人口統計 (Demography)

授課教師：余清祥教授 日期： 2003 年 4 月 2 日 第四週：編製生命表電子郵件： csyue@nccu.edu.tw

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編製生命表(Construction of Life Table) 因為建構生命表需要全國的人數與死亡人數資料，非戶籍登記系統的國家一般有困難，只能在戶口普查的時候進行。

死亡人數來自於生命統計。 完全 ( 國民 ) 生命表一般以普查年為中心點，蒐集前後一年共三年的死亡資料編製而成。

台灣亦是如此，每 10 年編一次完全生命表，每年一次簡易生命表。

中央死亡率與死亡率

唯一的區別在於分母。但通常只能獲得年中人數、年底人數，在定常人口及均勻死亡 (UDD) 假設下，各年齡別的年中人數可視為 Lx，因此通常先求出中央死亡率後，在藉由下式求出死亡率 (UDD) ：

x

xnxn

Xn

xnxn l

Dqand

L

DM

.2/1 x

xx m

mq

因為單一年度的單齡死亡人數通常不多，尤其當該年齡層的人數及死亡率較低時，編算死亡率可能會有較大的震盪。

可能解決方法：合併幾個年齡 ( 一般為五歲組 ) ，再以內插 ( 修勻 ) 法找出單一年齡死亡率。

考慮連續幾年 ( 一般為三年或五年 ) 的死亡資料。

x

xxxxxxxx N

qqNDVarqVarqNBD

)1()/()ˆ(),(~

xx MM 5

1979-81 U.S. Life Tables 使用的資料包括： 1980 年四月一日的普查資料 1979-1981 年的死亡資料 (3 年 ) 1977-1981 年的出生資料 編算年齡分組：1 ～ 2 、 2 ～ 3 、 3 ～ 4 、 4 ～ 5 歲 ( 單齡 )5 ～ 10 、…、 95 ～ 100 、 100 ＋ ( 五齡組 )0 ～ 1 、 1 ～ 7 、 7 ～ 28 、 28 ～ 365 天

( 嬰兒 ) 基數 (Radix) l0 = 100,000

兩歲以下死亡數的計算：xt

xtxt E

Dld 0

interval agein that death ofrisk the toexposed lives the:

t xand x agesexact between deaths reported of # the:

xt

xt

E

D

死亡年齡  

1 天之內

1 ~ 7 天  

7 ~ 28 天  

28~365 天  

1 ~ 2 年  

a~b 天  

xt E

81807978 729730730730

1BBBB

81807978 7227307308730

1BBBB

81807978 69573073035730

1BBBB

81807978 337730730393730

1BBBB

80797877 222

1BBBB

81807978 730730730730

1BbaBBBba

2 ～ 4 及 4 ～ 95 歲的編算：

原則上，

如果各年度同一年齡人數變化較大，

2/1803

8179

x

xx

x

xx m

mq

P

Dm

)populationmidyear (approx. x.ageat count census 1980 1, April :80

day.-Blast x ageat periodstudy in the deaths reported :8179

x

x

P

D

808080 11

8179

xxx

xx PPP

Dm

95 歲以上的編算：一般而言，高齡 (65 歲以上 ) 老年人資料品質已難掌控，高高齡 (85 歲以上 ) 老年人甚至可能無法確認。 (Wilmoth, 1994)

美國因為屬於社會福利國家，老年人健康有 Medicare 的保障，可由美國社會安全機構獲得老年人資料。

9485for ,849511

1 xqxqxq M

xcxx

lower and 95 Ages : data Census

higher and 84 Ages :data Medicare

再以 的比值取得 94 歲以上的死亡率：

(1) 1979-81 作法：找出符合下式的最小年齡 x ，

x 歲以上代入下式，推算至 111 歲。

x

x

q

q 1

9.01/

1/

1

1

yy

yy

qq

qq

1110,1)1(9.09.01/

1/

11

1

1

xyq

qqq

qq

qq

y

yyy

yy

yy

(2) 1989-91 作法：女性部份要求

；

男性部份要求 。

逐步由最小年齡檢查，若某一年齡不符合要求時，即以最小要求代入，並以修正後的死亡率代替原先的數值。

06.11

y

y

qq

05.11

y

y

qq

生命表其他數值的編算： ( 生存數 )

