フロンティア材料研究所 神谷利夫

元素戦略研究センター 松石 聡

統計力学 (C)

授業評価アンケート

今回は神谷担当分: 「複数教員連番」は１

・ 講義の最後に１０分ほど時間を取ります

・ 裏面の「アンケートの趣旨」を読んでください

・ 「申告番号」は記入する必要はありません

・ 原則として欠席は認めない

・ 理由がある場合、7/22までにtkamiya@msl.titech.ac.jp

あてに理由を連絡すること。

(サークルの大会等がある場合、大会名、開催日時・場所を含む)

試験の欠席

講義予定9/23 金 神谷 第1回熱力学第一法則

9/30 金 神谷 第2回カルノーサイクル、熱力学第二法則、熱力学関数

10/ 4 火 松石 第3回気体分子運動論

10/11 火 松石 第4回古典統計力学の基礎 I (気体分子運動論とMaxwell-Bolｔzmann分布)

10/14 金 松石 第5回古典統計力学の基礎 II (微視的状態の数、エルゴード仮設、Boltzmann分布)

10/18 火 松石 第6回 カノニカル分布とグランドカノニカル分布

10/21 金 松石 第7回 量子統計力学の基礎 I (Pauliの排他律、Fermi-Dirac分布)10/25 火 松石 第8回 量子統計力学の基礎 II (Bose-Einstein分布)10/28 金 神谷 第9回 理想Bose気体、固体の比熱 (Einstein、Debyeの比熱式)11/ 1 火 神谷 第10回光子と黒体放射、 Bose-Einstein凝縮

11/ 4 金 神谷 第11回理想Fermi気体、金属中の電子

11/ 8 火 未定 第12回休講

11/11 金 神谷 第13回半導体中の電子

11/15 火 神谷 第14回金属/半導体接合、Boltzmannの輸送方程式、

スピン系の磁化率

11/25 金 試験 (7-8限、S621)

出題範囲講義資料ダウンロード: http://conf.msl.titech.ac.jp/StatisticsC.html

(松石先生資料パスワード: u6mz9axb)・ 出題範囲は基本的に教科書の範囲

ただし、Einsteinモデル＋量子統計の比熱は含む

・ 基本的な考え方の理解を重視

・ 数式展開を暗記しないといけない問題は出さない。

・ ただし、基本的な考え方に必要な数式、たとえば

W、Stirlingの式、Boltzmannの原理、統計分布関数の形と使い方、

は出題範囲。

・ 公式を覚えていないとわからない (不定)積分などは試験問題中で与える

・ 統計力学の応用での出題範囲

＊分子の運動（並進、回転、振動）

＊固体の比熱（古典統計、等分配則、Einsteinモデル、Debyeモデル）

＊Bose粒子の特徴 （Bose-Einstein凝縮含む）

＊金属中の電子 (Fermi波数/エネルギー、電子比熱)＊極性分子の分極率、スピン系の磁化率 (2準位系)

どうやってEFを決めるか

EV EC

( ) CCC EEDED −= 0

( )EED

ED

VV

V

−= 0

EDEA

NA ND

EF

( )Fe EEf ,

価電子帯 伝導帯

非縮退半導体 𝛽𝛽 𝐸𝐸 − 𝐸𝐸𝐹𝐹 >>1 𝑛𝑛𝑒𝑒 = 𝑁𝑁𝐶𝐶exp(−𝛽𝛽 𝐸𝐸𝐶𝐶 − 𝐸𝐸𝐹𝐹 )𝑛𝑛ℎ = 𝑁𝑁𝑉𝑉exp(−𝛽𝛽 𝐸𝐸𝐹𝐹 − 𝐸𝐸𝑉𝑉 )𝑁𝑁𝐷𝐷+~𝑁𝑁𝐷𝐷exp(−𝛽𝛽 𝐸𝐸𝐹𝐹 − 𝐸𝐸𝐷𝐷 ) (𝛽𝛽 𝐸𝐸𝐹𝐹 − 𝐸𝐸𝐷𝐷 ≫ 1)𝑁𝑁𝐴𝐴− ~𝑁𝑁𝐴𝐴exp(−𝛽𝛽 𝐸𝐸𝐴𝐴 − 𝐸𝐸𝐹𝐹 ) (𝛽𝛽 𝐸𝐸𝐴𝐴 − 𝐸𝐸𝐹𝐹 ≫ 1)

電荷中性条件 ne + NA- = nh + ND

+ => EF

エネルギー

状態

密度

Fermiエネルギーの温度依存性

N型半導体 (電子)𝑬𝑬𝑭𝑭 = 𝑬𝑬𝑪𝑪+𝑬𝑬𝑫𝑫

𝟐𝟐+ 𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻

𝟐𝟐𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝑵𝑵𝑫𝑫

𝜶𝜶𝑵𝑵𝑪𝑪

P型半導体 (正孔)𝑬𝑬𝑭𝑭 = 𝑬𝑬𝑽𝑽+𝑬𝑬𝑨𝑨

𝟐𝟐− 𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻

𝟐𝟐𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝑵𝑵𝑨𝑨

𝜶𝜶𝑵𝑵𝑽𝑽

注: ドナー・アクセプターの電子相関を考慮すると、縮退度に応じて 𝜶𝜶が1ではなくなる

化学平衡: µの異なる物質を接触させると

nG∂∂

=µ ある粒子を1つ系に加えるのに必要な仕事ある粒子を系から1つ取り除くのに必要な仕事

違う化学ポテンシャルの物質を接合したら・・・

µAµB

( ) 0<+−=∆ BAnG µµδになるまで、物質移動が続くBA µµ =

µA µB

e-

+++

–––

Schottky接触 (Vbi, φSB > 0) Ohmic接触 (Vbi, φSB < 0)

