(DFT)Direct Fouriet Transformer

n=-~n=0~n=-~ 00nN-1

DFTDFT()DFTDFTDFT--FFT,(DFT)DFT

t f () . , , D F T , .

(FS) , (FT) , (DTFT): , . (DFT): ,

1. (FS) Tp x(t) X(jk0) , , :FS

, . ( )

2. (FT)(FT)

, .

3. (DTFT)(Z(DTFT))

, , .

4. (DFT) , , ( ) , . , , .

DFT

(DFS) (DFS) , (DFT).

DFS N , (DFS) :

:

DFS(DFS)DFS.

1.DFSX(t)x(nT),DTFTDFS.x(t)tx(t)tDTFTX(ejT)X(ejw)w

2.(DFS)x(t)X(ejw)tw

3.(Z)DTFT,(DFS)x(t)tX(ejT)wX(ejw)DTFT

DFSx(n),DTFT(Z)

N

DTFT

DFS

,

nr

DFS x(n) N , (DFS) :

:

ZDFSZZ(1) Z(2)DFS()

(1)

(2)()

(3)

(4)

(5)

10434

DFT

DFSDFT , , (DFT). , (1) x(n) ; (2) X(k) .(3) DFS , . ------- (DFT).

DFT

X(k)x(n)

, , .

DFT1. () 2. ()3. ()4. ()5. ()

1. () x(n) ,0nN-1 , , N, n=0 n=N-1 . : x(n) , 0nN-1 , , N , x(n)= ,0nN-1 ,

2. . x(n) N , , , , m :

((...))N N .

(1)

(2)121310.5(1)N=5nx(n)2131x(n)0.521310.51120.5n(2)N=62131x(n)0.521310.51123n3

(2)21310.5nx(n)(3)M=1()131x(n)0.52(4)M=-2()2131nx(n)0.5n

3. (1)(2)(3)

(1) x1(n),0nN1-1; x2(n),0nN1-1

: N1+N2-1 .

(2)

, N.

1231x(n)54n0N1=5213h(n)n0N2=3 (N=7) 231x(k)54k0N1=5231x(k)540N=7k

2231h(k)0k(2) (231231231h(-k)k0231h(-k)k0

3(3)231h(1-k)k0231h(1-k)k04x(k)h(-k)=51=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26231x(k)54k0231x(k)540N=7kx(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3

4(5)14265ny(n)201483014265ny(n)2014830,(N[N1(5)+N2(3)-1]=7)

5N=5,231x(k)540N=5k231h(-k)k0x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13x(k)h(1-k)=5*2+4*1+1*3=17x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14.

171326y(n)n02014

(1)x(n)*x(n)(2) ,N=4()(3) ,N=6()(4) ,N=7()(5) ,N=8()12x(n)120n

(3)

4.(1)(2)

(1)(a) ( ) ( ) (b) ( ) ( ) (c) () ( ) (d) () ( )

(a) ( ) ( )x(n)-x(-n)x0(n)=-x0(-n)x0(n)x(n) x(-n) ; xe(n)=xe(-n) xe(n)

0xe(n)n0x(n)n0x(-n)n0x(n)n0x(-n)n0xo(n)n

(b) ( ) ( ) N x(n) -x((-n)NRN(n) . N x0(n), x0(n)=-x0((-n))NRN(n) , x0(n) . N x(n)x((-n)NRN(n) . N xe(n), , xe(n)=-xe((-n))NRN(n) .

(c) () ( ) x(n) x*(-n) . xe(n)=x*e(-n) xe(n), , xe(n)=xe(-n) , . x(n) -x*(-n) . xe(n)=-x*o(-n) , , xo(n)=xo(-n) .

(d) () ( ) N x(n) x*((-n)NRN(n) . xep(n) =xep*((-n)NRN(n) xep(n) , ( , ). xep(n) N, n = 0 ,

() ,

( ) xop(n) =-xop*((-n)NRN(n) xop(n) , ( , ). xop(n) N, n = 0 ,

( ) ,

(2) (a) (b) (c) (d)

(a) x(n) ( ), x(n) xo(n) xe(n) ,x(n)= xo(n)+ xe(n)., xo(n)x(n) ;xe(n) x(n) .

xo(n) xe(n) , x(n)

x(n) 0nN-1 , (2N-1). () ().

(b) x(n) N , xop(n) xep(n) x(n)=xep(n)+xop(n). xop(n) x(n) ;xep(n) x(n) .

, x(n).

(c) x(n) xo(n) xe(n) ,x(n)= xo(n)+ xe(n)., xo(n)x(n) ;xe(n) x(n) .

xo(n) xe(n) , x(n)

(d) x(n) N , xop(n) xep(n) x(n)=xep(n)+xop(n). xop(n) x(n) ; xep(n) x(n) .

, x(n).

4.(1)(2)

(1)

N1+N2-1

(2)

x1(n)x2(n)N

N

DFSDFTDFTDFSDFTDFSx1(n,x2(n)NX1(k)=DFT[x1(n)] X2(k)=DFT[x2(n)]

DFT1 2 3 4 5 6) (7) DFT (8)DFT , , ,

x1(n)x2(n)N,

1x1(n),x2(n)

a,b

x1(n)x2(n)N, 0nN-1,aX1(k)+bX2(k) N;x1(n)x2(n),x1(n)N1,x2(n)N2,ax1(n)+bx2(n)N=max[N1,N2],DFTNN1

2--1Nx(n)DFT[x(n)]=X(k) DFT[x((n+m))NRN(n)]=WN-mkX(k)1.2 DFT , .

2--2--

2--3--

3--1NX(k)

3--2-- . , . .

3--3--

4 --1--->

--->

4 --2- , . FT/L/Z) . , DFT , . ,

4 --3

5 x1(n)x2(n)RN1N2(m),

x1(n)x2(n)X1(k),X2(k). , ! )

)

yyn-m,

DFT , : 1. ;2.() ( ) , ; 3. DFT ; , , x(n) X(k) , , , , , DFT .

1.

x(n) N ,0nN-1

12 3.

11 x(n) , X(k) . x(n) , X(k) ; .

22 x(n) , X(k) . x(n) , X(k) ; .

Ny(n)=ye(n)+xo(n) x(n) =ye(n), X(k) .

y(n)ye(n)X(k)

33 1 . X(k) , x(n) . X(k) , x(n) ; .

2.( )() x(n)N0nN-1

123

1 x(n) , X(k) . x(n) ,

X(k) ; .

2 x(n) j , X(k) .x(n),X(k)

31x(n)(xep(n)),X(k)x(n)(xop(n)),X(k)jX(k)x(n)X(k)x(n)

3.DFTx(n)N,0 nN-1,DFT[x(n)]=X(k)5

11X(k)=X*((N-k))NRN(k)1x(n)DFTX(k)2

22Re[X(k)]=Re[X((N-k))N]RN(k)X(k)

33Im[X(k)]=-Im[X((N-k))N]RN(k)X(k)

44|X(k)|=|X((N-k))N]RN(k)X(k)

55arg[X(k)]=-arg[X((N-k))N]RN(k)X(k)

4.DFTx(n)X(k)DFTDFT

(1) , , , : ---- ---- ---- ----

(2)

DFTParsevals Theorem)1DFT(Parsevals,Theorem)(2)y(n)=x(n),

Parseval

DFT1

DFT2

1051213