数字信号处理((Digital Signal ProcessingDigital Signal Processing))

国家电工电子实验示范中心 数字信号处理课程组

3.1 FT, FS;

3.2 DTFT ；

3.3 抽样定理；

3.4 DFS ；

3.5 DFT ；

3.6 DFT 的性质；

3.7 DFT 的使用；

3.8 关于正弦信号的抽样

傅立叶变换是信号分析

与处理的基本工具

第 3 章 离散傅里叶变换

1. 傅立叶级数

3.1 连续信号的傅立叶变换

00( ) ( ) jk t

k

x t X k e

00

1( ) ( )

t T jk t

tX k x t e dt

T

FS

傅立叶系数 是第 次谐波的系数，所以

在频率坐标轴上是离散的，间隔是 。0( )X k k

0( )x t

A

tT220

T

0k

0( )X k

0( )X k

2. 傅立叶变换：

FT

( ) ( )

1( ) ( )

2

j t

j t

X j x t e dt

x t X j e d

00

1( ) ( )

t T jk t

tX k x t e dt

T

FS ：

若 是非周期信号，可以认为：( )x t

( )x t T 的周期

0 0

( )

2 / 0,

x t T

T k

的周期

连续

( )X j

0lim ( )

( )

t T jk t

tT

j t

x t e dt

x t e dt

00

1( ) ( )

t T jk t

tX k x t e dt

T

由

00

0

2 ( )lim ( ) limT

X kTX k

有 频

谱密度

t

( )x tA

2

2

0

0k

( )x tA

tT220

T

1. 对应连续非周期 对应连续周期；

2. 连续 离散

3. 密度 强度

)( jX )( 0kX

请深刻理解 FS 和 FT 的定义，及它们的区别与联系！

FT 存在的必要条件：

( ) ( ) ( )j tX j x t e dt x t dt

1( )x t L说法 1 ：

2( )x t L说法 2 ：

22( ) [ ( ) ]xE x t dt x t dt

因为

22( ) [ ( ) ]xE x t dt x t dt

因为

所以，如果 是绝对可积的，那么它一定

是平方可积的，但是反之不一定成立。例如，

sin 2( )

tx t

t

( )x t

是平方可积的，但不是绝对可积的。所以，取

更稳妥（即更严格）。2( )x t L

周期信号： 可以实现傅里叶级数的分解，

属于功率信号；

非周期信号：可以实现傅里叶变换，

属于能量信号；

那么，周期信号可否实现傅里叶变换

在经典数学的意义上是不可实现的，

但在引入了奇异函数后可以实现。

dtetxjX tj)()(

00[ ( ) ]jk t j t

k

X k e e dt

dtekX tkj

k

)(0

0)(

)(2 ydxe jxy

k

kkXjX )()(2)( 00

密度FT

强度FS

周期信号

FS

例：令 求其傅立叶变换。 0( ) cos(2 )x t f t

因为： 所以，严格意义上的傅

立叶变换不存在，可将其展开为傅立叶级数：

2( )x t dt

0

0 0

0

0

( ) ( )

[ ] / 2,

( ) 1/ 2, 1, 1

j t

k

j t j t

x t X k e

e e

X k k

现利用 函数 将 作傅立叶变换： ( )x t

0 0( ) ( )

0 0

( ) [ ]

( ) ( )

j t j tj tx t e dt e e dt

0( )X k1/ 2 1/ 2

11 0 0k

( )X j

0

00

FS

FT

线

谱

Discrete Time Fourier Transform, DTFT

n

nznxzX )()(

n

njj enxeX )()(

n

nj

ez

j enxzXeX j

)(|)()(

3.2 离散时间信号的傅里叶变换

DTFT 和 Z 变换的关系！

（一）定义

1. 是离散的，所以变换需要求和；

( 2 ) ( 2 )( ) ( )j j n

n

X e x n e

( ) ( )j n j

n

x n e X e

( )x n

2. 是 的连续函数；( )jX e

3. 是 的周期函数，周期为 ；( )jX e 2

4. 存在的条件是 空间1( )x n l( )jX e

（二）特点

可以看作是将 在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是 ；

( )jX e

( )x n

5. DTFT

7. 由 可以得到 的幅度谱、相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频频分析；

( )jX e ( )x n

6. 是 在单位圆上取值时的 变换： z z

8. 反变换

( )

