CHUYEÂN ÑEÀ 1

TOÏA ÑOÄ PHAÚNG

Trong caùc baøi toaùn veà toïa ñoä trong maët phaúng thöôøng gaëp caùc yeâu caàu nhö tìm toïa ñoä moät ñieåm, moät vectô, tính ñoä daøi moät ñoaïn thaúng, soá ño goùc giöõa hai vectô, quan heä cuøng phöông hoaëc vuoâng goùc giöõa hai vectô, 3 ñieåm thaúng haøng.

Ta vaän duïng caùc kieán thöùc cô baûn sau ñaây:

Cho ar = ( )1 2a , a , br

= ( )1 2b , b ta coù:

ar = br

⇔ 1

2

1

2

a = ba = b

⎧⎨⎩

ar + br

= ( 1 1a + b , 2 2a + b )

ar – br

= ( 1 1a - b , 2 2a - b )

kar = (k 1a , k 2a ) (k ∈ R)

α ar + β br

= ( α 1a + β 1b , α 2a + β 2b )

ar . br

= 1a 1b + 2a 2b

. Vôùi caùc quan heä veà ñoä daøi ta coù:

ar = ( 1a , 2a ) ⇒ ar = 2 21 2a + a

( )( )

A A

B B

A x , y

B x , y

⎧⎪⎨⎪⎩

⇒ ABuuur

= ( Bx – Ax , By – Ay )

vaø AB = ( ) ( )2 2B A B Ax - x y - y+

. Vôùi quan heä cuøng phöông hoaëc vuoâng goùc ta coù:

ar ⊥ br

⇔ 1a 1b + 2a 2b = 0

ar cuøng phöông br

⇔ rrsin(a, b) = 0 ⇔ 1a 2b – 2a 1b = 0

⇔ 1

1

ab

= 2

2

ab

( 1b , 2b ≠ 0)

A, B, C thaúng haøng ⇔ ABuuur

cuøng phöông ACuuur

⇔ B A B A

C A C A

x - x y - yx - x y - y

= 0

. Vôùi vieäc tìm goùc cuûa hai vectô ta coù:

- Goùc hình hoïc taïo bôûi hai vectô ar , br

ñöôïc suy töø coâng thöùc:

cos( a, brr

) = 1 1 22a b + a ba . b

rr (1)

- Soá ño goùc ñònh höôùng cuûa hai vectô ar , br

ngoaøi (1) coøn ñöôïc suy theâm töø moät trong hai coâng thöùc:

rrsin(a, b) = 1 2 1rr

2a b - a ba . b

rrtg(a, b) = 1 2 1

1 1 2

2

2

a b - a ba b + a b

Ngoaøi ra trong caùc baøi toaùn veà toïa ñoä phaúng ta coù theå aùp duïng caùc keát quaû sau ñaây:

. M( Mx , My ) laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB

⇔ 2

2

A BM

A BM

x + xx =

y + yy =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

. G( Gx , Gy ) laø troïng taâm cuûa Δ ABC

⇔ 3

3

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

A B CG

A B CG

x + x + xx =

y + y + yy =

. I( Ix , Iy ) vaø J( Jx , Jy ) laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A trong Δ ABC thì:

I BI C

uur

uur = −uuur

uuurJBJC

= −ABAC

. Vôùi A( Ax , Ay ), B( Bx , By ), C( Cx , Cy ) thì dieän tích tam giaùc ABC laø:

S = 12

Δ vôùi Δ = B A B A

C A C A

x - x y - yx - x y - y

Ví duï 1:

Trong maët phaúng Oxy cho ba ñieåm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2).

a) Tìm toïa ñoä ñieåm D ñoái xöùng vôùi A qua B.

b) Tìm toïa ñoä ñieåm M ñeå 2 AMuuuur

+ 3 BMuuuur

- 4 CMuuuur

= 0r

c) Tìm toïa ñoä ñieåm E ñeå ABCE laø hình thang coù moät caïnh ñaùy laø AB vaø E naèm treân Ox.

d) Tìm toïa ñoä tröïc taâm H, troïng taâm G vaø taâm I ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Δ ABC.

e) Chöùng toû H, G, I thaúng haøng.

Giaûi

a) D laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua B

⇔ B laø trung ñieåm cuûa AD

⇔

A DB

A DB

x + xx = 2

y + yy = 2

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⇔ ( )( )

− − −⎧⎪⎨

−⎪⎩

D B A

D B A

x = 2x x = 2 0 2 = 2

y = 2y y = 2 3 + 1 = 7 hay D(–2, 7)

b) Ta coù: 2 AMuuuur

+ 3 BMuuuur

– 4 CMuuuur

= 0r

= ( 0, 0 )

⇔ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

− − − −⎧⎪⎨

− − −⎪⎩

M M M

M M M

2 x 2 + 3 x 0 4 x 4 = 0

2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0

⇔ −⎧

⎨ −⎩M

M

x = 12y = 1

hay M(–12, –1)

c) ABCE laø hình thang coù ñaùy AB vaø E naèm treân Ox.

⇔ Ey = 0

CE ⎧⎪⎨

ΑΒ⎪⎩uuur uuur

// ⇔

E

E E

y = 0x - 4 y - 2 = 0 - 2 3 + 1

⎧⎪⎨⎪⎩

⇔ E

E

y = 0x = 5

⎧⎨⎩

hay E(5, 0)

d) H laø tröïc taâm cuûa Δ ABC

⇔ AH BCBH AC

⊥⎧⎨ ⊥⎩

⇔ AH.BC = 0

BH.AC = 0

⎧⎪⎨⎪⎩

uuuur uuur

uuuuruuur

⇔ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

4 1 2 3 0

4 2 3 2 1 0

− − + + − =⎧⎪⎨

− − + − + =⎪⎩

H H

H H

x 2 0 y

x 0 y

⇔ 4 9 02 3 9 0

H H

H H

x yx y

− − =⎧⎨ + − =⎩

⇔

18797

H

H

x

y

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

hay H 187

9,7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

G laø troïng taâm Δ ABC ta coù:

2 0 4 23 3

1 3 2 43 3 3

A B CG

A B CG

x x xx

y y yy

+ + + +⎧ = = =⎪⎪⎨ + + − + +⎪ = = =⎪⎩

hay G 423

,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Δ ABC

⇔ IA = IB = IC ⇔ 2 2

2 2

I A I BI A I C

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

⇔ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 1 0 3

2 1 4 2I I I I

I I I I

x y x y

x y x y

⎧ − + − − = − + −⎪⎨

− + − − = − + −⎪⎩

⇔ 4 8 4 0

4 6 15 0I I

I I

x yx y

− + − =⎧⎨ + − =⎩

⇔

24 1214 71914

I

I

x

y

⎧ = =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

hay I 12 197 14

,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e) Ta coù : HGuuuur

= 4 17 21

,⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

vaø HIuuur

= 6 17 14

,⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

4767

−

− =

1211

14

= 23

⇒ HGuuuur

cuøng phöông vôùi HIuuur

⇒ H, I, G thaúng haøng.

Ví duï 2:

Trong maët phaúng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính

cos ( AOuuur

, ABuuur

) vaø dieän tích tam giaùc ABC.

Giaûi

Ta coù: AOuuur

= (–2, –2 3 ), ABuuur

= (–1, 3 ) = ( a1;a2 )

cos( AOuuur

, ABuuur

) = 2 64 12 1 3.

−+ +

= 12

−

uuurAC = (–3, – 3 ) = = ( b1; b2 )

⇒ 1 2 2 112

= −ABCS a b a b = 1 1 3 3 32

− − − −( )( ) ( ) = 2 3

CHUYEÂN ÑEÀ 2

ÑÖÔØNG VAØ PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG

Caùc baøi toaùn veà phaàn ñöôøng vaø phöông trình ñöôøng thöôøng yeâu caàu xaùc ñònh quyõ tích caùc ñieåm trong maët phaúng toïa ñoä theo nhöõng ñieàu kieän cho tröôùc, quyõ tích naøy laø moät ñöôøng maø ta phaûi tìm phöông trình cuûa noù döïa vaøo ñònh nghóa:

F(x, y) = 0 laø phöông trình cuûa ñöôøng (L) neáu ta coù :

M( Mx , My ) ∈ (L) ⇔ F( Mx , My ) = 0

Neáu M ∈ (L) vaø M coù toïa ñoä phuï thuoäc tham soá t:

( )( )

x f t

y g t

=⎧⎪⎨

=⎪⎩ (t ∈ R)

thì ñoù laø phöông trình tham soá cuûa ñöôøng (L).

Töø phöông trình tham soá, ta khöû t thì coù theå trôû veà daïng

F(x, y) = 0

Löu yù vieäc giôùi haïn cuûa quyõ tích tuyø theo caùc ñieàu kieän ñaõ cho trong ñaàu baøi.

Ví du1:

Trong maët phaúng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2). Tìm quyõ tích ñieåm M ñeå

( MAuuuur

+ MBuuuur

) ABuuur

= 1

Giaûi

Goïi (L) laø quyõ tích phaûi tìm.

M( Mx , My ) ∈ (L) ⇔ ( MAuuuur

+ MBuuuur

) ABuuur

= 1

⇔ [ (2 – Mx ) + (–3 – Mx ) ] (–3 – 2) + (1 – My + 2 – My ) (2 – 1) = 1

⇔ 5 + 10 Mx + 3 – 2 My = 1

⇔ 10 Mx – 2 My + 7 = 0

⇔ M( Mx , My ) coù toïa ñoä thoûa phöông trình

F(x, y) = 10x – 2y + 7 = 0

Vaäy quyõ tích phaûi tìm laø ñöôøng thaúng (L) coù phöông trình

10x – 2y + 7 = 0.

Ví duï 2:

Laäp phöông trình quyõ tích taâm cuûa nhöõng ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi truïc Ox vaø ñi qua ñieåm A(1, 2).

Giaûi

Goïi (L) laø quyõ tích nhöõng taâm ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi truïc Ox vaø ñi qua ñieåm A(1, 2).

I( Ix , Iy ) ∈ (L) ⇔ I laø taâm ñöôøng troøn qua A(1, 2) vaø tieáp xuùc vôùi Ox taïi M

⇔ I M Ox taïi MI M = I A

⊥⎧⎨⎩

⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 0M I M

M I M I A I A I

x x vaø y

x x y y x x y y

− = =⎧⎪⎨

− + − = − + −⎪⎩

⇔ 2Ix – 2 Ix – 4 Iy + 5 = 0

⇔ I( Ix , Iy ) coù toïa ñoä thoûa phöông trình

F(x, y) = x2 – 2x – 4y + 5 = 0

Ñoù laø phöông trình cuûa quyõ tích phaûi tìm (Parabol).

CHUYEÂN ÑEÀ 3

ÑÖÔØNG THAÚNG

I. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG

Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, muoán vieát phöông trình moät ñöôøng thaúng ( )Δ ta

caàn phaûi bieát:

1) ( )Δ qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù vectô chæ phöông ar = (a1, a2) seõ coù:

. Phöông trình tham soá : 0 1

0 2

x x tay y ta

= +⎧⎨ = +⎩

(t ∈ R)

. Phöông trình chính taéc : 0

1

x xa− = 0

2

y ya− (a1, a2 ≠ 0)

Töø phöông trình chính taéc ta coù theå ñoåi thaønh daïng phöông trình toång quaùt :

Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0)

2) ( )Δ qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù 1 phaùp veùctô laø (a,b) coù phöông trình :

a(x – x0) + b(y – y0) = 0

3) i) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng

Ax + By + C = 0 vôùi A2 + B2 > 0 (1)

ii) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng

x = x0 hoaëc y = kx + m (2).

Ta deã daøng thaáy (1) vaø (2) laø töông ñöông.

