и x в соответствующие ря-ды Фурье:

59

xxn

sinan

b

xxn

sina

1nn

1nn

(5.35)

Откуда,

dxxn

sinxan

2b

dxxn

sinx2

a

0n

0n

(5.36)

Доказано 7 так же, что ряд (5.33) с коэффициентами (5.36) даёт решениезадачи (5.1), (5.21), (5.22), если функции x и ,0x,x имеют непре-рывные производные x , x , x , x и x , причем 00 и 00 ; 00 .

Замечание. Задача нахождения нетривиальных решений уравнения

0XX 2 , удовлетворяющих граничным условиям (5.26), называется зада-чей Штурма-Лиувилля. Решения этой задачи принято называть собственными функциями, а соответствующие значения n — собственными числами.

Пример 5.2. Решить задачу (5.1), (5.21), (5.22) о колебании струны, если

0x , а x4

sinx

.

◄ Так как 0x , то в силу соотношений (5.36) 0an .Имеем,

4n,x8

cos12

1

4n,xn4

cosxn4

cos2

1

xnsin

x4sin

0 4n,2

4n,0dx

xnsin

x4sin .

Следовательно,

4n,2

4n,0

an

2dx

xnsin

x4sin

an

2b

0n

,5,3,2,1n,0b,

a4b n4

Подставим найденные коэффициенты na и nb в (5.31) и получим:

60

ta4sin

x4sin

a4t,xu

►

Пример 5.3. Найти функцию t,xu , удовлетворяющую на отрезке

12,0x волновому уравнению 2

2

2

2

x

u16

t

u

с граничными условиями

0t,12ut,0u и заданным начальным условиям 0x

t

0,xu

и

12x6,80

x123

6x0,80

x3

x0,xu .

◄ Ясно, что можно воспользоваться выше полученным решением (5.33), в котором 12,4a , а коэффициенты na и nb вычисляются по формулам (5.36).

Так как 0x , то 0bn . Остаётся вычислить лишь na .

6

0

6

0n dx

12

xnsin

80

x123dx

12

xnsin

80

x3

12

2a . (5.37)

Интегралы, стоящие в правой части (5.37), вычислим по частям.

12

xncos

n

12v,dx

12

xnsindv

dxdw,x12wdx

12

xnsin

80

x12312

6

12

6

dx12

xncos

n

12

12

xncos

n

12x12

80

3 12

6

12

612

xnsin

n

12

2

ncos

n

1260

80

3 2

2

nsin

n

12

2

ncos

n

126

80

3 2. (5.38)

Аналогично,

2

nsin

n

12

2

ncos

n

126

80

3dx

12

xnsin

80

x3 26

0

. (5.39)

Подставим теперь соотношения (5.38) и (5.39) в выражение (5.37). Полу-чим:

2

nsin

n

1

8

9a

2n

. (5.40)

61

Заметим, что 02

nsin

, если Nm,m2n . Следовательно, 0a m2 .

Заметим также, что 1m1

2

1m2sin

.

Поэтому, подставив выражения для коэффициентов na и nb в (5.33) и учитывая сделанные замечания, получаем:

1m2

1m

2 12

x1m2sin

3

t1m2cos

1m2

1

8

9t,xu ►

5.3. Колебания стержня, жёстко заделанного одним концом в стенку. Метод разделения переменных

Рассмотрим задачу о колебаниях тонкого упругого стержня длиной , один конец 0x которого жёстко заделан в стенку, а второй конец xсвободен. В начальный момент времени 0t стержень выведен из положения равновесия так, что он принял форму:

x0,xu , (5.41) а точкам стержня приданы скорости

.xt

u0t

(5.42)

Требуется определить функцию t,xu , которая определяет форму стерж-ня и скорости его точек, в произвольный момент времени 0t,t .

