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香港中學文憑考試

數學 必修部分

試卷一

2020年11月

2

內容簡介

考試形式

題目介紹

評卷參考

考生表現

答卷示例

一般建議

考試形式

3

考試時間 : 2小時15分鐘

佔必修部分 65％

本卷分為兩部，全部題目均須作答

甲部題目範圍為必修部分之基礎課題及初中課程基礎部分

乙部題目範圍為必修部分及初中課程基礎部分與非基礎部分

題目介紹 – 題 4

4

設 a 、 b 及 c 均為非零的數使得 及

。 求 。

需對比例有較深入認識

7

6

b

a

ca 43 ba

cb

2

2

題目介紹 – 題 11

5

下面的幹葉圖顯示某袋子內的信件的重量（以克為單位）的分佈。

幹（十位）

葉（個位）

1

1

6

7

8

8

8

2 3

4

5

3

2

4

3

6

9 9

5 0

w

1

3

3

2

題目介紹 – 題 11（續）

6

已知上述分佈的分佈域為其四分位數間距的三倍。

(a) 求 w 。

(b) 若從該袋子中隨機抽取一信件， 求所抽取的信件的 重量不少於該分佈的眾數的概率。

需對幹葉圖、四分位數間距、

分佈域、眾數及概率有較深 入 認識

題目介紹 – 題 13

7

三次多項式 f(x) 可被 x ‒ 1 整除。 當 f(x) 除以

x2 ‒ 1 時， 餘式為 kx + 8 ， 其中 k 為一常數。

(a) 求 k 。

(b) 已知 x + 3 為 f(x) 的因式。 當 f(x) 除以 x 時，

餘數為 24 。 某人宣稱方程 f(x) = 0 所有的根均

為整數。 該宣稱是否正確？ 試解釋你的答案。

需對除法算式、因式定理及餘式定理

有較深入認識

題目介紹 – 題 14

8

點 A 及點 B 的坐標分別為 ( ‒10 , 0) 及 (30 , 0) 。

圓 C 通過 A 及 B 。 將 C 的圓心記為 G 。 已知

G 的 y 坐標為 ‒15 。

(a) 求 C 的方程。

(b) 直線 L 通過 B 及 G 。 另一直線 ℓ 平行於 L 。

設 P 為直角坐標平面上的一動點使得由 P 至 L

的垂直距離等於由 P 至 ℓ 的垂直距離。 將 P

的軌跡記為 Γ 。 已知 Γ 通過 A 。

題目介紹 – 題 14（續）

9

(i) 描述 與 L 之間的幾何關係。

(ii) 求 的方程。

(iii) 假定 與 C 相交於另一點 H 。 某人宣稱 ∠GAH < 70º 。 你是否同意？ 試解釋你的答案。

需對圓方程、直線方程、軌跡、 平行線性質及圓性質有較深入認識

需描述幾何關係

需解釋答案

Γ

Γ

Γ

題目介紹 – 題 17

10

設 g(x) = x2 ‒ 2kx + 2k2 + 4 ，其中 k 為一實常數。

(a) 利用配方法， 以 k 表 y = g(x) 的圖像的頂點

的坐標。

(b) 在同一直角坐標系中， 設 D 及 E 分別為

y = g(x + 2) 的圖像的頂點及 y = ‒ g(x ‒ 2) 的

圖像的頂點。這直角坐標系中是否有一點 F

使得 ΔDEF 的外心的坐標為 (0 , 3) ？試解釋

你的答案。

需對三角形的面積及周界、內切圓、 切線的性質及直線方程有較深入認識

需描述幾何關係

題目介紹 – 題 17（續）

11

需對配方法、 函數的變換、外心及 根的性質有較深入認識

需整合不同領域的知識

需解釋答案

題目介紹 – 題 18

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圖 2 中， U 、 V 及 W 均為某圓上的點。 將該圓記為 C 。 TU 為 C 在 U 的切線使得 TVW 為一直線。