+ (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thoûa (1) vôùi A = k, B = - 1 , C = m.

+ Neáu B = 0 ⇒ = −CxA

, coù daïng x = x0 vôùi x0 = . Neáu B ≠ 0 ⇒

= − −A Cy xB B

, coù daïng y = kx + m.

3) ( )Δ qua hai ñieåm A(xA, yA), B(xB, yB) coù phöông trình :

A

B A

x xx x

−−

= A

B A

y yy y

−−

neáu 0− − ≠B A B A( x x ) ( y y )

Neáu ( )Δ qua A(a, 0) ∈ Ox vaø B(0, b) ∈ Oy vôùi a.b ≠ 0; ta noùi ( )Δ coù ñoaïn

chaén a, b vôùi phöông trình:

−CA

xa

+ yb

= 1

* Ghi chuù:

Neáu ñeà baøi toaùn yeâu caàu ta vieát phöông trình cuûa ñöôøng thaúng, thoâng thöôøng ta neân vieát phöông trình ôû daïng toång quaùt vaø löu yù :

( )Δ : Ax + By + C = 0 thì ( )Δ coù :

. moät phaùp vectô nr = (A, B)

. moät vectô chæ phöông ar = (–B, A)

. heä soá goùc k = tg(Oxuuur

, Δ ) = AB

−

. ( )′Δ // ( )Δ ⇒ ( )′Δ : Ax + By + C0 = 0

. ( )′Δ ⊥ ( )Δ ⇒ ( )′Δ : Bx – Ay + C0 = 0

Ta tìm ñöôïc C0 neáu bieát theâm moät ñieåm naèm treân ( )′Δ .

Ngoaøi ra khi vieát phöông trình cuûa moät ñöôøng thaúng ( )Δ theo heä soá goùc k, baøi

toaùn coù theå bò thieáu nghieäm do tröôøng hôïp ( )Δ ⊥ x′x (heä soá goùc k khoâng toàn taïi), do

ñoù ta phaûi xeùt theâm tröôøng hôïp ( )Δ coù phöông trình x = C ñeå xem ñöôøng thaúng ( )Δ

naøy coù thoûa maõn ñieàu kieän cuûa ñaàu baøi khoâng.

Ghi chuù - Neáu nr = (A, B) laø 1 phaùp veùc tô cuûa ñöôøng thaúng ( )Δ thì

k. nr = (kA, kB) cuõng laø phaùp veùc tô cuûa ( )Δ vôùi moïi soá thöïc k ≠ 0.

- Neáu 1 2=ura (a ,a ) laø 1 veùc tô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng ( )Δ thì k.

1 2=ura (ka ,ka ) cuõng laø veùc tô chæ phöông cuûa ( )Δ vôùi moïi soá thöïc k khaùc 0.

II. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG

Ñeå xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng ta caàn nhôù

Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = 0

vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = 0

Ñaët :

D = 1 1

2 2

A BA B

; Dx = 1 1

2 2

B CB C

; Dy = 1 1

2 2

C AC A

thì :

D ≠ 0 ⇔ (d1) caét (d2) taïi I

1

xI

y

DxDD

yD

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

D = 0 vaø Dx ≠ 0 hoaëc Dy ≠ 0 ⇔ (d1) // (d2)

D = Dx = Dy = 0 ⇔ (d1) ≡ (d2)

hoaëc vôùi A2, B2, C2 ≠ 0 ta coù :

1

2

AA

≠ 1

2

BB

⇔ (d1) caét (d2)

1

2

AA

= 1

2

BB

≠ 1

2

CC

⇔ (d1) // (d2)

1

2

AA

= 1

2

BB

= 1

2

CC

⇔ (d1) ≡ (d2)

Ghi chuù 1 1

2 2

B CB C

= 1 1

2 2

−C BC B

; 1 1

2 2

C AC A

= 1 1

2 2

−A CA C

III. GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG

Ñeå tìm goùc giöõa hai ñöôøng thaúng, ta goïi α laø goùc nhoïn taïo bôûi hai ñöôøng thaúng

(d1) : A1x + B1y + C1 = 0 (d2) : A2x + B2y + C2 = 0

thì cos α = 1 2 1 2

2 2 2 21 1 2 2

A A B B

A B . A B

+

+ +

IV. KHOAÛNG CAÙCH TÖØ MOÄT ÑIEÅM ÑEÁN MOÄT ÑÖÔØNG THAÚNG

Ñeå tìm khoaûng caùch töø ñieåm M(xM, yM) ñeán ñöôøng thaúng

( )Δ : Ax + By + C = 0 ta aùp duïng coâng thöùc :

d(M, Δ ) = 2 2

M MAx By C

A B

+ +

+

Khoaûng caùch ñaïi soá töø ñöôøng thaúng ( )Δ ñeán ñieåm M(xM, yM) laø :

t = 2 2

M MAx By CA B+ +

+

Ñaët phaùp vectô nr = (A, B) coù goác leân ( )Δ thì :

. t > 0 neáu ñieåm M vaø nr naèm cuøng moät beân ñoái vôùi ( )Δ

. t < 0 neáu ñieåm M vaø nr naèm khaùc beân ñoái vôùi ( )Δ

Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc hôïp bôûi 2 ñöôøng thaúng

(d1) : A1x + B1y + C1 = 0 vaø

(d2) : A2x + B2y + C2 = 0 laø :

1 1 12 2

1 1

A x B y CA B+ +

+ = ± 2 2 2

2 22 2

A x B y CA B+ +

+

Ví duï 1:

Cho tam giaùc ABC vôùi A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3)

a) Tìm phöông trình tham soá vaø toång quaùt caïnh BC.

b) Tìm phöông trình ñöôøng cao AH.

c) Tìm phöông trình ñöôøng thaúng qua A(–2, 1) vaø song song vôùi BC.

Giaûi

a) Ñöôøng thaúng qua caïnh BC nhaän BCuuur

= (–2, –6) hay (1,3) laøm vectô chæ phöông vaø qua B(4, 3) neân coù phöông trình tham soá :

43 3

= +⎧⎨ = +⎩

x ty t

(t ∈ R)

⇔ 41−x = 3

3−y (phöông trình chính taéc)

⇔ 3x – y – 9 = 0 laø phöông trình toång quaùt cuûa BC.

b) Δ ABC coù ñöôøng cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0

⇒ pt AH : x + 3y + C1 = 0

A(–2, 1) ∈ AH ⇔ –2 + 3(1) + C1 = 0 ⇔ C1 = –1

Vaäy pt AH : x + 3y – 1 = 0

c) Ñöôøng thaúng Au // BC ⇒ pt Au : 3x – y + C2 = 0

A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – 1 + C2 = 0 ⇔ C2 = 7

Vaäy pt Au : 3x – y + 7 = 0

Ví duï 2:

Cho tam giaùc ABC vôùi A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5).

a) Vieát phöông trình ñöôøng vuoâng goùc AH keû töø A ñeán trung tuyeán BK cuûa tam giaùc ABC.

b) Tính dieän tích tam giaùc ABK.

Giaûi

a) K laø trung ñieåm cuûa AC ⇔ 2

2

22

A CK

A CK

x xx

y yy

+⎧ = =⎪⎪⎨ +⎪ = =⎪⎩

hay K(2, 2)

Phöông trình caïnh BK : 22 2

x −− −

= 21 2y −

− ⇔ x – 4y + 6 = 0

AH ⊥ BK ⇒ pt AH : 4x + y + C0 = 0

A(1, - 1) ∈ AH ⇔ 4(1) + (–1) + C0 = 0

⇔ C0 = –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0

b) Dieän tích tam giaùc ABK laø S = 12

AH.BK vôùi

AH = A (BK )d = 1 4 6

17+ +

⇒ S = 12

. 1117

. 2 24 1+ = 112

( ñvdt ).

Ví duï 3 ( Ñeà döï tröõ khoái A naêm 2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam

giaùc ABC caân taïi ñænh A coù troïng taâm G 4 1( ; )3 3

, phöông trình ñöôøng thaúng BC laø

2 4 0x y− − = vaø phöông trình ñöôøng thaúng BG laø 7 4 8 0x y− − = .Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B, C. Baøi giaûi

Toïa ñoä ñænh B laø nghieäm cuûa heä pt ( )− − =⎧⇒ −⎨ − − =⎩

x 2y 4 0B 0, 2

7x 4y 8 0

Vì ABCΔ caân taïi A neân AG laø ñöôøng cao cuûa ABCΔ

Vì GA BC⊥ ⇒ pt GA: − + − = ⇔ + − =4 12(x ) 1(y ) 0 2x y 3 03 3

2x y 3 0⇔ + − =

⇒ GA BC∩ = H ( )+ − =⎧

⇒ −⎨ − − =⎩

2x y 3 0H 2, 1

x 2y 4 0

Ta coù H laø trung ñieåm BC ⇒ + = = − = − =⎧ ⎧

⇒⎨ ⎨+ = = − = − − − =⎩ ⎩

B C H C H B

B C H C H B

x x 2x x 2x x 2(2) 0 4y y 2y y 2y y 2( 1) ( 2) 0

⇒ ( )C 4,0 . Ta coù : + + + += =A B C A B C

G Gx x x y y yx vaø y

3 3 ⇒ ( )A 0,3

Vaäy ( ) ( ) ( )A 0,3 ,C 4,0 ,B 0, 2−

CHUYEÂN ÑEÀ 4

ÑÖÔØNG TROØN

1. Ñeå tìm phöông trình cuûa moät ñöôøng troøn ta caàn löu yù:

. Phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C) taâm I(a, b) baùn kính R laø :

( )2x a− + ( )2y b− = R2

. Phöông trình cuûa (C) ôû daïng khai trieån :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( hay x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0)

vôùi c = a2 + b2 – R2 ⇔ R2 = 2 2a b c+ −

Do ñoù ta phaûi coù ñieàu kieän a2 + b2 – c ≥ 0

. Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng troøn taâm I(a, b) baùn kính R laø:

x a R cos ty b R sin t

= +⎧⎨ = +⎩

(t ∈ R)

2. Ñeå vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi moät ñöôøng troøn ta caàn phaân bieät :

a) Tröôøng hôïp bieát tieáp ñieåm : ta duøng coâng thöùc phaân ñoâi toïa ñoä :

Tieáp tuyeán ( )Δ taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) vôùi :

- ñöôøng troøn (C) : ( )2x a− + ( )2y b− = R2 laø

(x0 – a) (x – a) + (y0 – b) (y – b) = R2

- ñöôøng troøn (C) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 laø

x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0

b) Tröôøng hôïp khoâng bieát tieáp ñieåm, ta aùp duïng tính chaát :

Ñöôøng thaúng ( )Δ tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn taâm I baùn kính R

⇔ Δd( I , ) = R.

c) ñöôøng troøn (C) : ( )2x a− + ( )2y b− = R2 coù 2 tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi

Oy laø x = a R. Ngoaøi 2 tieáp tuyeán x = a R, moïi tieáp tuyeán khaùc vôùi ñöôøng troøn ( C) ñeàu coù daïng y = kx + m hoaëc daïng y = k ( x –x0 ) + y0 neáu tieáp tuyeán ñi qua ( x0 , y0 ) laø ñieåm naèm ngoaøi ñöôøng troøn.

Ví duï

Trong maët phaúng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4).

a) Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) qua 3 ñieåm O, A, B.

b) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn (C) taïi A, B.

c) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán vôùi (C) phaùt xuaát töø ñieåm M(4, 7)

Giaûi

a) Phöông trình ñöôøng troøn (C) coù daïng :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

Ñöôøng troøn (C) qua 3 ñieåm O, A, B neân :

0

4 4 016 8 0

ca cb c

=⎧⎪ + + =⎨⎪ − + =⎩

⇔ 0

12

cab

=⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩

Vaäy (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0.