EF

φSBxs

εvacφs

Ev

EcEFS

EFM εFMEc

Ev

EFSεc

εv

εFS

φSB = φs – χs qVbi = φSB – (EC – EFS)

qVd = φM – φ s

金属

(M)

n型半導体(S)

n型半導体(S)

金属

(M)

n型半導体(S)

金属

(M)

内部熱電子放出：金属－半導体接合 (Schottky接合)

Evac

Ec

EV

接合電子構造の描き方 (Shottky-Mott則)

EF

n型 金属

Vbi

n型

Schottky接合

φSB

金属

VbiφSB

∆vac = Vbi

EF EF EF

空乏

層

E = 0 E ≠ 0 E = 0

EF

内部熱電子放出

金属 N型半導体(熱電子放出では真空)

𝒋𝒋𝒙𝒙 = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝟐𝟐𝒆𝒆−𝝓𝝓𝑺𝑺𝑩𝑩𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻 (8.87)

EC: 伝導帯下端(熱電子放出では真空準位 EVac)

e-

φSB: Schottky障壁高さ(熱電子放出では仕事関数 W)

0 5 10 15 20

EF –eEx

φSB

∆φSB

φeff

2×107

1×106 E = 3×105 V/m

1×107

Eexm πε16

=

Schottky接合の内部熱電子放出電流

-e+e導体表面の電位が一定になる条件から、鏡像電荷を考える

𝒋𝒋𝒙𝒙 = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝟐𝟐𝒆𝒆−𝝓𝝓𝑺𝑺𝑩𝑩𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻𝒆𝒆

𝒆𝒆𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻

𝒆𝒆𝑬𝑬𝟒𝟒𝝅𝝅𝜺𝜺

e-

金属 N型半導体

EC: 伝導帯下端

電子分布: V = 0

EV,n

EF,n

Dcfe

0~)( , SBnCvacn EEnn φ+>−

N型半導体

ne,n(E > EC,p) ~ ne,p, しかし正確な ne,n(E > EC,p) は ne,p より少し多い

拡散電流の過剰分は空乏層中のドリフト電流で相殺されている。

+++

xn

−+−

kTEE

Nn mFSBCcn

,exp~φ

金属

φSB

DC(E)

fe(E)fe(E)

EC,n

DC(E)

−+−

kTEE

Nn mFSBCcvac

,exp~φ

EF,m

電子分布: V = 0

EV,n

EF,n

Dcfe

−

+>−∝ 1exp~)()( , kT

eVNEEnnVj cSBmFvacn φ

N型半導体

+++

xn

−++−−

kTEEeV

Nn mFSBCcn

,exp~φ

金属

φSB

DC(E)

fe(E)fe(E)

EC,n

DC(E)

−+−

kTEE

Nn mFSBCcvac

,exp~φ

VEF,m

逆方向電流

𝒋𝒋𝒙𝒙 = 𝑨𝑨∗𝑻𝑻𝟐𝟐𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝝓𝝓𝑺𝑺𝑩𝑩𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻

𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 𝒆𝒆𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻

𝒆𝒆𝑬𝑬𝟒𝟒𝝅𝝅𝜺𝜺

順方向電流

𝒋𝒋𝒙𝒙 = 𝑨𝑨∗𝑻𝑻𝟐𝟐𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝝓𝝓𝑺𝑺𝑩𝑩𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻

𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 𝒆𝒆𝑽𝑽𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻

− 𝟏𝟏

𝑨𝑨∗ = 𝟒𝟒𝝅𝝅𝒎𝒎∗𝒎𝒎𝒆𝒆𝒌𝒌𝑩𝑩𝟐𝟐

𝒉𝒉𝟑𝟑= 119.6𝒎𝒎∗ A/(cm2K2)

有効Richardson-Dashman定数

Schottky接合のJ-V特性

-1 -0.5 0 0.5 110

-1210-1110-1010

-910-810-710-610-510-410-310-210-1100101102103104

Voltage / V

Cur

rent

/ A

Schottkyp/n

熱平衡状態での計算手順

1. パラメータ (me*) を決める

2. 関連する定数 (Nc, Dc0など) を計算する

3. 状態密度 D(E) を計算する

4. 0 K で中性の状態を考え、考えているエネルギー範囲での電子数 Ne を計算する (電荷中性条件)。

5. EF が場所によらず一定として、バンド図を描く。CBM, VBMの位置依存性 ECBM(x), EVBM(x) を決める。

6. ECBM(x), EVBM(x) から過剰電荷密度ρe(x) = Ncexp(–(ECBM(x) – EF) / kBT)ρh(x) = Nvexp(–(EF – EVBM(x) / kBT)

を計算する。

7. Possisonの方程式d2ECBM(x) / dx2 = e(-ρe(x)+ρh(x)+ND

+(x)-NA-(x)) /ε

を満足するように、5, 6 を自己無撞着に解く。

§3.7 Boltzmannの輸送方程式: 非平衡状態P. 72

非平衡状態: 分布関数が f(E) からずれている => f(E) の時間変化を与える方程式

・ 時刻 𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡 で 𝒓𝒓 𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡 , 𝒌𝒌(𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡) の状態にある電子は、時刻 𝑡𝑡 では 𝒓𝒓 𝑡𝑡 , 𝒌𝒌 𝑡𝑡 の状態にあった

𝒅𝒅𝒅𝒅(𝒕𝒕)𝒅𝒅𝒕𝒕

= 𝒅𝒅 𝒕𝒕+Δ𝑡𝑡,𝒓𝒓 𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡 , 𝒗𝒗 𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡 −𝒅𝒅(𝒕𝒕, 𝒓𝒓 𝑡𝑡),𝒗𝒗(𝑡𝑡) )Δ𝑡𝑡

