ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN · o Sinh viên cần nhớ, nắm rõ định nghĩa và áp dụng được các tính chất, định lý. Sinh viên nên tự trang bị

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN

1. Thông tin chung

- Tên học phần: GIẢI TÍCH C1

o Tên tiếng Anh: Analysis C1

- Mã học phần:

- Ngày soạn: 01/8/2016. Phiên bản: 04

- Thuộc khối kiến thức: Đại cương

- Bộ môn – Khoa phụ trách: Bộ môn Giải Tích - Khoa Toán Tin Học

- Giảng viên phụ trách: < Thông tin biến động, chỉ mang tính chất tham khảo>

Nguyễn Thị Thu Vân - Tiến sĩ - Bộ môn Giải tích, Khoa Toán Tin học.

- Giảng viên tham gia giảng dạy: <Thông tin biến động, chỉ mang tính chất tham

khảo>

o Nguyễn Văn Thùy - Thạc sỹ, Bộ môn Tối ưu và Hệ thống, Khoa Toán - Tin học

o Cao Nghi Thục - Thạc sỹ, Bộ môn Tối ưu và Hệ thống, Khoa Toán - Tin học

o Nguyễn Anh Thi - Tiến sĩ, Bộ môn Đại số, Khoa Toán - Tin học

o Vũ Đỗ Huy Cường - Tiến sĩ, Bộ môn Cơ học, Khoa Toán - Tin học

o Võ Hoàng Hưng - Tiến sĩ - Bộ môn Giải tích, Khoa Toán Tin học

o Nguyễn Thị Thu Vân - Tiến sĩ - Bộ môn Giải tích, Khoa Toán Tin học.

- Số tín chỉ: 03

o Số tiết lý thuyết: 30

o Số tiết thực hành, thực tập:

o Số tiết bài tập trên lớp: 15

o Số tiết thảo luận:

o Số tiết làm việc nhóm:

o Số tiết tự học:

2

- Học phần:

o Bắt buộc: cho các ngành: Hóa, Sinh, Công nghệ sinh học, Mội trường, Công

nghệ Môi trường, Địa chất.

o Tự chọn: cho các ngành: . . .

- Điều kiện đăng ký học phần:

o Học phần tiên quyết (các học phần SV phải đăng ký học trước và thi đạt):

không

o Học phần song hành (SV phải đăng ký học trong cùng học kỳ): không

o Các yêu cầu về kiến thức, kỹ năng của SV (nếu có):

2. Mục tiêu của học phần

o Môn học được thiết kế dành cho sinh viên các khối ngành tự nhiên: công nghệ sinh

học, địa chất, hóa học, sinh học,…. Chúng tôi sẽ trang bị cho sinh viên một cách hệ

thống kiến thức đại cương về phép tính vi tích phân hàm một biến. Sinh viên không

chỉ được giảng dạy kỹ năng tính mà còn trang bị kiến thức toán giải tích một biến

nhằm giúp cho sinh viên có khả năng vận dụng tư duy logic toán để phục vụ cho

chuyên ngành của họ về sau. Những ứng dụng của từng chuyên đề cũng sẽ được

giảng dạy để sinh viên có thể hiểu cơ sở toán học của một số vấn đề trong chuyên

ngành.

o Mục tiêu sư phạm nhấn mạnh: hiểu khái niệm, tăng cường năng lực tính toán, tư duy

logic, và một số ứng dụng gợi mở. Hỗ trợ sinh viên biết sử dụng phần mềm tính toán.

3. Tóm tắt nội dung học phần

Dẫn nhập vào các khái niệm và kỹ thuật Giải tích Toán học, với hai nội dung chính là phép

tính vi phân và phép tính tích phân của hàm một biến.

Tiếng Việt: Dãy và chuỗi số thực. Sự liên tục, giới hạn, đạo hàm và tích phân

Riemann của hàm thực một biến. Phương trình vi phân thường.

Tiếng Anh: Real numbers. Sequences and series of real numbers. The continuity, the

differentiation and the Riemann integral of functions of one-variable. Ordinary

differential equations.

4. Nội dung chi tiết học phần

3

Chương 1. Dãy số thực và chuỗi số thực

o Dãy số - dãy đơn điệu, dãy bị chận - Sự hội tụ của dãy số.

o Chuỗi số thực - chuỗi không âm.

o Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi : Tiêu chuẩn so sánh, Tiêu chuẩn Cauchy,

Tiêu chuẩn d'Alembert.

o Chuỗi đan dấu - Định lý Leibniz.

o Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi.

Chương 2. Hàm số một biến: Giới hạn và sự liên tục của hàm số

o Hàm số – Mô hình toán học - Bốn cách biểu diễn một hàm số.

o Hàm đơn ánh, toàn ánh, song ánh.

o Hàm hợp - Hàm ngược.

o Giới hạn của hàm số – Khử dạng vô định bằng vô cùng bé, vô cùng lớn tương

đương.

o Hàm số liên tục: Hàm liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng - Một số

tính chất hàm số liên tục.

o Định lí giá trị trung gian - Tính chất của đồ thị hàm số liên tục (liên thông).

Chương 3. Phép tính vi phân hàm một biến

o Xét hai bài toán trung tâm: tìm tiếp tuyến của đường cong – tìm vận tốc tức

thời trong chuyến động thẳng.

o Đạo hàm - Đạo hàm của hàm số hợp và hàm ngược.

o Đạo hàm bậc cao – Định lý Leibniz – Khai triển Taylor-MacLaurin.

o Vi phân – vi phân cấp cao.

o Ứng dụng: Xấp xỉ tuyến tính - Định lý giá trị trung bình - Qui tắc l’Hôpital –

Tối ưu hóa hàm một biến.

Chương 4. Phép tính tích phân hàm một biến liên tục

o Nguyên hàm - Tích phân bất định.

o Các tính chất cơ bản của tích phân.

o Xét bài toán tính diện tích của một miền phẳng bị chận - Tổng Rieman – Tích

phân xác định.

o Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân - Công thức Newton–Leibniz.

o Tích phân suy rộng: Tích phân suy rộng loại 1 – Tích phân suy rộng loại 2 –

Các tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng.

o Xấp xỉ tích phân.

4

o Ứng dụng: Giá trị trung bình - Tâm khối lượng - Kỳ vọng của một biến ngẫu

nhiên.

Chương 5. Phương trình vi phân

o Ví dụ mở đầu.

o Định nghĩa phương trình vi phân.

o Phân loại nghiệm: nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị.

o Bài toán Cauchy - Điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy.

o Phương trình tách biến. Phương trình tuyến tính.

5. Phương pháp dạy và học

o Với các mục tiêu đề ra trong mục 2, chúng tôi sẽ giảng dạy theo tiêu chí: trang

bị kiến thức nền, phát triển tư duy logic cho sinh viên bằng một số chứng

minh đơn giản nhưng sẽ không tập trung quá nhiều vào chứng minh; tăng

cường kỹ năng tính toán thông qua một số ví dụ nhưng sẽ không quá chú

trọng vào tính toán; và cuối cùng một vài ví dụ ứng dụng của từng chuyên đề

cho từng chuyên ngành cụ thể sẽ được trình bày nhưng sẽ không quá sa đà

vào ứng dụng. Như vậy, các tính chất và định lý chủ yếu chỉ phát biểu, nói ý

nghĩa, các ứng dụng. Khi có thể sẽ giải thích ở mức độ nhất định, không nhất

thiết phải chứng minh. Mặt khác, trong khi hạn chế các chứng minh chặt chẽ

hay hình thức, cần tăng cường các giải thích trực quan, định lượng, và miêu tả

ý tưởng chủ yếu của các định nghĩa, định lý và tính chất.

o Sinh viên cần nhớ, nắm rõ định nghĩa và áp dụng được các tính chất, định lý.

Sinh viên nên tự trang bị cách dùng các phần mềm tính toán, chẳng hạn như

Matlab để có thể tự kiểm tra các kết quả.

6. Phương pháp, hình thức kiểm tra, đánh giá kết quả học tập

o Kiểm tra giữa kỳ: 30%

o Kiểm tra cuối kỳ: 70%

7. Giáo trình: J. Stewart, Calculus, early transcendentals, 7 Ed., Brooks-Cole 2008.

8. Tài liệu tham khảo

1. M. Attenborough, Mathematics for electrical engineering and computing, Elsevier 2003.

2. M. Braun, Differential equations and their applications - An

5

introduction to applied mathematics, Springer 1983.

3. C.F. Chan, D.D. Kee, and P.N.Kaloni, Advanced mathematics for engineering and science, World Scientific 2003.

4. Dương Minh Đức, Giáo trình Toán Giải Tích 1, NXB Thống Kê, Tp Hồ Chí Minh 2006.

5. J. Stewart, Calculus, early transcendentals, 7Ed., Brooks-Cole 2008. (bản dịch

tiếng Việt: Giải tích 1 – Calculus 7ed, Đại học Duy Tân biên dịch)

6. K.A. Stroud and D.J. Booth, Advanced engineering mathematics, 5ed., Industrial

Press 2001.

7. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, NXB Giáo

dục 2007.

9. Phần mềm hay công cụ hỗ trợ thực hành

1. Matlab

Duyệt Trưởng Khoa/Bộ môn Giảng viên

Hiệu trưởng (Ký, ghi rõ họ và tên) (Ký, ghi rõ họ và tên)

1






1. Thông tin chung

- Tên học phần: GIẢI TÍCH C2

o Tên tiếng Anh: Analysis C2

- Mã học phần:

- Ngày soạn: 01/8/2016. Phiên bản: 04


- Bộ môn – Khoa phụ trách: bộ môn Giải Tích - Khoa Toán Tin Học

- Bộ môn – Khoa phụ trách: Bộ môn Giải Tích - Khoa Toán Tin Học

- Giảng viên phụ trách: < Thông tin biến động, chỉ mang tính chất tham khảo>

Nguyễn Thị Thu Vân - Tiến sĩ - Bộ môn Giải tích, Khoa Toán Tin học.

- Giảng viên tham gia giảng dạy: <Thông tin biến động, chỉ mang tính chất tham

khảo>

o Võ Hoàng Hưng - Tiến sĩ - Bộ môn Giải tích, Khoa Toán Tin học.

o Nguyễn Văn Thùy - Thạc sỹ, Bộ môn Tối ưu và Hệ thống, Khoa Toán - Tin học

o Cao Nghi Thục - Thạc sỹ, Bộ môn Tối ưu và Hệ thống, Khoa Toán - Tin học

o Nguyễn Anh Thi - Tiến sĩ, Bộ môn Đại số, Khoa Toán - Tin học

o Vũ Đỗ Huy Cường - Tiến sĩ, Bộ môn Cơ học, Khoa Toán - Tin học

o Nguyễn Thị Thu Vân - Tiến sĩ - Bộ môn Giải tích, Khoa Toán Tin học.


o Số tiết lý thuyết: 30

o Số tiết thực hành, thực tập:

o Số tiết bài tập trên lớp: 15

o Số tiết thảo luận:

o Số tiết làm việc nhóm:

o Số tiết tự học:

2

- Học phần:

o Bắt buộc: cho các ngành: Hóa, Công nghệ sinh học, Mội trường, Công nghệ

Môi trường, Địa chất.

o Tự chọn: cho ngành: . . .


o Học phần tiên quyết (các học phần SV phải đăng ký học trước và thi đạt): Giải

tích C1

o Học phần song hành (SV phải đăng ký học trong cùng học kỳ):

o Các yêu cầu về kiến thức, kỹ năng của SV (nếu có): nắm vững kiến thức Giải

tích hàm một biến.

2. Mục tiêu của học phần

o Môn học được thiết kế dành cho sinh viên các khối ngành tự nhiên: công nghệ

sinh học, địa chất, hóa học, sinh học,…. Chúng tôi sẽ trang bị cho sinh viên một

cách hệ thống kiến thức về đại số sơ cấp như định thức, ma trận, hệ phương trình

tuyến tính, ... và phép tính vi tích phân hàm nhiều biến. Trong đó các khái niệm

trong phần phép tính vi tích phân hàm nhiều biến được mở rộng từ hàm một biến

và các kết quả được thác triển từ phép tính vi tích phân hàm một biến. Do vậy

chúng tôi yêu cầu sinh viên trước khi học môn này phải học Giải tích C1.

Ở môn học này sinh viên không chỉ giảng dạy kỹ năng tính mà còn trang bị hệ

thống kiến thức toán giúp sinh viên có khả năng vận dụng tư duy logic toán để

phục vụ cho các chuyên ngành này. Những ứng dụng của từng chuyên đề cũng sẽ

được giảng dạy để sinh viên có thể hiểu cơ sở toán học của một số vấn đề trong

chuyên ngành của mình.

o Mục tiêu sư phạm nhấn mạnh: hiểu khái niệm, làm việc với ứng dụng, năng lực

giải toán, biết sử dụng phần mềm tính toán.


Dẫn nhập vào các khái niệm và kỹ thuật Giải tích Toán học với ba nội dung chính là

phương trình vi phân thường, hệ phương trình tuyến tính và phép tính vi tích phân của

hàm nhiều biến

3

Tiếng Việt: Không gian vector. Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính.

Không gian Eucide Rn. Hàm số nhiều biến. Hàm liên tục. Đạo hàm riêng. Cực trị hàm

nhiều biến.

Tiếng Anh: Vector spaces. Matrix. Determinant. System of linear equations. The

Euclidean space Rn. Functions of several variables. Continuous real functions of several

variables. Partial Derivatives. Extrema of functions of two variables.


Chương 1. Hệ phương trình tuyến tính

o Không gian vector. Không gian vector con.

o Ma trận - Các phép biến đổi ma trận.

o Hạng của ma trận – Ma trận nghịch đảo.

o Định thức.

o Hệ phương trình tuyến tính.

o Trị riêng, vector riêng

o Ma trận chéo hóa

Chương 2. Vi phân hàm nhiều biến

o Tập hợp Rn: Điểm, Chuẩn Euclide, Khoảng cách trong Rn – Hình cầu - Quả

cầu - Tập đóng, tập mở trong Rn.

o Hàm số hai biến: Định nghĩa hàm hai biến, miền xác định, miền giá trị, đồ

thị - Các mặt bậc 2 - Tập mức.

o Hệ tọa độ cực – Liên hệ của hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực trong

không gian R2.

o Giới hạn của hàm hai biến: Hội tụ điểm - Định nghĩa giới hạn hàm hai

biến bằng ngôn ngữ ε-δ và bằng ngôn ngữ dãy - Các qui tắc tính giới hạn

– Ba cách chứng minh giới hạn không tồn tại.

o Đạo hàm riêng phần - Đạo hàm riêng phần cấp cao - Đạo hàm theo hướng.

o Vi phân hàm nhiều biến – Vi phân toàn phần

o Định lý hàm ẩn

o Ứng dụng: Xấp xỉ biểu thức bằng vi phân toàn phần. Phương trình tiếp

tuyến. Khai triển Taylor hàm hai biến. Cực trị của hàm số hai biến: Cực trị

không điều kiện – Cực trị có điều kiện – Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

4


o Với các mục tiêu đề ra trong mục 2, chúng tôi sẽ thực hiện theo tiêu chí: trang

bị kiến thức nền, phát triển tư duy logic cho sinh viên bằng một số chứng minh

đơn giản nhưng sẽ không tập trung quá nhiều vào chứng minh; tăng cường kỹ

năng tính toán thông qua một số ví dụ nhưng sẽ không quá chú trọng quá

nhiều vào tính toán; và cuối cùng một vài ví dụ ứng dụng của từng chuyên đề

cho từng chuyên ngành cụ thể sẽ được trình bày nhưng sẽ không quá sa đà

vào ứng dụng. Như vậy, các tính chất và định lý chủ yếu chỉ phát biểu, nói ý

nghĩa, các ứng dụng. Khi có thể sẽ giải thích ở mức độ nhất định, không nhất

thiết phải chứng minh. Mặt khác, trong khi hạn chế các chứng minh chặt chẽ

hay hình thức, cần tăng cường các giải thích trực quan, định lượng, và miêu tả

ý tưởng chủ yếu của các định nghĩa, định lý và tính chất.

o Sinh viên cần nhớ, nắm rõ định nghĩa và áp dụng được các tính chất, định lý.

Sinh viên nên tự trang bị cách dùng các phần mềm tính toán, chẳng hạn như

Mathlab để tự kiểm tra các kết quả.

6. Phương pháp, hình thức kiểm tra, đánh giá kết quả học tập

o Kiểm tra giữa kỳ: 30%

o Kiểm tra cuối kỳ: 70%

7. Giáo Trình: J. Stewart, Calculus, early transcendentals, 7 Ed., Brooks-Cole 2008.

5

8. Tài liệu tham khảo

1. M. Attenborough, Mathematics for electrical engineering and computing, Elsevier 2003.

2. C.F. Chan, D.D. Kee, and P.N.Kaloni, Advanced mathematics for engineering and science, World Scientific 2003.

3. J. Cooper, A Matlab - Companion for multivariable calculus, Academic Press 2001.

4. K.A. Stroud and D.J. Booth, Advanced engineering mathematics, 5ed., Industrial Press 2001.

5. J. Stewart, Calculus, early transcendentals, 7Ed., Brooks-Cole 2008. (bản dịch tiếng Việt: Giải tích 1 – Calculus 7ed, Đại học Duy Tân biên dịch)

6. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, NXB Giáo dục 2007.


1. Matlab



Lịch trình môn Vi tích phân 2B năm 2018

Lịch trình gồm 12 tuần (mỗi tuần 4.5 tiết): Lớp bắt đầu từ 12h30 và kết thúc vào lúc 16h30.

Tài liệu tham khảo

[1] Bộ môn giải tích, Slide bài giảng Vi tích phân 2B (Trường ĐHKHTN).

[2] Bộ môn giải tích, Bài tập Vi tích phân 2B.

[3] Lê Văn Chánh, Giải tích hàm nhiều biến (lưu hành nội bộ), 2018.

[4] James Stewart, Calculus, Early Transcendentals, 7th edition, Brooks Cole, 2012.

[5] Bộ môn giải tích, Giáo trình vi tích phân 2, phiên bản 19/01/2018.

[6] Lê Văn Chánh, Bài tập Vi tích phân 2B, phiên bản 2018.

Tuần/ Ngày Nội dung Mục tiêu Tài liệu tham khảo [1,3,4, 5]

Bài tập [ 2, 4, 6] Ghi chú

1

25/01/2018

Không gian R^n Giới thiệu các khái niệm quan trọng trong R^n và các tính toán trong R^n

Mục 1.1 [5] 1.1 [6]

2 Hàm nhiều biến: Giới hạn + Giới thiệu về hàm nhiều Mục 1.2, 1.3.1, 1.3.2 [3] 1.2 [6]

01/02/2018

và sự liên tục hàm nhiều biến

biến và một số mặt cong trong R^3

+ Giới hạn và sự liên tục của hàm nhiều biến

3

29/02/2018

Sự liên tục hàm nhiều biến (tt)

Mục 1.3.3 [3] 1.3 [6]

Đạo hàm hàm nhiều biến

Đạo hàm riêng, quy tắc mắc xích, đạo hàm theo hướng, đạo hàm riêng cấp cao

Mục 1.4.2-1.4.5 [3]

4

08/03/2018

Đạo hàm hàm ẩn, sự khả vi Mục 1.4.6, 1.4.8[3] 1.4 [6]

Ứng dụng đạo hàm - Khai triển Taylor, Xấp xỉ tuyến tính, mặt pháp tuyến

Mục 1.5.1-1.5.3 [3]

5

15/03/2018

Cực trị không điều kiện Mục 1.5.5 [3] 1.5 [6]

Cực trị có điều kiện. Mục 1.5.5 [3]

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Mục 1.5 [3] 1.5[6]

6

22/03/2018 Tích phân bội 2

(+) Tích phân kép trên miền HCN, miền tổng quát (+) Tích phân lặp (+) Định lý Fubini (+) Công thức đổi biến (+) Tọa độ cực

2.1 -2.3 [3]

2.1[6]

7

29/03/2018

Tích phân bội 3

(+) Tích phân bội 3 trên miền hình hộp HCN, miền tổng quát (+) Định lý Fubini (+) Công thức đổi biến (+) Tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu (+) Ứng dụng tích phân

2.1 -2.3, 2.4 [3]

2.2[6]

8

05/04/2018 Tích phân đường

Tích phân đường loại 1. Tích phân đường loại 2,

3.1 [3] 2.3[6]

Nghỉ GK 09/04/2018-15/04/2018: Nghỉ giữa kỳ

9

19/04/2018

Tích phân đường (tt) Công thức Newton-Leibniz, công thức Green

3.2[3]

2.3[6]

10

03/05/2018 Tích phân mặt Tích phân mặt loại 1. Tích phân mặt loại 2, công thức Gauss-Ostrogradsky

3.3 [3]

2.4[6]

11

10/05/2018 Tích phân mặt (tt)

Công thức Stokes và công thức Gauss- Ostrogradsky Bài tập

3.4 [3]

2.4[6]

12

17/05/2018 Phương trình vi phân cấp 1

Phương trình vi phân tách biến, ptvp tuyến tính cấp 1, ptvp đẳng cấp, ptvp toàn phần, ptvp Bernoulli

2.5[6]

13

24/05/2018 Phương trình vi phân cấp 2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng

2.5[6]

14

31/05/2018

Ôn tập

15 Dự trữ

1






1. Thông tin chung

- Tên học phần: GIẢI TÍCH B1

o Tên tiếng Anh: Analysis B1

- Mã học phần: TTH026

- Ngày soạn: 27-05-2015 Phiên bản: version 2



- Giảng viên phụ trách: (Họ tên, học hàm – học vị, đơn vị công tác, ĐT liên lạc,...)

< Thông tin biến động, chỉ mang tính chất tham khảo>

- Giảng viên tham gia giảng dạy:

o (Họ tên, học hàm – học vị, đơn vị công tác, ĐT liên lạc,..)




o Số tiết lý thuyết: o Số tiết thực hành, thực tập: o Số tiết bài tập trên lớp: o Số tiết thảo luận: o Số tiết làm việc nhóm: o Số tiết tự học:

- Học phần:

o Bắt buộc: cho ngành: Công nghệ thông tin, Điện tử-Viển thông, Vật lý, Hải Dương - Khí tượng và Thủy văn, Khoa Học Vật Liệu.




o Học phần học trước (các học phần SV phải đăng ký học trước):



2. Mục tiêu của học phần o Dẫn nhập và giải thích các khái niệm và kỹ thuật Giải tích Toán học, với hai nội

dung chính là phép tính vi phân và phép tính tích phân của hàm một biến.

2

o Các tính chất và các định lý được giải thích bằng kỹ thuật Giải tích Toán học, nói ý nghĩa, các ứng dụng trong các ngành Công nghệ thông tin, Điện tử-Viển thông, Vật lý, Hải Dương - Khí tượng và Thủy văn, Khoa Học Vật Liệu. Tuy nhiên, việc giải thích cũng hạn chế các chứng minh chặt chẽ hay hình thức, cần tăng cường các giải thích trực quan, định lượng, và miêu tả ý tưởng chủ yếu của các định nghĩa, định lý và tính chất. Sinh viên cần học cách dùng phần mềm máy tính, chẳng hạn như Mathlab cho các tính toán.

3. Mục tiêu sư phạm nhấn mạnh: hiểu cơ sở Giải Tích Toán Học được dùng xây dựng và giải thích các khái niệm, định lý, mệnh đề,…, Sinh viên biết áp dụng các kiến thức Giải Tích Toán Học vào các khái niệm, các bài toán trong chuyên ngành. Sinh viên được giới thiệu các tính năng và ứng dụng cơ bản của phần mền tính toán Matlab.


Tiếng Việt: Tập số thực . Dãy và chuỗi số thực. Sự liên tục, giới hạn, đạo hàm và tích phân Riemann của hàm thực một biến. Phương trình vi phân. Các ứng dụng Mathlab cho phép tính vi tích phân. Chuỗi hàm. Tiếng Anh: Real numbers. Sequences and series of real numbers. The continuity, the differentiation and the Riemann integral of functions of one-variable. Ordinary differential equations. Applications of Matlab for differential and integral calculus. Functional series.

5. Nội dung chi tiết học phần Chương 1. Số thực

1.1. Tập hợp: Tập hợp các số nguyên - Tập hợp các số hữu tỉ - Số thực .

1.2. Ánh xạ: Miền xác định - Tập hợp ảnh - Ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, song ánh - Ánh xạ ngược.

1.3. Dãy số - Sự hội tụ của dãy số và tổng và tích của chúng.

1.4. Chuỗi số thực. Mathlab cho tính toán các số thực và dãy và chuỗi số thực Chương 2. Hàm số liên tục.

2.1. Hàm số liên tục. Liên hệ tính liên tục và sự hội tụ của dãy số thực. Sự liên tục của các hàm số cùng với tổng và tích của chúng.

2.2. Một số tính chất hàm số liên tục (định lí giá trị trung gian, sự tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, ...) (không cần chứng minh).

2.3. Sự liên tục của các hàm số thông thường.

2.4. Đồ thị. Dùng Mathlab vẽ các đồ thị của các hàm số.

Chương 3 . Đạo hàm

3.1. Đạo hàm. Ý nghĩa đạo hàm (đo độ biến thiên, hình học, vật lí).

3.2. Đạo hàm của tổng và tích của hai hàm số. Đạo hàm của hàm số hợp và ánh xạ ngược

3

(không chứng minh). Định lý giá trị trung bình và các ứng dụng.

3.3. Đạo hàm bậc cao. Định lý Taylor, công thức MacLaurin và ứng dụng. Dùng Mathlab để tính đạo hàm bậc cao và khai triển Taylor.

3.4. Qui tắc Hôpital và ứng dụng trong tính giới hạn. 3.5. Khảo sát hàm số, Cực trị của hàm số.

Chương 4 : Phép tính tích phân hàm liên tục một biến.

4.1. Tổng Rieman. Tích phân (không chứng minh sự hội tụ của tổng Rieman). Dùng Mathlab tính tích phân . Các tính chất cơ bản của tích phân (không chứng minh) : Công thức Newton–Leibniz, Phương pháp đổi biến, Phương pháp tích phân từng phần.

4.2. Tích phân suy rộng . Nguyên hàm. Chương 5 : Chuỗi hàm

5.1. Chuỗi hàm. Chuỗi luỹ thừa, định lý Abel, miền hội tụ, bán kính hội tụ. Chuỗi Fourier.


Giảng viên trình bày những vấn đề chính, chú trọng hiểu khái niệm, nắm vững phương pháp. Một phần bài học, nhất là bài tập, để cho sinh viên tự học. Sử dụng công nghệ trong học tập (máy chiếu, phần mềm tính toán, tài liệu trên web).

7. Phương pháp, hình thức kiểm tra, đánh giá kết quả học tập: Có điểm giữa kì.

8. Giáo Trình: J. Stewart, Calculus, early transcendentals, 7ed., Brooks-Cole, 2012.

9. Tài liệu tham khảo 1. Dương Minh Đức, Giáo trình Toán Giải Tích 1, NXB Thống Kê, Tp Hồ Chí Minh 2006.

2. B. Hunt, R. Lipsman and J. Rosenberg, A guide to Matlab for beginner’s and experienced users, Cambridge University Press 2001.

3. J. Stewart, Calculus, early transcendentals, 7ed., Brooks-Cole, 2012.

4. K.A. Stroud and D.J. Booth, Advanced engineering mathematics, 5ed., Industrial Press 2001.


1. Matlab



1






1. Thông tin chung

- Tên học phần: GIẢI TÍCH B2

o Tên tiếng Anh: Analysis B2

- Mã học phần: TTH027

- Ngày soạn: 27-05-2016 Phiên bản: version 2



- Giảng viên phụ trách: (Họ tên, học hàm – học vị, đơn vị công tác, ĐT liên lạc,...)


- Giảng viên tham gia giảng dạy:





o Số tiết lý thuyết: o Số tiết thực hành, thực tập: o Số tiết bài tập trên lớp: o Số tiết thảo luận: o Số tiết làm việc nhóm: o Số tiết tự học:

- Học phần:

o Bắt buộc: cho ngành: Công nghệ thông tin, Điện tử-Viển thông, Vật lý, Hải Dương - Khí tượng và Thủy văn, Khoa Học Vật Liệu




o Học phần học trước (các học phần SV phải đăng ký học trước): Giải tích B1.



2. Mục tiêu của học phần Truyền đạt các khái niệm và kỹ thuật Giải tích hàm nhiều biến với hai nội dung

chính là phép tính vi phân và phép tính tích phân của hàm nhiều biến.

2

Các tính chất và các định lý được giải thích bằng kỹ thuật Giải tích hàm nhiều biến, nói ý nghĩa, các ứng dụng trong các ngành Công nghệ thông tin, Điện tử-Viển thông, Vật lý, Hải Dương - Khí tượng và Thủy văn, Khoa Học Vật Liệu. Tuy nhiên, việc giải thích cũng hạn chế chứng minh chặt chẽ hay hình thức, cần tăng cường các giải thích trực quan, định lượng, và miêu tả ý tưởng chủ yếu của các định nghĩa, định lý và tính chất. Sinh viên được học các tính năng cơ bản của phần mềm máy tính toán Mathlab.

Mục tiêu sư phạm nhấn mạnh: hiểu cơ sở Giải tích hàm nhiều biến được dùng xây dựng và giải thích các khái niệm, định lý, mệnh đề,…, Sinh viên biết áp dụng các kiến thức Giải tích hàm nhiều biến vào các khái niệm, các bài toán trong chuyên ngành. Sinh viên được giới thiệu các tính năng và ứng dụng cơ bản của phần mền tính toán Matlab.


Tiếng Việt: Tập hợp Rn, Hàm số thực nhiều biến liên tục. Đạo hàm riêng, Đạo hàm

hàm số nhiều biến.. Cực trị. Tích phân 2 lớp. Tích phân 3 lớp. Tích phân đường loại I

và loại II. Định lý Green. Tích phân mặt loại I và loại II. Định lý Stokes. Định lý

Gauss–Ostrogradski.

Tiếng Anh: The Euclidean space Rn, Continuous real functions of several variables,

Partial derivatives, derivative of real functions of several variables, Critical values.

Double Integrals. Line Integrals. Green’s Theorem. Surface Integrals. Stokes’s

Theorem. The Divergence Theorem.


Chương 1 : Các khái niệm trong không gian Rn 1.1. Không gian Rn . Chuẩn Euclide trong Rn . Hàm số nhiều biến liên tục. Dùng Mathlab

vẽ đồ thị hàm hai biến.

1.2. Tập mở trong Rn . Đạo hàm riêng phần của các hàm số nhiều biến. Đạo hàm các hàm số có các đạo hàm riêng phần liên tục. Dùng Mathlab tính đạo hàm riêng phần.

1.3. Đạo hàm riêng phần cấp cao. Đạo hàm cấp cao. Cực trị của hàm số nhiều biến.

Chương 2 : Tích phân nhiều lớp 2.1. Tích phân 2 lớp: Định nghĩa. Ý nghĩa hình học. Các tính chất của tích phân 2 lớp.

Phương pháp tính tích phân 2 lớp trong hệ toạ độ Descartes. Đổi biến trong tích phân 2 lớp. Trường hợp tổng quát. Tích phân 2 lớp trong hệ toạ độ cực. Ứng dụng của tích phân 2 lớp trong hình học, cơ học.

2.2. Tích phân 3 lớp: Định nghĩa. Ý nghĩa vật lý. Cách tính tích phân 3 lớp trong hệ toạ độ Descartes. Phương pháp đổi biến trong tích phân 3 lớp.

3

Trường hợp tổng quát. Tích phân 3 lớp trong hệ toạ độ trụ. Tích phân 3 lớp trong hệ toạ độ cầu. Ứng dụng của tích phân 3 lớp.

2.3. Dùng Mathlab trong tính tích phân nhiều lớp

Chương 3 : Tích phân đường, tích phân mặt 3.1. Tích phân đường loại I. Tích phân đường loại II

3.2. Cách tính tích phân đường loại II. Sự liên hệ giữa tích phân đường loại II và tích

phân đường loại I. Công thức Green. Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân.

3.3. Tích phân mặt loại I. Tích phân mặt loại II. Công thức Stokes. Công thức Gauss–Ostrogradsky.

3.4. Dùng Mathlab trong tính tích phân đường và mặt. Chương 4 : Phương trình vi phân

4.1. Phương trình vi phân cấp 1. Các mô hình có phương trình vi phân. Phương trình tách biến. Phương trình đẳng cấp. Phương trình vi phân toàn phần. Phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính. Phương trình Bernoulli. Dùng Mathlab giải phương trình vi phân cấp 1.

4.2. Phương trình vi phân cấp 2: Định nghĩa. Điều kiện tồn tại nghiệm. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng. Phương trình vi phân cấp 2 có thể giảm cấp. Dùng Mathlab giải phương trình vi phân.

5. Phương pháp dạy và học Giảng viên trình bày những vấn đề chính, chú trọng hiểu khái niệm, nắm vững phương pháp. Một phần bài học, nhất là bài tập, để cho sinh viên tự học. Sử dụng công nghệ trong học tập (máy chiếu, phần mềm tính toán, tài liệu trên web).

6. Phương pháp, hình thức kiểm tra, đánh giá kết quả học tập Có điểm giữa kì.

7. Giáo Trình: J. Stewart, Calculus, early transcendentals, 7ed., Brooks-Cole, 2012.

8. Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, tập 3, Phép tính

giải tích nhiều biến số , NXB Giáo dục 2007.

2. B. Hunt, R. Lipsman and J.Rosenberg, A guide to Matlab for beginner’s and experienced users, Cambridge University Press 2001.

3. J. Stewart, Calculus, early transcendentals, 7ed., Brooks-Cole, 2012.


1. Matlab

4



Giáo trình Vi tích phân 2

Bộ môn Giải tích (Khoa Toán–Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh)

Bản ngày 19 tháng 1 năm 2018

2

Đây là giáo trình cho các môn toán Vi tích phân 2 cho khối B và C do Bộ môn Giảitích (Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh) chủ trìbiên soạn.

Tham gia biên soạn: Ông Thanh Hải, Nguyễn Vũ Huy, Nguyễn Thị Thu Vân, HuỳnhQuang Vũ

Liên hệ: [email protected]ỗi mục tương ứng với khoảng một buổi thảo luận trong lớp học.Trang web Tài liệu hỗ trợ môn học của Bộ môn Giải tích có ở:

http://www.math.hcmus.edu.vn/giaitichĐây là bản thảo, đang được tiếp tục chỉnh sửa bổ sung.

http://www.math.hcmus.edu.vn/giaitich

Mục lục

1 Đạo hàm của hàm nhiều biến 51.1 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích trong . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Tập mở và tập đóng trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Hình học trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Hàm số nhiều biến. Giới hạn và sự liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Đạo hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Đạo hàm riêng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Mặt phẳng tiếp xúc và Xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.3 Khả vi và Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.4 Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Đạo hàm của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.1 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.2 Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Cực trị của hàm số nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.1 Cực trị không có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.2 Cực trị có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Tích phân bội 302.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Tích phân trên hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.2 Tích phân trên tập tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.3 Thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.4 Sự có tích phân và sự có thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.5 Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Công thức Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.1 Công thức Fubini cho miền phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.2 Công thức Fubini cho miền ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Công thức đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.1 Phép đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.2 Công thức đổi biến cho vi phân và tích phân . . . . . . . . . . . . . 452.3.3 Tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.4 Tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.5 Giải thích công thức đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4 Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3

4 MỤC LỤC

2.4.1 Giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.2 Tâm khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.3 Xác suất của sự kiện ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Giải tích vectơ 613.1 Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.1 Chiều dài của đường đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.2 Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.3 Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.4 Sự phụ thuộc vào đường đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.5 Liên hệ giữa hai loại tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 Công thức Newton–Leibniz và Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.1 Trường bảo toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.2 Ý nghĩa vật lý của khái niệm trường bảo toàn . . . . . . . . . . . . . 703.2.3 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.4 Điều kiện để trường vectơ phẳng là bảo toàn . . . . . . . . . . . . . 733.2.5 Dạng thông lượng của công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3 Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3.1 Diện tích mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3.2 Tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.3 Tích phân mặt loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.3.4 Mặt như là tập điểm. Định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.3.5 Pháp tuyến của mặt. Liên hệ giữa hai loại tích phân mặt . . . . . . 87

3.4 Công thức Stokes và Công thức Gauss–Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . 893.4.1 Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.4.2 Điều kiện để trường ba chiều là bảo toàn . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.3 Công thức Gauss–Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4.4 Ý nghĩa vật lý của div và curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.4.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Tài liệu tham khảo 102

Chỉ mục 103

Chương 1

Đạo hàm của hàm nhiều biến

1.1 Không gian Rn

Khoảng 300 năm trước Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp Euclid viết bộ sách “Cơsở của hình học”, tổng kết hiểu biết hình học đương thời. Ngày nay hình học phẳng vàhình học không gian ba chiều mà Euclid trình bày với hệ thống tiên đề và các chứng minhbằng suy diễn toán học vẫn được học ở trường trung học phổ thông.

Phát triển từ hình học Euclid, trong chương này chúng ta sẽ xét không gian Euclide n-chiều. Nhưng phương pháp của chúng ta là phương pháp Hình học Giải tích của Descartes,theo đó điểm sẽ tương ứng với số, nhờ đó quan hệ hình học được diễn tả bằng quan hệ sốlượng. Cụ thể hơn, cũng như môn Vi Tích phân Hàm một biến (xem [Bmgt1]), môn ViTích phân Hàm nhiều biến đặt trên cơ sở trên tập hợp các số thực, và mặc dù chúng ta sẽdùng hình vẽ và trực quan để dẫn dắt nhưng mỗi suy luận chỉ được coi là chặt chẽ khi nónằm trong hệ thống suy luận từ tập hợp số thực bằng các quy tắc suy luận toán học. Tuyvậy phát triển của chúng ta vẫn nhắm tới sự tương thích và chứa các trường hợp n = 1,n = 2, n = 3 mà ta đã học ở trung học phổ thông.

Trên tinh thần đó, chúng ta bắt đầu môn học với định nghĩa cho những khái niệm cănbản như không gian, điểm, vectơ, đường thẳng, mặt phẳng, . . .

Với mỗi số nguyên dương n, tập hợp Rn là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự n số thực.Vậy Rn = x = (x1, x2, . . . , xn) |x1, x2 . . . , xn ∈ R. Số thực xi được gọi là thành phầnhay tọa độ thứ i của phần tử x.

1.1.1 Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích trong

Khi tập Rn được trang bị các phép toán nhất định thì nó được gọi là một không gianvectơ, và các phần tử của nó cũng được gọi là các vectơ. Đôi khi, để nhấn mạnh việc nhìnphần tử x dưới khía cạnh vectơ người ta dùng kí hiệu ~x hay x, đặc biệt khi n = 2, 3. Cácphép toán đó gồm phép toán cộng và phép toán nhân, được định nghĩa như sau. Phépcộng + của hai vectơ x = (x1, x2, . . . , xn) và y = (y1, y2, . . . , yn) cho ra vectơ

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).

Phép nhân của vectơ x với số thực α cho vectơ

α · x = x · α = (αx1, αx2, . . . , αxn).

Hai phép toán + và · có các tính chất:

Mệnh đề 1.1.1. Với mọi x, y ∈ Rn, với mọi α, β ∈ R:

(a) x+ y = y + x,

5

6 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

(b) (x+ y) + z = x+ (y + z),

(c) với 0 là vectơ có tất cả các thành phần bằng 0, nghĩa là 0 = (0, 0, . . . , 0) (thường đượcgọi là điểm gốc tọa độ), thì x+ 0 = 0 + x = x,

(d) tồn tại vectơ đối −x = (−1) · x = (−x1,−x2, . . . ,−xn) sao cho x+ (−x) = 0,

(e) 1 · x = x,

(f) α · (β · x) = (α · β) · x,

(g) (α+ β) · x = α · x+ β · x,

(h) α · (x+ y) = α · x+ α · y.

Về sau để kí hiệu đơn giản hơn ta thường bỏ đi dấu chấm để kí hiệu phép nhân ở trên,ví dụ viết 2x thay vì 2 · x.

Hình 1.1.1: Hình ảnh minh họa cho một điểm (x, y, z) nằm trong không gian R3.

Những tính chất trên phù hợp với các trường hợp riêng R, R2, R3 đã biết. Tuy vậy cómột điểm khác biệt khá tinh tế đáng chú ý là trong các trường hợp riêng này, cũng nhưtrong vật lý, ta thường hình dung một vectơ là một đoạn thẳng có hướng, được xác địnhbởi một cặp có thứ tự hai điểm, một điểm đầu và một điểm cuối; tức là vectơ trước đâylà có gốc. Còn vectơ như ta vừa định nghĩa trên, không đi kèm khái niệm gốc, trước đâycó khi được gọi là “vectơ tự do”.

Mỗi vectơ có một chiều dài, hay độ lớn, được gọi là chiều dài Euclid, cho bởi|x| =

√x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n. Chiều dài của vectơ còn được gọi là chuẩn của vectơ (đặc biệtkhi n > 3), kí hiệu là ‖x‖.

Trong trường hợp n = 1 độ lớn này chính là giá trị tuyệt đối của số thực.Chiều dài vectơ có các tính chất quan trọng sau:

Mệnh đề 1.1.2. Với mọi x, y ∈ Rn, với mọi α ∈ R thì:

1.1. KHÔNG GIAN RN 7

(a) ‖x‖ ≥ 0,

(b) ‖x‖ = 0 khi và chỉ khi x = 0,

(c) ‖αx‖ = |α| ‖x‖,

(d) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (bất đẳng thức tam giác).

Hai phần tử x, y bất kì của Rn lại có một khoảng cách giữa chúng, kí hiệu là d(x, y),được gọi là khoảng cách Euclid, cho bởi

d(x, y) = ‖y − x‖ =√

(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + · · ·+ (yn − xn)2.

Trong trường hợp n = 1 khoảng cách này chính là chiều dài thông thường của mộtđoạn số thực. Trong trường hơp n = 2 và n = 3 khoảng cách từ x tới y bằng chiều dài củavectơ đi từ x tới y.

Khoảng cách có các tính chất quan trọng sau:

Mệnh đề 1.1.3. Với mọi x, y, z ∈ Rn thì:

(a) d(x, y) ≥ 0,

(b) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y,

(c) d(x, y) = d(y, x),

(d) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác).

Trên Rn ta còn có một tích vô hướng của hai vectơ, tổng quát hóa tích của số thực vàtích vô hướng trong R2, R3 mà ta đã biết, và cũng được gọi là tích vô hướng Euclid,còn gọi là tích trong Euclid, cho bởi

x · y = 〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn.

Phép toán tích vô hướng có các tính chất sau:

Mệnh đề 1.1.4. Với mọi x, y, z ∈ Rn, với mọi α ∈ R thì:

(a) x · x ≥ 0,

(b) x · x = 0 khi và chỉ khi x = 0,

(c) x · y = y · x

(d) x · (y + z) = x · y + x · z,

(e) (αx) · y = α(x · y),

Ta có ngay quan hệ giữa tích vô hướng và độ lớn: ‖x‖ =√x · x. Như vậy chiều dài,

khoảng cách, và tích vô hướng Euclid của Rn có quan hệ gắn bó với nhau.Mỗi phần tử x của tập hợp Rn có nhiều vai trò tùy theo khía cạnh mà ta quan tâm:

là một vectơ nếu ta quan tâm tới phép toán vectơ, hay là một điểm nếu ta quan tâm hơntới khoảng cách. Chính vì vậy một phần tử của Rn khi thì được gọi là một vectơ, khi thìđược gọi là một điểm. Người đọc không nên bị rối bởi điều này. Cũng vì lí do này mà takhông nhất thiết phải dùng kí hiệu khác nhau để phân biệt điểm hay vectơ.

Không gian Rn có một bộ đặc biệt các vectơ

(eee1 = (1, 0, ..., 0), eee2 = (0, 1, ..., 0), . . . , eeen = (0, 0, ..., 1))


có tính chất là với một vectơ x bất kì trong Rn thì

x =

n∑i=1

xieeei.

Bộ trên được gọi là cơ sở vectơ chính tắc của Rn. Người ta nói rằng n là số chiều củaRn, bởi vì Rn có một cơ sở vectơ gồm đúng n phần tử, và mọi phần tử của Rn đều nhậnđược từ cơ sở đó bằng phép cộng vectơ và phép nhân với số thực.

1.1.2 Tập mở và tập đóng trong Rn

Với khoảng cách và độ dài Euclid, ta có thể xây dựng tập mở, đóng, là cấu trúc thíchhợp cho khái niệm giới hạn và liên tục.

Cho x ∈ Rn và ε > 0. Các tập hợp

B(x, ε) = y ∈ Rn | ‖x− y‖ < ε

B′(x, ε) = y ∈ Rn | ‖x− y‖ ≤ ε

S(x, ε) = y ∈ Rn | ‖x− y‖ = ε

lần lượt được gọi là quả cầu (mở), quả cầu đóng, và mặt cầu tâm x bán kính ε trong Rn.Vậy một quả cầu mở là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách tới một điểm cho trướcnhỏ hơn một số cho trước. Đây rõ ràng là một phát triển của khái niệm khoảng, hình tròn,quả cầu trong trường hợp n = 1, 2, 3.

Điểm x được gọi là một điểm trong của một tập D ⊂ Rn nếu có một số ε > 0 saocho quả cầu B(x, ε) được chứa trong D.

Tập tất cả các điểm trong của D được gọi là phần trong của D được ký hiệu làD .

Tập hợp D được gọi là một tập mở nếu mọi điểm của D đều là điểm trong của D.

Ví dụ 1.1.5. Quả cầu B(x, ε) là một tập mở.

Điểm x ∈ Rn được gọi là một điểm biên của tập D ⊂ Rn nếu một quả cầu B(x, ε)bất kì chứa ít nhất một điểm thuộc D và một điểm không thuộc D. Tập các điểm biêncủa D kí hiệu là ∂D, và được gọi là biên của D.

Rõ ràng, điểm trong của D thì nằm trong D, còn điểm biên của D có thể thuộc D vàcũng có thể không thuộc D.

Ví dụ 1.1.6. Mặt cầu S(x, ε) là biên của quả cầu B(x, ε).

Tập D ⊂ Rn được gọi là một tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó.

Ví dụ 1.1.7. Quả cầu đóng B′(x, ε) và mặt cầu S(x, ε) là các tập đóng.

Ví dụ 1.1.8. Tập C = (x, y, z) ∈ R3 | a ≤ x < b, a ≤ y < b, a ≤ z < b không là tậpmở, cũng không là tập đóng trong R3.

Điểm x ∈ Rn được gọi là một điểm tụ hay điểm giới hạn của tập D ⊂ Rn nếu mộtquả cầu B(x, ε) bất kì chứa ít nhất một điểm thuộc D khác với x.

Người ta thường dùng thuật ngữ lân cận của một điểm trong Rn để chỉ một tập mởcủa Rn chứa điểm đó.

USER

Highlight

1.2. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC 9

1.1.3 Hình học trong Rn

Cho hai vectơ u và v trong Rn. Góc giữa hai vectơ u và v là số thực θ ∈ [0, π] thỏa

cos θ =u · v‖u‖ ‖v‖

.

Như thế ta được công thứcu · v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ.

Ta nói u vuông góc, hay trực giao với v nếu u · v = 0, tức là góc giữa chúng là π/2,kí hiệu là u ⊥ v.

Hai vectơ là cùng phương nếu góc giữa chúng bằng 0 hoặc π, tức là một vectơ là bộicủa vectơ kia. Hai vectơ là cùng hướng nếu góc giữa chúng bằng 0, tức là một vectơ làbội dương của vectơ kia.

Nếu v 6= 0 thì vectơ đơn vị theo chiều của v là v‖v‖ . Hình chiếu của u lên v là vectơ

cùng chiều với v có độ lớn bằng |u · v‖v‖ |, tức là vectơ u·v

‖v‖2 v.

Cho hai vectơ trong R3, u = (u1, u2, u3) và v = (v1, v2, v3). Tích có hướng của haivectơ này, kí hiệu là u× v, được định nghĩa là vectơ

u× v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1).

Một tính chất căn bản của tích có hướng mà ta kiểm được ngay là (u×v) ⊥ u và (u×v) ⊥ v.Như vậy tích có hướng của hai vectơ vuông góc với hai vectơ ấy. Ngoài ra tích có hướngbằng vectơ 0 khi và chỉ khi hai vectơ là cùng phương.

1.2 Hàm số nhiều biến. Giới hạn và sự liêntục

Trong đời sống, một đại lượng thường phụ thuộc vào nhiều đại lượng khác. Ví dụ nhiệtđộ phụ thuộc vào vị trí và thời gian; giá cả của một hàng hoá trên thị trường phụ thuộcvào chi phí sản xuất, sản lượng cung cấp, nhu cầu thị trường. Người đọc có thể đưa ranhững ví dụ khác. Như thế để khảo sát các đại lượng trong đời sống chúng ta cần nhữnghàm có nhiều biến.

Chúng ta có định nghĩa hàm số nhiều biến như sau:

Định nghĩa 1.2.1. Cho một tập không rỗng D ∈ Rn, ánh xạ

f : D −→ Rx = (x1, ..., xn) 7−→ f(x) = f(x1, ..., xn)

được gọi là một hàm số được xác định trên D. Ta gọi D là tập xác định, f là hàm số, xlà biến số, f(x) là giá trị của f tại x.

Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm (x1, ..., xn, y) trong không gian Rn+1

sao cho y = f(x1, ..., xn).

Ví dụ 1.2.2. (a) Hàm số f : D → R với D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 và z =f(x, y) =

√1− x2 − y2 có đồ thị là nửa mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ O và bán

kính 1 nằm trong nửa không gian trên z ≥ 0.

(b) Đồ thị của hàm số z = f(x, y) =√x2 + y2 là mặt nón tròn xoay quanh trục Oz,

nằm trong nửa không gian trên z ≥ 0.


1.2.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến

Định nghĩa 1.2.3. Cho hàm số f xác định trên tập D ⊂ Rn theo biến x và a là mộtđiểm tụ của D. Ta nói hàm f có giới hạn L ∈ R khi x dần đến a nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0,∀x ∈ D, 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

Khi đó ta viết limx→a f(x) = L, hoặc viết f(x)→ L khi x→ a.Chúng ta thấy định nghĩa của giới hạn của hàm nhiều biến không khác gì với định

nghĩa của giới hạn của hàm một biến (xem [Bmgt1]). Ý nghĩa của định nghĩa này cũngkhông có gì khác: Giới hạn của f(x) là L khi x tiến tới a nếu khoảng cách giữaf(x) và L nhỏ tùy ý miễn khoảng cách giữa x và a đủ nhỏ.

Như vậy giới hạn của hàm một biến là trường hợp n = 1 của giới hạn của hàm nhiềubiến, và ta thừa hưởng mọi tính chất đã có trong Vi Tích phân Hàm một biến.

Trong một số trường hợp đơn giản hơn, có thể hiểu giới hạn một cách thô sơ: khi xgần tới a hơn thì f(x) gần tới L hơn.

Ghi chú 1.2.4. Trong định nghĩa trên ta cho phép điểm a là điểm tụ của miền xác địnhD, không nhất thiết thuộc D. Điều này là để chúng ta có thể xét những giới hạn như

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + 4y2.

Ở đó chúng ta cho (x, y) dần tới (0, 0) mà không bằng (0, 0), nơi hàm không được xácđịnh. Điều này giải thích điều kiện 0 < |x− a| trong định nghĩa.

Nếu a thuộc D thì định nghĩa giới hạn tại a trở nên đơn giản hơn: limx→a f(x) = Lnếu

∀ε > 0, ∃δ > 0, |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

Một số tính chất của giới hạn dưới đây có thể được giải thích và chứng minh từ địnhnghĩa, tương tự như với hàm một biến.

Mệnh đề 1.2.5. Giả sử f, g : D → Rn là hai hàm số có giới hạn khi x→ a. Khi đó:

(a) limx→a

[f(x) + g(x)] = limx→a

f(x) + limx→a

g(x),

(b) limx→a

[kf(x)] = k limx→a

f(x) với k là một hằng số,

(c) limx→a

[f(x)g(x)] = limx→a

f(x) · limx→a

g(x),

(d) limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a f(x)

limx→a g(x)nếu lim

x→ag(x) 6= 0.

(e) Nếu f ≤ g thì limx→a f(x) ≤ limx→a g(x).

Dưới đây là một hệ quả thường được dùng:

Hệ quả 1.2.6 (tiêu chuẩn kẹp). Giả sử f, g, h : D → R và f ≤ g ≤ h. Giả sử f và hcó cùng giới hạn L khi x→ a. Khi đó g cũng có giới hạn là L khi x→ a.

Trong môn này phần lớn chúng ta làm việc trên R2, để dễ hình dung cũng như thựchiện các tính toán hơn.

USER

Highlight

USER

Highlight

USER

Highlight

1.2. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC 11

Ví dụ 1.2.7. Tìm giới hạn

lim(x,y)→(1,0)

(x3 + y3) sin( 1

x2 + y2

).

Chúng ta có thể thấy rằng

lim(x,y)→(1,0)

(x3 + y3) sin( 1

x2 + y2

)= 1 · sin(1/1) = sin 1.

Một lý luận chi tiết có thể dùng các tính chất cơ bản trên của giới hạn và tính liên tụccủa hàm sin.

Ví dụ 1.2.8. Tìm giới hạn

lim(x,y)→(0,0)

(x3 + y3) sin( 1

x2 + y2

).

Đặt f(x, y) = (x3 + y3) sin(

1x2+y2

). Hàm số f này xác định trên R2 \ (0, 0). Ta có

0 ≤ |f(x, y)| ≤ |x3 + y3|. Vì x3 + y3 → 0 khi (x, y) → (0, 0) nên theo tiêu chuẩn kẹp thìlim(x,y)→(0,0) |f(x, y)| = 0, do đó lim(x,y)→(0,0) f(x, y) = 0. Vậy

lim(x,y)→(0,0)

(x3 + y3) sin( 1

x2 + y2

)= 0.

Ta có thể mở rộng khái niệm giới hạn bằng vô hạn tương tự như với hàm một biến.

Ví dụ 1.2.9. Ta có

lim(x,y)→(0,1)

1 + y

x2= +∞.

lim(x,y,z)→(0,0,0)

x2 + 1

y2 + z2= +∞.

Giới hạn của hàm số thông qua dãy

Tương tự như trường hợp hàm một biến, ta có khái niệm giới hạn của dãy trong Rn.Định nghĩa không có gì khác trong trường hợp n = 1. Ta nói rằng một dãy các điểm xm,m ∈ Z+ trong Rn hội tụ tới x nếu limm→∞ |xm − x| = 0. Khi đó ta viết limm→∞ xm = x.

Do định nghĩa của khoảng cách và độ lớn Euclid, ta có thể thấy giới hạn của dãytương đương với giới hạn của từng tọa độ, tức là nếu viết xm = (x1

m, x2m, . . . , x

nm) và

x = (x1, x2, . . . , xn) thì

limm→∞

(x1m, x

2m, . . . , x

nm) = (x1, x2, . . . , xn)⇔ lim

m→∞x1m = x1, lim

m→∞x2m = x2, . . . , lim

m→∞xnm = xn.

Chúng ta có một liên hệ giữa hội tụ của dãy và hội tụ của hàm số:

Mệnh đề 1.2.10. Hàm f có giới hạn L khi x dần đến a khi và chỉ khi với mọi dãy(xm)m∈Z+ mà xm 6= a thì

limm→∞

xm = a⇒ limm→∞

f(xm) = L.

Người đọc có thể thử giải thích kết quả này. Có thể chứng minh nó bằng lý luận xuấtphát từ định nghĩa.


1.2.2 Hàm số liên tục

Định nghĩa 1.2.11. Cho hàm số f xác định trên tập D ⊂ Rn, ta nói f liên tục tạia ∈ D nếu

limx→a

f(x) = f(a).

Hàm f được gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.

Một lần nữa, khái niệm liên tục trong Rn không có gì khác với liên tục trong R. Nóvẫn có ý nghĩa là: thay đổi giá trị của hàm là nhỏ tùy ý nếu thay đổi giá trị củabiến là đủ nhỏ. Như vậy tính liên tục cho phép ta kiểm soát được sai số.

Các khái niệm và kết quả về sự liên tục đối với hàm một biến vẫn còn giữ nguyên chotrường hợp hàm nhiều biến. Các kết quả về tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương, hàmhợp của các hàm liên tục, vẫn còn giữ nguyên cho trường hợp hàm nhiều biến, và có thểđược suy ra ngay từ các tính chất tương ứng của sự hội tụ.

Ví dụ 1.2.12. Xét sự liên tục của hàm số

f(x, y) =

(xy)2

x2+y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0).

Ta thấy hàm f liên tục tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0). Xét tại (0, 0). Theo bất đẳng thứcCauchy

0 ≤ |xy| ≤ x2 + y2

2,

do đó(xy)2

x2 + y2≤ (x2 + y2)2

4(x2 + y2)=

(x2 + y2)2

4,

suy ra

0 ≤ lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) ≤ lim(x,y)→(0,0)

(x2 + y2)2

4= 0.

Vậy lim(x,y)→(0,0) f(x, y) = 0 = f(0, 0). Như vậy f liên tục tại mọi điểm trên miền xácđịnh.

Bài tập

1.2.1. Tìm

(a) lim(x,y)→(0,0)x2y

x2+4y2

(b) lim(x,y)→(0,0)x2y3

x2 + y2

(c) lim(x,y)→(0,0)(sin2 x)y

x2 + y2

1.2.2. Hàm

f(x, y) =

xy2

x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

có liên tục hay không?

USER

Highlight

USER

Highlight

USER

Highlight

USER

Highlight

USER

Highlight

1.3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 13

1.3 Đạo hàm của hàm số

1.3.1 Đạo hàm riêng phần

Cho một hàm số nhiều biến z = f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) xác định trên một tập mởD ⊂ Rn. Xét điểm a = (a1, a2, . . . , an) ∈ D.Ta giả sử D là một tập mở, hoặc thay vàođó, một cách tương đương đối với vấn đề đạo hàm, giả sử a là một điểm trong của D. Cốđịnh x2 = a2, x3 = a3, . . . , xn = an thì f(x1, x2, . . . , xn) là hàm chỉ theo một biến là x1.Nếu hàm này có đạo hàm tại x1 = a1 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng phần của hàmz = f(x1, x2, . . . , xn) theo biến x1 (biến thứ nhất) tại điểm a = (a1, a2, . . . , an).

Đạo hàm riêng phần thực chất là đạo hàm theo một biến số khi tất cả các biến còn lạinhận giá trị cố định. Như vậy đạo hàm riêng phần cũng chỉ là đạo hàm.

Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào thì ta coi các biến còn lại như là hằng số, vàtính đạo hàm theo biến đang xét theo cách tính đạo hàm của hàm một biến.

Chính thức, từ định nghĩa của đạo hàm của hàm một biến, ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3.1. Cho f : D ⊂ Rn → R và a = (a1, a2, . . . , an) là một điểm trong củaD. Giới hạn

limh1→0

f(a1 + h1, a2, . . . , an)− f(a1, a2, . . . , an)

h1,

nếu có, được gọi là đạo hàm riêng theo biến thứ nhất của f tại a.

Giả thiết a là điểm trong của miền xác định là để đảm bảo tồn tại f(a1 +h1, a2, . . . , an)khi h1 đủ nhỏ.

Ta kí hiệu đạo hàm riêng phần trên bởi một trong các cách sau: fx1(x), f ′x1(x), f ′1(x),

D1f(x),∂f

∂x1(x), hay

∂z

∂x1(x).

Ghi chú 1.3.2. Giải thích của chúng ta rằng đạo hàm riêng là đạo hàm khi chỉ một biếnthay đổi có nghĩa chính xác như sau: nếu ta đặt g(x1) = f(x1, a2, . . . , an) thì g là hàm chỉtheo một biến là x1 và ∂f

∂x1(a) chính là g′(a1).

Ý nghĩa của đạo hàm riêng là ý nghĩa của đạo hàm mà ta đã biết: đạo hàm riêngđo tỉ lệ thay đổi giữa giá trị của hàm với giá trị của biến đang xét tại điểmđang xét. Giá trị của đạo hàm riêng theo một biến cho thấy hàm đang thay đổi như thếnào theo biến đó. Vì thế mỗi khi muốn khảo sát sự thay đổi của các đại lượng người tathường thấy sự xuất hiện của đạo hàm riêng. 1

Ví dụ 1.3.3. cho f(x, y) = x3y2. Muốn tính ∂f∂x ta xem y như hằng số và biến số là x,

như thế ∂f∂x (x, y) = 3x2y2. Tương tự, ∂f∂y (x, y) = 2x3y.

Khi f có đạo hàm riêng theo tất cả các biến tại x thì ta gọi gradient2 của f tại x, kýhiệu grad f(x) hay ∇f(x) (nabla) là vectơ mà các thành phần là các đạo hàm riêng:

∇f(x) =

(∂f

∂x1(x),

∂f

∂x2(x), . . . ,

∂f

∂xn(x)

).

Ví dụ 1.3.4. Xét hàm f : R2 → R xác định bởi f(x, y) = x2 + y2. Tính ∇f(0, 1).Ta có ∂f

∂x (x, y) = 2x, do đó ∂f∂x (0, 1) = 0. Tương tự ∂f

∂y = 2y, do đó, ∂f∂y (0, 1) = 2. Vậy∇f(0, 1) = (0, 2).

1Thuật ngữ đạo hàm trong tiếng Anh là derivative, có nghĩa là dẫn xuất, từ một cái khác mà ra: đạohàm của một hàm là một hàm dẫn xuất từ hàm ban đầu.

2trong tiếng Anh gradient có nghĩa là dốc, nghiêng, . . .


1.3.2 Mặt phẳng tiếp xúc và Xấp xỉ tuyến tính

Giả sử f(x, y) khả vi trong một lân cận của điểm (a, b). Đặt r(x, y) = (x, y, f(x, y)).Ảnh của r chính là đồ thị của f . Nếu ta cố định y = b thì r(x, y) trở thành một đường đitrên đồ thị của f . Vận tốc của đường đi đó là rx(a, b) = ∂

∂xr(a, b) = (1, 0, fx(a, b)). Vectơnày “tiếp xúc” với đồ thị của f tại điểm (a, b, f(a, b)). Tương tự, cố định x = a ta đượcmột vectơ tiếp xúc nữa là ry(a, b) = (0, 1, fy(a, b)). Hai vectơ tiếp xúc này căng một mặtphẳng, được gọi là mặt phẳng tiếp xúc của đồ thị của f ở điểm (a, b). Mặt phẳng nàycó một vectơ pháp tuyến là rx(a, b)×ry(a, b) = (−fx(a, b),−fy(a, b), 1). Từ đó ta có mộtphương trình cho mặt phẳng tiếp xúc là

−(x− a)fx(a, b)− (y − b)fy(a, b) + (z − f(a, b)) = 0,

hayz = f(a, b) + fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b).

Ý chính của xấp xỉ tuyến tính là dùng mặt phẳng tiếp xúc để xấp xỉ đồ thị. Nhưthế với (x, y) ≈ (a, b) ta có xấp xỉ

f(x, y) ≈ f(a, b) + fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b).

Một cách viết khác là∆f(x, y) ≈ fx(a, b)∆x+ fy(a, b)∆y.

1.3.3 Khả vi và Đạo hàm

Với hàm một biến ta đã thấy

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h.

Nếu đạo hàm f ′(x) tồn tại thì ta có thể viết

ε(h) =f(x+ h)− f(x)

h− f(x)

vàf(x+ h) = f(x) + f ′(x)h+ ε(h)h,

với limh→0 ε(h) = 0.

Giờ ta làm tương tự cho hàm nhiều biến. Hàm f được gọi là khả vi tại p, nếu trongmột lân cận của p ta có thể viết

f(x+ h) = f(x) + c · h+ ε(h)|h|,

với c ∈ Rn và limh→0 ε(h) = 0. Khi đó ta đặt gọi đạo hàm của f tại p là ánh xạf ′(p) : Rn → R được cho bởi f ′(p)(h) = c · h. Như vậy khả vi nghĩa là có đạo hàm.

Hàm khả vi có nghĩa là hàm có thể được xấp xỉ “tốt” bằng xấp xỉ tuyến tính. Đạo hàmchính là xấp xỉ tuyến tính đó.

Mệnh đề 1.3.5. Nếu hàm f có tất cả các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận củađiểm p thì hàm f khả vi tại điểm p. Hơn nữa khi đó f ′(p)(h) = ∇f(p) · h, tức là ánh xạtuyến tính f ′(p) được đại diện trong cơ sở chính tắc của Rn bởi vectơ gradient ∇f(p).

USER

Highlight

USER

Highlight

USER

Strikeout

USER

Cancelled set by USER

USER

Strikeout

USER

Highlight

USER

Strikeout

USER

Highlight

USER

Highlight

1.3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 15

1.3.4 Đạo hàm riêng cấp cao

Ta biết đạo hàm cấp cao của hàm một biến số được định nghĩa theo quy nạp: đạo hàmcấp n bằng đạo hàm của đạo hàm cấp (n − 1). Đối với hàm nhiều biến khái niệm tươngứng là đạo hàm riêng và đạo hàm riêng cấp cao.

Cho f : D ⊂ Rn → R. Nếu ∂f∂xi

tồn tại tại mọi điểm x ∈ D thì ta có một hàm mới

∂f

∂xi: D −→ R

x 7−→ ∂f

∂xi(x).

Ta lại có thể xét đạo hàm riêng của hàm ∂f∂xi

này, tức là

∂

∂xj

(∂f

∂xi

).

Các đạo hàm này, nếu có, được gọi là các đạo hàm riêng cấp 2 của f . Ta thường dùng kýhiệu

∂

∂xj

(∂f

∂xi

)=

∂2f

∂xj∂xi= fxixj .

Tương tự, nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 tại mọi điểm của D thì đạo hàm riêngtheo các biến của các đạo hàm riêng cấp 2 này gọi là đạo hàm riêng cấp 3 của f , ký hiệulà

∂

∂xk

(∂2f

∂xj∂xi

)=

∂3f

∂xk∂xj∂xi= fxixjxk .

Ví dụ 1.3.6. Hàm f(x, y) = x3y4−4xy2 có fx(x, y) = 3x2y4−4y2, fy(x, y) = 4x3y3−8xy.Các đạo hàm cấp 2 là fxx(x, y) = 6xy4, fxy(x, y) = 12x2y3 − 8y = fyx(x, y), fyy(x, y) =12x3y2 − 8x.

Ví dụ 1.3.7. Hàm f(x, y) = x2ey + x3y2 − y5 có fx(x, y) = 2xey + 3x2y2, fy(x, y) =x2ey + 2x3y − 5y4, fxy(x, y) = 2xey + 6x2y = fyx(x, y).

Trong các ví dụ trên ta thấy fxy = fyx. Đây không phải là tình cờ. Định lý sau chobiết một điều kiện đủ để hai đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau.

Định lý 1.3.8. Nếu f : D ⊂ Rn → R có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trên Dthì

∂2f

∂xi∂xj=

∂2f

∂xj∂xi

trên D, với mọi i, j = 1, 2, ..., n.

Vậy nếu các đạo hàm riêng liên tục thì thứ tự lấy đạo hàm không ảnh hưởngtới kết quả.

Chứng minh. Ta viết chứng minh cho trường hợp n = 2 cho dễ theo dõi hơn. Trường hợptổng quát không có gì khác về nội dung. Theo định nghĩa

fyx(a, b) = limh→0

fy(a+ h, b)− fy(a, b)h

= limh→0

limk→0 f(a+h,b+k)−f(a+h,b)k − limk→0 f(a,b+k)−f(a,b)

k

h

= limh→0

limk→0

1

hk[(f(a+ h, b+ k)− f(a+ h, b))− (f(a, b+ k)− f(a, b))].


Đặt g(x) = f(x, b+ k)− f(x, b) thì

[f(a+ h, b+ k)− f(a+ h, b)]− [f(a, b+ k)− f(a, b)] = g(a+ h)− g(a).

Vì g khả vi liên tục nên theo Định lý giá trị trung bình (xem [Bmgt1]) có một số θ giữaa và a+ h sao cho g(a+ h)− g(a) = g′(θ)h. Chú ý g′(x) = fx(x, b+ k)− fx(x, b), ta được

[f(a+ h, b+ k)− f(a+ h, b)]− [f(a, b+ k)− f(a, b)] = [fx(θ, b+ k)− fx(θ, b)]h.

Vì fx(θ, y) là hàm khả vi liên tục theo biến y nên lại theo Định lý giá trị trung bình cómột số δ giữa b và b+ k sao cho fx(θ, b+ k)− fx(θ, b) = fxy(θ, δ)k. Vậy

fyx(a, b) = limh→0

limk→0

fxy(θ, δ).

Chú ý θ và δ phụ thuộc vào (h, k). Khi h và k đủ nhỏ thì (θ, δ) đủ gần (a, b), và vì fxyliên tục nên fxy(θ, δ) gần tùy ý fxy(a, b). Do đó giới hạn ở vế phải bằng fxy(a, b).

Bài tập

1.3.1. Chof(x, y) =

ˆ y

x

√1 + t3 dt.

Tìm∂f

∂x(1, 2) và

∂f

∂y(1, 2).

1.3.2. Cho z = f(x, y), x = u− v, y = v − u. Chứng tỏ ∂z∂u + ∂z

∂v = 0.

1.3.3. Cho z = f(x2, y4). Tính∂2z

∂x∂y.

1.3.4. Điện thế V trong một mạch điện đơn giản đang giảm dần vì pin cũ đi. Điện trở R đang dầntăng lên do thiết bị bị nóng lên. Theo định luật Ohm, V = IR. Hãy tìm xem cường độ dòng điệnI đang thay đổi như thế nào khi R = 400Ω, I = 0.08A, dV/dt = −0.01V/s, và R/dt = 0.03Ω/s.

1.3.5. Tìm một xấp xỉ tuyến tính của hàm f(x, y) = x − xy + y2 gần điểm (x, y) = (5, 6). Viếtphương trình cho mặt phẳng tiếp xúc của đồ thị ở điểm (x, y) = (5, 6). Ước lượng f(5.1, 5.9).

1.3.6. Cho fy(10, 20) = −5, fx(10, 20) = 1, f(10, 20) = 45. Hãy ước lượng f(11, 18).

1.3.7. Tìm xấp xỉ tuyến tính của hàm f(x, y) = x2y3 gần điểm (x, y) = (2, 1).

1.3.8. Tìm điểm trên mặt 2x2 + xy + y2 + 4x + 8y − z + 14 = 0 mà tiếp xúc với mặt phẳng4x+ y − z = 0.

1.3.9. Tìm mặt phẳng tiếp xúc của mặt

x2 + y2 + z2 + x4y4 + x4z4 + y4z4 − 9z = 21

tại điểm (1, 1, 2).

1.3.10. Chứng tỏ với mỗi c, hàm u(x, t) = (2 cos(ct)+3 sin(ct)) sin(x) là nghiệm của phương trìnhsóng utt = c2uxx.

1.3.11. Giả sử có hai món hàng có số lượng sản phẩm lần lượt là x1 và x2, với giá cố định trênmỗi đơn vị sản phẩm là p1 và p2. Gọi U(x1, x2) là số thực đại diện cho giá trị sử dụng. Giả sửngân sách sử dụng là cố định. Các đạo hàm ∂U

∂x1và ∂U

∂x1được gọi là các giá trị sử dụng cận biên

lần lượt của hai món hàng. Chứng tỏ rằng nếu giá trị sử dụng là tối ưu thì tỉ lệ giá trị sử dụngcận biên của hai món hàng đúng bằng tỉ lệ giá của hai món hàng đó.

1.3.12. Một vật hình hộp chữ nhật đang có kích thước dài 1 mét, rộng 2 mét, cao 3 mét. Dướitác động của môi trường kích thước của vật đang thay đổi, chiều dài tăng với tốc độ 0, 3 mét/giây,chiều rộng tăng 0, 2 mét/giây, và chiều cao giảm 0, 1 mét/giây. Hỏi thể tích của vật đang tăng hayđang giảm?

1.4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ 17

1.4 Đạo hàm của hàm vectơ

Tổng quát hơn hàm số ta có hàm vectơ. Đó đơn giản là những ánh xạ f : D ⊂ Rn → Rm.Mỗi hàm vectơ f như vậy là một bộ của m hàm số của n biến, cụ thể nếu ta viết

f(x1, x2, . . . , xn) = (f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn))

thì f = (f1, f2, . . . , fm) trong đó các fi là các hàm số của n biến.

Ví dụ 1.4.1. Một ánh xạ r : (a, b) ⊂ R → Rm, r(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xm(t)) thườngđược gọi là một đường đi trong Rm, mô hình hóa chuyển động trong không gian theo thờigian. Ví dụ đường (x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) = t) được gọi là đường xoắn.

Vì không gian đến Rm có sẵn khoảng cách Euclid, nên khái niệm hội tụ và liên tục cóthể mở rộng từ hàm số lên hàm vectơ mà không thay đổi nội dung.

Bây giờ ta bàn tới khái niệm đạo hàm. Cho x là một điểm trong của D. Nếu có mộthàm tuyến tính f ′(x) : Rn → Rm sao cho có một quả cầu B(x, ε) ⊂ D và một hàmr : B(x, ε)→ Rm thỏa mãn:

f(x+ h) = f(x) + f ′(x)(h) + r(h), ∀h ∈ B(x, ε)

và limh→0r(h)‖h‖ = 0, thì ánh xạ f ′(x) (còn được kí hiệu là df(x)) được gọi là đạo hàm

(derivative - dẫn xuất) của f tại x. Vậy đạo hàm cho một xấp xỉ tuyến tính của hàm:

f(x+ h) ≈ f(x) + f ′(x)(h).

Có thể thấy ngay, nếu hàm có đạo hàm (khả vi) thì nó liên tục.Ma trận các đạo hàm riêng của f tại x được gọi là ma trận Jacobi3 của f tại x, kí

hiệu là Jf (x) =(∂fi∂xj

(x))

1≤i≤m, 1≤j≤n.

Ví dụ 1.4.2. Khi m = 1 ma trận Jacobi Jf (x) chính là vectơ gradient

∇f(x) =( ∂f∂x1

(x), . . . ,∂f

∂xn(x)).

Trong định nghĩa đạo hàm nếu lấy h = ei thì ta được ngay: Nếu hàm f có đạo hàmthì nó có các đạo hàm riêng, và ánh xạ đạo hàm f ′(x) được biễu diễn trong cơ sở chuẩntắc (ei) bởi ma trận Jacobi Jf (x).

Ngược lại, nếu tất cả các đạo hàm riêng của các hàm thành phần của f tồn tại và liêntục tại x thì ta nói f khả vi liên tục hay trơn tại x. Ta có:

Mệnh đề 1.4.3. Nếu f khả vi liên tục tại x thì f có đạo hàm tại x, và ánh xạ tuyến tínhf ′(x) có thể biểu diễn trong cơ sở tuyến tính chuẩn tắc của Rn bởi ma trận Jacobi Jf (x),tức là f ′(x)(h) = Jf (x) · h, trong đó phép nhân bên vế phải là phép nhân ma trận.

Lưu ý là tổng quát ở mọi số chiều, người ta coi đạo hàm tại một điểm là một ánh xạtuyến tính, không phải một bộ số. Bộ số này chỉ đóng vai trò làm ma trận biểu diễn choánh xạ tuyến tính. Tuy vậy trong môn học này để cụ thể hơn ta thường đồng nhất ánhxạ đạo hàm tại một điểm với ma trận Jacobi biễu diễn ánh xạ đó.

3Jacobi là họ của một nhà toán học sống vào thế kỉ 19


1.4.1 Đạo hàm theo hướng

Cho hàm f : D ⊂ Rn → Rm và x là một điểm trong của D. Đạo hàm của hàm f tạiđiểm x theo hướng vectơ u ∈ Rn được định nghĩa là

Duf(x) = limh→0

f(x+ hu)− f(x)

h.

Đây là tỉ lệ thay đổi của hàm theo biến của nó khi biến chỉ được thay đổitheo hướng cho trước.

Người ta thường qui ước lấy các vectơ có độ dài bằng 1 để chỉ hướng, mục đích là đểchiều dài của vectơ chỉ hướng không làm ảnh hưởng tới các khái niệm liên quan tới hướng.

Đặt g(h) = f(x+ hu) thì Duf(x) =dg

dh(0) = g′(0). Dùng đạo hàm hàm hợp ta được

g′(0) = f ′(x) d

dh(x+ hu)

∣∣∣h=0

= Jf (x) · u.

VậyDuf(x) = Jf (x) · u.

Trong trường hợp f là hàm số ta được công thức biễu diễn đạo hàm theo hướng qua vectơgradient:

Duf(x) = ∇f(x) · u. (1.4.1)

Từ công thức trên ta suy ra Du(f)(x) = ∇f(x) · u là lớn nhất khi và chỉ khi vectơ

đơn vị u có cùng hướng với ∇f(x), tức là u =∇f(x)

‖∇f(x)‖. Giá trị lớn nhất của Du(f)(x) là

‖∇f(p)‖. Vậy giá trị của hàm tăng nhanh nhất theo hướng của vectơ gradient.Tương tự, giá trị của hàm giảm nhanh nhất theo hướng đối của vectơ gradient.

Ngoài ra từ định nghĩa của đạo hàm ta suy ra ngay

f ′(x)(u) = limt→0

f(x+ tu)− f(x)

t= Duf(x).

Vậy f ′(x)(u) bằng đạo hàm của f tại x theo hướng u, đo tỉ lệ thay đổi của f tại x theohướng u.