Математическая постановка задачи заключается в следующем. Требуется найти решение волнового уравнения (5.1), удовлетворяющее начальным усло-виям (5.41) и (5.42), а также граничным условиям:

0t,0u , (5.43)

0t,x

u

. (5.44)

Будем решать задачу методом разделения переменных: также как и рань-ше ищем неизвестную функцию в виде произведения (5.23). После подстановки (5.23) в волновое уравнение и разделения переменных, получим уравнение:

22

X

Xa

T

T

, (5.45)

которое равносильно системе двух уравнений:

0TT 2 ; (5.46)

0Xa

X2

2

. (5.47)

Решая эту систему, найдём:

tcosbtsinaT ; (5.48)

62

x

acosdx

asincX . (5.49)

x

acosdx

asinctcosBtsinAt,xu

. (5.50)

Потребуем, чтобы функция (5.50) удовлетворяла первому граничному условию (5.43), получим:

0tcosBtsinAd . (5.51) Откуда следует, что

0d . (5.52) Удовлетворяя второму граничному условию (5.44), находим:

0a

cosa

c

Заметим, что 0c , т.к. иначе 0xX . Следовательно,

0

acos

2

1n2

a

, ,1,0n , то есть может иметь бесчисленное множество зна-

чений (собственных чисел):

,1,0n,

2

a1n2n

. (5.53)

Каждому числу n соответствует своё частное решение:

2

x1n2sintcosbtsinat,xu nnnnn

. (5.54)

В силу линейности волнового уравнение его общее решение равно:

0nnnnn

0nn 2

x1n2sintcosbtsinat,xut,xu

. (5.55)

Теперь потребуем, чтобы выполнялись начальные условия, т. е.

x2

x1n2sinb0,xu

1nn

x2

x1n2sina

t

u

1nnn0t

.

Два последних соотношения представляют разложение функций x и x в соответствующие тригонометрические ряды Фурье, так что

dx

2

x1n2sinx

2b

0n

. (5.56)

dx

2

x1n2sinx

2a

0nn

. (5.57)

63

Таким образом, решение сформулированной в начале параграфа задачи получено в виде ряда (5.55), в котором коэффициенты nb и na вычисляются по формулам (5.56) и (5.57) соответственно.

Пример 5.4. Для волнового уравнения (5.1) решить задачу с условиями

0t,ut,0u x , 2x5

sinx0,xu

, 2x

sin0,xut

.

◄ Не трудно заметить, что выражения для x и x получаются из

выражения

2x1n2

sin

, если положить 2n и 0n соответственно. Другими

словами, заданные выражения функций x и x являются разложениями этих функций в нужные тригонометрические ряды Фурье. Следовательно,

,3,1,0n,0b,1b n2 , и ,2,1n,0a,1a n00 . Подставив значения ко-эффициентов nb и na в (5.55), получим:

2

x5sin

2

ta5cos

2

xsin

2

tasin

a

2t,xu

►

Пример 5.5. Для волнового уравнения (5.1) решить задачу с условиями

0t,ut,0u x , xx0,xu , 2

x5sin

2

xsin0,xut

.

◄ Так же как и в примере 5.4 можно показать, что функция x0,xut уже представлена своим разложением в нужный ряд Фурье.

При этом 1aa 2200

a5

21a,

a

21a

22

00

. Имеем далее,

00n 1n2

2

2

x1n2cosx(

2dx

2

x1n2sinx

2b

22

n

22

0

2

0

1n2

18

2

1n2sin

1n2

8

2

x1n2sin

1n2

2)dx

2

x1n2cos

1n2

2

Следовательно,

0n2

n

2 2

x1n2sin

2

ta1n2cos

1n2

18

2

x5sin

2

ta5sin

a5

2

2

xsin

2

tasin

a

2t,xu

Пример 5.5. Для волнового уравнения (5.1) решить задачу с условиями

2

x7cos

2

x3cos0,xu,

2

xcos0,xu,0t,ut,0u tx

.

