수치해석 (Numerical Analysis) 고유치 (Eigenvalues)cs.kangwon.ac.kr/~ysmoon/courses/2005_2/na/09.pdf · 2016-06-02 · 1 2005년가을학기 문양세 컴퓨터과학과 강원대학교자연과학대학

1

20052005년년 가을학기가을학기

문양세문양세

컴퓨터과학과컴퓨터과학과

강원대학교강원대학교 자연과학대학자연과학대학

수치해석수치해석 (Numerical Analysis)(Numerical Analysis)

고유치고유치 ((EigenvaluesEigenvalues) )

Page 2Numerical Analysisby Yang-Sae Moon

고유치(Eigenvalues)In this chapter In this chapter ……

본 장에서는 행렬의 중요한 성질인 고유치(eigenvalues)와 고유 벡터

(eigenvectors)에 대해서,1) 고유치와 고유 벡터의 정의 및 이를 구하는 방법을 배우고,2) 행렬의 특성 방정식과 이를 이용한 케일리-해밀턴 정리를 알아보며,3) 행렬의 함수를 정의하고, 이를 해결하기 위한 무한급수를 배우고,4) 파데브-레브리어 알고리즘과 이를 활용하는 방법을 익힌다..

We will cover …

• 고유치와 고유 벡터

• 케일리-해밀턴 정리

• 행렬의 무한 급수 (we will skip this section)

• 파데브-레브리어 알고리즘

2


We are now We are now ……

고유치와 고유 벡터

케일리-해밀턴 정리

파데브-레브리어 알고리즘

Eigenvalues & Eigenvectors


Eigenvalues & Eigenvectors대각대각 행렬로의행렬로의 변환변환 (1/6)(1/6)

선형 연립 방정식 Ax = b에서, 어떤 정칙 행렬 P가 있어서, 그 행렬이 다

음 관계를 만족한다고 하자.

행렬 P를 사용하여 연립 방정식 Ax = b를 정리하면 다음과 같다.

결국, 원래 연립 방정식은 다음 형태로 정리될 수 있다.

-1

-1

x Px', x' = P xb Pb', b' = P b=

=

-1

Ax=APx' =Pb'(P AP)x'=b'

-1x'=b' ( P AP)Λ Λ=

3



여기에서, 행렬 Λ가 다음과 같은 대각 행렬의 성질을 만족시킨다고 하자.

이와 같은 성질(행렬 Λ가 대각 행렬인 성질)을 만족시키는

행렬 P를 모우들 행렬(modal matrix)이라 하고, 이때 만들어진 대각 행렬 Λ를 스펙트럼 행렬(spectrum matrix)라 한다.

1

2

3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 n

λ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥λ⎢ ⎥⎢ ⎥λΛ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥λ⎣ ⎦



상기 식 Λ = P-1AP의 행렬 P를 n개의 n차원 벡터 p1, …, pn으로 표현하면

다음과 같다.

AP = P =

=

1 2 311 1 1 1

1 2 322 2 2 2

1 2 133 3 3 3

1 2 3

1

2

1 23

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

n

n

n

nnn n n n

n

n

p p p p

p p p p

p p p p

p p p p

p p p

⎡ ⎤ λ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥λΛ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

λ⎡

λ

⎡ ⎤ λ⎣ ⎦

λ

⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

4



결국, 원래 연립 방정식은 다음 형태로 정리될 수 있다.

A i iip p= λ

그 이유는, AP = PΛ가 다음과 다음과 같이 나타나기 때문이다.

AP =

1 1 31 1 1 11 1 1 1

1 2 32 2 2 21 1 1 1

1 2 33 3 3 31 1 1 1

1 2 31 1 1 1

n n n n nj j j j j j j jj j j j



n n n n nnj j nj j nj j nj jj j j j

a p a p a p a p

a p a p a p a p

a p a p a p a p

a p a p a p a p

= = = =

= = = =

= = = =

= = = =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

= = P

1 2 31 1 1 2 1 3 1

1 2 32 1 2 2 2 3 2

1 2 33 1 3 2 3 3 3

1 2 31 2 3

nn

nn

nn

nn n n n n

p p p p

p p p p

p p p p

p p p p

⎤ ⎡ ⎤λ λ λ λ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥λ λ λ λ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ Λλ λ λ λ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥

λ λ λ λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎦

= A = =

1 11

2 21

3 31

1

n i ij j ij

n i ij j ij

n i i i ij j i ij

n i inj j n ij

a p p

a p p

a p p p p

a p p

=

=

=

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∑∑∑

∑



지금부터는 편의상 pi를 p로, λi를 λ로 나타내기로 한다.

