วงรี

วงกล

ม

ไฮเพ

อรโบ

ลา

พารา

โบลา

เสน

�กอกา

ดินเ

เสน

�กอกา

ดินเ

นสเงัผทางรถไฟ

งิรจงาทนสเในโลกคณิตศาสตร

เรื�องไมคาดคิด

数学のはなし77

やさしくわかる

วาว~

ทุกการคนพบ ทุกทฤษฎี ลวนมีที่มาที่จะทำใหคุณประหลาดใจ !!µÑé§áµ‹àÃ×èͧ§‹ÒÂæ Í‹ҧ¡Ò䌹¾ºàÅ¢ÈÙ¹Â� ¨Ó¹Ç¹àªÔ§«ŒÍ¹ 仨¹¶Ö§ÊÁÁص԰ҹ¢Í§ÃÕÁѹ¹�

áÅл˜ÞËÒ¢ŒÒÁȵÇÃÃÉ·ÕèÂѧäÁ‹ÁÕã¤Ãᡌ䴌

by Tsuneharu Okabe

แปลโดย ดร.บัณฑิต โรจนอารยานนท

1

1

ไฮเพอรโบลา (e > 1)

วงรี(0 < e < 1)

สักฟโ

เสนฐาน

พาราโบลา (e = 1)

e

e

ตัวอย่าง

จัดพิมพ์โดย สำ�นักพิมพ์ ส.ส.ท.

สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี(ไทย-ญี่ปุ่น) 5-7ซอยสุขุมวิท29ถนนสุขุมวิทแขวงคลองเตยเหนือเขตวัฒนากรุงเทพฯ10110 โทร.0-2258-0320(6เลขหมายอัตโนมัติ),0-2259-9160(10เลขหมายอัตโนมัติ) เสนองานเขียน•งานแปลได้ที่www.tpa.or.th/publisher/new ติดต่อสั่งซื้อหนังสือได้ที่www.tpabook.com

จัดจำ�หน่�ยโดย บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จำ�กัด (มห�ชน) อาคารทีซีไอเอฟทาวเวอร์ชั้น19เลขที่1858/87-90 ถนนบางนา-ตราดแขวงบางนาเขตบางนากรุงเทพฯ10260 โทร.0-2739-8000,0-2739-8222โทรสาร0-2739-8356-9 www.se-ed.com

ข้อมลูท�งบรรณ�นกุรมของสำ�นกัหอสมดุแห่งช�ติ

โอกาเบะ,สเึนะฮารุ.

77เรื่องไม่คาดคดิในโลกคณติศาสตร์.--กรุงเทพฯ:สมาคมส่งเสรมิเทคโนโลยี(ไทย-ญี่ปุ่น),2557.

200หน้า.

1.คณติศาสตร์. I.บณัฑติโรจน์อารยานนท์,ผู้แปล. II.ชื่อเรื่อง.

510

ISBN978-974-443-598-9

พิมพ์ครั้งที่1 ตุลาคม 2557

“ถ้าหนังสือมีข้อผิดพลาดเนื่องจากการพิมพ์ ให้นำามาแลกเปลี่ยนได้ที่สมาคมฯ” โทร. 0-2258-0320 ต่อ 1560, 1570

ราคา 220 บาท

‘YasashikuWakaruSugakunoHanashi77’ 2010GakkenEducationPublishingAllrightsreserved.FirstpublishedinJapan2010byGakkenEducationPublishingCo.,Ltd.ThaitranslationrightsarrangedwithGakkenEducationPublishingCo.,Ltd.สงวนลิขสิทธิ์ฉบับภาษาไทยโดย สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี (ไทย-ญี่ปุ่น)

■ บรรณ�ธิก�รบริห�ร สุกัญญาจารุการหัวหน้�กองบรรณ�ธิก�ร แทนพรเลิศวุฒิภัทร บรรณ�ธิก�รเล่มพรรณพิมลกิจไพฑูรย์ออกแบบปก

และรูปเล่ม ภาณุพันธ์โนวยุทธ,ธารินีคุตตะสิงคีธุรก�รสำ�นักพิมพ์ อังคณาอรรถพงศ์ธร■ พิมพ์ที่ : ห้างหุ้นส่วนจำากัดที.เอส.บี.โปรดักส์

77 เรื่องไม่คาดคิด ในโลกคณิตศาสตร์

by… Tsuneharu Okabe

แปลโดย... ดร.บัณฑิต โรจน์อารยานนท์

ตัวอย่าง

เรื่องไม่คาดคิด ในโลกคณิตศาสตร์

ประโยชน์เฉพาะหน้าของคณิตศาสตร์อาจมองไม่เห็น

แต่การพัฒนาของศาสตร์ทุกแขนงล้วนเกี่ยวพันกับคณิตศาสตร์

ตัวอย่าง

คำ�นำ�

ในระยะหลังมีเสียงเรียกร้องให้ลดงบประมาณของประเทศลงอย่างหนาหู ในช่วงที่

เศรษฐกิจไม่ดี การตัดลดงบประมาณอาจเป็นเรื่องที่ต้องท�า แต่เกณฑ์การพิจารณาตัดลดงบ

ประมาณมกัจะใช้มมุมองในลกัษณะที่ว่า “ถ้าด�าเนนิการแล้วจะได้ประโยชน์อะไรเพิ่มขึ้น” ซึ่ง

เป็นการพจิารณาในเชงิเศรษฐศาสตร์เป็นหลกั และค่อนข้างเข้มงวดส�าหรบังานบางสาขา และ

มมุมองเช่นนี้เมื่อน�ามาใช้กบังานด้านการศกึษา สาขาที่อยูใ่นข่ายถกูตดังบประมาณได้ง่ายกค็อื

คณติศาสตรแ์ละปรชัญา ซึ่งเป็นสาขาที่ไม่ชดัเจนในแง่ที่วา่ “จะได้ผลประโยชน์เพิ่มขึ้นอย่างไร”

ในที่นี้จงึอยากเล่าเรื่องบางเรื่องที่มคีวามเกี่ยวข้องให้ฟัง

เรื่องแรกเกดิขึ้นเมื่อประมาณ 300 ปีก่อนครสิตกาล มคีนถามยคุลดิ นกัคณติศาสตร์

ชาวกรีกว่า “ศึกษาคณิตศาสตร์แล้วจะได้ประโยชน์อะไรจริงหรือ” ยุคลิดกล่าวกับลูกศิษย์ว่า

“คนนี้คงต้องการเงนิ แค่เอาเศษเงนิให้ แล้วให้เขากลบัไป”

ต่อไปเป็นเรื่องของฮาร์ด ีนกัคณติศาสตร์ผูม้ชีื่อเสยีงด้านทฤษฎจี�านวน และเป็นผูส้ร้าง