1.4.2 Đạo hàm của hàm hợp

Giả sử f là hàm số của x và y, nhưng x và y lại là hàm số của t. Như thế ta có thểxem f cũng phụ thuộc vào t, là hàm của t. Ta muốn tính đạo hàm của f theo t. Đây làvấn đề đạo hàm của hàm hợp.

Định lý 1.4.4. Cho hàm số f(x, y) với x = x(t) và y = y(t), t ∈ R. Đặt z(t) =f((x(t), y(t)). Giả sử f , x và y khả vi. Khi đó

dz

dt(t) =

∂f

∂x(x(t), y(t)) · dx

dt(t) +

∂f

∂y(x(t), y(t)) · dy

dt(t). (1.4.2)

Người ta thường hiểu ngầm f là hàm của t, tuy đúng ra phải đặt ra một hàm hợp mớilà z = f((x(t), y(t)), để công thức ngắn gọn hơn và đỡ phải đặt thêm biến mới, và viết tắtrằng

df

dt=∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt. (1.4.3)

1.4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ 19

Ta có một cách giải thích Công thức (1.4.2) (không phải chứng minh) dựa trên xấp xỉtuyến tính như sau. Vì

∆z ≈ fx(x, y)∆x+ fy(x, y)∆y ≈ fx(x, y)x′(t)∆t+ fy(x, y)y′(t)∆t

nên ∆z∆t ≈ fx(x, y)x′(t) + fy(x, y)y′(t).

Dùng khái niệm đạo hàm chứ không dùng đạo hàm riêng, ta có thể viết công thức đạohàm hàm hợp theo cùng hình thức như với hàm một biến. Cho U , V , W là tập mở củaRk, Rl, Rp theo thứ tự đó, cho f : U → V and g : V → W có đạo hàm, ta có công thứcđạo hàm hàm hợp

(g f)′(x) = g′(f(x)) f ′(x).

Chú ý rằng ở vế phải là hợp của hai ánh xạ tuyến tính. Nếu viết ở dạng ma trận biểu diễnthì công thức này cho

Jgf (x) = Jg(f(x)) · Jf (x). (1.4.4)

Ở vế phải tích là phép nhân của ma trận.

Ví dụ 1.4.5. Cho z = f(x, y), với (x, y) = r(t). Công thức đạo hàm hàm hợp (1.4.4) trởthành

d(f r)dt

(t) =df(x(t), y(t))

dt(t) = (∇f)(x(t), y(t)) · (x′(t), y′(t))

=∂f

∂x(x(t), y(t))

∂x

∂t(t) +

∂z

∂y(x(t), y(t))

∂y

∂t(t),

hay ngắn gọn hơn∂z

∂t=∂z

∂x

∂x

∂t+∂z

∂y

∂y

∂t.

Vậy ta thu lại được công thức đạo hàm hàm hợp (1.4.2).

Bài tập

1.4.1. Đặt hệ tọa độ trên một vùng trên mặt phẳng sao cho hướng trục x là hướng đông và hướngtrục y là hướng bắc. Nhiệt độ tại một điểm có tọa độ (x, y) trong vùng được mô hình hóa bởi côngthức T (x, y) = 100e−2x

2+3y2 . Tại điểm có tọa độ (1, 2):

(a) Nếu đi về hướng đông thì nhiệt độ tăng hay giảm?

(b) Nếu đi về hướng đông bắc thì nhiệt độ tăng hay giảm?

(c) Nên đi theo hướng nào để nhiệt độ giảm nhanh nhất?

1.4.2. Cho f(x, y) = y√x. Tìm đạo hàm của f tại điểm (1, 2) theo hướng của vectơ (2, 3) (lưu ý

cần lấy vectơ đơn vị). Tìm hướng tại điểm (1, 2) mà giá trị của hàm f tăng nhanh nhất.

1.4.3. Tìm đạo hàm của f(x, y) = 5x2y3 tại điểm (1, 1) theo hướng tới điểm (3, 2).

1.4.4. Cho T (x, y) = x2 + y2−x− y là nhiệt độ tại điểm (x, y) trên mặt phẳng. Một con kì nhôngđang nằm ở điểm (1, 3) đang muốn được ấm lên càng nhanh càng tốt. Nó nên bò theo hướng nào?

1.4.5. Cho u, v : (a, b)→ R3. Hãy kiểm tra các công thức sau về đạo hàm:

(a) (u · v)′ = u′ · v + u · v′.

(b) (u× v)′ = u′ × v + u× v′.

1.4.6. Cho f, g : D ⊂ Rn → R. Chứng tỏ nếu f, g có đạo hàm riêng theo mọi biến tại x ∈ D, thì


(a)∇(f + g)(x) = ∇f(x) +∇g(x),

(b)∇(fg)(x) = g(x)∇f(x) + f(x)∇g(x),

(c) nếu g(x) 6= 0 thì

∇(f

g

)(x) =

1

g2(x)(g(x)∇f(x)− f(x)∇g(x)).

1.5 Cực trị của hàm số nhiều biến

Như ta đã thấy với hàm một biến, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là một bài toánphổ biến, được gọi là bài toán cực trị hay bài toán tối ưu hóa. Ở bài này chúng ta pháttriển một số phương pháp để khảo sát bài toán này. Ở đây có sự tương tự với hàm mộtbiến, nhưng cũng có những điều mới do tính nhiều chiều.

Cũng giống như đối với hàm một biến, ta chia vấn đề thành hai phần: cực trị địaphương và cực trị toàn cục.

Định nghĩa 1.5.1. Hàm f : D ⊂ Rn → R có cực đại địa phương (hay cực đại tươngđối) tại a ∈ D nếu có một quả cầu B(a, r) ⊂ D sao cho f(a) ≥ f(x) với mọi x ∈ B(a, r).

Tương tự f : D ⊂ Rn → R có cực tiểu địa phương (hay cực tiểu tương đối) tạia ∈ D nếu có một quả cầu B(a, r) ⊂ D sao cho f(a) ≤ f(x) với mọi x ∈ B(a, r).

Cực tiểu và cực đại được gọi chung là cực trị. Chú ý rằng nếu hàm có cực trị địaphương ở một điểm thì điểm đó phải là một điểm trong của miền xác định.

Định nghĩa 1.5.2. Hàm f : D ⊂ Rn → R có cực đại toàn cục (hay cực đại tuyệtđối) tại a ∈ D nếu f(a) ≥ f(x) với mọi x ∈ D. Khi đó f(a) là giá trị lớn nhất của f .

Tương tự f : D ⊂ Rn → R có cực tiểu toàn cục (hay cực tiểu tuyệt đối) tại a ∈ Dnếu f(a) ≤ f(x) với mọi x ∈ D. Khi đó f(a) là giá trị nhỏ nhất của f .

Do định nghĩa cực trị địa phương, bài toán cực trị với tập xác định của hàm mục tiêulà tập mở thì được gọi bài toán không có ràng buộc, ngược lại bài toán với tập xác địnhcủa hàm mục tiêu không là tập mở được gọi là bài toán cực trị có ràng buộc.

1.5.1 Cực trị không có ràng buộc

Với hàm một biến, để hàm khả vi có cực trị địa phương tại một điểm thì đạo hàm phảibằng 0 tại điểm đó. Đối với hàm nhiều biến, một cực trị theo tất cả các biến hẳn nhiênphải là một cực trị theo từng biến, do đó đạo hàm theo từng biến phải bằng 0 tại điểmđó. Vậy một điều kiện cần để có cực trị địa phương là tất cả các đạo hàm riêng phải bằng0:

Định lý 1.5.3 (Điều kiện cần cấp 1). Nếu f : D ⊂ Rn → R khả vi tại a và f có cựctrị địa phương tại a thì ∇f(a) = 0, nghĩa là ∀i = 1, . . . , n, ∂f

∂xi(a) = 0.

Chứng minh. Đặt a = (a1, a2, . . . , an), một điểm trong của D. Hàm một biến ϕ1 : t 7→f(t, a2, . . . , an) xác định trong một khoảng mở I chứa a1 và khả vi tại a1. Vì f có cực trịđịa phương tại a nên ϕ1 có cực trị địa phương tại a1. Do vậy 0 = ϕ′1(a1) = ∂f

∂x1(a). Tương

tự ∂f∂x2

(a) = ∂f∂x3

(a) = · · · = ∂f∂xn

(a) = 0.

1.5. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 21

Nếu tại a các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu thì a được gọi là một điểm dừng hayđiểm tới hạn. Đây là những điểm ở đó có thể xảy ra cực trị địa phương. Như vậy ta tìmcực trị địa phương trong các điểm dừng.

Việc các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu tại điểm cực trị chỉ là điều kiện cần, nhưngkhông phải là điều kiện đủ.

Ví dụ 1.5.4. Xét hàm hai biến f(x, y) = x2 − y2. Ta có ∂f∂x (0, 0) = ∂f

∂y (0, 0) = 0, nhưngf(x, 0) > f(0, 0) > f(0, y) với mọi x 6= 0 và y 6= 0. Vậy (0, 0) là một điểm dừng, nhưnghàm không có cực trị địa phương tại (0, 0). Điểm (0, 0) thường được gọi, dựa vào hìnhdạng đồ thị, là một điểm yên, xem Hình 1.5.1.

Như vậy cần lưu ý rằng cực trị địa phương phải xảy ra ở điểm dừng, nhưng điều ngượclại không đúng.

Để tìm điều kiện đủ, ta nhớ lại trong hàm một biến tại các điểm dừng ta đã dùng dấucủa đạo hàm bậc hai để có thể kiểm soát chặt chẽ hơn cách thay đổi của hàm.

Cho f khả vi liên tục mọi cấp trong một quả cầu B(x, r). Với h sao cho ‖h‖ < r tađặt g(t) = f(x + th), t ∈ (−1, 1). Giá trị của hàm g là giá trị của hàm f khi biến chỉ dichuyển dọc theo đoạn thẳng từ x tới h. Hàm g khả vi liên tục mọi cấp, và ta tính đượcđạo hàm của nó theo qui tắc đạo hàm hàm hợp:

g′(t) =∑

1≤i≤n

∂f

∂xi(x+ th)hi, (1.5.1)

g′(0) =∑

1≤i≤n

∂f

∂xi(x)hi, (1.5.2)

g′′(t) =∑

1≤i≤n

∑1≤j≤n

∂2f

∂xi∂xj(x+ th)hihj , (1.5.3)

g′′(0) =∑

1≤i≤n

∑1≤j≤n

∂2f

∂xi∂xj(x)hihj . (1.5.4)

Ta có thể đoán rằng dấu của g′′(0) có thể có vai trò trong điều kiện đủ cho cực trị.Chẳng hạn nếu g′′(0) > 0 và g′(0) = 0 thì theo kết quả về hàm một biến chắc chắng(t) = f(x+ th) ≥ g(0) = f(x) với mọi t đủ bé (phụ thuộc vào h).

Để trình bày chính xác ta dùng phương pháp khai triển Taylor.

Mệnh đề 1.5.5 (Khai triển Taylor). Cho f khả vi liên tục cấp hai trong một quả cầuB(x, r). Với mọi h ∈ B(0, r) ta có

f(x+ h) = f(x) +∑

1≤i≤n

∂f

∂xi(x)hi +

1

2

∑1≤i≤n

∑1≤j≤n

∂2f

∂xi∂xj(x+ θh)hihj ,

với θ ∈ (0, 1) phụ thuộc vào h. Một công thức khác là

f(x+ h) = f(x) +∑

1≤i≤n

∂f

∂xi(x)hi +

1

2

∑1≤i≤n

∑1≤j≤n

∂2f

∂xi∂xj(x)hihj + ε(h) ‖h‖2 ,

với limh→0 ε(h) = 0.

Chứng minh. Áp dụng khai triển Taylor cho hàm một biến g tại 0 ta được

g(t) = g(0) + g′(0)t+1

2g′′(θ)t2,


với θ nằm giữa 0 và t. Chú ý là ta có thể cho t thuộc một khoảng mở chứa 0 và 1 mà vẫnđảm bảo x+ th ∈ B(x, r). Cho t = 1 ta được ngay công thức thứ nhất.

So sánh công thức thứ nhất và công thức thứ hai, ta chỉ cần chứng minh

limh→0

( ∑1≤i,j≤n

∂2f

∂xi∂xj(x+ θh)−

∑1≤i,j≤n

∂2f

∂xi∂xj(x)) hihj‖h‖2

= 0.

Dùng đánh giá |hihj | ≤ 12(h2

i + h2j ) ≤ 2

2 ‖h‖2 ta được∣∣∣ ∑

1≤i,j≤n

( ∂2f

∂xi∂xj(x+ θh)− ∂2f

∂xi∂xj(x)) hihj‖h‖2

∣∣∣ ≤ ∑1≤i,j≤n

∣∣∣ ∂2f


∂xi∂xj(x)∣∣∣ |hihj |‖h‖2

≤∑

1≤i,j≤n

∣∣∣ ∂2f


∂xi∂xj(x)∣∣∣.

Cho h→ 0 thì ∂2f∂xi∂xj

(x+ θh)→ ∂2f∂xi∂xj

(x), ta được kết quả.

Các đạo hàm bậc hai ∂2f∂xi∂xj

(x) có vai trò quan trọng trong vấn đề này. Bảng các số

này xếp dưới dạng một ma trận n× n được gọi là ma trận Hess4, kí hiệu là

Hess(f, x) =( ∂2f

∂xi∂xj(x))

1≤i,j≤n.

Bây giờ ta có thể phát biểu một điều kiện đủ cho cực trị địa phương:

Định lý 1.5.6 (Điều kiện đủ cấp 2). Giả sử f có các đạo hàm riêng cấp hai liên tụctrên một quả cầu chứa x và x là một điểm dừng của f , tức ∇f(x) = 0.

(a) Nếu ma trận Hess(f, x) xác định âm, nghĩa là ∀h = (h1, h2, · · · , hn) ∈ Rn \ 0 thì∑ni=1

∑nj=1

∂2f∂xi∂xj

(x)hjhj < 0, thì f có cực đại địa phương tại x.

(b) Nếu ma trận Hess(f, x) xác định dương, nghĩa là ∀h = (h1, h2, · · · , hn) ∈ Rn \ 0thì∑n

i=1

∑nj=1

∂2f∂xi∂xj

(x)hjhj > 0, thì f có cực tiểu địa phương tại x.

(c) Nếu ma trận Hess(f, x) không xác định dương và cũng không xác định âm, thì fkhông có cực trị tại x, và x được gọi là một điểm yên của f .

Chứng minh. Áp dụng công thức công thức Taylor, chú ý x là điểm dừng, nghĩa là tất cảcác đạo hàm bậc nhất ∂f

∂xi(x) đều bằng 0, ta được

f(x+ h)− f(x) =1

2

∑1≤i≤n

∑1≤j≤n

∂2f

∂xi∂xj(x)hihj + ε(h) ‖h‖2

=(1

2

∑1≤i≤n

∑1≤j≤n

∂2f

∂xi∂xj(x)

hihj

‖h‖2+ ε(h)

)‖h‖2 ,

với limh→0 ε(h) = 0.Giả sử Hess(f, x) xác định dương. Với h 6= 0, đặt u = h/ ‖h‖, thì

1

2

∑1≤i≤n

∑1≤j≤n

∂2f

∂xi∂xj(x)

hi‖h‖

hj‖h‖

=1

2

∑1≤i≤n

∑1≤j≤n

∂2f

∂xi∂xj(x)uiuj

4tên một nhà toán học sống vào thế kỉ 19


là một hàm liên tục theo biến u trên mặt cầu đơn vị S(0, 1). Vì mặt cầu có tính đóng vàbị chặn (compắc) nên hàm này có giá trị lớn nhất α < 0 (xem Định lý 1.5.13). Vậy bâygiờ ta có

f(x+ h)− f(x) ≤ (α+ ε(h)) ‖h‖2 .

Khi h đủ nhỏ thì ε(h) < −α, do đó f(x+h) < f(x). Vậy x là một cực đại địa phương củaf .

Trường hợp Hess(f, x) xác định âm là tương tự.Nếu Hess(f, x) không xác định dương và cũng không xác định âm thì từ công thức

g′′(0) =∑

1≤i≤n∑

1≤j≤n∂2f

∂xi∂xj(x)hihj ở Phương trình (1.5.4) ta thấy tồn tại hướng h

theo hướng đó g có cực đại ngặt tại 0, đồng thời lại tồn tại hướng h mà theo hướng đó gcó cực tiểu ngặt tại 0. Vậy f không có cực trị tại x. (Điều này lý giải tên “điểm yên”, vìđồ thị của hàm phần nào trông giống một cái yên ngựa.)

Tính xác định dương và xác định âm của ma trận thực ra không dễ kiểm tra, trừ phichúng ta khảo sát sâu hơn về điều này (một chủ đề của môn Đại số tuyến tính nâng cao).Trong môn học này chúng ta chỉ dừng lại ở việc chỉ ra rằng trong trường hợp hai chiều,n = 2, có một cách rất thiết thực để kiểm tra điều này.

Mệnh đề 1.5.7. Cho ma trận

H =

(a bb c

).

Đặt D = detH = ac− b2.

(a) Nếu D > 0 và a > 0 thì H là xác định dương. (Chú ý nếu D > 0 thì a và c cùngdấu, nên vai trò của a và c ở đây như nhau.)

(b) Nếu D > 0 và a < 0 thì H là xác định âm,

(c) Nếu D < 0 thì H không xác định dương và không xác định âm.

Chứng minh. Giả sử a 6= 0, ta biến đổi với h = (h1, h2),

∆(h) = ah21 + 2bh1h2 + ch2

2 = a[(h1 +

b

ah2)2 +

ac− b2

a2h2

2

].

Nếu D > 0 và a > 0 thì rõ ràng ∀h 6= 0,∆(h) > 0 (vì nếu h2 = 0 và (h1 + bah2 = 0 thì

h1 = 0). Tương tự, nếu D > 0 và a < 0 thì ∀h 6= 0,∆(h) < 0.Nếu D < 0, lấy h = (1, 0) thì ∆(h) = a, nhưng lấy h = (−b/a, 1) thì ∆(h) = D/a, trái

dấu. Vậy H không xác định dương và cũng không xác định âm.Nếu a = 0 thì D ≤ 0 và ∆(1, 0) = 0, nên H không xác định dương và cũng không xác

định âm.

Tóm tắt lại, các bước để tìm cực trị của một hàm hai biến khả vi liên tụccấp hai là:

Bước 1. Tìm điểm dừng (x0, y0) bằng cách giải hệ phương trình ∇f(x, y) = 0.

Bước 2. Tính định thức D của ma trận Hess(f, (x0, y0)), cụ thể là tính số

D = det(Hess(f, (x0, y0))) =∂2f

∂x2(x0, y0) · ∂

2f

∂y2(x0, y0)−

(∂2f

∂x ∂y(x0, y0)

)2

.

– Nếu D > 0 thì (x0, y0) là điểm cực trị địa phương của hàm f . Để phân loạiđiểm cực trị ta xét tiếp:


∗ Nếu ∂2f∂x2

(x0, y0) > 0 thì f có cực tiểu địa phương tại (x0, y0).

∗ Nếu ∂2f∂x2

(x0, y0) < 0 thì f có cực đại địa phương tại (x0, y0).

– Nếu D < 0 thì điểm (x0, y0) không là điểm cực trị của f , và là một điểm yêncủa f .

Ví dụ 1.5.8. Xét f(x, y) = x2 + y2. Ta có fx(x, y) = 2x, fy(x, y) = 2y. Giải hệ phươngtrình 2x = 0 và 2y = 0 ta được điểm dừng duy nhất là (x, y) = (0, 0).

Tính đạo hàm bậc hai, ta được fxx = 2 > 0, fxy = fyx = 0, fyy = 2. Tiếp theoD = [fxxfyy − f2

xy] = 4 > 0. Vậy hàm có cực tiểu địa phương tại (0, 0). Điều này ta thấyngay từ hình vẽ đồ thị của hàm, và có thể kiểm lại được dễ dàng bằng cách khác. Tương

z = x2 + y2 z = −x2 − y2 z = x2 − y2

Hình 1.5.1:

tự với g(x, y) = −x2 − y2 ta có gx(x, y) = −2x, gy(x, y) = −2y. Điểm dừng duy nhất là(x, y) = (0, 0). Ta có gxx = −2 < 0, gxy = gyx = 0, gyy = −2, D = [gxxgyy − g2

xy] = 4 > 0.Vậy hàm có cực đại địa phương tại (0, 0).

Với h(x, y) = x2 − y2 ta có hx(x, y) = 2x, hy(x, y) = −2y. Điểm dừng duy nhất là(x, y) = (0, 0). Ta có hxx = 2, hxy = hyx = 0, hyy = −2, D = [hxxhyy − h2

xy] = −4 < 0.Vậy hàm không có cực trị tại (0, 0), đó là một điểm yên. Điều này ta thấy rõ từ hình vẽđồ thị của hàm.

Ví dụ 1.5.9. Tìm và phân loại các điểm cực trị của hàm f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1.Bước 1. Tìm các điểm dừng. Tính,

∂f

∂x= 4x3 − 4y;

∂f

∂y= 4y3 − 4x.

Cho những đạo hàm riêng này bằng 0,

x3 − y = 0 và y3 − x = 0.

Thế y = x3 từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai,

0 = x9 − x = x(x8 − 1) = x(x4 − 1)(x4 + 1) = x(x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1).

Có 3 nghiệm thực: x = 0, 1,−1. Có ba điểm dừng là (0, 0), (1, 1), và (−1,−1).Bước 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 và det(Hess(f, (x0, y0))):

∂2f

∂x2(x, y) = 12x2;

∂2f

∂x ∂y(x, y) = −4;

∂2f

∂y2(x, y) = 12y2.

det(Hess(f, (x, y))) = 144x2y2 − 16.

Vì det(Hess(f, (0, 0))) = −16 < 0, nên (0, 0) là một điểm yên. Vì det(Hess(f, (1, 1))) =

128 > 0 và ∂2f∂x2

(1, 1) = 12 > 0, nên f có cực tiểu địa phương tại (1, 1). Tương tự

det(Hess(f, (−1,−1))) = 128 > 0 và ∂2f∂x2

(−1,−1) = 12 > 0 nên f cũng có cực tiểuđịa phương tại (−1,−1).


1.5.2 Cực trị có ràng buộc

Ta xét bài toán tìm cực trị của f(x) thỏa điều kiện g(x) = c trong đó c là một hằngsố thực. Đây là một bài toán cực trị có ràng buộc, hay còn được gọi là cực trị có điềukiện. Ta vẫn tìm cực trị của một hàm f , tuy nhiên bây giờ miền xác định của hàm f làtập có dạng g−1(c). Tập như vậy có thể không phải là một tập mở, thậm chí có phầntrong bằng tập rỗng, khiến cho các phương pháp của chúng ta ở phần trước không ápdụng được.

Ví dụ 1.5.10. Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x+ y thỏa x2 + y2 = 1.Ta có thể nhìn bài toán như là tìm cực trị của x+ y trên đường tròn đơn vị. Vì đường

tròn đơn vị có phần trong bằng rỗng.

Ta hết ta khảo sát trường hợp hai chiều, n = 2. Trong trường hợp này đồ thị của hàmcó thể là một mặt trong R3 nên ta có trực quan hình học. Bài toán là

Tìm cực trị của f(x, y)

thỏa g(x, y) = c.(1.5.5)

Trong trường hợp này, dưới một số điều kiện nhất định mà ta sẽ chỉ ra, phương trìnhg(x, y) = c xác định một đường cong phẳng C, gọi là một đường mức của hàm g. Giảsử (x0, y0) là một điểm trên C. Quanh điểm này ta có thể tham số hóa đường C như làr(t) = (x(t), y(t)), với r(0) = (x0, y0). Ta luôn có g(r(t)) = c, do đó lấy đạo hàm theo tta được ∇g(r(t)) · r′(t) = 0, đặc biệt ∇g(x0, y0) · r′(0) = 0. Về mặt hình học điều này cónghĩa là vectơ ∇g(x0, y0) phải vuông góc với vectơ r′(0). Mà vectơ r′(0) là vectơ vận tốccủa đường r tại điểm r(0), ta đi đến một quan sát then chốt: vectơ gradient của mộthàm luôn vuông góc với đường mức của hàm đó.

Bây giờ giả sử (x0, y0) là một nghiệm địa phương của Bài toán (1.5.5). Như thế hàmf(r(t)) có cực trị địa phương tại t = 0, do đó đạo hàm phải bằng 0 tại t = 0, tức là0 = d

dt(f(r(t))|t=0 = ∇f(r(0)) · r′(0). Ý nghĩa hình học là vectơ gradient của hàm mụctiêu f cũng phải vuông góc với đường C tại điểm cực trị địa phương.

Như thế trên mặt phẳng ta có hai vectơ ∇g(x0, y0) và ∇f(x0, y0) cùng vuông góc vớiđường C tại điểm (x0, y0), do đó hai vectơ này phải cùng phương, dẫn tới có một số thựcλ sao cho ∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0). Số thực này được gọi là nhân tử Lagrange. Lý luậntrên là cơ sở cho phương pháp nhân tử Lagrange sau đây:

Định lý 1.5.11 (Điều kiện cần cấp 1 – Phương pháp nhân tử Lagrange). Giả sửf và g khả vi liên tục trên trên tập mở Ω trong R2. Nếu (x0, y0) là một nghiệm địa phươngcủa Bài toán (1.5.5) thỏa ∇g(x0, y0) 6= 0, thì phải tồn tại λ ∈ R sao cho

∇f(x0, y0) + λ∇g(x0, y0) = 0,

tức là ∂f∂x (x0, y0) + λ ∂g∂x(x0, y0) = 0∂f∂y (x0, y0) + λ∂g∂y (x0, y0) = 0.

Như vậy để giải bài toán cực trị ta giải hệ phương trình gồm 3 phương trình và 3 ẩnx, y, λ:

∂f∂x (x, y) + λ ∂g∂x(x, y) = 0∂f∂y (x, y) + λ∂g∂y (x, y) = 0

g(x, y) = c.


Chứng minh. Chứng minh này chỉ là chi tiết hóa của lý luận hình học ở trên. Sự tồn tạicủa một tham số hóa địa phương của đường mức sẽ được kiểm tra bằng định lý hàm ẩn.Trước hết ta thấy rằng vì ∇g(x0, y0) 6= 0 nên ∂g

∂x(x0, y0) 6= 0 hoặc ∂g∂y (x0, y0) 6= 0 và do vậy

không mất tính tổng quát ta giả sử ∂g∂y (x0, y0) 6= 0. Áp dụng được định lý hàm ẩn cho hàm

g, tồn tại một khoảng mở I chứa x0 và một khoảng mở J chứa y0 và một hàm φ : I → Jkhả vi liên tục sao cho ∀x ∈ I, g(x, φ(x)) = c, φ(x0) = y0, và

(x, y) ∈ I × J | g(x, y) = 0 = (x, φ(x)) |x ∈ I.

Điều này có nghĩa là quanh điểm (x0, y0) đường mức là đồ thị của một hàm theo biến x.Từ phương trình g(x, φ(x)) = c lấy đạo hàm theo biến x ta được

∂g

∂x(x, φ(x)) +

∂g

∂y(x, φ(x))φ′(x) = 0.

Do hàm f có cực trị địa phương tại (x0, y0) nên x0 là điểm xảy ra cực trị địa phươngcủa hàm một biến f(x) = f(x, φ(x)) nên phải có

f ′(x0) =∂f

∂x(x0, φ(x0)) +

∂f

∂y(x0, φ(x0))φ′(x0) = 0.

Đặt λ =∂f∂y

(x0,y0)∂g∂y

(x0,y0)thì

∂f

∂x(x0, (y0)) = −φ′(x0)

∂f

∂y(x0, y0) = −φ′(x0)λ

∂g

∂y(x0, y0) = λ

∂g

∂x(x0, y0).

Như thế λ chính là nhân tử Lagrange.

Bây giờ ta tổng quát hóa các kết quả trên cho trường hợp hàm n biến. Cho hàm fđịnh nghĩa trên tập mở Ω trong Rn. Ta xét bài toán

Tìm cực trị của f(x)

thỏa gi(x) = ci, 1 ≤ i ≤ p < n.(1.5.6)

Làm tương tự trường hợp n = 2, ta có thể thu được một tổng quát hóa của phương phápnhân tử Lagrange:

Định lý 1.5.12. Cho f và gi, 1 ≤ i ≤ p khả vi liên tục trên tập mở Ω trong Rn và a ∈ Ω.Nếu các điều kiện sau thỏa

(a) a là nghiệm địa phương của Bài toán (1.5.6),

(b) ∇g1(a),∇g2(a), . . . ,∇gp(a) độc lập tuyến tính,

thì tồn tại λ1, λ2, . . . , λp ∈ R sao cho

∇f(a) +

p∑j=1

λj∇gj(a) = 0.


1.5.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Trong phần này chúng ta khảo sát bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất,tức là tìm cực trị toàn cục.

Một tập đóng và bị chặn trong Rn còn được gọi là một tập compắc.5

Định lý 1.5.13. Một hàm liên tục trên một tập compắc thì có giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất trên đó.

Đây là một tổng quát hóa của Định lý giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm một biến.Chứng minh của nó vượt ra khỏi phạm vi của môn học này, thường có trong các giáo trìnhnhập môn Giải tích.

Áp dụng định lý này, để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm liên tục trênmột tập compắc ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Tìm các giá trị của f ở phần trong của tập D, dùng các phương pháp của cực trịkhông có ràng buộc.

Bước 2. Tìm các giá trị cực trị của f trên biên của tập D, dùng các phương pháp của cựctrị có ràng buộc.

Bước 3. Số lớn nhất trong các giá trị ở Bước 1 và Bước 2 là giá trị lớn nhất và số nhỏ nhấttrong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ 1.5.14. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x, y) = x2−2xy+2y tronghình chữ nhật D = (x, y) | 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2.

Trước hết ta thấy f là một đa thức nên nó liên tục trên hình chữ nhật đóng và bị chặnD. Trước hết ta thực hiện Bước 1, xét phần trong của hình chữ nhật D. Giải hệ

fx(x, y) = 2x− 2y = 0, fy(x, y) = −2x+ 2 = 0,

ta có được điểm dừng duy nhất là (1, 1), và giá trị của f ở đó là f(1, 1) = 1.

Hình 1.5.2:

Trong Bước 2 chúng ta nhìn các giá trị của f trên biên của D, bao gồm 4 đoạn thẳngL1, L2, L3, L4 được biểu diễn trong Hình 1.5.2. Trên L1 chúng ta có y = 0 và

f(x, 0) = x2, 0 ≤ x ≤ 3.

Đây là một hàm tăng của x, do đó giá trị nhỏ nhất của nó là f(0, 0) = 0 và giá trị lớnnhất của nó là f(3, 0) = 9. Trên L2 ta có x = 3 và

f(3, y) = 9− 4y, 0 ≤ y ≤ 2.

5từ compact trong tiếng Anh có nghĩa là gọn, chặt, . . .


Đây là một hàm giảm của y, do đó giá trị cực đại của nó là f(3, 0) = 9 và giá trị cực tiểucủa nó là f(3, 2) = 1. Trên L3 chúng ta có y = 2 và

f(x, 2) = x2 − 4x+ 4, 0 ≤ x ≤ 3.

Bằng các phương pháp của vi phân hàm một biến, hay đơn giản bằng cách quan sátrằng f(x, 2) = (x− 2)2, chúng ta thấy rằng giá trị cực tiểu của hàm số này là f(2, 2) = 0và giá trị cực đại là f(0, 2) = 4. Cuối cùng, trên L4 chúng ta có x = 0 và

f(0, y) = 2y, 0 ≤ y ≤ 2

với giá trị cực đại f(0, 2) = 4 và giá trị cực tiểu f(0, 0) = 0. Do đó, trên biên, giá trị nhỏnhất của f là 0 và giá trị lớn nhất là 9.

Trong Bước 3 chúng ta so sánh các giá trị này với giá trị f(1, 1) = 1 tại điểm dừngvà kết luận rằng giá trị lớn nhất của f trên D là f(3, 0) = 9 và giá trị nhỏ nhất làf(0, 0) = f(2, 2) = 0.

Bài tập

1.5.1. Tìm và phân loại các điểm tới hạn của hàm số.

(a) f(x, y) = x2 − xy + y2 + 9x− 6y + 10

(b) f(x, y) = x3 − 6xy + 8y3

(c) f(x, y) = 3xy − x2y − xy2

(d) f(x, y) = (x2 + y)ey/2

(e) f(x, y) = −x3 + 4xy − 2y2 + 1

(f) f(x, y) = x3 + y3 − 3x2 − 3y2 − 9x

(g) f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 4. Hàm này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất hay không?

1.5.2. Một công ty sản xuất hai loại điện thoại di động. Gọi x là số điện thoại loại 1 (đơn vịnghìn cái), và y là số điện thoại loại 2 (đơn vị nghìn cái). Doanh thu được mô hình hóa bởi hàmR(x, y) = 3x+2y (đơn vị triệu đồng). Chi phí được mô hình hóa bằng hàm C(x, y) = 3x2−3xy+4y2.Hãy tính Cx(3, 4) và giải thích ý nghĩa của kết quả. Công ty nên sản xuất với sản lượng mỗi loạilà bao nhiêu để được lợi nhuận tối đa?

1.5.3. Một công ty sản xuất hai loại máy thu hình: loại CRT và loại LCD. Gọi x là số máy thuhình loại CRT (đơn vị nghìn cái) và y là số máy thu hình loại LCD (đơn vị nghìn cái). Doanh thuđược cho bởi hàm R(x, y) = x+ 4y (đơn vị triệu đồng). Chi phí được mô hình hóa bằng hàm

C(x, y) = x2 − 2xy + 2y2 + 7x− 12y + 9

Công ty nên sản xuất với sản lượng mỗi loại là bao nhiêu để được lợi nhuận tối đa?

1.5.4. Một công ty sản xuất hai mẫu xe gắn máy. Gọi x là số xe theo mẫu thứ nhất, y là số xe theomẫu thứ hai (đơn vị là nghìn chiếc). Chi phí sản xuất được cho bởi hàm C(x, y) = 3x2 + 4xy+ 5y2

(đơn vị triệu đồng). Giá bán mỗi xe thuộc mẫu thứ nhất là 34 triệu đồng và giá bán mỗi xe thuộcmẫu thứ thứ hai là 52 triệu đồng.

(a) Tìm công thức cho doanh thu và lợi nhuận.

(b) Công ty nên sản xuất với sản lượng mỗi loại là bao nhiêu để có lợi nhuận lớn nhất?

1.5.5. Tìm các giá trị cực đại và cực tiểu tuyệt đối của f trên tập D.

(a) f(x, y) = 4xy2−x2y2−xy3; D là miền tam giác đóng trên mặt phẳng xy với các đỉnh (0, 0),(0, 6) và (6, 0)

(b) f(x, y) = e−x2−y2(x2 + 2y2); D là đĩa x2 + y2 ≤ 4


1.5.6. Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f theo các ràng buộc được cho

(a) f(x, y) = x2y; x2 + y2 = 1

(b) f(x, y) =1

x+

1

y;

1

x2+

1

y2= 1

(c) f(x, y, z) = xyz; x2 + y2 + z2 = 3

(d) f(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2; x+ y + z = 1, x− y + 2z = 2

1.5.7. Xét hàm f(x, y) = xy − x − 2y trên tam giác D với các đỉnh (3, 0), (0, 6), (0, 0). Tìm giátrị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm.

1.5.8. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị của hàm f(x, y) = x2y dưới ràng buộcx2 + 2y2 = 6.

1.5.9. Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x2 + xy2 − 2x+ 3 dưới ràng buộc x2 + y2 ≤ 10.

1.5.10. Tìm các điểm trên mặt xy2z3 = 2 mà gần nhất với góc tọa độ.

1.5.11. Tìm điểm trên đồ thị z = x2 + y2 mà gần nhất tới điểm (0, 0, 2).

1.5.12. Nhiệt độ trên mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 được mô hình hóa bằng hàm T (x, y, z) =50− 100(x+ 2y + 3z)2. Tìm nơi lạnh nhất trên mặt cầu.

1.5.13. Tìm điểm trên mặt bầu dục g(x, y, z) = 5x2 +y2 + 3z2 = 9 mà tại đó nhiệt độ f(x, y, z) =750 + 5x− 2y + 9z là cao nhất.

1.5.14. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để chứng minh rằng trong các hình chữ nhật cócùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

1.5.15. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để chứng minh bất đẳng thức Cauchy: Nếu x, y, zlà các số thực không âm thì 3

√xyz ≤ x+y+z

3 .

Chương 2

Tích phân bội

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu tích phân Riemann trong không gian nhiềuchiều. Tích phân trên không gian nhiều chiều là sự phát triển tương tự của tích phân mộtchiều. Do đó các ý chính đã quen thuộc và không khó, để dễ theo dõi hơn người đọc cóthể xem lại phần tích phân một chiều trong [Bmgt1].

2.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân

bội

Cho I là một hình hộp, và f : I → R. Ta muốn tính tổng giá trị của hàm f trên hìnhhộp I. Ta chia nhỏ hình hộp I bằng những hình hộp con nhỏ hơn. Ta hy vọng rằng trênmỗi hình hộp nhỏ hơn đó, giá trị của hàm f sẽ thay đổi ít hơn, và ta có thể xấp xỉ f bằngmột hàm hằng. Ta hy vọng rằng nếu ta chia càng nhỏ thì xấp xỉ càng tốt hơn, và khi quagiới hạn thì ta sẽ được giá trị đúng của tổng giá trị của f .

Sau đây là một cách giải thích hình học. Giả sử thêm hàm f là không âm, ta muốntìm “thể tích” của khối bên dưới đồ thị của hàm f bên trên hình hộp I. Ta sẽ xấp xỉ khốiđó bằng những hình hộp với đáy là một hình hộp con của I và chiều cao là một giá trịcủa f trong hình hộp con đó. Ta hy vọng rằng khi số hình hộp tăng lên thì ta sẽ gần hơngiá trị đúng của thể tích.

2.1.1 Tích phân trên hình hộp

Dưới đây ta bắt đầu làm chính xác hóa các ý tưởng ở trên. Người đọc có thể hình dungcác trường hợp 1, 2, 3 chiều để dễ theo dõi.

30

2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BỘI 31

Ta định nghĩa một hình hộp n-chiều trong Rn là một tập con của Rn có dạng[a1, b1]× [a2, b2]× · · ·× [an, bn] với ai < bi với mọi 1 ≤ i ≤ n, tức là tích của n đoạn thẳng.

Để khởi đầu về thể tích của hình hộp, chúng ta hãy xét trường hợp một chiều. Chiềudài của đoạn thẳng [a, b] bằng bao nhiêu?

Ta muốn khái niệm chiều dài toán học mô phỏng khái niệm chiều dài vật lý thườngdùng trong đời sống từ xưa. Như vậy trước hết chiều dài của một đoạn thẳng [a, b] là mộtsố thực không âm. Vì chiều dài vật lý không phụ thuộc vào cách đặt hệ tọa độ, nếu tatịnh tiến đoạn thẳng thì chiều dài không thay đổi, vậy nếu kí hiệu chiều dài của đoạn[a, b] là |[a, b]| thì cần có |[a + c, b + c]| = |[a, b]|. Nếu n là số nguyên dương, thì vì đoạnthẳng [0, na] gồm n đoạn thẳng [0, a], [a, 2a], [2a, 3a], . . . , [(n − 1)a, na], nên ta muốn cótính chất “cộng tính” thể hiện qua |[0, na]| = n|[0, a]|. Điều này dẫn tới |[0, a]| = n|[0, 1

na]|,hay |[0, 1

na]| = 1n |[0, a]|. Do đó với m,n là số nguyên dương thì |[0, mn a]| = m

n |[0, a]|. Trongtrường hợp riêng, ta có |[0, mn ]| = m

n |[0, 1]|. Vì mọi số thực a là giới hạn của một dãy cácsố hữu tỉ, nên nếu như ta muốn chiều dài có “tính liên tục” thì ta cần có |[0, a]| = a|[0, 1]|,do đó phải có |[a, b]| = |[0, b− a]| = (b− a)|[0, 1]|. Để chuẩn hóa ta thường lấy |[0, 1]| = 1,và như thế |[a, b]| = (b− a).

Như vậy để là chiều dài có những tính chất như thường dùng thì nó buộc phải đượcđịnh nghĩa một cách duy nhất sai khác cách chọn chiều dài đơn vị, giống như việc chọnđơn vị đo trong vật lý.

Lý luận tương tự cho số chiều cao hơn, ta có thể đưa ra định nghĩa ngắn gọn sau:

Định nghĩa 2.1.1. Thể tích n-chiều của hình hộp [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [an, bn]được định nghĩa là số thực (b1 − a1)(b2 − a2) · · · (bn − an).

Ta thường dùng kí hiệu |I| để chỉ thể tích của I. Khi số chiều n = 1 ta thường thaytừ thể tích bằng từ chiều dài. Khi n = 2 ta thường dùng từ diện tích.

Đối với khái niệm tổng, lý luận tương tự như đối với khái niệm thể tích, ta có thể điđến kết luận là tổng của hàm hằng 1 trên hình hộp I là |I|.

Bây giờ ta bắt đầu quá trình chia nhỏ miền xác định. Một phép chia (hay phânhoạch) của một khoảng [a, b] là một tập con hữu hạn của khoảng [a, b] mà chứa cả a vàb. Ta có thể đặt tên các phần tử của một phép chia là x0, x1, . . . , xm với a = x0 < x1 <x2 < · · · < xm = b. Mỗi khoảng [xi−1, xi] là một khoảng con của khoảng [a, b] tương ứngvới phép chia.

Một phép chia của hình hộp I =∏ni=1[ai, bi] là một tích Descartes của các phép

chia của các khoảng [ai, bi]. Cụ thể nếu mỗi Pi là một phép chia của khoảng [ai, bi] thìP =

∏ni=1 Pi là một phép chia của hình hộp I. Xem ví dụ ở Hình 2.1.1.

Một hình hộp con ứng với một phép chia P của một hình hộp I là một tích cáckhoảng con của các cạnh của hình hộp I. Cụ thể một hình hộp con của hình hộp I códạng

∏ni=1 Ti trong đó Ti là một khoảng con của khoảng [ai, bi] ứng với phép chia Pi.

Bây giờ là việc xấp xỉ. Cho I là một hình hộp, và f : I → R. Với một phép chia P củaI, thành lập tổng Riemann1

∑R

f(xR)|R|

ở đây tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con R của P , và xR là một điểm bất kì thuộcR, xem Hình 2.1.2. Đây là một xấp xỉ của “tổng giá trị” của f trên I. Nếu f ≥ 0 thì đâylà một xấp xỉ của “thể tích” của khối bên dưới đồ thị của f bên trên I.

Cuối cùng là quá trình giới hạn. “Giới hạn” của tổng Riemann khi phép chia “mịn hơn”sẽ là tích phân của hàm f trên I, kí hiệu là

Í f .

1Bernard Riemann là người đã đề xuất một định nghĩa chặt chẽ cho tích phân vào khoảng năm 1854,mặc dù tích phân đã được dùng trước đó.

32 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI

a b

c

d

x

y

R

Hình 2.1.1: Một phép chia của hình chữ nhật [a, b] × [c, d] gồm những điểm mà các tọađộ thứ nhất tạo thành một phép chia của [a, b] và các tọa độ thứ hai tạo thành một phépchia của [c, d].

VậyÍ f đại diện cho khái niệm “tổng giá trị” của hàm f trên I. Nếu f ≥ 0 thì

Í f

đại diện cho khái niệm “thể tích” của khối bên dưới đồ thị của f bên trên I.2

Để làm chính xác ý tưởng trên ta cần làm rõ quá trình qua giới hạn. Chúng ta đưa ramột cách định nghĩa tích phân Riemann như sau.

Định nghĩa 2.1.2. Ta nói f là khả tích (có tích phân) trên I nếu có một số thực, gọi làtích phân của f trên I, kí hiệu là

Í f , có tính chất là với mọi ε > 0 có δ > 0 sao cho nếu

tất cả các cạnh của các hình chữ nhật con của một phép chia đều có chiều dài nhỏ hơn δ thìvới mọi cách chọn điểm đại diện xR thuộc hình hộp con R ta có

∣∣∣∑R f(xR)|R|−Í f∣∣∣ < ε.

Như thế tổng Riemann gần tùy ý tới giá trị tích phân miễn là phép chia đủ mịn. Ngườiđọc quan tâm chi tiết hơn có thể xem ở các giáo trình nâng cao hơn, chẳng hạn [Vugt3].

Ví dụ 2.1.3. Nếu f = c là hàm hằng có giá trị bằng hằng số thực c thì ta thấy ngay từđịnh nghĩa là mọi tổng Riemann đều bằng c|I|, nên

Í c = c|I|. Đặc biệt

Í 1 = |I|.

Khi số chiều n = 1 ta có tích phân của hàm một biến quen thuộc từ trung học vàđã được khảo sát trong môn Vi tích phân hàm một biến, với

´[a,b] f thường được viết là´ b

a f(x) dx. Như vậy ta thừa hưởng tất cả các kết quả đã có trong Vi tích phân

hàm một biến, chẳng hạn như công thức Newton–Leibniz để tính tích phân.Khi n = 2 ta có tích phân bội hai, thường được viết là

˜I f(x, y) dA hay

˜I f(x, y) dxdy.

Khi n = 3 ta có tích phân bội ba, thường được viết là˝

I f(x, y, z) dV hay˝

I f(x, y, z) dxdydz.

Ghi chú 2.1.4. Hiện giờ dx, dxdy, dxdydz, dA, dV chỉ là kí hiệu để chỉ loại tích phân,không có ý nghĩa độc lập.

2.1.2 Tích phân trên tập tổng quát

Để ngắn gọn hơn ta thường dùng từ miền để chỉ một tập con của Rn. Chúng ta chỉxét những miền bị chặn. Nhớ lại rằng trong tích phân hàm một biến để xét tích phântrên khoảng không bị chặn ta đã phải dùng tới giới hạn của tích phân và xây dựng kháiniệm tích phân suy rộng.

2Kí hiệu´do Gottfried Leibniz đặt ra khi xây dựng phép tính vi tích phân vào thế kỉ 17. Nó đại diện

cho chữ cái “s” trong chữ Latin “summa” (tổng).


(xR, yR)R

z = f(x, y)

f(xR, yR)

z

y

x I

Hình 2.1.2: Xấp xỉ Riemann.

Cho D là một miền bị chặn, và cho f : D → R. Vì D bị chặn nên có hình hộp I chứaD. Mở rộng hàm f lên hình hộp I thành hàm F : I → R xác định bởi

F (x) =

f(x), x ∈ D0, x ∈ I \D.

Định nghĩa 2.1.5. Ta nói f là khả tích trên D nếu F khả tích trên I, và khi đó tíchphân của f trên D được định nghĩa là tích phân của F trên I:

ˆDf =

ÎF.

Để tích phân của f trên D được định nghĩa thì F phải bị chặn trên I, do đó f phải bịchặn trên D.

Tích phân´D f không phụ thuộc vào cách chọn hình hộp I. Điều này dễ đoán, và

người ta có thể kiểm tra chặt chẽ được.Chúng ta thấy khi D là một hình hộp thì định nghĩa tích phân này trùng với định

nghĩa đã có.

2.1.3 Thể tích

Ta định nghĩa thể tích thông qua tích phân:


Định nghĩa 2.1.6. Cho D là một tập con bị chặn của Rn. Thể tích n-chiều của D đượcđịnh nghĩa là tích phân của hàm 1 trên D:

|D| =ˆD

1.

Nếu D là hình hộp thì định nghĩa này trùng với định nghĩa của hình hộp đã có.Ta thường thay từ thể tích bằng từ chiều dài khi n = 1 và bằng từ diện tích khi n = 2.Có thể giải thích định nghĩa thể tích ở trên như sau. Đặt miền bị chặn D vào trong

một hình hộp I. Xét hàm có giá trị bằng 1 trên D và bằng 0 ngoài D. Hàm này thườngđược gọi là gọi là hàm đặc trưng của D, kí hiệu là χD3:

χD(x) =

1, x ∈ D0, x ∈ Rn \D.

Định nghĩa nói rằng

|D| =ÎχD.

Xét một phép chia của I. Tùy cách chọn điểm đại diện trong mỗi hình chữ nhật con màmỗi tổng Riemann của hàm đặc trưng tương ứng một xấp xỉ của thể tích của D bởi tổngthể tích của một số hình chữ nhật con của I. Tập D có thể tích khi và chỉ khi các xấp xỉnày gần tùy ý một số thực được gọi là thể tích của D. Xem minh họa ở Hình 2.1.3.

Hình 2.1.3: Các xấp xỉ dư và xấp xỉ thiếu diện tích của một hình tròn bằng diện tích củacác hình chữ nhật.

Ý niệm thể tích đã có từ hàng nghìn năm trước nhưng ta nên chú ý đây có thể là lầnđầu tiên ta định nghĩa thể tích.

2.1.4 Sự có tích phân và sự có thể tích

Qua ý của tích phân ta thấy việc xấp xỉ dựa trên một giả thiết: nếu biến thay đổi ítthì giá trị của hàm thay đổi ít. Như vậy sự khả tích phụ thuộc chặt chẽ vào sự liên tục.

Mặt khác không nhất thiết phải liên tục thì mới khả tích. Sau đây là một ví dụ mộthàm không liên tục nhưng khả tích.

3χ là một chữ cái Hy Lạp, có thể đọc là “khi”)


Ví dụ 2.1.7. Cho f : [0, 1]→ R,

f(x) =

0, x 6= 1

2

1, x = 12 .

Với phép chia bất kì của [0, 1] sao cho chiều dài của các khoảng con nhỏ hơn ε2 thì tổng

Riemann nhỏ hơn ε. Vì thế hàm f khả tích. Chú ý rằng f không liên tục tại 12 .

Để nói rõ không liên tục tới mức độ nào thì khả tích ta đưa ra một số khái niệm sau.Một tập con của Rn là có thể tích n-chiều không nếu ta có thể phủ tập đó bằng hữuhạn hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn số dương cho trước bất kì. Một tập con của Rn làcó độ đo n-chiều không nếu ta có thể phủ tập đó bằng một họ đếm được các hình hộpcó tổng thể tích nhỏ hơn số dương cho trước bất kì. Có thể hiểu sơ lược tập có độ đokhông là tập “không đáng kể đối với tích phân” .

Ví dụ 2.1.8. (a) Tập rỗng ∅ có thể tích n-chiều không.

(b) Tập hợp gồm một điểm trong Rn có thể tích n-chiều không.

(c) Một đoạn thẳng trong R2 có diện tích không.

(d) Hội của hai tập có thể tích không là một tập có thể tích không.

Ta nói hàm f là liên tục hầu khắp (hầu như khắp nơi) nếu tập hợp tất cả điểm ở đóf không liên tục có độ đo không.

Định lý 2.1.9 (khả tích trên tập có thể tích = bị chặn + liên tục hầu khắp).Cho D là tập con có thể tích của Rn. Khi đó f khả tích trên D khi và chỉ khi f bị chặnvà liên tục hầu khắp trên D.

Chứng minh khó vượt ngoài phạm vi môn học này, người đọc quan tâm có thể xem ở[Vugt3].

Ví dụ 2.1.10. Vì hình chữ nhật có thể tích nên hàm liên tục trên hình chữ nhật thì khảtích.

Về sự có thể tích, vì tập điểm không liên tục của hàm đặc trưng của một tập chính làbiên của tập đó nên ta có:

Hệ quả 2.1.11. Một tập con bị chặn của Rn có thể tích n-chiều khi và chỉ khi biên củanó có thể tích n-chiều không.

Ta có một miêu tả tiện dùng cho các tập không đáng kể:

Mệnh đề 2.1.12. Đồ thị của một hàm khả tích trên một tập con bị chặn của Rn có thểtích không trong Rn+1.

Ví dụ 2.1.13. Đồ thị của một hàm liên tục trên một khoảng đóng có diện tích khôngtrong R2. Vậy một đoạn thẳng, một đoạn parabola, một đường tròn thì có diện tích không.

Ví dụ 2.1.14 (hình tròn có diện tích). Xét hình tròn cho bởi x2 + y2 ≤ R2. Biêncủa hình tròn này là đường tròn x2 + y2 = R2. Đường tròn này là hội của nửa đườngtròn trên và nửa đường tròn dưới. Nửa đường tròn trên là đồ thị của hàm y =

√R2 − x2,

−R ≤ x ≤ R. Theo Mệnh đề 2.1.12, tập này có diện tích không. Tương tự nửa đường tròndưới có diện tích không. Vậy đường tròn có diện tích không, do đó theo Hệ quả 2.1.11 takết luận hình tròn có diện tích.


Ví dụ 2.1.15. Tương tự, một hình tam giác thì có diện tích vì biên của nó là một hộicủa hữu hạn những đoạn thẳng, là những tập có diện tích không.

Ví dụ 2.1.16 (quả cầu có thể tích). Xét quả cầu cho bởi x2 + y2 + z2 ≤ R2. Nửa mặtcầu trên là đồ thị của hàm z =

√R2 − x2 − y2 với (x, y) thuộc về hình tròn x2 + y2 ≤ R2.

Vì hình tròn có diện tích và hàm trên liên tục, nên theo Định lý 2.1.9 hàm trên khả tích,và theo Mệnh đề 2.1.12 thì đồ thị của nó có thể tích không trong R3. Tương tự nửa mặtcầu dưới cũng có thể tích không, do đó mặt cầu có thể tích không, và do Hệ quả 2.1.11nên quả cầu có thể tích.

Các ví dụ trên nhằm minh họa rằng chúng ta đã có thể thảo luận các đối tượng tíchphân và thể tích một cách chặt chẽ, thống nhất. Tuy nhiên các vấn đề này không phải làtrọng tâm của giáo trình này, nên ta sẽ không bàn thêm nữa.

2.1.5 Tính chất của tích phân

Ta có những tính chất cơ bản của tích phân, tương tự ở trường hợp hàm một biến:

Mệnh đề 2.1.17. Nếu f và g khả tích trên D thì:

(a) f + g khả tích và´D(f + g) =

´D f +

´D g.

(b) Với mọi số thực c thì cf khả tích và´D cf = c

´D f .

(c) Nếu f ≤ g thì´D f ≤

´D g.

Tuy chúng ta không chứng minh chặt chẽ các tính chất này từ định nghĩa nhưng khôngkhó để giải thích chúng bằng cách dùng sự xấp xỉ bởi tổng Riemann. Chẳng hạn nếu f ≤ gthì một xấp xỉ Riemann của f phải nhỏ hơn hay bằng xấp xỉ Riemann của g với cùngcách chia và cùng cách chọn điểm đại diện, do đó tích phân của f nhỏ hơn hay bằng tíchphân của g. Người đọc nên thử đưa ra lí luận cho các tính chất còn lại.

Kết quả sau nói rằng giá trị của một hàm bị chặn trên một tập có thể tíchkhông không ảnh hưởng đến tích phân.

Mệnh đề 2.1.18. Cho D là tập con bị chặn của Rn, f và g bị chặn trên D, và f(x) = g(x)trừ ra một tập có thể tích không. Khi đó f khả tích khi và chỉ khi g khả tích, và khi đó´D f =

´D g.

Một hệ quả nữa là thêm bớt một tập có thể tích không không ảnh hưởng tới tích phân.

Hệ quả 2.1.19. Cho D1 và D2 là hai tập con bị chặn của Rn. Giả sử D1∩D2 có thể tíchkhông. Nếu f khả tích trên D1 và trên D2 thì f khả tích trên D1 ∪D2 , và

ˆD1∪D2

f =

ˆD1

f +

ˆD2

f.

Kết quả này cho phép ta tính tích phân trên một miền bằng cách chia miền đóthành những miền đơn giản hơn. Đây là dạng tổng quát của công thức quen thuộccho hàm một biến:

´ ba f +

´ cb f =

´ ca f .

Trong mệnh đề trên lấy f = 1 ta có kết quả: Nếu D1 và D2 có thể tích và D1 ∩ D2

có thể tích không thì |D1 ∪D2| = |D1|+ |D2|. Đây chính là tính chất “cộng tính” của thểtích. Ứng dụng, khi tính diện tích một hình ta vẫn thường chia hình đó thành những hìnhđơn giản hơn bằng những đoạn thẳng hay đoạn cong, rồi cộng các diện tích lại.


Bài tập

2.1.1. Một hồ nước hình chữ nhật kích thước 4m × 8m có độ sâu không đều. Người ta đo đượcchiều sâu tại một số điểm trên hồ như trong bảng sau. Ví dụ trong bảng này độ sâu tại điểm cáchbờ trái 5m và bờ trên 1m là 4, 6m. Hãy ước lượng lượng nước trong hồ.

vị trí 1 3 5 71 3,1 4,5 4,6 4.,03 3,7 4,1 4,5 4,4

2.1.2. Hãy cho một ví dụ minh họa rằng xấp xỉ Riemann ứng với một phép chia mịn hơn khôngnhất thiết tốt hơn.

2.1.3. Tại sao khoảng (a, b) có chiều dài bằng (b− a)?

2.1.4. Tại sao miền phẳng bên dưới đồ thị y = 1− x2, bên trên đoạn −1 ≤ x ≤ 1 có diện tích?

2.1.5. Tại sao một khối tứ diện thì có thể tích?

2.1.6. Các hàm sau có khả tích không? Nếu hàm khả tích thì tích phân của nó bằng bao nhiêu?

(a) f(x) =

x, 0 ≤ x ≤ 1, x 6= 1

2 ,

0, x = 12 .

(b) f(x, y) =

xy , 0 ≤ x ≤ 1, 0 < y ≤ 1,

0, 0 ≤ x ≤ 1, y = 0.

(c) f(x, y) =

4, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, (x, y) 6= ( 1

2 ,12 ),

5, (x, y) 6= ( 12 ,

12 ).

(d) f(x, y) =

2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, y 6= x,

x, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, y = x.

(e) f(x, y) =

3, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, y 6= x2,

x2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, y = x2.

(f) f(x, y) = 4, 0 < x < 1, 0 ≤ y < 2.

(g) f(x, y) =

2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,

3, 1 < x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.

2.1.7. Hãy cho một ước lượng cho giá trị của tích phân (nghĩa là cho biết tích phân có thể có giátrị từ đâu tới đâu) ¨

[0,1]×[1,2]ex

2y3 dxdy.

2.1.8. Điều sau đây là đúng hay sai, giải thích:¨[0,1]×[1,4]

(x2 +√y) sin(xy2) dA = 10.

2.1.9. Giả sử A ⊂ Rn, A có thể tích. Cho c ∈ R. Giải thích vì saoÁc = c|A|.

2.1.10. Giả sử A ⊂ B ⊂ Rn, A và B có thể tích. Giải thích vì sao |A| ≤ |B|.

2.1.11. Giả sử A ⊂ B ⊂ Rn, f khả tích trên A và B, và f ≥ 0. Giải thích vì saoÁf ≤´Bf .

2.1.12. Giải thích vì sao nếu f khả tích và |f | khả tích thì∣∣∣ Í f ∣∣∣ ≤ Í |f |.

2.1.13. Tìm tập D ⊂ R2 sao cho tích phân¨D

(1− x2 − y2) dA

đạt giá trị lớn nhất.


2.2 Công thức Fubini

Công thức Fubini trong không gian hai chiều có dạng:

¨[a,b]×[c,d]

f(x, y) dxdy =

ˆ b

a

( ˆ d

cf(x, y) dy

)dx =

ˆ d

c

(ˆ b

af(x, y) dx

)dy.

Một tích phân của tích phân được gọi là một tích phân lặp (iterated integral). Côngthức Fubini đưa bài toán tính tích phân bội về bài toán tính tích phân của hàm một biến.

Về mặt số lượng công thức Fubini nói rằng tổng giá trị của hàm trên hình chữ nhậtbằng tổng của các tổng giá trị trên các đoạn cắt song song.

Ta có thể giải thích bằng hình học công thức trên như sau. Giả sử f > 0. Khi đó´[a,b]×[c,d] f là “thể tích” của khối bên dưới mặt z = f(x, y) bên trên hình chữ nhật [a, b]×

[c, d]. Khi đó´ dc f(x0, y) dy là “diện tích” của mặt cắt (tiết diện) của khối bởi mặt phẳng

x = x0. Vậy công thức Fubini nói rằng thể tích của khối bằng tổng diện tích cácmặt cắt song song.

a

b

c d

z = f(x, y)z

y

x

´ dcf(x, y) dy

x

Có thể giải thích công thức này bằng cách xấp xỉ thể tích của khối như sau. Chiakhoảng [a, b] thành những khoảng con. Ứng với những khoảng con này, khối được cắtthành những mảnh bởi những mặt cắt song song. Vì chiều dài mỗi khoảng con là nhỏ, tacó thể xấp xỉ thể tích của mỗi mảnh bởi diện tích một mặt cắt nhân với chiều dài củakhoảng con.

Chi tiết hơn, ta xấp xỉ theo tổng Riemann: Giả sử a = x0 < x1 < · · · < xm = b là mộtphép chia của khoảng [a, b] và c = y0 < y1 < · · · < yn = d là một phép chia của khoảng[c, d]. Với x∗i là điểm đại diện bất kì thuộc khoảng con ∆xi = [xi−1, xi] và y∗j là điểm bấtkì thuộc ∆yj = [yj−1, yj ] thì

2.2. CÔNG THỨC FUBINI 39

ˆ b

a

( ˆ d

cf(x, y) dy

)dx ≈

m∑i=1

( ˆ d

cf(x∗i , y) dy

)|∆xi|

≈m∑i=1

( n∑j=1

f(x∗i , y∗j )|∆yj |

)|∆xi|

=∑

1≤i≤m,1≤j≤nf(x∗i , y

∗j )|∆xi||∆yj |

≈¨

[a,b]×[c,d]f(x, y) dxdy.

Định lý 2.2.1 (công thức Fubini4). Cho A là một hình hộp trong Rm và B là một hìnhhộp trong Rn. Cho f khả tích trên hình hộp A×B trong Rm+n. Giả sử với mỗi x ∈ A tíchphân

´B f(x, y) dy tồn tại. Khi đó

Â×B

f =

Â

( ˆBf(x, y) dy

)dx.

Ví dụ 2.2.2. Tính tích phân˜

[0,1]×[2,3] x dxdy.Vì hàm (x, y) 7→ x là liên tục trên hình chữ nhật [0, 1]× [2, 4] nên tích phân trên tồn

tại, công thức Fubini áp dụng được, cho:¨[0,1]×[2,4]

x dxdy =

ˆ 1

0

(ˆ 4

2x dy

)dx =

ˆ 1

0xy|y=4

y=2 dx =

ˆ 1

02x dx = x2

∣∣x=1

x=0= 1.

Ta cũng có thể áp dụng công thức Fubini theo thứ tự khác:¨

[0,1]×[2,4]x dxdy =

ˆ 4

2

(ˆ 1

0x dx

)dy =

ˆ 4

2

1

2x2

∣∣∣∣x=1

x=0

dy =

ˆ 4

2

1

2dy =

1

2y

∣∣∣∣y=4

y=2

= 1.

Hệ quả 2.2.3 (thể tích của miền dưới đồ thị). Giả sử f là hàm xác định, khôngâm trên miền bị chặn D ⊂ Rn. Gọi E là miền dưới đồ thị của f bên trên miền D, tứcE = (x, y) ∈ Rn ×R | x ∈ D, 0 ≤ y ≤ f(x). Nếu E có thể tích thì thể tích đó bằng tíchphân của f trên D:

|E| =ˆDf.

Đây là một công thức mà ta đã hướng tới ngay từ đầu khi xây dựng tích phân nhưngphải tới giờ mới xây dựng được.

Chứng minh. Vì E có thể tích nên nó bị chặn, có một hình hộp chứa nó. Ta có thể lấyhình hộp đó là I × [0, c] với I là một hình hộp n-chiều trong Rn chứa D và c đủ lớn. Ápdụng công thức Fubini:

|E| =

Ê

1 =

Î×[0,c]

χE =

Î

(ˆ c

0χE(x, y) dy

)dx.

Nếu x ∈ I \ D thì χE(x, y) = 0 ∀y ∈ [0, c], do đó´ c

0 χE(x, y) dy = 0. Nếu x ∈ D thìχE(x, y) = 1 khi và chỉ khi 0 ≤ y ≤ f(x), do đó

´ c0 χE(x, y) dy =

´ f(x)0 1 dy = f(x). Do đó

|E| =

ˆD

(ˆ c

0χE(x, y dy

)dx =

ˆDf(x) dx.

4Guido Fubini chứng minh một dạng tổng quát của công thức vào đầu thế kỉ 20, nhưng những kết quảdạng này đã được biết trước đó khá lâu.


Ví dụ 2.2.4 (tính diện tích tam giác). Xét D là tam giác với các đỉnh (0, 0), (a, 0),(0, b), với a, b > 0. Đây là miền dưới đồ thị y = b

ax với 0 ≤ x ≤ a. Như ta đã biết ở Ví dụ2.1.15, tam giác D có diện tích. Vậy

|D| =ˆ a

0

b

ax dx =

1

2ab.

2.2.1 Công thức Fubini cho miền phẳng

Việc áp dụng công thức Fubini sẽ dễ dàng hơn đối với những miền “đơn giản”. Mộttập con của R2 được gọi là một miền đơn giản theo chiều đứng nếu nó có dạng(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x). Đây là một miền giữa hai đồ thị có cùng miềnxác định. Một đường thẳng đứng nếu cắt miền này thì phần giao là một đoạn thẳng.

Tương tự, một tập con của R2 được gọi là một miền đơn giản theo chiều ngangnếu nó có dạng (x, y) ∈ R2 | c ≤ y ≤ d, g(y) ≤ x ≤ h(y).

g(x)

h(x)

a x b

y = g(x)

y = h(x)

y

x

c

d

g(y) h(y)

x = g(y) x = h(y)

y

x

y

Hình 2.2.1: Miền hai chiều đơn giản.

Mệnh đề 2.2.5. Cho miền đơn giản theo chiều đứng D = (x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤b, g(x) ≤ y ≤ h(x). Giả sử f , g và h liên tục. Khi đó

¨Df(x, y) dxdy =

ˆ b

a

(ˆ h(x)

g(x)f(x, y) dy

)dx.

Công thức có thể đúng dưới những điều kiện tổng quát hơn như ở Hệ quả 2.2.3 nhưngchúng ta chỉ phát biểu ở dạng thường dùng trong môn học này. Trường hợp miền đơn giảntheo chiều nằm ngang là tương tự.

Chứng minh. Ta có thể chỉ ra với những điều kiện này thì miền D có diện tích, tuy nhiênlí luận chi tiết vượt ra khỏi phạm vi môn học này (xem [Vugt3]). Lấy một hình chữ nhậtI = [a, b] × [c, d] chứa D. Gọi F là mở rộng của f lên I bằng không ngoài D. Vì f liêntục trên tập có diện tích D nên f khả tích trên D, do đó F khả tích trên I. Ngoài ra´ dc F (x, y) dy =

´ h(x)g(x) f(x, y) dy tồn tại. Áp dụng công thức Fubini cho F :

¨Df(x, y) dxdy =

ÏF (x, y) dxdy

=

ˆ b

a

( ˆ d

cF (x, y) dy

)dx =

ˆ b

a

(ˆ h(x)

g(x)f(x, y) dy

)dx.


Ghi chú 2.2.6. Trong trường hợp miền không đơn giản ta có thể tìm cách chia miềnthành những phần đơn giản để tính, dựa trên cơ sở Hệ quả 2.1.19.

Ví dụ 2.2.7 (tính diện tích hình tròn). Xét hình tròn D cho bởi phương trìnhx2 + y2 ≤ R2. Áp dụng công thức ở Mệnh đề 2.2.5 cho hàm f = 1, g(x) = −

√R2 − x2,

h(x) =√R2 − x2, với −R ≤ x ≤ R, hay nhanh hơn dùng 2.2.8, ta có

|D| =¨D

1 dxdy =

ˆ R

−R

(ˆ √R2−x2

−√R2−x2

1 dy

)dx =

ˆ R

−R2√R2 − x2 dx.

Đổi biến x = R sin t, dx = R cos t dt, x = −R =⇒ t = −π/2, x = R =⇒ t = π/2, tađược ˆ R

−R2√R2 − x2 dx =

ˆ π2

−π2

2R2 cos2 t dt = πR2.

Vậy diện tích của hình tròn bán kính R là πR2.

Ví dụ 2.2.8. Tính tích phân˜D e

y2 dA, trong đó D là tam giác với các đỉnh (0, 0), (4, 2),(0, 2).

Các giả thiết ở Mệnh đề 2.2.5 được thỏa. Ta có thể miêu tả D theo hai cách

D = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 4,x

2≤ y ≤ 2 = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2y.

Theo cách miêu tả thứ nhất, tức là xem D là miền đơn giản theo chiều đứng, thì côngthức Fubini cho:

I =

¨Dey

2dA =

ˆ 4

0

(ˆ 2

x2

ey2dy

)dx.

Tuy nhiên người ta biết nguyên hàm của hàm ey2theo biến y không phải là một hàm sơ

cấp, do đó không có công thức cho nó.Ta chuyển hướng dùng cách miêu tả thứ hai, xem D là miền đơn giản theo chiều ngang:

I =

ˆ 2

0

(ˆ 2y

0ey

2dx

)dy =

ˆ 2

0xey

2∣∣∣ x=2yx=0 dy =

ˆ 2

02yey

2dy = ey

2∣∣∣ y=2y=0

= e4 − 1.

2.2.2 Công thức Fubini cho miền ba chiều

Tương tự trường hợp hai chiều ta có thể nói về miền ba chiều đơn giản. Một tập concủa R3 được gọi là một miền đơn giản theo chiều trục z nếu nó có dạng (x, y, z) ∈R3 | (x, y) ∈ D, f(x, y) ≤ z ≤ g(x, y). Đây là miền nằm giữa hai đồ thị có cùng miềnxác định. Một đường thẳng cùng phương với trục z nếu cắt miền này thì phần giao là mộtđoạn thẳng. Tương tự có khái niệm miền đơn giản theo chiều trục x và trục y.

Tương tự trường hợp hai chiều ở Mệnh đề 2.2.5, ta có:

Mệnh đề 2.2.9. Cho miền D ⊂ R2 có diện tích, và miền E = (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈D, g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y). Giả sử f , g và h bị chặn và liên tục. Khi đó

˚Ef(x, y, z) dxdydz =

¨D

( ˆ h(x,y)

g(x,y)f(x, y, z) dz

)dxdy.


Chứng minh. Ta có thể chỉ ra với những điều kiện này thì E có thể tích.Lấy mở rộng F của f lên I× [a, b] sao cho F bằng không ngoài E. Nếu (x, y) /∈ D thì F

có giá trị 0 trên (x, y) × [a, b]. Nếu (x, y) ∈ D thì´ ba F (x, y, z) dz =

´ h(x,y)g(x,y) f(x, y, z) dz.

Áp dụng công thức Fubini cho F :˚

I×[a,b]F (x, y, z) dV =

Ï

( ˆ b

aF (x, y, z) dz

)dA

=

¨D

(ˆ b

aF (x, y, z) dz

)dA

=

¨D

(ˆ h(x,y)

g(x,y)f(x, y, z) dz

)dA.

Ví dụ 2.2.10. Tính tích phân˝

E x dV với E là khối tứ diện với các đỉnh (0, 0, 0),(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3).

Bước chính là miêu tả khối E. Ta có thể xem E là một khối đơn giản theo chiều trụcz, là miền bên dưới mặt phẳng P qua ba điểm (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) và bên trên tamgiác D với các đỉnh (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) trong mặt phẳng xy.

Trước hết cần viết phương trình mặt phẳng P . Ta có hai vectơ cùng phương với mặtphẳng này là (0, 0, 3) − (1, 0, 0) = (−1, 0, 3) và (0, 0, 3) − (0, 2, 0) = (0,−2, 3). Vectơ tíchcó hướng (−1, 0, 3)× (0,−2, 3) = (6, 3, 2) vuông góc với mặt phẳng P , là một vectơ pháptuyến. Một điểm (x, y, z) nằm trên P khi và chỉ khi vectơ (x, y, z)− (0, 0, 3) vuông góc vớivectơ pháp tuyến (6, 3, 2), đồng nghĩa với tích vô hướng của hai vectơ này bằng 0. Vậyphương trình của P là (x, y, z− 3) · (6, 3, 2) = 0, tức là 6x+ 3y+ 2z = 6. Nếu ta nhớ dạngtổng quát của phương trình mặt phẳng là ax+ by + cz = d thì bằng cách thế giá trị vàota có thể tìm được phương trình của P nhanh chóng hơn.

Ta có thể chọn coi tam giác D là miền đơn giản theo chiều trục y trong mặt phẳngxy. Khi đó ta có một miêu tả:

E = (x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2− 2x, 0 ≤ z ≤ (6− 6x− 3y)/2.

Một miêu tả khối E như một miền đơn giản lập tức cho cách viết tích phân trên E như làtích phân lặp, chú ý là các điều kiện áp dụng công thức Fubini ở Mệnh đề 2.2.9 đều đượcthỏa:

˚Ex dV =

ˆ 1

0

(ˆ 2−2x

0

(ˆ 3−3x− 32y

0x dz

)dy

)dx

=

ˆ 1

0

(ˆ 2−2x

0x

(3− 3x− 3

2y

)dy

)dx

=

ˆ 1

0

(x(3− 3x)y − 3

4xy2

)∣∣∣∣y=2−2x

y=0

dx

=

ˆ 1

0(3x3 − 6x2 + 3x) dx =

1

4.

Nhờ công thức Fubini các tích phân nhiều chiều có thể được đưa về các tích phân mộtchiều. Các tích phân một chiều có thể được tính đúng hoặc tính xấp xỉ. Việc tính xấpxỉ về nguyên lý khá đơn giản, dựa trên việc tính một tổng Riemann. Việc tính đúng nóichung phức tạp hơn. Trong thực tế tính xấp xỉ lẫn tính đúng thường cần một lượng tínhtoán lớn và thích hợp để dùng máy tính. Người học có thể đọc lại phần tính tích phântrong giáo trình vi tích phân hàm một biến như [Bmgt1].


Bài tập

2.2.1. Cho hàm

f : [0, 1]× [0, 1] → R

(x, y) 7→ f(x, y) =

x+ y, x ≤ yxy, x > y.

Tích phân của f bằng bao nhiêu?

2.2.2. Cho hàm số

f(x, y) =

x2y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x2,xy2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, y > x2.

Tính tích phân của hàm f .

2.2.3. Tính:

(a) Tính: ¨D

(√x− y2) dA

trong đó D là miền bao bởi các đường cong y = x2, x = y4.

(b) Gọi D là miền được bao bởi các đường cong x = y2, y−x = 3, y = −3, y = 2. Tính˜Dx dA.

(c) Gọi D là miền trong góc phần tư thứ nhất, nằm bên trên đường hyperbola xy = 1, bên trênđường thẳng y = x, bên dưới đường thẳng y = 2. Tính

˜Dy dA.

(d) Tính tích phân của hàm x2y3 trên miền được bao bởi các đường y = 4x2, y = 5−√

3x2.

2.2.4. Đổi thứ tự tích phân trong các tích phân lặp sau và tính chúng:

(a)´ 10

(´ 1x2 xe

−y2 dy)dx.

(b)´ 10

(´ 1√y

√x3 + 2 dx

)dy.

(c)´ 10

(´ 33y

cos(x2) dx)dy.

(d)´ 20

(´ 4y2y cos(x2) dx

)dy.

(e)´ 10

(´ 1√xey

3

dy)dx.

2.2.5. Tính:

(a) Tính tích phân˝

Ey dV trong đó E là khối tứ diện với 4 đỉnh (0, 0, 0), (1, 0, 0), (2, 1, 0) và

(0, 0, 1).

(b) Tính tích phân˝

Ez dV trong đó E là khối được bao bởi các mặt z = 0, x = 0, y = x,

y = 1, z = 2x+ 3y.

(c) Tìm thể tích của khối được bao bởi các mặt y = 0, z = 0, z = 1− x+ y, y = 1− x2.

2.2.6. Cho f là hàm liên tục, hãy viết lại tích phân´ 1−1´ 1|x|´ 1−y0

f(x, y, z) dz dy dx theo thứ tựdx dz dy.

2.2.7. Tính´ 20

´ 10

´ 4z2x3z cos(y2) dy dx dz.

2.2.8. Giả sử f và g liên tục và f ≤ g trên [a, b]. Gọi D là miền giữa đồ thị của f và g, tứcD = (x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x). Chứng minh rằng

|D| =ˆ b

a

(g(x)− f(x)

)dx.


2.2.9. Cho g liên tục trên hình hộp [a, b]× [c, d]× [e, f ], chứng tỏ

˚[a,b]×[c,d]×[e,f ]

g(x, y, z) dV =

ˆ b

a

( ˆ d

c

( ˆ f

e

g(x, y, z) dz)dy)dx.

2.2.10 (thể tích của khối bằng tổng diện tích các mặt cắt song song). Giả sử tậpE ⊂ R3 có thể tích. Giả sử a ≤ z ≤ b với mọi (x, y, z) ∈ E. Giả sử với mỗi z ∈ [a, b] tậpEz = (x, y) ∈ R2 | (x, y, z) ∈ E có diện tích . Chứng tỏ

|E| =ˆ b

a

|Ez| dz.