64

◄ Используя метод разделения переменных, как это описано выше, по-лучаем решение уравнения (5.1) в форме (5.50). Откуда,

a

xsind

a

xcosctcosbtsina

ax

u (5.58)

Чтобы выполнялось первое граничное условие 0t,0ux , должно быть0c . Тогда второе граничное условие 0t,u может быть выполнено, если

0d или 0a

cos

. При 0d получаем тривиальное решение 0u . Следова-

тельно, как и раньше собственные значения n определяются соотношением (5.53), но общее решение уравнения (5.1) имеет вид:

0nnnnn

0nn 2

x1n2costcosbtsinat,xut,xu

(5.59)

Коэффициенты nb и na являются коэффициентами разложения функций x и x в ряды Фурье по косинусам кратных дуг и вычисляются по фор-

мулам:

dx

2

x1n2cosx

2b

0n

. (5.60)

dx

2

x1n2cosx

2a

0nn

. (5.61)

Функции x и x задают начальные условия (5.41) и (5.42). В рассматриваемом примере выражения функций x и x уже явля-

ются соответствующими рядами Фурье. Следовательно, 1aab 33110 , а все остальные коэффициенты nb и

na равны нулю. Выражение (5.59) тогда принимает вид

2

x7cos

2

ta7cos

a7

2

2

x3cos

2

ta3cos

a3

2

2

xcos

2

tacost,xu

►

5.4. Краевые задачи для уравнения теплопроводности. Распространение тепла в неограниченной плите

Рассмотрим уравнение теплопроводности для однородной среды, полу-ченное в разделе 4.3:

t,Mfuat

u 2

.

Краевые задачи для уравнения теплопроводности ставятся следующим образом:

- найти функцию t,Mu , удовлетворяющую уравнению теплопроводно-сти в некоторой области переменных t,z,y,x , начальному условию:

z,y,xM,Mu 0t .

65

и граничному условию:

t,Mn

uu S

,

где t,M,0M,0M — заданные функции, n — внешняя нормаль к границе S среды.

В случае 0,1 имеем первую краевую задачу. В случае 1,0 имеем вторую краевую задачу. В случае 0,0 имеем третью краевую задачу. Неограниченная плита представляет собой тело, ограниченное двумя па-

раллельными плоскостями, например, 0x и x . Изменение температуры происходит только в направлении оси OX , в двух других направлениях темпе-

ратура неизменна, т. е. 0z

u

y

u

. Следовательно, задача является одномер-

ной и уравнение теплопроводности, в случае 0t,Mf , имеет вид:

2

22

t

ua

t

u

. (5.62)

Одним из методов, который широко используется для решения перечис-ленных выше краевых задач распространения тепла в неограниченных плитах, является метод разделения переменных. Применение метода разделения пере-менных в данных задачах мало чем отличается от его использования при реше-нии волнового уравнения.

Рассмотрим задачу о нахождении функции t,xu , x0 , удовлетво-ряющей уравнению (5.62), начальному условию:

xu 0t . (5.63)

и граничным условиям: 0t,ut,0u . (5.64)

Решение ищем в виде xXtTt,xu , причём нас интересует, только нетривиальное решение. Разделяя переменные, приведём уравнение (5.62) к форме

X

X

Ta

T2

. (5.65)

Так как ищется нетривиальное решение задачи, то граничные условия принимают вид:

0X0X . (5.66)Рассматривая отдельно случаи, когда параметр принимает отрицатель-

ные значения, положительные значения или значения, равные нулю, приходим к выводу: нетривиальные решения, удовлетворяющие однородным граничным условиям (5.66), получаются только тогда, когда 0 . Для удобства обозначим

0,2 .

66

Собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля являются:

Nn,n

,xsinxXxX nnn

. Тогда t

an

n

2

etTtT

.