นักคณติศาสตร์อจัฉรยิะชาวอนิเดยีชื่อรามานจุนั เขาผู้นี้เคยกล่าวไว้ว่า “คณติศาสตร์เพื่อการ

ใช้ประโยชน์คอืความหลงผดิ คณติศาสตร์ที่ดูว่าไม่มปีระโยชน์ต่างหากที่มคีณุค่า”

อย่างไรก็ตาม ปัจจุบันที่เราทั้งหลายสามารถใช้โทรศัพท์มือถือพูดคุย รวมทั้งสั่งซื้อ

สนิค้าและจองตั๋วทางอนิเทอร์เนต็ได้อย่างสะดวกสบายนั้น กเ็ป็นผลมาจากการใช้คณติศาสตร์

ด้านจ�านวนเฉพาะที่ฮาร์ดไีด้ศกึษาเอาไว้ อาจเป็นเรื่องผดิความคาดหมาย ที่คณติศาสตร์ในแบบ

ที่เขาเคยเย้ยหยัน กลับเป็นสาขาที่เขาได้ท�าการศึกษาไว้เอง และเป็นประโยชน์มากที่สุดใน

ปัจจบุนั

ความหมายกค็อื การสร้างผลส�าเรจ็ในอนาคต อาจจ�าเป็นต้องลงทนุในสิ่งที่ดูเหมอืน

จะสูญเปล่าบ้าง การคดิแค่ว่าจะได้ประโยชน์อะไรในระยะสั้น แล้วปฏเิสธการศกึษาในสาขาที่

ดูว่าสิ้นเปลอืงงบประมาณนั้น ในที่สดุอาจท�าให้ได้รบัผลตอบแทนที่กลบัตาลปัตรได้

แน่นอนว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นประโยชน์เฉพาะในอนาคตเท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์

ต่อชวีติประจ�าวนัของเราอย่างมากด้วย

ตัวอย่าง

อย่างเช่น คอมพวิเตอร์ส่วนบคุคลที่มผีูใ้ช้งานเป็นจ�านวนมาก ทั้งคนท�างานวจิยัซึ่งต้อง

ใช้อยู่แล้ว รวมไปถงึคนธรรมดาที่ต้องใช้งานประจ�ากม็อียู่มากเช่นกนั โดยผู้ที่มบีทบาทส�าคญั

ในการคดิค้นและพฒันาเครื่องคอมพวิเตอร์กค็อืนกัคณติศาสตร์ การพฒันาในช่วงต้นๆ นกัวจิยั

ด้านเทคโนโลยสีารสนเทศส่วนใหญ่เป็นนกัคณติศาสตร์ มกีารน�าทฤษฎจี�านวน (รวมถงึจ�านวน

เฉพาะ) ดงัที่กล่าวข้างต้นมาใช้ประโยชน์ อกีทั้งการน�าเลขฐานสองมาใช้ กท็�าให้สามารถพฒันา

เทคโนโลยใีนการสร้างเครื่องบนัทกึภาพและเสยีงในรูปแบบ CD และ DVD ที่มขีนาดเลก็และมี

ความจุสูงได้ ส่วนในด้านภาษาศาสตร์ก็ได้ใช้ประโยชน์เช่นกัน โดยการอาศัยคุณสมบัติความ

เป็นคลื่นในการวเิคราะห์ลกัษณะเฉพาะของเสยีงแต่ละบคุคล รวมไปถงึการสร้างเสยีงสงัเคราะห์

จากอปุกรณ์อเิลก็ทรอนกิส์ด้วย นอกจากนี้ คณติศาสตร์ด้านเรขาคณติกย็งัถูกใช้ในการวเิคราะห์

DNA ซึ่งในหนงัสอืเล่มนี้จะกล่าวถงึการน�าคณติศาสตร์ไปใช้ประโยชน์ในสาขาต่างๆ อกีมากมาย

สิ่งส�าคัญที่สุดของการเรียนคณิตศาสตร์ไม่ใช่การน�าไปใช้ได้ทันที แต่คือการเรียนรู้

เพื่อพฒันาตนเอง กล่าวคอื เป็นการฝึกฝนเทคนคิในการวเิคราะห์เชงิทฤษฎ ีหรอืฝึกวธิคีดิในเชงิ

รูปธรรม-นามธรรมได้เป็นอย่างด ี

อนัที่จรงิ สิ่งที่กล่าวมานี้กจ็�าเป็นต่อการเรยีนรู้ในสาขาภาษาศาสตร์และวทิยาศาสตร์

แขนงต่างๆ ด้วย เพราะคณติศาสตร์ท�าให้ปัญหาที่ศึกษาอยู่มคีวามชดัเจนขึ้นจงึเป็นประโยชน์

อย่างมาก นอกจากนั้น เทคโนโลยทีี่ได้มาผ่านการเรยีนรูด้้วยคณติศาสตร์ ยงัมโีอกาสที่จะน�าไป

ต่อยอดเป็นเทคนคิใหม่ๆ ในงานวจิยัสาขาอื่น หรอืใช้ในอตุสาหกรรมอื่นต่อไปได้ ทั้งยงัมบีทบาท

ส�าคญัต่อการเพิ่มศกัยภาพในการน�าเสนออกีด้วย

โอกาเบะสึเนะฮารุ

ตัวอย่าง

สารบัญ

บทที่ 1 ประวัติศาสตร์ของจ�านวน เริ่มต้นจากจ�านวนธรรมชาต ิ.................... 1

ปี ค.ศ. 2010 กบัปี ค.ศ. MMX — สัญลักษณ์แสดงจ�ำนวน ......................................... 4

จ�านวนพื้นฐานที่แม้แต่สตัว์กใ็ช้เป็น — จ�ำนวนธรรมชำติ ........................................... 6

ทั้งที่ไม่มคี่า แต่กลบัมคีวามหมาย !?! — ศูนย ์............................................................ 8

เมื่อท�าสญัญากู้เงนิ ทรพัย์สนิจะเพิ่มมากขึ้น? — จ�ำนวนลบ ....................................... 10

สามารถแยกตวัประกอบของจ�านวนได้เป็นกี่ชดุ ? — จ�ำนวนเฉพำะ ........................... 12

จ�านวนที่เกิดก่อนทศนยิมกบัเลขศูนย์ — จ�ำนวนตรรกยะ ........................................... 14

จ�านวนที่ครั้งหนึ่งเคยพูดถงึไม่ได้ — จ�ำนวนอตรรกยะ ................................................ 16

จ�านวนที่มาจากรปูร่างที่สวยงามที่สดุ — อตัรำส่วนเส้นรอบวงต่อเส้นผ่ำนศนูย์กลำง 18

การค้นพบจ�านวนที่มองไม่เหน็ — จ�ำนวนจนิตภำพ กับ จ�ำนวนเชงิซ้อน (1) .............. 20

