天津工业大学数学建模教学团队编写

数学应用典型案例

模型 1 马尔萨斯人口增长（指数增长）模型 所用知识：常微分方程 内容介绍： 人是经济领域中最活跃的、最重要的因素。一个地区、一个国家乃至全世界

人口的多少对其经济发展都是非常重要的，所以，很早以前，人们就密切关注人

口的发展变化，预测未来的人口数量。人类历史上最早利用微积分的方法预测人

口的人口学家是英国一位宗教界人士----T.J.Malthus（1766-1834）。

T.J.Malthus 根据他那个时代欧洲百余年的人口统计资料，利用微积分的方

法，于 1798 年成功地建立了人口指数增长模型，被公认为“Malthus 人口论”。

1.1 问题的提出

一个地区、一个国家以至于全世界的人口都是在不断的发展变化的，而总的

趋势是在不停的增加。但是，这种发展变化是非常复杂的。这里的主要表现形式

是不断的死亡和不断的出生以及伴随迁出和迁入等。这些表现形式的规律都是难

以确定的。我们要建立一个数学模型来刻画一个地区、一个国家的人口总数随时

间变化的规律，即写出 X=X（t），其中 X为人口总数，t为时间。

有了这个数学模型，知道时间 t就可以算出 t时刻的人口总数 X（t）。

1.2 量的分析

这个问题所涉及的变量有：时刻 t、t时刻的人口总数 X（t）、出生率 p、

死亡率 s、人口变化率 r=p-s（不考虑迁入和迁出）。

首先必须明确有关人口统计的一些名词术语：

（1）人口自然增长率。人口自然增长率是用一定时期内人口自然增长数与

同一时期平均人口数之比。其计算公式为：

（人口自然增长率）=（一年内人口自然增长数）/（年平均人口数）

（人口自然增长率）=（人口出生率）-（人口死亡率）

（2）人口平均增长率是一个时期内人口的增长量与期初人口数和所用时间

乘积之比。其计算公式为

（人口平均增长率）=（期末人口总数-期初人口总数）/（期初人口数×所

用时间）

（3）人口增长率为人口平均增长率在所用时间趋近于零时极限。其计算公

式为（t时刻的人口增长率记为 r（t））

txt

txttxtrt

0lim (1-1)

在实际应用中，我们经常是将人口的平均增长率作为人口增长率。

1.3 模型假设

（1）假设我们所考虑的人口发展过程比较平稳的，即没有大规模的战争、

瘟疫等使人口波动激烈的现象出现。

（2）人口数量为时间的连续可微函数。

（3）人口增长率为与时间无关的常数，记作 r。

对于以上假设作如下说明：

关于假设（1），是对人口发展的一般的、最常见的情况去建模，因而建立

的数学模型适用于这种情况。关于假设（2），由于人口的变化不可能是连续的，

人口数量一般说来非常大，为了能用微积分解决这个问题，需要做出假设，就是

将离散的问题作连续化处理，以便获得更多的解题方法。关于假设（3），是由

Malthus 研究了 100 年来人口统计数据作出的，显然是一种近似。

1.4 模型建立

根据假设（3），人口增长率为与时间无关的常数，即任意时刻 t均有

rtxt

txttxt

0

lim (1-2)

再根据假设（2），人口数量为时间的连续可微函数，即可得 x（t）满足如

下微分方程

00 xx

rxdtdx

(1-3)

这就是在我们的模型假设下人口发展所要满足的微分方程。

1.5 模型求解

有了初始条件的一阶线性常微分方程（1-3），便很容易求解得

rtextx 0 (1-4)

这个解表明人口将按指数规律增长，这就是世界著名的 Malthus 人口模型。

1.6 模型分析

上述数学模型是在所给出的模型假设条件下得到的。如果人口的发展确实是

按照这个假设条件在发展，那么这个模型应该是对的。用 19世纪以前欧洲一些

地区人口统计数据检验这个模型，得到令人满意的结果。但是，人口的发展真的

是按照这样的规律发展吗？在 Malthus 以前的 100 年里，人口发展基本上是按照

这个规律发展的。那么，以后人口的发展是否还将按照这个规律发展？从这个模

型本身用纯粹的数学方法就可分析出结论。

由数学模型 rtextx 0

考虑当 t 时，取上式的极限

rt

texx 0lim

这就是说，时间很久以后，人口将无限增加，以至于趋于无穷大，这显然是

不可能的。通过简单的分析就能证明这个模型在 t较大时是不适用的，事实也是

这样的。

模型 2 Logistic 增长模型

所用知识：常微分方程 内容介绍:

设人类生存空间及可利用资源（食物、水、空气）等环境因素所能容纳的最

大人口容量为 K（称为饱和系数）.人口数量 N（t）的增长速率不仅与现有人口

数量成正比，而且还与人口尚未实现的部分（相对最大容量 K 而言）所占比例

KNK

成比例，比例系数为固有增长率 r.于是，修改后的模型为

00 NNK

NKrNdtdN

(2-1)

这就是非常著名的 Logistic 增长模型，它是有荷兰数学、生物学家弗胡斯特

（Verhulst）在 1839 年首次提出.因子K

NK 的生物学含义是“剩余空间”或称

为尚未利用的增长机会. 下面求解初值问题(2-1).这是一阶非线性方程，可用分离变量法.分离变量，

得 rdtNKN

KdN

(2-2)

两边积分，得

rdtdN

NKN11

， 1lnlnln CrtNKN ，

rteCNK

N1

， rtCe

NNK

， rtCe

NK 1 ，故 rtCe

KtN

1

（2）

其中 C 由初始条件 00 NN 确定： 10

NKC .这就是 Logistic 曲线，又称“S”

形曲线.

下图描绘的是dtdN

与 N 之间的关系图形-----抛物线，他表明人口变化率dtdN

随着人口数量 N 的增加，而先增后减，在2KN 时达到最大值，在 N=K 处，变

化率dtdN =0.

图 2-1

Logistic 模型用途十分广泛，除了上面所举的用于预测人口增长外，也可完

全类似的用于虫口增长、疾病的传播、谣言的传播、技术革新的推广、销售预测、

商店增长等。 模型 3 捕食——被捕食模型

所用知识：微分方程组

内容介绍：

设在一个海岛上考察狐狸----野兔生态系统。狐狸吃野兔，野兔吃草（假设

草总是充足的）。野兔（被捕食）的数量取决于两个方面：自身数量与狐狸（捕

食）的数量。狐狸的数量也取决于两个方面：自身数量与野兔的数量。每个群体

的改变必然引起另一群体的改变。例如，野兔数量增加，狐狸容易捕食，狐狸的

数量也随着增加；狐狸数量的增加，吃掉许多野兔，引起野兔的数量减少，狐狸

进入饥饿状态，狐狸的数量又减少，但这又引起野兔的数量增加；从而出现反复

循环。下图所画曲线表示狐狸----野兔生态系统岁时间而变化的情况。

图 3-1 我们用 x（t）表示在时间 t时野兔的数量，y（t）表示在时间 t时狐狸的

数量。

根据上述分析，野兔（被捕食）的增长速率dtdx

一方面与自身数量 x成正比；

另一方面，由于狐狸（捕食）的存在又制约了野兔的增长速率，故模型又假设野

兔的增长速率是一个与狐狸数量成正比的量的减函数。因此，被捕食方程（野兔

方程）为 0,, baxbyadtdx

，为常数。

狐狸（捕食）的增长速率dtdy

也取决于自身数量与野兔数量。狐狸越多，对

食物（野兔）有更多的竞争，更多的狐狸会饿死，所以狐狸的增长速率会变小（负

增长）；另一方面，野兔的增长使狐狸增加了增长机会，故模型又假设狐狸的增

长速率是一个与野兔数量成正比的量的增函数。因此，捕食方程（狐狸方程）为

0,, hcyhxcdtdy

，为常数。

将上述两个方程联立，得

yhxcdtdy

xbyadtdx

(3-1)

其中 0,,, hcba ，为常数。

这就是著名的捕食----被捕食模型，又称为伏尔特拉----洛特卡

（Voltarra—Lotka）模型。伏尔特拉（1860-1940）是杰出的意大利数学家，洛

特卡（1880-1949）出生于奥地利，是种群动态之父。

模型（3）是非线性方程组，将(3-1)中两式相除消去 dt，得分离变量方程

xdxhxc

ydybya

两边积分，得 Chxxcbyya lnlnln ， hxcbya eCxey ， Cex

ey

hx

c

by

a

其中 C为任意常数，可由初始条件确定。

捕食----被捕食模型有着广泛的应用。当一个包含两个群体的系统中，只要

两个群体相互依存、相互制约，均可用捕食----被捕食模型来描述。例如，鲨鱼

与食用鱼、寄生虫与其宿主、害虫与其天敌、肿瘤细胞与正常细胞等都可用该模

型来描述。下图表明了狐狸----野兔（数量）随着时间 t所发生的周而复始的变

化，正是这种变化维持着该系统的生态平衡。

在狐狸----野兔生态系统中，生态系统的平衡点就是使 0,0 dtdy

dtdx

的点。

即

00

yhxcxbya

(3-2)

只求非零解，可知平衡点为：bay

hcx , 。也就是说，当野兔数量保持在

hc，

狐狸数量保持在ba时，就能维持狐狸----野兔生态系统的平衡。

图 3-2

例 狐狸----野兔模型为

xyydtdy

xyxdtdx

002.09.0

001.003.0 (3-3)

试问：狐狸、野兔的数目各为多少时，该系统才达到平衡？

解：由 0dtdx

，得 （只）狐狸 30001.003.0y ；

由 0dtdy

，得 （只）野兔 450002.0

9.0x ；

也就是说，当狐狸 30 只，野兔 450 只时，狐狸----野兔生态系统达到平衡。

模型 4 分期还贷模型

所用知识：差分方程

内容介绍：

国家对贫困大学生除了发放奖学金、特困补助外，还用贷款方式进行助困。

另外，贷款购房、购汽车等也逐步进入了我们的生活。如何计算分期归还贷款的

问题，是一个十分现实的问题。这个问题的一般提法是：假设从银行借款 0P 元，

年利率是 p，这笔借款要在 m 年内按月等额归还，试问每月应偿还多少？ 假设每月应偿还 a 元。

第一步计算第一个月应付利息1201pPy

第二步计算第二个月应付利息。

第一个月偿还 a 元后，还需偿还的贷款是 1000 12yaPpPaP

故第二个月应付利息 apyppyaPy1212

112 1102

类似的可推出第 n+1 个月应付利息

apypy nn 121211

即 apypy nn 121211

（4-1）

这是一个一阶非齐次线性差分方程。

（4）的通解是 apCyn

n

121

将1201pPy 代入，得

121

12 0

p

aPp

C

（4）的特解是 apaPpyn

n

1

0 121

12，

即

11

0 1211

121

12

nn

npapPpy

M 年的利息之和是

112

11212

112

112

1

112

112

112

1

112

1

12

12112

121

12

...

