1 1 1sin sin

2 2 2sinABC bc A caab C B 面 積 。

C B

A

a

b

C 為直角

C B

A

a

b

C 為銳角C B

A

a

b

C 為鈍角H

sinbA CH 高 bAC 高 sin(180 )b CAH 高

H

sin 90 sinb Cb sin Cb

1( )

2sinA CB aC b 面積

1sin

2ABC bc A 同理， 面積

si1

n2

ab C 。

1sin

2ca B 。

說明：由上圖知： ABC 的高都等於 bsinC

1. 三角形面積公式：

一、三角形面積公式一、三角形面積公式

本段結束本段結束

(1) 8 10 30ABC BC AC C 中， ， ，

(2) 5 4 120ABC AB BC B 中， ， ，

1( sin1)

2CbABC a 面積

1( sin2)

2BaABC c 面積

8 10 s n 01

i 32

sin125 41

02

(1) 5 8 45ABC AB BC B 中， ， ，

(2) 6 7 90ABC BC AC C 中， ， ，

sin 51 1

(1) 8 s 52 2

in 4BAB caC 面積 220

2

sin 61 1

(2) 7 s 02 2

in 9CAB abC 面積 121

140

2

310

2

2. 範例：求下列各三角形的面積。

馬上練習：求下列各三角形的面積。

解：

解：

10 2 。

5 3 。

= 20 。

= 21 。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

＃＃

CD求分角 線 的長度。

D kC 設 ，

CBA CBD CAD 面積 面積 面積

sin1201 1 1

4 12 4 122 2 2

sin 60 sin 60k k

AB

C

D

4 12k6060 6060

3. 範例：如圖所示，已知 ABC 兩邊長為 a = 4 ， b = 12 ，

且 BCA = 120 ，

解：

故所求 k = 3 。

24 = 2k + 6k ，

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

sin120 sin 603

2

8AD 又分角 線 ，

C xA 設 ，

ABC ABD ACD 又 面 積 面 積 面積

1 1 112 12 8sin120 sin 60 si 68 n

2 20

2x x

CB

A

D

812 x

AC 求 的長。

6x = 48 + 4x ，

故所求 x = 24 。

馬上練習：如圖所示，已知 ABC 一邊長為 c = 12 且 BAC = 120 ，

解：

＃＃

AC BD兩對角 線 與 的一交角，1

sin2

AC BD 則此四邊形面 積 。

1 1 1 1sin sin(180 ) sin sin(180 )

2 2 2 2u yvx y xu v

1 1 1 1sin sin sin sin

2 2 2 2u u vx y y xv

1sin ( )

2ux y xu vyv ( ) (sin )