兩歲以下生存數：

平均餘命：

但 是由美國社會保險部門提供。

1092,000,1000 歲至年齡介於及 xtxtx dlll

1 ages other for

and t

1

21

0

10

1

11

q

qqx

txx

x

xx

o

l

Te

110eo

定常人口 (Tx) ：

一歲以下使用 ,t 滿足

ttxxy

yx dlLT

0

。及一般而言， 111 )(2

1 xxxxxxx TTLllTT

)(2 txxtxx llt

TT

年齡 0天 1天 7天 28天

 

t       

365

1

365

6

365

21

365

337

1985 ～ 87 Canadian Life Tables 戶某普查與完全生命表每五年一次 ( 英國系統 ) ；嬰兒死亡記錄為月記錄。

1985 ～ 1987 生命表使用的資料，包括死亡率分組：一至四歲為單歲組； 5 歲以上為五齡組；一歲以下另外分類。

死亡資料：死亡年齡在四歲以下者，依出生年度分組。

1984~87 年的出生資料 ( 分月份、性別 ) 。1986 年 6 月 1 日為標準年齡計算日期。1985~87 年每年四歲以下的人口估計數。

嬰兒部份：與美國相同，嬰兒的人數不以普查數為依據，而是根據實際的出生及死亡記錄。

死亡數的計算依據 ，因此

可推得 1 歲以下 的生命表數值。

xt

xtxt E

Dld 0

xtxxt

xtxtx

q

d

1

)10( t

曝露數 (Exposure) t Ex 在 0 ～ 1 天的計算：

有別於美國的公式：

因為加拿大的紀錄較細。同理， 1 ～ 2 週、 3 ～ 4 月的曝露數依序如下：

87 /1287868584 /12xt B

62

1-BBBBE

62

1

81807978xt B

730

1-BBBE

730

1

87 /1287868584 /12xt B

62

21-BBBBE

62

21

87 /984 /9xt B

2

1-9/87) there /8410 in births (allBE

2

1

成人部份：

.birthday last x ageat year Z 1, Jan.on living # the: )(P

. year Zcalendar in x age attaining # the: )(E

x

x

Z

Z

1)-X-year Z(birth . 1-year Zin x attaining year Zin dying # : D

x)- Z( year Z.in x age attaining year Zin dying # : DZx

zx

出生年

令 為第 z 年死亡時 x 歲者，在第 z –1 年滿 x 歲的比例 ：

其中 是第 z 年死亡時 x 歲的人數，因此

zx

)10( zx

zx

zx

zx

zx

zx

zx

DD

DD

1

zx

zx

zx DDD 或是

zxD

)()(

)1()(

ZZ

ZZ

1xZxx

xZxx

E D P

PD E

根據以上兩個定義，可得出 0到 4 歲 ( 單齡 ) 、 5到 94 歲 ( 五齡 ) 的生存機率：

years. partial the surviving of prob. the

)(

)(

)(

)1(

1

ZP

ZEP

ZE

ZPP

x

xZx

x

xZx

)92()91()90(

)92()91()90(

)92()91()90(

)9()92()91(

1119290

9290

xxx

xxxx

xxx

xxxx

PPP

EEEP

EEE

PPPP

xxx PPP

註：使用上式的原因在於可消除數字 (digit)偏好。

註：死亡率的公式為

與美國的編算公式類似

最高年齡定為 102 歲，即 。

92902525

929025

21

913

xx

xx

DP

Dq

918911

918925

2

1)90()90()90(

xxxx

xx

DPPP

Dq

0,1 103102 lq

定常人口 ( 即 Lx 與 Tx ) ：5 歲以上採 UDD 假設，即

1 至 4 歲

其中終壽區間成數 (Fraction of the Last Age Interval of Life) 為每位在年齡 (x, x+1) 的死亡人口的平均貢獻。

)(2

11 xxxL

2,3,4 x,

)(24

1)1(

)1(

11

1111

xxxxxx dddfL

dfL

xf

Age

ax

0 20 40 60 80 100

0.2

50

.30

0.3

50

.40

0.4

50

.50

Lower BoundAverageUpper Bound

1971 至 1999 年台灣地區男性各年齡終壽區間成數圖

均勻死亡模型 (Uniform Dist. of Death)

算數平均 :

i.e. fx = 1/2

定死力 (Constant Force)模型 幾何平均 :

i.e. Balducci模型 調和平均 :

i.e.

