Основы регистрации данных и планирования эксперимента

Л.А. Славутский

Основы регистрации данных и планирования эксперимента. Учебное пособие: Изд-во ЧГУ, Чебоксары, 2006, 200 с.

В учебном пособии в сжатом виде изложены начальные сведения по методам и средствам измерений, обработке экспериментальных результатов. Особое внимание уделено оценке погрешностей измерений и статистическому анализу случайных экспериментальных данных. Рассматриваются основы теории регистрирующих приборов и планирования эксперимента. Курс позволяет студентам приобрести начальные знания о принципах экспериментальных измерений, методах аналоговой и цифровой обработки соответствующей информации.

Пособие написано на основе курса лекций, прочитанных автором на кафедре управления и информатики в технических системах ЧГУ. Рассчитано на студентов любых технических специальностей, прослушавших курс общей физики и высшей математики.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТА И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

1.1. Моделирование и экспериментальные измерения

1.2. Пассивный и активный эксперимент

1.3. Однофакторный, многофакторный и полный факторный эксперимент

ГЛАВА 2. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

2.1. Классификация погрешностей измерений

2.2. Вероятностная оценка случайной погрешности

2.3. Обработка результатов прямых, косвенных и совместных измерений

ГЛАВА 3. . ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

3.1. Построение функциональной зависимости при однофакторном эксперименте

3.2. Быстрые методы построения функциональных зависимостей

3.3. Сглаживание экспериментальных временных рядов

ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЕГИСТРИРУЮЩИХ ПРИБОРОВ

4.1. Спектральные и временные преобразования

4.2. Типы регистрирующих приборов

4.3. Модуляция и преобразование сигналов

4.4. Выбор средств измерений по быстродействию

4.5. Дискретизация сигналов и цифровые измерительные приборы

ГЛАВА 5. РЕГИСТРАЦИЯ И АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

5.1 Характеристики случайного процесса

5.2. Колебания, модулированные шумом (квазигармонический процесс)

5.3. Импульсные случайные процессы

5.4. Выбросы случайных процессов и методы их детектирования

5.5. Корреляционный прием и адаптивная фильтрация

ГЛАВА 5. РЕГИСТРАЦИЯ И АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

6.1. Корреляционные связи и факторный анализ данных при пассивном эксперименте

6.2. Основы планирования многофакторного эксперимента

6.3. Планирование эксперимента при оптимальных условиях

6.4. Планирование эксперимента по определению динамических характеристик объекта

Список литературы.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТА И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА.

1.1 Моделирование и экспериментальные измерения.Одной из главных задач эксперимента является получение и проверка математической модели

объекта, описывающей в количественной форме взаимосвязи между входными и выходными параметрами объекта. Входные параметры, которые могут быть изменены, называют факторами. Для каждого фактора до измерения устанавливается область определения, которая может быть непрерывной и дискретной. Часто непрерывная область определения искусственно дискретизируется. В теории планирования эксперимента объект исследований принято представлять в виде «черного ящика», а его математическая модель описывает функциональные связи между входными и выходными параметрами. Главными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям объектов являются удобство математического использования и интерпретируемость модели. Кроме того, всегда должны быть обозначены пределы применимости модели. Если эти требования не выполняются, то при использовании и экспериментальной проверке моделей неизбежно возникают методические погрешности, и погрешности адекватности, которые будут рассмотрены в следующей главе.

Можно выделить следующие задачи проверки моделей (рис.1.1):1. Построить «черный ящик», который будет нужным образом откликаться на заданное

входное воздействие.2. Имея «черный ящик», зная входные и выходные сигналы, получить (смоделировать) его

содержимое.

Рис. 1.1

Суть процесса моделирования можно пояснить на примере анализа электронной схемы, в результате которого будут получены определенные выходные сигналы. Можно проверить модель, собрав экспериментальную схему и сняв реальные выходные сигналы. При этом неизбежны расхождения между сигналами модельными и реальными. Чтобы выяснить причины расхождения, необходимы эксперименты с отдельными элементами схемы.

Необходимая корректировка модели может быть выполнена следующим образом:1. Проверка расхождений — экспериментальная проверка характеристик всех элементов и их

сравнение с модельными.2. Исправление характеристик отдельных элементов в исходной модели.3. Сопоставление полученных зависимостей с экспериментальными (исходными).

Таким образом, построение и проверка модели, адекватно описывающей работу электронной схемы, в общем случае требует очень большого количества экспериментальных измерений. Планирование эксперимента позволяет оптимизировать число измерений.

Например, электронная схема состоит из транзисторов, резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности. Если номинальные значения пассивных электронных элементов (резисторов, конденсаторов и т.д) совпадают с их реальными значениями с необходимой точностью, то несовпадение между модельными и реальными сигналами чаще всего возникает из-за несоответствия реальных рабочих характеристик активных элементов (транзисторов, микросхем и

вход

вв

выход

вв

«черный

т.д.). Поэтому опытные схемотехники подвергают проверке лишь отдельные узлы схемы, по сути интуитивно планируя эксперимент исходя из своего опыта и используя априорную информацию.

Рассмотрим пример моделирования простейшего четырехполюсника, осуществляющего выделение огибающей (детектирование) радиосигнала (рис.1.2).

Четырехполюсник состоит из двух простейших схем:

1. детектора на диоде Д с выходным резистором 1R .

2. интегрирующей цепи CR2 .

Рис.1.2Сигналы на выходе детектора АВ и выходе интегрирующей цепи показаны на рис.1.3. Здесь

кривые 1 и 2 соответствуют различным вольтамперным характеристикам (ВАХ) диода. Детектор отрезает отрицательные полупериоды сигнала, а интегрирующая цепь – выделяет его огибающую.

Качество выделения огибающей будет определяться отклонением ∆ от «идеального» сигнала.

Рис. 1.3

Величина ∆ в свою очередь зависит от характеристик, как детектора, так и интегрирующей цепи. В детекторе она будет определяться вольтамперной характеристикой (ВАХ)

диода Д , а в интегрирующей цепи - соотношением между емкостью конденсатора C и

сопротивлением 2R .Как видно из рис.1.3, амплитуда выходного сигнала детектора, соответствующая ВАХ-1,

выше, что неизбежно приведет к увеличению ∆ в результирующем сигнале. С другой стороны,

уменьшение емкости конденсатора интегрирующей цепи также приводит к увеличению ∆ . При моделировании схемы несовпадение между расчетными и реальными сигналами требует внесения корректировки в характеристики, задаваемые в модели.

В общем случае четырехполюсник может рассматриваться как объект, схема которого показана на рис.1.4. Характеристики отдельных элементов схемы (ВАХ диода и величины остальных пассивных элементов) могут считаться фиксированными параметрами (управляющими). В зависимости от плана эксперимента эти параметры можно рассматривать и как входные (факторы), которые задаются дискретно.

Д

Д

R2

2

C

C

R1

11

A

A

B

B

вх

в

вых

в

U

U

1I

I

2

22

Δ

ΔΔ

Δ’

’’

Рис. 1.4Экспериментальные измерения принято разделять на три основных вида:

1) прямые измерения, при которых непосредственно регистрируются значения измеряемой

величины (например, измерение напряжения U вольтметром);

2) косвенные измерения (например, измерения силы тока I амперметром, активного

сопротивления R омметром и расчет RIU = );

То есть косвенные измерения — это получение величины ( ),..., 21 xxfy = по измеренным

значениям ,..., 21 xx .

3) совместные измерения (например, измерения напряжения U и силы тока I при разных

значениях I и построение результирующей зависимости ( )IUU = );То есть совместные измерения — это измерения двух или нескольких неодноименных

величин для построения зависимости между ними.Планирование эксперимента предполагает не только оптимизацию числа измерений, но и

уменьшение экспериментальных погрешностей. Поэтому значительную часть математического аппарата теории планирования эксперимента составляют теория ошибок, теория вероятностей и математическая статистика.

1.2. Пассивный и активный экспериментТеория предполагает, что эксперимент может быть пассивным и активным. При пассивном эксперименте информация об исследуемом объекте накапливается путем

пассивного наблюдения, то есть информацию получают в условиях обычного функционирования объекта. Активный эксперимент проводится с применением искусственного воздействия на объект по специальной программе.

При пассивном эксперименте существуют только факторы в виде входных контролируемых, но неуправляемых переменных, и экспериментатор находится в положении пассивного наблюдателя. Задача планирования в этом случае сводится к оптимальной организации сбора информации и решению таких вопросов, как выбор количества и частоты измерений, выбор метода обработки результатов измерений.

Наиболее часто целью пассивного эксперимента является построение математической модели объекта, которая может рассматриваться либо как хорошо, либо как плохо организованный объект. В хорошо организованном объекте имеют место определенные процессы, в которых взаимосвязи входных и выходных параметров устанавливаются в виде детерминированных функций. Поэтому такие объекты называют детерминированными. Плохо организованные или диффузные объекты представляют собой статистические модели. Методы исследования с использованием таких моделей не требуют детального изучения механизма процессов и явлений, протекающих в объекте.

ВХ В

Ы

ВА

ААААААААА

Примером пассивного эксперимента может быть анализ работы схемы, которая не имеет входов, только выходы, и повлиять на ее работу невозможно.

Хорошим примером пассивного эксперимента с диффузным объектом являются измерения метеорологических параметров (температуры, скорости ветра и т.д.) при природных катаклизмах.

Активный эксперимент позволяет быстрее и эффективнее решать задачи исследования, но более сложен, требует больших материальных затрат и может помешать нормальному ходу технологического процесса. Иногда отсутствует возможность проведения активного эксперимента (например, при исследовании явлений природы). Тем не менее, учитывая преимущества активного эксперимента, тогда, когда это возможно, предпочтение отдают ему.

При активном эксперименте факторы должны быть управляемыми и независимыми.Активный эксперимент предполагает возможность воздействия на ход процесса и выбора в

каждом опыте уровней факторов. При планировании активного эксперимента решается задача рационального выбора факторов, существенно влияющих на объект исследования, и определения соответствующего числа проводимых опытов. Увеличение числа включенных в рассмотрение факторов приводит к резкому возрастанию числа опытов, уменьшение - к существенному увеличению погрешности опыта. Фактор считается заданным только тогда, когда при его выборе указывается его область определения – совокупность значений, которые может принимать данный фактор. В эксперименте используется ограниченная часть области определения, задаваемая обычно в виде дискретного множества уровней. Выбранные факторы должны быть однозначно управляемыми и операциональными, то есть поддающимися регулированию с поддержанием на заданном уровне в течение всего опыта при соблюдении последовательности необходимых для этого действий. Должна быть назначена также точность измерения факторов в выбранном диапазоне измерения.

Совокупности факторов должны отвечать требованиям совместимости и независимости. Соблюдение первого требования означает, что все комбинации факторов осуществимы и безопасны, второго - возможность установления фактора на любом уровне независимо от уровней других факторов.

1.3. Однофакторный, многофакторный и полный факторный эксперимент

Различные виды экспериментов схематично представлены на рис.1.5.

а б в

Рис. 1.5

Однофакторный пассивный эксперимент проводится путем выполнения n пар измерений в

дискретные моменты времени единственного входного параметра x и соответствующих значений

выходного параметра y (рис.1.5,а). Аналитическая зависимость между этими параметрами вследствие случайного характера возмущающих воздействий рассматривается в виде зависимости

математического ожидания y от значения x , носящей название регрессионной. Целью

X

XX

Y

YY

x

xx

1

11

Y

YY

x

xx

2

22

.

..

.

..

.

..

объект

о

….

.

Wi

i

W2

2

W

X2

2

X1

1

.

.

.

.

Xi

ii

Y

YY

однофакторного пассивного эксперимента является построение регрессионной модели -

установление зависимости ( )xfy = .Многофакторный пассивный эксперимент проводится при контроле значений нескольких

входных параметров ix (1.5,б) и его целью является установление зависимости выходного

параметра от двух или более переменных ( ),..., 21 xxFy = .Полный факторный эксперимент предполагает возможность управлять объектом по одному

или нескольким независимым каналам (см. рис.1.5,в). В общем случае, схема эксперимента может быть представлена в виде, представленном на

рис.1.5, в. В схеме используются следующие группы параметров:

1. управляющие (входные ix )

2. параметры состояния (выходные Y )

3. возмущающие воздействия ( iW )

При многофакторном и полном факторном эксперименте выходных параметров может быть несколько. Пример такого пассивного многофакторного эксперимента будет рассмотрен в шестой главе настоящей книги.

Управляющие параметры ix представляют собой независимые переменные, которые можно изменять для управления выходными параметрами. Управляющие параметры называют

факторами. Если 1=i (один управляющий параметр), то эксперимент однофакторный. Многофакторный эксперимент соответствует конечному числу управляющих параметров. Полный факторный эксперимент соответствует наличию возмущающих воздействий в многофакторном эксперименте.

Диапазон изменения факторов ix или число значений, которое они могут принимать

называется уровнем фактора.Полный факторный эксперимент характеризуется тем, что при фиксированных

возмущающих воздействиях iW минимальное число уровней каждого фактора равно двум. В этом

случае, зафиксировав все факторы ix кроме одного, необходимо провести два измерения, соответствующих двум уровням этого фактора. Последовательно осуществляя такую процедуру

для каждого из факторов ix , получим необходимое число N опытов в полном факторном

эксперименте для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов kN 2= , где k -

число факторов.Приведем классический простейший пример планирования эксперимента. Пусть нам

необходимо взвесить на весах три тела разной массы CBA ,, при условии, что нулевое положение весов не отрегулировано. При составлении плана эксперимента принято строить матрицу планирования. В таблице 1.1 приведен план первый план взвешивания. «1» и «-1» соответствуют наличию или отсутствию объекта на весах.

Таблица 1.1

опыта A B C Результаты взвешивания

1 -1 -1 -10y

2 +1 -1 -11y

3 -1 +1 -12y

4 -1 -1 +13y

Эксперимент состоит из четырех опытов. При первом опыте снимаются показания пустых весов и выставляется их нулевое положение, затем отдельно взвешивается каждый из объектов.

Расчет веса и погрешности измерений 2σ каждого из тел производится по следующим формулам:

01 yyA −= ;

02 yyB −= ;

03 yyC −= ; (1.3.1)

[ ] [ ] [ ] [ ]yCBA 2222 2σσσσ === .

Поскольку погрешности независимых измерений складываются, а вес каждого объекта получен в

результате двух измерений, погрешность составляет 22σ .

Оптимально будет провести эксперимент по схеме, показанной в Таблице 1.2. В этом случае взвешивается отдельно каждый из объектов и все объекты вместе. Непосредственное

измерение погрешности 0y не проводят.

В этом случае выигрыш при проведении эксперимента заключается в том, что масса каждого из объектов вычисляется по формулам (1.3.2) , а дисперсия результатов оказывается вдвое меньше. Этот результат получается за счет того, что при втором плане эксперимента смещение нуля измерительной аппаратуры (весов) исключено.

Таблица 1.2

опыта A B C Результаты взвешивания

1 +1 -1 -11y

2 -1 +1 -12y

3 -1 -1 +13y

4 +1 +1 +14y

( )2

4321 yyyyA

+−−=;

( )2

4321 yyyyB

+−+−=;

( )2

4321 yyyyC

++−−=; (1.3.2)

[ ] ( ) [ ] [ ]yyyyyy

A 22

432122

4

4

2σσσσ ==

+−−=

;

[ ] [ ] [ ]yCB 222 σσσ == .Этот пример на простейшем случае показывает возможный выигрыш от изменения плана

эксперимента, т. е. планирование эксперимента позволяет либо уменьшить число измерений, либо увеличить их точность.

ГЛАВА 2. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

2.1. Классификация погрешностей измеренийПогрешность средств измерения и результатов измерения. В первую очередь

погрешность измерений следует разделить на погрешность средств измерений и погрешность результатов измерений.

Погрешности средств измерений - отклонения метрологических свойств или параметров средств измерений от номинальных, влияющие на погрешности результатов измерений (создающие так называемые инструментальные ошибки измерений).

Погрешность результата измерения - отклонение результата измерения измx от

действительного (истинного) значения измеряемой величины 0x , определяемая по формуле

0xxx изм −=∆ - погрешность измерения.В свою очередь погрешности средств измерений можно разделить на инструментальную и

методическую погрешности.Инструментальные и методические погрешности. Методическая погрешность

обусловлена несовершенством метода измерений или упрощениями, допущенными при измерениях. Так, она возникает из-за использования приближенных формул при расчете результата или неправильной методики измерений. Выбор ошибочной методики возможен из-за несоответствия (неадекватности) измеряемой физической величины и ее модели.

Причиной методической погрешности может быть не учитываемое взаимное влияние объекта измерений и измерительных приборов или недостаточная точность такого учета. Например, методическая погрешность возникает при измерениях падения напряжения на участке цепи с помощью вольтметра, так как из-за шунтирующего действия вольтметра измеряемое напряжение уменьшается. Механизм взаимного влияния может быть изучен, а погрешности рассчитаны и учтены.

Инструментальная погрешность обусловлена несовершенством применяемых средств измерений. Причинами ее возникновения являются неточности, допущенные при изготовлении и регулировке приборов, изменение параметров элементов конструкции и схемы вследствие старения. В высокочувствительных приборах могут сильно проявляться их внутренние шумы.

Статическая и динамическая погрешности. Статическая погрешность измерений - погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения, то есть при измерении постоянных величин после завершения переходных процессов в элементах приборов и преобразователей.

Динамическая погрешность измерений - погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения. Динамическая погрешность появляется при измерении переменных величин и обусловлена инерционными свойствами средств измерений.

Статические и динамические погрешности относятся к погрешностям результата измерений. В большей части приборов статическая и динамическая погрешности оказываются связаны между собой, поскольку соотношение между этими видами погрешностей зависит от характеристик прибора и характерного времени изменения величины. Более подробно соотношение между этими погрешностями рассмотрено в главе 4, где описаны виды регистрирующей аппаратуры.

Систематические и случайные погрешности. Систематическая погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Систематические погрешности являются в общем случае функцией измеряемой величины, влияющих величин (температуры,

влажности, напряжения питания и пр.) и времени. В функции измеряемой величины систематические погрешности входят при поверке и аттестации образцовых приборов.

Случайными называют составляющие погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности определяются совместным действием ряда причин: внутренними шумами элементов электронных схем, наводками на входные цепи средств измерений, пульсацией постоянного питающего напряжения, дискретностью счета. Случайные погрешности будут более подробно рассмотрены в следующем параграфе данной главы.

Погрешности адекватности и градуировки. Погрешность градуировки средства измерений - погрешность действительного значения величины, приписанного той или иной отметке шкалы средства измерений в результате градуировки.

Погрешностью адекватности модели называют погрешность при выборе функциональной зависимости. Характерным примером может служить построение линейной зависимости по данным, которые лучше описываются степенным рядом с малыми нелинейными членами.

Погрешность адекватности относится к измерениям для проверки модели. Если зависимость параметра состояния от уровней входного фактора задана при моделировании объекта достаточно точно, то погрешность адекватности оказывается минимальной. Эта погрешность может зависеть

от динамического диапазона измерений, например, если однофакторная зависимость )(xfy = задана при моделировании параболой, то в небольшом диапазоне она будет мало отличаться от экспоненциальной зависимости. Если диапазон измерений увеличить, то погрешность адекватности сильно возрастет.

В целом в теории планирования эксперимента погрешность адекватности может иметь большое значение, поскольку в многофакторных экспериментах чаще всего рассматривается линейная зависимость параметров состояния от факторов.

Абсолютная, относительная и приведенная погрешности. Под абсолютной погрешностью понимается алгебраическая разность между номинальным и действительным

значениями измеряемой величины. )( ),( yyxx ∆∆ - абсолютные погрешности (см.рис.2.1).Однако в большей степени точность средства измерений характеризует относительная

погрешность, т.е. выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой или воспроизводимой данным средством измерений

величины. y

y

x

x ∆∆ ,

- относительные погрешности.Если диапазон измерения прибора охватывает и нулевое значение измеряемой величины, то

относительная погрешность обращается в бесконечность в соответствующей ему точке шкалы. В этом случае пользуются понятием приведенной погрешности, равной отношению абсолютной погрешности измерительного прибора к некоторому нормирующему значению. В качестве нормирующего значения принимается значение, характерное для данного вида измерительного прибора. Это может быть, например, диапазон измерений, верхний предел измерений, длина

шкалы и т.д. Υ∆

Χ∆ yx

, - приведенные погрешности, где Χ и Υ - диапазон изменения величин.

Выбор Χ и Υ в каждом конкретном случае разный из-за нижнего предела (чувствительности) прибора.

Рис. 2.1Класс точности прибора — предел (нижний) приведенной погрешности.Аддитивные и мультипликативные погрешности. Аддитивной погрешностью называется

погрешность, постоянная в каждой точке шкалы.Мультипликативной погрешностью называется погрешность, линейно возрастающая или

убывающая с ростом измеряемой величины.Различать аддитивные и мультипликативные погрешности легче всего по полосе

погрешностей (рис.2.2).Если абсолютная погрешность не зависит от значения измеряемой величины, то полоса

определяется аддитивной погрешностью (рис.2.2, а). Иногда аддитивную погрешность называют погрешностью нуля.

а бРис. 2.2

Если постоянной величиной является относительная погрешность, то полоса погрешностей меняется в пределах диапазона измерений и погрешность называется мультипликативной (рис.2.2, б).

Ярким примером аддитивной погрешности является погрешность квантования (оцифровки).Класс точности измерений зависит от вида погрешностей. Рассмотрим класс точности

измерений 0γ для аддитивной и мультипликативной погрешностей:- для аддитивной погрешности:

X0

0

∆=γ,

где X - верхний предел шкалы, 0∆ - абсолютная аддитивная погрешность.- для мультипликативной погрешности

y

x

xx

y

yy

∆

∆∆

x

xx

∆

∆∆

y

y

x

xx

y

yy

x

x

X

xx )(0

∆=γ.

1=∆x

x

- это условие определяет порог чувствительности прибора (измерений).Абсолютная величина погрешности для обоих типов погрешностей может быть выражена

одной формулой:

( ) xx 00 γ+∆=∆ , (2.1.1)

где 0∆ - аддитивная погрешность, x0γ -мультипликативная погрешность.Относительная погрешность с учетом (2.1.1) выражается формулой

00)( γγ +∆=

xx

,и, при уменьшении измеряемой величины, возрастает до бесконечности. Приведенное

значение погрешности

X

x

Xx 0

0)( γγ +∆

=

возрастает с увеличением измеряемой величины.

Нормирование погрешности средств измерений. Кроме нормирования погрешностей в виде класса точности возникает необходимость нормировать их некоторыми особыми способами. Например, нормирование погрешности цифрового частотомера или моста для измерения сопротивлений. Особенность этих приборов состоит в том, что кроме нижнего порога чувствительности мосты для измерения сопротивлений имеют верхний порог, а для цифрового частотомера погрешность зависит не только от измеряемой величины, но и от времени измерений.

Вопрос об измерении частот и временных интервалов будет рассмотрен ниже.Нормировка при измерении сопротивлений имеет вид:

( )∞∆

++∆= x

xx γγ 0

,

где ∞∆∆ ,0 — нижний и верхний пороги измеряемых сопротивлений.Округление погрешностей обычно осуществляется до десятичного знака, соответствующего

погрешности.

2.2. Вероятностная оценка случайной погрешности

Характеристики статистических распределений. Вероятность P того, что случайная

величина x принимает значения в некотором интервале 21 xxx ≤≤ записывается в виде

∫=≤≤2

1

21 )()(x

x

dxxxxxP ρ, (2.2.1)

где )( xρ называется плотностью распределения вероятности случайной величины x . Для

краткости функцию )( xρ часто называют статистическим распределением. Поскольку x

находится в интервале ∞<<∞− x с вероятностью равной единице, функция )( xρ удовлетворяет условию нормировки

1)( =∫∞

∞−

dxxρ. (2.2.2)

С учетом статистического распределения случайной величины ее среднее значение вычисляется по следующей формуле:

∫∞

∞−

⋅= dxxxx )(ρ. (2.2.3)

Если из генеральной совокупности всех возможных значений непрерывной случайной величины

x осуществляется конечная выборка дискретных значений nxxx ..., 21 , то элементарный расчет среднего значения по формуле

∑=

=n

iix

nx

1

1

(2.2.4)

соответствует определению среднего (2.2.3) только при constx =)(ρ . Таким образом, даже для

оценки точности вычисления средней величины x необходимо учитывать форму статистического распределения исходных данных.

Статистические распределения принято оценивать по значениям их моментов. Моменты случайных величин, найденные без исключения систематических составляющих, называются начальными, а моменты для центрированных распределений — центральными.

Центральный момент k -го порядка для непрерывной случайной величины рассчитывается по формуле

( ) ( )∫+∞

∞−

−= dxxxxM kk ρ

, (2.2.5)

при этом 1M - математическое ожидание; 2

2 σ=M - дисперсия (для конечной выборки —

среднеквадратичное отклонение (СКО)); 3M характеризует асимметрию распределения, а

безразмерный коэффициент асимметрии 33

σM

A = есть третий центральный момент, поделенный

на СКО; 4M характеризует протяженность распределения, отношение 44

σM

E = - эксцесс,

-характеризует остроту вершины распределения.Наиболее широкое распространение при обработке экспериментальных данных получил

центральный момент второго порядка 2M который повсеместно используют для оценки

погрешностей измерений. Для конечной выборки (конкретного числа отсчетов n ) СКО принято рассчитывать по следующей формуле:

( )∑=

−−

===n

ii xx

nMxD

1

222 1

1)( σ

. (2.2.6)

Эта формула, как и формула (2.2.4) для вычисления x , не учитывает форму распределения и не является строгой. Ее широкое использование обусловлено двумя основными причинами:

1. Это наиболее простая возможность оценить рассеяние случайной величины.