(a) 證明 ΔUTV ~ ΔWTU 。

圖 2 U

V

T

W

題目介紹 – 題 18（續）

13

(b) 已知 VW 為 C 的一直徑。 假定 TU = 780 cm

及 TV = 325 cm 。

(i) 以 π 表 C 的圓周。

(ii) 某人宣稱 ΔUVW 的周界超過 35 m 。

你是否同意？ 試解釋你的答案。

需對圓及切線的性質、相似三角形 及畢氏定理有較深入認識

需解釋答案

評卷參考

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「M」分 : 使用正確方法的得分

「A」分 : 正確答案的得分

沒有「M」或「A」的分 : 正確地完成

證題或推演得題目所給的答案的得分

評卷參考 – 示例

15

評卷參考

(a) … 1M

x = 5 1A

(b) 把 x = 5 代入 y = x2 ̶ 3x

y = 52 ̶ 3(5) 1M

y = 10 1A

示例 1

(a) … 1M

x = 5 1A

(b) y = 52 ̶ 3(5) 1M

y = 10 1A

評卷參考 – 示例 （續）

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示例 2

(a) …

x = 7 0A

(b) y = 72 ̶ 3(7) 1M

y = 28 0A

示例 3

(a) …

x = ̶ 2 0A

(b) y = ( ̶ 2)2 ̶ 3( ̶ 2) 1M

y = 10 0A

評卷參考

17

塗上陰影的部分代表可省略的 步驟

有外框的部分代表運用不同方 法的答案

評卷參考 – 題 14

18

(a) 1M : 給利用中點公式 1M : 給利用距離公式

1A : 給 C 的方程

(b) (i) 1M : 給 Γ 平行 L (ii) 1M : 給求直線方程的方法

1A : 給正確 Γ 的方程

(iii) 1M : 給利用斜率與傾角的關係

1M : 給利用平行線性質

1A : 給正確答案並顯示理由

考生表現

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級別 2019百分率 2020百分率

第5**級 1.8% 1.6%

第5*級或以上 6.2% 6.2%

第5級或以上 15.2% 14.7%

第4級或以上 39.9% 39.1%

第3級或以上 58.0% 58.3%

第2級或以上 80.8% 81.4%

第1級或以上 92.1% 92.6%

考生表現 – 題 4

20

整體表現良好。部分考生誤以為

a : c = 3 : 4 及未能求得

的值。

ba

cb

2

2

考生表現 – 題 11

21

在(a)，整體表現甚佳。大約 75%

考生能利用該分佈的分佈域為其四分位數間距的三倍這事實以求得 w 。少數考生誤以 w 為 56 。

考生表現 – 題 11 （續）

22

在(b)，整體表現良好。很多考生能求得所抽取的信件的重量不少於該分佈的眾數的概率。部分考生

混淆了「不少於」與「多於」，

因此誤以所抽取的信件的重量多於該分佈的眾數的概率作為答案。

考生表現 – 題 13

23

在(a) ，整體表現平平。 很多考生

忽略了 f(x) 為三次多項式且當 f(x)

除以 x2 ‒ 1 時的商式為線性多項式，因此很多考生未能求得 k 。

在(b) ，整體表現甚差。大部分考生忽略了 f(0) = 24 。 大約 75% 考生

未能得出方程 f(x) = 0 所有的根均為整數這結論。

考生表現 – 題 18

24

在(a)，整體表現平平。很多考生

未能利用有關交錯弓形的圓周角之性質完成 ΔUTV ~ ΔWTU 的

證明。

在(b)(i)，整體表現良好。 很多

考生能利用 (a) 以 π 表 C 的

圓周。

考生表現 – 題 18（續）

25

在(b)(ii)， 整體表現平平。 大約

75% 考生未能利用 VW 為 C 的一直徑這事實證明 ΔUVW 的周界超過 35 m 。

答卷示例

26

http://www.hkeaa.edu.hk/tc/hkdse/hkdse_subj.html?A1&1&4

一般建議

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考生應注意下列各點：

掌握基本的數學課題，如指數、 因式分解、不等式及求積法

列出所有步驟及清楚解釋如何從前提 得出結論

定義任何使用的符號

一般建議（續）

28

有需要時在答案寫上單位

在概率問題中分辨不同的情況

對統計學名詞及其應用有更好的理解

一般建議（續）

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在解三角題過程中利用計算機的 記憶空間去儲存較多的有效數字

探索題目不同部分之間的關係

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謝謝!