Upload
namsu-park
View
214
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
1/20
xσ
yσ
z σ
yxτ
yz τ xyτ
xz τ
zxτ
zy
τ
Chapter.2 Stress and Strain
김 대 영
E-mail: [email protected]
HP: 010-9249-5551
바이오시스템공학과2014년도 2학기 강의자료 (고체역학)
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
2/20
1. 응력(Stress)
1F
2F
3FS
1F
2F
3F
1F
2F
3F''S
'
S '
S
•
Sample S - 평형상태- 무게는 다른 외력들에 비해 무사할만 하다
• 고립된 면 S’에는 힘 F3를 제외한 F1과 F2가 작용함
• 힘의 평형상태를 유지시키기 위해서는 S’’부분에 의한
힘들이 평면 P에 가해져야 한다.
-> 재료를 결합시키는 힘: 내력
0321 F F F Spring
element
벡터를 사용한 각 결합력의표현 가능
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
3/20
2. 표면응력, 수직응력, 전단응력
• : 표면응력 (traction: 표면력, 응력벡터) – 벡터함수
• 압력은 스칼라 함수이다.
• 단면 A상의 힘들은 임의의 방향으로 작용할 수 있기에 벡터
함수를 사용한다.
• 단면 A상의 한점에서 표면응력의 값은 벡터이므로 단면 A에
대한 수직 성분과 접선 성분으로 나눌 수 있다.
: 수직응력 (normal stress)
: 전단응력 (shear stress)
t
dAdAdA ,,t : 힘의 개념
각 응력의 단위: 힘/면적
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
4/20
2. 표면응력, 수직응력, 전단응력• SI 단위: Pa, KPa, MPa, Gpa
• 미국 상용 단위계: pis (pounds per square meter), psf (pounds per square foot), ksi (kips per square inch), ksf (kips
per square foot)
• 고체 재료의 응력: 원자들의 결합력을 제거하기 위한 내부 힘의 개념
• 기체 속의 내력: 원자나 분자들 사이의 열운동으로 인해 발생하는 서로간의 충돌력
• 고체, 유체, 열 등에 대해서도 동일한 방법으로 내력들을 표현할 수 있다.
• 수직응력은 인장시에 양의 값으로 정의되는데 반하여 압력은 압축시에 양의 값으로 정의된다.
p
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
5/20
3. 평균응력• 응력 성분들(수직응력, 전단응력)은 단면 A상의 위치의 함수로서 어떻게 결정할 수 있을까?
• 응력해석: 어떤 재료 속의 주어진 평면 P에 대한 응력분포를 평가
• 평행상태에서 단면 A에 작용하는 표면응력 t의 평균값
A dA At
1tav
avt 평균표면응력(average traction)
av 평균수직응력(average normal stress)
av 평균전단응력(average shear stress)
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
6/20
4. 축하중을 받는 막대(봉) 속의 평균수직응력• 전 길이에 걸쳐서 단면이 일정한 직선 막대: 균일하다 (prismatic) – Ex.) 삼각형의 유리 프리즘
• 평균수직응력은 축하중에 비례하고 막대의 단면적에 반비례
• 막대의 축을 따르는 평면 P의 위치에 무관함
0av P A
A
P av
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
7/20
5. 핀 속의 평균전단응력• 핀지지: 축하중 F 를 받는 막대 고정
• A : 핀의 단면적
02 av A F A
F
2av
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
8/20
6. Example 2-1• 어떤 트러스가 10kN의 하중을 지지하고 있다. 그 부재들은 반경이 40mm이고 중실 원통형 막대이다. 평면 P에 작용하는
평균수직응력과 평균전단응력을 구하여라.
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
9/20
6. Example 2-1• BC부재의 축력 결정 – 연결점(조인트) C의 자유물체도 작성
• 평면 P의 좌측에 있는 부재 BC 일부분을 고립시키고, 평균 수직 및 전단 응력에 의해서 가해진 힘들을 표시하여 자유물체도
작성
• 평면 P에 수직 및 접선 방향으로의 좌표계 설정후 x,ㅛ 방향으로 힘들을 합합으로써 응력에 의한 힘들로 표시된 간단한
평형방정식을 얻을 수 있음
01030sin
030cos
CD y
CD BC x
P F
P P F
kN20
kN3.17
CD
BC
P
P
030sin3.17
030cos3.17
av
av
A F
A F
y
x
kN66.8
kN15
av
av
A
A
2
2
m00580.0
)04.0(30cos
A
A
MPa49.1
MPa58.2
av
av
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
10/20
7. Example 2-2• 트러스의 연결점 C에 대한 세부도가 그려져 있고, 그 연결은 20mm 반경의 핀으로 되어 있다. 그 핀 속의
평균전단응력은 얼마인가?
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
11/20
7. Example 2-2• 앞의 예제로부터 부재 BC의 축력은 17.3kN의 압축 하중이 작용하는 것을 알고 있다.
• 연결점 C의 핀 구조물과 BC 부재의 일부분에 대한 자유물체도 작성 – 17.3kN의 압축력은 핀 속의 평균 전단응력들에 의해
지지됨
• 부재 CD의 자유물체도를 사용하여 핀 속의 평균전단응력을 결정할 경우 – 앞의 예제로부터 부재 CD는 20kN의 인장력 작용
단면적을 고려한 후 계산하면,
MPa89.6
m00126.0)02.0(
kN66.8
023.17
av
22
av
av
A
A
A
kN66.8
01030sin20sin2
030cos20cos2
av
A
A F
A F
av y
av x
MPa89.6av
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
12/20
8. Example 2-3• 충분한 힘 F를 펀치에 가하여 평판으로부터 원형 블랭크를 따내기 위한 배치를 보여주고 있다. 평판의 두께는 t이고,
펀치와 평판 밑의 원공의 지름은 D이다. 펀치에 힘 F를 가했을 때, 평판 속에 발생되는 평균전단응력의 크기는 얼마인가?