2. Значения случайных величин при экспериментальных измерениях имеют статистическое

распределение, близкое к нормальному (гауссову), а для этого распределения

среднеквадратичное отклонение D и квадрат дисперсии 2σ совпадают.

Оценку асимметрии и эксцесса при конечной выборке n осуществляют по следующим формулам

( )3

1

3

σn

xxA

n

ii∑

=

−=

, (2.2.7)

( )3

41

4

−−

=∑

=

σn

xxE

n

ii

. (2.2.8)Число 3 в формуле (2.2.8) определяет эксцесс нормального распределения. Если эксцесс распределения отрицательный, то вершина функции распределения острее, чем у нормального распределения.

Определение этих характеристик распределений (моментов) называется точечными оценками, которые характеризуют распределение достаточно грубо.

Пусть в процессе экспериментальных измерений регистрируется сразу несколько случайных

величин ..., 21 xx , каждая из которых имеет свое среднее значение ..., 21 xx и дисперсию ..., 21 σσ .

Многомерная случайная величина ...),( 21 xxX = будет иметь многомерное распределение

вероятностей ...),( 21 xxρ с условием нормировки

1......),( 2121 =∫∞

∞−

dxxdxxρ.

Величины ..., 21 xx считаются статистически независимыми, если )...()(...),( 2121 xxxx ρρρ =

. Но эти величины могут быть статистически связаны, и для численной оценки этой связи двух случайных величин принято использовать смешанный момент второго порядка который называют корреляционным моментом или ковариацией.

Для расчета корреляционного момента 21 ,xxK используется следующая формула:

21212211, )())((21

xxxxxxxxK xx −=−−=, (2.2.9)

где черта сверху означает статистическое усреднение соответствующего выражения. Корреляционный момент есть смешанная дисперсия двух величин, поэтому для расчета

коэффициента корреляции R используется нормировка на дисперсию каждой из случайных величин:

21 ,21

1xxKR

σσ=

. (2.2.10)Коэффициент корреляции меняется в пределах от -1 до +1 и определяет степень связи случайных величин.

Правила сложения случайных погрешностей. При сложении погрешностей в сложных измерительных системах необходимо учитывать, насколько эти погрешности статистически независимы или коррелированы. Из приведенных выше формул может быть получено следующее правило сложение погрешностей двух случайных величин:

( ) ( ) ( )21 ,2121 2 xxKxDxDxxD ++=+, (2.2.11)

а дисперсия их суммы 2221

21 2 σσσσσ ++= R .

Таким образом, складывать СКО необходимо с учетом того, насколько случайные погрешности коррелированы.

Если:

1) 1=R , то 21 σσσ +=;

2) 1−=R , то 21 σσσ −=.

Как правило, при сложении погрешностей их делят на две группы: коррелированные и некоррелированные. Разделение на большее число групп (некоррелированные, слабо коррелированные, сильно коррелированные) слишком трудоемко. Поэтому на практике

коррелированными погрешностями считаются те, у которых 7,0≥R

, остальные — некоррелированные.

Рассмотрим пример коррелированных погрешностей. Пусть измеряется зависимость

активного сопротивления r металлического проводника (длина l , площадь сечения S ) от

температуры t . Полученная экспериментально зависимость )(tr используется для проверки

известной зависимости удельного сопротивления металлов ρ от температуры

)1(0 tαρρ += . (2.2.12)

Для вычисления ρ по экспериментальным данным приходится использовать размеры

проводника: l

Sr=ρ

. Но размеры проводника, также как и его удельное сопротивление, зависят от температуры по законам теплового расширения. На построение зависимости (2.2.12) будут

влиять погрешности измерения Sltr ,,, , но погрешности в измерении Slr ,, при разных значениях температуры неизбежно будут связаны (коррелированы).

Центральная предельная теорема и распределение Гаусса. Как уже отмечалось, в подавляющем большинстве случаев считается, что случайные погрешности экспериментальных измерений имеют нормальное (гауссово) статистическое распределение. Этот факт имеет математическое обоснование в виде центральной предельной теоремы (ЦПТ – теорема):

Пусть случайная величина x представляет собой сумму случайных величин iy , т.е.

.......21 nyyyx +++= Если iy статистически независимы, то при их произвольном

распределении и ∞→n их сумма x имеет нормальное распределение с плотностью вероятности

−−=2

2

2 2

)(exp

2

1)(

σπσρ xx

x. (2.2.13)

Зависимость )(xρ имеет колоколообразную форму с вершиной в точке x и полушириной σ.

Таким образом, широкое распространение нормального статистического распределения имеет глубокую физическую природу: если случайная величина зависит от большого числа случайных факторов, то она имеет нормальное распределение вне зависимости от характеристик каждого из этих факторов.

Построение функциональных зависимостей при многократных измерениях. Пусть

необходимо построить зависимость )(xfy = в том случае, если каждому значению x

соответствует набор значений iy . В практических задачах в результате эксперимента имеется

набор точек с координатами ii yx , , как это показано на рис.2.3.

Наиболее очевидный и традиционный способ построения зависимости ( )xfy =

заключается в следующем: для каждого значения x в определенном интервале находится среднее

значение по n попавшим в интервал точкам

∑=

=n

iiy

ny

1

1

и рассчитывается среднеквадратичное отклонение D=σ , где ∑ −

−=1

)( 2

n

yyD i

.

При этом возникает необходимость в расчете погрешности определения y , а значение СКО не дает возможности оценить достоверность оценки. Таким образом, возникают вопросы:

1) с какой вероятностью значения iy попадают в обозначенный СКО интервал?

2) насколько точна оценка y ?

3) Как распределены значения iy в этом интервале?

Рис.2.3

В общем случае определение СКО не является лучшим способом оценки погрешностей. Чаще всего его используют на практике потому, что это единственная оценка, легко рассчитываемая в аналитическом виде.

Суть вероятностного описания полосы погрешностей искомой зависимости ( )xfy =

состоит в том, что необходимо сделать следующее утверждение: при данном значении x

( )xfy = принимает значение в определенном интервале (доверительном) с необходимой вероятностью (рис.2.3).

Основная проблема для такого заключения состоит в конечности выборки iy , где ni ...1= .

Чаще всего в таких задачах используются квантильные оценки. Квантиль — прямая consty = ,

делящая плотность вероятности ( )yρ на определенные части. На рис.2.4 показаны 50-, 25- и 5-процентные квантили для нормального распределения.

y

yy

x

xx

. .

..

.

..

. . . .

..

.

..

. . . .

..

.

..

.

..

. .

..

.

..

.

..

. .

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

y

yy

ρ

ρρ

(y)

((

. . . .

..

.

..

.

.....

Рис.2.4Грубая оценка интервала неопределенности и определение доверительного значения

погрешности проводятся следующим образом: погрешности iy∆ располагаются в порядке

возрастания +∞<∆∆<∞− + ... , 1ii yy . Тогда в предположении равномерного распределения iy∆ n

квантилей делят график плотности вероятности на ( )1+n часть. Отбросив крайние значения maxiy

и miniy , получим, что вероятность попадания величины iy в диапазон

[ ]maxmin , ii yy равна

1

1

+−=

n

nPд

.Таким образом, на основании изложенного можно утверждать, что оценка погрешности

определена с доверительной вероятностью не более чем 1

1

+−

n

n

в доверительном интервале

[ ]maxmin , ii yy . Это самая грубая оценка.

Описанный способ предполагает равномерное распределения iy в заданном интервале, что на практике никогда не выполняется.

Часто кроме крайних значений величины отбрасывается определенное число отбn . В этом случае

1

1

+−−≤

n

nnP отб

д. (2.2.14)

Неравенство (2.2.14) предполагает, что для фиксированной доверительной вероятности дP можно определить необходимое количество отсчетов

д

отбд

P

nPn

−++≥

1

21

. (2.2.15)

С увеличением выборки n можно увеличить доверительную вероятность попадания дP в заданный интервал. В таблице 2.1 приведен необходимый объем выборки для заданных значений

дP , рассчитанный по формуле (2.2.15) при 1=отбn .

Таблица 2.1

дP 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,995 0,997

y

yy

50%

55

25%

22

5%

55

ρ

ρρ

(y)

((

n 20 40 80 200 400 800 1333

Поскольку для значений 95,0>дP требуется слишком большая выборка n , то обычно для

статистических оценок (в социально-экономических науках) используется 95,08,0 << дP .

СКО при вычислении среднего зависит от числа отсчетов n как

ny

y

σσ =

, (2.2.16)

то есть при усреднении величины iy по n отсчетам мы уменьшаем рассеяние данных в n раз.

Чтобы перейти от оценки СКО к оценке доверительного интервала с учетом вероятности дP ,

необходимо учитывать статистическое распределение iy .

Закон распределения средней величины y

всегда близок к нормальному вне зависимости от

того, как распределены исходные данные iy . Это следует из центральной предельной теоремы

(ЦПТ) и справедливо при 30≥n . Поэтому переход от оценки СКО yσ к квантильной оценке

доверительного интервала ∆ с доверительной вероятностью дP осуществляется следующим образом

ntt iy

y

σσ ==∆

, (2.2.17)

где t - нормированная квантиль нормального распределения, соответствующая дP . Смысл

определения величины t заключается в том, что в зависимости от размеров выборки n доверительный интервал может изменяться по отношению к оценке СКО. Доверительному

интервалу ∆ всегда необходимо поставить в соответствие дP или уровень значимости дPq −=1 .

Значения t , соответствующие разным уровням значимости для нормального распределения

(выборка 30≥n ) приведены в таблице 2.2.Таблица 2.2

дP 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,995 0,998

q 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002

t 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58 2,81 3,09

Величина t определяется следующим выражением:

( )( )1

2

1

−

−

−=−=

∑=

∞∞

nn

yy

yy

n

yyt

n

ii

yiσ

, (2.2.18)

где ∞y - среднее значение для генеральной совокупности с нормальным распределением.

Статистическое распределение t - известное распределение Стьюдента (рис.2.5).

Распределение Стьюдента. Его плотность вероятности описывается через специальные функции:

( )2

12

12

2

1

+

+

Γ

+Γ

= ν

ννπν

ν

ρx

x

, (2.2.19)

где параметр 1−= nν определяется числом степеней свободы n . Гамма-функция ( )νΓ обладает следующими свойствами:

( ) ∫∞

−−=Γ0

1dxxe x νν;

π=

Γ

2

1

; ( ) !1 nn =+Γ .

На рис.2.5 приведено распределение Стъюдента при 3=ν (кривая 2) и нормальное распределение (кривая 1). Как видно из рисунка, распределение Стъюдента симметрично и

несколько шире нормального распределения, и совпадает с ним при ∞→n . Основной смысл

этого распределения состоит в том, что оно описывает отклонения среднего значения y ,

рассчитанного по малой конечной выборке ( 30<n ) от среднего значения генеральной

совокупности ∞y .

Рис.2.5

Это распределение широко табулировано и значение t при вычислении доверительного

интервала по формуле (2.2.17) для конкретной выборки n всегда можно найти в справочной

литературе. Величины t для двух значений уровня значимости 05,0;1,0 == qq приведены в таблице 2.3.Таблица 2.3

n 2 3 4 5 7 10 15 20 30 ∞

1,0t 6,31 2,92 2,35 2,13 1,94 1,83 1,76 1,73 1,70 1,64

05,0t 12,7 4,30 3,18 2,78 2,45 2,26 2,14 2,09 2,04 1,96

Как видно из таблицы, при 5<n значения t сильно возрастают и доверительный интервал в несколько раз превышает СКО (см. 2.2.17), что делает оценку практически бессмысленной.

Однако при 305 << n отличие квантили t от ее значения для нормального распределения не

x

xx

ρ

ρρ

(x)

((

1

11

2

22

превышает 30% . Распределение Стъюдента используется именно для такого объема выборки из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону.

Построение статистических распределений и критерии оценивания. Таким образом, для построения вероятностной модели эксперимента необходимо знать, по какому закону распределены экспериментальные данные. Для оценки закона распределения служат различные критерии, позволяющие с определенной вероятностью по конечной выборке оценить распределение генеральной совокупности данных.

В общем случае для оценки статистического распределения необходимо действовать по следующему алгоритму:

1.Построение гистограммы.1.1. Нахождение центра.1.2. Симметрирование гистограммы.1.3. Сглаживание.2.Аппроксимация полученной гистограммы к распределению.3.Проверка построенного распределения по критериям согласия.

При построении гистограммы (рис.2.6) важно выбрать необходимое число интервалов m в

которые попадает случайная величина x (обычно 206 << m ). Затем по вертикальной оси

гистограммы откладывается количество отсчетов if или нормированная частота n

fF i

i =,

попадающих в i -й интервал ( n - общий объем случайной выборки). Если при малой выборке n

выбрано слишком большое число столбцов m , то гистограмма может оказаться очень неравномерной (см. рис. 2.6,а) и судить о форме статистического распределения невозможно. Если исходить из того, что генеральная совокупность имеет гладкую форму распределения, то выбросы

и провалы в гистограмме можно считать случайным шумом вызванным попаданием x в тот или

иной столбец. Тогда задачу выбора числа m можно считать задачей оптимальной фильтрации. m должно быть таким, чтобы максимально сглаживать но при этом минимально искажать случайную зависимость, описывающую распределение.

а бРис.2.6

Для выбора числа m в литературе предлагается большое количество формул, мы приведем лишь три из них:

1) формула Старджеса: 1 lg3,31log 2 +=+= nnm ;

2) nm lg5= ;

3) nm = .

В предположении симметричности распределения число столбцов должно быть нечетным для однозначного определения центра распределения. Для его нахождения рассчитывают медиану

x

xx

f

ff

x

xx

F

или 50% - квантиль (половина выборки – больше, а половина – меньше этого числа). Медиана

может не совпадать со средним значением x .

Симметрирование гистограммы состоит в переносе некоторого числа отсчетов if из данного столбца в симметричный с ним столбец для их выравнивания.

Построение сглаженной гистограммы и методы ее аппроксимации функциональной

зависимостью )(xρ будут рассмотрены в следующей главе.

Для идентификации распределения )(xρ используются критерии согласия. Наиболее

распространен критерий 2χ (критерий Пирсона). Он используется при проверке гипотез о

принадлежности выборки к определенной генеральной совокупности.

Для этого выбирается 2χ по формуле

( )∑=

−=m

i i

ii

M

Mf

1

22χ

,

где if - число значений случайной величины, попавшей в i -й интервал (высота столбца в

гистограмме на рис.2.7); iM - значение частоты в выбранной модели распределения.

Рис.2.7

Критерий Пирсона дает 02 =χ , если в центрах всех столбцов гистограммы выполняется

равенство 0=− ii Mf .

Критерий 2χ , кроме того, позволяет произвести сравнение двух моделей распределений в

том случае, если для них используется разное число столбцов.

В общем случае 2χ существенно возрастает с увеличением числа столбцов, но для

квантилей распределения 2χ имеются специальные таблицы, в которых используется число

степеней свободы

rm −−= 1ν ,где r - число параметров, необходимых для описания распределения.

Для нормального распределения достаточно определить первые два момента, поэтому 2=r . В отличие от распределения Стьюдента, рассчитанного для нормальной генеральной

совокупности, критерий 2χ может использоваться для любых распределений.

f

ff

i

ii

M

MM

i

ii

f

ff

j

M

MM

j

jj

f

ff

x

xx

Второй пример широко используемого критерия - критерий Колмогорова-Смирнова. Он позволяет сравнить две независимые выборки и ответить на вопрос, относятся ли они к одной генеральной совокупности. Его удобство состоит в том, что для использования нет необходимости строить гистограмму.

В качестве статистики служит наибольшая по модулю разница между нормированными частотами в двух выборках

−=

2

2

1

1maxn

f

n

fD

.

При nnn == 21 (рис.2.8)

−=

n

ffD 21max

.

Величина D табулирована и для ( ) 4021 >+ nn можно задать граничное значение

21

11

nnkDгр +=

,

где k - постоянная, зависящая от уровня значимости pq −=1 (вероятность ошибки при идентификации распределения). Для этой величины имеется приближенная аналитическая

формула ( )2 ln5,0 qk −=

. Если выборка объемом n сопоставляется с аналитической моделью

распределения )(xρ ( ∞→2n ), то ( ) nq

n

kDгр 2 ln5,0−==

. Отсюда может быть оценена

вероятность ошибки идентификации распределения по выборке объемом n :

222 грnDep −≥ .

Рис.2.8Для оценки разницы между дисперсиями двух конечных выборок из нормальной

совокупности используется критерий Фишера. В качестве значения критерия берут отношение большей дисперсии к меньшей

22

21

S

SF =

,

где 2,1S— среднеквадратичные отклонения.

Вычисленное таким образом значение критерия сравнивается с табулированным значением в

соответствии с уровнем значимости q для степеней свободы m и n распределений ( m и n — величины выборок).

D

DD

f

ff

x

xx

2.2. Вероятностная оценка случайной погрешности

Характеристики статистических распределений. Вероятность P того, что случайная

величина x принимает значения в некотором интервале 21 xxx ≤≤ записывается в виде

∫=≤≤2

1

21 )()(x

x

dxxxxxP ρ, (2.2.1)

где )( xρ называется плотностью распределения вероятности случайной величины x . Для

краткости функцию )( xρ часто называют статистическим распределением. Поскольку x

находится в интервале ∞<<∞− x с вероятностью равной единице, функция )( xρ удовлетворяет условию нормировки

1)( =∫∞

∞−

dxxρ. (2.2.2)

С учетом статистического распределения случайной величины ее среднее значение вычисляется по следующей формуле:

∫∞

∞−

⋅= dxxxx )(ρ. (2.2.3)

Если из генеральной совокупности всех возможных значений непрерывной случайной величины

x осуществляется конечная выборка дискретных значений nxxx ..., 21 , то элементарный расчет среднего значения по формуле

∑=

=n

iix

nx

1

1

(2.2.4)

соответствует определению среднего (2.2.3) только при constx =)(ρ . Таким образом, даже для

оценки точности вычисления средней величины x необходимо учитывать форму статистического распределения исходных данных.

Статистические распределения принято оценивать по значениям их моментов. Моменты случайных величин, найденные без исключения систематических составляющих, называются начальными, а моменты для центрированных распределений — центральными.

Центральный момент k -го порядка для непрерывной случайной величины рассчитывается по формуле

( ) ( )∫+∞

∞−

−= dxxxxM kk ρ

, (2.2.5)

при этом 1M - математическое ожидание; 2

2 σ=M - дисперсия (для конечной выборки —

среднеквадратичное отклонение (СКО)); 3M характеризует асимметрию распределения, а

безразмерный коэффициент асимметрии 33

σM

A = есть третий центральный момент, поделенный

на СКО; 4M характеризует протяженность распределения, отношение 44

σM

E = - эксцесс,

-характеризует остроту вершины распределения.

Наиболее широкое распространение при обработке экспериментальных данных получил

центральный момент второго порядка 2M который повсеместно используют для оценки

погрешностей измерений. Для конечной выборки (конкретного числа отсчетов n ) СКО принято рассчитывать по следующей формуле:

( )∑=

−−

===n

ii xx

nMxD

1

222 1

1)( σ

. (2.2.6)

Эта формула, как и формула (2.2.4) для вычисления x , не учитывает форму распределения и не является строгой. Ее широкое использование обусловлено двумя основными причинами:

3. Это наиболее простая возможность оценить рассеяние случайной величины.

4. Значения случайных величин при экспериментальных измерениях имеют статистическое

распределение, близкое к нормальному (гауссову), а для этого распределения

среднеквадратичное отклонение D и квадрат дисперсии 2σ совпадают.

Оценку асимметрии и эксцесса при конечной выборке n осуществляют по следующим формулам

( )3

1

3

σn

xxA

n

ii∑

=

−=

, (2.2.7)

( )3

41

4

−−

=∑

=

σn

xxE

n

ii

. (2.2.8)Число 3 в формуле (2.2.8) определяет эксцесс нормального распределения. Если эксцесс распределения отрицательный, то вершина функции распределения острее, чем у нормального распределения.

Определение этих характеристик распределений (моментов) называется точечными оценками, которые характеризуют распределение достаточно грубо.

Пусть в процессе экспериментальных измерений регистрируется сразу несколько случайных

величин ..., 21 xx , каждая из которых имеет свое среднее значение ..., 21 xx и дисперсию ..., 21 σσ .

Многомерная случайная величина ...),( 21 xxX = будет иметь многомерное распределение

вероятностей ...),( 21 xxρ с условием нормировки

1......),( 2121 =∫∞

∞−

dxxdxxρ.

Величины ..., 21 xx считаются статистически независимыми, если )...()(...),( 2121 xxxx ρρρ =

. Но эти величины могут быть статистически связаны, и для численной оценки этой связи двух случайных величин принято использовать смешанный момент второго порядка который называют корреляционным моментом или ковариацией.

Для расчета корреляционного момента 21,xxK используется следующая формула:

21212211, )())((21

xxxxxxxxK xx −=−−=, (2.2.9)

где черта сверху означает статистическое усреднение соответствующего выражения. Корреляционный момент есть смешанная дисперсия двух величин, поэтому для расчета

коэффициента корреляции R используется нормировка на дисперсию каждой из случайных величин:

21 ,21

1xxKR

σσ=

. (2.2.10)Коэффициент корреляции меняется в пределах от -1 до +1 и определяет степень связи случайных величин.

Правила сложения случайных погрешностей. При сложении погрешностей в сложных измерительных системах необходимо учитывать, насколько эти погрешности статистически независимы или коррелированы. Из приведенных выше формул может быть получено следующее правило сложение погрешностей двух случайных величин:

( ) ( ) ( )21 ,2121 2 xxKxDxDxxD ++=+, (2.2.11)

а дисперсия их суммы 2221

21 2 σσσσσ ++= R .

Таким образом, складывать СКО необходимо с учетом того, насколько случайные погрешности коррелированы.

Если:

3) 1=R , то 21 σσσ +=;

4) 1−=R , то 21 σσσ −=.

Как правило, при сложении погрешностей их делят на две группы: коррелированные и некоррелированные. Разделение на большее число групп (некоррелированные, слабо коррелированные, сильно коррелированные) слишком трудоемко. Поэтому на практике

коррелированными погрешностями считаются те, у которых 7,0≥R

, остальные — некоррелированные.

Рассмотрим пример коррелированных погрешностей. Пусть измеряется зависимость

активного сопротивления r металлического проводника (длина l , площадь сечения S ) от

температуры t . Полученная экспериментально зависимость )(tr используется для проверки

известной зависимости удельного сопротивления металлов ρ от температуры

)1(0 tαρρ += . (2.2.12)

Для вычисления ρ по экспериментальным данным приходится использовать размеры

проводника: l

Sr=ρ

. Но размеры проводника, также как и его удельное сопротивление, зависят от температуры по законам теплового расширения. На построение зависимости (2.2.12) будут

влиять погрешности измерения Sltr ,,, , но погрешности в измерении Slr ,, при разных значениях температуры неизбежно будут связаны (коррелированы).

Центральная предельная теорема и распределение Гаусса. Как уже отмечалось, в подавляющем большинстве случаев считается, что случайные погрешности экспериментальных измерений имеют нормальное (гауссово) статистическое распределение. Этот факт имеет математическое обоснование в виде центральной предельной теоремы (ЦПТ – теорема):

Пусть случайная величина x представляет собой сумму случайных величин iy , т.е.

.......21 nyyyx +++= Если iy статистически независимы, то при их произвольном

распределении и ∞→n их сумма x имеет нормальное распределение с плотностью вероятности

−−=2

2

2 2

)(exp

2

1)(

σπσρ xx

x. (2.2.13)

Зависимость )(xρ имеет колоколообразную форму с вершиной в точке x и полушириной σ.

Таким образом, широкое распространение нормального статистического распределения имеет глубокую физическую природу: если случайная величина зависит от большого числа случайных факторов, то она имеет нормальное распределение вне зависимости от характеристик каждого из этих факторов.

Построение функциональных зависимостей при многократных измерениях. Пусть

необходимо построить зависимость )(xfy = в том случае, если каждому значению x

соответствует набор значений iy . В практических задачах в результате эксперимента имеется

набор точек с координатами ii yx , , как это показано на рис.2.3.

Наиболее очевидный и традиционный способ построения зависимости ( )xfy =

заключается в следующем: для каждого значения x в определенном интервале находится среднее

значение по n попавшим в интервал точкам

∑=

=n

iiy

ny

1

1

и рассчитывается среднеквадратичное отклонение D=σ , где ∑ −

−=1

)( 2

n

yyD i

.

При этом возникает необходимость в расчете погрешности определения y , а значение СКО не дает возможности оценить достоверность оценки. Таким образом, возникают вопросы:

3) с какой вероятностью значения iy попадают в обозначенный СКО интервал?

4) насколько точна оценка y ?

3) Как распределены значения iy в этом интервале?

Рис.2.3

y

yy

x

xx

. .

..

.

..

. . . .

..

.

..

. . . .

..

.

..

.

..

. .

..

.

..

.

..

. .

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

y

yy

ρ

ρρ

(y)

((

. . . .

..

.

..

.

.....

В общем случае определение СКО не является лучшим способом оценки погрешностей. Чаще всего его используют на практике потому, что это единственная оценка, легко рассчитываемая в аналитическом виде.

Суть вероятностного описания полосы погрешностей искомой зависимости ( )xfy =

состоит в том, что необходимо сделать следующее утверждение: при данном значении x

( )xfy = принимает значение в определенном интервале (доверительном) с необходимой вероятностью (рис.2.3).

