ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÑÒÀÍÄÀÐÒ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû

ÏÐÎÂÅÐÊÀ ÎÒÊËÎÍÅÍÈßÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ

ÎÒ ÍÎÐÌÀËÜÍÎÃÎ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß

Èçäàíèå îôèöèàëüíîå

ÃÎÑÑÒÀÍÄÀÐÒ ÐÎÑÑÈÈÌ î ñ ê â à

ÁÇ 1

1—20

01/2

73

II

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

Ïðåäèñëîâèå

1 ÐÀÇÐÀÁÎÒÀÍ È ÂÍÅÑÅÍ Òåõíè÷åñêèì êîìèòåòîì ïî ñòàíäàðòèçàöèè ÒÊ 125 «Ñòàòèñòè÷åñ-êèå ìåòîäû â óïðàâëåíèè êà÷åñòâîì ïðîäóêöèè»;

Àêöèîíåðíûì îáùåñòâîì «Íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèé öåíòð êîíòðîëÿ è äèàãíîñòèêè òåõíè÷åñ-êèõ ñèñòåì‹» (ÀÎ ÍÈÖ ÊÄ)

2 ÏÐÈÍßÒ È ÂÂÅÄÅÍ Â ÄÅÉÑÒÂÈÅ Ïîñòàíîâëåíèåì Ãîññòàíäàðòà Ðîññèè îò 22 ÿíâàðÿ2002 ã. ¹ 25-ñò

3 Íàñòîÿùèé ñòàíäàðò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àóòåíòè÷íûé òåêñò ìåæäóíàðîäíîãî ñòàíäàðòà ÈÑÎ5479 —97 «Ñòàòèñòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå äàííûõ. Ïðîâåðêà îòêëîíåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé îòíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ»

4 ÂÂÅÄÅÍ ÂÏÅÐÂÛÅ

© ÈÏÊ Èçäàòåëüñòâî ñòàíäàðòîâ, 2002

Íàñòîÿùèé ñòàíäàðò íå ìîæåò áûòü ïîëíîñòüþ èëè ÷àñòè÷íî âîñïðîèçâåäåí, òèðàæèðîâàí èðàñïðîñòðàíåí â êà÷åñòâå îôèöèàëüíîãî èçäàíèÿ áåç ðàçðåøåíèÿ Ãîññòàíäàðòà Ðîññèè

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

Ñîäåðæàíèå

1 Îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Íîðìàòèâíûå ññûëêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Îïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Îáùèå ïîëîæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Ãðàôè÷åñêèé ìåòîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Íàïðàâëåííûå êðèòåðèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Ñîâìåñòíûé êðèòåðèé, èñïîëüçóþùèé ñòàòèñòèêè b b1 2è (ìíîãîíàïðàâëåííûé êðèòåðèé)

8 Ìíîãîñòîðîííèå êðèòåðèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Ñîâìåñòíûé êðèòåðèé, èñïîëüçóþùèé íåñêîëüêî íåçàâèñèìûõ âûáîðîê . . . . . . . . . . .

10 Ñòàòèñòè÷åñêèå òàáëèöû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ïðèëîæåíèå À Áëàíê áóìàãè äëÿ íîðìàëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ãðàôèêîâ . . . . . . . . . . . .

III

1

1

1

2

3

8

11

11

16

17

25

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

Ââåäåíèå

Íàñòîÿùèé ñòàíäàðò óñòàíàâëèâàåò êðèòåðèè, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî ïðîâåðèòü, ïîä÷èíÿåò-ñÿ ëè ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü äàííûõ íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòî ñëåäóþùèå âèäûêðèòåðèåâ: ãðàôè÷åñêèé ìåòîä, íàïðàâëåííûé êðèòåðèé, ìíîãîíàïðàâëåííûé êðèòåðèé, ìíîãîñòî-ðîííèé êðèòåðèé, ñîâìåñòíûé êðèòåðèé äëÿ íåñêîëüêèõ íåçàâèñèìûõ âûáîðîê.

Öåëüþ íàñòîÿùåãî ñòàíäàðòà ÿâëÿåòñÿ — ïðèâåñòè êðèòåðèè, óäîáíûå äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ñïåöè-àëèñòàìè â ïðîìûøëåííîñòè äëÿ ïðîâåðêè íà íîðìàëüíîñòü ðàçëè÷íûõ äàííûõ â õîäå ïðîâåäåíèÿèçìåðåíèé, êîíòðîëÿ è èñïûòàíèé.

 íàñòîÿùåì ñòàíäàðòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ñòàòèñòèê è ïðàâèëà ïðèíÿòèÿ ðåøå-íèé äëÿ êðèòåðèåâ ïðîâåðêè íà íîðìàëüíîñòü.

IV

1

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû

ÏÐÎÂÅÐÊÀ ÎÒÊËÎÍÅÍÈß ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉÎÒ ÍÎÐÌÀËÜÍÎÃÎ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß

Statistical methods. Tests for departure of the probabilitydistribution from the normal distribution

Ã Î Ñ Ó Ä À Ð Ñ Ò Â Å Í Í Û É Ñ Ò À Í Ä À Ð Ò Ð Î Ñ Ñ È É Ñ Ê Î É Ô Å Ä Å Ð À Ö È È

Äàòà ââåäåíèÿ 2002—07—01

1 Îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ

1.1 Íàñòîÿùèé ñòàíäàðò óñòàíàâëèâàåò ìåòîäû è êðèòåðèè äëÿ ïðîâåðêè îòêëîíåíèÿ ðàñïðåäåëå-íèÿ âåðîÿòíîñòåé îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèÿõ.

1.2 Ïðèìåíåíèå êðèòåðèÿ íà îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íåîáõîäèìî âî âñåõñëó÷àÿõ, êîãäà åñòü ñîìíåíèå, íîðìàëüíî ëè ðàñïðåäåëåíû íàáëþäåíèÿ.  ñëó÷àå ðîáàñòíûõ ìåòîäîâ (òîåñòü òàêèõ, ÷òî ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé íåçíà÷èòåëüíî èçìåíÿþòñÿ, êîãäà ðåàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåâåðîÿòíîñòåé íàáëþäåíèé íåíîðìàëüíî) êðèòåðèé íà îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðèìåíÿþò. Íàïðèìåð ñëó÷àé, êîãäà âûáîðî÷íîå ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå åäèíñòâåííîé ñëó÷àéíîéâûáîðêè, ïîëó÷åííîé â ðåçóëüòàòå íàáëþäåíèé, íåîáõîäèìî ñîïîñòàâèòü ñ äàííûì òåîðåòè÷åñêèìçíà÷åíèåì ñ èñïîëüçîâàíèåì t-êðèòåðèÿ.

1.3 Íåîáÿçàòåëüíî èñïîëüçîâàòü òàêîé êðèòåðèé ïðè êàæäîì îáðàùåíèè ê ñòàòèñòè÷åñêèì ìåòî-äàì, îñíîâàííûì íà ãèïîòåçå íîðìàëüíîñòè. Ñóùåñòâóþò ñëó÷àè, êîãäà â íîðìàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿíàáëþäåíèé íåò ñîìíåíèÿ: åñòü òåîðåòè÷åñêèå (íàïðèìåð ôèçè÷åñêèå) îáîñíîâàíèÿ, ïîäòâåðæäàþùèåãèïîòåçó, èëè ãèïîòåçó ñ÷èòàþò ïðèåìëåìîé ñîãëàñíî àïðèîðíîé èíôîðìàöèè.

1.4 Êðèòåðèè íà îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, óñòàíîâëåííûå â íàñòîÿùåì ñòàíäàð-òå, â îñíîâíîì ðàññ÷èòàíû íà ïîëíûå, íåñãðóïïèðîâàííûå äàííûå.

2 Íîðìàòèâíûå ññûëêè

 íàñòîÿùåì ñòàíäàðòå èñïîëüçîâàíà ññûëêà íà ñëåäóþùèé ñòàíäàðò:ÃÎÑÒ Ð 50779.10-2000 (ÈÑÎ 3534.1-93) Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû. Âåðîÿòíîñòü è îñíîâû ñòàòèñòè-

êè. Òåðìèíû è îïðåäåëåíèÿ

3 Îïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ

3.1 ÎïðåäåëåíèÿÂ íàñòîÿùåì ñòàíäàðòå ïðèìåíÿþòñÿ òåðìèíû ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè îïðåäåëåíèÿìè ïî

ÃÎÑÒ Ð 50779.10.3.2 Îáîçíà÷åíèÿ íàñòîÿùåì ñòàíäàðòå èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: àk — êîýôôèöèåíò êðèòåðèÿ Øàïèðî-Óèëêà; À;  — âñïîìîãàòåëüíûå âåëè÷èíû äëÿ êðèòåðèÿ Ýïïñà-Ïàëëè; b2 — ýìïèðè÷åñêàÿ êðèâèçíà;

b1 — ýìïèðè÷åñêàÿ àñèììåòðèÿ;

Èçäàíèå îôèöèàëüíîå

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

2

Å — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå; Gj — âñïîìîãàòåëüíàÿ âåëè÷èíà äëÿ ñîâìåñòíîãî êðèòåðèÿ, èñïîëüçóþùåãî íåñêîëüêî íåçà-

âèñèìûõ âûáîðîê; h — ÷èñëî ïîñëåäîâàòåëüíûõ âûáîðîê; Í0 — íóëåâàÿ ãèïîòåçà; Í1 — àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà; k — ïîðÿäêîâûé íîìåð çíà÷åíèé õ â âûáîðêå, óïîðÿäî÷åííîé â ïîðÿäêå íåóáûâàíèÿ; mj — âûáîðî÷íûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò ïîðÿäêà j ; n — îáúåì âûáîðêè; ð — âåðîÿòíîñòü, ñâÿçàííàÿ ñ ð-êâàíòèëüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé; Ð — âåðîÿòíîñòü; Pk — âåðîÿòíîñòü, ñâÿçàííàÿ ñ Xk; S — âñïîìîãàòåëüíàÿ âåëè÷èíà äëÿ êðèòåðèÿ Øàïèðî-Óèëêà; Ò — ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ; ÒÅÐ — ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ Ýïïñà-Ïàëëè; èð — ð-êâàíòèëü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ; νj — âñïîìîãàòåëüíàÿ âåëè÷èíà äëÿ ñîâìåñòíîãî êðèòåðèÿ, èñïîëüçóþùåãî íåñêîëüêî

íåçàâèñèìûõ âûáîðîê; W — ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ Øàïèðî-Óèëêà; Wj — âñïîìîãàòåëüíàÿ âåëè÷èíà äëÿ ñîâìåñòíîãî êðèòåðèÿ, èñïîëüçóþùåãî íåñêîëüêî

íåçàâèñèìûõ âûáîðîê; Õ — �ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ; õ — çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé Õ ; õj — j-e çíà÷åíèå â âûáîðêå, óïîðÿäî÷åííîé â ïîðÿäêå íåóáûâàíèÿ; xk — k-e çíà÷åíèå â âûáîðêå, óïîðÿäî÷åííîé â ïîðÿäêå íåóáûâàíèÿ;

x — ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå; α — óðîâåíü çíà÷èìîñòè; β — âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà; β2 — êðèâèçíà ñîâîêóïíîñòè; β2—3 — ýêñöåññ ñîâîêóïíîñòè;

β1 — àñèììåòðèÿ ñîâîêóïíîñòè; γ; δ; ε — âñïîìîãàòåëüíûå âåëè÷èíû äëÿ ñîâìåñòíîãî êðèòåðèÿ, èñïîëüçóþùåãî íåñêîëüêî

íåçàâèñèìûõ âûáîðîê;γn; δn; εn — êîýôôèöèåíòû ñîâìåñòíîãî êðèòåðèÿ, èñïîëüçóþùåãî íåñêîëüêî íåçàâèñèìûõ âûáî-

ðîê; µ — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (öåíòðàëüíûé ìîìåíò ïåðâîãî ïîðÿäêà); µ2 — äèñïåðñèÿ ñîâîêóïíîñòè (öåíòðàëüíûé ìîìåíò âòîðîãî ïîðÿäêà); µ3 — öåíòðàëüíûé ìîìåíò ñîâîêóïíîñòè òðåòüåãî ïîðÿäêà; µ4 — öåíòðàëüíûé ìîìåíò ñîâîêóïíîñòè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà;

σ — ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ñîâîêóïíîñòè (σ = µ2 ).

