Indice- Appunti di Meccanica dei Solidi 1, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - Bozza za Bozza Bozza Bozza Boz Bozza za Boz VI Indice 8.4 Poligono funicolare. Costruzione

B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz

Indice

1 Richiami di Algebra Vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Spazio ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Spazi vettoriali di dimensione finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Somma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Operazioni tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Rappresentazione in una base ortonormale . . . . . . . . . . . . 103.3 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Prodotto vettoriale in una base ortonormale . . . . . . . . . . 203.5 Prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Sistemi di Forze e Coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Nozione di forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Momento di una forza rispetto ad un polo . . . . . . . . . . . . 255 Sistemi di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.1 Asse centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Nozione di coppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Sistemi di forze e coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.1 Riduzione di una forza ad un punto assegnato . . . . . . . . . 387.2 Decomposizione di una forza secondo direzioni assegnate 40

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 Sistemi piani di forze e coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.1 Asse centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.2 Sistemi nulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.3 Problemi di decomposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

- Appunti di Meccanica dei Solidi 1, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 -

B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz

VI Indice

8.4 Poligono funicolare. Costruzione grafica dell’assecentrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Statica del Corpo Rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 Tre esempi introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911 Potenza di un sistema di forze e coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212 Sistemi bilanciati di forze e coppie. Equazioni cardinali . . . . . . . 64

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6513 Vincoli esterni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

13.1 Vincoli spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6813.2 Vincoli piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7214 Metodo delle forze e metodo delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

14.1 Ricerca di configurazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.2 Ricerca di reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7515 Metodo del potenziale. Equilibrio stabile, instabile, indifferente. 79

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Catene Piane di Corpi Rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8716 Metodo delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

16.1 Equilibrio di una catena di due travi priva di vincoliesterni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

16.2 Equilibrio di una catena di due travi vincolata . . . . . . . . 9017 Metodo degli equilibri parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9518 Rigidita di una catena chiusa di tre travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9719 Cinematica di catene aperte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

19.1 Centro di rotazione istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10019.2 Atto di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5 Travi e Travature Rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10920 Nozione di trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

20.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10920.2 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11120.3 Carichi applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

21 Azioni interne in una trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11521.1 Esempi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

22 Caratteristiche di sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11722.1 Diagrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11922.2 Equilibrio locale di travi piane ad asse rettilineo . . . . . . . 121


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz

Indice VII

23 Travature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6 Travature Piane con Elementi Elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13724 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13725 Travature capaci di “piccoli” moti rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13826 Modelli lineari di molle elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

26.1 Molle estensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14026.2 Molle rotazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

27 Un esempio paradigmatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14527.1 Principio di bilancio delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

28 Un altro esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14728.1 Principio di minimo dell’energia totale . . . . . . . . . . . . . . . 15228.2 Lavoro dei carichi ed energia elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . 15428.3 Sovrapposizione degli effetti. Reciprocita . . . . . . . . . . . . . 155

29 Altri esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7 Travature reticolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16530 Metodo degli equilibri nodali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

30.1 Ricerca di aste scariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

31 Metodo delle sezioni di Ritter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

32 Tipologie di sistemi reticolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17832.1 Travature semplici, composte e complesse . . . . . . . . . . . . . 178

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18132.2 Sistemi sottodeterminati e sovradeterminati . . . . . . . . . . 182

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18432.3 Regola di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8 Strutture Tensintengre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz

1

Richiami di Algebra Vettoriale

Molti tra gli oggetti della Meccanica – ad esempio, forze e velocita – sonorappresentati e manipolati come campi vettoriali su corpi, cioe, come appli-cazioni a valori vettoriali definite su regioni di uno spazio ambiente, alle qualisi attribuisce sostanza materiale. Conviene quindi cominciare il nostro studiodella Meccanica descrivendone senza eccessive formalita lo spazio ambiente,per poi passare brevemente in rivista le principali strutture algebriche deglispazi vettoriali di dimensione finita.

1 Spazio ambiente

Lo spazio in cui operiamo e lo spazio euclideo E a 3 dimensioni, i cui elementisono i punti P , Q, . . . . La differenza tra due punti e un vettore, un elementodello spazio delle traslazioni VE associato con E :

P −Q = v ∈ VE .