Основная проблема для такого заключения состоит в конечности выборки iy , где ni ...1= .

Чаще всего в таких задачах используются квантильные оценки. Квантиль — прямая consty = ,

делящая плотность вероятности ( )yρ на определенные части. На рис.2.4 показаны 50-, 25- и 5-процентные квантили для нормального распределения.

Рис.2.4Грубая оценка интервала неопределенности и определение доверительного значения

погрешности проводятся следующим образом: погрешности iy∆ располагаются в порядке

возрастания +∞<∆∆<∞− + ... , 1ii yy . Тогда в предположении равномерного распределения iy∆ n

квантилей делят график плотности вероятности на ( )1+n часть. Отбросив крайние значения maxiy

и miniy , получим, что вероятность попадания величины iy в диапазон [ ]maxmin , ii yy равна

1

1

+−=

n

nPд

.Таким образом, на основании изложенного можно утверждать, что оценка погрешности

определена с доверительной вероятностью не более чем 1

1

+−

n

n

в доверительном интервале

[ ]maxmin , ii yy . Это самая грубая оценка.

Описанный способ предполагает равномерное распределения iy в заданном интервале, что на практике никогда не выполняется.

Часто кроме крайних значений величины отбрасывается определенное число отбn . В этом случае

1

1

+−−≤

n

nnP отб

д. (2.2.14)

y

yy

50%

55

25%

22

5%

55

ρ

ρρ

(y)

((

Неравенство (2.2.14) предполагает, что для фиксированной доверительной вероятности дP можно определить необходимое количество отсчетов

д

отбд

P

nPn

−++≥

1

21

. (2.2.15)

С увеличением выборки n можно увеличить доверительную вероятность попадания дP в заданный интервал. В таблице 2.1 приведен необходимый объем выборки для заданных значений

дP , рассчитанный по формуле (2.2.15) при 1=отбn .

Таблица 2.1

дP 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,995 0,997

n 20 40 80 200 400 800 1333

Поскольку для значений 95,0>дP требуется слишком большая выборка n , то обычно для

статистических оценок (в социально-экономических науках) используется 95,08,0 << дP .

СКО при вычислении среднего зависит от числа отсчетов n как

ny

y

σσ =

, (2.2.16)

то есть при усреднении величины iy по n отсчетам мы уменьшаем рассеяние данных в n раз.

Чтобы перейти от оценки СКО к оценке доверительного интервала с учетом вероятности дP ,

необходимо учитывать статистическое распределение iy .

Закон распределения средней величины y

всегда близок к нормальному вне зависимости от

того, как распределены исходные данные iy . Это следует из центральной предельной теоремы

(ЦПТ) и справедливо при 30≥n . Поэтому переход от оценки СКО yσ к квантильной оценке

доверительного интервала ∆ с доверительной вероятностью дP осуществляется следующим образом

ntt iy

y

σσ ==∆

, (2.2.17)

где t - нормированная квантиль нормального распределения, соответствующая дP . Смысл

определения величины t заключается в том, что в зависимости от размеров выборки n доверительный интервал может изменяться по отношению к оценке СКО. Доверительному

интервалу ∆ всегда необходимо поставить в соответствие дP или уровень значимости дPq −=1 .

Значения t , соответствующие разным уровням значимости для нормального распределения

(выборка 30≥n ) приведены в таблице 2.2.Таблица 2.2

дP 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,995 0,998

q 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002

t 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58 2,81 3,09

Величина t определяется следующим выражением:

( )( )1

2

1

−

−

−=−=

∑=

∞∞

nn

yy

yy

n

yyt

n

ii

yiσ

, (2.2.18)

где ∞y - среднее значение для генеральной совокупности с нормальным распределением.

Статистическое распределение t - известное распределение Стьюдента (рис.2.5).Распределение Стьюдента. Его плотность вероятности описывается через специальные

функции:

( )2

12

12

2

1

+

+

Γ

+Γ

= ν

ννπν

ν

ρx

x

, (2.2.19)

где параметр 1−= nν определяется числом степеней свободы n . Гамма-функция ( )νΓ обладает следующими свойствами:

( ) ∫∞

−−=Γ0

1dxxe x νν;

π=

Γ

2

1

; ( ) !1 nn =+Γ .

На рис.2.5 приведено распределение Стъюдента при 3=ν (кривая 2) и нормальное распределение (кривая 1). Как видно из рисунка, распределение Стъюдента симметрично и

несколько шире нормального распределения, и совпадает с ним при ∞→n . Основной смысл

этого распределения состоит в том, что оно описывает отклонения среднего значения y ,

рассчитанного по малой конечной выборке ( 30<n ) от среднего значения генеральной

совокупности ∞y .

Рис.2.5

Это распределение широко табулировано и значение t при вычислении доверительного

интервала по формуле (2.2.17) для конкретной выборки n всегда можно найти в справочной

литературе. Величины t для двух значений уровня значимости 05,0;1,0 == qq приведены в таблице 2.3.

x

xx

ρ

ρρ

(x)

((

1

11

2

22

Таблица 2.3

n 2 3 4 5 7 10 15 20 30 ∞

1,0t 6,31 2,92 2,35 2,13 1,94 1,83 1,76 1,73 1,70 1,64

05,0t 12,7 4,30 3,18 2,78 2,45 2,26 2,14 2,09 2,04 1,96

Как видно из таблицы, при 5<n значения t сильно возрастают и доверительный интервал в несколько раз превышает СКО (см. 2.2.17), что делает оценку практически бессмысленной.

Однако при 305 << n отличие квантили t от ее значения для нормального распределения не превышает 30% . Распределение Стъюдента используется именно для такого объема выборки из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону.

Построение статистических распределений и критерии оценивания. Таким образом, для построения вероятностной модели эксперимента необходимо знать, по какому закону распределены экспериментальные данные. Для оценки закона распределения служат различные критерии, позволяющие с определенной вероятностью по конечной выборке оценить распределение генеральной совокупности данных.

В общем случае для оценки статистического распределения необходимо действовать по следующему алгоритму:

4.Построение гистограммы.4.1. Нахождение центра.4.2. Симметрирование гистограммы.4.3. Сглаживание.5.Аппроксимация полученной гистограммы к распределению.6.Проверка построенного распределения по критериям согласия.

При построении гистограммы (рис.2.6) важно выбрать необходимое число интервалов m в

которые попадает случайная величина x (обычно 206 << m ). Затем по вертикальной оси

гистограммы откладывается количество отсчетов if или нормированная частота n

fF i

i =,

попадающих в i -й интервал ( n - общий объем случайной выборки). Если при малой выборке n

выбрано слишком большое число столбцов m , то гистограмма может оказаться очень неравномерной (см. рис. 2.6,а) и судить о форме статистического распределения невозможно. Если исходить из того, что генеральная совокупность имеет гладкую форму распределения, то выбросы

и провалы в гистограмме можно считать случайным шумом вызванным попаданием x в тот или

иной столбец. Тогда задачу выбора числа m можно считать задачей оптимальной фильтрации. m должно быть таким, чтобы максимально сглаживать но при этом минимально искажать случайную зависимость, описывающую распределение.

x

xx

f

ff

x

xx

F

FF

а бРис.2.6

Для выбора числа m в литературе предлагается большое количество формул, мы приведем лишь три из них:

4) формула Старджеса: 1 lg3,31log 2 +=+= nnm ;

5) nm lg5= ;

6) nm = .

В предположении симметричности распределения число столбцов должно быть нечетным для однозначного определения центра распределения. Для его нахождения рассчитывают медиану или 50% - квантиль (половина выборки – больше, а половина – меньше этого числа). Медиана

может не совпадать со средним значением x .

Симметрирование гистограммы состоит в переносе некоторого числа отсчетов if из данного столбца в симметричный с ним столбец для их выравнивания.

Построение сглаженной гистограммы и методы ее аппроксимации функциональной

зависимостью )(xρ будут рассмотрены в следующей главе.

Для идентификации распределения )(xρ используются критерии согласия. Наиболее

распространен критерий 2χ (критерий Пирсона). Он используется при проверке гипотез о

принадлежности выборки к определенной генеральной совокупности.

Для этого выбирается 2χ по формуле

( )∑=

−=m

i i

ii

M

Mf

1

22χ

,

где if - число значений случайной величины, попавшей в i -й интервал (высота столбца в

гистограмме на рис.2.7); iM - значение частоты в выбранной модели распределения.

Рис.2.7

Критерий Пирсона дает 02 =χ , если в центрах всех столбцов гистограммы выполняется

равенство 0=− ii Mf .

Критерий 2χ , кроме того, позволяет произвести сравнение двух моделей распределений в

том случае, если для них используется разное число столбцов.

f

ff

i

ii

M

MM

i

ii

f

ff

j

jj

M

MM

j

jj

f

ff

x

xx

В общем случае 2χ существенно возрастает с увеличением числа столбцов, но для

квантилей распределения 2χ имеются специальные таблицы, в которых используется число

степеней свободы

rm −−= 1ν ,где r - число параметров, необходимых для описания распределения.

Для нормального распределения достаточно определить первые два момента, поэтому 2=r . В отличие от распределения Стьюдента, рассчитанного для нормальной генеральной

совокупности, критерий 2χ может использоваться для любых распределений.

Второй пример широко используемого критерия - критерий Колмогорова-Смирнова. Он позволяет сравнить две независимые выборки и ответить на вопрос, относятся ли они к одной генеральной совокупности. Его удобство состоит в том, что для использования нет необходимости строить гистограмму.

В качестве статистики служит наибольшая по модулю разница между нормированными частотами в двух выборках

−=

2

2

1

1maxn

f

n

fD

.

При nnn == 21 (рис.2.8)

−=

n

ffD 21max

.

Величина D табулирована и для ( ) 4021 >+ nn можно задать граничное значение

21

11

nnkDгр +=

,

где k - постоянная, зависящая от уровня значимости pq −=1 (вероятность ошибки при идентификации распределения). Для этой величины имеется приближенная аналитическая

формула ( )2 ln5,0 qk −=

. Если выборка объемом n сопоставляется с аналитической моделью

распределения )(xρ ( ∞→2n ), то ( ) nq

n

kDгр 2 ln5,0−==

. Отсюда может быть оценена

вероятность ошибки идентификации распределения по выборке объемом n :

222 грnDep −≥ .

Рис.2.8

D

DD

f

ff

x

xx

Для оценки разницы между дисперсиями двух конечных выборок из нормальной совокупности используется критерий Фишера. В качестве значения критерия берут отношение большей дисперсии к меньшей

22

21

S

SF =

,

где 2,1S— среднеквадратичные отклонения.

Вычисленное таким образом значение критерия сравнивается с табулированным значением в

соответствии с уровнем значимости q для степеней свободы m и n распределений ( m и n — величины выборок).

ГЛАВА 3. . ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

3.1. Построение функциональной зависимости при однофакторном эксперименте

Пусть при однофакторном эксперименте имеется выборка, описывающая изменения входных параметров, и набор выходных величин (рис.3.1). Необходимо построить зависимость

( )xFy = .

Рис.3.1

Для анализа экспериментальных данных существует очень много способов задания этой зависимости аналитическими и численными методами. Мы отметим лишь самые распространенные из них:

1. Дальнейшая обработка может проводиться при непосредственном численном

использовании массива значений ( )ii yx , .

2. В случае, когда количество измерений i не слишком велико и разброс значений ( )ii yx ,

мал, зависимость ( )xFy = может быть построена путем интерполяции (аппроксимации) через все

экспериментальные точки. В этом случае проводится зависимость ( )xFy = через все точки с

координатами ( )ii yx , . Простейший вариант проведения такой зависимости заключается в

построении полинома (степенного ряда).Пусть

( ) ( ) ( ) nn yxFyxFyxF === ... , , 1100 . (3.1.1)Интерполирующая функция

( ) nnnn

n axaxaxaxP ++++= −−

11

10 ... .

Многочлен ( )xPn имеет 1+n член.

x

xx

i

ii

y

yy

i

ii

Требуя выполнения условия (3.1.1), получим систему из )1( +n уравнений с )1( +n неизвестными:

∑=

− =n

ki

knik yxa

0 , (3.1.2)

где каждому ni ,...0= соответствует свое уравнение.Вместо решения системы уравнений (3.1.2) на практике используются более удобные и

менее трудоемкие способы, в частности:

• интерполирование многочленом Лагранжа;

• интерполирование многочленом Ньютона.

Интерполяционные формулы Ньютона особенно удобны в случае равноотстоящих узлов (

ii xx −+1 одинаково для всех i ) . В случае, если i велико (большое число узлов), интерполяционный многочлен имеет высокую степень и оказывается неудобным для вычислений.

3. При слишком высокой степени полинома проблемы можно избежать, разбив отрезок интерполяции на несколько частей с построением для каждой из них своего интерполяционного многочлена. Такое интерполирование имеет серьезный недостаток: в точках стыка интерполяционных многочленов оказывается разрывной первая производная. На рисунке 3.2 показан простейший способ такой интерполяции экспериментальной зависимости – соединение

соседних точек прямыми (многочлен степени 1=n ). 4. Если необходимо, чтобы зависимость имела непрерывные производные, пользуются

сплайнами. Сплайн (от англ. spline - рейка) - функция, являющаяся алгебраическим многочленом на

каждом отрезке ],[ 1+ii xx , и непрерывная во всей области вместе со своими производными. Чаще всего пользуются сплайнами третьей степени. Соответствующая зависимость показана на рис.3.2 курсивом.

Рис.3.2.

5. При однофакторном эксперименте, когда имеются результаты многократных измерений со случайной погрешностью (см. параграф 2.2 настоящего пособия), проведение зависимости через все экспериментальные точки бессмысленно. Чаще всего в этом случае для построения функциональной зависимости пользуются методом наименьших квадратов (МНК).

Построение функциональной зависимости при помощи метода наименьших

квадратов. Данный метод используется тогда, когда число точек i (узлов) велико и построение плавной зависимости

y

y

x

x

xi+1

i

xi

i

( )xFy = , (3.1.3)

проходящей через все точки ( )ii yx , невозможно из-за большого разброса значений.

Функция (3.1.3) называется уравнением регрессии y на x . Пусть приближенная функция,

описывающая ( )xFy = зависит от трех параметров ( )cbaxFy ,,,= . Эта функция не будет

проходить через все точки с координатами ( )ii yx , , тогда можно найти сумму квадратов

разностей

( )[ ] ( )∑=

Φ=−n

iii cbacbaxFy

1

2 ,,,,,. (3.1.4)

Задача сводится к отысканию минимума ( )cba ,,Φ , т.е. к решению системы уравнений

=∂Φ∂

=∂Φ∂

=∂Φ∂

.0

,0

,0

c

b

a

А именно

[ ]

[ ]

[ ]

,

.0),,,(),,,(

0),,,(),,,(

,0),,,(),,,(

'

1

'

1

'

1

=⋅−

=⋅−

=⋅−

∑

∑

∑

=

=

=

cbaxFcbaxFy

cbaxFcbaxFy

cbaxFcbaxFy

c

n

iii

b

n

iii

a

n

iii

(3.1.5)

Решив систему (3.1.5) относительно параметров cba ,, , находим конкретный вид искомой функции.

Приближающая (приближенная) функция может иметь любой вид: линейная зависимость, парабола, синусоида и т.д. Чаще всего используются алгебраические многочлены не выше третьего порядка. В большинстве случаев анализируется линейная регрессия, когда

( ) baxxFy +== . (3.1.6)

Главная особенность регрессионного анализа состоит в том, что регрессия y на x не

соответствует регрессии x на y (см. рис.3.3).

y

x

..

. .

.

.

.. . . y=f(x)

x=f(y)

.

.. ...

Рис.3.3.

Поясним это свойство регрессионных зависимостей. Пусть формула регрессии имеет вид (3.1.6), приведем ее обратную функцию:

a

b

a

yyfx −== )(

. (3.1.7)

Обратим внимание, что в (3.1.7) свободный член a

b

зависит от коэффициента наклона a прямой зависимости (3.1.6). При построении же регрессии прямая проходит приблизительно через середину области, охватывающей экспериментальные точки и ее наклон определяется

отношением разброса значений по осям x и y (пересечение функций ( )xfy = и )(yfx =

находится в середине области экспериментальных значений). Таким образом, регрессия x(y), построенная по экспериментальным данным, не будет совпадать с (3.1.7) из-за наличия свободного члена.

Рис.3.4Графически это поясняется на рис. 3.4, где по трем экспериментальным точкам построены

регрессии y(x) и x(y), которые не совпадают. Для минимизации СКО трех экспериментальных точек от прямой, зависимость должна проходить через одну из них и в середине между двумя другими точками. Как видно из рис.3.4, линейные регрессии, построенные из этих соображений пресекаются в центре области экспериментальных значений и имеют разный наклон.

3.2. Быстрые методы построения функциональных зависимостейЗадача выбора вида функциональной зависимости - задача неформализуемая, так как одна и

та же экспериментальная зависимость может быть описана разными аналитическими

y

y

x

x

x=f(y)

x

y=f(x)

y

σσ

σ

σ

выражениями приблизительно с одинаковой точностью. Например, U -образная кривая может быть описана как параболой, так и куском синусоиды.

Основное требование к математической модели - компактность и удобство использования, потому чаще всего пользуются алгебраическими многочленами, экспоненциальными и тригонометрическими функциями. Другое требование - интерпретируемость. Например, если экспериментальная зависимость описывает изменение амплитуды затухающих колебаний, то

функциональная зависимость может быть построена в виде ax

1

или xe α−. В этом случае, из знания

природы зависимости (теоретической модели затухающих колебаний), будет выбрана

экспоненциальная зависимость xe α−.

Погрешность в выборе функциональной зависимости называется погрешностью адекватности модели. Для ее устранения надо рассматривать теоретическую модель описываемого явления или процесса.

Быстрые методы установления графического вида однофакторных зависимостей. Простейший экспресс-метод статистической обработки - метод контура (рис.3.5, а, б).

Его суть - обведение экспериментальных точек плавными границами. Требование плавности подразумевает, что некоторые точки могут оказаться вне контура (рис.3.5, а). Метод контура можно использовать тогда, когда разброс экспериментальных точек не слишком велик (рис.3.5, б).

а б в

Рис.3.5

На рисунке 3.5,в показано построение экспериментальной зависимости более строгим экспресс-методом, - методом медианных центров. Для этого область экспериментальных данных разбивается вертикальными линиями на несколько областей (в данном случае - три области), в каждой из которых находится равное количество экспериментальных точек. Медианными

центрами каждой из этих областей по координате x являются точки, справа и слева от которых

находится равное количество экспериментальных отсчетов. Найдя таким образом координаты ix медианных центров, аналогичным образом в каждой области находят их вертикальные

координаты iy выше и ниже которых находилось бы равное количество точек. Затем по точкам с

координатами ii yx , строится плавная экспериментальная кривая. Необходимо помнить, что

координаты ( ii yx , ) медианных центров не совпадают со средними значениями экспериментальных данных.

Связь коэффициента линейной регрессии, коэффициента корреляции и относительной погрешности. Пусть по результатам однофакторного эксперимента строится линейная регрессия

( ) baxxfy +== , тогда из системы (3.1.5) следует:

y

yy

x

xx

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

y

yy

x

xx

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

y

yy

x

xx

.

..

.

..

.

..

.

..

..

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

2

11

2

1 11

−

−=

∑∑

∑ ∑∑

==

= ==

n

ii

n

ii

n

i

n

iii

n

iii

xxn

yxyxna

,

2

11

2

1 11 1

2

−

−=

∑∑

∑ ∑∑ ∑

==

= == =

n

ii

n

ii

n

i

n

iiii

n

i

n

iii

xxn

yxxyxb

. (3.2.1)

С другой стороны коэффициент корреляции, характеризующий связь между ix и iy , по определению

( ) ( )

( ) ( )

−

−

−=

=−−

−−=

∑∑∑∑

∑ ∑∑

∑∑

∑

====

= ==

==

=

2

11

2

2

11

2

1 11

1

2

1

2

1

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

i

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

yynxxn

yxyxn

yyxx

yyxxR

. (3.2.2)

Сопоставляя (3.2.1) и (3.2.2), найдем связь между коэффициентом регрессии a и

коэффициентом корреляции R :

Rax

y

2

=

σσ

, (3.2.3)

где xy σσ , - среднеквадратичные отклонения ix и iy .

Таким образом, коэффициент корреляции связан с разбросом значений по осям x , y и определяет возможную степень отклонения линии регрессионной зависимости по наклону. Пусть

величина xσ фиксирована,

Рис.3.6

тогда возможное отклонение по оси y от среднего значения y составляет ∆+ σσ xa , где ∆σ - среднеквадратичное отклонение от линии регрессии (см. рис.3.6). В связи с этим, учитывая (3.2.3), коэффициент корреляции очень часто определяют как

y

yy

x

xx

...

... .

..

.

.

..

.

........

σ

σσ

∆

σ

σσ

y

yy

=0,5Y

==

2

1

1

+

=

∆

y

R

σσ

, (3.2.4)

где ∆σ - ширина полосы погрешностей по y ; yσ - разброс значений y , который

определяется диапазоном изменения величины Y .

Поскольку в практических случаях Y<<∆σ , то формулу (3.2.4) с учетом приближенного разложения до первого члена в ряд Тейлора приводят к виду

( ) 2

2

2211

1

1 γσσ

σσ

−=

−≈

+

= ∆

∆y

y

R

. (3.2.5)

где Y∆= σγ

- приведенная погрешность. Таким образом, в большинстве практических случаев связь между коэффициентом корреляции и приведенной погрешностью может быть установлена при помощи простейшей приближенной формулы (3.2.5).

Быстрая оценка коэффициента корреляции исходных данных. Быструю оценку коэффициента корреляции и погрешности исходных данных можно провести также методом медианных центров (рис.3.7).

Разобьем поле экспериментальных точек вертикальной чертой на две равные по числу точек

области ( 88× точек). В левой и правой частях найдем медианные центры. Проведенная через эти

медианные центры, обозначенные звездочкой, прямая a - регрессия y на x . Теперь разобьем экспериментальную область на равное количество точек по вертикали горизонтальной чертой и,

после нахождения соответствующих медианных центров, получим прямую b - регрессию x на

y . Прямые a и b совпадут только в том случае, когда коэффициент корреляции между ix и iy

равен единице, то есть 1=R .

Рис.3.7

По различию прямых a и b можно с учетом (3.2.3) оценить коэффициент корреляции:

y

yy

x

xx

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

×

.

..

.

..

×

××

.

..

.

..

A

AA

1

11

A

AA

2

22

O

OO

a

aa

b

bb

2

1

A

AR =

, (3.2.6)

где 2

1

A

A

определяется отношением углов их наклона. Для быстрой оценки относительной

погрешности подставим величину R из (3.2.6) в обращенную формулу (3.2.5):

2

1 2R−=γ. (3.2.7)

Таким образом, быстрая оценка коэффициента корреляции и значения относительной

погрешности основывается на том, что прямые a и b обязательно проходят через точку пересечения границ О. При этом, чем выше разброс экспериментальных данных (невытянутая

область), тем больше будет угол между прямыми a и b . При построении регрессионных зависимостей методом медианных центров, необходимо

помнить, что полученные линии регрессии в общем случае отличаются от соответствующих зависимостей, полученных при помощи МНК. Их различия будут уменьшаться при увеличении количества экспериментальных точек, если разброс экспериментальных данных подчиняется нормальному закону распределения.

3.3 Сглаживание экспериментальных временных рядов Одной из наиболее практически значимых задач является построение плавных временных

зависимостей функции )(tx , если эта функция имеет случайную составляющую. Дискретную

зависимость )( ii tx называют временным рядом или, в общем случае, дискретным случайным процессом. Общие свойства и методы описания случайных процессов мы рассмотрим в пятой

главе настоящего пособия. По сравнению с экспериментальными зависимостями ( )xfy = , которые мы считали результатом однофакторного эксперимента и рассмотрели выше, особенности экспериментальных временных рядов заключаются в следующем:

1. На практике обычно приходится анализировать временные ряды с достаточно большим количеством отсчетов (не менее нескольких десятков).

2. Отсчеты, как правило, производятся через равные промежутки времени (равноотстоящие

узлы зависимости при consttt ii =−+1 )

3. Зависимость )( ii tx заведомо немонотонна и, чаще всего, ограничена. Поэтому, если

выбрать конечный интервал x∆ , то для любого x с увеличением длины временного ряда

количество значений ix , попадающих в интервал ],[ xxx ∆+ будет увеличиваться.4. Приближающую функцию, аппроксимирующую временной ряд по всей его длине, как

правило, невозможно описать аналитически.Особенности временных рядов хорошо поясняет простейший пример. Проведем

однофакторный эксперимент, регистрируя значения входных ix и выходных iy параметров

одновременно, в моменты времени it , через равные промежутки consttt ii =−+1 . Тогда

функциональная зависимость ( )ii xfy = , описывающая результаты эксперимента, задается

параметрически, через два временных ряда )( ii tx , )( ii ty .В теории обработки временных рядов существует множество способов их сглаживания:

фильтрация с использованием преобразования Фурье, кусочная аппроксимация многочленами и др… Мы рассмотрим два простейших, но принципиально разных вида сглаживания, которые, в какой-то мере, обобщают особенности этой процедуры:

1) метод скользящего среднего;2) медианное сглаживание.

Рассмотрим две случайные зависимости, показанные на рис.3.7. Зависимости имеют

одинаковую регулярную составляющую )(tx , а случайные составляющие зависимостей отличаются: зависимость рис.3.7,б кроме мелких случайных флуктуаций имеет редкие выбросы достаточно большой амплитуды.