Ap = λp를 다시 정리하면, 다음과 같다(다음에서, 0는 n차원 벡터이다).

( )I A 0pλ − =

그런데, 여기에서 p는 0가 아니므로, (λI – A) = 0가 되어야 한다.즉, (λI – A)가 특이 행렬(singular)이 되어야 하고, 따라서, 그 행렬식은 0이 되어야 한다(다음 식이 성립하여야 한다).

I A 0λ − =

5



그리고, |λI – A|는다음과 같이 λ에 대한 n차 방정식이 되며,이 방정식을 행렬 A의 특성 방정식(characteristic equation)이라 한다.

1 21 2 1 0 0n n n

n n− −

− −λ + α λ + α λ + + α λ + α =

그 이유는 왼편과 같은

과정으로 행렬식이

구해지기 때문이다.

( )

( )

I A

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

22 23 2

32 33 311

2 3

11

n

n

n

n n n nn

n

n

n n nn

a a a aa a a aa a a a

a a a a

a a aa a a

a

a a a

a

λ − − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− λ − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − λ − −λ − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − λ −⎣ ⎦

λ − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− λ − −⎢ ⎥= λ − +⎢ ⎥⎢ ⎥− − λ −⎢ ⎥⎣ ⎦

= λ − λ( )33 3

22

3

1 21 2 1 0

n

n nn

n n nn n

a aa

a a− −

− −

λ − −⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− λ −⎣ ⎦

= λ + α λ + α λ + + α λ + α


Eigenvalues & Eigenvectors고유치의고유치의 정의정의

정의: 행렬 A의 특성 방정식의 근(해)을 행렬 A의 고유치(eigenvalues)라정의한다. 즉, 특성 방정식을 아래와 같이 나타냈을 때,

정리: 행렬 A의 고유치는 행렬 A의 대각 행렬인 Λ의 대각 원소이다.즉, 행렬 A의 고유치를 λ1, λ2, …, λn이라 하면, 다음이 성립한다.

( )( ) ( )

1 21 2 1 0

1 2 0

n n nn n

n

− −− −λ + α λ + α λ + + α λ + α

= λ − λ λ − λ λ − λ =

λ1, λ2, …, λn을 행렬 A의 고유치라 한다.

1

2

3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 n

λ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥λ⎢ ⎥⎢ ⎥λΛ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥λ⎣ ⎦

6


Eigenvalues & Eigenvectors고유치를고유치를 구하는구하는 예제예제 (1/2)(1/2)

예제) 다음 행렬 A의 고유치를 구하라.

A3 1 1

22 10 322 1 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

행렬 A의 특성 방정식을 구한다.

I A3 1 1

22 10 32 02 1 3

λ − −⎡ ⎤⎢ ⎥λ − = λ + − =⎢ ⎥⎢ ⎥λ −⎣ ⎦


Eigenvalues & Eigenvectors고유치를고유치를 구하는구하는 예제예제 (2/2)(2/2)

다음 과정에 의해서 행렬 A의 특성 방정식을 계산할 수 있다.

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

I A

2

3 2

3 1 122 10 322 1 3

10 32 22 32 22 103 1 1

1 3 2 3 2 1

3 10 3 32 1 22 3 32 2 22 1 10 2

3 7 2 22 2 2 2

4 6 1 2 3 0

λ − −⎡ ⎤⎢ ⎥λ − = λ + −⎢ ⎥⎢ ⎥λ −⎣ ⎦

λ + − − λ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= λ − − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ − λ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= λ − λ + λ − − − + λ − − − + − λ +

= λ − λ + λ + + λ − + − λ +

= λ + λ + λ − = λ − λ + λ + =

결국, 행렬 A의 고유치는 다음과 같다.

1 2 31, 2, 3λ = λ = − λ = −

7


Eigenvalues & Eigenvectors고유치의고유치의 성질성질

행렬 A의 고유치가 0가 되기 위한 필요충분조건은 A가 (정칙 행렬이 아

닌) 특이 행렬(singular matrix)인 것이다.