VE e uno spazio vettoriale tridimensionale.1 Per giustificare la nomenclatura,basta pensare di disporre di una copia E ′ di E e pensare P,Q come punti dientrambi questi spazi: v individua una particolare isometria (≡ applicazionebiunivoca che lascia inalterate le distanze tra punti) tra E e E ′, la traslazioneche porta Q ∈ E su P ∈ E ′:

Q+ v = P. 2

1 Per dimensione di uno spazio euclideo si intende la dimensione del suo spaziodelle traslazioni. Spiegheremo come si assegna ad uno spazio vettoriale la suadimensione alla fine della prossima sezione.

2 Anche le rotazioni sono isometrie, e con le traslazioni ne esauriscono la classe;incontreremo le rotazioni piu avanti. Per visualizzare un’isometria, si possonopensare E e E ′ come due fogli di carta sovrapposti e immaginare di far traslare oruotare il primo foglio rispetto al secondo.


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz

4 1 Richiami di Algebra Vettoriale

Osservazione. Le ultime due relazioni sussumono che siano ben definite emutuamente consistenti, dato uno spazio euclideo, le operazioni di differenzatra punti, che produce un vettore dello spazio delle traslazioni associato, e disomma tra un punto e un vettore dello spazio delle traslazioni, che produceun punto. Si noti che l’operazione di somma tra punti e priva di senso.

Scelto in E un punto O, il vettore posizione di P rispetto all’origine O siindica nei modi alternativi

P −O =−−OP .

Presi tre elementi e1, e2, e3 di VE , mutuamente ortogonali e di modulo unita-rio, consideriamo in E tre rette orientate per l’origine, ordinatamente parallelee equiverse a questi vettori. Ottenuti per proiezione ortogonale di P i puntiP1, P2 e P3 (Fig. 6.1), abbiamo che

−−OP1 = p1e1, p1 ∈ R, etc.

e quindi che

−−OP =

3∑

i=1

−−OPi .

I numeri reali pi (i=1,2,3) sono tanto le coordinate del punto P quanto le

componenti del vettore posizione−−OP nel riferimento cartesiano ortonormale

O; e1, e2, e3.

Figura 1.1.

Osservazione. Fissato il riferimento, ciascuna delle corrispondenze

E ∋ P ↔ (p1, p2, p3) ∈ R3 e E ∋ P ↔ −−OP ∈ VE

e biunivoca. E bene tuttavia non confondere un punto dello spazio euclideocon la tripletta delle sue coordinate o con il suo vettore posizione: in primo


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz

2 Spazi vettoriali di dimensione finita 5

luogo, punti, triplette e vettori sono oggetti matematici di natura diversa; insecondo luogo, variando il riferimento, si puo far corrispondere ad uno stessopunto quante triplette e quanti vettori posizione si voglia.

2 Spazi vettoriali di dimensione finita

Indichiamo con V un generico spazio vettoriale sul campo R dei numeri reali,di dimensione finita. Le operazioni fondamentali tra elementi di V e di R sonola somma tra vettori e il prodotto di un numero reale per un vettore.

2.1 Somma

Ad ogni coppia di vettori a , b ∈ V , questa operazione associa il vettore(a + b) ∈ V :

“somma” : V × V → V, (a , b) 7→ a + b .

La somma e definita per astrazione a partire dalla classica “regola delparallelogramma”:

Figura 1.2.

Le proprieta fondamentali sono: per ogni scelta di a , b, c ∈ V ,

(i) a + b = b + a (commutativita);(ii) a + 0 = a (esistenza dell’elemento neutro, indicato con 0);(iii) (a + b) + c = a + (b + c) (associativita).

2.2 Prodotto

Ad ogni coppia costituita da uno scalare α ∈ R e un vettore a ∈ V , questaoperazione associa il vettore (αa) ∈ V :

“prodotto” : R × V → V, (α,a) 7→ αa .

Le proprieta fondamentali sono: per ogni scelta di α, β ∈ R e di a , b ∈ V ,


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


(i) α(βa) = (αβ)a (associativita);(ii) α(a + b) = αa + αb (distributivita rispetto alla somma di vettori);(iii) (α+ β)a = αa + βa (distributivita rispetto alla somma di scalari).

Dato un insieme di vettori non nulli vi ∈ V , i = 1, . . . , N , li si dicelinearmente dipendenti se e nulla almeno una loro combinazione lineare nonbanale (cioe, a coefficienti non tutti nulli):

i=N∑

i=1

αivi = 0;

altrimenti, li si dice linearmente indipendenti. La dimensione dello spa-zio vettoriale V e pari al numero massimo di suoi elementi linearmenteindipendenti.