а б

Рис.3.8

Целью сглаживания является получение плавной зависимости )(tx . Метод скользящего

среднего предполагает выбор окна усреднения τ , и для каждого it рассчитывается среднее значения на этом интервале:

( ) ( )∫+

−

=2

2

1

1τ

ττ

i

i

t

t

i dttxtx

. (3.3.1)Этот метод позволяет сгладить случайную составляющую зависимости, то есть избавиться

от высокочастотных флуктуаций. При этом фильтрация высоких частот зависит от длины

интервала усреднения τ .Если применить метод скользящего среднего к зависимости рис.3.7,б, имеющей

значительные, но редкие выбросы, то полученная сглаженная зависимость ( )tx2 резко отличается

от ( )tx1 . Выбросы, за счет их высокой амплитуды, сильно влияют на среднее значение, как только

попадают в интервал усреднения, то есть каждый выброс искажает ( )tx на интервале длиной τ . В случае, когда выбросы имеют редкий и случайный характер, для выделения регулярной составляющей метод скользящего среднего неприемлем.

При наличии редких выбросов (рис.3.7,б) удобнее применять метод медианного

сглаживания, в котором на «скользящем» интервале τ для получения ( )tx используется не среднее значение функции, а медиана.

x

xx

t

tt

τ

ττ

x (t)

((

1

11

x

xx

t

tt

x

xx

2

22

(t)

((

τ

ττ

Рис.3.9

Пусть на интервал τ попало четыре значения временного ряда )( ii ty , и одно из значений

iy сильно отличается от других (см. рис.3.9, точка 3). Построение медианы по y предполагает, что медианный центр, обозначенный звездочкой, будет находиться в области точек 1, 2 и 4, так как выше и ниже его должны находиться по две точки. Таким образом, выброс в точке 3 на сглаженной зависимости будет устранен.

Необходимо иметь в виду, что зависимости ( )tx1 и ( )tx2 , полученные методом скользящего среднего и методом медианного сглаживания отличаются. Их отличие возрастает при увеличении частоты возникновения аномальных выбросов. Если выбросы возникают в анализируемой временной зависимости достаточно часто, то они могут рассматриваться как неотъемлемая характеристика флуктуационной составляющей и их устранение при сглаживании искажает адекватное описание случайного ряда. Для оценки частоты выбросов могут использоваться разные критерии, например, средняя частота возникновения выбросов на выбранном временном интервале или отношение их общего количества к длине временного ряда. Кроме того, возникает вопрос: флуктуации какой амплитуды считать выбросами? Более подробно выбросы случайных процессов будут рассмотрены в пятой главе.

ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЕГИСТРИРУЮЩИХ ПРИБОРОВ

4.1. Спектральные и временные преобразования Анализ временного поведения экспериментальных зависимостей можно проводить в рамках

временного или частотного (спектрального) подхода. Чаще всего реакцию экспериментального объекта на переменное во времени воздействие приходится наблюдать при анализе работы различных электронных схем, когда необходимо установить связь между входными и выходными сигналами. Пример такого объекта мы рассмотрели в первой главе, когда изучали модель детектирования радиосигнала.

Рассмотрим пример спектрального и временного подхода к анализу работы резонансного колебательного контура. Если в контуре отсутствует активное сопротивление, то при частотном подходе к анализу его работы, получается амплитудно-частотная характеристика с резонансной

частотой LCрез

1=ω, где CL, - индуктивность и емкость контура. При этом резонанс

соответствует колебаниям бесконечной амплитуды, что не имеет физического смысла. В рамках же временного подхода мы получим более обоснованное представление о резонансе, как о линейном нарастании колебаний во времени. В некоторых случаях происходит наоборот: частотный подход оказывается более наглядным и удобным.

y

yy

.

.. .*1

11

2

22

3

33

4

44

τ

ττ

На практике при регистрации переменных во времени величин приходится сталкиваться с временными зависимостями самой разной формы. Например, современная цифровая электронная техника все чаще вместо синусоидальных сигналов использует прямоугольные импульсы или их периодические последовательности. Вследствие этого важнейшим элементом анализа временных процессов является их представление в спектральной форме. Кроме того, все приборы в той или иной форме обладают инерционными свойствами, а значит - могут рассматриваться как колебательные системы.

Пусть )(tfx = - периодическая функция с периодом T . Тогда она может быть представлена суммой гармонических составляющих:

( )∑∞

Ω+Ω=0=n

0 sincos+2

)( tnbtnaa

tf nn

, (4.1.1)

где частота T

π2=Ω. Среднее значение или постоянная составляющая функции

определяется первым членом в разложении:

∫=2

2-

0 )(1

T

T

dttfT

a

. (4.1.2)Амплитуды гармонических составляющих рассчитываются следующим образом:

∫ Ω=2

2-

cos)(2

T

Tn tdtntf

Ta

,

∫ Ω=2

2-

sin)(2

T

Tn tdtntf

Tb

. (4.1.3)

Совокупность величин nn ba , называется спектром функции )(tf , а величины

22nnn bac +=

- амплитудным спектром. Для удобства спектральное разложение (4.1.1) часто используется в комплексном представлении:

∑∞

∞

Ω−=-=n

)( tinnectf

, (4.1.4)где

∫ Ω−=−=2

2-

)(1

)(2

1T

T

tinnnn dtetf

Tibac

. (4.1.5)Разложения (4.1.1-4.1.5) называются разложением в ряд Фурье. Обычно разложением в ряд

Фурье пользуются для периодических функций, непериодические функции разлагают при помощи интеграла или интегрального преобразования Фурье. Это представление можно использовать для любой ограниченной функции, удовлетворяющей условию

∞<=∫∞

∞

Adttf-

2)( (4.1.6)

На практике условие (4.1.6) всегда выполняется, поскольку любой сигнал или воздействие имеют конечную длительность и амплитуду. Тогда

∫∞

∞

=-

)(2

1)( ωω

πω deiGtf ti

, (4.1.7)

где функцию )( ωiG называют плотностью комплексного спектра и вычисляют по формуле

∫∞

∞

−=-

)()( dtetfiG tiωω (4.1.8)

Эта комплексная функция может быть представлена в виде

)(0 )()( ωϕωω ieGiG = . (4.1.9)

Таким образом, любая функция )(tf представляется в виде бесконечной суммы (интеграла)

[ ]∑ += )( cos)( ωϕωtdAtf, (4.1.10)

где

)()( 0 ωπωω G

ddA =

(4.1.11)

называется плотностью амплитудного спектра, а )(ωϕ - спектром фаз. Выражение (4.1.10) полностью соответствует разложению в ряд Фурье (4.1.1) с той разницей, что спектр периодической функции является дискретным, а спектр непериодической - сплошным.

Теперь рассмотрим особенности спектрального и временного анализа колебательных систем. Уравнение колебаний в такой системе с одной степенью свободы имеет вид:

)(2 202

2

tFxdt

dx

dt

xd =++ ωδ, (4.1.12)

с правой частью )(tF , описывающей внешнее воздействие на систему.

В этом уравнении функция x описывает колебания физической величины во времени, а

коэффициенты δ и 0ω определяют параметры этих колебаний. Величина δ называется

коэффициентом затухания, а 0ω - собственная частота колебательной системы. Для традиционных примеров механической или электрической колебательных систем - пружинного маятника и электрического колебательного контура, эти величины, соответственно, выражаются следующим образом:

L

R

m

h

2 или

2== δδ

; (4.1.13)

LCm

k 1 или 2

02

0 == ωω.

Здесь k - коэффициент упругости, m - масса, L - индуктивность и C - емкость

электрического контура, Rh, - коэффициент механического трения и активное электрическое сопротивление.

Решение однородного линейного дифференциального уравнения (4.1.12) (без правой части)

ищется в виде tAeλ. Подставив это выражение в (4.1.12), при 0)( =tF получаем

характеристическое уравнение для определения λ :

.02 20

2 =++ ωδ λλ (4.1.14)

Характеристическое уравнение (4.14) имеет два корня:

ωδδωδλ ii ±−=−±−= 2202,1 , (4.1.15)

где 1−=i - мнимая единица, а

220 δωω −=

. (4.1.16)

Общее решение однородного уравнения (4.1.12) при 0)( =tF можно записать в виде

),()( 212121 titittt eCeCeeCeCtx ωωδλλ −− +=+= (4.1.17)

где 21,CC - константы, зависящие от начальных условий. В общем случае эти величины

комплексны, однако мы ищем действительное решение )(tx и тогда они должны являться комплексно-сопряженными величинами и их можно заменить через вещественные константы

00 ,ϕA с помощью равенств

0

012 ϕieAC −= и 0

022 ϕieAC = .После этого перепишем решение (4.1.17) в вещественной форме:

).cos()( 00 ϕωδ −= − teAtx t

(4.1.18)Решение описывает собственные экспоненциально затухающие колебания, частота которых

зависит от затухания в соответствии с (4.1.16). Иногда говорят, что решение (4.1.18) описывает “затухающую синусоиду”, однако это справедливо только в случае слабого затухания, когда выполняется условие

10

0 <<−ω

ωω

. (4.1.19)Такой колебательный процесс можно также назвать квазигармоническим.

Иногда колебательную систему вместо коэффициента затухания характеризуют обратной величиной

R

L

h

m 2

210 ===

δτ

, (4.1.20)которую называют “постоянной времени” системы. Эта величина показывает временной

интервал, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз. Часто вместо величин

δτ ,0 используют безразмерную величину

ωδπδϑ 2== T

, (4.1.21)

которую называют декрементом затухания (T - период). Декремент – величина, обратная

количеству периодов, в течение которых амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Решение неоднородного дифференциального уравнения (4.1.12) при 0)( ≠tF представляет

собой сумму решения однородного уравнения и частного решения )(1 tx неоднородного:

).(cos)()( 01 ϕωδ −+= − teAtxtx t

(4.1.22)При наличии затухания собственные колебания в системе со временем исчезают и

колебания определяются только вынужденной составляющей )(1 tx . Пусть tieftF Ω= 0)( , тогда

(4.1.12) принимает вид

.2 020

tiefxxx Ω=++ ωδ(4.1.23)

Частное решение (4.23) будем искать в виде tieAx Ω= 11 , где 1A - комплексная величина.

После подстановки этого выражения в (4.1.23) гармонический множитель tie Ω сократится, и мы

получаем уравнение для 1A :

.)2( 02

02

1 fiA =+Ω+Ω− ωδ(4.1.24)

В зависимости от частоты внешнего воздействия комплексная амплитуда 1A меняется по закону

)()( 0

ωω

iK

fiA =

, (4.1.25)где величину

20

2 2)( ωωδωω ++−= iiK (4.1.26)

называют динамической жесткостью системы. Обратную величину называют спектральной передаточной функцией:

)(

1)(

ωω

iKiB =

. (4.1.27)

Если теперь мы будем считать, что внешнее воздействие на систему )(tf представляет

собой не одну гармонику, а функцию со спектром )( ωiG , то вместо (4.1.25) можно записать

)(

)()(

ωωωiK

iGiA =

. (4.1.28)Тогда с учетом (4.27) колебания в системе будут иметь временную зависимость

∫∞

∞

=-

)()(2

1)( ωωω

πω deiGiBtx ti

. (4.1.29)

B iK i

( )( )

ω)ω)

=1x t( )f t( )

Рис. 4.1

Функцию (4.1.29) называют откликом линейной системы на воздействие )(tf (рис.4.1). Если обозначить соответствие временной функции спектру

)()( ωiGtf ÷ ,то

)()()( ωω iGiBtx ÷ . (4.1.30)В общем случае параметры системы могут зависеть от времени, т.е. система нестационарна,

тогда

),()( tiBiB ωω = .Пусть на систему воздействует бесконечно короткий импульс в виде дельта-функции:

)()( 0tttf −= δ (4.1.31)Спектр дельта-функции представляет собой постоянную величину:

1)()( 0 =÷− ωδ iGtt , (4.1.32)то есть она состоит из бесконечного набора гармонических составляющих с одинаковой

амплитудой. Используя (4.1.30) и учитывая (4.1.32), мы получим следующий отклик системы на внешнее воздействие:

)()( ωiBth ÷ . (4.1.33)

С другой стороны, любая функция )(tf (по определению) может быть выражена через дельта-функцию следующим образом:

∫∞

∞

−=-

)()()( θθδθ dtftf. (4.1.34)

В математике существует теорема о свертке, гласящая, что спектр от свертки двух функций есть произведение спектров каждой из них. Тогда вместо (4.1.30) с учетом (4.1.33) для отклика системы на произвольную функцию можно написать:

∫∞

∞

−=-

)()()( θθθ dthftx. (4.1.35)

Таким образом, для получения временного отклика системы на произвольное воздействие

достаточно знать функцию )(th , которая является откликом на дельта-функцию и спектр которой

соответствует спектральной передаточной функции системы. Функция )(th называется функцией Грина и очень широко используется при анализе колебательных и волновых процессов.

4.2. Типы регистрирующих приборовРассмотрим характеристики приборов, предназначенных для измерения переменных во

времени величин. Пусть y - измеряемая величина, если x - показания прибора, то функция

)(yfx = называется тарировкой прибора, а получение этой функции при эталонных измерениях - градуировкой прибора. Основными характеристиками прибора являются:

1. Диапазон изменения измеряемой величины y .

2. y

x

∂∂

- чувствительность прибора.

3. y

y∆

- точность прибора, где y∆ - минимальная величина, которую может отметить прибор.

Поскольку мы рассматриваем приборы для измерения переменных величин, то нас будут

интересовать зависимости от времени )(),( tytx и их связь между собой. Будем анализировать характеристики приборов на простейшем примере деформируемой пружины (рис. 4.2).

x

F m

Рис. 4.2

Будем считать, что F - сила, вызываемая измеряемой величиной y . Такой прибор будет

“идеальным”, если в нем отсутствует трение, действуют линейные упругие силы kxF = , и

пружина невесома ( 0=m ). На практике все эти условия не выполняются. Причем аналогичные ограничения имеют не только механические, но и электронные приборы. Все они обладают сопротивлением, нелинейными ограничениями, инерционностью. В зависимости от того, какие физические величины прибор измеряет и какие из перечисленных выше ограничений проявляются в приборе прежде всего, разделим регистрирующие приборы на четыре типа: квазистатические, сейсмические, баллистические и резонансные.

Квазистатические приборы. Квазистатическими приборами называются такие приборы, которые измеряют переменные величины как постоянные. Проанализируем ограничения, которые могут возникнуть, если рассматривать прибор, показанный на рис.4.2.

Уравнение для изменения показаний )(tx в зависимости от внешнего воздействия представляет собой уравнение вынужденных колебаний:

)(tFkxxbxm =++ . (4.2.1)Важнейшей характеристикой прибора является статическая чувствительность, которая

обратно пропорциональна жесткости пружины:

kF

x 1=∂∂

, (4.2.2)

как следует из определения линейной силы упругости kxF = . С другой стороны, если решать уравнение (4.2.1) и использовать формулы (4.1.25 - 4.1.27) с определением динамической жесткости системы, то получим, что прибор может считаться квазистатическим, если

)(

11

ω∂∂

iKkF

x ≈=. (4.2.3)

Чтобы система откликалась на переменное воздействие как на постоянное, динамическая жесткость системы должна быть приблизительно равна статической жесткости и слабо зависеть от частоты. Эти условия могут быть сформулированы несколькими способами:

;

,

kxxb

kxxm

<<

<<

(4.2.4)

или через частоту внешнего воздействия Ω :

.

,2

kb

km

<<Ω<<Ω

(4.2.5)Если мы используем стандартные обозначения, то (4.2.4 – 4.2.5) перепишутся в виде

Ω>>0ω или 1

0

<<Ω=ω

γ, Q<<γ , (4.2.6)

где δω2

0=Q- добротность системы. Таким образом, если собственная частота прибора

гораздо больше частоты регистрируемых колебаний, и добротность системы достаточно велика, квазистатический прибор будет регистрировать гармонический процесс достаточно точно. Для регистрации негармонического процесса необходимо, чтобы все спектральные составляющие

процесса удовлетворяли условию (4.2.6). Оказывается, очень сложно удовлетворить обоим условиям (4.2.6) для процесса с широким частотным спектром. Для иллюстрации этого противоречия обратимся к рис.4.3, где представлены резонансные кривые для нормированной амплитуды

0

120 f

Au ω=

. (4.2.7)

Если в (4.2.7) для )(1 ΩA использовать выражение (4.1.24), то получим

.

)1(

1)(

2

222

Q

uγγ

γ+−

=

(4.2.8)

Рис.4.3

Первое из условий (4.2.6) определяет требования к амплитудам спектральных составляющих, которые воспроизводятся прибором. Для того, чтобы искажение регистрируемого процесса не происходило, нужно, чтобы кривые рис.4.3 имели достаточно широкий участок, максимально близкий к горизонтальному (все гармоники воспроизводятся с одинаковой чувствительностью). Как видно из рисунка, наиболее близкий к горизонтальному участку имеют

кривые с 1≈Q . Но тогда второе условие (4.2.6) выполняется только в узком диапазоне 1<<γ . В этом заключается основное противоречие: чем точнее прибор воспроизводит широкополосный процесс, тем меньше его чувствительность.

Проанализируем теперь, как квазистатический прибор регистрирует непериодические процессы. Для этого рассмотрим воздействие на систему в виде скачка (рис.4.4). Математически такой скачок выражается функцией

)()( 0tttF −Θ= , (4.2.9)

где 0t - момент скачка. Такой скачок, как и дельта-функция, имеет равномерный спектр. Решение уравнения (4.2.1) с правой частью (4.2.9) может быть легко получено через спектральное представление, через формулы динамической жесткости, или через функцию Грина (см. предыдущий параграф) во временном представлении:

−−= − )sin(1)(

0

ϕωωω δ te

k

Ftx t

. (4.2.10)Здесь использованы стандартные обозначения:

220 δωω −=

, m

b

m

k

2,2

0 == δω, δ

ωϕ arctg=. (4.2.11)

Решение (4.2.10) легко можно интерпретировать физическими соображениями. После скачкообразного воздействия в системе возникают затухающие колебания вокруг нового положения равновесия, которое определяется высотой скачка:

k

Ftx =)(

при ∞→t . (4.2.12)На рис.4.4 показано, как на показания прибора может влиять затухание. Согласно (4.2.10)

максимальное отклонение прибора от начального значения наступает через отрезок времени

ωπ=1t

, который связан с собственной частотой системы и, соответственно, затуханием. При отсутствии затухания (рис.4.4, пунктир) максимальное отклонение прибора в два раза превышает предельное отклонение и показания будут испытывать колебания с постоянной амплитудой. Отклик системы неадекватен воздействию. При наличии затухания время срабатывания прибора

1t увеличится, однако прибор более правильно отражает регистрируемое воздействие (сплошная зависимость на рис.4.4). Таким образом, мы получили подтверждение того, что для квазистатических приборов наличие активного затухания принципиально необходимо, хотя оно и меняет временные и частотные характеристики прибора.

Рис. 4.4

К наиболее распространенным квазистатическим приборам можно отнести емкостные микрофоны, датчики давления (мембранные, пьезоэлектрические), акселерометры (приборы для измерения ускорений), большинство оптических приборов, измеряющих механические смещения или вибрации.

Сейсмические приборы. Сейсмические приборы, или приборы, работающие по принципу сейсмографа, объединяет то, что они используются для измерения вибраций тех тел, на которых они сами расположены или закреплены. Это прежде всего приборы для измерения вибраций на железнодорожном, воздушном или водном транспорте. Принципы работы таких приборов можно рассматривать на примере рис.4.2, если предположить, что жесткая стенка, к которой крепится

пружина, движется, и ее смещение описывается законом )(ty . В этом случае тело на пружине движется под действием упругих сил и сил инерции и его уравнение движения имеет вид:

ymkxxbxm −=++ . (4.2.13)

Рассмотрим движение по гармоническому закону:

tAy Ω= cos , (4.2.14)тогда вместо (4.2.13) можно записать

tAmxkxbxm ΩΩ=++ cos2 , (4.2.15)а решение этого уравнения –

)cos(

)1(

)(cos)(

2

222

2

00 ϕγγ

γϕωδ −Ω+−

+−= − t

Q

AteAtx t

. (4.2.16)Здесь первый член представляет собой собственные затухающие колебания системы с

фазой, определяемой начальными условиями, а второй член - вынужденные колебания, фаза которых зависит от добротности и отношения собственной и вынуждающей частот:

)1(arctg

2γγϕ−

=Q . (4.2.17)

Амплитуда вынужденных колебаний

2

222

2

0

)1(Q

Axγγ

γ

+−=

, (4.2.18)и ее частотная зависимость показаны на рис.4.5.

γ1 2

Q = 5

Q = 2

Рис. 4.5.

Отличие частотной характеристики такого прибора от прибора квазистатического заключается в том, что горизонтальный участок частотной характеристики достигается при

1>>γ , то есть прибор лучше регистрирует высокие частоты (сравним зависимости рис.4.3 и 4.5).

Заметим, что на высоких частотах вибрации Ω амплитуда вынужденных колебаний

приближается к А , а фаза πϕ → . Таким образом, на частотах, превышающих собственную частоту прибора, сейсмограф или другой прибор для измерения вибраций достаточно точно воспроизводят амплитуду колебаний, но с противоположным знаком.

Баллистические приборы. Баллистические приборы предназначены для измерения импульса сил, действующих в течение короткого времени. Для анализа работы таких приборов

обратимся опять к системе, представленной на рис.4.2. Пусть на систему действует импульс силы

)(tfF = . Если длительность импульса τ (рис.4.6), то

∫ =τ

τν0

)()( mdttf. (4.2.19)

tτ

F

Рис. 4.6

Движение системы описывается уравнением для вынужденных колебаний (4.1.12) с правой

частью, соответствующей (4.2.19). Если время действия T<<τ , где T - период собственных колебаний системы, то можно считать, что за время действия импульса система успевает лишь набрать начальную скорость

∫=τ

0

0 )(1

dttfm

v, (4.2.20)

но смещение через этот промежуток времени мало: 0≈x . Тогда решением уравнения будет

решение для свободных собственных колебаний (4.1.18) с начальными условиями 00 ν=x ,

00 =x . Это решение имеет вид:

)2

(cos)( 0 πωων δ −= − tetx t

, (4.2.21)где

220 δωω −=

.Таким образом, амплитуда собственных колебаний системы будет прямо пропорциональна

начальной скорости 00 vx = и, значит, импульсу силы (см. формулу 4.2.20). Мы уже

сталкивались с импульсным воздействием на такую систему, когда рассматривали действие на квазистатический прибор скачка силы. Согласно решению (4.2.21), время от начала импульса до первого максимума колебаний системы

14arctg1

arctg1 2

1 −== Qtωδ

ωω , (4.2.22)

а амплитуда первого максимума

αω

αω

ωδα

δ sinsin 001

−− == ev

ev

A t

. (4.2.23)

Здесь δωα arctg=

. Таким образом, начальную скорость, а значит, и импульс силы можно оценивать через максимальную амплитуду колебаний:

10 Av β= , (4.2.24)где

ωδα

αωβ e

sin=

. При получении (4.2.24) мы использовали выражение (4.2.20). При этом сделано следующее

допущение: в течение времени τ на массу действует импульс силы рис.4.6, однако мы пренебрегаем действием сил трения и упругости пружины в течение этого времени. Оценим возможность такого допущения и ошибки, к которым оно приводит.

Для простоты будем считать, что импульс длительности τ имеет прямоугольную форму с

амплитудой F , равной максимальной амплитуде импульса (см. рис.4.6, пунктир) в этом случае импульс силы (заштрихованная площадь импульса на рисунке) увеличивается приблизительно в два раза. Тогда скорость через промежуток времени, соответствующий длительности импульса,

составляет m

Fv

τ=0, а смещение m

Fx

2

2τ=. Рассчитаем силу упругости пружины в момент

окончания импульса:2

220

22 22

1

2

1

===

TFFF

m

kkx

τπτωτ. (4.2.25)

Таким образом, сила упругости во время действия импульса отличается от него на множитель, пропорциональный квадрату отношения длительности импульса к периоду собственных колебаний системы. Аналогичные оценки можно сделать и для силы трения.

Следовательно, в предположении T<<τ , сделанном нами в начале рассмотрения, соотношение (4.2.25) справедливо для баллистических приборов.

Резонансные приборы. Наиболее чувствительными из рассматриваемых нами регистрирующих приборов являются резонансные приборы. Они широко используются для регистрации волновых и колебательных процессов. Однако их главной особенностью является то, что без искажений они позволяют воспроизводить лишь узкополосные воздействия и сигналы, в спектре которых преобладают гармонические составляющие с частотами, близкими к собственной резонансной частоте прибора. Рассмотрим основные свойства и ограничения таких приборов.