Общее решение уравнения (5.62), удовлетворяющее граничным условиям (5.64), является суммой ряда:

1n

ant

nxn

sineat,xu

2

. (5.67)

Потребовав, чтобы сумма ряда (5.67) удовлетворяла начальному условию (5.63), приходим к выводу: коэффициенты na являются коэффициентами раз-ложения функции x в ряд по синусам кратных дуг и вычисляются по фор-мулам:

0n Nn,dx

xnsinx

2a . (5.68)

Пример 5.6. Решить методом Фурье уравнение теплопроводности

xxt u49u на отрезке 35x0 при начальном условии 140

x35x0,xu

и

граничных условиях 0t,ut,0u .◄ Вычислим коэффициенты na

1n

3

35

00

3535

0

0

3535

0n

11n

35

)dx35

xnsin

n140

70

35

xnsin

т

35

140

x235(

n

2)dx

35

xncos

140

x235

т

35

35

xncos

т

35

140

x35x(

35

2частям поdx

35

xnsin

140

x35x

35

2a

Заметим, что

Nm,1m2n,2

m2n,011 1n . Следовательно,

331m2m21m2

70a,0a

и

35

x1m2sine

1m2

170t,xu

1m

2

5

1m2t

33

►

Пример 5.7. Решить методом Фурье для уравнения теплопроводности (5.62) краевую задачу: constA,xA0,xu,0t,ut,0ux .

67

◄ Будем искать решение в виде xXtTt,xu . После подстановки этого выражения в уравнение (5.62), разделения переменных и решения полу-чившихся уравнений для функций xX и tT найдём:

ta3

2122

eCtT

xsinCxcosCxX. (5.69)

Граничные условия при этом примут вид:

0X

00X

. (5.70)

Удовлетворяя первому условию из (5.70), получим 0C2 . Удовлетворяя второму условию из (5.70), находим собственные значения:

,2,1,0n,2

1n2n

(5.71)

и соответствующие им собственные функции:

2

x1n2cosxXxX n

. (5.72)

Решением краевой задачи является сумма ряда:

0n

4

ta1n2

n2

222

e2

x1n2cosat,xu

(5.73)

Коэффициенты na вычисляются по формуле

0n ,2,1,0n,dx

2

x1n2cos0,xu

2a (5.74)

В нашем случае

22

0n

1n2

8A

частям по

минтегрируеdx

2

x1n2cosx

A2a

Таким образом,

0n

4

ta1n2

222

222

e2

x1n2cos

1n2

1A8t,xu

►

Пример 5.8. Найти решение уравнения 2

xcos

10u36u xxt

, удовле-

творяющее условиям 2,0x,0t,2ut,0u0,xu .◄ Будем искать решение уравнения теплопроводности в виде

0nnn xXtTt,xu , где xXn — собственные функции задачи Штурма-

Лиувилля: 02X,00X,0XX 2 . Собственными функциями и соб-

68

ственными числами этой задачи являются соответственно 4

x1n2sinxXn

и ,2,1,0n,

4

1n2n

. Следовательно,

0nn 4

x1n2sintTt,xu (5.75)

Разложим функцию 2

xcos

10

в ряд Фурье по собственным функциям, т. е.

0nn 4

x1n2sin

2

xcos

10. (5.76)

Умножим равенство (5.76) на

4

x1n2sin

, а затем проинтегрируем по

x в пределах от 0 до 2 . Тогда получим:

2

0

2

0n dx

2

5,1nxsin(

20dx

4

x1n2sin

2

xcos

10

75,0nn

1n2

10

1

5,0n

1

5,1n

1

10

1

2

5,0n

12

5,0ncos

2

5,1n

12

5,1ncos

20)dx

2

5,0nxsin

2

2

0

(5.77)

При получении (5.77) учтено, 02

ncos2

3ncos

.

После подстановки соотношений (5.75) и (5.77) исходное уравнение при-мет вид:

4

x1n2sin

75,0nn

1n2

10

1

4

x1n2sinT36T

0n2

0nn

2nn

.