2.2.11. Tính thể tích của khối được miêu tả trong Hình 2.2.2.

x

y

z

y = e2x

y = −ex 1

z = e3x

Hình 2.2.2:

2.2.12 (khối tròn xoay). Cho f là hàm liên tục trên khoảng [a, b] và f(x) ≥ 0 trên [a, b]. Chứngtỏ khối tròn xoay nhận được bằng cách xoay miền dưới đồ thị của f quanh trục x có thể tích vàthể tích bằng V = π

´ ba

[f(x)]2 dx.

2.2.13 (nguyên lý Cavalieri5). Nếu hai khối ba chiều có thể tích, và có một phương sao chomọi mặt phẳng với phương đó cắt hai khối theo hai mặt cắt có cùng diện tích, thì hai khối đó cócùng thể tích.

2.2.14. Chứng tỏ rằng thể tích của khối bao bởi mặt x2 + (y − z − 3)2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1 bằng vớithể tích của khối bao bởi mặt x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1 (Hình 2.2.3).

Hình 2.2.3: Mặt x2 + y2 = 1 (trái) và mặt x2 + (y − z − 3)2 = 1 (phải).

5Bonaventura Francesco Cavalieri là một nhà toán học Ý sống vào đầu thế kỉ 17.

2.3. CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN 45

2.3 Công thức đổi biến

Nhớ lại trong tích phân hàm một biến, để tính´ 1

0

√1− x2 dx ta thường làm như sau.

Đặt x = sin t thì dx = cos t dt, x = 0 tương ứng t = 0, x = 1 tương ứng t = π/2, và

ˆ 1

0

√1− x2 dx =

ˆ π/2

0

√1− sin2 t cos t dt =

ˆ π/2

0cos2 t dt

=

ˆ π/2

0

1

2(1 + cos 2t) dt =

(1

2t+

1

4sin 2t

)∣∣∣∣ t=π/2t=0 =π

4.

Mục đích của bài này là khảo sát tổng quát hóa phương pháp ở trên lên nhiều chiều: Vớitích phân

Á f(x) dx, nếu đổi biến x = ϕ(u) thì tích phân sẽ biến đổi như thế nào?

2.3.1 Phép đổi biến

Cho A và B là hai tập mở trong Rn. Một ánh xạ f : A → B được gọi là một phépđổi biến nếu f là song ánh, khả vi liên tục, và ánh xạ ngược f−1 cũng khả vi liên tục.

Ví dụ 2.3.1. Trong Rn phép tịnh tiến x 7→ x+ a là một phép đổi biến.

Giả sử f là một phép đổi biến trên một tập mở. Từ đẳng thức (f−1 f)(x) = x vớimọi x, lấy đạo hàm hai vế, theo qui tắc đạo hàm của hàm hợp thì (f−1)′(f(x))f ′(x) = id(identity: ánh xạ đồng nhất), hay (f−1)′(y) f ′(x) = id với y = f(x). Tương tự do(f f−1)(y) = y nên f ′(f−1(y)) (f−1)′(y) = id, hay f ′(x) (f−1)′(y) = id. Hai điều nàydẫn tới (f−1)′(y) chính là ánh xạ ngược của f ′(x), do đó

Jf−1(y) = (Jf (x))−1. (2.3.1)

2.3.2 Công thức đổi biến cho vi phân và tích phân

Định lý 2.3.2 (công thức đổi biến). Công thức đổi biếnˆϕ(A)

f =

Â

(f ϕ)|detϕ′| (2.3.2)

được thỏa dưới những giả thiết: A là một tập mở trong Rn, ϕ là một phép đổi biến từ Alên ϕ(A), A và ϕ(A) có thể tích, f và (f ϕ)|detϕ′| khả tích.

Có một cách viết hình thức dễ nhớ tương tự trường hợp một chiều như sau:Đặt

x = ϕ(u)

thìdx = |detϕ′(u)| du.

Nếux ∈ X ⇐⇒ u ∈ U

thì ˆXf(x) dx =

Ûf(ϕ(u))| detϕ′(u)| du.

Để tính toán, nhớ rằngdetϕ′ = det Jϕ.


Nếu viết x = x(u) và ∂x∂u = det

(∂xi∂uj

)i,j

thì có thể viết một cách hình thức dễ nhớ công

thức cho đổi biến của dạng vi phân:

dx =

∣∣∣∣∂x∂u∣∣∣∣ du.

Dấu trị tuyệt đối có thể được bỏ đi nếu ta biết dấu của detϕ′. Nếu detϕ′ luôn dươngthì ϕ được gọi là một phép đổi biến bảo toàn định hướng. Nếu detϕ′ luôn âm thì ϕđược gọi là một phép đổi biến đảo ngược định hướng.

Như trường hợp một chiều, đổi biến có thể dùng để làm cho hàm dưới dấu tích phân,tức dạng vi phân, đơn giản hơn. Trong trường hợp nhiều chiều, đổi biến hay được dùngđể làm cho miền lấy tích phân đơn giản hơn.

Ví dụ 2.3.3 (đổi biến một chiều). Đây là phương pháp đổi biến trong tích phân chohàm một biến quen thuộc. Thực vậy, cho x = ϕ(t) với t ∈ [a, b], ở đây ϕ liên tục vàϕ : (a, b) → ϕ((a, b)) là một vi đồng phôi. Cho f khả tích trên ϕ([a, b]). Theo công thứcđổi biến: ˆ

ϕ((a,b))f(x) dx =

ˆ(a,b)

f(ϕ(t))|ϕ′(t)| dt.

Do ϕ′(t) 6= 0, ∀t ∈ (a, b) nên hoặc ϕ′(t) > 0, ∀t ∈ (a, b) hoặc ϕ′(t) < 0, ∀t ∈ (a, b). Vìvậy hoặc ϕ là hàm tăng hoặc ϕ là hàm giảm trên [a, b].

Nếu ϕ là hàm tăng (bảo toàn định hướng) thì ϕ([a, b]) = [ϕ(a), ϕ(b)]. Do đó, dùng ??để chuyển đổi giữa tích phân trên khoảng mở và tích phân trên khoảng đóng, ta được

ˆ b

af(ϕ(t))ϕ′(t) dt =

ˆ[a,b]

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt =

ˆ(a,b)

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt

=

ˆ(ϕ(a),ϕ(b))

f(x) dx =

ˆ[ϕ(a),ϕ(b)]

f(x) dx

=

ˆ ϕ(b)

ϕ(a)f(x) dx.

Nếu ϕ là hàm giảm (đảo ngược định hướng) thì ϕ([a, b]) = [ϕ(b), ϕ(a)] và |ϕ′(t)| =−ϕ′(t). Do đó

ˆ b

af(ϕ(t))ϕ′(t) dt = −

ˆ(a,b)

f(ϕ(t))|ϕ′(t)| dt

= −ˆ

(ϕ(b),ϕ(a))f(x) dx

= −ˆ ϕ(a)

ϕ(b)f(x) dx =

ˆ ϕ(b)

ϕ(a)f(x) dx.

Trong cả hai trường hợp ta được công thức đổi biến cho tích phân hàm một biến:

ˆ b

af(ϕ(t))ϕ′(t) dt =

ˆ ϕ(b)

ϕ(a)f(x) dx.

Nếu ta giả sử hàm f liên tục thì trong vi tích phân hàm một biến công thức đổi biếnđược chứng minh bằng cách dùng công thức Newton–Leibniz và qui tắc đạo hàm hàmhợp, và chỉ cần hàm ϕ là trơn.


Ví dụ 2.3.4 (đổi biến hai chiều). Với phép đổi biến (u, v) 7→ (x, y) người ta thườngdùng kí hiệu

∂(x, y)

∂(u, v)= det

(∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

).

Với kí hiệu này công thức đổi biến có dạng như sau. Nếu phép đổi biến (u, v) 7→ (x, y)mang tập A thành tập B thì

¨Bf(x, y) dxdy =

Äf(x(u, v), y(u, v))

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ dudv.Một cách hình thức ta có thể viết:

dxdy =

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ dudv.Chú ý rằng, do Phương trình (2.3.1):

∂(u, v)

∂(x, y)=

1∂(x,y)∂(u,v)

.

2.3.3 Tọa độ cực

Một điểm P = (x, y) trên mặt phẳng R2 có thể được miêu tả bằng hai số thực (r, θ),với r là khoảng cách từ O tới P , và 0 ≤ θ ≤ 2π là góc từ vectơ (1, 0) (tia Ox) tới vectơ−−→OP . Vậy x = r cos θ, y = r sin θ, r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π.

Tuy nhiên tương ứng (x, y) 7→ (r, θ) này không là song ánh và không liên tục trên tiaOx. Vì vậy ta phải hạn chế miền xác định là mặt phẳng bỏ đi tia Ox. Khi đó ánh xạngược là

(0,∞)× (0, 2π) → R2 \ (x, 0) | x ≥ 0(r, θ) 7→ (x, y) = (r cos θ, r sin θ).

Ta tính được ∂(x,y)∂(r,θ) (r, θ) = r > 0, vì vậy đây là một phép đổi biến. Một cách hình thức,

có thể nhớ rằngdxdy = r drdθ.

Ví dụ 2.3.5 (tích phân trên hình tròn). Gọi B′2(O,R) là hình tròn đóng tâm O bánkính R. Để áp dụng công thức đổi biến ta dùng phép đổi biến ϕ từ hình chữ nhật mở(0, R)× (0, 2π) sang miền D là B′2(O,R) bỏ đi đường tròn biên và tia Ox. Giả sử f khảtích trên B′2(O,R). Tập bị bỏ đi có diện tích không, do đó nó không ảnh hưởng đến tíchphân, nên:¨B′2(O,R)

f(x, y) dxdy =

¨Df(x, y) dxdy =

¨(0,R)×(0,2π)

f(r cos θ, r sin θ)r drdθ

=

¨[0,R]×[0,2π]

f(r cos θ, r sin θ)r drdθ.

Chẳng hạn diện tích của hình tròn là:

|B′2(O,R)| =¨B′2(O,R)

1 dxdy =

ˆ R

0

ˆ 2π

01 · r dθ dr = πR2.


Như vậy chú ý rằng với mục đích lấy tích phân thì để đơn giản ta thường lấy cận trongtọa độ cực là r ≥ 0 và 0 ≤ θ ≤ 2π.

Ví dụ 2.3.6. Cho E là khối được bao bởi các mặt z = x2+y2 và z = 1. Tính˝

E z dxdydz.“Bao” ở đây chỉ là một miêu tả trực quan, vì thế ta nên vẽ hình rồi từ đó đưa ra một

miêu tả toán học, tức là miêu tả dưới dạng tập hợp.

1

x

y

1

z = x2 + y2

Xem E là một khối đơn giản theo chiều trục z, nằm trên mặt z = x2 + y2, dưới mặtz = 1. Như vậy E = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ z ≤ 1. Chiếu khối E xuống mặt phẳngxOy ta được hình tròn x2 + y2 ≤ 1. Áp dụng công thức Fubini:˚

Ez dxdydz =

¨x2+y2≤1

(ˆ 1

x2+y2z dz

)dxdy

=

¨x2+y2≤1

1

2z2∣∣∣1z=x2+y2 dxdy

=

¨x2+y2≤1

1

2

(1−

(x2 + y2

)2)dxdy

=

¨0≤r≤1,0≤θ≤2π

1

2

(1−

(r2)2)

r drdθ

=1

2

ˆ 1

0

(ˆ 2π

0(r − r5) dθ

)dr =

π

3.

Trong ví dụ này một điểm (x, y, z) trong R3 được miêu tả bằng cách dùng tọa độ cực(r, θ) để miêu tả (x, y). Người ta thường gọi hệ tọa độ (r, θ, z) là hệ tọa độ trụ.

2.3.4 Tọa độ cầu

Một điểm P = (x, y, z) trong R3 có thể được miêu tả bằng bộ ba số thực (ρ, φ, θ), vớiρ là khoảng cách từ O tới P , φ là góc giữa vectơ (0, 0, 1) (tia Oz) và vectơ

−−→OP , và nếu

gọi M = (x, y, 0) là hình chiếu của điểm P xuống mặt phẳng Oxy thì θ là góc từ vectơ(1, 0, 0) (tia Ox) tới vectơ

−−→OM .

Trong hình 2.3.1 ta tính được ngay z = PM = ρ cosφ, OM = ρ sinφ, x = OM cos θ =ρ sinφ cos θ, y = OM sin θ = ρ sinφ sin θ. Tương tự như trường hợp tọa độ cực, để có mộtphép đổi biến thực sự ta phải hạn chế miền xác định bằng cách bỏ đi tập (x, y, z) ∈R3 | y = 0, x ≥ 0, tức một nửa của mặt phẳng xOz, ứng với ρ = 0, φ = 0, φ = π, θ = 0,θ = 2π. Khi đó ánh xạ

ϕ : (0,∞)× (0, π)× (0, 2π) → R3 \ (x, y, z) ∈ R3 | y = 0, x ≥ 0(ρ, φ, θ) 7→ (x, y, z) = (ρ sinφ cos θ, ρ sinφ sin θ, ρ cosφ)


θ

φρ

P φ = const

θ = const

M

O

x

y

z

Hình 2.3.1: ρ = const ứng với một mặt cầu. Trên mỗi mặt cầu các đường φ = const làcác đường vĩ tuyến, các đường θ = const là các đường kinh tuyến, với 0 ≤ ρ, 0 ≤ φ ≤ π,0 ≤ θ ≤ 2π. Bộ (ρ, φ, θ) đại diện cho (cao độ, vĩ độ, kinh độ) của một điểm trong khônggian.

là một song ánh, có det Jϕ(ρ, φ, θ) = ρ2 sinφ > 0. Vậy đây là một phép đổi biến. Cũngnhư trường hợp tọa độ cực, phần bị bỏ đi thường không ảnh hưởng tới tích phân nên tathường không nhắc tới chi tiết kĩ thuật này.

Một cách hình thức, có thể nhớ rằng

dxdydz = ρ2 sinφ dρdφdθ.

Có tài liệu dùng thứ tự trong tọa độ cầu là (ρ, θ, φ). Thứ tự tọa độ trong tọa độ cầuliên quan tới định hướng trên mặt cầu, tuy không ảnh hưởng tới tích phân bội nhưng sẽảnh hưởng tới tích phân mặt ở chương sau.

Ví dụ 2.3.7 (thể tích quả cầu). Gọi B3(O,R) là quả cầu mở tâm O bán kính R trongR3. Thể tích của quả cầu này là:

|B3(O,R)| =˚

B3(O,R)1 dV =

ˆ R

0

ˆ π

0

ˆ 2π

01 · ρ2 sinφ dθ dφ dρ =

4π

3R3.

Sau đây là một số ví dụ các phép đổi biến khác.

Ví dụ 2.3.8 (diện tích hình bầu dục). Một hình bầu dục (e-líp, ellipse) D trong mặtphẳng là tập hợp các điểm thỏa

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2≤ 1

trong đó a, b > 0. Viết lại công thức ở dạng(x− x0

a

)2

+

(y − y0

b

)2

≤ 1,


ta thấy có thể làm phép đổi biến

u =x− x0

a

v =y − y0

b.

Phép đổi biến này đưa hình bầu dục về hình tròn u2 +v2 ≤ 1. Đây chẳng qua là một phépco dãn (vị tự) trục tọa độ biến hình bầu dục thành hình tròn hợp với phép tịnh tiến vềgốc tọa độ. Ta tính được dudv = 1

abdxdy, từ đó

|D| =¨D

1 dxdy =

ü2+v2≤1

1 · ab dudv = ab

ü2+v2≤1

1 dudv = abπ.

Ví dụ 2.3.9. Tính˜Rx−2y3x−y dA trong đó R là hình bình hành bao bởi các đường thẳng

x− 2y = 0, x− 2y = 4, 3x− y = 1, và 3x− y = 8.Đặt u = x− 2y và v = 3x− y. Miền bao bởi các đường thẳng u = 0, u = 4, v = 1, và

v = 8 là hình chữ nhật D = [0, 4]× [1, 8] trong mặt phẳng (u, v).

R

Dx

y

u

v

Vì∂(u, v)

∂(x, y)= det

(∂u∂x

∂u∂y

∂v∂x

∂v∂y

)= det

(1 −23 −1

)= 5 6= 0

nên ánh xạ (x, y) 7→ (u, v) là một phép đổi biến từ phần trong của D sang phần trong củaR. Biên của D và R không ảnh hưởng đến tích phân vì chúng có diện tích không và tađang lấy tích phân hàm liên tục.

Chú ý rằng∂(x, y)

∂(u, v)=

1∂(u,v)∂(x,y)

=1

5.

Công thức đổi biến cho:¨R

x− 2y

3x− ydxdy =

¨D

u

v

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ dudv=

1

5

¨D

u

vdudv =

1

5

ˆ 4

0

(ˆ 8

1

u

vdv

)du =

8

5ln 8.

2.3.5 Giải thích công thức đổi biến

Chúng ta sẽ không chứng minh công thức đổi biến vì một chứng minh sẽ khó và dàivượt khỏi phạm vi môn học này. Dưới đây chúng ta đưa ra một giải thích, tuy chưa phảilà một chứng minh, nhưng sẽ giúp ta hiểu rõ hơn công thức.


Để cho đơn giản, xét trường hợp A là một hình chữ nhật. Ánh xạ ϕ mang miền A trênmặt phẳng (u, v) sang miền ϕ(A) trên mặt phẳng (x, y).

Xét một phép chia A thành những hình chữ nhật con. Ta xem tác động của ϕ lên mộthình chữ nhật con đại diện [u0, u0 + ∆u]× [v0, v0 + ∆v], có diện tích ∆u∆v. Hàm trơn ϕmang mỗi cạnh của hình chữ nhật này thành một đoạn cong trên mặt phẳng (x, y), do đóta được một “hình chữ nhật cong” trên mặt phẳng (x, y) với một đỉnh là điểm ϕ(u0, v0).

v

u x

y

ϕ

A

ϕ(A)

(u0, v0)

∆u

ϕ(u0, v0)∆v

Hình 2.3.2: Minh họa công thức đổi biến.

Bây giờ ta tính diện tích hình chữ nhật cong này bằng cách xấp xỉ tuyến tính. Đoạncong từ ϕ(u0, v0) tới ϕ(u0 + ∆u, v0) sẽ được xấp xỉ tuyến tính bằng một đoạn thẳng tiếptuyến tại ϕ(u0, v0). Vì vectơ tiếp xúc chính là ∂ϕ

∂u (u0, v0) nên đoạn tiếp tuyến này cho bởivectơ ∂ϕ

∂u (u0, v0)∆u.

r(t)

r(t+ ∆t)r′(t)∆t

Hình 2.3.3: Xấp xỉ tuyến tính đường cong: r(t+ ∆t)− r(t) ≈ r′(t)∆t.

Tương tự, đoạn cong ϕ(u0, v0 + ∆v) được xấp xỉ bởi vectơ tiếp xúc ∂ϕ∂v (u0, v0)∆v. Vậy

hình chữ nhật cong được xấp xỉ bởi hình bình hành sinh bởi hai vectơ tiếp xúc trên.

a

b

α

Vấn đề bây giờ là tính diện tích hình bình hành sinh bởi hai vectơ. Giả sử a = (a1, a2)


và b = (b1, b2), diện tích của hình bình hành sinh bởi a và b là

|a||b| sinα =√|a|2|b|2(1− cos2 α) =

√|a|2|b|2 − 〈a, b〉2

=√

(a21 + a2

2)(b21 + b22)− (a1b1 + a2b2)2

=√

(a1b2 − a2b1)2 = |a1b2 − a2b1|

= | det

(a1 b1a2 b2

)| = |det(a, b)|.

(2.3.3)

Ta vừa được một kết quả đáng chú ý, giải thích ý nghĩa hình học của định thức: giá trịtuyệt đối của định thức của ma trận chính là diện tích của hình bình hành sinh bởi haivectơ cột của ma trận. Bản thân dấu của định thức cũng có thể được giải thích, nhưng tagác việc này lại.

Người đọc kỹ tính có thể thắc mắc rằng công thức tính diện tích thông qua hàm sin ởtrên chưa được thiết lập trong lý thuyết của chúng ta. Đây là một phản đối xác đáng. Lýluận trên chưa phải là một chứng minh mà chỉ cho thấy sự không mâu thuẫn với nhữngkết quả đã biết.

Trở lại công thức đổi biến, vậy diện tích của hình bình hành sinh bởi hai vectơ∂ϕ∂u (u0, v0)∆u và ∂ϕ

∂v (u0, v0)∆v là

|det(∂ϕ∂u

(u0, v0)∆u,∂ϕ

∂v(u0, v0)∆v

)| = |det

(∂ϕ∂u

(u0, v0),∂ϕ

∂v(u0, v0)

)|∆u∆v

= |det Jϕ(u0, v0)|∆u∆v.

Điều này cũng giải thích sự xuất hiện của dấu trị tuyệt đối.

Bài tập

Một số bài tập tính toán có thể dùng máy tính và tính xấp xỉ.

2.3.1. Tính:

(a) Tính thể tích của khối được bao bởi mặt z = 4− x2 − y2 và mặt phẳng xOy.

(b) Tính thể tích của khối được bao bởi mặt z = 9 − x2 − y2, y ≤ x, trong góc phần tám thứnhất (tức x, y, z ≥ 0).

(c) Tính tích phân˜D

√x2 + y2 trong đó D là miền được bao bởi hai đường cong x2 + y2 = 4

and x2 + y2 = 9.

(d) Tính tích phân˜D

(x2 + y2)3/2 dA trong đó D là miền trong góc phần tư thứ nhất bao bởiđường tròn x2 + y2 = 9, đường thẳng y = 0 và y =

√3x.

(e) Tính tích phân˜Dy2

x2 dA trong đó D là miền trong góc phần tư thứ nhất bao bởi đườngtròn x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, đường thẳng y = 0 và y = x.

(f) Tính tích phân˜Dx2 dA trong đó D là miền được bao bởi e-líp 3x2 + 4y2 = 8.

(g) Tính tích phân˝

Ecos[(x2 + y2 + z2)3/2

]dV trong đó E là quả cầu đơn vị x2+y2+z2 ≤ 1.

(h) Tính thể tích của khối được bao phía trên bởi mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2 và được bao phíadưới bởi mặt paraboloid z = x2 + y2.

(i) Tìm thể tích của khối bị chặn trên bởi mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4 và bị chặn dưới bởi mặtnón z2 = 3x2 + 3y2, z ≥ 0.

(j) Tìm thể tích của khối bị chặn bởi mặt cầu x2 + y2 + z2 = 9 và mặt trụ x2 + y2 = 2y.

(k) Tính thể tích của miền phía dưới mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 phía trên mặt phẳng z = 1/√

2.


(l) Tính thể tích của khối bên dưới mặt z = 4− x2 − y2 bên trên mặt x2 + y2 + z2 = 6.

(m) Tính thể tích của khối được bao bởi các mặt z = 9− x2 − y2, z = 3x2 + 3y2 − 16.

(n) Tính thể tích của khối được bao bởi các mặt z = 3− 2y, z = x2 + y2.

(o) Tính tích phân˝

Ex dV trong đó E là khối được bao bởi hai mặt z = 6 − x2 − y2 và

z = x2 + 3y2.

2.3.2. Tính thể tích của khối được miêu tả bởi điều kiện x2+y2 ≤ z2 ≤ 3(x2+y2), 1 ≤ x2+y2+z2 ≤4, z ≥ 0.

2.3.3. Tính:

(a) Tính diện tích của miền được bao bởi đường cong hình bông hoa r = 4 + 3 cos(11θ) (đây làđường trong mặt phẳng xy được cho bởi phương trình tham số x = r cos θ, y = r sin θ với rnhư trên).

Hình 2.3.4: Đường r = 4 + 3 cos(11θ).

(b) Tính diện tích miền được bao bởi đường cong hình trái tim r = 1 + cos θ.

1.0

0.0

−1.2

1.5

0.6

0.0

−0.2

1.0

−1.0

0.2

−0.8

2.00.5

1.2

−0.6

−0.4

0.8

0.4

Hình 2.3.5: Đường r = 1 + cos θ.

(c) Đường cong trong mặt phẳng xy cho bởi phương trình r =√θ, 0 ≤ θ ≤ 2π cùng với tia Ox

bao một miền D hình vỏ ốc được vẽ trong hình 2.3.6. Hãy tính tích phân˜Dex

2+y2 dxdy.

2.3.4. Tính:

(a) Tính tích phân˜R

(x2 + 2xy) dA trong đó R là hình bình hành bao bởi các đường thẳngy = 2x+ 3, y = 2x+ 1, y = 5− x, y = 2− x.

(b) Tính tích phân˜R

(x + y)2 dA trong đó R là hình bình hành bao bởi các đường thẳngy = −x, y = −x+ 1, y = 2x, y = 2x− 3.

(c) Tính diện tích của miền phẳng được bao bởi các đường cong y2 = x, y2 = 2x, y = 1/x,y = 2/x.


sqrt(

t)*si

n(t)

sqrt(t)*cos(t)

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

D

Hình 2.3.6: Đường r =√θ.

(d) Tính diện tích của miền phẳng được bao bởi các đường cong y2 = x, 3y2 = x, y = x2,y = 2x2.

2.3.5. Xét khối bầu dục E được bao bởi mặt có phương trình x2 + 2y2 + 3z2 = 4. Hãy tính thểtích của E bằng cách đổi biến để đưa về thể tích của quả cầu. Tìm công thức thể tích của khốibầu dục tổng quát.

2.3.6. Tìm diện tích của miền phẳng được bao bởi đường cong x2 − 2xy + 2x+ 3y2 − 2y = 2.

2.3.7. Gọi D là miền phẳng được xác định bởi x4 + x2 + 3y4 + y2 − 2y ≤ 1. Hãy tính tích phân˜Dx dxdy. Hãy tổng quát hóa.

2.3.8. Tìm thể tích của khối được tạo bằng cách xoay miền bao bởi đồ thị của hàm f(x) = x−x3và trục x quanh trục y.

2.3.9. Dùng máy tính hãy vẽ mặt cầu mấp mô cho bởi phương trình trong tọa độ cầu ρ =1 + sin2(3θ) sin4(5φ). Tính thể tích của khối bao bởi mặt này.

2.3.10. Hãy giải bài 2.2.12 (thể tích khối tròn xoay) bằng cách đổi biến.

2.3.11. Giải bài 2.2.14 bằng cách dùng công thức đổi biến.

2.3.12. Mặt xuyến (torus) có thể được miêu tả như là mặt tròn xoay nhận được bằng cách xoayquanh trục z một đường tròn trên mặt phẳng Oyz không cắt trục z. Hãy kiểm tra rằng mặt xuyến

Hình 2.3.7: Mặt xuyến.

có phương trình dạng ẩn: (√x2 + y2 − b

)2+ z2 = a2, 0 < a < b,

và dạng tham số: ((b + a cos θ) cosφ, (b + a cos θ) sinφ, a sin θ), 0 ≤ φ, θ ≤ 2π. (Hình 2.3.8.) Hãytính thể tích của khối bao bởi mặt xuyến.

2.4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 55

φ

θ

ya

b

x

O

z

Hình 2.3.8:

2.3.13 (thể tích của khối nón). Giả sử D là một miền trong mặt phẳng Oxy. Cho A là mộtđiểm phía trên mặt phẳng Oxy trong R3. Tập hợp tất cả các điểm nằm trên các đoạn thẳng nốiA với các điểm thuộc D được gọi là một khối nón hay khối chóp. Chẳng hạn một khối tứ diệnlà một khối nón. Miền D được gọi là đáy của khối nón, còn khoảng cách từ A tới mặt phẳng Oxyđược gọi là chiều cao của khối nón. Hãy chứng tỏ thể tích của khối nón đúng bằng một phầnba diện tích đáy nhân chiều cao.

2.3.14. Trong mặt phẳng R2 một phép quay quanh gốc tọa độ một góc α có thể được miêu tảbằng 2 cách: Trong tọa độ cực, đó là ánh xạ (r, θ) 7→ (r, θ+α). Tương ứng trong tọa độ Euclid đólà (

xy

)7→(

cosα − sinαsinα cosα

)·(xy

).

Dùng công thức đổi biến, hãy chứng tỏ một phép quay quanh gốc tọa độ mang một hình có diệntích thành một hình có cùng diện tích.

2.3.15 (phép dời hình bảo toàn thể tích). Một phép dời hình trong R2 được định nghĩa làmột song ánh từ R2 vào chính nó bảo toàn khoảng cách.

Người ta biết trong mặt phẳng một phép dời hình bất kì là một hợp của các phép tịnh tiến,phép quay quanh gốc tọa độ, và phép lấy đối xứng qua trục x.

Dùng công thức đổi biến, hãy chứng tỏ diện tích của một hình không thay đổi qua một phépdời hình.

2.4 Ứng dụng của tích phân bội

Tích phân là tổng, đó là ý nghĩa chính của tích phân. Vì vậy mỗi khi có nhu cầu tínhtổng của vô hạn giá trị thì tích phân có thể xuất hiện.

Về cơ bản, nếu tại mỗi điểm xi, 1 ≤ i ≤ n có tương ứng các giá trị f(xi) của một đạilượng thì tổng giá trị của đại lượng đó dĩ nhiên là

∑ni=1 f(xi). Nếu tập hợp D các điểm

đang xét là vô hạn thì hàm f : D → R có khi được gọi là hàm mật độ của đại lượng, vàtổng giá trị của đại lượng là

´D f .

2.4.1 Giá trị trung bình

Nếu tại các điểm xi, 1 ≤ i ≤ n có tương ứng các giá trị f(xi) thì giá trị trung bình tạicác điểm này như ta đã biết là 1

n

∑ni=1 f(xi). Trong trường hợp miền xác định có vô hạn

phần tử, giả sử f : D → R, thì giá trị trung bình của f được cho bằng công thức tươngtự, chỉ thay tổng bằng tích phân: 1

|D|´D f .


Ví dụ 2.4.1. Nhiệt độ tại điểm (x, y) trên mặt phẳng là 50e−x2−y2 (độ Celcius). Hãy tìm

nhiệt độ trung bình trên đĩa tròn đơn vị tâm tại gốc tọa độ.Gọi D là đĩa tròn x2 + y2 ≤ 1. Nhiệt độ trung bình trên D được cho bởi

1

|D|

¨D

50e−x2−y2 dxdy =

1

π

ˆ 1

0

ˆ 2π

050e−r

2r dθ dr

= 50

(1− 1

e

)≈ 31, 6.

2.4.2 Tâm khối lượng

Ta giới thiệu khái niệm tâm khối lượng (center of mass). Trong trường hợp hai chấtđiểm có khối lượng m1 tại điểm p1 và có khối lượng m2 tại điểm p2 thì tâm khối lượngcủa hệ hai điểm này, theo nguyên tắc đòn bẩy của vật lý, nằm tại điểm

m1p1 +m2p2

m1 +m2.

Đối với hệ gồm n chất điểm, bằng qui nạp ta tìm được vị trí của tâm khối lượng là∑ni=1mipi∑ni=1mi

,

với tổng khối lượng là m =∑n

i=1mi.Xét trường hợp khối lượng liên tục, giả sử ta có một khối vật chất chiếm phần không

gian E trong R3. Tại mỗi điểm p = (x, y, z) ∈ R3 gọi ρ(p) là mật độ khối lượng của khốitại p, đó là giới hạn của khối lượng trung bình quanh p, có thể hiểu là khối lượng tại điểmp. Khối lượng của khối chính là tích phân của mật độ khối lượng:

m =

Êρ.

Từ công thức của trường hợp rời rạc ở trên ta suy ra vị trí của tâm khối lượng trongtrường hợp liên tục sẽ là ´

E ρpÉ ρ

=

É ρp

m.

Ở đây tích phân của hàm vectơ được hiểu là vectơ tích phân của từng thành phần. Cụthể hơn, nếu p = (x, y, z) thì tâm khối lượng nằm ở điểm 1

m(É ρx,

É ρy,

É ρz).

Ví dụ 2.4.2. Ta tìm tâm khối lượng của nửa hình tròn đồng chất. Gọi D là nửa trên củahình tròn tâm O bán kính R và gọi hằng số ρ là mật độ khối lượng của nó. Khối lượngcủa khối này là m =

˜D ρ dA = ρπR2/2. Tọa độ của tâm khối lượng là

x =1

m

¨Dρx dxdy = 0,

y =1

m

¨Dρy dxdy =

ρ

m

ˆ R

0

ˆ π

0(r sin θ)r dθ dr =

4

3πR.

2.4.3 Xác suất của sự kiện ngẫu nhiên

Một biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ một tập hợp các sự kiện vào R. Trong trườnghợp tập giá trị D của X là hữu hạn thì ta nói X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Vớimỗi giá trị x ∈ D có một số thực 0 ≤ f(x) ≤ 1 là xác suất để X có giá trị x, kí hiệu là


P (X = x). Hàm f được gọi là hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X. Xác suất đểX có giá trị trong tập C ⊂ D được cho bởi

P (X ∈ C) =∑x∈C

f(x).

Một hệ quả là∑

x∈D f(x) = P (X ∈ D) = 1. Giá trị trung bình (mean) hay kỳ vọng(expected value) theo xác suất của X được cho bởi:

E(X) =∑x∈D

xf(x).

Ví dụ 2.4.3. Xét một trò chơi với con xúc sắc như sau: Người chơi phải trả 20 đồng chomỗi lần tung xúc sắc. Nếu mặt ngửa là mặt 6 nút thì người chơi được nhận 60 đồng, nếulà các mặt còn lại thì chỉ được nhận 10 đồng. Hỏi trong trò chơi này ai được lợi, ngườichơi hay người tổ chức trò chơi?

Gọi X là biến xác suất như sau: Mặt 6 nút của xúc sắc ứng với số thực 60, các mặtcòn lại ứng với số thực 10. Hàm phân bố xác suất trong trường hợp này là f(10) = 5/6và f(60) = 1/6. Câu trả lời cho câu hỏi trên được quyết định bởi giá trị trung bình củabiến xác suất X. Ta có E(X) = 10 · 5

6 + 60 · 16 = 110

6 < 20, như vậy nếu chơi nhiều lần thìngười chơi sẽ bị thiệt, còn người tổ chức trò chơi sẽ hưởng lợi.

Trong trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục, tập giá trị của biến ngẫu nhiên X là mộttập con vô hạn D của R. Tương tự với trường hợp rời rạc, có một hàm phân bố xác suất,hay mật độ xác suất (probability density function) f : D → R sao cho f(x) ≥ 0 và xácsuất để X có giá trị trong tập C ⊂ D được cho bởi

P (X ∈ C) =

ˆCf.

Một hệ quả là hàm mật độ xác suất phải thỏa P (X ∈ D) =´D f = 1.

Trung bình hay kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X được cho bởi:

E(X) =

ˆDxf.

Chú ý sự tương tự của công thức này với công thức của tâm khối lượng.

Ví dụ 2.4.4. Một nhà sản xuất bảo hành một sản phẩm 2 năm. Gọi T là biến xác suấtứng thời điểm hư hỏng của sản phẩm với số thực t ≥ 0 là thời gian từ khi sản phẩm đượcsản xuất theo năm. Giả sử hàm mật độ xác suất được cho bởi f(t) = 0, 1e−0,1t. Xác suấtsản phẩm bị hư trong thời gian bảo hành sẽ là

P (0 ≤ T ≤ 2) =

ˆ 2

00, 1e−0,1t dt ≈ 18%.

Trong trường hợp có n biến ngẫu nhiên thì tập giá trị của biến ngẫu nhiên là một tậpcon của Rn, hàm phân bố xác suất sẽ là một hàm n biến, và các tích phân trên sẽ là tíchphân bội.

Ví dụ 2.4.5. Xét tình huống một chuyến xe buýt thường tới trạm trễ, nhưng không quá10 phút, và đợi ở trạm 5 phút. Hàm mật độ xác suất của giờ xe tới trạm, gọi là X, đượccho bởi f1(x) = −0, 02x + 0, 2, 0 ≤ x ≤ 10. Một người thường đi xe buýt vào giờ nàynhưng hay bị trễ, có khi tới 20 phút. Hàm mật độ xác suất của giờ người này tới trạm,gọi là Y , được cho bởi f2(y) = −0, 005y+ 0, 1, 0 ≤ y ≤ 20. Hỏi xác suất để người này đónđược chuyến xe buýt này là bao nhiêu?


Ở đây có hai biến xác suất độc lập nên hàm phân bố xác suất chung là f(x, y) =f1(x)f2(y). Xác suất cần tìm được cho bởi

P (Y ≤ X + 5) =

¨(x,y)∈R2 | 0≤x≤10, y≤x+5

f(x, y) dxdy

=

ˆ 10

0

ˆ x+5

0f(x, y) dy dx ≈ 65%.

Ví dụ 2.4.6 (Tính´∞−∞ e

−x2 dx). Tích phân´∞−∞ e

−x2 dx rất quan trọng trong môn Xác

suất (xem Bài tập 2.4.9). Ở đây ta sẽ tính nó thông qua tích phân bội.

%e^

-x^2

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Hình 2.4.1: Đường cong e−x2thường được gọi là đường hình chuông.

Gọi B′(R) là hình tròn đóng tâm 0 bán kính R, tức B′(R) = (x, y) | x2 + y2 ≤ R2.Gọi I(R) là hình vuông tâm 0 với chiều dài cạnh 2R, tức I(R) = [−R,R]× [−R,R].

Vì B′(R) ⊂ I(R) ⊂ B′(R√

2) nên¨B′(R)

e−(x2+y2) dA ≤Ï(R)

e−(x2+y2) dA ≤¨B′(R

√2)e−(x2+y2) dA.

Vì¨B′(R)

e−(x2+y2) dA =

¨[0,R]×[0,2π]

re−r2dA = π(1− e−R2

),

nên từ bất đẳng thức trên, lấy giới hạn ta được

limR→∞

Ï(R)

e−(x2+y2) dA = π.

Mặt khác theo công thức Fubini:

Ï(R)

e−(x2+y2) dA =(ˆ R

−Re−x

2dx)·(ˆ R

−Re−y

2dy)

=( ˆ R

−Re−x

2dx)2,

nên

limR→∞

Ï(R)

e−(x2+y2) dA = limR→∞

(ˆ R

−Re−x

2dx)2

=(ˆ ∞−∞

e−x2dx)2.

Vậy ta được công thức nổi tiếng:ˆ ∞−∞

e−x2dx =

√π.


Bài tập

2.4.1. Tính:

(a) Tìm tâm khối lượng của hình chữ nhật đồng chất [−1, 1]× [−2, 2] ⊂ R2.

(b) Tìm tâm khối lượng của vật có hình dạng một miếng mỏng chiếm miền trên mặt phẳng baobởi đường y = 12, 37x2 và đường y = 8, 5 với hàm mật độ khối lượng ρ(x, y) = 103, 6x4y1,2.

(c) Tìm tâm khối lượng của hình trái tim ở Hình 2.3.5.

(d) Tìm tâm khối lượng của hình vỏ ốc ở Hình 2.3.6.

(e) Chứng tỏ tâm khối lượng của một tam giác chính là trọng tâm (giao điểm của ba đườngtrung tuyến) của tam giác.

(f) Tìm tâm khối lượng của một khối đồng chất có dạng hình nón nhọn cân chiều cao là h vàvới đáy là hình tròn bán kính R.

(g) Tìm tâm khối lượng của khối tứ diện đồng chất được bao bởi các mặt x = 0, y = 0, z = 0,xa + y

b + zc = 1 với a, b, c > 0.

2.4.2. Cho D ⊂ R2 là một tập đồng chất, có diện tích, đối xứng qua gốc tọa độ O tức là nếup ∈ D thì −p ∈ D. Hãy tìm tâm khối lượng của D.

2.4.3. Xét một mô hình đơn giản cho cấu trúc hành tinh Trái đất, gồm phần lõi cứng ở gần tâmcó mật độ khối lượng cao và phần ngoài có mật độ khối lượng giảm dần từ trong ra ngoài. Gọi ρ làkhoảng cách từ một điểm tới tâm, thì mật độ khối lượng tại điểm đó được mô hình hóa như sau:

f(ρ) =

13 · 109, 0 ≤ ρ ≤ 1000,13·1012

ρ , 1000 ≤ ρ ≤ 6400,

ở đây đơn vị khối lượng là kg và đơn vị chiều dài là km. Hãy ước lượng khối lượng của Trái đất.

2.4.4. Khu trung tâm thành phố được miêu tả như một hình chữ nhật [0, 1] × [0, 2] với đơnvị chiều dài là km. Giá đất trong khu vực này trong được mô hình hóa bằng hàm p, ở vị trí(x, y) ∈ [0, 1]× [0, 2] thì p(x, y) = 200− 10(x− 1

2 )2 − 15(y− 1)2 (triệu đồng/m2). Hãy tính giá đấttrung bình ở khu vực này.

2.4.5. Giả sử rằng gốc tọa độ ở trung tâm thành phố và mật độ dân số tại điểm có tọa độ (x, y)có mô hình p(x, y) = 2000(x2 + y2)−0,2 người trên km2, hãy tìm số dân trong bán kính 5 km từtrung tâm thành phố.

2.4.6. Một cái bồn có dạng hình hộp với chiều rộng 3 mét, chiều dài 4 mét, chiều cao 5 mét chứađầy nước. Ta cần tính công W – năng lượng cần thiết để bơm hết nước ra khỏi bồn qua mặt trêncủa bồn.

(a) Gọi x là khoảng cách từ một chất điểm trong bồn tới mặt trên của bồn. Giải thích vì saocông để đưa chất điểm này ra khỏi bồn là xρg, với mật độ khối lượng của nước là ρ = 1000kg/m3, hằng số trọng lực là g = 9, 8 m/s2.

(b) Thiết lập công thức W =´ 50xρg · 3 · 4 dx. Tính W .

2.4.7. Kim tự tháp Vua Khufu là kim tự tháp lớn nhất ở Ai Cập, được xây dựng trong khoảngtừ năm 2580 TCN tới 2560 TCN. Đáy của nó là một hình vuông với chiều dài cạnh là 230,4 métvà chiều cao là 146,5 mét.

(a) Hãy ước lượng thể tích của kim tự tháp.

(b) Kim tự tháp được làm bằng đá vôi. Mật độ khối lượng của đá vôi vào khoảng 2400 kg/m3.Hãy ước lượng khối lượng của kim tự tháp.

(c) Hãy ước lượng công xây dựng kim tự tháp này. (Công này ít nhất bằng thế năng trọngtrường của khối kim tự tháp.)


(d) Mỗi người nhận khoảng 2000 kcal năng lượng mỗi ngày từ thức ăn. Giả sử mỗi người dùngđược 20% năng lượng đó để làm việc, 340 ngày một năm, trong 20 năm, thì cần ít nhất baonhiêu người để xây dựng kim tự tháp này? (Giả sử họ không có máy móc, chưa kể nhữngphần khác của công việc và những yếu tố khác, nên đây chỉ là một ước lượng thô.)

2.4.8. Hai công ty sản xuất hai sản phẩm cạnh tranh với nhau. Gọi X, Y là biến xác suất ứngvới thời điểm hư hỏng của hai sản phẩm tính theo thời gian từ khi sản phẩm được sản xuất (theonăm), và giả sử hai biến này là độc lập với nhau. Giả sử các hàm mật độ xác suất được cho bởif(x) = 0, 2e−0,2x và g(y) = 0.1e−0,1y. Hãy tính xác suất sản phẩm của công ty thứ nhất bị hưtrước sản phẩm của công ty thứ hai trong thời gian bảo hành 3 năm.

2.4.9. Chứng tỏ hàm được dùng trong mô hình phân bố chuẩn (normal distribution) của mônXác suất

f(x) =1

σ√

2πe

−(x−µ)2

2σ2

thỏa mãn tính chất cần có của hàm phân bố xác suất:´∞−∞ f(x) dx=1.

2.4.10. Hãy đưa ra một giải thích cho công thức sau, thường được dùng trong xác suất khi có haibiến ngẫu nhiên: ¨

R2

e−(x2+y2) dxdy = π.

Từ đó hãy đưa ra công thức cho mô hình phân bố chuẩn của hai biến ngẫu nhiên.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

2

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

z

%e^(-y^2-x^2)

x

y

z

Hình 2.4.2: Hàm e−(x2+y2).

2.4.11 (hàm Gamma). Hàm Gamma là một mở rộng của hàm giai thừa lên tập hợp các số thực.Ta định nghĩa

Γ(z) =

ˆ ∞0

tz−1e−t dt, z ∈ R, z > 0.

(a) Chứng tỏ Γ(z) được xác định.

(b) Kiểm tra rằng Γ(z + 1) = zΓ(z). Suy ra với số nguyên dương n thì Γ(n+ 1) = n!.

(c) Kiểm tra công thức Γ( 12 ) =

√π.

2.4.12 (công thức Pappus). Hãy tìm lại công thức của Pappus6: Thể tích của khối tròn xoaynhận được bằng cách xoay một miền phẳng quanh một trục bên ngoài bằng diện tích của miềnnhân với chiều dài của đường đi của tâm khối lượng của miền.

Cụ thể hơn, gọi D là miền bao bởi hai đồ thị của hai hàm f và g trên đoạn [a, b], với 0 ≤g(x) ≤ f(x) trên [a, b]. Gọi (x0, y0) là tâm khối lượng của D. Khi đó thể tích của khối tròn xoaynhận được bằng cách xoay miền D quanh trục x bằng 2πy0|D|.

Ứng dụng, hãy tìm lại công thức thể tích của khối xuyến.

6Pappus xứ Alexandria, một nhà hình học sống vào thể kỉ thứ 4 sau Công nguyên.

Chương 3

Giải tích vectơ

Trong chương trước chúng ta đã khảo sát thể tích của miền trong không gian n-chiềuvà tích phân trên những miền đó. Tuy nhiên những câu hỏi chẳng hạn như về chu vi củađường tròn, diện tích của mặt cầu, hay nói chung là độ đo của tập con “k-chiều” trongkhông gian n-chiều với k < n và tích phân trên đó thì chúng ta chưa xét. Chương này sẽtrả lời những câu hỏi này cho trường hợp đường (k = 1) và mặt (k = 2).

Chương này cũng giới thiệu các quan hệ giữa phép tính vi phân và phép tính tíchphân của hàm nhiều biến thông qua phép tính tích phân đường, phép tính tích phân mặt,và các công thức liên hệ chúng, như các công thức Green, công thức Stokes, công thứcGauss–Ostrogradsky.

3.1 Tích phân đường

3.1.1 Chiều dài của đường đi

Khi nói tới một “đường” ta thường nghĩ tới một “con đường”, tức là một tập hợp điểm,ví dụ một đường thẳng hay một đường tròn. Mục đích của chúng ta trong mục này làthực hiện các đo đạc trên đường, chẳng hạn như đo chiều dài của đường. Các đo đạc đósẽ được thực hiện qua một chuyến đi trên con đường. Tuy nhiên ta có thể đi trên một conđường theo nhiều cách khác nhau, và ta chưa có căn cứ để cho rằng các đo đạc bằng cáccách đi khác nhau trên cùng một con đường sẽ cho ra cùng một kết quả. Do đó trước mắtchúng ta sẽ làm việc với từng cách đi cụ thể mà ta gọi là đường đi.

Một đường đi (path) là một ánh xạ từ một khoảng đóng [a, b] vào Rn (một tương ứngmỗi thời điểm với một vị trí).

Tập hợp các điểm mà đường đi đã đi qua được gọi là vết của đường đi (đây là“con đường” như đã bàn ở trên). Với đường đi r : [a, b] → Rn thì vết của r tập ảnhr([a, b]) = r(t) | t ∈ [a, b].

Đường đi r : [a, b]→ Rn được gọi là:

• đóng hay kín nếu r(a) = r(b), tức là điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

• đơn nếu nó không đi qua điểm nào hai lần (không có điểm tự cắt). Chính xác hơn,nếu r không phải là đường đóng thì nó được gọi là đơn nếu r là đơn ánh trên [a, b];nếu r là đường đóng thì nó được gọi là đơn nếu r là đơn ánh trên [a, b).

• liên tục nếu r là hàm liên tục trên [a, b].

61

62 CHƯƠNG 3. GIẢI TÍCH VECTƠ

Đường cong đơn,không kín

Đường cong đơn, kínĐường cong kín,không đơn

Đường cong khôngđơn, không kín

Đường đi r : [a, b] → Rn được gọi là trơn nếu r là hàm trơn trên [a, b], nghĩa là nếur mở rộng được thành một hàm trơn trên một khoảng (c, d) chứa [a, b]. Điều này đồngnghĩa với việc r có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b.

Nếu r là một đường đi trơn thì đạo hàm r′(t) có ý nghĩa vật lý là vận tốc chuyểnđộng (velocity) tại thời điểm t. Độ lớn của vận tốc |r′(t)| là tốc độ (speed) tại thời điểmt.

Cho đường đi r : [a, b] → Rn. Xét một phép chia a = t0 < t1 < · · · < tm = bcủa [a, b]. Trên mỗi khoảng con [ti−1, ti], 1 ≤ i ≤ m, ta xấp xỉ tuyến tính đường đi:r(t)− r(ti−1) ≈ r′(ti−1)(t− ti−1). Nói cách khác, ta xấp xỉ chuyển động bằng một chuyểnđộng đều với vận tốc không đổi r′(ti−1). Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từti−1 tới ti được xấp xỉ bởi vectơ r′(ti−1)∆ti, với chiều dài là |r′(ti−1)∆ti|.

r(ti−1)

r(ti)r′(ti−1)∆ti

Hình 3.1.1: Xấp xỉ tuyến tính: r(ti)− r(ti−1) ≈ r′(ti−1)∆ti.

Như vậy “chiều dài” của đường đi được xấp xỉ bởi∑m

i=1|r′(ti−1)|∆ti. Đây chính là tổngRiemann của hàm |r′(t)| trên khoảng [a, b].

Vậy ta đưa ra định nghĩa sau:

Định nghĩa 3.1.1. Chiều dài của đường đi r : [a, b]→ Rn được định nghĩa là

ˆ b

a|r′(t)| dt.

Định nghĩa này chứa công thức đã quen biết: quãng đường đi được = tốc độ × thờigian.

Ví dụ 3.1.2. Giả sử một vật di chuyển trên một đường với tốc độ hằng v, trong khoảngthời gian từ a tới b. Khi đó quãng đường vật đã đi được có chiều dài là

´ ba v dt = v(b− a),

đúng như ta chờ đợi.

Một ý tưởng khác để đưa ra định nghĩa độ dài đường là lấy giới hạn tổng độ dài cácđoạn thẳng gấp khúc nối các điểm liên tiếp trên đường cong, khi số điểm dần đến vô hạn(Hình 3.1.2). Cách tiếp cận này cũng cho ra kết quả tương tự như trên.

3.1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 63

Hình 3.1.2:

3.1.2 Tích phân đường loại một

Cho đường đi r : [a, b]→ Rn. Giả sử f là một hàm thực xác định trên vết của đường,tức f : r([a, b])→ R. Ta muốn tính tổng giá trị của hàm trên đường.

Ta làm một cách tương tự như đã làm khi định nghĩa chiều dài đường đi. Xét mộtphép chia a = t0 < t1 < · · · < tm = b. Trên khoảng con [ti−1, ti] ta xấp xỉ tuyến tínhđường đi r(t) − r(ti−1) ≈ r′(ti−1)(t − ti−1). Khi đó phần đường từ r(ti−1) đến r(ti) đượcxấp xỉ bằng r′(ti−1)∆ti. Trên phần đường này ta xấp xỉ hàm f bởi hàm hằng với giá trịf(r(ti−1)). Do đó tổng giá trị của f trên phần đường từ r(ti−1) đến r(ti) được xấp xỉ bằngf(r(ti−1))|r′(ti−1)|∆ti. Tổng giá trị của f trên đường r được xấp xỉ bằng

m∑i=1

f(r(ti−1))|r′(ti−1)|∆ti.

Vậy ta định nghĩa:

Định nghĩa 3.1.3. Cho f là một hàm xác định trên vết của đường r : [a, b]→ Rn. Tíchphân của f trên r được kí hiệu là

´r f ds và được định nghĩa là:

ˆrf ds =

ˆ b

af(r(t))|r′(t)| dt.

Để có tích phân thì đường đi phải khả vi. Nếu đường đi chỉ khả vi từng khúc, tứclà có các số a = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = b sao cho trên mỗi khoảng [ti−1, ti] ánh xạ r làkhả vi, thì gọi ri là hạn chế của đường r lên khoảng [ti−1, ti], ta định nghĩa.

ˆrf ds =

m∑i=1

ˆri

f ds.

Ví dụ 3.1.4. Nếu f ≡ 1 thì´r 1 ds =

´ ba |r′(t)| dt là chiều dài của đường đi r.

Ví dụ 3.1.5. Xét trường hợp hai chiều, n = 2. Viết r(t) = (x(t), y(t)), khi đóˆrf ds =

ˆ b

af((x(t), y(t))

√x′(t)2 + y′(t)2 dt.

Một cách hình thức có thể nhớ rằng

ds =√x′(t)2 + y′(t)2 dt.


Hình 3.1.3: Đường khả vi từng khúc.

3.1.3 Tích phân đường loại hai

Một trường vectơ là một tương ứng mỗi điểm với một vectơ. Chính xác hơn, mộttrường vectơ trên tập D ⊂ Rn là một ánh xạ F : D → Rn. Đôi khi để nhấn mạnh hoặcđể dùng kí hiệu thường có trong vật lý ta để thêm mũi tên trên kí hiệu trường, viết là ~F .

Cho đường đi r : [a, b]→ Rn và cho F là một trường vectơ xác định trên vết của r. Tamuốn tính tổng thành phần của trường cùng chiều đường đi.

Ví dụ 3.1.6. Trong vật lý, nếu một vật di chuyển theo một đường dưới tác động củamột trường lực thì tổng tác động của lực, tức tổng thành phần của lực cùng chiều chuyểnđộng, được gọi là công (work) của trường lực. Trong trường hợp đơn giản, nếu lực là hằng~F và vật chuyển động đều trên một đường thẳng theo một vectơ ~s thì công của lực bằng|~F | cos(~F ,~s)|~s| = ~F · ~s.

Xét một phép chia a = t0 < t1 < · · · < tm = b của [a, b]. Trên mỗi khoảng con [ti−1, ti],1 ≤ i ≤ m, ta xấp xỉ đường bằng xấp xỉ tuyến tính: r(t) ≈ r′(ti−1)(t− ti−1). Khi đó phầnđường từ r(ti−1) đến r(ti) được xấp xỉ bằng r′(ti−1)∆ti. Trên phần đường này trường Fcó thể được xấp xỉ bằng trường hằng, đại diện bởi vectơ F (r(ti−1)). Tổng của thành phầncùng chiều đường đi của trường F trên phần đường từ r(ti−1) đến r(ti) được xấp xỉ bằngF (r(ti−1)) · r′(ti−1)∆ti. Tổng thành phần tiếp tuyến của F dọc theo r được xấp xỉ bằng∑m

i=1 F (r(ti−1)) · r′(ti−1)∆ti.

Vậy ta định nghĩa:

Định nghĩa 3.1.7. Cho F là một trường vectơ trên vết của một đường đi r : [a, b]→ Rn.Tích phân của F trên r được kí hiệu là

´r F · d~s và được định nghĩa là:

ˆrF · d~s =

ˆ b

aF (r(t)) · r′(t) dt.

Định nghĩa này được mở rộng cho đường khả vi từng khúc theo cách như tích phânđường loại một.

Ghi chú 3.1.8. Có một số cách kí hiệu khác cho tích phân đường loại hai, chẳng hạn´r F · d~r,

´r F · d~l.

Ví dụ 3.1.9. Xét trường hợp hai chiều, n = 2. Viết F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) vàr(t) = (x(t), y(t)). Khi đó

ˆrF · d~s =

ˆ b

a[P (x(t), y(t))x′(t) +Q(x(t), y(t))y′(t)] dt.


Ta đưa ra hai tích phân mới:

ˆrP (x, y) dx =

ˆ b

aP (x(t), y(t))x′(t) dt.

ˆrQ(x, y) dy =

ˆ b

aQ(x(t), y(t))y′(t) dt.

Người ta thường viết ˆrF · d~s =

ˆrP (x, y) dx+Q(x, y) dy.

Một cách hình thức có thể nhớ rằng

d~s = r′(t) dt, dx = x′(t) dt, dy = y′(t) dt.

3.1.4 Sự phụ thuộc vào đường đi

Như đã bàn ở đầu chương, ta rất quan tâm tới việc các kết quả đo đạc có thay đổi haykhông nếu ta đi theo những đường đi khác nhau trên cùng một con đường.

Cho ϕ : [c, d] → [a, b] là một phép đổi biến. Nếu ϕ′(t) > 0 với mọi t ∈ [c, d] thì ta nóiϕ bảo toàn định hướng. Nếu ϕ′(t) < 0 với mọi t ∈ [c, d] thì ta nói ϕ đảo ngược địnhhướng.

Nếu r : [a, b] → Rn là một đường đi thì r ϕ là một đường đi cùng vết với r. Ta nóir ϕ và r sai khác một phép đổi biến. Ta có kết quả đơn giản sau đây về sự bất biến củatích phân đường qua một phép đổi biến.

Định lý 3.1.10 (đổi biến trong tích phân đường). (a) Tích phân đường loại mộtkhông thay đổi qua phép đổi biến.

(b) Tích phân đường loại hai không thay đổi qua phép đổi biến bảo toàn định hướng vàđổi dấu qua phép đổi biến đảo ngược định hướng.

Chứng minh. Cho f là một hàm thực và F là một trường vectơ xác định trên vết củađường r : [a, b] → Rn. Cho ϕ : [c, d] → [a, b] là một phép đổi biến. Ta xét trường hợp ϕđảo ngược định hướng, trường hợp còn lại là tương tự. Theo công thức đổi biến của tíchphân bội, với phép đổi biến u = ϕ(t) thì

ˆrf ds =

ˆ b

af(r(u))|r′(u)| du =

ˆ d

cf(r(ϕ(t)))|r′(ϕ(t))||ϕ′(t)| dt

=

ˆ d

cf(r(ϕ(t)))|r′(ϕ(t))ϕ′(t)| dt

=

ˆ d

cf(r ϕ(t))|(r ϕ)′(t)| dt

=

ˆrϕ

f ds.

Trong khi đó


ˆrF · d~s =

ˆ b

aF (r(u)) · r′(u) du =

ˆ d

c[F (r(ϕ(t))) · r′(ϕ(t))]|ϕ′(t)| dt

= −ˆ d

c[F (r(ϕ(t))) · r′(ϕ(t))]ϕ′(t) dt

= −ˆ d

cF (r ϕ(t)) · (r ϕ)′(t) dt

= −ˆrϕ

F · d~s.

Ví dụ 3.1.11. Cả hai loại tích phân đường không thay đổi dưới một phép tịnh tiến củabiến thời gian t 7→ t+ c với c ∈ R.

Ví dụ 3.1.12. Với đường đi r(t), t ∈ [a, b] thì đường r(a+ b− t), t ∈ [a, b], khởi đầu ở r(b)và kết thúc ở r(a), được gọi là đường ngược của đường r, kí hiệu là −r. Ta nói đường−r trái chiều với đường r. Định lý 3.1.10 nói nếu đảo ngược định hướng của đườngthì tích phân đường loại một không thay đổi trong khi đó tích phân đường loạihai bị đổi dấu.

Đường đi r : [a, b]→ Rn được gọi là chính qui (regular) nếu r trơn trên [a, b] và vậntốc r′(t) luôn khác không.

Ghi chú 3.1.13. Trong quyển sách của Stewart [Ste12] thuật ngữ đường trơn chính làthuật ngữ đường chính qui ở đây.

α β

C

a

b c

d

β−1 α

Người ta có thể chứng tỏ hai đường đi đơn chính qui với cùng vết khác biệt bởi mộtphép đổi biến (xem [Vugt3]). Từ đó ta nói hai đường đi đơn chính qui có cùng vết là cócùng định hướng nếu chúng sai khác một phép đổi biến bảo toàn định hướng, và ngượclại nếu phép đổi biến là đảo ngược định hướng thì ta nói hai đường là trái định hướng.

Ta có kết quả chính của phần này ([Vugt3]):

Định lý 3.1.14 (tích phân trên đường cong). (a) Tích phân đường loại một dọctheo hai đường đi đơn chính qui có cùng vết thì bằng nhau.

(b) Tích phân đường loại hai dọc theo hai đường đi đơn chính qui có cùng vết thì bằngnhau nếu cùng định hướng và đối nhau nếu trái định hướng.

Như vậy ta có thể nói đến tích phân đường loại một (chẳng hạn chiều dài) trên mộttập điểm, ví dụ như một đường tròn, một đồ thị, . . . nếu tập điểm ấy là vết của mộtđường đi đơn chính qui nào đó. Trong trường hợp này ta nói vết đó là một đường cong(curve).

Để tính tích phân trên một đường cong ta có thể chọn một đường đi đơn chính quibất kì để thực hiện tính toán. Đối với tích phân đường loại hai thì ta được cho thêm một


“định hướng” trên đường cong và ta có thể chọn một đường đi đơn chính qui có cùng địnhhướng bất kì để tính.

Ví dụ 3.1.15. Giả sử hàm thực f xác định trên khoảng [a, b]. Gọi γ là một đường chínhqui bất kì đi từ a tới b. Vì khoảng [a, b] cũng là vết của đường đơn chính qui α(t) = t vớit ∈ [a, b] nên ˆ

γf ds =

ˆαf ds =

ˆ b

af(α(t))α′(t) dt =

ˆ b

af(t) dt.

Đây chính là tích phân của hàm f trên khoảng [a, b]. Vậy tích phân của hàm thực trênkhoảng là một trường hợp riêng của tích phân đường loại một.

Ví dụ 3.1.16 (chiều dài của đường tròn). Xét đường đi r(t) = (R cos t, R sin t), 0 ≤ t ≤2π, một đường đi với tốc độ hằng quanh đường tròn tâmO bán kínhR. Chiều dài của đườngnày là

´ 2π0 R dt = 2πR. Nếu ta lấy một đường đi khác α(t) = (R cos(2πt), R sin(2πt)),

0 ≤ t ≤ 1, thì chiều dài của đường này là´ 1

0 2πR dt = 2πR.

Bây giờ ta có thể nói chiều dài của đường tròn bằng 2πR, không phụ thuộc vào cáchchọn một tham số hóa đơn chính qui để tính. (Chúng ta không nói là đã tìm ra công thứcchiều dài của đường tròn, vì khi đưa ra tham số hóa chúng ta đã thừa nhận những tínhchất nhất định về đường tròn, trong đó có thừa nhận số π, góc t, hàm cos và hàm sin.)

Ví dụ 3.1.17. Cho trường ~F (x, y) = (2y,−3x) và C là đường cong y = x2, 0 ≤ x ≤ 1,định hướng từ (0, 0) tới (1, 1). Hãy tính I =

Ć~F · d~s.

Ta cần đưa ra một tham số hóa cho đường cong C. Vì C là một đồ thị, ta có ngaytham số hóa C1(x) = (x, x2), 0 ≤ x ≤ 1. Ta cũng có thể dùng các tham số hóa khác nhưC2(y) = (

√y, y), 0 ≤ y ≤ 1, hoặc C3(t) = (ln t, ln2 t), 1 ≤ t ≤ e. Đây đều là các đường đi

đơn, chính qui với vết C, theo định hướng đã cho. Với C1:

ˆC1

~F · d~s =

ˆ 1

0

~F (C1(x)) · C ′1(x) dx =

ˆ 1

0(2x2,−3x) · (1, 2x) dx = −4

3.

Với C2:

ˆC2

~F · d~s =

ˆ 1

0

~F (C2(y)) · C ′2(y) dy =

ˆ 1

0(2y,−3

√y) ·

(1

2√y, 1

)dy = −4

3.

Với C3:ˆC3

~F · d~s =

ˆ e

1

~F (C3(t)) · C ′3(t) dt =

ˆ e

1(2 ln2 t,−3 ln t) ·

(1

t,2 ln t

t

)dt

=

ˆ e

1−4

ln2 t

tdt = −4

3ln3 t|e1 = −4

3.

3.1.5 Liên hệ giữa hai loại tích phân đường

Ta đưa ra định nghĩa hướng tiếp tuyến của đường cong được định hướng C, vếtcủa một đường đi đơn chính qui r(t) theo hướng đã định, a ≤ t ≤ b, tại điểm p = r(t),a < t < b, là hướng của vectơ vận tốc r′(t). Hướng này không phụ thuộc vào cách chọnđường đi đơn chính qui trên đó. Vì vậy việc định hướng cho đường cong đồng nghĩa vớiviệc chọn hướng tiếp tuyến.

Tại điểm p = r(t) vectơ tiếp tuyến cùng chiều đơn vị được định nghĩa, đó làT (p) = r′(t)

|r′(t)| , không phụ thuộc vào cách chọn đường đi r theo định hướng của C.


Nếu F là một trường vectơ trên C thì

ˆCF · d~s =

ˆ b

aF (r(t)) · r′(t) dt =

ˆ b

a

[F (r(t)) · r

′(t)

|r′(t)|

]|r′(t)| dt

=

ˆ b

a[F (r(t)) · T (r(t))] |r′(t)| dt =

ˆCF · T ds.

Vậy trong trường hợp này tích phân đường loại hai có thể được biểu diễn qua tíchphân đường loại một. Biểu thức trên cũng khẳng định lại ý nghĩa của tích phân loại hai,đó là tổng thành phần tiếp tuyến của trường dọc theo đường.

Bài tập

3.1.1. Tính:

(a) Chiều dài của đường r(t) = (2√

2t, e−2t, e2t), 0 ≤ t ≤ 1.

(b) Tìm khối lượng của sợi dây hình parabol y = x2, 1 ≤ x ≤ 2, với mật độ khối lượngρ(x, y) = y/x.

(c)Ć

sin z2dx+ exdy + eydz, với C là đường (2, t, et), 0 ≤ t ≤ 1.

(d)Ć~F · d~r, với ~F (x, y, z) = (sin z, z,−xy) và C là đường (cos θ, sin θ, θ), 0 ≤ θ ≤ 9π/4.

(e) Tìm công của trường ~F (x, y, z) = (y − x2, z2 + x, yz) trên đường (t, t2, t3), 0 ≤ t ≤ 1.

3.1.2. Cho trường F (x, y) =(

2xyex2y, x2ex

2y). Tính tích phân đường của trường này dọc theo

một đường đi từ điểm (0, 0) tới điểm (1, 1) bằng các cách sau:

(a) dùng đường thẳng,

(b) dùng đường gấp khúc,

(c) dùng đường khác.

3.1.3. (a) Một vật di chuyển trong trường trọng lực của Quả đất từ một điểm có cao độ 100mét đến một điểm có cao độ 200 mét. Hỏi công của trọng lực là âm, bằng không, hay dương?

(b) Cho C là một đường và n là vectơ pháp tuyến. HỏiĆn · d~s là âm, bằng không, hay dương?

3.1.4. Phân tử DNA trong không gian ba chiều có hình dạng đường xoắn ốc kép, mỗi đường cóthể được mô hình hóa bởi đường (R sin t, R cos t, ht) (hãy vẽ đường này). Bán kính của mỗi đườngxoắn ốc khoảng 10 angstrom (1 angstrom = 10−8 cm). Mỗi đường xoắn ốc xoắn lên khoảng 34angstrom sau mỗi vòng xoay. Hãy ước tính chiều dài của mỗi vòng xoay của phân tử DNA.

3.1.5. Một sợi dây với hai đầu cố định dưới tác động của trọng trường sẽ có hình dạng mộtđường xích (catenary) với phương trình y = a cosh

(xa

), với cosh là hàm hyperbolic cosine cho bởi

coshx = (ex + e−x)/2.Đài tưởng niệm Gateway Arch ở Saint Louis nước Mỹ có dạng một đường xích đảo ngược. Vị

trí điểm tâm hình học (cũng là tâm khối lượng của mặt cắt vuông góc) (centroid) của cổng đượcthiết kế theo công thức y = 693, 8597− 68, 7672 cosh 0, 0100333x với y là khoảng cách tới mặt đấtvà −299, 2239 ≤ x ≤ 299, 2239, đơn vị đo là feet. Hãy tính chiều dài của đường tâm hình học.

3.1.6. Cầu Akashi-Kaikyo ở Nhật Bản hiện là một trong những cây cầu treo dài nhất thế giới.Hai tháp cao 297m tính từ mặt biển. Chiều dài nhịp chính (khoảng cách giữa hai tháp) là 1991m.Mỗi sợi cáp chính có dạng một đường parabola. Điểm thấp nhất của sợi cáp chính cách mặt biểnkhoảng 97m. Hãy tính chiều dài của một sợi cáp chính, bằng tính chính xác hoặc tính xấp xỉ.

3.1.7. Khi nào thì chiều dài của một đường đi bằng 0?

3.2. CÔNG THỨC NEWTON–LEIBNIZ VÀ CÔNG THỨC GREEN 69

3.1.8. Cho đường đi chính qui r : [a, b]→ Rn. Đặt

s(t) =

ˆ t

a

|r′(u)| du.

Hàm s được gọi là hàm chiều dài của r. Đặt chiều dài của r là l = s(b).

(a) Chứng tỏ hàm s(t) có hàm ngược trơn. Gọi hàm đó là t(s), 0 ≤ s ≤ l.

(b) Kiểm tra rằng đường α(s) = r(t(s)) có cùng vết với đường r. Chứng tỏ tốc độ của α luôn là1.

Việc thay r bởi α được gọi là tham số hóa lại theo chiều dài. Chú ý rằng dsdt (t) = |r′(t)|. Điều

này thường được viết dưới dạng kí hiệu là ds = |r′(t)|dt.

3.2 Công thức Newton–Leibniz và Công thứcGreen

3.2.1 Trường bảo toàn

Định nghĩa 3.2.1. Một trường vectơ F được gọi là bảo toàn nếu có hàm số thực f , gọilà một hàm thế của F , sao cho ∇f = F .

Vectơ ∇f(x) đại diện cho đạo hàm f ′(x), vì thế ta có thể hiểu là f ′ = F : hàm thế fchính là một nguyên hàm của hàm F .

Một trường bảo toàn còn được gọi là một trường gradient.

Ví dụ 3.2.2 (trường hằng). Giả sử c ∈ Rn và F là trường trên Rn cho bởi F (x) = c.Một nguyên hàm của F là f(x) = c · x, vậy F là bảo toàn.

Định lý 3.2.3 (công thức Newton–Leibniz). Giả sử r là một đường đi trơn bắt đầu ởA và kết thúc ở B. Cho f là một hàm thực trơn trên một tập mở chứa vết của r. Khi đó:

ˆr∇f · d~s = f(B)− f(A).

Định lý trên có một hệ quả là tích phân´r∇f · d~s không phụ thuộc vào sự lựa chọn

đường đi r từ điểm A tới điểm B. Ta nói tích phân này là độc lập với đường đi.Công thức trên có thể được hiểu như:

ˆ B

Af ′ = f(B)− f(A).

Đây là dạng tổng quát hóa của công thức Newton–Leibniz của hàm một biến vốn đượcthường gọi là Định lý cơ bản của Vi Tích phân, vì vậy công thức này cũng được gọi làĐịnh lý cơ bản của tích phân đường.

Chứng minh. Giả sử r : [a, b] → Rn, r(a) = A và r(b) = B. Khi đó theo công thứcNewton–Leibniz của hàm một biến:

ˆr∇f · d~s =

ˆ b

a∇f(r(t)) · r′(t) dt =

ˆ b

a

d

dt(f r)(t) dt = f r(b)− f r(a).


Hệ quả 3.2.4 (tích phân của trường bảo toàn chỉ phụ thuộc vào điểm đầu vàđiểm cuối của đường đi). Nếu F là một trường bảo toàn liên tục trên miền D thì tíchphân của F trên một đường đi trơn trong D chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối củađường đi.

Hệ quả 3.2.5 (tích phân của trường bảo toàn trên đường đi kín bằng không).Nếu F là một trường bảo toàn liên tục trên miền D thì tích phân của F trên một đườngđi trơn kín trong D bằng không.

Những kết quả trong phần trên có thể được mở rộng cho các đường trơn từng khúc.

Ví dụ 3.2.6. Tính tính phânĆ ydx + (x + 6y)dy trong đó C là một đường đi từ (1, 0)

tới (2, 1).Ta tìm một hàm thế cho trường (y, x+ 6y). Ta giải hệ phương trình đạo hàm riêng để

tìm nguyên hàm: ∂f∂x (x, y) = y∂f∂y (x, y) = x+ 6y.

Từ phương trình thứ nhất ta được f(x, y) =ý dx = xy +D(y). Thay vào phương trình

thứ hai ta được D′(y) = 6y, suy ra D(y) =´

6y dy = 3y2 +E. Vậy ta tìm được một hàmthế là f(x, y) = xy + 3y2. Suy ra tích phân đã cho bằng f(2, 1)− f(1, 0) = 5.

Ví dụ 3.2.7. Dự đoán trường vectơ trong hình sau có bảo toàn quanh điểm giữa haykhông?

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

Lấy một đường kín quanh điểm giữa, chẳng hạn một đường tròn hay đường vuông, tathấy tích phân của trường dọc theo đường đó bằng 0. Do đó ta dự đoán trường trong hìnhlà bảo toàn.

3.2.2 Ý nghĩa vật lý của khái niệm trường bảo toàn

Ví dụ 3.2.8. Xét vật có khối lượng m ở trong không gian gần bề mặt quả đất. Ta xấpxỉ bằng cách giả sử trọng trường không đổi trong phần không gian này. Nếu ta đặt trụcz vuông góc với mặt đất, chỉ ra ngoài, và gốc tọa độ trên mặt đất thì trọng lực tác độnglên vật là ~F = −mg~k = (0, 0,−mg) trong đó g ≈ 9, 8 m/s2 là hằng số trọng trường gầnmặt đất. Ta tìm được hàm thế của trường này có dạng f(z) = −mgz + C. Trong vật lýta thường cho thế năng của vật ở trên mặt đất là dương, còn thế năng tại mặt đất bằng0, do đó thế năng của vật được cho bởi hàm U(z) = mgz. Như vậy hàm thế trong vật lýlà đối của hàm thế trong toán.

Ví dụ 3.2.9 (trường trọng lực). Chính xác hơn, giả sử một vật có khối lượng M nằmở gốc tọa độ trong R3, và một vật có khối lượng m nằm ở điểm ~r = (x, y, z), theo cơ học


Newton, vật có khối lượng m sẽ chịu tác động của lực hấp dẫn từ vật có khối lượng Mbằng

F (~r) = −mMG

|~r|3~r.

Ta tìm một nguyên hàm cho F bằng cách giải hệ phương trình∂f∂x (x, y, z) = −mMG x

(x2+y2+z2)3/2

∂f∂y (x, y, z) = −mMG y

(x2+y2+z2)3/2

∂f∂z (x, y, z) = −mMG z

(x2+y2+z2)3/2.

Từ phương trình thứ nhất, lấy tích phân theo x ta được

f(x, y, z) =

ˆ−mMG

x

(x2 + y2 + z2)3/2dx =

mMG

(x2 + y2 + z2)1/2+ C(y, z).

Thay vào hai phương trình còn lại, ta được C(y, z) thực sự chỉ là một hằng số C. Vậytrường trọng lực là một trường bảo toàn với một hàm thế là f(~r) = mMG

|~r| .

Giả sử một vật di chuyển dưới tác dụng của tổng lực F . Giả sử trường F là bảo toàn vớif là một hàm thế. Giả sử vị trí của vật ở thời điểm t là r(t). Giả sử r(t0) = x0 và r(t1) = x1.Ta định nghĩa động năng (năng lượng từ chuyển động) của vật là K(t) = 1

2m|r′(t)|2; và

thế năng (năng lượng từ vị trí) của vật là U(x) = −f(x).Theo định lý cơ bản của tích phân đường:

ˆ x1

x0

F · d~s = f(x1)− f(x0) = −(U(x1)− U(x0)).

Vậy công của trường bằng đối của biến thiên thế năng. Mặt khác theo cơ học Newton:F = ma = mr′′. Do đó:

ˆ x1

x0

F · d~s =

ˆ t1

t0

F (r(t)) · r′(t) dt =

ˆ t1

t0

mr′′(t) · r′(t) dt.

Bây giờ chú ý hệ thức (xem Bài tập 1.4.5) (r′ · r′)′ = r′′ · r′ + r′ · r′′ = 2r′′ · r′, hayr′′ · r′ = 1

2(|r′|2)′, ta biến đổi

ˆ x1

x0

F · d~s =

ˆ t1

t0

m1

2(|r′(t)|2)′ dt

=1

2m|r′(t1)|2 − 1

2m|r′(t0)|2 = K(t1)−K(t0).

Vậy công của trường bằng biến thiên động năng. Ta kết luận K(t) + U(r(t)) không đổi,vậy tổng động năng và thế năng, tức năng lượng cơ học, được bảo toàn trongquá trình chuyển động trong trường bảo toàn.

3.2.3 Công thức Green

Trong phần này ta chỉ làm việc trên trên mặt phẳng Euclid hai chiều R2.Giả sử D là một miền đơn giản có biên trơn từng khúc trên R2. Cụ thể, như là một

miền đơn giản theo chiều thẳng đứng, D có dạng D = (x, y) | a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)trong đó f(x) và g(x) là hàm trơn, trong khi đó theo chiều nằm ngang thì D = (x, y) | c ≤y ≤ d, h(y) ≤ x ≤ k(y) trong đó h(y) và k(y) là hàm trơn.


a b

y = f(x)

y = g(x)

c

d

x = h(y) x = k(y)

y

x

Biên của D phải được định hướng tương thích với D. Miêu tả trực quan là: biênđược định hướng sao cho khi đi trên biên thì miền nằm bên tay trái; hoặc: đặt bàn tayphải theo hướng của biên thì miền nằm ở phía lòng bàn tay. Chính xác như sau: ∂D đượcđịnh hướng cùng chiều với định hướng của các đường đi γ1(x) = (x, f(x)), a ≤ x ≤ b vàđường −γ2 với γ2(x) = (x, g(x)), a ≤ x ≤ b. Có thể kiểm tra được rằng đây cũng là địnhhướng của đường −γ3 với γ3(y) = (h(y), y), c ≤ y ≤ d và đường γ4 với γ4(y) = (k(y), y),c ≤ y ≤ d.