3 Operazioni tra vettori

3.1 Prodotto scalare

Questa operazione associa a due elementi a , b ∈ V lo scalare (a · b) ∈ R:

“prodotto scalare” : V × V → R, (a , b) 7→ a · b .

Il prodotto scalare possiede le seguenti proprieta: per ogni scelta di a , b, c ∈ Ve di α ∈ R,

(i) a · b = b · a (commutativita);(ii) a · (b + c) = a · b + a · c (distributivita rispetto alla somma di vettori);(iii) α(a · b) = (αa) · b (associativita rispetto al prodotto per scalari);(iv) a · a ≥ 0, a · a = 0 ⇔ a = 0 (positivita).

Varie nozioni di algebra vettoriale si introducono in termini di prodottoscalare, in primis la nozione di ortogonalita:

a , b ∈ V si dicono ortogonali ⇔ a · b = 0.

Inoltre, il modulo di un vettore si definisce come

|a | := (a · a)1/2,

il versore di un vettore a 6= 0 come

vers a = |a |−1a ;

dunque,v = |v | vers v .

Infine, per angolo tra due vettori a , b ∈ V si intende il numero reale


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz

3 Operazioni tra vettori 7

ab := arccosa · b|a ||b| ;

quindi,

cos ab = vers a · vers b .

Osservazione. Se a e b sono vettori ortogonali, scriveremo talvolta a⊥b .Inoltre, quando ci parra opportuno alleggerire la notazione, indicheremo ilmodulo di un vettore con la lettera romana corsiva corrispondente: ad esempio,a = |a |, b = |b|, etc.

Esercizi

Per familiarizzarci con la nozione di prodotto scalare, ne mostriamo l’uso perprovare con il formalismo dell’algebra vettoriale alcune semplici proposizionidi geometria piana.

3.1. Dimostrare il Teorema di Pitagora.

Figura 1.3.

Soluzione. Nel triangolo rettangolo in figura, i vettori a e b corrispondono aicateti; il vettore che corrisponde all’ipotenusa e c = a − b. Ne segue che

c · c = c2 = (a − b) · (a − b) = a2 − 2a · b + b2 ⇒ c2 = a2 + b2 .

3.2. Dimostrare che, in un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusae media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stessa.

Soluzione. Dalla figura:−−AH +

−−HC = c. Ne segue che

|−−AH |2 + |−−HC|2 + 2−−AH · −−HC = |c|2,

donde, con l’uso reiterato del teorema di Pitagora, si ottiene:

a2 −BH2 + b2 −BH2 + 2−−AH · −−HC = c2 ⇒ |−−BH |2 =

−−AH · −−HC .

3.3. Mostrare che i tre vettori:


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


Figura 1.4.

a = 3e1 − 2e2 + e3 ,

b = e1 − 3e2 + 5e3 ,

c = 2e1 + e2 − 4e3 ,

possono corrispondere ai lati di un triangolo rettangolo.

Soluzione. La verifica e immediata, osservando che uno dei due vettori e som-ma degli altri due (a = b + c) e che due dei vettori sono perpendicolari fraloro (a · c = 0).

3.4. Dimostrare il Teorema del Coseno (di Carnot):

b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ .

Figura 1.5.

Soluzione. Dalla figura: a + b + c = 0, ovvero, b = −(a + c). Ne segue che

b2 = b · b = (a + c) · (a + c) = a2 + c2 + 2a · c .

D’altra parte,

a · c = ac cos γ = ac cos(π − β) = −ac cosβ .

3.5. Dati un punto Q e una retta r, trovare un (il?) punto di minima distanzadi r da Q.


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


Figura 1.6.

Soluzione. L’intuizione geometrica suggerisce immediatamente che c’e un uni-co punto di minima distanza. Si scelgano i dati come segue: il punto Q dicoordinate (1, 2); la retta r di equazione x2 = 1−x1. Dalla figura si rileva che

−−OQ = e1 + 2e2 ,

−OA = e1 ,

−−OB = e2 ,

−−AB = −e1 + e2 .

Inoltre, per ogni punto P ∈ r, c’e un numero α ∈ R tale che

−AP = α

−−AB .

Dunque, la determinazione dell’insieme dei punti di r aventi minima distanzada Q si riduce a risolvere un problema di minimo per una funzione quadraticadi variabile reale:

|−−QP (α)|2 = min,−−QP (α) :=

−QA+ α

−−AB,

−QA = −−−

OQ+−OA.

