變易理論 的行動研究

Action Research with Theory of Variation

一、釐訂課題 • 討論學生的學習困難及需要• 討論行動研究價值

二、前測設計及結果• 草擬前測工具• 處理數據統計的結果• 前測檢討• 找出較多錯或易錯的地方 , 如 : 基本概

念

三、教學設計 • 針對關鍵特徵 , 根據「變易學習理論」 ,

從三方面擬訂教學策略 , 設計教學計劃。• V1: 學生對學習內容的不同看法 • V2: 教師對教學內容的不同觀點和處理手

法• V3: 利用差異的教學法 - 如 : 使用正面

及反面例子 • 按照需要分配教學時間

四、課堂實踐及後測 • 需要攝錄• 第一班攝錄後進行檢討 • 第一班進行後測• 修訂教學計劃• 在另一班進行攝錄• 另一班進行後測

五、教學檢討 • 例如 : 1. 學生學習成果 2. 課堂檢討 • 整理數據統計結果• 整個研究的檢討

– 好的方面– 不好的地方– 能否達標 , 達標程度

六、研究課後反思 • 課堂內容認識 • 參與研究課之老師的專業提升 • 感想

課堂學習研究課堂學習研究課堂學習研究課堂學習研究中四數學科中四數學科

直線與拋物線的相交點直線與拋物線的相交點

中四文科生常見困難• 強記公式及計算步驟，但不求甚解。• 缺乏對其他數學內容的聯繫。• 對所求的結果不明其現實（幾何）意義。• 常規以外的問題，缺乏解難能力。

學習內容• 求直線與拋物線之相交點數目• 解聯立方程的幾何意義。

前測分析1. Solve the following simultaneous

equations

) ii (------- 013

) i ( ------ 0522 yx

yx

4C 4D

90.0% 91.2%

* 考核學生對解「聯立方程」的能力

前測分析

y

x

20x2 + 36y2 + 40x –108y –79 = 0

3x – 5y – 10 = 0

4C 4D

10.0% 0.0%

Find out the number of solutions of the following simultaneous equations.

) 2 ( -------------- 01053

) 1 ( ---------- 079108403620 22

yx

yxyx

* 考核學生對解「聯立方程」的幾何意義

The discriminant, Δof a quadratic equation is defined as

What is the use of discriminant? acb 42

* 考核學生對二元一次方程的判別式的用途

4C 4D

77.5% 44.1%

前測分析前測分析

前測分析• …. How many points of intersection of the

parabola and the straight line y = 5?

4 2 qxpxy

* 考核學生對判別式在直線與拋物線相交時的應用

4C 4D

33.3% 17.7%

x– 2 0

y = px2 + qx + 4

y = – 3

4

V1• 學生忘記 / 不清楚判別式的功能• 學生只背誦判別式，不知它可作判斷方

程根的數目的意義。• 能掌握代入法的運算過程，但對代入法

的幾何意義全不知曉。

關鍵特徵1. 利用代入法解聯立方程2. 判別式 (discriminant) 的功能3. 聯立方程解與相交點數目的關係4. 利用判別式檢查相交點的數目

( 本研究課前已處理 )

V21. 利用代數方法，由結合後二次方程的

判別式了解相交點的數目。2. 利用幾何紙繪畫各種相交線情況，分辨相交點數目與判別式關係。

3. 利用投影機、軟件展示不同形式的相交關係，進而分辨相交點數目與判別式關係。

教學設計• 第一循環• 第二循環

變易理論的運用變 背景 辨識特徵

直線與拋物線的相交點數目

有 2 個相交點的直線與拋物線的不同擺放方式

不同的正數值

將直線與拋物線公式結合， = b2 – 4ac 公式不變

> 0 2 個相交點

只有 1 個相交點的直線與拋物線的不同擺放方式

數值 = 0 = 0 1 個相交點

沒有相交點的直線與拋物線的不同擺放方式

不同的負數值

< 0 沒有相交點

處理直線與拋物線的相交點數目的方法（判別式、代數與圖像）

相同題幹之聯立方程問題

代入法之幾何意義

課堂分析及學習成果課堂分析及學習成果課堂分析及學習成果課堂分析及學習成果

沙田崇真中學沙田崇真中學中四數學科課堂學習研究中四數學科課堂學習研究

三角測定 (triangulation)