Định lý 3.2.10 (công thức Green). Cho D là một miền đơn giản với biên trơn từngkhúc được định hướng tương thích. Giả sử (P,Q) là một trường vectơ trơn trên một tậpmở chứa D. Khi đó:

ˆ∂D

P dx+Q dy =

¨D

[∂Q

∂x− ∂P

∂y

]dxdy.

Chứng minh. Ta có:

ˆ∂D

P dx =

ˆγ1

P dx+

ˆγ2

P dx−ˆγ3

P dx−ˆγ4

P dx

=

ˆ b

aP (x, f(x)) dx−

ˆ b

aP (x, g(x)) dx.

Xem D là miền đơn giản theo chiều thẳng đứng, do các đạo hàm riêng của trường là liêntục trên D nên ta có

¨D−∂P∂y

dA = −ˆ b

a

(ˆ g(x)

f(x)

∂P

∂ydy

)dx

=

ˆ b

a[P (x, f(x))− P (x, g(x))] dx.

Vậy ˆ∂D

P dx =

¨D−∂P∂y

dA.

Tương tự, xem D là miền đơn giản theo chiều nằm ngang, ta đượcˆ∂D

Q dy =

¨D

∂Q

∂xdA.

Cộng lại ta được kết quả.


Đối với một miền không đơn giản nhưng có thể được phân chia thành một hội củahữu hạn những miền đơn giản với những phần chung chỉ nằm trên biên, ta có thể áp dụngcông thức Green cho từng miền đơn giản rồi cộng lại.

Ví dụ 3.2.11. Công thức Green vẫn đúng cho miền D = (x, y) | 1 ≤ x2 +y2 ≤ 2, y ≥ 0,mặc dù miền này không phải là một miền đơn giản.

C4

C1

C5

C6

C2

C3

D2

D

C7

D1

Chia D thành hội của hai miền đơn giản D1 và D2 được miêu tả trong hình vẽ. Chúý rằng khi được định hướng dương ứng với D2 thì đường C7 được định hướng ngược lại,trở thành −C7, do đó hai tích phân đường tương ứng triệt tiêu. Áp dụng công thức Greencho D1 và D2 ta được:

¨D

[∂Q

∂x− ∂P

∂y

]dA =

¨D1

[∂Q

∂x− ∂P

∂y

]dA+

¨D2

[∂Q

∂x− ∂P

∂y

]dA

=

ˆ∂D1

F · d~s+

ˆ∂D2

F · d~s

=

(ˆC1

F · d~s+

ˆC7

F · d~s+

ˆC5

F · d~s+

ˆC6

F · d~s)

+

+

(ˆC2

F · d~s+

ˆC3

F · d~s+

ˆC4

F · d~s+

ˆ−C7

F · d~s)

=

ˆC1

F · d~s+

ˆC2

F · d~s+

ˆC3

F · d~s+

ˆC4

F · d~s+

+

ˆC5

F · d~s+

ˆC6

F · d~s

=

ˆ∂D

F · d~s.

3.2.4 Điều kiện để trường vectơ phẳng là bảo toàn

Định lý 3.2.12 (điều kiện cần để trường bảo toàn). Nếu trường F = (P,Q) trơn vàbảo toàn trên một tập mở chứa tập D thì trên D ta phải có

∂P

∂y=∂Q

∂x.


Chứng minh. Giả sử f là hàm thế của F . Khi đó ∂f∂x = P và ∂f

∂y = Q. Với giả thiết về tính

trơn như trên thì các đạo hàm riêng của P và Q tồn tại và liên tục trên D, và ∂P∂y = ∂2f

∂y∂x và∂Q∂x = ∂2f

∂x∂y . Vì∂2f∂x∂y và ∂2f

∂y∂x tồn tại và liên tục nên chúng bằng nhau, do đó ∂P∂y = ∂Q

∂x .

Ví dụ 3.2.13 (Py = Qx cần nhưng không đủ). Dưới đây là một ví dụ kinh điển. Xéttrường

F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) =

(−y

x2 + y2,

x

x2 + y2

).

Ta có∂P

∂y=∂Q

∂xtrên trên miền xác định là mặt phẳng bỏ đi điểm (0, 0). Mặt khác, tính

toán trực tiếp cho thấy nếu C là đường tròn bán kính đơn vị tâm tại (0, 0) ngược chiềukim đồng hồ thì

Ć~F · d~s = 2π khác 0. Vậy ~F không phải là một trường vectơ bảo toàn

trên miền xác định của nó. Xem thêm ở Bài tập 3.2.9.

Một tập D ⊂ Rn được gọi là một miền hình sao nếu có một điểm p0 ∈ D sao chovới mọi điểm p ∈ D thì đoạn thẳng nối p0 và p được chứa trong D.

Ví dụ 3.2.14. Rn là một miền hình sao. Một tập con lồi của Rn là một miền hình sao.Rn trừ đi một điểm không là miền hình sao.

Kết quả dưới đây nói rằng nếu miền là mở hình sao thì điều kiện Py = Qx cũng là mộtđiều kiện đủ để trường là bảo toàn.

Định lý 3.2.15 (bổ đề Poincaré). Giả sử F = (P,Q) là một trường vectơ trơn trênmiền mở hình sao D. Nếu ∂P

∂y = ∂Q∂x trên D thì F là bảo toàn trên D.

Chứng minh. Để gợi ý, ở đây ta dùng kí hiệu´ pp0F · d~s để chỉ tích phân của F trên đoạn

thẳng p0 + t(p− p0), 0 ≤ t ≤ 1, nối điểm p0 với điểm p. Đặt

f(p) =

ˆ p

p0

F · d~s.

thì đây chính là một hàm thế của F . Ta sẽ kiểm tra rằng ∂f∂x = P , chứng minh ∂f

∂y = Q

p0

p p+ h~i

Hình 3.2.1: Bổ đề Poincaré cho miền hình sao.

là tương tự. Theo định nghĩa của đạo hàm, với ~i = (1, 0), ta có:

∂f

∂x(p) = lim

h→0

1

h

[ˆ p+h~i

p0

F · d~s−ˆ p

p0

F ·d~s

].

Chú ý do D mở nên nếu h đủ nhỏ thì điểm p + h~i sẽ nằm trong D. Nếu ba điểm p0, pvà p+ h~i không cùng nằm trên một đường thẳng thì chúng tạo thành một tam giác. Tamgiác này là một miền đơn giản do đó ta có thể áp dụng định lý Green cho miền này, dùnggiả thiết ∂P

∂y = ∂Q∂x , ta được tích phân đường trên biên của tam giác bằng 0, tức là


ˆ p+h~i

p0

F · d~s−ˆ p

p0

F · d~s =

ˆ p+h~i

pF · d~s.

Công thức này cũng đúng nếu ba điểm là thẳng hàng. Viết p = (x, y), và lấy đường đithẳng từ p tới p+ h~i là r(t) = (x+ t, y) với 0 ≤ t ≤ h, ta được

ˆ p+h~i

pF · d~s =

ˆ x+h

xP (t, y) dt.

Do đó∂f

∂x(p) = lim

h→0

1

h

ˆ x+h

xP (t, y) dt = P (x, y).

Đẳng thức cuối cùng là một kết quả quen thuộc trong Giải tích 1, có thể được kiểm dễdàng sử dụng việc hàm P liên tục theo x, xem Bài tập 3.2.25.

Ví dụ 3.2.16. Trường ~F (x, y) = (ex2, y3) có bảo toàn hay không?

Ta có ∂ex2

∂y = 0 = ∂y3

∂x . Miền xác định của trường là R2, một miền mở hình sao. Bổ đềPoincaré áp dụng được, cho ta kết luận trường là bảo toàn trên miền xác định.

Nếu có một trường (P,Q) mà ∂P∂y = ∂Q

∂x nhưng lại không bảo toàn thì bổ đề Poincarécho biết miền xác định của trường không phải là một miền hình sao. Như vậy một giảthiết giải tích đã đưa đến một kết luận hình học.

Kết luận của bổ đề Poincaré vẫn đúng nếu thay miền hình sao bởi miền tổng quát hơngọi là miền đơn liên, đại khái là miền chỉ gồm một mảnh không có lỗ thủng. Chi tiếtchính xác vượt ra ngoài phạm vi môn học này.

Miền đơn liên Các miền không đơn liên

3.2.5 Dạng thông lượng của công thức Green

Cho D là miền phẳng và F là một trường trên D sao cho ta có thể áp dụng công thứcGreen. Giả sử ∂D được tham số hóa theo chiều dương bởi C(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b.

Vectơ vận tốc của đường biên là C ′(t) = (x′(t), y′(t)). Vectơ pháp tuyến ngoài ncủa ∂D tại điểm (x(t), y(t)) là

n =1

|C ′(t)|(y′(t),−x′(t)).

Ta giải thích điều này sau đây. Vectơ (−y′(t), x′(t)) vuông góc (x′(t), y′(t)) (do tích vôhướng bằng 0), vậy n cùng phương với (−y′(t), x′(t)). Chiều của n được xác định theonguyên tắc chiều từ pháp tuyến ngoài sang tiếp tuyến phải cùng chiều với chiều dươngchuẩn tắc của mặt phẳng, tức là chiều từ (1, 0) sang (0, 1).


D

∂D

C(t)

C ′(t)n(C(t))

Từ công thức Green:

ˆCF · n ds =

ˆ b

a〈(P (C(t)), Q(C(t))),

1

|C ′(t)|(y′(t),−x′(t))〉|C ′(t)| dt

=

ˆC−Q dx+ P dy =

¨D

(∂P

∂x+∂Q

∂y

)dA.

Người ta thường đặt

div(P,Q) =∂P

∂x+∂Q

∂y.

Toán tử div sẽ được thảo luận nhiều hơn sau. Vậy

ˆ∂D

F · n ds =

¨D

divF dA. (3.2.1)

Tích phânĆ F · n ds là tổng thành phần pháp tuyến ngoài của F dọc theo biên ∂D.

Nếu F là một trường vectơ vận tốc thì tích phân này thể hiện thông lượng (flux) qua∂D.

Bài tập

3.2.1. Hình 3.2.2 vẽ của một trường vectơ.

(a) Ước đoán trường có bảo toàn không?

(b) Ước đoán tích phân của trường dọc theo đường C là âm, dương hay bằng 0?

3.2.2. Ước đoán trường trong Hình 3.2.3 có bảo toàn không?

3.2.3. Tính:

(a) Tìm một hàm f(x, y, z) sao cho f(0, 0, 0) = 6 và ∇f(x, y, z) = (2y, 2x, ez).

(b) Tính công của trường lực F (x, y, z) = (2, 3y, 4z2) khi vật đi từ điểm (1, 1, 1) tới điểm (1, 0, 0).

(c) Giải bài 3.1.2 bằng cách dùng hàm thế.

(d) Tìm hàm thế cho trường (ex sin y − yz, ex cos y − yz, z − xy).

(e) Tính tích phânĆ

(2y − 3z) dx + (2x + z)dy + (y − 3x) dz với C là đường gấp khúc đi từ(0, 0, 0) tới (0, 1, 2) tới (3, 4, 3) rồi tới (2, 3, 1).

(f) TínhĆ

(x− 4y2) dx+ (ln y − 8xy) dy với C là một đường trên nửa mặt phẳng y > 0 đi từđiểm (−3, 4) tới điểm (2, 6).


C

Hình 3.2.2:

(g) TínhĆ

(√x+ 8xy) dx+ (

√y+ 4x2) dy với C là một đường trong góc phần tư thứ nhất của

mặt phẳng đi từ điểm (3, 2) tới điểm (4, 1).

(h) Trường sau có bảo toàn không? Nếu có tìm một hàm thế:(xy − sin z,

1

2x2 − ey

z,ey

z2− x cos z

).

3.2.4. Cho C là đường y = x3 từ điểm (0, 0) tới điểm (1, 1).

(a) TínhĆ

3y dx+ 2x dy.

(b) Dùng câu trên, tínhĆ

(3y + yex) dx+ (2x+ ex + ey) dy.

3.2.5. Cho C là đường e-líp 4x2 + y2 = 4.

(a) TínhĆ

(ex sin y + 2y) dx+ (ex cos y + 2x− 2y) dy.

(b) TínhĆ

(ex sin y + 4y) dx+ (ex cos y + 2x− 2y) dy.

3.2.6 (điện trường là bảo toàn). Định luật Coulomb1 là một định luật của vật lý có được từthực nghiệm được phát biểu như sau: Nếu trong R3 có hai điện tích q1 và q2 thì điện tích q1 sẽ tácđộng lên điện tích q2 một lực bằng

F (~r) =q1q2

4πε0|~r|3~r,

trong đó ~r là vectơ từ điểm mang điện tích q1 sang điểm mang điện tích q2, và ε0 là một hằng số.Để đơn giản ta giả sử điện tích q1 nằm ở gốc tọa độ, khi đó ~r = (x, y, z) là vị trí của điện tích q2.Chứng tỏ điện trường là một trường bảo toàn.

3.2.7. Chứng tỏ công của trọng trường do vật ở vị trí O tạo ra khi một vật khác di chuyển từ vịtrí P tới vị trí Q chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ O tới P và khoảng cách từ O tới Q.

3.2.8. Tính công của trường lực bảo toàn tác động lên vật di chuyển từ điểm P tới điểm Q theođường C trong Hình 3.2.4. Trong hình các đường cong khác C là các đường mức của một hàm thếvới các mức tương ứng được ghi. Chú ý các đường mức này đều vuông góc với trường vectơ (xemBài tập 3.2.11).

1Định luật này được phát biểu lần đầu tiên bởi Charles Coulomb năm 1785.


-0.8 -0.4 0 0.4 0.8

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

Hình 3.2.3:

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1

0

1

2

3y

x

2.25

-4.25

4.757.3

P

Q

C

Hình 3.2.4:

3.2.9 (tiếp tục Ví dụ 3.2.13). Trên mặt phẳng Oxy, xét trường

F (x, y) =

(−y

x2 + y2,

x

x2 + y2

).

(a) Kiểm tra rằng nếu x 6= 0 thì F có một hàm thế là θ = arctan yx , với θ chính là biến góc

trong tọa độ cực. Người ta thường viết một cách hình thức

dθ =−y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy.

(b) Có thể mở rộng θ thành một hàm trơn trên toàn miền xác định của F không?

(c) Tích phân 12π

Ćdθ được gọi số vòng, tính theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, của đường

đi C quanh điểm O. Chứng tỏ số vòng của đường đi (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2nπ đúng bằng n.


-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2

-1.2

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

y

x

Hình 3.2.5: Trường

(−y

x2+y2, xx2+y2

).

3.2.10. Trên mặt phẳng Oxy, xét trường

F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) =

(x

x2 + y2,

y

x2 + y2

).

(a) Kiểm tra rằng Py = Qx trên miền xác định của F .

(b) Trường F có bảo toàn trên miền xác định không?

3.2.11 (trường gradient luôn vuông góc với tập mức). Cho F là một trường bảo toàn trênmặt phẳng, tức là một trường gradient, F = ∇f . Tập mức của f là tập các điểm có cùng mộtgiá trị qua f , tức là tập f−1(c) = p ∈ R2 | f(p) = c, c ∈ R.

Nếu với mọi p ∈ f−1(c) thì F (p) = ∇f(p) 6= 0 thì giá trị c còn được gọi là một giá trị chínhqui (regular value) của f .

(a) Có thể chứng minh được nếu c là một giá trị chính qui của f thì tập mức f−1(c) là mộtđường cong, chính xác hơn phương trình “ở dạng ẩn” f(x, y) = c xác định vết một đườngđi C(t) = (x(t), y(t)) trên một lân cận của điểm p. Từ điều kiện f(C(t)) = c hãy suy ra∇f(C(t)) · C ′(t) = 0. Hãy giải thích vì sao điều đó có nghĩa là F (p) ⊥ C. Xem minh họa ởHình 3.2.4.

(b) Chứng minh rằng ˆC

∇f · d~r = 0.

Vậy tích phân của trường gradient trên đường mức luôn bằng 0.

3.2.12. Tính:

(a) Cho C là biên của hình vuông [0, 1]2 ⊂ R2 định hướng theo chiều kim đồng hồ. Tính tíchphân

Ćx3 dx+ (x+ sin(2y)) dy.

(b) Cho F (x, y) = 2xy~i + x2~j. Gọi T là tam giác với các đỉnh (0, 0), (0, 1), (1, 1), định hướngngược chiều kim đồng hồ. Giải thích tại sao

´TF · d~s = 0 bằng ba cách.

(c) TínhĆ

(x− y)2dx+ (x+ y)2dy trong đó C là chu tuyến (đường biên) theo chiều dương củatam giác OAB với O = (0, 0), A = (2, 0), B = (4, 2) bằng cách tính trực tiếp và bằng côngthức Green.


(d) Cho F (x, y) = (x2 + y, x +√y4 + y2 + 1). Trường này có bảo toàn không? Gọi C(t) =

(1− cos3 t, sin 2t), 0 ≤ t ≤ π. TínhĆF · d~s.

(e) Cho F (x, y) = (y − 2xye−x2

, e−x2

+ y). Tính tích phân của trường này trên cung tròn đơnvị trong góc phần tư thứ nhất đi từ (1, 0) tới (0, 1).

(f) Hãy kiểm chứng công thức Green trong trường hợp miền được bao bởi hai đường cong y = xvà y = x2 và trường là (xy, y2).

(g) Tính tích phânĆ

4ydx−5dy với C là đường e-líp x = 2+4 cos θ, y = 3+2 sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π

bằng 2 cách.

3.2.13. Gọi D là một miền trên đó công thức Green có thể áp dụng được. Chứng tỏ diện tích củaD có thể được tính theo công thức

|D| = −ˆ∂D

y dx =

ˆ∂D

x dy =1

2

ˆ∂D

x dy − y dx.

3.2.14. Cho đường cong trong mặt phẳng (x, y) viết bằng phương trình dùng tọa độ cực r =4 + 3 cos(11θ), với 0 ≤ θ ≤ 2π (xem Hình 2.3.4). Dùng Bài tập 3.2.13, hãy tính diện tích của miềnđược bao bởi đường cong này.

3.2.15. Cho đường cong hình sao (astroid) x23 + y

23 = 2

23 .

(a) Vẽ đường này.

(b) Tính diện tích của miền bao bởi đường cong trên bằng cách dùng tích phân bội.

(c) Tính diện tích miền này bằng cách dùng tích phân đường, dùng tham số hóa của đườngastroid: x = 2 cos3 θ, y = 2 sin3 θ.

3.2.16. Cho ~F = (P,Q) là trường vectơ trơn xác định trên mặt phẳng trừ điểm O, có ∂P∂y = ∂Q

∂x

tại mọi điểm. Giả sửá~F · d~s = 1 và

´b~F · d~s = 2 (xem Hình 3.2.6). Hãy tính tích phân của ~F

trên c, d, và e.

da

b

c

e

O

Hình 3.2.6:

3.2.17. Cho F (x, y) =(−y

x2+y2 ,x

x2+y2

). Cho C1 là đường e-líp 9x2 + 4y2 = 36 và C2 là đường tròn

x2 + y2 = 1, đều được định hướng cùng chiều kim đồng hồ. Chứng tỏ tích phân của F trên C1 vàtrên C2 là bằng nhau.

3.2.18. Trên mặt phẳng Oxy, xét trường

F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) =

(2x− y

x2 + y2, 1 +

x

x2 + y2

).

(a) Trong hình vẽ a là một nửa đường tròn đi từ (−1, 0) tới (1, 0)). Tính tích phân của ~F trêna.

(b) Tính tích phân của ~F trên f (một nửa đường tròn đi từ (−1, 0) tới (1, 0)).


cd

b

a

f

e

1−1

(c) Dùng công thức Green, hãy tính tích phân của ~F trên c và d.

(d) Hãy tính tích phân của ~F trên b (một đường đi từ (−1, 0) tới (1, 0)).

(e) Hãy tính tích phân của ~F trên e.

3.2.19 (tích phân từng phần). Cho D là miền đơn giản trên mặt phẳng có biên trơn từng khúcđược định hướng dương. Cho f và g là hàm thực khả vi liên tục trên một tập mở chứa D. Hãychứng minh công thức tích phân từng phần sau:

¨D

fxg dxdy =

ˆ∂D

fg dy −¨D

fgx dxdy.

3.2.20. Cho D là miền đơn giản trên mặt phẳng với biên trơn từng khúc được định hướng dương.Cho f là một hàm trơn trên một tập mở chứa D. Hãy kiểm rằng:

(a) ˆ∂D

fx dx+ fy dy = 0.

(b) ˆ∂D

−fy dx+ fx dy =

¨D

∆f dxdy.

Ở đây với f(x, y) là hàm thực trên miền D ⊂ R2 kí hiệu toán tử Laplace tác động vào f là

∆f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2.

3.2.21. Cho D là miền đơn giản trên mặt phẳng với biên trơn từng khúc được định hướng dương.Cho (P,Q) là một trường vectơ trơn trên một tập mở chứa D. Hãy kiểm rằng

ˆ∂D

(QPx − PQx) dx+ (PQy −QPy) dy = 2

¨D

(PQxy −QPxy) dxdy.

3.2.22. Kí hiệu đạo hàm của f theo hướng cho bởi vectơ đơn vị v là Dvf . Nhắc lại công thứcDvf = ∇f · v. Kí hiệu n là véctơ pháp tuyến đơn vị ngoài của ∂D. Hãy chứng minh các công thứcsau, cũng được gọi là các công thức Green, với giả thiết dạng thông lượng của công thức Green3.2.1 có thể áp dụng được.

(a)´∂D

Dnf ds =˜D

∆f dA.

(b)´∂D

(f∇g) · n ds =˜D

(f∆g +∇f · ∇g) dA.

(c)´∂D

(f∇g − g∇f) · n ds =˜D

(f∆g − g∆f) dA.


3.2.23 (diện tích của đa giác). (a) Một tam giác trong mặt phẳng có 3 đỉnh có tọa độ(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Chứng tỏ diện tích của tam giác này bằng

1

2|x1y2 − x2y1 + x2y3 − x3y2 + x3y1 − x1y3| .

(b) Tổng quát hơn, giả sử một đa giác trong mặt phẳng bao một miền mà công thức Green ápdụng được. Giả sử các đỉnh của đa giác này có tọa độ (xi, yi), 1 ≤ i ≤ n với thứ tự theo địnhhướng “đa giác nằm bên trái” của công thức Green. Để cho tiện, đặt (xn+1, yn+1) = (x1, y1).Khi đó ta có công thức cho diện tích của đa giác là

1

2

n∑i=1

(xiyi+1 − xi+1yi) .

3.2.24. Giả sử nhiệt độ tại một điểm (x, y) trên mặt phẳng được cho bởi f(x, y). Dùng công thứcGreen 3.2.22, hãy giải thích vì sao nếu phân bố nhiệt độ là điều hòa, nghĩa là ∆f = 0, thì trênmỗi miền kín lượng nhiệt đi ra luôn đúng bằng lượng nhiệt đi vào.

3.2.25. Liên quan tới phần chứng minh của Định lý 3.2.15, hãy kiểm tra: Nếu f : [a, b]→ R liêntục và x ∈ [a, b] thì limh→0

1h

´ x+hx

f(t) dt = f(x). Hãy chỉ ra rằng định lý cơ bản của Vi Tíchphân hàm một biến nói rằng

´ xaf(t) dt là một nguyên hàm của f trên [a, b] là một hệ quả của kết

quả trên.

3.3 Tích phân mặt

Giống như đường, đối với chúng ta một mặt là một ánh xạ r từ một tập con D củaR2 vào R3. Tập ảnh r(D) được gọi là vết của mặt.

Ví dụ 3.3.1. Nửa trên của mặt cầu là vết của mặt (x, y, z =√

1− x2 − y2) với x2+y2 ≤ 1(tọa độ Euclid). Đó cũng là vết của mặt (sinφ cos θ, sinφ sin θ, cosφ) với 0 ≤ θ ≤ 2π và0 ≤ φ ≤ π/2 (tọa độ cầu).

3.3.1 Diện tích mặt

Cho mặt

r : D ⊂ R2 → R3

(u, v) 7→ r(u, v) = (x, y, z).

Với một phép chia của D ta có một phép chia của mặt thành những mảnh nhỏ. Một hìnhchữ nhật con với kích thước ∆u×∆v sẽ được mang thành một mảnh trên mặt được xấpxỉ tuyến tính bằng hình bình hành xác định bởi các vectơ ru(u, v)∆u và rv(u, v)∆v. Diệntích của hình bình hành này được cho bởi độ lớn của tích có hướng của hai vectơ này, tứclà |ru(u, v)× rv(u, v)|∆u∆v.

Từ đó ta đưa ra định nghĩa:

Định nghĩa 3.3.2. Diện tích của mặt r : D → R3 là

¨D|ru × rv| dudv.

3.3. TÍCH PHÂN MẶT 83

v

u x

z

r

(u, v)

∆u

r(u, v)

∆v

y

SD

Ví dụ 3.3.3 (mặt đồ thị). Giả sử f : D → R là một hàm trơn trên một tập mở chứa D.Xét mặt r(x, y) = (x, y, f(x, y)) có vết là đồ thị của hàm f . Ta tính được rx = (1, 0, fx),ry = (0, 1, fy), rx × ry = (−fx,−fy, 1). Diện tích của mặt này là¨

D

√1 + f2

x + f2y dxdy.

Đặc biệt, nếu đây là một mặt phẳng, tức f ≡ 0, thì diện tích của mặt chính là diện tíchcủa miền phẳng D.

3.3.2 Tích phân mặt loại một

Cho mặt r : D → R3 và cho f là một hàm thực xác định trên vết S = r(D). Ta muốntính tổng giá trị của hàm trên mặt. Làm như trong phần diện tích mặt, trên mỗimảnh con trên mặt ta xấp xỉ tuyến tính diện tích của mảnh con bằng diện tích của mộthình bình hành, bằng |ru(u, v)× rv(u, v)|∆u∆v, và xấp xỉ giá trị của hàm f bằng giá trịcủa nó tại một điểm r(u, v). Từ đó ta đưa ra định nghĩa:

Định nghĩa 3.3.4. Cho mặt r : D → R3 với vết S = r(D). Cho f : S → R. Tích phânmặt loại một của f trên r là

¨rf dS =

¨Df(r(u, v))|ru(u, v)× rv(u, v)| dudv.

Ví dụ 3.3.5. Nếu f ≡ 1 thì˜r 1 dS chính là diện tích của mặt r.

Ví dụ 3.3.6 (mặt đồ thị). Giả sử f : D → R là một hàm trơn trên một tập mở chứaD. Xét mặt r(x, y) = (x, y, f(x, y)) có vết là đồ thị S của hàm f . Giả sử g : S → R. Khiđó tích phân của g trên r là¨

rg dS =

¨Dg(x, y, f(x, y))

√1 + f2

x + f2y dxdy.

Trong các tài liệu khác tích phân mặt loại 1 còn được kí hiệu bằng´S f dσ,

´S f dΣ.

Ghi chú 3.3.7. Như đã thấy trong phần công thức đổi biến, Phương trình (2.3.3), ta có

|a× b| =√|a|2|b|2 − 〈a, b〉2 =

[det

(a · a a · bb · a b · b

)]1/2

.

Công thức này có thể được dùng để định nghĩa tích phân mặt loại 1 cho mặt trong Rn,với n ≥ 2, không phải hạn chế n = 3 như ở đây. Khi n = 2 đây chính là công thức đổibiến của tích phân bội.


3.3.3 Tích phân mặt loại hai

Cho mặt r : D → R3 với vết S = r(D). Cho F là một trường vectơ trên S, tứcF : S → R3. Ta muốn tính tổng của thành phần pháp tuyến của trường trên mặt.

Như trong tích phân mặt loại một, diện tích của một mảnh con của mặt được xấp xỉbởi diện tích hình bình hành |ru(u, v)× rv(u, v)|∆u∆v.

Trên mảnh con trường F được xấp xỉ bằng giá trị của nó tại điểm r(u, v). Vectơ pháptuyến đơn vị của mặt tại điểm r(u, v) là

ru(u, v)× rv(u, v)

|ru(u, v)× rv(u, v)|.

Thành phần pháp tuyến của vectơ F (r(u, v)) là số thực

F (r(u, v)) · ru(u, v)× rv(u, v)

|ru(u, v)× rv(u, v)|.

Tổng thành phần pháp tuyến của F trên mảnh con đó được xấp xỉ bằng

F (r(u, v))· ru(u, v)× rv(u, v)

|ru(u, v)× rv(u, v)||ru(u, v)×rv(u, v)|∆u∆v = [F (r(u, v))·ru(u, v)×rv(u, v)]∆u∆v.

Chú ý rằng số thực trên cũng là thể tích có hướng của khối bình hành sinh bởi ba vectơF (r(u, v)), ru(u, v)∆u, rv(u, v)∆v. Từ đây ta đưa ra định nghĩa:

Định nghĩa 3.3.8. Cho mặt r : D → R3 với vết S = r(D). Cho F là một trường vectơtrên S, tức F : S → R3. Tích phân mặt loại hai của của F trên r là

¨rF · d~S =

¨DF (r(u, v)) · (ru(u, v)× rv(u, v)) dudv.

Ghi chú 3.3.9. Ta tính được ngay

ru(u, v)× rv(u, v) =∂(y, z)

∂(u, v)~i+

∂(z, x)

∂(u, v)~j +

∂(x, y)

∂(u, v)~k.

Từ đó trong một số tài liệu người ta dùng thêm các tích phân mặt:¨rP (x, y, z) dydz =

¨rP~i · d~S =

¨rP (r(u, v))

∂(y, z)

∂(u, v)dudv,

¨rQ(x, y, z) dzdx =

¨rQ~j · d~S =

¨rQ(r(u, v))

∂(z, x)

∂(u, v)dudv,

¨rR(x, y, z) dxdy =

¨rR~k · d~S =

¨rR(r(u, v))

∂(x, y)

∂(u, v)dudv.

Với các kí hiệu này và F = P~i+Q~j +R~k thì¨rF · d~S =

¨r(P dydz +Q dzdx+R dxdy).

Tuy nhiên trong tài liệu này ta ít dùng các kí hiệu này.


3.3.4 Mặt như là tập điểm. Định hướng

Tương tự như đã xảy ra với đường, trong nhiều ứng dụng ta muốn xem mặt như làmột tập điểm chứ không phải là một ánh xạ. Bây giờ ta xây dựng quan điểm này.

Cho D và D′ là hai tập con mở của R2 và giả sử có một phép đổi biến ϕ từ D lên D′.Những phép đổi biến như vậy chúng ta đã nghiên cứu trong phần công thức đổi biến củatích phân bội. Nếu det dϕ luôn dương trên D thì ϕ được gọi là một phép đổi biến bảotoàn định hướng. Nếu det dϕ luôn âm thì ϕ được gọi là một phép đổi biến đảo ngượcđịnh hướng.

Định lý 3.3.10 (bất biến của tích phân mặt qua phép đổi biến). Giả sử D vàD′ là hai tập con mở bị chặn của R2 và ϕ : D′ → D là một phép đổi biến. Cho mặt trơnr : D → R3. Khi đó:

(a) Tích phân mặt loại một không đổi qua phép đổi biến:¨rf dS =

¨rϕ

f dS.

(b) Tích phân mặt loại hai không đổi qua phép đổi biến bảo toàn định hướng:¨rF · d~S =

¨rϕ

F · d~S.

(c) Tích phân mặt loại hai đổi dấu qua phép đổi biến đảo ngược định hướng:¨rF · d~S = −

¨rϕ

F · d~S.

Chứng minh. Theo qui tắc đạo hàm của hàm hợp:

Jrϕ(s, t) = Jr(u, v)Jϕ(s, t).

Cụ thể hơn:∂(r ϕ)

∂s=∂r

∂u· ∂u∂s

+∂r

∂v· ∂v∂s,

∂(r ϕ)

∂t=∂r

∂u· ∂u∂t

+∂r

∂v· ∂v∂t.

Nhân hai vectơ này, và đơn giản hóa, ta được

∂(r ϕ)

∂s× ∂(r ϕ)

∂t=

(∂r

∂u× ∂r

∂v

)·(∂u

∂s· ∂v∂t− ∂u

∂t· ∂v∂s

)=

(∂r

∂u× ∂r

∂v

)· ∂(u, v)

∂(s, t).

Viết cách khác:(r ϕ)s × (r ϕ)t = (ru × rv) detJϕ(s, t). (3.3.1)

Bây giờ dùng công thức đổi biến của tích phân bội ta được điều phải chứng minh.

Ta nói hai mặt r và r′ có cùng định hướng nếu r′−1 r là một phép đổi biến và bảotoàn định hướng; và trái định hướng nếu r′−1 r là một phép đổi biến và đảo ngượcđịnh hướng. Mỗi lớp các tham số hóa có cùng định hướng của S được gọi là một địnhhướng của mặt cong S.


Ví dụ 3.3.11 (định hướng của mặt cầu). Xét phần mặt cầu x2+y2+z2 = 1, x, y, z > 0.Tập điểm này có thể được tham số hóa như là một mặt đồ thị (x, y,

√1− x2 − y2). Một

cách khác để tham số hóa tập này là dùng tọa độ cầu: x = sinφ cos θ, y = sinφ sin θ,z = cosφ, với 0 < φ < π/2, 0 < θ < π/2. Với thứ tự (φ, θ) của tọa độ cầu, phép biến đổi(φ, θ) 7→ (x, y) có ∂(x,y)

∂(φ,θ) = sinφ cosφ > 0, do đó bảo toàn định hướng. Như vậy hai thamsố hóa này có cùng định hướng.

Mặt r : D → R3 được gọi là:

• đơn nếu r là đơn ánh,

• chính qui nếu hai vectơ ru(u, v) và rv(u, v) xác định và luôn không cùng phươngtrên D; nói cách khác vectơ ru(u, v) × rv(u, v) luôn khác 0 trên D. Một cách trựcquan, mặt là chính qui nếu pháp tuyến có thể được xác định.

Ví dụ 3.3.12 (mặt đồ thị). Cho hàm thực f trơn trên một tập mở chứa D. Xétmặt r(x, y) = (x, y, f(x, y)) với (x, y) ∈ D. Vết của r là mặt đồ thị z = f(x, y). Ta córx = (1, 0, fx) và ry = (0, 1, fy), do đó rx × ry = (−fx,−fy, 1) 6= 0. Vậy r là một mặtđơn, chính qui. Vì rx × ry = (−fx,−fy, 1) hướng về nửa không gian trên (z > 0) nên đâythường được gọi là mặt hướng lên.

Tương tự như cho đường, ta có kết quả sau đây cho biết khi nào thì hai mặt khácnhau bởi một phép đổi biến.

Mệnh đề 3.3.13. Cho D và D′ là tập con đóng, bị chặn của R2 và cho r : D → R3 vàr′ : D′ → R3 là hai mặt đơn, liên tục, và chính qui trên phần trong của miền xác định, có

cùng vết. Khi đó r(∂D) = r′(∂D′), và r′−1 r :D →

D′ là một phép đổi biến.

Ta gọi tập r(∂D) = r′(∂D′), ảnh của biên của miền xác định của mặt, là biên củamặt cong S = r(D) = r′(D′), kí hiệu là ∂S.

Dùng Mệnh đề 3.3.13 và Định lý 3.3.10 ta có thể phát biểu một kết quả như sau:

Định lý 3.3.14 (tích phân trên mặt cong). Trên những mặt đơn xác định trên tậpcon đóng bị chặn có diện tích của R2, chính qui trên tập mở chứa miền xác định, với cùngvết, thì:

(a) tích phân mặt loại một là như nhau,

(b) tích phân mặt loại hai là như nhau nếu hai mặt cùng định hướng và đối nhau nếuhai mặt trái định hướng.

Như vậy ta có thể nói tới tích phân mặt trên một tập điểm (một mặt cong) nếu tậpđiểm đó là vết của một mặt như trong định lý trên và bây giờ ta có thể dùng kí hiệu˜S f dS và

˜S F · d~S.

Ví dụ 3.3.15 (diện tích mặt cầu). Xét phần mặt cầu nằm trong góc phần tám thứnhất, tức tập hợp A = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = R2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Tham số hóa phần này như là một mặt đồ thị r(x, y) = (x, y, z =√R2 − x2 − y2),

x2 + y2 ≤ R2, x ≥ 0, y ≥ 0. Đây là một tham số hóa đơn, liên tục. Ta tính được ngay

(rx × ry)(x, y) =

(x√

R2−x2−y2, y√

R2−x2−y2, 1

), tuy nhiên đại lượng này chỉ có nghĩa trên

phần trong của miền xác định, tức là tập x2 + y2 < R2, x > 0, y > 0. Diện tích của phần


mặt cầu B = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = R2, x > 0, y > 0, z > 0 tính theo tham sốhóa này bằng¨x2+y2<R2,x>0,y>0

|(rx × ry)(x, y)| dxdy =

¨x2+y2<R2,x>0,y>0

R√R2 − x2 − y2

dxdy

=

ˆ π/2

0

ˆ R

0

Rr√R2 − r2

dr dθ

= πR2/2.

Tham số hóa tập A bằng tọa độ cầu s(φ, θ) = R(sinφ cos θ, sinφ sin θ, cosφ), 0 ≤φ ≤ π/2, 0 ≤ θ ≤ π/2. Đây là một tham số hóa đơn, chính qui, với (sφ × sθ)(φ, θ) =R2 sinφ(sinφ cos θ, sinφ sin θ, cosφ). Tập B ứng với s hạn chế lại trên phần trong củamiền xác định, tức 0 < φ < π/2, 0 < θ < π/2. Áp dụng Định lý 3.3.13 và Mệnh đề 3.3.10ta có diện tích của phần mặt cầu B tính theo s phải đúng bằng diện tích tính theo thamsố hóa r ở trên. Thật vậy:

¨0<φ<π/2,0<θ<π/2

|(sφ × sθ)(φ, θ)| dφdθ =

ˆ π/2

0

ˆ π/2

0R2 sinφ dφ dθ

= πR2/2.

Từ đây ta nói diện tích của mặt cầu bán kính R là 4πR2.Từ tính toán trên ta cũng có thể ghi lại một công thức cho phần tử diện tích của mặt

cầudS = R2 sinφdφdθ.

Có thể thấy việc tính diện tích mặt cầu bằng cách chia thành nhiều phần như trêndẫn tới những câu hỏi, chẳng hạn về sự phụ thuộc vào cách chia. Ở đây chúng ta khônggiải quyết được hết các vấn đề, cần các khảo cứu nâng cao hơn.

Ví dụ 3.3.16. Tính tích phân của trường ~F (x, y, z) = (x, y, 1) trên mặt S là đồ thịz = x2 + y2, với x2 + y2 ≤ 1, định hướng lên trên. Mặt S có thể được tham số hóa bởi mặtđơn, chính qui r(x, y) = (x, y, x2 + y2), trên miền x2 + y2 ≤ 1, xem Ví dụ 3.3.12. Tham sốhóa này cho định hướng lên trên như yêu cầu. Vậy:

¨S

~F · d~S =

¨x2+y2≤1

(~F r) · (rx × ry) dxdy

=

¨x2+y2≤1

(x, y, 1) · (−2x,−2y, 1) dxdy

=

¨x2+y2≤1

(−2x2 − 2y2 + 1) dxdy

=

ˆ 2π

0

ˆ 1

0(−2r2 + 1)r dr dθ = 2π.

3.3.5 Pháp tuyến của mặt. Liên hệ giữa hai loại tích phân mặt

Dưới các giả thiết của Mệnh đề 3.3.13, giả sử r và r′ có cùng định hướng. Giả sử

p = r(u, v) = r′(s, t) với (u, v) ∈D và (s, t) ∈

D′. Theo Phương trình (3.3.1) tại p hai

vectơ ru × rv và r′s × r′t có cùng phương cùng chiều. Vậy tại p vectơ pháp tuyến đơn vị

n(p) =ru(u, v)× rv(u, v)

|ru(u, v)× rv(u, v)|=

r′s(s, t)× r′t(s, t)|r′s(s, t)× r′t(s, t)|


được xác định không phụ thuộc vào cách chọn tham số hóa cùng định hướng. Vì vậy việcđịnh hướng mặt cong đồng nghĩa với việc chọn chiều pháp tuyến.

Ta có

¨SF · n dS =

¨DF (r(u, v)) · ru(u, v)× rv(u, v)

|ru(u, v)× rv(u, v)||ru(u, v)× rv(u, v)| dA

=

¨DF (r(u, v)) · (ru(u, v)× rv(u, v)) dA

=

¨SF · d~S.

Vậy ¨SF · d~S =

¨SF · n dS.

Điều này khẳng định lại rằng tích phân mặt loại hai là tổng thành phần pháp tuyến củatrường trên mặt.

Bài tập

3.3.1. Tính:

(a) Tính diện tích phần mặt nón z2 = x2 + y2, 3 ≤ z ≤ 5.

(b) Cho S là mặt xác định bởi z = x2 + y với 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1. Tính˜Sx dS.

(c) Cho S là mặt cầu tâm 0 bán kính 2. Tính˜Sz4 dS.

(d) Cho S là tam giác trong R3 với các đỉnh (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Tính˜Sy dS.

(e) Cho S là mặt trụ x2 + y2 = 9, 0 ≤ z ≤ 2. Tính˜Sz dS.

(f) Cho ~F (x, y, z) = (−x, y, z). Cho S là mặt tứ diện bao bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0,z = 0, x+ 2y + z = 2, định hướng ra ngoài. Tính tích phân

˜S~F · d~S.

(g) Cho khối E xác định bởi điều kiện x2 + y2 ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2. Gọi S là mặt biên của E, địnhhướng ra ngoài. Cho F (x, y, z) = (2x, 3y, 4z). Tính thông lượng của F qua S.

(h) Tính tích phân của trường (x, y, z − 2y) trên mặt (s cos t, s sin t, t), 0 ≤ s ≤ 2, 0 ≤ t ≤ 2π.Hãy vẽ mặt này (bằng máy tính).

3.3.2. Cho mặt elliptic paraboloid z =(x3

)2+(y4

)2, z ≤ 5.

(a) Bằng cách đổi biến x3 = r cos θ, y

4 = r sin θ đưa ra một phương trình tham số của mặt.

(b) Tính xấp xỉ diện tích của mặt này.

3.3.3. Cho S là mặt z = xy với 0 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ 3. Tính tích phân mặt¨S

xyz dS

ra số thập phân.

3.3.4. Mặt helocoid có phương trình tham số ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, θ), 1 < r < 2, 0 ≤ θ ≤ 2π.Vẽ mặt này. Giả sử một vật có hình dạng một mặt helocoid có mật độ khối lượng tỉ lệ với khoảngcách tới trục, cụ thể ρ(x, y, z) = r. Hãy tính khối lượng của vật này.

3.4. CÔNG THỨC STOKES VÀ CÔNG THỨC GAUSS–OSTROGRADSKY 89

3.3.5. Trên bề mặt Quả đất, tọa độ kinh tuyến và vĩ tuyến có liên hệ chặt chẽ với tọa độ cầu. Đặthệ trục tọa độ Oxyz với O ở tâm Quả đất, trục Oz đi qua Cực Bắc, và phần tư đường tròn từ tiaOz sang tia Ox đi qua Greenwich, nước Anh. Giả sử một điểm có tọa độ là ϕ vĩ độ Bắc và λ

kinh độ Đông, khi đó tọa độ cầu của điểm đó là φ = (90− ϕ) và θ = λ (tuy nhiên nhớ là trongtọa độ cầu góc cần được đo bằng radian).

Thành phố Hồ Chí Minh nằm trong vùng từ 1010′ tới 1038′ vĩ độ Bắc và 10622′ tới 10654′

kinh độ Đông (1′ = 1/60). Tính diện tích của vùng này. Bán kính của Quả đất là 6378 km.

3.3.6. Cho v = (y2, x2, z2 + 2y) là trường vectơ vận tốc (đơn vị centimeter/giây) của một dòngchất lỏng trong R3. Hãy tính tốc độ chất lỏng đi qua mặt cầu đơn vị tâm tại gốc tọa độ (tức làthể tích chất lỏng đi qua mặt trong một đơn vị thời gian).

3.3.7 (định luật Gauss về điện trường). Gọi E là điện trường gây bởi điện tích q tại điểm O.Lấy quả cầu B(O,R) tâm O, định hướng ra ngoài. Dùng định luật Coulomb (3.2.6), hãy tính tíchphân và chứng tỏ

¨∂B(O,R)

E · d~S = qε0.

Vậy thông lượng của điện trường qua một mặt cầu tâm tại vị trí của điện tích tỉ lệ với điện tích(xem dạng tổng quát hơn ở Mục 3.4.5).

3.3.8. Giá trị trung bình của hàm f trên mặt S được định nghĩa bằng

1

|S|

¨S

f dS.

Nhiệt độ trên một mái vòm hình nửa mặt cầu bán kính 20 mét tỉ lệ với cao độ, cụ thể nhiệt độ tạiđiểm (x, y, z) trên mặt cầu x2 + y2 + (z − 50)2 = 202 là T (x, y, z) = 1

2z. Hãy tính nhiệt độ trungbình trên mái vòm này.

3.3.9 (diện tích mặt tròn xoay). Giả sử f(x) dương, trơn trên [a, b]. Hãy tính diện tích củamặt tròn xoay nhận được bằng cách xoay đồ thị y = f(x) quanh trục x.

3.3.10. Tính diện tích mặt ellipsoid x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1.

3.3.11. Tính diện tích mặt nón cân với đáy là hình tròn bán kính R và chiều cao h.

3.3.12. Không cần tính, hãy cho biết giá trị của tích phân¨x2+y2+z2=1

x dS.

3.3.13. Cho S là mặt cầu tâm 0 bán kính R. Hãy tính˜Sx2 dS mà không cần tham số hóa.

Có thể làm theo ý sau đây:

(a) Chứng tỏ, mà không cần tính, rằng˜Sx2 dS =

˜Sy2 dS =

˜Sz2 dS.

(b) Tính˜S

(x2 + y2 + z2) dS mà không cần tham số hóa.

3.3.14. Hãy tính˜S

(x, y, z) · d~S trong đó S là mặt cầu tâm 0 bán kính R định hướng ra ngoài,mà không tham số hóa, tức là hãy tính nhẩm!

3.4 Công thức Stokes và Công thức Gauss–Ostrogradsky

3.4.1 Công thức Stokes

Định nghĩa 3.4.1. Cho F = (P,Q,R) là trường theo ba biến (x, y, z) trên R3 thì

curlF =

(∂R

∂y− ∂Q

∂z,∂P

∂z− ∂R

∂x,∂Q

∂x− ∂P

∂y

).


Dưới dạng kí hiệu hình thức, với ∇ =(∂∂x ,

∂∂y ,

∂∂z

), thì curlF = ∇×F. Trường curlF

còn được gọi là trường xoay của trường F . Toán tử curl còn được kí hiệu là rot.2

Dạng chính của công thức Stokes được dùng trong môn học này là

ˆ∂SF · d~s =

¨S

curlF · d~S.

v

u

x

z

y

r

S

D

∂S

∂D

Trong công thức này biên ∂S cần được định hướng tương thích với định hướngcủa S. Một cách miêu tả trực quan cho định hướng trên biên ∂S là khi đi dọc theo biêntheo chiều đã định, thân người hướng theo chiều pháp tuyến đã chọn của S thì mặt Sphải nằm bên tay trái. Một cách miêu tả khác là: đặt lòng bàn tay phải hướng theochiều của biên thì ngón tay cái chỉ chiều của pháp tuyến của mặt.

Công thức Stokes là một phát triển của công thức Green lên không gian ba chiều.Thực vậy, nếu S là miền phẳng và F là một trường phẳng trên S thì F (x, y, z) =(P (x, y), Q(x, y), 0). Công thức Stokes trở thành

ˆ∂SPdx+Qdy =

¨S

(0, 0, Qx − Py) · d~S =

¨S

(0, 0, Qx − Py) · k dS

=

¨S

(Qx − Py) dS =

¨S

(Qx − Py) dxdy,

chính là công thức Green.Công thức Stokes còn có thể được viết ở dạng tọa độ:

ˆ∂SPdx+Qdy +Rdz =

¨S

(Ry −Qz) dydz + (Pz −Rx) dzdx+ (Qx − Py) dxdy.

Tuy chúng ta ít dùng dạng trên trong môn này nhưng nó thể hiện rõ hơn sự tương tự củacông thức Stokes với công thức Green.

Dưới đây là một phát biểu chính xác mà ta có thể chứng minh được:

Định lý 3.4.2 (công thức Stokes). Cho miền phẳng D có biên ∂D là vết của đường γcó hướng tương thích với D và giả sử công thức Green có thể áp dụng được cho D. Cho

2Trong tiếng Anh curl có nghĩa là xoắn, cuộn, quăn, . . . ; còn rotation nghĩa là sự xoay.


mặt r trơn cấp hai trên một tập mở chứa D. Gọi ∂r = r γ là đường biên của r. Chotrường F trơn trên một tập mở chứa vết của r. Khi đó:

ˆ∂rF · d~s =

¨r

curlF · d~S.

Chứng minh. Chứng minh dưới đây tuy chứa những biểu thức dài dòng nhưng chỉ gồmnhững tính toán trực tiếp và việc áp dụng công thức Green. Viết F = (P,Q,R) và(x, y, z) = r(u, v). Viết γ(t) = (u(t), v(t)), a ≤ t ≤ b, một tham số hóa theo định hướngdương của ∂D. Ta được (trong vài biểu thức dưới đây biến được lược bỏ cho gọn hơn):

ˆ∂rF · d~s =

ˆ b

aF (r(u(t), v(t)) · d

dtr(u(t), v(t)) dt

=

ˆ b

aF (r(u(t), v(t)) · (ruu′ + rvv

′) dt

=

ˆ b

a[P (x, y, z)(xuu

′ + xvv′) +Q(x, y, z)(yuu

′ + yvv′) +

+R(x, y, z)(zuu′ + zvv

′)] dt

=

ˆ b

a[(P (x, y, z)xu +Q(x, y, z)yu +R(x, y, z)zu)u′ + (P (x, y, z)xv +

+Q(x, y, z)yv +R(x, y, z)zv)v′] dt

=

ˆγ(Pxu +Qyu +Rzu) du+ (Pxv +Qyv +Rzv) dv.

Bây giờ áp dụng công thức Green cho D ta được tích phân trên bằng¨D

[∂

∂u(Pxv +Qyv +Rzv)−

∂

∂v(Pxu +Qyu +Rzu)

]dudv.

Tính các đạo hàm hàm hợp, chẳng hạn

(Pxv)u = (Pxxu + Pyyu + Pzzu)xv + Pxuv,

và đơn giản hóa, dùng tính trơn cấp hai của r, ta được tích phân trên bằng

¨D

[(Ry −Qz)(yuzv − zuyv) + (Pz −Rx)(zuxv − xuzv)+

+ (Qx − Py)(xuyv − xvyu)] dudv

=

¨D

[curl(P,Q,R) · (ru × rv)] dudv =

¨r

curlF · d~S.

Ta có thể phát biểu một hệ quả độc lập với tham số hóa, là dạng thường gặp trongmôn học này, sử dụng các khái niệm đã được đưa ra ở Mệnh đề 3.3.13:

Định lý 3.4.3. Giả sử S là vết của một mặt xác định trên tập đóng bị chặn, có biên làvết của một đường chính qui từng khúc, trên đó công thức Green áp dụng được. Giả sửmặt này là đơn, chính qui, hơn nữa trơn cấp hai trên tập mở chứa miền xác định. Giả sửS và ∂S có định hướng tương thích. Cho trường F trơn trên một tập mở chứa S. Khi đó

ˆ∂SF · d~s =

¨S

curlF · d~S.


Ví dụ 3.4.4. Cho F (x, y, z) = (x2, y3, z4). Cho C là đường tam giác với các đỉnh (1, 2, 3),(2, 0,−1), (4, 3, 1), định hướng theo thứ tự đó. Ta tính

Ć F · d~s.

Có thể tính trực tiếp hoặc dùng phương pháp trường bảo toàn, nhưng bây giờ ta cóthêm một công cụ là công thức Stokes. Đường tam giác C bao hình tam giác S với địnhhướng sinh bởi C. Áp dụng công thức Stokes:

ˆCF · d~s =

¨S

curlF · d~S.

Ở đây curlF = 0. Vậy tích phân trên bằng 0.

Ví dụ 3.4.5. Cho F (x, y, z) = (xy, yz, zx). Gọi C là giao của mặt phẳng x + y + z = 1với mặt trụ x2 + y2 = 1, định hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ trên xuống. Tatính I =

Ć F · d~s bằng hai cách: tính trực tiếp, và dùng công thức Stokes.

(a) Tính trực tiếp: Ta lấy một tham số hóa của đường C là C(t) = (cos t, sin t, 1−cos t−sin t), 0 ≤ t ≤ 2π, ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ trên xuống. Tính trực tiếpI:

I =

ˆCF (C(t)) · C ′(t) dt

=

ˆ 2π

0(cos t sin t, sin t(1− cos t− sin t) + (1− cos t− sin t) cos t) ·

·(− sin t, cos t, sin t− cos t) dt

= −π.

(b) Dùng công thức Stokes: Trước hết tính được curlF (x, y, z) = (−y,−z,−x). Thamsố hóa mặt S bao bởi C bởi r(x, y) = (x, y, 1 − x − y), x2 + y2 ≤ 1. Tham số hóanày có vectơ pháp tuyến tương ứng là rx × ry(x, y) = (1, 1, 1), hướng lên, do đó phùhợp với định hướng cần thiết trong công thức Stokes. Bây giờ:

I =

¨ScurlF · d~S =

¨x2+y2≤1

curlF (x, y) · (rx × ry(x, y)) dxdy

=

¨x2+y2≤1

(−y,−(1− x− y),−x) · (1, 1, 1) dxdy = −π.

3.4.2 Điều kiện để trường ba chiều là bảo toàn

Mệnh đề 3.4.6 (curl grad = 0). Nếu f là hàm thực có các đạo hàm riêng cấp hai liêntục trên một tập mở thì trên đó curl(∇f) = 0.

Dùng kí hiệu hình thức thì ∇× (∇f) = 0.

Chứng minh. Tương tự như trường hợp hai chiều, tính trực tiếp ta được3

curl∇f = (fzy − fyz, fxz − fzx, fyx − fxy) = 0.

3 Chú ý qui ước về kí hiệu:∂2f

∂x∂y= fyx.


Hệ quả 3.4.7 (điều kiện cần để trường ba chiều là bảo toàn). Nếu F là trườngtrơn bảo toàn trên một tập mở thì curlF = 0 trên đó. Nói cách khác điều kiện sau phảiđược thỏa:

Ry = QzPz = RxQx = Py.

Ta có thể dùng kết quả này để chứng tỏ một trường là không bảo toàn bằng cách chỉra rằng curl của nó khác 0.

Ví dụ 3.4.8. Trường F (x, y, z) = (y, x, y) có bảo toàn trên R3 hay không?Trường F trơn cấp một trên R3. Nếu F là bảo toàn thì phải có curlF = 0. Nhưng

trong trường hợp này curlF = (1, 0, 0) 6= 0, vậy F không bảo toàn.

Bằng cách chứng minh tương tự ở 3.2.15 nhưng thay công thức Green bởi công thứcStokes ta được:

Mệnh đề 3.4.9 (bổ đề Poincaré ba chiều). Nếu F trơn trên một miền mở hình saotrong R3 và curlF = 0 thì F là bảo toàn trên đó.

3.4.3 Công thức Gauss–Ostrogradsky

Định nghĩa 3.4.10. Cho F = (P,Q,R) là trường theo ba biến (x, y, z) trên R3 thì

divF =∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z.

Dưới dạng kí hiệu hình thức thì divF = ∇ ·F. Hàm divF còn được gọi là hàm phântán (divergence) của trường F .

Công thức Gauss–Ostrogradsky4 còn được gọi là công thức Divergence5. Đây là tổngquát hoá của dạng thông lượng của công thức Green 3.2.1, cho một công thức có dạng

¨∂EP dydz +Q dzdx+R dxdy =

˚E

(Px +Qy +Rz) dxdydz.

Dưới đây ta sẽ phát biểu và chứng minh công thức này cho khối đơn giản theo cả bachiều. Theo mỗi chiều thì khối là miền nằm giữa hai đồ thị. Chẳng hạn theo chiều trục z thìkhối là E = (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D ⊂ R2, f(x, y) ≤ z ≤ g(x, y), với D đóng, bị chặn,có diện tích. Giả sử thêm rằng trên ∂D thì f = g hoặc f < g. Giả sử các hàm f , g là trơnthì biên ∂E là hội của mặt dưới là (x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ D (chính qui, hướng xuống),mặt trên là (x, y, g(x, y)) | (x, y) ∈ D (chính qui, hướng lên), ngoài ra nếu trên ∂D màf < g thì biên còn gồm mặt bên hông là (x, y, z) | (x, y) ∈ ∂D, f(x, y) ≤ z ≤ g(x, y).Giả sử thêm ∂D là vết của một đường chính qui từng khúc. Ta nói E là một khối đơngiản với biên trơn từng mảnh.

Ví dụ 3.4.11. Quả cầu đóng, khối ellipsoid, khối hộp chữ nhật là những khối đơn giảnvới biên trơn từng mảnh.

Định lý 3.4.12 (công thức Gauss–Ostrogradsky). Cho trường F trơn trên một tậpmở chứa một khối đơn giản E với biên trơn từng mảnh được định hướng ra ngoài. Khi đó:

¨∂EF · n dS =

¨∂EF · d~S =

˚E

divF dV.

4tên Ostrogradsky còn được viết là Ostrogradski5trong tiếng Anh “divergence” có nghĩa là sự phát tán, sự phân kì, sự phân rã, . . .


Chứng minh. Viết F = P~i+Q~j + R~k. Viết E như là khối đơn theo chiều Oz như là tậphợp những điểm (x, y, z) với f(x, y) ≤ z ≤ g(x, y) trong đó f, g là hàm trơn xác định trênmiền phẳng D. Ta sẽ chứng tỏ¨

∂ER~k · d~S =

˚E

∂

∂zR dV.

Tương tự ta chứng minh hai biểu thức tương ứng cho hai chiều còn lại, cộng lại và đượcđẳng thức phải được chứng minh.

Nếu f < g trên ∂D thì ∂E có mặt hông, nhưng tích phân của R~k bằng không trên đó,cơ bản là vì mặt hông chứa những đoạn thẳng thẳng đứng, nên pháp tuyến của mặt hôngnằm ngang, vuông góc với trường R~k. Chi tiết đầy đủ hơn chúng ta không khảo sát ở đây.

Như vậy tích phân của R~k trên ∂E bằng tổng tích phân của R~k trên mặt trên và mặtdưới, là các mặt đồ thị, bằng:¨

DR(x, y, g(x, y))~k · (−gx,−gy, 1) dA+

+

¨DR(x, y, f(x, y))~k · (fx, fy,−1) dA

=

¨D

[R(x, y, g(x, y))−R(x, y, f(x, y))] dA.

Mặt khác, theo công thức Fubini

˚ERz dV =

¨D

(ˆ g(x,y)

f(x,y)Rz dz

)dA

=

¨D

(R(x, y, g(x, y)−R(x, y, f(x, y))) dA.

Vậy ta được đẳng thức mong muốn.

Ví dụ 3.4.13. Dùng công thức Gauss–Ostrogradsky, ta tính thông lượng của trườngF (x, y, z) = (2x+ eyz, x2y, yz) qua mặt cầu đơn vị x2 + y2 + z2 = 1 định hướng ra ngoài:¨

x2+y2+z2=1F · d~S =

˚x2+y2+z2≤1

divF (x, y, z) dxdydz

=

˚x2+y2+z2≤1

(2 + x2 + y) dxdydz

= 24π

3+

ˆ 1

0

ˆ π

0

ˆ 2π

0(ρ sinφ cos θ)2ρ2 sinφ dθdφdρ+ 0

=8π

3+

1

5· 4

3· π =

44π

15.

Ví dụ 3.4.14. Hãy tính thông lượng của trường F (x, y, z) = (x, y, 2− 2z) qua mặt S chobởi z = 1− x2 − y2, z ≥ 0, định hướng lên trên, bằng hai cách: (a) tính trực tiếp, và (b)tính thông lượng của F qua một mặt khác và dùng định lý Gauss–Ostrogradsky.

(a) Tham số hóa mặt S: r(x, y) = (x, y, 1−x2− y2) với x2 + y2 ≤ 1. Có rx× ry(x, y) =(2x, 2y, 1) hướng lên trên.

I =

¨SF · d~S =

¨x2+y2≤1

F (r(x, y)) · (rx × ry)(x, y) dxdy

=

¨x2+y2≤1

(x, y, 2− 2(1− x2 − y2))(2x, 2y, 1) dxdy

=

¨x2+y2≤1

4(x2 + y2) dxdy =

ˆ 2π

0

ˆ 1

04r2 rdrdθ = 2π.


(b) Gọi S1 là mặt cho bởi x2 + y2 ≤ 1, z = 0, định hướng xuống dưới. Mặt S cùng S1 tạothành mặt kín S2 bao khối E. Áp dụng công thức Gauss–Ostrogradsky:

¨SF · d~S +

¨S1

F · d~S =

¨S2

F · d~S =

˚E

divF dV =

˚D

0 dV = 0.

Mặt khác¨S1

F · d~S =

¨S1

F · n dS =

¨x2+y2≤1

(x, y, 2− 0) · (0, 0,−1) dA

=

¨x2+y2≤1

−2 dA = −2π.

Do đó˜S F · d~S = 2π.

Tính trực tiếp từ công thức tương tự như ở Mệnh đề 3.4.6 ta có kết quả sau:

Mệnh đề 3.4.15 (div curl = 0). Nếu F là trường có các đạo hàm riêng cấp hai liên tụctrên một tập mở thì trên đó div(curlF ) = 0.

Viết bằng kí hiệu hình thức: ∇ · (∇× F ) = 0. Kết quả này cho một điều cần để mộttrường là trường curl của một trường khác.

3.4.4 Ý nghĩa vật lý của div và curl

Trước hết ta cần bổ đề sau đây:

Bổ đề 3.4.16. Cho f là một hàm thực khả tích trên một lân cận của điểm p ∈ Rn và liêntục tại p. Gọi B′(p, r) là quả cầu đóng tâm tại p với bán kính r. Khi đó:

limr→0

1

|B′(p, r)|

ˆB′(p,r)

f = f(p).

Vậy giá trị trung bình của một hàm liên tục quanh một điểm tiến về giới hạn là giátrị của hàm tại điểm đó.

Chứng minh. Vì f liên tục tại p nên cho ε > 0, với r đủ nhỏ thì với mọi q ∈ B′(p, r) ta có|f(q)− f(p)| ≤ ε. Từ đó∣∣∣∣∣

(1

|B′(p, r)|

ˆB′(p,r)

f

)− f(p)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ 1

|B′(p, r)|

ˆB′(p,r)

[f(q)− f(p)]

∣∣∣∣∣≤ 1

|B′(p, r)|

ˆB′(p,r)

|f(q)− f(p)|

≤ 1

|B′(p, r)|

ˆB′(p,r)

ε = ε.

Áp dụng bổ đề trên cho div ta được

divF (p) = limr→0

1

|B′(p, r)|

˚B′(p,r)

divF dA = limr→0

1

|B′(p, r)|

¨∂B′(p,r)

F · n dS. (3.4.1)

Tích phân˜∂B′(p,r) F · n dS là thông lượng của trường F ra khỏi mặt cầu ∂B′(p, r). Vậy

divF (p) chỉ độ phát tán của trường F trên đơn vị thể tích quanh p.


p

divF (p) < 0

p

divF (p) > 0

FF

Xét một điểm p. Lấy một mặt phẳng qua p với phương định bởi pháp tuyến n. Xéthình tròn B′(p, r) trên mặt phẳng này với tâm tại p và bán kính r. Ta có:

curlF (p) ·n = limr→0

1

|B′(p, r)|

¨B′(p,r)

curlF ·n dA = limr→0

1

|B′(p, r)|

ˆ∂B′(p,r)

F · d~s. (3.4.2)

Vậy curlF (p) · n thể hiện lưu lượng ngược chiều kim đồng hồ (độ xoay) của trường Ftrên phần tử diện tích quanh p trong mặt phẳng qua p vuông góc n.

Ta có curlF (p) ·n đạt giá trị lớn nhất khi n cùng phương cùng chiều với curlF (p). VậycurlF (p) cho phương của mặt phẳng mà trên đó độ xoay của trường quanh p là lớn nhất,chiều của nó được xác định bởi chiều xoay của trường theo qui tắc bàn tay phải. Hơn nữacó thể chứng tỏ là độ lớn của curlF (p) tỉ lệ với tốc độ xoay theo góc của trường quanh p.Nói vắn tắt, curlF (p) chỉ sự xoay của trường F tại điểm p. Từ điều này tích phân˜S curlF · d~S còn được gọi là lưu lượng (circulation) của trường F trên mặt S.

pF

curlF (p)

p

F

curlF (p)

Ta có một miêu tả trực quan cho curlF (p): Tưởng tượng rằng ta thả một cái chongchóng vào trường, cố định nó tại điểm p nhưng để cho nó tự do đổi hướng và tự do xoay.Khi đó hướng ổn định của chong chóng chính là hướng của curlF (p), chiều xoay của nóchính là chiều xoay của trường, còn vận tốc xoay của chong chóng chỉ độ xoay của trườngquanh p.

Ghi chú 3.4.17. Công thức cho div (3.4.1) và cho curl (3.4.2) cho thấy chúng là nhữngđại lượng vật lý, không phụ thuộc hệ tọa độ.

3.4.5 Ứng dụng

Điện từ

Gọi E là điện trường gây bởi điện tích q tại điểm O. Giả sử S là một mặt kín, biêncủa khối D. Giả sử công thức Gauss–Ostrogradsky có thể áp dụng được cho D. Nhắc lạitừ 3.4.21 là divE = 0. Nếu D không chứa điểm O thì¨

SE · d~S =

˚D

divE dV = 0.


Nếu D chứa điểm O ở phần trong, nói cách khác nếu S bao điểm O, thì lấy một quảcầu B(O,R) đủ nhỏ sao cho nó không cắt S, và cho biên ∂B(O,R) định hướng ra ngoàiB(O,R). Khi đó S cùng ∂B(O,R) tạo thành biên của một khối D′ không chứa O. Giả sửcông thức Gauss–Ostrogradsky có thể áp dụng được cho D′, ta được¨

SE · d~S −

¨∂B(O,R)

E · d~S =

˚D′

divE dV = 0.

Suy ra˜S E · d~S =

˜∂B(O,R)E · d~S. Ở Bài tập 3.3.7, dùng Định luật Coulomb (Bài tập

3.2.6), ta đã tính được˜∂B(O,R)E · d~S = q

ε0.

q

S

∂B(O,R)

D′

Vậy ¨SE · d~S = q

ε0,

thông lượng của điện trường qua một mặt kín bao điện tích không phụ thuộc vào mặt vàtỉ lệ với điện tích. Đây là nội dung của định luật được phát biểu bởi Johann Carl FriedrichGauss. 6

Ở trên ta vừa trình bày định luật Coulomb và định luật Gauss cho một điện tích.Trong trường hợp môi trường chứa điện tích tại mọi điểm (môi trường liên tục) thì ta có:

Định luật Coulomb Định luật Gauss

divE = ρε0, với ρ là hàm mật độ điện

tích

˜S E ·d~S = 1

ε0

˝D ρ dV = Q

ε0, với D là

khối được bao bởi mặt S và Q là tổngđiện tích trên D

Tuy có thể chỉ ra rằng hai định luật là tương đương về mặt toán học, nhưng Định luậtGauss có thể được kiểm chứng bằng thí nghiệm dễ hơn Định luật Coulomb, vì Định luậtGauss có tính vĩ mô trong khi Định luật Coulomb có tính vi mô.

Không lâu sau hai định luật Coulomb và Gauss, trong thập kỉ 1820, André MarieAmpère phát hiện ra rằng một dòng điện tạo ra quanh nó một từ trường theo định luật:ˆ

CB · d~s = µ0I,

trong đó C là một đường cong kín bao quanh một dòng điện có cường độ không đổi I, Blà từ trường, và µ0 là một hằng số.

Năm 1831 Michael Faraday phát hiện rằng một từ trường thay đổi theo thời gian tớilượt nó lại tạo ra một điện trường. Định luật Faraday cho công thức:ˆ

∂SE · d~s = − d

dt

¨SB · d~S.

6Trong các tài liệu vật lý định luật Gauss thường được phát biểu mà không kèm theo điều kiện gì vềtính trơn của mặt và của các hàm trong công thức.


Năm 1864, James Clerk Maxwell phát triển định luật Ampère và thống nhất điệntrường với từ trường:

Các phương trình MaxwellDạng vi phân Dạng tích phân(1) (Coulomb) divE = ρ

ε0(Gauss)

˜S E · d~S = Q

ε0, với S là một

mặt kín(2) curlE = −∂B

∂t (Faraday)´∂S E · d~s = − d

dt

˜S B · d~S

(3) divB = 0˜S B · d~S = 0, với S là một mặt kín

(4) (Ampère) 1ε0µ0

curlB = Jε0

+ ∂E∂t ,

với J là mật độ dòng điện

1ε0µ0

´∂S B · d~S = I

ε0+ d

dt

˜S E · d~S, với

I là cường độ dòng điện qua mặt SChẳng bao lâu sau lý thuyết của Maxwell đã được ứng dụng trong thực tế với việc

phát minh ra sóng điện từ của Heinrich Hertz năm 1887. Các phương trình Maxwell cùngvới các định luật của Newton tổng kết vật lý cổ điển.

Cơ học chất lỏng

Gọi ~F là trường vận tốc chuyển động của một dòng chất lỏng. Nếu div ~F = 0 (tại mọiđiểm) thì người ta nói dòng chất lỏng là không nén được (incompressible) (vì nó khôngcó chỗ bơm vào lẫn chỗ thoát ra). Các toán tử vi phân của Giải tích vectơ xuất hiện phổbiến trong mô hình hóa các hiện tượng cơ học. Chẳng hạn, một trong những phương trìnhquan trọng nhất mô tả dòng chảy chất lỏng cho tới nay vẫn đang được tập trung nghiêncứu là phương trình Navier–Stokes:

∂ ~F∂t + (~F · ∇)~F − ν∆~F = −∇w + ~g,

div ~F = 0.

Bài tập

3.4.1. Trường sau có bảo toàn hay không?

(a) F (x, y, z) = (y, x, y).

(b) F (x, y, z) = (2xex2

, z sin y2, z3).

3.4.2. Cho S là mặt z = x2 + y2 với z ≤ 1, định hướng lên trên. Tính lưu lượng của trường~F (x, y, z) = (3y,−xz, yz2) trên S (tức là

˜Scurl~F · d~S) bằng hai cách:

(a) Tính trực tiếp.

(b) Dùng công thức Stokes.

3.4.3. Cho S là mặt z = 9− x2 − y2 với z ≥ 0, định hướng lên trên.

(a) Cho trường F (x, y, z) = (2z − y, x+ z, 3x− 2y). Tính trực tiếp lưu lượng của F trên S, tức˜S

curlF · d~S.

(b) Dùng công thức Stokes tính˜ScurlF · d~S.

3.4.4. Cho C là đường giao của mặt 4x2+4y2+z2 = 40 và mặt z = 2 được định hướng ngược chiềukim đồng hồ khi nhìn từ trên xuống. Tìm

Ć~F · d~s với ~F (x, y, z) = (y, 2yz + 1, xz4 + cos(2z + 1))

bằng cách tính trực tiếp và bằng cách dùng công thức Stokes.

3.4.5. Cho F (x, y, z) = (xy, yz, zx). Gọi C là giao của mặt phẳng x + y + z = 1 với mặt trụx2 + y2 = 1, định hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ trên xuống. Đặt I =

ĆF · d~s.

(a) Tìm một tham số hóa của đường C.


(b) Tính trực tiếp I.

(c) Tính curlF .

(d) Dùng công thức Stokes, tính I.

3.4.6. Cho f và g là hai hàm thực trơn cấp hai trên R3.

(a) Chứng tỏ curl(f∇g) = ∇f ×∇g.

(b) Tính tích phânĆf∇f · d~s trong đó C(t) = (cos t, sin t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2π.

3.4.7. Trong R3 cho S1 là nửa mặt cầu trên x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0; cho S2 là mặt paraboloidz = 1− x2 − y2, z ≥ 0, cả hai được định hướng lên trên.

(a) Vẽ hai mặt này trên cùng một hệ tọa độ.

(b) Cho F là một trường trơn trên R3. Chứng tỏ˜S1

curlF · d~S =˜S2

curlF · d~S.

(c) Hãy tổng quát hóa.

3.4.8. Nếu S là mặt cầu thì˜S

curlF · d~S = 0.

3.4.9. Cho ~v ∈ R3 là một vectơ cố định. Cho S là một mặt mà trên đó công thức Stokes có thểáp dụng được. Hãy chứng minh:

ˆ∂S

(~v × ~r) · d~s = 2

¨S

~v · ~n dS,

trong đó ~r là vectơ vị trí, tức ~r(x, y, z) = (x, y, z).

3.4.10. (a) Chứng minh đẳng thức

a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c.

(b) Từ đó chứng minhcurl(curlF ) = ∇(divF )−∆F.

Ở đây ∆F được hiểu là toán tử Laplace ∆ = ∇ · ∇ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 tác động vào từngthành phần của F .

3.4.11 (cảm ứng điện từ). Định luật Faraday phát biểu rằng khi thông lượng từ trường quamột mặt giới hạn bởi một mạch kín thay đổi thì trong mạch xuất hiện dòng điện cảm ứng. Chínhxác hơn, gọi ~E là điện trường, ~B là từ trường, S là một mặt với biên là đường ∂S được định hướngtương thích như trong công thức Stokes, thì

ˆ∂S

~E · d~s = − d

dt

ˆS

~B · d~S.

Giả sử một nguồn năng lượng cơ học như sức nước hay sức gió làm quay một trục với vậntốc ω vòng/đơn vị thời gian. Một vòng dây phẳng được gắn vào trục này, được đặt trong một từtrường cố định ~B. Gọi A là diện tích của hình phẳng bao bởi vòng dây. Đại lượng

´∂S

~E ·d~s thườngđược kí hiệu là emf . Chứng tỏ

emf = −A| ~B|2πω sin(2πωt).

Vậy trong vòng dây xuất hiện một dòng điện xoay chiều. Đây là một nguyên lý cơ sở của máy phátđiện.

3.4.12. Tiếp tục bài tập 3.2.1 và 3.2.2, xem F như là trường phẳng trong không gian ba chiều.Ước đoán divF tại điểm gốc tọa độ là âm, dương hay bằng không? Hãy miêu tả curlF tại điểmgốc tọa độ.

3.4.13. Tồn tại hay không một trường F khả vi liên tục cấp hai thỏa curlF (x, y, z) = (eyz, sin(xz2), z5)?


3.4.14. Tính:

(a) Tiếp tục các bài tập 3.3.1. Nếu mặt S là kín hãy tính tích phân˜S~F · d~S bằng cách dùng

công thức Gauss–Ostrogradsky.

(b) Tính thông lượng của trường ~F (x, y, z) = (3x, y2, z2) qua mặt cầu đơn vị x2 + y2 + z2 = 1,định hướng ra ngoài.

(c) Tính thông lượng của trường F (x, y, z) = (2x+eyz, 2xy, y2) qua mặt cầu đơn vị x2+y2+z2 =1 định hướng ra ngoài.

(d) Tính thông lượng của trường F (x, y, z) = (y, z, x) qua mặt x2 + y4 + z6 = 2, định hướng rangoài.

3.4.15. Cho trường

~F (x, y, z) =

(x

(x2 + y2 + z2)3/2,

y

(x2 + y2 + z2)3/2,

z

(x2 + y2 + z2)3/2

).

Chú ý đây là một trường xuyên tâm, tỉ lệ với trọng trường và điện trường.

(a) Tính div(~F ).

(b) Gọi S2 là mặt cầu x2 + y2 + (z − 3)2 = 1 được định hướng ra ngoài. Dùng công thứcGauss–Ostrogradsky, hãy tính

˜S2

~F · d~S.

(c) Gọi S1 là mặt cầu x2 +y2 +z2 = 1 được định hướng ra ngoài. Tính tích phân mặt˜S1

~F ·d~Sbằng cách dùng tọa độ Euclid (x, y, z) hoặc dùng tọa độ cầu.

(d) Gọi S3 là mặt x2 + 4y2 + 9z2 = 36 được định hướng ra ngoài. Hãy tính˜S3

~F · d~S.

3.4.16. Cho S là mặt z = 9− x2 − y2 với z ≥ 0, định hướng lên trên.

(a) Cho G(x, y, z) = (ey cos z, x2z, y2 + z). Cho S1 là đĩa x2 + y2 ≤ 9, z = 0, định hướng xuốngdưới. Tính thông lượng của G qua S1, tức

˜S1G · d~S.

(b) Dùng định lý Gauss–Ostrogradsky tính˜S∪S1

G · d~S.