임의의 실수 k에 대해, 행렬 kA의 고유치는 원래 행렬 A의 고유치의 k배에 해당하는 값이다.

행렬 A와 이의 전치(transpose) 행렬 AT의 고유치는 동일하다.

행렬 A의 역행렬 A-1의 고유치는 A의 고유치의 역수와 같다.

행렬 Ak의 고유치는 A의 고유치의 k 제곱과 같다.

대각 행렬의 고유치는 그 대각 원소들이다.

행렬 A의 고유치들의 합은 trace(A)가 된다.

행렬 A의 고유치들의 곱은 행렬 A의 행렬식이 된다.

( )11 221

Note: trace(A)n

ii nnia a a a

=

= = + + +∑


Eigenvalues & Eigenvectors고유고유 벡터의벡터의 정의정의

정의: 행렬 A에 대한 n개의 고유치(λ1, λ2, …, λn)에 대해서 각기 다음 식

을 만족하는 벡터 pi(p1, p2, …, pn)를 행렬 A의 고유 벡터라 정의한다.(하기 식은 앞서 고유치를 유도하는 과정에서 얻은 식과 동일함)

( )A I A 0i i ii ip p p= λ ⇔ λ − =

8


Eigenvalues & Eigenvectors고유고유 벡터를벡터를 구하는구하는 예제예제 (1/2)(1/2)

다음 행렬에 대한 고유 벡터를 구하라.

A3 1 1

22 10 322 1 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

앞서 행렬 A의 고유치를 λ1=1, λ2=-2, λ3=3으로 구했으므로, 우선 고유치 1에 대해서 식을 전개하면 다음과 같다.

( )I - A

11

1 11 2

13

1 1 11 2 31 1 11 2 3

1 1 11 2 3

2 1 122 11 32 02 1 2

2 0

22 11 32 0

2 2 0

p

p p

p

p p p

p p p

p p p

⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎧− − + =⎪⎪⇔ + − =⎨⎪

+ − =⎪⎩


Eigenvalues & Eigenvectors고유고유 벡터를벡터를 구하는구하는 예제예제 (2/2)(2/2)

그런데, 세 번째 식이 첫 번째와 두 번째 식에 선형 의존이다. 따라서, 다음 두 식으로 나타낼 수 있다.

1 1 11 2 31 1 11 2 3

2 0

22 11 32 0

p p p

p p p

⎧− − + =⎪⎨

+ − =⎪⎩

상기 두 식을 만족하는 p1i은 무수히 많으므로,

임의로 p11 = 2로 두면, 왼편과 같은 고유 벡터를

얻을 수 있다.

11

1 1213

120

p

p p

p

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

마찬가지 방법으로, 다른 고유치에 대해서도

같은 방식을 적용하면, 다음과 같이

고유 벡터를 얻을 수 있다. 2 3

0.174 0.1471 , 1

0.130 0.118p p

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

9


Eigenvalues & Eigenvectors고유고유 벡터의벡터의 성질성질

임의의 실수 k에 대해서, 행렬 kA의 고유 벡터들은 행렬 A의 고유 벡터와

동일하다.

행렬 A-1의 고유 벡터들은 행렬 A의 고유 벡터들과 같다.

서로 다른 고유치에 해당하는 고유 벡터들은 서로 선형 독립이다.(i.e., pi ≠ kpj if λi ≠ λj)

실수를 원소로 하는 행렬 A의 고유 벡터들 중에 복소수가 있으면, 그들은

서로 켤레 복소수의 관계를 가진다.


Eigenvalues & Eigenvectors닮은닮은 변환변환 (Similarity Transformation) (1/2)(Similarity Transformation) (1/2)

(앞서 살펴본 바와 같이) 행렬 A와 이의 스펙트럼 행렬 Λ는 다음 관계가

성립한다.

-1 1 2Λ=P AP where P np p p⎛ ⎞⎡ ⎤=⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

상기와 같은 관계가 성립할 때, 행렬 A와 Λ는 닮았다(similar)고 한다.

정의: 행렬 A와 B 사이에 모으들 행렬 P가 존재하여 B=P-1AP의 관계를

만족하면 행렬 A와 B는 닮았다(similar)고 정의한다.

