А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А ЛТ е м XXVIII 1982 Вып. 6

УДК 624.131.5

ДВУХВОЛНОВАЯ СТРУКТУРА ФРОНТА УПРУГОЙ ВОЛНЫВ НАСЫЩЕННОЙ ЗЕРНИСТОЙ СРЕДЕ

К у з н е ц о в О .Л ^ С нм кип Э .М ., Х а л и к о в Г .А . ,Х алилов В .Ш .

На основе расчета тензора напряжений в твердой фазе получена система уравнения динамики насыщенной зернистой среды. Найдено частноо решение системы о распространении упругой волны, имеющей двух волновую структуру.

При распространении сейсмических волн наблюдается слабая дисперсия скорости звука [1]. В работе [2] данный факт объясняется нелинейными эффектами, обусловленными существенной неоднородностью среды. Однако процесс распространения возмущений по насыщенной жидкостью пористой среде, а также ее диссипативные свойства связаны с механизмом деформа­ции. Эти вопросы исследованы теоретически в работах [3—6]. Их авторами разработаны модели для описания процесса деформирования и распростра­нения волн с учетом различных свойств составляющих фаз (сжимаемости, инерционных сил и т. д.). Однако предложенные модели не объясняют непосредственно указанный экспериментальный факт. Это, по-впдимому, связано с некоторым упрощением учета взаимодействия фаз. Оно состоит в том, что в элементарном макрообъеме, включающем достаточно много частиц, величина силы взаимодействия при пространственном осреднении носит объемный характер. Кроме того, для сохранения полного импульса системы достаточно детального определения величины взаимодействия только для одной из фаз. Последнее утверждение может быть проверено с помощью идеализированной модели пористой среды. В работах [7, 8] модель идеального грунта используется при исследовании деформации. Данный подход позволяет рассчитать осредненную по элементарному мак­рообъему величину реакции силы в твердой фазе от воздействия жидкости через межфазную границу.

Пусть среда состоит из твердых нлотпоупаковаппых сфер и жидкости, заполняющей поры. При этом внешние возмущения малы, деформирование происходит линейно и отсутствует переупаковки твердых частиц. Непре­рывность фаз обуславливает независимое изменение внешнего силового возмущения — давления жидкости р и внешнего напряжения, приложен­ного к твердой фазе Г« («горное» давление). Введем также параметры в фазах: плотности р,, р2, скорости смещения и,, гг2, тензор микронапря­жений Tiiy соответствующие произвольному макрообъему среды, индекс 2 соответствует жидкой фазе. Напишем уравнение сохранения масс в виде [3]

где m = V J V пористость, V — объем.В качестве уравнений состояния возьмем для твердой фазы закон Гука:

где a=7'im+7,0 0+7,u — сумма главных напряжений, Д, О, Я — сферические координаты, u = (V 0—V)/V0 — относительное изменение объема, Е — модуль Юнга. Для жидкости — уравнение Тейта In| {р+Ро)1ро\ = A v 2, где р0, А —

( 1)d [ p i ( l - m ) J

dt

(2) щ = а/3 Еу

799

постоянные. Принимая для воды А&6, р0=3,1 • 108 Па, напишем

(3) v*=l-[po/(p+Po)]t/e.

Заметим, что нелинейные свойства жидкости проявляются быстрее ввиду большей ее сжимаемости. Переход к плотностям в уравнениях (2), (3) обеспечивает известпая связь i>=(p—ро)/р.

Пусть жидкость, расположенная в поровом пространстве между сфера­ми, фильтруется со скоростью, удовлетворяющей закону Дарси У р = -с ш 2,

где а=\ип/К. Данный режим тече­ния допускает идеализацию норо­вой структуры моделью цилиндри­ческих капилляров, так что для отдельного капилляра радиуса в вместо формулы Дарси можно использовать зависимость Пуазей-

ля [5 ]: и2= - - 1 (в2- i f ) , где4|х dl

ц — вязкость жидкости. Вычислим величину касательных напряжений на стейках канала, используя так­же соотношение в= (К /8т )42:

№ т- 2 ^ | - 2 * £ - ) ■ *dy

Фиг. 1. К расчету силы межфазного взаи­модействия

для случая, когда гг4= 0 , К — прони­цаемость.