( ) [ ( ) ]

( ) 2 ( )

j j m j n j m

n

j n m

n

X e e d x n e e d

x n e d x m

2

0

)( de mnj

mn

mn

deeXnx njj )(2

1)(

n

njj enxeX )()(

四种傅立叶变换 :

1. 连续非周期 连续非周期 () FT

2. 连续周期 离散非周期 () FS

3. 离散非周期 连续周期（ ） DTFT

4. 离散周期 离散周期 DFS

切实理解四种 FT 之间的对应关系

四种傅立叶变换

（三）性质

1. 线性)()()]()([ 2121

jj ebXeaXnbxnaxF

2. 移位0

0[ ( )] ( )j n jF x n n e X e

3. 奇偶、虚实性质

( )

( ) ( ) ( ) ( )

| ( ) |

j j n j jR I

n

j j

X e x n e X e jX e

X e e

)()( nxnx

)(

)(

jR

jI

eX

eX )(

|)(|

jeX

odd

even

( )

( ) [ ( ) ] ( )

( ) ( )

j j n j n

n n

j n j

n

X e x n e x n e

x n e X e

如果 是实信号，即( )x n

如果 是实偶信号，即( )x n ( ) ( )x n x n

则 是 的实函数！( )jX e

4. 如果 )()()( nhnxny

)()()( jjj eHeXeY 则：

5. 如果)()()( nhnxny

deHeXeY jjj )()(2

1)( )(则：

时域卷积定理

频域卷积定理！

( ) ( ) ( )j j jxyE e X e Y e

6. 时域相关定理( ) ( ) ( )xy

n

r m x n y n m

互相关：

( ) ( ) ( )xn

r m x n x n m

2

( ) ( ) ( ) ( )j j j jxE e X e X e X e

自相关：

自相关函数的 DTFT 始终是 的实函数！

DTFT

7. Parseval’s 定理2 2

2( ) ,x

n

E x n x x x

注意： Parseval’s 定理有着不同的表示形式；

：上述关系只对能量信号成立；

( )jxE e

21 1( ) ( )

2 2j j

x xE E e d X e d

22 1( ) ( )

2j

n

x n X e d

8. Wiener—Khinchin 定理

对功率信号，其自相关函数定义为：

N

NnN

x mnxnxN

mr )()(12

1lim)(

2

2 ( )( ) ( )

2 1limj

Nj m jx x

Nm

X er m e P e

N

定义：

1( )

2j

x xP P e d

说明：1. 在 内的积分等于信号的功率，所以称 为功率谱，同理， 为能量谱；

~ ( )jxP e

( )jxP e ( )j

xE e

2. 始终是 的实函数；( )jxP e

3. 相关函数和功率谱是随机信号分析与处理的主要工具，它们都需要靠“估计”得到，这就形成了丰富的“估值理论”。

( ) ( )j j mx x

m

P e r m e

4.

1( ) ( )

2j j nx n X e e d

1( ) ( )

2j j m

x xr m P e e d

n

njj enxeX )()(

思考：由功率谱是否可以得到原信号 ( )x n

例 1 ： 1 0,1, , 1( )

0

n Nd n

n

为其他值

1

0

1( )

1

j NNj j n

jn

eD e e

e

( 1) /2 sin( / 2)

sin( / 2)j N N

e

( ) ( )jge D

（四）应用

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

0

2

4

6

(a) N=6

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-5

0

5

10

15

20

(b) N=18

越大，主瓣越窄

)2/sin(

)2/sin()(

N

eD jg sin c 函数

22

Nk

kN

过零点

2

N

N

( ) ( ) ( )