(c) Tính˜SG · d~S.

3.4.17. Cho T là nhiệt độ trên một miền D ⊂ R3, giả sử là một hàm trơn cấp hai. Vì nhiệt đượcchuyển từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp, và vectơ gradient chỉ hướng mà hàm có tốcđộ thay đổi lớn nhất, nên sự thay đổi nhiệt trên miền này được mô hình hóa một cách đơn giảnbằng trường dòng nhiệt F = −k∇T , với k là một hằng số dương.

(a) Chứng tỏ curlF = 0.

(b) Chứng tỏ divF = −k∆T , trong đó ∆ là toán tử Laplace: ∆T = ∂2T∂x2 + ∂2T

∂y2 + ∂2T∂z2 .

(c) Chứng tỏ nếu T là hàm điều hòa, tức là ∆T = 0, thì tổng dòng nhiệt qua một mặt cầubất kì trong miền D luôn bằng không. (Xem 3.2.24.)

3.4.18 (diện tích mặt cầu). Áp dụng công thức Gauss–Ostrogradsky cho hàm F (x, y, z) =(x, y, z), hãy tính diện tích của mặt cầu tâm tại 0 với bán kính R.

3.4.19. Hãy chứng minh các công thức sau, cũng được gọi là các công thức Green, với giả thiếtcông thức Gauss–Ostrogradsky có thể áp dụng được. (Xem 3.2.22.)

(a)˜∂E∇f · n dS =

˝E

∆f dV.

(b)˜∂E

(f∇g) · n dS =˝

E(f∆g +∇f · ∇g) dV.

(c)˜∂E

(f∇g − g∇f) · n dS =˝

E(f∆g − g∆f) dV.

(d)˜∂E

fni dS =˝

E∂f∂xi

dV. Ở đây ni là tọa độ thứ i của vectơ pháp tuyến n.

(e)˜∂E

fgni dS =˝

E∂f∂xi

g dV +˝

Ef ∂g∂xi

dV.


3.4.20. Dùng công thức Gauss–Ostrogradsky hãy đưa ra một cách khác để tìm ra thể tích củamột khối nón (xem 2.3.13). Cụ thể, đặt đỉnh khối nón ở O và đáy khối nón trên một mặt phẳngnằm ngang z = a, và áp dụng công thức Gauss–Ostrogradsky cho trường (x, y, z).

3.4.21. Giả sử có một điện tích q tại một điểm O. Theo định luật Coulomb (3.2.6), điện trườnggây bởi điện tích q này tại một điểm bất kì trong không gian có vị trí cho bởi vectơ ~r đi từ điểmmang điện tích q tới điểm đang xét là:

E(~r) =q

4πε0|~r|3~r.

Đáng chú ý là điện trường có độ lớn tỉ lệ nghịch với |~r|2, do đó định luật Coulomb thường đượcgọi là một luật nghịch đảo bình phương (inverse-square law). Như ta đã thấy (3.2.9), trọng trườngcũng được cho bởi một luật nghịch đảo bình phương.

(a) Tính toán trực tiếp, chứng tỏ divE = 0.

(b) Chứng tỏ rằng một trường có dạng E = k ~r|~r|m (được gọi là một trường xuyên tâm, radial)

thì có divE = 0 khi và chỉ khi m = 3. (Các thí nghiệm sau này kiểm chứng hằng số m trongđịnh luật Coulomb bằng 3 sai khác không quá 3× 10−16.)

3.4.22. Mặt cyclide nhận được từ một mặt xuyến qua phép nghịch đảo qua một mặt cầu. Mặtxuyến được cho bởi tham số hóa

r(u, v) = ((5 + cosu) cos v, (5 + cosu) sin v, sinu), 0 ≤ u, v ≤ 2π.

Đưa mặt xuyến này ra ngoài mặt cầu đơn vị tâm O bán kính 1 bằng một phép tịnh tiến, chẳnghạn theo vectơ (9, 0, 0), được một mặt xuyến mới với tham số hóa

rtorus(u, v) = (9 + (5 + cosu) cos v, (5 + cosu) sin v, sinu), 0 ≤ u, v ≤ 2π.

Thực hiện phép lấy nghịch đảo qua mặt cầu tâm O bán kính 1, tức là phép biến đổi mang mỗiđiểm p 6= 0 thành điểm p

||p||2 . Khi đó mặt xuyến trở thành mặt cyclide S với tham số hóa

rcyclide(u, v) =rtorus(u, v)

‖rtorus(u, v)‖ 2.

(a) Vẽ mặt cyclide S.

(b) Tính diện tích mặt cyclide S ra số thập phân.

(c) Cho trường F (x, y, z) = (y, x, 3z). Tính thông lượng của F qua mặt cyclide S ra số thậpphân.

(d) Tính thể tích của khối bao bởi mặt cyclide S ra số thập phân.

Tài liệu tham khảo

[Apo69] Tom M. Apostol, Calculus, vol. 2, John Wiley and Sons, 1969.

[Bmgt1] Bộ môn Giải tích, Giáo trình Phép tính vi tích phân 1, KhoaToán–Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh,http://www.math.hcmus.edu.vn/giaitich.

[Buc78] Greighton Buck, Advanced calculus, 3rd ed., McGraw-Hill, 1978.

[Fich77] G. M. Fichtengôn, Cơ sở Giải tích toán học, NXB Đại học và Trung học chuyênnghiệp, 1977.

[Kap02] Wilfred Kaplan, Advanced calculus, 5th ed., Addison-Wesley, 2002.

[Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997.

[MT03] Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba, Vector calculus, Freeman, 2003.

[PTT02] Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng,Giáo trình giải tích - hàm nhiều biến, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phốHồ Chí Minh, 2002.

[Rud76] Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976.

[Ste12] James Stewart, Calculus: Early transcendentals, 7th ed., Brooks/Cole, 2012. (Cóbản dịch tiếng Việt.)

[Tri07] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, NXB Giáodục, 2007.

[Vugt3] Huỳnh Quang Vũ, Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ, Đại học Khoa họcTự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/gt3.pdf.

102

http://www.math.hcmus.edu.vn/giaitich

http://www.math.hcmus.edu.vn/~hqvu/gt3.pdf

Chỉ mục

Định lý cơ bản của tích phân đường, 69đồ thị, 9động năng, 71đạo hàm, 14đạo hàm riêng, 13đạo hàm theo hướng, 81định luật Faraday, 99đường đi, 61

đóng, 61đơn, 61cùng định hướng, 66chính qui, 66liên tục, 61trái định hướng, 66vết, 61

đường chính qui từng khúc, 93đường cong, 66

hướng tiếp tuyến, 67đường mức, 25điểm, 7điểm biên, 8điểm dừng, 21điểm gốc tọa độ, 6điểm giới hạn, 8điểm tới hạn, 21điểm tụ, 8điểm trong, 8điểm yên, 21, 22

bổ đề Poincaré, 74, 93biên, 8

công thức đổi biến, 45công thức Divergence, 93công thức Fubini, 39công thức Gauss–Ostrogradsky, 93công thức Green, 72, 76, 81, 100công thức Newton–Leibniz, 69công thức Pappus, 60công thức Stokes, 90công thức tích phân từng phần, 81

cực đại địa phương, 20cực đại toàn cục, 20cực đại tương đối, 20cực đại tuyệt đối, 20cực tiểu địa phương, 20cực tiểu toàn cục, 20cực tiểu tương đối, 20cực tiểu tuyệt đối, 20cực trị, 20cơ sở vectơ chính tắc, 8chiều dài Euclid, 6chuẩn, 6curl, 89

div, 76, 93

góc giữa hai vectơ, 9giá trị chính qui, 79

hầu khắp, 35hình chiếu, 9hình hộp, 31

con, 31thể tích, 31

hình sao, 74hàm đặc trưng, 34hàm điều hòa, 82, 100hàm Gamma, 60hàm mật độ, 55hàm thế, 69

khối đơn giản với biên trơn từng mảnh, 93khối nón, 55khả tích, 32, 33khả vi, 14khả vi liên tục, 17khả vi từng khúc, 63khoảng cách Euclid, 7

lân cận, 8liên tục, 12

103

104 CHỈ MỤC

mặt, 82định hướng, 85đơn, 86biên, 86chính qui, 86hướng lên, 86vết, 82

mặt phẳng tiếp xúc, 14ma trận Hess, 22ma trận Jacobi, 17miền, 32miền đơn giản, 40, 41

nhân tử Lagrange, 25

phép đổi biến, 45đảo ngược định hướng, 46, 85bảo toàn định hướng, 46, 65, 85

phép chia, 31khoảng con, 31

phân hoạch, 31phần trong, 8

số chiều, 8

tích phân, 32tích phân đường

độc lập với đường đi, 69loại hai, 64loại một, 63

tích phân lặp, 38tích phân mặt

loại hai, 84loại một, 83

tích trong Euclid, 7tích vô hướng Euclid, 7tập đóng, 8tập compắc, 27tập mức, 79tập mở, 8tọa độ, 5tọa độ cầu, 49tọa độ trụ, 48tổng Riemann, 31thế năng, 71thông lượng, 76thể tích, 34thể tích không, 35tiêu chuẩn kẹp, 10toán tử Laplace, 81trực giao, 9trơn, 17

đường đi, 62

trườngbảo toàn, 69gradient, 69

trường vectơ, 64

vectơ, 5cùng hướng, 9cùng phương, 9tích có hướng, 9

vectơ gradient, 17vectơ pháp tuyến, 14vectơ pháp tuyến ngoài, 75vuông góc, 9

Bài tập Vi tích phân 2B

Lê Văn Chánh

Ngày 25 tháng 2 năm 2018

Mục lục

1 Hàm nhiều biến: Giới hạn và tính liên tục 21.1 Bài tập tuần 1: Các tính toán trên Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Bài tập tuần 2: Hàm nhiều biến- giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Bài tập tuần 3 : sự liên tục hàm nhiều biến (tt), đạo hàm riêng, đạo hàm hàm

hợp, đạo hàm theo hướng, đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Sự liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Bài tập đạo hàm riêng 62.1 Bài tập tuần 4: đạo hàm hàm ẩn, sự khả vi, ứng dụng đạo hàm - Khai triển

Taylor, Xấp xỉ tuyến tính, mặt tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Bài tập tuần 5: ứng dụng đạo hàm- Cực trị không điều kiện, cực trị có điều

kiện, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Tích phân 63.1 Bài tập tuần 6 - Tích phân bội 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Bài tập tuần 7 - Tích phân bội 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Bài tập tuần 8+9: Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Bài tập tuần 10+11:Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.5 Bài tập tuần 12+13: Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8


A Một số lời giải mẫu và bình luận 9


A Các phụ lục 12

1

2

Hình 1: Đẳng thức hình bình hành

1 Hàm nhiều biến: Giới hạn và tính liên tục

1.1 Bài tập tuần 1: Các tính toán trên Rn

Bài toán 1 (Bài tập liên hệ thực tế). Bạn hãy cho một vài thí dụ sử dụng Rn (với n thích hợp)để mô tả tập hợp đối tượng nào đó.

Bài toán 2 (Bài tập Kiểm tra tính toán). Trong không gian vectơ R3, ta trang bị khoảngcách Euclide d(., .), chuẩn Euclide ‖.‖ và tích vô hướng Euclide 〈., .〉. Cho các vectơ x =(1,2,4), y = (−1,2,3), z = (−3,−3,1).

(a) Tính d(x,z), ‖x‖ .

(b) Cặp vectơ (x,y) có trực giao nhau không? Cặp vectơ (y,z) có trực giao nhau không?

(c) Tìm góc giữa vectơ x và vectơ y.

(d) Từ vectơ x, hãy xây dựng vectơ đơn vị x cùng hướng với vectơ x.

(e) Tìm vectơ hình chiếu của vectơ x lên y.

Bài toán 3 (Bài tập kiểm tra việc nắm bắt các định nghĩa, khái niệm). Trên không gian vectơRn cùng với chuẩn Euclide ‖.‖ và tích vô hướng Euclide 〈., .〉,, với các vectơ x,y, chứng minhcác đẳng thức, bất đẳng thức sau:

(a) ‖x+y‖2 = ‖x‖2 +‖y‖2 +2〈x,y〉.

(b) (Đẳng thức hình bình hành) ‖x+y‖2 +‖x−y‖2 = 2‖x‖2 +2‖y‖2 .

(c) (Bất đẳng thức Cauchy Schwarz) |〈x,y〉| ≤ ‖x‖ .‖y‖ .

Nhận xét 1.1. 1. Đẳng thức hình bình hành trong R2 có thể chứng minh thông qua "côngthức"độ dài trung tuyến trong tam giác. Hình ảnh minh họa như Hình 1 (nguồn ảnh:Wikipedia).

3

2. Góc giữa 2 vectơ khác không x và y được định nghĩa bởi arccos(〈x,y〉‖x‖‖y‖

). Bất đẳng

thức Cauchy-Schwarz đảm bảo rằng định nghĩa trên thật sự có nghĩa, tức là∣∣∣ 〈x,y〉‖x‖‖y‖

∣∣∣≤ 1.

Bài toán 4. Cho R2 cùng với khoảng cách Euclide d(., .). Cho D = R2 \(0,0) . Hỏi điểm(0,0) có là điểm tụ của D hay không?

1.2 Bài tập tuần 2: Hàm nhiều biến- giới hạn(a) Phác thảo miền xác định và miền giá trị của hàm số: 3-5 [mGt, mục 2A, trang 17].

(b) Phác thảo đồ thị hàm số: 21-29, 42 [mGt, mục 2A, trang 18, 21].

(c) Phác thảo các mặt cong trong R3: 1-15[mGt, mục 1B, trang 9-10].

(d) Giới hạn hàm số: Bài tập 5-7 mục 1.3.1 [ Ch18] (=8-24 [Ste12, page 899, section 14.2],39-41[Ste12, page 900, section 14.2]=Bài tập 3-20, 28-30 [mGt, trang 24-25, mục2B].).

Bài toán 5 (Bài tập 8-24 trang 899 section 14.2[Ste12]). Xác định các giới hạn sau (nếu có).Trong trường hợp giới không tồn tại, giải thích vì sao không tồn tại.

1. lim(x,y)→(1,0)

ln(

1+y2

x2+xy

).

2. lim(x,y,z)→(π,0,1/3)

ey2tan(xz).

3. lim(x,y)→(0,0)

x4−4y2

x2+2y2 .

4. lim(x,y)→(0,0)

5y4 cos2 xx4+y4 .

5. lim(x,y)→(0,0)

y2 sin2 xx4+y4 .

6. lim(x,y)→(1,0)

yx+y−1 .

7. lim(x,y)→(1,0)

xy−y(x−1)2+y2 .

8. lim(x,y)→(0,0)

xy√x2+y2

.

9. lim(x,y)→(0,0)

3xyx2+2y2 .

10. lim(x,y)→(0,0)

x2yey

x4+4y2 .

11. lim(x,y)→(0,0)

x2 sin2 yx2+2y2 .

12. lim(x,y)→(0,0)

x2+y2√x2+y2+1−1

.

13. lim(x,y)→(0,0)

x2y4

x2+y8 .

14. lim(x,y)→(0,0)

sin(x2)+sin(y2)√x2+y2

.

15. lim(x,y)→(0,0)

x4−y4

x4+x2y2+y4 .

16. lim(x,y)→(0,0)

xy3

x2+y6 .

17. lim(x,y)→(0,0)

2x2+3xy+4y2

3x2+5y2 .

18. lim(x,y)→(0,0)

xy2

x2+y6 .

19. lim(x,y,z)→(0,0,0)

xy+yzx2+y2+z2 .

20. lim(x,y,z)→(0,0,0)

xy+yz2+xz2

x2+y2+z4 .

21. lim(x,y,z)→(0,0,0)

yzx2+4y2+9z2 .

4

Khảo sát giới hạn tích lim(x,y)→(0,0)

f (x,y)g(x,y) trong một số trường hợp đặc biệt:

(a) lim(x,y)→(0,0)

f (x,y) = 0 và g(x,y) bị chặn trong một lân cận điểm (0,0), nghĩa là

tồn tại M, r > 0 sao cho

|g(x,y)| ≤M∀(x,y) ∈ Dg∪B(0,r).

bbbbb

(b) lim(x,y)→(0,0)

f (x,y) 6= 0 và lim(x,y)→(0,0)

g(x,y) không tồn tại.

bbbbb

Nhận xétA

♣

Bài toán 6 (Bài tập 39-41 trang 900 section 14.2[Ste12]). Sử dụng tọa độ cực để đưa ra cácđánh giá và tìm giới hạn lim

(x,y)→(0,0)f (x,y) trong các trường hợp sau.

1. f (x,y) = x3+y3

x2+y2 ,

2. f (x,y) = (x2 + y2) ln(x2 + y2),

3. f (x,y) = e−x2−y2−1x2+y2 .

4. f (x,y) = sin√

x2+y2√x2+y2

.

5. f (x,y) = x2y2

x2+y2 .

6. f (x,y) = x2−y2√x2+y2

.

7. f (x,y) = x4+y4√(x2+y2)3

.

8. f (x,y) = x2+y2

|x|+|y| .

9. lim(x,y)→(0,0)

x3−2y3

2x2+3y2 .

10. lim(x,y)→(0,0)

x2− sin2 yx2 +2y2 .

11. lim(x,y)→(0,0)

x2y+ x3

x2 + siny2 .

Bài toán 7. Tính các giới hạn sau nếu tồn tại; nếu không tồn tại thì giải thích lý do.

1. lim(x,y)→(0,1)

x2(y−1)2

x2+(y−1)2 .

2. lim(x,y)→(0,0)

x2+y2

y .

3. lim(x,y)→(0,0)

xx2+y2 .

4. lim(x,y)→(0,0)

x4−y4

x2+y2 .

5. lim(x,y)→(1,2)

2x2−xy4x2−y2 .

6. lim(x,y)→(2,1)

x2−4y2

x2 +2x−2xy−4y.

7. lim(x,y)→(0,0)

x2−2xy+ y2

x− y.

8. lim(x,y)→(1,1)

xy− y−2x+2x−1

.

9. lim(x,y)→(0,0)

x− y+2√

x−2√

y√

x−√y.

5

10. lim(x,y)→(2,0)

√2x− y−2

2x− y−4.

11. lim(x,y)→(0,0)

xy− y2

3√

x− 3√

y.

12. lim(x,y)→(0,0)

x(x2 + y2)

x2 +(x2 + y2)2 .

13. lim(x,y)→(2,0)

xy4

x2 + y8−4.

14. lim(x,y)→(0,−1)

2y2−2x2 +2(y+1)2 .

15. lim(x,y)→(1,0)

xy+ x−1√x2 + y2−1

.

16. lim(x,y)→(1,−1)

xy+ x− y−1(x−1)2 +(y+1)2 .

17. lim(x,y)→(1,0)

(x−1)2 lnx(x−1)2 + y2 .

18. lim(x,y)→(0,0)

4− cos√|xy|

|xy|.

1.3 Bài tập tuần 3 : sự liên tục hàm nhiều biến (tt), đạo hàm riêng, đạohàm hàm hợp, đạo hàm theo hướng, đạo hàm riêng cấp cao

1.4 Sự liên tụcSự liên tục hàm nhiều biến: Bài tập 8-10 mục 1.3.3 [ Ch18](= 21-27 [mGt, mục 2A,trang 25]=29-38, 42-45[Ste12, trang 900, mục 14.2]).

Bài toán 8 (Bài tập 29, 31, 33, 37, 38 page 900, section 14.2 [Ste12]). Tìm tất cả các điểmmà tại đó f liên tục trong mỗi trường hợp sau:

1. f (x,y) = xy1+ex−y ;

2. f (x,y) = x−y1+x2+y2 ;

3. f (x,y) = ex2y +√

x+ y2;

4. f (x,y) = 1+x2+y2

1−x2−y2 ;

5. f (x,y) = ln(x2 + y2−4

);

6. f (x,y) =

x2y3

2x2+y2 nếu (x,y) 6= (0,0),

1 nếu (x,y) = (0,0);

7. f (x,y) =

xy

x2+xy+y2 nếu (x,y) 6= (0,0),

0 nếu (x,y) = (0,0).

Bài toán 9 (Bài tập 25, 26 page 900, section 14.2 [Ste12]). Tìm hàm h(x,y) :, g( f (x,y)) vàtập hợp mà h liên tục trên đó trong mỗi trường hợp sau:

(a) g(t) = t2 +√

t, f (x,y) = 2x+3y−6;

(b) g(t) = t + ln t, f (x,y) = 1−xy2+x2y2 .

Bài toán 10 (Bài tập 43, 44 page 900, section 14.2 [Ste12]). Khảo sát tính liên tục của hàm ftại (0,0) trong mỗi trường hợp sau

6

(a) f (x,y) =

sin(x2+y2)

x2+y2 nếu (x,y) 6= 0,

1 nếu (x,y) = (0,0);

(b) f (x,y) =

sin(xy)

xy nếu (x,y) : xy 6= 0,

1 nếu (x,y) : xy = 0;

(c) f (x,y) =

0 nếu y≤ 0 hoặc y≥ x4,

1 nếu 0 < y < x4.

(Gợi ý: cho (x,y)→ (0,0) theo đường cong y = mxa,a < 4.)

2 Bài tập đạo hàm riêngBài tập mục 1.4.2-1.4.5 [ Ch18].

2.1 Bài tập tuần 4: đạo hàm hàm ẩn, sự khả vi, ứng dụng đạo hàm -Khai triển Taylor, Xấp xỉ tuyến tính, mặt tiếp xúc

Bài tập mục 1.4.6, 1.4.8, 1.5.1-1.5.3 [ Ch18].

2.2 Bài tập tuần 5: ứng dụng đạo hàm- Cực trị không điều kiện, cực trịcó điều kiện, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Bài tập mục 1.5.4 [ Ch18].

3 Tích phân

3.1 Bài tập tuần 6 - Tích phân bội 21. Tích phân bội 2 trên miền hình chữ nhật

(a) Tổng Riemann- xấp xỉ tích phân bằng qui tắc điểm giữa: 1-5[Ste12, page 981,section 15.1] (=Bài tập 1-5 [mGt, trang 59, mục 3A]).

(b) Tích phân trong một số trường hợp đơn giản, minh họa tính chất tích phân: 17, 18,11-13[Ste12, page 981, section 15.1] (=Bài tập 11-13 [mGt, trang 60, mục 3A]).(Từ điều kiện khả tích, ta suy ra sự khả tích. Chọn dãy phân hoạch và cho qua giớihạn, ta tính được tích phân.)

(c) Diễn giải ý nghĩa tích phân -ứng dụng (thể tích, giá trị trung bình): 14 [Ste12,page 981, section 15.1]; 25-28, 30- 31; 35-36 [Ste12, pages 987-988, section15.2](=Bài tập 25-30, 31-32 [mGt, trang 61-62, mục 3B]).

(d) Lập trình (lập trình tính toán xấp xỉ tích phân bằng qui tắc điểm giữa): 15-16[Ste12, page 981, section 15.1]; 33, 34, 39[Ste12, page 988, section 15.2].

7

2. Tích phân lặp- Định lý Fubini (tách biến, miền hình chữ nhật, miền tổng quát, ...): 3-14;15-22[Ste12, page 987, section 15.2] (=Bài tập 15-22 [mGt, trang 62, mục 3B]).

3. Tích phân trên miền tổng quát - Định lý Fubini (Định lý Fubini, đổi thứ tự lấy tích phân,ý nghĩa-ứng dụng): 1-6; 7-10; 17-22; 15, 16, 43-45; 23-32, 35-36, 40-42 [Ste12, pages995-996, section 15.3](= Bài tập 39-44, 18-27 [mGt, trang 62-63, mục 3C]).

4. Công thức đổi biến - Tọa độ cực:1-32; 33-38[Ste12, pages 1002-1003, section 15.3] (=Bài tập 5-11, 16-24 [mGt, trang 64-65, mục 3D]).

3.2 Bài tập tuần 7 - Tích phân bội 31. Tính toán: 2-18, 29-32[Ste12, pages 1025-1026, section 15.7].

2. Ý nghĩa-ứng dụng: 19-22, 47-48[Ste12, pages 1025-1026, section 15.7].

3. Công thức đổi biến

(a) Công thức đổi biến tổng quát: 1-10; 15-21, 23-27[Ste12, pages 1047-1048, section15.10].

(b) Tọa độ trụ: 17-28, 29, 30 [Ste12, page 1031, section 15.8].

(c) Tọa độ cầu: 21-34, 39-41, 42 [Ste12, page 1038, section 15.9].

3.3 Bài tập tuần 8+9: Tích phân đường1. Tích phân đường loại 1

(a) Tính toán: 1-16 [Ste12, page 1072, section 16.2].

(b) Ý nghĩa - ứng dụng: 33-37 [Ste12, pages 1072-1073, section 16.2].

2. Tích phân đường loại 2


(b) Ý nghĩa - ứng dụng: 39- 48 [Ste12, pages 1072-1073, section 16.2], 17, 18, 22[Ste12, page 1090, section 16.4].

(c) Định lý cơ bản: 3-10; 12-18; 19-20; 29-35 [Ste12, page 10821, section 16.2].

(d) Định lý Green: 1-4, 5-10 [Ste12, pages 1089- 1090, section 16.4].

(e) Lập trình: 15-16 [Ste12, page 1090, section 16.4].

3.4 Bài tập tuần 10+11:Tích phân mặt1. Tích phân mặt loại 1


(b) Lập trìnhp: 16-20 [Ste12, page 1016, section 15.6].

2. Tích phân mặt loại 2

8

(a) Tính toán: 5-20; 21- 32 [Ste12, pages 1120-1121, section 16.7].

(b) Ý nghĩa -ứng dụng: 38-49 [Ste12, page 1121, section 16.7].

(c) Định lý Stokes và công thức Gauss- Ostrogradsky: 1-10; 13-17 [Ste12, page 1127,section 16.8].

(d) Định lý divergence: 1-15; 13-17 [Ste12, page 1127, section 16.9].

3. Bài tập tổng hợp: 3.3.1-3.3.14 [mGt18, trang 88-89].

3.5 Bài tập tuần 12+13: Phương trình vi phân1. Phương trình vi phân cấp 1: Chương 4A [mGt, trang 69-72] và bài tập trong [ Ch17].

2. Phương trình vi phân cấp 2: Chương 4B[mGt, trang 72-74].

Tài liệu tham khảo[ Ch17] Lê Văn Chánh. Bản ’note’ về phương trình vi phân. Khoa Toán Tin học, Trường

Đại học Khoa học Tự nhiên, 2017.

[ Ch18] Lê Văn Chánh. Giải tích nhiều biến. Khoa Toán Tin học, Trường Đại học Khoa họcTự nhiên, 2018.

[mGt] Bộ môn Giải tích. Bài tập Giải tích B2. Khoa Toán Tin học, Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên.

[mGt18] Bộ môn Giải tích. Giáo trình vi tích phân 2. Khoa Toán Tin học, Trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, 2018.

[Ste12] James Stewart. Essential calculus: Early transcendentals. Cengage Learning, 2012.

9

A Một số lời giải mẫu và bình luậnBài toán 11. Tính giới hạn (nếu tồn tại)

lim(x,y)→(0,0)

x4 + y3

x2 + y2 .

Có thể nói tất cả các lời giải bên dưới đều sử dụng Định lý kẹp. Bằng các kỹ thuật đánhgiá khác nhau để tìm ra ’hàm kẹp’. Các lời giải cồng kềnh được ’đẩy’ xuống dưới (lời giảiđược sắp theo thứ tự phức tạp dần).

Đặt f (x,y) = x4+y3

x2+y2 , (x,y) 6= (0,0).Lời giải 1.

Với (x,y) 6=(0,0), dùng bất đẳng thức trị tuyệt đối và bất đẳng thức 0≤ a2

a2+b2 ≤ 1,a, b∈R,ta thu được

∣∣∣∣x4 + y3

x2 + y2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ x4

x2 + y2 +y3

x2 + y2

∣∣∣∣≤ x4

x2 + y2 +|y3|

x2 + y2

≤ x2

x2 + y2 .x2 +

y2

x2 + y2 .|y|

≤ x2 + |y|.

Hơn nữa, lim(x,y)→(0,0)

(x2 + |y|

)= 0.

Như vậy, theo Định lý kẹp, ta nhận được lim(x,y)→(0,0)

x4 + y3

x2 + y2 = 0.

Lời giải 2. (Tìm hàm kẹp bằng tọa độ cực)Dùng tọa độ cực x = r cosφ ,y = r sinφ , f (r cosφ ,r sinφ) = r2 cos4 φ + r sin3

φ .Vì |sinφ |, |cosφ | ≤ 1 nên

| f (r cosφ ,r sinφ)| ≤ r2 + r = x2 + y2 +√

x2 + y2,∀(x,y) 6= (0,0).

Do đó, ta thu được

| f (x,y)| ≤ x2 + y2 +√

x2 + y2∀(x,y) 6= (0,0).


(x2 + y2 +

√x2 + y2

)= 0.

Do đó, theo Định lý kẹp, ta có lim(x,y)→(0,0)

x4 + y3

x2 + y2 = 0.

Lời giải 3. (Dùng bất đẳng thức BCS để làm trội tử)Với (x,y) ∈ R2, áp dụng BĐT BCS, ta nhận được∣∣x4 + y3∣∣ =

∣∣x2.x2 + y2.y∣∣≤√(x4 + y4)(x4 + y2)

≤ (x2 + y2)√

x4 + y2.

10

Do đó, ∣∣∣∣x4 + y3

x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ √x4 + y2,∀(x,y) 6= (0,0).


√x4 + y2 = 0.


x4 + y3

x2 + y2 = 0.

Lời giải 4.Với (x,y) 6= (0,0), ta có∣∣∣∣x4 + y3

x2 + y2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣(x2(x2 + y2)

)+ y2 (y− x2)

x2 + y2

∣∣∣∣∣≤ x2 +

∣∣∣∣∣y2 (y− x2)x2 + y2

∣∣∣∣∣≤ x2 +

y2

x2 + y2 .|y− x2| ≤ x2|+ |y− x2|.


(x2 + |y− x2|

)= 0.


x4 + y3

x2 + y2 = 0.

Lời giải 5.Với (x,y) 6= (0,0),ta có∣∣∣∣x4 + y3

x2 + y2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣(x4− y4)+ (y3 + y4)

x2 + y2

∣∣∣∣∣≤ ∣∣x2− y2∣∣+ ∣∣∣∣∣y2 (y+ y2)x2 + y2

∣∣∣∣∣≤

∣∣x2− y2∣∣+ y2

x2 + y2 .|y− y2| ≤∣∣x2− y2∣∣+ |y+ y2|.


(∣∣x2− y2∣∣+ |y+ y2|)= 0.


x4 + y3

x2 + y2 = 0.

Nhận xét A.1 (Một số bình luận). Các lập luận sau SAI:

(a) Vì limx→0

f (x,kx) = 0 (không phụ thuộc k) nên lim(x,y)→(0,0)

f (x,y) = 0.

(b) Vì limr→0+

f (r cosφ ,r sinφ) = 0 (không phụ thuộc φ ) nên lim(x,y)→(0,0)

f (x,y) = 0.

Bài toán 12 (Một số bài tập ’tương tự’). Tính các giới hạn sau (nếu tồn tại). Nếu không tồntại thì giải thích lý do.

(a) lim(x,y)→(0,0)

x4 + sin(y3)

x2 + y2 . (b) lim(x,y)→(0,0)

sin(x4 + y3)

x2 + y2 .

11

(c) lim(x,y)→(0,0)

x+ y5

x2 + y2 .

(d) lim(x,y)→(0,0)

x2 + y3

x2 + y2 .

(e) lim(x,y)→(0,0)

sinx2 + y3

x2 + y2 .

12

Tài liệu tham khảo[ Ch17] Lê Văn Chánh. Bản ’note’ về phương trình vi phân. Khoa Toán Tin học, Trường

Đại học Khoa học Tự nhiên, 2017.

[ Ch18] Lê Văn Chánh. Giải tích nhiều biến. Khoa Toán Tin học, Trường Đại học Khoa họcTự nhiên, 2018.

[mGt] Bộ môn Giải tích. Bài tập Giải tích B2. Khoa Toán Tin học, Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên.

[mGt18] Bộ môn Giải tích. Giáo trình vi tích phân 2. Khoa Toán Tin học, Trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, 2018.

[Ste12] James Stewart. Essential calculus: Early transcendentals. Cengage Learning, 2012.

A Các phụ lục

GIẢI TÍCH B2Vi Tích Phân của Hàm Số Nhiều Biến

JAMES STEWART

Trích Dịch và Soạn Slides:

L. K. Hà O. T. Hải N. V. Huy B. L. T. Thanh

ĐH KHTN, Khoa Toán Tin-Học, Bộ Môn Giải Tích

Ngày 28 tháng 3 năm 2016

Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội

1 Đường & Mặt Trong Không Gian

Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độMặt trụ và mặt bậc haiHàm vectơ một biến và đường cong

2 Đạo hàm riêng và sự khả vi của hàm nhiều biếnHàm số nhiều biếnGiới hạn và Sự liên tục của hàm nhiều biếnĐạo hàm riêngSự khả viQuy tắc mắt xích và Đạo hàm của hàm ẩnĐạo hàm theo hướng và vectơ gradientCực trị (không điều kiện) của hàm số nhiều biếnNhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện

3 Tích phân bộiTích phân kép trên một hình chữ nhậtTích phân lặpTích phân kép trên một miền tổng quát

GIẢI TÍCH B2 2/??


Tích phân kép trong tọa độ cựcTích phân bội baTích phân bội ba trong tọa độ trụTích phân bội ba trong tọa độ cầu


ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG

KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ


1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Không gian có ba trục số vuông góc từng cặp tại gốc O, gồm trục Ox, Oy,Oz được sắp theo qui tắc bàn tay phải như hình dưới được gọi là khônggian tọa độ Descartes.




Trong hình trên, ba trục tạo nên ba mặt phẳng: mặt-xz (bức tường trái),mặt-yz (bức tường phải), mặt-xy (nền nhà); đồng thời chia không gianthành tám phần đều nhau được gọi các octants (khối tam diện vuông).Octant thứ nhất là khoảng không trong căn phòng ở trên, định bởi phầndương của các trục.




Cách định vị một điểm P trongkhông gian như sau: gọi a làkhoảng cách (có hướng) từmặt-yz đến P; b là khoảng cáchtừ mặt-xz đến P và c là khoảngcách từ mặt-xy đến P. Khi đó, Pđược đại diện bởi bộ ba số thực.a; b; c/, sẽ được gọi là tọa độcủa P.

Các số a, b, c lần lượt được gọi là tọa-độ-x , tọa-độ-y , tọa-độ-z của P. Đểđịnh vị điểm P, ta bắt đầu từ gốc O đi a đơn vị dọc theo trục-x , tiếp tục đib đơn vị song song với trục-y , sau cùng đi c đơn vị song song với trục-z .




Từ điểm P.a; b; c/ đi theophương vuông góc với mặt-xy sẽgặp điểm Q.a; b; 0/, được gọi làhình chiếu của P lên mặt-xy.Tương tự, R.0; b; c/ và S.a; 0; c/là hình chiếu của P lên mặt-yz vàmặt-xz tương ứng.

Vậy điểm P.a; b; c/ xác định một hình hộp chữ nhật như trên, nên tọa độ.a; b; c/ được gọi là tọa-độ-hộp, nhưng ta quen gọi là tọa-độ-Descartes.




Sau đây là hình ví dụ minh họa cho trường hợp điểm .4; 3;5/ và điểm.3;2;6/.




Không gian Euclide

Người ta ký hiệu R3 là tích Descartes

R R R D˚.x ; y ; z/jx ; y ; z 2 R

;

là tập hợp tất cả các bộ ba số thực có thứ tự. Tập hợp R3 được gọilà không gian Eulide, được đồng nhất với không gian vật lý ba chiều,vì mỗi điểm P trong không gian vật lý được đại diện bởi một bộ ba.a; b; c/ 2 R3 như đã nói trên.Theo thuật ngữ tọa độ, octant thứ nhất của R3 bao gồm các điểm

có các thành phần tọa độ dương.Tổng quát, với n 2, n 2 N, ta định nghĩa

RnD˚.x1; : : : ; xn/ j 8k D 1; n; xk 2 R

:




Đường và mặt

Trong hình học tọa độ hai chiều, đồ thị của một phương trình theo xvà y là một đường cong trong R2. Trong hình học tọa độ ba chiều, mộtphương trình theo x , y , z sẽ biểu diễn một mặt trong R3.

Chú ý

Một phương trình theo x và y biểu diễn một đường trong mặt phẳng,nhưng cũng phương trình đó, lại biểu diễn một mặt trong không gian(xem ví dụ trang sau).




Ví dụ

Phương trình y D 5 biểu diễn mặt phẳng trong R3, nhưng lại biểu diễnđường thẳng trong R2 như minh họa sau




Công thức khoảng cách

Khoảng cách giữa hai điểm P1.x1; y1; z1/ và P2.x2; y2; z2/ được cho bởi

P1P2 D

p.x2 x1/2 C .y2 y1/2 C .z2 z1/2




Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm C .h; k; l/ với bán kính r được biểu diễn bởi phương trình

.x h/2 C .y k/2 C .z l/2 D r2:




Vectơ-hình-học là đoạn thẳng cómột đầu là “mũi tên”, (thường gọilà ngọn) được dùng để biểu thị vàiđại lượng trong khoa học (ví dụ, độdời hay chuyển dịch, vận tốc, lựcv.v..), vì nó thể hiện đủ hai thuộctính là độ lớn và hướng.

Hình vẽ bên trình bàyvectơ-hình-học, được ký hiệu bởi!AB, hoặc ngắn gọn hơn là !v .




Cộng vectơ: qui tắc nối tiếp

Nếu !u và !v là hai vectơ sao cho ngọn của !u trùng với gốc của !v ,thì vectơ tổng !u C!v là vectơ có gốc của !u và có ngọn của !v . Biểuthị hình học cho phép cộng là qui tắc tam giác:

!AB C

!BC D

!AC :



Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Phép cộng có tính giao hoán

Nhìn vào hình bình hành ở trên, ta thấy phép cộng vectơ có tính giaohoán

!u C!v D !v C!u




Tích-theo-hệ-số

Nếu k là một số thực và !v là một vectơ, thì tích-theo-hệ-số k!v làmột vectơ có độ dài bằng jkj nhân với độ dài của !v , cùng hướng với!v nếu k > 0, ngược hướng với !v nếu k < 0. Nếu k D 0 hoặc !v D

!0

thì k!v D!0 .




Biểu diễn vectơ bởi tọa độ

Mỗi vectơ-hình-học, là đoạn thẳng cóhướng, nếu được tịnh tiến sao cho điểmđầu của nó đặt vào gốc tọa độ, thìđiểm ngọn có tọa độ là .a1; a2/ hay.a1; a2; a3/ tùy thuộc vào không gian R2

hay R3. Lúc đó ta viết

!a D ha1; a2i hay!a D ha1; a2; a3i

Các số a1; a2; a3 được gọi là các thànhphần của !a , và !a là vectơ-đại-số.




Ví dụ: Hình vẽ bên có nhiềuvectơ-hình-học. Vectơ-đại-số!a D h3; 2i đại diện cho tất cảvectơ-hình-học này. Chúng có chungmột đặc điểm là, từ điểm đầu đến điểmcuối, có thể đi qua phải 3 đơn vị, lêntrên 2 đơn vị.

Vectơ-vị-trí

Với mỗi điểm P.a1; a2/ 2 R2 (hoặc P.a1; a2; a3/ 2 R3), vectơ!OP được

gọi là vectơ-vị-trí của điểm P.

Như vậy ta có thể đồng nhất không gian Euclide với không gian cácvectơ-đại-số, vì mỗi điểm P.a1; : : : ; an/ 2 Rn tương ứng 1-1 với vectơ-

vị-trí!OP, được đại diện bởi vectơ-đại-số !a D ha1; : : : ; ani.




Hình bên trình bày!a D

!OP D ha1; a2; a3i là vectơ vị

trí của điểm P.a1; a2; a3/ trong

không gian. Nếu !a D!AB, với

A.x ; y ; z/ và B.x1; y1; z1/, thì ta cóx1 D x C a1, y1 D x C a2,z1 D z C a3.

Công thức tính tọa độ cho vectơ-hình-học

Với hai điểm A.x1; y1; z1/ và B.x2; y2; z2/, ta có vectơ-đại-số !a đại diện

cho vectơ-hình-học!AB như sau

!AB D !a D hx2 x1; y2 y1; z2 z1i:




Các công thức khác về vectơ

Nếu !a D ha1; a2i và!b D hb1; b2i (hai chiều), k 2 R thì

!a C!b D ha1 C b1; a2 C b2i

!a !b D ha1 b1; a2 b2i

k!a D hka1; ka2i và j!a j D

qa21 C a22

Tương tự trong trường hợp ba chiều, ta có

!a C!b D ha1 C b1; a2 C b2; a3 C b3i

!a !b D ha1 b1; a2 b2; a3 b3i

k!a D hka1; ka2; ka3i và j!a j D

qa21 C a22 C a23




Vectơ cơ sở đơn vị

Trường hợp hai chiều,!i D h1; 0i và

!j D h0; 1i được gọi là hai vectơ

cơ sở (chuẩn tắc). Trường ba chiều, ba vectơ cơ sở gồm!i D h1; 0; 0i,

!j D h0; 1; 0i và

!k D h0; 0; 1i. Nếu !a D ha1; a2i (hoặc ha1; a2; a3i) thì

!a D a1!i C a2

!j hoặc !a D a1

!i C a2

!j C a3

!k :




Các tính chất về vectơ

Nếu !a ;!b và !c là các vectơ trong Rn và s, t là hai số thực, thì

1!a C

!b D

!b C!a

2 .!a C!b /C!c D !a C.

!b C!c /

3!a C

!0 D !a

4!a C .!a / D

!0

5 s.!a C!b / D s!a C s

!b

6 .s C t/!a D s!a C t!a

7 .st/!a D s.t!a /

8 1!a D !a




Định nghĩa tích vô hướng

Nếu !a D ha1; : : : ; ani và!b D hb1; : : : ; bni thì tích vô hướng của !a và

!b là số thực !a

!b được định bởi

!a !b D a1b1 C C anbn

Tính chất của tích vô hướng

Nếu !a ,!b và !c là các vectơ trong Rn và t là một số thực thì

1!a !a D j!a j2

2!a !b D

!b !a

3!a .!b C!c / D !a

!b C!a !c

4 .t!a / !b D t.!a

!b / D !a .t

!b /

5!0 !a D 0




Định lý

Nếu là số đo góc giữa hai vectơ !a và!b thì

!a !b D j!a j:j

!b j: cos I hay cos D

!a !b

j!a j:j!b j

Do đó: !a ?!b , !a

!b D 0:




Chứng minh. Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC trong hình trên,ta được

AB2D OA2

C OB2 2:OA:OB : cos (1.1)

Nhưng AB D j!b !a j, OA D j!a j và OB D j

!b j, do đó (1.1) trở thành

j!b !a j2 D j!a j2 C j

!b j2 2j!a jj

!b j cos (1.2)

Nhưng theo tính chất 1, 2, 3 của tích vô hướng thì vế trái của (1.2) đượcviết lại như sau

j!b !a j2 D .

!b !a / .

!b !a /

D j!a j2 2j!a jj

!b j C j

!b j2 (1.3)

Từ (1.2) và (1.3), ta có điều phải chứng minh.




Hình chiếu của một vectơ trên một vectơ khác

Xét !a D!PQ và

!b D

!PR như hình trên. Vectơ

!PS , với ký hiệu là

proj!a

!b , được gọi là vectơ hình chiếu của

!b lên !a .




Thành phần của!b trên !a là độ dài đại

số (độ dài có dấu) của proj!a

!b trên !a ,

được tính bởi j!b j cos , trong đó là góc

tạo bởi !a và!b . Thành phần này được ký

hiệu bởi comp!a

!b . Khi là góc tù thì

comp!a

!b 0.

Công thức

comp!a

!b D

!a !b

j!a j

proj!a

!b D

!a !bj!a j

!aj!a jD

!a !b

j!a j2

!a




CÔNG CỦA LỰC

Trong hình trên bên trái, thành phần của lực!F có công tham gia vào việc

dịch chuyển vật từ P đến Q được biểu thị bởi!PS . Do đó công của lực

!F

tham gia việc dịch chuyển vật theo độ dời!D là

W D .j!F j cos /j

!PQj D

!F !D :

Nếu là góc tù thì công sẽ âm, nghĩa là lực!F có công cản trở vật dịch

chuyển theo hướng!D .




Các góc và cosine chỉ hướng của vectơ

Mỗi vectơ !a ¤!0 sẽ hợp với hướng

dương của ba trục Ox, Oy, Oz các góc˛, ˇ và (trong khoảng Œ0; ), được gọilà các góc chỉ hướng; và cos˛, cosˇ vàcos được gọi là các cosine chỉ hướng của!a .

Định lý

Nếu !a D ha1; a2; a3i thì hcos˛; cosˇ; cos i D1

j!a j

!a là vectơ đơn vị

cùng hướng với !a , vì

cos˛ D!a !i

j!a jj!i jD

a1

j!a jI tương tự cosˇ D

a2

j!a jI cos D

a3

j!a j




Định nghĩa tích hữu hướng

Nếu !a D ha1; a2; a3i và!b D hb1; b2; b3i là hai vectơ thì tích hữu

hướng của !a và!b là vectơ mới được định bởi

!a !b D ha2b3 a3b2; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1i

D

ˇˇ!i !

j!k

a1 a2 a3b1 b2 b3

ˇˇ (về hình thức, tính như định thức)

Định lý

Vectơ !a !b vuông góc với cả hai vectơ !a và

!b , nghĩa là

!a .!a !b / D 0 và

!b .!a

!b / D 0:




Hướng của vectơ !a !b được xác

định theo qui tắc bàn tay phải nhưhình vẽ trên.

Định lý

1 Nếu là góc giữa !a và!b

(0 ) thì

j!a

!b j D j!a jj

!b j sin :

Suy ra, j!a !b j bằng diện tích

hình bình hành sinh bởi !a và!b .

2!a và

!b cùng phương khi và

chỉ khi !a !b D

!0 .




Định lý

Nếu !a ,!b và !c là các vectơ, t là số thực thì

1!a

!b D

!b !a

2 .t!a / !b D t.!a

!b / D !a .t

!b /

3!a .

!b C!c / D !a

!b C!a !c

4 .!a C!b / !c D !a !c C

!b !c

5!a .!b !c / D .!a

!b / !c

6!a .

!b !c / D .!a !c /

!b .!a

!b /!c

Tích hỗn hợp

Trong mục 5 của định lý trên, số !a .!b !c / được gọi tích hỗn hợp

của ba vectơ !a ,!b và !c .




Trong hình trên, thể tích hìnhhộp bằng diện tích hình bình

hành đáy S D j!b !c j nhân độ

cao h D j!a j cos .

Công thức thể tích hình hộp

Ba vectơ !a D ha1; a2; a3i,!b D

hb1; b2; b3i và!c D hc1; c2; c3i sinh ra

hình hộp có thể tích cho bởi

V D j!a .!b !c /j D

ˇˇa1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

ˇˇ




Mô-men xoắn

Hướng của vectơ ! tiếntheo trục quay. Với cùng độ

lớn của lực!F , số đo là

bao nhiêu thì cường độmô-men quay lớn nhất?

Ý tưởng cho khái niệm tích hữu hướng bắtnguồn từ vật lý. Cụ thể, chúng ta xét một

lực!F tác động lên vật thể cứng tại một

điểm đặt có vectơ vị trí !r , chẳng hạn nhưchúng ta xiết bu-loong bằng cách áp mộtlực lên chìa khóa vặn như hình bên, khi đósẽ xuất hiện hiệu ứng quay. Mô-men quayquanh gốc O được định nghĩa là vectơ

! D!r

!F ;

nó nói lên xu hướng quay của vật thể quanhtâm O mạnh hay yếu.




Trong hình trên, điểmP0.x0; y0; z0/ và P.x ; y ; z/ lầnlượt có vectơ-vị-trí là !r0 và!r .

Phương trình đường thẳng

Nếu P thuộc đường thẳng L đi qua P0

với vectơ chỉ phương !v D ha; b; ci, thì!r thỏa phương trình

!r D !r0 C t!v ; t 2 R (1.4)

nghĩa là x ; y ; z thỏa

x D x0 C at y D y0 C bt z D z0 C ct(1.5)

Phương trình (1.4) và (1.5) được gọi là phương trình vectơ và phươngtrình tham số của đường thẳng L.




Phương trình vectơ biểu diễn đoạn thẳng nối P0 và P là

!r D !r0 C t!v ; 0 t 1

Khử t trong phương trình (1.5), ta có dạng chính tắc của đườngthẳng

x x0aD

y y0bD

z z0c




Phương trình mặt phẳng

Trong không gian tọa độ Oxyz, nếu mặt phẳng .˛/ đi qua điểmP.x0; y0; z0/ và vuông góc với !n D ha; b; ci thì phương trình của mặtphẳng .˛/ là một trong các dạng sau

a.x x0/C b.y y0/C c.z z0/ D 0

ax C by C cz .ax0 C by0 C cz0/ D 0

ax C by C cz C d D 0, trong đó d D .ax0 C by0 C cz0/

ax C by C cz D ax0 C by0 C cz0



1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Mặt trụ & Mặt bậc hai

Ở bậc phổ thông, sinh viên đã biết mặt phẳng và mặt cầu. Sau đây, chúngta sẽ tìm hiểu mặt trụ (cylinder) và mặt bậc hai (quadric surface)

Định nghĩa

Mặt trụ là mặt bao gồm các đường thẳng song song (ta gọi là cácđường kẻ, rulings) với một đường thẳng cho trước và các đườngkẻ này tựa lên một đường cong phẳng cho trước.

Mặt bậc hai là mặt chứa các điểm có tọa độ thỏa một phươngtrình bậc hai và chứa đủ ba biến x , y và z .




Chú ý

Cách hữu dụng để hiển thị hay phác họamột mặt cong là xác định phần giao củanó với các mặt phẳng song song với cácmặt tọa độ. Các đường giao tuyến congnày được gọi là vết (trace) và tạo nênhình ảnh của lưới (gridlines)

Tiếp theo là các ví dụ.




Ví dụ

Mô tả và phác họa mặt (S) có phươngtrình z D x2.

Lưu ý phương trình này không chứa biếny , có nghĩa rằng mọi điểm P.x ; y ; z/ thuộcmặt cong (S) có hình chiếu lên mặt-xz sẽthuộc parabol “z D x2”.

Nói cách khác, vết (cắt) của mặt phẳng y D k với mặt (S) là một parabol(mặt y D k song song với mặt-xz). Vết của mặt x D k hay z D k với (S)là các đường thẳng song song với trục Oy (ta gọi là các đường kẻ,rulings). Vậy (S) có dạng một lòng máng parabol, và là mặt trụ.




Ví dụ

Phác họa mặt cong z D y2 x2.

Các vết trong mặt x D kHình chiếu của các vết trong mặtx D k lên mặt-yz là các parabolz D y2 k2




Các vết trong mặt y D kHình chiếu của các vết trong mặty D k lên mặt-xz là các parabolz D k2 x2




Các vết trong mặt z D k

Hình chiếu của các vết trong mặtz D k lên mặt-xy là các hyperbolk D y2 x2




Hình phác họa của mặt z D y2 x2




Phân loại mặt bậc hai

Ellipsoid

Ellipsoid có phương trình

x2

a2C

y2

b2C

z2

c2D 1

Các vết đều là đường ê-lip.

Trường hợp a D b D c thì Ellipsoid làmặt cầu.




Cone (Nón)

Phương trình mặt nón là

z2

c2D

x2

a2C

y2

b2

Các vết ngang đều là đường ê-lip.

Vết đứng trong các mặt phẳng x D k ,y D k , với k 6D 0, là các đường hyperbola.Nếu k D 0 thì vết là các cặp đường thẳng.




Elliptic Parboloid

Mặt Elliptic Paraboloid có phương trình

z

cD

x2

a2C

y2

b2

Các vết ngang là các đường ê-lip.

Vết đứng là các parabola.

Biến bậc nhất của phương trình xác địnhtrục của mặt Elliptic Paraboloid.




Hyperbolic Paraboloid

Mặt Hyperbolic Paraboloid có phươngtrình

z

cD

x2

a2

y2

b2

Các vết ngang là các đường hyperbola.

Vết đứng là các parabola.

Biến bậc nhất của phương trình xác địnhtrục của mặt Elliptic Paraboloid.

Hình bên minh họa cho trường hợp c < 0.




Hyperboloid Of One Sheet

Mặt Hyperboloid-một-mảnh có phươngtrình

x2

a2C

y2

b2

z2

c2D 1

Các vết ngang là các đường ê-lip.

Vết đứng là các hyperbola.

Trục đối xứng tương ứng với biến manghệ số âm.




Hyperboloid Of Two Sheets

Mặt Hyperboloid-hai-mảnh có phươngtrình

x2

a2

y2

b2C

z2

c2D 1

Các vết ngang trong mặt z D k là cácđường ê-lip khi jkj > jcj.

Các vết đứng là các hyperbola.

Hai dấu trừ trong phương trình cho biếtmặt có hai mảnh.




Bộ truyền động của hộp số trong động cơ xe có hình dạng Hyperboloidmột mảnh.



1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong

Hàm vectơ một biến & Đường cong

Hàm vectơ một biến

Cho n hàm số một biến f1; : : : ; fn. Với mỗi giá trị của biến t(thuộc một khoảng-đoạn nào đó), ta có vectơ trong Rn như sau

!r .t/ D˝f1.t/; f2.t/; : : : ; fn.t/

˛Vậy ta có hàm vectơ một biến !r .

Nếu các hàm số fk có giới hạn tại a, ta định nghĩa

limt!a

!r .t/ D˝limt!a

f1.t/; : : : ; limt!a

fn.t/˛




Nếu !r là vectơ vị trí củađiểm P

f .t/; g.t/; h.t/

thì khi t thay đổi, P sẽvạch ra một đường congC trong không gian (vớigiả thiết rằng hàm vectơ!r liên tục).

Hàm vectơ liên tục

Hàm vectơ !r D hf1; : : : ; fni liên tục tại a cónghĩa là

limt!a

!r .t/ D !r .a/;

cũng có nghĩa là các hàm thành phần fk liêntục tại a.

Có một sự liên hệ gần giữa hàm vectơ liên tụcvà đường cong phẳng hoặc đường cong khônggian (xem hình bên).




Nếu f ; g ; h là ba hàm số một biến liên tục trên một đoạn-khoảng I nàođó, thì tập hợp C gồm các điểm .x ; y ; z/ sao cho

x D f .t/; y D g.t/; z D h.t/ (1.6)

và t thay đổi trên khoảng-đoạn I, là một đường cong trong không gian.

Phương trình (1.6) được gọi là hệ phương trình tham số của C , và t làtham số.




Ví dụ

Phác họa đường cong có phương trình vectơ !r .t/ D cos t!i Csin t

!j C

t!k .

Phương trình tham số của đường cong là

x D cos t; y D sin t; z D t

Vì x2C y2 D 1 nên đường cong nằm trên mặt trụtròn có phương trình x2 C y2 D 1. Điểm .x ; y ; z/của đường cong có hình chiếu lên mặt-xy là.x ; y ; 0/. Khi t tăng thì điểm .x ; y ; 0/ chạy ngượcchiều kim đồng hồ trên đường tròn x2 C y2 D 1.Vì z D t nên đường cong xoắn ốc quanh mặt trụ,hướng lên trên khi t tăng, nó có hình lò xo.




Ví dụ

Tìm phương trình vectơ biểu diễn đường cong giao tuyến của mặt trụx2 C y2 D 1 và mặt phẳng y C z D 2.




Hình chiếu của đường cong lên mặt-xy là đường tròn x2 C y2 D 1, z D 0,do đó ta có thể đặt

x D cos t; y D sin t; 0 t 2

Từ phương trình y C z D 2, ta suy ra z D 2 sin t. Ta có phương trìnhtham số của đường cong là

x D cos t; y D sin t; z D 2 sin t; 0 t 2

Và phương trình vectơ tương ứng là

!r .t/ D cos t!i C sin t

!j C .2 sin t/

!k ; 0 t 2




Sự khả vi và Vectơ tiếp tuyến

Với hàm vectơ !r , ta định nghĩa

d!r

dtD!r 0.t/ D lim

h!0

!r .t C h/ !r .t/

h

nếu giới hạn trên tồn tại.

Ý nghĩa hình học được trình bày trong hìnhbên. Nếu hai điểm P và Q có vectơ vị trí là!r .t/ và !r .t C h/ tương ứng thì

!PQ là biểu

diễn hình học của !r .t C h/ !r .t/, xemnhư là vectơ cát tuyến của đường cong.




Nếu h > 0 thì Œ!r .t C h/ !r .t/=h có cùng hướng với !r .t C h/ !r .t/.Khi h! 0, có vẻ như vectơ này tiếp cận với một vectơ nằm trên đườngtiếp tuyến. Vì lý do này mà !r 0.t/ được gọi vectơ tiếp tuyến với đườngcong định bởi !r tại điểm P, miễn là tồn tại !r 0.t/ và !r 0.t/ ¤ 0. Tiếptuyến với đường cong tại P là đường thẳng qua P có vectơ chỉ phương là!r 0.t/.

Đôi khi, ta cũng xét vectơ tiếp tuyến đơn vị định bởi

!T .t/ D

!r 0.t/ˇ!r 0.t/

ˇ :Định lý

Nếu !r .t/ D hf .t/; g.t/; h.t/i, với f ; g ; h là các hàm số khả vi, thì

!r 0.t/ D hf 0.t/; g 0.t/; h0.t/i D f 0.t/!i C g 0.t/

!j C h0.t/

!k




Qui tắc đạo hàm

Nếu !u và !v là hai hàm vectơ khả vi, c là hằng số thực, f là hàm sốthực một biến khả vi, thì

1d

dtŒ!u .t/C!v .t/ D !u 0.t/C!v 0.t/

2d

dtŒc!u .t/ D c!u 0.t/

3d

dtŒf .t/!u .t/ D f 0.t/!u .t/C f .t/!u 0.t/

4d

dtŒ!u .t/ !v .t/ D !u 0.t/ !v .t/C!u .t/ !v 0.t/

5d

dtŒ!u .t/ !v .t/ D !u 0.t/ !v .t/C!u .t/ !v 0.t/

6d

dtŒ!u .f .t// D f 0.t/!u 0.f .t//




Hệ quả

Nếu !r là hàm vectơ khả vi vàˇ!r .t/

ˇD c (là hằng số độc lập với t)

thì !r 0.t/ là vectơ vuông góc với !r .t/, với mọi t.

Chứng minh. Từ giả thiết, ta suy raˇ!r .t/

ˇ2D!r .t/ !r .t/ D c2. Lấy

đạo hàm theo t ở hai vế, ta được

!r 0.t/ !r .t/C!r .t/ !r 0.t/ D 0; 8t:

Suy ra 2!r 0.t/ !r .t/ D 0, nghĩa là !r 0.t/ vuông góc với !r .t/.




Tại một điểm trên một đường cong không gian !r .t/ trơn (khả vi), có

nhiều vectơ cùng vuông góc với vectơ tiếp tuyến đơn vị!T .t/, mà ta đơn

cử hai hai trường hợp: Vìˇ!T .t/

ˇD 1 (hằng số độc lập với t) nên

!T 0.t/

vuông góc với!T .t/. Do đó ta có định nghĩa sau

Vectơ pháp tuyến & Vectơ phó pháp tuyến (tạm dịch)

Cho đường cong không gian !r .t/ khả vi. Các vectơ sau

!N .t/ D

!T 0.t/ˇ!T 0.t/

ˇ ; !B .t/ D !T .t/ !N .t/lần lượt được gọi là vectơ pháp tuyến (đơn vị) vectơ phó pháp tuyến.

Nhắc lại rằng!T .t/ D

!r 0.t/ˇ!r 0.t/

ˇ là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường

cong.




Hình minh họa cho vectơ tiếp tuyến, pháp tuyến và phó pháp tuyến củađường cong




Độ dài đường cong.

Giả sử một đường cong (trong không gian hoặc trong mặt phẳng) cóphương trình vectơ là

!r .t/ D hf .t/; g.t/; h.t/i hoặc !r .t/ D hf .t/; g.t/i; với a t b;

trong đó các đạo hàm f 0; g 0; h0 liên tục trên Œa; b. Hơn nữa, khi t tăngtừ a đến b, điểm P

f .t/; g.t/; h.t/

(hoặc là P

f .t/; g.t/

) không đi

qua khoảng nào của đường cong nhiều hơn một lần. Khi đó, độ dài củađường cong được định nghĩa bởi công thức sau

L D

Z b

a

ˇ!r 0.t/

ˇdt D

Z b

a

pŒf 0.t/2 C Œg 0.t/2dt (1.7)

hoặc là L D

Z b

a

pŒf 0.t/2 C Œg 0.t/2 C Œh0.t/2dt: (1.8)




Ý tưởng để thiết lậpcông thức tính độ dàiđường cong ở(1.7)-(1.8) là lấy giớihạn tổng độ dài cácđoạn thẳng gấp khúcnối các điểm liên tiếptrên đường cong, khi sốđiểm dần đến vô hạn.




Công thức độ dài độc lập với cách tham số hóa

Một đường cong được biểu diễn bởi phương trình vectơ, hay tham sốtheo nhiều cách. Ví dụ, một đường cong đơn C có hai cách biểu diễnsau

!r 1.t/ D ht; t2; t3i 1 t 2

!r 2.u/ D heu; e2u; e3ui 0 u ln 2

Nếu ta dùng công thức tính độ dài đường cong ở (1.8) theo hai cáchtham số hóa trên thì ta có cùng kết quả.

Nói một cách tổng quát, sau đây ta sẽ thấy khi công thức (1.7)-(1.8)được dùng để tính độ dài đường cong, thì kết quả sẽ độc lập với cáchtham số hóa đường cong.




Xét đường cong C cho bởi hàm vectơ

!r .t/ D f .t/!i C g.t/

!j C h.t/

!k

a t b

trong đó !r 0 liên tục và khi t tăng từ ađến b thì đường cong được vẽ đúng 1 lần(1 nét, không trùng lại). Ta định nghĩahàm số độ dài cung s bởi

s.t/ D

Z t

a

ˇ!r 0.u/

ˇdu D

Z t

a

rdxdu

2Cdydu

2Cdzdu

2du (1.9)

Nghĩa là s.t/ là độ dài một phần của C từ !r .a/ đến !r .t/ như hình bên.Theo định lý cơ bản của giải tích (giáo trình giải tích B1) thì

ds

dtDˇ!r 0.t/

ˇGIẢI TÍCH B2 69/??



Người ta thường tham số hóa đường cong theo độ dài cung, bởi vìmột cách tự nhiên thì độ dài cung là do hình dạng đường cong quyết địnhvà không phụ thuộc vào hệ thống tọa độ nào cả. Nếu đường cong !r .t/cho trước theo tham số t và s.t/ là độ dài cung cho bởi (1.9), thì ta cóthể giải t như là một hàm biến s: t D t.s/. Vậy ta tham số hóa lại đườngcong (tham số s)

C W !v .s/ D !rt.s/




Ví dụ

Hãy tham số hóa lại đường lò xo !r .t/ D cos t!i C sin t

!j C t

!k theo

độ dài cung được đo từ .1; 0; 0/ theo hướng tăng của t.

Giải. Điểm đầu .1; 0; 0/ tương ứng với t D 0. Ta có

ds

dtDˇ!r 0.t/

ˇD

p. sin t/2 C cos2 t C 12 D

p2

do đó s D s.t/ D

Z t

0

ˇ!r 0.u/

ˇdu D

Z t

0

p2du D t

p2. Thay t D s=

p2, ta

có tham số hóa của lò xo theo độ dài cung như sau

!rt.s/

D cos

sp2

!i C sin

sp2

!j C

sp2

!k s 0 2


ĐẠO HÀM RIÊNG

& SỰ KHẢ VI

CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN


2.1. Hàm số nhiều biến

Hàm số hai biến

Hàm số hai biến f là một qui tắc gán mỗi cặp số thực có thứ tự.x ; y/, thuộc một tập hợp D, với duy nhất một số thực f .x ; y/.Tập hợp D được gọi là miền xác định của f . Miền giá trị của flà tập hợp các giá trị mà f có, nghĩa là tập

˚f .x ; y/j.x ; y/ 2 D

.

Ta thường viết z D f .x ; y/ để hiển thị giá trị của f tại một điểm.x ; y/ nói chung của miền xác định.

Nếu f được biểu diễn bởi một biểu thức mà không được chỉ rõmiền xác định, thì ta hiểu ngầm miền xác định của f là tập hợpcác cặp số .x ; y/ làm cho biểu thức hàm có nghĩa.




Hàm số hai biến có miền xác định là tập con của R2, miền giá trị trong R.Do đó, ta có thể dùng sơ đồ mũi tên sau đây để diễn tả hàm số f có miềnxác định D là một phần của mặt phẳng xy.




Có bốn cách biểu diễn một hàm số hai biến

Diễn đạt bằng lời

Trưng bảng giá trị

Diễn đạt bằng công thức đại số

Biểu diễn bằng đồ thị hoặc các đường đồng mức.




Ví dụ

Hàm số trong mỗi câu sau được biểu diễn bởi công thức đại số. Hãytính f .3; 2/ và tìm miền xác định của nó.

(a) f .x ; y/ D x ln.y2 x/ (b) f .x ; y/ D

px C y C 1

x 1

Giải

(a) f .3; 2/ D 3 ln.22 3/ D 3 ln 1 D 0.Vì ln.y2 x/ chỉ xác định khiy2 x > 0, nghĩa là x < y2. Do đó miềnxác định là

˚.x ; y/jx < y2

. Đây là tập

hợp các điểm nằm bên trái parabolax D y2 như hình bên.




(b) f .3; 2/ D

p3C 2C 1

3 1D

p6

2.

Biểu thức của hàm f có nghĩa khi mẫukhác 0, biểu thức trong căn không âm. Dođó miền xác định của f là˚

.x ; y/jx C y C 1 0; x 6D 1:

Bất đẳng thức x C y C 1 0, hayy x 1, mô tả các điểm .x ; y/ nằmtrên hoặc phía trên đường thẳngy D x 1, trong khi x 6D 1 nói lên rằngđường thẳng x D 1 bị loại khỏi miền xácđịnh.




Ví dụ. Chỉ-số-lạnh-cảm-tính là đại lượng W phụ thuộc vào nhiệt độ T vàvận tốc gió v , ta viết W D f .T ; v/. Hàm số f được diễn tả bằng bảng giátrị sau (ví dụ, f .5; 50/ D 15)




Đồ thị hàm số haibiến

Nếu hàm số hai biếnf có miền xác địnhD thì đồ thị của flà tập hợp các điểm.x ; y ; z/ trong R3 saocho z D f .x ; y/ và.x ; y/ thuộc D. Nóichung, đồ thị này códạng mặt cong.




Ví dụ. Hàm số f định bởi f .x ; y/ D sin x C sin y có đồ thị như hình sau




Các đường đồng mức

Các đường đồng mức củamột hàm số f , có hai biến,là những đường cong (trongmặt phẳng xy) có phươngtrình f .x ; y/ D k , với k làhằng số thuộc miền giá trịcủa f .

Nói cách khác, vết của đồ thịhàm f với mặt ngang z D kcó hình chiếu lên mặt-xy làđường đồng mức.

Tập hợp các đường đồng mức trongmặt-xy được gọi là contour map, mộtthuật ngữ của ngành địa lý, dùng để mô tảđịa hình trên bản đồ.




Hình bên trình bày cácđường đồng mức trong bảnđồ địa hình của núiLonesome, mô tả độ caocủa các vị trí khác nhau sovới mặt nước biển. Bề mặtđịa hình xem như đồ thị củahàm số hai biến.

Tương tự, trong ngànhđịa lý cũng có bản đồ cácđường đẳng áp (isobars),đường đẳng nhiệt(isothermals).




Bản đồ trên trình bày các đường đẳng nhiệt, mô tả nhiệt độ trung bìnhcủa mặt nước biển trên thế giới (độ Celcius) vào tháng Giêng, 1989.




Ví dụ

Hình bên là contour map của hàm số haibiến f . Dựa vào đó, hãy ước đoán giá trịcủa f .1; 3/ và f .4; 5/.

Giải. Điểm .1; 3/ nằm ở phần giữa haiđường đồng mức có giá trị z là 70 và 80.Chúng ta ước đoán

f .1; 3/ 73

Tương tự, chúng ta ước đoán

f .4; 5/ 56:




Ví dụ

Hãy phác họa vài đường đồng mứcvà đồ thị của hàm số h.x ; y/ D4x2 C y2.

Giải. Các đường đồng mức là

4x2 C y2 D k hayx2

k=4C

y2

kD 1;

với k > 0, mô tả họ các đường ê-lipvới độ dài các trục là

pk=2 và

pk .

Hình bên là các đường ê-lip vớik D 0; 25I 0; 5I 0; 75I : : : I 4.

Nâng các đườngđồng mức lên độcao k tương ứngthì ta được các vếtcủa đồ thị với mặtz D k .




Hàm số ba biến

Hàm số ba biến, f , là một qui tắc gán mỗi bộ ba số thực có thứtự .x ; y ; z/, trong miền xác định D R3, với duy nhất số thựcđược ký hiệu là f .x ; y ; z/.

Ta không thể biểu diễn đồ thị của hàm số ba biến bởi hình vẽ.Tuy nhiên ta có thể biểu diễn các mặt đồng mức của f , là cácmặt cong có phương trình f .x ; y ; z/ D k, với k thuộc miền giá trịcủa f .

Ví dụ, nhiệt độ T tại mỗi điểm trên mặt đất phụ thuộc vào kinh độ x , vĩđộ y và thời điểm t. Vì thế, ta có thể viết T D f .x ; y ; t/.




Ví dụ

Tìm các mặt đồng mức của hàm sốba biến f .x ; y ; z/ D x2 C y2 C z2.

Giải. Các mặt đồng mức làx2 C y2 C z2 D k , k 0. Cácphương trình này mô tả họ các mặtcầu đồng tâm tại gốc 0, bán kínhpk . Khi điểm .x ; y ; z/ chạy khắp

mặt cầu bất kỳ tâm tại gốc 0 thì giáf .x ; y ; z/ không đổi.




Hàm số n biến

Hàm số n biến, f , là một qui tắc gán mỗi bộ-thứ-tự-n-số(n-tuple) thực .x1; x2; : : : ; xn/, với duy nhất một số thựcz D f .x1; x2; : : : ; xn/. Chúng ta ký hiệu không gian Euclide Rn làtập hợp các n-tuple.

Mỗi phần tử trong không gian Euclide Rn có thể được ký hiệungắn gọn là điểm P, có tọa độ .x1; x2; : : : ; xn/, hoặc tương ứng

1-1 với một vectơ vị trí !x D!OP D hx1; x2; : : : ; xni. Do đó, ta có

ba cách nhìn về một hàm số f xác định trên một tập con của Rn

như sau:

Đó là hàm số phụ thuộc n biến thực x1; x2; : : : ; xnĐó là hàm số một biến là điểm, z D f .P/Đó là hàm số một biến là vectơ, z D f .!x /.

Cả ba cách nhìn trên đều hữu dụng theo từng ngữ cảnh.



2.2. Giới hạn và Sự liên tục

Định nghĩa giới hạn

Cho f là hàm số hai biến xác định trên D và .a; b/ là điểm tụ của D,nghĩa là, D luôn chứa những điểm có thể gần .a; b/ tùy ý. Ta nói rằngGiới hạn của f .x; y/ khi .x; y/ tiến về .a;b/ bằng L, và ta viết

lim.x;y/!.a;b/

f .x ; y/ D L; (2.1)

có nghĩa là với mọi số " > 0 cho trước, theo đó có một số ı > 0 saocho

nếu .x ; y/ 2 D và 0 <p.x a/2 C .y b/2 < ı thì

ˇf .x ; y/ L

ˇ< "

Những cách viết khác của (2.1) là

limx!ay!b

f .x ; y/ D L hoặc f .x ; y/! L khi .x ; y/! .a; b/




Lưu ý rằngˇf .x ; y/ L

ˇlà độ lớn sai số giữa f .x ; y/ và L,p

.x a/2 C .y b/2 là khoảng cách giữa hai điểm .x ; y/ và .a; b/. Dođó, định nghĩa trên được hiểu đại khái rằng sai số giữa f .x ; y/ và L có thểnhỏ tùy ý, miễn là điểm .x ; y/ đủ gần (và không trùng) điểm .a; b/. Hìnhdưới minh họa ý đó

Với " > 0 cho trước, theo đó ta tìm được đĩa tròn Dı tâm .a; b/, bán kínhı sao cho mọi điểm trong đĩa tròn được f ánh xạ vào khoảng .L "; LC "/.




Một cách khác minh họa định nghĩagiới hạn là với số " > 0 cho trước,theo đó ta tìm được đĩa tròn Dı saocho khi .x ; y/ nằm trong đĩa Dı thìphần tương ứng của đồ thị nằm giữahai mặt phẳng ngang z D L " vàz D LC ".




Đối với giới hạn hàm số một biến, limx!a

f .x/, thì x tiến về a theo hai

hướng, trái và phải. Nhắc lại rằng giới hạn limx!a

f .x/ tồn tại khi và chỉ khi

tồn tại limx!a

f .x/ D limx!aC

f .x/.

Đối với giới hạn hàm hai biến, lim.x;y/!.a;b/

f .x ; y/, thì .x ; y/ có thể tiến

về .a; b/ theo vô số hướng, miễn là .x ; y/ vẫn trong miền xác định của f .Do đó

Hệ quả của định nghĩa giới hạn

Nếu f .x ; y/ ! L1 khi .x ; y/ ! .a; b/dọc theo đường cong C1; f .x ; y/ ! L2khi .x ; y/ ! .a; b/ dọc theo đường congC2, trong đó L1 ¤ L2, thì không tồn tại

lim.x;y/!.a;b/

f .x/.




Ví dụ

Chứng minh rằng giới hạn lim.x;y/!.0;0/

x2 y2

x2 C y2không tồn tại.

Giải. Đặt f .x ; y/ Dx2 y2

x2 C y2. Trước hết, cho .x ; y/ tiến về (nhưng không

trùng) .0; 0/ dọc theo trục Ox. Khi đó y D 0 dẫn đếnf .x ; 0/ D x2=x2 D 1, do đó

f .x ; y/! 1 khi .x ; y/! .0; 0/ dọc theo Ox:

Tiếp theo, cho .x ; y/ tiến về (không trùng) .0; 0/ dọc theo trục Oy bằngcách lấy x D 0. Khi đó f .0; y/ D y2=y2 D 1, suy ra

f .x ; y/! 1 khi .x ; y/! .0; 0/ dọc theo Oy:

Vì f có hai giới hạn khác nhau dọc theo hai hướng khác nhau nên giới hạnđã cho không tồn tại.




Ví dụ

Cho hàm số f .x ; y/ Dxy

x2 C y2.

Khảo sát lim.x;y/!.0;0/

f .x ; y/.

Hình bên là đồ thị hàm số f , khôngxác định tại .0; 0/. Có vẻ như khi.x ; y/ tiến dần về .0; 0/ thì điểmPx ; y ; f .x ; y/

trên đồ thị không

tiến dần về một độ cao nhất địnhnào. Sinh viên tự chứng minhkhông tồn tại giới hạn trên.

Tương tự, hãy khảo sát

lim.x;y/!.0;0/

xy2

x2 C y4.




Ví dụ

Khảo sát giới hạn lim.x;y/!.0;0/

f .x ; y/ với f .x ; y/ D3x2y

x2 C y2.

Giải. Với mọi .x ; y/ ¤ .0; 0/, ta cóˇf .x ; y/ 0

ˇD

ˇ 3x2y

x2 C y2

ˇD 3jy j

x2

x2 C y2 3jy j 3

px2 C y2 (2.2)

Từ đó, ta dễ đoán rằng tồn tại giới hạn lim.x;y/!.0;0/

f .x ; y/ D 0. Thật vậy,

cho trước số " > 0 tùy ý, ta thấy số dương ı D "=3 thỏa điều sau, dựa vào(2.2),

nếu 0 <p.x 0/2 C .y 0/2 < ı thì

ˇf .x ; y/ 0

ˇ 3ı D ";

nghĩa là ta dựa vào định nghĩa giới hạn để chứng minhlim

.x;y/!.0;0/f .x ; y/ D 0.




Các tính chất bảo toàn phép tính của giới hạn (ví dụ như giới hạn củatổng bằng tổng các giới hạn, nếu tồn tại, v.v. . . ) trong hàm số một biếncũng đúng cho hàm số hai biến. Định lý giới hạn kẹp cũng vậy:

Định lý giới hạn kẹp

Giả sử

tồn tại các giới hạn lim.x;y/!.a;b/

g.x ; y/ D lim.x;y/!.a;b/

h.x ; y/ D L

g.x ; y/ f .x ; y/ h.x ; y/, đúng với mọi .x ; y/ trong một đĩatròn nào đó có tâm .a; b/.

Khi đó, lim.x;y/!.a;b/

f .x ; y/ D L.




Định nghĩa sự liên tục

Hàm số f hai biến, xác định trên D, được gọi là liên tục tại điểm .a; b/có nghĩa là

lim.x;y/!.a;b/

f .x ; y/ D f .a; b/ (đương nhiên .a; b/ 2 D)

Ta nói f liên tục trên D (hoặc nói vắn tắt là liên tục) nghĩa là f liêntục tại mọi điểm thuộc D.