จ�านวนที่หลุดออกจากเส้นจ�านวน — จ�ำนวนจินตภำพ กับ จ�ำนวนเชงิซ้อน (2) ........ 22

จ�านวนธรรมชาตกิบัจ�านวนนบั จ�านวนไหนมมีากกว่ากนั ? — อนนัต์ ....................... 24

ประเภทของจ�านวนจะไม่มเีพิ่มอกีแล้วใช่ไหม ? — กำรแผ่ขยำยของจ�ำนวน .............. 26

คำาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ............................................................................................................ 28

พีทาโกรัส ........................................................................................................................... 29

การเพิ่มจ�านวนของกระต่ายเป็นอตัราส่วนทอง — ล�ำดับฟีโบนชัช ี............................... 30

เรื่องน่าทึ่งของสามเหลี่ยม — สำมเหลีย่มปำสคำล ....................................................... 32

ความน่าพศิวงจากการร้อยเรยีงจ�านวน — จตัรัุสกล .................................................... 34

ลองหากฎเกณฑ์ของล�าดบัทั้งหลาย — ล�ำดบัเลขคณติ กับ ล�ำดับเรขำคณติ ............ 36

เมื่อบวกตวัเลขจนถงึอนนัต์ ผลที่ได้จะเป็นอนนัต์ ? — อนกุรมอนนัต์ ........................ 38

การท�าเรื่องยากให้เข้าใจง่ายขึ้น— กำรกระจำยเทย์เลอร์ .............................................. 40

ข้างหน้าของอนนัต์ยงัม ีπ อยู่ ! — ฟังก์ชนัซีตำ ........................................................... 42

การเผยโฉมหน้าที่แท้จรงิของจ�านวน — สมมุตฐิำนของรีมันน์ (1).............................. 44

จ�านวนเฉพาะเกี่ยวข้องกบัอะตอม — สมมตุฐิำนของรีมันน์ (2) ................................. 46

แบรน์ำฮาร์ด รีมนัำนำ์ .............................................................................................................. 48

ตัวอย่าง

บทที่ 2 2,000 ปี ของการค้นคว้าด้านเรขาคณิตอย่างต่อเนื่อง ..................... 49

วธิแีบ่งที่ดนิโดยไม่ท�าให้ทะเลาะกนั — เรขำคณิตแบบยุคลิด ...................................... 52

ใช้อตัราส่วนในการออกแบบ iPod ด้วยหรอื ? — อัตรำส่วนทอง ............................... 54

พื้นที่ที่เกดิจากลมิติ — พื้นที่วงกลม ............................................................................. 56

วงกลมท�าให้เป็นสี่เหลี่ยมจตัรุสัไม่ได้ — ปัญหำกำรวำดวงกลมให้เป็นสี่เหลี่ยม .......... 58

จดุศูนย์กลางของสามเหลี่ยมอยู่ตรงไหน ? — จุดศูนย์กลำงของสำมเหลี่ยม.............. 60

การหาความยาวของคอร์ดวงกลม — อัตรำส่วนตรีโกณมิต ิ....................................... 62

ความสมัพนัธ์ที่ซ่อนอยู่ระหว่างวงกลม วงร ีพาราโบลา และไฮเพอร์โบลา

— ภำคตัดกรวย ............................................................................................................ 64

ท�าไมปรมิาตรทรงกรวยจงึเท่ากบั 1/3 × พื้นที่ฐาน × ความสูง

— ปริมำตรของทรงกรวยและทรงกลม ........................................................................ 66

อาร์คำิมิดีส ....................................................................................................................... 68

ไอแซก นำิวตนัำ ................................................................................................................... 69

เส้นขนานไม่ตดักนัใช่ไหม ? — เรขำคณิตนอกแบบยุคลิด ........................................... 70

เงื่อนไขที่ท�าให้เขยีนได้โดยไม่ซ�้าเส้นทาง — ทฤษฎีกรำฟ ............................................ 72

ผงัเส้นทางกบัเส้นทางจรงิ ต้องเหมอืนกนัทกุอย่างหรอื ? — ทอพอโลย ี..................... 74

สญัลกัษณ์การน�ากลบัมาใช้ใหม่ที่หมนุวนไปมา — วงแหวนเมอบิอุส ........................ 76

ต้องใช้กี่สรีะบายเพื่อแยกเขตแดนบนแผนที่ — ปัญหำสี่ส ี........................................... 78

“จ�านวนจดุยอด + จ�านวนหน้า – จ�านวนด้าน” เป็นเท่าไร ?

— ทฤษฎีบททรงหลำยหน้ำของออยเลอร์ ..................................................................... 80

โลกกลมจรงิหรอื ? — กำรคำดกำรณ์ของปวงกำเร ..................................................... 82

อองรี ปวงกาเร ................................................................................................................ 84

บทที่ 3 การแสดงเรื่องราวต่างๆ ในโลกด้วยสูตรทางพีชคณิต ....................... 85

เครื่องหมาย “=” มคีวามหมายสองอย่าง — กำรสรำ้งสมกำร .................................. 88

ค�าตอบของสมการทั้งหลายเขยีนเป็นสูตรได้ทั้งหมดหรอืไม่ ?

— สูตรหำค�ำตอบของสมกำร ....................................................................................... 90

คณติศาสตร์ในญี่ปุ่นเคยก้าวหน้ากว่าในยโุรป ? — คณิตศำสตร์แบบญี่ปุ่น ............... 92

จ�านวนขนาดใหญ่ที่ใช้ทางดาราศาสตร์ — เอกซ์โพเนนเชียล และ ลอกำริทึม ............ 94

ตัวอย่าง

π กบัจ�านวนอดศิยั — e (จ�ำนวนเนเปียร์) .................................................................. 96

สมการที่สวยที่สดุในจกัรวาล — เอกลักษณ์ของออยเลอร์ .......................................... 98

สนกุกบัการแก้สมการ — เมทริกซ์ ................................................................................ 100

จ�านวนที่เกิดมาจากฟิสกิส์ — เวกเตอร์ ........................................................................ 102

การพสิูจน์ที่เยี่ยมยอดจากการไม่มทีี่ว่างพอที่จะเขยีน

— ทฤษฎีบทสุดท้ำยของแฟร์มำต์ .................................................................................. 104

เลออนำฮาร์ด ออยเลอร์ .................................................................................................... 106

การแต่งงานระหว่างพชีคณติกบัเรขาคณติ — ตัวแปร กับ ระบบพิกัดฉำก ................ 108

อคลิลสิจะไล่ตามเต่าทนัหรอืไม่ ? — พำรำด็อกซ์ของซีโน ........................................... 110

ฟังก์ชนัเป็นกล่องด�าชนดิหนึ่งใช่ไหม ? — ฟังก์ชัน ....................................................... 112