.10,)1( 1 tltltl xxtx

.10,11

tlll tx

txtx

.10,11

1

tl

t

l

t

l xxtx

2

1

621

2

x

x

x

xCx qq

f

2

1)1(

4

1)1(

3

1)1(

2

1 2 Cxxxxxx

Bx fqqqqqf

終壽區間成數 ax 的假設比較

l(x+t) of Three Assumptions

t

l(x+

t)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

U.D.D.Constant ForceBalducci

385.0,442.0,5.0 Bx

Cx

Ux fff

世界衛生組織 (WHO) 建議的 0 歲終壽區間成數

0a

每千名嬰兒的死亡數

的數值

小於 20 人 0.09

20 至 40 人 0.15

40 至 60 人 0.23

60 人以上 0.30

　　 九十年臺灣地區簡易生命表

年齡組 死亡機率 生存數 死亡數 平均餘命

0 0.00683 100000 683 99448728818

1 72.88 1 － 4 0.00208 99317 207

396794

7188733 72.38

5 － 9 0.00111 99110 11049523

6679193

9 68.5310 － 14 0.00129 99000 128

494751

6296703 63.60

15 － 19 0.00390 98872 38549348

5580195

2 58.6820 － 24 0.00507 98486 499

491208

5308468 53.90

25 － 29 0.00613 97987 60148849

9481725

9 49.1630 － 34 0.00879 97386 856

484925

4328760 44.45

35 － 39 0.01300 96530 125547969

1384383

5 39.8240 － 44 0.01826 95275 1740

472235

3364144 35.31

45 － 49 0.02516 93535 235346208

2289190

9 30.9250 － 54 0.03601 91182 3284

448175

2429827 26.65

55 － 59 0.05331 87898 468642838

3198165

2 22.5460 － 64 0.07755 83212 6453

400812

1553268 18.67

65 － 69 0.12080 76759 927336197

9115245

6 15.0170 － 74 0.19533 67486 13182

306193 790477 11.71

75 － 79 0.31633 54304 1717822989

6 484284 8.9280 － 84 0.49343 37126 18319

139198 254388 6.85

男性

定 常 人 口X ~ (X+n) qx lx dx Lx Tx ex

85+ 1.00000 18807 1880711519

0 115190 6.12

簡易生命表 (Abridge Life Tables)

生命表有時因為需要，必須每年編算一次，但因為

資料不足、缺乏或是品質無法保證

使用者不需要太過詳細的資料，編算時分為 0 、 1-4 歲、 5-9 、 10-14 、…( 五齡組，台灣最高年齡組為 85 ＋ ) 。

簡易生命表基本上由中央死亡率出發，再轉成死亡率：

xnxn

xnxn q

L

dm

死亡率的編算在 0 與 1-4 歲時須特別小心。( 可參考美國及加拿大的方法。 )

死亡率從 5 至 85 歲可採以下轉換公式：

UDD 假設 :

如果 UDD 假設不成立且 fx 資料可得：

xn

xnxn

m

mnq

2

n1

xnxn

xnxn mfn

mnq

)1(

1

其他公式：1. Keyfitz’ formula:

2. Greville’s formula:

Greville found is a constant.

3. Reed-Merrel formula:

)( )( 48

1nxnnxnnxnnxn

xnxn mmLL

L

nmn

xn eq

)ln(12

23

0

xnxnxn

n

ttx mmn

mnd

096.0)'(ln xnm

230 008.0111 xnxn

n

ttx mnmnd

xnxn eePq