Важнейшим свойством резонансного прибора является избирательность. Пусть на простейший резонансный приемник (рис.4.7) поступает сигнал, представляющий из себя конечный набор гармоник с разными амплитудами и фазами:

∑ +Ω=n

nnn tt )cos()( ϕξξ, (4.2.26)

тогда из теории вынужденных колебаний для линейной колебательной системы мы можем получить следующее выражение для выходного сигнала:

)(cos

)1(

1)(

2

222

nn

nn

nn t

Q

tV ψγγ

ξ −Ω

+−

= ∑

. (4.2.27)

Здесь ωγ n

n

Ω=, где −ω собственная частота колебательного контура, а Q - его

добротность. Проанализируем случай, когда сигнал состоит из двух синусоидальных составляющих (см. спектр сигнала на рис. 4.7). На выходе прибора амплитуды каждой из составляющих имеют следующий вид:

2

22,122

2,1

2,12,1

)1(Q

Vγ

γ

ξ

+−

=

. (4.2.28)

ωΩ1 Ω2

ξ1

ξ2

ξ1,2

V1,2

Рис. 4.7

Предположим теперь, что резонансный прибор настроен на частоту 1Ω=ω , а вторая частота

отличается от нее на величину 12 Ω−Ω=∆ω . Кроме того, будем считать, что амплитуды гармонических составляющих

ξξξ == 21 . (4.2.29)Такая ситуация отвечает, например, случаю приема радиосигнала с двух передающих

станций, вещающих на разных частотах, но с одинаковой мощностью и расположенных на одинаковом расстоянии от приемника. В этом случае в формуле (4.2.28)

11 =γ , γγ ∆+=12 ,

а если частотная расстройка ω∆ мала, то можно считать, что

γγ ∆+≈ 2122 . (4.2.30)

С учетом этого для сигнала, настроенного на резонансную частоту, получим:

QV ξ=1 (4.2.31)

а для сигнала с частотой 2Ω=ω амплитуда результирующего сигнала на выходе прибора

( ) 22

2

21

1

γγ

ξ

∆+∆

=Q

QV

. (4.2.32)Таким образом, отношение амплитуд гармонических частотных составляющих на выходе

прибора определяется добротностью и частотной расстройкой:

( ) 22

2

1

21

γγ

∆+∆≈ Q

V

V

. (4.2.33)

Формула (4.2.33) и определяет избирательность резонансного прибора: способность регистрировать воздействие конкретной частоты и при этом не регистрировать воздействия на других, отличающихся от резонансной, частотах. Если считать, что амплитуда результирующего сигнала на резонансной частоте должна превышать другой сигнал не менее чем в два раза, то это накладывает ограничение на частотную расстройку и добротность колебательного контура (колебательной системы):

Q2

1

0

>∆ω

ω

. (4.2.34)Другими словами, необходимая избирательность резонансного прибора обеспечивается при

условии, если частотная расстройка превышает полуширину резонансной кривой. Чем выше добротность системы, тем выше чувствительность прибора (см. формулу 4.2.31) и тем выше его избирательность.

Противоположные требования возникают, если необходимо обеспечить неискажаемость регистрируемого воздействия. Если продолжить рассмотрение примера с приемником рис.4.7, то

необходимо помнить, что для передачи информации гармонический сигнал с несущей частотой ω будет промодулирован, т.е. его спектр имеет конечную ширину и не может быть представлен в виде одной гармонической составляющей. Для примера рассмотрим сигнал на входе резонансного прибора в виде

ttkt ωξξ cos)cos+(1)( 0 Ω= , (4.2.35)

где 1<k . Такой амплитудно-моделированный с частотой Ω сигнал можно преобразовать к виду

tk

tk

tt )(cos2

)(cos2

cos)( 000 Ω−+Ω++= ωξωξωξξ

. (4.2.36)

Следовательно, кроме гармоники на несущей частоте ω , в спектре регистрируемого сигнала

будут присутствовать составляющие на частотах Ω±ω с амплитудой 20kξ

. Чтобы регистрирующий прибор не искажал входной сигнал, соотношение между амплитудами этих частотных составляющих и сигналом на резонансной частоте должно сохраняться. Но, как мы показали выше, если частотная расстройка (спектральная ширина сигнала, которая в данном

случае равна Ω ) превышает полуширину резонансной кривой, то сигнал будет искажаться. Отсюда можно сформулировать условие неискажаемости:

Q

12 >Ωω . (4.2.37)

Таким образом, мы можем сформулировать основное противоречие в работе резонансных приборов: для качественного приема модулированных сигналов необходимо уменьшить добротность колебательной системы, что неизбежно приводит к потере чувствительности прибора.

Кроме того, при регистрации резонансным прибором воздействий с конечной спектральной шириной возникают также фазовые (временные) искажения.

Для иллюстрации этого рассмотрим прием радиоимпульсов при помощи резонансного приемника. Радиоимпульсом мы будем далее называть гармонический сигнал, амплитуда которого имеет импульсную огибающую. Прямоугольный радиоимпульс, амплитуда которого имеет

постоянную величину 0ξ в течение всей длительности импульса T показан на рис.4.8. Если

частоту заполнения (несущую частоту) Ω считать частотой внешнего воздействия на

колебательную систему, то при нулевых начальных условиях (в момент начала импульса) решение для сигнала на выходе приемника будет иметь вид

−

++Ω= − )arctg(cos1cos-)(

2

0 ωδω

ωδξ δ tetQtV t

. (4.2.38)Решение представляет собой сумму вынужденных и собственных колебаний. Если

добротность колебательного контура высока ( 1>>Q ), то сдвиг фаз между собственными и

вынужденными колебаниями мал (1<<

ωδ

). Тогда при резонансных условиях ( 0ω≈Ω ) решение (4.2.38) можно переписать в очень простом виде:

[ ] teQV t Ω−−= − cos10δξ . (4.2.39)

После момента появления радиоимпульса на входе колебательного контура колебания на

выходе будут нарастать до амплитуды Q0ξ , а затем, после окончания внешнего воздействия, собственные колебания в контуре будут затухать по экспоненциальному закону (рис.4.8).

Рис. 4.8Таким образом, условие неискажаемости прямоугольного радиоимпульса резонансным

приемником определяется постоянной времени колебательного контура

TQ <<

Ω== 21

0 δτ

(4.2.40)

4.3. Модуляция и преобразование сигналовВыше мы рассмотрели спектр амплитудно-модулированного сигнала. Кроме

амплитудной модуляции, на практике часто используется частотная и фазовая модуляция

гармонических сигналов. Сигнал, фаза которого промодулирована по гармоническому закону,

имеет вид:

)sin(cos)( 00 ttt Ω+= αωξξ . (4.3.1)С другой стороны, сигнал (4.3.1), имеющий фазовую модуляцию, можно рассматривать

как частотно-модулированный сигнал, частота которого меняется во времени следующим образом:

)sin+(1)(0

0 tt Ω=ωαωω

. (4.3.2)

Величина α называется глубиной фазовой модуляции, а соответствующая ей глубина

частотной модуляции определяется, соответственно, как 0ωαα =′

(см. 4.3.2). При условии

Ω>>0ω , когда частота фазовой модуляции мала по сравнению с несущей частотой сигнала, вместо (4.3.2) можно записать:

)+(10

0 tΩ≈ωαωω

, (4.3.3)то есть мы имеем сигнал с линейной модуляцией частоты или линейно частотно-

модулированный сигнал (ЛЧМ), которые очень часто применяются в радиотехнике.Таким образом, можно считать, что фазовая и частотная модуляция сигнала отличаются

лишь глубиной модуляции, которая определяется соотношением между модулирующей и несущей частотами.

Рассмотрим спектральный состав модулированного по фазе сигнала, аналогично тому, как раньше мы оценили ширину спектра при амплитудной модуляции. Формулу для модулированного по фазе сигнала (4.3.2) можно переписать в следующем виде:

)sinsin()(sin)sin(cos)(cos)( 0000 ttttt Ω−Ω= αωξαωξξ . (4.3.4)

Мы хотим оценить спектр )(τξ , для этого следует преобразовать тригонометрические

функции )sinsin( ϕα и )sincos( ϕα по известным из теории формулам:

.3sin)(2sin)(2)sin(sin

;2cos)(2)()sin(cos

31

20

++=

++=

ϕαϕαϕα

ϕααϕα

II

II

(4.3.5)

Здесь )(αnI - функции Бесселя порядка n , которые хорошо известны в теории специальных функций и табулированы в большинстве справочников. Таким образом, модулированный по фазе сигнал, используя (4.3.4 – 4.3.5) можно разложить в ряд по гармоническим составляющим, то есть определить его спектр:

..])2cos()()2(cos)(

)(cos)(

)(cos)(cos)([)(

22

1

100

−Ω++Ω−++Ω++

+Ω−−=

tItI

tI

tItIt

ωαωαωα

ωαωαξξ

(4.3.6)

Из (4.3.6) следует, что в спектре модулированного по фазе сигнала присутствуют

составляющие на частотах Ω± nω с амплитудами )(αnI . Соотношение между амплитудами

спектральных составляющих зависит от глубины модуляции α , поскольку функции Бесселя

разных порядков по-разному зависят от аргумента. При 1<<α выполняется условие

)...()()( 210 ααα III >>>> . Тогда, если пренебречь членами ряда (4.3.6) с 1>n , кроме

гармоники несущей частоты в спектре будут присутствовать составляющие на частотах Ω±ω , как и в амплитудно-модулированном сигнале. Однако, если амплитуда фазовой модуляции не мала, то необходимо учитывать все члены ряда (4.3.6), и спектр частотно - и фазово-модулированного сигнала оказывается заведомо шире, чем при амплитудной модуляции

Нелинейные преобразования. На основе приближенных методов нелинейной теории колебаний, таких, как метод малого параметра, можно рассматривать нелинейные преобразования сигналов, повсеместно используемые в радиотехнике и приборостроении. Пусть внешнее воздействие на колебательную систему приводит к возникновению колебаний конечной амплитуды (нелинейных колебаний). Тогда вместо уравнения вынужденных колебаний (4.1.12), в правой части уравнения появляется нелинейная

функция ),( txFF = , в которую, наряду с вынуждающим воздействием, входят члены, ответственные за нелинейность колебательной системы:

),(2 202

2

txFxdt

dx

dt

xd =++ ωδ. (4.3.7)

Одним из наиболее распространенных приближенных методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений является метод малого параметра (метод теории возмущений). Кратко рассмотрим суть этого метода, который позволяет оценить основные физические особенности нелинейных колебаний конечной амплитуды.

Пусть точка 0x соответствует положению равновесия колебательной системы и находится в начале координат, т.е.

0)0()( 0 == FxF . (4.3.8)

Тогда нелинейную функцию )(xF в окрестности точки 0=x можно разложить в ряд

++′′+′+= ...)0(2

1)0()0()( 2xFxFFxF

. (4.3.9)В этом случае методом малого параметра решение (4.3.7) ищется в виде:

...33

2210 ++++= FFFx µµµµ . (4.3.10)

Предположим теперь, что вынуждающая сила не является чисто гармонической и имеет конечный спектр. В простейшем случае двух гармонических составляющих

tBtAtF 21 sinsin)( Ω+Ω= . (4.3.11)Ограничимся для простоты квадратичным членом в (4.3.10). Тогда, подставив (4.3.11),

получим:

]sin)sin(2sinsin[ 21222

122

22

2 ttABtBtAF ΩΩ+Ω+Ω= µµ . (4.3.12)Первые два квадратичных члена (4.3.12) после тригонометрических преобразований дают в

решении (4.3.7) постоянную составляющую и гармонические колебания на удвоенной частоте

21 2,2 ΩΩ , а третий (перекрестный) член - колебания на суммарной и разностной частотах

12 Ω±Ω . Таким образом, если в правой части уравнения (4.3.7) учитывать все члены разложения (4.3.10), то в общем решении уравнения будут присутствовать вынужденные колебания на частотах

21, ΩΩ nn , 12 Ω±Ω nm , (4.3.13)

при ,...3,2,1,0, =mn . Гармоники с нулевой частотой 0, =mn представляют собой постоянные составляющие, которые всегда присутствуют в нелинейных колебательных системах, в частности, на этом основаны диодные выпрямители переменного тока.

Предположим теперь, что на нелинейную систему подается сигнал частоты ω ,

модулированный с частотой ω<<Ω . В спектре такого сигнала, как мы выяснили раньше,

присутствуют частоты ω , Ω±ω . Разностная частота между этими спектральными

составляющими как раз и является частотой модуляции Ω . Таким образом, на выходе нелинейной системы возникает сигнал, пропорциональный огибающей промодулированного сигнала, то есть система позволяет выделить низкочастотную составляющую. Такой процесс в радиотехнике называется детектированием сигнала. На рис.4.9 показано детектирование сигнала на основе нелинейной вольт - амперной характеристики диода. Если после такого детектора в радиотехнической схеме поставить фильтр, который будет подавлять все высшие гармоники

сигнала ωω 2, и т.д., то на выходе фильтра получим сигнал с частотой огибающей Ω . Необходимо только иметь в виду, что вместо идеальной “кусочно-линейной” характеристики, показанной на рисунке, диодная характеристика имеет плавный нелинейный характер.

Совершенно аналогичный принцип работы имеют устройства для преобразования частоты -

частотные умножители, которые служат для выделения кратных частот ωω 2, , или

супергетеродин, выделяющий сигнал разностной частоты Ω−ω между слабым принимаемым

сигналом частоты ω и сигналом гетеродина (генератора с установленной частотой Ω ). В супергетеродине используется тот факт, что амплитуда сигнала на разностной частоте в соответствии с (4.3.12) пропорциональна не только амплитуде принимаемого сигнала, но и амплитуде сигнала гетеродина.

Рис.4.9

Следовательно, выделение сигнала разностной частоты сопровождается возможностью зарегистрировать амплитудные и фазовые характеристики слабого сигнала, если амплитуда и фаза сигнала гетеродина известны.

4.4. Выбор средств измерений по быстродействиюДля цифровых измерений принципиальное значение имеет выбор частоты дискретизации

переменных величин.Самая грубая оценка частоты дискретизации выполняется по теореме Котельникова

(подробно будет рассмотрена в следующем параграфе). Она позволяет выделить все спектральные составляющие сигнала, если для максимальной частоты на период приходится не менее двух значений оцифровки. При этом погрешность в определении амплитуды каждой из спектральных составляющих будет разной для разных частот.

Для оценки погрешности в зависимости от частоты оцифровки можно пользоваться

следующим приемом. Пусть измеряемая величина ( )txx = имеет вид, показанный на рис.4.10.

Рис. 4.10

В простейшем случае для восстановления функции ( )tx дискретные отсчеты соединяются

прямыми линиями. Погрешность ∆ определяется кривизной кривой ( )tx . Если кривизну описать параболой, то

822

20

2

0

tx

t

x ′′=

′′=∆, (4.4.1)

где x ′′ - вторая производная от ( )tx ; 0t - период дискретизации.

Если приведенная погрешность X

∆=γ, где X - диапазон изменения ( )tx , то

x

Xt

′′≤ γ8

0

. (4.4.2)

Для синусоидального сигнала Xx 2max ω=′′

. Откуда для спектральных составляющих

γπ

γπω

γ28

2

80

TTt ==≤

, (4.4.3)или число отсчетов на период

γπ20

≥=t

Tn

. (4.4.4)

x

xx

t

tt

t

tt

0

00

∆

∆∆

Перепишем (4.4.4) в виде

220

2

2

20

2

22ft

T

t ππγ =≥. (4.4.5)

Таким образом, используя (4.4.1 – 4.4.5) можно оценить необходимый период

дискретизации или число дискретных отсчетов n на период, необходимых для восстановления с нужной точностью спектральных составляющих сигнала.

Для оценки числа n можно пользоваться табл.4.1, полученной из (4.4.4).

Таблица 4.1

% ,γ 0,1 1 10 20

n 70 22 7 5

Таким образом, при цифровой обработке сигнала короткие (импульсные) сигналы значительно искажаются при недостаточной частоте дискретизации. Особенно это проявляется,

когда в сигналах присутствуют острые пики или резкие фронты, которые имеют вид −δ или −θфункций с бескончно широким спектром. Для примера на рис.4.11 показан прямоугольный импульс, восстановленный при помощи обратного Фурье-преобразования в случае, когда по длине импульса взято 45, 180, 900 отсчетов.

Как видно из рисунка, с увеличением числа отсчетов, повышается точность восстановления длины фронта импульса, но амплитудная погрешность (наличие периодической составляющей вблизи фронта) практически не зависит от частоты дискретизации. Она превышает 15%.

Приведенные в табл.4.1 оценки неприменимы, т.к. с одной стороны, производная фукции, описывающей фронт бесконечна, с другой – для его описания требуются бесконечно высокие частоты, несопоставимые с частотой дискретизации. Для анализа последовательностей прямоугольных импульсов используются специальные методы, которые мы рассмотрим вместе с методами оцифровки сигналов ниже.

Рис.4.11

Грубая оценка динамической погрешности при аналоговой регистрации. Пусть квазистатический регистрирующий прибор имеет амплитудно-частотную характеристику,

которая представлена на рис.4.12. Здесь ( )0

)(

S

fSA =

- зависимость чувствительности от

частоты, грγ соответствует погрешности, определяющей граничную частоту измерений f .

Зависимость погрешности от частоты может быть вычислена по формуле2

0

≈

f

ffγ

, (4.4.6)

где 0f - резонансная частота прибора. Формула (4.4.6) предполагает, что вершина резонансной кривой может быть приближенно описана перевернутой параболой.

Рис. 4.12

Таким же образом оценивается частотная погрешность для непериодических процессов.Например, термопара и термометр могут быть представлены апериодическим звеном

первого порядка. Тогда2

0

1

2f

f

f

0

, (4.4.7)

где 0

1

2f

; τ - постоянная времени.То есть для периодических и непериодических процессов динамическая погрешность

зависит от характерных времени или частоты изменения измеряемой величины.Формулы (4.4.6) и (4.4.7) качественно соответствуют формуле (4.4.5).

4.5. Дискретизация сигналов и цифровые измерительные приборыИмпульсная модуляция сигналов. Выше мы рассмотрели методы модуляции

гармонических сигналов и оценили ширину частотной полосы, которая требуется для передачи таких сигналов по каналам связи. Увеличение объема измерительной информации, передаваемой по каналам связи, приводит к все более широкому применению импульсной модуляции, которая имеет целый ряд преимуществ перед модуляцией гармонических колебаний. Импульсная модуляция используется в измерительно-информационных системах (ИИС) с временным разделением каналов, в которых в паузах между импульсами, несущими информацию об одной измеряемой величине, размещается информация о других измеряемых величинах. Последовательность импульсов позволяет модулировать несколько параметров сигнала, т. е. более эффективно использовать канал связи. Применение импульсных сигналов дает возможность

AAA

fff

γγγгргг

fff fff000

существенно увеличить мощность в импульсе при небольшой средней мощности и тем самым повысить помехоустойчивость передачи информации.

В практике наиболее часто используются импульсы прямоугольной формы, которые легко формируются на основе современной электронной базы. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов показана на рис.4.13.

Периодическую последовательность импульсов характеризуют следующие параметры:

амплитуда импульсов A , период повторения T , частота импульсов Tf

1=, длительность

импульсов τ , скважность τϑ T=

, фаза импульсов 3

2 τπϕT

= где 3τ - задержка относительно

опорной последовательности импульсов (показана штриховыми линиями).Любой из перечисленных параметров импульсной последовательности может являться

параметром модуляции. На рис.4.14 проиллюстрированы основные виды импульсной модуляции.

Рис.4.13При амплитудно-импульсной модуляции (АИМ) в соответствии с модулирующей функцией

)(tx изменяется амплитуда импульсов.При частотно-импульсной модуляции (ЧИМ) изменяется частота повторения импульсов.

При этом обычно остается постоянной либо длительность импульсов, либо их скважность.При широтно-импульсной модуляции (ШИМ) частота повторения импульсов не меняется,

но меняется длительность импульсов и, соответственно, скважность. При фазово-импульсной модуляции (ФИМ) форма импульсов не меняется, они лишь

незначительно (на 3τ ) смещаются относительно опорной периодической последовательности импульсов во времени. Как и при непрерывной модуляции гармонических сигналов, различия между ЧИМ и ФИМ заключаются лишь в глубине модуляции.

T

T

τ 3τ t

t

x(t)

x

A

A

Рис. 4.14

В современных средствах связи очень широко используется передача информации по радиоканалу. В этом случае необходим перенос частотной полосы сигнала в высокочастотную область и передача ведется на высокой гармонической частоте, т.е. по-сути используется двойная модуляция, когда импульсные последовательности, показанные на рис.4.14 имеют высокочастотное гармоническое заполнение.

Импульсная модуляция означает, что по каналам связи передаются дискретные отсчеты

модулирующей функции )(tx , что приводит к неизбежным погрешностям при ее восстановлении. Для оценки этих погрешностей рассмотрим спектральные характеристики импульсных последовательностей.

Спектры сигналов при импульсной модуляции. Найдем спектр одиночного

прямоугольного импульса длительностью τ и амплитудой A при помощи интеграла Фурье:

τπτπτ

ωω

τ

τ

τωτωω

f

fAee

i

AdtAeiG

iiti sin)(

2

2

22 =

−== ∫−

−

, (4.5.1)

где fπω 2= . При изменении положения импульса во времени его амплитудный спектр )( ωiG

не

изменится, изменится лишь его фазовый спектр. Пусть сигнал )(tS состоит из последовательности

таких прямоугольных импульсов с периодом повторения T . Тогда разложим его в ряд Фурье

∑∑∞

=

∞

=++=

11

110 cossin)(

kk

kk tkBtkACtS ωω

, (4.5.2)

где Tπω 2

1 = - частота первой гармоники. Рассчитав kk BAC ,,0 , окончательно получим

+= ∑∞

=

tT

k

Tk

Tk

T

AtS

k

πτπ

τπτ 2cos

sin21)(

1

. (4.5.3)Амплитудный спектр такого сигнала показан на рис.4.15. Спектр последовательности импульсов имеет дискретный характер, а его огибающая соответствует спектру одиночного импульса (4.5.2). Дискретные значения частоты кратны частоте повторения импульсов в последовательности

Tkf k =

. Спектр рис.4.15 соответствует скважности 3==

τϑ T

. Таким образом, реальная ширина спектра последовательности импульсов определяется длительностью импульса и может быть расширена при ее уменьшении.

Рис. 4.15

Рассмотрим теперь спектр импульсно-модулированного сигнала на примере АИМ. Пусть модулирующая функция меняется по гармоническому закону

tAtx И Ω+= cos1)( , (4.5.4)

Рис. 4.16

где частота модуляции Fπ2=Ω удовлетворяет следующему условию: T

π2<<Ω. То есть на

один период модуляции должно приходиться несколько импульсов, иначе импульсная модуляция лишена смысла. В этом случае можно показать, что спектр модулированного (АИМ) сигнала будет

f

f

G(f)

G

τ1

τ2

T

1

T

3

2F

2

f

f

G(f)

G

T

1

T

2τ1

τ2

иметь вид, показанный на рис.4.16. Здесь скважность 2==

τϑ T

. Как видно из этого рисунка, изменение спектра при наличии модуляции аналогично тому, что мы наблюдали при непрерывной модуляции (см. параграф 4.3 настоящей главы). В спектре возникают дополнительные

составляющие на комбинационных частотах Ffk ± , где kf определяется частотой повторения

импульсов. В практических задачах чаще всего ограничиваются первой гармоникой Tf

11 =

, и искажение спектра за счет импульсной модуляции определяется огибающей, т.е. длительностью

импульсов. Если длительность импульсов мала (огибающая спектра на участке ]

1,0[τ достаточно

полога), то амплитуда спектральных составляющих на комбинационных частотах, которые

определяют точность восстановления амплитуды модуляции ИA модулирующей функции, искажается незначительно. Кроме того, при восстановлении модулирующей функции (4.5.4) это искажение может быть учтено. Аналогичный вывод можно сделать для других видов импульсной модуляции (ЧИМ, ФИМ и т.д.). Наиболее помехоустойчивой из импульсных видов модуляции считается ФИМ.

Таким образом, импульсная модуляция позволяет передавать данные практически без искажений, и, по сравнению с аналоговой модуляцией гармоническими сигналами, позволяет за единицу времени в той же полосе частот предавать значительно большие объемы информации. В современных ИИС сигналы ЧИМ, ФИМ, ШИМ чаще всего преобразуются в цифровой код, что вообще исключает искажение информации.

Дискретизация сигналов по уровню и времени, теорема Котельникова. Дискретизация или квантование величин производится любым экспериментатором при считывании результатов измерений со шкалы аналогового измерительного прибора. В цифровых измерительных приборах и в аналого-цифровых преобразователях дискретизация непрерывных величин производится автоматически. Квантование по уровню выполняется при численной регистрации любых экспериментальных данных. С математической точки зрения операция квантования связана с округлением значения непрерывной величины в соответствии с принятым правилом (например, отнесение к нижней, верхней границе интервала квантования или к его середине ) .

Квантование по уровню приводит к появлению методической погрешности, которую ввиду ее случайного характера иногда называют шумом квантования. Строго говоря, погрешность дискретизации является неслучайной функцией неизвестного (случайного) значения измеряемой величины.

Наибольшее распространение на практике получило равномерное квантование по уровню,

при котором диапазон возможных значений ],[ maxmin xx непрерывной величины x разбивается на n равных интервалов квантования

1−−=∆ iiKB xxx , ni ,...2,1= .

KBx∆ называется шагом квантования или шагом дискретизации. При равномерном квантовании

constxKB =∆ .

В результате дискретизации значение x попадающее в интервал 1−−=∆ iiKB xxx округляется

до некоторой величины iKBx которая называется уровнем квантования. В качестве уровней квантования выбирают верхнюю или нижнюю границу интервалов квантования либо их

середину (см. рис.4.17). На рисунке уровнем квантования выбраны нижняя граница (а) или – середина (б).

Очевидно, что в случае, изображенном на рис.4.17а, максимальное абсолютное значение погрешности квантования равно шагу квантования, а в случае, изображенном на рис.4.17б -

половине шага квантования. Доказано, что при большом n ( KBxxx ∆>>− minmax ) закон

распределения погрешности квантования практически не зависит от закона распределения x и близок к равномерному. Математические ожидания погрешности квантования в рассмотренных случаях различаются (причем на рис.4.17б математическое ожидание равно нулю), а дисперсии

погрешности квантования в обоих случаях одинаковы и равны 2)( KBxx ∆=∆σ

. Таким образом, в качестве уровней квантования целесообразно выбрать середины интервалов квантования и соответственно строить технические средства.