При этом выражение (4) слу­жить дополнительным краевым условием при расчете деформации

твердой сферы. Заметим, что в данном случае имеет место использование двух идеальных моделей: модель цилиндрических капилляров служит для описания линейного режима фильтрации, а модель сфер —для расчета тензора напряжений в твердой фазе. Это является сильным упрощением, однако позволяет уточнить взаимодействие фаз на уровне микроструктуры. Тогда уравнение движения жидкости обычно записывается способом до­бавления сил инерции к формуле Дарси [3]:

(5)du2

P * - ^ = - V p -a (u 2- Ul)+ p 2g, где

g — ускорение сил тяжести. Используем теперь данный способ при записи уравнения движения твердой фазы, т. е. переходя к твердым сферам, при­дадим им радиус, равный среднему размеру частиц i?0. Расположение кон­тактов правильное, здесь — соответствующие кубической структуре, и рас­пределение напряжений равномерное. Для вычисления тензора напряже­ний используем результаты решения пространственных задач теории упру­гости. Введем эффективные напряжения в} как разность внешнего «гор­ного» давления, действующего на твердую фазу Г*,, и давления в жидкости р[3 ]: о*=Тц—р. Параметры области контакта опишем с помощью результа­тов задачи Герца [9 ]. Приводя эффективные напряжения к осреднеыпому по площади контакта виду и подставляя для усилия действующего в кон­такте, зависимость Q =jia2o\ получим:

где /?0 — радиус сферы, б — смятие, а — радиус площади коптакта. Для ре­шения задачи о равновесии твердой сферы с кусочно-неоднородной на­грузкой (см. фиг. 1) применим результат Трефтца [9]. Напишем выраже- 800

ния для вектора силы, действующей на поверхности сферы радиуса R0:

( ? ) p * = i z ( 2 п + 1 ) ( ж ) ' , | < a ' i e P'P « ° (P , . W - ( ' r ) +п=1 0 -1

+ 1 С 1 (2п+1) Q - 2 )4л ^ - J 2 [ « 2— (1 —2 v ) n + i —v]п=з

о -1

[ЕРп - 1 (т) +елепРэт'_2('у) +сп,е /Л " (т ) - (е /е /{- е ле / )Р 17_1 (^) ],

где 7=cos 0 cos 0 '+sin 0 sin B'/cos ( X — X ' ) — аргумент функций Лежандра, До, 0/, X' — координаты точки приложения силы, й , 0Д — координаты точки наблюдения, [5=cos0, РдЧР'Д7) — условие на границе сферы, Рп', Р" и т. д.— полиномы Лежандра, v — коэффициент Пуассона. Умножая вектор(7) на базисный вектор ед, получим компоненту Гдд, соответственно умно­жение на ее даст TRQ. Пусть направление фильтрации совпадает с 0, тогда, учитывая свойство симметрии тензора, напишем: Trq= —Tqji, Тм = —Txr= 0, Т ы = —Т),о=0, т. е. отличны от пуля по крайней мере пять компонент. Пре­делы интегрирования в формуле (7) разобьем на участки согласно фиг. 1Т результат осредним по объему сферы по формуле

2я По

4зтДо3J d% j dj} j TmiR2 dR.

-i

Опуская выкладки, напишем окончательный результат с учетом шести членов в разложении (7 ), пренебрегая в нем малыми величинами, начиная с ( о 7 £ )2, (гЧЕУ:

О ) Тт— [1 + ( Р/ру]Ъ (0 ,8+12,5р/£-12,5Г /Д ),

(10) о = р (2,5>+27,Зр/Е—27,ЗТ/Е),

<41> Гя< " T i + W F [ i + 5 ’2 3 ( r -p ) /^ ] -

Упрощения, содержащиеся в выражениях (9) —(11), не позволяют изучать процессы, где определяющими будут эффективные напряжения, например обратимое изменение пористости, связанное с отдельными перемещениями частиц. Также не исследована асимптотика поведения при р->-0, .когда су­щественны деформации в контакте.

Анализ результатов (9) —(11) дает возможность написать соотношения TDr> T rе, а~ЗГдд. Первое из них справедливо для условий подземной фильтрации, когда Б=т/р->-0, и в задачах быстрого обтекания слабоуплот­ненных частиц не имеет места. Второе свидетельствует о равенстве главных компонент тензора и является следствием изотропности. Следовательно, в уравнении движения достаточно учесть две компоненты тензора, запи­сывая его для R составляющей:

(12)где величины справа являются функциями р, Г и касательных напряжений при фильтрации жидкости т. Применим операцию V к формулам (9) и(11) , получим:

da» у г , , - ^ +2т: > .(р2+ т 2) V l + e 2 (р2+ т 2) V l+ e 2

801

V7Ve =(т2+2/>2)ф2 Vt xp Vp

<14).( t 2+ />2) V l + l / e 2 (р 2+ т 2) У l + l / e 2

где V t= a (w 2—гг,) в соответствии с определением т. Подставляя эти выра жения в (12), получим окончательно

dui(15) Pi dl

= — яр! Vр+\[)3 V Г + 5 еа (и2—u,) +p,g;

^ = 0 ,8 + ^ 3 (1 -Г //> ), ’ф2:=1+5,23( Г—/?)/£ , г|)3=12,5 р/Е.