Caùch khaùc: Tam giaùc ABC vuoâng taïi O neân coù taâm laø trung ñieåm cuûa AB vaø ñöôøng kính laø AB neân pt döôøng troøn (C) laø:

2 2 21 11 2 4 16 54 4

+ + − = = + =( x ) ( y ) AB ( )

Caùch khaùc: Tam giaùc ABC vuoâng taïi O neân ∈vôùi M ( x, y ) (C ) ta coù

0=uuuur uuuurAM .BM . Vaäy pt ñöôøng troøn ( C ) laø 0− − + − − =A B A B( x x )( x x ) ( y y )( y y ) .

b) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi :

. Tieáp ñieåm A(–2, 0) laø : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = 0

⇔ x + 2y + 2 = 0

± ±

. Tieáp ñieåm B(0, 4) laø : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0

⇔ x + 2y – 8 = 0

c) Ñöôøng troøn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0 coù taâm I(–1, 2) vaø baùn kính R = 21 2 0+ − = 5 .Hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi Oy laø

1 5= ± = − ±x a R . Hai tieáp tuyeán naøy khoâng qua M(4, 7)

Vaäy phöông trình tieáp tuyeán qua M(4, 7) coù daïng:

( )Δ : y – 7 = k(x – 4)

⇔ kx – y + 7 – 4k = 0

( )Δ tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (C) ⇔ Δd( I , ) = R

⇔ 2

2 7 4

1

k k

k

− − + −

+ = 5 ⇔ 5 5k− = 5 . 2 1k +

⇔ 4k2 – 10k + 4 = 0 ⇔ k = 2 hay k = 12

Vaäy coù 2 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn (C) phaùt xuaát töø ñieåm M(4, 7) vôùi phöông trình laø :

k = 2 ⇒ 2x – y – 1 = 0

k = 12

⇒ 12

x – y + 5 = 0.

Ví duï

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho tam giaùc ABC coù AB=AC,090BAC = . Bieát M(1,–1) laø trung ñieåm caïnh BC vaø G( 2

3; 0) laø troïng taâm tam giaùc

ABC. Tìm toïa ñoä caùc ñænh A , B, C. G laø troïng taâm ΔABC ⇔ =

uuur uuuurAG 2GM

⇔ ⎧ − = − =⎪⎨⎪− = − − = −⎩

A

A

2 2 2x 2(1 )3 3 3

y 2( 1 0) 2 ⇔

=⎧⎨ =⎩

A

A

x 0y 2

⇔ A (0, 2)

PT: BC qua M (1, −1) ⊥ uuuurAM = (1, −3): x – 3y – 4 = 0

PT ñ.troøn (C) taâm M, baùn kính R = AM= + =1 9 10 (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10

Toïa ñoä B, C thoûa : − − =⎧

⎨− + + =⎩

2 2

x 3y 4 0(x 1) (y 1) 10

⇔ = +⎧

⎨+ + + = ⇔ + =⎩

2 2 2

x 3y 4(3y 3) (y 1) 10 (y 1) 1

⇔ =⎧

⎨=⎩

x 4y 0

∨ = −⎧

⎨= −⎩

x 2y 2

Vaäy B (4, 0); C(−2, −2) hay B(−2, −2); C (4, 0)

Ví duï Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hai ñöôøng thaúng d1 : x – y = 0 vaø d2 : 2x + y – 1 = 0.Tìm toïa ñoä caùc ñænh hình vuoâng ABCD bieát raèng ñænh A thuoäc d1, ñænh C thuoäc d2 vaø caùc ñænh B, D thuoäc truïc hoaønh.

Giaûi

A ∈ d1 ⇔ A (m; m). C ∈ d2 ⇔ C (n; 1 – 2n) Vì B, D ∈ Ox vaø ABCD laø hình vuoâng neân :

A vaø C ñoái xöùng nhau qua Ox ⇔ m nm 2n 1

=⎧⎨ = −⎩

⇔ m 1n 1

=⎧⎨ =⎩

Suy ra A(1; 1), C(1; -1). Goïi (C) laø ñöôøng troøn ñöôøng kính AC ⇒ Phöông trình (C) : (x–1)2 +y2=1. B vaø D laø giao ñieåm (C) vaø Ox neân toïa ñoä cuûa B, D

laø nghieäm cuûa heä : 2 2(x 1) y 1

y 0

⎧⎪ − + =⎨

=⎪⎩

⇔ = ∨ =⎧

⎨ =⎩

x 0 x 2y 0

. Suy ra B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0)

Vaäy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1), D(2; 0) hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0). Ví duï Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hai ñieåm A(2; 0), B(6; 4). Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi ñieåm A vaø khoaûng caùch töø taâm cuûa (C) ñeán ñieåm B baèng 5.

Giaûi

Goïi I (x; y) laø taâm cuûa (C). Ta coù : (C) tieáp xuùc Ox taïi A ⇒ IA i⊥uur ur

= (1; 0) ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2 IB = 5 ⇔ (x – 6)2 + (y – 4)2 = 25 ⇔ (2 – 6)2 + (y – 4)2 = 25 ⇔ (y – 4)2 = 9 ⇔ y – 4 = ±3 ⇔ y = 7 hay y = 1 Tröôøng hôïp 1: I(2; 7) ⇒ R = d(I, Ox) = 7 Suy ra pt (C) : (x – 2)2 + (y – 7)2 = 49 Tröôøng hôïp 2: I (2; 1) ⇒ R = d(I, Ox) = 1 ⇒ pt (C) : (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1. Ví duï Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy, cho hai ñöôøng troøn:

(C1) : x2 + y2 – 10x = 0; (C2) : x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0

1) Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc giao ñieåm cuûa (C1), (C2) vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng x + 6y – 6 = 0. 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa caùc ñöôøng troøn (C1) vaø (C2).

Giải 1) Phöông trình chuøm ñöôøng troøn qua caùc giao ñieåm cuûa (C1), (C2) laø : m(x2 + y2 – 10x) + n(x2 + y2 + 4x – 2y – 20) = 0 vôùi m2 + n2 > 0 ⇔ (m + n)x2 + (m + n)y2 + (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0

⇔ x2 + y2 + 4n 10m 2n 20nx y 0

m n m n m n−⎛ ⎞ − − =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

Coù taâm I5m 2n n;

m n m n−⎛ ⎞

⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Vì taâm I ∈ d : x + 6y – 6 = 0 ⇒ 5m 2n 6n 6m 6n 0

m n− + − −

=+

⇒ m = −2n . Cho n = 1 ⇒ m = −2 Vaäy phöông trình ñöôøng troøn laø :x2 + y2 – 24x + 2y + 20 = 0. 2) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa (C1), (C2). (C1) coù taâm I1(5; 0), baùn kính R1 = 5 (C2) coù taâm I2(−2; 1), baùn kính R2 = 5 Vì (C1), (C2) caét nhau taïi 2 ñieåm neân coù 2 tieáp tuyeán chung. Vì x = xo khoâng theå laø tieáp tuyeán chung neân pt tt chung Δ coù daïng : y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0

Δ tieáp xuùc vôùi (C1) ⇔ d(I1, Δ) = R1 ⇔ 2

5a b 5a 1

⏐ + ⏐=

+

⇔⏐5a + b⏐ = 25 a 1+ (1)

Δ tieáp xuùc vôùi (C2) ⇔ d(I2, Δ) = R2 ⇔ 2

2a 1 b

a 1

⏐− − + ⏐

+ = 5

⇔ ⏐−2a – 1 + b⏐ = 25 a 1+ (2) (1) vaø (2) ⇒ ⏐5a + b⏐ = ⏐−2a – 1 + b⏐

⇔5a b 2a 1 b5a b 2a 1 b

+ = − − +⎡⎢ + = + + −⎣

⇔

1a73a 1b

2

⎡ = −⎢⎢

− +⎢ =⎢⎣

Theá a = 17

− vaøo (1) ta coù : b1 = 5 25 2

7+

; b2 = 5 25 2

7−

Vaäy ta coù 2 tieáp tuyeán laø : x + 7y – 5 + 25 2 = 0 x + 7y – 5 − 25 2 = 0. Caùch khaùc: Vì R1 = R2 vaø 2 ñöôøng troøn caét nhau neân 2 tieáp tuyeán chung laø 2 ñöôøng thaúng song song vôùi 1 2I I ( 7;1)= −

uuuur Vaäy phöông trình 2 tieáp tuyeán coù daïng : x + 7y+m = 0 (Δ)

d(I1, Δ) = 5 ⇔ ⏐5 + m⏐ = +25 7 1 ⇔ m = – 5 ± 25 2

Vaäy phöông trình 2 tieáp tuyeán laø x + 7y – 5 ± 25 2 = 0.

GHI CHUÙ :

Baøi ñöôøng troøn trong chöông trình lôùp 12 bao goàm caùc vaán ñeà chính laø : Tìm phöông trình ñöôøng troøn; caùc baøi toaùn lieân quan ñeán vò trí töông ñoái giöõañöôøng thaúng

⇒ I1I2 < R1 + R2

vaø ñöôøng troøn, giöõa hai ñöôøng troøn; phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi ñöôøng troøn; truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm. Ngoaøi ra coøn coù moät soá caâu hoûi lieân quan ñeán phöông trình x2 + y2 + 2Ax + 2By +C = 0 (1). Chaúng haïn tìm ñieàu kieän ñeå (1) laø phöông trình ñöôøng troøn. Töø phöông trình (1) tìm taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn, tìm tham soá ñeå baùn kính thoaû moät ñieàu kieän naøo ñoù . . . Sau ñaây, chuùng toâi chæ ñeà caäp ñeán caùch tìm phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc vaø vaøi öùng duïng truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm. Ñaây laø vaán ñeá caùc em thöôøng “ sôï” khi gaëp phaûi. A/ Caùch tìm phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC : Tröôùc heát caàn löu yù : • Taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng phaân giaùc trong . • Muoán tìm phöông trình ñöôøng troøn ta tìm taâm I (a ; b) vaø baùn kính R. Khi ñoù phöông trình ñöôøng troøn coù daïng (x – a)2 + (y – b)2 = R2 . • Cho k laø soá thöïc khaùc 1, ta coù :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

=

−−

=⇔=

k1kyyy

k1kxxx

MBkMABA

M

BAM

(I)

1/ Neáu ñeà baøi cho bieát toïa ñoä A, B, C thì : • Goïi D laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong keû töø A

cuûa tam giaùc ABC.

Ta coù : DCACABDB −=

Söû duïng coâng thöùc (I) vôùi k = ACAB

− ta xaùc ñònh ñöôïc toïa ñoä ñieåm D.

• Goïi I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC thì I chính laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong keû töø B cuûa tam giaùc ABD.

Ta coù : IDBDBAIA −=

Söû duïng coâng thöùc (I) vôùi k = BDBA

− laø xaùc ñònh ñöôïc toïa ñoä taâm I.

Coøn baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc chính laø khoaûng caùch töø taâm I ñeán moät trong 3 caïnh cuûa tam giaùc ABC. Chuù yù : Neáu moät trong ba ñænh cuûa tam giaùc truøng vôùi goác toïa ñoä vaø hai ñænh coøn laïi naèm treân hai truïc toïa ñoä thì caùch giaûi ñöôïc thu goïn hôn vì bieát tröôùc ñöôïc 1 ñöôøng phaân giaùc trong keû töø goác toïa ñoä. Ñöôøng phaân giaùc coøn laïi ñöôïc tìm thoâng qua tìm chaân ñöôøng phaân giaùc trong nhö ñaõ trình baøy ôû treân. 2/ Neáu ñeà baøi cho bieát phöông trình 3 caïnh cuûa tam giaùc ABC thì töø phöông trình 3 caïnh ñoù, ta tìm ñöôïc toïa ñoä caùc ñieåm A, B, C baèng caùch giaûi heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm vaø söû duïng caùch giaûi nhö phaàn 1.