Т. е. функции nT являются решениями линейного неоднородного диффе-ренциального уравнения:

75,0nn

1n2

10

1T36T

2n2nn

. (5.78)

Решение уравнения (5.78) может быть представлено в виде:

2n

2t36

nn75,0nn360

1n2eCT

2n

. (5.79)

69

Подставим теперь (5.79) в (5.75)

0n2n

2t36

n 4

x1n2sin

75,0nn360

1n2eCt,xu

2n . (5.80)

Чтобы выполнялось начальное условие 00,xu , коэффициенты nCдолжны быть равными:

2n

2n75,0nn360

1n2C

.

Таким образом, окончательно получаем:

4

1n2,xsin

75,0nn360

e11n2t,xu n

0nn2

n2

t36 2n

►

Замечание. В примере 5.8 показано применение метода разделения пере-менных в том случае, когда дифференциальное уравнение является неоднород-ным, а граничные условия — однородны. Если же граничные условия в задаче неоднородны, то необходимо выполнить замену искомой функции так, чтобы эти условия для новой функции стали бы однородными.

Пример 5.9. Найти решение уравнения t,xuu,uau xx2

t , удовлетво-ряющее начальному условию 0T0,xu и граничным условиям

tx Aet,u,0t,0u .

◄ Введём новую неизвестную функцию t,xv с помощью соотношения:

tAxet,xvt,xu . (5.81)

Тогда xxxxt

xxt

tt vu,Aevu,Axevu . Уравнение теплопроводности преобразуется к виду:

txx

2t Axevav . (5.82)

Граничные условия для функции t,xv станут однородными: 0t,vt,0v x , (5.83)

а начальное условие примет вид: AxT0,xv 0 . (5.84)

Будем искать решение уравнения (5.81) в виде

0nnn xXtTt,xv , где

xXn — собственные функции задачи Штурма – Лиувилля:

0X,00X,0XX 2 . Собственными числами и собственными функ-

циями этой задачи являются соответственно

,2,1,0n,2

1n2n

и

2

x1n2sinxXn

. Следовательно,

70

0nnn xsintTt,xv . (5.85)

Разложим функцию x в ряд Фурье по собственным функциям, т. е.

0nnn xsinx . (5.86)

Умножим (5.86) на xsin m , а затем проинтегрируем получившееся со-отношение по x в пределах от 0 до . Тогда получим:

n2n

2n0

nn 12

2

1n2sin

2

частям по

минтегрируеdxxsinx

2

Следовательно,

0nn2

n

nxsin

12x

. (5.87)

Теперь подставим соотношения (5.85) и (5.87) в уравнение (5.82):

0nn

t2n

n

0nnn

2n

2n xsine

1A2xsintTatT

.

Следовательно, функции tTn являются решениями линейного неодно-родного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэф-фициентами:

t2n

n

n2n

2n e

1A2tTatT

. (5.88)

Если a

1n , то решение уравнения (5.88) имеет вид:

ttan BeCetT

2n

2 . (5.89) В выражении (5.89) C — произвольное постоянное число, а константу

Bопределяем методом неопределённых коэффициентов подстановкой выраже-

ния tn BetT в уравнение (5.88).

1a

1A2B

2n

22n

n

.

Таким образом,

xsin

1a

e1A2Cet,xv n

0n2n

22n

tnta 2

n2

. (5.90)

Потребуем, чтобы (5.90) начальному условию (5.84):

AxTxsin

1a

1A2C0,xv 0n

0n2n

22n

n

71

Из последнего соотношения заключаем, что выражения

1a

1A2C

2n

22n

n

n

являются коэффициентами разложения AxT0 в ряд

Фурье по собственным функциям xsin n . Значит,

n2nn

0

n2n0n

n0

0n0n

1A2T2

12

Axcos

T2

dxxsinAxT2

1a

a1A2T2

1a

1A2C

2n

2

2n

n

02n

22n

n

n

xsin

1a

e1A2e

1a

a1A2T2t,xv n

0n2n

22n

tnta

2n

2

2n

n

0 2n

2

t

0n2n

22n

nnt

0nn

ta2n

2

2n

n

0t

xAe1a

xsin1Ae2

xsinea1

a1AT2Axet,xvt,xu

2n

2

Подставим сюда разложение (5.87) вместо x . Тогда получим:

