正餘弦定理 綜合練習

建國中學‧林信安 老師

1

1-3 正餘弦定理

綜合練習

練習 1

設 a，b，c 分別表△ABC 中三內角∠A，∠B，∠C 的對邊長，請選出正確的選項。（多選）

(A)在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：4，則 a：b：c＝2：3：4 (B)sinA：sinB：sinC＝a：b：c (C)若 a2＜b2＋c2，則△ABC 為銳角三角形 (D)若 a2＞b2＋c2，則△ABC 為鈍角三角形 (E)若 sinA：sinB：sinC＝2：3：4，則△ABC 最大內角是 80°

練習 2 (2006 指定乙)嘌呤是構成人體基因的重要物質，它的化學結構式主要是由一個正五邊形與一個正六邊形

構成（令它們的邊長均為 1）的平面圖形，如下圖所示：

試問以下那些選項是正確的？

(1)BAC=54

(2)O 是ABC 的外接圓圓心

(3) = √ (4)BC=2．sin66

練習 3 (2014 學科能力測驗)

如圖，正三角形 ABC 的邊長為 1，並且1=2=3=15。

已知 sin15= √ √ ，

則正三角形 DEF 的邊長為。（化為最簡根式）

練習 4

在ABC 中，已知BC=1，sinA<sinB，且 sinA 與 sinB 為 8x24 3 x+1=0 的兩根，則ABC

的外接圓半徑=？

2

A

B

C

練習 5

如圖，設每一小格皆為正方形，求 cos=？

練習 6

在一極坐標中，O 為極點，極軸為OX ，已知 A[4,13]、B[6,73]，試求

(a)OAB 的面積。 (b) 的長度。

練習 7

如右圖，△ABC 的三邊長為 AB ＝24， AC ＝9， BC ＝21，求：

(a) sinA：sinB：sinC。（化成最簡整數比）

(b) ∠A。

(c) △ABC 外接圓的半徑。

(d) △ABC 的面積。

練習 8

ABC 中，設 a=3，b=4，tanA= 3 4 ，求 c=？

練習 9

設ABC 之三高為 ha=6，hb=4，hc=3，則求最小內角之餘弦為；

最小邊長=。

練習 10 (2011 年學科能力測驗)

四邊形 ABCD 中， =1 , =5 , =5 , =7，且DAB=BCD=90，

則對角線 長為。

3

練習 11 (2009 學科能力測驗)

假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。兩條筆直的公路交於丁鎮，其中之一通

過甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 45°，則丙、

丁兩鎮間的距離約為

(1) 24.5 公里 (2) 25 公里 (3) 25.5 公里 (4) 26 公里 (5) 26.5 公里

練習 12

圓內接四邊形 ABCD， =5，ADC=105，DCB=90，ABD=60，

求對角線 、 的長度。

練習 13

在ABC 中，令 =c， =b， =b，

(a)試利用正餘弦定理證明：tanA：tanB：tanC=1

b2+c2a2：1

c2+a2b2：1

a2+b2c2

(b)若 tanA：tanB：tanC= 1 6 ：

119：

130，求 cosA=？

練習 14

ABC 中，A=60，AB=15，

AC=24，則A 的外角平分線

AD長為多少？

練習 15

如圖，OA=a,

OB=b,

OC=c，AOC=BOC=30，

試證1a +

1b =

3c 。

練習 16

圓內接四邊形 ABCD，已知AD=5，

BC=5，

CD=3，BCD=120，則

AB=？

練習 17 (2007 學科)