4 Îáùèå ïîëîæåíèÿ

4.1 Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå êðèòåðèè íà îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíîñòè.  íàñòîÿùåì ñòàíäàðòåóñòàíîâëåíû ãðàôè÷åñêèå ìåòîäû, ìîìåíòíûå êðèòåðèè, ðåãðåññèîííûå êðèòåðèè è êðèòåðèè õàðàê-òåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Êðèòåðèè õè-êâàäðàò ïîäõîäÿò òîëüêî äëÿ ñãðóïïèðîâàííûõ äàííûõ, è òàêêàê ãðóïïèðîâàíèå ïðèâîäèò ê ïîòåðå èíôîðìàöèè, â äàííîì ñòàíäàðòå îíè íå ðàññìîòðåíû.

4.2 Åñëè î âûáîðêå íåò äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè, ðåêîìåíäóåòñÿ ñíà÷àëà ïîñòðîèòü íîð-ìàëüíûé âåðîÿòíîñòíûé ãðàôèê, òî åñòü ïîñòðîèòü êóìóëÿòèâíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé,ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå íàáëþäåíèé, íà áóìàãå äëÿ íîðìàëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ãðàôèêîâ ñ îñÿìèêîîðäèíàò, â êîòîðûõ êóìóëÿòèâíàÿ ôóíêöèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäñòàâëåíà ïðÿìîéëèíèåé.

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

3

Ýòîò ìåòîä, óñòàíîâëåííûé â ðàçäåëå 5, ïîçâîëÿåò ñðàçó âèäåòü, áëèçêî ëè ïîëó÷åííîå ðàñïðåäå-ëåíèå ê íîðìàëüíîìó. Èñïîëüçóÿ äàííóþ äîïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ, íåîáõîäèìî ðåøèòü, êàêîéêðèòåðèé ìîæíî ïðèìåíèòü: íàïðàâëåííûé, ðåãðåññèîííûé, êðèòåðèé õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèèèëè íèêàêîé. Òàêîå ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê ñòðîãèé êðèòåðèé, íî äàâàå-ìàÿ èì ñóììàðíàÿ èíôîðìàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì äîïîëíåíèåì ê ëþáîìó êðèòåðèþ íà îòêëîíå-íèå îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.  ñëó÷àå îòêëîíåíèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû ýòà èíôîðìàöèÿ äàåò âîç-ìîæíîñòü îïðåäåëèòü òèï àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçû, êîòîðàÿ ìîãëà áû áûòü ïðèìåíèìà.

4.3 Êðèòåðèé íà îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò íóëåâóþ ãèïîòåçó, ñîñòîÿùóþâ òîì, ÷òî âûáîðêà ñîäåðæèò n çíà÷åíèé íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé, ïîä÷èíÿþùèõñÿ îäíîìó è òîìó æåíîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â âû÷èñëåíèè ôóíêöèè Ò îò ýòèõ çíà÷åíèé, íàçûâàåìîéñòàòèñòèêîé êðèòåðèÿ. Íóëåâóþ ãèïîòåçó î íîðìàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèíèìàþò èëè îòêëîíÿþò âçàâèñèìîñòè îò òîãî, ëåæèò ëè ñòàòèñòèêà Ò â îáëàñòè îæèäàåìûõ çíà÷åíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ íîð-ìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ.

4.4 Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü êðèòåðèÿ — ýòî ñîâîêóïíîñòü çíà÷åíèé Ò, âåäóùèõ ê îòêëîíåíèþíóëåâîé ãèïîòåçû. Óðîâåíü çíà÷èìîñòè êðèòåðèÿ — ýòî âåðîÿòíîñòü Ð ïîëó÷åíèÿ çíà÷åíèÿ Ò â êðèòè-÷åñêîé îáëàñòè, êîãäà íóëåâàÿ ãèïîòåçà âåðíà. Ýòîò óðîâåíü äàåò âåðîÿòíîñòü îøèáî÷íîãî îòêëîíåíèÿíóëåâîé ãèïîòåçû (âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà).

Ãðàíèöà êðèòè÷åñêîé îáëàñòè (èëè â ñëó÷àå äâóñòîðîííåãî êðèòåðèÿ — ãðàíèöû êðèòè÷åñêîéîáëàñòè) — ýòî êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå(íèÿ) ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ.

4.5 Ìîùíîñòü êðèòåðèÿ — ýòî âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû, êîãäà îíà íåâåðíà.Âûñîêàÿ ìîùíîñòü ñîîòâåòñòâóåò íèçêîé âåðîÿòíîñòè îøèáî÷íîãî ïðèìåíåíèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû (âå-ðîÿòíîñòè îøèáêè âòîðîãî ðîäà).

Ìîùíîñòü êðèòåðèÿ (òî åñòü äëÿ äàííîé ñèòóàöèè âåðîÿòíîñòü, ÷òî íóëåâàÿ ãèïîòåçà î íîðìàëü-íîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåò îòêëîíåíà, åñëè îíà íåâåðíà) âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì ÷èñëà íàáëþäåíèé. Íà-ïðèìåð, îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðîå ìîãëî áûòü î÷åâèäíûì ïðè èñïîëüçîâà-íèè êðèòåðèÿ ñ áîëüøîé âûáîðêîé, ìîæíî íå îáíàðóæèòü ïðè òîì æå çíà÷åíèè êðèòåðèÿ ñ ìåíüøåéâûáîðêîé.

4.6 Ñóùåñòâóþò äâà âèäà êðèòåðèåâ íà îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: íàïðàâëåííûéêðèòåðèé — êîãäà ôîðìó ýòîãî îòêëîíåíèÿ óñòàíàâëèâàþò â àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçå è ìíîãîñòîðîí-íèé êðèòåðèé — êîãäà ôîðìó îòêëîíåíèÿ â íåé íå óñòàíàâëèâàþò.

 íàïðàâëåííîì êðèòåðèè êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü îïðåäåëÿþò òàê, ÷òîáû ìîùíîñòü êðèòåðèÿ äîñ-òèãàëà ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ.  ìíîãîñòîðîííåì êðèòåðèè íåîáõîäèìî îòäåëèòü êðèòè÷åñêóþ îáëàñòüòàê, ÷òîáû îíà ñîñòîÿëà èç çíà÷åíèé ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ, ëåæàùèõ äàëåêî îò îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ.

Åñëè èìåþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ î ôîðìå îòêëîíåíèÿ îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òî åñòü ðàñ-ñìàòðèâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå, ó êîòîðîãî àñèììåòðèÿ èëè êðèâèçíà îòëè÷íû îò ñâîéñòâåííûõ íîðìàëü-íîìó ðàñïðåäåëåíèþ, òî ñëåäóåò ïðèìåíèòü íàïðàâëåííûé êðèòåðèé, òàê êàê åãî ìîùíîñòü áîëüøå,÷åì ó ìíîãîñòîðîííåãî.

4.7 Íàïðàâëåííûé êðèòåðèé ÿâëÿåòñÿ îäíîñòîðîííèì.  ñëó÷àå àñèììåòðèè îí ñäâèãàåòñÿ ê ïîëî-æèòåëüíîé èëè îòðèöàòåëüíîé àñèììåòðèè. Åñëè ñîâìåñòíî ðàññìàòðèâàþò íåñêîëüêî àëüòåðíàòèâíûõãèïîòåç — ýòî êðèòåðèé ìíîãîíàïðàâëåííûé. Òàêèå êðèòåðèè èñïîëüçóþò ïðè ñîâìåñòíîì ðàññìîòðå-íèè íåíóëåâûõ àñèììåòðèè è êðèâèçíû, îòëè÷íûõ îò ñâîéñòâåííûõ íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ.

4.8 Òàáëèöû 8—14 è ðèñóíîê 9 ïîçâîëÿþò ïðèìåíÿòü êðèòåðèè äëÿ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõóðîâíåé çíà÷èìîñòè α, òî åñòü α = 0,05 è α = 0,01. Äî èñïîëüçîâàíèÿ êðèòåðèÿ ñëåäóåò óñòàíîâèòüóðîâåíü çíà÷èìîñòè. Êðèòåðèé ìîæåò ïðèâåñòè ê îòêëîíåíèþ íóëåâîé ãèïîòåçû ïðè óðîâíå çíà÷èìîñ-òè 0,05 è íå îòêëîíåíèþ òîé æå ãèïîòåçû ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01.

4.9 Ïðè âû÷èñëåíèè ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü íå ìåíåå øåñòè çíà÷àùèõöèôð. Çíà÷åíèÿ ïîäñîâîêóïíîñòåé, ïðîìåæóòî÷íûõ ðåçóëüòàòîâ è âñïîìîãàòåëüíûõ âåëè÷èí ñëåäóåòîêðóãëÿòü íå ìåíåå ÷åì äî øåñòè çíà÷àùèõ öèôð.

5 Ãðàôè÷åñêèé ìåòîä

5.1 Êóìóëÿòèâíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäåííûõ çíà÷åíèé ñòðîÿò íà áóìàãå äëÿ íîð-ìàëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ãðàôèêîâ. Âåðòèêàëüíàÿ îñü èìååò íåëèíåéíóþ øêàëó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ïëî-ùàäè ïîä ñòàíäàðòíîé ôóíêöèåé íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è ðàçìå÷åíà çíà÷åíèÿìè êóìóëÿòèâíîéîòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû. Äðóãàÿ îñü èìååò ëèíåéíóþ øêàëó äëÿ óïîðÿäî÷åííûõ çíà÷åíèé õ. Åñëè êóìó-ëÿòèâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðåìåííîé Õ ïðèáëèæàåòñÿ ê ïðÿìîé ëèíèè, òî ðàñïðåäåëåíèåïåðåìåííîé Õ áóäåò íîðìàëüíûì.

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

4

Èíîãäà ýòè îñè ìåíÿþò ìåñòàìè. Åñëè âûïîëíåíî íîðìèðîâàíèå ïåðåìåííîé Õ, ëèíåéíóþ øêàëóìîæíî çàìåíèòü ëîãàðèôìè÷åñêîé, êâàäðàòè÷íîé, îáðàòíîé èëè äðóãîé øêàëîé.