1212

00

1212

0

12

1

112

1

1

0

1221

mm

mm

m

n

nm

n

nm

pap

pPPma

p

p

amap

p

Pp

pamapPp

yyyI

上式中，12ma 是 m年还款总数， 0P 是贷款数，则 12ma- 0P 等于 m 年利息总

数 I，这样一来， 0112

11212

11212

0

mm pap

pP 。

解得

112

1

121

1212

12

0

m

m

p

pPp

a

模型 5 库存——成本模型

所用知识：微商

内容介绍：

工厂要保证生产，需要定期的订购各种原材料存在仓库里；大公司也需要成

批地购进各种商品，放在库房里以备销售。不论是原材料还是商品，都遇到一个

库存多少的问题：库存太多，库存费用就高；库存太少，要保证供应，势必增多

进货次数，这样一来，订货费高了。因此，必须研究如何合理地安排进货的批量、

次数，才能使总费用（库存费+订货费）最省的问题。 这里讨论的模型是：需求恒定，不允许缺货，要成批进货。且考虑库存费与

订货费两种费用。

由于在每一进货周期内，都是在初始时进货，即货物的初始库存量等于每批

的进货量 x，以后均匀消耗，在周期末库存量降为 0，故平均库存量为2x。

x 库存量

x

x/2 0 t（时间）

图 5-1

为了弄清库存——成本模型的运作过程，下面举一实例。 例 库存——成本模型 A 公司每月需要某种商品 2500 件，每件金额 150

元。每年每件商品的库存成本为金额的 16%，每次订货费 100 元。试求最优批量

及最低成本（即库存费与订货费之和最小）。

解 设批量为 x（x>0），则平均库存量为2x，订货次数为

x2500

库存费=（库存量（件））×（库存成本/件）

= xx

12%16150

2，

订货费=（订货次数）×（订货费/次）

=xx

2500001002500 ，

库存成本 C（x）=库存费+订货费

而 x

xxC 250000

2' 2500001

xxC

令 0' xC ，得 x=500（件），x=-500 舍去。

这是实际问题，最小值一定存在，因此，最低成本

1000500

250000500500 C 元

这就是说，最优批量为每次 500 件，每月订货次数为 2500/500=5 次，最低

库存成本为 1000 元。

模型 6 消费者剩余与生产者剩余模型

所用知识：积分

内容介绍;

在经济管理中，需求函数 q=D（p）是价格 p的减函数，供给函数 q=S（p）

是价格 p的增函数。（图 6-1）

需求曲线（函数）q=D（p）与供给曲线（函数）q=S（p）的交点 E（p0,q0）

称为均衡点.在此点供需达到均衡。均衡点的价格 p0称为均衡价格，即对某商品

而言，顾客愿买、生产者愿卖的价格。均衡点的纵坐标 q0称为均衡数量（又称

需求水平），即在均衡价格 p0所达到的商品交易量。

需求曲线 q=D（p）与横轴 p的交点 pU，称为商品的最高限价，即商品价格

从平衡价格 p0上涨到 pU时，需求量 q 为 0，商品完全没有销路。供给曲线 q=S（p）

与横轴 p的交点 pL，称为商品的最低限价，即商品价格从平衡价格 p0下降到 pL

时，生产者不会提供商品了。

所谓消费者剩余，就是消费者愿以高于均衡价格购买而实际仅以 p0（均衡价

格）购买的事实中得到利益。它是消费者的一种心理上的感觉，并不意味着有实

际收益。例如，某城镇可乐汽水的均衡价格 p0=2 元/瓶，消费者愿意以 2.50 元/

瓶的价格买，而实际上是按均衡价格 p0=2 元/瓶支付。消费者购买了五瓶，这时，

消费者从心理上感觉有了收益，经济学上就称这种收益为消费者剩余。记为 sC ，

即 50.200.250.25 sC （元）

如果需求函数是连续函数，则消费者的这种心理上的收益可用需求函数

D（p）与直线 0pp 右边的面积（图 6-2）表示，这块面积就是消费者剩余。用

定积分表示为：

消费者剩余 Up

ps dppDC0

所谓生产者剩余，就是生产者愿以低于均衡价格 0p 供给产品而实际仍以 0p（均衡价格）供给的事实中得到利益。生产者这种得益是用供给曲线 S（p）与

直线 0pp 左边的面积（图 6-3）表示，这块面积就是生产者剩余，用定积分表

示为

生产者剩余 0p

psL

dppSP

图 6-1 图 6-2

图 6-3

例 消费者剩余 设某商品的供给曲线与需求曲线分别为

24

14ppD

ppS

，

式中 p是价格。试求此商品的消费者剩余与生产者剩余。

解： 先求二曲线的交点：由 S（p）=D（p）

即 054,414 22 pppp

解得 p=1，p=-5（舍去）均衡点为 E（1，3）。

S（p）、D（p）与 p轴的交点分别为 2,25.0 UL pp 。因此

消费者剩余 67.142

1

2

0

dppdppDC Up

ps （元）

生产者剩余 13.1141

25.0

0 dppdppSPp

psL

（元）

模型 7 生产函数

所用知识：多元函数、偏导数

内容介绍：

7.1 基本概念 为了便于实际应用，我们将生产过程的投入要素归并为劳动 L 和资本 K 两

类，则生产函数可写成： Y=f（L，K） （7-1）

要确定（7-1）式的具体形式，要根据经济理论和 Y，L，K 的统计数据视情况决

定。 对于产出 Y，一般按每年的实物量或价值量测算。价值量应该按净产值计算，

如果净产值与总产值之间有比较稳定的比例关系的话，也可按总产值计算。为了

满足生产函数理论的要求，最好使用生产过程中的净产值。

对于劳动投入 L，按生产函数理论要求，应当用每单位时间劳动投入的实际

贡献测算。但这样的数据常常是无法获得的，故一般以生产过程中投入的劳动总

量来测算。投入的劳动总量可以用劳动者人数，也可用工资总额来表示。 对资本投入 K，内容较多且复杂。一般它应包括生产过程中的原材料、燃料

等流动资金和机械设备、厂房等固定资产的消耗以及资本的利用效率等。就我国

目前情况，工业生产函数中的资本变量按固定资产净值加流动资金测算比较现实

可行。农业生产函数中的资本变量按实际使用的农业生产费用测算比较合理可

行。 7.2 线性生产函数 线性生产函数是以投入要素的线性关系式拟合投入要素与产出量之间的关

系，以劳动投入 L 和资本投入 K 两要素为例，其函数形式为 LKY （7-2）

其中 , 为待估参数，可采用 OSL 法估计。函数（7-2）具有不变规模报酬，

替代弹性 ，即投入要素之间具有完全替代性。 7.3 C-D 生产函数 在实际中应用最广泛的生产函数便是柯布-----道格拉斯（Cobb----Dauglas）生

产函数。它的一般形式是 KALY （7-3）

式中 , ，A 为固定的待估正参数。

C-D 生产函数具有以下特性：

1）参数 , 分别是劳动产出弹性和资本产出弹性

即 KY

YK

LY

YL

, （7-4）

表明 C-D 生产函数的特点是弹性恒定不变。 2）弹性之和是函数齐性的阶次

因为 KLfKALKLAKLf ,, （7-5）

表明 C-D 生产函数是 阶齐次性的。当 1 时时不变规律报酬。

3）要素替代弹性为 1 对 C-D 生产函数，劳动和资本的边际产出为

LYKAL

LYMPL

1

KY

KYMPK

将上式代入L

KKL MP

MPMPS 得两要素之间的替代弹性：

1

LK

LKd

LK

LKd

MPMP

MPMPd

LK

LKd

K

L

K

L

（7-6）

表明两要素之间存在着不变的始终等于 1 的替代弹性。 7.4 C-D 生产函数的参数估计

对函数（8）的计量模型可以写成 ueKALY （7-7）

参数估计方法 对模型（7-7）取对数

uKLaY lnlnln （7-8）

式中 KLYAa ,,,ln 的统计数据可以是横截面数据，也可以是时间序列，u

反应不同企业或不同时间上，在生产技术或生产能力等方面的随机误差项。 我们可以利用关于产出 Y，劳动投入 L 和资本投入 K 的统计数据，对模型

（7-8）直接应用 OLS 法，估计参数 ,,a 。

此种方法的缺点是： 1）按利润最大化原则的要求，lnL 和 lnK 都是内生变量，此方法可能产生

联立性偏误。 2）K 和 L 之间往往是不独立的，可能产生多重共线问题。 3）随机项的方差可能不是常数，即可能存在异方差问题。

模型 8 蛛网模型

所用知识：差分方程

内容介绍：

在完全竞争的市场经济中，商品的价格是由市场的供求关系决定的。商品越

多，价格越低。例如某城市的蔬菜供应，第一年供应量很少，求大于供，菜价就

随供应量的减少而迅速上升，第二年农民大量种植，出现供大于求，种植者赔了

本，第三年可能菜又少了，这样的需求和供应关系引起了市场上的价格和数量必

然是波动的。这种波动越小越好，如果波动太大就会影响人民群众的正常生活。

现用图形方法建立“蛛网模型”，对上述现象进行分析。

首先将时间离散化分为时段，一个时段相当于生产商品的 1个周期（如蔬菜

是一季），设 n时段商品的价格是 np ，数量是 nq 。

在 n时段价格取决于数量，价格 np 是数量 nq 的函数，由于数量越多（或少）

价格就越低（或高），故此函数为减函数----需求函数 f。

在 n+1 时段，数量取决于前一时段的价格，数量 1nq 是价格 np 的函数，由于

前一时段的价格越高（或低），后一时段生产的数量就越多（或少），故此函数

为增函数----供给函数 g。

f、g两个函数的交点 000 , qpP 称为平衡点，为简单，不妨设这两个函数是

线性函数。 需求函数（f）： )0(00 aqqapp nn ，

供给函数（g）： )0(001 bppbqq nn 消去 np 得 ...)3,2,1(1 01 nqababqq nn 这是一阶线性差分方程，对 n 递推得到 011 1 qabqabq nn

n 由此可知，当 n 时，

若 ab<1(或b

a 1 )， 01 qqn

若 ab>1(或b

a 1 )， qqn 1

注意到，b

a 1, 分别为 f与 g的斜率。

现从图形上解释此模型。

若对某一个 n，有 0qqn ，那么 0ppn ， 01 qqn ， 01 ppn ，…，

即商品的数量和价格永远保持在 0p 点，事实上，这是不可能的。 如果 01 qq （图 8-1）由 f 可找出相应的 01 pp ；从 1p 出发由 g 可找出

相应的 2q ，…，这样得出一系列的点 1 11 , pq ，2 12 , pq ，3 22 , pq ，…从图

中看出，这些点的箭头所示方向趋向于 0p ，说明商品的数量与价格趋于稳定（此

时b

a 1 ），市场价格也随着时间的推移而趋向稳定（图 8-2）

图 8-1 图 8-2

从图 8-3 看出，点 1、2、3…的变化规律是远离 0P ，市场经济趋于不稳定

（此时b

a 1 ），市场价格随着时间的推移波动越来越大。

因图 8-4 中的折线均形如蛛网，故称蛛网模型。

图 8-3 图 8-4

最后对蛛网模型的实际意义进行分析 需求函数斜率的绝对值 a 表示商品减少供应 1 个单位时价格上涨的幅度。如

果商品是生活必需品，供应稍微减少，消费者会十分敏感地去抢购，价格上涨幅

度较大，a 就大；反之，如果商品不是生活必需品，消费者购买心理稳定，a 就小。故 a 的数值反应了消费者对商品需求的敏感程度。

供给函数的斜率 b 表示价格上涨一个单位时，对下一时段商品供应的增加

量，b 的数值反应了生产者对价格的敏感程度。如果生产者目光短浅，看见价格

上涨就一窝蜂的大量生产，b 就大（g 的斜率b1就小）；反之，生产者若有长远

计划 b 就小（g 的斜率b1就大）。

若 a 固定，b 越小（g 越陡峭）越利于经济稳定。 若 b 固定，a 越小（f 越平），也越利于经济稳定。 若 a，b 都大，反应了消费者与生产者对价格都十分敏感，会导致经济不稳

