複雑磁気構造と群論岸根順一郎（放送大学）

新潟大学集中講義

凝縮系理論（特に電子系の理論）

1. 結晶構造と電子状態2. モデル構築3. 安定（基底）状態4. 素励起5. 応答

構造～対称性・表現・不変量～

※構造 ＝ 結晶構造、磁気構造

込み入った話をはじめるまえに

目の子で磁気構造が予想（想像？）できるのは、ユニットセルにせいぜい磁性原子２個まで

単純か複雑か

Landau理論

Energetics

Symmetry

物質科学の理論 ⊂ 物性理論

生物物質科学

細かい構造は積極的に捨象

⇒ 物理現象としての普遍性

(More is different, P. W. Anderson)

原子軌道ミクロな素過程

結晶

化学モジュールの高設計性/多様性

Architecture/Diversity物性・機能

Functionality

物理

物理と化学

Universality

分子軌道

錯体

磁気構造Ferro Antiferro

TriangularCanted Ferro

Sinusoidal

Cycloidal

Helical

Conical

基底 と 伝播ベクトル

)(2211 ˆˆ, trkieEEtrE

例：偏光

)sin(,Re

)cos(,Re

ˆˆ,

0

0

)(210

trkEtrE

trkEtrE

eiEtrE

y

x

trki

＋右回り円偏光－左回り円偏光

tki

kjkjem

,,

磁気モーメント基底ベクトル

伝播ベクトル

磁気構造 ＝ 基底 ＋ 伝播ベクトル

特定の波数

特定の既約表現

並進ベクトル

ゼロブロック内のどの磁性原子か

※2次相転移の場合だけ考える※不変性理論と表現論

tkitki

tkim

sin''cos'

exp

取り出す実部を

磁気構造の分類

''' i

基底ベクトルは一般に複素数

複雑磁気構造決定のレシピ

Step 1. 結晶空間群Ｇ、磁性原子のワイコフ位置決定

Step 2. 伝播ベクトルkを適当に仮定する

Step 3. k を不変にする群（k群）Ｇｋを定める

Step 4. 磁性原子の巡回群Gpermを定める

Step 5. 軸性ベクトル群Gaxialを定める

Step 6. Gperm×GaxialをＧｋの既約表現に分解する

Step 7. 各既約表現ごとに基底ベクトルを作る（射影演算子法）

Step 8. 基底 ＋ k ＝ 磁気構造！

Step 9. 磁気構造の候補を安定化する模型を作って解析、磁化データなどなどと比較して整合性をチェッ

ク

中性子で決まり

結晶構造データだけで可能な磁気構造をご提案します

Not invariance but representation

既約分解

対称性と適合した既約表現空間＝可能な正しい磁気構造の基底

電気分極、原子変位→ 極性ベクトル

反転操作に対して不変 鏡面成分が反転

z

y

x

z

y

x

M

M

M

M

M

M

I

100

010

001

)det(

z

y

x

z

y

x

P

P

P

P

P

P

100

010

001

ji rrg

)(

Ex. 対称操作gによって① → ②③ → ④

4

3

2

1

0100

1000

0001

0010

3

4

1

2

0Tr PWyckoff

指標

axialWycoffmagnetic

axialWycoffmagnetic

磁気構造表現 Wycoff巡回表現

軸性ベクトル表現

表現の指標

nmagnetic

K群の既約表現に既約分解

同じ表現が何回現れるか

k

magnetic

Ggk

ggGn

n*1

K群の要素 K群の要素 Wyckoff 軸性変換 試行基底

kGg i

giii gggD

det)( ,

*

,

Cu

Cu

Cu

Cu

CuB2O4 : 結晶構造

CuB2O4 : スピン

S=1/2

S=1/2

S=1/2

S=1/2

4b4b

8d

CuB2O4 : Cuのワイコフ位置

8d

結晶構造＝zeroth block + 並進操作

結晶学

International Table of Crystallography

centering

Zeroth block

Zeroth blockに含まれる磁性原子に磁気フレームが貼りつく

ふたつの orbit

k群

4321 22 ACu

magnetic

)sin(

)cos()(,

)sin(

)cos()(

)(,)(

2211

1

22

2

11

zq

zqmkm

zq

zqmkm

c

cekm

c

ckm

z

zAA

z

zAA

iAA

Magnetic structure

)0,0,(Try akk

Ferro

Antiferro

Helix

Anti-spiral possible!

dI 24

Anti-chiral spiral ?

Mirror

)4/3,0,2/(| cad

Magnetic frames formA chiral pair

２次相転移のランダウ理論

２次相転移では、臨界的になる表現の基底ベクトルの線形結合が対称性の観点から許される

Ferromagnet Antiferromagnet Triangular

Canted Ferromagnet

Sinusoidal

Cycloidal

Helical

Conical

基底 と 伝播ベクトル

)(2211 ˆˆ, trkieEEtrE

例：偏光

)sin(,Re

)cos(,Re

ˆˆ,

0

0

)(210

trkEtrE

trkEtrE

eiEtrE

y

x

trki

＋右回り円偏光－左回り円偏光