Íà ðèñóíêå 1 ïðèâåäåí ïðèìåð áóìàãè äëÿ íîðìàëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ãðàôèêîâ. Ïî âåðòèêàëü-íîé îñè çíà÷åíèÿ êóìóëÿòèâíîé îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû äàíû â ïðîöåíòàõ, à ïî ãîðèçîíòàëüíîé —ïðîèçâîëüíàÿ ëèíåéíàÿ øêàëà.

×èñòûé áëàíê áóìàãè äëÿ íîðìàëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ãðàôèêîâ ïðèâåäåí â ïðèëîæåíèè À.

Ðèñóíîê 1 — Áóìàãà äëÿ íîðìàëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ãðàôèêîâ

Åñëè ãðàôèê íà ýòîé áóìàãå ïðåäñòàâëåí íàáîðîì òî÷åê, êîòîðûå ðàññåÿííû îêîëî ïðÿìîé ëè-íèè, òî ýòî äàåò ïåðâîå ïîäòâåðæäåíèå óòâåðæäåíèþ, ÷òî ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü, èç êîòîðîé âçÿòàâûáîðêà, ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ýòîò ïîäõîä âàæåí òåì, ÷òî äàåò íàãëÿäíóþ èíôîðìàöèþ ïî òèïó îòêëîíåíèÿ îò íîðìàëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿ.

Åñëè ãðàôèê ïîêàçûâàåò, ÷òî äàííûå ïîä÷èíåíû äðóãîìó ðàñïðåäåëåíèþ, íå èìåþùåìó îòíîøå-íèÿ ê íîðìàëüíîìó (íàïðèìåð ãðàôèê êóìóëÿòèâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ òàêîé, êàê íà ðèñóíêå 5èëè 6), òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ê íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ìîæíî ïåðåéòè ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíî-ãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.

Åñëè ãðàôèê ïîêàçûâàåò, ÷òî äàííûå íå ïîä÷èíÿþòñÿ ïðîñòîìó îäíîðîäíîìó ðàñïðåäåëåíèþ, àñêîðåå âñåãî ïðèíàäëåæàò ñìåñè äâóõ èëè íåñêîëüêèõ îäíîðîäíûõ ïîäñîâîêóïíîñòåé (íàïðèìåð, åñëèãðàôèê êóìóëÿòèâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ òàêîé, êàê íà ðèñóíêå 7), òî ðåêîìåíäóåòñÿ âûÿâèòüïîäñîâîêóïíîñòè è àíàëèç êàæäîé èç íèõ ïðîâîäèòü îòäåëüíî.

Ýòîò ãðàôè÷åñêèé ìåòîä íå ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì íà îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âñòðîãîì ñìûñëå. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå ìàëûõ âûáîðîê ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåííûåêðèâûå íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé, íî äëÿ áîëüøèõ âûáîðîê êðèâûå ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü íåíîðìàëü-íûå ðàñïðåäåëåíèÿ.

5.2 Ãðàôè÷åñêàÿ ïðîöåäóðà ñîñòîèò â ðàñïîëîæåíèè íàáëþäåííûõ çíà÷åíèé (õ1, õ2, ..., õn) âíåóáûâàþùåì ïîðÿäêå è çàòåì â íàíåñåíèè çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòè Ðk, ðàññ÷èòàííûõ ïî ôîðìóëå

Ðk = (k —3/8)/(n + 1/4) , (1)

íà áóìàãó äëÿ íîðìàëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ãðàôèêîâ (ãäå k — ïîðÿäêîâûé íîìåð õ; k = 1, ..., n).

Ï ð è ì å ÷ à í è å 1 — ×àñòî âìåñòî ôîðìóëû (1) ïðèìåíÿþò ñëåäóþùèå ôîðìóëû: Pk = (k — 1/2)/n èPk = k (n + 1). Ïðèìåíåíèå äàííûõ ôîðìóë íå ðåêîìåíäóåòñÿ, òàê êàê îíè äàþò ïëîõóþ àïïðîêñèìàöèþíîðìàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îæèäàåìîé ïîðÿäêîâîé ñòàòèñòèêè F [E (Xk)].

5.3 Ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ áóìàãè äëÿ íîðìàëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ãðàôèêîâ ïîêàçàí íàðèñóíêå 2.

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

5

Ðèñóíîê 2 — Ãðàôèê ñåðèè íàáëþäåíèé íà áóìàãå äëÿ íîðìàëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ãðàôèêîâ

Ò à á ë è ö à 1 — Çíà÷åíèÿ õk ñåðèè èç 15 íåçàâèñèìûõ íàáëþäå-íèé è ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ lg (10 õk )

k xk lg (10 õk)

12345

678910

1112131415

0,0410,1070,1720,2380,303

0,3690,3430,5000,5660,631

0,6970,7620,8280,8930,959

0,2000,3300,4450,4900,780

0,9200,9500,9701,0401,710

2,2202,2753,6507,0008,800

0,3010,5190,6480,6900,892

0,9640,9780,9871,0171,233

1,3461,3571,5621,8451,944

 òàáëèöå 1 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿõk â ïîðÿäêå íåóáûâàíèÿ êàê ðåçóëüòàòñåðèè èç 15 íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèéïðè èñïûòàíèÿõ íà óñòàëîñòü âðàùàþ-ùåãîñÿ ñîåäèíåíèÿ.

Ñåðèþ òî÷åê, ïîêàçàííóþ íà ðè-ñóíêå 2à) ïîëó÷àþò íà îñíîâå çíà÷å-íèé âåðîÿòíîñòåé Ðk = (k —3/8)/(n + 1/4)è õk. Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî ýòè òî÷êèíå îáðàçóþò ïðÿìîé ëèíèè. Åñëè õk çà-ìåíèòü íà lg (10 õk ), òî íîâûé ãðàôèêíà ðèñóíêå 2b) áëèçîê ê ïðÿìîé ëè-íèè. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ãèïîòåçà íîð-ìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ëîãàðèô-ìà íàáëþäåíèé àäåêâàòíà.

5.4 Ðàññåÿíèå ïîëó÷åííûõ ýêñòðå-ìàëüíûõ çíà÷åíèé áîëüøå, ÷åì ó ñðåä-íèõ àðèôìåòè÷åñêèõ çíà÷åíèé, ïîýòî-ìó øêàëà êóìóëÿòèâíîé îòíîñèòåëüíîé÷àñòîòû ðàñøèðÿåòñÿ ê êðàÿì. Íàëè÷èåíåáîëüøîãî ÷èñëà çíà÷åíèé íà ëþáîì

Ï ð è ì å ÷ à í è å 2 —  òàáëèöå 1 è ïîñëåäóþùèõ ïðèìåðàõåäèíèöû âåëè÷èí îïóùåíû, òàê êàê ýòî íåñóùåñòâåííî äëÿ ðàñ-ñìàòðèâàåìûõ êðèòåðèåâ â äàííîì ñòàíäàðòå.

à) b)

Ðkn

=−+

3 81 4

//

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

6

êîíöå ãðàôèêà ôóíêöèè êóìóëÿòèâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå çàìåòíî îòêëîíÿþòñÿ îò ïðÿìîéëèíèè, îïðåäåëÿåìîé ñðåäíèìè àðèôìåòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè, íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê ïîêàçàòåëüîòêëîíåíèÿ îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

×åì áîëüøå îáúåì âûáîðêè, òåì áîëåå íàäåæíû çàêëþ÷åíèÿ, êîòîðûå ìîæíî âûâåñòè èç âèäàãðàôèêà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.

Åñëè ãðàôèê êóìóëÿòèâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé òàêîâ, ÷òî áîëüøèåçíà÷åíèÿ íàõîäÿòñÿ íèæå ïðÿìîé ëèíèè, îáðàçóåìîé äðóãèìè çíà÷åíèÿìè, òî òàêîå ïðåîáðàçîâàíèåêàê ó = log x èëè ó = x ïðèâåäåò ê ãðàôèêó, áîëåå ñîîòâåòñòâóþùåìó ïðÿìîé ëèíèè [ñì. ðè-ñóíêè 2b) è 5].

Íà ðèñóíêàõ 3—7 âåðõíèå ãðàôèêè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êóìóëÿòèâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-íèÿ; äëÿ ñðàâíåíèÿ íèæíèå ãðàôèêè ïðåäñòàâëÿþò ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè ïëîòíîñòè ðàñïðåäå-ëåíèÿ.

Åñëè ãðàôèê êóìóëÿòèâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé ïîäîáåí ãðàôèêàì íàðèñóíêàõ 3 èëè 4, òî ñîîòâåòñòâóþùåå ÷àñòîòíîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò ìåíüøóþ êðèâèçíó (ãðàôèêáîëåå ïëîñêèé) èëè áîëüøóþ êðèâèçíó (ãðàôèê áîëåå âûïóêëûé) ñîîòâåòñòâåííî.

Ãðàôèêè êóìóëÿòèâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ íà ðèñóíêàõ 5 è 6 îòíîñÿòñÿ ê ôóíêöèÿì ïëîò-íîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé àñèììåòðèåé.

Íà ðèñóíêå 7 ïðåäñòàâëåíû êóìóëÿòèâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðå-äåëåíèÿ, ïîëó÷åííûå îò íàëîæåíèÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé ïëîòíîñòè.

Ðèñóíîê 3 — Êóìóëÿòèâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ(ââåðõó) è ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìåíü-

øåé êðèâèçíîé (âíèçó)

Ðèñóíîê 4 — Êóìóëÿòèâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ(ââåðõó) è ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ áîëü-

øîé êðèâèçíîé (âíèçó)

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

7

Ðèñóíîê 5 — Êóìóëÿòèâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ(ââåðõó) è ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïîëî-

æèòåëüíîé àñèììåòðèåé (âíèçó)

Ðèñóíîê 6 — Êóìóëÿòèâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ(ââåðõó) è ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ

îòðèöàòåëüíîé àñèììåòðèåé (âíèçó)

Ðèñóíîê 7 — Ôóíêöèè, ïîëó÷åííûå íàëîæåíèåìäâóõ ðàçëè÷íûõ êóìóëÿòèâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäå-ëåíèÿ (ââåðõó) è ôóíêöèé ïëîòíîñòè ðàñïðåäå-

ëåíèÿ (âíèçó)

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

8

6 Íàïðàâëåííûå êðèòåðèè

6.1 Îáùèå ïîëîæåíèÿ6.1.1 Íàïðàâëåííûå êðèòåðèè îòíîñÿòñÿ ê õàðàêòåðèñòèêàì àñèììåòðèè èëè ýêñöåññà ðàñïðåäåëå-

íèÿ âåðîÿòíîñòåé íàáëþäåíèé. Îíè îñíîâàíû íà ôàêòàõ, ÷òî â ñëó÷àå íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé ïåðåìåí-íîé Õ ñî ñðåäíèì µ = Å (Õ):

öåíòðàëüíûé ìîìåíò òðåòüåãî ïîðÿäêà ðàâåí µ3 = Å [(Õ — µ)3] = 0; (2)

íîðìèðîâàííûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò òðåòüåãî ïîðÿäêà (àñèììåòðèÿ ñîâîêóïíîñòè) ðàâåí

βµ

σµ

µµσ1

33

23/2

33 0 ;

=

= = =

−Å Õ (3)

íîðìèðîâàííûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà (êðèâèçíà ñîâîêóïíîñòè) ðàâåí

β µ µ2 = =4 22 3/ , (4)

ãäå µ2 = Å [(Õ — m)2] — ìîìåíò âòîðîãî ïîðÿäêà; (5)

µ4 = Å [(Õ — µ)4] — ìîìåíò ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà; (6)

β1 — àñèììåòðèÿ ñîâîêóïíîñòè, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü áîëüøåé, ðàâíîé èëè ìåíüøåé ÷åì íóëü;

β2 – êðèâèçíà ñîâîêóïíîñòè (âñåãäà ïîëîæèòåëüíàÿ);

(β2 – 3) — ýêñöåññ ñîâîêóïíîñòè.