а бРис. 4.17

Если закон распределения вероятностей значений измеряемой величины существенно отличается от равномерного, а число уровней квантования в диапазоне измерения невелико

(меньше 52 ), то может оказаться целесообразным неравномерное квантование по уровню, т. е.

квантование с переменным шагом. На практике неравномерное квантование по уровню применяется весьма редко, например, в статистических анализаторах.

Дискретизация по времени предполагает представление непрерывной функции )(tx в

виде дискретного набора значений )( itx и, затем, ее восстановление. Простейший и наиболее

распространенный способ временной дискретизации – выбор достаточно малого шага 1−−=∆ ii ttt и соединение полученных точек прямыми. При восстановлении непрерывной функции таким образом неизбежно возникают погрешности (см. предыдущий параграф настоящей главы). Для уменьшения этих погрешностей необходимо уменьшить шаг квантования или, возможно,

интерполировать функцию )(tx на каждом шаге дискретизации степенными многочленами. Современные электронные средства в большинстве случаев позволяют обеспечить достаточно малый шаг дискретизации при оцифровке сигналов, поэтому интерполяция многочленами используется только в особых случаях.

Второй способ дискретизации по времени заключается в том, что непрерывная функция

)(tx заменяется конечным числом коэффициентов разложения iλ , по выбранной системе

базисных функций )(tg i .

KBx

x

KBx

x

xxxxxx

В этом случае по каналу связи передаются только коэффициенты разложения, а восстанов-ление исходной непрерывной функции осуществляется путем вычисления суммы

∑=

=N

iii tgtx

0

)()( λ. (4.5.5)

Наиболее широкое распространение разложение (4.5.5) получило для функции )(tx и

базисных функций )(tg i , удовлетворяющих теореме Котельникова.

Пусть )(tx имеет ограниченный спектр, то есть ее преобразование Фурье 0)( =ωiGx при

cωω ≥, где величина cω называется граничной частотой или частотой среза. Тогда, согласно

теореме Котельникова, всегда можно выбрать интервал c

tωπ=∆

такой, что непрерывная функция может быть разложена в ряд

)()()( tgtkxtxk

kk∑

∞=

−∞=

∆=, (4.5.6)

где

)(

)(sin)(

tkt

tkttg

c

ck ∆−

∆−=ω

ω

. (4.5.7)

Таким образом, теоретически непрерывная функция )(tx может быть точно восстановлена

по дискретным отсчетам )( tkxxk ∆= , и значениям базисной функции (4.5.7). При этом по каналам

связи достаточно передавать дискретные отсчеты kx .Разложение функции в ряд Котельникова проиллюстрировано на рис.4.18. Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, в реальных условиях точное восстановле-

ние непрерывной функции невозможно из-за того, что не могут быть выполнены условия теоремы Котельникова. Реальные функции всегда существуют на конечных интервалах

времени, поэтому их спектры неограничены. Выбор частоты среза cω и соответствующего

шага дискретизации t∆ приводит к потере высокочастотных составляющих и появлению

методической погрешности δ . За счет конечного времени определения функции

(длительности T ), ее спектр ограничен и снизу – частотой T

πω 2=.

Дисперсия относительной погрешности из-за потери высокочастотных составляющих

спектра определяется как отношение мощности сигнала в полосе частот ],[ ∞cω к мощности

сигнала в полосе ],0[ cω , т. е. к мощности той части спектра сигнала, которая может быть принципиально точно восстановлена:

Рис. 4.18

∫

∫∞

=c

c

dG

dG

D

x

x

ωω

ωω

ωωδ

0

)(

)(

)(

. (4.5.8 )

Адаптивная дискретизация. Пусть непрерывная функция )(tx квантуется и затем восстанавливается по дискретным отсчетам. Если результат восстановления описывается

функцией )(ty , то может быть выбран критерий точности восстановления ε . Критерием может служить максимальное отклонение

)()(max tytx −=ε, (4.5.9)

или среднеквадратичное отклонение

dttytxT

T

∫ −=0

22 )]()([1ε

, (4.5.10)

где T - интервал аппроксимации. Если дискретные по времени отсчеты непрерывной функции используются в дальнейшем для восстановления этой функции, то очевидно, что при заданном шаге дискретизации погрешность восстановления функции будет зависеть от способа ее восстановления (приближения). И наоборот, при заданной допустимой погрешности восстановления способ приближения функции будет определять максимальное значение шага дискретизации. В связи с этим задача дискретизации может быть сформулирована следующим образом: имеется непрерывная функции, требуется определить интервалы квантования по

t

t

t

t

x(t)

xx

t

t

t

t

t∆ [ ] )()3( 3 tgtkx k +∆+

)()( tgtkx k∆

[ ] )()1( 1 tgtkx k +∆+

времени, при которых отклонение между исходной и восстановленной функциями не превышало бы заданного значения.

При равномерной дискретизации отклонение, в зависимости от поведения исходной функции, будет достигать допустимого значения только в отдельные интервалы времени. В остальное время погрешность будет меньше допустимой, а шаг квантования теоретически может быть на отдельных временных участках увеличен (уменьшено общее количество отсчетов). Таким образом осуществляется адаптивная дискретизация, позволяющая оптимизировать количество точек квантования в зависимости от конкретного поведения

исходной функции )(tx . На рис.4.19 и 4.20 показаны примеры адаптивной дискретизации.

Рис.4.19

Идея адаптивной дискретизации состоит в следующем. На основе имеющегося дискретного отсчета (или отсчетов) на текущем интервале дискретизации определяются параметры воспроизводящей функции. Затем в любой текущий момент времени находится разность между соответствующими значениями исходной И воспроизводящей функций, т.е. погрешность воспроизведения (в данном примере используется критерий максимального отклонения). Если эта погрешность достигает предельно допустимого значения, то фиксируется конец интервала дискретизации, т. е. осуществляется новый отсчет. При этом восстановление непрерывной функции осуществляется чаще всего степенными полиномами. Возможен и другой подход к адаптивной дискретизации, заключающийся в адаптивном изменении порядка приближающего полинома при фиксированном интервале дискретизации. Однако на практике наибольшее распространение получила адаптивная дискретизация с переменным шагом квантования.

Рис.4.20

РРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРР

На рис.4.19 показан пример адаптивной дискретизации с восстанавливающей функцией вида

ε±= )()( txty ii .На рис.4.20 показан пример адаптивной дискретизации с использованием линейной

экстраполяции (полиномом первого порядка):

))(()()( iiii tttxtxty −′+= .Как видно из рисунков, количество отсчетов при адаптивной дискретизации сильно зависит

от конкретного вида функции (ступенчатая функция требует трех отсчетов, а линейная экстраполяция - четырех). Поэтому адаптивная дискретизация достаточно редко используется для сигналов, форма которых заранее известна. При современном уровне цифровой электронной техники в большинстве практически важных случаев оказывается проще для получения необходимой точности увеличить частоту равномерной дискретизации.

Общая схема цифровых измерительных приборов. В цифровых измерительных приборах (ЦИП) обязательно выполняются следующие операции: квантование измеряемой величины по уровню, ее дискретизация по времени и кодирование, т.е. преобразование в цифровой код. Большинство современных ЦИП имеют выход, позволяющий передавать измерительную информацию в компьютер, и одна из их важнейших функций – использование в качестве промежуточных измерительных преобразователей аналоговых величин в цифровой код в информационно-измерительных и автоматизированных системах контроля и управления с цифровой обработкой информации.

В настоящее время элементной базой ЦИП являются аналоговые и цифровые интегральные микросхемы, что позволяет достигнуть высокого быстродействия и малых габаритных размеров приборов. Применение интегральных микросхем средней и большой степеней интеграции расширило функциональные возможности ЦИП и их надежность при одновременном снижении энергозатрат. Перспективным направлением развития ЦИП является применение микропроцессоров, которые обеспечивают управление процессом измерения, самодиагностику, автоматическую градуировку по заданной программе, а также первичную обработку результатов измерения (линеаризацию функции преобразования, коррекцию погрешностей, сжатие данных).

Таким образом, ЦИП наиболее полно удовлетворяют основным требованиям, предъявляемым в настоящее время к измерительной аппаратуре, - высокая точность и быстро-действие, автоматизация процессов измерения и обработки информации.

Обобщенная структурная схема ЦИП приведена на рис.4.21. Она содержит входной аналоговый преобразователь АП, аналого-цифровой преобразователь АЦП, образцовую меру М, цифровое средство отображения информации ЦСОИ и устройство управления УУ.

Рис.4.21

АП

АЦ

ЦС

УУ

М

МММММММММММ

ДС

Внешний пуск

й

Ко

Аналоговый преобразователь преобразует измеряемую величину )(tx в функционально с

ней связанную аналоговую величину )(ty , более удобную для преобразования в цифровой код. В качестве АП используются усилители, делители, фильтры, преобразователи неэлектрических величин в электрические и т. п.. АП является важнейшим элементом измерительного прибора, поскольку именно он определяет чувствительность, динамический диапазон и частотный диапазон прибора.

Аналого-цифровой преобразователь выполняет операции квантования по уровню и по времени аналоговой величины, сравнения ее с мерой и кодирование результатов. При этом на выходе

вырабатывается дискретный сигнал ДС, который преобразуется ЦСОИ в цифровой отсчет N или в виде кода вводится в компьютер.

Образцовой мерой может служить, например, генератор импульсов с эталонной амплитудой и частотой повторения.

Цифровым средством отображения информации служит обычно цифровой индикатор или дисплей.

В качестве устройства управления можно использовать микропроцессор, который реализует необходимый алгоритм измерения.

ГЛАВА 5. РЕГИСТРАЦИЯ И АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

5.1. Характеристики случайного процесса

Случайные динамические процессы. Пусть случайная функция )(tx характеризуется

функцией распределения вероятностей ),( txρ . Функция ),( txρ определяет вероятность

принятия различных значений x в фиксированные моменты времени.

Вероятность для x принять в момент времени t значение в некотором интервале 21 xxx ≤≤ записывается в виде:

∫=≤≤2

1

21 ),(),(x

x

dxtxtxxxP ρ. (5.1.1)

С вероятностью равной единице, x находится на интервале ∞<<∞− x . Т.е. функция

),( txρ должна удовлетворять условию нормировки:

1),( =∫∞

∞−

dxtxρ

Если рассмотреть N дискретных реализаций процесса )(tx , то

N

NtxxxxPPxP 1

1111 ),()( ≈∆+≤≤==, (5.1.2)

где 1N – число реализаций, когда значение x в момент t находится в интервале

xxxx ∆+≤≤ 11 .

Статистическое описание процесса возможно при условии, что отношение N

N1

устойчиво , т.е.

)( 111 xP

N

N ρ=→ при ∞→N . (5.1.3)

При малом x∆ из (5.1.1) следует

)(

)(1lim),( 1

0 tN

tN

xtx

Nx

⋅∆

=∞→

→∆ρ

. (5.1.4)Учитывая (5.1.1-5.1.4) можно показать, что среднее (по реализациям случайного процесса)

значение )(tx вычисляется по традиционной формуле в каждый момент времени:

∫∞

∞−

⋅>=< dxtxxtx ),()( ρ. (5.1.5)

Если ),( txρ не зависит от t , т.е. )(хρρ = , то процесс называется стационарным. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением таких процессов.

Для вычисления среднего значения случайной функции )(tx по каждой реализации (среднее

по времени) необходимо выбрать только временной интервал усреднения T :

∫+

==Tt

t

dttxT

xtx )(1

)( . (5.1.6)

В том случае, если анализируется распределение функции )(хFy = , то её среднее значение вычисляется в виде

∫∞

∞−

⋅>=< dxxFxxF )()()( ρ . (5.1.7)

Аналогично записываются выражения для различных средних:

моменты случайного процесса )(tx

∫∞

∞−

⋅⋅=>= < dxxxxm nnn )(ρ

; (5.1.8)центральные моменты:

∫∞

∞−

⋅−>=−<= dxxxxxx nnn )()()( ρµ

. (5.1.9)

Пусть необходимо найти распределение функции )(хFy = . Если функция однозначна, то

можно построить обратную функцию )(yx ϕ= . Зная распределение )(хρ найдем распределение

)(yρ .

Если в интервале 21 xxx ≤≤

∫ ⋅=2

1

)(x

x

dxxP ρ, (5.1.10)

то перейдя к переменной )(хFy = , мы получим

∫ ⋅⋅==2

1

))((y

y

dxdy

dyxP

ϕϕρ. (5.1.11)

Из (5.1.11) следует, что

dy

dyxy

ϕϕρρ ⋅== ))(()(. (5.1.12)

Формула (5.1.12) справедлива для любой однозначной функциональной зависимости от случайной переменной и может использоваться на практике.

Если зависимость )(yϕ многозначна и имеет несколько ветвей )(ynϕ , то

∑ ⋅==n

nn dy

dyxy

ϕϕρρ ))(()(. (5.1.13)

Корреляционные и спектральные характеристики случайного процесса. Случайный процесс называется эргодическим (эргодичным), если для него усредненное значение по времени

равно усредненному значению по реализации, т.е. xtx >≡< )( при ∞→TN , . Рассмотрим далее временные характеристики таких процессов.

Пусть имеется две случайных функции )(),( 21 tyty . Взаимная корреляционная функция этих случайных процессов рассчитывается в виде

><⋅><−>= < 2121)( yyyytB

Нормируя корреляционную функция )(tB получим коэффициент корреляции

21

)()(

σσ ⋅= tB

tR,

21,σσ - дисперсии случайных процессов )(),( 21 tyty , 11 ≤≤− R .

Если 1y и 2y – значения одного и того же случайного процесса )(),( 21 τ+== tyytyy , то можно рассчитать коэффициент автокорреляции

τσσττ

⋅= ),(

),(tB

tR.

Если процесс стационарен, то )(τBB = , т.е. функция автокорреляции зависит только от

временного сдвига τ и не зависит от времени t . Иногда это утверждение считается определением стационарного процесса.

Кроме того, для стационарного случайного процесса функция автокорреляции

симметрична, т.е. )()( ττ −= RR .Из сказанного выше следует:

2)0( σ=B .

Характерный интервал τ , на котором функция автокорреляции )(τB уменьшается в e раз, называется временем корреляции. Время корреляции определяет, насколько в случайном процессе каждое следующее во времени его значение связано с предыдущим.

Спектральное представление случайного процесса. Запишем флуктуационную составляющую случайного процесса

xtxt −= )()(ξ , (5.114)и представим ее в виде интеграла Фурье:

∫∞

∞−

⋅= ωξξ ωω det ti)(

. (5.1.15)

Спектральная амплитуда )(ωξ является случайной функцией частоты ω .

Для вещественной функции )(tξ спектральная амплитуда комплексна и

*ω

ξ ξω =−, где

«*» означает комплексное сопряжение.Спектральной плотностью случайного процесса по определению называется величина

)(ωG , такая, что

∫∞

∞−

⋅>=< ωωξ dG )(2

.Для стационарных случайных процессов характерно следующее важнейшее свойство:

спектральная плотность процесса является Фурье-преобразованием от автокорреляционной функции (теорема Винера-Хинчина):

)()( τωωωωτ ξξωωξξτ +′+

′

∞

∞−

∞

∞−

⋅><⋅′⋅>== < ∫ ∫ titieddB(5.1.16)

В (5.1.6) для стационарного процесса должна отсутствовать зависимость от t . Это

возможно лишь в том случае, если спектральные амплитуды ωξ δ -коррелированны и

)()( ωωδωξξ ωω ′+⋅>=< ′ A . (5.1.17)

Тогда

⋅=

⋅=

=

∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

ττπ

ω

ωωτ

ωω

ω

ω

deBG

deGB

GA

ti

ti

)(2

1)(

)()(

)()(

. (5.1.18)

Из (5.1.18) следует, что если обозначить ширину спектра случайного процесса ω∆ , то

k

const

τω =∆

, (5.1.19)

где kτ - характерное время корреляции.Статистические характеристики стационарного случайного процесса проиллюстрированы на

рис.5.1. Здесь показана реализация процесса (рис.5.1,а) и эта же реализация, подвергнутая сглаживанию методом скользящего среднего (см. главу три настоящего пособия) (рис.5.1,б). Зависимости 1,2,3 соответствуют реализации, ее статистическому распределению, и автокорреляционной функции. Процесс имеет распределение, близкое к нормальному

(гистограмма на рис.5.1,а, зависимость 2) и, практически δ -коррелирован, то есть имеет время

корреляции 0=kτ и широкий спектр (автокорреляционная функция на рис.5.1,а, зависимость 3). После сглаживания статистическое распределение практически не меняется, но время корреляции увеличивается, т.е. происходит высокочастотная фильтрация.

Рис.5.1

5.2. Колебания, модулированные шумом (квазигармонический процесс)

Квазигармонические случайные процессы имеют большое значение для задач радиофизики и оптики, в частности, для передачи информации по оптическому или радиосигналу.

Рассмотрим синусоидальный сигнал, у которого амплитуда и фаза промодулированы случайным гауссовым процессом.

Амплитудно-модулированные (АМ) колебания можно описать следующим образом:

[ ] )cos()(1)( 00 ϕωηξ +⋅+⋅= ttat ; (5.2.1)

Рассмотрим статистические характеристики (5.2.1), считая амплитудную модуляцию )(tη стационарным случайным процессом с положительной огибающей

0))(1( ≥+ tη .

Пусть фаза ϕ - случайная постоянная величина с равномерным распределением

)(,2

1)( πϕπ

πϕω <<−=

; (5.2.2)Процесс при этом будет стационарным.

Пусть ωωτηηη ω τ

τ deGB i ⋅⋅=>=<= −∞

∞−∫ )()(,0 00

. (5.2.3)Используя (5.2.3) в (5.2.1) получим:

[ ] τωτξξτξ τ 000 cos)(1

2)(,0 ⋅+⋅>== <= B

aB

; (5.2.4)В расчетах (5.2.4) использовано усреднение в виде интегрирования по формуле (5.1.7). Мы и

далее будем пользоваться формулами (5.1.6-5.1.9) для вычисления характеристик случайных процессов.

Спектр процесса (5.2.1) имеет вид:

[ ])()()()(4

)( 000000

02

ωωωωωωδωωδω ++−+++−⋅= GGa

G.

(5.2.5)

Если спектр модуляции уже, чем несущая частота 0ω , т.е. 0)(0 =ωG при 0ωω ≥, то спектр

(5.1.5) при 0≥ω будет иметь вид:

[ ])()(2

)( 000

20 ωωωωδω −+−⋅=+ G

aG

. (5.2.6)Спектр (5.2.6) показан на рисунке 5.2.

Как видно из (5.2.6) спектр квазигармонического процесса (5.2.1) имеет две составляющие:

дискретную и непрерывную. Дискретная составляющая соответствует несущей частоте 0ω , а непрерывная составляющая повторяет форму спектра огибающей.

Рис.5.2

Рассмотрим квазигармоническое колебание со случайной фазовой модуляцией. Если амплитуда колебаний постоянна, то такой процесс запишется в виде:

[ ])(cos)( 00 ttatx ϕω +⋅= , (5.2.7)или в комплексной форме:

[ ] ..2

1)( )(

00 скeatx tti +⋅= +ϕω

,где к.с. – комплексно-сопряженное.

Если consta =0 , то вычисление среднего значения x и корреляционной функции >< τxx сводятся к вычислению средних следующих функций:

><>< ± )(, τϕϕϕ ii ee .В простейшем случае,

..2

10

0 скeeax iti +><⋅⋅⋅= ϕω

(5.2.8)

Пусть )(tϕ - стационарный гауссовский процесс, у которого

∫∞

∞−

− ⋅⋅=⋅=>=<= ωωτστϕϕϕ ω ττ deGRB i)()()(,0 00

200

;(5.2.9)В этом случае:

[ ]

>=<

>=<±⋅−±

−

)(1)(

2

020

20

,τσϕϕ

σϕ

τ Ri

i

ee

ee

(5.2.10)

ω

ω

G0(ω)

(

δ(ω0−ω)

ω

0

0

ω0

00

G+ (ω)

Усредняя (5.2.8) с учетом (5.2.10) получим:

[ ]

⋅+==

⋅⋅=

−

−

tea

x

teax

02

2022

02

0

2cos12

cos

20

20

ωσ

ω

σ

σ

(5.2.11)

Для флуктуационной компоненты xtxt −= )()(ξ автокорреляционная функция будет иметь вид:

[ ] [ ])2cos(cos12

),( 000)(

20 0

20 τωωτωξξτ τσ

τ +−⋅−⋅⋅>== < − teea

tB B

(5.2.12)Как видно из (5.2.12), рассматриваемый процесс не является стационарным, поскольку

автокорреляционная функция зависит от времени t . Эта зависимость периодическая.Усредняя (5.2.12) по времени получим

[ ] τωτ τσ0

)(20 cos1

2)( 0

20 ⋅−⋅⋅= − Bee

aB

. (5.2.13)Как и в случае амплитудной модуляции спектр квазигармонического сигнала состоит их

дискретной и непрерывной составляющей. В соответствии с (5.2.11) интенсивность дискретного спектра имеет вид:

20

2

20 σ−⋅= e

aIдискр

. (5.2.14)А непрерывный спектр флуктуации определяется следующим выражением:

[ ] [ ] τπ

ω τωωτωωτσ deeeea

G iiB∫∞

∞−

+−−− +⋅−⋅⋅= )()()(20 000

20 1

8)(

.(5.2.15)

Непрерывному спектру соответствует интегральная составляющая

[ ]201

2

202 σξ −−⋅>== < e

aIнепр

; (5.2.16)Сопоставляя (5.2.16) и (5.2.14) получим:

2

2022 a

II непрдискр =+, (5.2.17)

Т.о. при фазовой модуляции интенсивность дискретной и непрерывной спектральных случайных составляющих сигнала равна интенсивности немодулированного колебания. Для амплитудно-модулированного сигнала это соотношение не выполняется, что приводит к меньшей помехоустойчивости.

5.3. Импульсные случайные процессыРассмотрим несколько моделей случайных импульсных процессов:

1.Одиночный случайный импульс

Пусть форма импульса известна и задается функцией )(tF , а момент его появления случаен и меняется от реализации к реализации:

)()( 0ttFtx −= . (5.3.1)

2. Импульс со случайной структурой описывается в виде:

)()()( ttFtx ξ⋅= , (5.3.2)

где )(tF - регулярная функция (огибающая импульса)

)(tξ - случайный процесс (функция может быть комплексной).3.Случайная импульсная последовательностьВ этом случае процесс состоит из совокупности импульсов

∑=

−=n

ppttFtx

1

)()(, (5.3.3)

где )(tF - регулярная функция, описывающая форму импульса;

pt может быть случайным моментом появления каждого импульса. Случайным может быть и

число n - количество импульсов.4.Квазипериодический импульсный процесс.

В этом случае )()()( ψρ Fttx ⋅= , (5.3.4)

где )(ψF - периодическая функция, удовлетворяющая следующему условию:

;2;1;0),()2( ±±==+ nFnF ψπψАргумент этой функции следующим образом зависит от времени:

)(0 tt ϕωψ += . (5.3.5)

Если 00 )(,)( ϕϕρρ == tt , то выражение (5.3.4) определяет регулярную периодическую

последовательность импульса произвольной формы )(tF . При случайных 0ρ и 0ϕ выражение (5.3.4) определяет последовательность импульса со случайной амплитудой и длительностью.

Рассмотрим статистические характеристики таких импульсных процессов на примере одиночного случайного импульса.

Одиночный случайный импульс. Для одиночного случайного импульса средние значения и корреляционная функция описываются следующим образом:

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

−+−=

−=

0000

000

)()()(

)()(

dttttFttFxx

dttttFx

ρττ

ρ

, (5.3.6)

где )( 0tρ

- распределение вероятности случайного момента 0t появления импульса.

Пусть )(tF имеет максимум в точке t′ , а «длительность» распределения 00 )( τρ ↔t ,

максимум )( 0tρ

соответствует моменту времени 0t ', иτ - длительность импульса )(tF .

Согласно (3.5.6) в предельных случаях 0ττ <<и и 0ττ >>и выражение для x будет иметь вид:

θθρ dFttx ∫∞

∞−

−≈ )()'( при 0ττ <<и ; (5.3.7)

)'( 0ttFx −= при 0ττ >>и . (5.3.8)

Аналогичным образом упрощаются выражения для корреляционной функции:

θτθθρτ dFFttxx ∫∞

∞−

+−≈ )()()''(, (5.3.9)

)'()'( 00 ttFttFxx −+−≈ ττ . (5.3.10)

''t определяется из условия, когда )()( τ+tFtF принимает максимальное значение.

Таким образом, одиночный импульс )()( 0ttFtx −=

при случайном 0t не является стационарным случайным процессом, т.к. среднее значение и автокорреляционная функция зависят от времени.

Получим среднее значение импульса гауссовой формы при гауссовом распределении 0t .Т.е.

22

0)( teFtF ⋅−⋅= α, (5.3.11)

а

20

2

)( 0tet ⋅−⋅= β

πβρ

. (5.3.12)

Здесь 22

12

иτα =

, 2

02

12τ

β =

. Используя (5.3.11) и (5.3.12) в (5.3.6) получим

exp 222

22

22

0 tF

x ⋅+

−⋅+

=βα

βαβα

β

. (5.3.13)

Проанализируем (5.3.13). Пусть 0ττ >>и , тогда αβ >> и )(tFx = , что согласуется с

(5.3.8). Если 0ττ <<и то

exp 220 tFx ⋅−⋅≈ β

αβ

. (5.3.14)

Соответствующее временное поведение x показано на рис.5.3.