Напишем выражение для пористости, приводя ее к относительному из­менению объема:

(16) m =m 0( i —v2)/ (l—v) = 1 — (1—w 0) (1 —Z7,)/(1—Z7).

Замкнутая система (1) — (5 ), (15)-— (16) полностью описывает динамику среды без учета температурных эффектов. Ее особенностью является не­симметричная форма записи членов взаимодействия фаз в связи с появле­нием величины е в уравнении (15). Это приводит к формальному наруше­нию закона сохранения полного импульса среды. Действительно, при сло­жении уравнений (4) и (15) внутренние силы не скомпенсированы. Дан­ная ситуация объясняется переводом силы взаимодействия в краевое усло­вие при расчете тензора, так что проведение пространственного осреднения приводит к разрыву параметров на границе. Это есть следствие уточнения взаимодействия на микроуровне. Отличие предложенной записи системы от приведенной в работе [3] позволяет их отождествить при соответствую­щем экспериментальном определении свободных параметров.

Используем свойства системы на примере распространения акустиче­ских воли. Ввиду того что указанная система справедлива только в области упругой деформации, не имеется возможности изучать поперечные (или сдвиговые) волны, так как они связаны с перемещением частиц и каса­тельными напряжениями в контакте. Приведем систему к линеаризован­ному виду обычным способом. Этого можно достигнуть двумя путями. Одну форму назовем системой уравнений в перемещениях:(17) Щ ,и = с?Ч 2ии u2<ti=C22‘V2u2- 2 q (a 2tt- u itt),индекс I означает дифференцирование по времени, другую — в напряже­ниях:

(18) -\ р и = У 2р ~ а с2

“V (р«—фТн) = v*p—1|)а V T.Ci

Данное раздельное представление системы обусловлено видом функцио­нальной зависимости компонент тензора от давления в жидкости р и «гор­ного» давления Г, в то время как для величин скоростей это не имеет места. Тем не менее системы (17), (18) описывают один и тот же процесс.

Пусть в ограниченной области 0 < a '< L в момент времени f= 0 к правой границе приложено периодическое возмущение В sin со£, так что краевые условия можно сформулировать в следующем виде:

(19)гг, (0, t) =гг2 (0, t ) =0, гг, (L, t) = и 2 (L ,t )= B sin со£,

гг, (я, 0) =гг2 (х, 0) =гг1>, (х, 0) =и2, t (я, 0) =0.Решение системы (17) ищем следующим образом. Первое уравнение си­стемы при названных краевых условиях находим в аналитическом виде с помощью разложения в ряд Фурье:

(20) и ,(х , t) =В sin (иж/сО sin (о>г)

s in (oL /ci)v-t , . / ппх \ . / nncyt \

М — )п = 1

802

где dn= B ( —l ) n+I2(oc1L/[co2Z,2— (шгс4) 2] . Определяя величину uiit, подста­вим ее во второе уравнение и, приведя его к комплексному виду, находим решение методом разделения переменных:

да

(21) иа (ж, t) = Ж (Ж , г) +Э, (ж) е '“ ' + Эя (ж) е 'Ч71 = 1

9 i(s ) =Э0 (ж) . 1 J Ф. ( I) э0 (1) d| + ~ ~ J ср, ( |) до ( L - l ) d l ,Эо(Ь) 2 / Э ЛЬ)

2О)2 - со:2=Усо2—2m q = — "|/ Усо4+ 4 з2ш2+сог — i "j/ Уш‘ +4д

Эa(x )= B (e Jx—e - JX) , q><=2q<,)sm (coar/c,)/sin (wL/cO,

Эп(г ) = — L j фп( Е ) Э о ( , - Ю ^ ! + | ^ т 1 4 > .( i )9 „ (L -6 )d | ,

/„=Уй>„—2г?о)„, ф „ = —

Э ,(L) и(—1) 1l4q(oc2TtnL sin (л/гя/L)