Định lý 1

1 Nếu các hàm số (hai biến) liên tục thì tổng, hiệu, tích và thương(nếu thương có nghĩa) của chúng cũng là một hàm số liên tục.

2 Nếu f là hàm số hai biến liên tục (hoặc liên tục tại .a; b/) và g làsố một biến liên tục (hoặc liên tục tại f .a; b/) thì hàm hợp g B flà hàm hai biến liên tục (hoặc liên tục tại .a; b/).

Ví dụ. Hàm sin là hàm số một biến liên tục, và hàm f định bởif .x ; y/ D x C y cũng liên tục (sẽ nói sau). Khi đó hàm hợpsin Bf .x ; y/ D sin.x C y/ cũng liên tục.




Đối với hàm số hai biến f liên tục tại .a; b/ thì việc tính giới hạn củaf .x ; y/ khi .x ; y/ tiến đến .a; b/ rất đơn giản, bằng cách thế .x ; y/ bởi.a; b/. Vấn đề đặt ra là những dạng hàm nào là liên tục. Ta bắt đầu với bahàm đơn giản nhất

Định lý 2

Hàm hằng cùng với hai hàm hình chiếu p1 và p2 định bởi

p1.x ; y/ D x I p2.x ; y/ D y ;

là các hàm liên tục.

Sinh viên tự kiểm chứng điều trên, dựa vào định nghĩa giới hạn và hai bấtđẳng thức sau

jx j px2 C y2; jy j

px2 C y2:




Hàm sơ cấp hai biến

Các hàm sơ cấp một biến, các hàm trong định lý 2, kết hợp với định lý1 sẽ tạo ra các hàm hai biến mới liên tục tại mọi điểm thuộc miền xácđịnh, mà ta tạm gọi là các hàm hai biến sơ cấp.

Ví dụ. Các hàm số f , g sau đây là các hàm sơ cấp, được thành lập theocách nói trên

f .x ; y/ Dx y

2x2 C y2; f liên tục tại .x ; y/ ¤ .0; 0/

g.x ; y/ D ln x y

2x2 C y2

; liên tục tại .x ; y/ ¤ .0; 0/ sao cho x > y




Ví dụ

Khảo sát sự liên tục của hàm f và g định bởi

a/ f .x ; y/ D

8<:3x2y

x2 C y2nếu .x ; y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x ; y/ D .0; 0/

b/ g.x ; y/ D

8<:3x2y

x2 C y2nếu .x ; y/ ¤ .0; 0/

2 nếu .x ; y/ D .0; 0/

Giải. Tại điểm .a; b/ ¤ .0; 0/ thì cả f và g đều liên tục, vì chúng là hàmsơ cấp trên tập R2

n f.0; 0/g. Sau đây, ta khảo sát tính liên tục tại (0,0).Trong ví dụ trước, ta đã chứng minh rằng khi .x ; y/! .0; 0/ thìf .x ; y/! 0 D f .0; 0/ và g.x ; y/! 0 ¤ 2 D g.0; 0/. Vậy f liên tục tại.0; 0/ và g không liên tục tại .0; 0/.




Giới hạn và Sự liên tục của hàm n biến

Mỗi phần tử .x1; : : : ; xn/ của Rn có thể đồng nhất với điểm P (có tọađộ .x1; : : : ; xn/) hoặc đồng nhất với vectơ !x D hx1; : : : ; xni. Nếu xét thêmphần tử khác là A.a1; : : : ; an/ hoặc

!a D ha1; : : : ; ani, ta ký hiệu

AP Dˇ!x !a

ˇD

p.x1 a1/2 C C .xn an/2

P ! A, hoặc !x ! !a , có nghĩa là AP Dˇ!x !a

ˇ! 0.




Định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm n biến

Cho f là một hàm số xác định trên tập hợp Df , con của Rn.

1 Cho điểm A, được đồng nhất với vectơ vị trí !a , là điểm tụ củaDf , theo nghĩa Df luôn chứa những điểm P (đồng nhất với !x )gần với điểm A một cách tùy ý. Khi đó, ký hiệu lim

!x !!a

f .!x / D L,

hoặc limP!A

f .P/ D L, có nghĩa là với mọi số " > 0 cho trước, theo

đó tồn tại số ı > 0 sao cho

nếu !x 2 Df và 0 <ˇ!x !a

ˇ< ı thì

ˇf .!x / L

ˇ< "

2 Giả sử A 2 Df . Ta nói f liên tục tại A có nghĩa làlim!x !!a

f .!x / D f .!a /, hoặc limP!A

f .P/ D f .A/.



2.3. Đạo hàm riêng

Định nghĩa đạo hàm riêng

Cho f là hàm số hai biến x và y . Nếu ta xem y như hằng số và lấy đạohàm theo x , ta được đạo hàm riêng của f theo x , ký hiệu bởi fx . Tươngtự, ta được đạo hàm riêng của f theo y , ký hiệu bởi fy . Nói cách khác,fx và fy là các hàm số được định bởi

fx .x ; y/ D limh!0

f .x C h; y/ f .x ; y/

h

fy .x ; y/ D limh!0

f .x ; y C h/ f .x ; y/

h;

miễn là các giới hạn trên tồn tại.

Tuy nhiên, các công thức đạo hàm một biến vẫn áp dụng được nếu cóthể.




Các ký hiệu của đạo hàm riêng

Nếu viết z D f .x ; y/, người ta cũng có nhiều ký hiệu khác cho đạo hàmriêng như sau

fx D@f

@xD@z

@xD f1 D D1f D Dx f

fy D@f

@yD@z

@yD f2 D D2f D Dy f

Ví dụ. Với f .x ; y/ D x3 C x2y3 2y2, tìm fx .2; 1/ và fy .2; 1/ như sau:Xem y là hằng số, lấy đạo hàm theo x , ta được

fx .x ; y/ D 3x2 C 2xy3; suy ra fx .2; 1/ D 3.22/C 2.2/.13/ D 16

Tương tự, ta có

fy .x ; y/ D 3x2y2 4y ; suy ra fy .2; 1/ D 3.22/.12/ 4.1/ D 8:




Ví dụ

Tìm fx và fy với f định bởi

f .x ; y/ D

8<:xy

x2 C y2nếu .x ; y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x ; y/ D .0; 0/

Giải. Để tính fx .0; 0/, ta dùng định nghĩa

fx .0; 0/ D limh!0

f .h; 0/ f .0; 0/

hD lim

h!0

h:0=.h2 C 02/ 0

hD 0:

Tại điểm .x ; y/ ¤ .0; 0/, ta có thể xem y như hằng số và tính đạo hàmtheo x như hàm một biến và ta được




fx .x ; y/ D

8<:y3 x2y

.x2 C y2/2nếu .x ; y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x ; y/ D .0; 0/

Vai trò của x và y giống nhau trong biểu thức f , ta đổi vai trò của x và ytrong biểu thức fx sẽ được

fy .x ; y/ D

8<:x3 y2x

.y2 C x2/2nếu .x ; y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x ; y/ D .0; 0/

Ghi chú. Thay y D 0, x tùy ý, ta có f .x ; 0/ D 0; 8x 2 R. Do đófx .x ; 0/ D 0, suy ra fx .0; 0/ D 0 thay vì dùng định nghĩa đạo hàm nhưtrên. Tương tự fy .0; y/ D 0.




Ví dụ: đạo hàm riêng của hàm ẩn

Phương trình x3 C y3 C z3 C 6xyz D 1 là phương trình của một mặtcong trong không gian Oxyz. Nếu một mảnh nhỏ nào đó của mặt conglà đồ thị của một hàm số z D f .x ; y/, f là ẩn hàm, hãy tìm @z=@x và@z=@y .

Giải. Xem y như hằng số, lấy đạo hàm hai vế của phương trình theo x ,và lưu ý z vẫn phụ thuộc x như là hàm số, ta có

3x2 C 3z2@z

@xC 6y

z C x

@z

@x

D 0

Giải phương trình trên để tìm @z=@x , ta được

@z

@xD

x2 C 2yz

z2 C 2xyI tương tự ta cũng có

@z

@yD

y2 C 2xz

z2 C 2xy:




Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG

Ta bắt đầu với ví dụ sau: nếu f .x ; y/ D 4 x2 2y2 thì fx .1; 1/ và fy .1; 1/mang ý nghĩa gì? Ta có

fx .x ; y/ D 2x ; fy .x ; y/ D 4y ; suy ra fx .1; 1/ D 2; fy .1; 1/ D 4:

Đồ thị của f là mặt paraboloid. Vết của đồ thị với mặt y D 1 là đườngparabola z D 2 x2; với mặt x D 1 là đường parabola z D 3 2y2.




Trong mặt phẳng y D 1, đường parabola C1 W z D 2 x2 ) có tiếp tuyếntại điểm .1; 1; 1/ với độ dốc (hệ số góc) là fx .1; 1/ D 2; vết parabolaC2 W z D 3 2y2 trên mặt x D 1 có tiếp tuyến tại điểm .1; 1; 1/ với độ dốclà fy .1; 1/ D 4




Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng

Cho S là đồ thị của z D f .x ; y/ và điểm P.a; b; c/ 2 S , với c D f .a; b/.Gọi C1 D S \fy D bg, xem như là đồ thị hàm một biến g.x/ D f .x ; b/;Gọi C2 D S \ fx D ag, là đồ thị hàm một biến G .y/ D f .a; y/. Vậyg 0.a/ D fx .a; b/ và G 0.b/ D fy .a; b/ là độ dốc của các tiếp tuyến T1 vàT2 đối với C1 và C2 tương ứng, tại điểm P.a; b; c/, bên trong các mặtphẳng y D b và x D a.




Đạo hàm riêng của hàm n biến

Đối với hàm nhiều hơn 2 biến, u D f .x1; x2; : : : ; xn/, ta cũng định nghĩađạo hàm riêng theo biến xi theo cách tương tự trên

@u

@xiD lim

h!0

f .x1; : : : ; xi1; xi C h; xiC1; : : : ; xn/ f .x1; : : : ; xi ; : : : ; xn/

h

Ngoài ra ta cũng có các ký hiệu khác

@u

@xiD@f

@xiD fxi D fi D Di f :




Đạo hàm riêng bậc cao

Nếu f là hàm số hai biến, fx và fy cũng là các hàm số hai biến, vì thếcác đạo hàm riêng của chúng là .fx /x , .fx /y , .fy /x và .fy /y được gọi làcác đạo hàm riêng cấp hai. Nếu viết z D f .x ; y/ thì ta có các ký hiệusau

.fx /x D fxx D f11 D@

@x

@f@x

D@2f

@x2

.fx /y D fxy D f12 D@

@y

@f@x

D

@2f

@y@x

.fy /x D fyx D f21 D@

@x

@f@y

D

@2f

@x@y

.fy /y D fyy D f22 D@

@y

@f@y

D@2f

@y2




Định lý Clairaut (cũng gọi là định lý Schwartz)

Nếu f xác định trên một đĩa D tâm .a; b/ sao cho tồn tại hai đạo hàmfxy và fyx cùng liên tục trên D. Khi đó

fxy .x ; y/ D fyx .x ; y/ 8.x ; y/ 2 D;

nghĩa là đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp không phụ thuộc thứ tự lấy đạohàm theo các biến, miễn là chúng liên tục.

Ghi chú. Ta cũng có thể định nghĩa các đạo hàm riêng cấp 3 hoặc caohơn, ví dụ

fxyy D .fxy /y D@

@y

@2f@y@x

D

@3f

@y2@x:

Sử dụng định lý Clairaut, nếu các đạo hàm riêng fxyy , fyxy và fyyx cùng liêntục thì chúng bằng nhau (định lý Clairaut mở rộng cho đạo hàm bậc caohơn).



2.4. Sự khả vi

Như đã biết ở mục 2.3, hai đạo hàmriêng fx .x0; y0/ và fy .x0; y0/ xem nhưlà độ dốc của hai tiếp tuyến T1 vàT2, tương ứng với vếtC1 D S \ fy D y0g vàC2 D S \ fx D x0g, tại điểmP.x0; y0; z0/ trên đồ thị S của hàmsố z D f .x ; y/. Trong hình bên, ta“có cảm giác” mặt phẳng chứa T1

và T2 tiếp xúc với mặt cong đồ thị S .



2.4. Sự khả vi

Tuy nhiên, nếu ta xét ví dụ sau thì hìnhảnh khác hẳn: Với hàm số f định bởi

f .x ; y/ D

8<:xy

x2 C y2nếu .x ; y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x ; y/ D .0; 0/

Ví dụ trước đây đã chứng minhfx .0; 0/ D fy .0; 0/ D 0. Vết của hai mặtphẳng đứng Oxz và Oyz với đồ thị hàmf chính là hai trục Oy và Ox. Tuy nhiên,hình bên cho thấy mặt phẳng chứa haitrục này là Oxy chẳng có vẻ gì tiếp xúcvới đồ thị tại điểm O.0; 0; 0/.



2.4. Sự khả vi

Vậy sự tồn tại hai đạo hàm riêng không đủ để ta nói mặt cong đồ thị củahàm hai biến có mặt phẳng tiếp xúc với nó. Do đó, người ta đưa ra kháiniệm khả vi sau đây

Định nghĩa sự khả vi

Cho hàm số hai biến z D f .x ; y/ và điểm .a; b/ là điểm trong của miềnxác định, theo nghĩa có một đĩa tròn tâm .a; b/ nằm lọt trong miền xácđịnh. Ta ký hiệu x D x a, y D y b và z D f .x ; y/ f .a; b/.Ta nói f khả vi tại .a; b/ có nghĩa là tồn tại fx .a; b/ và fy .a; b/ sao choz có thể biểu diễn dưới dạng

z D fx .a; b/x C fy .a; b/y C "1x C "2y (2.3)

trong đó "1 và "2 cùng tiến về 0 khi .x ; y/ ! .a; b/ (cũng có nghĩa là.x ; y/! .0; 0/).



2.4. Sự khả vi

Ý nghĩa của sự khả vi.

1 Nếu viết lại đẳng thức (2.3) dưới dạng

f .x ; y/ D f .a; b/Cfx .a; b/.xa/Cfy .a; b/.yb/C"1.xa/C"2.yb/

thì hàm tuyến tính (bậc nhất) hai biếnL.x ; y/ D f .a; b/C fx .a; b/.x a/C fy .a; b/.y b/ là xấp xỉ “tốt” chof .x ; y/ khi .x ; y/ gần với .a; b/. Hàm L.x ; y/ còn gọi là tuyến tínhhóa của f tại .a; b/.

2 Theo nghĩa xấp xỉ tốt ở trên thì đồ thị của L được gọi là mặt phẳngtiếp xúc với đồ thị của f (nói chung là mặt cong) tại điểmPa; b; f .a; b/

. Nói cách khác, phương trình mặt phẳng tiếp xúc với

đồ thị của f tại điểm P là

L.x ; y/ z D 0:



2.4. Sự khả vi

Từ định nghĩa khả vi và đẳng thức (2.3), ta dễ dàng suy ra

Định lý

Nếu hàm số f khả vi tại .a; b/ thì f liên tục tại .a; b/.

Trong phạm vi của giải tích B1, chúng ta thừa nhận định lý sau

Định lý (điều kiện đủ để khả vi)

Nếu các đạo hàm riêng fx và fy tồn tại trong một lân cận của .a; b/ vàliên tục tại .a; b/, thì f khả vi tại .a; b/

Chú ý. Vẫn tồn tại hàm số có các đạo hàm riêng và các đạo hàm riêngnày không liên tục tại .a; b/, nhưng hàm đã cho vẫn khả vi tại .a; b/.Chúng ta sẽ có một ví dụ về hàm như vậy trong các trang sau.



2.4. Sự khả vi

Ví dụ. Hàm số f .x ; y/ D 2x2 C y2 có các đạo hàm riêng fx .x ; y/ D 4x vàfy .x ; y/ D 2y là các hàm sơ cấp, liên tục tại mọi điểm .a; b/ 2 R2, do đó fkhả vi mọi nơi.

Ta xét điểm .1; 1; 3/ thuộc đồ thị của f , fx .1; 1/ D 4, fy .1; 1/ D 2 và tacó phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại .1; 1; 3/ là

z D 3C 4.x 1/C 2.y 1/:

Hình ở trang sau trình bày đồ thị của f cùng với mặt phẳng tiếp xúc tại.1; 1; 3/.



2.4. Sự khả vi

Chúng ta thấy rằng khi càng nhìngần điểm .1; 1; 3/, mặt cong đồ thịcủa f và mặt phẳng tiếp xúc (đồ thịcủa L) dường như gần sát nhau hơn,do đó mới nóiL.x ; y/ D 3C 4.x 1/C 2.y 1/ làxấp xỉ tốt cho f khi .x ; y/ gần .1; 1/.



2.4. Sự khả vi

Ví dụ

Cho hàm f định bởi

f .x ; y/ D

8<:.x2C y2/ sin

1px2 C y2

nếu .x ; y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x ; y/ D .0; 0/

Chứng minh fx không liên tục tại .0; 0/, tuy nhiên f vẫn khả tại .0; 0/.

Giải. Giới hạn sau tồn tại

fx .0; 0/ D limh!0

f .h; 0/ f .0; 0/

hD lim

h!0

1

h

h2 sin

1ph2 C 02

D lim

h!0

h sin

1

jhj

D 0;



2.4. Sự khả vi

là do bất đẳng thức 0 ˇh sin

1

jhj

ˇ jhj và định lý giới hạn kẹp. Tương tự

fy .0; 0/ D 0. Nếu đặt x D x 0, y D y 0, z D f .x ; y/ f .0; 0/,

"1 D x sin1p

x2 C y2và "2 D y sin

1px2 C y2

thì đẳng thức (2.3) thỏa,

đồng thời "1 và "2 cùng tiến về 0 khi .x ; y/! .0; 0/. Vậy f khả vi tại.0; 0/. Ngoài ra

fx .x ; y/ D

8<:2x sin1p

x2 C y2

xpx2 C y2

cos1p

x2 C y2; .x ; y/ ¤ .0; 0/

0 ; .x ; y/ D .0; 0/:

Với dãy điểmMn.

1

2n; 0/n2N

hội tụ về .0; 0/ khi n!1, ta thay vào fx

thì fx .Mn/ D 1 6! fx .0; 0/ khi n!1. Vậy fx không liên tục tại .0; 0/.



2.4. Sự khả vi

Vi phân của hàm hai biến

Giả sử f khả vi tại điểm .x ; y/ nào đó. Ta ký hiệu dx và dy là hai sốtùy ý (thường là nhỏ) và đặt z D f .x C dx ; y C dy/ f .x ; y/. Theođịnh nghĩa của sự khả vi, ta có

z D fx .x ; y/dx C fy .x ; y/dy C "1dx C "2dy

trong đó "1 và "2 ! 0 khi .dx ; dy/! .0; 0/.

Biểu thức

df D dz D fx .x ; y/dx C fy .x ; y/dy D@f

@xdx C

@f

@ydy (2.4)

được gọi là vi phân của f . Nếu dx và dy mang giá trị rất nhỏ thì

z dz (2.5)



2.4. Sự khả vi

Nhận xét.Nếu f khả vi tại .a; b/ và với .x ; y/ gần .a; b/, ta đặt dx D x a,

dy D y b, z D f .x ; y/ f .a; b/ thì (2.4)-(2.5) cho

f .x ; y/ f .a; b/ D z dz D fx .a; b/.x a/C fy .a; b/.y b/

hay cách viết khác là phép xấp xỉ tuyến tính

f .x ; y/ f .a; b/C dz ; nghĩa là f .x ; y/ L.x ; y/

trong đó L.x ; y/ là tuyến tính hóa của f đã được đề cập ở sau định nghĩacủa sự khả vi.



2.4. Sự khả vi

Minh họa cho z dz



2.4. Sự khả vi

Ví dụ

Một hình nón có bán kính đáy 10cm, độ cao 25cm. Giả sử sai số củaphép đo độ dài không quá 0,1cm. Dùng vi phân, hãy ước tính sai số khitính thể tích hình nón theo bán kính và chiều cao nói trên.



2.4. Sự khả vi

Giải. Ký hiệu r và h là bán kính đáy và chiều cao của hình nón, thì thểtích hình nón là V D f .r ; h/ D r2h=3, fr D 2rh=3 và fh D r

2=3. Bánkính và chiều cao đo được là 10cm và 25cm, bán kính và chiều cao chínhxác (không thể biết) là 10C dr và 25C dh. Khi đó, sai số thể tích là

jV j Dˇf .10C dr ; 25C dh/ f .10; 25/

ˇ jdV j

jdV j Dˇfr .10; 25/dr C fh.10; 25/dh

ˇD

ˇ5003

dr C100

3dhˇ

500

3jdr j C

100

3jdhj

Giả thiết cho jdr j 0; 1 và jdhj 0; 1. Do đó

jV j jdV j 500

3.0; 1/C

100

3.0; 1/ D 20

Vậy sai số thể tích (được ước tính) không quá 20 cm3 63 cm3.



2.4. Sự khả vi

Một cách tương tự, ta cũng có định nghĩa sự khả vi cho hàm n biến.

Định nghĩa

Cho hàm số n biến z D f .x1; : : : ; xn/ xác định trên D con của Rn.Xét .a1; : : : ; an/ là điểm trong của D, theo nghĩa có số ı > 0 sao cho8jr j < ı; .a1 C r ; : : : ; an C r/ 2 D. Với i D 1; n, đặt xi D xi ai ,z D f .x1; : : : ; xn/ f .a1; : : : ; an/. Ta nói hàm f khả vi tại .a1; : : : ; an/có nghĩa là tồn tại các đạo hàm riêng fxi .a1; : : : ; an/ với i D 1; n saocho z có dạng

z D

nXiD1

fxi .a1; : : : ; an/xi C

nXiD1

"ixi ;

trong đó ."1; : : : ; "n/! .0; : : : ; 0/ khi .x1; : : : ; xn/! .0; : : : ; 0/, hay.x1; : : : ; xn/! .a1; : : : ; an/.



2.5. Quy tắc mắt xích và Đạo hàm của hàm ẩn

Quy tắc mắt xích (The chain rule), hay đạo hàm hàm hợp

Giả sử z D f .x1; : : : ; xn/ là hàm số nhiều biến khả vi. Khi đó

1 Nếu i D 1; n; xi D gi .t/, nghĩa là các biến cũ xi phụ thuộc mộtbiến mới t, và nếu các hàm gi cũng khả vi thì

dz

dtD

@z

@x1

dx1dtC@z

@x2

dx2dtC C

@z

@xn

dxndt

2 Nếu i D 1; n; xi D gi .t1; : : : ; tm/, nghĩa là n biến cũ xi phụ thuộcvào m biến mới tk , k D 1;m, và nếu các hàm gi (m biến) cũngkhả vi thì

@z

@tkD

@z

@x1

@x1@tkC@z

@x2

@x2@tkC C

@z

@xn

@xn@tk

với k D 1;m.




Ví dụ

Nếu z D x2y C 3xy4, trong đó x D sin 2t và y D cos t, tìm dz=dt khit D 0.

Giải. Quy tắc mắt xích cho

dz

dtD@z

@x

dx

dtC@z

@y

dy

dt

D .2xy C 3y4/.2 cos 2t/C .x2 C 12xy3/. sin t/:

Không cần thiết phải thay x và y theo t, chỉ cần biết rằng khi t D 0 thìx D 0 và y D 1. Do đó

dz

dt

ˇtD0D .0C 3/.2 cos 0/C .0C 0/. sin 0/ D 6:




Ví dụ

Nếu g.s; t/ D f .s2 t2; t2 s2/, trong đó f là hàm số hai biến khả vi,

hãy chứng minh g thỏa phương trình t@g

@sC s

@g

@tD 0.

Giải. Đặt x D s2 t2 và y D t2 s2 thì g.s; t/ D f .x ; y/ và quy tắc mắtxích cho

@g

@sD@f

@x

@x

@sC@f

@y

@y

@sD@f

@x.2s/C

@f

@y.2s/

@g

@tD@f

@x

@x

@tC@f

@y

@y

@tD@f

@x.2t/C

@f

@y.2t/

Do đó

t@g

@sC s

@g

@tD

2st

@f

@x 2st

@f

@y

C

2st

@f

@xC 2st

@f

@y

D 0:




ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN

Vấn đề tính đạo hàm của hàm ẩn đã được biết qua ví dụ ở sau địnhnghĩa sự khả vi, cũng như ở phần giải tích B1. Ta sẽ nhắc lại nó theo cáchnhìn của quy tắc mắt xích (đạo hàm hàm hợp) để đi đến hai công thức(2.6) và (2.7) được đề cập ở trang sau.

Ghi chú.

Khi thực hành, ta có thể tính toán trực tiếp như trong ví dụ trước đây,nếu không muốn nhớ hai công thức (2.6) và (2.7).




Nếu F là hàm số hai biến khả vi, thì phương trình F .x ; y/ D 0 biểu diễnmột đường cong phẳng nói chung. Giả sử một phần của đường cong nàylà đồ thị của hàm số y D f .x/, f là ẩn hàm chưa biết (điều này xảy ra vớimột giả thiết của định lý hàm ẩn, không nêu ở đây). Ta sẽ tìm f 0.x/, tức

làdy

dx. Lấy đạo hàm theo biến x ở hai vế của phương trình F .x ; y/ D 0

theo quy tắc mắt xích, ta được

@F

@x

dx

dxC@F

@y

dy

dxD 0

Vì dx=dx D 1 và giả sử @F=@y ¤ 0, giải tìm dy=dx , ta được

f 0.x/ Ddy

dxD

@F

@x@F

@y

(2.6)




Tương tự, nếu F là hàm số ba biến khả vi. Phương trình F .x ; y ; z/ D 0biểu diễn một mặt cong nói chung. Giả sử rằng một phần của mặt cong làđồ thị của một hàm z D f .x ; y/, f là ẩn hàm chưa biết (điều này xảy ravới giả thiết của định lý hàm ẩn, không đề cập ở đây). Ta tìm @f =@x và@f =@y . Dùng quy tắc mắt xích, lấy đạo hàm theo x ở hai vế phương trìnhF .x ; y ; z/ D 0 (xem y là hằng), ta được

@F

@x

@x

@xC@F

@y

@y

@xC@F

@z

@z

@xD 0I lưu ý

@x

@xD 1 và

@y

@xD 0 (xem y là hằng)

Giả sử @F=@z ¤ 0, giải tìm @z=@x , đồng thời công thức @z=@y cũng đạtđược theo cách tương tự

@f

@xD@z

@xD

@F

@x@F

@z

;@f

@yD@z

@yD

@F

@y@F

@z

(2.7)



2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient

Xét điểm .x0; y0/ là điểm trong củamiền xác định của hàm z D f .x ; y/, tạiđó ta đặt một vectơ đơn vị (có độ dài1) !u D ha; bi. Vectơ đơn vị !u cũngđược viết dưới dạng !u D hcos ; sin i,với là góc quay từ tia Ox đến tia cóhướng của !u , còn gọi là góc chỉ hướngcủa !u

Nhắc lại

Với vectơ !v ¤!0 thì vectơ đơn vị cùng hướng với !v là !u D

1

j!v j

!v .




Trong mặt phẳng Oxy, điểm Q 0.x ; y/ D .x0 C ah; y0 C bh/, với h > 0 thayđổi, sẽ chạy trên tia có gốc tại P 0.x0; y0/ và có hướng của !u D ha; bi.Khoảng cách giữa Q 0.x ; y/ và P 0.x0; y0/ là h (vì độ dài !u là 1). Đặtz0 D f .x0; y0/ và z D f .x ; y/ Khi đó giá trị hàm có lượng biến thiên làz D z z0. Xét hai điểm P.x0; y0; z0/ và Q.x ; y ; z/ trên đồ thị của f ,đường thẳng PQ có độ dốc là

z

hD

z z0hD

f .x0 C ah; y0 C bh/ f .x0; y0/

h

Nếu h! 0 (nghĩa là Q 0 chạy đến P 0) thì giới hạn của độ dốc PQ (nếu có)sẽ được lấy làm độ dốc của tiếp tuyến tại P theo hướng !u (xem hìnhtrang sau).






Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient

Các hình ảnh trước nói lên ý nghĩa trực quan của khái niệm sau đây

Định nghĩa đạo hàm theo hướng

Đạo hàm theo hướng của f tại điểm .x0; y0/ theo hướng của vectơđơn vị !u D ha; bi là

D!uf .x0; y0/ D lim

h!0

f .x0 C ah; y0 C bh/ f .x0; y0/

h

miễn là giới hạn trên tồn tại.

Trường hợp riêng, với !u D!i D h1; 0i thì D!

uf trở thành đạo hàm

riêng fx ; với!u D

!j D h0; 1i thì D!

uf trở thành đạo hàm riêng fy .

Ý nghĩa. Từ một điểm trên mặt cong đồ thị (giống như bề mặt đồi núi),đi về mỗi hướng sẽ có độ dốc riêng, chính là đạo hàm theo hướng đó tạiđiểm đang xét.




Ghi chú

Định nghĩa trên cũng áp dụng cho hàm nhiều biến với hình thức sau

D!uf .P/ D D!

uf .!a / D lim

h!0

f .!a C h!u / f .!a /

h

trong đó !a D ha1; : : : ; ani P.a1; : : : ; an/ 2 Rn.




Ví dụ, bản đồ các đườngđẳng nhiệt kế bên mô tảnhiệt độ T .x ; y/ của bangCalifornia và Neveda lúc3:00PM vào một ngàytháng 10, 1997. Hãy ướctính tốc độ biến thiên nhiệtđộ theo khoảng cách tại địađiểm Reno, khi đi về hướngĐông-Nam.




Giải. Vectơ đơn vị chỉ hướng Đông-Nam là !u D1p2h1;1i, tuy nhiên ta

không cần quan tâm đến biểu thức này. Thay vào đó, ta vẽ đường thẳngqua Reno, hướng về Đông-Nam như trong bản đồ. Tốc độ biến thiên nhiệttheo khoảng cách, khi hướng về Đông-Nam, tại Reno, tức là D!

uT .Reno/,

được xấp xỉ bởi tốc độ biến thiên trung bình của nhiệt độ giữa hai điểm bịcắt bởi đường thẳng nói trên với hai đường đẳng nhiệt T D 50 và T D 60.Khoảng cách giữa hai điểm này khoảng 75 dặm (dựa vào tỉ xích số trênbản đồ). Khi đi về hướng Đông-Nam, T biến thiên từ 500F đến 600F, chothấy D!

uT .Reno/ > 0, là tốc độ tăng nhiệt. Vậy

D!uT .Reno/

60 50

75D

10

75 0; 13 0F=dặm:




Định lý

Nếu hàm số f khả vi tại .x ; y/ thì f có đạo hàm theo mọi hướng củavectơ đơn vị !u D ha; bi, và được tính theo công thức

D!uf .x ; y/ D fx .x ; y/aC fy .x ; y/b (2.8)

Người ta đưa vào ký hiệu sau

grad f .x ; y/ D rf .x ; y/ D˝fx .x ; y/; fy .x ; y/

˛(2.9)

được gọi là vectơ gradient của f , cũng được gọi là nabla của f hoặc đọc là“del f ”. Khi đó công thức (2.8) được viết dưới hình thức khác

D!uf .x ; y/ D grad f .x ; y/ !u D rf .x ; y/ !u (2.10)

Chú ý. Các hình thức (2.8)-(2.10) cũng được mở rộng cho hàm f có n

biến, với rf DD @f@x1

; : : : ;@f

@xn

E.




Ví dụ

Tính D!uf .x ; y/ và D!

uf .1; 2/ nếu f .x ; y/ D x3 3xy C 4y2 và !u là

vectơ đơn vị có góc chỉ hướng D =6.

Giải. Công thức (2.8) cho

D!uf .x ; y/ D fx .x ; y/ cos

6C fy .x ; y/ sin

6

D .3x2 3y/

p3

2C .3x C 8y/

1

2

D1

2

h3x2p3 3x C .8 3

p3/y

iVì vậy

D!uf .1; 2/ D

1

2

h3.12/

p3 3.1/C .8 3

p3/.2/

iD

13 3p3

22




Đạo hàm D!uf .1; 2/ trong ví dụ

trước đại diện cho tốc độ biếnthiên của z theo hướng của !u .Đó là độ dốc của đường tiếptuyến với đường cong giao tuyếncủa mặt z D x3 3xy C 4y2 vớimặt phẳng đứng đi qua .1; 2; 0/theo hướng của !u như hình bên.




CỰC ĐẠI HÓA ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG

Xét hàm n biến f và điểm !x D hx1; : : : ; xni thuộc miền xác định. Giảsử tồn tại D!

uf .!x / theo mọi hướng !u . Câu hỏi đặt ra là đi theo hướng

nào, giá trị của f .!x / sẽ thay đổi nhanh nhất, tức là giá trị của D!uf .!x /

lớn nhất? Câu trả lời được cho trong định lý sau

Định lý

Giả sử f là hàm số n biến khả vi. Giá trị lớn nhất của D!uf .!x / làˇ

rf .!x /ˇ, đạt được khi !u cùng hướng với vectơ rf .!x /, nghĩa là khi

!u D1ˇ

rf .!x /ˇrf .!x /.




Chứng minh. Gọi là góc hợp bởi !u và rf .!x /. Từ công thức (2.10),ta có

D!uf .!x / D rf .!x / !u D

ˇrf .!x /

ˇˇ!uˇcos

Dˇrf .!x /

ˇcos (vì j!u j D 1)

ˇrf .!x /

ˇDấu bằng xảy ra khi cos D 1 hay D 0, nghĩa là !u cùng hướng vớirf .!x /, lúc đó D!

uf .!x / đạt giá trị lớn nhất bằng

ˇrf .!x /

ˇ. 2




Ví dụ

Cho hàm số f .x ; y/ D xey . Tính đạo hàm của f tại P.2; 0/ theo hướngtừ P đến Q.1=2; 2/. Xác định hướng làm cho đạo hàm tại P lớn nhất.

Giải. Ta có rf .x ; y/ D hfx ; fy i D hey ; xey i; rf .P/ D h1; 2i;

!PQ D h

3

2; 2i; vectơ đơn vị theo hướng

!PQ là !u D h

3

5;4

5i. Đạo hàm

của f tại P theo hướng!PQ là

D!uf .P/ D rf .P/ !u D 1

3

5

C 2

45

D 1

Đạo hàm của f tại P theo hướng rf .P/ D h1; 2i sẽ đạt giá trị lớn nhấtbằng

ˇrf .P/

ˇDp5 2




Hình dưới là contour map và đồ thị của hàm f . Hình bên phải cho thấy,nếu tại P đi theo hướng rf .P/ D h1; 2i, đồ thị có độ dốc lớn nhất.

Nhận xét. Hình bên trái cho “cảm giác” rằng, vectơ rf .P/ D h1; 2i, theohướng đó hàm số có tốc độ biến thiên lớn nhất, là vectơ vuông góc vớitiếp tuyến tại P của đường đồng mức qua P. Tại sao? . . .




MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT ĐỒNG MỨC

Định nghĩa của sự khả vi tại .a; b/ của hàm z D f .x ; y/ cũng cho kháiniệm mặt phẳng tiếp với đồ thị .S/ của f tại P

a; b; f .a; b/

, đó là mặt

phẳng đồ thị của hàm L.x ; y/ D fx .a; b/.x a/C fy .a; b/.x b/C f .a; b/.

Sau đây, ta thiết lập khái niệm mặt phẳng tiếp xúc với mặt đồng mứccủa hàm 3 biến, có phương trình dạng F .x ; y ; z/ D k, cũng được gọi làphương trình dạng chính tắc của mặt cong. Đồ thị .S/ của hàm sốz D f .x ; y/ là một trường hợp riêng, đó mặt đồng mức của hàm số babiến F .x ; y ; z/ D f .x ; y/ z , nghĩa là .S/ W F .x ; y ; z/ D 0.




Mặt phẳng tiếp xúc

1 Cho hàm số 3 biến F .x ; y ; z/ khả vi tại điểm P.x0; y0; z0/. Vớihằng số k D F .x0; y0; z0/, phương trình F .x ; y ; z/ D k biểu diễnmột mặt đồng mức (level surface) (S) đi qua điểm P. Giả sử

rF .P/ D˝fx .P/; fy .P/; fz.P/

˛¤!0 . Khi đó, mặt phẳng qua P

nhận rF .P/ làm vectơ pháp tuyến, có phương trình

fx .P/.x x0/C fy .P/.y y0/C fz.P/.z z0/ D 0 (2.11)

được gọi là mặt phẳng tiếp xúc của (S) tại P.

2 Giả sử hàm 2 biến f .x ; y/ khả vi tại điểm P.x0; y0/ và

rf .P/ ¤!0 . Khi đó, đường đồng mức .C / W f .x ; y/ D k , với

k D f .P/, có tiếp tuyến tại P được định nghĩa là đường thẳngqua P, nhận rf .P/ làm vectơ pháp tuyến, và có phương trình

fx .x0; y0/.x x0/C fy .x0; y0/.y y0/ D 0.




Giải thích. Sở dĩ người ta gọi mặt phẳng có phương trình (2.11) là mặtphẳng tiếp xúc với .S/ W F .x ; y ; z/ D k tại P.x0; y0; z0/, k D F .P/, là vì lýdo sau: với mọi đường cong !r .t/ D

˝x.t/; y.t/; z.t/

˛nằm trong (S), và đi

qua P (nghĩa là có t0 sao cho x.t0/ D x0, y.t0/ D y0, z.t0/ D z0), nếuđường cong này có tiếp tuyến tại P thì tiếp tuyến đó luôn vuông góc vớirF .P/. Thật vậy, vì đường cong nằm trong (S) nênFx.t/; y.t/; z.t/

D 0 với mọi t. Lấy đạo hàm theo t ở hai vế của phương

trình này, dùng quy tắc mắt xích, ta có

@F

@x

dx

dtC@F

@y

dy

dtC@F

@z

dz

dtD 0 hay rF !r 0.t/ D 0

Thay t D t0, ta được rF .P/ !r 0.t0/ D 0, nghĩa là vectơ rF .P/ vuônggóc với vectơ chỉ phương tiếp tuyến của đường cong tại P.

Giải thích tương tự cho định nghĩa tiếp tuyến của đường đồng mứcf .x ; y/ D k. 2




Người cũng gọi đường thẳng quaP.x0; y0; z0/, có vectơ chỉ phương làrF .P/, là đường pháp tuyến của mặtcong .S/ W F .x ; y ; z/ D k , k D F .P/,tại điểm P. Phương trình chính tắc củađường pháp tuyến này là

x x0Fx .P/

Dy y0Fy .P/

Dz z0Fz.P/

với giả thiết các mẫu số ở trên khác 0.

Tương tự đối với hàm 2 biến f .x ; y/, đường thẳng qua P.x0; y0/ vớivectơ chỉ phương rf .P/ sẽ vuông góc với tiếp tuyến tại P của đường đồngmức f .x ; y/ D f .P/.




Ví dụ

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến với mặt ellipsoidx2

4C y2 C

z2

9D 3, tại điểm P.2; 1;3/.

Giải. Mặt ellipsoid là mặt đồng mức với k D 3

của hàm 3 biến F .x ; y ; z/ Dx2

4C y2 C

z2

9. Ta

có rF D hx=2; 2y ; 2z=9i, suy rarF .P/ D h1; 2;2=3i. Phương trình mặtphẳng tiếp xúc và pháp tuyến tại P là

1.x C 2/C 2.y 1/ 2

3.z C 3/ D 0

x C 2

1D

y 1

2D

z C 3

23

2




Ý NGHĨA CỦA VECTƠ GRADIENT

Như đã biết ở trước, vectơ gradient tại một điểm P.x0; y0/ của hàm sốhai biến f , chỉ một hướng mà theo hướng đó giá trị hàm số có tốc độ tănglớn nhất. Hướng này vuông góc với tiếp tuyến tại P của đường đồng mứcf .x ; y/ D f .P/. Tại điểm

x0; y0; f .P/

trên một đường viền của ruộng bậc

thang, ta đi theo hướng vuông góc với các đường viền ruộng bậc thang(tượng trưng cho đồ thị của f ), ta sẽ lên đỉnh đồi với độ dốc cao nhất.



2.7. Cực trị không điều kiện

Trên đồ thị của một hàm số nhưhình bên, có hai đỉnh đồi và haithung lũng. Nếu điểm

a; b; f .a; b/

là đỉnh ngọn đồi thì f .a; b/ lớn mọigiá trị f .x ; y/ gần đó, ta nói f có cựcđại địa phương tại .a; b/. Có mộtđỉnh đồi cao nhất, tại đó f đạt cựcđại tuyệt đối, hay giá trị lớn nhất. Tacũng có khái niệm tương tự cho điểmđáy thung lũng.




Định nghĩa

Một hàm số 2 biến f có cực đại địa phương (gọi tắt là cực đại) tạiđiểm .a; b/ có nghĩa là tồn tại một đĩa tròn T tâm .a; b/ bên trong miềnxác định sao cho: 8.x ; y/ 2 T ; f .a; b/ f .x ; y/. Số f .a; b/ được gọi làgiá trị cực đại (địa phương) của f . Nếu bất đẳng thức đúng với mọi.x ; y/ thuộc miền xác định của f thì ta nói f có cực đại tuyệt đối (haylà giá trị lớn nhất) tại điểm .a; b/.

Nếu dấu bất đẳng thức ở trên đổi chiều, ta có khái niệm cực tiểuđịa phương, cực tiểu tuyệt đối.

Định lý: điều kiện cần của cực trị

Nếu f đạt cực trị địa phương tại .a; b/, và tồn tại các đạo hàm riêng tạiđó, thì .a; b/ là điểm dừng (stationary point) của f , nghĩa là fx .a; b/ Dfy .a; b/ D 0.




Nếu thay fx .a; b/ D fy .a; b/ D 0vào phương trình của mặt phẳng tiếpxúc, ta thấy mặt phẳng này nằmngang, song song với mặt Oxy.

Chiều đảo của định lý trên khôngđúng. Ví dụ, xét hàm sốf .x ; y/ D y2 x2 có đồ thị như hìnhbên, thì fx .0; 0/ D fy .0; 0/ D 0, nghĩalà .0; 0/ là điểm dừng của f , nhưngtại đó f không có cực trị. Ta gọiđiểm dừng này là điểm yên ngựa(saddle point) của f .




Định lý: điều kiện đủ của cực trị

Giả sử f có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên một đĩa tròn tâm.a; b/, đồng thời .a; b/ là điểm dừng của f . Đặt

D.a; b/ D det

fxx .a; b/ fxy .a; b/fyx .a; b/ fyy .a; b/

D fxx .a; b/fyy .a; b/

fxy .a; b/

2(a) Nếu D.a; b/ > 0 và fxx .a; b/ > 0 thì f .a; b/ là cực tiểu địa

phương.

(b) Nếu D.a; b/ > 0 và fxx .a; b/ < 0 thì f .a; b/ là cực đại địa phương.

(c) Nếu D.a; b/ < 0 thì .a; b/ là điểm yên ngựa, nghĩa là f không cócực trị tại .a; b/.

(d) Nếu D.a; b/ D 0 thì ta không có kết luận tổng quát, tùy bài toáncụ thể mà ta xét.




Ví dụ

Khảo sát cực trị của f .x ; y/ D x4 C y4 4xy C 1.

Giải. Sinh viên tự kiểm chứng:Các điểm dừng của f là .0; 0/, .1; 1/

và .1;1/.D.x ; y/ D fxx fyy f 2xy D 144x2y2 16.

(a) Vì D.0; 0/ < 0 nên .0; 0/ là điểmyên ngựa.(b) Vì D.1; 1/ D 128 vàfxx .1; 1/ D 12 > 0 nên .1; 1/ là điểmcực tiểu.(c) Vì D.1;1/ D 128 vàfxx .1;1/ D 12 > 0 nên .1; 1/ cũng làđiểm cực tiểu. 2




Ví dụ

Một hộp chữ nhật không có nắp, được làm từ 12m2 bìa cứng. Hãy tìmthể tích lớn nhất của hộp này.

Giải. Với kích thước như hình bên thì thểtích hộp là V D xyz với điều kiện2xz C 2yz C xy D 12. Từ điều kiện này thìz D .12 xy/=Œ2.x C y/, do đó thể tích là

V D xy12 xy

2.x C y/D

12xy x2y2

2.x C y/Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ

@V

@xD

y2.12 2xy x2/

2.x C y/2D 0

@V

@yD

x2.12 2xy y2/

2.x C y/2D 0




Vì x > 0 và y > 0 nên ta suy ra được x D y . Thay y D x vào phươngtrình trên ta được 12 3x2 D 0, điều này cho x D y D 2 vàz D .12 2:2/=Œ2.2C 2/ D 1. Vậy .2; 2; 1/ là điểm dừng duy nhất. Hơnnữa, vật liệu hữu hạn sẽ cho thể tích hộp lớn nhất có thể, đạt được tạiđiểm dừng .2; 2; 1/ mà thôi

Vmax D 2:2:1 D 4 .m3/ 2




CỰC TRỊ TUYỆT ĐỐI

Ta đã biết các bước tìm cực trị tuyệt đối của hàm một biến trên đoạnđóng Œa; b. Đối với hàm hai biến, ta đưa ra khái niệm tương tự đoạn đóng,đó là khái niệm tập hợp đóng trong R2, là tập hợp chứa mọi điểm biêncủa nó. Điểm .a; b/ được gọi là điểm biên của một tập hợp D trong R2 cónghĩa là mọi đĩa tròn tâm .a; b/ luôn có điểm chung với cả hai phần: D vàphần bù R2

n D.

Hình ảnh minh họa hai tậpđóng

Hình minh họa ba tập hợp không đóng




Tập hợp D được gọi là bị chặn nghĩa là có một đĩa tròn chứa D. Nói cáchkhác, tập bị chặn không trải dài vô tận, nó bị bao quanh bởi một đườngtròn. Ta thừa nhận định lý sau

Định lý

Nếu f là hàm số liên tục trên một tập D đóng và bị chặn trong R2, thìf đạt một cực đại tuyệt đối tại .x1; y1/ 2 D và đạt một cực tiểu tuyệtđối tại .x2; y2/ 2 D.

Trong định lý trên, nếu .x1; y1/ không nằm trên biên của D (không là điểmbiên của D) mà nằm ở miền trong (là điểm trong của D) thì .x1; y1/ phảilà điểm dừng của f (nếu tồn tại các đạo hàm riêng của f ). Tương tự chođiểm .x2; y2/. Do đó ta có các bước tìm cực trị tuyệt đối như sau




Cách tìm cực trị tuyệt đối

Để tìm cực trị tuyệt đối của một hàm số f liên tục trên một tập D đóngvà bị chặn trong R2:

1 Tính các giá trị của f tại các điểm dừng bên trong D.

2 Tìm cực trị tuyệt đối của f ở trên biên của D.

3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong số các giá trị ở các bước 1 & 2là cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối của f trên toàn D.




Ví dụ

Tìm cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối của f .x ; y/ D x22xy C2ytrên hình chữ nhật D D

˚.x ; y/ j 0 x 3; 0 y 2

.

Giải. Vì f là đa thức, hàm sơ cấp haibiến, nên liên tục trên D. Hơn nữa hìnhchữ nhật D bị chặn và đóng, do đó f cómax và min trên D.

Bước 1: sinh viên tự kiểm chứng f cómột điểm dừng duy nhất bên trong D là.1; 1/ và f .1; 1/ D 1.Bước 2: trên cạnh L1 ta có f .x ; 0/ D x2, suy ra

maxL1

f .x ; 0/ D 32 D 9 minL1

f .x ; 0/ D 02 D 0.




Trên cạnh L2 thì f .3; y/ D 9 4y , suy ramaxL2

f .3; y/ D 9 4.0/ D 9

minL2

f .3; y/ D 9 4.2/ D 1.

Trên cạnh L3 thìf .x ; 2/ D x2 4x C 4 D .x 2/2, suy ra

maxL3

f .x ; 2/ D .0 2/2 D 4

minL3

f .x ; 2/ D .3 2/2 D 1.

Trên cạnh L4 thì f .0; y/ D 2y , suy ramaxL4

f .0; y/ D 2.2/ D 4

minL4

f .0; y/ D 2.0/ D 0.

Bước 3: so sánh các giá trị ở bước 1 & 2 thì maxD

f .x ; y/ D f .3; 0/ D 9 và

minD

f .x ; y/ D f .0; 0/ D f .2; 2/ D 0. 2



2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện

CỰC TRỊ CÓ MỘT ĐIỀU KIỆN

Trong một ví dụ trước đây, ta tìm thể tích lớn nhất, V D xyz , của hộpchữ nhật không có nắp với một điều kiện 2xy C 2xz C yz D 12. Điều kiệnnày nói rằng vật liệu làm hộp chỉ có 12m2 bìa cứng. Trong mục này, taxét bài toán dạng đó

1 Tìm cực trị của hàm 3 biến f .x ; y ; z/ với một điều kiệng.x ; y ; z/ D k , k là hằng số.

2 Tìm cực trị của hàm 2 biến f .x ; y/ với một điều kiện g.x ; y/ D k .

Lagrange đưa ra một phương pháp giải quyết bài toán trên, được gọi làphương pháp nhân tử Lagrange.




Cơ sở hình học của phương pháp nhântử Lagrange được giải thích dễ hơn trongtrường hợp hai biến: tìm cực trị củaf .x ; y/ với một điều kiện g.x ; y/ D k,nghĩa là điểm .x ; y/ bị hạn chế trênđường cong g.x ; y/ D k , .x ; y/ khôngchạy tự do trong mặt phẳng. Hình bêntrình bày các đường đồng mứcf .x ; y/ D c , với c D 7; 11, và đườngcong màu xanh g.x ; y/ D k .Khi .x ; y/ chạy trên đường xanh, giá trị c D f .x ; y/ thay đổi. Có vẻ nhưkhi .x ; y/ D .x0; y0/ làm cho c0 D f .x0; y0/ là cực đại, thì tại đó đườngxanh và đường đồng mức tiếp xúc nhau. Nói cách khác, tại điểm .x0; y0/,vectơ pháp tuyến của đường xanh và đường đỏ cùng phương, nghĩa là cósố sao cho rf .x0; y0/ D rg.x0; y0/. Số được gọi là nhân tửLagrange.




Cơ sở hình học của phương pháp nhân tử Lagrange ở trên chỉ có tính trựcquan. Lập luận chính xác ở trong phần chứng minh của định lý sau

Định lý: Điều kiện cần của cực trị có điều kiện

Nếu hàm số 3 biến f .x ; y ; z/ khả vi và đạt cực trị tại P.x0; y0; z0/ với một

điều kiện g.x ; y ; z/ D k , trong đó hàm g cũng khả vi và rg.P/ ¤!0 ,

thì tồn tại nhân tử Lagrange sao cho

rf .x0; y0; z0/ D rg.x0; y0; z0/:

Đối bài toán hai biến, kết quả cũng tương tự.

Chứng minh. Gọi (S) là mặt cong g.x ; y ; z/ D k thì P 2 .S/. Với đườngcong bất kỳ .C / W !r .t/ D

˝x.t/; y.t/; z.t/

˛nằm trong (S) và đi qua P khi

t D t0, nghĩa là !r .t0/ D hx0; y0; z0i, thì hàm hợph.t/ D f

x.t/; y.t/; z.t/

đạt cực trị tại t0. Theo định lý Fermat của hàm

một biến thìGIẢI TÍCH B2 170/??



0 D h0.t0/

D fx .x0; y0; z0/x0.t0/C fy .x0; y0; z0/y

0.t0/C fz.x0; y0; z0/z0.t0/

D rf .x0; y0; z0/ !r 0.t0/

Điều này cho thấy vectơ rf .x0; y0; z0/ vuông góc với tiếp tuyến tại P củamọi đường cong (C) nằm trong mặt (S), nghĩa là rf .x0; y0; z0/ cùngphương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại P, tức làrg.x0; y0; z0/. Vậy có số sao cho

rf .x0; y0; z0/ D rg.x0; y0; z0/ 2

Căn cứ vào định lý trên, ta có cách để tìm cực trị tuyệt đối (được giả sửrằng tồn tại) trên mặt cong của hàm số 3 biến, hoặc trên đường cong củahàm số 2 biến




Phương pháp nhân tử Lagrange

Cho hai hàm số 3 biến f và g khả vi. Giả sử tồn tại cực trị tuyệt đối

của f trên mặt cong .S/ W g.x ; y ; z/ D k , và rg ¤!0 tại mọi điểm trên

mặt cong .S/. Khi đó, ta tìm cực trị nói trên theo các bước sau

(a) Tìm tất cả các giá trị của x ; y ; z và sao cho

rf .x ; y ; z/ D rg.x ; y ; z/ và g.x ; y ; z/ D k

(b) Tính các giá trị của f tại các điểm .x ; y ; z/ tìm được ở bước (a).Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong số các giá trị này chính là cựcđại (cực tiểu) tuyệt đối của f trên mặt cong (S).

Trong trường hợp hai biến, cách làm tương tự.




Ví dụ

Một hộp chữ nhật không có nắp, được làm từ 12m2 bìa cứng. Tìm thểtích lớn nhất của một hộp như vậy.

Giải. Sự tồn tại của giá trị lớn nhất của thể tích V D xyz với điều kiệng.x ; y ; z/ D 2xz C 2yz C xy D 12 là điều tự nhiên, vì với vật liệu bìa cứnghữu hạn, không thể nào làm thể tích lớn tùy ý, mà chỉ đạt một thể tích tốiđa cần tìm.

Trước hết ta giải hệ

Vx D gx I Vy D gy I Vz D gz I g D 12 hay là

yz D .2z C y/ (1)

xz D .2z C x/ (2)

xy D .2x C 2y/ (3)

2xz C 2yz C xy D 12 (4)




Không có phương pháp tổng quát để giải hệ trên, mà đôi khi phải dùngtrực giác. Nhân (1) với x ; (2) với y ; (3) với z ta được

xyz D .2xz C xy/ D .2yz C xy/ D .2xz C 2yz/ (5)

Nếu D 0 thì từ (1)-(3) sẽ cho xy D yz D zx D 0, điều này mâu thuẫnvới (4). Do đó ¤ 0, và từ (5) ta suy ra xz D yz , xy D 2xz . Hơn nữax ; y ; z > 0 nên ta suy ra x D y D 2z , thay tất cả vào (4) ta được

4z2 C 4z2 C 4z2 D 12) z D 1 và x D y D 2

Thể tích lớn nhất cần tìm là Vmax D 2:2:1 D 4m3. 2




CỰC TRỊ CÓ HAI ĐIỀU KIỆN

Ta xét bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặcnhỏ nhất của hàm số 3 biến f với hai điềukiện g.x ; y ; z/ D k và h.x ; y ; z/ D c . Vềmặt hình học, điều này có nghĩa là khiđiểm .x ; y ; z/ chạy trên đường cong giaotuyến C của hai mặt cong g.x ; y ; z/ D kvà h.x ; y ; z/ D c (hình bên), vị trí nào của.x ; y ; z/ làm cho f .x ; y ; z/ đạt giá trị lớnnhất (hoặc nhỏ nhất)?

Giả sử vị trí đó là P.x0; y0; z0/, thì theo chứng minh của điều kiện cần cựctrị có điều kiện ở trước,rf .P/ vuông góc với (tiếp tuyến của) C tại P,đồng thời rg.P/ và rh.P/ cũng vậy. Điều này cho thấy ba vectơ đồngphẳng. Do đó tồn tại hai nhân tử Lagrange và sao cho

rf .P/ D rg.P/C rh.P/




Ví dụ

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) củahàm số f .x ; y ; z/ D xC2yC3z trên đường conggiao tuyến của mặt phẳng x y C z D 1 và mặttrụ x2 C y2 D 1.

Giải. Đường cong giao tuyến (xem hình bên) làtập hợp đóng (vì mỗi điểm thuộc đường cong đềulà điểm biên của nó), đồng thời bị chặn trong R3.Hơn nữa hàm số f liên tục nên f có max và mintrên đường cong này. Điều kiện Lagrange làrf D rg C rh, do đó ta giải hệ




1 D C 2x (6)

2 D C 2y (7)

3 D (8)

x y C z D 1 (9)

x2 C y2 D 1 (10)

Thay D 3 ở (8) vào (6)-(7), ta được x D 1 và 2y D 5, suy rax D 1= và y D 5=.2/. Thay tất cả vào (10), ta được

1

2C

25

42D 1) 2

D29

4) D ˙

p29

2

Do đó .x ; y/ D˙2p29;5p29

. Từ (9) ta suy ra z D 1 x C y D 1

7p29

.

Tính f tại các giá trị này, ta có max f và min f là 3˙p29. 2


TÍCH PHÂN BỘI


3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật

THỂ TÍCH VÀ TÍCH PHÂN KÉP

Hình bên là đồ thị của một hàm số fkhông âm, xác định trên hình chữnhật R

R D Œa; b Œc; d

D˚.x ; y/ 2 R2

ˇa x b và c y d

Đồ thị là mặt cong có phương trìnhz D f .x ; y/.Gọi S là khối nằm dưới đồ thị của f và nằm trên hình chữ nhật R

S D˚.x ; y ; z/ 2 R3

ˇ0 z f .x ; y/; .x ; y/ 2 R

Mục này của chương muốn đưa ra định nghĩa thể tích của khối S .




Chia đoạn Œa; b thành m đoạn con Œxi1; xi đều nhau với độ dàix D .b a/=m; chia đoạn Œc; d thành n đoạn con Œyj1; yj đều nhau vớiđộ dài y D .d c/=n. Như vậy ta có mn hình chữ nhật con có dạng

Rij D Œxi1; xi Œyj1; yj D˚.x ; y/

ˇxi1 x xi ; yj1 y yj

với diện tích A D xy .




Trên mỗi ô con Rij , chọn một điểm mẫu .xij ; yij / ngẫu nhiên. Ta có thể

xấp xỉ một phần thể tích của khối S nằm phía trên ô con Rij bằng thể tíchcột dạng hộp có đáy Rij và chiều cao bằng f .xij ; y

ij /. Thể tích này bằng

f .xij ; yij /A




Và thể tích toàn khối S được xấp xỉ bởi

V

mXiD1

nXjD1

f .xij ; yij /A




Định nghĩa tích phân kép

Tích phân kép (The double integral) của hàm f trên một hình chữnhật R là “

Rf .x ; y/dA D lim

m;n!1

mXiD1

nXjD1

f .xij ; yij /A;

miễn là giới hạn trên tồn tại theo nghĩa: với mọi số " > 0 cho trước,luôn có một số tự nhiên N sao choˇ “

Rf .x ; y/dA

mXiD1

nXjD1

f .xij ; yij /A

ˇ< "

đúng với mọi số m; n lớn hơn N và với mọi cách chọn điểm mẫu.xij ; y

ij / 2 Rij . Một hàm f như trên được gọi là khả tích trên R.




Ta thừa nhận định lý sau đây

Điều kiện đủ để khả tích

Nếu

1 hàm số f bị chặn trên hình chữ nhật R, nghĩa là có hằng sốdương M sao cho

8.x ; y/ 2 R;ˇf .x ; y/

ˇ M

2 f liên tục trên R, ngoại trừ, có thể gián đoạn trên vài đường congtrơn bên trong R (Đường cong trơn là đường cong được biểu diễnbởi hàm vectơ có đạo hàm liên tục.)

thì f khả tích trên R.




Ghi chú.

1 Tổng

mXiD1

nXjD1

f .xij ; yij /A được gọi là tổng Riemann và được dùng

để xấp xỉ giá trị của tích phân kép.

2 Vì điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij được chọn tùy ý, nên ta có thể chọn theo

nhiều cách cho các mục đích khác nhau.

3 Nếu f .x ; y/ 0; 8.x ; y/ 2 R, thì thể tích khối S nằm dưới đồ thị củaf và nằm trên hình chữ nhật R được định nghĩa bởi công thức

V D

“Rf .x ; y/dA

miễn là f khả tích trên R.




Ví dụ

Hãy ước tính thể tích khối nằm trên hình vuông R D Œ0; 2 Œ0; 2 vànằm dưới mặt z D 16 x22y2, bằng cách chia thành bốn hình vuôngnhỏ và chọn điểm mẫu là góc trên bên phải của mỗi hình vuông conRij . Phác họa khối đó và các hộp chữ nhật để tính xấp xỉ.

Giải. Yêu cầu của phép xấp xỉ ứng vớim D n D 2, A D 1, và ta có

V

2XiD1

2XjD1

f .xi ; yj /A

D f .1; 1/AC f .1; 2/A

C f .2; 1/AC f .2; 2/A

D 13.1/C 7.1/C 10.1/C 4.1/ D 34 2




Ta thấy nếu m; n càng lớn thì phép xấp xỉ càng chính xác.




QUY TẮC TRUNG ĐIỂM: XẤP XỈ TÍCH PHÂN

Tổng Riemann dùng để xấp xỉ tích phân với điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij tùy ý.

Có nhiều cách chọn điểm mẫu cho thuận tiện, trong đó có quy tắc sau đây

Quy tắc trung điểm của tích phân kép

“Rf .x ; y/dA

mXiD1

nXjD1

f .x i ; yj /A

trong đó x i là trung điểm của đoạn Œxi1; xi và yj là trung điểm củađoạn Œyj1; yj . Nói cách khác, .x i ; yj / là tâm của hình chữ nhật con Rij .

Ví dụ

Dùng quy tắc trung điểm với m D n D 2, hãy xấp xỉ giá trị của“R.x 3y2/dA, trong đó R D Œ0; 2 Œ1; 2.




Giải. Diện tích của mỗi hình chữ nhật con là A D1

2. Theo quy tắc

trung điểm thì

“R.x 3y2/dA

2XiD1

2XjD1

f .x i ; yj /1

2

D1

2

f .x1; y1/C f .x1; y2/C f .x2; y1/C f .x2; y2/

D

1

2

hf12 ;

54

C f

12 ;

74

C f

32 ;

54

C f

32 ;

74

iD

1

2

h

6716

C

13916

C

5116

C

12316

iD

95

8D 11:875

Vì vậy

“R.x 3y2/dA 11:875 2




GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Giá trị trung bình

Giá trị trung bình (the average value)của hàm f hai biến được định nghĩa là

fave D1

A.R/

“Rf .x ; y/dA

trong đó A.R/ là diện tích của R.

Định lý

Nếu hàm số f liên tục trên R thì tồntại .; / 2 R sao cho f .; / D fave .

Hình trên nói rằng nếuz D f .x ; y/ 0 mô tả bề mặtđịa hình, thì ta có thể cắt bỏ cácchỏm đồi tại độ cao fave và dùngđất dư để lấp các thung lũng thìta được một vùng hoàn toànbằng phẳng có cao độ fave .







Ví dụ

Ở trang trước là một contour map biểu thị độ dày (đơn vị inch) củatuyết phủ ở bang Colorado trong hai ngày 20 và 21, tháng 12, 2006.Bang này có hình chữ nhật, từ Tây sang Đông là 388 dặm, từ Nam lênBắc là 276 dặm. Hãy ước tính độ dày trung bình của tuyết phủ trêntoàn bang.

Giải. Lấy góc Tây Nam của bang làm gốc tọa độ thì bang Colorado đượcbiểu thị bởi hình chữ nhật R D Œ0; 388 Œ0; 276. Đặt f .x ; y/ là độ dàytuyết phủ tại vị trí sang Đông x dặm và lên Bắc y dặm tính từ gốc. Khiđó độ dày trung bình của tuyết phủ toàn bang là

fave D1

A.R/

“f .x ; y/dA

trong đó A.R/ D 388:276 dặm vuông.




Để ước tính giá trị của tích phân kép ở trước, ta dùng quy tắc trung điểmvới m D n D 4, nghĩa là chia bang Colorado thành 16 hình chữ nhật đềunhau, với diện tích mỗi hình là

A D 116.388:276/ D 6693 dặm vuông

Contour map cho ta ước đoán giá trị của f tại mỗi tâm hình chữ nhậtcon, do đó

fave D1

A.R/

“Rf .x ; y/dA

1

A.R/

4XiD1

4XjD1

f .x i ; yj /A

A

A.R/.0C 15C 8C 7C 2C 25C 18; 5C 11C 4; 5

C 28C 17C 13; 5C 12C 15C 17; 5C 13/

D6693

388:276.207/ 12; 9 inches 2




TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KÉP

Giả sử các tích phân sau tồn tại. Khi đó

1

“R

f .x ; y/C g.x ; y/

dA D

“Rf .x ; y/dAC

“Rg.x ; y/dA

2

“Rcf .x ; y/dA D c

“Rf .x ; y/dA

3 Nếu f .x ; y/ g.x ; y/ với mọi .x ; y/ 2 R thì“Rf .x ; y/dA

“Rg.x ; y/dA

Tính chất 1, 2 được gọi tính chất tuyến tính của tích phân kép.



3.2. Tích phân lặp

Các tích phân dưới đâyZ b

a

Z d

cf .x ; y/dydx D

Z b

a

Z d

cf .x ; y/dy

dxZ d

c

Z b

af .x ; y/dxdy D

Z d

c

Z b

af .x ; y/dx

dy

được gọi là các tích phân lặp (iterated integral), vì chúng là kết quả lấytích phân theo từng biến x và y riêng lẻ. Hai tích phân lặp ở trên có thứtự lấy tích phân theo các biến khác nhau.




Định lý Fubini

Giả sử f là hàm số liên tục trên hình chữ nhật R D Œa; b Œc; d . Khiđó “

Rf .x ; y/dA D

Z b

a

Z d

cf .x ; y/dydx D

Z d

c

Z b

af .x ; y/dxdy :

Tổng quát hơn, có thể lấy giả thiết f bị chặn trên R, chỉ bị gián đoạntrên vài đường cong trơn bên trong R, và tồn tại các tích phân lặp.

Ta không chứng minh định lý trên, thay vào đó, ta nêu ý tưởng hình thànhđịnh lý này theo cách trực quan




Trong hình bên, gọi S là khối nằm trên Rvà dưới mặt z D f .x ; y/; V là thể tích khốiS; C là đường cong vết trong mặt phẳng

x D hằng số; A.x/ D

Z d

cf .x ; y/dy là diện

tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng trêncắt khối S. Nếu khối S bị cắt thành nhiềulát có độ dày x đều nhau và ta cộng thểtích các lát thì ta có xấp xỉ

V

mXiD1

A.xi /x .

Nếu cho số lát ngày càngnhiều (x ! 0), ta thấy“

Rf .x ; y/dA D V

D limm!1

mXiD1

A.xi /x D

Z b

aA.x/dx D

Z b

a

Z d

cf .x ; y/dy

dx :




Lập luận tương tự như trên với n lát cắtvuông góc với trục Oy, có độ dàyy D .d c/=n, diện tích mỗi lát là

A.yj / D

Z b

af .x ; yj /dx

như hình bên, ta cũng có

“Rf .x ; y/dA D V D lim

n!1

nXjD1

A.yj /y

D

Z d

cA.y/dy D

Z d

c

Z b

af .x ; y/dx

dy :




Ví dụ

Tính tích phân kép

“R.x 3y2/dA với R D

˚.x ; y/

ˇ0 x 2; 1

y 2.

Lời giải 1. Định lý Fubini cho“R.x 3y2/dA D

Z 2

0

Z 2

1.x 3y2/dydx D

Z 2

0.xy y3/

ˇyD2yD1

dx

D

Z 2

0.x 7/dx D

x22 7x

ˇ20D 12

Lời giải 2.

“R.x 3y2/dA D

Z 2

1

Z 2

0.x 3y2/dxdy DZ 2

1

x22 3xy2

xD2xD0

dy D

Z 2

1.2 6y2/dy D .2y 3y3/

ˇ21D 12 2




Ví dụ

Tính

“Ry sin.xy/dA với R D Œ1; 2 Œ0; .

Lời giải 1. Dùng định lý Fubini, lấy tích phân lặp theo biến x trước“Ry sin.xy/dA D

Z

0

Z 2

1y sin.xy/dxdy D

Z

0

cos.xy/

xD2xD1

dy

D

Z

0. cos 2y C cos y/dy D

1

2sin 2y C sin y

0D 0

Lời giải 2. Nếu tính theo tích phân lặp với thứ tự ngược lại, ta phải tíchphân từng phần, lời giải dài hơn, nhưng cho cùng kết quả. 2




Trường hợp đặc biệt, hàm số f .x ; y/ có dạng tách biến,f .x ; y/ D g.x/h.y/, trong đó g và h là hai hàm số 1 biến, thì định lýFubini có dạng“

Rf .x ; y/dA D

Z b

ag.x/dx

Z d

ch.y/dy với R D Œa; b Œc; d :



3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát

Mục 3.2 trình bày tích phân kép trên mộthình chữ nhật. Mục này bàn đến tích phânkép trên một miền D có hình dạng tổngquát hơn, bị chặn, như hình bên. Ta chọnmột hình chữ nhật R bao quanh miền D vàđưa ra hàm mới F xác định trên R,

F .x ; y/ D

(f .x ; y/ nếu .x ; y/ 2 D

0 nếu .x ; y/ 2 R n D

Tích phân của F trên hình chữ nhật R, nếutồn tại, không bị ảnh hưởng bởi miền bênngoài D, nghĩa là ta có thể lấy hình chữnhật R tùy ý bao quanh D.




Đồ thị của f và của F được minh họa như sau

Nếu F khả tích trên R thì ta định nghĩa tích phân kép của f trên D nhưsau “

Df .x ; y/dA D

“RF .x ; y/dA




Định lý

Giả sử hàm f chỉ gián đoạn ở những điểm trên vài đường cong trơn bêntrong D. Hơn nữa, biên của tập D được ghép bởi vài đường cong trơn.

Khi đó f sẽ khả tích trên D, nghĩa là tồn tại

“Df .x ; y/dA.

Định lý Fubini có thể áp dụng cho tích phân kép trên miền D tổng quáttheo cách phân biệt miền D thành hai loại:

1 Miền D được gọi là lồi theo phương Oy, hoặc là đơn giản theophương Oy, nếu D nằm giữa hai đồ thị của hai hàm số theo biến x ,

D D˚.x ; y/

ˇx 2 Œa; b; g1.x/ y g2.x/

2 Miền D được gọi là lồi theo phương Ox, hoặc là đơn giản theo

phương Ox, nếu D nằm giữa hai đồ thị của hai hàm số theo biến y ,

D D˚.x ; y/

ˇy 2 Œc; d ; h1.y/ x h2.y/




Sau đây là vài hình ảnh cho miền lồi theo Oy:

Và minh họa cho miền lồi theo Ox:




Định lý Fubini

Cho hàm số f khả tích trên miền D.

1 Nếu D D˚.x ; y/

ˇx 2 Œa; b; g1.x/ y g2.x/

(D lồi theo

phương Oy), thì“Df .x ; y/dA D

Z b

a

Z g2.x/

g1.x/f .x ; y/dy dx ;

miễn là tích phân lặp ở trên tồn tại.

2 Nếu D D˚.x ; y/

ˇy 2 Œc; d ; h1.y/ x h2.y/

(D lồi theo

phương Ox), thì (miễn là tích phân lặp ở dưới tồn tại)“Df .x ; y/dA D

Z d

c

Z h2.y/

h1.y/f .x ; y/dx dy ;




Ví dụ

Tính

“D.xC2y/dA, D bị bao bởi hai parabola: y D 2x2 và y D 1Cx2.

Giải. Giao điểm hai parabola là .1; 2/ và.1; 2/. Do đó D có dạng

D D˚.x ; y/

ˇx 2 Œ1; 1; 2x2 y 1C x2

“

D.x C 2y/dA D

Z 1

1

Z 1Cx2

2x2.x C 2y/dydx

D

Z 1

1.xy C y2/

ˇyD1Cx2yD2x2

dx

D D32

15 2




Lưu ý. Khi tính tích phân kép thông qua tích phân lặp, điều chủ yếu là vẽsơ đồ mũi tên để biểu diễn miền lấy tích phân dưới dạng lồi theo mộtphương, giống như trong hình của ví dụ trước. Nó giúp ta xác định cậndưới và trên của tích phân lặp.

Ví dụ

Tìm thể tích của miền nằm dướiparaboloid z D x2Cy2 và nằm trênmiền D trong mặt phẳng xy bị baobởi hai đường y D 2x và y D x2.




Với hai sơ đồ mũi tên trong miền D dưới đây:

thì ta có hai cách biểu diễn D lồi theo phương Oy hoặc Ox:

D D˚.x ; y/

ˇx 2 Œ0; 2; x2 y 2x

D D

˚.x ; y/

ˇy 2 Œ0; 4; 1

2y x py




Do đó, thể tích V của khối nằm dưới mặt z D x2 C y2 và nằm trên Dđược tính theo hai cách

Cách 1: V D

“D.x2 C y2/dA D

Z 2

0

Z 2x

x2.x2 C y2/dy dx

D

Z 2

0.x2y C

1

3y3/ˇyD2xyDx2

dx D D216

35

Cách 2: V D

“D.x2 C y2/dA D

Z 4

0

Z py

12 y

.x2 C y2/dx dy

D

Z 4

0.1

3x3 C xy2/

ˇxDpy

xD 12 y

dy D D216

352




Ví dụ

Tính tích phân lặp

Z 1

0

Z 1

xsin.y2/dydx .

Giải. Nếu tính tích phân theo biến y trước thì bất khả thi, vì ta không tìmđược nguyên hàm. Do đó, ta dùng định lý Fubini cho tích phân kép trênmiền D như hình dưới




và ta cóZ 1

0

Z 1

xsin.y2/dy dx D

“Dsin.y2/dA D

Z 1

0

Z y

0sin.y2/dx dy

D

Z 1

0y sin.y2/dy D

1

2

Z 1

0sin tdt (đổi biến t D y2)

D 1

2cos t

ˇ10D

1

2

1

2cos 1 2




TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KÉP TRÊN MIỀN TỔNG QUÁT

Giả sử các tích phân dưới đây tồn tại, khi đó“D

f .x ; y/C g.x ; y/

dA D

“Df .x ; y/dAC

“Dg.x ; y/dA (3.1)“

Dcf .x ; y/dA D c

“Df .x ; y/dA (3.2)

Nếu f .x ; y/ g.x ; y/ với mọi .x ; y/ 2 D thì“Df .x ; y/dA

“Dg.x ; y/dA (3.3)

Nếu D1 và D2 không “giẫm đè” lên nhau, ngoại trừ có thể dính nhau trênbiên, thì“

D1[D2

f .x ; y/dA D

“D1

f .x ; y/dAC

“D2

f .x ; y/dA (3.4)




Tính chất (3.4) được dùng khi D không có dạng lồi theo phương nào.Trong trường hợp đó ta có thể chia D thành nhiều miền, mỗi miền lồitheo một phương Ox hoặc Oy

Miền D trong hình trên không lồi theo phương nào, khi chia ra thì miềnD1 lồi theo Oy, miền D2 lồi theo Ox.




Nếu ta lấy tích phân của một hàm hằngf .x ; y/ 1 trên miền D, thì ta được trị sốcủa diện tích miền D“

D1dA D A.D/ (3.5)

Nếu m f .x ; y/ M với mọi .x ; y/ 2 D thì

mA.D/

“Df .x ; y/dA MA.D/ (3.6)




Ví dụ

Dùng tính chất (3.6), hãy đánh giá trị số của

“Desin x cos ydA, với D là

đĩa tròn có tâm ở gốc, bán kính 2.

Giải. Vì 1 sin x cos y 1 nên

e1 esin x cos y e1 D e

Dùng tính chất (3.6) với m D e1, M D e, và A.D/ D .2/2, ta có

4

e

“Desin x cos ydA 4e

2



3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực

TỌA ĐỘ CỰC

Với mỗi điểm P.x ; y/ trong mặt phẳng tọađộ Descartes Oxy, ta đặt

r D OP Dpx2 C y2I D ]

!i ;!OP

thì x D r cos và y D r sin . Cặp số .r ; /được gọi là tọa độ cực của điểm P.

Quy ước. Trong tọa độ cực, điểm .r ; /đối xứng với điểm .r ; / qua gốc O.0; 0/

Vậy một tập hợp D trong mặt phẳng Descartes có dạng

D D˚.x ; y/

ˇx và y thỏa tính chất (T) nào đó

có thể được viết dưới dạng tọa độ cực như sau

D D˚.r ; /

ˇr và thỏa tính chất “tương đồng” với (T)




Miền R trong hình (a) ở bên có thể viết theoba dạng sau

R D˚.x ; y/

ˇx2 C y2 1

R D

˚.x ; y/

ˇx D r cos ; y D r sin ;

.r ; / 2 Œ0; 1 Œ0; 2

R D˚.r ; /

ˇ0 r 1; 0 2

Trong hình (b) thì miền R được viết dưới

dạng

R D˚.x ; y/

ˇ1 x2 C y2 4; y 0

R D

˚.x ; y/

ˇx D r cos ; y D r sin ;

.r ; / 2 Œ1; 2 Œ0;

R D˚.r ; /

ˇ1 r 2; 0

Hình (a):

Hình (b):




Người ta chứng minh được rằng

Công thức đổi biến tích phân theo tọađộ cực

Nếu hàm số hai biến f liên tục trên mộtmiền D được biểu diễn theo dạng tọa độcực sau đây

D D˚.r ; /

ˇ 2 Œ˛; ˇ; h2./ r h2./

thì

Hình minh họa cho miềnD có dạng tọa độ cực đơngiản theo r.“

Df .x ; y/dA D

Z ˇ

˛

Z h2./

h1./f .r cos ; r sin / r dr d




Ví dụ

Tìm thể tích của khối bị bao bởi mặt z D 0 và paraboloid z D 1x2y2.