= 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒓𝒓 𝒕𝒕,𝒌𝒌

� 𝝏𝝏𝒓𝒓𝒅𝒅𝒕𝒕

+ 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒌𝒌 𝒕𝒕,𝒓𝒓

� 𝝏𝝏𝒌𝒌𝒅𝒅𝒕𝒕

+ 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒕𝒕 𝒌𝒌,𝒗𝒗

= − 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒓𝒓 𝒕𝒕,𝒌𝒌

� 𝒗𝒗 𝒕𝒕 − 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒌𝒌 𝒕𝒕,𝒓𝒓

� 𝑭𝑭ℏ

+ 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒕𝒕 𝒌𝒌,𝒗𝒗

𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒕𝒕 𝒌𝒌,𝒗𝒗

は散乱の効果を含むので、 𝒅𝒅𝟎𝟎 を平衡状態の分布関数として

𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒕𝒕 𝒌𝒌,𝒗𝒗

~ − 𝒅𝒅−𝒅𝒅𝟎𝟎𝝉𝝉

と近似する (緩和時間近似, 符号は分布関数が回復するようにとる)

𝒅𝒅𝒅𝒅(𝒕𝒕)𝒅𝒅𝒕𝒕

= −𝒗𝒗 𝒕𝒕 � 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒓𝒓 𝒕𝒕,𝒌𝒌

− 𝑭𝑭ℏ� 𝝏𝝏𝒅𝒅

𝝏𝝏𝒌𝒌 𝒕𝒕,𝒓𝒓− 𝒅𝒅(𝒕𝒕,𝒓𝒓,𝒌𝒌)−𝒅𝒅𝟎𝟎(𝒓𝒓,𝒌𝒌)

𝝉𝝉(𝒌𝒌)拡散項 ドリフト項 散乱項

定常状態: 𝒗𝒗 𝒕𝒕 � 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒓𝒓 𝒕𝒕,𝒌𝒌

+ 𝑭𝑭ℏ� 𝝏𝝏𝒅𝒅

𝝏𝝏𝒌𝒌 𝒕𝒕,𝒓𝒓= −𝒅𝒅(𝒓𝒓,𝒌𝒌)−𝒅𝒅𝟎𝟎(𝒓𝒓,𝒌𝒌)

𝝉𝝉(𝒌𝒌)Boltzmann-Blochの方程式

太田英二、坂田亮著、半導体の電子物性工学、裳華房

電気伝導度: Boltzmann方程式の応用

𝒗𝒗 𝑡𝑡 � 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝒓𝒓 𝑡𝑡,𝒌𝒌

+ 𝑭𝑭ℏ� 𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝒌𝒌 𝑡𝑡,𝒓𝒓= −𝑓𝑓(𝒓𝒓,𝒌𝒌)−𝑓𝑓0(𝒓𝒓,𝒌𝒌)

𝜏𝜏(𝑘𝑘)

空間的に均一な場合は左辺第一項が 0。均一な電界 E が電子 (電荷 –e) にかかっている場合は

−𝑓𝑓 𝑡𝑡,𝒌𝒌 −𝑓𝑓0 𝒌𝒌𝜏𝜏 𝒌𝒌

= 𝑭𝑭ℏ� 𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝒌𝒌 𝒕𝒕,𝒓𝒓= −𝑒𝑒 𝑬𝑬

ℏ� 𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝒌𝒌 𝒕𝒕,𝒓𝒓= − 𝒆𝒆

ℏ𝑬𝑬 � 𝜕𝜕𝜀𝜀 𝒌𝒌

𝜕𝜕𝒌𝒌𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝜀𝜀

= −𝑒𝑒𝑬𝑬 � 𝒗𝒗(𝒌𝒌) 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝜀𝜀

𝒅𝒅 𝒕𝒕,𝒌𝒌 − 𝒅𝒅𝟎𝟎 𝒌𝒌 = 𝑒𝑒𝜏𝜏 𝑘𝑘 𝑬𝑬 � 𝒗𝒗(𝒌𝒌) 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝜀𝜀

電子密度は 𝑛𝑛 = ∫𝑓𝑓0 𝒌𝒌 𝑑𝑑𝒌𝒌 = ∫𝑓𝑓 𝒌𝒌 𝑑𝑑𝒌𝒌であり、 電子の速度平均 v は

𝒗𝒗 = ∑ 𝒗𝒗 𝒌𝒌 𝑓𝑓 𝒌𝒌∑ 𝑓𝑓 𝒌𝒌

= ∫ 𝒗𝒗 𝒌𝒌 𝒅𝒅 𝒌𝒌 𝒅𝒅𝒌𝒌

∫ 𝒅𝒅 𝒌𝒌 𝒅𝒅𝒌𝒌= 𝒆𝒆

∫ 𝒗𝒗(𝒌𝒌) 𝑬𝑬�𝒗𝒗(𝒌𝒌) 𝝉𝝉 𝒌𝒌 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝜺𝜺𝒅𝒅𝒌𝒌+∫ 𝒗𝒗(𝒌𝒌) 𝑬𝑬�𝒗𝒗(𝒌𝒌) 𝝉𝝉 𝒌𝒌 𝝏𝝏𝒅𝒅𝟎𝟎

𝝏𝝏𝜺𝜺 𝒅𝒅𝒌𝒌

𝒏𝒏

熱平衡状態 f0 では速度平均は 0なので、右辺分子第二項は０。

E を x に並行とし、v(k) の x 方向成分だけを考えて ( 𝒗𝒗𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝜀𝜀

𝟑𝟑𝒎𝒎)

𝒗𝒗 = −𝑒𝑒𝑬𝑬∫ 𝒗𝒗𝒙𝒙 𝒌𝒌 𝟐𝟐𝜏𝜏 𝒌𝒌 𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝒌𝒌

𝒏𝒏= − 𝑒𝑒

𝑚𝑚23

∫ 𝜀𝜀𝐷𝐷(𝜀𝜀) 𝜏𝜏 𝜀𝜀 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝜀𝜀

𝒏𝒏𝑬𝑬

太田英二、坂田亮著、半導体の電子物性工学、裳華房

電気伝導度: Boltzmann方程式の応用

E を x に並行とし、v(k) の x 方向成分だけを考えて

𝒗𝒗 = − 𝑒𝑒𝑚𝑚23

∫ 𝜀𝜀𝐷𝐷(𝜀𝜀) 𝜏𝜏 𝜀𝜀 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝜀𝜀

𝒏𝒏𝑬𝑬 = 𝜇𝜇𝑬𝑬

𝜏𝜏 = −23

∫ 𝜀𝜀𝜏𝜏 𝜀𝜀 𝐷𝐷(𝜀𝜀)𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝜀𝜀

𝒏𝒏: 緩和時間 (散乱時間) の平均値

𝜇𝜇 = 𝑒𝑒 𝜏𝜏𝑚𝑚

: 移動度

電流 𝑱𝑱 = −𝑒𝑒𝑛𝑛𝒗𝒗電気伝導度 𝜎𝜎 = 𝑒𝑒𝑛𝑛𝜇𝜇

𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝜺𝜺

~ − 𝜹𝜹 𝜺𝜺 − 𝑬𝑬𝑭𝑭 を使うと

𝝉𝝉 = 𝟐𝟐𝟑𝟑𝑬𝑬𝑭𝑭𝑫𝑫(𝑬𝑬𝑭𝑭)

𝒏𝒏𝝉𝝉 𝑬𝑬𝑭𝑭 = 𝝉𝝉 𝑬𝑬𝑭𝑭 (𝒏𝒏𝒆𝒆 = 𝟐𝟐

𝟑𝟑𝑬𝑬𝑭𝑭𝑫𝑫 𝑬𝑬𝑭𝑭 §8.1 より)

𝝉𝝉 が 𝛿𝛿 𝜀𝜀 − 𝐸𝐸𝐹𝐹 で決まるように、 EF 付近の電子のみが散乱時間と移動度を決定している。

ここででてくる自由電子密度 n は𝑛𝑛 = ∫𝑓𝑓0 𝒌𝒌 𝑑𝑑𝒌𝒌 = ∫𝑓𝑓 𝒌𝒌 𝑑𝑑𝒌𝒌であり、伝導帯内の全ての電子数。

𝝉𝝉 の式は、 𝐷𝐷(𝜀𝜀) 内のすべての電子が 𝜏𝜏 𝐸𝐸𝐹𝐹 でふるまうように見えるが、この結果が出るのは伝導帯の E(k) が双曲線型のときのみ。

太田英二、坂田亮著、半導体の電子物性工学、裳華房G. Grosso, G.P. Parravicini著、安食博志 訳、固体物理学、吉岡書店

その他: Boltzmann方程式の応用

電気伝導度 𝝈𝝈 = 𝒆𝒆𝒏𝒏𝝁𝝁

電子密度 𝒏𝒏 = ∫𝑫𝑫(𝜺𝜺)𝒅𝒅𝟎𝟎 𝜺𝜺 𝒅𝒅𝜺𝜺 = ∫𝑫𝑫(𝜺𝜺)𝒅𝒅 𝜺𝜺 𝒅𝒅𝜺𝜺

緩和時間のべき乗 𝝉𝝉𝒌𝒌 = −𝟐𝟐𝟑𝟑

∫ 𝜺𝜺𝝉𝝉 𝜺𝜺 𝒌𝒌𝑫𝑫(𝜺𝜺)𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝜺𝜺𝒅𝒅𝜺𝜺

𝒏𝒏

移動度 (ドリフト移動度) 𝝁𝝁 = 𝒆𝒆 𝝉𝝉𝟏𝟏

𝒎𝒎

Hall効果

Hall因子 𝜼𝜼𝐇𝐇𝐇𝐇𝐥𝐥𝐥𝐥＝ 𝝉𝝉𝟐𝟐 / 𝝉𝝉𝟏𝟏 𝟐𝟐

Hall移動度 𝝁𝝁𝐇𝐇𝐇𝐇𝐥𝐥𝐥𝐥 = 𝜼𝜼𝐇𝐇𝐇𝐇𝐥𝐥𝐥𝐥𝝁𝝁Hall電子密度 𝒏𝒏𝐇𝐇𝐇𝐇𝐥𝐥𝐥𝐥 = 𝒏𝒏/𝜼𝜼𝐇𝐇𝐇𝐇𝐥𝐥𝐥𝐥

𝜼𝜼𝐇𝐇𝐇𝐇𝐥𝐥𝐥𝐥 は散乱機構 (𝝉𝝉 𝜺𝜺 ) によって変わり 0.9 ~ 2 程度の値を取る。

Hall効果には 𝑫𝑫(𝜺𝜺) 内の電子が寄与している。

坂田亮編集、熱電変換工学－基礎と応用－、REALIZE INC.

§5.3 極性気体: 古典論による分極率P. 106

HFなどの異種2原子分子: H が +q|e| に、F が -q|e| に帯電して、

電気双極子 p0 = qd (dは結合方向のベクトル) をもつ。

(極性気体 無極性気体 H2, CO2)

５－３図のように電場 E が z方向にかかり、p0 が z軸から 𝜽𝜽傾いている場合：

𝑼𝑼𝒑𝒑 = −𝒑𝒑𝟎𝟎 � 𝑬𝑬 = −𝒑𝒑𝟎𝟎𝑬𝑬𝐜𝐜𝐥𝐥𝐜𝐜𝜽𝜽 (5.28)

分極 P: 単位体積中の双極子モーメントの和

𝑃𝑃 = 𝑁𝑁𝑉𝑉∫ 𝑝𝑝0cos𝜃𝜃�exp 𝛽𝛽𝑝𝑝0𝐸𝐸cos𝜃𝜃 sin𝜃𝜃𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜑𝜑

∫ exp 𝛽𝛽𝑝𝑝0𝐸𝐸cos𝜃𝜃 sin𝜃𝜃𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜑𝜑

𝛽𝛽𝑝𝑝0𝐸𝐸 = 𝛼𝛼, cos𝜃𝜃 = 𝑥𝑥 と置換して 𝜑𝜑について積分し、

𝑃𝑃 = 𝑁𝑁𝑉𝑉𝑝𝑝0

∫𝑥𝑥exp 𝛼𝛼𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

∫ exp 𝛼𝛼𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

部分積分から ∫𝑥𝑥 exp 𝛼𝛼𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = exp 𝛼𝛼𝑥𝑥𝛼𝛼2

𝑎𝑎𝑥𝑥 − 1 なので、

𝑷𝑷 = 𝑵𝑵𝑽𝑽𝒑𝒑𝟎𝟎𝑳𝑳 𝜶𝜶 (5.49)

𝑳𝑳 𝜶𝜶 = 𝐜𝐜𝐥𝐥𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶 − 𝟏𝟏𝜶𝜶

Langevin関数

５－３図 電場中の電気双極子

５－４図 極座標

５－６図 Langevin関数

§5.5 極性気体の分極: 古典論による分極率P. 113

誘電感受率𝝌𝝌の定義 𝑷𝑷 = 𝝌𝝌𝑬𝑬 = 𝑵𝑵𝑽𝑽𝒑𝒑𝟎𝟎𝑳𝑳 𝜷𝜷𝒑𝒑𝟎𝟎𝑬𝑬 (5.49)

𝐿𝐿 𝛼𝛼 = coth 𝛼𝛼 − 1𝛼𝛼

Langevin関数

coth 𝛼𝛼 = 𝑒𝑒𝛼𝛼+𝑒𝑒−𝛼𝛼

𝑒𝑒𝛼𝛼−𝑒𝑒−𝛼𝛼

𝐿𝐿 𝛼𝛼 ~ 𝛼𝛼3− 𝛼𝛼3

45+ ⋯ (𝛼𝛼 = 𝛽𝛽𝑝𝑝0𝐸𝐸 ≪ 1)

𝐿𝐿 𝛼𝛼 ~1 (𝛼𝛼 = 𝛽𝛽𝑝𝑝0𝐸𝐸 ≫ 1)

より、

低温・高電界: 𝑷𝑷 = 𝑵𝑵𝑽𝑽𝒑𝒑𝟎𝟎に漸近

高温・低電界: 𝝌𝝌~ 𝑵𝑵/𝑽𝑽𝟑𝟑𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻

𝒑𝒑𝟎𝟎𝟐𝟐

誘電率𝜺𝜺: 𝜺𝜺𝑬𝑬 = 𝜺𝜺𝟎𝟎𝑬𝑬 + 𝑷𝑷

𝜺𝜺 = 𝜺𝜺𝟎𝟎 + 𝑵𝑵/𝑽𝑽𝟑𝟑𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻

𝒑𝒑𝟎𝟎𝟐𝟐

分布関数から物理量を求める方法・ 分布関数 f(Ei) はエネルギー Ei の固有状態が粒子で占有される割合 Noccupied

・ 分布関数は エネルギー E の関数で与えられるので、E における状態の数 D(E) 状態密度 を使ったほうが簡単に計算できる

・ 全粒子数 => µを決定

・ 統計平均として物理量 P を導出

・ 全エネルギー => 内部エネルギーの微分として物理量を導出

・ 分配関数 f (Z) から F => 自由エネルギーの微分として物理量を導出

( ) ∫∫∑ === dEEfEDEfEfNi

i )()()( drdp

)(, iioccupied EfN =

)()()( EfEDENoccupied =

( ) β∂∂=⋅=⋅== ∫∫∑ /)!/()()()( NfdEEfEDEEfEEfEE N

iii drdp

( ) ∫∫∑ ⋅=⋅== dEEfEDEPEfPEfPPi

ii )()()()()( drdppr,

( )!/ln NfTkF NB−=

各種統計における粒子の可能な配置Bose-Einstein統計

N個の粒子が作る準位のそれぞれに 0 個以上の粒子が入れる

Fermi-Dirac統計N個の粒子が作る準位のそれぞれに 0 個あるいは 1 個の粒子が入れる

独立粒子モデル (Isingモデルなど。試験によく出る)1個の粒子が作る 1粒子準位のどれか 1つに 1 個の粒子が入れる

=> 粒子数 N = 1 固定、温度 T での統計平均: 正準集合の考え方を使うのが簡単

𝑬𝑬𝟏𝟏

𝑬𝑬𝟐𝟐

縮退度 𝒈𝒈𝒊𝒊

𝑬𝑬𝟏𝟏

𝑬𝑬𝟐𝟐

縮退度 𝒈𝒈𝒊𝒊

𝑬𝑬𝟏𝟏

𝑬𝑬𝟐𝟐

縮退度各粒子で 𝒈𝒈𝒊𝒊 = 𝟏𝟏

(大)正準集合理論のまとめ正準集合における分布:全粒子数一定、温度一定、全エネルギーは変化、という条件だけから得られる

• 粒子がエネルギー𝑬𝑬𝒊𝒊の状態を占める確率は古典論でも量子論でも同じになる正準分布 : 𝒑𝒑𝒊𝒊 = 𝟏𝟏

𝒁𝒁𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊 = 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊

∑𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊(6.7)

𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊 : Gibbs因子(関数形はMaxwell-Boltzmann分布と同じだが、物理的意味は全く違う)

分配関数 (状態和): 𝒁𝒁 = ∑𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊 (6.5)

• 物性 P の統計平均 𝑷𝑷 = ∑𝒊𝒊 𝑷𝑷𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊∑𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊

(6.8)

• エネルギー平均値 𝐸𝐸 = ∑𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖 exp −𝛽𝛽𝐸𝐸𝑖𝑖∑𝑖𝑖 exp −𝛽𝛽𝐸𝐸𝑖𝑖