0)2L2— (я.с2гс)oo

Т7(ж, г ) = б е - « ' ( Уп cos ©n*+Zn sin C0n0 sin (я/гя/L ),n = i

при <вп=Уд2—G„2> 0 , если же о)я=У(Зп2- д 2> 0 , тода

УР(ж, i ) = e ( y nch (o„i+Znsh(i)nf)sin(n«a:/L ),n = l

где Уп= —2 J Х(«г, 0)sin(jtft;r/L)6fc,

Z» =<?Упл/г л/г

| Xt (#, 0) sin (п п х / L ) d x ,oo

Х(ж, г) = Im IЭ, (д:) e<0><| + ^ Im l9,»(x)ei<*,t'n-

Gn =nn

, Im — мнимая часть комплексного выражения. На фиг. 2 приве­

дены (20), (21) для моментов времени t = 1, 3, 5, 8 ,10-10“2с. Аналогичные зависимости могут быть получены для системы (18). Их анализ подтверж­дает существование двух типов волн. При этом волна I рода обусловлена передачей возмущения через области контакта но твердой фазе. Волна II рода распространяется по жидкости, при этом на основной спектр накла­дываются собственные колебания твердых частиц. Данное представление0 распространении волн следует также непосредственно из вида расщеп- лепиой системы (17). Из первого уравнения системы легко видеть, что волна I рода распространяется с весьма малым затуханием и, следователь­но, при воздействии внешней периодической силы спектр частот, определяе­мый выражением о)п= з т с ,/Х , является резонансным. Если решение систе­мы может быть представлено в виде u,oieiiai+kx); и02ei{ot+hx\ где к — волновое число, то подстановка его в (17) даст дисперсионные соотношения. Как и следовало ожидать, они указывают на независимое существование волн1 рода и отсутствие для нее дисперсии. В то же время в волне II рода явления затухания и дисперсии будут по-прежнему существенны.

803

Таким образом, найденная двухволновая структура фронта упругой волны соответствует основным представлениям об акустических свойствах исследуемой неоднородной среды [1 ]. Этот результат также не противоре­чит сведениям в работах [3, 6 ], полученным с помощью развития феноме­нологического подхода. Он основан на введении определенного числа эмпирических констант в области, где получение информации затруднено большим разбросом величин и влиянием случая. В методе, развиваемом в данной работе, предлагается использовать только физические параметры

и/и0 и/о0

Фиг. 2. Развитие волн смещений I (сплошные линии) и II (штриховые линии) рода. 1 - т=0,05, 2 - т=0,15, 3 - т=0,25, 4 - т=0,4, 5 - т=0,5

составляющих фаз (модули упругости, плотности, скорости звука и т. д.), без введения постоянных, требующих /щполпителыюго измерения. В дан­ном случае идеализированные предположения о структуре неоднородностей позволили произвести уточнение межфазного взаимодействия и его влия­ния на величину тензора напряжения твердой фазы. По-видпмому, про­цесс деформирования и распространения возмущений будет весьма близок к рассмотренному здесь и при переходе от чрезвычайно упрощенной пред­ложенной структуры к реальной. В направлении учета отклонения струк­туры среды от идеализированной авторы видят пути усовершенствования модели.

Другое отличие состоит в возможности упрощения основной системы уравнений динамики. Действительно, вследствие линеаризации система уравпепий (17), (18) расщеплена и допускает исследование структуры волн I и II рода.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гуревич Г. И . Деформируемость сред п распределение сейсмических волн. М.:Наука, 1974.

2. Николаевский В. Н., Ротенбург Л. Б. О нелинейном характере затухания сейсми­ческих волн.— В кн.: Проблемы механики твердого деформируемого тела. Л.: Су­достроение, 1970, с. 281-286.

3. Николаевский В. //., Баспиев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насы-щеппых пористых сред. М.: Недра, 1970.

4. Пигматулин Р. И. Оспопьт механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978, с. 336.5. Био М. А. Механика деформировали*! и распространение акустических волн в по­

ристой среде. Механика.- Сб. нер. и реф. иностр. период, лит-ры, 1962, № 6, с. 103-135.

6. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влаж­ной почве.-Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз., 1944, т. 8, № 4. с. 133-150.

7. Brandt Н. A. Study of the Spead of Sound in Porous Granular Media.- J. Appl.Meehan., 1955, v. 22, № 4, p. 479-486.

8. Walton K. The Effectiv Elastic Moduli of Model Sediments.- Geophys. J. Roy. Astron.Soc., 1975, v. 43, № 2, p. 293-303.

9. Лурье А. И. Теория упругости. M.: Наука, 1970.Башкирский государственный Поступила в редакциюуниверситет им. 40-летия Октября 29.III.1979

после окончательного исправленияИ.11.1982

804