授課老師自我反思授課老師自我反思

觀察員的課堂分析觀察員的課堂分析 學生訪問及學生訪問及前後測比較學習成果前後測比較學習成果

授課老師自我反思授課老師自我反思• 能够將預先設計的「變易」成功運用作為教學

工具 • 以往的教學內容只強調運算步驟及處理公式的

運用，研究課的學習內容幫助學生聚焦直線及拋物線在坐標上的幾何意義

• 老師對學生的反應及學習誤解較前敏感，亦嘗試跟踪學生哪些課題在低年級學得不足，以作日後的跟進

課後會議

老師檢討

觀察員的課堂分析觀察員的課堂分析• 課堂上觀察到老師能充分預備教材及有系統準備教學流程

• 老師了解學生的學習困難，選擇合適學習內容• 組織學習內容及其關鍵特徵能幫助學生辨識課

題中的代數與幾何關係• 對於能力較弱的學生，建議在基礎知識上先進

行補底課• 在課堂上可預留較多的堂課時間，讓學生有更

多空間思考問題的幾何關係

學生訪問學生訪問•選取高、中、低能力的學生作課堂後訪

問• 學生能清淅地講解判別式在直線與拋物

線的相交點的功能• 學生除掌握運算步驟外，亦對直線與拋

物線的幾何意義有所關注

學生訪問片段

前後測比較學習成果前後測比較學習成果Q1. Solve the following simultaneous

equations

) ii (------- 013

) i ( ------ 0522 yx

yx

* 考核學生對解「聯立方程」的能力

4C 4D

Pre-test Post-test Pre-test Post-test

Correct 94.8% 94.8% 84.8% 72.7%

Wrong 5.1% 5.1% 15.2% 18.2%

Blank 0.0% 0.0% 0.0% 9.1%

前後測比較學習成果前後測比較學習成果

20x2 + 36y2 + 40x –108y –79 = 0

y

x

3x – 5y – 10 = 0

Find out the number of solutions of the following simultaneous equations.

) 2 ( -------------- 01053

) 1 ( ---------- 079108403620 22

yx

yxyx

4C 4D

Pre-test

Post-test

Pre-testPost-

test

Correct by inspection 0.0% 59.0% 0.0% 45.5%

correct by substitution

7.7% 0.0% 0.0% 0.0%

wrong (by substitution)

53.8% 0.0% 30.3% 3.0%

Wrong 28.2% 25.6% 28.2% 25.6%

Blank 10.3% 15.4% 42.4% 12.1%

* 考核學生對解「聯立方程」的幾何意義

Q.2

Post-test

CLASS

0 1 2 Total

4CPre-

test

1 92.3% 2.6% 94.9%

2 5.1% 5.1%

∑ 97.4% 2.6% 100.0%

4DPre-

test

03.0

%21.2% 24.2%

1 60.6% 60.6%

2 12.1% 12.1%

3 3.0% 3.0%

∑3.0

%97.0% 100.0%

Q4a(i) Find the discriminant of the equation 0149 2 uu

* 測試學生對判別式的認識

0: blank1: correct2: wrong formula3: factorization

Post-test

CLASS 0 1 4 Total

4CPre-

test

0 2.6% 2.6%

1 79.5% 2.6% 82.1%

2 7.7% 7.7%

3 2.6% 2.6%

4 5.1% 5.1%

∑ 97.4% 2.6%100.0

%

4DPre-

test

0 9.1% 21.2% 3.0% 33.3%

1 3.0% 45.5% 3.0% 51.5%

2 3.0% 3.0%

4 9.1% 3.0% 12.1%

∑ 12.1% 78.8% 9.1%100.0

%

0: blank1: correct2: root & coeff3: zero4: others

Q4a(ii) Hence state the number of real roots of the equation 0149 2 uu

* 測試學生對判別式的應用

Q4B_POST

CLASS 0 1 2 3 Total

4CPre-

test

0 2.6% 20.5% 7.7% 30.8%

1 23.1% 2.6% 25.6%

2 25.6% 2.6% 28.2%

3 12.8% 2.6% 15.4%

∑ 2.6% 82.1% 15.4%100.0

%

4DPre-

test

0 36.4% 24.2% 3.0% 24.2% 87.9%

1 3.0% 3.0%

3 6.1% 3.0% 9.1%

∑ 45.5% 24.2% 3.0% 27.3%100.0

%

0: blank1: correct2: wrong3: calculation mistake

Q4b Given P: and L: y = 3x , where k is constant. By using the results of part (a), determine whether L cuts P at any points when k = 1.

kxy 42

* 測試學生在直線及拋物線相交下能否使用判別式解決問題

Q4c What is the value of k if L touches P at only one point?

Q4C_POST

CLASS

0 1 2 3 4 Total

4CPre-

test

023.1

%28.2

%12.8

%2.6%

2.6%

69.2%

110.3

%10.3%

2 2.6% 5.1%2.6

%10.3%

3 7.7% 7.7%

4 2.6% 2.6%

∑25.6

%51.3

%15.4

%2.6%

5.1%

100.0%

4DPre-

test

075.8

%18.2

%93.9%

1 3.0% 3.0%

3 3.0% 3.0%

∑81.8

%18.2

%100.0

%

*此為非常規問題，測試學生在直線觸及拋物線情況下能否使用判別式解決問題

0: blank1: correct2: know = 03: know subst4: wrong

Q4d What is the range of values of k if L cuts P at two points?

Post-test

CLASS

0 1 2 3 4 Total

4CPre-Test

0 23.1%33.3

%10.3

%2.6% 5.1% 74.4%

110.3

%10.3%

2 2.6% 2.6% 5.1% 2.6% 2.6% 15.4%

∑ 25.6%46.2

%15.4

%5.1% 7.7%

100.0%

4DPre-test

0 78.8%15.2

%3.0% 97.0%

3 3.0% 3.0%

∑ 81.8%15.2

%3.0%

100.0%

*此為非常規問題，測試學生在直線相交拋物線情況下能否使用判別式解決問題

0: blank1: correct2: know > 03: know subst4: wrong

完

有 2 個相交點的直線與拋物線的不同擺放方式

只得 1 個相交點的直線與拋物線的不同擺放方式

沒有相交點的直線與拋物線的不同擺放方式