ถ้าเป็นเรื่องการทวนซ�้าต้องทางนี้ — ฟังก์ชันตรีโกณมิติ .............................................. 114

มาลองหาความเรว็การหล่นของลูกแอปเปิลกนั — กำรหำอนุพันธ.์............................ 116

แอปเปิลตกลงไปถงึจดุไหน ? — กำรอินทิเกรต........................................................... 118

สมการที่ส่วนใหญ่แก้ไม่ได้ — สมกำรดิฟเฟอเรนเชียล ................................................ 120

เรอเนำ เดการ์ต ................................................................................................................ 122

บทที่ 4 โลกของตรรกศาสตร์และเซตที่ท�าให้ทุกคนยอมรับ ............................... 123

แอปเปิลทกุลูกเคม็ ? — กำรอำ้งเหตุผล ...................................................................... 126

สามารถบอกว่าอกีามสีดี�าโดยไม่ต้องดูได้ไหม ? — กำรพิสูจน์ ................................... 128

การอปุนยัเชงิคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การพสิูจน์แบบอปุนยั — แบบนิรนัย กับ แบบอุปนัย 130

ตรรกศาสตร์กลายเป็นพชีคณติ ? — ตรรกศำสตร์เชิงประพจน ์.................................. 132

คนที่ตรงข้ามกบัคนที่ชอบทั้งบหุรี่และสรุาคอืคนแบบใด ? — กฎของเดอมอร์แกน .... 134

ช่างตดัผมโกนหนวดด้วยตวัเองหรอืเปล่า ? — ทฤษฎีบทควำมไม่สมบูรณ์ของเกอเดล 136

มคีนที่มีทั้งน�้าหนกัตวัและส่วนสูงเท่ากนัจรงิหรอื ? — หลักกำรรังนกพิรำบ .............. 138

อริสโตเติล ....................................................................................................................... 140

บทที่ 5 เรื่องของความน่าจะเป็น ที่ควรรู้ ไว้ใช้ประโยชน ์..................................... 141

สมาชกิเป็นใครกบัใครบ้าง — กำรเรียงสับเปลี่ยนและกำรจัดหมู ่................................ 144

เงนิออมเฉลี่ยของพวกเราเป็นเท่าไร ? — ค่ำเฉลี่ย กับ คำ่มัธยฐำน ........................... 146

ตัวอย่าง

วชิาที่นกัพนนัต้องเรยีนรู้ — ควำมนำ่จะเป็น ................................................................. 148

ผลการสอบเป็นอย่างไร ? — ควำมแปรปรวน และ ส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำน .............. 150

เมื่อถูกวนิิจฉยัว่าเป็นโรค จากผลการตรวจที่แม่นย�า 99% — ทฤษฎีบทของเบย์ ........ 152

ทหารที่ถูกม้าเตะเสยีชวีติมกีี่คน ? — กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น ............................... 154

อณุหภูมกิบัยอดขายเบยีร์มคีวามสมัพนัธ์กนัหรอืไม่ ? — สหสัมพันธ ์........................ 156

ยอดขายในสปัดาห์หน้าจะเป็นอย่างไร ? — เส้นถดถอย ............................................ 158

ส่วนต่างที่เกดิขึ้นมคีวามหมายจรงิหรอื ? — กำรทดสอบสมมุติฐำนทำงสถิติ ........... 160

การค้นหาความสมัพนัธ์ที่มองไม่เหน็ — กำรวิเครำะห์ข้อมูลหลำยตัวแปร.................. 162

จะเปลี่ยนค�าตอบที่เลอืกไว้ หรอืจะคงไว้อย่างเดมิ ? — ปัญหำมอนตี ฮอลล์ ............ 164

แบลซ ปาสคำาล ................................................................................................................ 166

บทที่ 6 คณิตศาสตร์ที่ช่วยค�้าจุนสังคม .................................................................. 167

เสยีงอะไรกส็ามารถแยกได้ — กำรกระจำยอนุกรมฟูรีเย ............................................ 168

ยอมรบัสารภาพหรอืตอบปฏเิสธ อย่างไหนจะดกีว่า ? — ทฤษฎีเกม ......................... 170

ผเีสื้อก่อให้เกดิพาย ุ— ทฤษฎีควำมอลวน .................................................................... 172

รูปร่างของเมฆกม็กีฎเกณฑ์ด้วยหรอื ? — แฟร็กทัล .................................................... 174

ร้านขายดตี้องคอยนานกี่นาท ี? — กำรเข้ำคิวรอ ........................................................ 176

รหสัลบัที่อยู่บนบาร์โค้ด — กำรเข้ำรหัส ....................................................................... 178

ภาษาคอมพวิเตอร์ — เลขฐำนสอง .............................................................................. 180

ล�าดบัเส้นทางไหนมปีระสิทธภิาพสูงสดุ — ปัญหำกำรเวียนพบลูกคำ้ของเซลส์แมน .. 182

ปัญหาข้ามศตวรรษที่มีเงินำรางวัล .................................................................................... 184

บทส่งท้าย .......................................................................................................................... 186

ดัชนีค�าศัพท ์...................................................................................................................... 187

ประวัติผู้เขียน ................................................................................................................... 190

ตัวอย่าง

1

บทที่ 1 ประวัติศาสตร์ของจ�านวน เริ่มต้นจากจ�านวนธรรมชาติ

1

2

3

4

5

6ประวัติศาสตร์ของจ�านวน

เริ่มต้นจากจ�านวนธรรมชาติ

พีทาโกรัส

บทที่ 1

ตัวอย่าง

การกำเนิดจำนวนตรรกยะ➝ หนา 14

จำนวนธรรมชาติ ➝ หนา 6

แ ก ะ 1 ตัว ...

เมื่อ x2 = 2แลว x = ?

การกำเนิดจำนวนอตรรกยะ➝ หนา 16

“จ�านวน” พัฒนามาจากการนับสิ่งของ

จ�ำนวน เริ่มต้นมำจำกจ�ำนวนธรรมชำต ิจำกนั้นเมื่อประสบปัญหำที่ไม่สำมำรถแสดง

ผลจำกกำรค�ำนวณได้กม็กีำรพฒันำไปตำมล�ำดบั แล้วกำรพฒันำกเ็สรจ็สมบูรณ์ เมื่อสำมำรถ

แสดงผลได้ในรูปจ�ำนวนเชงิซ้อน

2

ตัวอย่าง

การกำเนิดจำนวนเชิงซอน➝ หนา 20

วาว~

เมื่อ x2 = –1

แลว x = ???

การกำเนิดจำนวนลบ และ “0” เขาเปนสวนหนึ่งของจำนวน

➝ หนา 10ãºá¨Œ§Ë¹Õ餋ҹéÓ¼ÅäÁŒ100 à¹

à§Ô¹¤‹Ò¢¹Á–100 à¹...