Условие 0ττ >>и означает, что временное положение импульса мало меняется от

реализации к реализации и величина x принимает форму единичного импульса (сплошная кривая

на рис.5.3). При 0ττ <<и импульс «растекается» в пределах временного интервала и его среднее значение имеет меньшую амплитуду и большую длительность в соответствии с (5.3.14) (прерывистая линия на рис 5.3.

Рис.5.3

Пусть появление импульса равновероятно для любого момента на достаточно большом

интервале T :

Tt

1)( 0 =ρ

при иT τ>> .Тогда среднее значение и корреляционная функция перестают зависеть от времени.

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

+=

=

θτθθ

θθ

τ dFFT

xx

dFT

x

)()(1

)(1

. (5.3.14)

Таким образом, процесс становится стационарным в пределах интервала T .

5.4. Выбросы случайных процессов и методы их детектированияАнализ характеристик случайных сигналов аналоговыми методами.Если случайный процесс стационарен и эргодичен, то его характеристики могут быть

получены при анализе временных зависимостей )(tx . Именно таким образом работают аналоговые электрические схемы для измерений случайных сигналов. На рис.5.4 показан

простейший способ получения среднего значения случайного сигнала )(tx при помощи

интегральной RC -цепочки.

Пусть характерное время RC - фильтра RCT =0 . Схема, показанная на рис.5.4 состоит из

линейного усилителя У с коэффициентом усиления k и RC -интегрирующей цепи. Сигнал

)(tx , поступающий на вход схемы, усиливается и, при интегрировании RC-фильтром даёт следующую временную зависимость:

( ) ΘΘ−= ∫∞ Θ−

dtxeT

kty T

00

0)( . (5.4.1)

((((((((((((

Рис.5.4

При большом RCT =0 для этой цепи )()( txkty ≈ (сопоставим (5.4.1) и (5.3.14)). На

рисунке )(ty описывает показания прибора, измеряющего напряжение. Точность измерения среднего по формуле (5.4.1) определяется двумя факторами:

1) нелинейными искажениями усилителя У ;

2) характерным временем интегрирования 0T - чем больше 0T

, тем точнее вычисляется −x .

Аналогичная схема может быть использована для измерения, например, 2x , - для этого

между усилителем и интегрирующим фильтром необходимо установить соответствующий детектор, в данном случае, квадратичный.

Определение вероятностных характеристик случайных сигналов. Статистическое распределение случайных сигналов и вероятность их нахождения в определённом интервале для случайного стационарного процесса также может определяться во временной области в том случае, если процесс эргодический.

Пусть нас интересует вероятность )( 21 xxxP << нахождения случайного сигнала )(tx в

интервале ],[ 21 xx . Такую вероятность можно определить по относительному времени

пребывания реализации )(tx в указанном интервале:

,)( lim21 T

txxxP i

i

T

∑∆=<<

∞→ (5.4.2)

У

УУ

C

CCCC

R

RR

t

tttttt

t

tttttt

)(ty

где it∆ - время пребывания сигнала в указанном интервале, T - общая длительность реализации случайного процесса (см. рис. 5.5). Расчет вероятности (5.4.2) легко может быть реализован в электронной схеме. Например, схема сравнения, срабатывающая при пересечении

сигналом уровней 21, xx управляет работой триггера, генерирующего прямоугольные сигналы единичной амплитуды, как это показано на рис. 5.5. Остается лишь при помощи генератора импульсов эталонной частоты рассчитать суммарную длительность прямоугольных импульсов на выходе триггера.

Рис.5.5

Функция )(tη является некоторой детерминированной функцией от случайной функции

)(tx , поэтому )(tη представляет собой случайный стационарный процесс:

∫ ∫∞

∞−

+

∞→

−<<===

Tt

tT

xxxPdttxT

dxxx )(),(1

)()( 21lim ηρηη. (5.4.3)

В (5.4.3) учтено, что функции )(xη принимает значения [1,0], а поведение плотности

вероятности )(xρ полностью соответствует временному поведению )(tη .Такой же алгоритм обработки случайного процесса может быть применен к исследованию

аномальных выбросов. Измерение выбросов случайных процессов. Рассмотрим выбросы случайного процесса

)(tx. Выбросами будем называть превышение

)(tx некоторого уровня C . Алгоритм обработки

t

t

x(t)

x

x2

2

x1

1

t

t

η(t)

η

1

11111111111

Рис. 5.6такого процесса и временные зависимости соответствующих сигналов показаны на рис.5.6.

Математически выбросы определяются выражением:

[ ] )()()( cxIctxtxt −−= (5.4.4),где

<=

>=

0,0

0,2/1

0,1

)(

x

x

x

xI

(5.4.5)при этом

.

)()(),()( xxxIdt

dxxI

dx

d δδ ==. (5.4.6)

Переход от )(tx к )(txt и последовательность вычисления характеристик выбросов

показаны на рис. 5.6.При аналоговой обработке такие процедуры возможно осуществить двумя нелинейными

устройствами, характеристики которых показаны на рис.5.7.Устройства представляют собой идеальный детектор (а) и идеальный ограничитель (б).

t

t

x(t)

x

C

CC

t

t

1

11

Xt(t)

(

t

t

t1

1

t2

2

tn

n

a)

a

б)

)

в)

)

t

t

г)

)

t

t

д)

)

е)

))))))))))

t

tttt

Рис. 5.7

Как функция времени процесс )( cxI − представляет собой случайную последовательность прямоугольных импульсов, (рис. 5.6,в).

Прямоугольные импульсы синхронны с выбросами и их суммарная длительность соответствует длительности выбросов.

Запишем некоторые характеристики выбросов с учётом формул (5.4.4 -5.4.6). Под

длительностью выбросов понимается величина ttii −=∆Θ +1 , тогда суммарная длительность

импульсов совпадает со временем пребывания процесса в области cx > и длительность выброса определяется интегралом

∫ −=ΘT

dtcxI0

)( . (5.4.7)

Число выбросов может быть рассчитано при дифференцировании функции )(xI ( рис. 5.6,г,д).

Введя фактор )(xI , отсекающий отрицательные короткие выбросы (дельта функции),

рассчитаем полное число выбросов за время T , соответствующее формулам (5.4.4 -5.4.6):

∫ ∫ −=−=T T

dtxIxcxdtxIcxIn0 0

....

)()()()( δ. (5.4.8)

В практических задачах, особенно в электротехнике и оптике, часто необходимо рассчитать суммарную энергию выбросов:

[ ] dtcxIcxdttxQTT

t )()()( 2

0

2

0

2 −−== ∫∫ . (5.4.9)

Если необходимо рассчитать число пересечений порога cx = , то записывается функция...

)()()( xcxxcxcxI −=−=− δδ,

которая представляет собой временную последовательность положительных дельта - импульсов, положение каждого из которых совпадает с моментом пересечения. Таким образом,

полное число пересечений N уровня C с положительной и отрицательной стороны запишется в виде:

dtxcxNT

∫ −=0

.

)(δ . (5.4.10)

В случае переменного порога )(tC выражение (5.4.10) обобщается следующим образом:

x+

+

x

xx

a)

a

x

xx

б)

)

I(x-c)

II

dtcxcxNT

∫ −−=0

.

)(δ. (5.4.11)

Аналогичным образом может быть рассчитано число максимумов

= 0)(

.

tx и другие

характеристики выбросов, в частности можно рассчитать статистические характеристики

пересечений случайного процесса )(tx со случайными кривыми )(tC , т.е. анализировать уже два параллельных случайных процесса.

5.5. Корреляционный прием и адаптивная фильтрацияПри передаче сигналов по каналам связи неизбежно происходит их искажение и для

повышения разрешающей способности регистрирующих устройств необходима обработка регистрируемых сигналов для выделения амплитудных фронтов, фазы сигнала и т.д. При импульсной модуляции сигнала чаще всего такая обработка аналогична выделению сигнала на фоне шума и основана на принципе корреляционного приема или оптимальной фильтрации сигнала. Рассмотрим простейший алгоритм такой обработки.

Пусть на вход приемника (антенну, акустический микрофон и т.д.) поступает сигнал

)()( tNtf + , где )(tf - полезный, содержащий информацию сигнал с конечным спектром )(ωG ,

а )(tN - широкополосный белый шум с равномерным спектром:

. )()(

, )()(

0QQtN

Gtf

=÷÷

ωω

Тогда для полезного сигнала и его мгновенной интенсивности )(tI можно записать:

∫∞

∞

=-

)()( ωω ω deGtf ti

,

)()( 2 tftI = . (5.5.1)

Если )(tS - интересующий нас полезный сигнал, соответствующий отклику приемной

системы на входное воздействие )(tf , то для его интенсивности можно привести следующие спектральные выражения:

∫∞

∞

=-

)()()( ωωω ω deGBtS ti

; (5.5.2)2

-

0 )()()(

= ∫

∞

∞

ωωω ω deGBtI ti

, (5.5.3)

где )(ωB - спектральная передаточная функция приемника (см. раздел настоящего пособия о спектральном преобразовании сигналов):

)()()( ωω GBtS ÷ . (5.5.4)C учетом (5.5.3) отношение интенсивности полезного сигнала к интенсивности шума на

выходе приемника можно записать в виде

( )∫∞

∞−

=ωω dQB(ω

(t)IШ

СВЫХ

)()2

0

, (5.5.5)

где в знаменателя стоит спектральное выражение для интенсивности шума )(tN . Целью обработки сигнала и выделения сигнала из шума является получение максимального отношения

(5.5.5) за счет выбора спектральной передаточной функции )(ωB . Для оценки числителя в (5.5.5) используем известное в математике неравенство Коши−Буняковского, согласно которому квадрат от интеграла (5.5.3) не может быть больше произведения его составляющих:

≤

= ∫∫∫

∞

∞

∞

∞

∞

∞ -

2

-

2

2

-

0 )( )()()()( ωωωωωωω ω dGdBdeGBtI ti

. (5.5.6)

Если мы будем считать, что шум имеет равномерный спектр ( 0)( QQ =ω ), то тогда, вынося эту величину за знак интеграла в знаменателе (5.5.5) и учитывая (5.5.6) , мы можем оценивать отношение сигнал/шум при помощи следующей формулы:

( )0

2)

Q

dωG(ω

ШС

ВЫХ

∫∞

∞−≤ . (5.5.7)

Величины )(ωB и )(ωG - комплексные, а знак равенства в формуле (5.5.6) и максимум соотношения сигнал/шум в (5.5.7) достигается тогда, когда эти величины при умножении под интегралом являются комплексно-сопряженными. Это условие может быть сформулировано следующим образом:

00 )()()( titi eAGeAGB ωω ωωω −−∗ −== , (5.5.8)

где 0t , A - произвольные постоянные. Это условие для спектральной (частотной) передаточной функции приемника обеспечивает, таким образом, оптимальную фильтрацию сигнала. А фильтр, удовлетворяющий условию (5.5.8), называют согласованным.

Перейдем теперь от спектрального к временному рассмотрению поведения сигнала при оптимальном (согласованном) приеме. Подставив выражение (5.5.8) для частотной характеристики оптимального фильтра в формулу для результирующего сигнала (5.5.2), получим:

∫∞

∞

−=-

)(20)()( ωω ω deGAtS tti

. (5.5.9)Из (5.5.9) следует, что на выходе согласованного фильтра сигнал достигает максимума в

момент 0tt = и, кроме того, сигнал )(tS оказывается симметричным относительно этого момента

времени. Запишем выражение для сигнала )(tS через входной сигнал )(tf и временную функцию отклика приемника:

∫∞

∞

−=-

)()()( τττ dtHftS, (5.5.10)

где функция отклика соответствует спектральной передаточной функции

)()( ωBtH ÷ . (5.5.11)

Таким образом, для осуществления оптимальной фильтрации необходимо рассчитывать

интегральную свертку (5.5.10) двух функций - входного сигнала )(tf и функции отклика, которая должна представлять собой инвертированный (перевернутый) во времени входной сигнал:

)()( tftH −→ . (5.5.12)Проиллюстрируем работу оптимального фильтра на примере симметричного

прямоугольного сигнала. Соответствующие временные зависимости показаны на рис.5.8.

Пусть временная задержка τ между искаженным принимаемым сигналом и прямоугольной функцией отклика равномерно уменьшается. Интеграл свертки между этими импульсами пропорционален площади их пересечения и представляет собой треугольный импульс. Вершина этого треугольного импульса будет соответствовать моменту, когда прямоугольные импульсы полностью пересекутся. Таким образом, оптимальная фильтрация не только позволяет получить максимальное отношение сигнал/шум на выходе приемника, но и зафиксировать момент времени

0tt = его максимального отклика. Зафиксировать этот момент времени можно с большей точностью, чем, например, измерить момент прихода искаженного переднего фронта входного сигнала (см. рис.5.8).

τ

τ=0

H(t) S (t)

Рис. 5.8

Рассмотрим алгоритм оптимального приема сигнала при импульсном радиолокационном

зондировании (рис.5.9). Пусть в среду посылается импульсный сигнал )(0 tS , а после его прихода

в приемник он приобретает форму )(tS . Поскольку нам заранее не известна степень искажения зондирующего импульса, то в простейшем случае в качестве оптимального (согласованного) отклика приемной системы можно использовать сам зондирующий сигнал.

C ∫ ПУS(t)

H(τ-t)

ЛЗS0(-t)

t0(τ=0)

Рис. 5.9

Для этого зондирующий сигнал через управляемую линию задержки (ЛЗ) подается на смеситель (С) вместе с принимаемым сигналом. Сигнал со смесителя, пропорциональный произведению этих сигналов подается на интегратор, осуществляющий суммирование (накопление) сигнала, и затем пороговое устройство (ПУ, или пиковый детектор) выделяет максимальное значение полученной таким образом свертки (5.5.10), в зависимости от значения

управляемой временной задержки τ . Приведенный на рис.5.9 алгоритм широко используется на практике. При этом

преобразование свертки сигналов часто необходимо осуществлять в режиме реального времени (как, например, в радиолокации, - при осуществлении слежения за быстро двигающимся объектом). В этом случае необходимо производить операцию свертки в аналоговой форме, поскольку несущие частоты сигналов очень высоки и их оцифровка и цифровая обработка затруднительны.

ГЛАВА 6. ОБРАБОТКА ДАННЫХ И ПЛАНИРОВАНИЕ МНОГОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

6.1. Корреляционные связи и факторный анализ данных при пассивном эксперименте

При пассивном многофакторном эксперименте результатом является матрица

экспериментальных данных, состоящая из набора n столбцов. Каждый из столбцов соответствует

набору экспериментальных значений отдельного фактора. Если каждый фактор с номером k

может приобретать m значений mkkk xxx ...., 21 , то матрица экспериментальных данных будет

иметь размерность mn × . Иногда факторы называют признаками.Возникает задача установления статистических связей между рядами (столбцами) данных.

Задачи такого типа возникают при измерении параметров природных объектов (метеорология, гидрология и т.д.), где результаты эксперимента зависят от большого числа параметров, которые в значительной степени имеют случайный характер. Кроме того, определение статистических связей широко используется в гуманитарных задачах (экономике, социологии, психологии и т.д.).

Методы факторного анализа позволяют с некоторым приближением решить одну из наиболее распространенных задач научного исследования - задачу построения той или иной схемы классификации, т.е. компактного описания явления на основе обработки больших информационных массивов.

Исследование системы признаков, проведенное на основе факторного анализа в ряде случаев позволяет вскрыть логическую структуру сложного явления, отделить взаимозависимые от

независимых признаков, проверить или выдвинуть гипотезу о взаимосвязях в сложной системе признаков.

Пусть имеется матрица признаков Y с элементами ijy. Матрица исходных признаков Y

нормируется следующим образом и переходит в матрицу Z с элементами

i

iijij S

yyz

−=

, (6.1.1)

где iy - среднее значение показателя в столбце i ; iS - среднеквадратичное отклонение (СКО)

( )∑=

−−

=n

jiiji yy

nS

1

2

1

1

(6.1.2)

Для нормированной матрицы Z выполняются следующие условия:

11

1

01

1

2

1

=−

=

∑

∑

=

=

n

jij

n

jij

zn

zn

. (6.1.3)

Корреляционная матрица R , содержащая коэффициенты корреляции ijr между столбцами

матрицы Z , вычисляется по формуле

RZZ =−

T

n 1

1

. (6.1.4)

Матрица R - симметричная матрица.

Целью факторного анализа является представление величины ijz в виде линейной

комбинации нескольких переменных (факторов):

rjirjijiij papapaz +++= ...2211 , (6.1.5)

где ijp - значения факторов; ija

- постоянные коэффициенты, которые надо определить.

Элементы ija матрицы A называются факторными нагрузками.

Формула (6.1.5) в матричном виде переписывается как

ΡΑΖ ⋅= . (6.1.6)Подставив (6.1.6) в (6.1.4), получим

TT

nAPPAR ⋅

−=

1

1

. (6.1.7)Можно утверждать, что

CPP =⋅−

T

n 1

1

, (6.1.8)

где C является корреляционной матрицей.Тогда из (6.1.7) следует, что

TACAR ⋅⋅= . (6.1.9)

Если факторы, определяемые матрицей P статистически независимы, то есть EC = - единичная матрица, то

TAAR ⋅= . (6.1.10)

Если количество факторов ijp соответствует количеству показателей в исходной матрице

ijz, то для СКО справедливо

∑=

==n

jiji aS

1

22 1, (6.1.11)

то есть для нормированной исходной матрицы сумма квадратов всех факторных нагрузок одного показателя равна дисперсии его нормированных величин.

При факторном анализе чаше всего используют так называемый метод главных компонент.

Для этого корреляционная матрица R преобразуется в диагональную матрицу Λ собственных

значений iλ . Для этого строится характеристический многочлен

1

1

1

21

221

121

−−−

−−−

−−−

=−⋅

λ

λλ

λ

pp

p

p

rr

rr

rr

RE

. (6.1.12)

На основе системы уравнений (6.1.12) ищутся корни (собственные значения) pλλ ... ,1 , при этом

pλλλ ... 21 ≥≥ и

1 ... 21 =++ pλλλ. (6.1.13)

По собственным векторам строится нормированная матрица преобразования V с элементами

iv :

( ) 0=− ii vREλ . (6.1.14)

Матрица факторных нагрузок A вычисляется по формуле

2

1

ΛVA ⋅= ,где

=

p

2

1

2

1

0 0

0 0

0 0

λ

λ

λ

Λ

.

Таким образом, нагрузка l -ой главной компоненты на j -ую переменную вычисляется по формуле

jjll ap λ=.

В случае если количество факторов lp совпадает с количеством исходных признаков

jZ, то

l

k

jjla λ=∑

=1

2

,

то есть, lλ определяет СКО l - ого признака.Матрицу главных компонент можно получить по формуле

ZVΛZAP ⋅⋅=⋅=−− T2

11

,

где Z - матрица нормированных значений исходных признаков.Таким образом, факторные нагрузки определяют корреляционную связь между

исходными признаками и главными компонентами (факторами).

Из условия (6.1.13) следует, что можно выбрать количество главных компонент l гораздо

меньше количества исходных признаков n . Например, три признака 321 , , ppp могут давать 90% вклада в суммарную дисперсию. В этом случае оказывается, что для описания данных достаточно оценить поведение этих трех факторов.

Таблица 6.1 Таблица 6.2

ФФР1 ФФР2 ФФР3 ФФР1 ФФР2 ФФР3 ФФР4 ФФР5

EESR 0,946 -0,128 0,184 0,428 -0,146 0,082 0,419 0,763

GAZA 0,823 -0,419 -0,046 0,320 -0,089 0,075 -0,048 0,928

IRG2 -0,076 0,210 -0,878 0,019 0,107 -0,977 -0,072 -0,12

KMAZ 0,823 0,404 -0,242 0,730 0,312 -0,268 0,326 0,348

LKON 0,950 -0,081 0,194 0,478 -0,069 0,150 0,383 0,741

MGTS 0,812 0,088 0,123 0,714 -0,063 0,036 0,414 0,444

MSNG 0,891 0,282 0,185 0,676 0,184 0,082 0,460 0,449

NKEL 0,820 0,507 -0,013 0,321 0,362 -0,109 0,634 0,499

RTKM 0,899 0,156 0,296 0,392 0,046 0,137 0,611 0,626

SNGS 0,544 0,532 0,462 0,307 0,015 0,087 0,930 0,048

SPTL 0,094 0,801 0,244 0,046 0,973 -0,103 0,055 -0,133

TATN 0,935 -0,044 0,051 0,761 -0,055 0,038 0,242 0,546

S, % 61,7 14,2 11,0 24,6 10,5 29,3 21,0 29,1

Для примера приведем результаты факторного анализа котировок акций двенадцати крупнейших компаний на российском фондовом рынке. Анализировались данные за период 2000 - 2002 гг. (табл.6.1). Для получения матрицы факторных нагрузок, приведенных в таблицах 6.1 и 6.2, исходными данными служили случайные временные изменения котировок акций. В левом столбце обозначены 12 исходных признаков (SNGS – «Сургутнефтегаз», EESR – «РАО ЕС

России» и т.д.) S - процентный вклад каждого фактора в общую дисперсию. При выделении

главных компонент оказалось, что основными являются три фактора фондового рынка (ФФР1, ФФР2 и ФФР3). Их суммарный вклад составил 61,7+14,2+11,0=86,9 %.

Первый наиболее весомый фактор ФФР1 имеет высокую корреляционную связь с большинством из выбранных эмитентов. Этот фактор в результате анализа данных необходимо интерпретировать. Он может определяться ценой на нефть, банковскими ставками, обменным курсом национальной валюты и т.д. (либо комбинацией этих макроэкономических показателей). Важным является то, что по данным табл.6.1 с определенной степенью достоверности можно утверждать, что цены на выделенные жирным шрифтом акции связаны между собой и фактором ФФР1.

В табл.6.2 показаны результаты факторного анализа тех же исходных данных, но разложенных по пяти факторам. Согласно табл.6.2 суммарный вклад в общую дисперсию возрос с 86,9 до 94 %. При сопоставлении данных обнаруживается, что происходит перераспределение факторных нагрузок. Наиболее весомый фактор ФФР1 табл.6.1 разделяется на два фактора. Акции SNGS, нагрузка которых была равномерно распределена на три фактора, выпадают в отдельный наиболее весомый фактор.

Принято выделять корреляционные связи при коэффициенте корреляции 7.0>R

. C учетом

формулы (3.2.5) ( ) 221 γ−≈R

, где γ - относительная погрешность. При 7.0=R

погрешность 5.0<γ , то есть это предел, при котором случайная погрешность сопоставима с измеряемой величиной.

Связь факторного анализа с регрессионным анализом на основе МНК (см. главу 3

настоящего пособия) состоит в следующем. Факторные нагрузки (коэффициенты разложения ija

(6.1.5)) лишь приблизительно соответствуют регрессионным зависимостям, построенным по

методу наименьших квадратов. Для однофакторной связи двух признаков y и x коэффициент a

соответствует наклону прямой, проходящей (средней) между линейной регрессией y на x и x

на y .

6.2. Основы планирования многофакторного экспериментаКак уже отмечалось в первой главе, в общем случае объект исследования можно представить

в виде структурной схемы, показанной на рис.6.1.

Объект

x 1x 2...x k

w 1 w 2 w n

. ..

y 1y 2

...y p

Рис.6.1

Представление объекта в виде такой схемы основано на принципе «черного ящика». Имеем следующие группы параметров:

1) управляющие (входные) ix , которые называются факторами;

2) выходные параметры iy , которые называются параметрами состояния;

3) iw - возмущающие воздействия.

Предполагается, что возмущающие воздействия не поддаются контролю и либо являются случайными, либо меняются во времени.

Каждый фактор ix имеет область определения, которая должна быть установлена до проведения эксперимента.

Комбинацию факторов можно представить как точку в многомерном пространстве, характеризующую состояние системы.

На практике целью многофакторного эксперимента является установление зависимости

( )kxxxfy ... ,, 21= , (6.2.1)описывающей поведение объекта. Чаще всего функция (6.2.1) строится в виде полинома

22110 xaxaay ++= (6.2.2)или

21122222

211122110 xxaxaxaxaxaay +++++= . (6.2.3)

Целью эксперимента может быть, например, построение зависимости (6.2.1) при

минимальном количестве измерений значений управляющих параметров ix .На первом этапе планирования эксперимента необходимо выбрать область определения

факторов ix . Выбор этой области производится исходя из априорной информации. Значения ix называются уровнями управляющего параметра.

Если выбрана линейная модель (6.2.2), то для построения аппроксимирующей функции

достаточно выбрать основной уровень и интервал варьирования управляющего параметра ix .Для линейной модели интервал варьирования можно определить как

2minmax xx

I−=

,а основной (нулевой) уровень - как среднее значение

2minmax

0

xxx

+=.

Для упрощения планирования эксперимента принято вместо реальных (натуральных)

уровней ix использовать кодированные значения факторов. Для факторов с непрерывной областью определения это можно сделать при помощи следующего преобразования

j

jjj I

xxx 0

~ −=

,

где jx~ - натуральное значение фактора; jI

- интервал варьирования; 0jx - основной

уровень; jx - кодированное значение. В результате jx

принимает значения на границах 1±=jx

,

на основном уровне 0=jx

. Основная проблема состоит в выборе области варьирования, поскольку эта задача является неформализованной.

Рассмотрим полный факторный эксперимент на примере линейной модели (6.2.2). Если

число факторов k , то для проведения полного факторного эксперимента нужно kN 2= опытов,

где 2 - число уровней, которого достаточно для построения линейной модели.Условие проведения этого эксперимента можно зафиксировать в матрице планирования

(табл.5.3).