( ) ( )* ( )

N

j j jN

x n x n d n

X e X e D e

例 2. 信号截短：

令： 0( ) cos( )x n n则： ( )jX e 是周期的线谱，与 ( )jD e

卷积后，频谱将发生失真，影响

其分辨率 (Resolution)

注意：所有有限长的信号都应看作一 无限长的信号和一矩形窗相乘

的结果。关键是对频域的影响。

两个线谱和 函数的卷积：sin c

1

2

0.226

0.274

f

f

1 2f f

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

10

20

30

51N

31N

窗函数频谱：

峰值左、右第一个过零点之间的距离称为主瓣，主瓣外第一个峰值称为边瓣。我们希望主瓣的宽度越小越好，边瓣的幅度越小越好。若想分辨出 两个谱峰，数据的长度：

1 2,

1 2

4 4,

N N

是矩形窗主瓣的宽度

例 3: ( ) ( ), 1nx n a u n a

jn

njnj

aeeaeX

1

1)(

0

22

cos21

1

1

1

1

1|)(|

aaaeaeeX

jjj

1

1( )

1X z

az

低通 高通 相频

snTttxnxtx |)()()( DA /

3.3 抽样定理

现研究信号抽样的数学模型：

sTj jXjPeX |)()()(

( ) ( )sk

p t t kT

( ) ( ) ( )ax n x t p t

2( ) ( )s

ks

P j kT

请掌握公式的推导！

FT

DTFT 的性质

/

1( ) ( )

s

ja s T

ks

X e X j jkT

周期延拓，无穷迭加

( )X j

cc

( )P j

ss

( )jX e

迭加后可能产生的影响

cs 2

2s cf f或

( )jX e ( ~ ) ( )aX j

要求：

若保证 相等

( )x n ( )x t则 可 保 留

全部信息

即：抽样频率 至少要等于信号最高频率 的两倍。此即抽样定理。

sf

cf

Nyquist 抽样定理，或 Shannon 抽样定理

如何保证 2s cf f

1. 做频谱分析，了解 的 行为；( )aX j

2. 使用抗混迭滤波器，限制 的范围。( )aX j

( )x t ( )x n( )aH s /A D

sf ：抽样频率；/ 2sf ：折迭频率；

如果抽样频率不满足要求，将出现频谱的 混

迭（ Aliasing), 将无法恢复原信号。

如何由 重建出 ( )x n ( )x t

工程上： 使用 D/A 转换器；

在满足抽样定理的情况下， 的一个周期即等于 ，因此，可截取之。

( )jX e

( )aX j

理论上： 导出如下：

( ) / 2s sH j T 其余为零sin( / 2)

( ) , sin( / 2)

s

s

th t c

t

( ) ( ) ( ) |s

ja TX j X e H j

sin[ ( ) / ]( ) ( )

( ) /s s

a sn s s

t nT Tx t x nT

t nT T

插值函数

插值公式 权

( ) ( )x n x n N

如何对 作频谱分析( )x n

因为 是离散的， 故频谱是周期的；( )x n

因为 是周期的， 故频谱是离散的；( )x n

即： 的频谱应是离散的、 且是周期的。( )x n

但： 是功率信号，不能 直接作 DTFT ；( )x n

3.4 离散傅立叶级数（ DFS）

周期序列

00( ) ( ) jk t

k

x t X k e

离散、非周期

FS:

st nT离散化 ( ) ( )sx t x nT

0

0

2

2s

s

T

T NT

NT

0

2

2

ss

jk t

jk nTNT

j nkN

e

e

e

2

0

2

0

( ) ( )

( )

ss

jk nTNT

sk

j nkN

k

x nT X k e

X k e

02 / 2 /s sT N T N

离散、周期周期

即： 是周期的，周期是 ，间隔是

是周期的，周期是 ，间隔是

( )sx nT N

0( )X k N

sT

0

所以，各取一个周期，有：21

0

21

0

( ) ( ) ~

1( ) ( ) ~

N j nkN

n

N j nkN

k

X k x n e k

x n X k e nN

此即 DFS!