定。 改进蛛网模型 生产者为了更好的组织生产，不仅考虑前一时段的价格，而且根据前两个时

段的价格 np 和 1np 莱决定生产。为方便起见，不妨设两个价格的平均数

121

nn pp 。这样供给函数就修改为

01

01 2p

ppbqq nn

n

需求函数还是 00 qqapp nn ， 那么 001 qqapp nn 。 将后两方程代入前一方程并化简得

011 122 qababqabqq nnn 。 这是二阶线性非齐次差分方程，如果 a、b、 0q 有具体数据是不难解出的（这

里 a、b的含义不变）。

下面讨论在什么条件下能保持经济趋向稳定。

由特征方程 02 2 ababrr 解得

4

822

2,1abbaabr

可以证明：当且仅当特征根 21 , rr 满足 1,1 21 rr 时，能保持稳定。

当 ab>8 时，

044

82

ababababr 。 2

42 abr .

故设 ab<8，此时 21 , rr 均为复数。

248

448

4

222222

2,1abbaababibaababr

由 1,1 21 rr 得到稳定条件为 ab<2。

与前面的模型比较。稳定条件由 ab<1 变为 ab<2。显然改进蛛网模型保持经

济稳定的参数 a、b 的范围放大了，对市场经济的稳定起着有利影响。 模型 9 洛伦兹曲线与不平等系数

所用知识：积分

内容介绍：

现实社会中，对社会财富的拥有不是平衡的。少数人拥有许多财富，而有的

人却十分贫穷。在收入分配上，由于各种原因，有的人收入十分高，而有的人收

入又十分低。如何用数学方法来描述这些不平均及不平均的程度呢？洛伦兹曲线

是一种描述社会分配的曲线，而不平均系数（CI）描述了社会分配的不平均程度。 x 表示工资收入不高于某一水平的人数占总人数的百分比。y=L（x）是收入

变量，表示这些人总收入占总工资的百分比。例如 L（0. 3）=0.12 表示收入不高

于某一水平（如 200 元/月）的人数占总人数的 30%，他们的工资收入占总工资

的 12%。 总是假设：L（0）=0，表示没有人没有收入；L（1）=1，表示所有工资全

部分配完毕。故洛伦兹曲线总经过（0，0）与（1，1）两点（图 9-1） 在对角线 OB（即直线 y=x）上任一点处恒、纵坐标都相等，表示所有工薪

者的最低层 100x%赚取了总收入的 100x%，故表达了收入的绝对平均。折线 OAB表示了只有一人赚取了所有工资，其他人全部无收入，是绝对不公平。以上两种

情况实际上是不可能出现的。故洛伦兹曲线应在 OAB 中。曲线的具体作法可经

过社会调查后，用统计方法建立数学模型而得到。 怎样来描述分配不平均的程度呢？显然，图 9-1 中 S 的面积愈大，分配就愈

不平均。经济学中就用面积 S 与绝对平均曲线（OB）和绝对不平衡曲线（OAB）

之间的面积 0SS 的比值0SS

S

表示分配不均的程度，称为不平均系数，记为

CI，即0SS

SCI

，用定积分表示为：

1

01

0

1

0 2 dxxLxxdx

dxxLxCI

计算可得，当 L（x）=x（绝对平均）时，CI=0；

当 L（x）为折线 OAB 时（绝对不平衡）， 12

2021

0

21

0

xdxxCI 。

图 9-1

例 不平均系数 设某一地区的工资分配洛伦兹曲线是 2xxL ,求 CI。

解 31

32222

1

0

321

0

21

0

xxdxxxdxxLxCI

模型 10 森林救火模型

所用知识：微商与积分

内容介绍：

10.1 问题的提出 森林是人类的宝贵财富，是地球生态平衡的重要条件。森林遍布世界各地。

但是，森历失火现象经常发生。一旦发现某地森林失火，就要立即组织人力救火。

那么，应当派多少人去救火？派的人少了，救火时间会延长，烧毁的森林面积增

大，造成的森林损失费增大；如果派人多了，救火的时间会缩短，烧毁的森林面

积减小，森林损失费减小。可是，由于救火人员增加会增加救火费用。我们的问

题是如何确定救火人数，使总的费用最少，这就要建立一个数学模型来解决。这

是一个优化问题，根据解决优化问题的一般形式，首先确定目标函数、约束条件、

策略，将目标函数写成约束条件和策略的函数。这里的目标函数应是总费用 w、

策略应该是派出的人数 x、约束条件就是确定各种费用的条件，记为 P，则我们

建立的数学模型应是如下形式

xPfw , （10-1）

进一步我们想到， 1w 和 2w 又都是由救火队员的人数来决定的。所以我们还要将

目标函数 w 写成救火队员人数 x 的函数

xw （10-2）

最后要对式（10-2）求极值，即求得使总费用最少的策略-----派出的救火队员的

人数。 10.2 量的分析

这个问题所涉及的量有：开始着火的时间记为 0、开始救火的时间 1t 、火被

扑灭的时间 2t 、救火的人数 x、烧毁的森林损失费 1w 、救火费 2w 、烧毁的森林

面积 S、单位面积森林的价值 1c 、平均每个救火人一次性运输费 2c 、单位时间平

均每个救火队员的救火费 3c 、t 时刻森林烧毁的面积 S（t）。这里 21 www （10-3） 考虑在森林着火过程中的任意时刻 t、烧毁的森林面积 S（t）按照圆面不断增加，