Ïðè ýòîì âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ( )β β2 1≥ +2 1.6.1.2  êðèòåðèè íà àñèììåòðè÷íîñòü àëüòåðíàòèâíóþ ãèïîòåçó ìîæíî çàäàòü â âèäå

Í1 (µ3 > 0), ÷òî ýêâèâàëåíòíî β1 >0 [ïîëîæèòåëüíàÿ àñèììåòðèÿ, (ñì. ðèñóíîê 5)] èëè

Í1 (µ3 < 0), ÷òî ýêâèâàëåíòíî β1 < 0 [îòðèöàòåëüíàÿ àñèììåòðèÿ, (ñì. ðèñóíîê 6)].

Ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ñ ïîëîæèòåëüíîé àñèììåòðèåé èìååò ïîâûøåííîå ðàññåÿíèå áîëü-øèõ, à íå ìàëûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ. Îáðàòíîå âåðíî äëÿ ñëó÷àÿ ñ îòðèöàòåëüíîé àñèììåòðèåé.

6.1.3  êðèòåðèè íà ýêñöåññ ñîâîêóïíîñòè àëüòåðíàòèâíóþ ãèïîòåçó ìîæíî çàäàòü â âèäå:Í1 (β2 > 3), ÷òî îçíà÷àåò áîëüøóþ êðèâèçíó [ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ áîëåå âûïóêëàÿ

(ñì. ðèñóíîê 4)] èëèÍ1 (β2 < 3), ÷òî îçíà÷àåò ìåíüøóþ êðèâèçíó [ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ áîëåå ïëîñêàÿ

(ñì. ðèñóíîê 3)].Ïî ñðàâíåíèþ ñ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì â ðàñïðåäåëåíèè ñ áîëüøåé êðèâèçíîé ïðåîáëà-

äàþò çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, áëèçêèå ê ñðåäíåìó è ê îáîèì êðàÿì. Îáðàòíîå âåðíî äëÿ ìåíüøåéêðèâèçíû.

6.1.4 Íàïðàâëåííûé êðèòåðèé ïðèìåíÿþò òîëüêî ïðè íàëè÷èè êîíêðåòíîé èíôîðìàöèè î òîì,êàê ðàñïðåäåëåíèå ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò íîðìàëüíîãî. Ýòà èíôîðìàöèÿ ìîæåò èñõîäèòü èç ôèçè÷åñêîéïðèðîäû äàííûõ èëè âèäà âîçìóùåíèÿ, êîòîðîå ìîæåò ïîâëèÿòü íà ïðîöåññ, ãåíåðèðóþùèé ñîâîêóï-íîñòü äàííûõ.

Íàïðèìåð òîò ôàêò, ÷òî ïåðåìåííàÿ íåîòðèöàòåëüíà ñî ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì, áëèçêèì êíóëþ, â ñðàâíåíèè ñî çíà÷åíèåì ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ, ìîæåò áûòü îñíîâàíèåì äëÿ ïîëîæèòåëü-íîé àñèììåòðèè ðåàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé . Àíàëîãè÷íî, ëþáîå âîçìóùåíèå â ãåíåðè-ðóþùåì ñîâîêóïíîñòü äàííûõ ïðîöåññå, êîòîðîå ñîçäàåò ñìåñü íîðìàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé ñ îäíèìñðåäíèì, íî ðàçíûìè äèñïåðñèÿìè, ïðèâîäèò ê ðàñïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòåé, îòëè÷íîìó îò íîðìàëü-íîãî ñ β2 > 3.

6.1.5 Âûáîð íàïðàâëåííîãî êðèòåðèÿ ñëåäóåò îñíîâûâàòü íà îáùèõ ñîîáðàæåíèÿõ î ïðèðîäå íà-áëþäåíèé èëè ïðîöåññà, ãåíåðèðóþùåãî ýòè íàáëþäåíèÿ, à íå íà êîíêðåòíîé ôîðìå ðàñïðåäåëåíèÿâåðîÿòíîñòåé íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ îáúåêòèâíûìè òîëüêî ðåçóëü-òàòû ìíîãîñòîðîííåãî êðèòåðèÿ.

6.1.6 Åñëè õ1, õ2, ..., õn — çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé Õ ñåðèè èç n íàáëþäåíèé, òî ñðåäíååàðèôìåòè÷åñêîå èëè ìîìåíò ïåðâîãî ïîðÿäêà ðàññ÷èòûâàþò ïî ôîðìóëå

x xn ii= ∑1 ; (7)

ìîìåíòû âòîðîãî, òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêîâ ñîîòâåòñòâåííî (j = 2, 3, 4) ðàññ÷èòûâàþò ïîôîðìóëå

( )m x xj i jin

= −∑1 . (8)

Ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ íà àñèììåòðè÷íîñòü è êðèâèçíó ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåì âèäå ñîîòâåò-ñòâåííî:

bm

m1

3

23 2= / (9)

è

bm

m24

22= . (10)

6.2 Íàïðàâëåííûé êðèòåðèé ïðîâåðêè íà àñèììåòðèþ, èñïîëüçóþùèé ñòàòèñòèêó b1Ýòîò êðèòåðèé ïðèìåíèì ïðè n ≥ 8 (èç ïðàêòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé òàáëèöà 8 îãðàíè÷åíà

çíà÷åíèåì n ≤ 5000).Åñëè àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà çàêëþ÷àåòñÿ â íàëè÷èè ïîëîæèòåëüíîé àñèììåòðèè, êðèòåðèé

ñëåäóåò âûïîëíÿòü òîëüêî ïðè óñëîâèè m3 > 0. Åñëè àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà çàêëþ÷àåòñÿ â íàëè÷èèîòðèöàòåëüíîé àñèììåòðèè, êðèòåðèé ñëåäóåò âûïîëíÿòü òîëüêî ïðè óñëîâèè m3 < 0.

 îáîèõ ñëó÷àÿõ ðåøåíèå ïðèíèìàþò â ïîëüçó îòêëîíåíèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû ïðè óðîâíå çíà÷èìî-

ñòè α, êîãäà ñòàòèñòèêà b1 ïðåâûøàåò ð-êâàíòèëü äëÿ ð = 1 — α.

 òàáëèöå 8 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèêè b1 äëÿ ð = 0,95, ð = 0,99 è îáúåìà âûáîðêè n.

Ï ð è ì å ð 1Ïðèìåð îòíîñèòñÿ ê ïðèìåíåíèþ íàïðàâëåííîãî êðèòåðèÿ ñ àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçîé ñ èñïîëü-

çîâàíèåì ñòàòèñòèêè b1 . Â òàáëèöå 2 ïðèâåäåíà ñåðèÿ èç 50 íåçàâèñèìûõ èçìåðåíèé òîëùèíû çàáîëî-

íè1) äåðåâüåâ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â êà÷åñòâå òåëåãðàôíûõ ñòîëáîâ. Ïîñêîëüêó ýòàòîëùèíà íåîòðèöàòåëüíà è áëèçêà ê íóëþ, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü ïîëîæèòåëüíóþ àñèììåòðèþ.Ïîýòîìó íåîáõîäèìî ïðèìåíèòü ñîîòâåòñòâóþùèé íàïðàâëåííûé êðèòåðèé ñ àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòå-

çîé Í1 ( b1 > 0).

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

9

1) Çàáîëîíü — íàðóæíûé ìîëîäîé, ìåíååïëîòíûé ñëîé äðåâåñèíû, ëåæàùèé íåïîñðåäñòâåí-íî ïîä êîðîé.

Èç ïîëó÷åííûõ â õîäå íàáëþäåíèé çíà÷å-íèé, ïðèâåäåííûõ â òàáëèöå 2, âû÷èñëåíû ñëå-äóþùèå ïàðàìåòðû:

x = (1,25 + 1,35 + ... + 5,10)/50 = 2,873; m2 = [(1,25 — 2,873)

2 + ... + + (5,10 — 2,873)2]/50 = 0,937 921; m3 = [(1,25 — 2,873)

3 + ... + + (5,10 — 2,873)3]/50 = 0,254 559,

ãäå x — ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå; m2, m3 — ìîìåíòû âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ ñîîòâåòñòâåííî.

Ò à á ë è ö à 2 — Çíà÷åíèÿ òîëùèíû çàáîëîíè äëÿn = 50

Òîëùèíà çàáîëîíè

1,251,351,401,501,551,601,751,751,851,95

2,052,102,152,152,152,202,252,352,402,55

2,602,602,702,752,752,802,952,953,003,05

3,103,153,153,203,303,453,503,503,803,90

4,004,004,054,054,104,204,454,504,705,10

Ï ð è ì å ÷ à í è å — Çíà÷åíèÿ òîëùèíû çàáî-ëîíè ðàñïîëîæåíû â ïîðÿäêå íåóáûâàíèÿ.

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

10

Ñëåäîâàòåëüíî àñèììåòðèÿ ñîâîêóïíîñòè ðàâíà bm

m1

3

23 2 0 280= =/ , .

Ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,05, òî åñòü ð = 1 — α = 0,95, è îáúåìå âûáîðêè n = 50 êðèòè÷åñêîåçíà÷åíèå ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ (çíà÷åíèå ð-êâàíòèëè) ðàâíî 0,53 (ñì. òàáëèöó 8). Ýòî çíà÷åíèå áîëåå,

÷åì âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå b1 = 0,280. Çíà÷èò íóëåâàÿ ãèïîòåçà íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íå îòêëî-

íÿåòñÿ ïðè âûáðàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè.6.3 Íàïðàâëåííûé êðèòåðèé ïðîâåðêè íà êðèâèçíó ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòàòèñòèêè b2Ýòîò êðèòåðèé ïðèìåíèì ïðè n ≥ 8; èç ïðàêòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé òàáëèöà 9 îãðàíè÷åíà

çíà÷åíèåì n ≤ 5000. êðèòåðèè íà áîëüøóþ êðèâèçíó àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà ïðåäñòàâëåíà â ñëåäóþùåì âèäå:

Í1 (β2 > 3). Åñëè âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå b2 ïðåâûøàåò êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ(çíà÷åíèå ð-êâàíòèëè) ïðè ð = 1 — α = 0,95 èëè ð = 1 — α = 0,99 è îáúåìå âûáîðêè n, òî íóëåâàÿãèïîòåçà äîëæíà áûòü îòêëîíåíà ïðè îïðåäåëåííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè, íàïðèìåð à = 0,05 èëèà = 0,01.