1

2x y yu xv

BDAC 與 互相垂直，1

sin 902

AC BD 則此四邊形面積

C

A

B

D

180

x

yu

v

PP

1si

2)n )( (x y u v 1

sin2

BAC D 。

4. 四邊形的面積：設 為四邊形 ABCD 之

證明：四邊形 ABCD 面積= PPAB + PPBC + PPCD + PPDA

注意：若四邊形 ABCD 的對角線1

2DAC B 。＃＃

sin sin sin2

a b c

A BR

C ，

1 1 1sin sin sin

2 2 2bc A ca B ab C 由面積公式 ： ，

sin sin si

1

2 n2

Aab

CRc

B

a b c 同除 以 ，即得 。

CB

A

aa

A

CB

A

aa=2R

CB

A

AO

aa

2R

O O

sin2

sina

AR

A 且2

sin 1a

AR

且 sin sin 180A A 且

2sin A

a

R

2R

1. 正弦定理：

說明：

注意： aa：： bb：： cc = 2RsinA ： 2RsinB ： 2RsinC = sinA : sinB : sinC 。

其中 R 為 ABC 外接圓半徑。

A 是銳角 A 是直角 A 是鈍角

＃＃

二、正弦定理二、正弦定理

sin 75s

2

sii 45n 60 n

x y

32

2x

6 22

4y

C

A

B60

x

45

2

y

753 ，

6 2

2

，

2. 範例：如圖，求 x ， y 的值與 ABC 的外接圓半徑。

解：

外接圓半徑 R = 1R = 1 。又 2R 2R = 2

= 2R2R

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

4 3 4AC BC ， ，

B C AB 求 ， 與 的長度。

4

sin 30 in

4 3

s B

(1) 60B

12) 20( B

960 0 8C AB cB 故所 求 ， ， ；

C

AB

304

4 3

12012044

3030

60 120B 或 。

4

sin 30 90sin

c

4

sin 30 30sin

c

3120 0 4B C AB c 或 ， ， 。

8c 。

4c 。

3sin

2B

C

A B30

44 3

608

90

馬上練習 . ABC 中，已知 A = 30 ，

解：

90C

30C

c

cc

＃＃

1ABC BC 在 中，已知 ， △28 4 3 1 0x x 為 的兩根，

28 4 3 1 0x x 3 1

4

3 1sin

4A

sin 3 14

1A

a

ABC

中 ，

4

32

1R

所 求 3 1 。

3. 範例： sinA ＜ sinB ，且 sinA 與 sinB

求 ABC 的外接圓半徑。

解：

= 2R2R

4 3 48 32

2 8x

sin sinA B

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

2AB 圓心到 的距離為 ， 7 ?BC AC 而到 的距離為 ，則 之長

8s

4n

2 1i ，

8in

7s ，

sin sin( )ABC

8 15

32

si2

n

AC

ABCR

由正弦定理知 16

15

4AC

A

B C

O

2

788

馬上練習：設銳角三角形 ABC 的外接圓半徑為 8 。已知外接圓

解： 1c s

5

4o ，

1c s

5

8o ，

sin cos cos sin

1 15 15 7

4 8 4 8 15

4 。

4 15 。= 1616

＃＃

<102 學測 >

( )l x AB 若 表 之長，

( )

x

l x的最大值。

( )

sin sin

x l x

A

sin 5sin

3 35

AA 1

5i

31 s n A ，

5

( ) 3

x

l x故 的最大值為 。

O B(x, 0)

5

A(4, 3)

x

( )l x

4. 範例：以 O 表坐標平面的原點。給定一點 A(4, 3) ，

而點 B(x, 0) 在正 x 軸上變動。

<95 數甲 > 求△ OAB 中兩邊長比值

解：由正弦定理得

sin

( n) si

x

l

A

x

＃＃

22 2 2 222 2 2

c c2 2

cosos os2

b c a c cC

a b

bc

a

a abB

cA

b

； ；

y

xA B(c,0

)

C(bcosA , bsinA)

a

c

b

y

xA B(c,0

)

C(bcosA , bsinA) a

c

b

y

xA B(c,0

)

C(bcosA , bsinA) a

c

b

A 為直角

A 為銳角

A 為鈍角22 2 2( ) ( 0cos sin )BC cb A b Aa

2 2 2 2 2( cos 2 cos ) sinb A bc A c b A

2 2 2 2(cos sin ) 2 cosb A A c bc A

2 2 cos2b c bc A 。

1. 餘弦定理：

三、餘弦定理三、餘弦定理

To be continued To be continued 注 意注 意

2 2 2

c s2

ob c

bc

aA

；

2 2 2

c s2

oa b

ab

cC

。

2 2 2

c s2

oa c

ac

bB

；

2 22

cos 02

b c

b

aA

c

2 22a b c 。

注意： (1) A = 90 ( 直角三角形 ) 時， cos A = 0

也就是說：畢氏定理為餘弦定理的特例。

2 22

cos 02

b c

b

aA

c

2 22

cos 02

b c

b

aA

c

2 22a b c 。

2 22a b c 。

(2) A > 90 ( 鈍角三角形 ) 時， cos A < 0

(3) A < 90 ( 若 A 為最大角銳角三角形 ) 時， cos A > 0

本段結束本段結束

2 222 4

2(1 60os

4) c

2

x

2 3x 。

22 23 5

3(

7cos

52)

2x

C

A

B

5

7

3x

(2)

C

A

B4

60

2

(1)

x

2. 範例：求下各圖中的 x 值。

解：

xx = 120 。1

2

＃＃

7 13 7 8ABC AB AC BD CD 如圖 ， 中， ， ， ， ，

AD求 的長度。

AD x令 ，2 22

cos2

7 7

7 7ABD B

x

中 ， ，

222 15co

7s

2 15

3

7

1ABC B

中 ， ，

2 22 22 27 7 7 15

2 27 7

1

5

3

17

x

7x AD 。

C

A

B

13

8

7

D7

x

3. 範例：

解：

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

1 5 5 7AB BC CD DA ， ， ， ，

90DAB BCD AC 且 ，求對角 線 的長度。

AC x 令 ，2 2 2

cos2

5 1

5 1ABC B

x

中 ， ，

2 2 2

cos2

7 5

7 5ADC D

x

中 ， ，

cos cosB D 32x 解 得 。

B

C

A

D

75

51

2 22 2 22

2

5 1

5 1 2

7 5

7 5

x x

x

馬上練習：四邊形 ABCD 中，

解： DAB = BCD = 90 ABCD 為圓內接四邊形

BB + D = 180 。

＃＃

: : 1: 3 :1a b c 已知 ，

3 c kbk ka 令 ， ， ，

2 2 2

(1) cos( 3 )