A

B C D

I

Ngoaøi ra coøn coù theå giaûi baèng kieán thöùc mieàn taïo bôûi 1 ñöôøng thaúng vaø khoaûng caùch ñaïi soá töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng. B/ Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm : 1/ Cho hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm : (C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0 (1) (C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0 (2) Truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø taäp hôïp caùc ñieåm coù cuøng phöông tích ñoái vôùi (C1) vaø (C2) vaø coù phöông trình laø : 2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y + c1 – c2 = 0 2/ ÖÙng duïng : Trong chöông trình Hình hoïc lôùp 10 ta ñaõ bieát caùch döïng truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2). • Neáu (C1) vaø (C2) caét nhau taïi 2 ñieåm A vaø B thì truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø ñöôøng thaúng AB. • Neáu (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau (Tieáp xuùc trong hoaëc tieáp xuùc ngoaøi) thì truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2) taïi tieáp ñieåm. • Neáu (C1) vaø (C2) khoâng caét nhau thì veõ theâm ñöôøng troøn (C3) sao cho caét ñöôïc (C1), (C2) vaø coù taâm khoâng naèm treân ñöôøng noái taâm cuûa (C1), (C2). Goïi M laø giao ñieåm cuûa hai truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C3), (C2) vaø (C3). Khi ñoù truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø ñöôøng thaúng qua M vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng noái taâm cuûa (C1) vaø (C2). Baøi toaùn : Cho ñöôøng troøn (C) vaø M laø ñieåm naèm ngoaøi (C). Töø M keû MA vaø MB laø hai tieáp tuyeán cuûa (C) (A vaø B laø hai tieáp ñieåm). Vieát phöông trình ñöôøng thaúng AB. Caùch giaûi : Goïi I laø taâm vaø R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (C). Goïi (C’) laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính :

R’ = MA = 22 RIM − Suy ra (C) vaø (C’) caét nhau taïi A vaø B. Do ñoù ñöôøng thaúng AB chính laø truïc ñaúng phöông

cuûa (C) vaø (C’). Qua keát quaû treân ta ghi nhôù ngay 2 keát quaû : • Ñöôøng thaúng ñi qua giao ñieåm cuûa hai ñöôøng troøn (C1) vaø (C2) chính laø truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) [Nghóa laø khoâng caàn tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2)]. • Tieáp tuyeán chung cuûa 2 ñöôøng troøn (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau taïi tieáp ñieåm chính laø truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2). Sau ñaây, löu yù theâm 2 baøi toaùn thöôøng gaëp : Baøi 1 : Cho (C1) vaø (C2) ôû ngoaøi nhau. Tìm quyõ tích nhöõng ñieåm M töø ñoù veõ ñöôïc ñeán (C1) vaø (C2) nhöõng ñoaïn tieáp tuyeán baèng nhau. Caùch giaûi : Goïi MA vaø MB (nhö hình veõ) laø 2 tieáp tuyeán töø M ñeán (C1) vaø (C2) Ta coù : MA = MB ⇔ MA2 = MB2

(C) (C’) A

B

M I

• M

• B A •

(C1) (C2)

⇔ 1 2/( ) /( )M C M CP P=

Do ñoù quyõ tích M laø truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2).

Baøi 2 : Tìm tieáp ñieåm M cuûa hai ñöôøng troøn tieáp xuùc nhau (C1) vaø (C2) Goïi I1 vaø I2 laø taâm cuûa (C1) vaø (C2). Tieáp ñieåm

M chính laø giao ñieåm cuûa truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) vôùi ñöôøng noái taâm I1I2.

Ví duï Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho 2 ñöôøng troøn : (C1 ): x2 + y2 9= vaø (C2 ): x2 + y2 2 2 23 0x y− − − = . Vieát phöông trình truïc ñaúng phöông d cuûa 2 ñöôøng troøn (C1) vaø (C2). Chöùng minh raèng neáu K thuoäc d thì khoûang caùch töø K ñeán taâm cuûa (C1) nhoû hôn khoûang caùch töø K ñeán taâm cuûa ( C2 ). Giải: Ñöôøng troøn ( )1C coù taâm ( )O 0,0 baùn kính 1R 3=

Ñöôøng troøn ( )2C coù taâm ( )I 1,1 , baùn kính 2R 5=

Phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa 2 ñöôøng troøn ( )1C , ( )2C laø

( ) ( )2 2 2 2x y 9 x y 2x 2y 23 0+ − − + − − − =

x y 7 0⇔ + + = (d) Goïi ( ) ( )k k k kK x ,y d y x 7∈ ⇔ = − −

( ) ( ) ( )= − + − = + = + − − = + +2 2 22 2 2 2 2k k k k k k k kOK x 0 y 0 x y x x 7 2x 14x 49

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2k k k k k kIK x 1 y 1 x 1 x 8 2x 14x 65= − + − = − + − − = + +

Ta xeùt ( ) ( )2 2 2 2k k k kIK OK 2x 14x 65 2x 14x 49 16 0− = + + − + + = >

Vaäy 2 2IK OK IK OK(ñpcm)> ⇔ >

d

I2 I1 M

(C1) (C2)

CHUYEÂN ÑEÀ 5

ELIP

Caùc baøi toaùn veà elip chuû yeáu qui veà vieäc vieát phöông trình chính taéc cuûa elip, xaùc ñònh caùc phaàn töû cuûa elip (taâm, ñænh, tieâu cöï, ñoä daøi truïc lôùn, truïc nhoû, tieâu ñieåm…), nhaát laø xaùc ñònh phöông trình cuûa tieáp tuyeán cuøng vôùi toïa ñoä tieáp ñieåm. Trong moïi tröôøng hôïp ta caàn naém vöõng kieán thöùc cô baûn sau ñaây :

. Elip (E) coù tieâu ñieåm treân x′x

. Elip (E) coù tieâu ñieåm treân y′y

Phöông trình

chính taéc

Tieâu cöï

Tieâu ñieåm

Truïc lôùn

Truïc nhoû

Ñænh treân truïc lôùn

Ñænh treân truïc nhoû

Taâm sai

Baùn kính qua tieâu

Ñieåm cuûa M ∈ (E)

Ñöôøng chuaån

(E) : 2

2

xa

+ 2

2

yb

= 1

a2 > b2 vaø a2 – b2 = c2

2c

F1(–c, 0), F2(c, 0)

Treân Ox, daøi 2a

Treân Oy, daøi 2b

A1(–a, 0), A2(a, 0)

B1(0, –b), B2(0, b)

e = ca

1 1

2 2

M

M

r F M a exr F M a ex

= = +⎧⎨ = = −⎩

1 2,Δ : x = ±ae

(E) : 2

2

xa

+ 2

2

yb

= 1

a2 < b2 vaø b2 – a2 = c2

2c

F1(0, –c), F2(0, c)

Treân Oy, daøi 2b

Treân Ox, daøi 2a

A1(0, –b), A2(0, b)

B1(–a, 0), B2(a, 0)

e = cb

1 1

2 2

M

M

r F M b eyr F M b ey

= = +⎧⎨ = = −⎩

1 2,Δ : y = ±be

* Ghi chuù :

Tröôøng hôïp elip coù taâm I( α , β ) hai truïc cuøng phöông vôùi 2 truïc toïa ñoä thì phöông trình coù daïng

( )2

2

xa− α

+ ( )2

2

yb− β

= 1

Ta dôøi heä truïc toïa ñoä xOy ñeán XIY baèng pheùp tònh tieán theo OIuur

ñeå ñöôïc phöông trình daïng chính taéc cuûa elip laø

2

2

Xa

+ 2

2

Yb

= 1 vôùi X xY y

= − α⎧⎨ = − β⎩

ñeå suy ra deã daøng toïa ñoä caùc ñænh vaø tieâu ñieåm.

. Tieáp tuyeán vôùi elip (E) : 2

2

xa

+ 2

2

yb

= 1 taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coù phöông

trình 02

x xa

+ 02

y yb

= 1

. Tröôøng hôïp khoâng bieát tieáp ñieåm ta aùp duïng tính chaát :

: Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi elip

(E) : 2

2

xa

+ 2

2

yb

= 1 ⇔ a2A2 + b2B2 = C2

Thöôøng ta vieát phöông trình cuûa theo heä soá goùc ôû daïng

kx – y + c = 0 vaø löu yù tröôøng hôïp ⊥ x′x töùc

: x = a

. Tieáp tuyeán vôùi elip (E) : 2

2

xa

+ 2

2

yb

= 1 coù 2 tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi Oy laø

x = a. Ngoaøi 2 tieáp tuyeán x = a, moïi tieáp tuyeán khaùc vôùi ( E) ñeàu coù daïng

y = kx + m hoaëc daïng y = k ( x –x0 ) + y0 neáu tieáp tuyeán ñi qua ( x0 , y0 ) laø ñieåm naèm ngoaøi elip.

Ví duï :

Cho elip (E) : x2 + 4y2 – 40 = 0

a) Xaùc ñònh tieâu ñieåm, hai ñænh treân truïc lôùn, 2 ñænh treân truïc nhoû vaø taâm sai cuûa (E).

b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) taïi ñieåm M0(–2, 3).

( )Δ

( )Δ

( )Δ

( )Δ ±

± ±

c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi elip (E) bieát noù xuaát phaùt töø ñieåm M(8, 0).

d) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) bieát noù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (D) : 2x – 3y + 1 = 0, tính toïa ñoä tieáp ñieåm.

Giaûi

a) Tieâu ñieåm, caùc ñænh vaø taâm sai cuûa (E)

(E) : x2 + 4y2 – 40 = 0

⇔ 2x

40 +

2

10y = 1 coù daïng

2

2

xa

+ 2

2

yb

= 1

vôùi a2 = 40 > b2 = 10 ⇒ c2 = a2 – b2 = 30

⇒ a = 2 10 , b = 10 , c = 30

Vaäy elip (E) coù truïc lôùn treân Ox, hai tieâu ñieåm naèm treân truïc lôùn laø

F1(– 30 , 0) , F2( 30 , 0).

Hai ñænh treân truïc lôùn laø A1(–2 10 , 0), A2(2 10 , 0)

Truïc nhoû cuûa (E) naèm treân Oy vôùi 2 ñænh laø B1(0, – 10 ), B2(0, 10 ).

Taâm sai cuûa elip (E) laø e = ca

= 302 10

= 32

b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) taïi M0(–2, 3)

Ta coù 20x + 4 2

0y – 40 = ( )22− + 4 ( )23 – 40 = 0

⇒ M0(–2, 3) ∈ (E) : x2 + 4y2 – 40 = 0

⇒ Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) taïi tieáp ñieåm M0(–2, 3) seõ laø:

x0x + 4y0y – 40 = 0 ⇔ –2x + 12y – 40 = 0

⇔ x - 6y + 20 = 0

c) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi elip phaùt xuaát töø M(8, 0).