La condizione di stazionarieta e:

0 =d

dα

(−−QP (α) · −−QP (α)

)= 2

−−QP (α) · d

dα

−−QP (α) ,

d

dα

−−QP (α) =

−−AB .

Svolgendo i calcoli, si ottiene:

α = 1 ⇒ −AP =

−−AB .

E facile concludere che B, unico punto di stazionarieta, e il punto di minimadistanza.

Osservazione. Una funzione vettoriale di variabile reale,

x 7→ v(x) = vi(x)ei ,

e differenziabile se e solo se lo sono le funzioni scalari componenti:

x 7→ vi(x) , i = 1, 2, 3 ;

si ha:


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


Figura 1.7.

d

dxv(x) =

( d

dxvi(x)

)ei .

3.6. Dimostrare che gli angoli alla circonferenza che insistono su corde dilunghezza massima sono angoli retti.Soluzione. Siano A e B gli estremi di un diametro (≡ corda massima) e sia Cun punto appartenente alla circonferenza (Fig. 6.8). Per costruzione,

−OA = −−−

OB e |−OA| = |−−OC| . (3.1)

Si tratta di dimostrare che−CA · −−CB = 0. A tale scopo, basta notare che−

CA =−−CO +

−OA e che

−−CB =

−−CO +

−−OB; dunque, vale la relazione

−CA · −−CB = |−−CO|2 +

−−CO · (−OA +

−−OB) +

−OA · −−OB,

dalla quale, usando le (3.1), si ottiene la tesi.

3.2 Rappresentazione in una base ortonormale

In uno spazio vettoriale V di dimensione N , che sia dotato di prodotto scalare,si possono scegliere N versori e1, . . . , eN mutuamente ortogonali, cioe, tali che

ei · ej = δij ,

dove il simbolo di Kronecker δij e cosı definito:

δij =

1 se i = j0 se i 6= j

.

Dato un vettore a ∈ V , i numeri reali

ai := a · ei

si dicono le componenti di a nella base ortonormale e1, . . . , eN. Scelta unabase siffatta per V ,(i) si puo rappresentare ogni vettore di V come combinazione lineare deiversori della base con coefficienti costituiti dalle componenti:


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


a = a1e1 + a2e2 + . . .+ aNeN =

N∑

i=1

aiei = aiei ; (3.2)

(ii) si puo esprimere il prodotto scalare tra due vettori mediante le lorocomponenti: se v = viei e w = wiei,

v ·w = (viei) · (wjej) = viwjei · ej = viwjδij

= viwi = v1w1 + v2w2 + . . .+ vNwN ;

in particolare,

|v | = (vivi)1/2 =

( N∑

i=1

v2i

)1/2.

Osservazioni. 1. Nelle ultima uguaglianza di (3.2) abbiamo usato per laprima volta in questo libro la convenzione (di Einstein) della somma su in-dici ripetuti : tutte le volte che in un termine monomio (la, aiei) un indicee ripetuto, si omette il simbolo di sommatoria, convenendo che sia da effet-tuare la somma di tanti termini monomi di quel tipo quante sono le possibilideterminazioni dell’indice (qui i = 1, 2, . . . , N , perche V ha dimensione N).2. Disponendo di una base ortonormale, e facile illustrare la nozione di(in)dipendenza lineare: gli N vettori della base sono linearmente indipen-denti (basta osservare che αiei = 0 ⇔ αi = 0, i = 1, 2, . . . , N) men-tre, qualunque sia v ∈ V , gli (N + 1) vettori e1, e2, . . . , eN , v sono li-nearmente dipendenti (basta scegliere la combinazione lineare di coefficientiα1 = v1, α2 = v2, . . . , αN = vN , αN+1 = −1).

3.3 Prodotto vettoriale

Dati due vettori a , b ∈ V , il loro prodotto vettoriale a × b e un vettore di V :

V × V ∋ (u , v) 7→ u × v ∈ V .

Le proprieta formali di questa operazione sono le seguenti: ∀ a , b, c ∈V e ∀ α ∈ R,

(i) a × b = −b × a (anticommutativita);(ii) α(a × b) = (αa) × b = a × (αb) (associativita rispetto al prodotto per

scalari);(iii) a × (b + c) = (a × b) + (a × c) (distributivita rispetto alla somma di

vettori);(iv) (identita di Jacobi)

(a × b) × c + (c × a) × b + (b × c) × a = 0 .