a

1,

2

1n2,

1a

xsin1Aea2

xsinea1

a1AT2t,xu

nn0n

2n

2n

nt2

0nn

ta2n

2

2n

n

0 2n

2

Можно показать (читателю предлагаем проделать это самостоятельно), что

0n2n

2n

n

1a

xsin1a2

является разложением в ряд Фурье функции

1

acos

a

xsin

по собственным функциям xsin n . Поэтому окончательно по-

лучаем:

a

1,

2

1n2,

a

xsin

acos

aAe

xsinea1

a1AT2t,xu

nn

t

0nn

ta2n

2

2n

n

0 2n

2

►

72

5.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности

Задача нахождения функции 0t,xt,xu , удовлетворяю-щей уравнению:

t,xft

ua

t

u2

22

. (5.91)

и начальному условию (5.63) называется задачей Коши. Физический смысл задачи заключается в определении температуры одно-

родного бесконечного стержня в любой момент времени 0t , если известна его температура x в начальный момент времени 0t . Считается, что боко-вая поверхность стержня теплоизолирована, так что через неё тепло из стержня не уходит.

Доказано 7 , что если функция t,xf имеет ограниченные частные про-изводные второго порядка, а функция x — ограничена, то решение задачи Коши в классе ограниченных функций t,xu всегда существует, единственно и выражается формулой Пуассона:

dde

ta2

,fde

ta2

1t,xu

t

0

ta4

x

ta4

x2

2

2

2

. (5.92)

Пример 5.10. Решить задачу Коши:

2

x

xxt

2

e0,xu,tsinuu

◄ Чтобы избежать сложностей при вычислении двойного интеграла,

входящего в формулу Пуассона, введём новую функцию t,xv так, чтобы для этой функции уравнение теплопроводности стало однородным. Добиться этого можно с помощью подстановки tcost,xvt,xu . Тогда

xxxxtt vu,tsinvu и функция t,xv должна удовлетворять однородномууравнению xxt vv . Начальное условие для функции t,xv принимает вид

2

x2

e10,xv

. В соответствии с формулой Пуассона (5.92)

deet2

1de

t2

1

de)e1(t2

1t,xv

t4

x

2t4

x

t4

x

2

222

22

(5.93)

73

Преобразуем интегралы, стоящие в правой части соотношения (5.93).

1.

1dye

1

t2

ddy,

t2

xyde

t2

1 2

2

yt4

x

Здесь учтено, что

dye2y (интеграл Пуассона).

2.

dedee t2

x

t4

x

t42t4

x

2

22222

dee

22

t21

x

t4

t21

t212

x

.

Введём новую переменную

t21

x

t2

t21y . Тогда,

t21

t2dye

t21

t2de

2

2

yt21

x

t4

t21

.

Следовательно,

t212

x

t4

x

2

222

et21

1dee

t2

1

t212

x2

et21

11t,xv

.

tcoset21

11t,xu t212

x2

. ►

Использование формулы Пуассона, как правило, приводит к необходимо-сти вычисления достаточно сложных интегралов. В тоже время часто удаётся решить задачу Коши методом разделения переменных, не применяя выше упо-мянутую формулу. Рассмотрим несколько такого рода примеров.

Пример 5.11. Решить задачу Коши:

20,xu,e1tu4u txxt .