(E) coù hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi 0y laø: x = 2 10± .Hai tieáp tuyeán naøy khoâng ñi qua M(8,0). Vaäy pt tieáp tuyeán ( )Δ qua M(8, 0) coù daïng:

y= k(x – 8) ⇔ kx – y – 8k = 0

( )Δ tieáp xuùc vôùi elip (E) : 2x

40 +

2y10

= 1

⇔ 40k2 + 10 = 64k2

⇔ k2 = 1024

= 512

⇔ k = ±5

2 3 = ±

156

Vaäy coù 2 tieáp tuyeán vôùi (E) qua M(8, 0) laø :

156

x – y – 8 56

= 0 ⇔ 15 x – 6y – 8 5 = 0

hay – 156

x – y + 8 56

= 0 ⇔ 15 x + 6y – 8 5 = 0

d) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) vaø vuoâng goùc vôùi (D)

( )′Δ ⊥ (D) vôùi (D) : 2x – 3y + 1 = 0

⇒ ( )′Δ : 3x + 2y + C = 0

( )′Δ tieáp xuùc (E) : 2x

40 +

2y10

= 1

⇔ 40.9 + 10.4 = C2 ⇔ C2 = 400

⇔ C = ± 20

Goïi M0(x0, y0) laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán ( )′Δ vôùi (E) thì ( )′Δ :

0x x40

+ 0y y10

= 1 ⇔ x0x + 4y0y – 40 = 0

Vôùi C = 20 ⇒ ( )′Δ : 3x + 2y + 20 = 0

⇒ 0x3

= 04y2

= 4020

−

⇔ 0

0

x 6y 1

= −⎧⎨ = −⎩

hay M0 (–6, –1)

Vôùi C = –20 ⇒ ( )′Δ : 3x + 2y – 20 = 0

⇒ 0x3

= 04y2

= 4020

−−

⇔ 0

0

x 6y 1

=⎧⎨ =⎩

hay M0(6, 1).

Ví duï : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm C (2; 0) vaø elíp (E) : 2 2x y 1

4 1+ = . Tìm

toïa ñoä caùc ñieåm A, B thuoäc (E), bieát raèng hai ñieåm A, B ñoái xöùng vôùi nhau qua truïc hoaønh vaø tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu

Giaûi

Giaû söû A (a, 24 a

2− ) ∈ (E) ⇒ B (a, −

24 a2− ) ∈ (E)

Vaø ñieàu kieän: –2 < a < 2. Do A,B ñoái xöùng qua Ox neân ta coù: ΔCAB ñeàu ⇔ CA2 = AB2

⇔ (a – 2)2 + 24 a

4− = 4 – a2 ⇔ 7a2 – 16a + 4 = 0

⇔ a = 2 (loaïi) hay a = 27 . Neân toïa ñoä cuûa A vaø B laø:

A 2 4 3,7 7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

vaø B 2 4 3,7 7

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ hoaëc A 2 4 3,

7 7⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

vaø B 2 4 3,7 7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

CHUYEÂN ÑEÀ 6

HYPEBOL

Ñeå giaûi caùc baøi toaùn coù lieân quan ñeán ñöôøng hypebol ta caàn naém vöõng caùc vaán ñeà cô baûn sau:

Hypebol (H) coù taâm O, hai truïc ñoái xöùng laø x′x, y′y.

Phöông trình

chính taéc

. Hypebol coù tieâu ñieåm treân x′x

2

2

xa

– 2

2

yb

= 1

. Hypebol coù tieâu ñieåm t reân y′y

2

2

xa

– 2

2

yb

= –1

vôùi c2 = a2 + b2 vôùi c2 = a2 + b2

Tieâu ñieåm

Tieâu cöï

Truïc thöïc, ñoä daøi

Truïc aûo, ñoä daøi

Ñænh

F1(–c, 0), F2(c, 0)

2c

Ox, 2a

Oy, 2b

A1(–a, 0), A2(a, 0)

F1(0, –c), F2(0, c)

2c

Oy, 2b

Ox, 2a

A1(0, –b), A2(0, b)

Tieäm caän

Taâm sai

Baùn kính

M(xM, yM) ∈ (H)

Ñöôøng chuaån

Phöông trình tieáp

tuyeán taïi tieáp

ñieåm M0(x0, y0) ∈ (H)

y = ±ba

x

e = ca

1 1

2 2

M

M

r F M ex ar F M ex a

= = +⎧⎨ = = −⎩

(xM ≥ a)

1

2

M

M

r ex ar ex a

= − −⎧⎨ = − +⎩

(xM ≤ – a)

x = ±ae

02

x xa

– 02

y yb

= 1

y = ±ab

x

e = cb

1 1

2 2

M

M

r F M ey br F M ey b

= = +⎧⎨ = = −⎩

(yM ≥ b)

1

2

M

M

r ey br ey b

= − −⎧⎨ = − +⎩

(yM ≤ – b)

y = ±be

02

x xa

– 02

y yb

= –1

Ngoaøi ra ta cuõng caàn löu yù:

. Ñieàu kieän ñeå:

(D) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (H) : 2

2

xa

– 2

2

yb

= 1 laø

a2A2 – b2B2 = C2 > 0

(D) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (H) : 2

2

xa

– 2

2

yb

= –1 laø

a2A2 – b2B2 = –C2 < 0

Ví duï :

Cho hypebol (H) : 4x2 – y2 = 4

1) Xaùc ñònh tieâu ñieåm, ñænh, taâm sai, caùc ñöôøng tieäm caän vaø ñöôøng chuaån cuûa (H)

2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi ñieåm M(1, 0)

3) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) phaùt xuaát töø ñieåm N(1, 4) tìm toïa ñoä tieáp ñieåm.

Giaûi

1) Caùc phaàn töû cuûa hypebol (H)

(H) : 4x2 – y2 = 4 ⇔ x2 – 2

4y = 1 coù daïng

2

2

xa

– 2

2

yb

= 1 vôùi

a2 = 1 ⇒ a = 1, b2 = 4 ⇒ b = 2 vaø c2 = a2 + b2 = 5

Vaäy hypebol (H) coù 2 tieâu ñieåm F1( 5− , 0), F2( 5 , 0) ; hai ñænh A1(–1, 0),

A2(1, 0) ; taâm sai e = ca

= 5 ; hai ñöôøng tieäm caän phöông trình y = ± 2x vaø hai

ñöôøng chuaån phöông trình

x = ±ae

= ± 15

2) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi tieáp ñieåm M(1, 0)

Ta coù M(1, 0) ∈ (H) : 4x2 – y2 = 4

⇒ Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi tieáp ñieåm M(1, 0) laø

4xMx – yMy = 4

⇔ 4x – 0y = 4 ⇔ x = 1

3) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) phaùt xuaát töø N(1, 4). Hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi 0y laø x = ± a = ± 1. Vaäy x=1 laø moät tieáp tuyeán qua N(1, 4).

Tieáp tuyeán ( )Δ qua N(1, 4) khoâng cuøng phöông vôùi 0y coù daïng:

( )Δ : y – 4 = k(x – 1) ⇔ kx – y + 4 – k = 0

( )Δ tieáp xuùc vôùi hypebol (H) : 2

1x –

2

4y = 1

⇔ k2 . 12 – 4(–1)2 = (4 – k)2

⇔ k2 - 4 = 16 – 8k + k2

⇔ k = 20 58 2

= .Vaäy ( )Δ : 52

x – y – 4 – 52

= 0

⇔ 5x – 2y – 13 = 0

Toùm laïi coù hai tieáp tuyeán qua ñieåm N(1, 4) laø x = 1, vaø 5x – 2y – 13 = 0.

CHUYEÂN ÑEÀ 7

PARABOL

Caùc baøi toaùn veà parabol thöôøng qui veà vieäc xaùc ñònh caùc yeáu toá cuûa parabol (tieâu ñieåm, ñöôøng chuaån), laäp phöông trình cuûa parabol vaø caùc vaán ñeà veà tieáp tuyeán cuûa parabol. Do ñoù ta caàn naém vöõng caùc kieán thöùc cô baûn sau ñaây :

Parabol (P) = { M∈ (Oxy) / MF = ( )Md Δ }

F laø tieâu ñieåm vaø ( )Δ laø ñöôøng chuaån.

Caùc daïng phöông trình chính taéc :

(P) : y2 = 2px

( )Δ : x = 2p

−

F 02p ,⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

M ∈ (P) ⇒ xM ≥ 0

vaø r = MF = xM + 2p

(d) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (P) ⇔

(P) : y2 = –2px

( )Δ : x = 2p

F 02p ,⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

M ∈ (P) ⇒ xM ≤ 0

vaø r = MF = –xM + 2p

(d) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (P) ⇔

y

x

(P)

F( P2 , 0) P

2−

O

( )Δ

y

x

(P)

FP

2 O

( )Δ

pB2 = 2AC

Tieáp tuyeán vôùi (P) taïi tieáp ñieåm

M0(x0, y0) coù phöông trình

y0y = p(x0 + x)

(P) : x2 = 2py

( )Δ : y = 2p

−

F 02p,⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

M ∈ (P) ⇒ yM ≥ 0

vaø r = MF = yM + 2p

(d) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (P) ⇔ pA2 = 2BC

Tieáp tuyeán vôùi (P) taïi tieáp ñieåm

M0(x0, y0) coù phöông trình

x0x = p(y0 + y)

pB2 = –2AC

Tieáp tuyeán vôùi (P) taïi tieáp ñieåm

M0(x0, y0) coù phöông trình

y0y = –p(x0 + x)

(P) : x2 = –2py

( )Δ : y = 2p

F 02p,⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

M ∈ (P) ⇒ yM ≤ 0

vaø r = MF = –yM + 2p

(d) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (P) ⇔ pA2 = –2BC

Tieáp tuyeán vôùi (P) taïi tieáp ñieåm

M0(x0, y0) coù phöông trình

x0x = –p(y0 + y)

Ví duï :

Cho parabol (P) : y2 – 8x = 0

1) Xaùc ñònh tieâu ñieåm F vaø ñöôøng chuaån ( )Δ cuûa (P)

2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) taïi ñieåm M(2; –4)

y

x

(P)

F P2

O ( )Δ

y

x

(P)

F − P2

O ( )Δ P

2

3) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) bieát noù song song vôùi ñöôøng thaúng (D) : 2x – y + 5 = 0. Suy ra toïa ñoä tieáp ñieåm.

4) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) bieát noù xuaát phaùt töø ñieåm

I(–3, 0), suy ra toïa ñoä tieáp ñieåm.

Giaûi

1) Tieâu ñieåm vaø ñöôøng chuaån

(P) : y2 – 8x = 0 ⇔ y2 = 8x coù daïng y2 = 2px vôùi p = 4

⇒ Tieâu ñieåm F(2, 0) vaø ñöôøng chuaån ( )Δ : x = –2.

2) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) taïi M(2; –4)

Tieáp tuyeán vôùi (P) : y2 = 8x taïi tieáp ñieåm M(2, –4) coù phöông trình cho bôûi coâng thöùc phaân ñoâi toïa ñoä :

–4(y) = 4(2 + x) ⇔ x + y + 2 = 0

3) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) vaø song song vôùi (D)

Ñöôøng thaúng (d) // (D) vôùi (D) : 2x – y + 5 = 0

⇒ (d) : 2x – y + C = 0

(d) tieáp xuùc vôùi (P) : y2 = 8x

⇔ 4 = 2 . 2C = 4C ⇔ C = 1

Vaäy tieáp tuyeán vôùi (P) phaûi tìm coù phöông trình

2x – y + 1 = 0

Tieáp tuyeán (d) vôùi (P) : y2 = 8x taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coøn coù phöông trình

y0y = 4(x0 + x) ⇔ 4x – y0y + 4x0 = 0

maø (d) : 2x – y + 1 = 0, do ñoù :

42

= 0

1y = 04

1x ⇒ 0

0

122

x

y

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

hay M01 22

,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) xuaát phaùt töø I(–3, 0).