这时 S（t）必有一个变化率dtdS

。写变化率的表达式往往比直接写面积 S（t）的

表达式容易，这里要很好的分析dtdS

的变化过程。考虑 S（t）和dtdS

的关系和区

别，首先dtdS

是 S（t）的变化率，是 S（t）增加的速度，即单位时间内 S（t）的

增加量；又由于 S（t）是圆的面积，所以应与半径 r 的平方 2r 成正比，那么dtdS

应与 r 成正比。而在 10 ~ tt 时段内，火是自由燃烧，半径 r 应与时间 t 成正比，比

例系数 为 r 变化的速度，称为火势蔓延的速度。也就是说火按半径的增加是匀

速的；另一方面，在 21 ~ tt 时段内，如果每一个救火队员的打火速度是常数，那

么这个速度应抑制dtdS

变化的速度。

10.3 模型假设 （1）森林着火的过程是在无风、无雨、无可燃性物质均匀分布的条件下进

行的。 （2）损失费 1w 是由森林单位面积的价值 1c 与森林烧毁面积 2tS 之积决定

的。 （3）救火费是救火队员的一次性运输费和救火队员所消耗的费用之和，记

每个救火队员的一次性运输费为 2c ，每人每天所消耗的的费用（为生活费和工具

消耗费）为 3c 。

（4） 10 ~ tt 时段，火势自由发展，火势蔓延的速度dtdS

与时间 t 成正比，比

例系数为 ； （5） 21 ~ tt 时段内，由于有 x 人救火，设每个救火队员的打火速度为，那

么火势蔓延的速度为 x ，要最终扑灭火，应设 x 。 10.4 模型的建立

我们首先从假设（4）出发，借助于图解法给出表达式

1,0 tttdtdS

（10-4）

的图形，见图 10-1。从图 10-1 可以看出，dtdS

由原点出发，沿斜率为 的直线上

升至 1t 时，取得最大值 b。

图 10-1

再由假设（5），dtdS

由点 1t 取 b 值出发，沿斜率为 0 x 的直线下降，在

点 2t 与 t 轴相交，其值降至为 0，这时火被扑灭。

由定积分的定义，我们很容易得到最终森林烧毁的面积为

2

02

tdt

dtdStS （10-5）

注意到，从图 中容易看出，式（10-5）给出的定积分数值等于途中三角

形的面积，而此三角形的面积等于 221 bt 。这个表达式中的两个与派出救火队员

人数有密切关系的变量 b 和 2t 。可以利用导数的定义，有

12

tantt

bxx

（10-6）

所以

x

btt 12 （10-7）

即 12 tbtx

（10-8）

又从图 容易得出1

tantb

所以 1tb

于是

xx

ttbbttS2222

21

221

21

2 （10-9）

再由假设（2）和（3）得到救火总费用为

xcxtctctc

xcbxcbcbtcxcctttScxw

xx

xx

213

21

21

211

23

2111

231221

22

22

（10-10）

这就是我们要求的森林救火总费用随派出救火人数 x 变化的数学模型。但

是，最终要求的最佳救火人数还要由模型求解来得到。 10.5 模型求解

由式（10-10）求得最佳救火人数的问题就是对式（10-10）求极值，即 0dxdC

得到最佳救火人数

22

12

321

21

22

ctctcx （10-11）

10.6 模型分析 对由式（10-10）和式（10-11）给出的数学模型，首先考虑由（10-10）给出

的森林救火总损失费，即是由四项三部分组成的： 第一部分是由前两项组成的烧毁的森林损失费

x

tctcw22

21

21

211

1 （10-12）

其中第一项是在救火前造成的森林损失费，可见此项与单位森林面积的价值

1c 及火势蔓延速度 成正比，这显然是符合实际的；这一项还与自然着火的时间

t 的平方 2t 成正比，这也是符合实际的，且说明了要减少损失，就必须尽早发现

火情。 第二部分是救援费中的因救火队员在救火期间的所有费用

x

tcxtc

x

1313 （10-13）

这一项与 13 ,, tc 成正比和与成反比是显然符合实际的；这一项与 x 的关系可从

等式右端看出，一部分费用与 x 近似成反比，派出的救火队员越多，这部分费用

越少。这当然不完全合适，还必须与其他两部分联合决定总费用。 第三部分很简单，是一次性运输费

xc2

这一项显然符合实际。 对于式（10-11）也可作类似的分析，请读者自行分析。 通过上述分析，我们似乎感到这个模型是正确的、可用的，但事实是否如此

呢？我们要回到实际中。森林火灾的蔓延过程是很复杂的，还有一些起着重要作

用的因素，如风、雨、地形、河流、湖泊及可燃性物质的分布情况和燃烧理论等。

这也是为什么很多森林失火长时间救不灭的原因，所以，我们认为，由式（10-9）、（10-10）给出的数学模型在很多情况下是不能用的。这是什么原因呢？就是我

们的模型假设过于简单，舍去了很多重要的条件和因素，这说明了此模型要改进

的方向。 尽管如此，这个模型在建立过程中的量化过程、变化率的应用等都是可以借

鉴的。

模型 11动物种群的增长模型 所用知识：线性代数

内容介绍： 莱斯利模型： 性，只考虑两性种群中的雌

将雌性分成 龄分布规律。若干类，研究种群的年 岁，最长寿命为设某动物种群中雌性的 L

个等长的年龄段，分成把年龄区间 nL],0[ 、

个年龄类，将种群中的雌性分为n 年龄在 个第i

个年龄类。的雌性属于第年龄段 iLniL

ni ],1[ 的雌性动物数。讨论一段时间后各类中

)0()1()( xLLxx kkk 称为莱斯利矩阵L 。

模型 12 关系与关系矩阵

所用知识：线性代数

内容介绍：

，关系与若设 RaaaaaA jin},,,,{ 21 ,1ijr则记 。否则记 0ijr

中各反映了集合矩阵 ArM nnijR )( ,R元素之间是否具有关系 的关系矩阵。为称 RM R

如表示四个计算机程序 之间的调用关系，4321 ,,, PPPP 可直接调用的有向线段表示到 iji PPP

。jP 关系，则表示程序间的直接调用设R 可以用矩阵表示他们的直接调用关系。

模型 13欧拉的四面体问题 所用知识：线性代数

内容介绍：

历史上欧拉提出了这样一个问题： “如何用四面体的棱长去表示它的体

积？” 最后发现用一个行列式能很好地表示这个公式 这就是著名的四面体求积公式 模型 14 计算嫦娥一号的绕月轨道 所用知识：线性代数

内容介绍：

01222 542

322

1 yaxayaxyaxa椭圆的一般方程为：

2222222

2222

222

2222222

2

22

22

22

36

rlrqmrp

lrqqnqp

mrpnqpp

V

），）（，）（，）（，）（，给定五个点的坐标：（ 1241252301

!!!,,,,* 54321 的五个方程）可以得到关于代入（ aaaaa 化为了线性方程组的求解。

模型 15 应用实例------投入产出模型 所用知识：线性代数

内容介绍：

问题 国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系，每个部门在运转中

将其他部门的产品或半成品（称为投入）经过加工变为自己的产品（称为产出），

如何根据各部门间的投入产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会需求，

是投入产出分析中研究的课题，为了具体说明投入产出中的数量关系，考虑下面

的例子。 设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投

入产出关系、外部需求、初始投入等如表 1 所示（数字表示产值）。 表 1 中第一行数字表示，农业总产出 100 亿元，其中 15 亿元农产品用于农

业生产本身（如提供种子），20 亿元用于制造业（如提供木材、毛皮），30 亿元

用于服务业，剩下 35 亿元农产品用来满足外部需求（包括消费、积累、出口等）。

第一列数字中，15 亿元如前所述，30 亿元是制造业对农业的投入（如提供农具），

20 亿元是服务业对农业的投入，35 亿元的初始投入包括工资、税收、进口等，

总投入 100 亿元与总产出相等。

表 1 国民经济三个部门间的关系 单位：亿元 投入 \ 产出 农业 制造业 服务业 外部需求 总产出

农业 15 20 30 35 100 制造业 30 10 45 115 200 服务业 20 60 0 7 150

初始投入 35 110 75 总投入 100 200 150

制定每个部门的产出与它的投入成正比，由表 3.1-1 能够确定这三个部门的

投入产出表，如表 2。

表 2 三个部门的投入产出表 投入 \ 产出 农业 制造业 服务业

农业 0.15 0.10 0.20 制造业 0.30 0.05 0.30 服务业 0.20 0.30 0

表 2 中第一行、第二列的数字 0.10 表示，生产 1 个单位产值的制造业产品

需投入 0.10 个单位产值的农产品，这是由表 1.1 中 20 亿元农产品投入制造业，

可以产出 200 亿元制造业总产值而来的（20/200=0.1）。同样，第三行、第一列的

数字 0.20 表示，生产 1 个单位产值的农产品需要 0.20 个单位的服务业产值，因

为表 3.1-1 中 20 亿元的服务业产值投入农业，得到 100 亿元的农业总产值，表

3.1-2 的数字称为投入系数或消耗系数，在技术水平没有明显提高的情况下，可

以假设投入系数是常数。 （1）如果今年对农业、制造业和服务业的外部需求分别为 50，150，100 亿元，

问这 3 个部门的总产出分别应为多少？ （2）如果三个部门的外部需求分别增加 1 个单位，问它们的总产出应分别增

加多少？ （3）投入产出分析称为可行的，是指对于任意给定的、非负的外部需求，都

能得到非负的总产品。为了可行，投入系数应满足什么条件？ 模型 设有个部门，记一定时期内第 i 个部门的总产出为 xi，其中对第 j 个

部门的投入为 xij，外部需求为 di，则

.n,....,2,1i,dxx i

n

1jiji

（1）

表 1 的每一行都满足（1）式。投入系数记作 aij，由下式定义 xij=aijxj， i，j=1,2,…,n, （2）

即 aij是第 j 个部门的单位产出所需要的第 i 个部门的投入，由（1）式，（2）式

得

xi=

n

1jjijxa di，i=1,2,…,n. （3）

记投入系数矩阵 mnij)a(A ，产出向量 x=(x1,…,xn)T，需求向量 d=(d1,…,dn)T，

则式（3）可写作 x=Ax+d （4） 或 （I-A)x=d （5） 其中 I 是单位矩阵。 当投入系数 A 和外部需求 d 给定后，求解线性方程组（5）即可得各部门的

总产出 x。 （1）如果今年对农业、制造业和服务业的外部需求分别为 50 亿元，150 亿

元，100 亿元，求这三个部门的总产出。 编制以下程序解方程组（5）： a=[0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0]; %按表 1.2 输入投入系数矩阵 A c=[50 150 100]’; %输入外部需求 d b=eye(3)-a; % I-A x=b\d %解线性方程组（5）

得到

x= 139.2801 267.6056 208.1377 即三个部门的总产出分别应为 139.2801，267.6056，208.1377（亿元）。

（2）如果三个部门的外部需求分别增加 1 个单位，问它们的总产出应分别增

加多少。 从线性方程组（5）可得 x=(I-A)-1d. （6）

表明总产出 x 对外部需求 d 是线性的，所以当 d 增加 1 个单位（记作△d）时，x的增量为△x=(I-A)

-1△d.若农业的外部需求增加 1个单位，△d=(1,0,0)T, △x为

(I-A)-1的第 1列；制造业和服务业的外部需求增加 1个单位，△x为(I-A)

-1的第

2，3 列。于是接上面程序用矩阵求逆命令计算：

dx=inv(b)

得到 dx=

1.3459 0.2504 0.3443 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167

可知当农业的需求增加 1 个单位时，农业、制造业和服务业的总产出应分为别增

加 1.3459，0.5634，0.4382 单位。其余类似。这些数字称部门关联系数。 （3）讨论为使投入产出分析是可行的（对任意、非负的外部需求都能得到

非负的总产出），投入系数应满足什么条件。 要使对任意的需求 d 0 ，由（6）式能够得到总产出 x 0 ,显然只需

(I-A)-1 0(指每个元素非负，下同)。

因为(I-A)(I+A+A2+…+Ak)=I-Ak+1,且 A0，所以只要 )k(0A k ,就有

0k

k1 0A)AI( .而由矩阵范数的性质可知 0Ak 与 0Ak 等价，且

kk AA ，故只要 1A1 （这里取便于应用的 1-范数），即

.n,....,2,1j,1an

1iij

（7）

投入产出分析就是可行的。 如果投入系数 A 是根据实际数据算出的（如表 3.1-2 得到表 3.1-2），由（2）

式可知（7）式等价于

.n,....,2,1j,xx j

n

1iij

（8）

由表 1 可知，只要初始投入非负，（8）式自然成立，因而投入产出分析可行。

模型16 运输问题

所用知识：线性规划

内容介绍：

运输问题在我们生活中无处不在，其中蕴含着重要的优化思想。见下例：

有两个粮库 A1，A2 向三个粮站 B1,B2,B3 调运大米，两个粮库现存大米分别

为 4 吨，8 吨，三个粮站至少需要大米分别为 2 吨，4 吨，5 吨，两个粮库到三

个粮库的距离（单位：公里）如下，怎样调运使得运费最低．

粮库到粮站的距离

粮站 B1 粮站 B2 粮站 B3 库存量 粮库 A1 12 24 8 4 粮库 A2 30 12 24 8 需要量 2 4 5

分析：观察一下，总需求量是 11吨，小于总库存量 12吨，所以这个问题是

可行的．

从规划的三要素出发，我们先设决策变量，一般从问题出发，问题是如何调

运？很显然就是各个粮库向每个粮站调运了多少，这个调运量就是我们的决策变

量． 然后考虑目标函数，最后问题要求运费最低，运费不光和距离有关，而且和

运量有关，因此是“吨·公里”最小，所以要把所有的运量（决策变量）和相应

的距离（已知）乘起来，再求总和最小，所以这是一个最小化问题． 接着考虑约束条件，对每个粮库来说，有一个库存量的限制，比如从 A1 调

出去的所有的量应当不超过 A1 的库存总量，因而两个粮库有两个约束条件；同

样对每一个粮站来说，都有一个需求量的限制，运到每个粮站的量必须要满足每

个粮站的需求量，从而有三个约束条件；最后，决策变量都是非负数．

建立模型如下：

设 A1,A2 调运到三个粮站的大米分别为 11 12 13 21 22 23, , , , ,x x x x x x 吨．

11 12 13 21 22 23min 12 24 8 30 12 24f x x x x x x

11 12 13

21 22 23

11 21

12 22

13 23

11 12 13 21 22 23

48

2. .