3

ตัวอย่าง

4

ปี ค.ศ. 2010 กับปี ค.ศ. MMX

การแสดงตัวเลขไม่ได้มีวิธีเดียว — สัญลักษณ์แสดงจำานวน

2010, , MMX ตัวเลขและสัญลักษณ์เหล่ำนี้ล้วนแสดงจ�ำนวนเดียวกัน โดยตัว

ซ้ำยสดุเป็นเลขอำรบคิที่เหน็ได้บ่อยที่สดุ ตรงกลำงใช้ในสมยัอยีปิต์โบรำณ และตวัขวำสดุใช้ใน

สมยัโรมัน

ช่วงที่เกิดตวัอักษรในภำษำต่ำงๆ มกีำรแสดงจ�ำนวนในหลำกหลำยรูปแบบ อย่ำงใน

ภำษำจนีกเ็ขยีนแสดงจ�ำนวนนี้เป็น “二千十” กำรเขยีนในลกัษณะนี้เรยีกว่ำ “สญัลกัษณ์แสดง

จ�ำนวน” ซึ่งถูกพฒันำขึ้นในภูมภิำคต่ำงๆ แล้วแพร่กระจำยออกไปตำมที่ต่ำงๆ ในโลกเมื่อมกีำร

แลกเปลี่ยนทำงวฒันธรรมระหว่ำงกนั อย่ำงไรกต็ำม ในที่สดุเลขอารบิคที่คดิค้นขึ้นในประเทศ

อนิเดยี ได้กลายเป็นสัญลักษณ์แสดงจ�านวนที่ได้รับการยอมรับมากที่สุด

แล้วเหตุใดเลขอำรบิคจึงแพร่หลำยมำกที่สุดแทนที่จะเป็นสัญลักษณ์แบบอื่น เหตุผล

เป็นเพรำะว่ำ เลขอารบิคสามารถแสดงจ�านวนขนาดใหญ่ได้ง่าย

ยกตัวอย่ำงเช่น ถ้ำจะเขียนปีคริสต์ศักรำชที่ศำสนำคริสต์เข้ำมำในประเทศญี่ปุ่นเป็น

เลขโรมนั กจ็ะเขยีนได้เป็น ปี ค.ศ. MDXXXXIX แต่เมื่อเขยีนแบบเลขอำรบคิจะเป็น ปี ค.ศ. 1549

เลขแบบโรมนันั้นใช้สญัลกัษณ์หนึ่งตวัแสดงจ�ำนวนหนึ่งตวั แล้วจบัมำเรยีงกนัเพื่อแสดงจ�ำนวน

ทั้งหมด ตำมตวัอย่ำงข้ำงต้น จะเป็นดงันี้ M (1000) + D (500) + X (10) × 4 + IX (9) = 1549

ซึ่งเห็นได้ว่ำ เมื่อต้องแสดงจ�ำนวนขนำดใหญ่ก็ต้องเขียนสัญลักษณ์จ�ำนวนมำก นอกจำกนั้น

ถ้ำต้องกำรแสดงจ�ำนวนที่ใหญ่กว่ำนั้นอกี เช่น 5000, 10000 กต็้องประดษิฐ์สญัลกัษณ์เพิ่มขึ้น

ไปอกีไม่สิ้นสดุ

ส�ำหรบัเลขอำรบคินั้น เนื่องจำกหลกัหรอืต�ำแหน่งของตวัเลขใช้แสดงขนำดของจ�ำนวน

ด้วย จงึสำมำรถใช้สญัลกัษณ์แค่ 0–9 แสดงจ�ำนวนขนำดใหญ่แค่ไหนกไ็ด้ ด้วยควำมสะดวกนี้

เอง จงึท�ำให้เลขอำรบคิเป็นที่ยอมรบัและถกูน�าไปใช้แพร่หลายท่ัวโลก กำรแสดงด้วยเลขอำรบคิ

นี้ จุดส�ำคญัอยู่ที่กำรคดิค้นเลข “0” อย่ำงเช่น 105 ถ้ำเขยีนแบบโรมนักจ็ะใช้สญัลกัษณ์แทน

100 คอื C และสญัลกัษณ์แทน 5 คอื V มำเขยีนเรยีงกนัเป็น CV แต่เลขอำรบคิ ถ้ำเขยีนใน

ลกัษณะเดยีวกนันี้ ควำมหมำยกจ็ะผดิไปกลำยเป็น 15 ดงันั้นในหลกัที่ไม่มคี่ำอะไรนั้นกต็้องใส่

เลข 0 ไว้

ตัวอย่าง

5

บทที่ 1 ประวัติศาสตร์ของจ�านวน เริ่มต้นจากจ�านวนธรรมชาติ

1

2

3

4

5

6

一 万 二 千 七 百 五 十 六

X M M D C C L Ⅵ

เส้นผ่านศูนย์กลางของโลกบริเวณเส้นศูนย์สูตร คือ 12,756 kmเมื่อแสดงด้วยเลขแบบต่างๆ จะได้...

1 2 3 4 5 6 … 10 100 1000 10000

เลขอียิปต์

ตัวเลขในสมัยโบราณ

1 2 7 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ หลักหมื่น หลักพัน หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย

เลขโรมัน

เลขอารบิคใช้หลักของตัวเลขแสดงขนาด

ไปพร้อมกันด้วย จึงสะดวกมาก!!

สัญลักษณ์แสดงจำ นวนที่แตกต่างกัน

เลขอียิปต์

เลขโรมัน

เลขจีน

เลขอารบิค ตัวอย่าง

6

จำ นวนพื้นฐานที่แม้แต่สัตว์ก็ใช้เป็น

จุดเริ่มต้นของ “จำานวน” — จำานวนธรรมชาติ

ในช่วงที่มกีระแสตื่นตวัเรื่องกำรดแูลสขุภำพ หลำยคนคงยอมเดนิขึ้นบนัไดแทนที่จะใช้

ลฟิต์ แล้วระหว่ำงที่ขึ้นบนัไดกค็งเคยนบั 1, 2, 3, 4, … ตำมขั้นบนัไดที่ก้ำวขึ้นไปด้วยใช่ไหม กำร

นับเลขที่เกิดจำกกำรนับตำมธรรมชำติในลักษณะนี้เองเป็นที่มำของ “จ�านวนธรรมชาติ”

ส�ำหรบัจ�ำนวนลบ จ�ำนวนเศษส่วน และจ�ำนวนทศนยิม ที่เรำไม่ใช้เวลำนบัสิ่งของจะไม่ใช่จ�ำนวน