10


Eigenvalues & Eigenvectors닮은닮은 변환변환 (Similarity Transformation) (2/2)(Similarity Transformation) (2/2)

만일, 행렬 A와 B가 서로 닮았다고 하면, 다음 관계들이 성립한다.

1. P-1(A2)P = B2

2. P-1(An)P = Bn

3. P-1(A-1)P = B-1

4. trace(B) = trace(A)

5. |B| = |A|

6. 행렬 B의 고유치는 행렬 A의 고유치와 동일하다.


Eigenvalues & Eigenvectors고유고유 벡터의벡터의 계산계산 -- 개념개념

(앞서 언급한 바와 같이) 행렬 A가 nxn 행렬인 경우, 미지수 n개의 선형

연립 방정식을 풀면 고유 벡터를 계산할 수 있다.

선형 연립 방정식은 가우스-조던 방식 등을 사용하여 풀 수 있다.

그런데, 몇몇 경우에는 선형 의존 관계에 의하여, 임의의 값을 대입한 후

고유 벡터를 계산해야 한다. 다음의 예제 참조

( )( )

( )

( )

11

1 1 11 11 1 12 2 1

1 1 121 1 1 22 2 2

1 1 11 1 2 2 1

I A 0

0

0

0

n n

n n

n n nn n

p

a p a p a p

a p a p a p

a p a p a p

λ − =

⎧ λ − − − − =⎪⎪− + λ − − − =⎪⇔ ⎨⎪⎪− − − + λ − =⎪⎩

11


Eigenvalues & Eigenvectors고유고유 벡터의벡터의 계산계산 –– 예제예제 I (1/2)I (1/2)

다음 행렬 A에 대해서 고유치를 계산하라.

A3 1 1

22 10 322 1 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

앞서 행렬 A의 고유치를 λ1=1, λ2=-2, λ3=3으로 구했다.이번에는 고유치 -2에 대해서 식을 전개하면 다음과 같다.

2 2 21 2 32 2 21 2 3

2 2 21 2 3

5 0

22 8 32 0

2 5 0

p p p

p p p

p p p

⎧− − + =⎪⎪ + − =⎨⎪

+ − =⎪⎩


Eigenvalues & Eigenvectors고유고유 벡터의벡터의 계산계산 –– 예제예제 I (2/2)I (2/2)

가우스-조단 방식을 사용하면, 다음 식을 얻을 수 있다.

p22에 1을 대입하여 나머지 값을 구하면 다음과 같이 고유 벡터를 구할 수

있다.

2 21 2

2 22 3

0.174 0

0.130 0 0 0

p p

p p

⎧ +⎪⎪ − +⎨⎪⎪⎩

20.174

10.130

p−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

12


Eigenvalues & Eigenvectors고유고유 벡터의벡터의 계산계산 –– 예제예제 II (1/2)II (1/2)

(중근 예제 1) 다음 행렬 A에 대해서 고유치를 계산하라.

A8 1 0

21 0 118 0 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

행렬 A의 특성 방정식을 구하여 풀면 다음과 같다.

1 11 2

1 1 11 2 31 11 3

5 0

21 3 0

18 3 0

p p

p p p

p p

⎧ − =⎪⎪ − − =⎨⎪

− =⎪⎩

( )( )23 28 21 18 2 3 0λ + λ + λ + = λ + λ + =

중근인 고유치(-3)에 대해서 고유 벡터를 구하는 방정식은 다음과 같다.


Eigenvalues & Eigenvectors고유고유 벡터의벡터의 계산계산 –– 예제예제 II (2/2)II (2/2)

가우스-조단 방식을 사용하여 방정식을 풀면 다음과 같다.

이 경우, (중근임에도 불구하고) 서로 독립인 고유 벡터는 하나만 나온다.예를 들어, p1

3=1이라 하면, p11=0.167, p1

2=0.833이 된다.)

1 11 31 12 3

0.167 0

0.833 0 0 0

p p

p p

⎧ −⎪⎪ −⎨⎪⎪⎩

결국, 이 경우는 고유 벡터를 (세 개가 아닌) 두 개밖에 구할 수 없으므로,정칙 행렬(nonsingular matrix)인 모우들 행렬 P를 구할 수 없다

13


Eigenvalues & Eigenvectors고유고유 벡터의벡터의 계산계산 –– 예제예제 III (1/3)III (1/3)

(중근 예제 2) 다음 행렬 A에 대해서 고유치를 계산하라.