In termini di prodotto vettoriale si puo esprimere la nozione geometrica diparallelismo tra vettori:


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


a , b ∈ V si dicono paralleli ⇔ a × b = 0 ;

se a e b sono paralleli, scriveremo talvolta a ‖ b .

Osservazioni. 1. Qualunque sia b ∈ V , la proprieta di anticommutativitaimplica che

b × b = −b × b ⇒ b × b = 0 .

Dunque, se a = αb, α 6= 0, la proprieta di associativita rispetto al prodottoper scalari impone che a × b = 0, cioe, che a e b siano paralleli. Infatti,

(αb) × b = α(b × b) = 0 .

2. Un vettore non nullo a individua un sottospazio unidimensionale dellospazio vettoriale V , v | v = αa , α ∈ R; due vettori a , b, ne nulli ne paralleli,individuano un sottospazio bidimensionale di V , v | v = αa+βb, α, β ∈ R;e cosı continuando. E importante aver chiaro che i sottospazi cosı ottenutidipendono solo parzialmente dalla scelta dei vettori che intervengono nellerelative definizioni: lo stesso sottospazio di dimensione 1 e individuato daa e da un suo multiplo arbitrario; lo stesso sottospazio di dimensione 2 eindividuato da (a , b) e da qualunque altra coppia di vettori (c,d) tale che(c×d) ‖ (a×b). Quel che conta e, in entrambi i casi, e un elemento geometricointrinseco, la direzione del vettore impiegato nella definizione: in dimensione1, quella di a , cui tutti i vettori del sottospazio sono paralleli; in dimensione2, quella di a × b, cui tutti i vettori del sottospazio sono perpendicolari.

3. In geometria analitica ordinaria, cioe, nello studio per via algebrica di ogget-ti geometrici ambientati nello spazio tridimensionale ordinario E , un versores e un punto P0 ∈ E individuano la retta

s := P ∈ E | (P − P0) × s = 0,

i cui coseni direttori si := s ·ei sono le componenti di s nella base ortonorma-le prescelta.3 Le rette sono oggetti geometrici, dei quali i sottospazi vettorialiunidimensionali di VE sono i corrispondenti oggetti algebrici, nel senso del-l’esempio seguente: al variare di P0 in E , la famiglia di ∞3 rette parallele as corrisponde al sottospazio v | v = αs, α ∈ R. Similmente, ai sottospazibidimensionali di VE corrispondono famiglie di piani paralleli: un versore n eun punto P0 ∈ E individuano il piano

πn := P ∈ E | (P − P0) · n = 0;

al variare di P0 sulla retta n := P ∈ E | (P − P0) × n = 0, si ottiene unafamiglia di ∞1 piani paralleli, che corrisponde al sottospazio bidimensionale

3 E facile vedere che dev’essere:3

X

i=1

s2i = 1.


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


individuato da una tra le infinite coppie di vettori (a , b) tali che vers (a×b) =n : mostreremo infatti tra poco che il vettore (a × b) e perpendicolare tantoad a che a b, quindi ad ogni loro combinazione lineare.

D’ora in avanti, restringeremo per lo piu la nostra attenzione ad uno spaziovettoriale V di dimensione 3, dotato di prodotto scalare, che identificheremocon lo spazio delle traslazioni VE associato allo spazio ambiente E , introdottonella Sez. 1 e richiamato nell’Osservazione immediatamente precedente. Ora,cosı come si puo orientare una retta, riguardata come uno spazio di puntieuclideo di dimensione 1, in due modi diversi:

Figura 1.8.

altrettanto si puo fare con E :

Figura 1.9.

Conveniamo, una volta per tutte, di orientare E in modo antiorario, cioe,come nella figura di sinistra. Questa scelta conferisce ai prodotti vettoriali traversori della base ortonormale, della quale VE e dotato, il senso specificato quisotto:

e1 × e2 = e3 , e3 × e1 = e2 , e2 × e3 = e1 . (3.3)

Possiamo adesso calcolare in esplicito il prodotto vettoriale a × b di duequalsiasi vettori a , b di VE , e dimostrare che quel vettore ha le seguentiproprieta:

(i) a × b e ortogonale al piano individuato da a e b;(ii) la terna di vettori a , b,a × b e orientata coerentemente alla terna

e1, e2, e3;(iii) |a × b| = |a ||b| sin ab.