ธรรมชำต ิเพรำะคงไม่มใีครหรอกใช่ไหมที่จะนบัขั้นบนัไดเป็น –3 หรอื 1—2

จำกผลกำรวิจัยในระยะหลังคำดกำรณ์ว่ำ แนวคิดเรื่องจ�ำนวนธรรมชำติมีอยู่ในสัตว์

บำงจ�ำพวกอย่ำงลิงและโลมำด้วย โดยส่วนใหญ่จะแยกแยะได้ในจ�ำนวนน้อยๆ ประมำณ 4

เช่น ถ้ำมไีข่ 4 ฟอง แล้วเหลอื 3 ฟอง กจ็ะรู้ได้ ซึ่งเป็นเรื่องที่น่ำทึ่งมำก

จ�ำนวนธรรมชำติที่เกิดขึ้นโดยธรรมชำติจำกกำรนับนั้น นักคณิตศำสตร์ในศตวรรษที่

19 โครเนคเคอร์ และคนัทอร์ ตั้งชื่อว่ำ “จ�านวนท่ีพระเจ้าสร้างขึ้น” ส่วนจ�ำนวนที่นอกเหนอื

จำกจ�ำนวนธรรมชำต ิได้แก่ จ�ำนวนลบ จ�ำนวนตรรกยะ จ�ำนวนอตรรกยะ และจ�ำนวนเชงิซ้อน

ได้แยกประเภทให้เป็นจ�ำนวนที่มนุษย์สร้ำงขึ้น ซึ่งสองคนนี้เป็นผู้ที่แก้ปัญหำทำงคณิตศำสตร์

ไว้เป็นจ�ำนวนมำก

ในยุคที่กิจกรรมของมนุษย์มีเพียงกำรล่ำสัตว์ ท�ำเกษตรกรรม และค้ำขำยด้วยกำร

แลกเปลี่ยนนั้น ถ้ำรู ้จักแค่วิธีนับเลขอย่ำงเดียวก็ไม่ถือว่ำเป็นอุปสรรคในกำรด�ำเนินชีวิต

แต่อย่ำงใด

แต่เมื่อมนุษย์เรำอยู่รวมกันเป็นสังคม มีควำมเจริญก้ำวหน้ำขึ้น ก็ต้องมีกำรค�ำนวณ

ตวัเลขเพื่อใช้แบ่งสิ่งของหรอืที่ดนิ หรอืค�ำนวณเงนิที่ตดิค้ำงระหว่ำงกนั เป็นต้น ด้วยเหตนุี้ จ�ำนวน

เศษส่วน จ�ำนวนตรรกยะ หรอืจ�ำนวนลบจงึถอืก�ำเนดิขึ้น แล้วในที่สดุกเ็กดิจ�ำนวนเชงิซ้อน ซึ่ง

เกนิกว่ำจนิตนำกำรในกำรใช้ชวีติประจ�ำวนัของคนเรำ และถ้ำเรำยงัคงใช้ชวีติแบบในสมยัก่อน

ที่ใช้เพียงจ�านวนธรรมชาติแสดงทุกสิ่งทุกอย่างได้ ป่านนี้เราก็คงรู้จักแค่จ�านวน

ธรรมชาติเท่านั้น

ตัวอย่าง

7

บทที่ 1 ประวัติศาสตร์ของจ�านวน เริ่มต้นจากจ�านวนธรรมชาติ

1

2

3

4

5

6

เกิดขึ้นครั้งแรกจากการนับจ�านวนของสิ่งต่างๆ

1, 2, 3...

ความเจริญของอารยธรรม

การแบ่งเค้ก

ใบกู้เงิน 1,000 เยนเงินกู้

พีชคณิตc b

a

a2 + b2 = c2

จ�านวนธรรมชาติ

จุดเริ่มต้นของจำ นวนธรรมชาติ

จำ นวนวิวัฒนาการตามความเจริญของอารยธรรม

ค้นพบจ�านวนเศษส่วน จ�านวนลบ จ�านวนเชิงซ้อน

−b ± b

2 − 4ac

2a

ตัวอย่าง

8

ทั้งที่ไม่มีค่า แต่กลับมีความหมาย !?!

ตัวเลขที่แสดงความว่างเปล่า — ศูนย์

ปัจจุบันเรำใช้เลขศูนย์กันเป็นเรื่องปกติโดยที่ไม่รู้สึกว่ำมีอะไรพิเศษ แต่ทรำบไหมว่ำ

กว่ำคนเรำจะคดิค้นเลข 0 ขึ้นมำได้ กห็ลงัจำกที่ใช้จ�ำนวนธรรมชำตไิปนำนมำกแล้ว เดมิทเีรำ

ใช้จ�ำนวนกเ็พื่อนบัสิ่งของ ดงันั้นถ้ำไม่มอีะไรเลยกไ็ม่จ�ำเป็นต้องนบั นั่นจงึเป็นเหตผุลที่จ�านวน

เริ่มต้นที่ 1

กำรใช้ “0” ในปัจจุบันถือเป็นเรื่องปรกติมำก ไม่ว่ำจะเป็นกำรนับถอยหลังในวันขึ้น

ปีใหม่หรอืกำรเริ่มต้นอีเวนท์ต่ำงๆ เรำกจ็ะนบัว่ำ 3, 2, 1, 0 โดยศูนย์ที่เรำใช้ในปัจจบุนันั้นจะ

หมำยถงึ “0 ที่เป็นควำมว่ำงเปล่ำ” กบั “0 ที่เป็นจ�ำนวน” โดยควำมหมำยทั้งสองนี้เกดิขึ้นใน

ช่วงเวลำต่ำงกนั

กำรใช้ 0 ที่หมำยถึงควำมว่ำงเปล่ำได้กล่ำวไปแล้วในเรื่องสัญลักษณ์แสดงจ�ำนวน

นั่นคอืเรำจะใช้ 0 เขียนไว้ในหลกัที่ไม่มอีะไร กำรใช้ 0 ในลกัษณะนี้เกดิขึ้นตั้งแต่สมยัอำรยธรรม

เมโสโปเตเมยีและอำรยธรรมมำยำ แต่ในอารยธรรมท้ังสองไม่ยอมรับว่า 0 เป็นจ�านวน

นั่นคอืคดิว่ำ 0 กับเลข 1, 2, 3 นั้นแตกต่ำงกนัอย่ำงสิ้นเชิง ไม่มกีำรค�ำนวณอย่ำงเช่นกำรบวก

หรอืลบกบั 0 เพรำะคนในสมยันั้นคดิว่ำ ถ้ำน�ำ 0 มำร่วมในกำรค�ำนวณด้วยจะเกดิควำมขดัแย้ง

ขึ้น แม้แต่ปำสคำลซึ่งเป็นทั้งนกัปรชัญำ นกัฟิสกิส์ และนกัคณติศำสตร์ในศตวรรษที่ 17 กย็งั