21

0

21

0

( ) ( ) ~

1( ) ( ) ~

N j nkN

n

N j nkN

k

X k x n e k

x n X k e nN

DFS 中， 仍取无穷长，实际上没必要！,n k

改

为

21

0

21

0

( ) ( ) 0,1, 1

1( ) ( ) 0,1, , 1

N j nkN

n

N j nkN

k

X k x n e k N

x n X k e n NN

此即 DFT !

2. 从实际上，当我们在计算机上实现信号的频谱分析时，要求：时域、频域都是离散的；时域、频域都是有限长；

3. FT 、 FS 、 DTFT 、 DFS 都不符合要求 但利用 DFS 的时域、频域的周期性，各 取一个周期，就形成新的变换对：

1. 从原理上， 和 的各自一个周期即可表示完整的序列；

( )sx nT0( )X k

但 DFT 并不是“第五种”傅立叶变换！

为什么要由 DFS 过渡到 DFT？

这一对式子，左、右两边都是离散的，有限长，因此可方便地用来实现频谱分析。

但使用时，一定要想到，它们均来自 DFS, 即

和 都是周期的！

12 /

0

1

0

( ) ( ) ,

1( ) ( ) , 0,1, , 1

Nnk j N

N Nn

Nnk

Nk

X k x n W W e

x n X k W n k NN

( )x n ( )X k

3.5 离散傅立叶变换（ DFT）

DF

T

的图形解释

Z 变换、 DTFT 、 DFT 的取值范围

( ), 0,1, , 1x n n N 1 1

0 0

( ) ( ) ( )( )N N

n j n

n n

X z x n z x n re

,

1

jz e or

r

21

20

( ) ( )N j nk

N

kn N

X k x n e

1

2 / 10

1 ( )( )

1

N N

j k Nk

z X kX z

N e z

1

0

( ) ( )N

j j n

n

X e x n e

DFT 的性质：1. 线性

1 2 1 2DFT[ ( ) ( )] ( ) ( )ax n bx n aX k bX k

2. 正交性

1 11, ,N N N NN

X W x W W x W X

0 0 0 0

0 1 2 1

0 2 4 2( _1)

0 1 2( 1) ( 1)( 1)

[ ]

N

nk NN

N N N N

W W W W

W W W W

W W W W W

W W W W

W

正交阵

3. 循环移位

DFT[ ( )] ( )

DFT[ ( )] ( )

km

km

x n m W X k

x n m W X k

21 ( )( )

N m j r m kN

r m

x r e

21

0

( ) ( ) , :N j nk

N

n

X k x n m e let n m r

2 21 1

( ) ( )N N mj rk j rkmk N N

Nr m r N

W x r e x r e

( )mk

NW X k

2 2 21 1 1

0

( ) ( ) ( )N N m Nj rk j rk j rk

N N N

r m r N r

x r e x r e x r e

( )x n

( 2)x n N

N

为实序列：4. 奇、偶、虚、实对称性质( )x n

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

arg ( ) arg ( )

R R R

I I I

X k X k X N k

X k X k X N k

X k X k X N k

X k X N k

X k X k

( )x n复序列

纯虚序列

5. Parseval’s 定理2 21 1

0 0

1( ) ( )

N N

n k

x n X kN

6.循环卷积

线性卷积0

( ) ( ) ( ), ( ) : 2 1k

y n x k h n k y n N

都是 点 序列( ),x n N( )h n

当和 DFT 联系起来时，注意到 都是以

为周期的周期序列。移位时移进也有出 。

( )h n( )x n

N

循环卷积定义为：

1

0

1

0

( , mod ) ( ) ( )

( , mod ) ( , mod )