在ABC 中，M 為 邊之中點，若 =3， =5，且BAC=120，則 tanBAM=？

O A

B

C

4

B DC

A

D A

B

C

練習 18

如右圖， = ，B, C 為以 為直徑的半圓上的二點，

且 = = ，則 =？

練習 19

已知四邊形 ABCD 中，AB=8，

CD=8，

AD=3 且 60ADCABC ，試求

BC之長。

練習 20

已知ABC 三邊長分別為AB=7，

BC=5，

AC=3，

延長BC至 D，如右圖所示，使得

CD=2，則

AD=？

練習 21

如圖，三角形 ABC 之三邊長為 ＝7， ＝8， ＝9，若 ABDE，ACFG 皆為正方形，則 ＝。

練習 22

在ABC 中之三邊長分別為 11, 13, 20，則此三角形內切圓半徑為；外接圓半徑為。

練習 23

郊外有甲，乙，丙三家，兩兩相距 70，80，90 公尺，今計畫公設一井，井到三家必須等距，

則此距離為公尺。

練習 24

ABC 中，設 AB=c, BC=a, CA=b，試證下列等式：

(a)a(sinBsinC)+b(sinCsinA)+c(sinAsinB)=0

(b) 2

2

22

22 sinsinsina

Acb

CB

(c)(bc)sinA+(ca)sinB+(ab)sinC=0

(d)a(bcosCccosB)=b2c2

5

練習 25

設 a=3+t2，b=32tt2，c=4t

(a)若 a,b,c 均為正數，求 t 的範圍。

(b)若 a,b,c 為ABC 的三邊長，求 t 的範圍。

(c) 若 a,b,c 為ABC 的三邊長，求最大角的度量。

練習 26

若 15x、19x、23x 為一個鈍角三角形的三邊長，求 x 的範圍。

練習 27

設BAC=60，P 為其內部一點且AP =10，

又 P 對於AB、

AC的對稱點分別為 Q、R，則QR=？

練習 28 (2009 學科能力測驗)

在ABC 中，AB=10,

AC=9, cosBAC =

38。設點 P、Q 分別在邊 AB、AC 上使得APQ 之

面積為ABC 面積之一半，則PQ之最小可能值為。（化成最簡分數）

練習 29 (2014 指定甲)

在(凸)四邊形 ABCD 中，已知AB =3，

BC=4，

CD =3，

DA =x，

且對角線AC=4，請選出正確的選項：

(1)cosABC 3 7 (2)cosBAD>cosABC (3)x 可能為 1 (4)x<

132

(5)若 A、B、C、D 四點共圓，則 x= 7 4 。

6

CD

A B

P

進階問題

問題 1

在銳角三角形 ABC 中，設A=30，若以BC為直徑作圓，此圓交

AB於 P 點，交

AC於 Q 點，

試求(a)PQ：

BC (b)

四邊形PBCQ的面積

APQ的面積。

問題 2

在正方形內部有一點 P，且PA=1，

PB=3，

PD= 7，

如圖所示，求正方形 ABCD 的面積。

問題 3

ABC 中，周長為 20，A=60，外接圓的半徑為 R=7 3

3 則求各邊的邊長 a,b,c，又三角形

的內切圓半徑為何?

問題 4

設ABC 之三邊長為 3 ,x , y，且邊長 3之對角為 60，試求 x+y 的範圍。

問題 5

設凸四邊形 ABCD 之對角線 AC=p，BD=q，兩對角線之交角為。

(a)試證：凸四邊形 ABCD 之面積=12 pq sin

(b)若 AC+BD=10，則凸四邊形 ABCD 面積之最大值為何？

問題 6

ABC 中，設 a=2,b=1

(a)當ABC 面積最大時，求 c。(b)當B 最大時，求 c。

7

問題 7

設 ABCD 為半圓內接四邊形，AD為直徑長為 d，若

AB=a，

BC=b，

CD=c，

試證明：d 為方程式 x3(a2+b2+c2)x2abc=0 的一根。

問題 8

試證明：ABC 的內切圓半徑 r=(sa)tanA2。s=ABC 的半周長

問題 9

如圖，設ABC 之內切圓半徑為 r，外接圓半徑為 R，

內切圓切三邊於 P,Q,R，則

PQR的面積

ABC的面積之值為何？

問題 10

設圓內接四邊形 ABCD 四邊之長分別為AB=a，

BC=b，

CD=c，

AD=d，試證：

(a)AC2=

(ac+bd)(ad+bc)ab+cd 。

(b)BD2=

(ac+bd)(ab+cd)ad+bc

(c)AC

BD=ac+bd。(Ptolemy 定理)

問題 11

若 x= y216+ z216，y= x29+ z29，z= y236+ x236，則 x+y+z=？

A

B C

I

P

Q

R

8

x15

45

60120

20

丁

丙 乙

甲

綜合練習解答

(1) (B)(D)

(2) (2)(3)(4)

(3) 2

26

[解法]：

1=15，ABE=45，BEA=120

120sinAB = 15sin

BE = 45sinAE

，而AD =

BE

所以正三角形 DEF 的邊長DE

=AE

AD =

sin45sin120

sin15sin120 =

32 (

22

426 )=

226

。

(4) 3 +1

(5) 285

(6) (a)6 3 (b) 28

(7) (a)7：3：8 (b)60 (c)7 3 (d)54 3

(8) 5 或75

(9) 78 ；

16 1515

(10) 32

(11) (1)