เคยกล่ำวว่ำ “เมื่อน�ำ 4 ลบออกจำก 0 กย็งัเป็น 0” เพรำะในสมยันั้นมภีำพฝังหวัว่ำ “จ�ำนวน”

ต้องเป็นสิ่งที่นบัได้ และคดิว่ำ “ไม่สำมำรถหกัอะไรออกจำก 0 ได้ เพรำะฉะนั้น 0 ลบด้วย 4 จงึ

ยงัคงเป็น 0”

กว่ำ 0 จะได้รบักำรยอมรบัโดยทั่วไปว่ำเป็นจ�ำนวน กห็ลงัจำกที่มกีำรคดิค้นเส้นจ�ำนวน

ออกมำแล้ว ซึ่งนั่นกท็�ำให้จ�ำนวนลบเป็นที่เข้ำใจและรบัรู้ได้ด้วยตำ แต่ทว่ำ ในอินเดียซึ่งเป็น

ต้นก�าเนิดของสัญลักษณ์ 0 นั้นถอืว่ำ 0 เป็นจ�ำนวนมำตั้งแต่ประมำณศตวรรษที่ 6-7 แล้ว

ในปัจจบุนั 0 ถูกใช้ในลกัษณะพเิศษอื่นๆ ด้วย เช่น ไม่สำมำรถน�ำไปหำรจ�ำนวนอื่นได้

เป็นต้น

ตัวอย่าง

9

บทที่ 1 ประวัติศาสตร์ของจ�านวน เริ่มต้นจากจ�านวนธรรมชาติ

1

2

3

4

5

6

● 0ที่หมายถึงความว่างเปล่า ในการแสดงขนาดของจ�านวนโดยใช้ต�าแหน่งของหลัก

ถ้าในหลักนั้น “ไม่มีอะไร” จะใช้ 0 เป็นสัญลักษณ์แสดงไว้ เช่น

การนับชั้นของอาคารในประเทศญี่ปุ่น

กำรนับชั้นอำคำรจะเป็น ชั้น 1, ชั้น 2,

ชั้น 3 ส่วนชั้นที่อยู่ด้ำนล่ำงชั้น 1 คือ

ชั้นใต้ดินที่ 1, ชั้นใต้ดินที่ 2 โดยไม่มีชั้น 0

ปีคริสต์ศักราช

ไม่มีปี ค.ศ. 0 แต่จะเริ่มที่ปี ค.ศ. 1

(ปีก่อนหน้ำก็จะเป็นปีก่อนคริสต์ศักรำช)

เกดิขึ้นที่อนิเดยี ประมำณศตวรรษที่ 6-7

↓

ประมำณศตวรรษที่ 10 แพร่หลำย

ไปยงัอำระเบยี

↓

รำวศตวรรษที่ 12 แพร่หลำยไปยงัยโุรป

ในช่วงสงครำมครูเสด

↓

ศตวรรษที่ 17 แพร่หลำยไปยงั

ประเทศญี่ปุ่น

43201 หลักที่ไม่มีอะไร

● 0ที่หมายถึงจำานวน ใช้ 0 เป็นส่วนหนึ่งของการค�านวณ เช่น

2 + 0 = 2, 0 – 2 = –2

ในยุคที่ไม่มีจ�านวนลบนั้น 0 – 2 จะไม่สามารถท�าได้

→ ไม่สามารถน�า 0 มาร่วมค�านวณได้

0 มีความหมายสองอย่าง

ประวัติของ 0 ที่เป็นจำ นวน สิ่งที่ไม่มีเลข 0

3 ปีก่อนครสิต์ศกัรำช

2 ปีก่อนครสิต์ศกัรำช

1 ปีก่อนครสิต์ศกัรำช

ปีค.ศ. 1

ปีค.ศ. 2

ตัวอย่าง

10

เมื่อทำ สัญญากู้เงิน ทรัพย์สินจะเพิ่มมากขึ้น ?

จำานวนที่อยู่ก่อนศูนย์ — จำานวนลบ

กำรใช้จ�ำนวนลบอย่ำง –1 นั้น ว่ำกนัว่ำเริ่มต้นเมื่อระบบกำรเงนิพฒันำขึ้น มกีำรกู้ยมื

เงนิกนัเกดิขึ้นในสงัคม ในดนิแดนคำบสมทุรอำระเบยี ชว่งศตวรรษที่ 10 มกีำรใชจ้�ำนวนลบเพื่อ

จดักำรกบัจ�ำนวนเงินกู้ ส่วนทวปียโุรปในศตวรรษที่ 13 มบีนัทกึของนกัคณติศำสตร์ชำวอติำลี

ชื่อฟีโบนัชช ีที่เขยีนไว้ใน “หนงัสอืกำรใช้ลูกคดิ” ซึ่งมกีำรน�ำจ�ำนวนลบมำใช้ค�ำนวณเงนิกู้และ

กำรขำดทนุ

แต่ก่อนหน้าศตวรรษท่ี 17 นั้นการค�านวณในลักษณะที่เป็นจ�านวนลบ เช่น

2 — 5 ถือว่าท�าไม่ได้ เพรำะคดิเพยีงว่ำจ�ำนวนกต็้องเป็นอย่ำง “จ�ำนวนชิ้น” โดยไม่สำมำรถ

มองภำพหรอืจนิตนำกำรถงึจ�ำนวนลบ เช่น “แอปเปิล –3 ผล” ได้เลย

จ�ำนวนลบถูกใช้อย่ำงแพร่หลำยในช่วงที่กำรค้ำและอตุสำหกรรมเจรญิก้ำวหน้ำ เริ่มมี

เรื่องหนี้สินและกำรขำดทุน อีกทั้งยอดเงินกู้ก็มีขนำดใหญ่ขึ้นมำกหลังยุคกำรส�ำรวจทำงทะเล

(รำวครสิตศ์ตวรรษที่ 15-18) ในเวลำนั้นมกีำรค้ำขำยที่ต้องใชเ้วลำด�ำเนนิกำรเป็นแรมปี ยอดเงนิ

และจ�ำนวนครั้งของกำรท�ำสญัญำกเ็พิ่มมำกขึ้น จงึจ�ำเป็นต้องจดัท�ำบนัทกึรำยกำรต่ำงๆ อย่ำง

ถูกต้อง ในช่วงนั้นเองที่ผู้คนเริ่มตระหนกัว่ำ กำรบนัทกึรำยกำรขำดทนุด้วยจ�ำนวนลบให้ควำม

สะดวกและมปีระสทิธภิำพมำกในกำรท�ำบญัช ีกำรใช้จ�ำนวนลบจงึเริ่มแพร่หลำยตั้งแต่นั้นมำ