A1 0 11 2 10 0 2

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


1 11 31 11 3

0

0 0 0

p p

p p

⎧ + =⎪⎪ + =⎨⎪ =⎪⎩

( )( )23 25 8 4 1 2 0λ − λ + λ − = λ − λ − =

중근인 고유치(2)에 대해서 고유 벡터를 구하는 방정식은 다음과 같다.



가우스-조단 방식을 사용하여 방정식을 풀면 다음과 같다.

이 경우, 첫 번째 식을 만족하는 여러 개의 고유 벡터를 구할 수 있다.이 중에서 두 개의 고유 벡터를 구하면 다음과 같다.

1 11 3 0

0 0 0 0

p p⎧ + =⎪

=⎨⎪ =⎩

1 20 11 , 00 1

p p⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

14



나머지 고유치(1)에 대해서 고유 벡터를 구하면 다음과 같다.

결국, 다음과 같이 행렬 A의 모우들 행렬을 구할 수 있다.

3110

p⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

P 1 2 30 1 11 0 10 1 0

p p p⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

그리고, 이때의 스펙트럼 행렬 Λ는 다음과 같다.

1

2

3

0 0 2 0 00 0 0 2 00 0 0 0 1

λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥Λ = λ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


Eigenvalues & Eigenvectors고유고유 벡터의벡터의 계산계산 –– 예제예제 IV (1/3)IV (1/3)

(해가 복소수인 경우) 다음 행렬 A에 대해서 고유치를 계산하라.

A2 15 0

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦


( )( )

2 1 11 2

1 2 11 2

1 0

5 1 0

i p p

p i p

⎧ + − =⎪⎨

+ − + =⎪⎩

( )( )2 2 5 1 2 1 2 0i iλ + λ + = λ + + λ + − =

첫 번째 고유치(-1+2i)에 대한 고유 벡터를 구하는 방정식은 다음과 같다.

15



실수부와 허수부로 나누어 정리하면 다음과 같다.

1 1 11 1 2

1 1 11 1 21 1 11 2 21 1 11 2 2

2 0

2 0

5 2 0

5 2 0

e f e

e f f

e e f

f e f

⎧ − − =⎪⎪ + − =⎪⎨

− − =⎪⎪

+ − =⎪⎩

가우스-조던 방식을 이용하여 방정식을 풀면 다음과 같다.

1 1 11 1 11 1 12 2 2

0, where

0

p e f i

p e f i

⎧ = + =⎪⎨

= + =⎪⎩

1 1 11 2 21 1 11 2 2

0.4 0.2 0

0.2 0.4 0 0 00 0

f e f

e e f

⎧ + − =⎪⎪ − − =⎨

=⎪⎪ =⎩



다음과 같이 두 미지수를 왼편과 같이 임의의

값으로 정해 준다.

1111

1

0

e

f

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

결국, 첫 번째 고유 벡터는 왼편과 같다.

나머지 값들에 대해서 풀면, 왼편과 같다.1212

1

2

e

f

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

1 11 2

pi

⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦

두 번째 고유 벡터는 첫 번째의 켤례 복소수

에 해당하므로, 왼편과 같이 구할 수 있다.

2 11 2

pi

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

16






Cayley-Hamilton Theorem


행렬의행렬의 제곱승에제곱승에 대한대한 정의정의

2 3

2

2 1 1 3 1 1 1

1. A AA, A AAA,

2. A I

3. A A A , A A A A ,

4. A A Am n m n

− − − − − − −

+

= =

=

= =

=


17


케일리케일리--해밀턴의해밀턴의 정리정리

케일리-해밀턴의 정리: 임의의 정방 행렬 A의 특성 방정식이 다음과 같이

주어진다면,


다음과 같이 행렬 A에 대한 방정식이 성립한다. (λ A)

1 21 2 1 0 0n n n

n n− −

− −λ + α λ + α λ + + α λ + α =

A A A A 1 21 2 1 0 0n n n

n n− −

− −+ α + α + + α + α =

케일리-해밀턴의 정리에 따르면, 정방 행렬의 고차 제곱들은 그 이하 차

수를 가지는 제곱들의 선형 조합으로 나타낼 수 있다.