( ) ( ) ( ), ( ) :

N

i

N

i

y n N x n h n

x i N h n i N

y n x i h n i y n N

点序列

( ) ( ) ( )Y k X k H k

循环卷积定

理

1

0

1( ) [ ( ) ( )]

Nnk

Nk

y n X k H k WN

( )Y k

DFT 对应周期信号，所以， ， 及 都是周期的！

( )x n ( )h n ( )y n

(0) (0) ( 1) (1)

(1) (1) (0) (2)

( 1) ( 1) ( 2) (0)

(0)

(1)

( 1)

y h h N h

y h h h

y N h N h N h

x

x

x N

y

Hx 循环矩阵

为什么有循环卷积

3.6 用 DFT 计算线性卷积

( ), 0,1, , 1x n n N

( ), 0,1, , 1h n n M

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

y n x n h n x k h n k

都是非周期

1L N M

如何用 DFT 来实现DFT 有快速算法

存在什么矛盾

( )

0,1, , 1

x n

n N ( )

0,1, , 1

h n

n M

补零 补零

( )

0,1, , 1

x n

n L

( )

0,1, , 1

h n

n L

DFT DFT

( )

0,1, , 1

X k

k L

( )

0,1, , 1

H k

k L

相乘

( ) ( ) ( )Y k X k H k

IDFT

( ) ( )x n h n

1L N M ( )y n

( ) ( ) ( )y n x n h n

没有全部进入，如何实现卷积

全部进入再卷积，又如何保证实时实现

长序列卷积的计算：( )x n

( )h n( )y n

( )x n

数字信号处理的 优势是“实时实现”，即信号进来后，经处理后 马上输出出去。然而：

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

y n x n h n x k h n k

关键是将 分 段和 卷积( )h n( )x n( ) :

( ) :

( ) : 1

x n N

h n M

y n N M

将 分成 段，每段长( )x n L /K N L

1 2

1 2

( ), ( ), , ( )

( ), ( ), , ( )

1

L

L

x n x n x n

y n y n y n

K M

( 1)

1

L K M

N LM L

N M

Overlap — add method 叠接相加法

Overlap — save method 叠接舍去法

自己看书及使用 MATLAB文件来掌握

另外：

较短（ FIR ：长度在 20～ 50 之间， IIR: 尽管无限长，但有限长度要小于 50 ），

可能很长，也不适宜直接卷积。

( )h n

( )x n

电子信息工程学院

一、分辨率

分辨率 问题是信号处理 中的基本 问题，包括频率分辨率和时间分辨率。

频率分辨率：通过频域窗观察到的频率宽度；

时间分辨率：通过时域窗观察到的时间宽度；

3.7 与 DFT有关的几个问题

窗函数的“宽度”越小越好！

窗函数的“宽度”能随信号的变 化

自适应当调整！

希望

频率分辨率 又可定义为：将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能 力。

频率分辨率：一是取 决于信号的长度，二是取决于频谱分析的 算法。

时间和频率是描述信号的两个主要物理量，它们通过傅里叶变换相联系。

dejXtx

dtetxjX

tj

tj

)(2

1)(

)()(

n

njj enxeX )()(

1( ) ( )

2j j nx n X e e d

FT DTFT

对 FT: 设 长度为 ，则 ( )Tx t T( )TX j 的分辨率 1/ (Hz)f T

( )d tA

t2T/ 2T

( )

sin( / 2)

/ 2

D j

TAT

T

2

T

主瓣宽度反

比于时间长

度

( ) ( ) ( )Tx t x t d t

对 DTFT: 设抽样间隔为 ， 则 ( ) ( ), 0,1, , 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )* ( )