Giải. Mặt z D 0 cắt paraboloid tạo thànhhình tròn D W x2C y2 1, có biểu diễn tọa độcực là .r ; / 2 Œ0; 1 Œ0; 2. Do đó, thể tíchkhối là

V D

“D.1 x2 y2/dA

D

Z 2

0

Z 1

0.1 r2/rdrd

D 2 r22

r4

4

ˇ10D

22




Ví dụ

Tìm diện tích một cánh tạo bởi đường cong hình hoa 4 cánh có phươngtrình r D cos 2 . (Xem hình.)

Giải. Ta thấy miền D có dạng tọa độ cực

D D˚.r ; /

ˇ 2 Œ

4;

4; 0 r cos 2

Do đó diện tích một cánh hoa là

A.D/ D

“DdA D

Z =4

=4

Z cos 2

0rdrd

D

Z =4

=4

h12r2icos 20

d D D

82




Ví dụ

Tính thể tích khối nằm trên mặt phẳng xy, nằm dưới mặt paraboloidz D x2 C y2 và nằm trong mặt trụ x2 C y2 D 2x .

Giải. Khối cần tìm nằm trên hình tròn D vớibiên có phương trình

x2 C y2 D 2x , .x 1/2 C y2 D 1

Dạng tọa độ cực của D là

D D˚.r ; /

ˇ 2

h

2;

2

i; 0 r 2 cos

(Xem hình trang kế.)




Do đó thể tích cần tính là

V D

“D.x2 C y2/dA

D

Z =2

=2

Z cos 2

0.r2/rdrd

D

Z =2

=2

h r44

i2 cos 0

d D 4

Z =2

=2cos4 d

D 4

Z =2

=2

1C cos 2

2

2d D D

3

2

2



3.5. Tích phân bội ba

TÍCH PHÂN BỘI BA TRÊN MỘT HỘP (BOX)

Xét một hàm số f , có 3 biến, xác định trên mộthộp chữ nhật B

B D˚.x ; y ; z/

ˇa x b; c y d ; r z s

Định nghĩa tích phân bội ba của f trên B cũnggiống như trường hợp hàm hai biến, nghĩa làchia B thành nhiều hộp con Bijk . Trong đó tachia Œa; b thành l đoạn con đều nhau có độ dàix D .b a/=l , chia Œc; d thành m đoạn con cóđộ dài y D .d c/=m, chia Œr ; s thành n đoạncon có độ dài z D .s r/=n, và ta có lmn hộpcon dạng Bijk D Œxi1; xi Œyj1; yj Œzk1; zk ,thể tích mỗi hộp con là V D xyz .




Trong mỗi hộp con Bijk , chọn một điểm mẫu .xijk ; yijk ; z

ijk/ tùy ý và lập

tổng Riemann như sau

lXiD1

mXjD1

nXkD1

f .xijk ; yijk ; z

ijk/V

Định nghĩa tích phân bội ba trên một hộp

Tích phân bội ba (triple integral) của f trên hộp B được định nghĩa là

•Bf .x ; y ; z/dV D lim

l;m;n!1

lXiD1

mXjD1

nXkD1

f .xijk ; yijk ; z

ijk/V

miễn là giới hạn trên tồn tại. Khi đó ta nói f khả tích trên B.




Điều kiện đủ để khả tích

Nếu f liên tục trên hộp B thì f khả tích trên B.

Định lý Fubini

Nếu f liên tục trên hộp B D Œa; b Œc; d Œr ; s thì•Bf .x ; y ; z/dV D

Z s

r

Z d

c

Z b

af .x ; y ; z/dxdydz

Tổng quát hơn, nếu f khả tích trên B và tích phân lặp ở trên tồn tạithì đẳng thức trên đúng.




TÍCH PHÂN BỘI BA TRÊN MỘT KHỐI TỔNG QUÁT

Nếu hàm ba biến f xác định trên một khối E bị chặn trong không gian (bịbao quanh bởi một mặt cầu), thì ta chọn một hộp chữ nhật B chứa E vàđịnh nghĩa hàm F xác định trên B sao cho: F trùng với f bên trong E ; Ftriệt tiêu bên ngoài E . Khi đó ta định nghĩa•

Ef .x ; y ; z/dV D

•BF .x ; y ; z/dV

Tích phân trên sẽ tồn tại nếu f liên tục trên E và biên của E là hợp củavài mặt cong trơn, nghĩa là mặt cong có phương trình dạngG .x ; y ; z/ D k , k là hằng số, các đạo hàm riêng của G liên tục.

Chú ý

Tích phân bội ba của f trên E không mang ý nghĩa hình học, nhưng

nếu f 1 thì thể tích của E là V .E / D

•E1dV .




KHỐI ĐƠN GIẢN (LỒI) THEO MỘT PHƯƠNG & ĐỊNH LÝ FUBINI

Định lý Fubini được áp dụng cho tích phân bội ba trên một khối E thuộccác kiểu sau đây:

Loại lồi theo phương Oz, có dạng

E D˚.x ; y ; z/

ˇ.x ; y/ 2 D;

u1.x ; y/ z u2.x ; y/

trong đó D là hình chiếu của khối E lên mặtphẳng xy. Khi đó

•Ef .x ; y ; z/dV D

“D

h Z u2.x;y/

u1.x;y/f .x ; y ; z/dz

idA




Loại lồi theo phương Oy, có dạng

E D˚.x ; y ; z/

ˇ.y ; z/ 2 D; u1.x ; z/ y u2.x ; z/

trong đó D là hình chiếu của khối E lên mặt phẳng xz.

Khi đó


“D

h Z u2.x;z/

u1.x;z/f .x ; y ; z/dy

idA




Loại lồi theo phương Ox, có dạng

E D˚.x ; y ; z/

ˇ.y ; z/ 2 D; u1.y ; z/ x u2.y ; z/

trong đó D là hình chiếu của khối E lên mặt phẳng yz.

Khi đó


“D

h Z u2.y ;z/

u1.y ;z/f .x ; y ; z/dx

idA




Ví dụ

Tính

•E

px2 C y2dV , trong đó E là miền bị bao quanh bởi mặt

y D x2 C z2 và mặt y D 4.

Giải. Nếu chúng ta xem E là miền lồi theo phương Oz, thì hình chiếu củaE lên mặt xy là D1 như hình dưới




Phương trình y D x2 C z2 cho z D ˙py x2, mặt xy: z D 0, cắt mặt

y D x2 C z2 thành parabola y D x2. Do đó

E D˚.x ; y ; z/

ˇ.x ; y/ 2 D1;

py x2 z

py x2

D1 D

˚.x ; y/

ˇx 2 Œ2; 2; x2 y 4

•

E

px2 C z2dV D

Z 2

2

Z 4

x2

Z pyx2

p

yx2

px2 C z2 dz dy dx

Theo cách trên thì tích phân lặp rất khó tính toán. Do đó, ta xem khối Enhư là khối đơn giản theo phương Oy, với hình chiếu lên mặt xz là hìnhtròn D3 W x

2C y2 4, và ta viết

E D˚.x ; y ; z/

ˇ.x ; z/ 2 D3; x

2C z2 y 4

•E

px2 C z2dV D

“D3

Z 4

x2Cz2

px2 C z2 dy dA




D

“D3

.4 x2 z2/px2 C z2 dA

D

Z 2

0

Z 2

0.4 r2/

p

r2:r dr d (đổi biến x D r cos , z D r sin )

D 2

Z 2

0.4r2 r4/ dr D 2

4r33

r5

5

ˇ20

D128

152



3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ

TỌA ĐỘ TRỤ

Mỗi điểm P.x ; y ; z/ trong hệ tọa độDescartes, có hình chiếu Q.x ; y ; 0/ lênmặt phẳng xy, thì điểm Q trong mặtphẳng xy có tọa độ cực là .r ; ; 0/. Khiđó, bộ ba số .r ; ; z/ được gọi là tọa độtrụ (cylindrical coordinate system) củađiểm P. Hai hệ phương trình chuyển đổigiữa tọa độ Descartes và tọa độ trụ nhưsau

r2 D x2 C y2; tan Dy

x; z D z (3.7)

x D r cos ; y D r sin ; z D z (3.8)

r được gọi là bán kính trục, khoảng cách từ P đến trục Oz.




Ví dụ

a) Vẽ điểm có tọa độ trụ .2; 2=3; 1/ và tìm tọa độ Descartes của nó.b) Tìm tọa độ trụ của điểm có tọa độ Descartes .3;3;7/.

a) Điểm có tọa độ trụ .2; 2=3; 1/ được vẽở hình bên phải. Tọa độ Descartes đượctính bởi

x D 2 cos2

3D 1

y D 2 sin2

3Dp3

z D 1

Vậy điểm đã cho là .1;p3; 1/ trong tọa

độ Descartes




b) Ta có r Dp32 C .3/2 D 3

p2; tan D

3

3D 1, do đó

D

4C 2n ; z D 7. Vậy tọa độ trụ của điểm đã cho là

.3p2;=4;7/. 2

Ghi chú. Tọa độ trụ thường dùng trong bàitoán có hình đối xứng quanh một trục, và tađồng nhất trục này với trục Oz. Ví dụ, mặttrụ có phương trình Descartes làx2 C y2 D c2, trục đối xứng là Oz. Trongtọa độ trụ, phương trình của nó đơn giảnhơn, r D c .




Ví dụ

Hãy mô tả mặt có phương trình z D r trong tọa độ trụ.

Giải. Phương trình này cho biết mỗi điểmtrên mặt có giá trị z , cũng là độ cao, bằngvới giá trị r , là khoảng cách từ điểm đó đếntrục Oz. Vì không xuất hiện, có nghĩa làgiá trị của nó thay đổi tùy ý. Vì vậy, mỗi vếtngang trong mặt phẳng z D k (k > 0) làđường tròn bán kính k. Những vết này tạonên mặt nón. Phán đoán ở trên có thể đượckiểm chứng bằng cách đổi phương trình mặttrong tọa độ trụ thành phương trình trongtọa độ Descartes, z2 D r2 D x2 C y2. Rõ ràng z2 D x2 C y2 là phươngtrình mặt nón. 2




TÍNH TOÁN TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG TỌA ĐỘ TRỤ

Giả sử E là miền lồi theo phương Oz,

E D˚.x ; y ; z/

ˇ.x ; y/ 2 D;

u1.x ; y/ z u2.x ; y/

trong đó D là miền trong R2 có biểu diễntọa độ cực là

D D˚.r ; /

ˇ 2 Œ˛; ˇ; h1./ r h2./




thì tích phân bội ba của hàm số f .x ; y ; z/ trên khối E được tính theo côngthức •

Ef .x ; y ; z/dV D

“D

Z u2.x;y/

u1.x;y/f .x ; y ; z/ dz dA

D

Z ˇ

˛

Z h2./

h1./

Z u2.r cos ;r sin /

u1.r cos ;r sin /f .r cos ; r sin ; z/ r dzdrd

Tích phân trong tọa độ trụ chia khốiE thành những phân tố thể tích(volume element) dV , được tính nhưlà thể tích của khối vô cùng nhỏ bêntrong E , có hình dạng ở bên,dV D .rd/drdz D r dzdrd .




Ví dụ

Khối E bên trong mặt trụ x2 C y2 D 1, nằm dưới mặt phẳng z D 4 vàtrên mặt paraboloid z D 1 x2 y2 như hình bên. Mật độ khối lượngtại mỗi điểm của khối, tỷ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến trục củamặt trụ. Hãy tính khối lượng của khối E .

Chú thích. Gọi m và V lần lượt là khối lượngvà thể tích của một khối nhỏ bất kỳ, chứa điểm.x ; y ; z/ bên trong khối E . Người ta định nghĩa

.x ; y ; z/ D limV!0

m

V

là mật độ khối lượng của E tại điểm .x ; y ; z/. Tỉsố m

V được xem như là khối lượng riêng quanh khu

vực điểm .x ; y ; z/.




Giải. Hàm mật độ khối .x ; y ; z/ tỉ lệ với khoảng cách từ .x ; y ; z/ đến

trục Oz, do đó .x ; y ; z/ D Kpx2 C y2 D Kr , K > 0 là hằng số tỉ lệ. Hơn

nữa, khối E được biểu diễn dưới dạng tọa độ trụ như sau

E D˚.r ; ; z/

ˇ 2 Œ0; 2; r 2 Œ0; 1; 1 r2 z 4

Khối lượng của khối E được tính như sau

m D

“E.x ; y ; z/dV D K

“E

px2 C y2dV

D K

Z 2

0

Z 1

0

Z 4

1r2r :r dzdrd

D D K

Z 2

0d

Z 1

0.3r2 C r4/dr

D D12K

5




Ví dụ

Tính

Z 2

2

Z p4x2

p4x2

Z 2

px2Cy2

.x2 C y2/ dz dy dx .

Giải. Tích phân lặp ở trên bằng“D

Z 2

px2Cy2

.x2 C y2/dz dA, trong đó

D D˚.x ; y/

ˇx 2 Œ2; 2;

p

4 x2 y p

4 x2

D˚.x ; y/

ˇx2 C y2 4

D˚.r ; /

ˇr 2 Œ0; 2; 2 Œ0; 2




Vậy tích phân nói trên là tích phân bội ba trên khối E

E D˚.r ; ; z/

ˇ.r ; / 2 Œ0; 2 Œ0; 2; r z 2

Do đóZ 2

2

Z p4x2

p4x2

Z 2

px2Cy2

.x2 C y2/ dz dy dx D

•E.x2 C y2/dV

D

Z 2

0

Z 2

0

Z 2

rr2r dz dr d

D

Z 2

0d

Z 2

0.2r3 r4/dr

D 212r4

1

5r5ˇ2

0D

16

5



3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu

TỌA ĐỘ CẦU

Xét điểm P có tọa độ Descartes .x ; y ; z/,hình chiếu của P lên mặt xy là P 0.x ; y ; 0/.Ta đặt

D OP; D ].!i ;!OP 0/; D ].

!k ;!OP/

Bộ ba số .; ; / được gọi là tọa độ cầucủa điểm P. Lưu ý, 2 Œ0; . Nếu đặtr D sin thì .r ; / là tọa độ cực của điểmhình chiếu P 0 trong mặt xy.

Ghi chú. Không có sự thống nhất cho ký hiệu tọa độ cầu. Hầu hết cácsách Vật lý đều đảo ngược ý nghĩa của và , sử dụng r thay cho .




Chú giải. Trên mặt địa cầu, .; / 2 Œ1; 2 Œ1; 2 biểu diễn các điểmgiữa hai kinh tuyến ı1 và ı2 từ Tây sang Đông; giữa hai vĩ tuyến ı1 và ı2(với vĩ tuyến gốc là Bắc cực, không phải xích đạo). Những điểm này cáchtâm địa cầu một khoảng .; /.

Phương trình chuyển đổi tọa độ cầu và tọa độ Descartes là

x D sin cos ; y D sin sin ; z D cos

và

2 D x2 C y2 C z2




Ví dụ

Điểm .2; =4; =3/ được cho trong tọa độ cầu. Hãy vẽ điểm này và tìmtọa độ Descartes của nó.

Giải. Điểm được định vị như hình bên. Ta có

x D sin cos D 2 sin

3cos

4D

r3

2

y D sin sin D 2 sin

3sin

4D

r3

2

z D cos D 2 cos

3D 1

Vậy tọa độ Descartes của điểm đã cho là .p3=2;

p3=2; 1/.




Ví dụ

Điểm .0; 2p3;2/ được cho trong tọa độ Descartes. Hãy tìm tọa độ

cầu cho điểm này.

Giải. Ta có D

px2 C y2 C z2 D

p0C 12C 4 D 4

Ngoài ra

cos Dz

D2

4D

1

2 D

2

3

cos Dx

sinD 0 D

2

(Lưu ý rằng ¤ =2, vì y D 2p3 > 0.) Vậy điểm đã cho có tọa độ cầu

là .4; =2; 2=3/.




Sau đây là vài mặt được biểu diễn bởi phương trình theo tọa độ cầu

Mặt cầu có phương trình D c , clà hằng số.

Nửa mặt phẳng có phương trình D c , c là hằng số.




Nửa mặt nón D c , c là hằng số,0 < c < =2.

Nửa mặt nón D c , c là hằng số,=2 < c < .




TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG TỌA ĐỘ CẦU

Ta thừa nhận công thức sau

Nếu một khối E có biểu diễn tọa độ cầu là

E D˚.; ; /

ˇ.; / 2 Œ1; 2 Œ1; 2; 1.; / 2.; /

thì•

Ef .x ; y ; z/dV

D

Z 2

1

Z 2

1

Z 2.;/

1.;/

f . sin cos ; sin sin ; cos/ 2 sin d d d

Chú ý. Trong không gian, ta có thể gặp những khối E có biểu diễn theotọa độ cầu với dạng khác với dạng trong công thức trên, thứ tự tích phânlặp sẽ khác đi, nhưng hàm trong tích phân vẫn vậy.




Ví dụ

Dùng tọa độ cầu, hãy tính thể tích của khối nằm trên mặt nón z Dpx2 C y2 và dưới mặt cầu x2 C y2 C z2 D z .

Giải. Lưu ý tâm mặt cầu là .0; 0; 12/, đường kính bằng 1.

Với cố định thì “chạy” từ 0 đến=4.




Những điểm trong khối có “chạy”từ 0 đến 2 .

Với và cố định thì điểm trongkhối có “chạy” từ 0 đến cos.

Do đó khối đã cho có biểu diễn theo tọa độ cầu là

E D˚.; ; /

ˇ.; / 2 Œ0; 2 Œ0;

4; 0 cos




Vậy thể tích khối cần tính là

V .E / D

•EdV D

Z 2

0

Z =4

0

Z cos

02 sin d d d

D

Z 2

0d

Z =4

0sin

33

ˇDcosD0

d

D2

3

Z =4

0sin cos3 d D

2

3

cos4

4

ˇ=40D

8


BỘ MÔN GIẢI TÍCH

BÀI TẬP GIẢI TÍCH B2

KHOA TOÁN TIN HỌC, ĐH. KHTN TPHCM

2

Chương 1

ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONGKHÔNG GIAN TỌA ĐỘ

A. Ôn tập và mở rộng kiến thức hình học tọa độ

I. Bài tập về tích vô hướng

1. Vào một ngày, một người bán dạo bán được a bánh hamburgers, b hot dogsvà c ly nước ngọt. Anh ta tính $2 cho mỗi hamburger, $1; 5 cho mỗi cái hotdog và $1 cho mỗi ly nước. Nếu viết !u D ha; b; ci và !v D h2; 1:5; 1i thì ýnghĩa của !u !v là gì?

2. Tìm một vectơ đơn vị vuông góc với cả hai vectơ!i C!j và!j C!k .

3. Tìm hai vectơ đơn vị hợp với !v D h3; 4i một góc 600.

4. Tìm các cô-sin và góc chỉ hướng của các vectơ sau (các góc được làm trònđến 1 đơn vị độ)

a) h3; 4; 5i

b) h1;2;1i

c) 2!i C 3

!j 6

!k

d) 2!i !j C 2

!k

e) hc; c; ci với c >

0

5. Tính góc giữa đường chéo khối lập phương với một trong các cạnh của nó.

6. Tính góc giữa một đường chéo khối lập phương với đường chéo của mộttrong các mặt của khối lập phương.

7. Nếu một vectơ có hai góc chỉ hướng ˛ D =4, ˇ D =3. Tìm góc chỉ phươngthứ ba .

8. Tìm vectơ hình chiếu của!b lên !a

4 ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ

a) !a D h3;4i,!b D h5; 0i

b) !a D h1; 2i,!b D h4; 1i

c) !a D h3; 6;2i,!b D

h1; 2; 3i

d) !a D h2; 3;6i,!b D

h5;1; 4i

e) !a D 2!i !j C 4

!k ,!b D

!j C 1

2

!k

f) !a D!i C

!j C

!k ,!b D

!i !j C!k

9. Ký hiệu orth!a!b D

!b proj!a

!b , tạm gọi orth!a

!b là hình chiếu của

!b

(lên phương) trực giao với !a . Chứng minh rằng vectơ orth!a!b vuông góc

với !a .

10. Cho !a D h1; 2i và!b D h4; 1i. Tìm orth!a

!b và vẽ minh họa các vectơ

!a ,!b , proj!a

!b và orth!a

!b .

11. Nếu !a D h3; 0;1i. Tìm một vectơ!b sao cho comp!a

!b D 2.

12. Giả sử !a và!b là hai vectơ khác

!0 .

a) Trong trường hợp nào comp!a!b D comp!

b!a ?

b) Trong trường hợp nào proj!a!b D proj!

b!a ?

13. Tính công của một lực!F D 8

!i 6

!j C 9

!k (độ lớn đo bằng newtons) tác

động vào một vật di chuyển từ điểm .0; 10; 8/ đến điểm .6; 12; 20/ dọc theomột đường thẳng. Khoảng cách đo bằng mét.

14. Một xe tải kéo một xe hơi chết máy trên đường. Dây xích kéo tạo góc 300 sovới mặt đường. Lực căng của dây xích là 1500N . Tính công của xe tải khikéo xe hơi một đoạn đường 1km.

15. Một chiếc thuyền giương buồm đi về hướng Nam với sức gió 400lb. Hướnggió lệch từ Nam đến Đông là 360. Tính công của sức gió khi thuyền dịchchuyển được 120f t .

II. Bài tập về tích hữu hướng

16. Tính tích !a !b và kiểm tra nó vuông góc với !a và

!b

a) !a D h6; 0;2i,!b D h0; 8; 0i

b) !a D h1; 1;1i,!b D h2; 4; 6i

ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ 5

c) !a D!i C 3

!j 2

!k ,!b D

!i C 5

!k

d) !a D!j C 7

!k ,!b D 2

!i !j C 4

!k

e) !a D ht; t2; t3i,!b D h1; 2t; 3t2i

17. Cho !a D!i 2

!k và

!b D

!j C!k . Tính !a

!b và vẽ các vectơ !a ,

!b ,

!a !b có chung điểm đầu tại gốc tọa độ.

18. Tính mà không dùng định thức, thay vào đó dùng tính chất của tích hữuhướng.

a) .!i !j /

!k

b)!k .

!i 2

!j /

c) .!j !k / .

!k !i /

d) .!i C!j / .

!i !j /

19. Các biểu thức dưới đây có nghĩa hay không? Nếu không, giải thích vì sao.Nếu có, thì biểu thức đó là vectơ hay là số.

a) !a .!b !c /

b) !a .!b !c /

c) !a .!b !c /

d) .!a !b / !c

e) .!a !b / .!c

!d /

f) .!a !b / .!c

!d /

20. Tính j!u !v j và xác định hướng của !u !v hướng vào hay ra ngoài trangvở

a) b)

21. Trong hình bên, !a nằm trong mặt-xy,!b

cùng hướng với!k . Độ dài của chúng là

j!a j D 3 và j

!b j D 2.

a) Tính j!a !b j

b) Sử dụng qui tắc bàn tay phải, hãy xácđịnh các thành phần của !a

!b là

dương, âm hay bằng 0.


22. Một bu-loong được xiết chặt bằng cách áp một lực40N vào khóa vặn dài 0; 25m như hình bên. Tínhđộ lớn mô-men xoắn quanh tâm của bu-loong vàmô tả vectơ mô-men xoắn này.

23. Bàn chân đẩy bàn đạp xe đạp một lực 60lb nhưhình vẽ. Tay đòn quay có bán kính 18cm. Tìm độlớn của vectơ mô-men quay quanh điểm P.

24. Tính độ lớn của vectơ mô-men quay quanh P khimột lực 36lb đặt như hình bên.

B. Mặt trụ và mặt bậc hai

1. Mô tả và phác họa các mặt cong có phương trình

a) x2 C y2 D 1

b) y2 C z2 D 1

c) y2 C 4z2 D 4

d) z D 4 x2

e) yz D 4

f) z D cos x

g) x2 y2 D 1

2. Sử dụng vết để mô tả và phác họa mặt cong có phương trình

a) z D 4x2 C y2

b) x2 Cy2

9C

z2

4D 1

c) x2

4C y2

z2

4D 1

d) x D y2 C 4z2

e) x2 D y2 C 4z2

f) x2 C 4y2 z2 D 4

g) 9x2 y2 C z2 D 0


3-10 Các phương trình diễn tả mặt cong nào (được đánh số I-VIII), giải thích tạisao

3. x2 C 4y2 C 9z2 D 1

4. 9x2 C 4y2 C z2 D 1

5. x2 y2 C z2 D 1

6. x2 C y2 z2 D 1

7. y D 2x2 C z2

8. y2 D 2x2 C z2

9. x2 C 2z2 D 1

10. y D x2 z2

11. Phác họa miền bị bao quanh bởi các mặt z Dp

x2 C y2, x2 C y2 D 1 với1 z 2.


12. Phác họa miền bị bao quanh bởi các paraboloids z D x2 C y2 và z D

2 x2 y2.

13. Tìm phương trình mặt tạo bởi đường parabol y D x2 quay quanh trục-Oy.

14. Tìm phương trình mặt tạo bởi đường thẳng x D 3y quay quanh trục-Ox.

15. Tìm phương trình mặt bao gồm các điểm cách đều điểm .1; 0; 0/ và mặtphẳng x D 1. Phác họa mặt này.

16. Tìm phương trình mặt bao gồm các điểm P sao cho khoảng cách từ P đếntrục-Ox bằng hai lần khoảng cách từ P đến mặt-yz. Phác họa mặt này.

17. Tháp làm nguội của lò phản ứng hạt nhân có hìnhdạng hyperboloid một mảnh (hình bên). Nếu đườngkính đáy của tháp là 280m và đường kính chỗ eo thắtcủa tháp là 200m, ở độ cao cách đáy 500m, thì phươngtrình của mặt hyperboloid là gì?

C. Hàm vectơ một biến và đường cong

I. Bài tập về phương trình, hình vẽ đường cong

1-8 Vẽ đường cong có phương trình vectơ cho trước. Dùng mũi tên chỉ rõ hướngcủa đường cong khi t tăng.

1. !r .t/ D hsin t; ti

2. !r .t/ D ht3; t2i

3. !r .t/ D ht; cos 2t; sin 2ti

4. !r .t/ D h1C t; 3t;ti

5. !r .t/ D h1; cos t; 2 sin ti

6. !r .t/ D ht2; t; 2i

7. !r .t/ D t2!i C t4!j C t6!k

8. !r .t/ D cos t!i cos t

!j C

sin t!k

9-14 Tìm phương trình tham số phù hợp với các đường cong được đánh số từ I-VI.Giải thích vì sao.

9. x D cos 4t , y D t , z D sin 4t

10. x D t , y D t2, z D et

11. x D t , y D 1=.1C t2/, z D t2

12. x D et cos 10t , y D et sin 10t , z D et


13. x D cos t , y D sin t , z D sin 5t

14. x D cos t , y D sin t , z D ln t

15. Chứng minh đường cong với phương trình tham số x D t cos t , y D t sin t ,z D t nằm trên mặt nón z2 D x2 C y2. Dựa vào đó hãy phác họa đườngcong.

16. Chứng minh đường cong với phương trình tham số x D sin t , y D cos t ,z D sin2 t là đường cong giao tuyến của hai mặt z D x2 và mặt x2Cy2 D 1.Dựa vào đó hãy phác họa đường cong.

17. Đường cong !r .t/ D t!i C .2t t2/

!k cắt mặt paraboloid z D x2C y2 tại

những điểm nào?

18. Lò xo !r .t/ D hsin t; cos t; ti cắt mặt cầu x2C y2C z2 D 5 tại những điểmnào?

19. Tìm phương trình vectơ biểu diễn đường cong giao tuyến của hai mặt


a) Mặt x2 C y2 D 4 và mặt z D xy

b) Mặt z Dp

x2 C y2 và mặt z D 1C y

c) Mặt z D 4x2 C y2 và mặt y D x2

20. Nếu hai vật bay trong không gian theo hai quỹ đạo khác nhau, điều quantrọng người ta hay quan tâm là chúng có va chạm nhau không. (Tên lửa cóbay trúng mục tiêu di động của nó không? Hai máy bay có va chạm trênkhông hay không? v.v..). Các đường cong quỹ đạo có thể cắt nhau, nhưngchúng ta cần biết liệu các vật thể có cùng vị trí ở cùng thời điểm hay không.Giả sử đường bay của hai vật thể được cho bởi phương trình

!r 1.t/ D ht2; 7t 12; t2

i!r 2.t/ D h4t 3; t2; 5t 6i

Các vật thể này có va chạm nhau không?

21. Hai vật bay theo quỹ đạo không gian cho bởi

!r 1.t/ D ht; t2; t3i!r 2.t/ D h1C 2t; 1C 6t; 1C 14ti

Hai vật đó có va chạm nhau không? Hai quỹ đạo có cắt nhau không?

II. Bài tập về tiếp tuyến đường cong, độ dài đường cong

22. Hình vẽ dưới trình bày đường cong C cho bởi hàm vectơ !r .t/

a) Xác định các vectơ !r .4; 5/!r .4/ và !r .4; 2/!r .4/. Sau đó vẽ cácvectơ

!r .4; 5/ !r .4/0; 5

và!r .4; 2/ !r .4/

0; 2

b) Viết biểu thức của !r 0.t/ và của vectơ tiếp tuyến đơn vị!T .4/.

c) Vẽ!T .4/.

23. a) Phác họa thật lớn đường cong cho bởi !r .t/ D ht2; ti, 0 t 2 và vẽcác vectơ !r .1/, !r .1; 1/ và !r .1; 1/ !r .1/.

b) Vẽ vectơ !r 0.1/ đặt tại điểm .1; 1/ và so sánh nó với vectơ


!r .1; 1/ !r .1/0; 1

Hãy giải thích vì sao hai vectơ này có vẻ gần trùng nhau.

24-29 a) Phác họa đường cong phẳng với phương trình vectơ cho trước.

b) Tìm !r 0.t/.c) Phác họa vectơ vị trí !r .t/ và vectơ tiếp tuyến !r 0.t/ tại giá trị t cho

trước.

24. !r .t/ D ht 2; t2 C 1i, t D 1

25. !r .t/ D ht C 1;p

ti, t D 1

26. !r .t/ D hsin t; 2 cos ti, t D =4

27. !r .t/ D het ; et i, t D 0

28. !r .t/ D het ; e3t i, t D 0

29. !r .t/ D h1C cos t; 2C sin ti, t D =6

30-37 Tìm đạo hàm của các hàm vectơ

30. !r .t/ D ht sin t; t2; t cos 2ti

31. !r .t/ D htan t; sec t; 1=t2i

32. !r .t/ D!i !j C e4t!k

33. !r .t/ D arcsin t!i Cp

1 t2!j C!k

34. !r .t/ D et2!i !j C ln.1C 3t/

!k

35. !r .t/ D at cos 3t!i C b sin3 t

!j C c cos3 t

!k

36. !r .t/ D !a C t!b C t2!c

37. !r .t/ D t!a .

!b C t

!c /

38-41 Tìm vectơ tiếp tuyến đơn vị!T .t/ tại giá trị của tham số t cho trước.

38. !r .t/ D htet ; 2 arctan t; 2et i, t D 0

39. !r .t/ D 4p

t!i C t2!j C t

!k , t D 1

40. !r .t/ D cos t!i C 3t

!j C 2 sin 2t

!k , t D 0


41. !r .t/ D 2 sin t!i C 2 cos t

!j C tan t

!k , t D =4

42. Nếu !r .t/ D ht; t2; t3i, tìm !r 0.t/,!T .1/, !r 00.t/ và !r 0.t/ !r 00.t/.

43. Nếu !r .t/ D he2t ; e2t ; te2t i, tìm!T .0/, !r 00.0/ và !r 0.t/ !r 00.t/.

44-47 Viết phương trình tham số của tiếp tuyến của đường cong với phương trìnhtham số cho trước tại một điểm được chỉ rõ.

44. x D 1C 2p

t ; y D t3 t; z D t3 C t I .3; 0; 2/

45. x D et ; y D tet ; z D tet2

I .1; 0; 0/

46. x D et cos t; y D et sin t; z D et I .1; 0; 1/

47. x D ln t; y D 2p

t ; z D t2I .0; 2; 1/

48. Tìm giao điểm của hai đường tiếp tuyến với đường cong!r .t/ D hsin t; 2 sin t; cos ti tại các điểm t D 0 và t D 1

2.

49. Tại điểm nào thì các đường cong !r 1.t/ D ht; 1 t; 3 C t2i và !r 2.s/ D

h3 s; s 2; s2i giao nhau? Tính góc giao nhau giữa hai đường cong, chínhxác đến 10.

50. Tìm !r .t/ biết !r 0.t/ D 2t!i C 3t2!j C

pt!k và !r .1/ D

!i C!j .

51. Tìm !r .t/ biết !r 0.t/ D t!i C et!j C tet!k và !r .0/ D

!i C!j C!k .

52. Cho !u .t/ D hsin t; cos t; ti và !v .t/ D ht; cos t; sin ti. Tính theo các quy tắcđã biết

a)d

dtŒ!u .t/ !v .t/ b)

d

dtŒ!u .t/ !v .t/

53. Nếu !r là một hàm vectơ sao cho !r 00 tồn tại. Chứng minh

d

dtŒ!r .t/ !r 0.t/ D !r .t/ !r 00.t/

54. Tìm biểu thức chod

dt

!u .t/ Œ!v .t/ !w .t/.55. Nếu !r .t/ ¤ 0, chứng minh

d

dt

ˇ!r .t/ˇ D 1ˇ!r .t/ˇ!r .t/ !r 0.t/.56. Nếu một đường cong có tính chất là vectơ vị trí !r .t/ luôn vuông góc với

vectơ tiếp tuyến !r 0.t/, chứng minh đường cong đó nằm trên một mặt cầu cótâm ở gốc tọa độ.


57. Nếu !u .t/ D !r .t/ !r 0.t/ !r 00.t/, chứng minh rằng

!u 0.t/ D !r .t/ !r 0.t/ !r 000.t/

58-63 Tính độ dài đường cong.

58. !r .t/ D h2 sin t; 5t; 2 cos ti, 10 t 10

59. !r .t/ D h2t; t2; 13t2i, 0 t 1.

60. !r .t/ D tp

2!i C et!j C et!k , 0 1

61. !r .t/ D cos t!i C sin t

!j C ln cos t

!k , 0 =4

62. !r .t/ D!i C t2!j C t3!k , 0 1

63. !r .t/ D 12t!i C 8t3=2!j C 3t2!k , 0 1

64. Gọi C là đường cong giao tuyến của mặt trụ parabolic x2 D 2y với mặtcong 3z D xy. Tính độ dài đường cong từ gốc tọa độ đến điểm .6; 18; 36/.

65. Tham số hóa lại đường cong theo độ dài cung tính từ điểm ứng với t D 0

theo hướng tăng của t .

a) !r .t/ D 2t!i C .1 3t/

!j C .5C 4t/

!k

b) !r .t/ D e2t cos 2t!i C 2

!j C e2t sin 2t

!k

66. Giả sử ta bắt đầu từ điểm .0; 0; 3/ và di chuyển một quãng đường 5 đơn vịdọc theo đường cong x D 3 sin t , y D 4t , z D 3 cos t theo hướng dương.Cuối cùng ta đứng ở đâu?

67. Hãy tham số hóa lại đường cong

!r .t/ D 2

t2 C 1 1

!i C

2t

t2 C 1

!j

theo độ dài cung, được đo từ điểm .1; 0/ theo hướng tăng của t . Biểu diễntham số hóa vừa thực hiện theo dạng rút gọn nhất. Ta có thể kết luận gì vềđường cong này?

68. Tìm các vectơ tiếp tuyến đơn vị và pháp tuyến đơn vị!T .t/ và

!N .t/

a) !r .t/ D h2 sin t; 5t; 2 cos ti

b) !r .t/ D ht2; sin t t cos t; cos t C t sin ti, t > 0

c) !r .t/ D htp

2; et ; et i


d) !r .t/ D ht; 12t2; t2i

69. Tìm các vectơ!T ,!N và

!B tại điểm cho trước.

a) !r .t/ D ht2; 23t3; ti, .1; 2

3; 1/

b) !r .t/ D hcos t; sin t; ln cos ti; .1; 0; 0/

Chương 2

ĐẠO HÀM RIÊNG & SỰ KHẢVI CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

A. Hàm số nhiều biến

1. Cho f .x;y/ D ln.x C y 1/.

a) Tính f .2; 1/ và f .e; 1/.

b) Tìm và phác họa miền xác

định của f .

c) Tìm miền giá trị của f

2. Cho f .x;y/ D x2e3xy .

a) Tính f .2; 0/.b) Tìm MXĐ của f .

c) Tìm MGT của f .

3. Tìm và phác họa MXĐ của f .x;y/ Dp

1C x y2. MGT của f là gì?

4. Cho f .x;y; z/ D ep

zx2y2 .

a) Tính f .2;1; 6/.b) Tìm MXĐ của f .


5. Cho g.x;y; z/ D ln.25 x2 y2 z2/.

a) Tính g.2;2; 4/.b) Tìm MXĐ của g.

c) Tìm MGT của g.

6-15 Tìm và phác họa miền xác định của hàm số cho bởi

16 ĐẠO HÀM RIÊNG & SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

6. f .x;y/ Dp

x C y

7. f .x;y/ D pxy

8. f .x;y/ D ln.9 x2 9y2/

9. f .x;y/ D py x ln.y C x/

10. f .x;y/ Dp

1 x2 p

1 y2

11. f .x;y/ Dp

y C

p25 x2 y2

12. f .x;y/ Dp

y x2

1 x2

13. f .x;y/ D arcsin.x2 C y2 2/

14. f .x;y/ Dp

1 x2 y2 z2

15. f .x;y/ D ln.16 4x2 4y2

z2/

16-24 Phác họa đồ thị của hàm số.

16. f .x;y/ D 3

17. f .x;y/ D y

18. f .x;y/ D 10 4x 5y

19. f .x;y/ D cos x

20. f .x;y/ D y2 C 1

21. f .x;y/ D 3 x2 y2

22. f .x;y/ D 4x2 C y2 C 1

23. f .x;y/ Dp

16 x2 16y2

24. f .x;y/ Dp

x2 C y2

25. Trong mỗi câu, chỉ rõ hàm số nào có đồ thị trong số từ I đến VI. Hãy giảithích lý do.

a) f .x;y/ D jxj C jyjb) f .x;y/ D jxyj

c) f .x;y/ D1

1C x2 C y2

d) f .x;y/ D .x2 y2/2

e) f .x;y/ D .x y/2

f) f .x;y/ D sinjxj C jyj

ĐẠO HÀM RIÊNG & SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 17

26. Dựa vào contour map của một hàm số dưới đây, hãy ước đoán giá trị củaf .3; 3/ và f .3;2/. Ta có thể nói gì về đồ thị của hàm số này?

27. Đồ thị của hàm số f là hình nón, của hàm số g là hình paraboloid. Trong haicontour map dưới đây, cái nào của f và của g, hãy giải thích.


28. Hãy phác họa sơ contour map của một hàm số có đồ thị như dưới đây

29-32 Cho trước contour map, dựa vào đó hãy phác họa sơ đồ thị của f .

29.

30.


31. 32.

33-40 Vẽ contour map của hàm số với vài đường đồng mức.

33. f .x;y/ D .y 2x/2

34. f .x;y/ D x3 y

35. f .x;y/ D y ln x

36. f .x;y/ D ey=x

37. f .x;y/ D yex

38. f .x;y/ D y= cos x

39. f .x;y/ Dp

y2 x2

40. f .x;y/ D y=.x2 C y2/

41. Một tấm kim loại mỏng, đặt trong mặt-phẳng-xy, có nhiệt độ T .x;y/ ởđiểm .x;y/. Các đường đồng mức của T đường gọi là các đường đẳng nhiệt(isothermals), vì tại mọi điểm trên cùng một đường đẳng nhiệt có cùng nhiệtđộ. Hãy phác họa vài đường đẳng nhiệt với hàm nhiệt độ cho bởi

T .x;y/ D 100=.1C x2C 2y2/

42. Nếu V .x;y/ là điện thế tại điểm .x;y/ trong mặt-phẳng-xy, thì các đườngđồng mức của V được gọi là các đường thẳng thế (equipotential curves). Hãyphác họa vài đường đẳng thế của hàm điện thế V .x;y/ D c=

pr2 x2 y2,

trong đó c là hằng số dương.

43-48 Hãy chọn hàm số, có giải thích, khớp với:

a) đồ thị của nó trong nhóm được đánh số từ A-F

b) contour map trong nhóm được đánh số từ I-VI.


43. z D sin.xy/

44. z D ex cos y

45. z D sin.x y/

46. z D sin x sin y

47. z D .1 x2/.1 y2/

48. z Dx y

1C x2 C y2


49-52 Mô tả các mặt đồng mức của các hàm số sau

49. f .x;y; z/ D x C 3y C 5z

50. f .x;y; z/ D x2 C 3y2 C 5z2

51. f .x;y; z/ D x2 y2 C z2

52. f .x;y; z/ D x2 y2

53-54 Từ đồ thị của hàm số f , đồ thị của hàm g được thành lập như thế nào?

53. a) g.x;y/ D f .x;y/C 2

b) g.x;y/ D 2f .x;y/

c) g.x;y/ D f .x;y/

d) g.x;y/ D 2 f .x;y/

54. a) g.x;y/ D f .x 2;y/

b) g.x;y/ D f .x;y C 2/

c) g.x;y/ D f .x C 3;y 4/


B. Giới hạn và sự liên tục của hàm số nhiều biến

1. Giả sử lim.x;y/!.3;1/ f .x;y/ D 6. Ta có thể nói gì về giá trị của f .3; 1/không? Nếu f liên tục thì sao?

2. Giải thích vì sao mỗi hàm số sau đây là liên tục hay là không liên tục.

a) Nhiệt độ ngoài môi trường tự nhiên (không có biến cố bất thường xảyra) như là hàm số theo kinh độ, vĩ độ và thời gian

b) Độ cao so với mực nước biển như là hàm số theo kinh độ, vĩ độ và thờigian

c) Tiền trả của một khách hàng cho tài xế taxi như là hàm số theo quãngđường đi được và theo thời gian

3-20 Tìm giới hạn, nếu tồn tại, hoặc chứng minh giới hạn không tồn tại.

3. lim.x;y/!.1;2/

.5x3 x2y2/

4. lim.x;y/!.1;1/

exy cos.x C y/

5. lim.x;y/!.2;1/

4 xy

x2 C 3y2

6. lim.x;y/!.1;0/

ln 1C y2

x2 C xy

7. lim.x;y/!.0;0/

y4

x4 C 3y4

8. lim.x;y/!.0;0/

x2 C sin2 y

2x2 C y2

9. lim.x;y/!.0;0/

xy cos y

3x2 C y2

10. lim.x;y/!.0;0/

6x3y

2x4 C y4

11. lim.x;y/!.0;0/

xypx2 C y2

12. lim.x;y/!.0;0/

x4 y4

x2 C y2

13. lim.x;y/!.0;0/

x2yey

x4 C 4y2

14. lim.x;y/!.0;0/

x2 sin2 y

x2 C 2y2

15. lim.x;y/!.0;0/

x2 C y2px2 C y2 1 1

16. lim.x;y/!.0;0/

xy4

x2 C y8

17. lim.x;y;z/!.3;0;1/

exy sin.z=2/

18. lim.x;y;z/!.0;0;0/

x2 C 2y2 C 3z2

x2 C y2 C z2

19. lim.x;y;z/!.0;0;0/

xy C yz2 C xz2

x2 C y2 C z4

20. lim.x;y;z/!.0;0;0/

yz

x2 C 4y2 C 9z2

21-22 Tìm h.x;y/ D gf .x;y/

và tìm tập hợp mà h liên tục trên đó.


21. g.t/ D t2 Cp

t ; f .x;y/ D 2x C 3y 6

22. g.t/ D t C ln t; f .x;y/ D1 xy

1C x2y2

23-27 Xác định tập hợp các điểm mà tại đó f liên tục

23. f .x;y/ Dx y

1C x2 C y2

24. f .x;y/ D arctan.x Cp

y/

25. f .x;y/ D ex2y Cp

x C y2

26. f .x;y/ D

8<:

x2y3

2x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

1 nếu .x;y/ D .0; 0/

27. f .x;y/ D

8<:xy

x2 C xy C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/

28-30 Với mỗi điểm P .x;y/ trong mặt-phẳng-xy, ta đặt r Dp

x2 C y2 là khoảngcách từ P đến gốc O, đặt là góc quay từ tia Ox đến tia OP . Khi đó cặp số.r; / được gọi là tọa độ cực của điểm P và ta có .x;y/ D .r cos ; r sin /.Sử dụng tọa độ cực, hãy tìm các giới hạn.

28. lim.x;y/!.0;0/

x3 C y3

x2 C y2

29. lim.x;y/!.0;0/

.x2Cy2/ ln.x2

Cy2/

30. lim.x;y/!.0;0/

ex2y2

1

x2 C y2

C. Đạo hàm riêng

1. Nhiệt độ T tại Bắc Bán Cầu phụ thuộc theo kinh độ x, vĩ độ y và thời giant , vì vậy ta viết T D f .x;y; t/. Ta tính thời gian theo giờ, bắt đầu từ thángGiêng.

a) Cho biết ý nghĩa của các đạo hàm riêng @T=@x, @T=@y và @T=@t?

b) Honolulu nằm ở 158ı kinh Tây, 21ı vĩ Bắc. Giả sử lúc 9:00 AM, ngày1 tháng Giêng, gió thổi khí nóng lên phía Đông Bắc, vì vậy không khíở phía Tây và Nam ấm, còn ở phía Đông và Bắc lạnh hơn. Hãy chobiết fx.158; 21; 9/, fy.158; 21; 9/ và ft .158; 21; 9/ là âm hay dương,vì sao?


2. Chỉ số lạnh cảm tính W là nhiệt độ do cảm giác đem lại, phụ thuộc vào nhiệtđộ thực T và vận tốc v của gió. Vì vậy ta viết W D f .T; v/. Sau đây là bảnggiá trị của f

a) Hãy ước tính giá trị của fT .15; 30/, fv.15; 30/ và cho biết ý nghĩathực tiễn của chúng.

b) Nói chung, ta có thể nói gì về dấu của @W =@T và @W =@v?

c) Dường như giá trị của giới hạn sau là bao nhiêu, theo trực quan,

limv!1

@W

@v

3. Chiều cao h của sóng biển phụ thuộc vào vận tốc v của gió và thời gian t màgió duy trì vận tốc đó. Giá trị của h D f .v; t/ được cho trong bảng sau


a) Ý nghĩa của các đạo hàm riêng @h=@v và @h=@t là gì?

b) Ước tính giá trị của fv.40; 15/ và ft .40; 15/. Ý nghĩa thực tiễn củachúng là gì?

c) Có vẻ như giới sau là bao nhiêu

limt!1

@h

@t

4-7 Hãy xác định dấu của các đạo hàm riêng của hàm số f có đồ thị dưới đây.

4. a) fx.1; 2/

b) fy.1; 2/

5. a) fx.1; 2/

b) fy.1; 2/

6. a) fxx.1; 2/

b) fyy.1; 2/

7. a) fxy.1; 2/

b) fxy.1; 2/

8. Một hàm số f có contour map được cho trước. Dựa vào đó, hãy ước tínhfx.2; 1/ và fy.2; 1/.


9. Nếu f .x;y/ D 164x2y2, tìm fx.1; 2/ và fy.1; 2/ và giải thích ý nghĩahình học của các số này. Minh họa với đồ thị phác họa bằng tay.

10. Nếu f .x;y/ Dp

4 x2 4y2, tìm fx.1; 0/ và fy.1; 0/ và giải thích ýnghĩa hình học của chúng. Minh họa bằng đồ thị được phác họa bằng tay.

11-34 Tìm các đạo hàm riêng bậc nhất của hàm số.

11. f .x;y/ D y5 3xy

12. f .x;y/ D x4y3 C 8x2y

13. f .x; t/ D et cosx

14. f .x; t/ Dp

x ln t

15. z D .2x C 3y/10

16. z D tan xy

17. f .x;y/ Dx y

x C y

18. f .x; t/ D xy

19. w D sin˛ cos˛

20. w D ev=.uC v2/

21. f .r; s/ D r ln.r2 C s2/

22. f .x; t/ D arctan.xp

t/

23. u D tew=t

24. f .x;y/ DR y

x cos.t2/dt

25. f .x;y; z/ D xz 5x2y3z4

26. f .x;y; z/ D x sin.y z/

27. w D ln.x C 2y C 3z/

28. w D zexyz

29. u D xy arcsin.yz/

30. u D xy=z

31. f .x;y; z; t/ D xyz2 tan.yt/

32. f .x;y; z; t/ Dxy2

t C 2z

33. u D

qx2

1C x2

2C C x2

n

34. u D sin.x1 C 2x2 C C nxn/


35-38 Tính các đạo hàm riêng tại điểm được chỉ rõ

35. f .x;y/ D ln.x Cp

x2 C y2/I fx.3; 4/

36. f .x;y/ D arctan.y=x/I fx.2; 3/

37. f .x;y; z/ Dy

x C y C zI fy.2; 1;1/

38. f .x;y; z/ Dq

sin2 x C sin2 y C sin2 zI fz.0; 0; =4/

39-44 Sử dụng định nghĩa đạo hàm riêng như là giới hạn để tính fx và fy tại .x;y/nói chung; hoặc tại điểm được chỉ rõ.

39. f .x;y/ D xy2 x3y

40. f .x;y/ Dx

x C y2

41. f .x;y/ D 3p

xy ; tại .0; 0/

42. f .x;y/ D 3p

x3 C y3 ; tại.0; 0/

43. f .x;y/ D

8<:xyp

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/; tại .0; 0/

44. f .x;y/ D

8<:

x2y

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/; tại .0; 0/

45-48 Sử dụng công thức tính đạo hàm riêng của hàm ẩn, tìm @z=@x và @z=@y

45. x2 C y2 C z2 D 3xyz

46. yz D ln.x C z/

47. x z D arctan.yz/

48. sin.xyz/ D x C 2y C 3z

49-53 Tìm @z=@x và @z=@y.

49. z D f .x/C g.y/

50. z D f .x C y/

51. z D f .x/g.y/

52. z D f .xy/

53. z D f .x=y/

54-59 Tìm tất cả các đạo hàm riêng cấp hai.


54. f .x;y/ D x3y5 C 2x4y

55. f .x;y/ D sin2.mx C ny/

56. w Dp

u2 C v2

57. v Dxy

x y

58. z D arctanx C y

1 xy

59. v D exey

60-63 Kiểm tra kết luận của định lý Clairaut thỏa, nghĩa là uxy D uyx .

60. u D x sin.x C 2y/

61. u D x4y2 2xy5

62. u D lnp

x2 C y2

63. u D xyey

64-71 Tìm các đạo hàm riêng được chỉ rõ.

64. f .x;y/ D 3xy4 C x3y2I fxxy ; fyyy

65. f .x; t/ D x2ect I ft t t ; ftxx

66. f .x;y; z/ D cos.4x C 3y C 2z/I fxyz; fyzz

67. f .r; s; t/ D r ln.rs2t3/I frss; frst

68. D er sin I@3u

@r2@

69. z D upv wI

@3z

@u@v@w

70. w Dx

y C 2zI

@3w

@z@y@x;

@3w

@x2@y

71. u D xaybzc I@6u

@x@y2@z3

72. Sử dụng bảng giá trị của f .x;y/ dưới đây, hãy ước tính giá trị của fx.3; 2/,fx.3; 2:2/ và fxy.3; 2/.


73. Dưới đây là các đường đồng mức của hàm số f . Hãy xác định các đạo hàmriêng là dương hay âm tại điểm P.

a) fx

b) fy

c) fxx

d) fxy

e) fyy

74. Chứng minh hàm số u D e˛2k2t sin kx là nghiệm của phương trình truyền

nhiệt ut D ˛2uxx (u.x; t/ là nhiệt độ tại vị trí x trên thanh dẫn nhiệt dài, tại

thời điểm t ).

75. Hàm số nào sau đây là nghiệm của phương trình Laplace (phương trình nhiệtở trạng thái dừng) uxx C uyy D 0.

a) u D x2 C y2

b) u D x2 y2

c) u D x3 C 3xy2

d) u D lnp

x2 C y2

e) u D ex cos y ey cos x

76. Chứng minh hàm số u D 1=p

x2 C y2 C x2 là nghiệm của phương trìnhLaplace ba chiều uxx C uyy C uzz D 0.

77. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây là nghiệm của phương trình truyềnsóng ut t D a2uxx (ví dụ, u.x; t/ là tung độ của dây đàn tại vị trí x ở thờiđiểm t ).


a) u D sin.kx/ sin.akt/

b) u D t=.a2t2 x2/

c) u D .x at/6 C .x C at/6

d) u D sin.x at/C ln.x C at/

78. Nếu f và g là các hàm số một biến có đạo hàm đến cấp hai, chứng minhrằng hàm số

u.x; t/ D f .x C at/C g.x at/

là nghiệm của phương trình truyền sóng trong bài tập 77.

79. Nếu u D ea1x1Ca2x2CCanxn , trong đó a21C a2

2C C a2

n D 1, chứngminh rằng

@2u

@x21

C@2u

@x22

C C@2u

@x2n

D u

80. Chứng minh rằng hàm số z D ln.ex C ey/ là nghiệm của các phương trìnhsau

@z

@xC@z

@yD 1 và

@2z

@x2

@2z

@y2

@2z

@x@y

2D 0

81. Nhiệt độ tại điểm .x;y/ trên một tấm kim loại phẳng được cho bởi T .x;y/ D

60=.1C x2C y2/, trong đó T là nhiệt đo theo 0C và x, y theo mét. Tìm tốcđộ biến thiên nhiệt độ theo khoảng cách tại điểm .2; 1/ theo hướng-x và theohướng-y.

82. Tại nhiệt độ tuyệt đối T , áp suất P và thể tích V , định luật chất khí đối vớimột khối lượng m cố định của khí lý tưởng là PV D mRT , trong đó R hằngsố phụ thuộc chất khí (the gas constant). Chứng minh rằng

@P

@V

@V

@T

@T

@PD 1 và T

@P

@T

@V

@TD mR

83. Chỉ số lạnh cảm tính W (the wind-chill index) của gió phụ thuộc vào nhiệtđộ T (0C) và vận tốc gió v (km/h). W được lập mô hình bởi hàm số

W D 13; 12C 0; 6215T 11; 37v0;16C 0; 3965T v0;16

Theo mô hình trên, ta hiểu rằng nhiệt độ càng hạ hoặc vận tốc gió càng lớnthì W càng hạ thấp, làm cho ta cảm thấy càng ớn lạnh.

Tại T D 150C và v D 30 km/h, chỉ số lạnh W xuống khoảng bao nhiêunếu giảm nhiệt 10C? Nếu tăng tốc độ gió lên 1 km/h thì sao?

84. Nếu được bảo rằng có một hàm số f mà các đạo hàm riêng của nó làfx.x;y/ D x C 4y và fy.x;y/ D 3x y, ta có tin không?


85. Cho hàm số f định bởi

f .x;y/ D

8<:

x3y xy3

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/

a) Tìm fx.x;y/ và fy.x;y/ khi .x;y/ ¤ .0; 0/.

b) Tìm fx.0; 0/ và fy.0; 0/.

c) Chứng minh fxy.0; 0/ D 1 và fyx.0; 0/ D 1.

d) Kết quả trong phần c) có mâu thuẫn với định lý Clairaut không? Vì sao?

86. Hỏi tương tự bài tập 85 với hàm số f cho bởi

f .x;y/ D

8<:

x2y xy2px2 C y2

nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/

D. Sự khả vi

1-6 Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong tại điểm cho trước.

1. z D 4x2y2C2y; .1; 2; 4/

2. z D 3.x 1/2 C 2.y C 3/2 C

7; .2;2; 12/

3. z Dp

xy; .1; 1; 1/

4. z D y ln x; .1; 4; 0/

5. z D y cos.x y/; .2; 2; 2/

6. z D ex2y2

; .1;1; 1/

7-12 Giải thích vì sao các hàm dưới đây khả vi tại điểm cho trước. Sau đó tìmtuyến tính hóa L.x;y/ của hàm đó tại điểm đã cho.

7. f .x;y/ D xp

y; .1; 4/

8. f .x;y/ D x2y4; .1; 1/

9. f .x;y/ Dx

x C y; .2; 1/

10. f .x;y/ Dp

x C e4y ; .3; 0/

11. f .x;y/ D exy cos y; .; 0/

12. f .x;y/ D sin.2x C 3y/,.3; 2/

13-14 Kiểm tra dưới đây có đúng là phép xấp xỉ tuyến tính tại .0; 0/?

13.2x C 3

4y C 1 3C 2x 12y


14.p

y C cos2 x 1C1

2y

15. Tìm phép xấp xỉ tuyến tính cho hàm số f .x;y/ Dp

20 x2 7y2 tại.2; 1/ và dùng nó để tính xấp xỉ f .1:95; 1:08/

16. Tìm phép xấp xỉ tuyến tính cho hàm số f .x;y/ D ln.x 3y/ tại .7; 2/ vàdùng nó để tính xấp xỉ f .6:9; 2:06/.

17. Tìm phép xấp xỉ tuyến tính cho hàm số f .x;y; z/ Dp

x2 C y2 C z2 tại.3; 2; 6/. Dựa vào đó tính xấp xỉ giá trị của

p.3:02/2 C .1:97/2 C .5:99/2

18. Chiều cao h của sóng trên mặt biển phụ thuộc vận tốc v của gió và thời giant mà gió duy trì vận tốc đó. Giá trị của hàm số h D f .v; t/ theo đơn vị feetđược cho trong bảng sau

Dựa vào bảng trên, tìm xấp xỉ tuyến tính cho giá trị h tại .v; t/ gần .40; 20/.Tính xấp xỉ chiều cao sóng khi vận tốc gió là 43 knots được duy trì trong suốt24 h.

19. Chỉ số oi bức (the heat index, the perceived temperature) I được xem như làhàm số phụ thuộc vào nhiệt độ T (ıF) và độ ẩm tương đối H (%). Bảng giátrị sau được cung cấp bởi Dịch Vụ Thời Tiết Quốc Gia (Mỹ).


Dựa vào bảng trên, tìm xấp xỉ tuyến tính cho hàm chỉ số I khi nhiệt độ gần94 ıF và độ ẩm tương đối gần 80 %. Ước tính chỉ số oi bức khi nhiệt độ là95 ıF và độ ẩm tương đối là 78 %.

20. Chỉ số lạnh cảm tính W (the wind-chill index) chỉ là độ lạnh qua cảm nhận,khi nhiệt độ thực tế là T và vận tốc gió là v, vì thế ta có thể viết W D

f .T; v/. Sau đây là bảng giá trị của W

Dựa vào bảng trên, tìm xấp xỉ tuyến tính cho W khi T gần 15 ıC và v gần50 km/h. Sau đó ước tính giá trị của W khi nhiệt độ 17 ıC và vận tốc giólà 55 km/h.

21-26 Tìm vi phân của hàm số.

21. z D x3 ln.y2/

22. v D y cos xy

23. m D p5q3

24. T Dv

1C uvw

25. R D ˛ˇ2 cos

26. w D xyexz


27. Nếu z D 5x2Cy2 và .x;y/ biến thiên từ .1; 2/ đến .1:05; 2:1/, hãy so sánhgiá trị của z và dz.

28. Nếu z D x2 xy C 3y2 và .x;y/ biến thiên từ .3;1/ đến .2:96;0:95/,hãy so sánh giá trị của z và dz.

29. Chiều dài và rộng của một hình chữ nhật lần lượt là 30 cm và 24 cm, với saisố phép đo không quá 0.1 cm cho mỗi cạnh. Sử dụng vi phân, hãy ước tínhsai số tối đa khi tính diện tích hình chữ nhật.

30. Kích thước của khối hộp chữ nhật là 80 cm, 60 cm, và 50 cm, với sai số cóthể là 0.2 cm cho mỗi chiều kích thước. Dùng vi phân, hãy ước tính sai số tốiđa khi tính thể tích hộp.

31. Dùng vi phân, hãy ước tính lượng thiếc của một hộp thiếc kín, dạng lon vớiđường kính 8 cm và chiều cao 12 cm nếu thiếc có độ dày 0.04 cm.

32. Một ống trụ kín bằng nhôm có đường kính 4 cm, cao 10 cm, độ dày hai nắpđáy là 0,1 cm, độ dày thành ống là 0,05 cm. Sử dụng vi phân để ước tínhlượng nhôm làm vỏ ống.

33. Áp suất, thể tích và nhiệt độ của một mol khí lý tưởng có quan hệ PV D

8:31T , trong đó P đo theo đơn vị kilopascals, V đo theo đơn vị lít, và T

theo đơn vị kelvins. Dùng vi phân, hãy tính xấp xỉ độ biến thiên áp suất nếuthể tích tăng từ 12 L lên 12.3 L và nhiệt độ giảm từ 310 K xuống 305 K.

34. Ba điện trở với trở kháng là R1, R2, R3 được mắc song song thì trở khángtoàn phần là R thỏa

1

RD

1

R1

C1

R2

C1

R3

Nếu các trở kháng đo được là R1 D 25, R2 D 40 và R3 D 50, vớisai số đo trong phạm vi 0.5 %, hãy ước ước tính sai số tối đa khi tính giá trịcủa R.

35. Bốn số dương, mỗi số bé hơn 50, được làm tròn đến chữ số thập phân đầutiên, sau đó nhân với nhau. Dùng vi phân, hãy ước tính sai số lớn nhất có thểkhi tính tích bốn số từ việc làm tròn từng số nói trên.

36. Diện tích ngoài da toàn bộ cơ thể người được lập công thức mô hình làS D 0:109w0:425h0:725, trong đó w là trọng lượng (tính theo pounds), h làchiều cao (tính theo inches), và S được đo theo feet vuông. Nếu sai số của wkhi cân và của h khi đo không quá 2 %, dùng vi phân, hãy tính sai số phầntrăm lớn nhất có thể khi tính S .

37. Sử dụng định nghĩa của sự khả vi, hãy chứng các hàm số sau khả vi bằngcách chỉ rõ "1 và "2.


a) f .x;y/ D x2 C y2 b) f .x;y/ D xy 5y2


f .x;y/ D

8<:

x2y

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/

a) Tính D1f .x;y/ và D2f .x;y/ tại .x;y/ ¤ .0; 0/.

b) Tính D1f .0; 0/ và D2f .0; 0/.

c) Khảo sát sự liên tục tại .0; 0/ của f , D1f và D2f .

d) Khảo sát sự khả vi của f tại .0; 0/.

39. Hỏi như Bài tập 38 với hàm số f định bởi

f .x;y/ D

8<:xyp

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/

40. Hỏi như Bài tập 38 với f .x;y/ D 3p

xy.

E. Quy tắc mắt xích hay đạo hàm của hàm hợp

1-6 Dùng quy tắc mắt xích (đạo hàm hàm hợp) để tìm dz=dt hoặc dw=dt .

1. z D x2 C y2 C xy; x D sin t; y D et

2. z D cos.x C 4y/; x D 5t4; y D 1=t

3. z Dp

1C x2 C y2; x D ln t; y D cos t

4. z D arctan.y=x/; x D et ; y D 1 e1t

5. w D xey=z; x D t2; y D 1 t; z D 1C 2t

6. w D lnp

x2 C y2 C z2; x D sin t; y D cos t; z D tan t

7-12 Dùng quy tắc mắt xích, hãy tìm @z=@s và @z=@t

7. z D x2y3; x D s cos t; y D s sin t

8. z D arcsin.x y/; x D s2 C t2; y D 1 2st

9. z D sin cos; D st2; D s2t

10. z D exC2y ; x D s=t; y D t=s


11. z D er cos ; r D st; Dp

s2 C t2

12. z D tan.u=v/; u D 2s C 3t; v D 3s 2t

13. Nếu z D f .x;y/ với f khả vi, và

x D g.t/ y D h.t/ g.3/ D 2 h.3/ D 7

g0.3/ D 5 h0.3/ D 4 fx.2; 7/ D 6 fy.2; 7/ D 8

tìm dz=dt tại t D 3.

14. Đặt W .w; t/ D Fu.s; t/; v.s; t/

, trong đó F; u; v khả vi, và

u.1; 0/ D 2 v.1; 0/ D 3 us.1; 0/ D 2 vs.1; 0/ D 5

ut .1; 0/ D 6 vt .1; 0/ D 4 Fu.2; 3/ D 1 Fv.2; 3/ D 10

Tìm Ws.1; 0/ và Wt .1; 0/.

15. Giả sử f là một hàm theo biến x, y, f khả vi, và g.r; s/ D f .euCsin v; euC

cos v/. Dựa vào bảng giá trị sau, hãy tính gu.0; 0/ và gv.0; 0/.

16. Giả sử f là một hàm theo biến x, y, f khả vi, và g.r; s/ D f .2rs; s24r/.Dựa vào bảng giá trị của Bài tập 15, hãy tính gr .1; 2/ và gs.1; 2/.

17-20 Giả sử các hàm số đều khả vi, dùng quy tắc mắt xích, hãy tính các đạo hàmriêng cho tất cả trường hợp.

17. u D f .x;y/; trong đó x D x.r; s; t/, y D y.r; s; t/

18. R D f .x;y; z; t/; trong đó x D x.u; v; w/, y D y.u; v; w/, z D z.u; v; w/,t D t.u; v; w/

19. w D f .r; s; t/; trong đó r D r.x;y/, s D s.x;y/, t D t.x;y/

20. t D f .u; v; w/; trong đó u D u.p; q; r; s/, v D v.p; q; r; s/,w D w.p; q; r; s/

21-26 Dùng quy tắc mắt xích, hãy tính các đạo hàm riêng được chỉ rõ


21. z D x2 C xy3; x D uv2 C w3; y D uC vew;@z

@u;@z

@v;@z

@wkhi u D 2; v D 1; w D 0

22. u Dp

r2 C s2; r D y C x cos t; s D x C y sin t ;@u

@x;@u

@y;@u

@tkhi x D 1; y D 2; t D 0

23. R D ln.u2 C v2 C w2/; u D x C 2y; v D 2x y; w D 2xy;@R

@x;@R

@ykhi x D y D 1

24. M D xeyz2

; x D 2uv; y D u v; z D uC v;@M

@u;@M

@vkhi u D 3; v D 1

25. u D x2 C yz; x D pr cos ; y D pr sin ; z D p C r ;@u

@p;@u

@r;@u

@khi p D 2; r D 3; D 0

26. Y D w arctan.uv/; u D r C s; v D s C t; w D t C r ;@Y

@r;@Y

@s;@Y

@tkhi r D 1; s D 0; t D 1

27-30 Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn, tìm dy=dx.

27. pxy D 1C x2y

28. y5 C x2y3 D 1C yex2

29. cos.x y/ D xey

30. sin x C cos y D sin x cos y

31-34 Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn, tìm @z=@x và @z=@y.

31. x2 C y2 C z2 D 3xyz

32. xyz D cos.x C y C z/


34. yz D ln.x C z/

35. Nhiệt độ tại điểm .x;y/ là T .x;y/, đo theo ıC. Một con bọ bò sao cho vị trícủa nó sau t giây được cho bởi x D

p1C t , y D 2C 1

3t , trong đó x và y

được đo theo cm. Hàm nhiệt độ thỏa Tx.2; 3/ D 4 và Ty.2; 3/ D 3. Tốc độtăng nhiệt là bao nhiêu trên đường đi của con bọ sau 3 giây?

36. Sản lượng lúa mì W trong năm phụ thuộc nhiệt độ trung bình T và lượngmưa R của năm. Các nhà khoa học ước tính rằng nhiệt độ bình quân đang


tăng với tốc độ 0; 15 ıC/năm và lượng mưa đang giảm với tốc độ 0; 1 cm/năm.Họ cũng ước tính rằng, tại mức sản lượng hiện tại, @W =@T D 2 và@W =@R D 8.

a) Dấu của các đạo hàm riêng ở trên có ý nghĩa gì?

b) Hãy ước tính tốc độ biến thiên của sản lượng dW =dt ở mức sản lượnghiện tại.

37. Vận tốc truyền âm trong nước biển, với độ mặn 35 phần ngàn, được lập môhình theo công thức

C D 1449:2C 4:6T 0:055T 2C 0:00029T 3

C 0:016D

trong đó C là vận tốc âm thanh (mét/giây), T là nhiệt độ (ıC) và D là độsâu cách mặt nước biển (mét). Một thợ lặn từ từ lặn xuống biển, độ sâu lặnxuống và nhiệt độ xung quanh trong suốt thời gian được ghi nhận bằng đồthị dưới đây

hãy ước tính tốc độ biến thiên (theo thời gian) của vận tốc truyền âm trongnước biển khi thợ lặn vừa trải qua 20 phút lặn. Đơn vị tính là gì?

38. Giả sử một hình nón tròn đang biến đổi kích thước. Bán kính đáy tăng vớitốc độ 1,8 in/s, trong khi chiều cao giảm với tốc độ 2,5 in/s. Hỏi thể tích nónbiến thiên theo tốc độ nào khi bán kính đáy là 120 in và chiều cao là 140 in?

39. Giả sử chiều dài `, chiều rộng w và chiều cao h của một cái hộp đang biếnđổi theo thời gian. Tại một thời điểm nào đó, kích thước hộp là ` D 1 m vàw D h D 2 m, và ` và w tăng với tốc độ 2 m/s trong khi h giảm với tốc độ3 m/s. Ở thời điểm đó, hãy tính tốc độ biến thiên của các đại lượng sau

a) Thể tíchb) Diện tích toàn phần

c) Độ dài đường chéo

40. Hiệu điện thế V ở hai đầu một mạch điện sẽ giảm từ từ khi năng lượngpin hao hụt dần. Trở kháng mạch R tăng dần khi điện trở mạch nóng lên.Dùng định luật Ohm, V D IR, hãy cho biết dòng điện I biến thiên ra


sao tại thời điểm mà R D 400, I D 0:08 A, dV =dt D 0:01 V/s, vàdR=dt D 0:03 /s.

41. Giả sử áp suất của một mol khi lý tưởng đang tăng với tốc độ 0.15 kPa/s(kilopascal/giây). Dùng phương trình PV D 8:31T , hãy tìm tốc độ biếnthiên của thể tích khi áp suất là 20 kPa và nhiệt độ là 320 K.

42. Xe A chạy lên hướng Bắc trên xa lộ 16 và xe B chạy sang hướng Tây trênxa lộ 83. Mỗi xe đang tiến đến giao lộ. Tại một thời điểm, xe A cách giaolộ 0.3 km và chạy với vận tốc 90 km/h, trong khi xe B cách giao lộ 0.4 kmvà chạy với vận tốc 80 km/h. Tại thời điểm đó, khoảng cách giữa hai xe biếnthiên nhanh cỡ nào?

43. Giả sử một cạnh của tam giác đang tăng với tốc độ 3 cm/s, cạnh thứ hai đanggiảm với tốc độ 2 cm/s. Nếu diện tích tam giác duy trì một giá trị hằng số, thìgóc giữa hai cạnh nói trên có tốc độ biến thiên bao nhiêu khi cạnh thứ nhấtdài 20 cm, cạnh thứ hai dài 30 cm và số đo góc giữa chúng là =6?

44. Nếu một âm thanh với tần số fs được phát ra từ một nguồn âm đang dichuyển trên đường thẳng với vận tốc vs , và một quan sát viên đang đi trênđường thẳng đó theo hướng ngược lại với vận tốc v0, thì tần số âm thanh màquan sát viên nghe được là

f0 D

c C v0

c vs

fs

trong đó c là vận tốc truyền âm, khoảng 332 m/s. (Đây là hiệu ứng Doppler).)Giả sử rằng tại một thời điểm, bạn trong một xe lửa đang chạy với vận tốc34 m/s và tăng tốc ở mức 1.2 m/s2. Một xe lửa khác đang tiến về phía bạntheo hướng ngược lại trên đường ray khác với vận tốc 40 m/s, đang tăng tốcở mức 1.4 m/s2, và phát ra tiếng còi có tần số 460 Hz. Tại thời điểm đó, tầnsố cảm tính mà bạn nghe được là bao nhiêu và tần số đó biến thiên nhanhnhư thế nào?

45-48 Giả sử rằng các hàm số cho trước là khả vi.

45. Nếu z D f .x;y/, trong đó x D r cos và y D r sin , (a) tìm @z=@r và@z=@ và (b) chứng minh rằng @z

@x

2C

@z@y

2D

@z@r

2C

1

r2

@z@

2

46. Nếu u D f .x;y/, trong đó x D es cos t và y D es sin t , chứng minh rằng@u@x

2C

@u@y

2D e2s

@u@s

2C

@u@t

2


47. Nếu z D f .x y/, chứng minh rằng@z

@xC@z

@yD 0.

48. Nếu z D f .x;y/, trong đó x D s C t và y D s t , chứng minh rằng @z@x

2

@z@y

2D@z

@s

@z

@t

49-53 Giả sử các hàm số cho trước có tất cả đạo hàm riêng cấp 2 liên tục.

49. Chứng minh mọi hàm số có dạng z D f .xCat/Cg.yat/ đều là nghiệmcủa phương trình sóng sau đây

@2z

@t2D a2 @

2z

@x2

[Gợi ý: Đặt u D x C at và v D x at .]

50. Nếu u D f .x;y/, trong đó x D es cos t và y D es sin t , chứng minh rằng

@2u

@x2C@2u

@y2D e2s

@2u

@s2C@2u

@t2

51. Nếu z D f .x;y/, trong đó x D r2 C s2 và y D 2rs, tìm @2z=@r@s.

52. Nếu z D f .x;y/, trong đó x D r cos và y D r sin , tìm (a) @z=@r , (b)@z=@ , và (c) @2z=@r@ .

53. Nếu z D f .x;y/, trong đó x D r cos và y D r sin , chứng minh rằng

@2z

@x2C@2z

@y2D@2z

@r2C

1

r2

@2z

@2C

1

r

@z

@r

54. Một hàm số f được gọi là thuần nhất bậc n nếu nó thỏa phương trìnhf .tx; ty/ D tnf .x;y/ với mọi t , trong đó n là số nguyên dương và f cócác đạo hàm riêng cấp 2 liên tục.

a) Kiểm chứng hàm số f .x;y/ D x2yC2xy2C5y3 là thuần nhất bậc 3.

b) Chứng minh rằng, nếu f là thuần nhất bậc n thì

x@f

@xC y

@f

@yD nf .x;y/

[Hướng dẫn: Dùng quy tắc mắt xích để lấy đạo hàm của f .xt;yt/ theobiến t .]


55. Nếu f là hàm số thuần nhất bậc n, chứng minh rằng

x2 @2f

@x2C 2xy

@2f

@x@yC y2 @

2f

@y2D n.n 1/f .x;y/

56. Nếu f là thuần nhất bậc n, chứng minh rằng fx.tx; ty/ D tn1fx.x;y/.

57. Giả sử rằng phương trình F.x;y; z/ D 0 định nghĩa mỗi biến như là một ẩnhàm theo hai biến còn lại: z D f .x;y/, y D g.x; z/, x D h.y; z/. Nếu F

khả vi và Fx , Fy , Fz tất cả đều khác 0, chứng minh rằng

@z

@x

@x

@y

@y

@zD 1

F. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient

1. Bản đồ các đường đẳng áp (đơn vị đo là milibars) dưới đây được ghi nhậnlúc 6:00 AM, ngày 10, tháng 11, 1998. Khoảng cách từ điểm K (Kearney,Nebraska) đến điểm S (Sioux City, Iowa) dọc theo đoạn thẳng KS là 300 km.Từ K đến S có hiện tượng tụt áp theo hướng Đông Bắc. Hãy ước tính giá trịcủa đạo hàm của hàm khí áp tại Kearney theo hướng tiến về Sioux City. Đơnvị của đạo hàm này là gì?

2. Contour map dưới đây cho biết nhiệt độ cao nhất trong tháng 11, 2004 (đơnvị ıC). Hãy ước tính giá trị đạo hàm của hàm nhiệt độ tại Dubbo, New SouthWales, theo hướng tiến về Sydney. Đơn vị của đạo hàm này là gì?


3. Bảng giá trị của chỉ số lạnh cảm tính W được cho dưới đây. Dựa vào đó, hãyước tính giá trị của D!u f .20; 30/, trong đó !u D .

!i C!j /=p

2.

4-6 Tìm đạo theo hướng của f tại một điểm cho trước với góc chỉ hướng là .

4. f .x;y/ D x2y3 y4; .0; 2/; D =4.

5. f .x;y/ D yex; .0; 4/; D 2=3.

6. f .x;y/ D x sin.xy/; .2; 0/; D =3.

7-10 a) Tìm vectơ gradient của f

b) Tính gradient của f tại điểm P .


c) Tìm tốc độ biến thiên của f tại P theo hướng của vectơ !u

7. f .x;y/ D sin.2x C 3y/; P .6; 4/;!u D 1

2.p

3!i !j /:

8. f .x;y/ D y2=2; P .1; 2/;!u D 1

3.2!i Cp

5!j /.

9. f .x;y/ D xe2yz; P .3; 0; 2/;!u D h2

3; 2

3; 1

3i.

10. f .x;y/ Dp

x C yz; P .1; 3; 1/;!u D h2

7; 3

7; 6

7i.

11-17 Tìm đạo hàm theo hướng của f tại điểm cho trước theo hướng của vectơ !v .

11. f .x;y/ D 1C 2xp

y; .3; 4/;!v D h4;3i.

12. f .x;y/ D ln.x2 C y2/; .2; 1/;!v D h1; 2i.

13. f .x;y/ D p4 p2q3; .2; 1/;!v D

!i C 3

!j .