กำรค�ำนวณจ�ำนวนลบ โดยเฉพำะกำรลบออกด้วยจ�ำนวนลบ เช่น 2 – (–3) = 2 + 3

= 5 จะเหน็ว่ำ แทนที่จะลบออกด้วยจ�ำนวนลบ เรำกลบัน�ำจ�ำนวนบวกมำบวกเข้ำไปแทน ท�ำไม

จงึเปน็เช่นนั้น กำรลบนั้นปรกตหิมำยถงึกำรหกัออกจำกสิ่งที่มอียู ่เชน่ ถ้ำมกีำรแต่งงำนระหวำ่ง

คนที่มเีงนิฝำก 30 ล้ำนเยน กบัคนที่มหีนี้สนิ 10 ล้ำนเยน คูส่มรสนั้นกจ็ะมทีรพัย์สนิเป็น 20 ลำ้น

เยน แต่ถ้ำหลังจำกนั้นมีกฎหมำยยกหนี้ให้ลูกหนี้ไม่ต้องใช้คืน คู่สมรสนั้นก็จะมีทรัพย์สินเป็น

30 ล้ำนเยน นั่นคอื ตอนแรกน�ำเงนิฝำก 30 ล้ำนเยนมำรวมกบัหนี้สนิ 10 ล้ำนเยน (–10 ล้ำน

เยน) แล้วเมื่อหนี้สนิ –10 ล้ำนเยนหมดไป (ลบออกด้วยจ�ำนวนลบ) ทรพัย์สนิกจ็ะกลบัมำเป็น

30 ล้ำนเยนตำมเดมิ เมื่อแสดงเป็นสูตรกำรค�ำนวณจะเป็นดงันี้ 30 ล้ำนเยน + (–10 ล้ำนเยน)

– (–10 ล้ำนเยน) = 30 ล้ำนเยน – 10 ล้ำนเยน + 10 ล้ำนเยน = 30 ล้ำนเยน

ตัวอย่าง

11

บทที่ 1 ประวัติศาสตร์ของจ�านวน เริ่มต้นจากจ�านวนธรรมชาติ

1

2

3

4

5

6

จำ�นวน=จำ�นวนนับนับสิ่งที่มีอยู่จริงเท่านั้น

จำนวนลบเป็นที่ยอมรับ

ไม่มีจำ�นวนที่น้อยกว่�0ไม่สามารถนับสิ่งที่ไม่มีอยู่จริง

1, 2, … ?

เมื่อใช้จ�านวนลบ

ท�าให้การบันทึกบัญชี

มีประสิทธิภาพ

(จ�านวนลบ) × (จ�านวนลบ) ท�าไมกลายเป็นจ�านวนบวก ?กำรคูณกนัของจ�ำนวนบวก ➝ บวกตวัตั้งเป็นจ�ำนวนครั้งเท่ำกบัตวัคูณ

กำรคูณกนัของจ�ำนวนลบ ➝ ลบตวัตั้งเป็นจ�ำนวนครั้งเท่ำกบัตวัคูณ

(–6) × (–3) = – (–6) – (–6) – (–6) = 18

รายการหนี้สินและเงินกู้

มียอดสูงขึ้นมาก

การค้าเจริญ

ก้าวหน้า

ก่อนที่จะนำ จำ นวนลบมาใช้

รายรับ-รายจ่ายของเดือนนี้

รายการ จ�านวนเงิน

(หมื่นเยน)

คนืเงนิกู้ –400

ค่ำน�้ำ-ค่ำไฟ –300

ค่ำอำหำร –100

ยอดขำย A 800

ยอดขำย B 300

รวม 300

ตัวอย่าง

190

ดัชนีค�ำศัพท์

190

แนะน�ผู้เขียน

โอกาเบะ สึเนะฮารุ

เกดิเมื่อปี ค.ศ. 1946 ที่เกาะฮอกไกโด ประเทศญี่ปุ่น

ป ีค.ศ. 1969 จบการศกึษาระดบัปรญิญาตรจีากคณะวทิยาศาสตร์ สาขาคณติศาสตร์

มหาวทิยาลยัโตเกยีว หลงัจากนั้นกจ็บการศกึษาในระดบัปรญิญาโทจากมหาวทิยาลยัเดยีวกนั

มีประสบการณ์เป็นอาจารย์สาขาเศรษฐศาสตร์ในมหาวิทยาลัยไซตามะ และเป็น

อปุนายกสมาคมคณติศาสตร์แห่งประเทศญี่ปุ่น

เป็นผู้ที่มีส่วนผลักดันการศึกษาด้านคณิตศาสตร์ และรณรงค์ให้เห็นประโยชน์ของ

คณติศาสตร์ที่มต่ีอการพฒันาทั้งทางด้านวทิยาศาสตร์และเทคโนโลย ีรวมไปถงึศลิปวฒันธรรม

โดยนำาเสนอบทความเกี่ยวกบัเรื่องนี้ไว้มากมาย

ภายใต้ความคิดที่ว่า “คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่อาศัยการสั่งสมและต่อยอดความรู้

ความเข้าใจไปเรื่อยๆ บางครั้งเมื่อไม่เข้าใจเรื่องเลก็ๆ บางเรื่องกท็ำาให้เกดิความท้อแท้ได้ ดงันั้น

ถึงแม้จะมีอะไรที่ไม่เข้าใจบ้าง ก็ควรคิดในภาพใหญ่ แล้วรู้สึกสนุกกับการเรียนรู้คณิตศาสตร์

จะดกีว่า” ผู้เขยีนได้ใช้ภาพการ์ตูนและแอนเิมชนัต่างๆ ในการอธบิายเรื่องราวทางคณติศาสตร์

ให้เข้าใจง่ายขึ้นและรู้สึกสนุกกับการเรียน ส่วนหนึ่งของผลงานทางด้านนี้ได้แก่ การเป็นผู้ร่วม

ออกแบบพพิธิภณัฑ์ RiSuPia (อยูภ่ายใน Panasonic Center กรงุโตเกยีว) ที่ทำาให้ผูเ้ข้าชมสามารถ

สมัผสักบัมนต์เสน่ห์ของวทิยาศาสตร์และคณติศาสตร์

ผลงานด้านการเขยีน ได้แก่ “Otona no suugaku” (Gotoshoin), “Kangaeru chikara wo

tsukeru suugaku no hon” (Nihon keizai shinbunsha), “Zukai zakkuri wakaru! Bibunsekibun

nyuumon” (Seishun shuppansha), “Manga bisekibun nyuumon” (Koudansha) เป็นต้น และจาก

ผลงานเรียบเรียงหนังสือที่นอกจากจะเหมาะกับผู้เชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์แล้ว ยังเหมาะ

สำาหรับคนทั่วไปด้วย จึงทำาให้ได้รับรางวัลสิ่งพิมพ์จากสมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศญี่ปุ่น

เมื่อปี ค.ศ. 2005ตัวอย่าง