Chapter 5

离散时间傅立叶变换

(2 )( 2 ) ( )

sF分析周期信号

[ ]x n kNx

k

12 1N 1周期的

0

2

N

1

0

sin[(2 1) ]2sin( )2

N

k

0

0n1N1N NN 2N2N NN

[ ]x n

n1N1N

1非周期的

分析非周期信号sF kNx

12 1N

22

1sin[(2 1) ]2sin( )2

N

( )jX e

0

<3.12>

5.0 引言3.6 周期信号的傅立叶级数展开

2

2

[ ]

1[ ]

kk N

kk N

jk nN

jk nN

x n x e

x x n eN

N 0 0

[ ]x n

n1N1N

非周期信号

5.1 非周期信号的表示 : 离散时间傅里叶变换

A. 离散时间傅里叶变换的导出

N

[ ]x n

n1N1N NN 2N2N

周期信号 周期 : N 0

2

N

0

( )j j nX e e

0

0

0

[ ]

1[ ]

kk N

kk N

jk n

jk n

x n x e

x x n eN

0

0

0

1[ ]

2

[ ]

kk N

kn

jk n

jk n

x n Nx e

Nx x n e

0( 1)2

N

0 00

1[ ] ( )

2 k N

jk jk nx n X e e

( ) [ ]j

n

j ndefine x e x n e

2

2

1[ ]

2j j nx n X e e d

1

0( ) |j j n

kX e e

0k

0 0( )jk j nX e e

面积

0 0

2

[ ] [ ]

( 2 )k N

x n x n

Nd N

0 0

3

0

0

0

0

( ) | ( )

1 1( ) | ( )

k

k

jkjk

jkjk

x e x e Nx

x x e x eN N

于是得到非周期信号的离散傅里叶变换对 (DTFT) ：

也得到一种新的傅里叶级数系数的表示方法 :

02

1( )k

jk k

Nx X e

N 3

非周期信号的离散傅里叶变换

周期信号的傅里叶级数系数 (DFS) 周期为 N

2

1[ ]

2

( ) [ ]n

j

j j n

j n

x n X e e d

X e x n e

2

1 反

( 频谱）正

复杂信号＝ 系数（ ）基本信号（ ）

系数（ ）

相似程度(的)

＝复杂信号 （与）基本信号（ ）

B. 例 <5.1>

[ ] [ ]nx n a u n | | 1a 1

1 jae 等比数列求和

| | 1a ( ) [ ]

n

j njX e x n e

| ( ) |

( )

j

j

X e

X e

00 0[ ( )]1

| ( ) |2

j X jj n eX ee

x[n] 的谱密度

( )X e j

0| ( ) |j

x e

| ( ) |jX e

22

x[n] 的频谱分布

0( )j

X e

0

0

0

n

n

j na e

B. 例 <5.1>

B. 例 <5.2>

| | 1a

B. 例 <5.2>

B. 例 <5.3>

C. 收敛性问题

| [ ] |n

x n

[ ]x n 绝对可加

B. 例 <5.4>

5.2 周期信号的傅里叶变换

5.2 周期信号的傅里叶变换

0( ) 2 ( )kk

jX e x k

2 / N

周期 N

F

2 / N

0[ ] jk nk

k Nx n x e

5.2 周期信号的傅里叶变换

0( ) 2 ( )kk

jX e x k

F

0 2 / N 0[ ] jk n

kk N

x n x e

2 2 ( )jX e

2 /8 0

0

2

20N

<3.12> 1 2 40N N

[ ]x n

sF

F

2

8 16 24-8-16-24 0 40-40 k

1/8

kx

2 0 2

5.3 DFT 性质

5.3.2 线性 kk

Fk

k

1 2[ ] [ ]x n x n 1 2( ) ( )j jX e X e F

1[ ]x n

2[ ]x n2 ( )jX e

1( )jX e F

F

[ ]x n ( )jX e F

0[ ]x n n 0 ( )j n je X e F

5.3.3 时移特性与频移特性

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT性质

5.4 卷积性质

[ ]x n ( )jX e

[ ]h n ( )jH e

F

F

( )jY e [ ]y n

?F

[ ] [ ]x n h n ( ) ( )j jX e H e F

F

[ ]x n LTI

[ ]h n[ ]y n

( ) ( ) ( )j j jX e H e Y e

<例 >

5.4 卷积性质

5.4 卷积性质

5.4 卷积性质

5.4 卷积性质

5.4 卷积性质

有

5.4 卷积性质

5.4 卷积性质

5.4 卷积性质

[ ]g n

5.5 相乘性质

F

[ ]x n ( )jX e

[ ]p n ( )jP e

F

F

循环卷积 周期卷积 < ＤＳＰ >

( )

2

1( ) ( ) ( )

2j j jG e X e P e d

?

2 [ ] [ ]x n p n

1( ) ( )

2j jX e P e

F

F 1

2

5.5 相乘性质

5.5 相乘性质

5.3 DFT 性质

5.3.2 线性 kk

Fk

k

1 2[ ] [ ]x n x n 1 2( ) ( )j jX e X e F

1[ ]x n

2[ ]x n2 ( )jX e

1( )jX e F

F

[ ]x n ( )jX e F

0[ ]x n n 0 ( )j n je X e F

5.3.3 时移特性与频移特性

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT 性质

5.3 DFT性质

5.4 卷积性质

[ ]x n ( )jX e

[ ]h n ( )jH e

F

F

( )jY e [ ]y n

?F

[ ] [ ]x n h n ( ) ( )j jX e H e F

F

[ ]x n LTI

[ ]h n[ ]y n

( ) ( ) ( )j j jX e H e Y e

<例 >

5.4 卷积性质

5.4 卷积性质

5.4 卷积性质

5.4 卷积性质

5.4 卷积性质

有

5.4 卷积性质

5.4 卷积性质

5.4 卷积性质

[ ]g n

5.5 相乘性质

F

[ ]x n ( )jX e

[ ]p n ( )jP e

F

F

循环卷积 周期卷积 < ＤＳＰ >

( )

2

1( ) ( ) ( )

2j j jG e X e P e d

?

2 [ ] [ ]x n p n

1( ) ( )

2j jX e P e

F

F 1

2

5.5 相乘性质

5.5 相乘性质

5.5 相乘性质

(P277)

表达

( )jP e [ ]p n

① 知道变换对

② 性质 （无对偶性质）

解题

5.6 DTFT 变换对与性质列表

F? ?

[ ]ix n ( )jiX e F

√表达性质

[ ]x n ( )jX e F?

[ ]x n [ ]g n? ( )jX e ( )jG e ?

( & )F

( & )

C. Examples

[ ]x n LTI

0[ ]n n

0j ne

( )jX e

① F

[ ]ix n

( )jiX e

F

[ ]x n

( )jX e

F

0[ ]x n n

③ F -1

表达

0 ( )j n je X e ②

0j ne

性 质

0shift n

表达

性 质

0j ne