Non lede la generalita scegliere a , b nel piano di e1, e2 e tali che a ‘preceda’b in una rotazione antioraria di asse e3, proprio come e1 ‘precede’ e2 (Fig.6.13). Rappresentiamo a e b nella base fissata:


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


Figura 1.10.

a = a1e1 + a2e2 , b = b1e1 + b2e2 ;

poi, valendoci di (3.3), calcoliamo

a × b = (a1e1 + a2e2) × (b1e1 + b2e2)

= (a1b2)e1 × e2 + (a2b1)e2 × e1

= (a1b2 − a2b1)e1 × e2

= (a1b2 − a2b1)e3 . (3.4)

La proprieta (i) e immediatamente verificata. Per dimostrare (ii), bisognaprovare che

(a1b2 − a2b1) > 0 .

A questo fine, calcoliamo l’area del parallelogramma rappresentato in Fig.6.18. L’altezza h si ricava costruendo un vettore c perpendicolare ad a e di

Figura 1.11.

pari modulo:

c = −a2e1 + a1e2 , c · c = (−a2)2 + (a1)

2 = a · a ,


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


e ponendo:

h = b · vers c = b · 1

|a | (−a2e1 + a1e2) .

Svolgendo i calcoli, si ottiene:

h = |a |−1(−b1a2 + b2a1);

quindi,area = |a |h = a1b2 − a2b1 = |a × b| .

D’altra parte, con elementari considerazioni trigonometriche si trova che

h = |b| cosβ = |b| sinα ,

da cui si ricavaarea = |a ||b| sinα . (3.5)

Tanto la proprieta (ii) che la proprieta (iii) sono dunque stabilite.

Osservazioni. 1. Per normale al piano individuato dalla coppia ordinata divettori a , b ∈ VE intenderemo il versore |a × b|−1a × b.

2. Valendoci delle nozioni di parallelismo e di ortogonalita (ovvero, di prodottovettoriale e di prodotto scalare), possiamo dire che, scelti a piacere in VE duevettori non paralleli v1, v2 (cioe, tali che v1 × v2 6= 0), e sempre possibiletrovare un terzo vettore v3 ∈ VE che non appartiene al loro piano (cioe, taleche v3 · (v1 × v2) 6= 0): ad esempio, si puo prendere v3 ≡ v1 × v2, che a quelpiano e perpendicolare.

Esercizi

3.7. Dimostrare che, se e nullo il loro prodotto vettore, allora due vettori nonnulli sono paralleli:

a × b = 0 ⇒ a ‖ b .

Soluzione. Combinando tra loro (3.4) e (3.5), si trova

|a × b| = a1b2 − a2b1 = |a ||b| sinα .

Se uno dei due vettori ha una componente nulla, l’annullarsi di |a × b| neimplica immediatamente il parallelismo; altrimenti,

a1b2 − a2b1 = 0 ⇒ a1

b1=a2

b2⇒ a = αb, α ∈ R,

sia chesinα = 0 ⇒ ab ∈ 0, π .

3.8. Dimostrare che, se i vettori u , v non sono nulli ne paralleli, allora

γu + δv = 0 ⇔ γ = δ = 0 .


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


Soluzione. L’implicazione ⇐ e ovvia; l’altra implicazione si prova cosı:

0 = u × (γu + δv) = δ u × v ⇒ δ = 0 (perche u × v 6= 0) etc.

3.9. Dimostrare che congiungendo un vertice di un parallelogramma con ipunti medi dei lati opposti se ne divide la diagonale in tre parti uguali.

Figura 1.12.

Soluzione. Posto

a =−AC , b =

−−AB ,

si trova che

a + b =−−AD ,

−−HC = a − 1

2b .

D’altra parte,a =

−AF +

−−FC.

Siccome i vettori−AF e

−−FC sono paralleli, rispettivamente, ai vettori

−−AD e−−

HC, detti α e β due numeri reali da determinarsi, si ha:

−AF = α

−−AD = α(a + b) ,

−−FC = β

−−HC = β(a − 1

2b) ,

donde

α(a + b) + β(a − 1

2b) = a ⇔ (α+ β − 1)a + (α− 1

2β)b = 0 . (3.6)

Poiche a e b non sono paralleli, (3.6) e verificata se (e solo se)

α+ β − 1 = 0 & α− 1

2β = 0,

e, quindi, se

α =1

3.


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


Dunque,−AF = 1

3

−−AD. Analogamente si prova che

−−GD = 1

3

−−AD.

3.10. Dimostrare che le diagonali di un parallelogramma si bisecano.

Figura 1.13.