T N

N

j j jN

x t x n n N

x n x n d n

X e X e D e

sT / sN T T

( )

sin( / 2)

sin( / 2)

jgD e

N

2

N

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

0

2

4

6

(a) N=6

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-5

0

5

10

15

20

(b) N=18

主瓣宽度反比

于时间长度

1 2

4k

N

对矩形窗， ，其他类型的窗函数，1k 1k

这为数据长度的 选择提供了依据。

用计算机分析和处理信号时，信号 总是有限长，其长度即是矩形窗的宽度，要想分辨出 处的两个频谱，数据长度必 须满足：

1 2,

1/

4

f T

T

4k

N

“物理分辨率”：取决于信号的有效长度。

对 DFT:21

0

21

0

( ) ( ) 0,1, 1

1( ) ( ) 0,1, , 1

N j nkN

n

N j nkN

k

X k x n e k N

x n X k e n NN

sf f N

此为 相邻两点的频率间隔，也是最大

分辨“ 细胞”。若要分辨出 处的两个谱

峰， 必须大于 。

( )X k

1 2,f f

1 2f f f

例：1 2 3

1 2 3

( ) sin(2 ) sin(2 ) sin(2 )

2Hz, 2.02Hz, 2.07 Hz, 10Hz,s s s

s

x n f n f f n f f n f

f f f f

试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。

2 1 0.02Hz

2 2 0.002s

f f f

f f

在本例 中，最小的

由 1 2

4

N

有 4 2 (0.002) 1000N

即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度 至少要大于 1000 ，从 DFT 的角度看

若令

10 1024 0.00976Hzsf f N

1024N

则

下图， 分别等于 256 和 1024 ，可见，

时无法分辨三个谱峰。256N N

1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.50

50

100

150

Hz

1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.50

200

400

600

Hz

使用 DFT 的步骤： 由信号的最高频率 确定抽样频率 ；cf sf

N 根据分辨率的需要， 确定 数据长度 ；

根据 DFT 的结果，再适当调整参数。

要根据分辨率的要求 确定模拟信号的长度 ,

若 可以无限长，则TT

DFT 和线性卷积是信号处理 中两个最重要的基本运算，有快速算法，且二者是“相通”的。

N

f 不变，若 增加 ,N N T

“ 计算分辨率”

如何增加数据的点数 N N

1.提高抽样率；

2. 在数据后面补零。能提高分辨率 吗

/ /

/ /

s s

s s

N T T f f N

N T T f f N f

不能提高分辨率

不能提高分辨率， 没有增加数据有效长度！

例：1 2 3

1 2 3

( ) sin(2 ) sin(2 ) sin(2 )

2.67 Hz, 3.75Hz, 6.75Hz, 20Hz,s s s

s

x n f n f f n f f n f

f f f f

令 16N

( )jX e 在正频率处应 该有三根谱线。

数据后补零的影响：为什么要补零？

数据过短，补零后可起到一定的插值作用； 使数据长度为 2 的整次幂，有利于 FFT 。

0 5 100

2

4

6

8

Hz0 5 10

0

2

4

6

8

Hz

0 5 100

2

4

6

8

10

Hz0 5 10

0

2

4

6

8

10

Hz

16N （几根谱线 ？） 补 个零（？）N

补 7 个零N 补 29 个零N

三个正弦

二、 DFT 对 FT 的近似

是否是 的准确抽样？

( )X k( )aX j

原： ( )ax t 频谱： ( )aX j

抽样： 频谱：( )ax n ( )jaX e

截短： 频谱：( )x n ( )X k

只要满足抽样定理； 做 DFT 时数据的长度保证所需的频率分辨

率；则 是 的 极好近似。( )X k ( )aX j

为什么 不是 的 准确抽样

关键取决于信号时宽－带宽的不定原理：

( )X k ( )aX j

2 2 21 | ( ) |t E t x t dt 2 2 21

2 | ( |E X d 信号的时宽

信号的带宽

t 信号时宽－带宽积

12t (Uncertainty Principle)