 êðèòåðèè íà ìåíüøóþ êðèâèçíó àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà ïðåäñòàâëåíà â ñëåäóþùåì âèäå:Í1 (β2 < 3). Åñëè âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå b2 ìåíåå êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ (çíà÷å-íèå ð-êâàíòèëè) ïðè ð = α = 0,05 èëè ð = α = 0,01 è îáúåìå âûáîðêè n, òî íóëåâàÿ ãèïîòåçà äîëæíàáûòü îòêëîíåíà ïðè îïðåäåëåííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè, íàïðèìåð à = 0,05 èëè 0,01.

 òàáëèöå 9 ïðèâåäåíû êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ (çíà÷åíèå ð-êâàíòèëè) b2 äëÿð = 0,01, 0,05, 0,95 è 0,99 è îáúåìà âûáîðêè n.

Ï ð è ì å ð 2Ïðèìåð îòíîñèòñÿ ê ïðèìåíåíèþ íàïðàâëåííîãî êðèòåðèÿ íà êðèâèçíó ñ èñïîëüçîâàíèåì

ñòàòèñòèêè b2. Â òàáëèöå 3 ïðèâåäåíà ñåðèÿ èç 50 íåçàâèñèìûõ èçìåðåíèé. Â èçìåðèòåëüíîì ïðèáîðåñóùåñòâóåò äåôåêò. Íåêîòîðûå èç èçìåðåíèé ìîãëè ïîäâåðãíóòüñÿ âëèÿíèþ ýòîãî äåôåêòà, ïðèâîäÿ-ùåãî ê âàðèàöèè ðàññåÿíèÿ ýòèõ èçìåðåíèé.

Èç-çà óïîìÿíóòîãî äåôåêòà ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäåíèé íåîáõîäè-ìî èñïîëüçîâàòü ñòàòèñòèêó b2, ñîîòâåòñòâóþùèé íàïðàâëåííûé êðèòåðèé è àëüòåðíàòèâíóþ ãèïîòåçóÍ1 (β2 > 3).

Ò à á ë è ö à 3 — Ñåðèÿ èç 50 èçìåðåíèé

Çíà÷åíèÿ èçìåðåíèé

9,514,410,24,217,14,44,58,59,97,7

5,15,89,212,96,33,112,911,911,45,9

5,710,822,55,58,67,46,97,93,67,3

16,620,921,59,111,912,926,67,55,432,0

12,913,38,53,31,412,916,315,611,46,0

Íà îñíîâå ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé, ïðèâå-äåííûõ â òàáëèöå 3, âû÷èñëåíû ñëåäóþùèå ïà-ðàìåòðû:

x = (9,5 + 14,4 + ... + 6,0)/50 = 10,542;m2 = [(9,5 — 10,542)

2 + ... ++ (6,0 — 10,542)2]/50 = 37,996 4;m4 = [(9,5 — 10,542)

4 + ... ++ (6,0 — 10,542)4]/50 = 7 098,04,

ãäå x — ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå;m2, m4 — ìîìåíòû âòîðîãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿä-

êîâ •ñîîòâåòñòâåííî.

Ñëåäîâàòåëüíî êðèâèçíà ñîâîêóïíîñòè bm

m24

22 4 916= = , .

Ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,05, òî åñòü ð = 1 — α = 0,95, è îáúåìå âûáîðêè n = 50 êðèòè÷åñêîåçíà÷åíèå ñòàòèñòèêè (çíà÷åíèå ð-êâàíòèëè) êðèòåðèÿ ðàâíî 3,99 (ñì. òàáëèöó 9). Âû÷èñëåííîå çíà÷åíèåb2 = 4,916 áîëåå ýòîãî êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ, ïîýòîìó íóëåâàÿ ãèïîòåçà îòêëîíÿåòñÿ â ïîëüçó àëüòåð-íàòèâíîé ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,05. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå çíà÷åíèé, ïîëó÷åííûõ âðåçóëüòàòå èçìåðåíèé, èñêàæåíî è èìååò áîëüøóþ êðèâèçíó.

Êðîìå òîãî, êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,01 ðàâíî 4,88,ïîýòîìó îòêëîíåíèå íóëåâîé ãèïîòåçû ïîäòâåðæäåíî è íà ýòîì óðîâíå. Ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òîñóùåñòâîâàíèå ðåàëüíîãî èñêàæåíèÿ äàííûõ áîëåå ïðàâäîïîäîáíî.

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

11

7 Ñîâìåñòíûé êðèòåðèé, èñïîëüçóþùèé ñòàòèñòèêè b1 è b2(ìíîãîíàïðàâëåííûé êðèòåðèé)

Ñîâìåñòíûé êðèòåðèé ïðèìåíèì ïðè 20 ≤ n ≤ 1000.7.1 Àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé èìååò àñèììåò-

ðèþ, îòëè÷íóþ îò íóëÿ, è (èëè) êðèâèçíà îòëè÷íà îò êðèâèçíû, ñâîéñòâåííîé íîðìàëüíîìó ðàñïðå-äåëåíèþ (áåç óêàçàíèÿ íàïðàâëåíèÿ êàæäîãî îòêëîíåíèÿ). Àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà èìååò îäèí èçâèäîâ:

H 1 1 0( β ≠ è (èëè) β2 3≠ ).

Êàæäîå èç ñî÷åòàíèé β β1 20 3≠ ≠, èëè β β1 20 3≠ =, , èëè β β1 20 3= ≠, ìîæåò áûòüâûáðàíî íà ðàâíûõ îñíîâàíèÿõ. Òåñò ìíîãîíàïðàâëåííûé è ïðåäíàçíà÷åí âûÿâèòü ñî÷åòàíèå íåíóëåâîé

àñèììåòðèè β1 0≠ è (èëè) êðèâèçíû β2 3≠ .Äàííûé ñîâìåñòíûé êðèòåðèé èç-çà âûáîðà ñòàòèñòèêè íåëüçÿ ñ÷èòàòü ìíîãîñòîðîííèì

êðèòåðèåì â ñòðîãîì ñìûñëå. Äëÿ íàïðàâëåííûõ êðèòåðèåâ åãî ïðèìåíåíèå ìîæåò áûòü îïðàâäàíîòîëüêî ñîîáðàæåíèÿìè, îñíîâàííûìè íà ïðèðîäå íàáëþäåíèé èëè ïðîöåññà, ãåíåðèðóþùåãî ýòîíàáëþäåíèå.

7.2 Ñòàòèñòèêà ýòîãî êðèòåðèÿ îáðàçîâàíà ïàðîé çíà÷åíèé ñòàòèñòèê b1 è b2, îïðåäåëåííûõ â

ôîðìóëàõ (9) è (10) ïî 6.1.6. Ïðè íóëåâîé ãèïîòåçå íîðìàëüíîñòè ìîæíî ïîñòðîèòü îáëàñòü âîêðóã

òî÷êè (0; 3), â êîòîðóþ òî÷êà ( )b b1 2; ïîïàäàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ ð (ñ îñÿìè êîîðäèíàò b b1 2, ).Êðèâûå, îãðàíè÷èâàþùèå ýòó îáëàñòü, ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 9à) ïðè ð = 0,95 è ðèñóíêå 9b) ïðèð = 0,99 äëÿ ðàçëè÷íûõ îáúåìîâ âûáîðêè n.

Ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 1— ð êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü êðèòåðèÿ îáðàçîâàíà òî÷êàìè, ëåæàùèìèâíå êðèâîé, ñîîòâåòñòâóþùåé îáúåìó âûáîðêè n.

Ï ð è ì å ð 3

Ñîâìåñòíûé êðèòåðèé, èñïîëüçóþùèé ñòàòèñòèêè b1 è b2, ìîæíî ïðèìåíèòü ê äàííûì

ïðèìåðà 2.Íà îñíîâå çíà÷åíèé, ïðèâåäåííûõ â òàáëèöå 3, âû÷èñëÿþò âûáîðî÷íûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò

òðåòüåãî ïîðÿäêà:m3 = [9,5 — 10,542)

3 + ... + (6,0 — 10,542)3]/50 = 308,106.

Îòñþäà b m m1 3 23 2 1 315= =/ , ./

Íà ðèñóíêå 9b) òî÷êà ( )b b1 21 315 4 916= =, ; , ëåæèò äàëåêî âíå êðèâîé, ñîîòâåòñòâóþùåéîáúåìó âûáîðêè n = 50 äëÿ óðîâíÿ çíà÷èìîñòè α = 0,01.

Ïîýòîìó íóëåâóþ ãèïîòåçó íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îòêëîíÿþò íà ýòîì óðîâíå çíà÷èìîñòè âïîëüçó àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé èçìåðåííîé õàðàêòå-ðèñòèêè îòëè÷íî îò íîðìàëüíîãî.

8 Ìíîãîñòîðîííèå êðèòåðèè

8.1 Îáùèå ïîëîæåíèÿ8.1.1 Ìíîãîñòîðîííèå êðèòåðèè ïðèìåíÿþò â òîì ñëó÷àå, åñëè íåò àïðèîðíîé èíôîðìàöèè î

òèïå îòêëîíåíèÿ îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.8.1.2 Â íàñòîÿùåì ñòàíäàðòå ïðåäñòàâëåíû äâà ìíîãîñòîðîííèõ êðèòåðèÿ: Øàïèðî-Óèëêà è

Ýïïñà-Ïàëëè. Êðèòåðèé Øàïèðî-Óèëêà âûáèðàþò, êîãäà íà îñíîâå èñõîäíûõ äàííûõ ìîæíî âûáðàòüàëüòåðíàòèâíóþ ãèïîòåçó ñëåäóþùåãî âèäà: ïðèìåðíî ñèììåòðè÷íîå ðàñïðåäåëåíèå ñ óáûâàþùåé êðè-

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

12

âèçíîé (òî åñòü β1 1 2< / è β2 < 3) èëè àñèììåòðè÷íîå ðàñïðåäåëåíèå (íàïðèìåð β1 1 2> / ), â

ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûáèðàþò êðèòåðèé Ýïïñà-Ïàëëè.8.2 Êðèòåðèé Øàïèðî-ÓèëêàÝòîò êðèòåðèé ïðèìåíèì ïðè 8 ≤ n ≤ 50. Ìàëûå âûáîðêè ñ n < 8 ïðè îáíàðóæåíèè îòêëîíåíèé îò

íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íå äàþò äîñòîâåðíûõ ðåçóëüòàòîâ.Êðèòåðèé îñíîâàí íà ðåãðåññèîííîì àíàëèçå ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê ïî èõ îæèäàåìûì çíà÷åíèÿì.

Ýòî êðèòåðèé òèïà äèñïåðñèîííîãî àíàëèçà äëÿ ïîëíîé âûáîðêè. Ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ —îòíîøåíèå êâàäðàòà ñóììû ëèíåéíîé ðàçíîñòè âûáîðî÷íûõ ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê ê îáû÷íîé îöåíêåäèñïåðñèè.