45

, , , , , 0

x x xx x x

x xs t

x xx x

x x x x x x

编写 LINGO 程序如下：

model:

min=12*x11+24*x12+8*x13+30*x21+12*x22+24*x23 ; x11+x12+x13<4 ; x21+x22+x23<8 ; x11+x21>2 ; x12+x22>4 ; x13+x23>5 ;

end

求解得到运输方案为：粮库A1向粮站B1，B3各调运2吨，粮库A2向粮站B2，

B3分别调运4吨，3吨．

模型17 投资问题

所用知识：线性规划

内容介绍：

理财是保证我们生活质量的重要内容，而投资是其中重要的一个项目，怎么操作

自己的资金让自己获利更大呢？我们可以建立线性规划模型来解决，见下例。 例：某人在今后五年内考虑给下列项目投资,已知:

项目 A：从第 1 年 到第 4 年每年初要投资，次年末回收本利 1.15; 项目 B：第 3 年初投资，到第 5 年末回收本利 1.25，最大投资 4 万元; 项目 C：第 2 年初投资，到第 5 年末回收本利 1.40，最大投资 3 万元; 项目 D：每年初投资，每年末回收本利 1.11.

该人现有资金 10 万元，问应如何投资到第 5 年末总资本最大。

分析：各种项目的投资年份不一样，从而各种变量的设置是不一样的，．又

投资的年限也不一样，收回本利和的时间是不一样的，建模型要考虑资金的收回

情况．将可能的投资情况设为变量总在下面表中：

每年可能投资的变量设置

第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 A x1A x1A x1A x1A B x3B C x2C D x1D x1D x1D x1D x1D

因为具有项目D，所以该部门每年资金全部投出去，而且末的总资本等于第

二年初的投资额.

建立模型如下：

4 2 3 5

1 1

2 2 2 1

2

3 3 3 1 2

3

4 4 2 3

5 3 4

max 1.15 1.40 1.25 1.1110

1.113

1.15 1.114

1.15 1.111.15 1.11

, , , 0, 1 5

A C B D

A D

A C D D

C

A B D A D

B

A D A D

D A D

iA iB iC iD

f x x x xx xx x x xxx x x x xxx x x xx x xx x x x i

L

编写LINGO程序：

model: title 投资问题; max=1.15*x4a+1.40*x2c+1.25*x3b+1.06*x5d; x1a+x1d=100000; x2a+x2c+x2d=1.06*x1d; x3a+x3b+x3d=1.15*x1a+1.06*x2d; x4a+x4d=1.15*x2a+1.06*x3d; x5d=1.15*x3a+1.06*x4d; x3b<=40000; x2c<=30000; end

求解结果如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 143750.0

Total solver iterations: 2

Model Title: 投资问题

Variable Value Reduced Cost

X4A 45000.00 0.000000

X2C 30000.00 0.000000

X3B 40000.00 0.000000

X5D 0.000000 0.000000

X1A 71698.11 0.000000

X1D 28301.89 0.000000

X2A 0.000000 0.000000

X2D 0.000000 0.3036000E-01

X3A 0.000000 0.000000

X3D 42452.83 0.000000

X4D 0.000000 0.2640000E-01

所以，到第5年末拥有资金的本利总额最大为143750元．

模型18 生产计划问题

所用知识：线性规划

内容介绍：

某工厂计划安排生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，已知每种单位产品的利润，生产单位

产品所需设备台时及A,B两种原材料的消耗，现有原材料和设备台时的定额如表

所示，问：

１）怎么安排生产使得工厂获利最大？

２）产品Ⅰ的单位利润降低到1.8万元，要不要改变生产计划，如果降低到1万元

呢？

３）产品Ⅱ的单位利润增大到5万元，要不要改变生产计划？

４）如果产品Ⅰ，Ⅱ的单位利润同时降低了1万元，要不要改变生产计划？

单位消耗与资源限制

产品Ⅰ 产品Ⅱ 最大资源量 设备 1 2 8 台时

原材料 A 4 0 16kg 原材料 B 0 4 12kg

单位产品利润 2 3

解：设用 1 2,x x 分别表示计划生产产品Ⅰ，Ⅱ的数量，可建立模型为：

1 2

1 2

1

1

1 2

max 2 32 8

4 16. .

4 12, 0

f x xx x

xs t

xx x

编写程序如下：

model: title 生产计划问题; [maxf]max=2*x1+3*x2; [A]x1+2*x2<8; [B]4*x1<16; [TIME]4*x2<12; END

对问题1，安排是生产产品Ⅰ4单位，产品Ⅱ2单位，最大盈利为14万元．

对问题2，产品Ⅰ的单位利润降低到1.8万元，在（1.5，∞）之间，所以不

改变生产计划。如果降低到1万元，不在（1.5，∞）内，要改变生产计划。在程

序中将目标函数的系数“2”改为“1”，可得新的计划为安排是生产产品Ⅰ2单

位，产品Ⅱ3单位，最大盈利为11万元.

对问题3，要改变生产计划，更改程序得新计划为生产产品Ⅰ2单位，产品

Ⅱ3单位，最大盈利为19万元.

对问题4，因为两个系数同时改变了，所以只有更改程序的数据，重新运行

得：不改变生产计划，但是最大利润降低到8万元.

模型19 下料问题

所用知识：线性规划

内容介绍：

有如下问题：

现要做100套钢架,用长为2.9m、2.1m和1.5m的元钢各一根,已知原料长7.4m,问如何下料,使用的原材料最省?

之所以有这样的问题，是因为下料的方式有很多种，如何下料，就是每一种

下料方式下了多少根钢材，显然这就是我们的决策变量．

合理的下料方式是剩余料头的长度不会超过最短原料需求（本题为1.5m），

下料的所有的合理方式可用LINGO编写搜索算法全部搜索出来. 编写搜索程序：

model:

title 搜索合理的下料方式;

sets:

ren/1..5/:; !用一根原料可下各需求长度的最多根数定义元素个数，最多为4，这里要定义5;

long(ren,ren,ren):; !有三种需求长度，定义三维数组;

endsets

data:!搜索所有满足过滤条件的i,j,k;

@text('d:renxinglong.txt')=@writefor(long(i,j,k)|

x1

x2

(4,2) k2= -1/2

k= -2/3

l2

l1

l

图解法分析

!一种下料方式下料长度和不超过总长度;

(7.4-2.9*(i-1)-2.1*(j-1)-1.5*(k-1))#ge#0

#and#

!合理模式的余料小于最短需求;

(7.4-2.9*(i-1)-2.1*(j-1)-1.5*(k-1))#lt#@smin(2.9,2.1,1.5)

!输出下料方式到文本文件renxinglong.txt，我们需要的数是0--4;

:i-1,4*' ',j-1,4*' ',k-1,@newline(2));

enddata end

利用运算结果建立模型：

设 ix 表示按第 i种方式下料的根数， 1 8i L ，则问题的线性规划模型为：

1 2 3 4 5 6 7 8min 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4f x x x x x x x x

1 2 3 4

2 3 5 6 7

1 3 4 6 7 8

2 1002 3 3 2 100

. .3 2 3 4 100

0, 1,2,3, 4,5,6,7,8;i i

x x x xx x x x x

s tx x x x x xx j x

取整

求解得最优方案是：用第4种方式下料100根，第6种下料方式下料50根．最少剩

余料头10m．（最优解不唯一）

模型20 面试安排问题

所用知识：线性规划

内容介绍：

有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试，公司要求每个同学都必须首先

找公司秘书初试，然后到主管部门处复试，最后到经理处参加免试，并且不允许

插队，由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，

如表所示，这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司，假定现在时间是

早上8：00，请问他们最早何时能离开公司？ 面试时间

秘书初试 主管复试 经理面试

同学甲 13 15 20

同学乙 10 20 18

同学丙 20 16 10

同学丁 8 10 15

模型分析与建立：

记 ijt 为第 i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令 ijx 表示第 i名同

学参加第 j 阶段面试的开始时刻（不妨记早上8：00面试开始为0时刻）

（ 1,2,3,4; 1, 2,3i j ），T 为完成全部面试所花费的最少时间．

优化目标为： 3 3min max i iiT x t

约束条件：

个人时间先后次序约束： . 1, 1,2,3,4; 1, 2.ij ij i jx t x i j

同阶段不同同学时间不相容：（同阶段靠前同学的完成时间小于靠后同学的

开始时间）

,ij ij kj ikx t x My

1 ,kj kj ij ikx t x M y M 取大于T 的常数，

0 1iky or （取1表示 k 排在 i的前面）

, 1, 2,3, 41, 2,3

i kj

不妨给定 ,i k 的大小关系： i k

可将目标改为如下线性优化目标：

13 13

23 23

33 33

43 43

min. . ,

,,.

Ts t T x t

T x tT x tT x t

LINGO软件求解得到：

Model Title: :面试问题

Variable Value Reduced Cost

TIME 84.00000 0.000000

……………………（省略）

Y( 1, 2) 0.000000 -1000.000

Y( 1, 3) 0.000000 0.000000

Y( 1, 4) 1.000000 1000.000

Y( 2, 3) 0.000000 -1000.000

Y( 2, 4) 1.000000 0.000000

Y( 3, 4) 1.000000 0.000000

所以面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4-1-2-3（丁-甲-乙-丙）

模型 21 供应与选址模型

所用知识：线性与非线性规划

内容介绍： 某公司有 6 个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系 a，b 表示，

距离单位：千米）及水泥日用量 d(吨)由下表给出。目前有两个临时料场位于

A(5,1)，B(2,7)，日储量各有 20 吨。 （1）试制定每天的供应计划，即从 A，B 两料场分别向各工地运送多少吨水泥，

使总的吨千米数最小？ （2）为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储

量各为 20 吨，问应建在何处，节省的吨千米数会多大？ 1 2 3 4 5 6

A 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25 B 1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.25 D 3 5 4 7 6 11

（一）建立模型

记工地的位置为(ai，bi)，水泥日用量为 di，i=1,…,6； 料场位置为(xj，yj)，日储量为 ej，j=1,2；从料场 j 向工地 i 的运送量为 Xij.

目标函数： 2 6

2 2

1 1

min ( ) ( )ij j i j ij i

f X x a y b

约束条件： 2

1

1, 2,...,6ij ij

X d i

6

1 1,2ij i

iX e j

当用临时料场时决策变量为：Xij， 当不用临时料场时决策变量为：Xij，xj，yj.

（二）使用临时料场的情形

使用两个临时料场 A(5,1)，B(2,7)，求从料场 j 向工地 i 的运送量为 Xij，在各

工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，使总的吨千米数最

小，这是线性规划问题。 线性规划模型为：

2 6

1 1

min ( , ) ijj i

f aa i j X

s.t.

2

1

1, 2,...,6ij ij

X d i

6

1 1,2ij i

iX e j

设 X11=X1, X21= X 2,, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5,, X61= X 6，X12= X 7, X22= X 8,, X32= X 9, X42= X 10, X52= X 11,, X62= X 12

利用 Matlab 编写程序进行求解，计算结果为： x =[ 3.0000 5.0000 0.0000 7.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

4.0000 0.0000 6.0000 10.0000]’ fval = 136.2275 即由料场 A、B 向 6 个工地运送方案为：

1 2 3 4 5 6 A 3 5 0 7 0 1 B 0 0 4 0 6 10

总的吨千米数为 136.275。 （三）改建两个新料场的情形

改建两个新料场，要同时确定料场的位置(xj,yj)和运送量 Xij，在同样条件下

使总吨千米数最小，这是非线性规划问题。 非线性规划模型为：

2 62 2

1 1

min ( ) ( )ij j i j ij i

f X x a y b

s.t.