Soluzione. Con le notazioni della figura, abbiamo intanto che:

−AC = a + b ,

−−BD = −a + b ,−

AE = α−AC = α(a + b) ,

−−ED = β

−−BD = β(−a + b) .

Inoltre,

b =−AE +

−−ED = α(a + b) + β(−a + b) ⇒ (α− β)a + (α+ β − 1)b = 0 .

Poiche a e b non sono ne identicamente nulli ne paralleli, ne segue che

α− β = 0 & α+ β − 1 = 0 ;

quindi,

α = β =1

2.

3.11. Dimostrare che le diagonali di un rombo sono perpendicolari.Soluzione. sappiamo dall’esercizio precedente che

−AE · −−ED = α(a + b) · β(−a + b) = αβ(−a2 + b2) ;

poiche a2 = b2 nel caso di un rombo, ne segue che−AE ⊥ −−

ED.

3.12. Si consideri un tetraedro qualsiasi (Fig. 6.11). A ciascuna delle suefacce Fi si associ un vettore vi di modulo uguale all’area di Fi, direzioneperpendicolare ad Fi e verso uscente. Mostrare che

v1 + v2 + v3 + v4 = 0 . (3.7)

Soluzione. Dalla figura, ricordando (3.4), si ricava che

v1 =1

2(a × b) , v2 =

1

2(b × c) , v3 =

1

2(c × a) , v4 =

1

2(c − b) × (b − a) .


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


Figura 1.14.

Sommando queste relazioni vettoriali membro a membro, si ottiene:

v1 + v2 + v3 + v4 =

=1

2

(a × b + b × c + c × a + (c − b) × (b − a)

)

=1

2

(a × b + b × c + c × a + c × b − c × a + b × a

)= 0 .

Osservazioni. 1. Il risultato espresso dalla (3.7) puo essere stabilito per unaqualsiasi superficie chiusa regolare S. Consideriamo un’approssimazione di Scon un poliedro a N facce triangolari di area∆i e normale uscente ni. Avremo:

N∑

i=1

∆ini = 0

e, passando al limite per N → ∞,

∫

S

n = 0 . (3.8)

2. All’integrale di un campo vettoriale su un dominio Ω si conferisce sensoprocedendo per componenti:

∫

Ω

v =

∫

Ω

viei = (

∫

Ω

vi)ei .

3. Alla condizione (3.8) di media nulla della normale ad una superficie chiusasi puo conferire significato meccanico pensando ad una palla B soggetta apressione uniforme:

p = −pn , p > 0 .

Allora, ∫

B

pdS = −p∫

B

ndS = 0 ,


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


Figura 1.15.

esprime la condizione globale di equilibrio della palla, che e soggetta ad unaforza complessiva nulla.

3.13. Dimostrare il Teorema dei Seni.Soluzione. Sia ABC un triangolo qualsiasi. Con le notazioni della Fig. 6.19,

Figura 1.16.

a + b + c = 0 .

Ne segue che:

a × (a + b + c) = a × b + a × c = 0 ⇒ a × b = c × a ;

b × (a + b + c) = b × a + b × c = 0 ⇒ b × c = a × b ;

c × (a + b + c) = c × a + c × c = 0 ⇒ c × a = b × c .

Dunque,a × b = b × c = c × a ,

da cui segue che|a × b| = |b × c| = |c × a | ,

ovvero che|a ||b| sinγ = |b||c| sinα = |c||a | sinβ .

Dividendo quest’ultima relazione per |a ||b||c|, si ottiene l’enunciato delteorema:

sinα

|a | =sinβ

|b| =sin γ

|c| .


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


3.4 Prodotto vettoriale in una base ortonormale

Il calcolo di un prodotto vettoriale e agevole quando si disponga dellerappresentazioni dei fattori in una stessa base ortonormale orientata. Siano

a = aiei , b = biei (i = 1, 2, 3)

tali rappresentazioni. Un primo metodo consiste nel calcolare il vettore a × b

come determinante simbolico:

a × b = det

∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣= (3.9)

= (a2b3 − b2a3)e1 + (a3b1 − b3a1)e2 + (a1b2 − b1a2)e3 .

Un secondo metodo consiste nel calcolare le componenti di a × b conl’ausilio del simbolo di Ricci

eijk := ei × ej · ek .