Êðèòåðèé îñíîâàí íà óïîðÿäî÷åííûõ íàáëþäåíèÿõ. Åñëè ñåðèþ èç n íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé,ðàñïîëîæåííóþ â ïîðÿäêå íåóáûâàíèÿ, êàê óêàçàíî â 5.3, îáîçíà÷èòü ñèìâîëàìè õ1, õ2, ..., õn, òîâû÷èñëÿþò ïðîìåæóòî÷íóþ ñóììó S ïî ôîðìóëå:

[ ]S a x xk n k k= −∑ + −( ) ,1 (11)ãäå k — èíäåêñ, èìåþùèé çíà÷åíèÿ îò 1 äî n/2 èëè îò 1 äî (n —1)/2 ïðè ÷åòíîì è íå÷åòíîì nñîîòâåòñòâåííî; àk — êîýôôèöèåíò, èìåþùèé ñïåöèàëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿ îáúåìà âûáîðêè n (çíà÷åíèÿ ak ïðèâåäå-íû â òàáëèöå 10).

 ýòîì ñëó÷àå ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ W ïðèíèìàåò âèä:

W S nm= 2 2/ ( ) , (12)

ãäå ( )nm x xi2 2= −∑ ; n — îáúåì âûáîðêè; m2 — âûáîðî÷íûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò âòîðîãî ïîðÿäêà.

Åñëè çíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ íàáëþäåíèé ðàâíû, óïîðÿäî÷åííàÿ ñåðèÿ íóìåðóåòñÿ ñ ïîâòîðåíèåìðàâíûõ íàáëþäåíèé ñòîëüêî ðàç, ñêîëüêî îíè âîçíèêàþò â èñõîäíîé ñåðèè.

Ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = ð êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü êðèòåðèÿ îáðàçîâàíà çíà÷åíèÿìè, ìåíüøèìè÷åì ð-êâàíòèëü äëÿ ð = α. Òàáëèöà 11 ñîäåðæèò ð-êâàíòèëè ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ W äëÿ ð = α =0,01 èð = α =0,05.

Ï ð è ì å ð 4Ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ êðèòåðèÿ Øàïèðî-Óèëêà. Òàáëèöà 4 ñîäåðæèò óïîðÿäî÷åííóþ ñåðèþ èç

n = 44 íåçàâèñèìûõ çíà÷åíèé ãîäîâûõ îñàäêîâ, ñîáðàííûõ íà ìåòåîñòàíöèè. Èñïîëüçóÿ òàáëè÷íûåçíà÷åíèÿ, ìîæíî âû÷èñëèòü:

õ xk= = =∑ / / , .44 34545 44 785114

( )nm x xk2 2 630872= − =∑ .Äëÿ îáëåã÷åíèÿ âû÷èñëåíèé â òàáëèöå ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ õk, x(n+1—k) è x(n+1—k) — xk .

Èñïîëüçóÿ çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà àk, âçÿòûå èç òàáëèöû 10 è âîñïðîèçâåäåííûå â òàáëèöå 4,ìîæíî âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ S:

[ ]S a x xk n k k= − = × + × + + × =+ −∑ ( ) , , ... , , .1 0 3872 554 0 2667 500 0 0042 9 787 263

Ñëåäîâàòåëüíî W Snm= = =2

2

2787 2627 630872 0 982( , ) / , .

Òàáëèöà 11 äàåò çíà÷åíèå ð-êâàíòèëÿ äëÿ n = 44 è ð = α = 0,05, ðàâíîå 0,944. Ïîñêîëüêó ýòîçíà÷åíèå ìåíåå çíà÷åíèÿ W, òî íóëåâàÿ ãèïîòåçà î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè íå îòêëîíÿåòñÿ ïðèóðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,05.

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

13

Ò à á ë è ö à 4 — Åæåãîäíûå îñàäêè, çàôèêñèðîâàííûå íà ìåòåîñòàíöèè

k xk x(n+1—k) x(n+1—k)—xk ak k xk x(n+1—k) x(n+1—k)—xk ak

12345

678910

1112131415

1617181920

2122

520556561616635

669686692704707

711713714719727

735740744745750

776777

10741056963952926

922904900889879

873862851837834

826822821794791

786786

554500402336291

253218208185172

162149137118107

9182774941

109

0,387 20,266 70,232 30,207 20,186 8

0,169 50,154 20,140 50,127 80,116 0

0,104 90,094 30,084 20,074 50,065 1

0,056 00,047 10,038 30,029 60,021 1

0,012 60,004 2

Ï ð è ì å ÷ à í è å — Óïîðÿäî÷åííàÿ ñåðèÿ èç 44 íàáëþäåíèé è ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ êîýôôè-öèåíòîâ êðèòåðèÿ Øàïèðî-Óèëêà ak, ãäå k — íîìåð èíäåêñà, k = 1, 2, ..., 22.

8.3 Êðèòåðèé Ýïïñà-ÏàëëèÝòîò êðèòåðèé ïðèìåíèì ïðè n ≥ 8. Ìàëûå âûáîðêè ñ n < 8 ïðè îáíàðóæåíèè îòêëîíåíèé îò

íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íå äàþò äîñòîâåðíûõ ðåçóëüòàòîâ.Ìíîãîñòîðîííèé êðèòåðèé ñ âûñîêîé ìîùíîñòüþ ïðè ìíîãèõ àëüòåðíàòèâíûõ ãèïîòåçàõ èñïîëü-

çóåò ñóììó êâàäðàòîâ ìîäóëåé ðàçíîñòè ìåæäó õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè íà îñíîâå âûáîðî÷-íûõ äàííûõ è íîìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ âåñîìûìè êîýôôèöèåíòàìè.

Ïî n íàáëþäåíèÿì xj (j = 1, 2, ..., n) âû÷èñëÿþò ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû:

x xn jj

n

==

∑11

(13)

è

( )m x xn jjn

21

21= −

=∑ , (14)

ãäå x — ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå; m2 — âûáîðî÷íûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò âòîðîãî ïîðÿäêà; n — îáúåì âûáîðêè.

Ñòàòèñòèêó êðèòåðèÿ ÒÅÐ Ýïïñà-Ïàëëè âû÷èñëÿþò ïî ôîðìóëå

( ) ( )

TEPj k

j

k

k

n

j

n jnn

x x

m

x x

m= + +

−

− − − −

=

−

= =∑∑ ∑1 2

32

2 4

2

21

1

2 1

2

2exp exp . (15)

Ïîðÿäîê çíà÷åíèé ïðîèçâîëåí, íî îí äîëæåí îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì â òå÷åíèå âñåõ ïðîâîäèìûõâû÷èñëåíèé.

Àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ ÒÅÐ Ýïïñà-Ïàëëè ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå 8.Íóëåâóþ ãèïîòåçó îòêëîíÿþò, åñëè âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè ÒÅÐ ïðåâûøàåò ð-êâàíòèëü

ïðè äàííûõ óðîâíå çíà÷èìîñòè α è îáúåìå âûáîðêè n. ð-Êâàíòèëè ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ ÒÅÐ ïðèð = 1 — α = 0,90; 0,95; 0,975 è 0,99 ïðèâåäåíû â òàáëèöå 12.

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

14

Ï ð è ì å ð 5Ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ êðèòåðèÿ Ýïïñà-Ïàëëè. Òàáëèöà 5

ñîäåðæèò ñåðèþ èç 25 çíà÷åíèé xj ïîêàçàòåëÿ ïðî÷íîñòèâèñêîçíîé íèòè, èçìåðåííîé ïðè ñòàíäàðòíûõ óñëîâèÿõ âïðîèçâîëüíûõ åäèíèöàõ. Äîïîëíèòåëüíî äàíû ïðåîáðàçî-âàííûå çíà÷åíèÿ zj = lg (204 —xj), êîòîðûå ðàññåÿíû îêîëîïðÿìîé ëèíèè, íàíåñåííîé íà áóìàãå äëÿ íîðìàëüíûõ âåðî-ÿòíîñòíûõ ãðàôèêîâ.

Íà îñíîâå äàííûõ òàáëèöû 5 âû÷èñëåíî çíà÷åíèå ñòà-òèñòèêè êðèòåðèÿ ÒÅÐ(õ)

= 0,612 ñ èñïîëüçîâàíèåì êàëüêó-

ëÿòîðà. Èñïîëüçóåì òàáëèöó 12 äëÿ ïîèñêà çíà÷åíèÿ êâàí-òèëÿ óðîâíÿ ð = 1 — α = 0,99 ïðè n = 25.  òàáëèöå óñòàíîâ-ëåíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:

äëÿ n = 20 ð-êâàíòèëü ðàâåí 0,564;äëÿ n = 30 ð-êâàíòèëü ðàâåí 0,569.

Ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèè çíà÷åíèé, ïðèâåäåííûõ â òàáëè-öå 12, ìîæíî îöåíèòü, ÷òî ð-êâàíòèëü äëÿ n = 25 áóäåòðàâåí ïðèáëèçèòåëüíî 0,567. Âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå ÒÅÐ(õ)ïðåâûøàåò ýòî êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå, ïîýòîìó íóëåâàÿ ãè-ïîòåçà îòêëîíÿåòñÿ ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,01 äëÿ çíà-÷åíèé õj .

Íà îñíîâå äàííûõ òàáëèöû 5 íàéäåíî ÒÅÐ(z) = 0,006.

Ïîñêîëüêó ýòî çíà÷åíèå ìåíåå êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ äëÿn = 25, òî íóëåâàÿ ãèïîòåçà äëÿ ïðåîáðàçîâàííûõ çíà÷åíèézj íå îòêëîíÿåòñÿ.

Ýòîò ïðèìåð ïîäòâåðæäàåò èçâåñòíûé ôàêò, ÷òîçíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðî÷íîñòè âèñêîçíîé íèòè ïîä÷è-íÿþòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäå-ëåíèÿ.

Ï ð è ì å ð 6Ïðèìåð äåòàëüíî îïèñûâàåò ïðîöåäóðó âû÷èñëåíèÿ

ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ ÒÅÐ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (15).Âòîðîé ñòîëáåö òàáëèöû 6 ñîäåðæèò n = 10 çíà÷å-

íèÿì õj , äëÿ êîòîðûõ äîëæåí áûòü ïðîâåäåí êðèòåðèéÝïïñà-Ïàëëè. Ñîãëàñíî âûðàæåíèÿì (13) è (14), ïîëó÷àåì

õ m= =10 4 118582, , .èÐèñóíîê 8 — Àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ Ýïïñà-Ïàëëè

ÒÅÐ

Ò à á ë è ö à 5 — Çíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðî÷íîñòè âèñêîçíîé íèòè

Èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ õj Ïðåîáðàçîâàííûå çíà÷åíèÿ zj Èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ õj Ïðåîáðàçîâàííûå çíà÷åíèÿ zj

147186141183190

123155164183150

134170144

1,7561,2551,7991,3221,146

1,9081,6901,6021,3221,732

1,8451,5311,778

99156176160174

15316216717978

173168

2,0211,6811,4471,6431,477

1,7081,6231,5681,3982,100

1,4911,556

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

15

Äâîéíàÿ ñóììà â òðåòüåì ÷ëåíå âûðàæåíèÿ (15) ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé ñåðèåé (n — 1) ïîäñåðèé,ïåðâàÿ èç êîòîðûõ èìååò îäèí ÷ëåí, à ïîñëåäíÿÿ (n — 1) ÷ëåí.