2

1

1, 2,...,6ij ij

X d i

6

1 1,2ij i

iX e j

设 X11=X1, X21= X 2,, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5,, X61= X 6，X12= X 7, X22= X 8,, X32= X 9, X42= X 10, X52= X 11,, X62= X 12， x1=X13, y1=X14, x2=X15, y2=X16

取线性规划的计算结果及临时料场的坐标 x0=[3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7]'作为初值，利用 Matlab 编写程序进行求解，计算结果为：

x=[ 3.0000 5.0000 0.0707 7.0000 0 0.9293 0 0 3.9293 0 6.0000 10.0707 6.3875 4.3943 5.7511 7.1867]’

fval = 105.4626 即两个新料场的坐标为（6.3875，4.3943），（5.7511，7.1867），由两个新

料场 A、B 向 6 个工地运送方案为： 1 2 3 4 5 6

A 3 5 0．0707 7 0 0．9293 B 0 0 3．9293 0 6 10．0707

总的吨千米数为 105.4626，比用临时料场节省约 31 吨千米数。

模型 22 下料模型

所用知识：整数规划

内容介绍： 现要做 100 套钢架，用长为 2.9m、2.1m 和 1.5m 的元钢各一根，已知原料

长 7.4m，问如何下料，使用的原材料最省?（只需要建立数学模型，不用求解。）

解：下料方法有如下 8种情形：

下料方法 原料截成所需

长度的根数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ

2.9m 2 1 1 1 0 0 0 0

2.1m 0 2 1 0 3 2 1 0 所需

根长

1.5m 1 0 1 3 0 2 3 4

剩余料头 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4

设 xi表示按第 i 种办法下料的原材料的根数，则问题的线性规划模型为：

1 2 3 4 5 6 7 8min 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4f x x x x x x x x

1 2 3 4

2 3 5 6 7

1 3 4 6 7 8

2 1002 3 3 2 100

. .3 2 3 4 100

0, 1, 2,3,4,5,6,7,8;j j

x x x xx x x x x

s tx x x x x xx j x

取整

模型 23 选址模型

所用知识：整数规划

内容介绍：

某公司拟定在武昌、汉口、汉阳建立专卖店，拟议中有 9个地址。其中武昌

有 4个：中商（A1）、亚贸(A2)、司门口(A3)、鲁巷(A4)；汉口有 3个：武广(A5)、

步行街(A6)、发展大道(A7)；汉阳有 2个：二十一世纪(A8)、汉商(A9)。并规定：

武昌至多 3个，汉口汉阳至少 1个，若选 Ai，投资 Bi，每年可获利 Ci，元，总

投资不超过 B 元，问如何选择地址使公司的年利润最大？

解：设

否则

选择

,0,1 i

iA

x ，则

9

1

maxi

ii xCf

9,...,2,1101

13

..

98

765

4321

9

1

ixxx

xxxxxxx

BxB

ts

i

iii

或

模型 24 基金使用计划模型

所用知识：线性规划

内容介绍：

某校基金会有一笔数额为M元的基金, 打算将其存入银行或购买国库券. 当前银行存款及各期国库券的利率见表 3-17. 假设国库券每年至少发行一次, 发行

时间不定. 取款政策参考银行的现行政策. 校基金会计划在 n 年内每年用部分本息奖励优秀师生, 要求每年的奖金额

大致相同, 且在 n 年末仍保留原基金数额. 校基金会希望获得最佳的基金使用计

划, 以提高每年的奖金额. 请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案, 并对 M = 5000 万元, n = 10 年给出具体结果：

① 只存款不购国库券； ② 可存款也可购国库券； ③ 学校在基金到位后的第 3 年要举行百年校庆, 基金会希望这一年的奖金

比其它年度多 20%. 表 3-17

银行存款税后年利率

（%） 国库券年利率（%）

活期 0.792 半年期 1.664 一年期 1.800 二年期 1.944 2.55 三年期 2.160 2.89 五年期 2.304 3.14

本题是 2001 年全国大学生数学建模竞赛题目 C 题. ⑴ 问题的重述(略). ⑵ 基本假设 假设学校基金在第一年初到位； 假设学校每年发放奖金的时间都是在每年末； 假设通货膨胀率忽略不计； 假设每次都能按需购买到国库券； 假设银行储蓄年利率和国库券年利率在十年内基本不变； 假设国库券每次发行都有二年期、三年期、五年期.

⑶ 符号说明 M 表示基金数； A 表示每年发放的奖金额； xi0 表示第 i 年用于活期存款的资金； r0 表示活期存款的税后年利

率； xi1 表示第 i 年用于半年期存款的资金； r1 表示半年期存款的税后年

利率； xi2 表示第 i 年用于一年期存款的资金； r2 表示一年期存款的税后年

利率； xi3 表示第 i 年用于二年期存款的资金； r3 表示二年期存款的税后年

利率； xi4 表示第 i 年用于三年期存款的资金； r4 表示三年期存款的税后年

利率； xi5 表示第 i 年用于五年期存款的资金； r5 表示五年期存款的税后年

利率； yi1 表示第 i 年用于购买二年期国库券的资金； R1 表示二年期国库券的年利

率； yi2 表示第 i 年用于购买三年期国库券的资金； R2 表示三年期国库券的年利

率； yi3 表示第 i 年用于购买五年期国库券的资金； R3 表示五年期国库券的年利

率； 其余符号在文中直接说明.

⑷ 银行法规和国库券政策说明 根据 1992 年国务院颁发的《储蓄管理条例》和《国库券条例》有以下规定： ① 我国现行储蓄存款利息计算一般是以单利计算； ② 半年活期按 180 天计算； ③ 未到期的定期储蓄存款, 全部提前支取的, 按支取日挂牌公告的活期储

蓄存款利率计付利息；部分提前支取的, 提前支取部分按支取日挂牌公告的活期

储蓄存款利率计付利息, 其余部分到期时按存单开户日挂牌公告的定期储蓄存

款利率计付利息． ④ 国库券按期偿还本金．国库券利息在偿还本金时一次付给, 不计复利．

⑸ 模型分析, 建立与求解

由于问题要求在每年得到的奖金额尽量多, 因此我们在进行投资时应遵循

一个基本原则：尽量选择利息率高的投资方式. 模型Ⅰ：只存款不购买国库券的投资模型 分析：① 由于只需在每年末发放奖金, 根据基本原则, 可以不考虑活期存款

和半年期存款．② 每年末回收的资金可以分成两部分, 一部分用于发放该年的

奖金, 另一部分用于第二年的投资．依次下去, 直到第 n 年末, 回收的资金除去

所发该年的奖金外, 刚好等于最初的基金 M . 记

X ( i ) = xi2 + xi3 + xi4 + xi5 , i = 1, 2, … , n. W ( i ) = (1 + r2 ) x( i1) , 2 + (1 + 2 r3 ) x( i2) , 3 + (1 + 3 r4 ) x( i3) , 4 + (1 + 5 r5 )

x( i5) , 5 A.

假设每年发放的奖金额基本相等, 就可以建立问题①的线性规划模型：

max A,

X (1 ) = M, X (2 ) = (1 + r2 ) x12 A, X (3 ) = (1 + r2 ) x22 + (1 + 2 r3 ) x13 A, X (4 ) = (1 + r2 ) x32 + (1 + 2 r3 ) x23 + (1 + 3 r4 ) x14 A, X (5 ) = (1 + r2 ) x42 + (1 + 2 r3 ) x33 + (1 + 3 r4 ) x24 A, X (6 ) = W ( 6 ), … … … X ( i ) = W ( i ), … … … X ( n 4 ) = W (n 4 ), x( n3) , 2 + x( n3) , 3 + x( n3) , 4 = W (n 3 ), x( n2) , 2 + x( n2) , 3 + x( n2), 4 = W (n 2 ), x( n1) , 2 + x( n1), 3 = W (n 1 ), x n2 = W (n ), W (n +1 ) = M. xij ≥0, A≥0.

当 M = 5000 万, n = 10 年时, 代入模型Ⅰ, 利用数学软件 lindo 求解得：每年

最高奖金额 A 为：109.817 万元．投资方案如表 3-18.

表 3-18（单位：万元）

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi2 204.607 0 0 204.607 0 0 0 0 0 0 xi3 200.495 0 0 0 0 0 0 0 0 — xi4 387.769 0 0 0 0 0 0 0 — — xi5 4207.129 98.473 98.473 98.473 98.473 4581.974 — — — — （“—”表示该年不能投资该种投资形式, 下同）

模型Ⅱ：可存款也可购国库券的投资模型 分析：根据基本原则, 我们应优先考虑买国库券．（对于国库券每年发行时

间都在年初的特殊情况, 其求解模型类似模型Ⅰ, 在这里我们不作讨论．）由于每

年发行国库券的时间和发行的次数不定（每年至少发行一次）, 为了不使用于购

买国库券的那部分资金闲置, 我们设立如下的解决方案： 以二年期国库券为例：由于在年初投放资金时不能购买国库券, 我们先将购

买国库券的资金全部用于半年期存款, 如果在该半年内发行了国库券, 我们就将

资金全部取出购买国库券, 在国库券到期的那年将本息全部用于半年期存款, 到期后转入活期存款；如果在该半年内没有发行国库券, 我们将半年到期的自己全

部用于活期存款, 用于购买下半年一定会发行的国库券, 国库券到期之后再全部

转入活期存款．因此, 我们将其运转周期定为三年, 在这三年里, 不管国库券什

么时候发行, 该部分资金一定有两年是用于存国库券, 有半年用于存半年期, 还有半年是存活期．即采用活期、半年期、国库券的“组合式”投资．同理, 三年

期国库券, 五年期国库券的周期分别为四年, 六年．那么, 该部分资金在这几年

里的收益为：

收益 = 本金 × (1 + 年数×国库券年利率)×(1 + 半年年利率÷2 ) × (1 + 活期年利率÷2 )

记 X ( i ) = xi2 + xi3 + xi4 + xi5 , i = 1, 2, … , n. W ( i ) = (1 + r2 ) x( i1) , 2 + (1 + 2 r3 ) x( i2) , 3 + (1 + 3 r4 ) x( i3) , 4 + (1 + 5 r5 )

x( i5) , 5 A. p1 = (1 + 2R 1 ) (1 + r0/2 ) (1 + r1/2 ) = 1.06394, p2 = (1 + 3R 2 ) (1 + r0/2 ) (1 + r1/2 ) = 1.10008, p3 = (1 + 5R 5 ) (1 + r0/2 ) (1 + r1/2 ) = 1.17125.