Tieáp tuyeán vôùi (P) vaø cuøng phöông vôùi 0y laø x = 0. Vaäy pt tieáp tuyeán (d′ ) qua

I(–3, 0) coù daïng:

(d′ ) : y – 0 = k(x + 3) ⇔ kx – y + 3k = 0

(d′ ) tieáp xuùc vôùi (P) : y2 = 8x

⇔ 4 = 2k(3k) = 6k2 ⇔ k = ± 26

= ±6

3

Vaäy töø ñieåm I(–3, 0) coù 2 tieáp tuyeán vôùi parabol (P) laø:

63

x – y + 6 = 0 hay – 63

x – y – 6 = 0

63

⇔ x – y + 6 = 0 hay 6 x +3 y +3 6 = 0

Tieáp tuyeán (d′ ) vôùi (P) taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coù phöông trình

4x – y0y + 4x0 = 0

Do ñoù vôùi (d′ ) : 63

x – y + 6 = 0 ⇒ 46

3

= 0

1y = 04

6x

⇒ 0

0

312 2 6

6

x

y

=⎧⎪⎨ = =⎪⎩

Vôùi (d′ ) : 6 x + 3y + 3 6 = 0 ⇒ 46

= 0

3y− = 04

3 6x

⇒ 0

0

312 2 6

6

x

y

=⎧⎪⎨ = − = −⎪⎩

Vaäy 2 tieáp ñieåm phaûi tìm laø (3; 2 6 ) vaø (3; –2 6 ).

CHUYEÂN ÑEÀ 8

VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN

Caùc ñònh nghóa vaø pheùp toaùn cuûa vectô trong khoâng gian cuõng gioáng nhö trong maët phaúng, ta caàn löu yù ñeán caùc vaán ñeà cô baûn thoâng duïng nhö :

. Qui taéc 3 ñieåm : ∀ A, B, C thì ABuuur

+ BCuuur

= ACuuur

. Coäng 2 vectô cuøng goác laø moät vectô cuøng goác vaø laø ñöôøng cheùo hình bình haønh coù 2 caïnh laø 2 vectô ñaõ cho.

. I laø trung ñieåm ñoaïn thaúng AB, vôùi ñieåm M baát kyø naøo ta luoân coù:

MIuuur

= 2

MA MB+uuuur uuuur

. G laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⇔ GAuuur

+ GBuuur

+ GCuuur

= 0r

.

Ngoaøi ra ta coøn coù :

. Ba vectô khaùc 0r

goïi laø ñoàng phaúng neáu giaù cuûa chuùng cuøng song song hoaëc naèm trong moät maët phaúng .

. Baát kyø vectô ar ≠ 0r

naøo ñoàng phaúng vôùi hai vectô khoâng cuøng phöông 1er , 2er trong khoâng gian, ñeàu coù theå phaân tích theo 1er , 2er coù nghóa:

ar = α 1er + β 2er ( α ,β ∈ R)

vaø söï phaân tích treân laø duy nhaát .

. Baát kyø vectô ar ≠ 0r

naøo trong khoâng gian cuõng coù theå phaân tích ñöôïc theo 3 vectô khoâng ñoàng phaúng 1er , 2er , 3er coù nghóa :

ar = α 1er + β 2er + γ 3er ( α ,β , γ ∈ R)

. G ñöôïc goïi laø troïng taâm cuûa töù dieän ABCD

⇔ GAuuur

+ GBuuur

+ GCuuur

+ GDuuur

= 0r

Ghi chuù :

1) Neáu moät trong 3 vectô ar , br

, cr laø 0r

thì chuùng ñoàng phaúng.

2) ar , br

, cr ñoàng phaúng ⇔ , . 0a b c⎡ ⎤ =⎣ ⎦r r r

3) OAuuur

, OBuuur

, OCuuur

ñoàng phaúng ⇔ O, A, B, C cuøng naèm treân moät maët phaúng.

Ví duï 1:

Cho moät hình laêng truï ABC A ′ B′ C′ . Goïi I, I ′ laàn löôït laø troïng taâm cuûa Δ ABC vaø Δ A ′ B′ C′ , O laø trung ñieåm cuûa I I ′ .

a) Chöùng minh raèng

OAuuur

+ OA ′uuuur

+ OBuuur

+ OB′uuuur

+ OCuuur

+ OC′uuuur

= 0r

b) Goïi G laø troïng taâm cuûa hình töù dieän ABCC′ vaø M laø trung ñieåm cuûa A ′ B′ . Chöùng minh raèng O, M, G thaúng haøng.

c) Tính tæ soá OMOG

uuuur

uuur

Giaûi

a) OAuuur

+ OA ′uuuur

+ OBuuur

+ OB′uuuur

+ OCuuur

+ OC′uuuur

= 0r

I laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⇒ I Auur

+ I Buur

+ I Cuur

= 0r

⇒ ( I Ouur

+ OAuuur

) + ( I Ouur

+ OBuuur

) + ( I Ouur

+ OCuuur

) = 0r

⇒ OAuuur

+ OBuuur

+ OCuuur

= 3OIuur

Töông töï, I ′ laø troïng taâm cuûa Δ A ′ B′ C′

⇒ OA ′uuuur

+ OB′uuuur

+ OC′uuuur

= 3OI ′uuur

Vaäy OAuuur

+ OA ′uuuur

+ OBuuur

+ OB′uuuur

+ OCuuur

+ OC′uuuur

=

= 3OIuur

+ 3OI ′uuur

= 3(OIuur

+ OI ′uuur

)

= 0r

(vì 0 laø trung ñieåm I I ′ )

b) O, M, G thaúng haøng

G laø troïng taâm cuûa töù dieän ABCC′

⇒ GAuuur

+ GBuuur

+ GCuuur

+ GC′uuuur

= 0r

⇒ ( GOuuur

+ OAuuur

) + ( GOuuur

+ OBuuur

) + (GOuuur

+ OCuuur

) + ( GOuuur

+ OC′uuuur

) = 0r

⇒ OAuuur

+ OBuuur

+ OCuuur

+ OC′uuuur

= 4OGuuur

M laø trung ñieåm cuûa A B′ ′

⇒ OA ′uuuur

+ OB′uuuur

= 2OMuuuur

⇒ OAuuur

+ OBuuur

+ OCuuur

+ OC′uuuur

+ OA ′uuuur

+ OB′uuuur

= 4OGuuur

+ 2OMuuuur

⇒ 0r

= 4OGuuur

+ 2OMuuuur

⇒ OMuuuur

= –2OGuuur

⇒ OMuuuur

cuøng phöông vôùi OGuuur

⇒ OMuuuur

, OGuuur

cuøng giaù (vì cuøng goác O)

⇒ O, M, G thaúng haøng.

c) Tæ soá uuuur

uuurOMOG

OMuuuur

= –2OGuuur

⇒ OMOG

uuuur

uuur = –2

Ví duï 2:

Cho hình hoäp ABCD. A ′ B′ C′ D′ vôùi AA ′uuuur

= ar , ABuuur

= br

, /ACuuuur

= cr . Haõy bieåu thò caùc vectô AD

uuur, A C′uuuur

, B D′uuuur

, BD′uuuur

theo caùc vectô ar , br

, cr .

Giaûi

Ta coù vôùi hình hoäp ABCD. A ′ B′ C′ D′ thì :

ADuuur

= AC′uuuur

+ /C D′uuuuur

+ D D′uuuur

= cr – br

– ar

A C′uuuur

= A A′uuuur

+ /ACuuuur

+ /C Cuuuur

A C′uuuur

= –2 ar + cr

B D′uuuur

= B B′uuuur

+ BAuuur

+ ADuuur

= – ar – br

+ cr – br

– ar

= – 2 ar – 2 br

+ cr

BD′uuuur

= BAuuur

+ ADuuur

+ DD′uuuur

= – br

+ ( cr – br

– ar ) + ar

= – 2 br

+ cr

D′

B′

A′

cr

B C

D A

ar

C′

br

CHUYEÂN ÑEÀ 9

PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN

Caùc baøi toaùn veà toïa ñoä trong khoâng gian thöôøng coù caùc yeâu caàu xaùc ñònh toïa ñoä cuûa ñieåm, vectô, ñoä daøi ñoaïn thaúng, tính goùc 2 vectô, caùc vaán ñeà veà maët phaúng vaø ñöôøng thaúng trong khoâng gian (phöông trình, vò trí töông ñoái, song song, vuoâng goùc, soá ño goùc, khoaûng caùch,… ). Tuøy theo töøng tröôøng hôïp ta caàn löu yù vaän duïng caùc kieán thöùc cô baûn sau ñaây :

I. Toaï ñoä ñieåm. Toaï ñoä vectô

Trong khoâng gian toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz coù 3 vectô ñôn vò treân ba truïc Ox, Oy, Oz laàn löôït laø 1er , 2er , 3er .

* Cho M(x, y, z) thì OMuuuur

= x. 1er + y. 2er + z. 3er .

* Cho ar = (a1, a2, a3) thì ar = a1. 1er + a2. 2er + a3. 3er .

II. Caùc pheùp toaùn treân toïa ñoä ñieåm, vectô

1. Caùc pheùp toaùn treân toïa ñoä ñieåm

Cho hai ñieåm A(x1, y1, z1) vaø B(x2, y2, z2). Ta coù nhoùm coâng thöùc tính toïa ñoä vectô AB

uuur, khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B vaø toïa ñoä ñieåm M laø chia ñoaïn AB theo tæ

soá k ≠ 1

* ABuuur

= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

* ABuuur

= ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1x x y y z z− + − + −

* ( x = 1 2

1x kx

k−−

, y = 1 2

1y ky

k−−

, z = 1 2

1z kz

k−−

)

2. Caùc pheùp toaùn treân toïa ñoä vectô

Cho hai vectô ar = (a1, a2, a3), br

= (b1, b2, b3). Vôùi α vaø β laø 2 soá thöïc ta coù caùc coâng thöùc tính vaø coâng thöùc quan heä sau :

a) Coâng thöùc tính toaùn

α . ar + β . br

= ( α .a1 + β .b1, α .a2 + β .b2, α .a 3 + β .b 3 )

ar . br

= a1.b1 + a2.b2 + a 3 .b 3

cos ( )a, brr

= 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a .b a .b a .ba a a . b b b

+ +

+ + + +

b) Coâng thöùc quan heä

ar = br

⇔ 1 1

2 2

3 3

a ba ba b

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

ar cuøng phöông br

⇔ ( 1

1

ab

= 2

2

ab

= 3

3

ab

) (b1, b2, b 3 ≠ 0)

ar ⊥ br

⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3 .b 3 = 0

Chuù yù :

Goùc hai ñöôøng thaúng cheùo nhau trong khoâng gian laø goùc nhoïn taïo bôûi hai vectô chæ phöông cuûa 2 ñöôøng thaúng ñoù.

MAËT PHAÚNG

I. Phöông trình maët phaúng

1.* Phöông trình tham soá cuûa maët phaúng α qua M(x0, y0, z0) coù caëp vectô chæ phöông ar = (a1, a2, a 3

), br

= (b1, b2, b 3) vieát laø :

0 1 1 2 1

0 1 2 2 2

0 1 3 2 3

x x t a t by y t a t bz z t a t b

= + +⎧⎪ = + +⎨⎪ = + +⎩

t1, t2 ∈ R

2.* Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng α laø :

Ax + By + Cz + D = 0 vôùi A2 + B2 + C2 > 0

Maët phaúng α coù : phaùp vectô : nr = (A, B, C)

3.* Phöông trình maët phaúng qua M(x0, y0, z0) vaø vuoâng goùc vôùi vectô

nr = (A, B, C) vieát laø : (x – x0)A + (y – y0)B + (z – z0)C = 0

4.* Phöông trình maët phaúng qua M(x0, y0, z0) vaø nhaän 2 vectô chæ phöông

ar = (a1, a2, a 3), br

= (b1, b2, b 3) vieát laø

( ) ( ) ( )2 3 3 1 1 20 0 0

2 3 3 1 1 2

0a a a a a a

x x y y z zb b b b b b

− + − + − = .