◄ Предположим, что неизвестная функция может быть представлена в виде произведения xXtTt,xu . Потребуем выполнения начального усло-вия 2xX0T0,xu . Это условие будет выполнено, если положить 20T , а 1xX . Следовательно, Tut , 0uxx , а решаемая задача Коши

74

сводится к нахождению функции tT , удовлетворяющей уравнению

te1tT и начальному условию 20T . Имеем,

Ctedte1ttT tt

2te1tTt,xu,2tetT,2C2Ce00T tt0 .►

Пример 5.12. Решить задачу Коши:

xcos0,xu,xcoseuu txxt

◄ Введём новую функцию t,xv с помощью соотношения

tet,xvt,xu . Тогда txxxx

ttt evu,evvu , а дифференциальное

уравнение и начальное условие преобразуются к виду xcosvvv xxt и xcos0,xv .

Будем искать функцию t,xv в виде xXtTt,xv . Подставив это вы-ражение в начальное условие, получим xcosxX0T0,xv xcosxX,10T , т.е. xcostTt,xv . После подстановки последнего вы-

ражения в дифференциальное уравнение найдём CttT1tT . Из условия 10T следует, что 1C . Следовательно, xcos1tt,xv , а

xcose1tt,xu t ►

Пример 5.13. Решить задачу Коши:

xsin0,xu,t3uu 2xxt

◄ Введём новую функцию t,xv с помощью соотношения

3tt,xvt,xu . Тогда xxxx2

tt vu,t3vu , а дифференциальное уравне-ние и начальное условие преобразуются к виду xxt vv и xsin0,xv . Пусть xXtTt,xv . Подставив это выражение в начальное условие, получим xsinxX,10TxsinxX0T0,xv . Значит, xsintTt,xv . Урав-

нение 0TT для определения tT получается после подстановки

xsintTt,xv в уравнение xxt vv . Следовательно, tCetT . Учитывая,что 10T , находим 1C . Таким образом,

3t txsinet,xu . ►

75

6. Колебания прямоугольной мембраны. Метод разделенияпеременных для функции трёх переменных

Раcсмотрим следующую задачу. Прямоугольная мембрана D со сторона-ми а и b (рис. 3), расположенная в плоскости XOY , закреплена по периметру.

В момент времени 0t она выведена из состоя-ния равновесия так, что прямоугольник

21

21

y

xd , 2121 0,0 внутри

мембраны сместился вдоль оси OZ , перпендику-лярной плоскости XOY , на величину и полу-чил скорость V . Требуется найти положение и скорость точек области D в момент време-ни 0t,t .

Рис. 3

С математической точки зрения задача заключается в следующем. Требу-ется определить функцию t,y,xu , удовлетворяющую уравнению малых попе-речных колебаний мембраны:

2

2

2

22

2

2

y

u

x

uq

t

u. (6.1)

с граничными:

0uu,0uu by0yax0x . (6.2)

и начальными условиями:

d\Dy,x,0

dy,x,V

t

u;

d\Dy,x,0

dy,x,t,y,xu 0t0t

. (6.3)

Будем искать решение задачи (6.1) – (6.3) методом разделения перемен-ных:

y,xtTt,y,xu . (6.4) После подстановки (8.4) уравнение (6.1) приводится к виду:

const,yx

Tq

T 22

2

2

2

2

. (6.5)

или

0TqT 2 . (6.6)

0yx

22

2

2

2

. (6.7)

x

y

a

b

d

D

0

2

121

76

Теперь с помощью подстановки yYxXy,x разделим переменные в уравнении (6.7)

2

221

2 ppxX

xX

yY

yY

0yYpxY

0xXpxX

22

21 . (6.8)

Решение системы уравнений (6.8) можно записать в форме:

ypsincypcoscyY

xpsincxpcoscxX

2423

1211 . (6.9)

Условия закрепления (5.63) приводятся к виду:

0bY0Y

0aX0X. (6.10)

Потребуем выполнение первых двух условий из (6.10)

,2,1n,nap

0c

0apsinc

0c

1

1

12

1 (6.11)

Аналогично, удовлетворяя двум другим условиям из (6.10), находим ,2,1m,mbp,0c 23 .