(6.8)

𝐸𝐸 = −𝑑𝑑 ln 𝑍𝑍𝑑𝑑𝛽𝛽

(6.9)

• ヘルムホルツエネルギー 𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 ln𝑍𝑍 (6.12)

量子統計: (i) 粒子を区別できない、(ii) 準位を占めることができる粒子数に制限大正準集合を使うことで、量子統計 (BE分布、FD分布) が得られる

大正準分布: 𝑝𝑝𝑁𝑁,𝑖𝑖 = exp 𝛽𝛽 𝜇𝜇𝑁𝑁−𝐸𝐸𝑁𝑁,𝑖𝑖∑𝑁𝑁,𝑖𝑖 exp 𝛽𝛽 𝜇𝜇𝑁𝑁−𝐸𝐸𝑁𝑁,𝑖𝑖

(6.33)

大正準集合理論から再度導出してみる

大分配関数 𝒁𝒁𝑮𝑮 = ∑(𝒏𝒏𝒊𝒊) 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷∑𝒊𝒊 𝒏𝒏𝒊𝒊(𝒆𝒆𝒊𝒊 − 𝝁𝝁)

= ∑(𝒏𝒏𝒊𝒊)∏𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝒏𝒏𝒊𝒊(𝒆𝒆𝒊𝒊 − 𝝁𝝁)

= ∏𝒊𝒊 ∑𝒏𝒏𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝒏𝒏𝒊𝒊(𝒆𝒆𝒊𝒊 − 𝝁𝝁)和記号における (ni) は、(n1, n2, ･･･) の全ての組み合わせの和を取る。

=> 第3式で和と積の順番を入れ替えられる

Fermi統計: ni = 0, 1なので

𝒁𝒁𝑮𝑮 = ∏𝒊𝒊 ∑𝒏𝒏𝒊𝒊=0𝟏𝟏 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(−𝜷𝜷𝒏𝒏𝒊𝒊(𝒆𝒆𝒊𝒊 − 𝝁𝝁)) = ∏𝒊𝒊 𝟏𝟏 + 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(−𝜷𝜷(𝒆𝒆𝒊𝒊 − 𝝁𝝁))

1つの状態 i を占める占有数 ni の統計平均 fi は

𝒅𝒅𝒊𝒊 =< 𝒏𝒏𝒊𝒊 > = − 𝝏𝝏𝜷𝜷𝝏𝝏𝒆𝒆𝒊𝒊

𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒁𝒁𝑮𝑮 = 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(−𝜷𝜷 𝒆𝒆𝒊𝒊−𝝁𝝁 )1+𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(−𝜷𝜷 𝒆𝒆𝒊𝒊−𝝁𝝁 )

= 𝟏𝟏𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(𝜷𝜷 𝒆𝒆𝒊𝒊−𝝁𝝁 )+1

(8.5)

Bose分布: ni = 0, 1, ･･･ なので

𝒁𝒁𝑮𝑮 = ∏𝒊𝒊 ∑𝒏𝒏𝒊𝒊=𝟎𝟎∞ 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(−𝜷𝜷𝒏𝒏𝒊𝒊(𝒆𝒆𝒊𝒊 − 𝝁𝝁)) = ∏𝒊𝒊

𝟏𝟏𝟏𝟏−𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(−𝜷𝜷(𝒆𝒆𝒊𝒊−𝝁𝝁))

𝒅𝒅𝒊𝒊 = − 𝝏𝝏𝜷𝜷𝝏𝝏𝒆𝒆𝒊𝒊

𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒁𝒁𝑮𝑮 = 𝝏𝝏𝜷𝜷𝝏𝝏𝒆𝒆𝒊𝒊

∑𝒊𝒊 𝟏𝟏 − 𝒆𝒆−𝜷𝜷 𝒆𝒆𝒊𝒊−𝝁𝝁 = 𝟏𝟏𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(𝜷𝜷 𝒆𝒆𝒊𝒊−𝝁𝝁 )−𝟏𝟏

§8.1 Fermi-Dirac分布関数P. 170

§5.8 イジング模型: 2準位モデルP. 119

Ising model: 分極系の簡単化されたモデル

・ 結晶の格子点に古典的なスピンが存在

・ それぞれのスピンは独立

・ それぞれのスピンが +𝛍𝛍 と −𝛍𝛍の磁気モーメントを

もつ状態のいずれかをとる

=> 粒子数 N = 1 固定、温度 T での統計平均: 正準集合

𝑬𝑬𝒊𝒊 をとる確率 : 𝒑𝒑𝒊𝒊 = 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊∑𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊

(6.7)

物性 P の平均: 𝑷𝑷 = ∑𝒊𝒊 𝑷𝑷𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊∑𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊

(6.8)

磁場 𝑯𝑯中のスピン 𝜇𝜇のエネルギー: 𝑈𝑈 = 𝜇𝜇𝐻𝐻スピン状態 ±𝜇𝜇 を取る確率

𝑃𝑃± = 𝑒𝑒±𝛽𝛽𝛽𝛽𝐻𝐻

𝑒𝑒−𝛽𝛽𝛽𝛽𝐻𝐻+𝑒𝑒𝛽𝛽𝛽𝛽𝐻𝐻(5.70)

磁気モーメントの統計平均

𝝁𝝁 = (−𝝁𝝁)𝒆𝒆−𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯+(+𝝁𝝁)𝒆𝒆𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯

𝒆𝒆−𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯+𝒆𝒆𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯= 𝝁𝝁 𝐜𝐜𝐬𝐬𝐥𝐥𝐜𝐜(𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯)

𝐜𝐜𝐥𝐥𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯(5.72)

𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯 ≪ 𝟏𝟏のときは

𝝁𝝁 ~ 𝟏𝟏𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻

𝝁𝝁𝟐𝟐𝑯𝑯 極性気体 1分子: 𝑃𝑃𝑁𝑁/𝑉𝑉

~ 13𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇

𝑝𝑝02𝐸𝐸

５－８図 磁場中のイジング・スピン

§5.8 イジング模型: 2準位モデルP. 119

磁気モーメントの統計平均

𝝁𝝁 = 𝝁𝝁 𝐜𝐜𝐬𝐬𝐥𝐥𝐜𝐜(𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯)𝐜𝐜𝐥𝐥𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯

= 𝝁𝝁 𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯−𝟏𝟏𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯+𝟏𝟏

~ 𝟏𝟏𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻

𝝁𝝁𝟐𝟐𝑯𝑯 (𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯 ≪ 𝟏𝟏)

全エネルギーの統計平均

𝑬𝑬 = 𝝁𝝁𝑯𝑯 𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯−𝟏𝟏𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯+𝟏𝟏

= 𝝁𝝁𝑯𝑯 𝟏𝟏 + −𝟐𝟐𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯+𝟏𝟏

定積比熱

𝑪𝑪𝑽𝑽 = 𝝏𝝏 𝑬𝑬𝝏𝝏𝑻𝑻

= 𝟒𝟒𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻𝟐𝟐

𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯

𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯+𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝝁𝝁𝑯𝑯 𝟐𝟐

イジングモデルは、 2スピン間のエネルギー差を準位間エネルギー 𝛥𝛥𝐸𝐸 = 2𝜇𝜇𝐻𝐻 に置き換えると、エネルギーの原点と絶対値を除いて P.120 [例題] と同じになる

𝐸𝐸 = 𝛥𝛥𝐸𝐸2𝑒𝑒𝛽𝛽𝛽𝛽𝐸𝐸−1𝑒𝑒𝛽𝛽𝛽𝛽𝐸𝐸+1

𝐶𝐶𝑉𝑉/𝑘𝑘𝐵𝐵 = 𝛥𝛥𝐸𝐸𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇

2 𝑒𝑒𝛽𝛽𝐸𝐸/𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇

𝑒𝑒𝛽𝛽𝐸𝐸/𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇+12 = 𝑒𝑒1/𝑥𝑥

𝑥𝑥2 𝑒𝑒1/𝑥𝑥+1 2

５－９図 C / NkBとの関係(ショットキー比熱)

ショットキー比熱

量子論による分極率 (磁化率): 2準位系

量子論でのイオンや原子の磁気モーメント: 𝝁𝝁𝒂𝒂 = −𝒈𝒈𝝁𝝁𝑩𝑩𝑱𝑱𝐽𝐽: 全角運動量量子数 (= 軌道角運動量 L + スピン角運動量 S)

𝑔𝑔 = 1 + 𝐽𝐽 𝐽𝐽+1 +𝑆𝑆 𝑆𝑆+1 −𝐿𝐿(𝐿𝐿+1)2𝐽𝐽(𝐽𝐽+1)

: Landeのg 因子

𝜇𝜇𝐵𝐵 = 𝑒𝑒ℏ2𝑚𝑚

: Bohr磁子

磁場 𝑯𝑯中の磁気モーメントのエネルギー

磁気モーメント 𝝁𝝁𝒂𝒂 の H 方向の成分: 𝜇𝜇𝑎𝑎,z = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝑚𝑚 = 𝐽𝐽, 𝐽𝐽 − 1,⋯− 𝐽𝐽 + 1,−𝐽𝐽: 方位量子数 (古典論の cos𝜃𝜃 に対応)

𝑈𝑈𝑝𝑝 = −𝝁𝝁𝒂𝒂 � 𝑯𝑯 = −𝜇𝜇𝑎𝑎,𝑧𝑧 � 𝐻𝐻 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵

𝑚𝑚 = 12

,−12の2準位系の場合、𝜇𝜇 = 𝑚𝑚𝐽𝐽𝜇𝜇𝐵𝐵 として

𝝁𝝁 = ∑ 𝝁𝝁𝒊𝒊𝒆𝒆−𝜷𝜷𝜺𝜺𝒊𝒊∑ 𝒆𝒆−𝜷𝜷𝜺𝜺𝒊𝒊

= (−𝝁𝝁)𝒆𝒆−𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩+(+𝝁𝝁)𝒆𝒆𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩

𝒆𝒆−𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩+𝒆𝒆𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩= 𝝁𝝁𝐜𝐜𝐇𝐇𝐥𝐥𝐜𝐜(𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩) (5.72)

𝑴𝑴 = 𝑵𝑵 𝝁𝝁 = 𝝁𝝁𝑵𝑵𝐜𝐜𝐇𝐇𝐥𝐥𝐜𝐜(𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩)

~𝑵𝑵 𝝁𝝁 = 𝑵𝑵𝝁𝝁𝟐𝟐

𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻𝑩𝑩 (𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩 ≪ 𝟏𝟏)

キッテル固体物理学第8版、丸善出版

量子論による分極率 (磁化率): 多準位系磁場 𝑯𝑯中の磁気モーメントのエネルギー

𝑈𝑈𝑝𝑝 = −𝝁𝝁𝒂𝒂 � 𝑯𝑯 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚 = 𝐽𝐽, 𝐽𝐽 − 1,⋯− 𝐽𝐽 + 1,−𝐽𝐽: 方位量子数

𝝁𝝁 = ∑𝒎𝒎(𝒎𝒎𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵)𝒆𝒆𝜷𝜷𝒎𝒎𝑔𝑔𝛽𝛽𝐵𝐵𝑩𝑩

∑𝒎𝒎𝑱𝑱 𝒆𝒆𝜷𝜷𝑚𝑚𝐽𝐽𝑔𝑔𝛽𝛽𝐵𝐵𝑩𝑩

分配関数 (状態和) 𝑓𝑓 = ∑𝑚𝑚=−𝐽𝐽𝐽𝐽 𝑒𝑒𝛽𝛽𝑚𝑚𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕𝛽𝛽

ln𝑓𝑓 = ln∑𝑚𝑚=−𝐽𝐽𝐽𝐽 𝑒𝑒𝛽𝛽𝑚𝑚𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵 =

∑𝑚𝑚=−𝐽𝐽𝐽𝐽 (𝑚𝑚𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵)𝑒𝑒𝛽𝛽𝑚𝑚𝑔𝑔𝛽𝛽𝐵𝐵𝐵𝐵

∑𝑚𝑚=−𝐽𝐽𝐽𝐽 𝑒𝑒𝛽𝛽𝑚𝑚𝑔𝑔𝛽𝛽𝐵𝐵𝐵𝐵

= 𝜇𝜇 𝐵𝐵

𝑋𝑋 = 𝛽𝛽𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵 とおいて、

𝑓𝑓 = 𝑒𝑒−𝐽𝐽𝐽𝐽 1 + 𝑒𝑒𝐽𝐽 + 𝑒𝑒2𝐽𝐽 + ⋯+ 𝑒𝑒2𝐽𝐽𝐽𝐽 =sinh 2𝐽𝐽+1

2 𝐽𝐽

sinh 12𝐽𝐽

𝝁𝝁 = 𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵2𝐽𝐽+12

coth 2𝐽𝐽+12

𝑋𝑋 − 12

coth 12𝑋𝑋

= 𝑔𝑔𝐽𝐽𝜇𝜇𝐵𝐵2𝐽𝐽+12𝐽𝐽

coth 2𝐽𝐽+12

𝑋𝑋 − 12𝐽𝐽

coth 12𝑋𝑋

= 𝒈𝒈𝑱𝑱𝝁𝝁𝑩𝑩𝑩𝑩𝑱𝑱(𝜷𝜷𝑱𝑱𝒈𝒈𝝁𝝁𝑩𝑩𝑩𝑩)

𝑩𝑩𝑱𝑱 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝑱𝑱+𝟏𝟏𝟐𝟐𝑱𝑱

𝐜𝐜𝐥𝐥𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟐𝟐𝑱𝑱+𝟏𝟏𝟐𝟐𝑱𝑱

𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝑱𝑱𝐜𝐜𝐥𝐥𝐜𝐜𝐜𝐜 𝒙𝒙

𝟐𝟐𝑱𝑱Brillouin関数

キッテル固体物理学第8版、丸善出版

量子論による分極率 (磁化率): 多準位系

𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝐽𝐽𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵𝐽𝐽(𝛽𝛽𝐽𝐽𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵)𝑀𝑀 = 𝑁𝑁 𝜇𝜇 = 𝑁𝑁𝑔𝑔𝐽𝐽𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵𝐽𝐽(𝛽𝛽𝐽𝐽𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵)

𝐵𝐵𝐽𝐽 𝑥𝑥 = 2𝐽𝐽+12𝐽𝐽

coth 2𝐽𝐽+12𝐽𝐽

𝑥𝑥 − 12𝐽𝐽

coth 𝑥𝑥2𝐽𝐽

Brillouin関数

𝑥𝑥 = 𝛽𝛽𝑚𝑚𝐽𝐽𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵 ≫ 1: 𝑴𝑴~𝑵𝑵𝒈𝒈𝑱𝑱𝝁𝝁𝑩𝑩 に漸近

𝑥𝑥 = 𝛽𝛽𝑚𝑚𝐽𝐽𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵 ≪ 1: 𝑴𝑴𝑩𝑩

~ 𝑵𝑵𝑱𝑱 𝑱𝑱+𝟏𝟏𝟑𝟑𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻

𝒈𝒈𝟐𝟐𝝁𝝁𝑩𝑩𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝑻𝑻

Curieの法則

比較: 古典論 (極性気体の分極率)𝑃𝑃𝐸𝐸

= 𝑁𝑁𝑉𝑉𝑝𝑝0𝐿𝐿 𝛽𝛽𝑝𝑝0𝐸𝐸 𝜒𝜒~ 𝑁𝑁/𝑉𝑉

3𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇𝑝𝑝02 (5.49)

キッテル固体物理学第8版、丸善出版

B/T (kG deg-1)

M(𝜇𝜇

𝐵𝐵/i

on)

(I) クロム酸カリミョウバン、(II) 鉄ミョウバン、(III) 硫酸ガドリニウム・

8水塩の磁化特性

分極率 (磁化率): 古典論と量子論

古典論 (𝝁𝝁 = 𝒑𝒑𝟎𝟎, E => B)𝑀𝑀 = 𝑁𝑁𝜇𝜇𝐿𝐿 𝛽𝛽𝜇𝜇𝐵𝐵 (5.49)

𝐿𝐿 𝛼𝛼 = coth 𝛼𝛼 − 1𝛼𝛼

Langevin関数

量子論 (𝝁𝝁 = 𝒈𝒈𝑱𝑱𝝁𝝁𝑩𝑩)𝑀𝑀 = 𝑁𝑁𝜇𝜇𝐵𝐵𝐽𝐽(𝛽𝛽𝜇𝜇𝐵𝐵)

𝐵𝐵𝐽𝐽 𝑥𝑥 = 2𝐽𝐽+12𝐽𝐽

coth 2𝐽𝐽+12𝐽𝐽

𝑥𝑥 − 12𝐽𝐽

coth 𝑥𝑥2𝐽𝐽

Brillouin関数

𝐿𝐿 𝛼𝛼 で𝛼𝛼 = 2𝐽𝐽+12𝐽𝐽

𝑥𝑥 とおくと、細かい係数以外は一致する

𝐿𝐿 (2𝐽𝐽+1)2𝐽𝐽

𝑥𝑥 = coth (2𝐽𝐽+1)2𝐽𝐽

𝑥𝑥 − 2𝐽𝐽2𝐽𝐽+1

1𝑥𝑥