5.* Phöông trình maët phaúng caét ba truïc toïa ñoä taïi A(a, 0, 0);

B(0, b, 0); C(0, 0, c) vôùi a.b.c ≠ 0 vieát laø :

xa

+ yb

+ zc

= 1

II. Toaùn treân maët phaúng

1. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng

Khoaûng caùch töø M(x0, y0, z0) ñeán

α : Ax + By + Cz + D = 0 laø :

MH = 0 0 0

2 2 2

Ax By Cz D

A B C

+ + +

+ +

2. Vò trí töông ñoái giöõa hai maët phaúng

Cho hai maët phaúng α , β coù 2 phaùp vectô laàn löôït laø nr = (A, B, C),

1nr = (A1, B1, C1)

Vò trí giöõa hai maët phaúng α , β laø vò trí giöõa 2 phaùp vectô nr , 1nr :

α // β ⇔ nr // 1nr

α ⊥ β ⇔ nr ⊥ 1nr

α caét β ⇔ nr khaùc phöông 1nr

ÑÖÔØNG THAÚNG

I. Phöông trình ñöôøng thaúng

1.* Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng Δ qua

M(x0, y0, z0) coù vectô chæ phöông ar = (a1, a2, a 3) vieát laø

0 1

0 2

0 3

x x tay y taz z ta

= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩

,t ∈ R (Heä I).

Neáu a1.a2.a3 ≠ 0 ta coù phöông trình chính taéc laø:

x x

ay y

az z

a−

=−

=−0

1

0

2

0

3

2.* Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng Δ xaùc ñònh bôûi giao tuyeán 2 maët phaúng α vaø β vieát laø :

1 1 1 1

00

Ax By Cz D ( )A x B y C z D ( )

+ + + = α⎧⎨ + + + = β⎩

(II)

Ghi chuù:

Cho phöông trình ñöôøng thaúng Δ xaùc ñònh bôûi heä (II). Ñeå vieát thaønh phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ta coù theå ñaët z = t vaø tính x, y theo t töø heä (II) vaø nhôø heä (I) ta coù ñöôïc vectô chæ phöông vaø ñieåm cuûa Δ (hoaëc x = t,

hoaëc y = t, neân choïn löïa aån phuï t ñeå pheùp tính hai bieán coøn laïi theo t ñöôïc ñôn giaûn).

3.*Phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng (d) :

A x B y C z DA x B y C z D

1 1 1 1

2 2 2 2

00

+ + + =+ + + =

⎧⎨⎩

Coù daïng : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (*) vôùi m, n khoâng ñoàng thôøi baèng 0. Phöông trình (*) goïi laø phöông trình cuûa chuøm maët phaúng xaùc ñònh bôûi ñöôøng thaúng (d).

Chuù yù :Neáu m= 0 thì n khaùc 0, chia hai veá cuûa (*) cho n ta coù

(*) thaønh A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Neáu m khaùc 0 chia hai veá cuûa (*) cho m ta coù:

A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = 0 vôùi nhm

= .

Vaäy chuøm maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng (d) coù daïng: A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = 0. hay A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Vaán ñeà 1 TÌM PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG

Thoâng thöôøng ta coù 3 caùch sau : - Caùch 1 : Tìm moät ñieåm vaø moät caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng. - Caùch 2 : Tìm moät ñieåm vaø moät phaùp vectô cuûa maët phaúng. - Caùch 3 : Duøng phöông trình chuøm maët phaúng.

Vaán ñeà 2 : TÌM PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG

Phöông phaùp :

Thoâng thöôøng ta coù 2 caùch sau :

- Caùch 1 : Tìm moät ñieåm vaø moät vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng. - Caùch 2 : Tìm phöông trình toång quaùt cuûa 2 maët phaúng phaân bieät cuøng chöùa ñöôøng

thaúng caàn tìm. - Ghi chuù : Trong 2 caùch, thöïc chaát cuûa vieäc tìm phöông trình ñöôøng thaúng laø tìm

phöông trình 2 maët phaúng cuøng chöùa ñöôøng thaúng aáy. Caùi khoù laø phaûi xaùc ñònh ñöôïc 2 maët phaúng phaân bieät naøo cuøng chöùa ñöôøng thaúng caàn tìm. Thoâng thöôøng ta hay gaëp 3 giaû thuyeát sau :

+ Ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A vaø caét ñöôøng thaúng d : Khi ñoù ñöôøng thaúng (Δ) naèm trong maët phaúng ñi qua A vaø chöùa d.

+ Ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d : Khi ñoù ñöôøng thaúng (Δ) naèm trong maët phaúng ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d.

+ Ñöôøng thaúng (Δ) song song vôùi d1 vaø caét d2 : Khi ñoù ñöôøng thaúng (Δ) naèm trong maët phaúng chöùa d2 vaø song song vôùi d1.

Chaúng haïn : 1. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A, vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng a vaø

caét ñöôøng thaúng aáy. Caùch giaûi :

- (Δ) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d neân (Δ) naèm trong maët phaúng α ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d.

- (Δ) ñi qua A vaø caét d neân (Δ) naèm trong maët phaúng β ñi qua A vaø chöùa d. Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β.

2. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A vaø caét caû hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. Caùch giaûi :

- (Δ) ñi qua A vaø caét d1 neân (Δ) naèm trong maët phaúng α ñi qua A vaø chöùa d1. - (Δ) ñi qua A vaø caét d2 neân (Δ) naèm trong maët phaúng β ñi qua A vaø chöùa d2. Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. 3. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët

phaúng α, vuoâng goùc vôùi d vaø naèm trong α. Caùch giaûi :

- Töø giaû thuyeát ta ñaõ coù (Δ) ⊂ α. - (Δ) qua A vaø vuoâng goùc vôùi d neân (Δ) naèm trong maët phaúng β ñi qua A vaø vuoâng

goùc vôùi d. Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. 4. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) song song vôùi ñöôøng thaúng (D) vaø caét 2 ñöôøng

thaúng d1 vaø d2. Caùch giaûi :

- (Δ) song song vôùi (D) vaø caét d1 neân (Δ) naèm trong maët phaúng α chöùa d1 vaø song song vôùi (D).

- (Δ) song song vôùi (D) vaø caét d2 neân (Δ) naèm trong maët phaúng β chöùa d2 vaø song song vôùi (D).

Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β.

Vaán ñeà 3 HÌNH CHIEÁU

Baøi toaùn 1 : Tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm A treân ñöôøng thaúng (d)

Phöông phaùp : - Caùch 1 : (d) cho bôûi phöông trình tham soá : + H ∈ (d) suy ra daïng toïa ñoä cuûa ñieåm H phuï thuoäc vaøo tham soá t.

+ Tìm tham soá t nhôø ñieàu kieän AH→

⊥ ad

→

- Caùch 2 : (d) cho bôûi phöông trình chính taéc, goïi H(x, y, z)

+ AH→

⊥ ad

→ (*)

+ H ∈ (d) : Bieán ñoåi tæ leä thöùc naøy ñeå duøng ñieàu kieän (*), töø ñoù tìm ñöôïc x, y, z. - Caùch 3 : (d) cho bôûi phöông trình toång quaùt : + Tìm phöông trình maët phaúng α ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d). + Giao ñieåm cuûa (d) vaø (α) chính laø hình chieáu H cuûa A treân (d). Baøi toaùn 2 : Tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm A treân maët phaúng (α) - Caùch 1 : Goïi H(x, y, z) + H ∈ α (*)

+ AH→

cuøng phöông vôùi nα

→: Bieán ñoåi tæ leä thöùc naøy ñeå duøng ñieàu kieän (*), töø ñoù tìm

ñöôïc x, y, z. - Caùch 2 : + Tìm phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (α). + Giao ñieåm cuûa (d) vaø (α) chính laø hình chieáu H cuûa A treân maët phaúng (α). Baøi toaùn 3 : Tìm hình chieáu vuoâng goùc (Δ) cuûa ñöôøng thaúng (d) xuoáng maët phaúng α. - Tìm phöông trình maët phaúng β chöùa ñöôøng thaúng d vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng α. - Hình chieáu (Δ) cuûa d xuoáng maët phaúng α chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β.

(d) A H

Baøi toaùn 4 : Tìm hình chieáu H cuûa A theo phöông ñöôøng thaúng (d) leân maët phaúng (α).

Phöông phaùp : - Tìm phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua A vaø song song vôùi (d). - Hình chieáu H chính laø giao ñieåm cuûa (Δ) vaø (α). Baøi toaùn 5 : Tìm hình chieáu (Δ) cuûa ñöôøng thaúng (d) theo phöông cuûa ñöôøng thaúng

(D) leân maët phaúng (α). Phöông phaùp :

- Tìm phöông trình maët phaúng (β) chöùa (d) vaø song song vôùi (D) - Hình chieáu (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa (α) vaø (β)

Vaán ñeà4 ÑOÁI XÖÙNG

Baøi toaùn 1 : Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua ñöôøng thaúng d.

Phöông phaùp : - Tìm hình chieáu H cuûa A treân d. - H laø trung ñieåm AA’. Baøi toaùn 2 : Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng α.

Phöông phaùp : - Tìm hình chieáu H cuûa A treân α. - H laø trung ñieåm AA’. Baøi toaùn 3 : Tìm phöông trình ñöôøng thaúng d ñoái xöùng vôùi ñöôøng thaúng (D) qua

ñöôøng thaúng (Δ) Phöông phaùp :

- Tröôøng hôïp 1 : (Δ) vaø (D) caét nhau :

+ Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø (Δ). + Tìm moät ñieåm A treân (D) khaùc vôùi ñieåm M.

(D)d

(Δ)

(D)

d

(Δ)M

A

A’

+ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua (Δ) + d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm A’ vaø M. - Tröôøng hôïp 2 : (Δ) vaø (D) song song : + Tìm moät ñieåm A treân (D) + Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua (Δ) + d chính laø ñöôøng thaúng qua A’ vaø song song vôùi (Δ) - Tröôøng hôïp 3 : (Δ) vaø (D) cheùo nhau : + Tìm 2 ñieåm phaân bieät A, B treân (D) + Tìm ñieåm A’, B’ laàn löôït laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A, B qua (Δ) + d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm A’, B’. Baøi toaùn 4 : Tìm phöông trình ñöôøng thaúng d ñoái xöùng vôùi ñöôøng thaúng (D) qua maët

phaúng α. Phöông phaùp :

- Tröôøng hôïp 1 : (D) caét α + Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø (α) + Tìm moät ñieåm A treân (D) + Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng α . + d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A’ vaø M . - Tröôøng hôïp 2 : (D) song song vôùi α. - Tìm moät ñieåm A treân (D) - Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng α. - d chính laø ñöôøng thaúng qua A’ vaø song song vôùi (D)

Vaán ñeà 5 KHOAÛNG CAÙCH

Baøi toaùn 1 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M(x0, y0, z0) ñeán maët phaúng α :

Ax + By + Cz + D = 0 Phöông phaùp :

A

A’ d

(D)

d MAx By Cz D

A B C( , )α =

+ + +

+ +

0 0 0

2 2 2

Baøi toaùn 2 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng (Δ) Phöông phaùp :

- Tìm hình chieáu H cuûa M treân (Δ) - Khoaûng caùch töø M ñeán (Δ) chính laø ñoä daøi ñoaïn MH. Baøi toaùn 3 : Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng song song d1 vaø d2.