14t f 或：

所以，若信号是有限时宽的，那么在频域必然是无限 带宽的，反之亦然。这一现象也可从加窗的角度来理解，即矩形窗的频谱是无限宽的。这一现 象，来自傅立叶变换的性质：

FT( )x t ( )X j

( )x at1

( )X j aa

FT

做 DFT 时，总不可避免的取有限长，“有限

长”带来了 对 的近似。( )X k ( )aX j

电子信息工程学院

要求：1. 由图 3.7.3 ，搞清（ 3.7.8) ~ (3.7.14) 式的含义；

1( ) ( )

s

ja T a s

ls

X e X j jlT

( ) ( ) ( )j j jaX e X e D e

2( ) ( ) 0,1, , 1jN

kN

X k X e k N

( ) ( ) 0,1, , 1Nl

X k X k lN k N

( ) ( ) , ,sa a t nTx n x t n

( ) ( ) ( ), 0,1, , 1N ax n x n d n n N

( ) ( ), 0,1, , 1Nl

x n x n lN n N

2. 总结在导出 DFT 的过程中，有几个“周期延 拓”？

3. 理解例 3.7.4 和例 3.7.5;

4. 思考：什么情况下， 是 的 准

确抽样？

( )X k ( )aX j

0 0

0

0 0

( ) sin(2 ), 2

( ) sin(2 ) sin( )

(0) 0, (1) 0,

( ) cos(2 ), 2

(0) 1, (1) 1,

s

s

s

x t f t f f

x n f n f n

x x

x t f t f f

x x

3.8 关于正弦信号的抽样

02sf f

( )x t 窄带信号抽样定理：若信号 的频谱

仅在 的范围内有值，我们称该信号为

窄带信号。若保证 ，则可由

恢复 。

~l hf f

2( )s h lf f f

( )x n( )x t

问题的关键是由于正弦信号是一 类特殊的信号，特殊在它是单频率信号，带宽为零，所以要单独考虑。

又：1 1 1

2 2 2

1

2

( ) cos(2 ), 20Hz

( ) cos(2 ), 100Hz

( ) cos(2 20 / 80) cos( / 2)

( ) cos(2 100 / 80) cos( / 2)

x t f t f

x t f t f

x n n n

x n n n

80Hzsf

几点建议： 1. 抽样频率应为正弦频率的整数倍；

2. 抽样点数应包含整周期，数据长度

最好是 2 的整次幂；

3. 每个周期最好是四个点 或更多；

4. 数据后不要补零。 按以上要求，对离散正弦信号做 DFT 得到的频谱正好是线谱， 完全等同于连续正弦信号的线谱。

2

21 2

1 1 1 2

(0,0) (0,1) (0, 1)

(1,0) (1,1) (1, 1)( , )

( 1,0) ( 1,1) ( 1, 1)

x x x N

x x x Nx n n

x N x N x N N

3.9 二维傅立叶变换

多用于图像处理：

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 1 2 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1

1 2

1 1

1 2 1 2 1 20 0

1 1

1 20 0

1 1

1 2 1 2 20 0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

N Nn n

n n

N Nj j j n j n

n n

N Nn k n k

N Nn n

X z z x n n

X e e x n n e e

X k k x n n W W

z z

先对行作 DFT ，作 次，对其中间结果，

再对列作变换，作 次。 或反之。

1N

2N

例： 2－ D Hamming 窗及其频谱

时域窗 频谱

3.11 Hilbert 变换1 ( )

ˆ( )x

x t dt

信号处理 中重要的理论工具

1 ( )ˆ( )

x tx t d

1ˆ( ) ( )x t x t

t

( )x t ˆ( )x t1

t

01( ) ( ) sgn( )

0

jh t H j j

jt

)()()( jejHjH

( ) 1H j

02/

02/)(

( )H j

1

( )j 2

2

)(ˆ)()( txjtxtz

ˆ( ) ( ) ( )Z j X j jX j

00

0)(2)(

jXjZ

令： 的解析（ Analytic) 信号( )x t

0( ) ( )