Äëÿ ïåðâîé ïîäñåðèè óñòàíîâëåí èíäåêñ k = 2 è åäèíñòâåííûé ÷ëåí ñóììû, ðàâíûé

( )exp

− −

x xm

1 22

22 , ïîëó÷åí ïðè j = 1. Âî âòîðîé ïîäñåðèè óñòàíîâëåí èíäåêñ k = 3 è ñóììà

èìååò äâà ÷ëåíà, ðàâíûå:

( )exp

− −

x xm

1 32

22 è

( )exp ,

− −

x xm

2 32

22

êîòîðûå ïîëó÷åíû ïðè j = 1 è j = 2. Äëÿ ïîñëåäíåé ïîäñåðèè ôèêñèðîâàí èíäåêñ k = 10, è ñóììàèìååò 9 ÷ëåíîâ, ðàâíûå:

( ) ( )exp , ... , exp ,

− − − −

x xm

x xm

1 102

2

9 102

22 2

êîòîðûå ïîëó÷åíû ïðè j = 1, 2, 3, ..., 9.

Ò à á ë è ö à 6 — Çíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðî÷íîñòè âèñêîçíîé íèòè — âû÷èñëåíèå ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ ÒÅÐ

( )exp

− −

x x

mj k

2

22

j12345678910

Ñóììà

xj4,95,06,510,911,011,412,713,114,014,5

104,0

j =0,9996

—————————

0,9996

j =0,89770,9095

————————

1,8072

k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 k = 8 k = 10k = 9

( )exp

− −

x x

mj

2

24

j =0,21920,23040,4421

———————

0,8916

j =0,20830,21920,42580,9996

——————

1,8528

j =0,16840,17780,36330,98950,9933

—————

2,6923

j =0,07690,08210,19770,87230,88530,9312

————

3,0455

j =0,05870,06290,15930,81540,83030,88530,9933

———

3,8052

j =0,03040,03290,09330,66680,68420,75200,93120,9664

——

4,1573

j =0,02050,02220,06730,57900,59660,66680,87230,92070,9895

—

4,7350

j =1, ..., 100,52850,54070,72570,99470,99240,97910,89450,85750,76090,7016

7,9757

Îáùàÿ ñóììà 23,9865

Çíà÷åíèÿ ÷ëåíîâ äëÿ n—1=9 ïîäñåðèé ïåðå÷èñëåíû â ñòîëáöàõ 3—11 òàáëèöû 6.12-é ñòîëáåö ïîêàçûâàåò n = 10 ÷ëåíàì ñóììû â ÷åòâåðòîì ÷ëåíå âûðàæåíèÿ (15).Äëÿ êàæäîãî èç ïîñëåäíèõ 10 ñòîëáöîâ òàáëèöû 6 âû÷èñëåíû èõ ñóììû è óêàçàíû âíèçó ñòîëáöà.Âñå 45 ÷ëåíîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ñóììå â òðåòüåì ÷ëåíå âûðàæåíèÿ (15), ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ äàëè

îáùóþ ñóììó ( )

exp , .− −

=

−

−

=∑∑

x x

mj k

j

k

k

2

21

1

2

10

2 23 9865

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

16

Îêîí÷àòåëüíî âûðàæåíèå (15) ïîäñ÷èòàíî è ðàâíî

( ) ( )TEP = + + × − × =1 23 9865 2 7 9757 0 2914103 210 , , , .Ïðè n = 10 òàáëèöà 12 ñîäåðæèò çíà÷åíèå ð-êâàíòèëÿ äëÿ ð = 1—α = 0,95, ðàâíîå 0,357. Âû÷èñ-

ëåííîå çíà÷åíèå ÒÅÐ = 0,2914 íå ïðåâûøàåò ýòî êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå, ïîýòîìó â ýòîì ïðèìåðåíóëåâàÿ ãèïîòåçà íå îòêëîíÿåòñÿ ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,05.

9 Ñîâìåñòíûé êðèòåðèé, èñïîëüçóþùèé íåñêîëüêî íåçàâèñèìûõ âûáîðîê

Êðèòåðèé ïðèìåíèì ïðè íåñêîëüêèõ âûáîðêàõ îäèíàêîâîãî îáúåìà ñ n ≥ 8, îäíàêî èç ïðàêòè÷åñ-êèõ ñîîáðàæåíèé òàáëèöà 13 îãðàíè÷åíà çíà÷åíèÿìè êîýôôèöèåíòîâ äëÿ n ≤ 50. Îíà îñíîâàíà íàïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íåçàâèñèìûå âûáîðêè âçÿòû èç îäíîé ñîâîêóïíîñòè.

Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóÿíåñêîëüêî íåçàâèñèìûõ âûáîðîê, ïîñêîëüêó êàæäàÿ îòäåëüíàÿ âûáîðêà ñëèøêîì ìàëà, ÷òîáû îáíàðó-æèòü äàæå çíà÷èòåëüíîå îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.  òàêîé ñèòóàöèè ïðèìåíÿþò ìîäè-ôèöèðîâàííûé êðèòåðèé Øàïèðî-Óèëêà.

Äëÿ h ïîñëåäîâàòåëüíûõ âûáîðîê îáúåìîì n êàæäàÿ, îòîáðàííûõ èç îäíîé ñîâîêóïíîñòè, ïîä-ñ÷èòûâàþò çíà÷åíèÿ Wj ( j = 1, 2, ..., h) ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (12). Äëÿ ñîâìåñòíîãî êðèòåðèÿ âû÷èñ-ëÿþò ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèêè Gj ñîâìåñòíîãî êðèòåðèÿ ïî ôîðìóëå

Gj = γn + δn νj , (16)

ãäå νj — âñïîìîãàòåëüíàÿ âåëè÷èíà ñîâìåñòíîãî êðèòåðèÿ, ðàññ÷èòûâàåìàÿ ïî ôîðìóëå

νε

jj n

j

WW

=

−−ln ;1 (17)

γn, δn è εn — êîýôôèöèåíòû äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Wj â Gj , ïðèâåäåííûå â òàáëèöå 13. ñëó÷àå, åñëè îñíîâíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íîðìàëüíîå, ïåðåìåííûå Gj ïðèáëèçèòåëüíî

ñëåäóþò ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé Gjðàâíî

G Gh jj

h

==

∑11

, (18)

è ñòàòèñòèêîé êðèòåðèÿ ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå h G× , ãäå h — ÷èñëî ïîñëåäîâàòåëüíûõ âûáîðîê.Íóëåâàÿ ãèïîòåçà îòêëîíÿåòñÿ ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α, åñëè

h G u× < −1 α , (19)

ãäå u1—a = up — ð-êâàíòèëü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ï ð è ì å ð 7Ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ñîâìåñòíîãî êðèòåðèÿ, èñïîëüçóþùåãî íåñêîëüêî íåçàâèñèìûõ âûáîðîê.

Èìåþòñÿ 22 ñëó÷àéíûå âûáîðêè (h =22), êàæäàÿ îáúåìîì n = 20, îòîáðàííûå èç îäíîé ñîâîêóïíîñòè.Èçìåðÿþò çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé Õ ýòèõ 20 îáúåêòîâ, êîòîðàÿ â ïðåäïîëîæåíèè èìååò ðàñ-ïðåäåëåíèå, îòëè÷íîå îò íîðìàëüíîãî. Äëÿ êàæäîé âûáîðêè âû÷èñëÿþò ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿWj ( j = 1, 2, ..., 22) ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (12). 22 çíà÷åíèÿ Wj ïðèâåäåíû â òàáëèöå 7. Èç òàáëèöû 13âçÿòû ñëåäóþùèå êîýôôèöèåíòû:

γ20 = — 5,153; δ20 = 1,802; ε20 = 0,2359.Èñïîëüçóÿ ýòè çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ, âû÷èñëÿþò ñîîòâåòñòâóþùèå 22 çíà÷åíèÿ Gj ñîãëàñíî

âûðàæåíèÿì (16) è (17); çíà÷åíèÿ Wj è Gj ïðèâåäåíû â òàáëèöå 7.

Ïî òàáëèöå 11, íàõîäÿò çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè (çíà÷åíèå ð-êâàíòèëè) W, ðàâíîå 0,868 äëÿ n = 20ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,01.

Èç òàáëèöû 14 çíà÷åíèå ð-êâàíòèëè äëÿ h G× ðàâíî

— u1—α = — u0,99 = —2,326

ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,01.Ïî ðåçóëüòàòàì îáðàáîòêè êàæäîé èç ýòèõ 22 âûáîðîê íåëüçÿ âûÿâèòü îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíî-

ãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè äàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,01, ïîñêîëüêó íè îäíî èç çíà÷åíèé Wj íå ìåíååêðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ 0,868 è íè îäíî èç çíà÷åíèé Gj íå ìåíåå êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ìèíóñ 2,326.

Ñîâìåñòíîå îöåíèâàíèå âñåõ 22 âûáîðîê äàåò G = − = −17 902 22 0 814, / , è h G× = − 3 82, .

Çíà÷åíèå h G× ñðàâíèâàåòñÿ ñî çíà÷åíèåì —up=—2,326 ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,01.Ïîñêîëüêó âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå ìèíóñ 3,82 ëåæèò çíà÷èòåëüíî íèæå íàéäåííîãî â òàáëèöå 14 çíà÷å-íèÿ, òî íóëåâóþ ãèïîòåçó îòêëîíÿþò ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,01.

10 Ñòàòèñòè÷åñêèå òàáëèöû

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

17

Ò à á ë è ö à 7 — Çíà÷åíèÿ Wj è Gj äëÿ 22 âûáîðîê îáúåìîì n = 20, âçÿòûõ èç îäíîé ñîâîêóïíîñòè

Íîìåðâûáîðêè

Wj GjÍîìåð

âûáîðêèWj Gj

1234567891011

0,95430,96450,91480,88640,95730,91580,94620,92770,96390,93630,9067

—0,189+0,292—1,413—2,008—0,059—1,389—0,503—1,083+0,260—0,833—1,598

1213141516171819202122

Ñóììà

0,92180,95510,93380,95840,90880,90280,89470,94880,94450,94710,9451

—1,240—0,155—0,909—0,009—1,552—1,683—1,849—0,407—0,563—0,470—0,542

—17,902

Ò à á ë è ö à 8 — Êðèòåðèé ïðîâåðêè íà àñèììåòðèþ; çíà÷åíèÿ ð-êâàíòèëè äëÿ ñòàòèñòèêè b1 ïðè