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
13/20
8. Example 2-3• 펀치를 통과하는 지름 D 의 평판 컷을 통해 자유물체도 작성
• 자유물체도상의 힘 F는 원통 형상으로 잘려진 평판 요소의 표면에 작용하는 수직 방향의 전단응력에 의하여 지지됨
D F
F Dt
F A
av
av
av
0))((
0
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
14/20
9. Example 2-4• 직사각형 단면 A에는 수직응력 처럼 분포하고 있다. (a) 최대수직응력; (b) 총수직력; ©
평균수직응력을 구하라.
22lb/in200 y
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
15/20
9. Example 2-4
• 수직응력은 y 가 증가함에 따라 증가하므로, 최대치는 y =6in에서 발생
• 수직응력은 y 에만 의존하므로, 총수직력은 수평띠 형상의 면적 요소 dA에 대한 적분을 통해 구할 수 있음
• 평균응력은 총수직력을 면적 A로 나눈 것과 같다.
• 최대수직응력이 평균수직응력의 3배
• 평균응력만을 설계에 적용하기에 불충분한 이유임 -> 응력의 실제적인 분포를 알 필요가 있음
22
max lb/in7200)6)(200(
최대 수직응력
총수직응력
lb000,57
3800
)4()200(
6
0
3
6
0
2
y
dy ydA A
총수직응력
2lb/in400,2
)600,57()6)(4(
1
1
Aav dA A
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
16/20
10. 변형률 (Strain): 신장변형률
• 물체는 외력을 받으면 변형한다(deform).
• 주어진 물체의 형상과 그 형상 변화를 어떻게 이론적으로 묘사할 수 있을까?
• 전체적인 형상 변화가 아닌 물체의 어떤 한 점 부근의 재료에 어떤 변화가 생길지를 생각!!
• 신장변형률은 재료가 변형시 얼마나 많이 수축하는지 혹은 인장하는지를 측정
- 수축 (-), 인장 (+)
- 무차원 (non-dimensional) / 재료속의 위치에 따라 변화
- 기준상태(reference state) 혹은 초기상태에 관해 압축과 신장
dL
dLdL
'
: 미소길이
: 변화된 미소길이
: 신장변형률 (extensional strain: 수직변형률, 종방향변형률)
dL
'dL
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
17/20
10. 변형률 (Strain): 신장변형률
L ' L
• 변형 전의 주어진 점과 방향에 해당되는 값을 안다면?
• 유한 선분의 길이를 L 이라고 하면, 변형상태에 있는 선분의 길이 L’ 는?
• 만약 의 값이 선분을 따라 균일하다면, 길이변화는?
dLdL )1('
L L dL LdL L )1('
L dL L L '
L L L '
: 유한 선분의 길이에 대한 변형량
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
18/20
11. 전단변형률 (Shear strain)
1dL2
dL2
'1dL
'2
dL
2
• 미소 선분 과 사이의 각이 변형후 갖게 되는 각을 로 표현하면, 이 각은 양의 값, 음의 값을 가질 수 있다.
• : 전단변형률 (shear strain, 횡방향 변형률)
- 기준상태에서 수직이었던 두 선분들 사이의 각도 변화에 대한 척도
- 라디안 각도로서 무차원
2dL1dL
1dL
2dL
2
2
2
'1dL
'2
dL
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
19/20
12. Example 2-5
• 하중을 받지 않는 상태에서의 어떤 막대의 길이 L=2m이다.
• (a) 막대는 축하중을 받아 길이가 2.04m로 증가되었다. 만약 막대의 길이 방향으로의 신장변형률 이 막대 길이 전체에
걸쳐서 일정하다면, 은 얼마인가?
• (b) 막대의 한쪽 끝을 매달아 길이가 2.01m로 증가되었다. X방향으로의 신장변형률 (a는 일정)으로
주어진다면,, a의 값은 얼마인가?
Lax /
P P
2.04m
x
y
2.01m
(a) (b)
02.0
)2(04.0
)2(204.2
'
L L L
01.0
22
01.0
2201.2
'
2
0
2
2
0
a
a xa
dxax
dL L L L
8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain
20/20
12. Example 2-6
• 기준상태에 있는 어떤 재료의 한 점에서의 미소 직사각형을 생각하자. 과 방향으로의 신장변형률을 , 라
하고, 과 방향에 관한 전단변형률을 라 하자. 대각선 방향으로의 신장변형률은 얼마인가?
1dL
2dL 1 2
1dL 2dL dL
1dL
2dL
'1dL
'2dLdL 'dL
sin)1()1(
cos)1()1(
222
'
2
111
'
1
dLdLdL
dLdLdL
2
'dL
'2dL
'1dL
2cos''2)()()'( 21
2
2
2
1
2 dLdLdLdLdL코사인 법칙으로부터
2cossin)1(cos)1(2sin)1(cos)1()'( 21
2
2
2
1
2 dLdLdLdLdL
2
21
22
2
22
12cossincos)1)(1(2sin)1(cos)1( dL
12
cossincos)1)(1(2sin)1(cos)1('
21
22
2
22
1
dL
dLdL