Таблица 6.3

Номеропыта 1x 2x y

1 -1 -1 1y

2 +1 -1 2y

3 -1 +1 3y

4 +1 +1 4y

Таким образом, для двух факторов построение матрицы планирования элементарно. Для большего числа факторов необходимо разработать правила построения таких матриц. Например,

при появлении фактора 3x в табл.6.3 произойдут следующие изменения (табл.6.4): при появлении нового столбца каждая комбинация уровней исходной таблицы проявится дважды.

Таблица 6.4

Номеропыта 1x 2x 3x y

1 -1 -1 +1 1y

2 +1 -1 +1 2y

3 -1 +1 +1 3y

4 +1 +1 +1 4y

5 -1 -1 -1 5y

6 +1 -1 -1 6y

7 -1 +1 -1 7y

8 +1 +1 -1 8y

Это не единственный способ расширения матрицы планирования. Используют также перемножение столбцов, правило чередования знаков.

Очень важны общие свойства матрицы планирования:

1) симметричность матрицы относительно центра эксперимента: 0=ix . Тогда

01

=∑=

N

ijix

.

2) условие нормировки Nx

N

iij =∑

=1

2

, то есть сумма квадратов элементов каждого

столбца равна числу опытов.Первые два свойства относятся к построению отдельных столбцов матрицы

3) совокупность столбцов имеет следующее свойство 0

1

=∑=

N

iinij xx

, где nj ≠ .

4) Ротатабельность. Это означает, что точки (значения факторов) в матрице

планирования подбираются так, что точность предсказания выходного параметра должна быть одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента (нулевого уровня) и не зависеть от направления.

Планирование эксперимента первого порядка для двух переменных. План эксперимента

первого порядка для двух переменных показан на рис.6.2. То есть искомая функция ),( 21 xxfy = описывается модельно в виде плоскости

22110 xaxaay ++= (6.2.4)или гиперболоида

21322110 xxaxaxaay +++= . (6.2.5)Расположение этой модели в пространстве показано на рис.6.2 поверхностью, проходящей

через точки 1 – 2 – 3 – 4.

Рис.6.2Необходимые уровни для полного факторного эксперимента расположены в плоскости

),( 21 xx . Для модели в виде гиперболоида этот план является предельно экономным. Для построения гиперболоида необходимо определить четыре коэффициента в модели (6.2.5). Это можно сделать, решая систему из четырех уравнений. Следовательно, необходимы все четыре опыта. В теории планирования эксперимента используется термин насыщенности.

Если рассматривать модель (6.2.4) в виде плоскости, то план эксперимента является

ненасыщенным (избыточным), так как необходимо определить только три коэффициента 0a , 1a и

2a . В случае модели (6.2.5) (насыщенный эксперимент) решение системы единственно, и

поверхность гиперболоида пройдет через все четыре экспериментальных значения iy . Следствием этого является то, что насыщенный эксперимент не позволяет усреднить случайные погрешности и не дает сведения об их размере.

Для ненасыщенного плана (6.2.4) избыточное число опытов позволяет произвести усреднение и оценить размеры погрешности. Проведя плоскость через точки 1, 2 и 3, можно оценить погрешность, определив, на каком расстоянии от плоскости находится точка 4. Оценка Погрешность в других точках может быть оценена проведением плоскостей 1 – 3 – 4, 1 – 2 – 4 и 2

– 3 – 4. С другой стороны коэффициент 1a наклона поверхности к оси 1x может быть найден как

из наклона прямой 1 – 2, так и из наклона прямой 3 – 4. Аналогично коэффициент 2a при 2x можно определить из наклона прямых 1 – 3 и 2 – 4.

Поскольку полученные таким образом значения 1a и 2a могут отличаться, ненасыщенный эксперимент позволяет провести их усреднение и оценить погрешность.

Если уравнение плоскости представить в виде

)()( 2221110 xxaxxaay −+−+= , (6.2.6)

где 2max1min1

1

xxx

+=; 2

max2min22

xxx

+=, то мы переносим начало координат в точку с

координатами ),( 21 xx . Тогда коэффициент 0a находится усреднением всех четырех значений iy как высота центра плоскости 1 – 2 – 3 – 4.

Процесс переноса начало координат в центр пространства факторов с координатами

),,,( 21 kxxx очень важен при обработке данных любых экспериментов, описываемых моделью в

виде гиперплоскости, так как позволяет получить более устойчивое усредненное значение для 0a .Важнейшим фактором является то, что в результате такого усреднения построенная

плоскость удовлетворяет всем четырем значениям iy лишь в среднем. В любой точке может быть найдена погрешность отклонения экспериментальных данных относительно модели, и по этим четырем отклонениям можно вычислить СКО.

Таким образом, один из четырех опытов является избыточным и может быть исключен. Но тогда план эксперимента становится неротатабельным, то есть неравноточным по всем направлениям. Если исключена точка 4 на рис.6.2, то в направлении 3 – 2 в плоскости факторов будет обеспечена большая точность, чем в направлении 1 - 0. В этом случае для восстановления ротатабельности точки 1, 2 и 3 в плоскости факторов должны быть равноудалены как друг от друга, так и от центра, то есть располагаться в вершинах равностороннего треугольника с центром в точке 0. В общем случае для линейной модели (6.2.4), эксперимент содержащий конечное число

опытов позволяет получить только оценки для коэффициентов 0a , 1a и 2a . Подставив в

уравнение модели (6.2.4) известные значения факторов ijx и результаты опытов iy получим

систему линейных алгебраических уравнений для определения ia . Если количество этих

уравнений больше трех, то значения оценок 0a , 1a и 2a могут быть получены при помощи МНК:

NyxaN

iiijj

= ∑

=1 , (6.2.7)

где N - количество опытов. Здесь учтено, что ijx принимают значения -1,+1.

Для вычисления коэффициентов линейной модели по формуле (6.2.7) получим:

[ ]4

)1()1()1()1( 43211

yyyya

++−+++−=

,

[ ]4

)1()1()1()1( 43212

yyyya

++++−+−=

Таким образом, для вычисления 1a и 2a можно использовать (6.2.8). Для определения 0a в

формуле (6.2.4) найдем среднее значение ∑

==

n

iiy

ny

1

1

, равное 22110 xaxaay ++= , где

∑=

=n

iix

nx

111

1

, ∑

=

=n

iix

nx

122

1

.

В случае симметричности матрицы планирования 021 == xx , откуда 0ay = . Чтобы коэффициент модели вычислялся по единой формуле (6.2.7) в матрице планирования вводят

фиктивную переменную 0x , которая принимает значение 1 во всех опытах и соответствует

коэффициенту 0a . Коэффициент при независимых переменных ix указывает на силу влияния

факторов: чем больше значение имеет коэффициент ia , тем большее влияние оказывает соответствующий фактор. В этом смысле результат планирования эксперимента алогичны факторному анализу. Для пассивных экспериментов факторный анализ может использоваться в качестве априорных данных при планировании.

Планируя эксперимент, стремятся получить линейную модель, однако в выбранных интервалах варьирования априори не известно, что линейная модель адекватно описывает поведение системы.

Нелинейность связана со смешанным взаимодействием. Формула (6.2.5) всегда может быть

оценена по полному факторному эксперименту. Для полного факторного эксперимента 22=N

матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия приведена в табл.6.5.

Таблица 6.5

Номеропыта

0x1x 2x 21xx y

1 +1 -1 -1 +11y

2 +1 +1 -1 -12y

3 +1 -1 +1 -13y

4 +1 +1 +1 +14y

В этом случае коэффициент 12a также может быть вычислен по формуле (6.2.7):

[ ]4

)1()1()1()1( 432112

yyyya

++−+−++=. (6.2.7)

Столбцы 1x , 2x задают планирование эксперимента – по ним определяют результаты опыта;

столбцы 0x , 21xx служат только для расчета.С ростом числа факторов число возможных взаимодействий возрастает. Например, для

факторного эксперимента 32=N кроме 0x , 1x , 2x , 3x в матрице планирования появляются

столбцы 21xx , 31xx , 32 xx , 321 xxx . Всего в матрице планирования оказывается восемь столбцов, следовательно, необходимо определять восемь коэффициентов. Все восемь коэффициентов необходимо определять в том случае, если учитывать смешанное взаимодействие. Если же модель задается в виде гиперплоскости (линейная модель), то достаточно определить четыре

коэффициента: 0x , 1x , 2x , 3x . Полный факторный эксперимент оказывается избыточным и у экспериментатора возникает выбор:

1. Построить гиперплоскость по четырем экспериментам, а остальные четыре опыта использовать для оценки погрешности.

2. Провести эксперимент, состоящий из 4-х опытов, то есть реализовать экономный план эксперимента.

Таким образом, в отличие от модели гиперболоида, которая требует определение k2

неизвестных коэффициентов, модель гиперплоскости, содержит 1+k коэффициент и требует соответствующего числа опытов, то есть полный факторный план (ПФП) для модели гиперплоскости сильно избыточен.

Для построения гиперплоскости, следовательно, достаточно использовать лишь некоторую часть из ПФП. Эту часть в теории планирования эксперимента называют дробной репликой или дробным факторным планом (ДФП). Если дробление ПФП производится последовательным

делением числа опытов на 2, то реплику называют регулярной. Число p последовательного деления называют дробностью реплики.

Число опытов регулярного ДФП равняется pkn −= 2 . При 1=p ДФП называют

полурепликой (или 1/2 реплика), при 2=p – 1/4 реплика и т.д.Соответствующее число опытов и параметров планирования приведены в таблице 6.6. Таблица 6.6

Число факторов,

k

Число коэфф. модели,

1+k

Число опытов ПФП

Вид планаЧисло

опытов плана

Избыточность

2 3 4 ПФП 4 1

3 4 8 Полуреплика 4 0

4 5 16 Полуреплика 8 3

5 6 32 Четвертьреплика 8 2

6 7 64 1/8 реплика 8 1

7 8 128 1/16 реплика 8 0

8 9 256 1/16 реплика 16 7

Для составления планов-таблиц регулярных дробных реплик часто используют так называемое правило двоичного кода. Оно гласит, что для модели в виде гиперболоида знаки “+” и “–“ в столбцах плана должны чередоваться по правилу чередования двоичных чисел в разряде

двоичного кода, то есть в столбце 1x - через 1, в столбце 2x - через 2, в столбце 3x - через 4, в

столбце kx - через 12 −k.

Проведение экспериментов и обработка результатов. Так как эксперимент содержит элемент неопределенности вследствие ограниченности обрабатываемых данных, то расстановка

повторных или параллельных опытов не дает полностью совпадающих результатов. Получаемая погрешность (воспроизводимости) оценивается стандартными методами усреднения, то есть

∑=

=n

qqy

ny

1

1

,

где n – число параллельных опытов.В этом случае дисперсия равна

∑=

−−

=n

qq yy

n 1

22 )(1

1σ. (6.2.8)

Если учесть, что матрица планирования состоит из серии опытов, то оценка дисперсии всего эксперимента получается в результате усреднения дисперсии всех опытов. В этом случае говорят о дисперсии воспроизводимости не одного опыта, а эксперимента в целом. Такая дисперсия равна

)1(

)(

)(1 1

2

2

−

−

=∑∑

= =

nN

yy

y

N

i

n

qiq

σ, (6.2.9)

где N – число различных опытов (число элементов в матрице планирования); n – число повторных опытов.

Формула (6.2.9) справедлива, если соблюдается равенство числа повторных опытов во всех экспериментальных точках матрицы планирования. На практике в разных точках бывает выполнено разное число опытов. В этом случае для оценки дисперсии воспроизводимости пользуются средневзвешенным значением

∑

∑

=

==N

ii

N

iii

f

fy

1

1

2

2 )(σ

σ

, (6.2.10)

где 2iσ – оценка дисперсии i -го опыта, if – число степеней свободы в i -ом опыте; это

число рассчитывают как 1−= ii nf (число параллельных опытов минус 1).

6.3. Планирование эксперимента при оптимальных условияхНахождение оптимальных условий для исследуемого объекта – важнейшая практическая

задача. Чаще всего при многофакторном эксперименте требуется найти значения факторов ix

такие, при которых отклик системы y принимает значения maxy или miny . Таким образом строится целевая функция отклика

),,,( 21 kxxxyy = , (6.3.1)

и задача оптимизации сводится к нахождению konmоптопт xxx ,,, 21 , обеспечивающих экстремум функции цели

)(),,,( maxmin21 yyxxxy konmоптопт = . (6.3.2)Кроме того, на значения факторов накладываются дополнительные ограничения

),,,( 21 ki xxxy ≤=≥ ,, iR , где ri 1= .

Таким образом, задачей оптимизации является нахождение экстремума функции отклика при том условии, что сама функция априори неизвестна. Такая задача может быть решена многими способами:

1. Путем полного факторного эксперимента строится нелинейная модель функции отклика и затем у этой функции находится экстремум. Такая модель может оказаться сложной и потребовать большого числа опытов, так как требования нахождения ее экстремума могут заставить проводить полный факторный эксперимент в широком диапазоне варьирования и при большом числе опытов.

2. Более практически приемлемым оказывается “пошаговый” подход к решению задачи нахождения экстремума. В этом случае эксперимент проводится в ограниченной области. Находится направление роста функции отклика (при нахождении максимума) или направление падения функции отклика (при нахождении минимума). Затем эксперимент проводится в следующей области и т.д. Таким образом, осуществляется последовательный поиск экстремума функции отклика. В этом случае задача оптимизации может быть решена без полного описания функции отклика во всей области варьирования факторов.

При последовательном нахождении экстремума y достижение максимума за наименьшее количество шагов происходит при последовательном движении по направлению наибольшего возрастания (убывания) функции отклика, то есть по направлению градиента

kk

xx

yx

x

yx

x

yxygrad

∂∂++

∂∂+

∂∂= 2

21

1

)( , (6.3.3)

где kxxx

, , , 21 – орты соответствующих координатных осей.При достижении экстремума выражение (6.3.3) меняет знак на противоположный. При

осуществлении пошагового движения методом градиента одновременно меняются значения всех

факторов. Приращение переменных kxxx , , , 21 выбирается пропорционально соответствующей составляющей градиента, то есть алгоритм имеет вид:

∑=

++

∂

∂

∂∂

+=k

j j

L

j

L

LLj

Lj

x

xy

xxy

hxx

1

2)(

)(

)1()()1(

)(

)(

, (6.3.4)

где )1( +L

jx – значение переменной после L -го и )1( +L -го шагов;

)1( +Lh – размер шага.При нахождении экстремума градиентным методом необходимо на каждом шаге измерений

строить гиперплоскость для нахождения градиента, то есть проводить не менее, чем )1( +k опыт. Наибольшее практическое применение получила разновидность градиентного спуска – метод крутого восхождения (быстрого спуска), названный по имени автора Бокса-Уилсона.

В этом методе градиент функции отклика определяется только в начальной точке и в дальнейшем движение осуществляется в этом выбранном направлении, но вычисление градиента на каждом шаге не производится. Пошаговое движение осуществляется до попадания функции в частный оптимум (экстремум функции в выбранном направлении – кривая 2 на рис.6.3). В точке частного экстремума находится вновь градиент и определяется направление дальнейшего движения и т.д.

Рис.6.3

В результате пошагового движения обоими методами экспериментатор попадает в квазистационарную область, близкую к точке оптимума. Эта область априори не может быть описана гиперплоскостью и требует описание в виде нелинейной модели (гиперболоида, параболоида и т.д.).

При 2=k общий вид функции отклика второго порядка будет следующим:225214

21322110 xaxxaxaxaxaay +++++= . (6.3.5)

Для определения такой поверхности факторы 1x , 2x должны варьироваться не на двух, а минимум на трех уровнях. Эксперимент в этом случае требует не менее шести опытов для двух факторов (по числу коэффициентов в уравнении (6.3.5)).

*

*

*

*

x 2

x 1

4

7

281

5

3 6

9

0 +1-1

333

3

3

3 *

*

*

*

x 2

x 1

4

7

2

8

1

5

3

6

9

0 +1-1

232

2

3

2

α

1 1

1

1

а бРис.6.4

На рисунке 6.4 показан выбор дополнительных точек для такого эксперимента. К опытам 1, 2, 3, 4 для построения плоскости добавляются опыты 5, 6, 7, 8 и, обязательно, точка 9 в центре квадрата.

Если дополнительные точки располагаются на сторонах квадрата (рис.6.4,а), то направление из вершин через центр определяет кривизну поверхности. План представленный на рисунке 6.4,а избыточен (девять опытов для определения шести коэффициентов), но неротатабелен. Для обеспечения ротатабельности точки 5, 6, 7, 8 необходимо удалить от центра тяжести на расстояние

α , названное звездным плечом. Звездное плечо имеет в 2 раз большую длину, чем сторона квадрата.

Общее правило построения ротатабельных планов 2-го порядка для произвольного числа факторов:

За ядро плана принимают ПФП для k факторов, к ним прибавляют k2 звездных точек на

расстоянии α от центра плана. Звездное плечо α определяется по формуле

22pk−

=α ,

где k – число факторов; p – дробность реплики.

Кроме того, планируется 0n опытов в центре плана (точка 9 на рис.6.4).

6.4. Планирование эксперимента по определению динамических характеристик объекта

Выше мы рассматривали функцию отклика объекта и планирование эксперимента в случае,

если ),...,,( 21 nxxxfy = , когда характеристики объекта не зависят от времени.Если объект динамический, т.е. входные факторы и параметры объекта зависят от времени,

то задача идентификации объекта (построение функции отклика) во многом аналогична электротехническим задачам.

Для линейного объекта baxy += ; в случае если объект считается динамическим

)(),(),(),( tbbtaatxxtyy ==== .Аналогия с электротехническими задачами заключается в том, что при наличии реактивных

элементов (индуктивность, емкость электрических цепей) выходные сигналы )(tyy = реагируют

на входные )(txx = с определенной временной задержкой.Как было показано выше, в теории регистрирующих приборов, характеристики линейных

электрических четырехполюсников могут во временной области описываться функцией отклика или, в частотной области, - полосой пропускания. Эти характеристики объекта связаны Фурье-преобразованием. Функция отклика является реакцией динамической системы на импульсные (в

виде δ -функции или θ -функции) воздействия.В общем случае динамические объекты описываются нелинейными интегральными или

дифференциальными уравнениями. Как правило, в окрестностях рабочих режимов проводится линеаризация объектов.

Методы идентификации динамических объектов относительно хорошо разработаны для линейных объектов.

Для простоты рассмотрим одномерный объект, имеющий один вход )(tx и один выход

)(ty . )(tx и )(ty связаны некоторым дифференциальным уравнением. Определить это уравнение по экспериментальным данным оказывается возможным лишь в некоторых простейших случаях.

Импульсная характеристика и переходная функция объекта могут быть получены

экспериментально как реакция объекта на воздействие в виде скачка (δ -функции).Частотные характеристики можно определить, подавая на вход гармоническое воздействие

постоянной амплитуды и переменной частоты (определить АЧХ).Для большинства сложных объектов характерно наличие случайных возмущений и задача

идентификации требует статистических методов для определения динамических характеристик.

Простейший пример – на вход электронной схемы с собственными шумами подается гармонический сигнал, амплитуда и фаза которого на выходе оказываются случайно промодулированы. По характеристикам этой модуляции могут быть определены динамические характеристики объекта (случайные). Такой метод идентификации требует значительного времени измерений и не всегда применим на практике.

Наибольшее распространение для идентификации динамических объектов получили корреляционные методы, которые используются для получения импульсных характеристик объектов.

Импульсная характеристика )(tg стационарного линейного объекта при условии некоррелированности внутренних возмущений с входным сигналом определяется интегральным уравнением Винера-Хопфа:

∫ −=∞

0)()()( dttgtKK xxxy ττ

, (6.4.1)

где )(τxxK - автокорреляционная функция входного сигнала )(tx ,

)(τxyK- взаимная корреляционная функция входного и выходного сигнала.

Чтобы при помощи уравнения (6.4.1) идентифицировать объект необходимо решить это

уравнение относительно )(tg по экспериментальным зависимостям )(τxxK и )(τxyK

.Простейшее решение такой задачи получается в том случае, если на вход объекта подаётся

случайный сигнал в виде «белого» шума или короткий импульс в виде δ -функции (

)()( τδτ =xxK ), тогда уравнение Винера-Хопфа примет вид:

( ) )()()(0

ττδτ gdttgtK xy =−= ∫∞

. (6.4.2)На практике создать некоррелированный белый шум или бесконечно короткий импульс с

бесконечно широким спектром невозможно . Поэтому приходится использовать реальные сигналы с максимально широким спектром. Это создаёт определённую (иногда значительную) погрешность в идентификации объектов.

Решение интегрального уравнения (6.4.1) во всех остальных случаях является некорректно поставленной задачей. Некорректная постановка задачи в данном случае прежде всего означает

неоднозначность решения для функции )(tg .Задача состоит в нахождении подынтегральной функции по известному интегралу. Если

считать, что интеграл - площадь под кривой, описываемой подынтегральным выражением, то имеет место бесконечное число кривых, дающих одинаковое значение интеграла. Математическое определение некорректно поставленной задачи в данном случае означает, что бесконечно малые

погрешности в определении )(τxxK и )(τxyK

приводят к конечным погрешностям в оценке

)(tg .Для устранения некорректности задачи развиты так называемые методы регуляризации.

Как правило, они основаны на использовании априорной информации (a priori (лат) - из

предшествующего). В простейшем случае функция )(tg параметризуется. В частности - может быть задана в виде ряда с коэффициентами, которые необходимо определить.

Рассмотрим такой параметрический метод, основанный на разложении функции )(tg в ряд по системе известных ортогональных функций:

∑=

=N

iii tCtg

0

)()( ϕ, (6.4.3)

где

)(tiϕ –базисная система известных функций.

iC -коэффициенты разложения.При использовании (6.4.3) целью эксперимента является определение неизвестных

коэффициентов iC . В этом случае выходной сигнал запишется в виде:

( )∫ ∑∞

=

⋅−=0 0

)()(N

iiiM dCtxty ττϕτ

(6.4.4)Для получения оценок коэффициентов воспользуемся критерием минимума

среднеквадратичной погрешности 2ε :

[ ]

−−=−= ∫ ∑

∞

−

2

0 0

22 )()()()()(N

iiiM dCtxtyMtytyM ττϕτε

(6.4.5)

Введём векторные обозначения NCCCC ,,, 10 =

∫∞

−=0

)()()( τττϕ dtxtZ ii

. (6.4.6)

Функцию )(tZ i называют выходными реакциями фильтра с импульсными характеристиками

)(tiϕ на входной сигнал x(t). С учётом (6.4.6) запишем (6.4.5) в виде :

−= ∑

=

2

0

2 )()(N

iii tZCtyMε

. (6.4.7)

Задача состоит в минимизации 2ε . В этом случае вектор С можно найти из (N+1)

уравнений:

02

=∂∂

jC

ε.,,2,1 Nj =

Продифференцировав (6.4.6) по jC и приравняв производную к нулю, получим систему

уравнений для нахождения оценок коэффициентов iС.

0)()(ˆ)(0

=

− ∑

=

tZtZCtyM j

N

iii

. (6.4.8)Перепишем (6.4.8) в следующем виде:

∑=

=N

ijiii tZtZMCtZtyM

0

)()(ˆ)()(. (6.4.9)

Моменты )()( tZtyM i и

)()( tZtZM ji представляют собой начальные значения

взаимных корреляционных функций соответствующих сигналов )(),( tZty i ,)(tZ j .

Введём обозначения: )()(;)()( tZtZMKtZtyMK jiijjyj ==

. (6.4.10)Тогда (6.4.9) можно записать в виде:

∑=

=N

iijiyj KCK

0

ˆ

j=0,1,…,N . (6.4.11)

Чтобы система уравнений (11) имела решение необходимо, чтобы матрица yjK была

диагональной.

≠=

=.,0

,,

jiесли

jiеслиKK yj

(6.4.12)

Кроме того, базисная система функций )(tiϕ должна быть ортогональна. Это условие можно записать в следующем виде :

∫∞

≠=

=0 .,0

,,)()(

jiесли

jiеслиAdttt ji ϕϕ

(6.4.13)При ортогональной базисной системе функций ортогональность выходных сигналов

фильтра )(tZ i обеспечивается в том случае, когда спектральная плотность входного шума x(t) была постоянна, то есть решение уравнения Винера-Хопфа (1) для практических задач всегда возможно только приближённо.

На основании вышесказанного можно сделать вывод, что выбор форм входных сигналов в задачах идентификации динамических объектов всегда представляет собой ключевую проблему. Это необходимо учитывать при планировании активного эксперимента с динамическими объектами.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

• Новицкий П.В., Зограф Э.Н. Оценка погрешностей измерений. – Л.: Энергия, 1983, 380с.

• Электрические измерения неэлектрических величин// Под ред. П. В. Новицкого. 5-е изд.,

перераб. и доп.—Л.: Энергия, Ленингр. отделение, 1975, 576 с.

• Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов //К. Хартман,

Э. Лецкий, В.Шефер и др.—М.: Мир,1977, 552 с.

• Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске

оптимальных условий.—М.: Наука, 1976, 279 с.

• Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. –

М.: Наука, 1981.

• Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. – М.: Наука, 1964.

• Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику / Пер. с англ. под ред. Г.И. Косоурова. – М.: Мир,

1970.

• Оптическая обработка информации / Под ред. Д.Кейсесента; Пер с англ. под ред. С.Б.

Гуревича. – М.: Мир, 1980.

• Бурсиан Э.В. Физические приборы. – М.: Просвещение, 1984, 270 с.

• Куликовский К.Р., Купер В.Я. Методы и средства измерений. – М.: Энергоатомиздат, 1986.

• Аналоговые электроизмерительные приборы// Под ред. А.А.Преображенского.— М.:

Высшая школа, 1979, 351с.

http://www.chuvsu.ru/~rte/uits/liter_uits/plan_exp/ind.html