14. g.r; s/ D arctan.rs/; .1; 2/;!v D 5

!i C 10

!j .

15. f .x;y; z/ D xey C yez C zex; .0; 0; 0/;!v D h5; 1;2i.

16. f .x;y; z/ D pxyz; .3; 2; 6/;!v D h1;2; 2i.

17. g.x;y; z/ D .x C 2y C 3z/3=2; .1; 1; 2/;!v D 2

!j !k .

18. Sử dụng hình để ước lượng D!u f .2; 2/:

19. Tìm đạo hàm theo hướng của hàm số f .x;y/ Dp

xy. tại P(2,8) theo hướngcủa Q(5,4).

20. Tìm đạo hàm theo hướng của hàm số f .x;y; z/ D xy C yz C zx. tại P(1,-1,3) theo hướng của Q(2,4,5).

21-26 Tìm tốc độ biến thiên lớn nhất của f tại điểm cho trước, và tìm hướng màtheo đó tốc độ biến thiên này đạt được.

21. f .x;y/ D y2=x; .2; 4/:

22. f .p; q/ D qep C peq; .0; 0/:

23. f .x;y/ D sin.xy/; .1; 0/:

24. f .x;y; z/ D .x C y/=z; .1; 1;1/:

25. f .x;y; z/ Dp

x2 C y2 C z2; .3; 6;2/:


26. f .x;y; z/ D tan.x C 2y C 3z/; .5; 1; 1/:

27. a) Chứng minh rằng một hàm khả vi f giảm nhanh nhất tại!x theo hướngngược với vectơ gradient, nghĩa là, theo hướng rf .x/.

b) Sử dụng kết quả của câu a) để tìm hướng theo đó hàm số f .x;y/ Dx4y x2y3 giảm nhanh nhất tại điểm .2;3/.

28. Tìm hướng theo đó đạo hàm của f .x;y/ D yexy tại điểm .0; 2/ có giá trịlà 1.

29. Tìm tất cả các điểm mà tại đó hướng biến thiên nhanh nhất của hàm sốf .x;y/ D x2 C y2 2x 4y là

!i C!j :

30. Ở khu vực quanh một cái phao, độ sâu của một hồ nước tại điểm .x;y/ đượccho bởi z D 200C 0:02x2 0:001y3, với x; y; z đo theo đơn vị mét. Mộtngư dân trên một con thuyền nhỏ xuất phát tại điểm .80; 60/ và di chuyển vềphía cái phao, đặt tại .0; 0/. Khi anh ta di chuyển như vậy thì dưới thuyền trởnên sâu hơn hay nông hơn? Giải thích.

31. Nhiệt độ T tại một điểm bên trong một quả cầu kim loại, tỉ lệ nghịch vớikhoảng cách từ điểm đó đến tâm của quả cầu, được lấy làm gốc tọa độ. Nhiệtđộ tại điểm .1; 2; 2/ là 120ı.

a) Tìm tốc độ biến thiên của T tại .1; 2; 2/ theo hướng tiến đến điểm.2; 1; 3/.

b) Chứng minh rằng tại điểm bất kỳ bên trong quả cầu, hướng mà theo đónhiệt độ tăng nhanh nhất là hướng của vectơ từ điểm đang xét hướngđến tâm.

32. Nhiệt độ tại điểm .x;y; z/ được cho bởi công thức:

T .x;y; z/ D 2000ex23y29z2

với T được đo theo ıC và x; y; z đo theo mét.

a) Tìm tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại điểm P .2;1; 2/ theo hướng tiếnđến điểm .2; 1; 3/:

b) Theo hướng nào thì nhiệt độ tăng nhanh nhất tại P?

c) Tìm tốc độ tăng lớn nhất của nhiệt độ tại P.

33. Giả sử điện thế V trong không gian được cho bởi công thức V .x;y; z/ D

5x2 3xy C xyz:

a) Tìm tốc độ biến thiên của điện thế tại điểm P .3; 4; 5/ theo hướng củavectơ !v D

!i C!j !k .


b) Theo hướng nào V thay đổi nhanh nhất tại P?

c) Tốc độ biến thiên lớn nhất của V tại P là bao nhiêu?

34. Giả sử bạn đang trèo lên một ngọn đồi có địa hình được cho bởi phương trìnhz D 1000 0:005x2 0:0ay2,ở đây x; y; z được đo bởi đơn vị mét, và bạnđang đứng tại một điểm .60; 40; 966/. Hướng dương của trục 0x là hướngĐông và hướng dương trục Oy là hướng Bắc.

a) Nếu đi về hướng nam, bạn sẽ cao hay xuống thấp? Và độ dốc tại đó làbao nhiêu?

b) Nếu đi về hướng Tây Bắc, bạn lên cao hay xuống thấp? Và độ dốc tạiđó là bao nhiêu?

c) Theo hướng nào thì độ dốc là lớn nhất, và độ dốc đó là bao nhiêu? Gócchỉ hướng đó là bao nhiêu so với phương Đông?

35. Cho f là hàm 2 biến có các đạo hàm riêng liên tục và cho các điểm A.1; 3/; B.3; 3/; C.1; 7/

và D.6; 15/. Đạo hàm của f tại A theo hướng của vectơ!AB là 3 và đạo hàm

tại A theo hướng của vectơ!AC là 26. Tìm đạo hàm của f tại A theo hướng

của vectơ!AD.

36. Với contour map cho dưới đây, hãy phác họa đường cong xuất phát từ P đếnQ sao cho lộ trình đi dốc nhất.

37. Chứng minh rằng toán tử gradient có những tính chất dưới đây, trong đó u vàv là các hàm theo biến x và y, khả vi, và a; b là những hằng số.

a) r.auC bv/ D aruC brv

b) r.uv/ D urv C vru

c) r

uv

D

vruurvv2

d) run D nun1ru

38. Phác họa vectơ gradient rf .4; 6/ của hàm số f có contour map cho trướcdưới đây. Diễn giải cách chọn hướng và vẽ độ dài của vectơ.


39-44 Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc và phương trình mặt phẳng vuông gócvới các mặt được cho dưới đây tại những điểm cụ thể.

39. 2.x 2/2 C .y 1/2 C .z 3/2 D 10; .3; 3; 5/

40. y D x2 z2; .4; 7; 3/

41. x2 2y2 C z2 C yz D 2; .2; 1;1/

42. x z D 4 arctan.yz/; .1C ; 1; 1/

43. z C 1 D xey cos z; .1; 0; 0/

44. yz D ln.y C z/; .0; 0; 1/

45. Nếu f .x;y/ D xy tìm vecto gradient rf .3; 2/ và sử dụng nó để tìm mặtphẳng tiếp xúc với độ cong f .x;y/ D 6 tại điểm .3; 2/. Vẽ phát họa độcong, mặt phẳng tiếp xúc và vectơ gradient.

46. Nếu g.x;y/ D x2 C y2 4x, tìm vectơ gradient 5g.1; 2/ và sử dụng nóđể tìm mặt phẳng tiếp xúc với độ cong g.x;y/ D 1 tại điểm .1; 2/. Vẽ pháchọa độ cong, mặt phẳng tiếp xúc và vectơ gradient.

47. Chứng minh rằng phương trình mặt phẳng tiếp xúc với ellipsoid x2=a2 C

y2=b2 C z2=c2 D 1 tại điểm .x0;y0; z0/ có thể viết là

xx0

a2C

yy0

b2C

zz0

c2D 1


48. Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với hyperboloid x2=a2 C y2=b2

z2=c2 D 1 tại điểm .x0;y0; z0/ và mô tả nó dưới một dạng tương tự như bàitập trên.

49. Chứng minh rằng phương trình mặt phẳng tiếp xúc với elliptic paraboloidz=c D x2=a2 C y2=b2 tại điểm .x0;y0; z0/ có thể viết là

2xx0

a2C

2yy0

b2D

z C z0

c

50. Điểm nào trên paraboloid y D x2C z2 có mặt phẳng tiếp xúc song song vớimặt phẳng x C 2y C 3z D 1?

51. Có bất kì điểm nào trên hyperboloid x2 y2 z2 D 1 mà mặt phẳng tiếpxúc tại điểm đó song song với mặt phẳng z D x C y?

52. Chứng minh rằng ellipsoid 3x2C 2y2C z2 D 9 và mặt cầu x2Cy2C z2

8x 6y 8z C 24 D 0 tiếp xúc với nhau tại điểm .1; 1; 2/(Nghĩa là chúngcó một mặt phẳng tiếp xúc chung tại điểm này.)

53. Chứng minh rằng bất kì mặt phẳng nào tiếp xúc với mặt nón x2 C y2 D z2

đều đi qua gốc tọa độ.

54. Chứng minh rằng mọi đường thẳng pháp tuyến của mặt cầu x2Cy2C z2 D

r2 đều đi qua tâm của mặt cầu.

55. Chứng minh rằng tổng của hoành độ, tung độ và cao độ trên các trục Ox, Oy,Oz bị chắn bởi bất kỳ mặt phẳng nào tiếp xúc với mặt

pxCp

yCp

z Dp

c

là một hằng số.

56. Chứng minh rằng những hình chóp được cắt từ khối tam diện vuông thứ nhấtbằng bất kì mặt phẳng tiếp xúc nào của mặt xyz D 1 tại những điểm nằmtrong khối tam diện vuông thứ nhất đều có cùng thể tích.

57. Viết phương trình tham số cho đường thẳng tiếp tuyến với đường cong giaotuyến giữa paraboloid z D x2 C y2 và ellipsoid 4x2 C y2 C z2 D 9, tạiđiểm .0 1; 1; 2/.

58. Mặt phẳng y C z D 3 cắt hình trụ x2 C y2 D 5 tạo thành thiết diện là mộtellipse. Tìm phương trình tham số cho đường thẳng tiếp tuyến của ellipse nàytại đểm .1; 2; 1/:

59. a) Hai mặt phẳng được gọi là orthogonal (trực giao) tại một điểm chungnếu hai đường thẳng pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau tạiđiểm chung này. Chứng minh rằng hai mặt phẳng F.x;y; z/ D 0 vàG.x;y; z/ D 0 là trực giao tại điểm chung P, với rF.P / ¤

!0 và

rG.P / ¤!0 , nếu và chỉ nếu

FxGx C FyGy C FzGz D 0 tại P


b) Sử dụng câu a) để chứng minh rằng mặt z2 D x2 C y2 và x2 C y2 C

z2 D r2 là trực giao tại mọi điểm chung. Bạn có thể giải thích điều nàytại sao đúng mà không cần tính toán không?

60. Chứng minh rằng hàm số f .x;y/ D 3p

xy là liên tục và tồn tại đạo hàmriêng fxvà fy tại gốc tọa độ, nhưng không tồn tại đạo hàm theo bất cứhướng nào khác với Ox, Oy.

61. Giả sử biết trước đạo hàm của f .x;y/ theo 2 hướng không song song của 2vectơ đơn vị !u và !v cho trước, tại một điểm P cho trước. Khi nào ta có thểtìm được rf tại điểm P? Trong trường hợp tìm được, hãy chỉ rõ cách tìm?

62. Chứng minh rằng nếu z D f .x;y/ là khả vi tại !x 0 D hx0;y0i thì

lim!x!!x 0

f .!x / f .!x 0/ rf .

!x 0/ .!x !x 0/ˇ!x !x 0

ˇ D 0

(Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa sự khả vi.)

G. Cực trị không điều kiện của hàm số nhiều biến

1.

2. a)b)c)

3-4

3.

4.

H. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện

1.




2

Chương 1








a) h3; 4; 5i

b) h1;2;1i

c) 2!i C 3

!j 6

!k

d) 2!i !j C 2

!k


0






a) !a D h3;4i,!b D h5; 0i

b) !a D h1; 2i,!b D h4; 1i

c) !a D h3; 6;2i,!b D

h1; 2; 3i

d) !a D h2; 3;6i,!b D

h5;1; 4i

e) !a D 2!i !j C 4

!k ,!b D

!j C 1

2

!k

f) !a D!i C

!j C

!k ,!b D

!i !j C!k


!b proj!a



!b


với !a .



!a ,!b , proj!a

!b và orth!a

!b .


!b D 2.


!0 .


b!a ?


b!a ?


!i 6

!j C 9







!b

a) !a D h6; 0;2i,!b D h0; 8; 0i

b) !a D h1; 1;1i,!b D h2; 4; 6i


c) !a D!i C 3

!j 2

!k ,!b D

!i C 5

!k

d) !a D!j C 7

!k ,!b D 2

!i !j C 4

!k

e) !a D ht; t2; t3i,!b D h1; 2t; 3t2i

17. Cho !a D!i 2

!k và

!b D

!j C!k . Tính !a


!b ,



a) .!i !j /

!k

b)!k .

!i 2

!j /

c) .!j !k / .

!k !i /

d) .!i C!j / .

!i !j /


a) !a .!b !c /

b) !a .!b !c /

c) !a .!b !c /

d) .!a !b / !c

e) .!a !b / .!c

!d /

f) .!a !b / .!c

!d /


a) b)



j!a j D 3 và j

!b j D 2.

a) Tính j!a !b j


!b là








a) x2 C y2 D 1

b) y2 C z2 D 1

c) y2 C 4z2 D 4

d) z D 4 x2

e) yz D 4

f) z D cos x

g) x2 y2 D 1


a) z D 4x2 C y2

b) x2 Cy2

9C

z2

4D 1

c) x2

4C y2

z2

4D 1

d) x D y2 C 4z2

e) x2 D y2 C 4z2

f) x2 C 4y2 z2 D 4

g) 9x2 y2 C z2 D 0



3. x2 C 4y2 C 9z2 D 1

4. 9x2 C 4y2 C z2 D 1

5. x2 y2 C z2 D 1

6. x2 C y2 z2 D 1

7. y D 2x2 C z2

8. y2 D 2x2 C z2

9. x2 C 2z2 D 1

10. y D x2 z2


x2 C y2, x2 C y2 D 1 với1 z 2.



2 x2 y2.










2. !r .t/ D ht3; t2i


4. !r .t/ D h1C t; 3t;ti


6. !r .t/ D ht2; t; 2i

7. !r .t/ D t2!i C t4!j C t6!k


!j C

sin t!k



10. x D t , y D t2, z D et

11. x D t , y D 1=.1C t2/, z D t2














b) Mặt z Dp




!r 1.t/ D ht2; 7t 12; t2

i!r 2.t/ D h4t 3; t2; 5t 6i








!r .4; 5/ !r .4/0; 5

và!r .4; 2/ !r .4/

0; 2


c) Vẽ!T .4/.




!r .1; 1/ !r .1/0; 1




trước.

24. !r .t/ D ht 2; t2 C 1i, t D 1

25. !r .t/ D ht C 1;p

ti, t D 1


27. !r .t/ D het ; et i, t D 0

28. !r .t/ D het ; e3t i, t D 0





32. !r .t/ D!i !j C e4t!k


1 t2!j C!k

34. !r .t/ D et2!i !j C ln.1C 3t/

!k


!j C c cos3 t

!k

36. !r .t/ D !a C t!b C t2!c

37. !r .t/ D t!a .

!b C t

!c /



39. !r .t/ D 4p

t!i C t2!j C t

!k , t D 1


!j C 2 sin 2t

!k , t D 0



!j C tan t

!k , t D =4




44. x D 1C 2p

t ; y D t3 t; z D t3 C t I .3; 0; 2/


I .1; 0; 0/



t ; z D t2I .0; 2; 1/


2.




pt!k và !r .1/ D

!i C!j .


!i C!j C!k .


a)d


d

dtŒ!u .t/ !v .t/


d

dtŒ!r .t/ !r 0.t/ D !r .t/ !r 00.t/


dt


d

dt





!u 0.t/ D !r .t/ !r 0.t/ !r 000.t/



59. !r .t/ D h2t; t2; 13t2i, 0 t 1.

60. !r .t/ D tp

2!i C et!j C et!k , 0 1


!j C ln cos t

!k , 0 =4

62. !r .t/ D!i C t2!j C t3!k , 0 1

63. !r .t/ D 12t!i C 8t3=2!j C 3t2!k , 0 1




a) !r .t/ D 2t!i C .1 3t/

!j C .5C 4t/

!k


!j C e2t sin 2t

!k



!r .t/ D 2

t2 C 1 1

!i C

2t

t2 C 1

!j



!N .t/



c) !r .t/ D htp

2; et ; et i


d) !r .t/ D ht; 12t2; t2i



a) !r .t/ D ht2; 23t3; ti, .1; 2

3; 1/


Chương 2




a) Tính f .2; 1/ và f .e; 1/.


định của f .








zx2y2 .



5. Cho g.x;y; z/ D ln.25 x2 y2 z2/.



6-15 Tìm và phác họa miền xác định của hàm số cho bởi


6. f .x;y/ Dp

x C y

7. f .x;y/ D pxy

8. f .x;y/ D ln.9 x2 9y2/


10. f .x;y/ Dp

1 x2 p

1 y2

11. f .x;y/ Dp

y C

p25 x2 y2

12. f .x;y/ Dp

y x2

1 x2


14. f .x;y/ Dp

1 x2 y2 z2

15. f .x;y/ D ln.16 4x2 4y2

z2/


16. f .x;y/ D 3

17. f .x;y/ D y

18. f .x;y/ D 10 4x 5y

19. f .x;y/ D cos x

20. f .x;y/ D y2 C 1

21. f .x;y/ D 3 x2 y2

22. f .x;y/ D 4x2 C y2 C 1

23. f .x;y/ Dp

16 x2 16y2

24. f .x;y/ Dp

x2 C y2



c) f .x;y/ D1

1C x2 C y2

d) f .x;y/ D .x2 y2/2

e) f .x;y/ D .x y/2








29.

30.


31. 32.


33. f .x;y/ D .y 2x/2

34. f .x;y/ D x3 y


36. f .x;y/ D ey=x

37. f .x;y/ D yex


39. f .x;y/ Dp

y2 x2

40. f .x;y/ D y=.x2 C y2/


T .x;y/ D 100=.1C x2C 2y2/


pr2 x2 y2,






43. z D sin.xy/

44. z D ex cos y

45. z D sin.x y/

46. z D sin x sin y

47. z D .1 x2/.1 y2/

48. z Dx y

1C x2 C y2



49. f .x;y; z/ D x C 3y C 5z

50. f .x;y; z/ D x2 C 3y2 C 5z2

51. f .x;y; z/ D x2 y2 C z2

52. f .x;y; z/ D x2 y2


53. a) g.x;y/ D f .x;y/C 2


c) g.x;y/ D f .x;y/

d) g.x;y/ D 2 f .x;y/

54. a) g.x;y/ D f .x 2;y/

b) g.x;y/ D f .x;y C 2/

c) g.x;y/ D f .x C 3;y 4/









3. lim.x;y/!.1;2/

.5x3 x2y2/

4. lim.x;y/!.1;1/

exy cos.x C y/

5. lim.x;y/!.2;1/

4 xy

x2 C 3y2

6. lim.x;y/!.1;0/

ln 1C y2

x2 C xy

7. lim.x;y/!.0;0/

y4

x4 C 3y4

8. lim.x;y/!.0;0/

x2 C sin2 y

2x2 C y2

9. lim.x;y/!.0;0/

xy cos y

3x2 C y2

10. lim.x;y/!.0;0/

6x3y

2x4 C y4

11. lim.x;y/!.0;0/

xypx2 C y2

12. lim.x;y/!.0;0/

x4 y4

x2 C y2

13. lim.x;y/!.0;0/

x2yey

x4 C 4y2

14. lim.x;y/!.0;0/

x2 sin2 y

x2 C 2y2

15. lim.x;y/!.0;0/

x2 C y2px2 C y2 1 1

16. lim.x;y/!.0;0/

xy4

x2 C y8

17. lim.x;y;z/!.3;0;1/

exy sin.z=2/

18. lim.x;y;z/!.0;0;0/

x2 C 2y2 C 3z2

x2 C y2 C z2

19. lim.x;y;z/!.0;0;0/

xy C yz2 C xz2

x2 C y2 C z4

20. lim.x;y;z/!.0;0;0/

yz

x2 C 4y2 C 9z2




21. g.t/ D t2 Cp

t ; f .x;y/ D 2x C 3y 6


1C x2y2


23. f .x;y/ Dx y

1C x2 C y2


y/


x C y2

26. f .x;y/ D

8<:

x2y3

2x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

1 nếu .x;y/ D .0; 0/

27. f .x;y/ D

8<:xy

x2 C xy C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/



28. lim.x;y/!.0;0/

x3 C y3

x2 C y2

29. lim.x;y/!.0;0/

.x2Cy2/ ln.x2

Cy2/

30. lim.x;y/!.0;0/

ex2y2

1

x2 C y2




1. a) fx.1; 2/

b) fy.1; 2/

2. a) fx.1; 2/

b) fy.1; 2/

3. a) fxx.1; 2/

b) fyy.1; 2/

4. a) fxy.1; 2/

b) fxy.1; 2/



7. Nếu f .x;y/ Dp




8. f .x;y/ D y5 3xy

9. f .x;y/ D x4y3 C 8x2y


11. f .x; t/ Dp

x ln t

12. z D .2x C 3y/10

13. z D tan xy

14. f .x;y/ Dx y

x C y

15. f .x; t/ D xy

16. w D sin˛ cos˛

17. w D ev=.uC v2/

18. f .r; s/ D r ln.r2 C s2/


t/

20. u D tew=t

21. f .x;y/ DR y

x cos.t2/dt

22. f .x;y; z/ D xz 5x2y3z4


24. w D ln.x C 2y C 3z/

25. w D zexyz


27. u D xy=z


29. f .x;y; z; t/ Dxy2

t C 2z

30. u D

qx2

1C x2

2C C x2

n




x2 C y2/I fx.3; 4/


34. f .x;y; z/ Dy

x C y C zI fy.2; 1;1/

35. f .x;y; z/ Dq



36. f .x;y/ D xy2 x3y

37. f .x;y/ Dx

x C y2

38. f .x;y/ D 3p

xy ; tại .0; 0/

39. f .x;y/ D 3p

x3 C y3 ; tại.0; 0/


40. f .x;y/ D

8<:xyp

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/; tại .0; 0/

41. f .x;y/ D

8<:

x2y

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/; tại .0; 0/


42. x2 C y2 C z2 D 3xyz

43. yz D ln.x C z/



46-50 Tìm @z=@x và @z=@y.

46. z D f .x/C g.y/

47. z D f .x C y/

48. z D f .x/g.y/

49. z D f .xy/

50. z D f .x=y/


51. f .x;y/ D x3y5 C 2x4y


53. w Dp

u2 C v2

54. v Dxy

x y

55. z D arctanx C y

1 xy

56. v D exey



58. u D x4y2 2xy5

59. u D lnp

x2 C y2

60. u D xyey







65. D er sin I@3u

@r2@

66. z D upv wI

@3z

@u@v@w

67. w Dx

y C 2zI

@3w

@z@y@x;

@3w

@x2@y

68. u D xaybzc I@6u

@x@y2@z3



a) fx

b) fy

c) fxx

d) fxy

e) fyy




thời điểm t ).


a) u D x2 C y2

b) u D x2 y2

c) u D x3 C 3xy2

d) u D lnp

x2 C y2






b) u D t=.a2t2 x2/







2C C a2


@2u

@x21

C@2u

@x22

C C@2u

@x2n

D u



@z

@xC@z

@yD 1 và

@2z

@x2

@2z

@y2

@2z

@x@y

2D 0




@P

@V

@V

@T

@T

@PD 1 và T

@P

@T

@V

@TD mR


W D 13; 12C 0; 6215T 11; 37v0;16C 0; 3965T v0;16





f .x;y/ D

8<:

x3y xy3

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/


b) Tìm fx.0; 0/ và fy.0; 0/.




f .x;y/ D

8<:

x2y xy2px2 C y2

nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/


D. Sự khả vi


1. z D 4x2y2C2y; .1; 2; 4/

2. z D 3.x 1/2 C 2.y C 3/2 C

7; .2;2; 12/

3. z Dp

xy; .1; 1; 1/

4. z D y ln x; .1; 4; 0/

5. z D y cos.x y/; .2; 2; 2/

6. z D ex2y2

; .1;1; 1/


7. f .x;y/ D xp

y; .1; 4/

8. f .x;y/ D x2y4; .1; 1/

9. f .x;y/ Dx

x C y; .2; 1/

10. f .x;y/ Dp

x C e4y ; .3; 0/

11. f .x;y/ D exy cos y; .; 0/

12. f .x;y/ D sin.2x C 3y/,.3; 2/


13.2x C 3

4y C 1 3C 2x 12y

14.p

y C cos2 x 1C1

2y






p.3:02/2 C .1:97/2 C .5:99/2











21. z D x3 ln.y2/

22. v D y cos xy

23. m D p5q3

24. T Dv

1C uvw

25. R D ˛ˇ2 cos

26. w D xyexz












1

RD

1

R1

C1

R2

C1

R3







f .x;y/ D

8<:

x2y

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/

a) Tính D1f .x;y/ và D2f .x;y/ tại .x;y/ ¤ .0; 0/.b) Tính D1f .0; 0/ và D2f .0; 0/.c) Khảo sát sự liên tục tại .0; 0/ của f , D1f và D2f .d) Khảo sát sự khả vi của f tại .0; 0/.


f .x;y/ D

8<:xyp

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/


xy.





2. z D cos.x C 4y/; x D 5t4; y D 1=t

3. z Dp




6. w D lnp








s2 C t2



x D g.t/ y D h.t/ g.3/ D 2 h.3/ D 7

g0.3/ D 5 h0.3/ D 4 fx.2; 7/ D 6 fy.2; 7/ D 8


14. Đặt W .w; t/ D Fu.s; t/; v.s; t/


u.1; 0/ D 2 v.1; 0/ D 3 us.1; 0/ D 2 vs.1; 0/ D 5

ut .1; 0/ D 6 vt .1; 0/ D 4 Fu.2; 3/ D 1 Fv.2; 3/ D 10

Tìm Ws.1; 0/ và Wt .1; 0/.












@u;@z

@v;@z


22. u Dp


@x;@u

@y;@u



@x;@R

@ykhi x D y D 1

24. M D xeyz2


@u;@M

@vkhi u D 3; v D 1


@p;@u

@r;@u

@khi p D 2; r D 3; D 0


@r;@Y

@s;@Y




27. pxy D 1C x2y

28. y5 C x2y3 D 1C yex2

29. cos.x y/ D xey



31. x2 C y2 C z2 D 3xyz



34. yz D ln.x C z/


p1C t , y D 2C 1



36. Sản lượng lúa mì W trong năm phụ thuộc nhiệt độ trung bình T và lượngmưa R của năm. Các nhà khoa học ước tính rằng nhiệt độ bình quân đangtăng với tốc độ 0; 15 ıC/năm và lượng mưa đang giảm với tốc độ 0; 1 cm/năm.Họ cũng ước tính rằng, tại mức sản lượng hiện tại, @W =@T D 2 và@W =@R D 8.




C D 1449:2C 4:6T 0:055T 2C 0:00029T 3

C 0:016D








40. Hiệu điện thế V ở hai đầu một mạch điện sẽ giảm từ từ khi năng lượngpin hao hụt dần. Trở kháng mạch R tăng dần khi điện trở mạch nóng lên.Dùng định luật Ohm, V D IR, hãy cho biết dòng điện I biến thiên rasao tại thời điểm mà R D 400, I D 0:08 A, dV =dt D 0:01 V/s, vàdR=dt D 0:03 /s.






f0 D

c C v0

c vs

fs




@x

2C

@z@y

2D

@z@r

2C

1

r2

@z@

2


2C

@u@y

2D e2s

@u@s

2C

@u@t

2


@xC@z

@yD 0.


2

@z@y

2D@z

@s

@z

@t



@2z

@t2D a2 @

2z

@x2




@2u

@x2C@2u

@y2D e2s

@2u

@s2C@2u

@t2




@2z

@x2C@2z

@y2D@2z

@r2C

1

r2

@2z

@2C

1

r

@z

@r




x@f

@xC y

@f

@yD nf .x;y/



x2 @2f

@x2C 2xy

@2f

@x@yC y2 @

2f

@y2D n.n 1/f .x;y/




@z

@x

@x

@y

@y

@zD 1



1.

2.

3.


4.

5.

6. f .x;y/ D x sin.xy/; .2; 0/; D =3




7.

8.

9.

10. f .x;y; z/ D

11-17 Tìm đạo hàm theo hướng của f tại điểm cho trước theo hướng của vectơ !v

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. g.x;y; z/ D

18.

19.


20.


21.

22.

23.

24.

25.

26. f .x;y; z/ D

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39-44 Tìm phương trình của (a) mặt phẳng tiếp xúc và (b) pháp tuyến với đườngcong cho trước tại điểm được chỉ rõ.

39.

40.

41.

42.


43.

44. yz D

45-46 Dùng máy tính để vẽ đồ thị mặt cong . . . BỎ NHÓM BÀI NÀY

45. Bỏ

46. Bỏ

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.



1.

2. a)b)c)

3-4

3.

4.


1.




2

Mục lục

1 ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ 5A. Ôn tập và mở rộng kiến thức hình học tọa độ . . . . . . . . . . . . 5

B. Mặt trụ và mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

C. Hàm vectơ một biến và đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 ĐẠO HÀM RIÊNG & SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 17A. Hàm số nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

B. Giới hạn và sự liên tục của hàm số nhiều biến . . . . . . . . . . . 24

C. Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

D. Sự khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

E. Quy tắc mắt xích hay đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . 37

F. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient . . . . . . . . . . . . . . . 43

G. Cực trị không điều kiện của hàm số nhiều biến . . . . . . . . . . . 50

H. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 MỤC LỤC

Chương 1








a) h3; 4; 5i

b) h1;2;1i

c) 2!i C 3

!j 6

!k

d) 2!i !j C 2

!k


0






a) !a D h3;4i,!b D h5; 0i

b) !a D h1; 2i,!b D h4; 1i

c) !a D h3; 6;2i,!b D

h1; 2; 3i

d) !a D h2; 3;6i,!b D

h5;1; 4i

e) !a D 2!i !j C 4

!k ,!b D

!j C 1

2

!k

f) !a D!i C

!j C

!k ,!b D

!i !j C!k


!b proj!a



!b


với !a .



!a ,!b , proj!a

!b và orth!a

!b .


!b D 2.


!0 .


b!a ?


b!a ?


!i 6

!j C 9







!b

a) !a D h6; 0;2i,!b D h0; 8; 0i

b) !a D h1; 1;1i,!b D h2; 4; 6i


c) !a D!i C 3

!j 2

!k ,!b D

!i C 5

!k

d) !a D!j C 7

!k ,!b D 2

!i !j C 4

!k

e) !a D ht; t2; t3i,!b D h1; 2t; 3t2i

17. Cho !a D!i 2

!k và

!b D

!j C!k . Tính !a


!b ,



a) .!i !j /

!k

b)!k .

!i 2

!j /

c) .!j !k / .

!k !i /

d) .!i C!j / .

!i !j /


a) !a .!b !c /

b) !a .!b !c /

c) !a .!b !c /

d) .!a !b / !c

e) .!a !b / .!c

!d /

f) .!a !b / .!c

!d /


a) b)



j!a j D 3 và j

!b j D 2.

a) Tính j!a !b j


!b là








a) x2 C y2 D 1

b) y2 C z2 D 1

c) y2 C 4z2 D 4

d) z D 4 x2

e) yz D 4

f) z D cos x

g) x2 y2 D 1


a) z D 4x2 C y2

b) x2 Cy2

9C

z2

4D 1

c) x2

4C y2

z2

4D 1

d) x D y2 C 4z2

e) x2 D y2 C 4z2

f) x2 C 4y2 z2 D 4

g) 9x2 y2 C z2 D 0



3. x2 C 4y2 C 9z2 D 1

4. 9x2 C 4y2 C z2 D 1

5. x2 y2 C z2 D 1

6. x2 C y2 z2 D 1

7. y D 2x2 C z2

8. y2 D 2x2 C z2

9. x2 C 2z2 D 1

10. y D x2 z2


x2 C y2, x2 C y2 D 1 với1 z 2.



2 x2 y2.










2. !r .t/ D ht3; t2i


4. !r .t/ D h1C t; 3t;ti


6. !r .t/ D ht2; t; 2i

7. !r .t/ D t2!i C t4!j C t6!k


!j C

sin t!k



10. x D t , y D t2, z D et

11. x D t , y D 1=.1C t2/, z D t2














b) Mặt z Dp




!r 1.t/ D ht2; 7t 12; t2

i!r 2.t/ D h4t 3; t2; 5t 6i








!r .4; 5/ !r .4/0; 5

và!r .4; 2/ !r .4/

0; 2


c) Vẽ!T .4/.




!r .1; 1/ !r .1/0; 1




trước.

24. !r .t/ D ht 2; t2 C 1i, t D 1

25. !r .t/ D ht C 1;p

ti, t D 1


27. !r .t/ D het ; et i, t D 0

28. !r .t/ D het ; e3t i, t D 0





32. !r .t/ D!i !j C e4t!k


1 t2!j C!k

34. !r .t/ D et2!i !j C ln.1C 3t/

!k


!j C c cos3 t

!k

36. !r .t/ D !a C t!b C t2!c

37. !r .t/ D t!a .

!b C t

!c /



39. !r .t/ D 4p

t!i C t2!j C t

!k , t D 1


!j C 2 sin 2t

!k , t D 0



!j C tan t

!k , t D =4




44. x D 1C 2p

t ; y D t3 t; z D t3 C t I .3; 0; 2/


I .1; 0; 0/



t ; z D t2I .0; 2; 1/


2.




pt!k và !r .1/ D

!i C!j .


!i C!j C!k .


a)d


d

dtŒ!u .t/ !v .t/


d

dtŒ!r .t/ !r 0.t/ D !r .t/ !r 00.t/


dt


d

dt





!u 0.t/ D !r .t/ !r 0.t/ !r 000.t/



59. !r .t/ D h2t; t2; 13t2i, 0 t 1.

60. !r .t/ D tp

2!i C et!j C et!k , 0 1


!j C ln cos t

!k , 0 =4

62. !r .t/ D!i C t2!j C t3!k , 0 1

63. !r .t/ D 12t!i C 8t3=2!j C 3t2!k , 0 1




a) !r .t/ D 2t!i C .1 3t/

!j C .5C 4t/

!k


!j C e2t sin 2t

!k



!r .t/ D 2

t2 C 1 1

!i C

2t

t2 C 1

!j



!N .t/



c) !r .t/ D htp

2; et ; et i


d) !r .t/ D ht; 12t2; t2i



a) !r .t/ D ht2; 23t3; ti, .1; 2

3; 1/


Chương 2




a) Tính f .2; 1/ và f .e; 1/.


định của f .








zx2y2 .



5. Cho g.x;y; z/ D ln.25 x2 y2 z2/.



6-15 Tìm và phác họa miền giá trị của hàm số cho bởi


6. f .x;y/ Dp

x C y

7. f .x;y/ D pxy

8. f .x;y/ D ln.9 x2 9y2/


10. f .x;y/ Dp

1 x2 p

1 y2

11. f .x;y/ Dp

y C

p25 x2 y2

12. f .x;y/ Dp

yx2

1x2


14. f .x;y/ Dp

1 x2 y2 z2

15. f .x;y/ D ln.16 4x2 4y2

z2/


16. f .x;y/ D 3

17. f .x;y/ D y

18. f .x;y/ D 10 4x 5y

19. f .x;y/ D cos x

20. f .x;y/ D y2 C 1

21. f .x;y/ D 3 x2 y2

22. f .x;y/ D 3 x2 y2

23. f .x;y/ D 4x2 C y2 C 1

24. f .x;y/ Dp

16 x2 16y2

25. f .x;y/ Dp

x2 C y2



c) f .x;y/ D1

1C x2 C y2

d) f .x;y/ D .x2 y2/2

e) f .x;y/ D .x y/2








30.

31.


32. 33.


34. f .x;y/ D .y 2x/2

35. f .x;y/ D x3 y


37. f .x;y/ D ey=x

38. f .x;y/ D yex


40. f .x;y/ Dp

y2 x2

41. f .x;y/ D y=.x2 C y2/


T .x;y/ D 100=.1C x2C 2y2/


pr2 x2 y2,






44. z D sin.xy/

45. z D ex cos y

46. z D sin.x y/

47. z D sin x sin y

48. z D .1 x2/.1 y2/

49. z Dx y

1C x2 C y2



50. f .x;y; z/ D x C 3y C 5z

51. f .x;y; z/ D x2 C 3y2 C 5z2

52. f .x;y; z/ D x2 y2 C z2

53. f .x;y; z/ D x2 y2


54. a) g.x;y/ D f .x;y/C 2


c) g.x;y/ D f .x;y/

d) g.x;y/ D 2 f .x;y/

55. a) g.x;y/ D f .x 2;y/

b) g.x;y/ D f .x;y C 2/

c) g.x;y/ D f .x C 3;y 4/









3. lim.x;y/!.1;2/

.5x3 x2y2/

4. lim.x;y/!.1;1/

exy cos.x C y/

5. lim.x;y/!.2;1/

4 xy

x2 C 3y2

6. lim.x;y/!.1;0/

ln 1C y2

x2 C xy

7. lim.x;y/!.0;0/

y4

x4 C 3y4

8. lim.x;y/!.0;0/

x2 C sin2 y

2x2 C y2

9. lim.x;y/!.0;0/

xy cos y

3x2 C y2

10. lim.x;y/!.0;0/

6x3y

2x4 C y4

11. lim.x;y/!.0;0/

xypx2 C y2

12. lim.x;y/!.0;0/

x4 y4

x2 C y2

13. lim.x;y/!.0;0/

x2yey

x4 C 4y2

14. lim.x;y/!.0;0/

x2 sin2 y

x2 C 2y2

15. lim.x;y/!.0;0/

x2 C y2px2 C y2 1 1

16. lim.x;y/!.0;0/

xy4

x2 C y8

17. lim.x;y;z/!.3;0;1/

exy sin.z=2/

18. lim.x;y;z/!.0;0;0/

x2 C 2y2 C 3z2

x2 C y2 C z2

19. lim.x;y;z/!.0;0;0/

xy C yz2 C xz2

x2 C y2 C z4

20. lim.x;y;z/!.0;0;0/

yz

x2 C 4y2 C 9z2




21. g.t/ D t2 Cp

t ; f .x;y/ D 2x C 3y 6


1C x2y2


23. f .x;y/ Dx y

1C x2 C y2


y/


x C y2

26. f .x;y/ D

8<:

x2y3

2x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

1 nếu .x;y/ D .0; 0/

27. f .x;y/ D

8<:xy

x2 C xy C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/



28. lim.x;y/!.0;0/

x3 C y3

x2 C y2

29. lim.x;y/!.0;0/

.x2Cy2/ ln.x2

Cy2/

30. lim.x;y/!.0;0/

ex2y2

1

x2 C y2


1. Nhiệt độ T tại Bắc Bán Cầu phụ thuộc theo kinh độ x, vĩ độ y và thời giant , vì vậy ta viết T D f .x;y; t/. Ta tính thời gian theo giờ, bắt đầu từ thángGiêng.

a) Cho biết ý nghĩa của các đạo hàm riêng @T=@x, @T=@y và @T=@t?

b) Honolulu nằm ở 158ı kinh Tây, 21ı vĩ Bắc. Giả sử lúc 9:00 AM, ngày1 tháng Giêng, gió thổi khí nóng lên phía Đông Bắc, vì vậy không khíở phía Tây và Nam ấm, còn ở phía Đông và Bắc lạnh hơn. Hãy chobiết fx.158; 21; 9/, fy.158; 21; 9/ và ft .158; 21; 9/ là âm hay dương,vì sao?


2. Chỉ số lạnh cảm tính W là nhiệt độ do cảm giác đem lại, phụ thuộc vào nhiệtđộ thực T và vận tốc v của gió. Vì vậy ta viết W D f .T; v/. Sau đây là bảnggiá trị của f

a) Hãy ước tính giá trị của fT .15; 30/, fv.15; 30/ và cho biết ý nghĩathực tiễn của chúng.

b) Nói chung, ta có thể nói gì về dấu của @W =@T và @W =@v?

c) Dường như giá trị của giới hạn sau là bao nhiêu, theo trực quan,

limv!1

@W

@v

3. Chiều cao h của sóng biển phụ thuộc vào vận tốc v của gió và thời gian t màgió duy trì vận tốc đó. Giá trị của h D f .v; t/ được cho trong bảng sau


a) Ý nghĩa của các đạo hàm riêng @h=@v và @h=@t là gì?

b) Ước tính giá trị của fv.40; 15/ và ft .40; 15/. Ý nghĩa thực tiễn củachúng là gì?

c) Có vẻ như giới sau là bao nhiêu

limt!1

@h

@t


4. a) fx.1; 2/

b) fy.1; 2/

5. a) fx.1; 2/

b) fy.1; 2/

6. a) fxx.1; 2/

b) fyy.1; 2/

7. a) fxy.1; 2/

b) fxy.1; 2/




10. Nếu f .x;y/ Dp



11. f .x;y/ D y5 3xy

12. f .x;y/ D x4y3 C 8x2y


14. f .x; t/ Dp

x ln t

15. z D .2x C 3y/10

16. z D tan xy

17. f .x;y/ Dx y

x C y

18. f .x; t/ D xy

19. w D sin˛ cos˛

20. w D ev=.uC v2/

21. f .r; s/ D r ln.r2 C s2/


t/

23. u D tew=t

24. f .x;y/ DR y

x cos.t2/dt

25. f .x;y; z/ D xz 5x2y3z4


27. w D ln.x C 2y C 3z/

28. w D zexyz


30. u D xy=z


32. f .x;y; z; t/ Dxy2

t C 2z

33. u D

qx2

1C x2

2C C x2

n





x2 C y2/I fx.3; 4/


37. f .x;y; z/ Dy

x C y C zI fy.2; 1;1/

38. f .x;y; z/ Dq



39. f .x;y/ D xy2 x3y

40. f .x;y/ Dx

x C y2

41. f .x;y/ D 3p

xy ; tại .0; 0/

42. f .x;y/ D 3p

x3 C y3 ; tại.0; 0/

43. f .x;y/ D

8<:xyp

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/; tại .0; 0/

44. f .x;y/ D

8<:

x2y

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/; tại .0; 0/


45. x2 C y2 C z2 D 3xyz

46. yz D ln.x C z/



49-53 Tìm @z=@x và @z=@y.

49. z D f .x/C g.y/

50. z D f .x C y/

51. z D f .x/g.y/

52. z D f .xy/

53. z D f .x=y/



54. f .x;y/ D x3y5 C 2x4y


56. w Dp

u2 C v2

57. v Dxy

x y

58. z D arctanx C y

1 xy

59. v D exey



61. u D x4y2 2xy5

62. u D lnp

x2 C y2

63. u D xyey






68. D er sin I@3u

@r2@

69. z D upv wI

@3z

@u@v@w

70. w Dx

y C 2zI

@3w

@z@y@x;

@3w

@x2@y

71. u D xaybzc I@6u

@x@y2@z3




a) fx

b) fy

c) fxx

d) fxy

e) fyy



thời điểm t ).


a) u D x2 C y2

b) u D x2 y2

c) u D x3 C 3xy2

d) u D lnp

x2 C y2







b) u D t=.a2t2 x2/







2C C a2


@2u

@x21

C@2u

@x22

C C@2u

@x2n

D u


@z

@xC@z

@yD 1 và

@2z

@x2

@2z

@y2

@2z

@x@y

2D 0




@P

@V

@V

@T

@T

@PD 1 và T

@P

@T

@V

@TD mR


W D 13; 12C 0; 6215T 11; 37v0;16C 0; 3965T v0;16






f .x;y/ D

8<:

x3y xy3

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/


b) Tìm fx.0; 0/ và fy.0; 0/.




f .x;y/ D

8<:

x2y xy2px2 C y2

nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/

D. Sự khả vi


1. z D 4x2y2C2y; .1; 2; 4/

2. z D 3.x 1/2 C 2.y C 3/2 C

7; .2;2; 12/

3. z Dp

xy; .1; 1; 1/

4. z D y ln x; .1; 4; 0/

5. z D y cos.x y/; .2; 2; 2/

6. z D ex2y2

; .1;1; 1/


7. f .x;y/ D xp

y; .1; 4/

8. f .x;y/ D x2y4; .1; 1/

9. f .x;y/ Dx

x C y; .2; 1/

10. f .x;y/ Dp

x C e4y ; .3; 0/

11. f .x;y/ D exy cos y; .; 0/

12. f .x;y/ D sin.2x C 3y/,.3; 2/


13.2x C 3

4y C 1 3C 2x 12


14.p

y C cos2 x 1C1

2y






p.3:02/2 C .1:97/2 C .5:99/2










21. z D x3 ln.y2/

22. v D y cos xy

23. m D p5q3

24. T Dv

1C uvw

25. R D ˛ˇ2 cos

26. w D xyexz












1

RD

1

R1

C1

R2

C1

R3








f .x;y/ D

8<:

x2y

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/

a) Tính D1f .x;y/ và D2f .x;y/ tại .x;y/ ¤ .0; 0/.

b) Tính D1f .0; 0/ và D2f .0; 0/.

c) Khảo sát sự liên tục tại .0; 0/ của f , D1f và D2f .

d) Khảo sát sự khả vi của f tại .0; 0/.


f .x;y/ D

8<:xyp

x2 C y2nếu .x;y/ ¤ .0; 0/

0 nếu .x;y/ D .0; 0/


xy.




2. z D cos.x C 4y/; x D 5t4; y D 1=t

3. z Dp




6. w D lnp









s2 C t2



x D g.t/ y D h.t/ g.3/ D 2 h.3/ D 7

g0.3/ D 5 h0.3/ D 4 fx.2; 7/ D 6 fy.2; 7/ D 8


14. Đặt W .w; t/ D Fu.s; t/; v.s; t/


u.1; 0/ D 2 v.1; 0/ D 3 us.1; 0/ D 2 vs.1; 0/ D 5

ut .1; 0/ D 6 vt .1; 0/ D 4 Fu.2; 3/ D 1 Fv.2; 3/ D 10

Tìm Ws.1; 0/ và Wt .1; 0/.












@u;@z

@v;@z


22. u Dp


@x;@u

@y;@u



@x;@R

@ykhi x D y D 1

24. M D xeyz2


@u;@M

@vkhi u D 3; v D 1


@p;@u

@r;@u

@khi p D 2; r D 3; D 0


@r;@Y

@s;@Y



27. pxy D 1C x2y

28. y5 C x2y3 D 1C yex2

29. cos.x y/ D xey



31. x2 C y2 C z2 D 3xyz



34. yz D ln.x C z/


p1C t , y D 2C 1



36. Sản lượng lúa mì W trong năm phụ thuộc nhiệt độ trung bình T và lượngmưa R của năm. Các nhà khoa học ước tính rằng nhiệt độ bình quân đang


tăng với tốc độ 0; 15 ıC/năm và lượng mưa đang giảm với tốc độ 0; 1 cm/năm.Họ cũng ước tính rằng, tại mức sản lượng hiện tại, @W =@T D 2 và@W =@R D 8.




C D 1449:2C 4:6T 0:055T 2C 0:00029T 3

C 0:016D







40. Hiệu điện thế V ở hai đầu một mạch điện sẽ giảm từ từ khi năng lượngpin hao hụt dần. Trở kháng mạch R tăng dần khi điện trở mạch nóng lên.Dùng định luật Ohm, V D IR, hãy cho biết dòng điện I biến thiên ra


sao tại thời điểm mà R D 400, I D 0:08 A, dV =dt D 0:01 V/s, vàdR=dt D 0:03 /s.





f0 D

c C v0

c vs

fs




@x

2C

@z@y

2D

@z@r

2C

1

r2

@z@

2


2C

@u@y

2D e2s

@u@s

2C

@u@t

2



@xC@z

@yD 0.


2

@z@y

2D@z

@s

@z

@t



@2z

@t2D a2 @

2z

@x2



@2u

@x2C@2u

@y2D e2s

@2u

@s2C@2u

@t2




@2z

@x2C@2z

@y2D@2z

@r2C

1

r2

@2z

@2C

1

r

@z

@r




x@f

@xC y

@f

@yD nf .x;y/




x2 @2f

@x2C 2xy

@2f

@x@yC y2 @

2f

@y2D n.n 1/f .x;y/




@z

@x

@x

@y

@y

@zD 1


1. Bản đồ các đường đẳng áp (đơn vị đo là milibars) dưới đây được ghi nhậnlúc 6:00 AM, ngày 10, tháng 11, 1998. Khoảng cách từ điểm K (Kearney,Nebraska) đến điểm S (Sioux City, Iowa) dọc theo đoạn thẳng KS là 300 km.Từ K đến S có hiện tượng tụt áp theo hướng Đông Bắc. Hãy ước tính giá trịcủa đạo hàm của hàm khí áp tại Kearney theo hướng tiến về Sioux City. Đơnvị của đạo hàm này là gì?

2. Contour map dưới đây cho biết nhiệt độ cao nhất trong tháng 11, 2004 (đơnvị ıC). Hãy ước tính giá trị đạo hàm của hàm nhiệt độ tại Dubbo, New SouthWales, theo hướng tiến về Sydney. Đơn vị của đạo hàm này là gì?


3. Bảng giá trị của chỉ số lạnh cảm tính W được cho dưới đây. Dựa vào đó, hãyước tính giá trị của D!u f .20; 30/, trong đó !u D .

!i C!j /=p

2.


4. f .x;y/ D x2y3 y4; .0; 2/; D =4.

5. f .x;y/ D yex; .0; 4/; D 2=3.

6. f .x;y/ D x sin.xy/; .2; 0/; D =3.





7. f .x;y/ D sin.2x C 3y/; P .6; 4/;!u D 1

2.p

3!i !j /:

8. f .x;y/ D y2=2; P .1; 2/;!u D 1

3.2!i Cp

5!j /.

9. f .x;y/ D xe2yz; P .3; 0; 2/;!u D h2

3; 2

3; 1

3i.

10. f .x;y/ Dp

x C yz; P .1; 3; 1/;!u D h2

7; 3

7; 6

7i.

11-17 Tìm đạo hàm theo hướng của f tại điểm cho trước theo hướng của vectơ !v .

11. f .x;y/ D 1C 2xp

y; .3; 4/;!v D h4;3i.

12. f .x;y/ D ln.x2 C y2/; .2; 1/;!v D h1; 2i.

13. f .x;y/ D p4 p2q3; .2; 1/;!v D

!i C 3

!j .

14. g.r; s/ D arctan.rs/; .1; 2/;!v D 5

!i C 10

!j .

15. f .x;y; z/ D xey C yez C zex; .0; 0; 0/;!v D h5; 1;2i.

16. f .x;y; z/ D pxyz; .3; 2; 6/;!v D h1;2; 2i.

17. g.x;y; z/ D .x C 2y C 3z/3=2; .1; 1; 2/;!v D 2

!j !k .

18. Sử dụng hình để ước lượng D!u f .2; 2/:

19. Tìm đạo hàm theo hướng của hàm số f .x;y/ Dp

xy. tại P(2,8) theo hướngcủa Q(5,4).

20. Tìm đạo hàm theo hướng của hàm số f .x;y; z/ D xy C yz C zx. tại P(1,-1,3) theo hướng của Q(2,4,5).



21. f .x;y/ D y2=x; .2; 4/:

22. f .p; q/ D qep C peq; .0; 0/:

23. f .x;y/ D sin.xy/; .1; 0/:

24. f .x;y; z/ D .x C y/=z; .1; 1;1/:

25. f .x;y; z/ Dp

x2 C y2 C z2; .3; 6;2/:

26. f .x;y; z/ D tan.x C 2y C 3z/; .5; 1; 1/:

27. a) Chứng minh rằng một hàm khả vi f giảm nhanh nhất tại!x theo hướngngược với vectơ gradient, nghĩa là, theo hướng rf .x/.

b) Sử dụng kết quả của câu a) để tìm hướng theo đó hàm số f .x;y/ Dx4y x2y3 giảm nhanh nhất tại điểm .2;3/.

28. Tìm hướng theo đó đạo hàm của f .x;y/ D yexy tại điểm .0; 2/ có giá trịlà 1.

29. Tìm tất cả các điểm mà tại đó hướng biến thiên nhanh nhất của hàm sốf .x;y/ D x2 C y2 2x 4y là

!i C!j :

30. Ở khu vực quanh một cái phao, độ sâu của một hồ nước tại điểm .x;y/ đượccho bởi z D 200C 0:02x2 0:001y3, với x; y; z đo theo đơn vị mét. Mộtngư dân trên một con thuyền nhỏ xuất phát tại điểm .80; 60/ và di chuyển vềphía cái phao, đặt tại .0; 0/. Khi anh ta di chuyển như vậy thì dưới thuyền trởnên sâu hơn hay nông hơn? Giải thích.

31. Nhiệt độ T tại một điểm bên trong một quả cầu kim loại, tỉ lệ nghịch vớikhoảng cách từ điểm đó đến tâm của quả cầu, được lấy làm gốc tọa độ. Nhiệtđộ tại điểm .1; 2; 2/ là 120ı.

a) Tìm tốc độ biến thiên của T tại .1; 2; 2/ theo hướng tiến đến điểm.2; 1; 3/.

b) Chứng minh rằng tại điểm bất kỳ bên trong quả cầu, hướng mà theo đónhiệt độ tăng nhanh nhất là hướng của vectơ từ điểm đang xét hướngđến tâm.

32. Nhiệt độ tại điểm .x;y; z/ được cho bởi công thức:

T .x;y; z/ D 2000ex23y29z2

với T được đo theo ıC và x; y; z đo theo mét.

a) Tìm tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại điểm P .2;1; 2/ theo hướng tiếnđến điểm .2; 1; 3/:


b) Theo hướng nào thì nhiệt độ tăng nhanh nhất tại P?

c) Tìm tốc độ tăng lớn nhất của nhiệt độ tại P.

33. Giả sử điện thế V trong không gian được cho bởi công thức V .x;y; z/ D

5x2 3xy C xyz:

a) Tìm tốc độ biến thiên của điện thế tại điểm P .3; 4; 5/ theo hướng củavectơ !v D

!i C!j !k .

b) Theo hướng nào V thay đổi nhanh nhất tại P?

c) Tốc độ biến thiên lớn nhất của V tại P là bao nhiêu?

34. Giả sử bạn đang trèo lên một ngọn đồi có địa hình được cho bởi phương trìnhz D 1000 0:005x2 0:01y2,ở đây x; y; z được đo bởi đơn vị mét, và bạnđang đứng tại một điểm .60; 40; 966/. Hướng dương của trục 0x là hướngĐông và hướng dương trục Oy là hướng Bắc.

a) Nếu đi về hướng nam, bạn sẽ lên cao hay xuống thấp? Và độ dốc tại đólà bao nhiêu?

b) Nếu đi về hướng Tây Bắc, bạn lên cao hay xuống thấp? Và độ dốc tạiđó là bao nhiêu?

c) Theo hướng nào thì độ dốc là lớn nhất, và độ dốc đó là bao nhiêu? Gócchỉ hướng đó là bao nhiêu so với phương Đông?

35. Cho f là hàm 2 biến có các đạo hàm riêng liên tục và cho các điểm A.1; 3/,B.3; 3/, C.1; 7/ và D.6; 15/. Đạo hàm của f tại A theo hướng của vectơ!AB là 3 và đạo hàm tại A theo hướng của vectơ

!AC là 26. Tìm đạo hàm của

f tại A theo hướng của vectơ!AD.

36. Với contour map cho dưới đây, hãy phác họa đường cong xuất phát từ P đếnQ sao cho lộ trình đi dốc nhất.

37. Chứng minh rằng toán tử gradient có những tính chất dưới đây, trong đó u vàv là các hàm theo biến x và y, khả vi, và a; b là những hằng số.


a) r.auC bv/ D aruC brv

b) r.uv/ D urv C vru

c) ru

v

Dvru urv

v2

d) run D nun1ru

38. Phác họa vectơ gradient rf .4; 6/ của hàm số f có contour map cho trướcdưới đây. Diễn giải cách chọn hướng và vẽ độ dài của vectơ.

39-44 Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc và phương trình đường thẳng vuônggóc với các mặt được cho dưới đây tại những điểm cụ thể.

39. 2.x 2/2 C .y 1/2 C .z 3/2 D 10; .3; 3; 5/

40. y D x2 z2; .4; 7; 3/

41. x2 2y2 C z2 C yz D 2; .2; 1;1/

42. x z D 4 arctan.yz/; .1C ; 1; 1/

43. z C 1 D xey cos z; .1; 0; 0/

44. yz D ln.y C z/; .0; 0; 1/

45. Nếu f .x;y/ D xy tìm vectơ gradient rf .3; 2/ và sử dụng nó để tìm tiếptuyến với đường cong f .x;y/ D 6 tại điểm .3; 2/. Vẽ phác họa độ cong, tiếptuyến và vectơ gradient.

46. Nếu g.x;y/ D x2 C y2 4x, tìm vectơ gradient rg.1; 2/ và sử dụng nóđể tìm tiếp tuyến với đường cong g.x;y/ D 1 tại điểm .1; 2/. Vẽ phác họađường cong, tiếp tuyến và vectơ gradient.

47. Chứng minh rằng phương trình mặt phẳng tiếp xúc với ellipsoid x2=a2 C

y2=b2 C z2=c2 D 1 tại điểm .x0;y0; z0/ có thể viết làxx0

a2C

yy0

b2C

zz0

c2D 1


48. Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với hyperboloid x2=a2 C y2=b2

z2=c2 D 1 tại điểm .x0;y0; z0/ và mô tả nó dưới một dạng tương tự như bàitập trên.

49. Chứng minh rằng phương trình mặt phẳng tiếp xúc với elliptic paraboloidz=c D x2=a2 C y2=b2 tại điểm .x0;y0; z0/ có thể viết là

2xx0

a2C

2yy0

b2D

z C z0

c

50. Điểm nào trên paraboloid y D x2C z2 có mặt phẳng tiếp xúc song song vớimặt phẳng x C 2y C 3z D 1?

51. Có bất kì điểm nào trên hyperboloid x2 y2 z2 D 1 mà mặt phẳng tiếpxúc tại điểm đó song song với mặt phẳng z D x C y?

52. Chứng minh rằng ellipsoid 3x2C 2y2C z2 D 9 và mặt cầu x2Cy2C z2

8x 6y 8z C 24 D 0 tiếp xúc với nhau tại điểm .1; 1; 2/(Nghĩa là chúngcó một mặt phẳng tiếp xúc chung tại điểm này.)

53. Chứng minh rằng bất kì mặt phẳng nào tiếp xúc với mặt nón x2 C y2 D z2

đều đi qua gốc tọa độ.

54. Chứng minh rằng mọi đường thẳng pháp tuyến của mặt cầu x2Cy2C z2 D

r2 đều đi qua tâm của mặt cầu.

55. Chứng minh rằng tổng của hoành độ, tung độ và cao độ trên các trục Ox, Oy,Oz bị chắn bởi bất kỳ mặt phẳng nào tiếp xúc với mặt

pxCp

yCp

z Dp

c

là một hằng số.

56. Chứng minh rằng những hình chóp được cắt từ khối tam diện vuông thứ nhấtbằng bất kì mặt phẳng tiếp xúc nào của mặt xyz D 1 tại những điểm nằmtrong khối tam diện vuông thứ nhất đều có cùng thể tích.

57. Viết phương trình tham số cho đường thẳng tiếp tuyến với đường cong giaotuyến giữa paraboloid z D x2 C y2 và ellipsoid 4x2 C y2 C z2 D 9, tạiđiểm .0 1; 1; 2/.

58. Mặt phẳng y C z D 3 cắt hình trụ x2 C y2 D 5 tạo thành thiết diện là mộtellipse. Tìm phương trình tham số cho đường thẳng tiếp tuyến của ellipse nàytại đểm .1; 2; 1/:

59. a) Hai mặt phẳng được gọi là orthogonal (trực giao) tại một điểm chungnếu hai đường thẳng pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau tạiđiểm chung này. Chứng minh rằng hai mặt phẳng F.x;y; z/ D 0 vàG.x;y; z/ D 0 là trực giao tại điểm chung P, với rF.P / ¤

!0 và

rG.P / ¤!0 , nếu và chỉ nếu

FxGx C FyGy C FzGz D 0 tại P


b) Sử dụng câu a) để chứng minh rằng mặt z2 D x2 C y2 và x2 C y2 C

z2 D r2 là trực giao tại mọi điểm chung. Bạn có thể giải thích điều nàytại sao đúng mà không cần tính toán không?

60. Chứng minh rằng hàm số f .x;y/ D 3p

xy là liên tục và tồn tại đạo hàmriêng fxvà fy tại gốc tọa độ, nhưng không tồn tại đạo hàm theo bất cứhướng nào khác với Ox, Oy.

61. Giả sử biết trước đạo hàm của f .x;y/ theo 2 hướng không song song của 2vectơ đơn vị !u và !v cho trước, tại một điểm P cho trước. Khi nào ta có thểtìm được rf tại điểm P? Trong trường hợp tìm được, hãy chỉ rõ cách tìm?

62. Chứng minh rằng nếu z D f .x;y/ là khả vi tại !x 0 D hx0;y0i thì

lim!x!!x 0

f .!x / f .!x 0/ rf .

!x 0/ .!x !x 0/ˇ!x !x 0

ˇ D 0

(Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa sự khả vi.)


1. Giả sử .1; 1/ là điểm tới hạn của một hàm f có đạo hàm cấp hai liên tục.Trong mỗi trường hợp, ta có thể nói gì về f ?

a) fxx.1; 1/ D 4; fxy.1; 1/ D 1; fyy.1; 1/ D 2

b) fxx.1; 1/ D 4; fxy.1; 1/ D 3; fyy.1; 1/ D 2

2. Giả sử .0; 2/ là điểm tới hạn của một hàm g có đạo hàm cấp hai liên tục.Trong mỗi trường hợp, ta có thể nói gì về g

a) gxx.0; 2/ D 1; gxy.0; 2/ D 6; gyy.0; 2/ D 1

b) gxx.0; 2/ D 1; gxy.0; 2/ D 2; gyy.0; 2/ D 8

c) gxx.0; 2/ D 4; gxy.0; 2/ D 6; gyy.0; 2/ D 9

3-4 Dựa vào các đường đồng mức trong hình, hãy đoán trước các điểm dừngcủa f , và f có điểm yên ngựa, cực đại hay cực tiểu tại mỗi điểm dừng haykhông. Giải thích. Sau đó kiểm chứng bằng điều kiện đủ của cực trị.

3. f .x;y/ D 4C x3 C y3 3xy


4. f .x;y/ D 3x x3 2y2 C y4

5-18 Tìm giá trị cực đại và cực tiểu địa phương và các điểm yên ngựa của hàm số.Nếu có phần mềm vẽ đồ thị 3 chiều, hãy vẽ đồ thị hàm với miền và góc nhìnsao cho thể hiện hết các phương diện quan trọng của hàm


5. f .x;y/ D 92xC4yx24y2

6. f .x;y/ D x3y C 12x2 8y

7. f .x;y/ D x4 C y4 4xy C 2

8. f .x;y/ D e4yx2y2

9. f .x;y/ D .1C xy/.x C y/

10. f .x;y/ D 2x3Cxy2C5x2Cy2

11. f .x;y/ D x3 12xy C 8y3

12. f .x;y/ D xy C1

xC

1

y

13. f .x;y/ D ex cos y

14. f .x;y/ D y cos x

15. f .x;y/ D .x2C y2/e.y2 x2/

16. f .x;y/ D ey.y2 x2/

17. f .x;y/ D y2 2y cos x; 1

x 7

18. f .x;y/ D sin x sin y; <

x < ; < x <

19. Chứng minh rằng f .x;y/ D x2 C 4y2 4xy C 2 có vô hạn điểm dừng vàD D 0 tại mỗi điểm. Tiếp đó, chứng minh f đạt cực tiểu tại mỗi điểm dừng.

20. Chứng minh f .x;y/ D x2yex2y2

có giá trị cực đại tại .˙; 1=p

2/ và giátrị cực tiểu tại .˙;1=

p2/. Chứng minh f cũng có rất nhiều điểm dừng

khác và D D 0 tại mỗi điểm đó. Hãy phân loại các điểm dừng này.

21-27 Tìm giá trị cực đại và cực tiểu tuyệt đối của f trên tập D.

21. f .x;y/ D 1C4x5y, D là miền tam giác đóng với 3 đỉnh .0; 0/; .2; 0/; .0; 3/

22. f .x;y/ D 3 C xy x 2y, D là miền tam giác đóng với đỉnh .1; 0/,.5; 0/, .1; 4/

23. f .x;y/ D x2 C y2 C x2y C 4, D D˚.x;y/

ˇjxj 1; jyj 1

24. f .x;y/ D x4 C y4 4xy C 2, D D

˚.x;y/

ˇ0 x 3; 0 y 2

25. f .x;y/ D xy2, D D

˚.x;y/

ˇx; y 0; x2 C y2 3

26. f .x;y/ D 2x3 C y4, D D

˚.x;y/

ˇx2 C y2 1

27. f .x;y/ D x3 3x y3 C 12y; D là tứ giác có các đỉnh là .2; 3/, .2; 3/,

.2; 2/, .2;2/.

28. Với những hàm số một biến, một hàm liên tục không thể có hai điểm cực đạiđịa phương mà không có điểm cực tiểu địa phương nào. Nhưng với nhữnghàm hai biến như vậy thì tồn tại. Chứng minh rằng hàm

f .x;y/ D .x2 1/2 .x2y x 1/2


chỉ có hai điểm tới hạn, nhưng có cực đại địa phương tại hai điểm đó. Tiếptheo, sử dụng máy tính vẽ đồ thị với miền và các điểm tìm được ở trước đểhình dung được điều nói trên.

29. Nếu một hàm số một biến liên tục trên một “interval” (tập được biểu diễntrên trục số có dạng đoạn, khoảng, tia v.v..) và chỉ có một điểm tới hạn, thìcực đại địa phương chính là cực đại tuyệt đối. Nhưng điều này không đúngvới hàm hai biến. Chứng minh hàm

f .x;y/ D 3xey x3

e3y

có chính xác một điểm dừng và f có cực đại địa phương tại đó nhưng khônglà cực đại tuyệt đối. Tiếp theo, sử dụng máy tính vẽ một đồ thị với miền phùhợp để hình dung được điều nói trên.

30. Tìm khoảng cách ngắn nhất từ điểm .2; 1;1/ đến mặt phẳng xCyz D 1:

31. Tìm điểm trên mặt phẳng x y C z D 4 gần nhất với điểm .1; 2; 3/:

32. Tìm điểm trên mặt nón z2 D x2 C y2 gần nhất với điểm .4; 2; 0/:

33. Tìm điểm trên mặt y2 D 9C xz gần nhất với gốc tọa độ.

34. Tìm 3 số dương có tổng là 100 và tích đạt cực đại.

35. Tìm 3 số dương có tổng là 12 và tổng bình phương của chúng nhỏ nhất.

36. Tìm thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu bán kính r .

37. Tìm kích thước của hộp chữ nhật có thể tích 1000 cm3 và có diện tích bề mặtnhỏ nhất.

38. Tìm thể tích của hình hộp chữ nhật lớn nhất trong tam diện vuông (octant)thứ nhất với 3 mặt nằm trong mặt phẳng tọa độ và một đỉnh thuộc mặt x C

2y C 3z D 6.

39. Tìm kích thước của hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất với tổng diện tíchbề mặt là 64 cm2.

40. Tìm kích thước của hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất sao cho tổng độdài 12 cạnh của nó là một hằng số c.

41. Đáy của một bể cá với thể tích V cho trước được làm bằng đá phiến và cácmặt bên làm bằng kính. Giả sử giá thành của đá gấp 5 lần (tính trên mỗi đơnvị diện tích) của kính. Hãy tìm kích thước của bể cá để làm tối thiểu giá thànhvật liệu.

42. Một thùng các-tông không có nắp có thể tích 32000 cm3. Tìm kích thước củathùng để làm tốn ít nhất lượng các-tông cần dùng.


43. Một tòa nhà hình hộp chữ nhật đang được thiết kế để làm giảm tối thiểusự mất nhiệt. Tường phía đông và phía tây làm thoát nhiệt với mức độ10 đơn vị/m2 mỗi ngày, tường phía bắc và nam với mức thoát nhiệt 8 đơn vị/m2

mỗi ngày, sàn nhà với mức độ 1 đơn vị/m2, mái nhà với mức độ 5 đơn vị/m2.Mỗi bức tường phải dài ít nhất 30 m và cao ít nhất 4 m và thể tích nhà phảiđạt chính xác 4000 m3.

a) Tìm và phác họa miền xác định của lượng nhiệt thất thoát như là mộthàm số theo độ dài của các cạnh.

b) Tìm kích thước của tòa nhà làm giảm tối thiểu sự mất nhiệt (kiểm tracác điểm dừng và những điểm trên biên của miền xác định).

c) Có thể thiết kế được một tòa nhà sao cho ít mất nhiệt mà không hạn chếchiều dài tường hay không?

44. Nếu chiều dài đường chéo hình hộp chữ nhật là L thì thể tích lớn nhất có thểlà bao nhiêu?

45. Ba gien đẳng vị A, B và O xác định 4 nhóm máu A (AA hoặc AO), B (BBhoặc BO), O (OO) và AB. Định luật Hardy-Weinberg phát biểu rằng tỉ lệ cáthể mang 2 gien khác nhau trong quần thể là

P D 2pq C 2pr C 2rq

với p; q; r là tỉ lệ của A, B, O trong quần thể. Dựa vào p C q C r D 1,

chứng minh P tối đa là2

3.

46. Giả sử một nhà khoa học có cơ sở để tin rằng 2 đại lượng x và y có quan hệtuyến tính với nhau, nghĩa là là y D mx C b. Nhà khoa học thực hiện thínghiệm đo đạc và thu được dữ liệu dưới dạng những điểm .x1;y1/, .x2;y2/,. . . , .xn;yn/ và sau đó vẽ những điểm này. Các điểm không nằm chính xáctrên một đường thẳng, vì thế nhà khoa học muốn tìm các hằng số m và b saocho đường thẳng y D mxC b “khớp” với các điểm đó tốt nhất có thể. (Xemhình vẽ)


Đặt di D y .mxi C b/ là độ lệch đứng của điểm .xi ;yi/ so với đườngthẳng. Phương pháp bình phương cực tiểu (Least squares) xác định m; b đểlàm tối thiểu

PnjD1 d2

j , tổng bình phương của các độ lệch này. Chứng minhrằng, theo phương pháp này, đường thẳng khớp tốt nhất tìm được với m, b

thỏa

m

nXiD1

xi C bn D

nXiD1

yi

m

nXiD1

x2i C b

nXiD1

xi D

nXiD1

xiyi

Nghĩa là, đường thẳng được tìm bằng việc giải 2 phương trình trên với 2 ẩnm và b. (Xem mục 1.2, J. Stewart, Calculus, 6th, để biết thêm chi tiết, cũngnhư như các ứng dụng của phương pháp “Least squares”.)

47. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm .1; 2; 3/ và cắt ra được phần thểtích nhỏ nhất trong góc phần tư thứ nhất.


1. Trong contour map của f , có đường cong g.x;y/ D 8. Hãy ước tính giá trịcực đại, cực tiểu của f với ràng buộc g.x;y/ D 8. Giải thích.

2-16 Sử dụng Nhân Tử Lagrange để tìm những giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của nhữnghàm số với những điều kiện ràng buộc cho trước sau đây.

2. f .x;y/ D x2 C y2I xy D 1


3. f .x;y/ D 4x C 6yI x2 C y2 D 13

4. f .x;y/ D x2yI x2 C 2y2 D 6

5. f .x;y/ D exy I x3 C y3 D 16

6. f .x;y; z/ D 2x C 6y C 10zI x2 C y2 C z2 D 35

7. f .x;y; z/ D 8x 4zI x2 C 10y2 C z2 D 5

8. f .x;y; z/ D xyzI x2 C 2y2 C 3z2 D 6

9. f .x;y; z/ D x2y2z2I x2 C y2 C z2 D 1

10. f .x;y; z/ D x2 C y2 C z2I x4 C y4 C z4 D 1

11. f .x;y; z/ D x4 C y4 C z4I x4 C y4 C z4 D 1

12. f .x;y; z; t/ D x C y C z C t I x2 C y2 C z2 C t2 D 1

13. f .x1;x2; : : : ;xn/ D x1 C x2 C C xnI x21C x2

2C C x2

n D 1

14. f .x;y; z/ D x C 2yI x C y C z D 1; y2 C z2 D 4

15. f .x;y; z/ D 3x y 3zI x C y z D 0; x2 C 2z2 D 1

16. f .x;y; z/ D yz C zxI xy D 1; y2 C z2 D 1

17-18 Tìm những cực trị tuyệt đối trên miền được cho bởi bất đẳng thức.

17. f .x;y/ D 2x2 C 3y2 4x 5; x2 C y2 16

18. f .x;y/ D exy ; x2 C 4y2 1

19. Xét bài toán giá trị lớn nhất của hàm số f .x;y/ D 2x C 3y với điều kiệnràng buộc

px Cp

y D 5

a) Thử sử dụng nhân tử Lagrange để giải bài toán này.

b) Giá trị f .25; 0/ có lớn hơn giá trị tìm được ở câu a?

c) Hãy vẽ đường cong có phương trình điều kiện và vẽ vài đường đồngmức của hàm f , dựa vào đó, đoán xem f đạt cực đại ở đâu.

d) Giải thích tại sao phương pháp nhân tử Lagrange không giải được bàitoán này.

e) Ý nghĩa của f .9; 4/ là gì?

20. Xét bài toán giá nhỏ nhất của hàm số f .x;y/ D x với điều kiện ràng buộcy2 C x4 x3 D 0 (hình trái lê)


a) Thử dùng nhân tử Lagrange để giải bài toán này.

b) Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất là f .0; 0/ D 0 nhưng điều kiệnLagrange rf .0; 0/ D rg.0; 0/ không thõa mãn với bất kì giá trị nàocủa

c) Giải thích tại sao phương pháp nhân tử Lagrange không giải được giátrị nhỏ nhất trong trường hợp này.

21. Tổng sản lượng P của một sản phẩm nào đó phụ thuộc vào số lao độngđược sử dụng L và lượng vốn đầu tư K. Mô hình Cobb-Douglas là P D

bL˛K1˛, được rút ra từ một số giả định kinh tế, trong đó b và ˛ là hằng sốdương và ˛ < 1. Nếu chi phí của một đơn vị lao động là m và chi phí của mộtđơn vị vốn là n, và khả năng ngân sách của công ty chi tối đa p đô la cho sảnxuất, thì giá trị lớn nhất của P phải thỏa điều kiện ràng buộc mLCnK D p.Chứng minh rằng tổng sản lượng lớn nhất xảy ra khi

L D˛p

mvà K D

.1 ˛/p

m

22. Xem lại Bài tập 21, nhưng bây giờ ta giả sử rằng sản lượng được cố định ởmức bL˛K1˛ D Q, Q là hằng số. Giá trị của L, K là bao nhiêu sao chohàm chi phí C.L;K/ D mLC nK đạt giá trị nhỏ nhất?

23. Sử dụng Nhân Tử Lagrange chứng minh rằng: Trong các hình chữ nhật cócùng chu vi p, hình vuông có diện tích lớn nhất.

24. Sử dụng Nhân Tử Lagrange chứng minh rằng: Trong các hình tam giác cócùng chu vi p, hình tam giác đều là hình tam giác có diện tích lớn nhất.Hướng dẫn: Sử dụng công thức diện tích Heron:A D

ps.s x/.s y/.s z/ với s D p=2 và x; y; z là độ dài ba cạnh

tam giác.

25-37 Sử dụng Nhân Tử Lagrange như là cách giải khác, ngắn gọn hơn, cho các bàitập trong mục G:

25. Bài 30

26. Bài 31

27. Bài 32

28. Bài 33

29. Bài 34

30. Bài 35

31. Bài 36

32. Bài 37

33. Bài 38

34. Bài 39

35. Bài 40

36. Bài 41

37. Bài 44

38. Tìm thể tích lớn nhất và nhỏ nhất của một hình hộp chữ nhật có diện tích bềmặt 1500 cm2 và tổng độ dài các cạnh là 200 cm.

39. Mặt phẳng xC yC 2z D 2 cắt paraboloid z D x2C y2 tạo thành thiết diệnlà một ellipse. Tìm những điểm nằm trên ellipse có khoảng cách đến gốc tọa


độ gần nhất, xa nhất.

40. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

f .x1;x2; : : : ;xn/ Dnp

x1x2 : : :xn

biết rằng x1; x2; : : : ; xn là những số dương và x1Cx2C Cxn D c,c là hằng số.

b) Áp dụng kết quả câu a, nếu x1; x2; : : : ; xn là những số dương thì

np

x1x2 xn x1 C x2 C C xn

n

Bất đẳng thức này nói rằng: căn bậc n của n số dương không lớn hơntrung bình cộng của những số đó. Khi nào xảy ra dấu bằng?

41. a) Tìm giá trị lớn nhất của hàm sốPn

iD1 xiyi với những điều kiện ràngbuộc

PniD1 x2

i D 1 vàPn

iD1 y2i D 1

b) Đặt

xi DaiqP

a2j

và yi DbiqP

b2j

Chứng minh rằng:

Xaibi

rXa2

j

rXb2

j

cho a1; a2; : : : ; an; b1; b2; : : : ; bn là những số thực bất kì. Bất đẳngthức này có tên gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwartz.

Documents

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN · o Sinh viên cần nhớ, nắm rõ định nghĩa và áp dụng được các tính chất, định lý. Sinh viên nên tự trang bị