0

jX j jX j

j

( ) ( ) ( )X j jH j X j

解析信号 的频谱只有正频率成分！ 显然，若

对 抽样，抽样频率可降低一倍。另外，做时

－频分析时，可 减轻正、负频率处的 交叉干扰。

( )z t

( )z t

( )X j ( )Z jˆ ( )X j

d

t

xtx

ttx

)(ˆ1)(ˆ

1)(

Hilbert 反变换：

例： 若 0( ) cos(2 )x t A f t

可求出： 0ˆ( ) sin(2 )x t A f t

02ˆ( ) ( ) ( ) j f tz t x t jx t Ae

正、余弦函数构成一对 Hilbert 变换

离散信号的 Hilbert 变换：0

( )0

j jH e

j

m m

mnxnhnxnx

)12(

)12(2)()()(ˆ

1( ) ( )

2j j nh n H e e d

01 ( 1)

( ) 2n n

h nn n

n

为偶数

为奇数

Hilbert 变换 器的单位抽样响应

如何有效的计算 Hilbert 变换？Step 1. 对 做 DFT, 得：( )x n ( ), 0, , 1X k k N

Step 2. 令

1,,2

0

12

,,2,1)(2

0)(

)(

NN

k

NkkX

kkX

kZ

Step 3. 对 做逆 DFT, 得( )Z k ( )z n

Step 4. 由

ˆ( ) IDFT[ ( ( ) ( ))]x n j Z k X k

得 )]()([)(ˆ nxnzjnx

Hilbert 变换的性质：1. 信号通过 Hilbert 变换 器后，幅度谱不发生变 化；

0)(2

)(2

)](ˆ)[(2

1)(ˆ)(

0 20 2

djXj

djXj

djXjXdttxtx

0)](ˆ)[(2

1)(ˆ)(

deXeXnxnx jj

n

但我们并不把 Hilbert 变换看作是正 交变换

2. 信号和其 Hilbert 变换是正 交的：

3. 卷积性质

1 1

2 2

ˆ( ) ( )

ˆ( ) ( )

ˆ( ) ( )

x t x t

let x t x t

x t x t

1 2

1 2

1 2

: ( ) ( ) ( )

ˆ: ( ) ( )

ˆ( ) ( )

if x t x t x t

then x t x t

x t x t

ˆ( )x t

: ( ) ( ), ( ) 0 0let x n x n x n for n

deXeX jR

jI )

2cot()(

2

1)(

)0()2

cot()(2

1)( xdeXeX j

Ij

R

Hilbert 变换 关系

实因果信号傅立叶变换的一 些内部关系：

实因果信号

( ) ( ) ( )j j jR IX e X e jX e 直角坐标

( ) arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j j X eX e X e e X e e

极坐标( ) ln ( ) arg[ ( )]j j jX e X e j X e

取对数

deXeX jj )2

cot()(ln2

1)](arg[

1ln ( ) arg[ ( )]cot( ) (0)

2 2j jX e X e d x

Hilbert 变换关系

( ) ( )jX e x n 的

复倒谱( )x n Spectrum

Cepstrum

与本章有关的 MATLAB 文件fftfilt.m 用叠接相加法实现卷积。格式是

y=fftfilt(h,x) 或 y=fftfilt(h, x ， N)

记 的长度为 ， 的长度为 。 若 采用第一个调用方式，程序自动地确定对

分段的长度 及 做 FFT 的长度 ， 显然，

是最接近 的 2 的整次幂。分的 段数

为 。采用第二个调用方式，使用者可自己指定做 FFT 的长度。 建议使用第一个调用方式。

( )x nxN ( )h n M

( )x n

( )L M

NL

/xN L

N

hilbert.m

文件用来计算信号的解析信号。 调用

的格式是 : y=hilbert(x),

y 的实部就是 ，虚 部是 的

Hilbert 变换 。即

( )x n

ˆ( )x n

( )x n

ˆ( ) ( ) ( )y n x n jx n