2

k kB

k

k

k

1

cos2

B

2 2 2

((

2) co2

3 )

3s

kA

kk

kk

3

cos2

A

最小角 A = C = 30 。

最大角 B = 120 。

求 ABC 的最大、最小角的度數。 4. 範例：在 ABC 中，

解：

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

15

2c kba 5

2

73

2 2b k c ka k ， ， 。

馬上練習 . 在 ABC 中，已知 (b + c) ： (c + a) ： (a + b) = 6 ： 5 ： 4 ，

求 (1) sinA ： sinB ： sinC 。 (2) ABC 中的最大角。

解： (1) 令 b + c = 6k ， a + b = 4k ，c + a = 5k ，

sinA ： sinB ： sinC = a ： b ： c= 3 ： 5 ： 7 。

2 22(5 ) (( 7 )cos

3

2 3 5

)r

r

rr

rC

1cos

2C

(2) 令 a = 3r， b = 5r， c = 7r ，

C = 120 。 ＃＃

5 4 6ABC AB BC CA 中， ， ， ，AEG BG 求 的面 積與 的長度。

2 225cos

46

5 62ABC

中 ，

7s

4in 。

1sin 180

25 6AEG 面積

1 7

25 6

4

2 2 2 2 c5 6 5 6 os(90 )ABG BG 中 ，

61 60s ( )in

61 607

( )4

61 15 7BG 。

3

4

。

C

A

B

65

D 4

E F

G

6

5

cos( ) cos( )2 2

( ) )sin(

5. 範例：均為正方形，

解：

若 □ ABDE 、□ ACFG

15 7

4

。

61 15 7 ＃＃

2

a b cs

且 ，

2si1

s2 2

n 1 cobc

bc A A

2 2 22 21 ( )

2 2

bc b c a

bc

2 2 2 2 2 2

(1 )(1 )2 2 2

bc b c a b c a

bc bc

2 2 2 2 2 22 2( )( )

2 2 2

bc bc b c a bc b c a

bc bc

2 2 2 2 2 22 2

16

b bc c a a b bc c

2 22 2

16

b c a a b c

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

b c a b c a a b c a b c

( )( )( )2

s s s sa b c

a b c s

，其中 。

( )( )( )ABC a bs s s cs 則 面 積 。1. 海龍公式：設 ABC 的三邊長為 a ， b 和 c ，

證明： ABC 的面積

四、正餘弦定理的應用四、正餘弦定理的應用

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

6 5 3ABC AB BC CA 設 的三邊長分別為 ， ， ，

67

5 3

2s

半周長

7( 6)( 5)7 ( 3)7 7ABC 面積

2 14 。

求 ABC 其面積。

解：

馬上練習：

2

a b cs

且 ，

( )( )( )ABC a bs s s cs 則 面 積 。

海龍公式：設 ABC 的三邊長為 a ， b 和 c ，

本段結束本段結束

2 2BD AC

2 2( 2 cos )a b ab CBA

2 22 2 2 cos cos(180 )a b ab DAB DAB

D

A B

C

a

b b

a

2 2( 2 cos )a b ab DAB

2. 平行四邊形定理：平行四邊形的二對角線長的平方和等於四邊平方和

。

證明：

= 2a2 + 2b2 。Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

D

A B

C

a

b b

a平行四邊形定理：

等於四邊平方和。平行四邊形的二對角線長的平方和

2 2 222 2ACB bD a 即 。

4 6 8ABC AB AC BC 中， ， ， ，

D BC AD為 中點，求中線 的長。

AD x令

10AD x 。

2 2 222( )ABAE CBC A

馬上練習：

解：

(2x)2 + 82 = 2(42 + 62)