A A A A 1 21 2 1 0

n n nn n

− −− −= −α −α − −α −α


케일리케일리--해밀턴해밀턴 정리의정리의 예제예제 (1/2)(1/2)

정방 행렬 A가 다음과 같이 주어졌다고 하자.


행렬의 특성 방정식을 구하면 다음과 같다.

A1 2 03 1 42 1 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 2 15 0λ − λ + λ + =

케일리-해밀턴 정리를 사용하면 다음의 행렬 방정식을 구할 수 있다.

3 2

3 2

A A A 15I 0

A =A A 15I

− + + =

− −

18


케일리케일리--해밀턴해밀턴 정리의정리의 예제예제 (2/2)(2/2)

계속 적용해 보면, An(n ≥ 3)은 A2 이하 차수를 가지는 항들의 선형 조합으

로 나타낼 수 있다.


( )4

3 2 3 2

2 2

A

AA A A A 15I A A 15A

A A 15I A 15A=16A 15I

= = − − = − −

= − − − −−


역행렬역행렬 구하기구하기

케일리-해밀턴 방정식의 양변에 A의 역행렬을 곱해 전개한다.


( )A A A A A

A A A I A

1 1 21 2 1 0

1 2 3 11 2 1 0 0

n n nn n

n n nn n

− − −− −

− − − −− −

+ α + α + + α + α

+α + α + + α + α =

결국, A의 역행렬은 다음과 같이 구할 수 있다.

( )A A A A I 1 1 2 31 2 1

0

1 n n nn n

− − − −− −= − + α + α + + α

α

19






Faddeev-Leverrier Algorithm


들어가기에들어가기에 앞서서앞서서……

교재의 보허의 공식

파데브-레브리어 알고리즘으로 이어지는 부분은 그 내용이 복잡할 뿐 아

니라, 일관성이 없어서 사용하지 않습니다.

대신, 강의에서는 California State University의 수학과 Prof. John H. Mathews의 강의 자료를 사용하여 간략한 방법을 제시합니다.(http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NumericalUndergradMod.html)


20


파데브파데브--레브리어레브리어 알고리즘알고리즘 개요개요 (1/3) (1/3)

파데브-레브리어 알고리즘은 특성 방정식의 계수인 αi를 구할 수 있는 효

율적인 알고리즘이다.

또한, 이를 사용하면 행렬의 역행렬을 손쉽게 구할 수 있다.


행렬 A의 특성 방정식이 다음과 같이 주어진다고 가정하자.

즉, 행렬 A에 대해 다음의 방정식이 성립한다.

1 21 2 1 0 0n n n

n n− −

− −λ + α λ + α λ + + α λ + α =

A A A A 1 21 2 1 0 0n n n

n n− −

− −+ α + α + + α + α =



그러면, 다음의 파데브-레브리어 방법에 의해 특성 방정식의 계수 들을

구할 수 있다.


( )

( )

( )

B A trace B

B A B I trace B

B A B I trace B

B A B I trace B

1 1 1

2 1 1 2 2

1 1 1

1 0 0

, ( )1, ( )2

1, ( )

1, ( )

n

n n

k k n k n k k

n n n

k

n

−

− −

− − + − +

−

= α = −

= + α α = −

= + α α = −

= + α α = −

1 21 2 1 0 0n n n

n n− −

− −λ + α λ + α λ + + α λ + α =

21



덧붙여, 행렬 A의 역행렬을 다음과 같이 구할 수 있다.

파데브-레브리어 알고리즘의 자세한 증명 과정은 다음을 참조한다.Faddeeva, V. N., “Computation Methods of Linear Algebra,” (translated from the Russian by Benster, C. D.), Dover Publications Inc., N.Y., 1959.