ð = 1— α = 0,95 è 0,99

np

0,95 0,99n

p

0,95 0,99

8910121520

253035404550

0,990,970,950,910,850,77

0,710,660,620,590,560,53

1,421,411,391,341,261,15

1,060,980,920,870,820,79

60708090100125

150175200250300350

0,490,460,430,410,390,35

0,320,300,280,250,230,21

0,720,670,630,600,570,51

0,460,430,400,360,330,30

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

18

Îêîí÷àíèå òàáëèöû 8

np

0,95 0,99n

p

0,95 0,99

400450500550600650

700750800850900950

0,200,190,180,170,160,16

0,150,150,140,140,130,13

0,280,270,260,240,230,22

0,220,210,200,200,190,18

100012001400160018002000

250030003500400045005000

0,130,120,110,100,100,09

0,080,070,070,060,060,06

0,180,160,150,140,130,13

0,110,100,100,090,080,08

Ò à á ë è ö à 9 — Êðèòåðèé ïðîâåðêè íà êðèâèçíó; çíà÷åíèÿ ð-êâàíòèëè äëÿ ñòàòèñòèêè b2 ïðèð = α = 0,01 è 0,05 è ð = 1— α = 0,95 è 0,99

np

0,95 0,99

891012

1520253035

40455075100

125150200250300

350400450500550

1,311,351,391,46

1,551,651,721,791,84

1,891,931,952,082,18

2,242,292,372,422,46

2,502,522,552,572,58

3,703,863,954,05

4,134,174,164,114,10

4,054,003,993,873,77

3,713,653,573,523,47

3,443,413,393,373,35

2,702,712,722,732,74

2,742,752,762,762,78

2,802,812,822,832,85

2,862,872,882,882,89

3,343,333,313,303,29

3,283,283,273,263,24

3,223,213,203,183,16

3,153,143,133,123,12

3,543,523,503,483,46

3,453,433,423,413,37

3,343,323,303,283,25

3,223,213,193,183,17

0,01 0,05n

p

0,95 0,990,01 0,05

1,461,531,561,64

1,721,821,911,982,03

2,072,112,152,272,35

2,402,452,512,552,59

2,622,642,662,672,69

4,534,825,005,20

5,305,365,305,215,13

5,044,944,884,594,39

4,244,133,983,873,79

3,723,673,633,603,57

600650700750800

85090095010001200

14001600180020002500

30003500400045005000

2,602,612,622,642,65

2,662,662,672,682,71

2,722,742,762,772,79

2,812,822,832,842,85

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

19

à) Êðèâûå, âûäåëÿþùèå êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,05

Ðèñóíîê 9 — Ñîâìåñòíûé êðèòåðèé, èñïîëüçóþùèé ñòàòèñòèêè b b1 2è (ìíîãîíàï-

ðàâëåííûé êðèòåðèé), ëèñò 1

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

20

b) Êðèâûå, âûäåëÿþùèå êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,01

Ðèñóíîê 9. Ëèñò 2

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

21

Ò à á ë è ö à 10 — Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà êðèòåðèÿ Øàïèðî-Óèëêà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòàòèñòèêèêðèòåðèÿ W

kn

8 9 10

12345

12345

678910

12345

678910

1112131415

12345

678910

—————

0,560 10,331 50,226 00,142 90,069 5

—————

0,464 30,318 50,257 80,211 90,173 6

0,139 90,109 20,080 40,053 00,026 3

—————

0,422 00,292 10,247 50,215 50,187 4

0,164 10,143 30,124 30,106 60,089 9

—————

0,547 50,332 50,234 70,158 60,092 2

0,030 3————

0,459 00,315 60,257 10,213 10,176 4

0,144 30,115 00,087 80,061 80,036 8

0,012 2————

0,418 80,289 80,246 30,214 10,187 8

0,165 10,144 90,126 50,109 30,093 1

—————

0,535 90,332 50,241 20,170 70,109 9

0,053 9————

0,454 20,312 60,256 30,213 90,178 7

0,148 00,120 10,094 10,069 60,045 9

0,022 8————

0,415 60,278 60,245 10,213 70,188 0

0,166 00,146 30,128 40,111 80,096 1

—————

0,525 10,331 80,246 00,180 20,124 0

0,072 70,024 0

———

0,449 30,309 80,255 40,214 50,180 7

0,151 20,124 50,099 70,076 40,053 9

0,032 10,010 7

———

0,412 70,285 40,243 90,213 20,188 2

0,166 70,147 50,130 10,114 00,098 8

—————

0,515 00,330 60,249 50,187 80,135 3

0,098 00,043 3

———

0,445 00,306 90,254 30,214 80,182 2

0,153 90,128 30,104 60,082 30,061 0

0,040 30,020 0

———

0,409 80,283 40,242 70,212 70,188 3

0,167 30,148 70,131 70,116 00,101 3

—————

0,505 60,329 00,252 10,193 90,144 7

0,100 50,059 30,019 6

——

0,440 70,304 30,253 30,215 10,183 6

0,156 30,131 60,108 90,087 60,067 2

0,047 60,028 40,009 4

——

0,406 80,281 30,241 50,212 10,188 3

0,167 80,149 60,133 10,117 90,103 6

—————

0,496 80,327 30,254 00,198 80,152 4

0,110 90,072 50,035 9

——

0,436 60,301 80,252 20,215 20,184 8

0,158 40,134 60,112 80,092 30,072 8

0,054 00,035 80,017 8

——

0,404 00,279 40,240 30,211 60,188 3

0,168 30,150 50,134 40,119 60,105 6

0,605 20,316 40,174 30,056 1

—

0,488 60,325 30,255 30,202 70,158 7

0,119 70,073 70,049 60,016 3

—

0,432 80,299 20,251 00,215 10,185 7

0,160 10,137 20,116 20,096 50,077 8

0,059 80,042 40,025 30,008 4

—

0,401 50,277 40,239 10,211 00,188 1

0,168 60,151 30,135 60,121 10,107 5

0,588 80,324 40,197 60,094 7

—

0,480 80,323 20,256 10,205 90,164 1

0,127 10,093 20,061 20,030 3

—

0,429 10,296 80,249 90,215 00,186 4

0,161 60,139 50,119 20,100 20,082 2

0,065 00,048 30,032 00,015 9

—

0,398 90,275 50,238 00,210 40,188 0

0,168 90,152 00,136 60,122 50,109 2

0,573 90,329 10,214 10,122 40,039 9

0,473 40,321 10,256 50,208 50,168 6

0,133 40,101 30,071 10,042 20,014 0

0,425 40,294 40,248 70,214 80,187 0

0,163 00,141 50,121 90,103 60,086 2

0,069 70,053 70,038 10,022 70,007 6

0,396 40,273 70,236 80,209 80,187 8

0,169 10,152 60,137 60,123 70,110 8

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

22

Îêîí÷àíèå òàáëèöû 10

kn

38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1112131415

1617181920

12345

678910

1112131415

1617181920

2122232425

0,073 90,058 50,043 50,028 90,014 4

—————

0,394 00,271 90,235 70,209 10,187 6

0,169 30,153 10,138 40,124 90,112 3

0,100 40,089 10,078 20,067 70,057 5

0,047 60,037 90,028 30,018 80,009 4

—————

0,077 70,062 90,048 50,034 40,020 6

0,006 8————

0,391 70,270 10,234 50,208 50,187 4

0,169 40,153 50,139 20,125 90,113 6

0,102 00,090 90,080 40,070 10,060 2

0,050 60,041 10,031 80,022 70,013 6

0,004 5————

0,081 20,066 90,053 00,039 50,026 2

0,013 1————

0,389 40,268 40,233 40,207 80,187 1

0,169 50,153 90,139 80,126 90,114 9

0,103 50,092 70,082 40,072 40,062 8

0,053 40,044 20,035 20,026 30,017 5

0,008 7————

0,084 40,070 60,057 20,044 10,031 4

0,018 70,006 2

———

0,387 20,266 70,232 30,207 20,186 8

0,169 50,154 20,140 50,127 80,116 0

0,104 90,094 30,084 20,074 50,065 1

0,056 00,047 10,038 30,029 60,021 1

0,012 60,004 2

———

0,087 30,073 90,061 00,048 40,036 1

0,023 90,011 9

———

0,385 00,265 10,231 30,206 50,186 8

0,169 50,154 50,141 00,128 60,117 0

0,106 20,095 90,086 00,076 50,067 3

0,058 40,049 70,041 20,032 80,024 5

0,016 30,008 1

———

0,090 00,077 00,064 50,052 30,040 4

0,028 70,017 20,005 7

——

0,383 00,263 50,230 20,205 80,186 2

0,169 50,154 80,141 50,129 30,118 0

0,107 30,097 20,087 60,078 30,069 4

0,060 70,052 20,043 90,035 70,027 7

0,019 70,011 80,003 9

——

0,092 40,079 80,067 70,055 90,044 4

0,033 10,022 00,011 0

——

0,380 80,262 00,229 10,205 20,186 9

0,169 50,155 00,142 00,130 00,118 9

0,108 50,098 60,089 20,080 10,071 3

0,062 80,054 60,046 50,038 50,030 7

0,022 90,015 30,007 6

——

0,094 70,082 40,070 60,059 20,048 1

0,037 20,026 40,015 80,005 3

—

0,378 90,260 40,228 10,204 50,185 5

0,169 30,155 10,142 30,130 60,119 7

0,109 50,099 80,090 60,081 70,073 1

0,064 80,056 80,048 90,041 10,033 5

0,022 90,018 50,011 10,003 7

—

0,096 70,084 80,073 30,062 20,051 5

0,040 90,030 50,020 30,010 1

—

0,377 00,258 90,227 10,203 80,185 1

0,169 20,155 30,142 70,131 20,120 5

0,110 50,101 00,091 90,083 20,074 8

0,066 70,058 80,051 10,043 60,036 1

0,028 80,021 50,014 30,007 1

—

0,098 60,087 00,075 90,065 10,054 6

0,044 40,034 30,024 40,014 60,004 9

0,365 10,257 40,226 00,203 20,184 7

0,169 10,155 40,143 00,131 70,121 2

0,111 30,102 00,093 20,084 60,076 4

0,068 50,060 80,053 20,045 90,038 6

0,031 40,024 40,017 40,010 40,003 5

31 32 33 34 35 36 37

ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479—2002

23

Ò à á ë è ö à 11 — Êðèòåðèé Øàïèðî-Óèëêà; ð-êâàíòèëè ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ W äëÿ ð = α = 0,01 è 0,05

np

0,01 0,05n

p

0,01 0,05

8910

1112131415

1617181920

2122232425

0,7490,7640,781

0,7920,8050,8140,8250,835

0,8440,8510,8580,8630,868

0,8730,8780,8810,8840,888

0,8180,8290,842

0,8500,8590,8660,8740,881

0,8870,8920,8970,9010,905

0,9080,9110,9140,9160,918

2627282930

3132333435

3637383940

4142434445

4647484950

0,8910,8940,8960,8980,900

0,9020,9040,9060,9080,910

0,9120,9140,9160,9170,919

0,9200,9220,9230,9240,926

0,9270,9280,9290,9290,930

0,9200,9230,9240,9260,927

0,9290,9300,9310,9330,934

0,9350,9360,9380,9390,940

0,9410,9420,9430,9440,945

0,9450,9460,9470,9470,947

Ò à á ë è ö à 12 — Êðèòåðèé Ýïïñà-Ïàëëè: ð-êâàíòèëè ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ ÒÅÐ äëÿ ð =1—α = 0,90; 0,95;0,975 è 0,99

np

0,975 0,99

8

910152030

0,271

0,2750,2790,2840,2870,289

0,426

0,4280,4370,4470,4500,459

0,3740,3760,379

0,4600,4640,467

0,5740,5830,590

0,90 0,95n

p

0,975 0,990,90 0,95

0,347

0,3500,3570,3660,3680,371

0,526

0,5370,5450,5600,5640,569

50100200

0,2900,2910,290

ÃÎÑÒ