Phöông phaùp : - Tìm moät ñieåm A treân d1. - Khoaûng caùch giöõa d1 vaø d2 chính laø khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán d2. Baøi toaùn 4 : Tính khoaûng caùch giöõa 2 maët phaúng song song α : Ax + By + Cz + D1 = 0 Vaø β : Ax + By + Cz + D2 = 0

Phöông phaùp :

Khoaûng caùch giöõa α vaø β ñöôïc cho bôûi coâng thöùc : dD D

A B C( , )α β =

−

+ +

1 2

2 2 2

Baøi toaùn 5 : Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng cheùo nhau d1 vaø d2 Phöông phaùp :

- Caùch 1 : + Tìm phöông trình maët phaúng α chöùa d1 vaø song song vôùi d2. + Tìm moät ñieåm A treân d2. + Khi ñoù d(d1, d2) = d(A, α) - Caùch 2 : + Tìm phöông trình maët phaúng α chöùa d1 vaø song song vôùi d2. + Tìm phöông trình maët phaúng β chöùa d2 vaø song song vôùi d1. + Khi ñoù d(d1, d2) = d(α, β) Ghi chuù : Maët phaúng α vaø β chính laø 2 maët phaúng song song vôùi nhau vaø laàn löôït chöùa d1 vaø

d2. - Caùch 3 : + Vieát döôùi daïng phöông trình tham soá theo t. + Vieát d2 döôùi daïng phöông trình tham soá theo t2. + Xem A ∈ d1 ⇒ daïng toïa ñoä A theo t1. + Xem B ∈ d2 ⇒ daïng toïa ñoä B theo t2.

+ Tìm vectô chæ phöông a a1 2→ →

, laàn löôït cuûa d1 vaø d2.

+ AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung d1, d2. ⇔ AB a

AB a

→ →

→ →

⊥

⊥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1

2

tìm ñöôïc t1 vaø t2

+ Khi ñoù d(d1, d2) = AB

Vaán ñeà 6

GOÙC Cho 2 ñöôøng thaúng d vaø d’ coù phöông trình :

d : x x

ay y

bz z

c−

=−

=−0 0 0

d’ : x x

ay y

bz z

c−

=−

=−0 0 0

' ' '

Cho 2 maët phaúng α vaø β coù phöông trình : α : Ax + By + Cz + D = 0 β : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 1. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng d vaø d’ :

cos' ' '

' ' 'ϕ =

+ +

+ + + +

aa bb cc

a b c a b c2 2 2 2 2 2

2. Goùc giöõa hai maët phaúng α vaø β :

cos' '

' 'ϕ =

+ +

+ + + +

AA BB CC'

A B C A B C'2 2 2 2 2 2

3. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng α :

sinϕ =+ +

+ + + +

Aa Bb Cc

A B C a b c2 2 2 2 2 2

Chuù yù : - d ⊥ d’ ⇔ aa’ + bb’ + cc’ = 0 - α ⊥ β ⇔ AA’ + BB’ + CC’ = 0 - d song song (hoaëc naèm treân) maët phaúng α ⇔ aA + bB + cC = 0

Vaán ñeà 7 VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI MAËT PHAÚNG

Cho hai maët phaúng α vaø β coù phöông trình : α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 β : A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Goïi n A B C n A B C1 1 1 1 2 2 2 2

→ →= =( , , ), ( , , ) laàn löôït laø phaùp vectô cuûa 2 maët phaúng treân vaø M

laø moät ñieåm treân maët phaúng α.

- α caét β ⇔ n1

→vaø n2

→khoâng cuøng phöông.

- α song song β ⇔ n vaø n cuøng phöôngM

1 2

→ →

∉

⎧⎨⎪

⎩⎪ β

- α truøng β ⇔ n vaø n cuøng phöôngM

1 2

→ →

∈

⎧⎨⎪

⎩⎪ β

Neáu A2, B2, C2, D2 ≠ 0 thì ta coù caùch khaùc : - α caét β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2

- α song song β ⇔ AA

BB

CC

DD

1

2

1

2

1

2

1

2= = ≠

- α truøng β ⇔ AA

BB

CC

DD

1

2

1

2

1

2

1

2= = =

Vaán ñeà 8 VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA 2 ÑÖÔØNG THAÚNG

- Caùch 1 : Xeùt heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. + Heä coù moät nghieäm duy nhaát : d1 caét d2. + Heä coù voâ soá nghieäm : d1 vaø d2 truøng nhau. + Heä voâ nghieäm :

a vaø ad d1 2

→ →cuøng phöông : d1 // d2.

a vaø ad d1 2

→ →khoâng cuøng phöông : d1 vaø d2 cheùo nhau.

- Caùch 2 :

+ Tìm vectô chæ phöông a ad d1 2

→ →, cuûa d1 vaø d2.

+ Tìm ñieåm A ∈ d1 vaø B ∈ d2.

a vaø ad d1 2

→ →cuøng phöông

A d d dA d d d

∈ ≡∉

2 1 2

2 1 2

:: / /

a vaø ad d1 2

→ →khoâng cuøng phöông

D a a AB d caét d

D a a AB d cheùod

d d

d d

( , , ) :

( , , ) :

1 2 1 2

1 2 1 2

0

0

→ → →

→ → →

=

≠

Vaán ñeà 9

VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG - Caùch 1 : Xeùt heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng α. + Heä voâ nghieäm : d // α. + Heä coù nghieäm duy nhaát : d caét α + Heä voâ soá nghieäm : d ⊂ α - Caùch 2 :

Tìm vectô chæ phöông a→

cuûa d, phaùp vectô n→

cuûa α vaø tìm ñieåm A ∈ d.

+ a n→ →

. ≠ 0 ( a→

khoâng vuoâng goùc n→

) : d caét α.

+ a n→ →

. ≠ 0 ( a n→ →

⊥ )A dA d

∉∈ ⊂

α αα α

: / /:

Ví duï 1:

Laäp phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng (D)

2 0

3 2 3 0x zx y z− =⎧

⎨ − + − =⎩

vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) : x – 2y + z + 5 = 0

Giaûi

Phöông trình tham soá cuûa (D) vieát

27 32 2

x t

y t

z t

=⎧⎪⎪ = −⎨⎪

=⎪⎩

Maët phaúng (Q) chöùa (D) vaø vuoâng goùc (P) seõ ñi qua ñieåm

M ( 0, 32

− , 0 ) ∈ (D) vaø coù caëp vectô chæ phöông laø ar = ( 2, 72

, 1 ) (vectô chæ

phöông cuûa (D) vaø nr = (1, –2, 1) (phaùp vectô cuûa (P)).

Do ñoù, moät phaùp veùctô cuûa ( Q) laø 1

2 1 1 21 12 ; ;7 71 21 2

2 2n

⎛ − − ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

r

= (– 11, 2, 15)

Vaäy phöông trình (Q) vieát

–11x + 2 ( y 32

+ ) + 15z = 0 ⇔ 11x – 2y - 15 z – 3 = 0.

Caùch khaùc: Pt maët phaúng (Q) chöùa (D) vaø vuoâng goùc (P) coù daïng:

x-2z = 0 (loaïi) hay m(x-2z) +3x -2y+z -3= 0.

Vaäy pt (Q) coù daïng: (m+3)x –2y +(1 –2m)z – 3 = 0.

(Q) vuoâng goùc vôùi (P) neân ta coù: m + 3 + 4 + 1- 2 m= 0

⇒ m = 8.

Vaäy pt mp (Q) laø: 11x – 2y - 15 z – 3 = 0.

Ví duï 2:

Xaùc ñònh caùc tham soá m vaø n ñeå maët phaúng 5x + ny + 4z + m = 0 thuoäc chuøm maët phaúng coù phöông trình :

α (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = 0

Giaûi

Chuøm maët phaúng coù phöông trình

α (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = 0

chöùa ñöôøng thaúng (D) coù phöông trình :

3 7 3 09 2 5 0

x y zx y z

− + − =⎧⎨ − − + =⎩

Ñeå maët phaúng (P) : 5x + ny + 4z + m = 0 thuoäc chuøm maët phaúng treân thì (P)

chöùa (D) nghóa laø chöùa 2 ñieåm A 1 18,0,7 7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, B 31 9 010 10

, ,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∈ (D). Ñieàu kieän ñeå (P)

chöùa A, B thì m, n thoûa heä phöông trình :

5 184 07 7

31 95 010 10

. m

. .n m

⎧ + + =⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎩

⇒ 11

5mn

= −⎧⎨ = −⎩

CHUYEÂN ÑEÀ 10

HÌNH CAÀU

TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC

(1) Phöông trình maët caàu

1) Phöông trình maët caàu (S) coù taâm I(a, b, c) baùn kính R laø

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

2) Daïng toång quaùt cuûa phöông trình maët caàu laø

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

seõ coù taâm I(a, b, c) baùn kính R = 2 2 2a b c d+ + − neáu ta coù ñieàu kieän

a2 + b2 + c2 – d > 0

3) Ñieàu kieän tieáp xuùc giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) coù taâm I baùn kính R laø khoaûng caùch töø I ñeán (P) baèng baùn kính R.

Ví duï 1:

Laäp phöông trình maët caàu coù taâm I(2, 3, –1) caét ñöôøng thaúng (d)

5 4 3 20 03 4 8 0x y zx y z

− + + =⎧⎨ − + − =⎩

taïi hai ñieåm A vaø B sao cho AB = 16

Giaûi

Goïi (P) laø maët phaúng qua I vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d). Ta coù phöông trình tham soá ñöôøng (d) laø

141 252 2

x t

y t

z t

= −⎧⎪⎪ = −⎨⎪

= −⎪⎩

Goïi (P) laø maët phaúng qua I(2, 3, –1) vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d) neân coù phaùp

vectô laø ar = 11, , 12

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

. Vaäy phöông trình (P) vieát

(x – 2) + 12

(y – 3) - (z + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 2z – 9 = 0

Giao ñieåm K giöõa (d) vaø (P) coù toïa ñoä ( t – 14, 12

t – 252

, –t )

thoûa phöông trình (P). Vaäy ta coù

2(t – 14) + ( 12

t – 252

) +2t – 9 = 0

Suy ra t = 11. Vaäy ta coù K (–3, –7, –11).

Khoaûng caùch töø I ñeán (d) laø IK = 25 100 100+ + = 15

Do ñoù baùn kính maët caàu laø R = 2

2

4ABI K + = 225 64+

Neân phöông trình maët caàu vieát laø :

(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289

Ví duï 2:

Laäp phöông trình maët caàu coù taâm thuoäc ñöôøng thaúng (d)

2 4 7 04 5 14 0x y zx y z

+ − − =⎧⎨ + + − =⎩

vaø tieáp xuùc vôùi hai maët phaúng coù phöông trình

(P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ; (Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0

Giaûi

Ta coù (P) // (Q) neân khi goïi A, B laø giao ñieåm cuûa (d) vôùi (P) vaø (Q) thì taâm I maët caàu tieáp xuùc vôùi (P) vaø (Q) phaûi laø trung ñieåm ñoaïn AB vaø baùn kính maët caàu baèng khoaûng caùch töø I ñeán (P).

Ta coù toïa ñoä A laø nghieäm cuûa heä

2 4 7 04 5 14 0

2 2 2 0

x y zx y z

x y z

+ − − =⎧⎪ + + − =⎨⎪ + − − =⎩

⇒ A(2, 1, 1)

Ta coù toïa ñoä B laø nghieäm cuûa heä

2 4 7 04 5 14 0

2 2 4 0

x y zx y z

x y z

+ − − =⎧⎪ + + − =⎨⎪ + − + =⎩

⇒ B(–4, 5, 5)

Vaäy taâm maët caàu laø I(–1, 3, 3) vaø baùn kính R = 1

Neân phöông trình maët caàu vieát thaønh

(x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 1.