( )A B I11 1

0

1n

−−= − + α

α

( )A A A A I1 1 2 31 2 1

0

1 n n nn n

− − − −− −= − + α + α + + α

α


특성특성 방정식방정식 구하기구하기 -- 알고리즘알고리즘Faddeev-Leverrier Algorithm

procedure char_eq(aij: real numbers, n: integer){ [aij] is an nxn matrix. (1 ≤ i,j ≤ n)}{ n is # of columns(= # of rows).}

[bij] := [aij];αn−1 := −trace([bij]);

for k := 2 to nbegin

[bij] := [aij]⋅([bij] + αn−k+1[iij]);αn−k := −(1/k)⋅trace([bij]);

end

return αk for every k in between 1 and n;

22


특성특성 방정식방정식 구하기구하기 –– 프로그램프로그램 (1/4)(1/4)Faddeev-Leverrier Algorithm



23





24


특성특성 방정식방정식 구하기구하기 –– 실행실행 결과결과 I (1/2)I (1/2)Faddeev-Leverrier Algorithm

사용한 행렬

2 1 11 2 11 1 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

입력 파일 구성


특성특성 방정식방정식 구하기구하기 –– 실행실행 결과결과 I (2/2)I (2/2)Faddeev-Leverrier Algorithm

실행 결과

구해진 특성 방정식

3 26 11 6 0λ − λ + λ − =

25


특성특성 방정식방정식 구하기구하기 –– 실행실행 결과결과 II (1/2)II (1/2)Faddeev-Leverrier Algorithm

사용한 행렬 (교재에서 사용한 행렬)

2 2 21 0 43 1 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦



특성특성 방정식방정식 구하기구하기 –– 실행실행 결과결과 II (2/2)II (2/2)Faddeev-Leverrier Algorithm

실행 결과


3 2 6 24 0λ + λ + λ − =

26


특성특성 방정식방정식 구하기구하기 –– 실행실행 결과결과 III (1/2)III (1/2)Faddeev-Leverrier Algorithm

사용한 행렬 (4 x 4 행렬)

8 1 3 11 6 2 03 2 9 11 0 1 7

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦



특성특성 방정식방정식 구하기구하기 –– 실행실행 결과결과 III (2/2)III (2/2)Faddeev-Leverrier Algorithm

실행 결과


4 3 230 319 1410 2138 0λ − λ + λ − λ + =

27


역행렬역행렬 구하기구하기 -- 알고리즘알고리즘Faddeev-Leverrier Algorithm

procedure char_inv(aij: real numbers, n: integer){ [aij] is an nxn matrix. (1 ≤ i,j ≤ n)}{ n is # of columns(= # of rows).}

[bij] := [aij];αn−1 := −trace([bij]);

for k := 2 to nbegin

[bij] := [aij]⋅([bij] + αn−k+1[iij]);αn−k := −(1/k)⋅trace([bij]);

if k = n−1 then [cij] = [bij];end

[rij] := −(1/α0)⋅([cij]+α1[iij]);

return [rij];


역행렬역행렬 구하기구하기 –– 프로그램프로그램 (1/5)(1/5)Faddeev-Leverrier Algorithm

28





29





30


역행렬역행렬 구하기구하기 –– 실행실행 결과결과 I (1/2)I (1/2)Faddeev-Leverrier Algorithm

사용한 행렬

2 1 11 2 11 1 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦



역행렬역행렬 구하기구하기 –– 실행실행 결과결과 I (2/2)I (2/2)Faddeev-Leverrier Algorithm

실행 결과

31


역행렬역행렬 구하기구하기 –– 실행실행 결과결과 II (1/2)II (1/2)Faddeev-Leverrier Algorithm

사용한 행렬 (교재에서 사용한 행렬)

2 2 21 0 43 1 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦



역행렬역행렬 구하기구하기 –– 실행실행 결과결과 II (2/2)II (2/2)Faddeev-Leverrier Algorithm

실행 결과

32


역행렬역행렬 구하기구하기 –– 실행실행 결과결과 III (1/2)III (1/2)Faddeev-Leverrier Algorithm

사용한 행렬 (4 x 4 행렬)

8 1 3 11 6 2 03 2 9 11 0 1 7

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦



역행렬역행렬 구하기구하기 –– 실행실행 결과결과 III (2/2)III (2/2)Faddeev-Leverrier Algorithm

실행 결과

Documents

수치해석 (Numerical Analysis) 고유치 (Eigenvalues)cs.kangwon.ac.kr/~ysmoon/courses/2005_2/na/09.pdf · 2016-06-02 · 1 2005년가을학기 문양세 컴퓨터과학과 강원대학교자연과학대학