资金的回收与再投资与模型Ⅰ相似, 可以建立问题②的线性规划模型：

max A,

X (1 ) + y11 + y12 + y13 = M, X (2 ) + y21 + y22 + y23 = (1 + r2 ) x12 A, X (3 ) + y31 + y32 + y33 = (1 + r2 ) x22 + (1 + 2 r3 ) x13 A, X (4 ) + y41 + y42 + y43 = (1 + r2 ) x32 + (1 + 2 r3 ) x23 + (1 + 3 r4 ) x14 + p1 y11 A, X (5 ) + y51 + y52 + y53 = (1 + r2 ) x42 + (1 + 2 r3 ) x33 + (1 + 3 r4 ) x24 + p1 y21 + p2

y12A, X (6 ) + y61 + y62 = W ( 6 ) + p1 y31 + p2 y22 , x72 + x73 + x74 + y71 + y72 = W ( 7 ) + p1 y41 + p2 y32 + p3 y13 , x82 + x83 + x84 + y81 = W ( 8 ) + p1 y51 + p2 y42 + p3 y23 , x92 + x93 = W ( 9 ) + p1 y61 + p2 y52 + p3 y33 , x10, 2 = W (10 ) + p1 y71 + p2 y62 + p3 y43 , W (11) + p1 y81 + p2 y72 + p3 y53 = M. xij ≥0, yij ≥0, A≥0.

当 M = 5000 万时, 代入模型Ⅱ, 利用数学软件 lindo 求解得：每年奖金额 A为：127.521 万元．投资方案如表 3-19.

表 3-19（单位：万元） i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi2 232.216 0 0 0 125.267 0 0 0 0 0 xi3 227.549 0 0 0 0 0 0 0 0 — xi4 222.010 0 0 0 0 0 0 0 — — xi5 0 0 0 0 0 0 — — — — yi1 0 0 0 0 0 0 0 0 — — yi2 229.789 0 0 0 0 0 4661.043 — — — yi3 4088.435 108.876 108.876 108.876 0 — — — — —

在资金到位后第３年要举行百年校庆, 希望这一年的奖金额比其他年度多

20%的投资方案分两种情况. ① 在只存款不购国库券时, 利用模型Ⅰ解得：每年奖金额 A 为：107.552 万

元．投资方案如表 3-120. 表 3-20（单位：万元）

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi2 200.388 0 0 200.388 0 0 0 0 0 0 xi3 196.360 0 0 0 0 0 0 0 0 — xi4 399.974 0 0 0 0 0 0 0 — — xi5 4203.277 96.442 96.442 98.473 96.442 4579.943 — — — —

② 在可存款也可购国库券时, 用模型Ⅱ解得：每年奖金额 A 为：124.849 万

元．投资方案如表 3-21. 表 3-21（单位：万元）

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi2 227.352 0 0 0 122.642 0 0 0 0 0 xi3 222.782 0 0 0 0 0 0 0 0 — xi4 240.810 0 0 0 0 0 0 0 — — xi5 0 0 0 0 0 0 — — — — yi1 0 0 0 0 0 0 0 0 — — yi2 224.975 0 0 0 0 0 4658.615 — — — yi3 4084.081 106.595 106.595 106.595 0 — — — — —

⑹ 模型优化

在上述两种模型中, 我们都认为每年年末所回收的资金全部用来投资和发奖

金, 没有剩余．但在实际情况中, 每年年末用来投资和发放奖金的可能要比每年

回收的资金少．因此, 可以将上述两个模型中的“=”改成“≤”用数学软件 lindo解得另一组最优解：A = 109.817 万元（与模型Ⅰ结果相同）投资方案如表 3-22.

表 3-22（单位：万元） i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi2 107.875 0 0 204.607 0 107.875 0 0 0 0 xi3 200.495 0 0 0 0 0 0 0 0 — xi4 387.769 0 0 0 0 0 0 0 — — xi5 4303.861 0 98.473 98.473 98.473 4581.974 — — — —

根据线性规划问题解的性质：若有两组最优解, 设这两组最优解为 x (1) 和 x

(2), 则对于任意 (0≤≤1), x = x (1) + (1)x (2) 都为模型的最优解. 即说

明模型有多种不同的投资方案. 现对模型Ⅰ在 M = 5000 万, n = 10 年的情况下进行验证．当 = 0.5 时, 投资

方案如表 3-23. 表 3-23（单位：万元）

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi2 156.2411 0 0 204.607 0 53.9376 0 0 0 0 xi3 200.4947 0 0 0 0 0 0 0 0 — xi4 387.7694 0 0 0 0 0 0 0 — — xi5 4255.4949 98.4729 98.4729 98.4729 98.4729 4581.9736 — — — —

将以上结果代入模型Ⅰ中检验, 结果与实际相符合, 说明该模型是可行的． ⑺ 模型Ⅱ的误差分析 关于年度中国库券实际发行有如下几种情况： ① 年度中发行国库券, 之前和到期之后均以活期方式存储； ② 上半年度中发行国库券, 之前存活期, 之后存半年期和活期； ③ 下半年度中发行国库券, 之前存半年期和活期, 之后存活期； ④ 恰好在年度中点发放国库券, 之前之后均存两个半年期． 显然, 模型Ⅱ所采用的“结合式”计息与实际发行的计息存在误差．假定该

年预留给第 i 项国库券的资金为 C, 分别考察前三种情况的收益 p： ① p = C (1 + Ni R i ) (1 + mr0/360 ) [1 + (360 m ) r0/360].； ② p = C (1 + Ni R i ) (1 + r1/2 ) (1 + mr0/360 ) [1 + (180 m) r0/360]. ③ p = C (1 + Ni R i ) (1 + r1/2 ) (1 + mr0/360 ) [1 + (180 m) r0/360]. ④ p = C (1 + Ni R i ) (1 + r1/2 )2.

式中 Ni为期限(N1=2, N2 =3, N3 =5 ), m 为天数. 经计算, 四种方式与模型Ⅱ所采用

的计息方式的相对误差 d≤0.0000039. ⑻ 对模型的评价和改进 本文所阐述的模型是以每年奖金额最大为目标的投资方案的优化, 它适用

于制定某一定量的资金在 n 年内的投资计划． 模型建立运用线性规划的方法, 可理解性强, 应用广泛． 模型Ⅰ不仅适用于只存款不购买国库券的情况, 还适用于既存款又购买国

库券的情况, 但它要求每次国库券购买时间都在年初．在这种情况下, 只需将存

二年期、三年期、五年期存款的资金拿来买国库券即可．模型Ⅱ运用总体思维的

方式将活期、半年期和国库券合起来看作一个整体进行投资, 避免了考虑国库券

的发行时间不确定这个因素, 简化了模型的建立条件, 但该模型不适用于某一次

国库券购买时间在年初和年度中点的情况, ． 改进方向：可以将模型Ⅰ与模型Ⅱ综合起来, 建立一个动态的规划模型, 将该问

题划分为若干个互相联系的阶段, 在它的每一个阶段都需要做出决策, 并且在一

个阶段的决策确定以后, 常影响下一个阶段的决策, 从而影响整个过程的决

策．由于每个阶段有多种可供选择的决策, 因而就形成有许多策略可供我们选择, 对应于不同的策略会有不同的结果．在允许选择的策略中, 选择一个最优策略, 使在预定的条件下达到最好的效果

模型 25 彩票中的概率问题

所用知识：概率、期望

内容介绍：

电脑体育彩票和电脑福利彩票“组合 30 选 7”是目前在某些地方比较流行

的两种彩票，他们的玩法分别如下。 电脑体育彩票的玩法比较简单，2元买一注，每一注填写一张彩票，每一张

彩票由一个 6位数字和一个特别号码组成，每位数字均可填写 0、1、……、9

这 10 个数字中的一个。每期设六个奖项，由彩票中心随机开出一个奖号——一

个 6位数号码另加一个特别号码。中奖号码情况如下表所示（假设一等奖号码是

123456，特别号码是 7）：

奖级 中奖号码 每注奖金

特等奖 123456+7 不一定

一等奖 123456 不一定

二等奖 12345△、△23456 不一定

三等奖 1234△△、△2345△、△△3456 300 元

四等奖 123△△△、△234△△、△△345△、△△△456

20 元

五等奖 12△△△△、△23△△△、△△

34△△、△△△45△、△△△△

56

5 元

电脑福利彩票“组合 30 选 7”，采用国际上通行的 30选 7的玩法。2元买一

注，每一注填写一张彩票，从 01、02、…、29、30，在这 30个号码中选取 7个

号码。每期开出 7个号码，中奖号码情况如下表所示：

奖级 基本号码 每注奖金

一等奖 ●●●●●●●（顺序不限） 不一定

二等奖 ●●●●●●（顺序不限） 不一定

三等奖 ●●●●●（顺序不限） 50（元）

四等奖 ●●●●（顺序不限） 5（元）

例 彩票中的概率问题 试就以上两种彩票的发行方式和中奖情形计算中

奖概率和中奖期望值。如有必要，可做适当假设。 解 （1）电脑体育彩票

以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率如下： 特等奖 P0 = 1/10000000 = 0.0000001

一等奖 P1 = 1/1000000 = 0.000001 二等奖 P2 = 20/1000000 = 0.00002 三等奖 P3 = 300/1000000 = 0.0003 四等奖 P4 = 4000/1000000 = 0.004 五等奖 P5 =50000/1000000 = 0.05 合起来，每一注总的中奖概率为：

P = P0+ P1+ P2 +P3+ P4+ P5 = 0.0543211≈5.4％

这就是说每 1000 注彩票约有 54 注中奖（包括五等奖到特等奖）。

从理论上讲彩票奖金的返还率 50％，所以每一注彩票的期望值应该是 1 元。

现在，我们来实际计算一下，看是否如此。

体育彩票各奖级的概率、奖金数额列表如下：

奖级 中奖概率 每注奖金

特等奖 0．0000001 2500000（元）

一等奖 0．000001 50000（元）

二等奖 0．00002 5000（元）

三等奖 0．0003 300（元）

四等奖 0．004 20（元）

五等奖 0．05 5（元）

期望值 E = 0.0000001×2500000+0.000001×50000+0.0002×5000+0.0003×300+0.004×20+0.05×5 ≈ 0.82（元）

即每一注体育彩票中奖的期望值约为 0.82 元。这与理论值 1 元相差不大，

误差的原因主要是对前三级奖金的估计不够精确。

（2）电脑福利彩票“组合 30选 7”

也是以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率：

一等奖 P1 = C77/C30

7 = 0.000004912073787 二等奖 P2 = C7

6C231/C30

7 = 0.000079084 三等奖 P3= C7

5C232/ C30

7 = 0.00260978481 四等奖 P4 = C7

4C233/ C30

7 = 0.0304478 合起来，每一注总的中奖概率为：

P= P1+ P2 +P3+ P4 = 0.033136848 ≈ 3.31％

这就是说每 1000 注彩票约有 33 注中奖（包括四等奖到一等奖）。 各奖级的概率、奖金数额列表如下：

奖级 中奖概率 每注奖金

一等奖 0．0000004912 1000000（元）

二等奖 0．0000790843 2000（元）

三等奖 0．0026097858 50（元）

四等奖 0．030447489 5（元）

期望值 E = 0.0000004912×1000000+0.00079084×2000+0.002609785×50+0.030447489×5 = 0.8598946 ≈ 0.86（元）