依照題意可作圖如右：假設丙丁之間的距離為 x，

則由正弦定理有

45sin

20120sinx

，

故 4978.242320 x ，即最接近 24.5 公里。

(12) BD=10、AC=

5( 6+ 2)2

(13) (a)tan=sincos ，sinA=

a2R 、sinB=

b2R 、sinC=

c2R

9

cosA=b2+c2a2

2bc 、cosB=c2+a2b2

2ca 、cosC=a2+b2c2

2ab

(b)利用(a)的結果求出 a：b：c，再計算 cosA=51

。

(14) 40

(15) [提示：考慮AOB=AOC+BOC，再利用三角形的面積公式，即可得證]

(16) 8

(17) 5 3

(18) 72

(19) 3 或 5

(20) 7

(21) 14

(22) 3，656

(23) 21 5

(24) (a)(b)(c)利用正弦定理將 sinA、sinB、sinC 化成a

2R、b

2R、c

2R。代入式子中運算。(d)利用

餘弦定理。

(25) (a)0<t<1 (b)0<t<1 (c)120

(26) 3<x<11

(27) 10 3 [提示QAR=120]

(28) 2

15

因為△APQ 與△ABC 共用一個 A ，這兩個三角形的面積比為其共角夾邊的乘積比，即

欲使△APQ 之面積為△ABC 面積之一半，則須 4521

ACABAQAP 。

假設 APx ， AQy ， PQt 。△APQ 中， Axyyxt cos2222 。因為

90222 xyyx ，所以，2

154

2254

135902 tt 。

(29) (4)(5)

[解法]：

令ABC=AC2=

AB 2+

BC22

AB

BCcoscos=

924 <

3 7 ，

故(1)不正確

10

ABC 為等腰三角形，BAD>ABC cosBAD<cosABC，故(2)不正確

x+4>3,x+3>4，x4<3 1<x<7，故 x 不可能為

1，故(3)不正確

(4)當 BCD 三點共線時，在ABD 中，

cosABC=9

24 ，AB =3，

BC=4，利用餘弦公

式可得AD =

132 ，故 x<

132 。

(5) 若 A、B、C、D 四點共圓，ABC=，

ADC=180

42=32+x22．x．3 ．cos(180)x= 7 4 。故選(4)(5)

進階問題解答

(1) (a)3

2 (b) 1 3

(a)BCP=90B，BCP+PCQ=C

PCQ=B+C90=15090=60

PQsinPCQ =

BC

PQ：

BC=

32

(b)AQ= 3

BQ，

AP= 3

PC ，AQB=APC=90

∴四邊形PBCQ的面積

APQ的面積 =

30sin21

30sin21

AQAP

BQPC=

1 3 。

(2) 8+ 14

將ABP 繞 A 點逆時針旋轉 90得ADP/

AP=

AP/=1，且PAP/=90

PP/= 2

在DPP/中，DP2+

PP/2=7+2=9=

DP/2

DPP/=90

所以DPA=90+45=135。

P'

CD

A B

P

11

在ADP 中使用餘弦定理AD2=8+ 14 。

[另解]：令DAP=，BAP=，AD=x

根據餘弦定理：

( 7)2=12+x22 ·x ·1 ·cos，32=12+x22 ·x ·1 ·cos

+=90，所以 cos2+cos2=1

(x262x )2+(

x282x )2=1解得 x2=8+ 14 。

(3) a=7，b=8，c=5 或 a=7，b=5，c=8r= 3

(4) 3<x+y2 3

[提示：根據餘弦定理=x2+y2xy=(x+y)23xy(x+y)2=3(xy+1)，因為 xy=x2+y232xy3 xy3 (x+y)2=3(xy+1)12 ]

(5) (b)504 [提示：利用 pq

14(p+q)2]

(6) (a) 5 (b) 3 (提示：(b)cosB=c2+32c =

12(c+

3c)

32 )

(7) [提示：AC2=a2+b22abcosB=c2+d22cdcosD，因為ACD=90，cosD=

cd，代入前面的式

子化簡即可得證]

(8) [提示：只需證明AR=sa 即可]

(9) r2R

[提示：如(37)題圖，

PQR=RQI+RPI+PQI=12r2sin(180A)+

12r2sin(180B)+

12r2sin(180C)=

12

r2(sinA+sinB+sinC)=1

4Rr2(a+b+c)=r2s2R，ABC=rs]

(10) [提示：利用AC2=a2+b22abcosB=c2+d22cdcosD，而且B+D=180]

(11) 5

1524

由已知做一三角形，其邊長分別為 x,y,z，則 hx=4，hy=3，hz=6