Ecco come si procede. Visto che

a × b = (aiei) × (bjej) = aibjei × ej ,

la k−sima componente di a × b e data da:

(a × b)k = (a × b) · ek = aibj ei × ej · ek ;

dunque,a × b = eijkaibj ek ,

dove

eijk =

+1 se gli indici i, j, k sono tutti diversi tra loro e si susseguonoin modo da formare una permutazione di classe pari;

0 se almeno due degli indici i, j, k sono uguali;−1 se gli indici i, j, k sono tutti diversi tra loro e si susseguono

in modo da formare una permutazione di classe dispari.

Osservazione. Tra il simbolo di Ricci e quello di Kronecker intercorre laseguente relazione:

eijkelmk = δilδjm − δimδjl . (3.10)

Avvaliamocene, a titolo di primo esempio d’applicazione, per calcolare ilmodulo di un prodotto vettoriale:

|a × b|2 = (eijkaibj)ek · (elmnalbm)en

= eijkelmkaibjalbm

= (δilδjm − δimδjl)aibjalbm

= aibjaibj − aibjajbi

= (a · a)(b · b) − (a · b)2

= a2b2(1 − cos2α) = a2b2 sin2α


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


(nell’ultimo passaggio, abbiamo fatto uso del fatto che, detto α l’angoloformato da a e b, cosα = vers a · vers b).

Per successiva saturazione di coppie di indici liberi, si ottengono facilmen-te due conseguenze della relazione (3.10) che sono talvolta utili nei calcoli:moltiplicando formalmente ambo i membri per δjm, si trova che

eijkeljk = 2 δil ;

un’ulteriore saturazione porge:

eijkeijk = 6 .

3.5 Prodotto misto

Questa operazione associa a tre vettori a , b, c ∈ VE lo scalare a × b · c ∈ R:

“prodotto misto” : VE × VE × VE → R, (a , b, c) → a × b · c .

Non e necessario specificare questa operazione di prodotto con parentesi: (a×b) · c; infatti, l’operazione a × (b · c) non avrebbe senso. Notiamo anche checon i vettori assegnati e possibile eseguire altri prodotti misti: a · b × c,b ·a × c , etc. Cambiare l’ordine nel quale tre vettori dati si susseguono in unloro prodotto misto puo cambiarne il valore (ad esempio,

a × b · c = −b × a · c);

ma si verifica facilmente che il risultato e invariante rispetto a permutazionicircolari dei fattori:

a · b × c = b · c × a = c · a × b

(ad esempio,

a · b × c = ai (eijkbjck)︸︷︷︸(b×c)i

= bj (ejkickai)︸︷︷︸(c×a)j

= b · c × a).

E facile stabilire quale sia il significato geometrico dello scalare che esprimeil prodotto misto di tre vettori assegnati in un certo ordine.

Dimostriamo anzitutto che il modulo del prodotto misto rappresenta ilvolume del parallelepipedo che ha per spigoli i tre vettori assegnati.

Dati a , b ∈ VE , sappiamo che:

(i) a × b = ab ( vers a × vers b);(ii) |a × b| = ab sinα.


B

ozza

za

Bozza

B

ozza

Boz

za

Boz

B

ozza

za

B

oz


Sia c un vettore non appartenente al piano individuato da a e b e, come inFig. 6.20, tale da formare con a × b un angolo acuto.

Figura 1.17.

Per definizione di prodotto scalare possiamo scrivere:

c · a × b = |a × b||c| cos β = ab sinα︸︷︷︸area base

c cosβ︸︷︷︸altezza

> 0 .

Notiamo che, se l’angolo tra c e a×b fosse ottuso, allora risulterebbe c·a×b <0. Quindi, il prodotto misto fornisce il volume con segno del parallelepipedoche ha per spigoli i tre vettori assegnati, ed e positivo se e solo se la terna deifattori ha la stessa orientazione della terna che determina l’orientazione sceltaper lo spazio ambiente.

Osservazioni. 1. Se i vettori a , b e c sono coplanari (≡ appartengono ad unostesso piano), allora il prodotto misto si annulla; e viceversa. In particolare,il prodotto misto e nullo se due dei vettori coinvolti sono tra loro paralleli.

2. Segue da (3.9) e dalle proprieta del prodotto scalare che il prodotto mistopuo essere calcolato come determinante di una matrice che ha per righe lecomponenti dei vettori assegnati, nell’ordine in cui essi appaiono nel prodotto:

a · b × c =

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣.


Documents

Indice- Appunti di Meccanica dei Solidi 1, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - Bozza za Bozza Bozza Bozza Boz Bozza za Boz VI Indice 8.4 Poligono funicolare. Costruzione