Следовательно,

,2,1n,m,b

ymsin

a

xnsinCy,xy,x mn

. (6.12)

Решение уравнения (6.6) имеет вид: tqsinbtqcosatTtT mnmnmnmnmn (6.13)

где

2

2

2

222

mna

n

b

m. (6.14)

Следовательно, частные решения уравнения (6.1), удовлетворяющие гра-ничным условиям (6.2), записываются в виде:

b

ymsin

a

xnsintqsinbtqcosat,y,xu mnmnmnmnmn

, (6.15)

а общим решением является выражение:

t,y,xut,y,xu1m 1n

mn

. (6.16)

Теперь потребуем, чтобы (6.16) удовлетворяло начальным условиям (6.3):

dy,x,b

ymsin

a

xnsina

1m 1nmn

. (6.17)

dy,x,b

ymsin

a

xnsinqbV

1m 1nmnmn

. (6.18)

77

Другими словами неизвестные коэффициенты mna и mnmnqb в (6.17) и (6.18) являются соответствующими коэффициентами в разложении и V в двойные ряды Фурье.

Системы функций a

xnsin

и

b

ymsin

являются ортогональными соответ-

ственно на отрезках a,0 и b,0 , а в соотношениях (6.17) и (6.18) 21,x и 21,y . Поэтому предварительно нормируем эти системы функций на про-

межутках 21, и 21, :

1dy

a

xmsindx

a

xnsinA

2

1

2

1

222mn

4b

m2sin

b

m2sin

n2

a

a

n2sin

a

n2sin

n2

aA

1212

1212

2mn

(6.19)

Теперь коэффициенты mna и mnmnqb находятся из соотношений:

dy

b

xmsindx

a

xnsinAa

2

1

2

1

mnmn ,

Vdyb

xmsindx

a

xnsinAqb

2

1

2

1

mnmnmn

.

и равны:

mnmnmn

mnmn qA

Vb,

Aa

. (6.20)

Окончательное выражение для функции t,y,xu получается после под-становки соотношений (6.14), (6.15) и (6.20) в (6.16).

78

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В пособии рассмотрены далеко не все методы решений задач, связанных с дифференциальными уравнениями в частных производных. Среди совсем не-упомянутых, но достаточно широко применяемых приёмов, следует отметить различные интегральные преобразования. В частности при решении задач о распространении тепла весьма эффективным является применение преобразо-вания Лапласа и преобразования Фурье. Но изучение этих приёмов выходит за рамки данного пособия.

79

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений: учебник / В. В. Степанов. 11-е изд., исправленное. М.: Издательство ЛКИ, 2016. 512 с.

2. Хватцев А. А. Дифференциальные уравнения: учебное пособие / А. А. Хватцев. Псков: Издательство ППИ, 2010. 68 с.

3. Хватцев А. А. Математический анализ: конспект лекций / А. А. Хват-цев. 2-е изд. Псков: Издательство ППИ, 2008. 131 с.

4. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: учеб. пособие для вузов / А. Ф. Филиппов. 8-е изд. дополненное. М.: Интеграл-пресс, 1998. 208 с.

5. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: учебник для вузов / Д. П. Голоскоков. СПб.: Питер, 2004. 539 с.

6. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. том VI. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, В. М. Лифшиц. Изд. четвёртое, стереотипное. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 736 с.

7. Тихонов А. А. Уравнения математической физики: учебное пособие / А. А. Самарский, А. Н. Тихонов. Изд. 7-е. М.: Изд-во МГУ, 2004. 798 с.

Учебное издание

Хватцев Александр Алексеевич Строчков Илья Александрович

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Учебное пособие

Технический редактор: А. А. Хватцев Компьютерная вёрстка: А. А. Хватцев

Корректор: С. Н. Емельянова

Подписано в печать 31.08.2016. Формат 60×90/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. п. л. 5,0.

Тираж 70 экз. Заказ № 5256.

Изготовлено на Versant 2100.

Адрес издательства: Россия 180000, г. Псков, ул. Л. Толстого, д. 4а, корп. 3а.

Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164843

ISBN 978-5-91116-484-3