C

A

B8

64

D

E

xx

xx6 4

＃＃

(1) : :ABC A BC D AB AC BD CD 中， 的內角平分線交 於 ，則 。

(1) DP AB DQ AC DP DQ 作 ， 。

: :2 2

AB DP ACABD

QACD

D

: : ( )ABD ACD BD CD 又 同高

: :AB AC BD CD所 以 。

A

B CD

QP

o o

hh

:AB AC

(2) : :ABC A BC E AB AC BE EC

中， 的外角平分線交 於 ，則 。

(2) / /CP AE 作 ，A

B C E

ooooP oo

oo APC ACP

: :ACB APA AB :BE EC 。

AAP C

3. 角平分線：

證明：( 角平分線任一點到角的兩邊等距離 )

本段結束本段結束

ABC A BC D 中， 的分角線交 於 ，

4 6 5AB AC BC AD 已知 ， ， ，求 的長。

32: : :BD CD AB AC

AD x令 ，2 2 2

cos2

4 2

4 2ABD B

x

中 ， ，

2 2 25co

4

4s

5

6

2ABC B

中 ， ，

2 22 22 2 5

2 2 5

64 2 4

4 2 4

x

3 2x 解 得 。

A

B CD2 3

4 6

x

4. 範例：

解：

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

10 5 7AB AC BC AE 已知 ， ， ，求 的長。

: : 10 : 5BE EC AB AC

AE x 令 ，

2 22

cos10 7

1 72 0

5ABC B

中 ， ，

2 22 14cos

10

41 102ABE B

x

中 ， ，

22 22 2 210 7 1 140

10 7 10 4

5

12 2

x

4 3x 解 得 。

A

B C E

10

7 7

x

馬上練習： ABC 中，若 A 之外角平分線交直線 BC 於 E ，

解：= 2 ： 1 。 55

＃＃

D BD AD BAC 為 邊 上一點且 平分 。

5 7 60BD DC ABC 已知 、 ，且 。(1) sin (2) sin (3)ACB BAC AB 試 求 之值 試 求 之值 試 求 邊之長。

: : 5 7:AC BBD CAD ，2 22(5 )12

cos2 12

(

560

7 )AB

k

kC

k

中 ， ，

21 144 24

2 120

k

k

155

2AB k

，

152(1)

sin sin 6

2

0

12ABC

ACB

中，由正弦 定理得 5

sin 314

ACB 。

12(2)

sin

212

sin 60ABC

BAC

中，由正弦 定理得 4

sin 37

BAC 。

53)

2(

1AB 。

A

B CD5 7

5k 7k

6060

解：

<101 數甲 >5. 範例：在 ABC 中，

34 ( )

2k

， 負不合

217

2AC k

。

＃＃

15

2

21

2

6 4 3ABC AD BE CF 設 的三高分別為 ， ， ，

BCAB bc CAa 令 ， ，1 1 1

2 2 2AD ba cBE CF

6 4 3a cb 1 1 1

: : : : : 3 :6 4

2 43

a cb

2 2 2( ((3 )cos

2

2 ))

43

4kBC

k

kA

kA

k

中 ， 7

8

27s 1 ( )

8inA 8

15k 。

31

24ABC k 面積

86 6

15k

BA

C

4k

2k3k33

F

6. 範例：求 ABC 的面積。

解：

c

ab

3

3

k

16 15

5 。

15

8

＃＃

310 9 cos

8ABC AB AC BAC 中， ， ， ，

P Q AB AC 設點 、 分 別在 、 上，

PQ求 之最小可能值。

AP x AQ y 令 ，1

sin2

Q xyAP 面積

45xy 。2 2 2 2 cosx yAP PQ xyQ 中 ，

2 2 32 45

8x y

2 2 1352

4x y

1352 45

4

15

2PQ 所 求 。

BA

C

10

9

P

Q

y

x

使得 APQ之面積

2 22 2

2

x yx y

。

解：

7. 範例：

為 ABC 面積之一半， < 98 學測 >

1 1( 10 9 i

2 2s n )

∵ 算幾不等式

225

4 。 本 節 結 束本 節 結 束

6CD AD ，求 的長。

sin 45 sin 30A

CC

DD

A D

中 ，

61

2

2

2AD

C

A

B

D

45 30

6

30

45

6 2 。

馬上練習：如右圖， ABCD 為圓內接四邊形。若 DBC = 30 ， ABD = 45 ，

解： DAC = DBC = 30 ，

ACD = ABD = 45 ，

＃＃