即每一注福利彩票中奖的期望值约为 0.86 元。这与理论值 1 元相差不大，

误差的原因主要是对前三级奖金的估计不够精确。

模型 26 人寿保险

所用知识：二项分布

内容介绍：

随着中国经济的突飞猛进，人们越来越重视自身的健康和保护，特别是人寿

保险事业，在近十年的时间里从无到有，再到发展成具有现在的众多实力强劲的

保险公司。人寿保险已经日益深入人心，购买人寿保险已经是人们自我保护和预

售自身突发事件的一种重要手段。

人们自然会问，自己交很少的钱，而一量自己发生变故，保险公司会赔付超

过自己所交保金百倍的赔偿金，那么保险公司会不会因此而赔本呢？答案当然是

否定的，否则保险公司就会纷纷倒闭了。

例 假设有 2500 个同年龄同社会阶层的人参加某保险公司的人寿保险。以

往的资料显示，在一年中，每个人死亡的概率为 0.0001。每个参加保险的人一

年付给保险公司 120 元的保险费，而在死亡时其家属可从保险公司领取 20000

元，。试用概率统计的方法分析该保险公司的保费赔偿方式。

解 以下计算不计息。

（1）A={保险公司亏本}

设 X表示 2500 人中死亡人数，则 X服从参数为 0.0001 和 2500 的二项分布。

设 2500 人中有 k人死亡，则保险公司亏本当且仅当 20000k>2500*120,即

k>15。而

2500,,1,0,)9999.0()0001.0()( 25002500 kCkXP kkk ,

由泊松定理知

000001.0)9999.0()0001.0()( 25002500

162500

k

k

k

kCAP

（2）B={保险公司一年获利不少于 100000 元}

保险公司每年获利不少于 10万等价于 2500*120-20000k>100000，即 k<10.

于是，由泊松定理知

999993662.0)9999.0()0001.0()( 250010

02500

k

k

k

kCBP

考虑另外的问题，对于保险公司来说，保金收取太少，获利将减少，但太多，

参保人数将减少，获利也会降低。所以，在死亡率和参保对象都已知的前提

下，确定保金额度就是很重要的问题，从而提出下面问题。

对 2500 个参保对象（每人死亡率为 0.0001）每人每年到少交多少保金才能

使公司以不小于 0.99 的概率每年获利不少于 10万元（设赔偿费不变）？

设 x为每人每年缴纳的保金，由 2500x-20000k>100000,得 x>8k+40,这是一

个不定方程，又因为

99.099784.0)9999.0()0001.0( 25002

02500

k

k

k

kC

此即当 2500 个人中死亡人数不超过 2人时，公司获利 10万元的概率不小于

0.99，故 x>56 .

由于保险公司之间竞争激烈，为了吸引参保者，挤垮对手，保金还可降低，

只要不赔本就行，所以保险公司还会考虑以下问题。

在死亡率和赔偿费不变的情形下，每人每年交给保险公司 20元保金，保险

公司至少需要吸引多少个参保者才能以不小于 0.99 的概率不亏本？

设 y是参保人数，k仍为参保者死亡数，类似可得 20y-20000k>0 即 y>1000k，

这仍是一个不定方程，当 k=1 时，y>1000，注意到

99.099532.0)9999.0()0001.0( 25001

02500

k

k

k

kC

所以，保险公司只需吸引确 1000 人参保即可达到目的.

由上面的计算结果，保险公司几乎不会亏本，几乎每年都会获得高额利润。

模型 27 商品储备

所用知识：数学期望

内容介绍：

经济预测是一门科学。它运用定性和定量的科学分析方法，揭示出经济发展

过程中的客观规律，并对各类经济现象之间的联系以及作用机制作出科学的分

析，指出各类经济现象和经济过程未来发展的可能途径以及结果。一般来说，运

用概率知识来对经济问题进行质和量的分析是一种很好的手段。如果我们把对所

预测的经济事件称作一种试验的话，其结果不能事先准确的预言。但是我们总是

假定实验的一切可能结果的集合是已知的，且把这样的集合称作一个样本空间。

而对于一次实验，我们感兴趣的是实验结果的某个函数，而不是结果本身，我们

感兴趣的这些量，或更严格的说，这些定义于样本空间上的实值函数，称为随机

变量。随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一。

例 商品储备 按季节出售的某种应时商品，每出售一件获得纯利润b 元，

若到季末尚有剩余商品未能售完，则每件将净亏损 1元。设在任意季节内，在某

特定的百货商店被订购的件数是一随机变量，其概率分布为 0),( iiP 。若这商

店必须提前储备该商品，试求为使商店能获得最大的期望利润，它应储备该商品

多少件？

解 设 X 表示该商品被订购的件数，如储备 s 件，其利润记为 )(sf ，则 )(sf

可表示为

sXsb

sXXsbXsf

,),(

)(

于是，期望利润为

sbipsbiipbipisbisfEs

i

s

i

s

i

900)()1()()1()()]([)]([

为确定 s 的最优值，先研究当 s 增加一件时，所获利润有何变化。经变量替

换，些时的期望利润等于

)()1()1()1(

)()1()()1()]([

0

1

0

ipsibsb

ipsisbsbsfE

s

i

s

i

所以

1

0)()1()]([)]1([

s

iipbbsfEsfE ，因此只要

1)(

0

bbip

s

i。

则储备基金 1s 件比储备 s 件更好。因为上式的左边是 s 的递增函数而右边

是常数，故对一切 *ss 成立，其中 *s 为满足上面不等式的最大的 s ，由于

)]1([)]([)]0([ ** sfEsfEfE

因此，储备 *s 件商品可使期望利润达到最大值。上例中当 X 换成连续随机

变量时，解法是类似的。

模型 28 风险报酬分析

所用知识：置信概率

内容介绍：

随着我国社会主义市场经济的建立和发展，人们越来越依赖使用数学方法对

经济数据进行定量分析，以期望能对经济事项的发展变化趋势作出较准确的预

测，并在此基础上作出正确的投资和决策，实现预定目标。在投资环境日趋复杂

的现代社会，几乎所有的投资都是在风险和不确定情况下进行的，一般的说，投

资者都讨厌风险并力求回避风险。但是还是有人进行风险性投资。这是因为风险

能给投资者带来超出预期的报酬，即“风险报酬”。风险报酬是指投资者因冒风

险进行投资而获取的超出货币时间价值的那部分额外报酬。风险程度越高投资者

要求获取的风险报酬也越高。因此在投资行为发生前，就必须对风险和报酬进行

有效分析，以弄清不同风险条件下的投资报酬率之间的关系，从而，在诸多投资

机会中选择出最有价值的项目进行投资。风险报酬的分析在很大程度上依赖于概

率论与数理统计原理的应用

例 设甲公司有两个投资机会，A投资机会是一个高科技项目，该领域竞争

激烈，如果经济发展迅速并且该项目搞得好取得较大市场占有率，利润会很大，

否则利润很小甚至亏本。B项目是一个老产品，并且是生活必需品，销售前景可

准确预测。假设未来的经济情况只有三种，繁荣、正常、衰退，有关概率分布和

预期报酬率见下表

经济情况 发生概率 P（i） A项目 K（i） A项目 K（i）

繁荣 0．2 70% 40%

一般 0．6 20% 20%

衰退 0．2 -30% 0%

解 （1）计算 A项目盈利与亏损的概率

计算出报酬率从 0%--20%占标准差的比重，设该比重为 X，则

6326.03162.0

2.0X

通过查表可求出 63.26%个标准差对应的置信概率为 23.57%。因为正态分布

图是以期望报酬率为对称轴的钟形分布图。因此

P（A盈利）=0.5+0.2357=0.7357;P(A 亏损)=0.5-0.2357=0.2643.

类似可计算得到

P（B盈利）=0.5+0.4429=0.9429;P(B 亏损)=0.5-0.4429=0.0571.

（2）计算两个项目报酬率在 40%以上的概率

X（A）=（0.4-0.2）/0.3162=0.6325

查表得 0.6325 个标准差对应的置信概率是 0.2357，则

P（A取得 40%以上的报酬）=0.5-0.2357=0.2643

类似可计算得到

P（B取得 40%以上的报酬）=0.5-0.4429=0.0571

说明项目 B取得 40%以上的报酬的可能性很小。

综上所述，两个项目的平均报酬率相同，但风险大小程度不同，A项目可能

取得高报酬，但亏损的可能性也大；B项目取得高报酬的可能性小，但亏损

的可能性也小。

模型 29 零假设与备择假设是否处于对等的地位

所用知识：假设检验

内容介绍：

在假设检验中，首先要针对具体问题提出零假设 0H 和备择假设 1H ，由于零

假设是作为检验的前提而提出来的，因此，零假设通常应受到保护，没有充足的

证据是不能备拒绝的，而备择假设只有当零假设备被拒绝后，才能被接受，这就

决定了零假设与备择假设不是处于对等的地位

例 零假设与备择假设是否处于对等的地位 某厂方断言，本产生产的小型

电动机在正常负载条件下平均电流不会超过0.8A,随机抽取该型号电动机16台，

发现其平均电流为 0.92A，而由该样本求出的标准差是 0.32A，假定这种电动机

的工作电流 X服从正态分布，问根据这一抽样结果，能否否定厂方断言？（取显

著性水平 05.0 ）

解 本题假定 ),(~ 2NX , 2 未知，以厂方断言作为零假设，则得假设检验问

题： 8.0:;8.0: 10 HH

此时 05.0,32.0,92.0,16 Sxn ，由 t 检验法可知拒绝域为

94.0)116(1632.08.0 05.0 tX ，由于 94.092.0 X ，故不应该拒绝零假设

0H ，即在所给数据和检验水平下，没有充分理由否定厂方的断言

现在若把厂方断言的对立面作为零假设，则得假设检验问题：

8.0:;8.0: 10 HH

由 t 检验法，此时的拒绝域为 66.0)116(1632.08.0 05.0 tX ，因为观测值

66.092.0 X ，所以应接受零假设，即接受厂方断言的对立面

由此可见，随着问题提法的不同，得出了截然相反的结论，这一点会使初学

者感到迷惑不解，实际上，这里有个着眼点不同的问题，当把“厂方断言正确”

作为零假设时，我们根据该厂以往的表现和信誉，对其断言已有了较大的信任，

只有很不利于它的观察结果才能改变我们的看法，因而一般难以拒绝这个断言，

反之，当把“厂方断言不正确”作为零假设时，我们一开始就对该厂产品抱怀疑

态度，只有很有利于该厂的观察结果，才能改变我们的看法，因此，在所得观察

数据并非决定性地偏于一方时，我们的着眼点(即最初立场)决定了所得的结论。